8/19/2019 Número de Bernoulli

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En matemáticas, los números de Bernoulli (denotados por y, a veces, por con el finde distinguirlos de los números de Bell) constituyen una sucesión de números racionales conprofundas conexiones en teoría de números.

Fueron llamados así por !ra"am de #oivre, en "onor de $a%o! Bernoulli, primer matemático&ue los estudió. 'os números de Bernoulli tam!in aparecen en la expansión de lasfunciones tangente y tangente "iper!ólica mediante series de aylor , en la fórmula de Euler*#aclaurin y en las expresiones de ciertos valores de la función +eta de iemann.

Índice  -ocultar 

• /0ntroducción

• 12efinición de los números de Bernoulli

• 3lgunos valores

• 40dentidades relacionadas

• 56ropiedades aritmticas

o 5./7ontinuidad p*ádica

• 89ase tam!in

• :Enlaces externos

Introducción-editar 

;istóricamente, surgieron de los intentos de o!tener una forma cerrada de la suma depotencias de números naturales<

'as formas cerradas de la expresión son siempre polinomios en de orden . =eo!tuvo una de dic"as formas mediante polinomios de Bernoulli  y otra mediante el uso denúmeros de Bernoulli<

• > los polinomios de Bernoulli se pueden calcular a partir de esta fórmula<

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2onde los son los números de Bernouilli. > sa!iendo &ue , losdemás números se calculan mediante la siguiente fórmula recursiva<

6or e?emplo, si , tenemos &ue<

El primer algoritmo para la generación automática de números deBernoulli fue descrito por primera ve+ por da Byron en sus notas so!rela má&uina analítica de 7"arles Ba!!age a principios del siglo @9000.

Definición de los números de Bernoulli-editar 

=e pueden definir de diversas formas e&uivalentes<

• 7omo los trminos independientes de los polinomios de

Bernoulli  correspondientes, es decir,

• #ediante una función generatri+ A( x ), en este caso<

donde cada coeficiente Bn de la serie de aylor  es el n*simo númerode Bernoulli.

 Algunos valores-editar 

  continuación se ofrecen los primeros números de Bernoulli (lassucesiones completas de numeradores y denominadoresen E0= son, respectivamente,  C1:84/ y  C1:841)<

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

 B

n

1 #1$2

1$6

0 #1$%0

0 1$2

0 #1$%0

0 &$66

0 #6'1$2(%

0

0 ($6

0 #%61($&1

0

0 %)6($('

)

0 #1(611$%

%0

=e puede demostrar &ue para todo n impar distinto de /. 'a

peculiar forma del valor de parece seDalar &ue losvalores de los números de Bernoulli no tienen una descripciónelemental de "ec"o, esencialmente son valores de la función +eta de

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iemann para enteros negativos y están asociados a propiedadesprofundas de la teoría de los números y, por ello, no se espera &uetengan una formulación trivial.

Identidades relacionadas-editar 

'eon"ard Euler  expresó los números de Bernoulli en trminos de lafunción +eta de iemann con la expresión siguiente<

Propiedades aritméticas-editar 

7omo ya se "a indicado, los números de Bernoulli puedenexpresarse en trminos de la función +eta de iemann, lo &ueimplica &ue en esencia, son valores de la función +eta para losenteros negativos. sí, se puede esperar &ue tengan propiedades

aritmticas de índole no trivial, un "ec"o &ue fue descu!iertopor  Ernst ummer  en sus tra!a?os so!re el Gltimo teorema deFermat.

'as propiedades de los números de Bernoulli relacionados con sudivisi!ilidad se relacionan con los grupos de clasesideales de campos ciclotómicos gracias al teorema de ummer yse refuer+an gracias al teorema de ;er!rand*i!et tam!in serelacionan con los campos cuadráticos gracias al lasproposiciones de n%ey*rtin*7"oHla. ienen tam!in conexión

con las teorías* alge!raicas si es el numerador de ,

entonces el orden de es si n es par ysi n es impar.

 demás, relacionada con la cuestión de la divisi!ilidad, existe unteorema (von =taudt*7lausen) &ue nos indica &ue si sumamos

/I p a para todo número primo p tal &ue , el resultadoes un número entero. Este "ec"o nos permite caracteri+ar deforma inmediata a los denominadores de los números de

Bernoulli distintos de cero como el producto de todos losnúmeros primos p tales &ue . En consecuencia losdenominadores están li!res de cuadrados y son divisi!les por 8.

Finalmente, otro resultado (la con?etura de go"JAiuga) postula&ue p es un número primo si y solo si  .

Continuidad p-ádica-editar Kna importante propiedad relacionada con la congruencia de losnúmeros de Bernoulli es la denominada propiedad de laLcontinuidad p*ádicaM. Esta propiedad dice lo siguiente<si b, m y n son enteros positivos tales &ue m y n no son divisi!lespor p * / y , donde N() es la función N deEuler , entonces<

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>, puesto &ue , tam!in puedeescri!irse como<

donde u O / * m y v  O / * n, de forma &ue Pu y v  ni sonpositivos ni son congruentes con . Enesencia, esto lo &ue nos indica es &ue la función +eta deiemann, con extraídos de la fórmula del productode Euler , es continua tanto en los números p*ádicos como en los números enteros negativoscongruentes módulo p * / con un aconcreto tal&ue , lo &ue permite extender el

resultado a una función continua para todos los

enteros p*ádicos en lo &ue se denomina función +eta

p*ádica.