numerické rie enie v eobecnej (klasickej) dmpk...

ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER

Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPKrovnice.

J. Brndiar, R. Derian, P. Markos

11.6.2007


1 ÚvodVodivost’ a transfér maticaDMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica

2 Numerické riešenieCiel’ePredprípravaAlgoritmus

3 VýsledkySkúmané modelyQuasi 1D DMPK (testovací výpocet)KovKritický bodIzolant

4 Záver


Vodivost’ a transfér matica

A

B

C

D(CB

)= S

(AD

)S =

(t+ r−

r+ t−

), (1)(

CD

)= T

(AB

)T =

(t+ − r−(t−)−1r+ r−(t−)−1

−(t−)−1r+ (t−)−1

), (2)

T =(

u 00 u∗

)(√λ + 1

√λ√

λ√

λ + 1

)(v 00 v∗

), (3)

g =e2

hTr(t−)†t− =

e2

h ∑a

11 + λa

. (4)


Klasická DMPK rovnica

l∂P∂L

=2

βN + 2− β

N∑i=1

∂

∂λiλi(1 + λi)J

∂

∂λiJ−1P, (5)

J(λn) = ∏i<j|λi − λj |β , 〈v∗abvcd〉 =

1N

δabδcd , 〈v∗cav∗cbvdavdb〉 =1 + δab

N(N + 1)δcd , (6)

P(xn, s) = C(s) ∏i<j

(sinh2 xj − sinh2 xi) ∏i

(sinh 2xi)×

×Det

[∫ ∞

0dk exp

(− 1

4k2sN

)tanh

(12

πk)

k(2m−1)P 12 (ik−1)

(cosh 2xn)

], (7)

s =Ll

, λn = sinh2 xi , (8)

g =N∑a

11 + λa

, g =∫

...∫ N

∏a

dλaP(λa, L)N∑a

11 + λa

, (9)

var g = g2 − g2 =2

15β. (10)


Zovšeobecnená DMPK rovnica (GDMPK)

pre β = 1 : l∂P∂L

=N∑i=1

∂

∂λiλi(1 + λi)KiiJ

∂

∂λiJ−1P, (11)

J(λn) = ∏i<j|λi − λj |

γij , (12)

γij =2Kij

Kii, Kij =

⟨∑a|uia |2 |uja |2

⟩. (13)

quasi 1D limit : K1Disotropyab =

1 + δabN + 1

, pre ˛ = 1, (14)

0 10 20 30a

1

1,2

1,4

1,6

1,8

kaa

W=2 14x14x112W=2 10x10x160W=4 18x18x72W=4 18x18x18W=2 14x14x14


Ciel’e

• Numericky vyriešit’ GDMPK, preskúmat’ quasi 1D limitupre GDMPK na DMPK,

• Numerické riešenie pre kov, kritický bod a izolant,• Rôzna dimenzionalita vzorky,• Dvojparametricky model matice Kij.


Ciel’e


• Numerické riešenie pre kov, kritický bod a izolant,

• Rôzna dimenzionalita vzorky,• Dvojparametricky model matice Kij.


Ciel’e


• Numerické riešenie pre kov, kritický bod a izolant,• Rôzna dimenzionalita vzorky,

• Dvojparametricky model matice Kij.


Ciel’e


• Numerické riešenie pre kov, kritický bod a izolant,• Rôzna dimenzionalita vzorky,• Dvojparametricky model matice Kij.


Transformácia rovnice, 1.cast’

•l∂P∂L

=N∑i=1

∂

∂λiλi(1 + λi)KiiJ

∂

∂λiJ−1P, (15)

J(λn) = ∏i<j|λi − λj |

γij , γij =2Kij

Kii, lim

L→0P = ∏

iδ(λi − 0+). (16)

•∂

∂sP(λn, s) =

N∑i=1

∂

∂λiD(λi)

(∂P∂λi

+ P∂

∂λiΩ(λn)

), (17)

D(λi) = λi(1 + λi)Kii , Ω(λn) = −∑i<j

γij ln |λj − λi |, s =Ll

(18)

•P(xn, s) = P(λn, s) ∏

i|f ′(xi)|, λn = f (xn), (19)

Ω → Ω −∑i ln |f ′(xi)|, D → D/f ′(xi)2 , f (xi)[1 + f (xi)]/f ′(xi)

2 = const, (20)

•f (xi) = sinh2(xi), resp λn = sinh2(xi) (21)

∂

∂sP(xn, s) =

14

N∑i=1

∂

∂xiKii

(∂P∂xi

+ P∂

∂xiΩ(xn)

), (22)

Ω(xn) = −∑i<j

γij ln | sinh2(xj)− sinh2(xi)| −N∑i=1

ln | sinh(2xi)|. (23)


Transformácia rovnice, 2.cast’

∂

∂tP =

(− ∂

∂xiDi(x) +

∂2

∂xi∂xjDij(x)

)P (24)

xi =hi(x, s) + gij(x)Γj(s), (25a)

〈Γ(s)〉 =0; 〈Γ(s)Γ(s′)〉 = 2δ(s− s′), (25b)

gij =(√

D)ij = (√

D)ji , (25c)

hi =Di − (√

D)kj∂

∂xk(√

D)ij , (25d)

Di(x) =− Kii4

∂Ω(xn)∂xi

, (26a)

Dij(x) =Kii4

. (26b)


Algoritmus

štartovací bod s = s0 , xis0≡ xi(s0)

xi(n+1) = xin + Di(xn)σ +Nν

∑j=1

√Dij(xn)σwjn , (27)

kde Nν je pocet premenných (kanálov), σ je krok v “case“. Po N − 1 krokoch získame hodnotu premennejxin = xi(sn) v case sn = s0 + σn, (n = 0, 1, . . . , N − 1; i = 1, 2, . . . , Nν). wj0 , wj1 , . . . , wj(N − 1) sú N ×Nν nezávislé

Gaussovské premenné s nulovou strednou hodnotou a s variáciou rovnou 2,

〈wjnwkn′ 〉 = 2δjkδnn′ . (28)

Reflecting boundary conditions:

xi−1n < xin < xi+1n−1 , 0 < x1n , xNνn < xNν−1n . (29)

Cuttoff C:

xNνn , xNνn 5 C, ∀n. (30)


Prezentované modely

GDMPK:Plná matica Kij; cervena farba v grafochDvojparametrický model maticeKij → Kii = K11, Kij,i 6=j = K12; fialová farba v grafoch

Transfer matrix; cierna farba v grafoch:H = w ∑

iεic†

i ci + t‖ ∑i

c†i ci′ + t⊥ ∑

ic†

i ci′

t‖ = 1, t⊥ = 0.4, 〈εi〉 = 0, var εi =112

3D a 2D konfigurácie (L× L× Lz resp. L2 × 1× Lz)


Quasi 1D DMPK (testovací výpocet)

modely g var g ln g var ln gQuasi 1D W=2.0; TM vs. dmpk

TM 03x03x030 2.30712234 0.16610910 0.81967346 0.0337185TM 03x03x050 1.46148071 0.13290123 0.34528266 0.0731734

dmpk 1.46148266 0.12712081 0.34681085 0.0698290TM 03x03x070 1.03038504 0.11938658 -0.03622906 0.1493575

dmpk 1.03298297 0.11555760 -0.03094479 0.1425711TM 03x03x100 0.67593721 0.10492471 -0.53958478 0.3592139

dmpk 0.67525933 0.10361166 -0.53799740 0.3510078TM 03x03x120 0.52998731 0.09686311 -0.86426619 0.5760851

dmpk 0.52949337 0.09669330 -0.86480914 0.5745084TM 03x03x140 0.42687494 0.08852371 -1.17931111 0.8462932

dmpk 0.42677092 0.08823384 -1.17605441 0.8332798


Quasi 1D DMPK (testovací výpocet)

0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

0 5 100

0.1

0.2

0 1 2 3 40

0.5

1P(g)P(x )all

P(x )1 P(x )2


Kov

modely g var g ln g var ln g3D kov W=3.0; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=0.5225082,K12=0.0243982TM 07x07x06 21.10119113 1.76419675 3.04733437 0.00400848TM 07x07x08 17.58169596 1.41077822 2.86456036 0.00461756gdmpk Kab 17.58187697 1.03233124 2.86518723 0.00337745

gdmpk K11K12 17.57655575 0.96968909 2.86498584 0.00317352TM 07x07x10 15.04990534 1.12387762 2.70887501 0.00501570gdmpk Kab 15.05894202 0.70083319 2.71041646 0.00312380

gdmpk K11K12 15.04886042 0.62157976 2.70995099 0.002773522D kov W=3.0; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=0.7127655, K12=0.0836649TM 49x01x06 21.89150239 2.40746083 3.08356720 0.00508899TM 49x01x08 18.18954484 2.12540797 2.89760559 0.00652321gdmpk Kab 18.20232036 1.79479770 2.89881889 0.00548970

gdmpk K11K12 18.18086030 1.91292690 2.89745276 0.00586525TM 49x01x10 15.46389649 1.85830418 2.73458050 0.00791316gdmpk Kab 15.48140069 1.47522927 2.73653568 0.00624348

gdmpk K11K12 15.48587701 1.65137950 2.73645679 0.00698428


Kov 2D

0 0.1 0.20

5

10

0 0.1 0.20

5

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

10 15 20 250

0.2

0.4

P(g)P(x )all

P(x )1 P(x )2


Kov 3D

0 0.1 0.20

5

10

0 0.1 0.20

5

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

10 15 20 250

0.2

0.4

P(g)P(x )all

P(x )1 P(x )2


Kritický bod

modely g var g ln g var ln g3D kritický bod W=9.2; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=0.2854427,K12=0.0208497TM 07x07x06 1.87300456 0.53084800 0.54308067 0.1864628TM 07x07x08 1.08193841 0.31204193 -0.07924381 0.3701835gdmpk Kab 1.08439842 0.27366747 -0.05667295 0.3197861

gdmpk K11K12 1.09213164 0.26639205 -0.04402261 0.3067098TM 07x07x10 0.68340852 0.19954946 -0.64579267 0.6541755gdmpk Kab 0.67891404 0.17929548 -0.62587445 0.5786058

gdmpk K11K12 0.68420252 0.17618134 -0.61271147 0.56965633D ”kritický bod“ W=8.6; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=0.5523038,K12=0.0108764

TM 49x01x06 1.96580872 0.62550581 0.58766377 0.19263799TM 49x01x08 1.02300431 0.33549249 -0.15846532 0.41603823gdmpk Kab 1.03734923 0.330117112 -0.13602401 0.3938501


gdmpk K11K12 0.566909785 0.18397689 -0.88991631 0.7598020


Kritický bod 2D

0 1 2 30

0.5

1

0 1 2 30

0.5

1

0 5 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0 1 2 3 40

0.5

1

P(g)P(x )all

P(x )1 P(x )2


Kritický bod 3D

0 1 2 30

0.5

1

0 1 2 30

0.5

1

0 5 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0 1 2 3 40

0.5

1

P(g)P(x )all

P(x )1 P(x )2


Izolant

modely g var g ln g var ln g3D izolant W=26.0; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=0.5225082,K12=0.0243982TM 07x07x06 0.02881692 0.00898202 -5.83049273 4.660683TM 07x07x08 0.00538405 0.00163947 -9.42287309 7.664761gdmpk Kab 0.00672098 0.00229043 -9.43609423 8.108059


gdmpk K11K12 0.00187068 0.00064911 -13.16042742 12.667692D izolant W=26.0; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=0.7127655, K12=0.0836649

TM 49x01x06 0.02117155 0.00645566 -5.83049273 4.6606838TM 49x01x08 0.00320916 0.00097178 -10.27277542 7.448712gdmpk Kab 0.00336747 0.00099279 -10.17790538 7.011966


gdmpk K11K12 0.00066689 0.00022251 -14.57082768 9.762933


Izolant 2D

0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0 5 10 15 20 250

0.05

0.1

0.15

-20 -15 -10 -5 00

0.05

0.1

0.15

0.2 P(ln g)P(x )all

P(x )1 P(x )2


Izolant 3D

0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0 5 10 15 20 250

0.05

0.1

0.15

-20 -15 -10 -5 00

0.05

0.1

0.15

0.2 P(ln g)P(x )all

P(x )1 P(x )2


Zhrnutie

DMPK: použitel’ná v quasi 1D, súlad s exaktnýmvypoctom a TM.GDMPK: správne (? kov) opisuje jednotlivé oblastifázoveho diagramu kov-izolant pre vodivost’.GDMPK: matica Kij nesie informácie o dimensionalitevzorky.GDMPK: dvojparametrický model je postacujúcaaproximácia pre vodivost’.GDMPK: kompletný opis distribúcie neposkytuje ci už našalgoritmus alebo samotná rovnica; nezanedbatel’ný faktormá matica Kij, nakol’ko jej vyššie elementy sú urcenenepresne.

numerické rie enie v eobecnej (klasickej) dmpk...

Documents