numerika final

7/27/2019 Numerika Final

1/18


2/18

2

gdje se kao u prethodnom primjeru izbjegava oduzimanje bliskih brojeva. Na primjer, za imamo

, . Oduzimanjem ovih brojeva dobijamo , a to je

priblina vrijednost za . Kao to se vidi, ova vrijednost ima samo jednu znaajnu cifru, dok smopolazne brojeve uzeli sa 10 znaajnih cifara. Dakle, zbog oduzimanja bliskih brojeva relativna greka seznatno poveala. Po formuli (*) nalazimo

Tana vrijednost data sa 10 tanih znaajnih cifara iznosi , odakle izlazi da je greka. Za x=20 kod oduzimanja se gube sve znaajne cifre, a po formuli (*) ostaje 10 znaajnih

cifara, tj. dobijamo .

Primjer 3. Izraunajmo razliku tg sin za . Kako je tg i sin, dobijamo razliku . Dakle gube se tri znaajne cifre. Meutim po formuli

za nalazimo , a to je rezultat sa 10 znaajnih cifara.

3. Pod kojim uslovima metod tangente konvergira (dokazati).Za metod iteracije: ; konvergira za

Kod metoda tangent imamo:

svi izvodi po x moraju biti manji od 1.

Uslov konvergencije po formuli za metod iteracije da bi metod tangente konvergirao je:

Ovaj uslov konvergencije se najee primjenjuje kad su u pitanju sistemi nelinearnih jedanina. Uskalarnom sluaju ako prvi i drugi izvod mijenjaju znak, a funkcija je difer. neprekidna (???) u okolinitake u kome se nalazi poetno rjeenje metod konvergira ka tanom rjeenju jednaine uz izbor poetnogrjeenja:

Sa aspekta drugog izvoda mogu nastupiti etiri kombinacije.a) i i neka jeTo znai: ako jePrva taka:

Niz koji dobijamo:


3/18


4/18


5/18

5

5. Pokazati koji su od operatora E, I i komutativniOperator pomjeranja E

Ovaj operator, dakle, pomjera argument funkcije zakorak h, a diskretnu vrijednost preslikava u

sljedeu vrijednost .

Jedinini operator I

Ovaj operator se uvodi formalno i igra vanu ulogu.

Operator zadnje razlike (nabla)

Ovim operatorom funkcija se preslikava na prirataj raunat unazad.

Oznaimo sa i dva proizvoljna operatora.Zbir ili razlika operatora i definie se jednakouNa osnovu ove definicije zakljuujemo da je sabiranje operatora komutativno.

Iz sveske: komutativnost

Sad valjda treba pokazat jel npr

I ta sad???

6. Kad je mogue i kad je pogodno primjeniti I, a kad II Newtonov interpolacionipolinom i zato?

Jedan od oblika polinoma n-tog reda koji prolazi kroz taaka je:

gdje je parametar s, tzv. interpolaciona promjenjiva, data izrazom:

ime je , gdje je korak, tj. , a razlike su date izrazima:

Ove razlike se mogu dobiti i pomou tzv. tabele podijeljenih razlika. Jedna takva tabela za etirivrijednosti funkcije data je na slici, pri emu vrijednost svakog lana tabele predstavlja razliku dvijevrijednosti sa lijeve strane kao to je to dato i gornjim izrazima.


6/18

6

Polinom predstavljen jednainom (*) naziva se prvi Newtonov interpolacioni polinom, ili Newtonovinterpolacioni polinom za diferenciranje unaprijed. Ovaj polinom ima osobinu da prolazi kroz svih

zadatih taaka. Imajui u vidu teorem o jedinstvensti rjeenja, on predstavlja eljeni jedinstveniaproksimacioni polinom.

Najvea prednost ovog polinoma je to, osim jednostavnosti, poveani red polinoma, a time i njegovutanost, dobijamo dodavanjem dodatnog lana na prethodni polinom manjeg reda, tako da nije potrebno

dodatno raunanje koeficijenata. Time se rad koji je uinjen prethodno, sa manjim brojem podataka,nemora ponavljati.PrviNewtonov interpolacioni polinom koristi se za poetnu grupu podataka, ili grupu podataka koja senalazi u sredini itave grupe. U sluaju kada je neophodno primijeniti ovu metodu na posljednju grupu

podataka, neophodne razlike unaprijed ne postoje, pa se koristi tzv. drugi Newtonov interpolacionipolinom, ili Newtonov interpolacioni polinom za diferenciranje unazad koji je dat izrazom:

pri emu je:

a ostale oznake su kao u prethodnom sluaju.

7. Izvesti Simpsonovu formulu i pokazati kolika je njena grekaIz knjige(Uvod u numeriku analizu, Dobrilo . Toi):

Neka je funkcija tabelirana u taaka za koje dobijamo .Ove take su ekvidistantne, tj. , pri emu je . Kod Lagrange-ovog interpolacionog polinoma uveli smo pomonu funkciju (polinom) formulom:

Smjenom pomona funkcija se svodi na

gdje je tzv.faktorijelni polinom, definisan pomou

Na osnovu ovoga Lagrange-ova interpolaciona formula postaje


7/18

7

Ako ovaj polinom uvrstimo u jednakost

dobijamo:

Kako je , imamo:

Korak je odreen segmentom integracije i brojem interpolacionih lanova, tj. . Na

osnovu toga nalazimo:

gdje je Newton-Cotesov koeficjent. Primjenom ovih koeficjenata kvadraturna formula

se svodi na:

Kako je , gdje je

greka numerike integracije iznosi:

Za dobijamo Simpsonovo pravilo za koje je . Za ove koeficjente

imamo formulu:


8/18


9/18

9

a za opti interval

Dakle, opta greka Simpsonovog pravila je etvrtog reda, pa se ova metoda i najee koristi u praksi.

8. Greka Hermiteovog interpolacionog polinoma (komentarisati uticajne faktore)(iz rukom pisane skripte):

Neka je tabelirano u takama i neka je diferencijabilna puta. Neka sui redom vrijednosti funkcije i njenog izvoda u svim takama. Formiraemo

polinom stepena :

i

Ako su

onda moemo zapisati kao :

Neka su funkcije i date sa:

i ako ih uvrstimo u prethodnu jednainu dobijamo:

Ova jednaina predstavlja Hermiteov interpolacioni polinom, a je pomona funkcija data sa:

Greka Hermitovog interpolacionog polinoma:Da bismo odredili greku aproksimacije formirajmo pomonu funkciju:

taka u kojoj ocjenjujemo grekuZa svaku vornu taku moemo zakljuiti da je korijen, tj. svaka vorna taka je dvostruki korijen.

korijena

Prema Rolle-ovoj teoremi postoji za koje vai jednakost pri emu je

Ako desnu stranu jednaine diferenciramo puta i uvedemo dobijamo:

odakle dobijamo da je greka Hermitovog interpolacionog polinoma

Ako je onda je greka


10/18


11/18

11

9. Objasniti srednjekvadratnu aproksimaciju(iz knjige Numerika analiza, predavanja i vjebe)Kriteriji aproksimacijeAproksimacijske funkcije biraju se tako da najbolje zadovolje uvjete koji se postavljaju na njih.

Najei su zahtjevi da graf aproksimacijske funkcije prolazi odredenim takama tj. da interpolirafunkciju u tim takama ili da je odstupanje aproksimacijske od polazne funkcije u nekom smisluminimalno, tj. tada se minimizira pogreka.

Interpolacija

Interpolacija je zahtjev da se vrijednosti funkcija i podudaraju na nekom konanom skupuargumenata (ili krae taaka). Te take obino nazivamo vorovima interpolacije. Ovom zahtjevu semoe, ali i ne mora dodati zahtjev da se u vorovima, osim funkcijskih vrijednosti, poklapaju i vrijednostinekih derivacija.Drugim rijeima, u najjednostavnijem obliku interpolacije, kad traimo samo podudaranje funkcijskihvrijednosti, od podataka o funkciji koristi se samo informacija o njenoj vrijednosti na skupu od

taaka, tj. podaci oblika , gdje je , za .Parametri (kojih mora biti tano onoliko koliko i podataka!) odeuju se iz uvjeta

to je, openito, nelinearni sistem jednaina. Ako je aproksimacijska funkcija linearna, onda zaparametre dobivamo sistem linearnih jednaina koji ima tano jednaina i nepoznatih.Matrica tog sistema je kvadratna, to bitno olakava analizu egzistencije i jedinstvenosti rjeenja za

parametre interpolacije.

Minimizacija pogrekeMinimizacija pogreke je drugi kriterij odredivanja parametara aproksimacije. Funkcija bira se tako dase minimizira neka odabrana norma pogreke

u nekom odabranom vektorskom prostoru funkcija definiranih na nekoj domeni . Ove aproksimacije,esto zvane i najbolje aproksimacije po normi, dijele se na diskretne i kontinuirane, ovisno o tome

minimizira li se norma pogreke na diskretnom ili kontinuiranom skupu podataka . Standardno se kaonorme pogreke koriste -norma i -norma. Za -normu pripadna se aproksimacija zovesrednjekvadratna, a metoda za njeno nalaenje zove se metoda najmanjih kvadrata.

to e rei da je odgovor na pitanje objasnit metod najmanjih kvadrata :D

(iz knjige: numerika matematika)Problemi najmanjih kvadrata

Problem najbolje -aproksimacije funkcije koja je zadana na konanom skupu taaka obino se uliteraturi naziva problem najmanjih kvadrata. Najprije emo na nekoliko tipinih primjera pokazati nekeprobleme iz primjena, koji se rjeavaju metodom najmanjih kvadrata.Primjer: Pretpostavimo da su rezultati mjerenja neke veliine . Treba odreditiaproksimaciju veliine tako da sve izmjerene vrijednosti budu to blie aproksimaciji

.


12/18

12

Pri tome pojam to blie shvaamo u smislu zahtjeva da suma kvadrata odstupanja svih mjerenja odaproksimacije bude minimalna, tj. da bude

Ovaj princip nazivamo princip najmanjih kvadrata ili ee metoda najmanjih kvadrata, a problem

odreivanja aproksimacije na osnovi principa najmanjih kvadrata, nazivamo problem najmanjihkvadrata. Problem najmanjih kvadrata je specijalni problem ekstrema bez ogranienja. Lako se vidi da jerjeenje problema () aritmetika sredina podataka

Dakle, aritmetika sredina mjerenja je takva veliina koja ima svojstvo da je suma kvadrataodstupanja te veliine od mjerenja najmanja.

(iz skripte Numerike metode)Metoda najmanjih kvadrata

Metoda najmanjih kvadrata zasniva se na minimiziranju zbira kvadrata razlika , tj. na

minimiziranju funkcije , koja je zavisna od parametara aproksimacione funkcije:

Pri tome, aproksimaciona funkcija moe biti linearna ili nelinearna (pri tome se naziv linearanodnosi na linearnost po parametrima, a ne nezavisnim veliinama). Primjer linearne funkcije je polinom

-tog reda, dok su logaritamska ili eksponencijalna funkcija primjeri nelinearnih aproksimacionihfunkcija.

10.Kad je korisno sistem linearnih jedanina rjeavati metodama LU dekompozicije izato?

(iz skripte Numerike metode)Metode faktorizacije

Metode faktorizacije zasnivaju se na injenici da se matrice (kao i skalarne veliine), mogu faktorizirati(razloiti) u proizvod neke dvije matrice na beskonano mnogo naina. Kada su takve dvije matrice donjatrougaona, (od engleske rijei lower), i gornja trougaona, (od engleske rijei upper), tj.dobija se tzv. faktorizacija, koja je jedinstvena.

Metoda faktorizacije kod koje su elementi po dijagonali donje trougaone matrice jednaki jedinici nazivase i Doolittleova metoda, a ona kod koje su elementi dijagonale gornje trougaone matrice jednaki jedinici

metoda Crouta. Kod metode Doolittlea, matrica se dobija procesom Gaussove eliminacije (predstavlja

prvi dio proirene matrice prije primjene procesa zamjene unazad), dok matrica predstavlja zapismnoitelja u procesu eliminacije (brojevi u zagradama sa strane jednaina, koji mnoe jednainu saglavnim elementom u procesu eliminacije). Moe se pokazati da kada se odrede matrice i , rjeavanjese sastoji iz dva koraka:

prvo se vektor transformie u vektor koristei izraz (zamjena unaprijed):


13/18

13

a zatim se vektor rjeenja dobiva sa (zamjena unazad):

Osnovna prednost metoda faktorizacije je u tome to je broj operacija mnoenja i dijeljenja, kada supoznate matrice i , jednak , to je mnogo manje nego to to zahtijeva metoda Gaussove eliminacije.To naroito dolazi do izraaja kada se treba izraunati sistem jednaina za veliki broj razliitihvrijednosti vektora . Na slian nain se moe izvesti i algoritam za Croutovu metodu.

(iz knjige Numerika matematika)U nekim praktinim situacijama (primjerice analiza modela nacionalne privrede) treba vie putarjeavati sistem , gdje je matrica sistema (matrica tehnologije) uvijek ista, a vektor slobodnihkoeficijenata (outputi) se mijenja. Takoer se moe dogoditi da treba rijeiti sisteme i

, gdje je neka funkcija od . U takvim situacijama korisno je poznavati -dekompoziciju

matrice sistema .

Sistem tada glasi

Ako oznaimo

onda (1) postaje sistem:

koji se lako rjeava jerje matrica sistema donja trokutasta matrica s jedinicama na glavnoj dijagonali(Algoritam FS). Rjeenje sistema (3) uvrstimo u (2), koji se sada lako rjeava jer je matrica sistemagornja trokutasta matrica iji dijagonalni elementi nisu nule (Algoritam BS). Rjeenje sistema (2) je irjeenje polaznog sistema.Poznavajui -dekompoziciju matrice , lako moemo izraunati determinantu matrice

11.ta je potreban uslov konvergencije Gauss-Seidelovog metoda (pokazati).Gauss-Seidelov metod smo primjenili na rjeavanje sistema

pri emu smo formairali iterativni postupak

Posmatrajmo sada opti sluaj sistema od n linearnih jednaina, koji je dat u obliku .Napiimo matricu B pomou zbira dvije matrice

gdje je L strogo donja trougaona matrica i U gornja trougaona matrica. Jednostavno se dokazuje da seGauss-Seidelov iterativni postupak moe prikazati jednakou

Uslovi konvergencije niza koji je formiran pomou (1) mogu se izvesti iz uslova za Jacobiev iterativniproces. Iz jednakosti (1) izlazi


14/18

14

tj.

Matirca je ustvari iterativna matrica koja odgovara Jacobievom iterativnom procesu. Niz

dobijen pomou (2) konvergira ako su moduli korijena karakteristine jednaine iterativne matrice manjiod jedinice. Za iterativnu matricu karakteristina jednaina glasi

I kako je , imamo

Pri emu smo primjenili osobinu da je determinanta proizvoda matrica jednaka proizvodu determinanatamatrica. Iz jednaine (3) izlazi , tj.

Dakle, uslov konvergencije Gauss-Seidelovog metoda je u tome da korijeni jednaine (4) lee ujedininom krugu. Kod jednaine (4) su elementi strogo donje torugaone matrice pomnoeni sa .Napomena 1. Uslovi konvegrencije Jacobievog i Gauss-Seidelovog metoda su razliiti, to znai da ako

jedan postupak konvergira, drugi moe da divergira.To se najbolje vidi iz sljedeeg primjera:Za sistem linearnih jednaina , , gdje su i realni brojevi,iterativna matica je

Korijeni karakteristine jednaine lee u jedininom krugu ako je, a to je uslov konvergencije Jacobijevog iterativnog metoda. Za Gauss-Seidelov metod

formiramo jednainu

tj. . Ova jednaina ima korijene iji su moduli manji od 1 ako su ispunjeniuslovi i . Rezultati su prikazani na slici:

Ako se taka nalazi u jedininom krugu, Jacobijev postupak konvergira. Gauss-Seidelovpostupak konvergira ako se taka nalazi u trouglu ABC. Kao to se vidi, postoje zaista oblasti ukojima samo jedan metod konvergira.

Napomena 2. Izmeu normi matrice i njenih spostvenih vrijednosti postoji veza koja je dataGergorinovom teoremom.Teorema:Sve spostvene vrijednosti kompleksne matrice lee u uniji krugova

q

p

A

B

C1

0


15/18

15

ili

Napomena 3. Sistem linearnih jednaina naziva se normalnim ako je i ako je matrica Apozitivno definitna, tj. ako je pozitvno odreena kvadratna forma.Za konvergenciju Gauss-Seidelovog iterativnog postupka vai sljedea teorema:

Teorema: Gauss-Seidelov postupak za sistem , koji je rijeene redom po , konvergira akoje ovaj sistem normalan. Ako sistem nije normalan, on se moe transformisati na normalni sistemako se pomnoi sa , s obizrom da je simetrina i pozitivno definitna matrica.

12.Dati primjer izvoenja dvostruke integracije koristei proizvoljne formuleNeto najblie odgovoru to sam nala:

(iz skripte)Metode numerike integracije pokazane u prethodnim poglavljima na primjerima izraunavanja

jednostrukih integrala, mogu se koristiti i za izraunavanje viestrukih integrala. Posmatrajmo, na primjer,dvostruki integral:

Prethodna jednakost se moe predstaviti u obliku:

gdje je

Dakle, dvostruki integral se izraunava u dva koraka:1. Izraunavanje funkcije u izabranim vrijednostima za pomou bilo koje od prethodno opisanihmetoda

2. Izraunavanje integrala pomou bilo koje formule za numeriku integraciju.

(iz sveske)

(deifrirajte sliku)


16/18

16

Po x-osi trapezno pravilo, po y-osi simpsonovo

Izdjelimo na mreu i i svaku vrijednost uzimamo sa (neka rije)

13.Koji je potreban uslov konvergencije Jacobijevog metoda (dokazati).Sistem linearnih jednaina

Moemo prikazati pomou ekvivalentnog sistema

Ako sistem (1) izrazimo u matrinom obliku

Pomou njega moemo obrazovati iterativnu formula

Matricu nazivamo iterativnom matricom.

Potrebni i dovoljni uslovi konvergencije

Posmatrajmo ponovo iterativni postupak

Pretpostavimo da su poznate vrijednosti iterativne matrice , tj. korijeni karakteristinejednaine


17/18

17

iterativne matrice i odgovarajui sopstveni vektori koji su definisani pomou

Izrazimo vektor poetne greke

Ako od jednakosti (2) oduzmemo jednakost , dobijamo

tj.

gdje je vektor greke u -tom iterativnom koraku.Ako jedankost (4) pomnoimo sa , s obzirom na (3) i (5), dobijamo

Uzastopnim mnoenjem ove jednakosti sa , dolazimo do

Ako je , tada kada . Ovim smo dokazali sljedeu teoremu:Teorem:Ako se spostvene vrijednosti iterativne matrice nalaze u jedininom krugu , tadaiterativni proces (2) konvergira.

Vai i obrnuto: Ako iterativni proces (2) konvergira za svako , tada vektor greke kada. Ako , iz jednakosti (6) izlazi da mora biti ispunjen uslov .

Skup sopstvenih vrijednosti kvadratne matrice naziva se spektrom matrice. Spektralni radijus

matice definisan je sa

Na osnovu toga gornju teoremu moemo i ovako formulisati:Teorem:Iterativni proces (2) konvergira ako je i samo ako spektralni radijus iterativne matrice manji od

jedinice, tj .


18/18

18

14.Pokazati emu su jednake funkcije i kod Hermiteovog interpolacionogpolinoma

Evo neto najblie odgovoru to sam nala, samo treba deifrovat

numerika final

Documents