numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc
DESCRIPTION
Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc. Matematicko-počítačové modelovanie 4. semester 6 . prednáška. Lineárna parciálna diferenciálna rovnica 2. rádu. Rovnica koeficienty rovnice pravá strana riešenie rovnice klasické riešenie rovnice. Klasifikácia PDR. eliptické PDR - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/1.jpg)
Numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc
Matematicko-počítačové
modelovanie
4. semester
6. prednáška
![Page 2: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/2.jpg)
Lineárna parciálna diferenciálna rovnica 2. rádu
• Rovnica
- koeficienty rovnice
- pravá strana
- riešenie rovnice
- klasické riešenie rovnice
fcux
ub
xx
ua
i
n
1ii
n
1i
n
1j ji
2
ij
c,ba i,ij
f)x,...,x,x(u n21
![Page 3: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/3.jpg)
Klasifikácia PDR
• eliptické PDR
problém potenciálu, stacionárne difúzne problémy
• parabolické PDR
nestacionárne problémy, difúzia, vedenie tepla
• hyperbolické PDR
vlnové rovnice, rovnice prúdenia tekutiny
![Page 4: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/4.jpg)
Príklady PDR
• Laplaceova rovnica:
• Poissonova rovnica
• Funkciu u, definovanú a spojitú až do druhého rádu včítane na nejakej oblasti
ktorá spĺňa Laplaceovu rovnicu nazývame
harmonická funkcia
0u
nR
fu
![Page 5: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/5.jpg)
Príklady PDR
• Stacionárne vedenie tepla:
x),x(f)x(u)x(q)u)x(k.(
s),s(g
)s(u)s()s(u)s(n
![Page 6: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/6.jpg)
Príklady PDR
• Ustálené prúdenie podzemnej vody
)x(f)u)x(D.(
s),s(g
)s(u)s()s(u)s(n
![Page 7: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/7.jpg)
Eliptická úloha
nafu
nagu
je dvojdimenzionálna oblasť
hranica oblasti
![Page 8: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/8.jpg)
Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť
• Nech
• Oblasť rozdelíme na štvorcové podoblasti: delenie n dielov na vodorovnej hrane, m dielov na hrane zvislej, budeme mat (n-1)x(m-1) vnútorných uzlov a 2m +2n hraničných uzlov
0k,0l)k,0(x)l,0(
![Page 9: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/9.jpg)
Diskretizácia oblasti
1
2
3
4
5
6
7
8
9
![Page 10: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/10.jpg)
Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť
• V hraničných uzloch je predpísaná Dirichletova podmienka, vo vnútorných uzloch treba vypočítať riešenie.
• Zostavíme systém (n-1)x(m-1) lineárnych algebraických rovníc, ktoré dostaneme použitím diferencie miesto derivácie v PDR.
![Page 11: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/11.jpg)
Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť
• Máme rovnicu:
• Druhé derivácie nahradíme diferenciami v každom uzle siete:
nafu
ME
N
W
S
![Page 12: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/12.jpg)
Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť
• Aproximácia x-ovej derivácie v bode M
• Aproximácia y-ovej derivácie v bode M
22
2
h
)W(u)M(u2)E(u
x
u
22
2
h
)S(u)M(u2)N(u
y
u
![Page 13: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/13.jpg)
Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť
• Dohromady:
• S chybou O(h2)
• Ak je jeden z bodov aproximácie hraničný, využijeme okrajovú podmienku
2h
)S(u)W(u)M(u4)N(u)E(u)M(u
![Page 14: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/14.jpg)
Príklad
• Riešte metódou sietí problém:
• Okrajová podmienka:
• Presné riešenie:
na2x6u )4,0(x)4,0(
33 xx816)4,x(u,x)0,x(u
22 yy864)y,4(u,y)y,0(u
23 2),( yxyxyxu
![Page 15: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/15.jpg)
Príklad
• Zvolíme krok rovnaký pre delenie v smere x-ovom aj y-ovom.
• h=1, to znamená budeme mať 9 vnútorných uzlov, teda 9 rovníc o 9 neznámych. Uzly očíslujeme po stĺpcoch počnúc ľavým dolným uzlom.Pre každý uzol zostavíme rovnicu:
![Page 16: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/16.jpg)
Diskretizácia oblasti
1
2
3
4
5
6
7
8
9
![Page 17: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/17.jpg)
Rovnice
• 1. rovnica: spája body:• okrajové podmienky:
spodný bod: ľavý bod:• pravá strana:
rovnica: 118*14 421 uuu
1
2
4
OP
OP
11)0,1(uteda,x)0,x(u 33
11)1,0(u,y)y,0(u 22 88*1)1,1(fh,8)1,1(f,2x6)y,x(f 2
![Page 18: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/18.jpg)
Rovnice
• 2. rovnica (body 1,2,3,5):
• Okrajové podmienky:
• Ľavý bod u(0,y)=y2 ,
teda u(0,2)=4
• Pravá strana
• rovnica
88*1)2,1(,8)2,1(,26),( 2 fhfxyxf
48*14 5321 uuuu
25
3
1
OP
![Page 19: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/19.jpg)
Rovnice
• 3. rovnica (body 2,3,6):• Okrajové podmienky:• Ľavý bod u(0,y)=y2 , teda u(0,3)=9• Horný bod u(x,4)=16+8x+x3 , teda u(1,4)=25• Pravá strana
• rovnica
88*1)3,1(,8)3,1(,26),( 2 fhfxyxf
9258*14 632 uuu
36
OP
2
OP
![Page 20: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/20.jpg)
Rovnice
• 4. rovnica (body 1,4,5,7):
• Okrajové podmienky:
• Dolný bod u(x,0)=x3 , teda u(2,0)=8
• Pravá strana
• rovnica
1414*1)1,2(,14)1,2(,26),( 2 fhfxyxf
814*14 7541 uuuu
47
5
OP
1
![Page 21: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/21.jpg)
Rovnice
• 5. rovnica (body 2,4,5,6,8):
• Okrajové podmienky:nie sú
• Pravá strana
• rovnica
1414*1)2,2(,14)2,2(,26),( 2 fhfxyxf
14*14 86542 uuuuu
58
6
4
2
![Page 22: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/22.jpg)
Rovnice
• 6. rovnica (body 3,5,6,9):
• Okrajové podmienky:
• Horný bod u(x,4)= 16+8x+x3 , teda u(2,4)=40
• Pravá strana
• rovnica
1414*1)3,2(,14)3,2(,26),( 2 fhfxyxf
4014*14 9653 uuuu
69
OP
5
3
![Page 23: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/23.jpg)
Rovnice
• 7. rovnica (body 4,7,8):
• Okrajové podmienky:
• Dolný bod u(x,0)= x3 , teda u(3,0)=27
• Pravý bod u(4,y)=64+8y+y2 , u(4,1)=73
• Pravá strana
• rovnica
2020*1)1,3(,20)1,3(,26),( 2 fhfxyxf
732720*14 874 uuu
7OP
8
OP
4
![Page 24: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/24.jpg)
Rovnice
• 8. rovnica (body 5,7,8,9):
• Okrajové podmienky:
Pravý bod u(4,y)= 64+8y+y2, teda u(4,2)=84
• Pravá strana
• rovnica
2020*1)2,3(,20)2,3(,26),( 2 fhfxyxf
8420*14 9875 uuuu
8
9
7
5 OP
![Page 25: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/25.jpg)
Rovnice
• 9. rovnica (body 6,8,9):
• Okrajové podmienky:
• Horný bod u(x,4)= 16+8x+x3 , u(3,4)=67
• Pravý bod u(4,y)= 64+8y+y2, teda u(4,3)=97
• Pravá strana
• rovnica
2020*1)3,3(,20)3,3(,26),( 2 fhfxyxf
976720*14 986 uuu
9OP
OP
8
6
![Page 26: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/26.jpg)
Výsledná matica
410100000
141010000
014001000
100410100
010141010
001014001
000100410
000010141
000001014
![Page 27: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/27.jpg)
Pravá strana
144
64
80
26
14
6
26
4
6
Vektor pravej strany
![Page 28: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/28.jpg)
Príklad
Riesenie Poissonovej rovnice metodou sieti
x0 0 y0 0hranice oblasti ( stvorcova oblast)
x1 4 y1 4
p x( ) x3 okrajova podmienka na dolnej hrane
n 3 pocet deleni hrany stvorcaq x( ) 16 8 x x
3 okrajova podmienka na hornej hrane
hx1 x0
n 1( )Deliaci krok r y( ) y
2 okrajova podmienka na lavej hrane
s y( ) 64 8 y y2 okrajova podmienka na pravej hrane
h 1
f x y( ) 6 x 2 hodnota pravej strany
![Page 29: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/29.jpg)
Grafický výstup výsledkov - Mathcad
PRES
01
23
4
0 1 2 3 40
50
100
![Page 30: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/30.jpg)
Grafický výstup výsledkov - Mathematica
1
1.5
2
2.5
3 1
1.5
2
2.5
3
0
20
40
1
1.5
2
2.5
3
1
1.5
2
2.5
3 1
1.5
2
2.5
3
20
40
1
1.5
2
2.5
3
Presné riešenie Numerické riešenie
![Page 31: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/31.jpg)
Grafický výstup výsledkov - Mathematica
1
2
3
1
2
3
0
20
40
1
2
3
1
2
3
![Page 32: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/32.jpg)
Výsledky
4.0000 4.0000 8.8818 1016
9.0000 9.0000 1.7764 1015
16.0000 16.0000 0.0000
13.0000 13.0000 1.7764 1015
20.0000 20.0000 3.5527 1015
29.0000 29.0000 3.5527 1015
34.0000 34.0000 7.1054 1015
43.0000 43.0000 7.1054 1015
54.0000 54.0000 7.1054 1015
![Page 33: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/33.jpg)
Neumanova okrajová podmienka
• Predpísaná:
• Na časti hranice –
pri obdĺžnikovej oblasti
celá strana alebo viac strán
časť strany
Pozor na úlohu len s Neumanovou okrajovou podmienkou na celej hranici
![Page 34: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/34.jpg)
Trojuholníková oblasť
6 vnútorných uzlov
![Page 35: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/35.jpg)
Trojuholníková oblasť
• Matica stratí „peknú“ štruktúru matice vzniknutej pri štvorcovej oblasti očíslovanej podľa stĺpcov
• Matica zostane pásová
![Page 36: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/36.jpg)
Trojdimenzionálne úlohy
• Poissonova rovnica:
• Okrajová podmienka Dirichletova alebo Neumannova
• Oblasť: kváder, okrajovú podmienku treba zadať na všetkých 6 stenách kvádra
),,,(),,( zyxfzyxu
![Page 37: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/37.jpg)
Trojdimenzionálne úlohy
• Diskretizácia Laplaceovho operátora:
• 7 bodová schéma: uzly M, S, N, W, E, F B:
• Matica zostane pásová, šírka pásu - väčšia
2
)()()()(6)()()(
h
EuNuBuMuFuWuSuu
![Page 38: Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062322/56814573550346895db24238/html5/thumbnails/38.jpg)
Všeobecnejší operátor
• Rovnica
• Okrajové podmienky: DP, Neumann, zmiešané
• Postup: diskretizácia ako pri jednodimenzionálnej úlohe
),()),(),(.( yxfyxuyxk