numerical solutions of the advection equation in the air-pollution problems

คาตอบเชงตวเลขของสมการการพาในปญหามลพษทางอากาศ

Numerical Solutions of the Advection Equation in

the Air-Pollution Problems

นายยศเจรญสน หมพทธรกษ

นายโสภณ ปยะวสทธกล

นายฉตรชย พรไพบลยเดน

โครงงานนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรบณฑต

สาขาวชาคณตศาสตรประยกต ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตรประยกต มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ

ปการศกษา 2554

ลขสทธของภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตรประยกต มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ

ชอโครงงาน : คาตอบเชงตวเลขของสมการการพาในปญหามลพษทางอากาศ

Numerical Solutions of the Advection Equation in the Air-

Pollution Problems

โดย : นายยศเจรญสน หมพทธรกษ



สาขาวชา : คณตศาสตรประยกต

ภาควชา : คณตศาสตร

คณะ : วทยาศาสตรประยกต

อาจารยทปรกษา : อาจารย ดร.เอกชย คณวฒปรชาชาญ

อาจารยทปรกษารวม : อาจารย ผศ.พงษศกด วสตรกาญจนชย

ปการศกษา : 2554

ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตรประยกต มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลา-

พระนครเหนออนมตใหโครงการนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรบณฑต

สาขาวชาคณตศาสตรประยกต

อาจารยทปรกษา

(อาจารย ดร.เอกชย คณวฒปรชาชาญ)

อาจารยทปรกษารวม

(ผศ.พงษศกด วสตรกาญจนชย)

กรรมการ

(อ.กรรณการ0 พงษสวนย1)

กรรมการ

(อ.สนตพงษ ประสาททอง1)

http://www.ma.kmutnb.ac.th/index.php?option=com_content&view=category&id=56&Itemid=145&lang=th


ก

บทคดยอ

โครงงานนมวตถประสงคหลกเพอศกษาวธเชงตวเลขและวธวเคราะหตวแบบของสมการการพา

ในกรณตาง ๆ ซงเปนสมการเชงอนพนธยอยอนดบหนง สาหรบวธเชงตวเลขเราใชวธผลตางจากดแบบ

ตาง ๆ ไดแกวธ Upwind Scheme, วธ Forward Time Central Space (FTCS) และวธ Lax

Method นอกจากจะนาเสนอวธเชงตวเลขในกรณตาง ๆ แลว ในโครงงานนไดทาการเปรยบเทยบ

เงอนไขของความเสถยรของวธเชงตวเลขแตละวธ ซงทาใหเราไดเงอนไขเพอกาหนดความกวางของ

เสนกรด และเพอเปนการสนบสนนผลการวเคราะห เราไดแสดงตวอยางประกอบโดยใชโปรแกรม

สาเรจรปทางคณตศาสตรเพอแสดงผลเชงตวเลขและเปรยบเทยบกบคาตอบเชงวเคราะห นอกจากนน

ยงไดทาการเปรยบเทยบความแตกตางของคาผดพลาดของคาตอบเชงตวเลขในกรณตาง ๆ ทเลอกมา

ศกษา

ข

Abstract

In this project we study analytical and numerical solutions of the advection

equation, which formed by a first-order partial differential equation (PDE). Such

equations describe a transport of toxic in air pollution. We present three numerical

schemes, i.e. the upwind scheme, the forward-time central-space (FTCS) method and

the Lax method. The analysis will also be focused on the stability of these methods.

The sufficient conditions for stability of the numerical schemes are obtained. In

addition, we compare the similarities and differences in the numerical solutions

provided by each method. Also, we use an advantage of mathematical software to

develop a program to illustrate numerical result. In addition, we also compare error

obtained by each method.

ค

กตตกรรมประกาศ

โครงงานเรองคาตอบเชงตวเลขของสมการการพาในปญหามลพษทางอากาศ ประสบ

ความสาเรจในการจดทาจนเสรจสมบรณ เนองมาจากการถายทอดวชาความร และการสนบสนนของ

ดร.เอกชย คณวฒปรชาชาญ และ ผศ.พงษศกด วสตรกาญจนชย ซงเปนอาจารยทปรกษาในการจดทา

โครงงานชนน อกทงยงสละเวลาอนมคา เพอใหคาปรกษาและแนะนาแนวทางในการแกไขปญหาตางๆท

เกดขนในระหวางการจดทาโครงงานมาจนกระทงโครงงานชนนเสรจสมบรณ กลมขาพเจารสกซาบซงใน

ความกรณาของทานอาจารยเปนอยางยง จงขอกราบขอบคณอาจารยทใหความร และใหคาปรกษาใน

การจดทาโครงงานชนน

นอกจากอาจารยทปรกษาแลวทางผจดทาขอขอบคณคณะกรรมการไดแก อาจารย กรรณการ 0

พงษสวนย1 และอาจารยสนตพงษ ประสาททอง1 ทเสยสละเวลาอนมคามารวมเปนกรรมการในการสอบ

โครงงานน อกทงยงไดใหคาแนะนา และขอเสนอแนะเพมเตมทเปนประโยชน ตลอดจนชวยตรวจสอบ

ความถกตองของโครงงานชนน ซงทาใหโครงงานมความสมบรณมากยงขน

กลมขาพเจาขอกราบขอบพระคณคณาจารย และบคคลากรทกทานในภาควชาคณตศาสตร

มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอทไดใหวชาความร อบรมสงสอน คาแนะนาทเปน

ประโยชน และการชวยเหลอเกอกลในดานตางๆแกกลมขาพเจา และสดทายนทขาดไมไดกลมขาพเจา

ขอกราบขอบพระคณบดา มารดาทไดสงเสยเลยงดมา ณ โอกาสนดวย

ทงนหากเนอหาภายในโครงงานมขอบกพรองประการใด ขาพเจาตองกราบขออภยไว ณ ทนดวย

พรอมทงขอรบคาตชมเพอนาไปเพมเตมประสบการณในการทางานในอนาคตตอไป

นายยศเจรญสน หมพทธรกษ






ง

สารบญ

หนา

บทคดยอภาษาไทย ก

บทคดยอภาษาองกฤษ ข

กตตกรรมประกาศ ค

สารบญตาราง จ

สารบญภาพ ฉ

บทท 1 บทนา

1.1 ความเปนมาและความสาคญของปญหา 1

1.2 วตถประสงคของโครงงาน 4

1.3 ขอบเขตของการดาเนนงาน 4

1.4 วธดาเนนงาน 4

1.5 ประโยชนทคาดวาจะไดรบ 5

บทท 2 ความรพนฐานและตวแบบมลพษ

2.1 บทนา 6

2.2 พนฐานสมการเชงอนพนธยอย 8

2.3 สมการการพา 11

2.4 การหาคาตอบเชงเคราะหของสมการการพา 14

บทท 3 วธวเคราะหและวธเชงตวเลขสาหรบตวแบบการพาของมลพษ

3.1 บทนา 17

3.2 วธเชงตวเลขสาหรบสมการการพา 18

3.2.1 วธเชงตวเลขแบบ Upwind Method 18

3.2.2 วธเชงตวเลขแบบ Forward Time Central Space (FTCS) 20

3.2.3 วธเชงตวเลขแบบ Lax Method 22

จ

สารบญ (ตอ) หนา

3.3 การวเคราะหความเสถยรของวธเชงตวเลข 23

3.3.1 การวเคราะหเงอนไขความเสถยรของวธ Upwind scheme 24

3.3.2 การวเคราะหเงอนไขความเสถยรของวธ Forward Time

Central Space Method 25

3.3.3 การวเคราะหเงอนไขความเสถยรของวธ Lax Method 26

3.4 สรปเงอนไขความเสถยรของวธเชงตวเลขแบบตาง ๆ ของสมการการพา 27

3.4.1 การวเคราะหเงอนไขความเสถยรของวธ Upwind scheme 27

3.4.2 การวเคราะหเงอนไขความเสถยรของวธ Forward Time Central

Space Method 27

3.4.3 การวเคราะหเงอนไขความเสถยรของวธ Lax Method 28

บทท 4 คาตอบเชงวเคราะหและคาตอบเชงตวเลขของสมการการพา

4.1 บทนา 29

4.2 คาตอบเชงเคราะหของสมการการพา 29

4.2.1 ปญหาท 1 30

4.2.2 ปญหาท 2 31

4.3 คาตอบเชงตวเลข 32

4.3.1 คาตอบเชงตวเลขโดยวธ Upwind Scheme สาหรบปญหาท 1 32

4.3.2 คาตอบเชงตวเลขโดยวธ Forward Time Centered Space

(FTCS) สาหรบปญหาท 1 34

4.3.3 คาตอบเชงตวเลขโดยวธ Lax Method สาหรบปญหาท 1 36

4.3.4 คาตอบเชงตวเลขโดยวธ Upwind Scheme สาหรบปญหาท 2 38

4.3.5 คาตอบเชงตวเลขโดยวธ Forward Time Centered Space

(FTCS) สาหรบปญหาท 2 40

4.3.6 คาตอบเชงตวเลขโดยวธ Lax Method สาหรบปญหาท 2 42

4.4 เปรยบเทยบคาผดพลาดระหวางวธตางๆกบคาตอบจรง 44

4.5 สรปผลการดาเนนงานและขอเสนอแนะ 48

เอกสารอางอง 50

ฉ

สารบญตาราง

ตารางท หนา

4.1 คาตอบเชงตวเลขของปญหาท 1 โดยวธ Upwind Scheme 32

4.2 คาตอบเชงตวเลขของปญหาท 1 โดยวธ Forward Time Central Space

(FTCS) 34

4.3 คาตอบเชงตวเลขของปญหาท 1 โดยวธ Lax Method 36



(FTCS) 40


4.7 คาตอบเชงวเคราะหของสมการ (4.3) สาหรบปญหาท 1 44

4.8 คาผดพลาดของปญหาท 1 โดยวธ Upwind Scheme 45

4.9 คาผดพลาดของปญหาท 1 โดยวธ Forward Time Central Space (FTCS) 45

4.10 คาผดพลาดของปญหาท 1 โดยวธ Lax Method 46

4.11 คาตอบเชงวเคราะหของสมการ (4.3) สาหรบปญหาท 2 46

4.12 คาผดพลาดของปญหาท 2 โดยวธ Upwind Scheme 47

4.13 คาผดพลาดของปญหาท 2 โดยวธ Forward Time Central Space (FTCS) 47

4.14 คาผดพลาดของปญหาท 2 โดยวธ Lax Method 48

ช

สารบญภาพ

ภาพท หนา

2.1 ลกษณะการแพรและการพาของสารพษในอากาศจากโรงงานอตสาหกรรม 7

3.1 จดกรดสาหรบการคานวณโดยวธ Upwind Scheme 20

3.2 จดกรดสาหรบการคานวณโดยวธ Forward Time Central Space (FTCS) 21

3.3 จดกรดสาหรบการคานวณโดยวธ Lax Method 23

4.1 คาตอบของสมการในปญหาท 1 30

4.2 คาตอบของสมการในปญหาท 2 31


4.4 คาตอบเชงตวเลขระหวาง x และ c ของปญหาท 1 โดยวธ Upwind

Scheme ณ เวลา t ตาง ๆ 33


(FTCS) 35

4.6 คาตอบเชงตวเลขระหวาง x และ c ของปญหาท 1 โดยวธ Forward Time

Central Space (FTCS) ณ เวลา t ตาง ๆ 35


4.8 คาตอบเชงตวเลขระหวาง x และ c ของปญหาท 1 โดยวธ Lax Method ณ

เวลา t ตาง ๆ 37


4.10 คาตอบเชงตวเลขระหวาง x และ c ของปญหาท 2 โดยวธ Upwind

Scheme ณ เวลา t ตาง ๆ 39


(FTCS) 41

4.12 คาตอบเชงตวเลขระหวาง x และ c ของปญหาท 2 โดยวธ Forward Time

Central Space (FTCS) ณ เวลา t ตาง ๆ 41


4.14 คาตอบเชงตวเลขระหวาง x และ c ของปญหาท 2 โดยวธ Lax Method ณ

เวลา t ตาง ๆ 43

บทท บทท 11

บทนาบทนา

1.1 ความเปนมาและความสาคญของปญหา

ปญหาเกยวกบมลพษทางอากาศ (air pollution) เปนปญหาสงคมทสาคญอยางหนงและเปน

ปญหาทหลายฝายไดตระหนกถงพรอมทงพยายามหาทางแกไข ตวอยางเชนปญหาฝนกรด (acid rain)

ซงเปนปญหาหนงทไดรบผลกระทบมาจากโรงงานหรอกระบวนการทางอตสาหกรรมซงไดผลตกาซพษ

และปลอยเขาสระบบนเวศน นอกจากนปญหาฝนกรดยงกอใหเกดมลพษและความเสยหายตอพชผกใน

สวน ตลอดจนดนในเขตเมอง มลพษทางอากาศทาใหเกดปญหาตอความเขมขนของโอโซน (ozone) ซง

ถาปรมาณไมเหมาะสมจะถอเปนปญหาทกออนตรายตอสขภาพทใหญทสดปญหาหนง ตวแบบทาง

คณตศาสตรสาหรบปญหามลพษทางอากาศไดถกนามาใชในการแสดงของการเคลอนทของสารปนเปอน

หรอสารพษทางอากาศ การพาของ0ปฏกรยาทางเคมมผลกบความเขมขนของสารมลพษซงโดยทวไปถอ

เปนตวแปรทไมทราบคา ทงนขนอยกบชนดของสารเคมและความหนาแนนของสารเคมนน ๆ ในอากาศ

จดมงหมายในการพฒนาและศกษารปแบบของปญหามลพษทางอากาศดงกลาวมประโยชนและ

เปนปญหาทนาสนใจ เนองจากทาใหเราสามารถทจะคาดการณวาจะเปลยนความเขมขนสงสดในการ

ตอบสนองตอการเปลยนแปลงทกาหนดเพอใชในดานอตนยมวทยา และทาใหสามารถคาดเดาแหลงทมา

ของมลพษได การสรางตวแบบของคณภาพอากาศไดเปนหวขอทเปนทยอมรบใหเปนหนงในเรองหลกใน

ประเทศ โดยเฉพาะอยางยงในประเทศสหรฐอเมรกาในชวงยสบปทผานมา [1-2] ปญหาดงกลาวเปน

ปญหาทนาสนใจเปนพเศษทถกนามาใชในวงการอตสาหกรรมการผลตรถยนต [2] ในทนเราจะพจารณา

2

การสรางตวแบบการสงผานและการแพรกระจายของสารเคมซงถอวาเปนสารพษในทศทางเดยว และ

เปนปญหาเบองตนโดยไมสนใจกระบวนการทางเคมหรอปจจยทซบซอนตางๆ

ในปญหาทจะศกษาน อาจสมมตเพอใหเหนภาพไดวา ถามโรงงานอตสาหกรรมปลอยควนทม

สารพษในระยะเวลาหนง ซงสารพษนนเปนสวนหนงของกระบวนการผลต การปลอยควนทมความ

เขมขนของสารพษสง จะมผลกระทบตอสงแวดลอมรวมทงพชผลทางการเกษตรในระยะเวลาหนง และ

ในตาแหนงทจากด ซงอาจจะเปนเนอทประมาณหนงไมลหางจากโรงงานออกไป ถาบานทเราพกอาศย

อยนนอยในทศทางทลมพดสารพษเขาไป ซงเปนทศทางทเลวรายทสดทเปนไปไดในปญหาทเราพบ จง

เปนปญหาทนาสนใจวา ควนทประกอบดวยสารพษทมความเขมขนสงสดจะใชระยะเวลาการ

แพรกระจายเทาไรจงจะแพรกระจายและถกพดพามาถงทอยทเราอาศยอย

สมมตวาไมมการเปลยนแปลงทางเคมทซบซอนเกดขนกบควนทมลกษณะการเคลอนทใน

รปแบบของการพา (advection) ของอากาศไปในทศทางตาง การเคลอนทในลกษณะการพาของอากาศ

นนเปนหลกการพนฐานของอากาศหรอมลพษถกพดพาไปในทศทางทกาหนดโดยไมตองมการ

แพรกระจายตว (diffusion) ตวอยางเชนเมฆทเคลอนทไปในระยะไกล ๆ ดวยความเรวคงทในทศทางท

กาหนดโดยไมเปลยนขนาดหรอรปรางของเมฆนน ๆ เปนตน

การสรางตวแบบทางคณตศาสตร

กาหนดให c แทน 1ความเขมขนสสารชนด 1หนงโดยตวแปรดงกลาวเปนฟงกชนของตาแหนง

1 2 3( , , )x x x 1และ1เวลา t สมมตวาสสารนนถกสงไปตามลมซงมความเรว 1 2 3( , , , )x x x tu u ทาให

อนภาค1ของสสารนนแพรกระจายในตาแหนงซงมความเขมขนสงไปยงตาแหนงหรอพนททมความเขมขน

ตา 1ในกรณท 1ไมมการแพรกระจายสมการการขนสง (transportation equation) หรอการนาพาของ

สสารจะสามารถอธบายไดจากสมการการพา (advection equation) ซงมรปแบบดงตอไปน

( ) 0c

ct

u (1.1)

3

ในบางครงโดยเฉพาะอยางยง ปญหาทางดานพลศาสตรของไหล (fluid dynamics) เราเรยกสมการ

(1.1) วาเปนสมการความตอเนอง 1(continuum equation) ถา1อนทเกรตสมการ (1.1) บนบรเวณโดเมน

D ในปรภมสามมต 3 จะได

1 2 3 1 2 3 ˆ( , , , )D D

dc x x x t dx dx dx c dS

dt u n (1.2)

โดยท D เปนขอบของ D และ n เปนเวกเตอรปกตขนาดหนงหนวย (unit normal vector) ทมทศ

พงออกจากขอบ D ในทศตามกฎมอขวา สมการท (1.2) นอธบายวาอตราการเปลยนแปลงของ

ปรมาณสารเคมหรอสารพษในโดเมน D ใดๆ มคาเทากบปรมาณกระแสหรอการไหลของสารเคมขาม

ขอบ D และถาสมการ (1.2) สาหรบโดเมน D ใดๆดงนน 1เมอ1นาลาดบของโดเมน 5 jD ซงลดลง 1

ความสมพนธ1 (1.1) 1ถา1ไมไดสนใจการแพรกระจายแลว สมการท (1.1) สามารถถกแทนทโดยสมการการ

พาในรปสมการเชงอนพนธยอย ซงมรปแบบดงน

, 1

( )a

iji j i j

c cc k

t x x

u (1.3)

โดยท ( )ijk เปนเมทรกซบวกหรอทเรยกวาการแพรกระจายของเมทรกซ จะสงเกตไดวา เมอทางขวามอ

ของสมการ (1.3) มคาเปนศนย จะเปนสมการในรปแบบเดยวกบสมการของการแพร (1.1)

ในทงสองกรณคอกรณของสมการ (1.1) และสมการ (1.3) กาหนดเงอนไขเรมตนเหมอนกน

กลาวคอมคาความเขมขน c ณ เวลาเรมตนท 0t มคาเปน

1 2 3 0 1 2 3( , , ,0) ( , , )c x x x c x x x (1.4)

เงอนไข (1.4) เปนเงอนไขเรมตน (initial condition) ทใชในการการคานวณหาคาความเขมขน

1 2 3( , , , )c x x x t ในเวลาตอ ๆ ไป หรออาจใชในกรณทตองการหาคาสงสดของความเขมขนของสารพษ

ในชวงเวลาและบรเวณทกาหนดได

4

1.2 วตถประสงคของโครงงาน

1. เพอศกษาสมการทางคณตสาสตรทใชอธบายการพาของสารพษหรอมลพษทางอากาศ

2. เพอศกษาทมาของตวแบบทางคณตศาสตรสาหรบอธบายการเคลอนทสารพษทางอากาศ ซงอย

ในรปของสมการเชงอนพนธยอย

3. เพอศกษาวธเชงตวเลขทใชแกปญหาสมการเชงอนพนธยอย ในรปของสมการและการพาใน

รปแบบตางๆ

4. เพอศกษาและใชโปรแกรมสาเรจรปในการหาผลเฉลยเชงตวเลขของสมการการพาทใชแทน

ปญหาทเกยวของกบมลพษทางอากาศ

1.3 ขอบเขตของการดาเนนงาน

ศกษาตวแบบของการเคลอนทในลกษณะการพาของมลพษ หรอสารปนเปอนในอากาศทอยใน

รปของสมการเชงอนพนธยอย โดยวธทใชเปนวธเชงตวเลข (numerical methods) ทงนในโครงงานน

ไดเลอกใชวธของสมการเชงผลตาง (finite-difference schemes) ซงเปนวธเชงตวเลขวธหนงทนยมใช

ในการแกปญหาสมการเชงอนพนธยอย โดยพจารณาปญหาเพยงทศทางเดยว หรอปญหาทเปนสมการ

เชงอนพนธยอยในหนงมต

1.4 วธดาเนนงาน

1. รวบรวมขอมลและเนอหาทเกยวของกบการพามลพษทางอากาศ

2. ศกษาเกยวกบ0ทฤษฎ 0บทของสมการเชงอนพนธสาหรบสมการการพา

3. ศกษาเกยวกบตวแบบของการเคลอนทในลกษณะการพาของมลพษ หรอสารปนเปอนในอากาศ

5

4. ศกษาและประยกตใชโปรแกรมสาเรจรปทางคณตศาสตรเพอชวยในการวเคราะหตวแบบทาง

คณตศาสตร พรอมทงแสดงผลและอธบายผลทไดจากการวเคราะหตวแบบทางคณตศาสตร

5. ปรบปรงและแกไขขอบกพรองหรอขอผดพลาดจากการวเคราะหเพอใหไดผลลพธทถกตองและ

ผดพลาดนอยทสด

1.5 ประโยชนทคาดวาจะไดรบ

1. ไดรบความรเกยวกบผลกระทบของการเคลอนทในลกษณะการพาทางอากาศ

2. สามารถใชโปรแกรมแกไขปญหาทเกยวของกบการวเคราะห ผลกระทบของการเคลอนทใน

ลกษณะการพาทางอากาศ

3. สามารถนาความรทไดรบไปประยกตและพฒนา สามารถหาตวแปรทเหมาะสมสาหรบการ

แกปญหารวมทงเปนแนวคดสาหรบการวเคราะหตวแบบหรอระบบอน ๆ ทคลายคลงกนตอไป


ความรพนฐานและตวแบบมลพษความรพนฐานและตวแบบมลพษ

2.1 บทนา

การสรางตวแบบการพาของสสารในบรรยากาศ เปนการอธบายปญหาโดยใชคณตศาสตรเพอ

จาลองปญหาของการเคลอนทของสารปนเปอนภายในบรรยากาศ

สาหรบปญหาในบทนเปนตวอยางการประยกตใชคณตศาสตรโดยตรงกบปญหาทเกยวของกบงาน

ทางดานอตสาหกรรม ผลลพธทไดใชจะแสดงใหเหนถงเทคนคพนฐานของสมการเชงอนพนธยอย (Partial

Differential Equations, PDEs) และการวเคราะหเชงตวเลขสาหรบแกปญหาดงกลาว จากงานของ

Roberts [4] และ Sutton [6] ไดแสดงการวเคราะหและตวอยางสาหรบการแกปญหาการกระจายในชน

บรรยากาศโดยมสมมตฐานเบองตนเกยวกบเงอนไขขอบประเภทตาง ๆ และการอางองพารามเตอร การ

วเคราะหปญหาเหลานเปนประโยชนอยางยงปญหาทางดานวศวกรรมและวทยาศาสตรทเกยวของกบปญหา

สงแวดลอม และมลพษสาหรบสมการเชงอนพนธยอยทสนใจในทนเปนสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบหนง

ซงใชแทนปญหาการพาของสสาร

โดยปกตแลวปญหาเกยวกบการพาของสสารหรอควนพษในโรงงานอตสาหกรรมสามารถพจารณา

ไดจากภาพท 2.1 ซงจะพบวาการเคลอนทของสารพษจะประกอบดวยสวนแรกคอ การพาของสสาร

(advection) ซงมาจากแรงลมทพดควนพษนน ๆ สาหรบปจจยตอมาไดแกการแพรหรอการฟงกระจาย

7

(diffusion) ระหวางการเคลอนทของควนพษ ซงเกดจากการไหลแบบปนปวน (turbulence) ระหวางท

ควนพษเคลอนท นอกจากปจจยทางดานการแพรและการพาแลวยงมปจจยอน ๆ อก จากภาพ 2.1 พบวาม

ปจจยอกประการหนงทสงผลกบลกษณะการพาของควนพษจากโรงงานอตสาหกรรมคอ แรงดงดดของโลก

(gravity) ซงมผลทาใหควนพษเคลอนทตาลง (deposition) ซงจะทาใหผคนทอาศยอยใกลโรงงาน

อตสาหกรรมรบผลจากปญหามลพษจากโรงงานอตสาหกรรม

ภาพท 2.1 ลกษณะการแพรและการพาของสารพษในอากาศจากโรงงานอตสาหกรรม (ภาพจาก [5])

สาหรบการศกษาในโครงงานน เราจะสนใจเฉพาะกรณของการพาของควนพษ ซงเปนปญหาหนงท

กลาวมาแลวขางตน โดยเรมจากการพจารณาตวแบบของการพาในรปของสมการเชงอนพนธยอยในหนงมต

โดยอธบายทมาและความหมายของสมการ จากนนจงกลาวถงวธการหาคาตอบเชงวเคราะหของสมการ

ดงกลาว

8

2.2 พนฐานสมการเชงอนพนธยอย

ปญหาทสาคญทางดานวทยาศาสตรและวศวกรรมศาสตร สมการความสมพนธหรอตวแบบทาง

คณตศาสตรสวนใหญจะอยในรปของสมการเชงอนพนธ โดยเฉพาะอยางยงในรปของสมการเชงอนพนธยอย

ตวอยางเชนปญหาทางดานความรอน สมการความสมพนธจะอยในรปสมการความรอน (heat equation)

ซงกาหนดใหอณหภมเปนฟงกชนของพกดของจดตาง ๆ ในปญหาทเรากาลงศกษา

สมการเชงอนพนธยอยหมายถง สมการทประกอบดวยอนพนธยอยของฟงกชนไมทราบคา โดยท

ฟงกชนไมทราบคานเปนฟงกชนของตวแปรอสระมากกวาหนงตวแปร ซงปญหาทางวทยาศาสตรสวนมากจะ

บรรยายความสมพนธในรปของสมการอนพนธยอยอนดบหนงและอนดบสอง

ถาให u เปนฟงกชนของสองตวแปรอสระคอ x และ y สามารถเขยนอนพนธยอยอนดบทสองได

สามแบบไดแก

2 2

2,u u

x yx

และ 2

2.u

y

หมายเหต กรณท u และอนพนธยอยอนดบทสองเปนฟงกชนตอเนองและหาคาไดแลว 2 2u u

x y y x

เราสามารถเขยนสมการเชงอนพนธยอยอนดบสองเชงเสนทมตวแปรอสระ 2 ตวคอ x และ y โดยท

สมประสทธเปนคาคงทไดในรป

2 2 2

2 2( , )u u u u uA B C D E Fu G x y

x y x yx y

เมอ ( , ) 0G x y เราเรยกสมการขางตนวาสมการเอกพนธ (homogeneous equation)

9

เราสามารถแบงชนดของสมการเชงอนพนธยอยอนดบสองวาเปน อลลปตก (elliptic), พาราโบลก

(parabolic) หรอ ไฮเพอรโบลก (hyperbolic) โดยพจารณาจากคาสมประสทธของเทอมตาง ๆ ของ

อนพนธยอยอนดบสอง (คา A , B และ C ) ซงพจารณาไดจากคา 2 4B AC ดงน

1) ถา 2 4 0B AC เปนสมการอลลปตก

2) ถา 2 4 0B AC เปนสมการพาราโบลก

3) ถา 2 4 0B AC เปนสมการไฮเพอรโบลก

ตวอยางของสมการเชงอนพนธยอยอนดบทสองพนฐานทเราควรรจก ไดแก

2

22

u uktx

(2.1)

2 2

22 2

u uax t

(2.2)

2 2

2 20u u

x y

(2.3)

สมการ (2.1) สามารถแทนสมการความรอนในหนงมต (one-dimensional heat equation) ซงเปน

สมการพาราโบลก สาหรบสมการ (2.2) สามารถแทนสมการคลนในหนงมต (one-dimensional wave

equation) ซงเปนสมการไฮเพอรโบลก สวนสมการ (2.3) เรยกวาสมการลาปลาซในสองมต (Laplace’s

equation in two dimensions) ซงเปนสมการอลลปตก โดยในโครงงานนเราจะศกษาเฉพาะสมการลา

ปลาซในสองมตเทานน

นอกจากนเงอนไขของปญหาสามารถแบงประเภทของสมการเงอนไขของปญหา ไดเปน 2 ประเภท

หลก ๆ คอ ปญหาคาเรมตน (initial value problem) และ ปญหาคาขอบ (boundary value problem)

ถาเรากาหนดสมการเชงอนพนธอนดบ n ในรป

( )( , , , ,..., ) 0nF x y y y y (2.4)

10

ปญหาคาเรมตนคอ ปญหาทประกอบดวยสมการเชงอนพนธ (2.4) และ เงอนไขซงกาหนดคาของ

ตวแปรตามและอนพนธอนดบตาง ๆ ของตวแปรตามจากตวแปรอสระทจดเดยวกน และเรยกเงอนไขเหลาน

วา เงอนไขคาเรมตน (initial condition) ถามเงอนไขจานวน n เงอนไข เงอนไขคาเรมตนจะอยในรป

( 1)0 0 0 1 0 1( ) , ( ) , ... , ( )n

ny x k y x k y x k

เมอ 0 0 1 1, , , ..., nx k k k เปนคาคงท

ปญหาคาขอบคอ ปญหาทประกอบดวยสมการเชงอนพนธ (2.4) และเงอนไขทกาหนดคาตวแปร

ตาม และอนพนธอนดบตาง ๆ ของตวแปรตามจากตวแปรอสระ ณ จดทตางกน และเราเรยกเงอนไข

ประเภทนวา เงอนไขคาขอบ (boundary condition) เชน เงอนไขทอยในรป

0 0 1 1( ) , ( )y x k y x k เมอ 0 1, ,x x 0k และ 1k โดยท 0 1x x

เมอสมการ (2.4) เปนสมการเชงอนพนธอนดบทสอง ตวอยางเชน

3 23 2

23 6 6 0;d y d y dyx x x y

dx dxdx (2) 0, (2) 2, (2) 6y y y

เปนปญหาคาเรมตน

2 3 xy y y e ; (0) 1, (1) 2y y

เปนปญหาคาขอบ และสาหรบสมการ

2 2

2 26 4 sinu u u x

xx y

โดยท (0, ) 0,u y 1

4x

ux

( ,1) 0,u x 1

x

y

u ey

เงอนไขทจด x คอเงอนไขคาขอบ และเงอนไขทจด y คอเงอนไขคาเรมตน

11

โดยทวไปเงอนไขคาขอบสามารถกาหนดได 3 รปแบบคอ

(1) ,u (2) u

และ (3) u hu

เมอ h เปนคาคงท สาหรบเงอนไขคาขอบแบบท (1) เรยกวา เงอนไขดรเคล (Dirichlet condition) เชน

0( , )u L t u เมอ 0u เปนคาคงท สวนเงอนไขคาขอบแบบท (2) เรยกวา เงอนไขนอยมนน (Neumann

condition) โดยท คอตวแปรอสระของ u เชน

0x L

ux

หรอ ( ,0) 0xu L

สวนเงอนไขคาขอบแบบท (3) เรยกวา เงอนไขโรบน (Robin condition) เชน

( ( , ) )mx L

u h u L t ux

เมอ 0h และ mu เปนคาคงท

2.3 สมการการพา (The Advection Equation)

ในกรณทวไปของสมการการพามรปแบบ คอ

( ) 0c ct

u (2.5)

ในกรณของปญหาทางด านการพาของมลพษหรอสารพษในอากาศค า c แทนความเขมขน

(concentration) ของสารพษหรอสสาร และ ( , , , )u x y z tu แทนความเรวทใชในการทาใหสสาร

เคลอนทไปในอากาศตามทศทางของเวกเตอร u สาหรบในหวขอน เราจะอธบายความหมายของสมการ

สาหรบการพาสสารของอากาศในหนงมต ซงในทน สมมตใหความเรวของลมทพดพาสสารนนมเพยงในทศ

12

ของแกน x เทานน ดงนนความเรวสามารถกาหนดไดโดย ( , 0, 0)uu และสมการการพาใน (2.5)

สามารถลดรปไดเปน

( )

0ucc

t x

(2.6)

เมอ ( )u u x แทนความเรวตามแนวแกน x เราเรยกวาสมการ (2.6) วาเปนสมการการพาของสสารใน

อากาศ ในหนงมตตามแนวแกน x นอกจากนนกาหนดคา c ณ เวลาเรมตนทเวลา 0t ซงเปนคา

เรมตนทขนอยกบตวแปร x เทานน นนคอ

0( , 0) ( ), -c x c x x (2.7)

เพอแกปญหา (2.6)-(2.7) ไดเขยน (2.6) ใหมในรปแบบ

( , ) ( )x

c cu x t f f u ct x

(2.8)

โดยกาหนดให ( )u x เปนฟงกชนทหาอนพนธไดโดยมอนพนธเปนฟงกชนตอเนองนนคอ ( )xduudx

เปน

ฟงกชนตอเนอง

พจารณาสมการอนพนธ

0

( ), 0

(0)

dx u x tdtx x

(2.9)

และกาหนดให ( )x t เปนคาตอบของสมการ (2.9) เขยนแทนดวย 0( ; )x x t ทางเรขาคณต 0( ; )x x t เปน

เสนโคง 0x ทผานจด 0( ,0)x เราสามารถแสดงไดวา 0( , )x x t เปนฟงกชนทหาอนพนธไดจรงเทยบกบ

พารามเตอร 0x และอนพนธ

0

0

( ; )( )

x x tz t

x

13

สอดคลองกบปญหา

0( ( ; )) , (0) 1xdz u x t x z zdt

กาหนดใหฟงกชน

0( ( ; ), )c x t x t

เปนฟงกชนของตวแปร t เราหาอนพนธของ c เทยบกบตวแปร t จะได

0( ( ; ))xdc c c dx c cU f U x t x cdt t x dt t x

หรอ

0ln ( ( ; ))xd c U x t xdt

ไดเปนไปตามสมการ

0 0 0 00

( ( ; ), ) ( )exp ( ( ; ))t

xc x t x t c x U x s x ds (2.10)

โดยทสญลกษณ /d dt แทนการหาอนพนธตามแนวเสนโคง 0x ตามคาพารามเตอร t

ไดแสดงใหเหนวาคาตอบของ (2.6)-(2.7) จะตองหาคาตอบจากสมการ (2.10) ในทางกลบกน

สามารถแสดงใหเหนวา ถาเสนโคง 0( ( ; ), )x t x t อยบนสวนบนของระนาบ ( , )x y นนคอ 0t แลวดาน

ขวามอของ (2.10) เปนคาตอบของ (2.6)-(2.7)

บทนยาม 2.1 เสนโคง (2.9) เรยกวาเสนโคงลกษณะเฉพาะ (characteristic curve) ของสมการ

(2.8) วธทอธบายขางตนในการคานวณคาตอบ c เรยกวาวธเสนโคงลกษณะเฉพาะ

(method of characteristic)

14

ในหวขอตอไปนจะแสดงวธการหาคาตอบของสมการการพา (2.6) โดยกาหนดเงอนไขเรมตน (2.7) โดยใชวธ

เชงวเคราะห ทงนเพอทจะใชเปรยบเทยบผลกบวธเชงตวเลขทจะกลาวถงในบทตอไป

2.4 การหาคาตอบเชงเคราะหของสมการการพา

ในหวขอนเราจะอธบายการหาคาตอบทวไปของสมการการพาโดยมรปแบบ คอ

( )0

cct x

u

เมอ c แทนคาความเขมขนของสารพษหรอสสาร และ ( , , )u x y zu แทนความเรวทใชในการทาให

สสารเคลอนทไปในอากาศตามทศทางของเวกเตอร u

ตวอยางท 2.3.1 หาคาตอบของสมการ

0c ct x

(ความเรว 1u ) (2.11)

เมอกาหนดคาเรมตน

2sin ( 2); 2 1 or 1 2

( ,0)0; otherwise

x x xc x

(2.12)

วธทา กาหนดให ( ( ), )c c x t t โดยใชกฎลกโซจะได

0dc c dx c

dt t dt x

จาก (2.11) เปรยบเทยบคาตาง ๆ จากกฎลกโซขางตน จะได

1dxdt

(2.13)

15

และ

0dcdt

(2.14)

พจารณาสมการ (2.13) จะได

x t

เมอ เปนคาคงทใด ๆ

จากการจดรปสมการจะได x t ดงนน x t จงเปนคาคงท และสามารถสรปได

เชนเดยวกนวา สาหรบฟงกชน f ใด ๆ ฟงกชนในรป ( )f x t จะเปนคาคงทดวยเชนเดยวกน พจารณา

สมการ (2.14) จะได 0dcdt

และคาตอบของสมการคอ

c

เมอ เปนคาคงท ดงนนโดยไมเสยนยสาคญ เรากาหนดให

( , ) ( )c x t f x t

และจากคาเรมตนใน (2.12) จะได

2sin ( 2); 2 1 or 1 2( , ) ( )

0; otherwise

x t x t x tc x t f x t

ซงสามารถสรปไดวา ฟงกชน c ขางตนเปนคาตอบของปญหา (2.11) โดยมเงอนไขเรมตน (2.12)

ตวอยางท 2.3.2 หาคาตอบของสมการ

0c cut x

(ความเรว u U ) (2.15)

เมอกาหนดคาเรมตน

2sin ; 0( ,0)

0; otherwise

x xc x

(2.16)

16

วธทา กาหนดให ( ( ), )c c x t t โดยใชกฎลกโซจะได

dc c dx cdt t dt x

จาก (2.15) เปรยบเทยบคาตาง ๆ จากกฎลกโซขางตน จะได

dx Udt

(2.17)

และ

0dcdt

(2.18)

พจารณาสมการ (2.17) จะได

x Ut

เมอ เปนคาคงทใด ๆ

จากการจดรปสมการจะได x Ut ดงนน x Ut จงเปนคาคงท และสามารถสรปได

เชนเดยวกนวา สาหรบฟงกชน f ใด ๆ ฟงกชนในรป ( )f x Ut จะเปนคาคงทดวยเชนเดยวกน

พจารณาสมการ (2.18) จะได 0dc และคาตอบของสมการคอ

c

เมอ เปนคาคงท ดงนนโดยไมเสยนยสาคญ เรากาหนดให

( , ) ( )c x t f x Ut

และจากคาเรมตนใน (2.16) จะได

2sin ; 0

( ,0) ( )0; otherwise

x xc x f x

ดงนน

2sin ( ); 0

( , ) ( )0; otherwise

x Ut x Utc x t f x Ut

ซงสามารถสรปไดวา ฟงกชน c ขางตนเปนคาตอบของปญหา (2.15) โดยมเงอนไขเรมตน (2.16)


วธวเคราะหและวธวเคราะหและวธเชงตวเลขสาหรบตวแบบการพาของมลพษวธเชงตวเลขสาหรบตวแบบการพาของมลพษ

3.1 บทนา

ในบทนเราจะกลาวถงวธการคานวณหาคาตอบของสมการการพาโดยวธเชงตวเลข พรอมทงวเคราะห

ความเสถยรวธเชงตวเลข ซงการคานวณหาคาตอบโดยวธเชงตวเลขในทน เราจะใชวธผลตางจากด (finite

difference methods) ในการประมาณคาคาตอบของสมการการพา โดยปกตแลววธผลตางจากดสาหรบ

หาคาตอบของสมการเชงอนพนธยอยมหลายวธ ในทนเราจะเลอกบางวธทเปนทนยมในการแกปญหาสมการ

การพา ซงไดแก

วธท 1 ใชรปแบบ Upwind Scheme

วธท 2 ใชรปแบบ Forward Time Centered Space (FTCS)

วธท 3 ใชรปแบบ Lax Method

จดประสงคหลกของบทนเราจะไดแสดงรปแบบการคานวณเชงตวเลข 3 วธขางตน พรอมทงแสดงภาพการ

แบงกรด (grid points) หรอชวงยอยเพอใชในการคานวณเชงตวเลขสาหรบแตละวธ ตลอดจนวเคราะหหา

เงอนไขของพารามเตอรเกยวกบความกวางของกรด ซงประกอบดวยความกวางของชวงยอย (sub-

intervals) สาหรบปรภมและความกวางของชวงยอยสาหรบเวลาวามผลกบความเสถยรของวธเชงตวเลขทง

สามอยางไร

18

3.2 วธเชงตวเลขสาหรบสมการการพาในหนงมต

ในทนเราจะแสดงวธเชงตวเลขทจะใชในการคานวณคาตอบเชงตวเลขสาหรบสมการ

0( , ) 0, ( , 0) ( )c cu x t c x c xt x

(3.1)

โดยใชวธผลตางจากด (finite different methods) ซงในการคานวณโดยใชวธผลตางจากดนน ขนตอนแรก

จะตองทาการแบงขอบเขตของคาปรภม x เปนชวงยอยจานวน X ชวง เพอความสะดวกเราจะแบงใหชวง

เทากน โดยแตละชวงมความยาวเปน x ในทานองเดยวกนในแตละชวงเวลากาหนดชวงยอยมความยาว

เปน t โดยเรมจาก 0t ถง endt โดยการใชวธผลตางจากด กอนอนเราจะแนะนาเซตของจดแลตทซ

(lattice points) บนระนาบ x t โดยกาหนดให

0jx x + j x

และ 0nt t + n t

โดยท 0, 1, 2,j

และ

0,1,2,3,n

เมอ 0 0( , )x t เปนจดเรมตน ดงนน

0 0( , ) ( , )j nc x t c t j x t n t

ถาจดเรมตน 0 0( , ) (0,0)x t จะได ( , ) ( , )j nc x t c j x n t ซงในโครงงานนเราจะพจารณา

จดเรมตนทจดดงกลาว ในขนตอนตอไปเราจะแสดงวธ (schemes) ตาง ๆ ของการคานวณปญหา (3.1) โดย

ใชวธเชงตวเลขทงสามทกลาวมาแลวขางตน

3.2.1 วธเชงตวเลขแบบ Upwind scheme

5

กาหนด5ให ( , )njc c j x n t

และประมาณอนพนธยอยเทยบกบตวแปรเวลา t โดย

( ,( 1) ) ( , )c j x n t c j x n tct t

1n n

j jc c

t

(3.2)

19

และประมาณคาอนพนธยอยเทยบตวแปรสถานะ x ดวย

( , ) (( 1) , )c j x n t c j x n tcx x

1n nj jc c

x

(3.3)

เมอแทนคา ct

และ cx

จากสมการ (3.2)-(3.3) ลงใน (3.1) จะไดสมการเชงผลตางในรป

11 0

n n n nj j j jn

j

c c c cu

t x

หรอจดรปใหมไดเปน

11( )

njn n n n

j j j j

u tc c c c

x

(3.4)

ซงสมการ (3.4) เปนสมการเชงผลตางในรปแบบชด (explicit form) เนองจาก (3.2) เปนการประมาณคา

ของอนพนธยอยเทยบกบเวลา ct

ดวยคาของ 1njc และ n

jc โดยเปนการประมาณคาทเวลา ( )n t

และ ( 1)n t ซงหมายถงการประมาณคาโดยเพมเวลาขน (forward time) และสาหรบการประมาณ

คา cx

เราใชคา c ท ( )jx j x และ 1 ( 1)jx j x อนหมายถงใชปรภ มยอนหลง

(backward space) ดงนนวธนอาจเรยกชอไดเปน forward time backward space (FTBS) แตโดยทวไป

วธนไดถกเรยกชอวาวธ Upwind Scheme

จาก (3.4) คาเรมตนของ ( , 0)c x ในสมการ (3.1) เราเขยนแทนดวย 0jc สวนการหาคา c ในเวลา

ถดไปซงเขยนแทนดวย 1njc

นน เราจาเปนตองทราบคาของ c ณ ตาแหนง n

jc และ 1njc ดงแสดงใน

ภาพท 3.1

20

ภาพท 3.1 จดกรดสาหรบการคานวณโดยวธ Upwind Scheme

ภาพท 3.1 แสดงจดตาง ๆ บนเสนกรดเพอใชในการคานวณซา (iteration) จากภาพเราตองการคา

ณ ตาแหนง njc และ 1

njc

เพอใชคานวณคาของ 1njc

3.2.2 วธเชงตวเลขแบบ Forward Time Central Space (FTCS)

5 กาหนด5ให ( , )njc c j x n t

และประมาณอนพนธยอยเทยบกบตวแปรเวลา t จะไดรปแบบ

ดงสมการ (3.2)

และประมาณคาอนพนธยอยเทยบตวแปรสถานะ x ดวย

(( 1) , ) (( 1) , )2

c j x n t c j x n tcx x

1 1

2

n nj jc c

x

(3.5)

จากสมการการพา (3.1) แทน ct

จากสมการ (3.2) และ cx

จากสมการ (3.5) ลงในสมการจะได

11 1

2

n n n nj j j jn

j

c c c cu

t x

21

หรอจดรปใหมจะไดเปน

11 1( )

2

njn n n n

j j j j

u tc c c c

x

(3.6)

ซงสมการ (3.6) เปนสมการเชงผลตางในรปแบบชด (explicit form) เนองจาก (3.2) เปนการประมาณคา

ของอนพนธยอยเทยบกบเวลา ct

ดวยคาของ 1njc และ n

jc โดยเปนการประมาณคาทเวลา ( )n t

และ ( 1)n t ซงหมายถงการประมาณคาโดยเพมเวลาขน (forward time) และสาหรบการประมาณ

คา cx

เราใชคา c ท ( )jx j x , 1 ( 1)jx j x และ 1 ( 1)jx j x ซงหมายถง

เราไดใชปรภมยอนหลง (backward space) เพอประมาณคา ดงนนวธนอาจเรยกชอไดเปนวธ forward

time backward space แตโดยทวไปวธนไดถกเรยกชอวาวธ Upwind Scheme

จากความสมพนธในสมการ (3.6) กาหนดคาเรมตนทเวลา 0t คอ ( , 0)c x จากสมการ (3.1)

เราเขยน ( , 0)c x แทนดวย 0jc สวนการหาคา c ในเวลาถดไปซงเขยนแทนดวย 1n

jc

เราจาเปนตอง

ทราบคาของ c ณ ตาแหนง njc

, 1

njc และ 1

njc ดงภาพท 3.2 ซงแสดงจดกรดเพอใชในการคานวณซา

ภาพท 3.2 จดกรดสาหรบการคานวณโดยวธ Forward Time Central Space (FTCS)

22

3.2.3 วธเชงตวเลขแบบ Lax Method

จากวธเชงตวเลขแบบ Forward Time Central Space (FTCS) มความไมเสถยรจงไดนามาเปลยน

รปแบบการประมาณคา njc ดวย

1 11( )2

n n nj j jc c c (3.7)

แทนคาประมาณจาก (3.7) ลงในสมการ (3.6) จะไดวธเชงตวเลข

11 1 1 1

1( ) ( )2 2

njn n n n n

j j j j j

u tc c c c c

x

(3.8)

ซงสมการ (3.8) เปนสมการเชงผลตางในรปแบบชดเชนเดยวกบสองวธทกลาวมาแลวขางตน วธเชงตวเลขใน

สมการ (3.8) นนเปนวธทพฒนามาจากวธ Forward Time Central Space โดยวธดงกลาว เราเรยกวธ

ปรบปรงของ Forward Time Central Space ซงในบางครงเราเรยกวธ Lax Method โดยวธดงกลาวเปน

วธทมความเสถยรเมอกาหนดเงอนไขของคาพารามเตอรทเหมาะสม สาหรบวธการวเคราะหความเสถยรของ

วธ Lax Method รวมทงการตรวจสอบความเสถยรของสองวธทเหลอจะไดกลาวถงในหวขอตอไป

จากสมการ (3.8) คาเรมตนของ ( , 0)c x ในสมการ (3.1) เราเขยนแทนดวย 0jc สวนการหาคา c

ในเวลาถดไป, 1njc , เราจาเปนตองทราบคาของ c ณ ตาแหนง 1

njc และ 1

njc ดงภาพท 3.3 เพอใชใน

การคานวณซา

23

ภาพท 3.3 จดกรดสาหรบการคานวณโดยวธ Lax Method

3.3 การวเคราะหความเสถยรของวธเชงตวเลข

ในหวขอนจะกลาวถงวธการตรวจสอบและหาเงอนไขของความเสถยรสาหรบวธเชงตวเลขใน

รปแบบตาง ๆ ทไดกลาวมาแลวในหวขอทผานมาไดแก Forward Time Centered Space (FTCS),

Upwind Scheme, Lax Method โดยใชการวเคราะหความเสถยรของฟเรยร-ฟอน นอยมนน (Fourier /

Von Neumann Stability Analysis)

ในการวเคราะหความเสถยรทาไดดวยวธการแทนคาคาตอบทดลอง (trial solution) เพอทจะดวา

คาตอบทดลองนนมคาเพมขนหรอลดลงแบบมขอบเขตหรอไม โดยคาตอบทดลองจะอยในรป

( , ) ( ) ik xc x t z t e เมอ 1i (3.9)

จาก (3.9) ฟงกชน ( )z t เปนปจจยการเพมขน (growth factor) ซงจะเปนตวทชบอกวา เมอ t คา

ของ c ลเขาหรอไมลเขา และ ikxe เปนสวนประกอบของฟงกชนทดลอง ซงมขนาดจากด ฟงกชนขางตน

เปนเพยงสวนประกอบฟเรยร (Fourier component) ของคาตอบเชงวเคราะห และบนจด กรดจะได

24

( ) ( )0

n ik j x n ik j xj nc z e z e (3.10)

เมอ เปนแฟกเตอรแอมพลจด (amplifaction foctor) โดยท

1n nz z (3.11)

การวเคราะหความเสถยรของ ฟอน นอยมนน ทาไดดวยการแทนคาคาตอบทดลองและตรวจสอบ

วา อยระหวาง 1 และ 1 หรอไมนนคอ เราจะตองตรวจสอบเพอหาเงอนไขททาให 1

3.3.1 การวเคราะหเงอนไขความเสถยรของวธ Upwind scheme

ในการวเคราะหความเสถยร โดยการแทนคา (3.10) และ (3.11) ลงใน Upwind scheme และจด

รปจะได

1 (1 )ik xe

เมอ

nj

tux

และจาเงอนไขโดยยกกาลงสองทงสองขาง และจดรปจะได

2 2 2[(1 ) cos( )] [ sin( )]k x k x

2 2(1 ) 2 (1 )cos( )k x

1 2 (1 )(1 cos( ))k x

ดงนน

2 21 4 (1 )sin ( / 2)k x

25

จากสมการขางตน คาของ ( ) 1k สาหรบทก k เมอ 1 ดงนนวธ Upwind scheme จะมความ

เสถยรเมอ 1nj

tux

(เมอ 0nju )

3.3.2 การวเคราะหเงอนไขความเสถยรของวธ Forward Time Central Space Method

การวเคราะหทาไดเชนเดยวกบในกรณทผานมา เมอแทนคา (3.9) และ (3.11) ใน Forward Time

Central Space Method

11 1( )

2

njn n n n

j j j j

u tc c c c

x

จะไดวา

( ) ( )n ik j x n ik j xj nc z e e

กาหนดให

/nju t x

ดงนนจะไดความสมพนธ

( ) ( ) ( 1) ( 1)1 { }

2ik j x ik j x ik j x ik j x

n n n ntz e z e z e z ex

( ){1 [ ]}2

ik j x ik x ik xn

tz e e ex

( ){1 sin( )}ik j xn

tz e i k xx

เนองจาก 0n

nz z ดงนน

1 sin( )nju t

i k xx

26

หาขนาดของ จะได

2 21 ( ) sin ( )nju t

k xx

จากสมการขางตนพบวา 1 เสมอยกเวนกรณ k x n ซงจะทาให 1 ดงนน Forward

Time Central Space Method เปนวธทไมเสถยร

3.3.3 การวเคราะหเงอนไขความเสถยรของวธ Lax Method

เชนเดยวกบการวเคราะหในหวขอ 3.3.1 และ 3.3.2 โดยการแทนคา (3.9) และ (3.11) ลงใน Lax

Method

11 1 1 1

12 2

njn n n n n

j j j j j

u tc c c c c

x

จะได

( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1

1 ( ) ( )2 2

njik j x ik j x ik j x ik j x ik j x

n n n n

u tz e z e z e zne z e

x

( ) 1 ( ) ( )2 2

njik j x ik x ik x ik x ik x

n

u tz e e e e e

x

หาคา จะไดวา

cos( ) sin( )

nju t

k x i k xx

ดงนน

2 2 2cos ( ) ( ) sin ( )nju t

k x k xx

27

เงอนไขของความเสถยรเกดเมอ 1 ดงนนเงอนไขความเสถยรคอ

2 2 2cos ( ) ( ) sin ( ) 1nju t

k x k xx

ซงเปนจรงเมอ

0nj

tux

กลาวโดยสรปจะไดวา Lax Method จะเสถยรในถา nj

xtu

เมอ 0nju

3.4 สรปเงอนไขความเสถยรของวธเชงตวเลขแบบตาง ๆ ของสมการการพา

3.4.1 ความเสถยรของรปแบบ Upwind scheme

รปแบบของวธเชงตวเลข

11(1 )n n n

j j jc c c

เมอ nju t

x

โดยจะไดเงอนไขของความเสถยร คอ 0 1

3.4.2 ความเสถยรของรปแบบ Forward Time Centered Space (FTCS)


11 1( )

2n n n nj j j jc c c c

เมอ nj

tux

เปนวธทไมเสถยร

28

3.4.3 ความเสถยรของรปแบบ Lax method


11 1 1 1

12 2

njn n n n n

j j j j j

u tc c c c c

x

เงอนไขของความเสถยร nju t x


คาตอบเชงวเคราะหและคาตอบเชงตวเลขของสมการการพาคาตอบเชงวเคราะหและคาตอบเชงตวเลขของสมการการพา

4.1 บทนา

ในบทนเราจะแสดงตวอยางคาตอบของสมการการพาในกรณตางๆ โดยเปรยบเทยบผลระหวาง

คาตอบเชงวเคราะหและคาตอบเชงตวเลข โดยสาหรบคาตอบเชงตวเลขทจะแสดงผลในทนจะแสดงวธการ

คานวณเชงตวเลขสามวธไดแก Upwind Scheme, Forward Time Central Space (FTCS) และ Lax

Method โดยใชคาระยะหางของชองกรดและคาพารามเตอรตางๆทสอดคลองกบเงอนไขความเสถยร ดงท

ไดแสดงไวในบทท 3 นอกจากนนเราจะทาการเปรยบเทยบคาผดพลาดของการคานวณแตละวธดวย

โปรแกรมสาเรจรปทางคณตศาสตร Matlab®

เพองายตอการแกไขปญหาและแสดงกราฟของคาตอบ

4.2 คาตอบเชงเคราะหของสมการการพา

ในหวขอนเราจะอธบายการหาคาตอบทวไปของสมการการพาโดยมรปแบบ คอ

( , ) 0c cu x tt x

เมอ c แทนคาความเขมขนของสารพษหรอสสาร และ ( , )u x t แทนความเรวทใชในการทาใหสสาร

เคลอนทไปในอากาศตามทศทางในแนวแกน x โดยพจารณากรณศกษาสองปญหาตอไปน

30

ปญหาท 1 หาคาตอบของสมการการพาเมอ u เปนคาคงทกาหนดโดย ( , ) 2u x t จะได

2 0c ct x

โดยกาหนดคาเรมตน

( , 0) 20 5 sin( )c x x

วธทา หาคาตอบของเสนโคงลกษณะเฉพาะ จากสมการ

2dxdt

จะได

* 2x x t

เพอใหมลกษณะเปนเสนตรงบนระนาบ ( , )x t ดงนนการแกปญหาคอ

* 0( , ) ( , 0) ( 2 )c x t c x c x t

จากนนในเวลาตอมาเราจะได

( , ) 20 5 sin( 2 )c x t x t

ณ เวลา t จะมศนยกลางอยท 2x t ในภาพท 4.1 แสดงคาตอบเชงวเคราะหของปญหาท 1

ภาพท 4.1 คาตอบของสมการในปญหาท 1

-5

0

5

01

2

34

15

20

25

xt

u

31

ปญหาท 2 พจารณาปญหา

2(1 ( ) ) 05

c x ct x

โดยกาหนดคาเรมตน

10( ,0) (5 tan ( ) )

5xc x c t

วธทา วธการแกสมการทาไดโดยการหาคาตอบของ

2(1 ( ) )

5dx xdt

โดยการอนทเกรตทงสองขาง จะได

1

*5 tan ( )5x t x

และเมอแทนคาเรมตน จะได

1* 0( , ) ( , 0) (5 tan ( ) )

5xc x t c x c t

ตรวจคาตอบซงจะชวยใหวธการแกสมการเชงอนพนธยอยในสวนของเงอนไขเรมตน

1, 20 5 sin(5 tan ( ) )5xc x t t

ในกรณรปแบบเบองตนเมอเลอนไปทางขวาจะไดเหนวาไมเสถยร (ดงภาพดานลาง) ความเรวตงแต ( , )u x t

ไมใชคาคงท

ภาพท 4.2 คาตอบของสมการในปญหาท 2

-5

0

5

01

23

415

20

25

xt

u

32

4.3 คาตอบเชงตวเลข

ในหวขอนเราจะแสดงตวอยางการหาคาตอบของสมการการพาโดยใชวธเชงตวเลข ไดแก วธ

Forward Time Central Space (FTCS), Upwind Scheme และ Lax Method สาหรบคาผดพลาดจะ

แสดงในหวขอถดไป

4.3.1 คาตอบเชงตวเลขโดยวธ Upwind Scheme สาหรบปญหาท 1

หาคาตอบเชงตวเลขของสมการ

( , ) 0c cu x tt x

(4.1)

โดยมเงอนไขเรมตน คอ

( , 0) 20 5 sin( )c x x (4.2)

จากหวขอ 4.1 จะพบวา คาตอบจรงของ (4.1)-(4.2) จะได

( , ) 20 5 sin( )c x t x t (4.3)

โดยวธ Upwind scheme ไดผลดงตาราง 4.1 ภาพท 4.3

ตารางท 4.1 คาตอบเชงตวเลขของปญหาท 1 โดยวธ Upwind Scheme

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 23.7840 19.2944 15.4535 15.7926 20.0000 24.2074 24.5465 20.7056 16.2160 15.2054

1 24.9767 24.5486 22.6898 19.4176 16.8986 17.2543 20.1356 22.8923 22.9898 15.0000

2 24.9996 24.9838 24.8134 24.0368 22.1768 19.6426 17.9093 18.2151 20.1820 15.0000

3 25.0000 24.9996 24.9913 24.9199 24.5865 23.6418 21.9189 19.9045 18.6388 15.0000

4 25.0000 25.0000 24.9997 24.9957 24.9649 24.8189 24.3590 23.3525 2.7985 15.0000

xt

33

จะวาดกราฟความสมพนธระหวาง ,x t และ c ในภาพตอไปน

ภาพท 4.3 คาตอบเชงตวเลขของปญหาท 1 โดยวธ Upwind Scheme

และเมอวาดกราฟความสมพนธระหวาง x และ c เมอเวลา t ตอๆกนจะไดผลดงภาพท 4.4

ภาพท 4.4 คาตอบเชงตวเลขระหวาง x และ c ของปญหาท 1 โดยวธ Upwind Scheme ณ เวลา t ตาง ๆ

-5

0

5

01

2

34

15

20

25

xt

u

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

0t

2t

1t

4t

34

4.3.2 คาตอบเชงตวเลขโดยวธ Forward Time Central Space (FTCS) สาหรบปญหาท 1


0c cut x

(4.4)


( , 0) 20 5 sin( )c x x (4.5)


( , ) 20 5 sin( )c x t x t (4.6)

โดยวธ Forward Time Central Space (FTCS) ไดผลดงตาราง 4.2 ภาพท 4.5

ตารางท 4.2 คาตอบเชงตวเลขของปญหาท 1 โดยวธ Forward Time Central Space (FTCS)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 23.7840 19.2944 15.4535 15.7926 20.0000 24.2074 24.5465 20.7056 16.2160 15.2054

1 24.8950 25.7380 23.8340 18.7527 14.8364 15.6679 20.4817 24.8119 23.8776 15.0000

2 25.1928 24.5979 25.1568 26.3834 23.8198 18.0374 13.3110 11.2025 11.0842 15.0000

3 24.8716 25.1388 25.1837 23.9973 24.8200 23.1626 14.1741 5.7168 6.9614 15.0000

4 24.9799 24.9945 23.7193 22.2690 15.7271 11.2507 18.7438 27.2765 25.5700 15.0000


xt

35

ภาพท 4.5 คาตอบเชงตวเลขของปญหาท 1 โดยวธ Forward Time Central Space (FTCS)


ภาพท 4.6 คาตอบเชงตวเลขระหวาง x และ c ของปญหาท 1 โดยวธ Forward Time Central Space (FTCS)

ณ เวลา t ตาง ๆ

-5

0

5

01

2

340

10

20

30

40

xt

u

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 514

16

18

20

22

24

26

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 510

15

20

25

30

35

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 510

15

20

25

30

35

40

x

c

0t

2t

1t

4t

36

4.3.3 คาตอบเชงตวเลขโดยวธ Lax Method สาหรบปญหาท 1


0c cvt x

(4.7)


( , 0) 20 5 sin( )c x x (4.8)


( , ) 20 5 sin( )c x t x t (4.9)

โดยวธ Lax Method ไดผลดงตาราง 4.3 และภาพท 4.7

ตารางท 4.3 คาตอบเชงตวเลขของปญหาท 1 โดยวธ Lax Method

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 23.7840 19.2944 15.4535 15.7926 20.0000 24.2074 24.5465 20.7056 16.2160 15.2054

1 24.3689 23.3527 22.0736 20.8252 19.9621 19.6819 19.8213 19.7950 18.6457 15.0000

2 24.7636 24.3558 23.7643 23.0198 22.1923 21.3594 20.5398 19.5950 18.0857 15.0000

3 24.8954 24.7074 24.4130 23.9973 23.4537 22.7754 21.9237 20.7512 18.8244 15.0000

4 24.9079 24.8535 24.6971 24.4592 24.1151 23.6242 22.8987 21.7213 19.5428 15.0000


xt

37

ภาพท 4.7 คาตอบเชงตวเลขของปญหาท 1 โดยวธ Lax Method


ภาพท 4.8 คาตอบเชงตวเลขระหวาง x และ c ของปญหาท 1 โดยวธ Lax Method ณ เวลา t ตาง ๆ

-5

0

5

01

2

34

15

20

25

xt

u

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

0t

2t

1t

4t

38

4.3.4 คาตอบเชงตวเลขโดยวธ Upwind Scheme สาหรบปญหาท 2


0c cvt x

(4.10)


( , 0) 20 5 sin( )c x x (4.11)


1, 20 5 sin(5 tan ( ) )5xc x t t (4.12)

โดยวธ Upwind scheme ไดผลดงตาราง 4.4 ภาพท 4.9

ตารางท 4.4 คาตอบเชงตวเลขของปญหาท 2 โดยวธ Upwind Scheme

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 23.7840 19.2944 15.4535 15.7926 20.0000 24.2074 24.5465 20.7056 16.2160 15.2054

1 24.9522 23.9303 20.3236 16.6445 16.7273 20.0358 23.2017 23.8781 22.1047 15.0000

2 24.9984 24.8877 23.7481 20.5251 17.4815 17.4613 19.7859 22.1713 23.2734 15.0000

3 25.0000 24.9910 24.7717 23.4195 20.5353 18.1359 17.9166 19.3190 21.0406 15.0000

4 25.0000 24.9994 24.9670 24.5835 23.0866 20.6380 18.7249 18.2218 18.8207 15.0000


xt

39

ภาพท 4.9 คาตอบเชงตวเลขของปญหาท 2 โดยวธ Upwind Scheme


ภาพท 4.10 คาตอบเชงตวเลขระหวาง x และ c ของปญหาท 2 โดยวธ Upwind Scheme ณ เวลา t ตาง ๆ

-5

0

5

01

23

415

20

25

xt

u

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

0t

2t

1t

4t

40

4.3.5 คาตอบเชงตวเลขโดยวธ Forward Time Central Space (FTCS) สาหรบปญหาท 2


0c cvt x

(4.13)

โดยมเงอนไขเรมตน คอ ( , 0) 20 5 sin( )c x x (4.14)


1, 20 5 sin(5 tan ( ) )5xc x t t (4.15)

โดยวธ Forward Time Central Space (FTCS) ไดผลดงตาราง 4.5 ภาพท 4.11

ตารางท 4.5 คาตอบเชงตวเลขของปญหาท 2 โดยวธ Forward Time Central Space (FTCS)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 23.7840 19.2944 15.4535 15.7926 20.0000 24.2074 24.5465 20.7056 16.2160 15.2054

1 25.1208 25.2798 20.3027 15.4294 15.8025 20.1377 24.1514 24.9758 22.1048 15.0000

2 24.9754 24.9495 26.0428 20.4418 15.2745 15.8469 19.7530 21.9109 18.2110 15.0000

3 25.0623 24.7867 25.1437 26.3285 20.0423 14.9246 13.1267 9.9329 11.8361 15.0000

4 24.7218 15.6027 24.0974 25.8394 25.8330 16.8865 5.4997 4.5789 9.7344 15.0000


xt

41

ภาพท 4.11 คาตอบเชงตวเลขของปญหาท 2 โดยวธ Forward Time Central Space (FTCS)


ภาพท 4.12 คาตอบเชงตวเลขระหวาง x และ c ของปญหาท 2 โดยวธ

Forward Time Central Space (FTCS) ณ เวลา t ตาง ๆ

-5

0

5

01

23

40

10

20

30

40

xt

u

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

0t

2t

1t

4t

42

4.3.6 คาตอบเชงตวเลขโดยวธ Lax Method สาหรบปญหาท 2


0c cvt x

(4.16)

โดยมเงอนไขเรมตน คอ ( , 0) 20 5 sin( )c x x (4.17)


1, 20 5 sin(5 tan ( ) )5xc x t t (4.18)

โดยวธ Lax Method ไดผลดงตาราง 4.6 ภาพท 4.13

ตารางท 4.6 คาตอบเชงตวเลขของปญหาท 2 โดยวธ Lax Method

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 23.7840 19.2944 15.4535 15.7926 20.0000 24.2074 24.5465 20.7056 16.2460 15.2054

1 24.1022 22.7690 21.3530 20.3188 19.9282 20.0528 20.2464 19.9434 18.5214 15.0000

2 24.5634 23.8619 22.9771 22.0607 21.2472 20.5754 19.9539 19.1564 17.7773 15.0000

3 24.7400 24.3001 23.6901 22.9615 22.1764 21.3671 20.5022 19.4490 17.8844 15.0000

4 24.8235 24.5154 24.0642 23.4840 22.7996 22.0218 21.1169 19.9583 18.2131 15.0000


xt

43

ภาพท 4.13 คาตอบเชงตวเลขของปญหาท 2 โดยวธ Lax Method


ภาพท 4.14 คาตอบเชงตวเลขระหวาง x และ c ของปญหาท 2 โดยวธ Lax Method ณ เวลา t ตาง ๆ

-5

0

5

01

23

415

20

25

xt

u

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 515

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

c

0t

2t

1t

4t

44

4.4 เปรยบเทยบคาผดพลาดระหวางวธตาง ๆ กบคาตอบจรง

จากทหาคามาแลวสาหรบคาตอบเชงวเคราะหในหวขอ 4.2 และ คาตอบเชงตวเลขในหวขอ 4.3 ใน

ทนเราจะเปรยบเทยบคาตอบจรงและคาตอบเชงวเคราะหเพอเปรยบเทยบคาผดพลาดของทงสามวธ

คาตอบเชงวเคราะหของ (4.3) มคาความจรงดงตาราง 4.7

ตารางท 4.7 คาตอบเชงวเคราะหของสมการ (4.3) สาหรบปญหาท 1

จากปญหาท 1 คาตอบทไดโดยวธ Upwind Scheme จะไดคาประมาณดงตาราง 4.1 เปรยบเทยบ

กบคาตอบเชงวเคราะหในตารางท 4.7 จะไดคาผดพลาด ณ ตาแหนงตาง ๆ ดงตารางท 4.8 โดยทคา

ผดพลาดคานวณไดจาก

คาผดพลาด real value - approximated value

แสดงไดดงตารางท 4.8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 16.2160 20.7056 24.5465 24.2074 20.0000 24.2074 24.5465 20.7056 16.2160 15.2054

1 18.6030 15.2054 16.2160 20.7056 24.5465 24.2074 20.0000 24.2074 24.5465 20.7056

2 24.9468 23.2849 18.6030 15.2054 16.2160 20.7056 24.5465 24.2074 20.0000 24.2074

3 17.2799 22.0606 24.9468 23.2849 18.6030 15.2054 16.2160 20.7056 24.5465 24.2074

4 17.3172 15.0001 17.2799 22.0606 24.9468 23.2849 18.6030 15.2054 16.2160 20.7056

xt

45

ตารางท 4.8 คาผดพลาดของปญหาท 1 โดยวธ Upwind Scheme

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 7.5680 1.4112 9.0930 8.4148 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 6.3737 9.3432 6.4738 1.2880 7.6479 6.9531 0.1356 1.3151 1.5567 5.7056

2 0.0528 1.6989 6.2104 8.8314 5.9608 1.0630 6.6372 5.9923 0.1820 9.2074

3 7.7201 2.9390 0.0445 1.6350 5.9835 8.4364 5.7029 0.8011 5.9077 9.2074

4 7.6828 9.9999 7.7198 2.9351 0.0181 1.5340 5.7560 8.1471 13.4175 5.7056

หาคาสมบรณของเฉลยสาหรบคาผดพลาดทคานวณไดจากตารางท 4.8 จะได 7.6803

จากปญหาท 1 คาตอบทไดโดยวธ Forward Time Central Space (FTCS) จะได

คาประมาณดงตาราง 4.2 เปรยบเทยบกบคาตอบเชงวเคราะหในตารางท 4.7 จะไดคาผดพลาด ณ ตาแหนง

ตาง ๆ ดงตารางท 4.9

ตารางท 4.9 คาผดพลาดของปญหาท 1 โดยวธ Forward Time Central Space (FTCS)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 7.5680 1.4112 9.0930 8.4148 0 0 0 0 0 0

1 6.2920 10.5326 7.6180 1.9529 9.7101 8.5395 0.4817 0.6045 0.6689 5.7056

2 0.2460 1.3130 6.5538 11.1780 7.6038 2.6682 11.2355 13.0049 8.9158 9.2074

3 7.5917 3.0782 0.2369 0.7124 6.2170 7.9572 2.0419 14.9888 17.5851 9.2074

4 7.6627 9.9944 6.4394 0.2084 9.2197 12.0342 0.1408 12.0711 9.3540 5.7056


xt

xt

46

จากปญหาท 1 คาตอบทไดโดยวธ Lax Method จะไดคาประมาณดงตาราง 4.3 เปรยบเทยบกบ

คาตอบเชงวเคราะหในตารางท 4.7 จะไดคาผดพลาด ณ ตาแหนงตาง ๆ ดงตารางท 4.10

ตารางท 4.10 คาผดพลาดของปญหาท 1 โดยวธ Lax Method

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 7.5680 1.4112 9.0930 8.4148 0 0 0 0 0 0

1 5.7659 8.1473 5.8576 0.1196 4.5844 4.5255 0.1787 4.4124 5.9008 5.7056

2 0.1832 1.0709 5.1613 7.8144 5.9763 0.6538 4.0067 4.6124 1.9143 9.2074

3 7.6155 2.6468 0.5338 0.7124 4.8507 7.5700 5.7077 0.0456 5.7221 9.2074

4 7.5907 9.8534 7.4172 2.3986 0.8317 0.3393 4.2957 6.5159 3.3268 5.7056


คาตอบเชงวเคราะหของ (4.12) มคาความจรงดงตาราง 4.11

ตารางท 4.11 คาตอบเชงวเคราะหของสมการ (4.12) สาหรบปญหาท 2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 21.1502 17.8726 15.2726 15.8282 20.0000 24.1718 24.7274 22.1274 18.8498 16.4645

1 24.7150 22.6581 18.8160 15.4268 15.7926 19.9349 23.9245 24.9570 23.4731 21.0648

2 23.9459 24.9997 23.4480 19.2300 15.4535 15.7578 19.5134 23.2291 24.9032 24.6862

3 19.5480 22.7447 24.9099 23.7411 19.2944 15.4810 15.5497 18.5324 21.8253 23.9991

4 15.5657 17.9662 21.8576 24.8127 23.7840 19.3589 15.6776 15.1850 17.0693 19.6353

xt

xt

47

จากปญหาท 2 คาตอบทไดโดยวธ Upwind Scheme จะไดคาประมาณดงตาราง 4.4 เปรยบเทยบ

กบคาตอบเชงวเคราะหในตารางท 4.11 จะไดคาผดพลาด ณ ตาแหนงตาง ๆ ดงตารางท 4.12

ตารางท 4.12 คาผดพลาดของปญหาท 2 โดยวธ Upwind Scheme

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 2.6338 1.4218 0.1809 0.0356 0.0000 0.0356 0.1809 1.4218 2.6338 1.2591

1 0.2372 1.2722 1.5076 1.2177 0.9347 0.1009 0.7228 1.0789 1.3684 6.0648

2 1.0525 0.1120 0.3001 1.2951 2.0280 1.7035 0.2725 1.0578 1.6298 9.6862

3 5.4520 2.2463 0.1382 0.3216 1.2409 2.6549 2.3669 0.7866 0.7847 8.9991

4 9.4343 7.0332 3.1094 0.2292 0.6974 1.2791 3.0473 3.0368 1.7514 4.6353


จากปญหาท 2 คาตอบทไดโดยวธ Forward Time Central Space (FTCS) จะไดคาประมาณดง

ตาราง 4.5 เปรยบเทยบกบคาตอบเชงวเคราะหในตารางท 4.11 จะไดคาผดพลาด ณ ตาแหนงตาง ๆ ดง

ตารางท 4.13

ตารางท 4.13 คาผดพลาดของปญหาท 2 โดยวธ Forward Time Central Space (FTCS)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 2.6338 1.4218 0.1809 0.0356 0.0000 0.0356 0.1809 1.4218 2.6338 1.2591

1 0.4058 2.6217 1.4867 0.0026 0.0099 0.2028 0.2269 0.0188 1.3683 6.0648

2 1.0295 0.0502 2.5948 1.2118 0.1790 0.0891 0.2396 1.3182 6.6922 9.6862

3 5.5143 2.0420 0.2338 2.5874 0.7479 0.5564 2.4230 8.5995 9.9892 8.9991

4 9.1561 2.3635 2.2398 1.0267 2.0490 2.4724 10.1779 10.6061 7.3349 4.6353


xt

xt

48

จากปญหาท 2 คาตอบทไดโดยวธ Lax Method จะไดคาประมาณดงตาราง 4.6 เปรยบเทยบกบ

คาตอบเชงวเคราะหในตารางท 4.11 จะไดคาผดพลาด ณ ตาแหนงตาง ๆ ดงตารางท 4.14

ตารางท 4.14 คาผดพลาดของปญหาท 2 โดยวธ Lax Method

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 2.6338 1.4218 0.1809 0.0356 0.0000 0.0356 0.1809 1.4218 2.6038 1.2591

1 0.6128 0.1109 2.5370 4.8920 4.1356 0.1179 3.6781 5.0136 4.9517 6.0648

2 0.6175 1.1378 0.4709 2.8307 5.7937 4.8176 0.4405 4.0727 7.1259 9.6862

3 5.1920 1.5554 1.2198 0.7796 2.8820 5.8861 4.9525 0.9166 3.9409 8.9991

4 9.2578 6.5492 2.2066 1.3287 0.9844 2.6629 5.4393 4.7733 1.1438 4.6353


4.5 สรปผลการดาเนนงานและขอเสนอแนะ

สาหรบในหวขอนจะเปนบทสรปทอธบายผลจากการดาเนนงานทไดวเคราะหมาแลวในหวขอทผาน

มา รวมทงเนอหาตาง ๆ ทไดดาเนนการผานมาแลว

ในโครงงานนเราไดศกษาวธเชงตวเลขของสมการการพาซงเปนสมการทใชอธบายการไหลของ

สารพษในอากาศ ซงสมการดงกลาวเปนสมการเชงอนพนธยอยอนดบ 1 โดยวธเชงตวเลขทศกษาใน

โครงงานนไดใชวธเชงผลตาง โดยแบงแยกออกเปน 3 วธ ไดแก วธ Upwind Scheme, วธ Forward

Time Central Space (FTCS) และวธ Lax Method

ในบทท 2 ไดกลาวถง ความรพนฐานตวแบบมลพษ ซงจะสนใจเพยงรปแบบสมการการพา และ

การหาคาตอบเชงวเคราะหรปแบบสมการการพา สาหรบในบทท 3 เราไดกลาวถง วธเชงวเคราะหและวธ

xt

49

เชงตวเลข สาหรบตวแบบสมการการพา โดยเรมจากการวเคราะหของเงอนไขความเสถยรของวธ Upwind

Scheme, วธ Forward Time Centered Space และวธ Lax Method หลงจากนนนาวธการและเงอนไข

ไปใชหาคากรดในแตละตาแหนง เพอนาไปประยกตใชกบโจทยปญหาจรง สาหรบในบทท 4 เราไดกลาวถง

วธการหาคาตอบของปญหาเชงตวเลขของสมการการพา โดยใชวธเชงตวเลขทง 3 วธ พรอมทงเปรยบเทยบ

คาจรงและคาประมาณของปญหาทเลอกมาศกษา

จากผลการดาเนนงานเราไดเงอนไขการวเคราะหความเสถยรของสมการการพาโดยวธ Upwind

Scheme, วธ Forward Time Centered Space และวธ Lax Method จากผลการวเคราะหพบวาวธ

Forward Time Centered Space เปนวธทไมเสถยร สวนวธ Upwind Scheme จะเสถยรเมอ

0 nju t x

ในขณะทวธ Lax Method จะเสถยรเมอ n

ju t x ซงเปนเงอนไขทสาคญใน

การเลอกวธเชงตวเลขทเหมาะสมสาหรบปญหาทเรากาลงพจารณา

เอกสารอางองเอกสารอางอง

[1] A. Friedman, (1990). Mathematics in Industrial Problems, Part 3, Chap. 11, Math.

Appl., Vol. 31, New York: Springer-Verlag.

[2] A. Friedman and W. Littman, (1994). “Industrial Mathematics: A Course in Solving

Real-World Problems”, Philadelphia: SIAM.

[3] R. D. Richtmyer and K. W. Morton, (1967). Difference Method for Initial-Value

Problem, Second edition, New York: Wiley-Inter Science.

[4] O. F. T. Roberts, (1924). The theoretical scattering of smoke in a turbulent

atmosphere, Philos. Trans. Roy. Soc. Lond. Ser. A, 104 , pp. 640–654

[5] J. M. Stockie, (2011). The Mathematics of Atmospheric Dispersion Modeling

[6] J. C. Strikwerda, (1989). Finite Difference Schemes and Partial Differential

Equations, C.A.: Wadsworth and Brooks and Software, Pacific Grove.

[7] O. G. Sutton, A theory of eddy diffusion in the atmosphere, Proc. Roy. Soc. Lond.

Ser. A,135 (1932), pp. 143–165.

[8] W.Y. Yang, W. Cao, T.S. Chung and J. Morris, (2005). Applied Numerical Method

Using Mathlab®

[9] P. Duffy, An Introduction to Finite Difference Methods for Advection Problem.

UCD. คนเมอวนท 23 มกราคม 2555

จาก http://maths.ucd.ie/met/msc/fezzik/Numer-Met/Linear_Advection.pdf

[10] Numerical solution of the heat equation. คนเมอวนท 21 กมภาพนธ 2555

จาก http://www.math.umd.edu/undergraduate/schol/matlab/pde.html

http://maths.ucd.ie/met/msc/fezzik/Numer-Met/Linear_Advection.pdf

http://www.math.umd.edu/undergraduate/schol/matlab/pde.html

numerical solutions of the advection equation in the air-pollution problems

Documents