numericne metode ii - fmf.uni-lj.sikozak/pedagoskodelo/gradiva/uvodvnumericnemetode/... ·...

Enoclenske metodeEnoclenske metode veljajo trenutno za najprimernejse metode vnumericnem resevanju zacetnih problemov. Skoraj vse sodijo vskupino Runge-Kutta metod. Ime Runge-Kutta metode jeskovanka priimkov, po avtorjih, ki sta najvec prispevala k zacetkurazvoja teh metod. Ideja izpeljave: osnovni Eulerjevi metodi,modificirana Eulerjeva metoda, trapezno pravilo, . . .

k1 = f (xn−1, yn−1) = f (xn−1 + 0 · h, yn−1 + 0 · h · k1) ,

k1 = f (xn, yn) = f (xn−1 + 1 · h, yn−1 + 1 · h · k1) .

Metodo tega tipa dolocajo tri konstante, α1, β1 in γ1,

k1 = f (xn−1 + α1h, yn−1 + β1 h k1) , yn = yn−1 + γ1 h k1.

Shema:α1 β1

γ1

J.Kozak Uvod v numericne metode 2011-2012 1 / 41

Izboljsana Eulerjeva metoda, trapezno pravilo:

012

12

0 1

in

0

1 12

12

12

12

.


Splosna dvostopenjska shema:

α1 β11 β12

α2 β21 β22

γ1 γ2

Konstante αi , βij in γj so svobodni parametri. Dolocajo metodo, kinajprej izracuna odvoda ki , ki zadoscata enacbama

k1 = f(xn−1 + α1 h, yn−1 + h (β11 k1 + β12 k2)) ,

k2 = f(xn−1 + α2 h, yn−1 + h (β21 k1 + β22 k2)) .

Nato sledi numericni priblizek v novi tocki xn kot

yn = yn−1 + h (γ1k1 + γ2k2) .


Ideja izpeljave Runge-Kutta metod

Osnovna zahtevaLokalna napaka y(xn)− yn pri pogoju y(xn−1) = yn−1 naj bo cimvisjega reda!

Razvoj tocne resitve v Taylorjevo vrsto

y(xn−1+h) = y(xn−1)+h y′(xn−1)+h2

2! y′′(xn−1)+h3

3! y′′′(xn−1)+. . .

dobimo z upostevanjem dejstva, da je y resitev diferencialneenacbe y′ = f(x , y).V numericni resitvi yn = yn−1 + h (γ1k1 + γ2k2) moramo v vrstookoli h ≈ 0 razviti ki , torej spet y′ = f. Spet uporabimo dejstvo,da je y resitev diferencialne enacbe.


Zgled racunanja odvodov k1

Uporabimo verizno pravilo. Vse vrednosti, ki nastopajo,

f, fx , fy, . . .

naj bodo izracunane pri h = 0, torej pri argumentih (xn−1, yn−1).Razvoj k1:

k1 = f + (α1fx + (β11 + β12) fy f ) h+

+

(12α

21fx x +

12 (β11 + β12)

2 (fy yf) f + (α1β11 + α2β12) fyfx+

+(β2

11 + β12β11 + β12 (β21 + β22))

fy fy f+

+ α1 (β11 + β12) fx ,y f)

h2 + . . .


Primerjava obeh razvojev

V razliki obeh razvojev skusamo z izborom konstant uniciti cim veckoeficientov pri narascajocih potencah hi .

Elementarni diferencialiTreba je biti pazljiv. Koeficient pri potenci hi sestavlja obicajnovec neodvisnih clenov, elementarnih diferencialov. Za vsakega odnjih je treba poskrbeti loceno, torej je treba konstante izbrati tako,da je prispevek vsakega od njih enak nic.

Primer: pri h2 dobimo neodvisna clena

12 (2α1 (γ2 − 1)− 2α2γ2 + 1) fx

in

12 (2 (γ2 − 1)β11 + 2 (γ2 − 1)β12 − 2γ2β21 − 2γ2β22 + 1) fyf.


Rezultat izpeljave v dvostopenjskem primeru

Eksplicitne metode: Lokalna napaka O(h3).

0β21 β21

1− 12β21

12β21

.

Med najbolj pogostimi izbirami β21 srecamo 12 ,

23 in 1, torej metode

012

12

0 1

,

023

2314

34

,

01 1

12

12

.

Zadnja od njih je Heunova.



Diagonalno implicitne metode metode: lokalna napaka O(h4).

β11 =3±√

36 ,

β11 β11

1− β11 1− 2β11 β11

12

12

.

Prednost diagonalno implicitne metode je v tem, da resimo najprejsistem d = dim k1 = dim k2 nelinearnih enacb, da dobimo k1, natose en podoben sistem za k2.



Polno implicitna metoda, Hammer & Hollingsworth (tudiGauss-Legendre cetrtega reda): lokalna napaka O

(h5).

12 −√

36

14

14 −√

36

12 +

√3

614 +

√3

614

12

12


Runge-Kutta metoda v splosnem

BucherjevaShema s-stopenjske metodeα1 β11 β12 · · · β1s

α2 β21 β22 · · · β2s...

......

......

αs βs1 βs2 · · · βss

γ1 γ2 · · · γs

Runge-Kutta metoda:

ki = f

xn−1 + αi h, yn−1 + hs∑

j=1βij kj

, i = 1, 2, . . . , s,

yn = yn−1 + hs∑

i=1γiki .


Zelo uporabljana metoda RK4, lokalna napaka O(h5)

012

12

12 0 1

21 0 0 1

16

26

26

16

k1 = f(xn−1, yn−1),

k2 = f(

xn−1 +12h, yn−1 +

h2k1

),

k3 = f(

xn−1 +12h, yn−1 +

h2k2

),

k4 = f(xn−1 + h, yn−1 + hk3) ,

yn = yn−1 +h6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) .


Stabilnost in konvergenca enoclenskih metod

Splosna oblika enoclenske metode

yn = yn−1 + h ψ(xn−1, yn−1, h)︸︷︷︸numericni odvod

, n = 1, 2, . . . , y0 = ya.

Tu je funkcija ψ numericni odvod, priblizek pravega odvoda f.

DefinicijaEnoclenska metoda je stabilna, ce za vsakodiferencialno enacbo, ki zadosca zahtevameksistencnega izreka, obstajata konstanti h0 > 0 inc > 0, taksni, da za dve numericni resitvi (yn) in(yn), z zacetnima vrednostima y0 in y0, velja

‖yn − yn‖ ≤ c‖y0 − y0‖

za vsak h, 0 < h ≤ h0 in vse n.


IzrekCe je ψ Lipschitzova v y, je enoclenska metodastabilna.

DefinicijaEnoclenska metoda je konvergentna, ce za vsakodiferencialno enacbo, ki zadosca zahtevameksistencnega izreka, za vsak n velja

‖yn − y(xn)‖ → 0 ,

ko h→ 0.

Izrek

Naj bo ψ Lipschitzova v y in zvezna v spremenljivkahh in x ∈ [a, b]. Potreben in zadosten pogoj zakonvergenco je konsistentnost numericne metode,

ψ(x , y, 0) = f(x , y) .J.Kozak Uvod v numericne metode 2011-2012 13 / 41

RK4 in numericni korak za avtonomno enacbo y′ = f(y):

k1(yn−1) = f(yn−1),‖k1(yn−1)− k1(yn−1)‖ ≤ L‖yn−1 − yn−1‖

k2(yn−1) = f(

yn−1 +h2k1(yn−1)

),

‖k2(yn−1)− k2(yn−1)‖ ≤ L(1 + 12 hL)‖yn−1 − yn−1‖

k3(yn−1) = f(

yn−1 +h2k2(yn−1)

)‖k3(yn−1)− k3(yn−1)‖ ≤ L(1 +

12hL +

14(hL)2)‖yn−1 − yn−1‖

k4(yn−1) = f (yn−1 + k3(yn−1))‖k4(yn−1)− k4(yn−1)‖ ≤L(1 + hL + 1

2(hL)2 + 14(hL)3)‖yn−1 − yn−1‖

‖ψ(xn−1, yn−1, h)− ψ(xn−1, yn−1, h)‖ ≤

≤ L(

1 +12hL +

16(hL)2 +

124(hL)3

)‖yn−1−yn−1‖ ≤ Le(b−a)L‖yn−1−yn−1‖.


Red metodeLokalna napaka: razlika yn − y(xn) pri pogoju yn−1 = y(xn−1).Torej

τn(h) = yn − y(xn) =

= yn−1 + hψ(xn−1, yn−1, h)− y(xn) =

= y(xn−1) + hψ(xn−1, y(xn−1), h)− y(xn) .

IzrekNaj bo ψ taksna, kot jo zahteva konvergencni izrek.Naj za lokalno napako velja, da obstajata konstantih0 > 0 in C > 0, da za vse h, 0 < h ≤ h0 in n veljaocena

‖τn(h)‖ ≤ Chr+1.

Tedaj za globalno napako velja

‖yn − y(xn)‖ ≤ Chr(

e(b−a)L − 1) 1

L + e(b−a)L‖y0 − y(x0)‖ .


Kontrola koraka in vgnezdene metode: Mersonova metoda

0 013

13 0

13

16

16 0

12

18 0 3

8 01 1

2 0 −32 2 0

16 0 0 4

616

yn − y(xn) = yn−1 +h6 (k1 + 4k4 + k5)− y(xn) = −

1720h5y(5)(xn−1)︸︷︷︸

ε

+O(

h6),

yn − y(xn) = yn−1 +h2 (k1 − 3k3 + 4k4)− y(xn) =

= − 1120h5y(5)(xn−1)︸︷︷︸

6ε

+O(

h6),

6 yn − yn5 − y(xn) = O

(h6),


Splosna vgnezdena Runge-Kutta metodaButcherjeva shema:

α1 β11 · · · β1s

α2 β21 · · · β2s...

......

...αs βs1 · · · βss

γ1 · · · γs

γ1 · · · γs

Osnovni Runge-Kutta korak:

yn = yn−1 + hs∑

i=1γiki ,

Cenilka:yn = yn−1 + h

s∑i=1

γiki .


Prakticna uporabaPriblizek in cenilka: yn = (yn,i), yn = (yn,i).Cilj:

|yn,i − yn,i |ηi

≤ ε , i = 1.2, . . . , d .

Utezi komponente ηi :ηi := ρi + (1− ρi) |yn,i |, ρi ∈ (0, 1].

Merila izracunane ocene napake:

δn =

√√√√ 1d

d∑i=1

(yn,i − yn,iηi

)2, δn = max

1≤i≤d

∣∣∣∣yn,i − yn,iηi

∣∣∣∣ .Korak hn := xn − xn−1 zavrzemo, ce

δn > ε ali δn > hn ε.

Ker hn ni sprejemljiv, ga razpolovimo

hn →hn2

in ponovimo izracun iz xn−1.J.Kozak Uvod v numericne metode 2011-2012 18 / 41

Korak hn sprejemljiv. Dolocimo hn+1. Ocena napake naj se obnasakot razlika lokalnih napak osnovne metode in cenilke,

δn ≈(

C1hr+1n − C2hr+1

n

)≈ Chp+1

n , p := min (r , r) .

Ce velja to tudi za nov korak, z isto neznano konstanto, izlocimo Cin dobimo

δn+1 ≈δn

hp+1n

hp+1n+1 .

Absolutni kriterij zahteva δn+1 ≤ ε, relativni δn+1 ≤ ε hn+1. To dakandidata za nov korak kot

qnhn, kjer je qn = p+1

√ε

δnali qn = p

√ε hnδn

.

Faktorji varnosti:

τ =9

10 , qmin ∈[1

5 ,23

], qmax ∈

[32 , 5

].

Nov korak hn+1 izberemo z

hn+1 = hn min (qmax , max (qmin, τ qn)) .


Fehlbergova sest-stopenjska metoda metoda

0 0

14

14 0

38

332

932 0

1213

19322197 −7200

219772962197 0

1 439216 −8 3680

513 − 8454104 0

12 − 8

27 2 −35442565

18594104 −11

40 0

25216 0 1408

256521974104 −1

516

135 0 665612825

2856156430 − 9

502

55J.Kozak Uvod v numericne metode 2011-2012 20 / 41

Dormand & Prince metode petega reda

0 0

15

15 0

310

340

940 0

45

4445 −56

15329 0

89

193726561 −25360

2187644486561 −212

729 0

1 90173168 −355

33467325247

49176 − 5103

18656 0

1 35384 0 500

1113125192 −2187

67841184 0

35384 0 500

1113125192 −2187

67841184 0

517957600 0 7571

16695393640 − 92097

339200187

21001

40J.Kozak Uvod v numericne metode 2011-2012 21 / 41

Vecclenske metodeVecclenska metoda doloci numericno vrednost yn ≈ y(xn) tako, dauporabi vec ze izracunanih vrednosti yn−1, yn−2, . . . Naj k ∈ INoznaci stevilo uporabljenih vrednosti; k-clenska metoda iz vrednosti

yn−k , yn−k+1, . . . , yn−1

dolociyn ≈ y(xn).

Pri metodah te vrste obicajno ne spreminjamo koraka. Zato seomejimo na ekvidistantno izbiro koraka h in

xn−i = xn − i h, i = 0, 1, . . . , k.

Vecclenske metode so lahko precej hitrejse od enoclenskih metod,saj na vsakem koraku ni treba izracunati s vrednosti desne strani fkot pri s-stopenjski Runge-Kutta metodi, ampak le eno. Imajo tudisvoje sibke strani: numericna stabilnost, zacetek. k-clenskametoda potrebuje k ze izracunanih vrednosti (22) na zacetku. Temetode niso prilagodljive, spreminjanje koraka h ni zelo preprosto.


Poznamo tri razrede pomembnejsih vecclenskih metod:Adamsove metode,metode Milneovega tipa,BDF metode.

Dva izpeljemo z integracijo diferencialne enacbe (Adamsovemetode, metode Milneovega tipa), tretjega pa z diferencnoaproksimacijo odvoda (BDF metode).


Adamsove metode

Izpeljimo najprej eksplicitne Adamsove metode, ki jih imenujemoAdams-Bashforthove metode. Dobimo jih tako, da diferencialnoenacbo integriramo vzdolz resitve y(x) po zadnjem podintervalu[xn−1, xn],

xn∫xn−1

y′(x) dx =

xn∫xn−1

f(x , y(x)) dx

in od tod

y(xn) = y(xn−1) +

xn∫xn−1

f(x , y(x)) dx .

Preostane aproksimacija integrala na desni strani. Ker y nepoznamo, ne poznamo vrednosti vektorske funkcije f( . , y( . )).Uporabimo aproksimacijo f z interpolacijskim polinomom v drugiNewtonovi obliki.


Novo spremenljivko t vpeljemo s t =x − xn−1

h in

p(x) = p(xn−1 + h t) =k−1∑i=0

(−1)i(−ti

)∇i fn−1

in, ob zamenjavi integracijske spremenljivke x → t,

xn∫xn−1

f(x , y(x)) dx = h1∫

0

k−1∑i=0

(−1)i(−ti

)∇i fn−1 dt + Rf .

Tako dobimo

yn = yn−1 + hk−1∑i=0

γi∇i fn−1 ,

kjer je

γi := (−1)i1∫

0

(−ti

)dt .


Uporabimo zakljuceno obliko obratne koncne diference in izpeljemok−1∑i=0

γi∇i fn−1 =k−1∑i=0

γi

i∑j=0

(−1)j(

ij

)fn−1−j =

=k−1∑j=0

(−1)j fn−1−j

k−1∑i=j

γi

(ij

)=

k−1∑j=0

βk,j+1fn−1−j ,

kjer smo oznacili

βk,j+1 := (−1)jk−1∑i=j

γi

(ij

).

Poglejmo si se ostanek Rf, ki ga lahko pisemo tudi kot R (y′), sajje y tocna resitev, po eksistencnem izreku vsaj zveznoodvedljiva.Produkt

ω(x) = (x − xn−1)(x − xn−2) · · · (x − xn−k) =

= ω(xn−1 + h t) = (−1)khkk!(−tk

)za x ∈ [xn−1, xn], torej t ∈ [0, 1] ne spremeni predznaka.


Ostanek, torej lokalno napako, lahko zapisemo v obliki

R(y′)=

∫ xn

xn−1ω(x)[xn−1, xn−2, . . . , xn−k , x ]y′dx = γkhk+1y(k+1) (ξ) .

Zamenjajmo se indeks j + 1→ j in dobimo Adams-Bashforthovemetode izrazene takole

yn = yn−1 + hk∑

j=1βkj fn−j , k = 1, 2, . . . .


Koeficienti Adams-Bashforthovih metod za k ≤ 3Izracunajmo najprej γi ,

γ0 = (−1)01∫

0

(−t0

)dt = 1 , γ1 = (−1)1

1∫0

−t1! dt =

12 ,

γ2 = (−1)21∫

0

(−t)(−t − 1)2! dt =

512 .

Pri k = 1 dobimo spet eksplicitno Eulerjevo metodo, in vse triskupaj

k = 1 : yn = yn−1 + hfn−1,

k = 2 : yn = yn−1 + h(3

2 fn−1 −12 fn−2

),

k = 3 : yn = yn−1 + h(23

12 fn−1 −43 fn−2 +

512 fn−3

).


Tabela Adams-Bashforthovih metodIzracunajmo tabelo koeficientov βkj Adams-Bashforthove metodeza k ≤ 6, kjer izpostavimo skupni imenovalec koeficientov:

βki \i 1 2 3 4 5 6

β1i 12β2i 3 −1

12β3i 23 −16 524β4i 55 −59 37 −9

720β5i 1901 −2774 2616 −1274 2511440β6i 4277 −7923 9982 −7298 2877 -475


Implicitne Adamsove-Moultonova metodeIzpeljimo se implicitne Adamsove metode, ki jim recemoAdams-Moultonove metode. Ravnamo tako kot v izpeljaviAdams-Bashforthovih metod. Diferencialno enacbo y′ = f(x , y)integriramo po zadnjem podintervalu. Razlika nastane pri izbiriinterpolacijskega polinoma p. Tokrat za konstrukcijo uporabimo sezadnjo tocko xn in iskano vrednost yn, torej tudi fn,

p(x) = p(xn + h t) =k∑

i=0(−1)i

(−ti

)∇i fn + Rf .

Vidimo, da je tu izraz ∇i fn zamenjal ∇i fn−1, saj upostevamo tudizadnjo tocko. Prav tako je k zamenjal k − 1. Polinomi temeljijo naeni interpolacijski tocki vec kot pri eksplicitni metodi. Seveda je pridanem k implicitna metoda se vedno k-clenska. Po integracijidiferencialne enacbe in zamenjavi integracijske spremenljivkedobimo

y (xn) = y (xn−1) + h0∫−1

k∑i=0

(−1)i(−ti

)∇i fn dt + Rf .


To da metodo

yn = yn−1 + hk∑

i=0γ∗i ∇i fn ,

kjer je

γ∗i = (−1)i0∫−1

(−ti

)dt = (−1)i

1∫0

(−t + 1

i

)dt .

Zpomba

Izracunajmo nekaj koeficientov γ∗i ,

γ∗0 = (−1)00∫−1

(−t0

)dt = 1 , γ∗1 = (−1)1

0∫−1

−t1! dt = −1

2 ,

γ∗2 = (−1)20∫−1

(−t)(−t − 1)2! dt =

12

(13 −

12

)= − 1

12 .


Splosna oblika metod

yn = yn−1 + hk∑

j=0β∗kj fn−j .

ZpombaTabela koeficientov Adams-Moultonove metode β∗ki zak ≤ 5:

β∗ki \i 0 1 2 3 4 5

β∗0i 1

2β∗1i 1 1

12β∗2i 5 8 −124β∗3i 9 19 −5 1

720β∗4i 251 646 −264 106 −191440β∗5i 475 1427 −798 482 −173 27


Splosne linearne vecclenske metodeVzemimo Adamsove metode prejsnjega razdelka kot izhodisce zaformulacijo splosne linearne k-clenske metode. Adamsova metodadoloci yn iz yn−1 in linearne kombinacije odvodov f. Razsirimo to vsplosno linearno k-clensko metodo:

k∑i=0

αi yn−i + hk∑

i=0βi fn−i = 0 .

Ker je enacba homogena, izberimo α0 := −1, z mislijo na to, da ynsodi na drugo stran enacbe, saj ga racunamo. Ostane 2k + 1svobodnih parametrov. Metoda je eksplicitna, ce je β0 = 0, sicer jeimplicitna. Linearni k-clenski metodi priredimo rodovna polinoma

ρ(ξ) :=k∑

i=0αiξ

k−i

in

σ(ξ) :=k∑

i=0βiξ

k−i , (1)

ki v mnogocem olajsata analizo vecclenskih metod.J.Kozak Uvod v numericne metode 2011-2012 33 / 41

IzrekLinearna k-clenska metoda (33) je reda r natankotedaj, ko velja relacija

ρ(1 + z) + ln(1 + z)σ(1 + z) = cr+1z r+1 +O(

z r+2), (2)

kjer je cr+1 6= 0.

ZpombaNaj bo k-clenska metoda vsaj reda 0. Vstavimo z = 0in ugotovimo ρ(1) = 0. Ce je red r vsaj 1, lahkoenacbo odvajamo in ponovno vstavimo z = 0. To daρ′(1) + σ(1) = 0 . Ce je torej metoda vsaj prvega reda,recemo, da je konsistentna, podobno kot v izreku 2.Linearna vecclenska metoda je konsistentna, ce velja

ρ(1) = 0, ρ′(1) + σ(1) = 0.


ZpombaAdamsove metode smo izpeljali tako, da smodiferencialno enacbo integrirali po zadnjempodintervalu. Torej je prvi rodovni polinom nujnooblike ρ(ξ) = −ξk + ξk−1. Privzemimo k = 2 in poiscimoσ za eksplicitno metodo. Ker je β0 = 0, je σkvecjemu prve stopnje. Iz (2) ugotovimo

σ(1 + z) = − ρ(1 + z)ln(1 + z) +O

(z2)=

(1 + z)2 − (1 + z)ln(1 + z) +O

(z2)=

= (1 + z)z(1

z +12 −

z12

)+O

(z2)= (1 + z)

(1 +

z2

)+O

(z2)=

=32(1 + z)− 1

2 +O(

z2).

Tako smo dobiliσ(ξ) =

32ξ −

12

inyn = yn−1 + h

(32 fn−1 −

12 fn−2

).J.Kozak Uvod v numericne metode 2011-2012 35 / 41

ZpombaNaj bo ponovno k = 2. Izpeljimo se implicitnometodo, β0 6= 0. Polinom σ je stopnje ≤ 2, lokalnanapaka je reda 3. Torej

σ(1 + z) = − ρ(1 + z)ln(1 + z) +O

(z3)=

(1 + z)2 − (1 + z)ln(1 + z) +O

(z3)=

= (1 + z)z(1

z +12 −

z12

)+O

(z3)=

=5

12(1 + z)2 +23(1 + z)− 1

12 .

Slediσ(ξ) =

512ξ

2 +23ξ −

112 ,

metoda je

yn = yn−1 + h( 5

12 fn +23 fn−1 −

112 fn−2

).


Milneove metodeRazred vecclenskih metod, ki temeljijo na Newton-Cotesovihintegracijskih pravilih, poimenujmo po najbolj znanempredstavniku, po Milneovi metodi. Ta je cetrtega reda. Te metodenajpogosteje uporabljamo kot prediktor-korektor metode.Eksplicitni del koraka da zacetni priblizek, implicitni korektorvrednost popravi. Pri tem izbiramo prediktor in korektor tako, dasta istega reda. Formalno te metode izpeljemo z integracijodiferencialne enacbe po vseh zadnjih k podintervalih, [xn−k , xn].Tako dobimo

xn∫xn−k

y′(x) dx = y(xn)− y(xn−k) =

xn∫xn−k

f(x , y(x)) dx .

Z izbiro intervala integracije je prvi rodovni polinom ρ dolocen,ρ(ξ) = −ξk + 1

za vse metode Milneovega tipa. Za aproksimacijo integrala fuporabimo Newton-Cotesova pravila, za prediktor odprtega, zakorektor pa zaprtega tipa.J.Kozak Uvod v numericne metode 2011-2012 37 / 41

Da dosezemo enak red lokalne napake za prediktor in korektor,moramo za prediktor izbrati za dva vecji k. Metoda se glasi

yn(p) = yn−k−2 + h

k+1∑i=1

βi(p)fn−i ,

yn(k) = yn−k + h

k∑i=0

βi(k)fn−i , z fn = f

(xn, yn

(p)).

Tu (p) oznacuje prediktor, (k) pa korektor.


Zpomba (Milneova metoda)Tu je k = 4 za prediktor, torej k = 2 za korektor.Prediktor: ρ(ξ) = −ξ4 + 1,

σ(1 + z) = − ρ(1 + z)ln(1 + z) +O

(z4)=

=83(1 + z)3 +

43(1 + z)2 +

83(1 + z) +O

(z4).

Dobili smo

yn(p) = yn−4 +

h3 (8fn−1 − 4fn−2 + 8fn−3) .

Se korektor (Simpsonovo pravilo), ρ(ξ) = −ξ2 + 1,

σ(1 + z) = − ρ(1 + z)ln(1 + z) +O

(z4)=

=13(1 + z)2 +

43(1 + z) + 1

3 +O(

z4).

Vidimo, da je korektor v Milneovi metodi

yn(k) = yn−2 +

h3(fn

(p) + 4fn−1 + fn−2)

Simpsonovo pravilo.


Implicitne BDF metodeKratica BDF oznacuje metode, ki temeljijo na obratnih koncnihdiferencah. Izpeljemo jih tako, da v diferencialni enacbiaproksimiramo odvod. Stabilne so le v implicitni obliki. Veliko seuporabljajo tudi v resevanju togih problemov. Izpeljava:

y(x) ≈ p(x) = p(xn + t h) =k∑

i=0(−1)i

(−ti

)∇iyn .

Sledidpdx

∣∣∣∣∣x=xn

=∂p∂t

d td x

∣∣∣∣∣t=0

=1h

ddt

( k∑i=0

(−1)i(−ti

)∇iyn

) ∣∣∣∣∣t=0

.

Odvod binomskega koeficienta da

ddt

((−t)(−t − 1) · · · (−t − (i − 1))

i!

) ∣∣∣∣∣t=0

=

0 , i = 0,(−1)i

i , i > 0,,

dpdx

∣∣∣∣∣x=xn

=1h

k∑i=0

1i ∇

iyn .J.Kozak Uvod v numericne metode 2011-2012 40 / 41

To pomnozimo s h in dobimo BDF metode v oblikik∑

i=1

1i ∇

iyn = hf(xn, yn), k = 1, 2, . . .

k metoda

1 yn = yn−1 + hf (xn, yn)

2 yn = 43yn−1 −

13yn−2 +

23hf (xn, yn)

3 yn = 1811yn−1 −

911yn−2 +

211yn−3 +

611hf (xn, yn)

4 yn = 4825yn−1 −

3625yn−2 +

1625yn−3 −

325yn−4 +

1225hf (xn, yn)

5 yn = 300137yn−1 −

300137yn−2 +

200137yn−3 −

75137yn−4+

+12

137yn−5 +60

137hf (xn, yn)

Tabela: BDF metode za k = 1, 2, . . . , 6


numericne metode ii - fmf.uni-lj.sikozak/pedagoskodelo/gradiva/uvodvnumericnemetode/... ·...

Documents