PAPER

METODE NUMERIK

METODE CRAMER DAN METODE JACOBIAN

Disusun oleh:

Kelompok 4

1. Adnan Widya Iswara (M0513003)

2. Bara Okta Pratista J. (M0513012)

3. Moechammad Alvan P. U. (M0513032)

4. Shofwah Dinillah (M0513043)

JURUSAN INFORMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU

PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2015

A. Dasar Teori

Salah satu model permasalahan yang umum dijumpai dalam berbagai disiplin

ilmu adalah permodelan persamaan linear. Persamaan linear sendiri didefinisikan

sebagai suatu bentuk persamaan aljabar yang tiap sukunya mengandung konstanta,

atau perkalian konstanta dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah pangkat satu.

Istilah linear diberikan pada sistem ini karena hubungan matematisnya dapat

digambarkan dalam bentuk garis lurus dalam sistem koordinat Kartesius. Bentuk

umum dari persamaan ini adalah y=mx+b.

Dalam mengatasi permasalahan yang dimodelkan melalui sistem persamaan

linear ini, terdapat beberapa metode yang umum digunakan, yang kemudian

dikelompokkan menjadi dua kelompok metode, yaitu:

a) Metode langsung, yaitu suatu metode yang dilakukan dengan mencari

penyelesaian persamaan dalam urutan langkah yang berhingga.

b) Metode tak langsung (metode iteratif), yaitu suatu metode yang dalam

menemukan penyelesaian persamaan tersebut, mengambil suatu nilai

hampiran penyelesaian awal yang kemudian akan diperbaiki dalam langkah

tak berhingga secara konvergen.

B. Definisi dan Rumus Umum

B.1 Metode Cramer

Aturan Cramer merupakan salah satu metode yang secara umum digunakan

untuk menyelesakan permodelan sistem persamaan linear. Metode ini melakukan

pencarian terhadap nilai variable dengan menggunakan determinan dari matriks.

Metode Cramer terkhusus digunakan untuk mencari suatu solusi dari n persamaan dan

n bilangan tak terhingga.

Dalam Metode Cramer, jika A X=B adalah sistem yang terdiri dari n

persamaan linier dalam n bilangan tak hingga, sehingga det (A )≠0, maka sistem ini

memiliki penyelesaian dengan bentuk umum

x1=det (A1)det (A )

, x2=det (A2)det(A)

,…,xn=det (An)det (A)

, di mana A1 merupakan matriks yang

didapatkan dengan mengganti nilai elemen kolom ke-j dari matriks A dengan elemen

dalam matriks B.

B.2 Metode Jacobian

Metode iterasi Jacobian merupakan salah satu metode untuk menyelesaikan

sistem persamaan linier. Metode ini termasuk dalam kelompok metode tak langsung,

1

yaitu memulai penyelesaikan dengan menentukan secara sembarang suatu nilai awal,

dan pada setiap langkahnya dilakukan perbaikan terhadap nilai hampiran secara

konvergen. Secara umum, metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan

linier berukuran besar dan sistem dengan proporsi koefisien nol yang besar ini dapat

dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut:

bilanilai x i(k) menyatakanhampiranke-i penyelesaianSPLAx=Byang

dinyatakan dengan hampiran awal, maka metode iterasi Jacobi dapat

dinyatakan dalam bentuk

x i=1aii

(bi− ∑j=1 , j ≠ 1

n

aii x j(k−1 )) , i=1 ,2 ,…. , n; k=1 ,2 ,….

C. Contoh Soal dan Penyelesaian

C.1 Metode Cramer

1. Selesaikan sistem persamaan x1+2x3=6 ,(−3 x1)+4 x2+6 x3=30 , dan¿ !

(Adnan Widya I. / M0513003)

Jawab :

Matriks awal adalah matriks A=[ 1 0 2−3 4 6−1 −2 3 ]danB=[ 6

308 ]. Kemudian

ganti kolom j dengan matriks B, yang akan menghasilkan matriks baru

yaitu matriks

A1=[ 6 0 230 4 68 −2 3] , A2=[ 1 6 2

−3 30 6−2 8 3 ] , A3=[ 1 0 6

−3 4 30−1 −2 8 ] .Dengan

menggunakan metode Sarrus, masing-masing determinan yang

diketahui adalah:

- det(A) = 1| 4 6−2 3|−0|−3 6

−1 3|+2|−3 4−1 −2|=44

- det(A1) = 6| 4 6−2 3|−0|30 6

8 3|+2|30 48 −2|=−40

- det(A2) = 1|30 68 3|−6|−3 6

−1 3|+2|−3 30−1 8 |=72

- det(A3) = 1| 4 30−2 8 |−0|−3 30

−1 8 |+6|−3 4−1 −2|=152

Dengan demikian menghasilkan penyelesaian:

2

2. Sistem persamaan [ 2 5 5−1 −1 02 4 3][ xyz ]=[ 1

1−1] . Dalam sistem persamaan di atas,

apakah metode Cramer dapat digunakan untuk memecahkan masalah?

(Bara Okta / M0513012)

Jawab :

det(A) = | 2 5 5−1 −1 02 4 3|=(−6−20 )−(−15−10 )=−1

Karena nilai dari det(A) = -1, maka matriks di atas dapat diselesaikan

dengan menggunakan metode Cramer.

3. Berdasarkan soal nomor 2, temukan penyelesaian dari persamaan tersebut!

(Moechammad Alvan P. U. / M0513032)

Jawab :

- det(A1) = | 1 5 51 −1 0

−1 4 3|=−3

- det(A2) = | 2 1 5−1 1 02 −1 3|=4

det(A3) = | 2 5 1−1 −1 12 4 −1|=−3

Sehingga, nilai untuk x=3, y=4 dan z=3.

4. Selesaikan sistem persamaan linear di bawah ini dengan menggunakan metode

Cramer! Shofwah Dinillah / M0513043

a11 x1+ a12 x2 + a13 x3 = b1

a21 x1+ a22 x2 + a23 x3 = b2

a31 x1+ a32 x2 + a33 x3 = b3

Jawab :

Persamaan di atas bila dibentuk matriks adalah

[a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33] [ x1

x2

x3]= [b1

b2

b3]

Adapun penyelesaiannya adalah:

3

D=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

|

Dx1=|b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33

|

Dx2=|a11 b1 a13

a21 b2 a23

a31 b3 a33

|

Dx3=|

a11 a12 b1

a21 a22 b3

a31 a32 b3

|

, maka

x1 =

Dx1

Dx2 =

Dx2

Dx3 =

Dx3

D

C.1 Metode Jacobian

1. Selesaikan persamaan berikut ini dengan menggunakan metode iterasi Jacobian !

4 x− y+z=7 ,4 x−8 y+z=−21 ,−2 z+ y+5 z=15. Dengan menggunakan Psolusi

= (x , y , z¿=(2,4 ,6) dan P0 = (x , y , z¿=(1 ,2 ,2 ) .

(Adnan W. I. / M0513003)

Jawab :

(x , y , z¿=(1 ,2 ,2 ), maka ketiga persamaan di atas dapat dimodelkan dalam

bentuk berikut ini:

- 4 x− y+z=7→4 x=7+ y−z→x=7+ y−z4

- 4 x−8 y+z=−21→−8 y=−21−4 x−z→ y=21+4 x+z8

- −2 x+ y+5 z=15→5 z=15+2 x− y→ z=15+2 x− y5

Dengan mengubah bentuk persamaan i-iii ke dalam bentuk di atas, maka

perhitungan iterasi dengan menggunakan metode Jacobian adalah sebagai

berikut ini:

**Iterasi 1**

- x1=7+ y−z

4=7+2−2

4=1,75

- y1=21+4 x+z

8=21+4. 1+2

8=3,375

- z1=15+2x− y

5=15+2 .1−2

5=3

- p1=(1,75 :3,375 :3 ) adalah suatu output perhitungan iterasi 1.

Dengan galat atau nilai error

x=|2−1,75|=0,25 : y=|4−3,375|=0,625: z=|3−3|=0

4

**Iterasi 2**

- x2=7+ y1−z1

4=7+3,375−3

4=1 ,84375

- y2=21+4 x1+z1

8=

21+4.(1,75)+38

=3 ,875

- z2=15+2x1− y1

5=

15+2 .(1,75)−3,3755

=3 ,025

- p2=(1 ,84375 :3 ,875 :3 ,025 ) adalah suatu output perhitungan

iterasi 2.

Dengan galat atau nilai error

x=|2−1 ,84375|=0 ,15625 : y=|4−3 ,875|=0 ,1 25 : z=|3−3 ,02|=0,25.

**Iterasi 3**

- x3=7+ y2−z2

4=7+3 ,875−3 ,025

4=1 ,9625

- y3=21+4 x2+z2

8=

21+4.(1 ,84375)+3 ,0258

=3 ,92 5

- z3=15+2x2− y2

5=

15+2.(1 ,84375)−3 ,8 755

=2 ,96 25

- p3=(1 ,9625 :3 ,925 :2 ,96 25 ) adalah suatu output perhitungan

iterasi 3.

Dengan galat atau nilai error

x=|2−1 ,9625|=0 ,0375 : y=|4−3 ,925|=0 ,007 5 : z=|3−2,9625|=0 ,0375.

2. Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan menggunakan iterasi

Jacobian!

( i )3 x1−0,1 x2−0,2 x3=7,85 ; ( ii ) 0,1x1+7 x2−0,3 x3=−19,3 ; ( iii) 0,3 x1−0,2 x2+10 x3=71,4

dengan solusi sejati x1=3 , x2=−2,5 , danx3=7! (Bara

Okta P. J. / M0513012)

Jawab :

Sistem persamaan di atas diubah ke dalam bentuk sebagai berikut:

(i) x1=(7,85+0,1 x2+0,2 x3 )

3

(ii) x2=(−19,3−0,1x1+0,3 x3)

7

(iii) x3=( 71,4−0,3 x1+0,2 x2

10 )**Iterasi 1**

5

Dengan mengasumsikan bahwa nilai x1 , x2 , x3=0, maka proses pada iterasi 1:

- x1=7,85+0,1x2+0,2 x3

3=7,85+0,1.0−0,2.0

3=2,6166667

-

x2=−19,3−0,14 x1+0,3 x3

7=−19,3−0,1.04 .1+0,3.0

7=−2,757142857

- x3=71,4−0,3 x1+0,2 x3

10=71,4−0,3.0+0,2.0

10=7,14

**Iterasi 2**

Berdasarkan hasil perhitungang iterasi 1, maka diperoleh nilai

x1=2,61666667 , x2=−2,757142857 ,dan x3=7,14.

-

x1=7 ,85+0,1x2+0,2 x3

3=

7 ,85+0,1 (−2,757152857 )+0,2(7,14)3

=3,00761905

dengan nilai |ε1|=12,79992382 %.

-

x2=−19,3−0,1 x1+0,3 x3

7=

−19,3−0,1 (2,6266667 )+0,3(7,14)7

=−2,488523809

dengan nilai |ε2|=10,794312962 %.

-

x3=71,4−0,3 x1+0,2 x2

10=

71,4−0,3 (2,616667 )+0,2(−2,757142857)10

=7,006357143

dengan nilai |ε3|=1,907451394 %.

3. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Jacobi!

10 x1−2x2−x3−x 4=3 , ;−2x1+10x2−x3−x4=15 ;−x1−x2+10 x3−2 x4=27 ;−x1−x2−2 x3+10 x4=−9

. (Moechammad Alvan P. U. / M0513032)

Jawab :

Dari keempat sistem persamaan di atas, bentuk lainnya adalah sebagai berikut

ini:

(i) x1=0,3+0,2x2+0,1x3+0,1 x4

(ii) x2=1,5+0,2 x1+0,1x3+0,1 x4

(iii) x3=2,7+0,1x1+0,1 x2+0,2 x4

(iv)x4=−0,9+0,1 x1+0,1x2+0,2x3

6

Karena masing-masing persamaan memenuhi syarat |aij

aii|<1, maka ambil

x1 , x2 , x3 , x4=0 dan substitusikan pada persamaan sehingga memperoleh hasil

sebagai berikut:

(i) x1=0,3+0,2 (0 )+0,1 (0 )+0,1 (0 )=0,3

(ii) x2=1,5+0,2 (0 )+0,1 (0 )+0,1 (0 )=1,5

(iii) x3=2,7+0,1 (0 )+0,1 (0 )+0,2 (0 )=2,7

(iv)x4=−0,9+0,1 (0 )+0,1 (0 )+0,2 (0 )=−0,9

Dengan mengambil hasil dari iterasi pertama, maka langkah untuk iterasi

berikutnya adalah sebagai berikut:

(i) x1=0,3+0,2 (1,5 )+0,1 (2,7 )+0,1 (−0,9 )=0,78

(ii) x2=1,5+0,2 (0,3 )+0,1 (2,7 )+0,1 (−0,9 )=1,74

(iii) x3=2,7+0,1 (0,3 )+0,1 (1,5 )+0,2 (−0,9 )=2,7

(iv)x4=−0,9+0,1 (0,3 )+0,1 (1,5 )+0,2 (2,7 )=−0,18

Dengan demikian, melalui metode Jacobi dengan dua iterasi, diperoleh nilai

x1=0,78 ; x2=1,74 ; x3=2,7 ; x4=−0,18.

4. Selesaikan sistem persamaan berikut ini dengan metode Jacobian!

(i) 3 x+ y−z=5

(ii) 4 x+7 y−3 z=20

(iii) 2 x−2 y+5 z=10 (Shofwah Dinillah /

M0501343)

Jawab :

Sistem persamaan diatas ditulis kembali dalam bentuk sebagai berikut:

(i) x=5− y+z3

(ii) y=20−4 x+3 z7

(iii) z=10−2 x+2 y5

Dengan nilai awal pada variable x , y , z=0, maka hasilnya:

(i) x=5−0+03

=1,66667

(ii) y=20−0+07

=2,85714

(iii) z=10−0+05

=2

7

Dengan hasil dari iterasi pertama, maka perhitungan iterasi kedua adalah

sebagai berikut:

(i) x=5−2,85714+23

=1,38095 dengan nilai

ε x=1,38095−1,66667

1,38095×100 %=−20,69 %.

(ii) y=20−4 (1,66667)+3(2)

7=2,76190 dengan nilai

ε y=2,76190−2,85714

2,76190×100 %=−3,45 %.

(iii) z=10−2(1,66667)+2(2)

5=2,133333 dengan nilai

ε z=2,13333−2−1,66667

2,133333×100 %=6,25%.

8

REFERENSI

____. https://aimprof08.wordpress.com/2012/11/17/mencari-solusi-persamaan-menggunakan-aturan-cramer/. Diakses tanggal 21 Maret 2015 pukul 10.13 WIB.

____. http://download.portalgaruda.org/article.php?article=109829&val=544. Diakses tanggal 28 Maret 2015 pukul 10.11 WIB.

____. http://download.portalgaruda.org/article.php?article=9288&val=611. Diakses tanggal 22 Maret 2015 pukul 13.00 WIB.

____. http://fajar-suryanto.googlecode.com/files/4.pdf. Diakses tanggal 28 Maret 2015 pukul 09.22 WIB.

____. http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear. Diakses tanggal 19 Maret 2015 pukul 2015 pukul 20.00 WIB.

____. http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_linear. Diakses tanggal 19 Maret 2015 pukul 20.05 WIB.

____. http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/131930136/KomputasiNumerikBab2.pdf. Diakses tanggal 21 Maret 2015 pukul 13.22 WIB.

____. http://team-aljabar.blogspot.com/2013/03/metode-cramer.html. Diakses tanggal 22 Maret 2015 pukul 12.12 WIB.

___. http://www.te.ugm.ac.id/~warsun/mtk/tgs/lola,bambina,hendra,arvi,novetra/METODE%20ELIMINASI%20GAUSS%20&%20METODE%20CRAMER.pps. Diakses tanggal 28 Maret 2015 pukul 09.24 WIB.

9