numeric o 02
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METODOS NUMERICOSTRANSCRIPT
Capıtulo 1
Integrales multiples
Las tecnicas discutidas en las seccione anteriores se pueden modificar de una manera direc-ta para usarse en la aproximacion de las integrales multiples. El primer tipo de problema deintegracion multiple que cosideraremos corresponde a la aproximacion de una integral doble.∫ ∫
R
f(x, y)dA
donde R es una region rectangular del plano, es decir
R = {(x, y) / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
para algunas constantes a, b, c y d. Para ilustrar esta tecnica de aproximacion emplearemos laregla compuesta de Simpson, aun cuando cualquier otra de las formulas compuestas de Newton-Cotes podrıan usarse en su lugar.
Supongamos que se escogen enteros n ym para determinar los tamanos de los pasos h =b− a
2n
y k =d− c
2m. Escribiendo la integral doble como una integral iterada
∫ ∫R
f(x, y)dA =
∫ b
a
(∫ d
c
f(x, y)dy
)dx,
primero usamos la regla de Simpson para evaluar∫ d
c
f(x, y)dy,
tratando a x como constante. Tomando yj = c+ j k para cada j = 0, 1, 2, . . . , 2m, se obtiene∫ d
c
f(x, y)dy =k
3
[f(x, y0) + 2
m−1∑j=1
f(x, y2j) + 4m∑j=1
f(x, y2j−1) + f(x, y2m)
]
− (d− c)k4
180
∂4f(x, µ)
∂y4
1
CAPITULO 1. INTEGRALES MULTIPLES 2
para algun µ ∈ ⟨c, d⟩. Por lo tanto,∫ b
a
∫ d
c
f(x, y)dy dx =k
3
∫ b
a
f(x, y0)dx+2k
3
m−1∑j=1
∫ b
a
f(x, y2j)dx
+4k
3
m∑j=1
∫ b
a
f(x, y2j−1)dx+k
3
∫ b
a
f(x, y2m)dx
− (d− c)k4
180
∫ b
a
∂4f(x, µ)
∂y4dx.
(1.1)
La regla compuesta de Simpson se emplea ahora en cada integral de la ecuacion(1.1). Tomandoxi = a+ i h para i = 0, 1, 2, . . . , 2n se obtiene para cada j = 0, 1, 2, . . . , 2m:∫ b
a
f(x, yj)dx =h
3
[f(x0, yj) + 2
n−1∑i=1
f(x2i, yj) + 4n∑
i=1
f(x2i−1, yj) + f(x2n, yj)
]
− (b− a)h4
180
∂4f(ξi, yj)
∂y4
para algun ξi ∈ ⟨a, b⟩. La aproximacion restante tiene la forma∫ b
a
∫ d
c
f(x, y)dy dx ≈ h k
9
[f(x0, y0) + 2
n−1∑i=1
f(x2i, y0) + 4n∑
i=1
f(x2i−1, y0) + f(x2n, y0)+
+ 2m−1∑j=1
f(x0, y2j) + 4n−1∑i=1
m−1∑j=1
f(x2i, y2j) + 8n∑
i=1
m−1∑j=1
f(x2i−1, y2j)+
2m−1∑j=1
f(x2n, y2j) + 4m∑j=1
f(x0, y2j−1) + 8m∑j=1
n−1∑i=1
f(x2i, y2j−1)
+ 16m∑j=1
n∑i=1
f(x2i−1, y2j−1) + 4m∑j=1
f(x2n, y2j−1) + f(x0, y2m)
+ 2n−1∑i=1
f(x2i, y2m) + +2n∑
i=1
f(x2i−1, y2m) + f(x2n, y2m)
]
El termino error esta dado por
1.0.1. Integrales dobles a regiones arbitrarias
El uso de los metodos aproximados para integrales dobles no se lımita a integrales cuya regionde integracion es rectangular. Las tecnicas discutidas previamente se pueden aproximar integralesen la forma ∫ b
a
∫ d(x)
c(x)
f(x, y)dy dx (1.2)
o ∫ d
c
∫ b(x)
a(x)
f(x, y)dx dy (1.3)
J. R. Ticona Parisaca UNA
CAPITULO 1. INTEGRALES MULTIPLES 3
En realidad, tambien se pueden aproximar integrales en regiones distintas de estas, realizandoparticiones apropiadas de la region.
Para describir la tecnica involucrada en la aproximacion de una integral de la forma∫ b
a
∫ d(x)
c(x)
f(x, y)dy dx,
usaremos la regla de Simpson con respecto a las dos variables. El tamano de paso para la variable
x es h =b− a
2, pero el tamano de paso para y varıa con x. (Ver Figura. )
y
xa a+h b
( ( ))a,c a
( ( ))a,d a
( ( ))b,c b
( ( ))b,d bd x( )
c x( )
( ) ( )2
xdxc +
Por consecuencia,∫ b
a
∫ d(x)
c(x)
f(x, y)dy dx ≈∫ b
a
h(x)
3[f(x, c(x) + 4f(x, c(x) + k(x)) + f(x, d(x))]
≈ h
3
[k(a)
3[f(a, c(a) + 4f(a, c(a) + k(a)) + f(a, d(a))]
k(a+ h)
3[f(a+ h, c(a+ h) + 4f(a+ h, c(a+ h) + k(a+ h)) + f(a+ h, d(a+ h))]
k(b)
3[f(b, c(b) + 4f(b, c(b) + k(b)) + f(b, d(b))]
]El algoritmo siguiente aplica la regla compuesta de Simpson a una integral de la forma (1.2). Lasintergrales de la forma (1.3) pueden, desde luego, manejarse similarmente.
1.0.2. Algoritmo de la Integral Doble
Para aproximar la integral doble I =∫ b
a
∫ d(x)
c(x)f(x, y)dy dx
ENTRADA: Ingresar la funcion continua f(x, y), los lımites de integracion de la region Res decir,
R = {(x, y) ∈ IR2 / a ≤ x ≤ y, c(x) ≤ y ≤ d(x)}enteros positivos m y n
SALIDA: aproximacion J de I.J. R. Ticona Parisaca UNA
Algebra Lineal 4
Paso 1 Tomar: h =b− a
2n
Paso 2 Tomar:
J1 = 0; (Terminos extremos).
J2 = 0; (Terminos pares).
J3 = 0; (Terminos impares).
Paso 3 Para i = 0, 1, 2, 3, . . . , 2nTomar x = a+ i h (Metodo compuesto de Simpson con x fijo)
HX =d(x)− c(x)
2m;
K1 = f(x, c(x)) + f(x, d(x)); (Terminos extremos para cada x)
K2 = 0; (Terminos pares para cada x)
K3 = 0; (Terminos impares para cada x)
Para j = 0, 1, 2, 3, . . . , 2m− 1tomar . y = c(x) + j HX;. Z = f(x, y);si j es par entonces tomar K2 = K2 + Zsi no tomar K3 = K3 + Z
tomar L =HX
3(K1 + 2K2 + 4K3);(
L ≈∫ d(x)
c(x)
f(xi, y)dy (Por el metodo compuesto de Simpson)
)si i = 0 o i = 2n,entonces tomar J1 = J1 + Lsino, si i es par entonces tomar J2 = J2 + L,. sino tomar J3 = J3 + L.
Paso 4 Tomar J =h
3(J1 + 2J2 + 4J3)
Paso 5 SALIDA (J);PARAR
1.1. Ejercicios
1. Suponga que usted es un estudiante de ingenieria y pienza utilizar un arco grande cuyaforma parabolica esta dada por:
y =1
10x(30− x) metros
Donde y es la altura sobre el suelo y x esta en metros. Calcule la longitud total del arcopor la Regla de Simpson
L =
∫ 30
1
√1 +
(dy
dx
)2
dx
J. R. Ticona Parisaca UNA
Algebra Lineal 5
2. La longitud de una curva depende de x = ϕ(t) y = ψ(t), a ≤ t ≤ b, esta dado por
S =
∫ b
a
√[ϕ′(t)]2 + [ψ′(t)]2dt
Utilice las integrales apriimadas para calcular la longitud de la cicloide definido por:
x(t) = 3(t− Sent), y(t) = 3(1− Cost); 0 ≤ t ≤ 4π
3. Use el algoritmo con n = m = 3 para aproximar las siguientes integrales dobles y comparecon el valor exacto
(a)
∫ 1,5
1,3
∫ 0,1
−0,1
√xy2dy dx (b)
∫ 2,2
2,1
∫ 1,4
1,3
xy2dy dx
(c)
∫ 0,1
−0,1
∫ 0,1
0
x y ex2+y2dx dy (d)
∫ 0,1
0
∫ 0,1
0
ey−xdx dy
(e)
∫ 2,2
2
∫ 2x
x
(x2 + y3)dy dx (f)
∫ 1,1
1
∫ x
0
(x2 +√y)dy dx
4. Use el algoritmo para aproximar ∫ ∫R
√x y + y2dA
donde R es la region del plano acotada por las rectas x+ y = 6, 3y− x = 2 y 3x− 2y = 2.
5. Una lamina plana se define como una hoja delgada con una masa continuamente distribuida.Si ρ es una funcion que describe la densidad de la lamina, la cual tiene la forma de unaregion plana R en el plano XY , entonces el centro de masa de la lamina (x, y) se definecomo
x =
∫ ∫Rx ρ(x, y)dA∫ ∫
Rρ(x, y)dA
, y =
∫ ∫Ry ρ(x, y)dA∫ ∫
Rρ(x, y)dA
use el algoritmo con n = m = 7 para encontrar el centro de masa de la lamina descrita por
R = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤√1− x2}
con una funcion de densidad ρ(x, y) = e−(x2+y2)
6. El area de una superficie descrita por z = f(x, y) para (x, y) esta dada por
A(S) =
∫R
∫ √[fx(x, y)]2 + [fy(x, y)]2dA.
Use al algoritmo para encontrar una aproximacion al area de la superficie en el hemisferiox2 + y2 + z2 = 9, z ≤ 0 que se encuentra arriba de la region en el plano descrito porR = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
J. R. Ticona Parisaca UNA