Época moderna

Licenciatura en matemáticas

1. Expresar el número 802251 como una fracción continua.

Solución: Las fracciones continuas se estudian mediante el proceso de la división reiterada, de la determinación de divisores de los números involucrados, en particular del máximo común divisor de diferentes números.

802=251 (3 )+49251=49 (5 )+149=6 (8 )+16=1 (6 )+0

Entonces

802251= 3+ 1

5+ 1

8+ 16

Por lo tanto 802251

=[3 ,5 ,8 ,6]

2. Expresar el número áureo como fracción continua.Solución:El número áureo es un numero irracional representado por la letra griega φ, una forma para encontrar φ como fracción continua es considerar las soluciones a la ecuación cuadrática x2−nx−1=0, donde n = 1, entonces se tiene.

x2−x−1=0(1)

Reestructurando esta ecuación se tiene que,

x2=x+1

Dividiendo ambos lados por x (cuando x no tiende a cero) se tiene x=1+ 1x

Que contiene una fracción continua directamente para la raíz (positiva). Este es el valor de x que al que se llama φ, siendo entonces,

φ=1+ 1φ

(2)

Al resolver también la ecuación (1) por la formula general se obtiene las raíces siguientes

φ1=1+√52

≈1.618

φ2=1−√52

≈0.618

Comprobando que la raíz positiva es el número de áureo. Aplicando, así mismo la ecuación (2), se tiene que,

φ=1+ 1

1+ 1φ

De esta forma, si esta aplicación se hace iterativamente, se obtiene su representación en fracciones continuas.

φ=1+ 1

1+ 1

1+ 1

1+ 11+⋯

Así se tiene que

φ=[1,1,1,1,1,1. ..]

Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal no tiene período) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, o sea, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Una de sus propiedades aritméticas más curiosas es que su cuadrado (Φ2 = 2,61803398874989...) y su inverso (1/Φ = 0,61803398874989...) tienen las mismas infinitas cifras decimales.