numeriska ber äkningar i naturvetenskap och teknik

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik

Dagens ämne:

Lite celest mekanik

F

),,( zyx),,( ZYX


Koordinatsystem

Kartesiska koordinater

z

x

y

xe

ye

ze

Enhetsvektorerna ärortogonala och

normerade


Cylinderkoordinater

x

z

e y

z

eze


Vektor- och skalärprodukt i cylinderkoordinater

)1,0,0(ze

)0,cos,sin( e

)0,sin,(cos e

e

e

e

cos

sin

sin

cos

x

y

1

3,2,1, 0

ii

ji

ee

jijiee

eee

eee

eee

z

z

z

Ortogonala

Högersystem


Sfäriska koordinater

z

x

ye

e

re


FrT

dt

pdF

vmrprL

TFrvmvdt

pdrp

dt

rd

dt

prd

dt

Ld

0

)(

2

2

dt

rdmF Kraftlagen

Momentet

Rörelsemängdsmomentet

ger:

Lite inledande mekanik

vmr

L

Fr

T


Rörelsemängdsmomentet är konstant...


Tdt

Ld

Centralkraft

r

0T

FrT

F

constant0 Ldt

Ld

r x p är vinkelrät mot r, dvs r är vinkelrät mot L som är konstant.

0)( prrLr

1. Rörelsemängdsmomentet är en rörelsekonstant

2. Rörelsen sker i ett plan


För att sätta upp rörelseekvationerna behöver vi känna accelerationen

i cylinderkoordinater.


Hastigheten i cylindriska koordinater

),sin,cos( zr

),cossin ,sincos(),sin,cos( zzdt

d

dt

rd

),0,0()0,cos,sin()0,sin, (cos z

Rörelse i planet givet av centralkraften

0z

eedt

rd )cos,sin()sin, (cos

Radiell hastighet

vinkelhastighet


Accelerationen i cylindriska koordinater

eedt

rd )cos,sin()sin, (cos

)()(2

2

edt

dee

dt

deee

dt

d

dt

rd

)( edt

deee

dt

de

?och edt

de

dt

d



edt

de

dt

doch

edt

de

dt

d )cos,sin()sin,(cos

)0,cos,sin( e

)0,sin,(cos e

esimdt

de

dt

d ),cos()cos,sin(



)(2

2

edt

deee

dt

de

dt

rd

eeeeedt

rd 22

2

med ins. enl. ovan

ee )2()( 2


Rörelsekvationerna i centralkraftsystemet

2

2

dt

rdmF ),,(),,( zyxmFFF zyx

kan detta också skrivas:

))2()(( 2zzz ezeemeFeFeF

eedt

rd)2()( 2

2

2

med accelerationen i planet

00 0


Rörelsekvationerna i planet i cylinderkoordinater

emeF )( 2

em )2(0

02

)2(1

)(1 22

dt

d

Beror av kraftens form

Kan integreras utan att kraften specifieras

Man utnyttjar nu följande trick...

0)( 2 dt

dkonstant2

dvs

vilket ger


Sektorhastigheten

y

x

d

ddA 2

1dA

22

2

1

2

1

dt

d

dt

dA

)( eeevmrprL

zem 2 ovan) (enl.konstant

m

L

dt

dA

2konstant

2

1 02

konstant2

Keplers andra lag

2ml 2m

l


Rörelsekvationerna i planet i cylinderkoordinater

emeF )( 2

)( 2 mF

2m

l24

22

2 m

l

m

l

nu används

men

)(24

2

m

lmF

m

lmF

3

2


Energin är en andra rörelsekonstant...


En andra rörelsekonstant

m

lFm

3

2

m

lmF

3

2

För en konservativ kraft, dvs en kraft som har en potential

Vd

dF

m

l

d

dVm

3

2

)2

(2

2

m

lV

d

dm

dt

dmultiplicera med

)2

(2

2

m

lV

d

d

dt

d

dt

dm

)

2(

2

2

m

lV

dt

dm

Detta är lika med

Nytt trick...


vänsterledet i ekv nedan

)2

(2

2

m

lV

dt

dm

mm

dt

d)

2

1( 2

)2

()2

1(

2

22

m

lV

dt

dm

dt

d

0)

22

1(

2

22

m

lVm

dt

d

Vi har nu tidsderivator på båda sidor av denna ekvation!

dvs

konstant22

12

22 V

m

lm

Fortsätt med att titta på

v.l. kan skrivas


konstant22

12

22 V

m

lm

22

2

22

2

242

2

2

mρ

mρ

ρm

m

l

eedt

rd

2m

l

Hastigheten är

Ekonstant22

1 222 Vm

m

Från L konstant har vi (fortfarande)

2222 ml


Lösningen till rörelsekvationerna

Man kan nu antingen välja att försöka integrera lösningen

i tidsvariabeln eller söka en lösning som funktion av vinkeln.

Vi börjar med det senare fallet:

m

lmF

3

2

2

kF

m

lm

k3

2

2

2m

l 2ml dmldt 2 d

d

m

l

dt

d2

)()(2222

2

d

d

m

l

d

d

m

l

d

d

m

l

dt

d

dt

d



)()(2222

2

d

d

m

l

d

d

m

l

d

d

m

l

dt

d

dt

d

m

lm

k3

2

2

23

2

22)(

k

m

l

d

d

m

l

d

dl

I detta läge har man således

d

d

d

d )/1(12

men

232

2 )( kum

ul

d

du

m

l

d

dlu

2

32

2

222

kum

ul

d

ud

m

ul

/1uBinet!



Binets ekvation för keplerfallet (1/r2 )

22

222

)( kuud

ud

m

ul

22

2

)(l

kmu

d

ud

2)cos(l

kmAu

Andra ordningens diff ekv. (löses med den sekulära ekvationen!)


Olika typer av banor

2)cos(l

kmAu

Referensriktning då α lika med noll

)cos1()cos1(1

2

2

2

e

l

km

km

lA

l

km

)cos1(

12

ekm

l


Olika typer av banor

Undersöks på egen hand i projektet!

)cos1(

12

ekm

l

cirkel 0e

ellips 1

parabel 1

hyperbel 1

2

2

2

2

e

e

e


Banrörelse ρ(t)

Ekonstant22

1 222 Vm

m

)2

(2

2

2

Em

lk

m

d

Emlk

m

dt

)2

(2

12

0

2

)2

(

1

2d

Emlk

mt


Banrörelse ρ(t)

0

2

)2

(

1

2d

Emlk

mt

Denna integral kan i princip lösas för t(ρ) men är inverteringen ρ(t) är inte möjlig i enkla funktioner. Samma sak gäller för

vinkelnsom funktion av tiden.

Vad kan man göra?


Ytterligare ett variabel byte...

)cos1( ea

a

Halva storaxeln

Eccentriska anomalin

a

t Genomsnitts anomalin

t


efter detta variabelbyte...

0

3

)cos1( dek

mat

Keplers 3e lag (kan också fås genom geometrisk betraktelse)

k

made

k

ma 2/32

0

3

2)cos1(


)sin()cos1(3

0

3

ek

made

k

mat

3

2

ma

k

sinet Keplers ekvation

)cos1( ea

Hur få ρ(t)? Endast numerisk lösning

ger sedan ρ (detta var vår substitution)!

Generellt vid tiden t


Tvåkropparsproblemet

För två kroppar under ömsesidig vxv ersättes m med reducerade

massan ovan:

21

21

mm

mm

Trekropparsproblemet...

Har lett till många försök till lösning (Poincare mfl). Det existerar serieutvecklingslösningar...Läs gärna själv

historienbakom inkluderande ex.vis Mittag-Lefflers pris.


drdzddV 2

1

Notera att volymelementet i cylinderkoordinater är:

x

z

d

d

dz

y

numeriska ber äkningar i naturvetenskap och teknik

Documents