Nmero primo

La distribucin de los nmeros primos (lnea azul) hasta el 400

En matemticas, particularmente en Teora de nmeroso Aritmtica, un nmero primo es un nmero naturalmayor que 1 que tiene nicamente dos divisores distintos:l mismo y el 1.[1][2] Los nmeros primos se contraponenas a los compuestos, que son aquellos que tienen por lomenos un divisor natural distinto de s mismos y de 1.El nmero 1, por convenio, no se considera ni primo nicompuesto.Los nmeros primos menores que 100 son los siguientes:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.[3]

La propiedad de ser primo se denomina primalidad. Aveces se habla de nmero primo impar para referirse acualquier nmero primo mayor que 2, ya que ste es elnico nmero primo par. A veces se denota el conjuntode todos los nmeros primos por P .El estudio de los nmeros primos es una parte importantede la teora de nmeros, rama de las matemticas que ver-sa sobre las propiedades, bsicamente aritmticas, [4] delos nmeros enteros. Los nmeros primos estn presentesen algunas conjeturas centenarias tales como la hiptesisde Riemann y la conjetura de Goldbach, recientementeresuelta por el peruano Harald Helfgott en su forma dbil.La distribucin de los nmeros primos es un tema recu-rrente de investigacin en la teora de nmeros: si se con-sideran nmeros individuales, los primos parecen estardistribuidos aleatoriamente, pero la distribucin globalde los nmeros primos sigue leyes bien definidas.

1 Historia de los nmeros primos

1.1 Matemticas anteriores a la AntiguaGrecia

Las muescas presentes en el hueso de Ishango, que datade hace ms de 20.000 aos (anterior por tanto a la apa-ricin de la escritura) y que fue hallado por el arquelogoJean de Heinzelin de Braucourt,[5] parecen aislar cuatronmeros primos: 11, 13, 17 y 19. Algunos arquelogosinterpretan este hecho como la prueba del conocimien-to de los nmeros primos. Con todo, existen muy pocoshallazgos que permitan discernir los conocimientos que

Imagen del hueso de Ishango expuesto en el Real Instituto Belgade Ciencias Naturales.

tena realmente el hombre de aquella poca.[6]

Numerosas tablillas de arcilla seca atribuidas a las civili-zaciones que se fueron sucediendo en Mesopotamia a lolargo del II milenio a.C. muestran la resolucin de pro-blemas aritmticos y atestiguan los conocimientos de lapoca. Los clculos requeran conocer los inversos de losnaturales, que tambin se han hallado en tablillas.[7] Enel sistema sexagesimal que empleaban los babilonios paraescribir los nmeros, los inversos de los divisores de po-tencias de 60 (nmeros regulares) se calculan fcilmente;por ejemplo, dividir entre 24 equivale a multiplicar por150 (260+30) y correr la coma sexagesimal dos lugares.El conocimiento matemtico de los babilonios necesitabauna slida comprensin de la multiplicacin, la divisiny la factorizacin de los naturales.En las matemticas egipcias, el clculo de fracciones

1

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2 1 HISTORIA DE LOS NMEROS PRIMOS

requera conocimientos sobre las operaciones, la divi-sin de naturales y la factorizacin. Los egipcios slooperaban con las llamadas fracciones egipcias, suma defracciones unitarias, es decir, aquellas cuyo numeradores 1, como 12 , 13 , 14 , 15 , . . . , por lo que las fracciones denumerador distinto de 1 se escriban como suma de in-versos de naturales, a ser posible sin repeticin

(12 +

16

en lugar de 13 + 13).[8] Es por ello que, en cierta manera,

tenan que conocer o intuir los nmeros primos.[9]

1.2 Antigua Grecia

Un fragmento de los Elementos de Euclides encontrado enOxirrinco.

La primera prueba indiscutible del conocimiento de losnmeros primos se remonta a alrededor del ao 300 a.C. y se encuentra en los Elementos de Euclides (tomosVII a IX). Euclides define los nmeros primos, demuestraque hay infinitos de ellos, define el mximo comn divi-sor y el mnimo comn mltiplo y proporciona un mto-do para determinarlos que hoy en da se conoce como elalgoritmo de Euclides. Los Elementos contienen asimis-mo el teorema fundamental de la aritmtica y la manerade construir un nmero perfecto a partir de un nmeroprimo de Mersenne.La criba de Eratstenes, atribuida a Eratstenes de Cire-ne, es un mtodo sencillo que permite encontrar nmerosprimos. Hoy en da, empero, los mayores nmeros primosque se encuentran con la ayuda de ordenadores empleanotros algoritmos ms rpidos y complejos.

1.3 Matemticas modernas

Despus de las matemticas griegas, hubo pocos avancesen el estudio de los nmeros primos hasta el siglo XVII.En 1640 Pierre de Fermat estableci (aunque sin demos-tracin) el pequeo teorema de Fermat, posteriormentedemostrado por Leibniz y Euler. Es posible que muchoantes se conociera un caso especial de dicho teorema enChina.Fermat conjetur que todos los nmeros de la forma22n+1 eran primos (debido a lo cual se los conoce comonmeros de Fermat) y verific esta propiedad hasta n =

Pierre de Fermat.

4 (es decir, 216 + 1). Sin embargo, el nmero de Fermat232 + 1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641),como demostr Euler. De hecho, hasta nuestros das nose conoce ningn nmero de Fermat que sea primo apartede los que ya conoca el propio Fermat.El monje francs Marin Mersenne investig los nmerosprimos de la forma 2p 1, con p primo. En su honor, selos conoce como nmeros de Mersenne.En el trabajo de Euler en teora de nmeros se encuentranmuchos resultados que conciernen a los nmeros primos.Demostr la divergencia de la serie 12+ 13+ 15+ 17+. . . , yen 1747 demostr que todos los nmeros perfectos paresson de la forma 2p1(2p - 1), donde el segundo factor esun nmero primo de Mersenne. Se cree que no existennmeros perfectos impares, pero todava es una cuestinabierta.A comienzos del siglo XIX, Legendre y Gauss conjetu-raron de forma independiente que, cuando n tiende a in-finito, el nmero de primos menores o iguales que n esasinttico a nln(n) , donde ln(n) es el logaritmo natural den. Las ideas que Bernhard Riemann plasm en un trabajode 1859 sobre la funcin zeta describieron el camino queconducira a la demostracin del teorema de los nme-ros primos. Hadamard y De la Valle-Poussin, cada unopor separado, dieron forma a este esquema y consiguie-ron demostrar el teorema en 1896.Actualmente no se comprueba la primalidad de un nme-ro por divisiones sucesivas, al menos no si el nmero esrelativamente grande.

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3

Durante el siglo XIX se desarrollaron algoritmos para sa-ber si un nmero es primo o no factorizando completa-mente el nmero siguiente (p+1) o el anterior (p-1). Den-tro del primer caso se encuentra el test de Lucas-Lehmer,desarrollado a partir de 1856. Dentro del segundo casose encuentra el test de Ppin para los nmeros de Fermat(1877). El caso general de test de primalidad cuando elnmero inmediatamente anterior se encuentra completa-mente factorizado se denomina test de Lucas.Posteriormente se encontraron algoritmos de primalidadcon slo obtener una factorizacin parcial de p+1 o p-1. Ejemplos de estos algoritmos son el test de Proth(desarrollado alrededor de 1878) y el test de Pockling-ton (1914). En estos algoritmos se requiere que el pro-ducto de los factores primos conocidos de p-1 sea mayorque la raz cuadrada de p. Ms recientemente, en 1975,Brillhart, Lehmer y Selfridge desarrollaron el test BLSde primalidad que slo requiere que dicho producto seamayor que la raz cbica de p. El mejor mtodo conoci-do de esta clase es el test de Konyagin y Pomerance delao 1997, que requiere que dicho producto sea mayor quep3/10.[10][11]

A partir de la dcada de 1970 varios investigadores des-cubrieron algoritmos para determinar si cualquier nme-ro es primo o no con complejidad subexponencial, lo quepermite realizar tests en nmeros demiles de dgitos, aun-que son mucho ms lentos que los mtodos anteriores.Ejemplos de estos algoritmos son el test APRT-CL (desa-rrollado en 1979 por Adleman, Pomerance y Rumely, conmejoras introducidas por Cohen y Lenstra en 1984), don-de se usan los factores de pm1, donde el exponente mdepende del tamao del nmero cuya primalidad se deseaverificar, el test de primalidad por curvas elpticas (desa-rrollado en 1986 por S. Goldwasser, J. Kilian y mejoradopor A. O. L. Atkin), que entrega un certificado consisten-te en una serie de nmeros que permite despus confir-mar rpidamente si el nmero es primo o no. El desarrolloms reciente es el test de primalidad AKS (2002), que sibien su complejidad es polinmica, para los nmeros quepuede manejar la tecnologa actual es el ms lento de lostres.Durante mucho tiempo, se pensaba que la aplicacinde los nmeros primos era muy limitada fuera de lamatemtica pura.[12][13] Esto cambi en los aos 1970 conel desarrollo de la criptografa de clave pblica, en la quelos nmeros primos formaban la base de los primeros al-goritmos, tales como el algoritmo RSA.Desde 1951, el mayor nmero primo conocido siempreha sido descubierto con la ayuda de ordenadores. La bs-queda de nmeros primos cada vez mayores ha suscita-do inters incluso fuera de la comunidad matemtica. Enlos ltimos aos han ganado popularidad proyectos decomputacin distribuida tales como el GIMPS, mientraslos matemticos siguen investigando las propiedades delos nmeros primos.

2 Primalidad del nmero 1

La cuestin acerca de si el nmero 1 debe o no considerar-se primo est basada en la convencin. Ambas posturastienen sus ventajas y sus inconvenientes. De hecho, hastael siglo XIX, los matemticos en su mayora lo conside-raban primo. Muchos trabajos matemticos siguen sien-do vlidos a pesar de considerar el 1 como un nmeroprimo, como, por ejemplo, el de Stern y Zeisel. La lis-ta de Derrick Norman Lehmer de nmeros primos hastael 10.006.721, reimpresa hasta el ao 1956[14] empezabacon el 1 como primer nmero primo.[15]

Actualmente, la comunidad matemtica se inclina por noconsiderar al 1 en la lista de los nmeros primos. Estaconvencin, por ejemplo, permite una formulacin muyeconmica del teorema fundamental de la aritmtica: to-do nmero natural tiene una representacin nica comoproducto de factores primos, salvo el orden.[16][17] Ade-ms, los nmeros primos tienen numerosas propiedadesde las que carece el 1, tales como la relacin del nmerocon el valor correspondiente de la funcin de Euler o lafuncin divisor.[18]

3 Propiedades de los nmeros pri-mos

3.1 Teorema fundamental de la aritmtica

Esta ilustracin muestra que el 11 es un nmero primo, pero el12 no lo es.

El teorema fundamental de la aritmtica establece que to-do nmero natural tiene una representacin nica comoproducto de factores primos, salvo el orden. Un mismofactor primo puede aparecer varias veces. El 1 se repre-senta entonces como un producto vaco.Se puede considerar que los nmeros primos son los la-drillos con los que se construye cualquier nmero na-tural. Por ejemplo, se puede escribir el nmero 23.244

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4 3 PROPIEDADES DE LOS NMEROS PRIMOS

como producto de 22313149, y cualquier otra factori-zacin del 23.244 como producto de nmeros primos seridntica excepto por el orden de los factores.La importancia de este teorema es una de las razones pa-ra excluir el 1 del conjunto de los nmeros primos. Si seadmitiera el 1 como nmero primo, el enunciado del teo-rema requerira aclaraciones adicionales.A partir de esta unicidad en la factorizacin en factoresprimos se desarrollan otros conceptos muy utilizados enmatemticas, tales como el mnimo comn mltiplo, elmximo comn divisor y la coprimalidad de dos o msnmeros. As,

El mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeroses el menor de los mltiplos comunes de todos ellos.Para calcularlo, se descomponen los nmeros en fac-tores primos y se toman los factores comunes y nocomunes con su mximo exponente. Por ejemplo,el mnimo comn mltiplo de 10=25 y 12=223 es60=2235.

El mximo comn divisor de dos o ms nmeros esel mayor de los divisores comunes de todos ellos. Esigual al producto de los factores comunes con su m-nimo exponente. En el ejemplo anterior, el mximocomn divisor de 10 y 12 es 2.

Finalmente, dos o ms nmeros son coprimos, o pri-mos entre s, si no tienen ningn factor primo co-mn; es decir, si su mximo comn divisor es 1. Unnmero primo es, as, coprimo con cualquier nme-ro natural que no sea mltiplo de l mismo.

3.2 Otras propiedades

En su representacin decimal, todos los nmerosprimos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 9. Engeneral, en cualquier sistema de numeracin, todoslos nmeros primos salvo un nmero finito acabanen una cifra que es coprima con la base.

De lo anterior se deduce que todos los nmeros pri-mos salvo el 2 son de la forma 4n + 1 o bien 4n - 1.Igualmente, todos los nmeros primos salvo el 2 yel 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1.

Lema de Euclides: Si p es un nmero primo y divisordel producto de nmeros enteros ab, entonces p esdivisor de a o de b.

Pequeo teorema de Fermat: Si p es primo y a esalgn nmero natural diferente de 1, entonces ap - aes divisible por p.

Si p es primo distinto de 2 y 5, 1p siempre es unnmero peridico en su representacin decimal, deperiodo p 1 o un divisor de p 1. Esto se puedededucir directamente a partir del pequeo teoremade Fermat. 1p expresado en base q (en lugar de en

base 10) tiene propiedades similares, siempre que pno sea un factor primo de q.

Teorema deWilson: Un nmero natural n > 1 es pri-mo si y solo si el factorial (n - 1)! + 1 es divisible porn. Asimismo, un nmero natural n > 4 es compuestosi y slo si (n - 1)! es divisible por n.

La caracterstica de todo cuerpo es, o bien cero, obien un nmero primo.

Primer teorema de Sylow: Si G es un grupo finito, pprimo y pn es la mayor potencia de p que divide elorden de G. Entonces, existe un subgrupo de G deorden pn.

Teorema de Cauchy: Si G es un grupo finito y p esun nmero primo que divide al orden deG, entoncesG contiene un elemento de orden p.

La constante de Copeland-Erds0,235711131719232931374143, obtenidapor concatenacin de los nmeros primos en elsistema decimal, es un nmero irracional.

El valor de la funcin zeta de Riemann en cada pun-to del plano complejo se da como una continuacinmeromorfa de una funcin definida por un productosobre el conjunto de todos los primos para Re(s) >1:

(s) =

n=1

1

ns=

p

1

1 ps.

En la regin donde es convergente, este pro-ducto indexado por los nmeros primos se pue-de calcular, obtenindose diversos valores, al-gunos de ellos importantes en teora de nme-ros. Los dos primeros son:

p1

1p1 = (Correspondientea la serie armnica, relacionado conla infinitud de nmeros primos).

p1

1p2 =2

6 . (Correspondien-te al problema de Basilea).En general 1n

p

11pn es un n-

mero racional cuando n es un n-mero entero positivo par.

El anillo Z/pZ es un cuerpo si y solo si p es primo.Equivalentemente: p es primo si y solo si (p) = p 1.

Si p > 1, el polinomio x p1+x p2+ + 1 esirreducible sobre Z/pZ si y slo si p es primo.

Un nmero natural n es primo si y slo si el n-simo polinomio de Chebyshov de la primera espe-cie Tn(x), dividido entre x, es irreducible en Z[x] .Adems, Tn(x) xn si y slo si n es primo.

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4.1 Infinitud de los nmeros primos 5

3.3 Nmeros primos y funciones aritmti-cas

Las funciones aritmticas, es decir, funciones reales ocomplejas, definidas sobre un conjunto de nmeros na-turales, desempean un papel crucial en la teora de n-meros. Las ms importantes son las funciones multipli-cativas, que son aquellas funciones f en las cuales, paracada par de nmeros coprimos (a,b) se tiene

f(ab) = f(a)f(b)

Algunos ejemplos de funciones multiplicativas son lafuncin de Euler, que a cada n asocia el nmero de en-teros positivos menores y coprimos con n, y las funciones y , que a cada n asocian respectivamente el nmero dedivisores de n y la suma de todos ellos. El valor de estasfunciones en las potencias de nmeros primos es

(pm) = pm pm1

(pm) = m+ 1

(pm) = 1 + p2 + p3 + + pm

Gracias a la propiedad que las define, las funciones arit-mticas pueden calcularse fcilmente a partir del valorque toman en las potencias de nmeros primos. De he-cho, dado un nmero natural n de factorizacin

n = pq11 pqaa

se tiene que

f(n) = f(pq11 ) f(pqaa )

con lo que se ha reconducido el problema de calcularf(n) al de calcular f sobre las potencias de los nme-ros primos que dividen n, valores que son generalmen-te ms fciles de obtener mediante una frmula general.Por ejemplo, para conocer el valor de la funcin sobren=450=23252 basta con calcular

(450) = (2)(32)(52) = (21)(93)(255) = 120

4 Caractersticas del conjunto delos nmeros primos

4.1 Infinitud de los nmeros primos

Existen infinitos nmeros primos. Euclides realiz la pri-mera demostracin alrededor del ao 300 a. C. en el libro

IX de su obra Elementos[19] Una adaptacin comn de es-ta demostracin original sigue as: Se toma un conjuntoarbitrario pero finito de nmeros primos p1, p2, p3, ,pn, y se considera el producto de todos ellos ms uno,q = p1 p2 p3 . . . pn + 1 . Este nmero es ob-viamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pide la lista. El nmero q puede ser primo o compuesto. Sies primo tendremos un nmero primo que no est en elconjunto original. Si, por el contrario, es compuesto, en-tonces existir algn factor p que divida a q. Suponiendoque p es alguno de los pi, se deduce entonces que p dividea la diferencia q p1 p2 p3 . . . pn = 1 , pero nin-gn nmero primo divide a 1, es decir, se ha llegado a unabsurdo por suponer que p est en el conjunto original.La consecuencia es que el conjunto que se escogi no esexhaustivo, ya que existen nmeros primos que no per-tenecen a l, y esto es independiente del conjunto finitoque se tome.Por tanto, el conjunto de los nmeros primos es infinito.Si se toma como conjunto el de los n primeros nmerosprimos, entonces q = p1p2p3 . . .pn+1 = pn+1, donde pn# es lo que se llama primorial de pn. Un nme-ro primo de la forma pn# +1 se denomina nmero primode Euclides en honor al matemtico griego. Tambin sepuede elaborar una demostracin similar a la de Eucli-des tomando el producto de un nmero dado de nmerosprimos menos uno, el lugar del producto de esos nme-ros primosms uno. En ese sentido, se denomina nmeroprimo primorial a un nmero primo de la forma pn# 1.No todos los nmeros de la forma pn# +1 son primos.En este caso, como se sigue de la demostracin anterior,todos los factores primos debern ser mayores que n. Porejemplo: 23571113+1=30031=59509Otros matemticos han demostrado la infinitud de los n-meros primos con diversos mtodos procedentes de reasde las matemticas tales como al lgebra conmutativa y latopologa.[20] Algunas de estas demostraciones se basanen el uso de sucesiones infinitas con la propiedad de quecada uno de sus trminos es coprimo con todos los de-ms, por lo que se crea una biyeccin entre los trminosde la sucesin y un subconjunto (infinito) del conjunto delos primos.Una sucesin que cumple dicha propiedad es la sucesinde Euclides-Mullin, que deriva de la demostracin eucl-dea de la infinitud de los nmeros primos, ya que cadauno de sus trminos se define como el factor primo mspequeo de uno ms el producto de todos los trminosanteriores. La sucesin de Sylvester se define de formasimilar, puesto que cada uno de sus trminos es igual auno ms el producto de todos los anteriores. Aunque lostrminos de esta ltima sucesin no son necesariamen-te todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todoslos dems, por lo que se puede escoger cualquiera de susfactores primos, por ejemplo, el menor de ellos, y el con-junto resultante ser un conjunto infinito cuyos trminosson todos primos.

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6 4 CARACTERSTICAS DEL CONJUNTO DE LOS NMEROS PRIMOS

4.1.1 Otros enunciados que implican la infinitud delos nmeros primos

Un resultado an ms fuerte, y que implica directamentela infinitud de los nmeros primos, fue descubierto porEuler en el siglo XVIII. Establece que la serie 12 + 13 +15+

17+. . . es divergente. Uno de los teoremas deMertens

concreta ms, estableciendo quepn

1p = ln lnn+O(1) [21]

donde la expresin O(1) indica que ese trmino est aco-tado entre -C y C para n mayor que n0, donde los valoresde C y n0 no estn especificados.[22]

Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice as:El postulado de Bertrand enuncia as:Unamanerams dbil pero elegante de formularlo es que,si n es un nmero natural mayor que 1, entonces siempreexiste un nmero primo p tal que n < p < 2n. Esto suponeque, en una progresin geomtrica de primer trmino en-tero mayor que 3 y razn igual a 2, entre cada trmino dela progresin y el siguiente, se tiene al menos un nmeroprimo.

4.2 Frecuencia de los nmeros primos

Comparacin entre las funciones (n) (azul), n / ln n (verde) yLi(n) (rojo); se puede ver que la aproximacin de (n) con Li(n)es mejor que la que hay con nlnn

Una vez demostrado la infinitud de los nmeros primos,cabe preguntarse cmo se distribuyen los primos entre losnmeros naturales, es decir, cun frecuentes son y dndese espera encontrar el n-simo nmero primo. Este estu-dio lo iniciaron Gauss y Legendre de forma independien-te a finales del siglo XVIII, para el cual introdujeron lafuncin enumerativa de los nmeros primos (n), y con-jeturaron que su valor fuese aproximadamente

(n) nlnn .[23]

El empeo de demostrar esta conjetura abarc todo el si-glo XIX. Los primeros resultados fueron obtenidos entre1848 y 1859 por Chebyshov, quien demostr utilizandomtodos puramente aritmticos la existencia de dos cons-tantes A y B tales que

A (n)nlnn

B

para n suficientemente grande. Consigui demostrar que,si exista el lmite del cociente de aquellas expresiones,ste deba ser 1.Hadamard y De la Valle-Poussin elaboraron una de-mostracin en 1896, independientemente el uno delotro, usando mtodos similares, basados en el uso dela funcin zeta de Riemann, que haba sido introducidapor Bernhard Riemann en 1859. Hubo que esperar has-ta 1949 para encontrar una demostracin que usara slomtodos elementales (es decir, sin usar el anlisis com-plejo). Esta demostracin fue ideada por Selberg y Erds.Actualmente, se conoce el teorema como teorema de losnmeros primos.El mismo Gauss introdujo una estimacin ms precisa,utilizando la funcin logaritmo integral:

(n) Li(n) = n2

1

lnxdx

En 1899 De la Valle-Poussin demostr que el error quese comete aproximando (n) de esta forma es

(n) Li(n) = O(nea

lnn

)= O

(n

(lnn)m)

para una constante positiva a y para cada entero m. Es-te resultado fue ligeramente mejorado a lo largo de losaos. Por otra parte, en 1901 Von Koch mostr que sila hiptesis de Riemann era cierta, se tena la siguienteestimacin, ms precisa:[24]

|(n) Li(n)| = O(

n lnn).

Una forma equivalente al teorema de los nmeros primoses que pn, el n-simo nmero primo, queda bien aproxi-mado por nln(n). En efecto, pn es estrictamente mayorque este valor.

4.3 Diferencia entre dos primos consecuti-vos

Ligado a la distribucin de los nmeros primos se encuen-tra el estudio de los intervalos entre dos primos consecu-tivos. Este intervalo, con la nica salvedad del que hay

https://es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_los_inversos_de_los_n%C3%BAmeros_primoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_divergentehttps://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_Mertenshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Dirichlethttps://es.wikipedia.org/wiki/Postulado_de_Bertrandhttps://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_geom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%CF%80https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttps://es.wikipedia.org/wiki/Legendrehttps://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIIhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%CF%80https://es.wikipedia.org/wiki/Pafnuti_Chebyshovhttps://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Jacques_Hadamardhttps://es.wikipedia.org/wiki/Charles_Jean_de_la_Vall%C3%A9e-Poussinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_zeta_de_Riemannhttps://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemannhttps://es.wikipedia.org/wiki/1859https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_complejohttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_complejohttps://es.wikipedia.org/wiki/Atle_Selberghttps://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91shttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_n%C3%BAmeros_primoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_n%C3%BAmeros_primoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttps://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_integralhttps://es.wikipedia.org/wiki/Helge_von_Kochhttps://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_de_Riemannhttps://es.wikipedia.org/wiki/Distancia_entre_dos_n%C3%BAmeros_primos_consecutivoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Distancia_entre_dos_n%C3%BAmeros_primos_consecutivos

4.4 Conclusin 7

entre el 2 y el 3, debe ser siempre igual o mayor que 2, yaque entre dos nmeros primos consecutivos al menos hayun nmero par y por tanto compuesto. Si dos nmerosprimos tienen por diferencia 2, se dice que son gemelos,y con la salvedad del triplete formado por los nmeros3, 5 y 7, los nmeros gemelos se presentan siempre de dosen dos. Esto tambin es fcil de demostrar: entre tres n-meros impares consecutivos mayores que 3 siempre hayuno que es mltiplo de 3, y por tanto compuesto. Los pri-meros pares de nmeros primos gemelos son (3,5), (5,7),(11, 13), (17, 19) y (29, 31).Por otra parte, la diferencia entre primos consecutivospuede ser tan grande como se quiera: dado un nmeronatural n, se denota por n! su factorial, es decir, el pro-ducto de todos los nmeros naturales comprendidos entre1 y n. Los nmeros

(n+1)!+2, (n+1)!+3, , (n+1)!+n+1

son todos compuestos: si 2 i n+1, entonces (n+1)!+ies divisible entre i, por tanto, es compuesto. La sucesin,que comprende n enteros consecutivos, no contiene nin-gn nmero primo. Por ejemplo, si n=5, estos valores co-rresponden a:

6! + 2 = 722 = 2 361

6! + 3 = 723 = 3 241

6! + 4 = 724 = 4 181

6! + 5 = 725 = 5 145

6! + 6 = 726 = 6 121

El siguiente valor, 6!+7=727, es primo.[25] De todas for-mas, el menor nmero primo que dista del siguiente en nes generalmente mucho menor que el factorial, por ejem-plo, el caso ms pequeo de dos primos consecutivos se-parados de ocho unidades es (89, 97), mientras que 8! esigual a 40.320.La sucesin de las diferencias entre primosconsecutivos[26] ha sido profusamente estudiada enmatemticas, y alrededor de este concepto se hanestablecido muchas conjeturas que permanecen sinresolver.

4.4 Conclusin

El modelado de la distribucin de los nmeros primoses un tema de investigacin recurrente entre los teri-cos de nmeros. La primalidad de un nmero concreto es(hasta ahora) impredecible a pesar de que existen leyes,como el teorema de los nmeros primos y el postuladode Bertrand, que gobiernan su distribucin a gran escala.Leonhard Euler coment:

La distribucin de todos los nmeros primos comprendidos entre1 y 76.800, de izquierda a derecha y de arriba abajo. Cada pixelrepresenta un nmero. Los pxeles negros representan nmerosprimos; los blancos representan nmeros no primos.

Imagen con 2310 columnas que conserva mltiplos de 2, 3, 5,7 y 11 en las columnas respectivas. Como cabe esperar, los n-meros primos caern en columnas concretas si los nmeros estnordenados de izquierda a derecha y el ancho es un mltiplo de unnmero primo. Sin embargo, los nmeros primos tambin quedandistribuidos de manera ordenada en construcciones espirales co-mo la espiral de Ulam, ya que tienden a concentrarse en algunasdiagonales concretas y no en otras.

Hasta el da de hoy, los matemticos hanintentado en vano encontrar algn orden enla sucesin de los nmeros primos, y tenemosmotivos para creer que es un misterio en el quela mente jams penetrar.[27]

En una conferencia de 1975, Don Zagier coment:

Hay dos hechos sobre la distribucin de losnmeros primos de los que espero convencer-les de forma tan incontestable que quedarnpermanentemente grabados en sus corazones.El primero es que, a pesar de su definicin sim-ple y del papel que desempean como ladrilloscon los que se construyen los nmeros natu-rales, los nmeros primos crecen como malashierbas entre los nmeros naturales, y no pare-cen obedecer ninguna otra ley que la del azar, ynadie puede predecir dnde brotar el siguien-te. El segundo hecho es an ms asombroso,ya que dice justo lo contrario: que los nme-ros primos muestran una regularidad pasmosa,que hay leyes que gobiernan su comportamien-to, y que obedecen estas leyes con precisin ca-si militar.[28]

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8 5 ENCONTRAR NMEROS PRIMOS

5 Encontrar nmeros primos

5.1 Tests de primalidad

La criba de Eratstenes fue concebida por Eratstenes de Cire-ne, un matemtico griego del siglo III a. C. Es un algoritmo sen-cillo que permite encontrar todos los nmeros primos menores oiguales que un nmero dado.

La criba de Eratstenes es una manera sencilla de hallartodos los nmeros primos menores o iguales que un n-mero dado. Se basa en confeccionar una lista de todos losnmeros naturales desde el 2 hasta ese nmero y tacharrepetidamente los mltiplos de los nmeros primos yadescubiertos. La criba de Atkin, ms moderna, tiene unamayor complejidad, pero si se optimiza apropiadamentetambin es ms rpida. Tambin existe una reciente cribade Sundaram que genera nicamente nmeros compues-tos, siendo los primos los nmeros faltantes.En la prctica, lo que se desea es determinar si un n-mero dado es primo sin tener que confeccionar una listade nmeros primos. Un mtodo para determinar la pri-malidad de un nmero es la divisin por tentativa, queconsiste en dividir sucesivamente ese nmero entre losnmeros primos menores o iguales a su raz cuadrada. Sialguna de las divisiones es exacta, entonces el nmero noes primo; en caso contrario, es primo. Por ejemplo, dadon menor o igual que 120, para determinar su primalidadbasta comprobar si es divisible entre 2, 3, 5 y 7, ya que elsiguiente nmero primo, 11, ya es mayor que 120. Es eltest de primalidad ms sencillo, y rpidamente pierde suutilidad a la hora de comprobar la primalidad de nme-ros grandes, ya que el nmero de factores posibles crecedemasiado rpido a medida que crece el nmero poten-cialmente primo.En efecto, el nmero de nmeros primos menores que nes aproximadamente

n

lnn 1De esta forma, para determinar la primalidad de n, el ma-

yor factor primo que se necesita no es mayor que n, de-jando el nmero de candidatos a factor primo en cercade

n

lnn 1Esta expresin crece cada vez ms lentamente en funcinde n, pero, como los n grandes son de inters, el nmerode candidatos tambin se hace grande: por ejemplo, paran = 1020 se tienen 450 millones de candidatos.Asimismo, existen otros muchos tests de primalidad de-terministas que se basan en propiedades que caracterizana los nmeros primos, pero su utilidad computacional de-pende mucho del test usado. Por ejemplo, se podra em-plear el teorema de Wilson para calcular la primalidadde un nmero, pero tiene el inconveniente de requerirel clculo de un factorial, una operacin computacional-mente prohibitiva cuando se manejan nmeros grandes.Aqu entre en juego el tiempo de ejecucin del algoritmoempleado, que se expresa en la notacin de Landau. Pa-ra poder determinar la primalidad de nmeros cada vezms grandes (de miles de cifras) se buscan aquellos algo-ritmos cuyo tiempo de ejecucin crezca lo ms lentamen-te posible, a ser posible, que se pueda expresar como unpolinomio. Si bien el test de primalidad AKS cumple conesta condicin, para el rango de nmeros que se usa en laprctica este algoritmo es extremadamente lento.Por otra parte, a menudo basta con tener una respues-ta ms rpida con una alta probabilidad (aunque no se-gura) de ser cierta. Se puede comprobar rpidamente laprimalidad de un nmero relativamente grande median-te tests de primalidad probabilsticos. Estos tests suelentomar un nmero aleatorio llamado testigo e introdu-cirlo en una frmula junto con el nmero potencialmenteprimo n. Despus de varias iteraciones, se resuelve quen es definitivamente compuesto o bien probablementeprimo. Estos ltimos nmeros pueden ser primos o bienpseudoprimos (nmeros compuestos que pasan el test deprimalidad). Algunos de estos tests no son perfectos: pue-de haber nmeros compuestos que el test considere pro-bablemente primos independientemente del testigo uti-lizado. Esos nmeros reciben el nombre de pseudopri-mos absolutos para ese test. Por ejemplo, los nmeros deCarmichael son nmeros compuestos, pero el test de Fer-mat los evala como probablemente primos. Sin embar-go, los tests probabilsticos ms utilizados, como el test deMiller-Rabin o el obsoleto test de Solovay-Strassen, su-perado por el anterior, no tienen este inconveniente, aunsiendo igualmente tests probabilsticos.Algunos tests probabilsticos podran pasar a ser deter-minsticos y algunos tests pueden mejorar su tiempo deejecucin si se verifican algunas hiptesis matemticas.Por ejemplo, si se verifica la hiptesis generalizada deRiemann, se puede emplear una versin determinsticadel test de Miller-Rabin, y el test de primalidad por cur-vas elpticas podra mejorar notablemente su tiempo de

https://es.wikipedia.org/wiki/Criba_de_Erat%C3%B3steneshttps://es.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3stenes_de_Cirenehttps://es.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3stenes_de_Cirenehttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Greciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_III_a._C.https://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttps://es.wikipedia.org/wiki/Criba_de_Erat%C3%B3steneshttps://es.wikipedia.org/wiki/Criba_de_Atkinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Criba_de_Sundaramhttps://es.wikipedia.org/wiki/Criba_de_Sundaramhttps://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_por_tentativahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Wilsonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Factorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo_de_ejecuci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_de_Landauhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo_polin%C3%B3micohttps://es.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalidad_AKShttps://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Pseudoprimohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_de_Carmichaelhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_de_Carmichaelhttps://es.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalidad_de_Fermathttps://es.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalidad_de_Fermathttps://es.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalidad_de_Miller-Rabinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalidad_de_Miller-Rabinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalidad_de_Solovay-Strassenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_generalizada_de_Riemannhttps://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_generalizada_de_Riemannhttps://es.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalidad_por_curvas_el%C3%ADpticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalidad_por_curvas_el%C3%ADpticas

5.3 Frmulas que slo generan nmeros primos 9

ejecucin si se verificaran algunas hiptesis de teora ana-ltica de nmeros.

5.2 Algoritmos de factorizacin

Un algoritmo de factorizacin es un algoritmo que separauno a uno los factores primos de un nmero. Los algorit-mos de factorizacin pueden funcionar tambin a modode tests de primalidad, pero en general tienen un tiem-po de ejecucin menos ventajoso. Por ejemplo, se puedemodificar el algoritmo de divisin por tentativa de formaque no se detenga cuando se obtenga una divisin exacta,sino que siga realizando nuevas divisiones, y no sobre elnmero original, sino sobre el cociente obtenido. Despusde la divisin por tentativa, los mtodos ms antiguos quese conocen son el mtodo de Fermat, que se basa en lasdiferencias entre cuadrados y que es especialmente eficazcuando n es el producto de dos nmeros primos prximosentre s, y el mtodo de Euler, que se basa en la represen-tacin de n como suma de dos cuadrados de dos formasdistintas.Ms recientemente, se han elaborado algoritmos basadosen una gran variedad de tcnicas, como las fraccionescontinuas o las curvas elpticas, aunque algunos sonmejo-ras de mtodos anteriores (la criba cuadrtica, por ejem-plo, se basa en una mejora del mtodo de Fermat y po-see complejidad computacional subexponencial sobre elnmero de cifras de n). Otros, como el mtodo rho dePollard, son probabilsticos, y no garantizan hallar los di-visores de un nmero compuesto.Hoy por hoy, el algoritmo determinstico ms rpido deuso general es el general number field sieve, que tambinposee complejidad computacional subexponencial sobreel nmero de cifras de n.[29] Se ha propuesto un algoritmocuyo tiempo de ejecucin es polinmico sobre el nmerode cifras de n (el algoritmo de Shor), pero requiere serejecutado en un ordenador cuntico, ya que su simula-cin en un ordenador normal requiere un tiempo expo-nencial. No se conocen algoritmos para factorizar en unacomputadora tradicional en tiempo polinmico y tampo-co se demostr que esto sea imposible.

5.3 Frmulas que slo generan nmerosprimos

A lo largo de la historia, se han buscado numerosasfrmulas para generar los nmeros primos. El nivel msalto de exigencia para una frmula as sera que asociaraa cada nmero natural n el n-simo nmero primo. Deforma ms indulgente, se puede pedir una funcin f queasocie a cada nmero natural n un nmero primo de talforma que cada uno de los valores tomados slo aparezcauna vez.Adems, se desea que la funcin se pueda calcular en laprctica.[30] Por ejemplo, el teorema de Wilson asegura

que p es un nmero primo si y slo si (p1)!1 (modp). Otro ejemplo: la funcin f(n) = 2 + ( 2(n!) mod (n+1))genera todos los nmeros primos, slo los nmeros pri-mos, y slo el valor 2 se toma ms de una vez. Sin embar-go, ambas frmulas se basan en el clculo de un factorial,lo que las hace computacionalmente inviables.En la bsqueda de estas funciones, se han investigado no-tablemente las funciones polinmicas. Cabe subrayar queningn polinomio, aun en varias variables, toma slo va-lores primos.[31] Por ejemplo, el polinomio en una varia-ble f(n) = n n + 41 devuelve valores primos para n= 0,, 40, 43, pero f(41) y f(42) son compuestos. Siel trmino constante vale cero, entonces el polinomio esmltiplo de n, por lo que el polinomio es compuesto pa-ra valores compuestos de n. En caso contrario, si c es eltrmino constante, entonces f(cn) es mltiplo de c, porlo que si el polinomio no es constante, necesariamentedeber incluir valores compuestos.Sin embargo, hay polinomios en varias variables cuyosvalores positivos (cuando las variables recorren los n-meros naturales) son precisamente los nmeros primos.Un ejemplo es este polinomio descubierto por Jones, Sa-to, Wada y Wiens en 1976:[31]

(1(wz+h+jq)2(2n+p+q+ze)2(a2y2y2+1x2)2 . . .

(e3(e+2)(a+1)2+1o2)2(16(k+1)3(k+2)(n+1)2+1f2)2 . . .

(((a+u2(u2a))21)(n+4dy)2+1(x+cu)2)2(ai+k+1li)2 . . .

((gk+2g+k+1)(h+j)+hz)2(16r2y4(a21)+1u2)2 . . .

(pm+l(an1)+b(2an+2an22n2))2(zpm+plap2l+t(2app21))2 . . .

(qx+y(ap1)+s(2ap+2ap22p2))2(a2l2l2+1m2)2(n+l+vy)2)(k+2)

Al igual que ocurre con las frmulas con factoriales, estepolinomio no es prctico de calcular, ya que, aunque losvalores positivos que toma son todos primos, prctica-mente no devuelve otra cosa que valores negativos cuan-do se hacen variar las variables a a z de 0 a infinito.Otro enfoque al problema de encontrar una funcin queslo genere nmeros primos viene dado a partir delteorema de Mills, que indica que existe una constante tal que

3n

es siempre un nmero primo, donde es la funcin pi-so.[32] Todava no se conoce ninguna frmula para cal-cular la constante de Mills, y las aproximaciones que seemplean en la actualidad se basa en la sucesin de los asllamados nmeros primos de Mills (los nmeros primosgenerados mediante esta frmula), que no pueden ser ob-tenidos rigurosamente, sino slo de manera probabilsti-ca, suponiendo cierta la hiptesis de Riemann.

https://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_factorizaci%C3%B3n_de_Fermathttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_(aritm%C3%A9tica)https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_factorizaci%C3%B3n_de_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_dos_cuadradoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continuahttps://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continuahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%ADpticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Criba_cuadr%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_rho_de_Pollardhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_rho_de_Pollardhttps://es.wikipedia.org/wiki/General_number_field_sievehttps://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Shorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ordenador_cu%C3%A1nticohttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_los_n%C3%BAmeros_primoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Wilsonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Millshttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_parte_enterahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_parte_enterahttps://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_de_Riemann

10 6 CLASES DE NMEROS PRIMOS

6 Clases de nmeros primos

De mayor inters son otras frmulas que, aunque no slogeneren nmeros primos, son ms rpidas de implemen-tar, sobre todo si existe un algoritmo especializado quepermita calcular rpidamente la primalidad de los valoresque van tomando. A partir de estas frmulas se obtienensubconjuntos relativamente pequeos del conjunto de losnmeros primos, que suelen recibir un nombre colectivo.

6.1 Primos primoriales y primos factoria-les

Los nmeros primos primoriales, directamente relacio-nados con la demostracin euclidiana de la infinitud delos nmeros primos, son los de la forma p = n# 1 paraalgn nmero natural n, donde n# es igual al producto 2 3 5 7 11 de todos los primos n. Asimismo, unnmero primo se dice primo factorial si es de la forma n! 1. Los primeros primos factoriales son:

n! 1 es primo para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30,32, 33, 38, 94, 166, 324, [33]

n! + 1 es primo para n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37,41, 73, 77, 116, 154, 320, [34]

6.2 Nmeros primos de Fermat

Construccin de un pentgono regular. 5 es un nmero primo deFermat.

Los nmeros de Fermat, ligados a la construccin depolgonos regulares con regla y comps, son los nme-ros de la forma Fn = 22

n

+1 , con n natural. Los nicosnmeros primos de Fermat que se conocen hasta la fechason los cinco que ya conoca el propio Fermat, correspon-dientes a n = 0, 1, 2, 3 y 4, mientras que para valores den entre 5 y 32 estos nmeros son compuestos.[35]

Para determinar su primalidad, existe un test especiali-zado cuyo tiempo de ejecucin es polinmico: el test dePpin. Sin embargo, los propios nmeros de Fermat cre-cen tan rpidamente que slo se lo ha podido aplicar paravalores de n pequeos. En 1999 se lo aplic para n = 24.Para determinar el carcter de otros nmeros de Fermatmayores se utiliza el mtodo de divisiones sucesivas y deesa manera a fecha de junio de 2009 se conocen 241 n-meros de Fermat compuestos, aunque en la mayora delos casos se desconozca su factorizacin completa.[35]

6.3 Nmeros primos de Mersenne

Los nmeros de Mersenne son los de forma Mp = 2p 1,donde p es primo.[36] Los mayores nmeros primos co-nocidos son generalmente de esta forma, ya que existe untest de primalidad muy eficaz, el test de Lucas-Lehmer,para determinar si un nmero de Mersenne es primo ono.Actualmente, el mayor nmero primo que se conoce esM.. = 243.112.609 - 1, que tiene 12.978.189 cifrasen el sistema decimal. Se trata cronolgicamente del 45nmero primo de Mersenne conocido y su descubrimien-to se anunci el 23 de agosto de 2008 gracias al proyec-to de computacin distribuida Great Internet MersennePrime Search (GIMPS). Desde entonces, se han descu-bierto otros dos nmeros primos de Mersenne, pero sonmenores que el 45.[37][38]

6.4 Otras clases de nmeros primos

Existen literalmente decenas de apellidos que se puedenaadir al concepto de nmero primo para referirse a unsubconjunto que cumple alguna propiedad concreta. Porejemplo, los nmeros primos pitagricos son los que sepueden expresar en la forma 4n+1. Dicho de otra forma,se trata de los nmeros primos cuyo resto al dividirlosentre 4 es 1. Otro ejemplo es el de los nmeros primos deWieferich, que son aquellos nmeros primos p tales quep2 divide a 2p1 - 1.Algunas de estas propiedades se refieren a una relacinconcreta con otro nmero primo:

Nmeros primos gemelos: p y p+2 lo son si son losdos primos.

Nmero primo de Sophie Germain: dado p primo,es de Sophie Germain si 2p + 1 tambin es primo.Una sucesin de nmeros p1,p2,p3, ,pn todos ellosprimos, tales que pi=2pi+1 para todo i {1,2,,n-1 }, se denomina cadena (completa) de Cunninghamde primera especie, y cumple por definicin que ca-da uno de los trminos, salvo el ltimo, es un n-mero primo de Sophie Germain. Se cree que paratodo n natural existen infinitas cadenas de Cunning-ham de longitud n,[39] aunque hasta la fecha nadie ha

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_primorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Primorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_factorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Factorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Pent%C3%A1gonohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Fermathttps://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regularhttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_y_comp%C3%A1shttps://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo_de_ejecuci%C3%B3n_polin%C3%B3micohttps://es.wikipedia.org/wiki/Test_de_P%C3%A9pinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Test_de_P%C3%A9pinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_por_tentativahttps://es.wikipedia.org/wiki/Junio_de_2009https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Mersennehttps://es.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalidad_de_Lucas-Lehmerhttps://es.wikipedia.org/wiki/23_de_agostohttps://es.wikipedia.org/wiki/2008https://es.wikipedia.org/wiki/Computaci%C3%B3n_distribuidahttps://es.wikipedia.org/wiki/Great_Internet_Mersenne_Prime_Searchhttps://es.wikipedia.org/wiki/Great_Internet_Mersenne_Prime_Searchhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_pitag%C3%B3ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Wieferichhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Wieferichhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_primos_gemeloshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Sophie_Germainhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cadena_de_Cunninghamhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cadena_de_Cunningham

7.2 Otras conjeturas 11

proporcionado prueba de que dicha afirmacin seacierta.

Nmero primo de Wagstaff: p lo es si p = 2q+13 ,donde q es otro nmero primo.[40][41]

Tambin se les da nombres especiales a algunas clases deprimos que dependen de la base de numeracin empleadao de la forma de escribir los dgitos, y no de una frmu-la matemtica. Es el caso de los nmeros somirp (primosal revs), que son aquellos nmeros primos tales que elnmero obtenido al invertir el orden de sus cifras tam-bin es primo. Tambin es el caso de los nmeros primosrepunit, que son aquellos nmeros primos que son conca-tenacin de unos. Si, en lugar de considerarse el sistemade numeracin decimal se considera el binario, se ob-tiene otro conjunto distinto de nmeros primos repunitque, adems, coincide con el de los nmeros primos deMersenne. Finalmente, los nmeros primos tridicos sonaquellos nmeros que son primos, capicas y simtricosrespecto de una recta horizontal.El que se le d un nombre a una clase de nmeros pri-mos con una definicin precisa no significa que se conoz-ca algn nmero primo que sea de esa clase. Por ejemplo,no se conoce hasta el momento ningn nmero primo deWall-Sun-Sun, pero su relevancia radica en que en 1992,antes de la demostracin de Wiles del ltimo teorema deFermat, se descubri que la falsedad del teorema para unnmero primo p dado implicaba que p era un nmero pri-mo de Wall-Sun-Sun. Esto hizo que, durante un tiempo,la bsqueda de nmeros primos de esta clase fuera tam-bin la bsqueda de un contraejemplo del ltimo teoremade Fermat.[42]

7 Conjeturas

Existen numerosas preguntas abiertas acerca de los n-meros primos. Muchas de ellas son problemas bien an-tiguos, y una de las ms significativas es la hiptesis deRiemann, varias veces mencionada en este artculo comouna conjetura que, de ser cierta, permitira conocer nu-merosos resultados relevantes en diversos campos de lasmatemticas.

7.1 Hiptesis de Riemann

Para entender la hiptesis de Riemann, una conjeturaenunciada en 1859 pero que, hasta la fecha (2015), si-gue sin resolverse, es necesario entender la funcin zetade Riemann. Sea s un nmero complejo con parte realmayor que 1. Entonces,

(s) =

n=11ns =

p

11ps .

La segunda igualdad es una consecuencia del teoremafundamental de la aritmtica, y muestra que la funcin

zeta est ntimamente relacionada con los nmeros pri-mos.Existen dos tipos de ceros de la funcin zeta, es decir,valores s para los cuales (s) = 0: los triviales, que sons=2, s=4, s=6, etc. (los enteros pares negativos) y losno triviales, que son aquellos ceros que no se encuentranen el eje real. Lo que indica la hiptesis de Riemann esque la parte real de todos los ceros no triviales es igual a1/2.La veracidad de la hiptesis implica una profunda cone-xin con los nmeros primos, en esencia, en el caso deverificarse, dice que los nmeros primos estn distribui-dos de la forma ms regular posible. Desde un punto devista fsico, dice grosso modo que las irregularidadesen la distribucin de los nmeros primos slo procedende ruido aleatorio. Desde un punto de vista matemtico,dice que la distribucin asinttica de los nmeros primos(segn el teorema de los nmeros primos, la proporcinde primos menores que n es 1ln(n) ) tambin es cierta paraintervalos mucho menores, con un error de aproximada-mente la raz cuadrada de n (para intervalos prximos an). Est ampliamente extendido en la comunidad mate-mtica que la hiptesis sea cierta. En concreto, la presun-cin ms simple es que los nmeros primos no deberantener irregularidades significativas en su distribucin sinuna buena razn.[43]

7.2 Otras conjeturas

7.2.1 Infinitud de ciertos tipos de nmeros primos

Muchas conjeturas tratan sobre si hay infinitos nmerosprimos de una determinada forma. As, se conjetura quehay infinitos nmeros primos de Fibonacci[44] e infini-tos primos de Mersenne, pero slo un nmero finito deprimos de Fermat.[45] No se sabe si hay infinitos nmerosprimos de Euclides.

7.2.2 Distribucin de los nmeros primos

Tambin hay numerosas conjeturas que se ocupan de de-terminadas propiedades de la distribucin de los nmerosprimos. As, la conjetura de los nmeros primos gemelosenuncia que hay infinitos nmeros primos gemelos, queson pares de primos cuya diferencia es de 2. La conjeturade Polignac es una versin ms general y ms fuerte dela anterior, ya que enuncia que, para cada entero positivon, hay infinitos pares de primos consecutivos que difierenen 2n. A su vez, una versin ms dbil de la conjetura dePolignac dice que todo nmero par es la diferencia de dosnmeros primos.Asimismo, se conjetura la infinidad de los primos de laforma n2 + 1. Segn la conjetura de Brocard, entre loscuadrados de primos consecutivos mayores que 2 existensiempre al menos cuatro nmeros primos. La conjetura

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Wagstaffhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_omirphttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_repunithttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_repunithttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_decimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_decimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_binariohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_tri%C3%A1dicohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_capic%C3%BAahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Wall-Sun-Sunhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Wall-Sun-Sunhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%9Altimo_teorema_de_Fermathttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%9Altimo_teorema_de_Fermathttps://es.wikipedia.org/wiki/1859https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_zeta_de_Riemannhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_zeta_de_Riemannhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttps://es.wikipedia.org/wiki/Parte_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_de_la_aritm%C3%A9ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_de_la_aritm%C3%A9ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_n%C3%BAmeros_primoshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Fibonaccihttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Mersennehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Fermathttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_los_n%C3%BAmeros_primos_gemeloshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_primos_gemeloshttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Polignachttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Polignachttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_parhttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Brocardhttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Legendre

12 8 GENERALIZACIN DEL CONCEPTO DE NMERO PRIMO

de Legendre establece que, para cada n natural, existe unnmero primo entre n2 y (n+1)2. Finalmente, la conjeturade Cramr, cuya veracidad implicara la de Legendre, di-ce que:

lim supnpn+1pn(log pn)2 = 1

7.2.3 Teora aditiva de nmeros

Otras conjeturas relacionan algunas propiedades aditivasde los nmeros con los nmeros primos. As, la conjeturade Goldbach dice que todo nmero par mayor que 2 sepuede escribir como suma de dos nmeros primos, aun-que tambin existe una versin ms dbil de la mismaconjetura segn la cual todo nmero impar mayor que 5se puede escribir como suma de tres nmeros primos. Elmatemtico chino Chen Jingrun demostr, en 1966, queen efecto, todo nmero par suficientemente grande pue-de expresarse como suma de dos primos o como la sumade un primo y de un nmero que es el producto de dosprimos. ("semi-primo).[46]

7.3 Los cuatro problemas de Landau

En 1912, Landau estableci en el Quinto Congreso In-ternacional de Matemticos de Cambridge una lista decuatro de los problemas ya mencionados sobre nmerosprimos, que se conocen como los problemas de Landau.Ninguno de ellos est resuelto hasta la fecha. Se trata dela conjetura de Goldbach, la de los nmeros primos ge-melos, la de Legendre y la de los primos de la forma n2+ 1.[47]

8 Generalizacin del concepto denmero primo

El concepto de nmero primo es tan importante que se havisto generalizado de varias maneras en diversas ramas delas matemticas.

8.1 Elementos primos en un anillo

Se pueden definir los elementos primos y los elementosirreducibles en cualquier dominio de integridad.[48] Encualquier dominio de factorizacin nica, como porejemplo, el anilloZ de los enteros, el conjunto de elemen-tos primos equivale al conjunto de los elementos irredu-cibles, que en Z es {, 11, 7, 5, 3, 2, 2, 3, 5, 7,11, }.Considrense por ejemplo los enteros gaussianos Z[i] , esdecir, los nmeros complejos de la forma a+bi con a, b Z . Este es un dominio de integracin, y sus elementosprimos son los primos gaussianos. Cabe destacar que el

Representacin de los primos gaussianos de norma menor o iguala 500. Los primos gaussianos son, por definicin, los enterosgaussianos que son primos.

2 no es un primo gaussiano, porque admite factorizacincomo producto de los primos gaussianos (1+i) y (1-i). Sinembargo, el elemento 3 s es primo en los enteros gaus-sianos, pero no lo es en otro dominio entero. En general,los primos racionales (es decir, los elementos primos delanillo Z ) de la forma 4k+3 son primos gaussianos, perono lo son aquellos de la forma 4k+1.

8.2 Ideales primos

En teora de anillos, un ideal I es un subconjunto de unanillo A tal que

si i, j I, entonces la suma i + j pertenece a I

y si x A, i I, entonces los productos a i, i apertenecen a I.

Un ideal primo se define entonces como un ideal quecumple tambin que:

para cualquier par de elementos a, b del anilloA talesque su producto a b pertenece a I, entonces, almenos uno de los dos elementos, a o b, est en I.

I no es el anillo A entero.

Los ideales primos son una herramienta relevante enlgebra conmutativa, teora algebraica de nmeros ygeometra algebraica. Los ideales primos del anillo de en-teros son los ideales (0), (2), (3), (5), (7), (11), Un problema central en teora algebraica de nmeros es lamanera en que se factorizan los ideales primos cuando seven sometidos a una extensin de cuerpos. En el ejemplo

https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Legendrehttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Cram%C3%A9rhttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Cram%C3%A9rhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_aditiva_de_n%C3%BAmeroshttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Goldbachhttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Goldbachhttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_d%C3%A9bil_de_Goldbachhttps://es.wikipedia.org/wiki/Chinahttps://es.wikipedia.org/wiki/Chen_Jingrunhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_semiprimohttps://es.wikipedia.org/wiki/Edmund_Landauhttps://es.wikipedia.org/wiki/Congreso_Internacional_de_Matem%C3%A1ticoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Congreso_Internacional_de_Matem%C3%A1ticoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Landauhttps://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_irreduciblehttps://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_irreduciblehttps://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_integridadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_factorizaci%C3%B3n_%C3%BAnicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Entero_gaussianohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttps://es.wikipedia.org/wiki/Primo_gaussianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Entero_gaussianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Entero_gaussianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_anilloshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ideal_(teor%C3%ADa_de_anillos)https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Ideal_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_conmutativahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_algebraica_de_n%C3%BAmeroshttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_algebraica

13

de los enteros gaussianos, (2) se ramifica en potencia deun primo (ya que 1 + i y 1 i generan el mismo idealprimo), los ideales primos de la forma 4k+ 3 son inertes(mantienen su primalidad) y los de la forma 4k+1 pasana ser producto de dos ideales primos distintos.

8.3 Primos en teora de la valoracin

En teora algebraica de nmeros surge otra generaliza-cin ms. Dado un cuerpo K , reciben el nombre devaloraciones sobre K determinadas funciones de K en R. Cada una de estas valoraciones genera una topologa so-bre K , y se dice que dos valoraciones son equivalentes sigeneran la misma topologa. Un primo de K es una clasede equivalencia de valoraciones. Con esta definicin, losprimos del cuerpo Q de los nmeros racionales quedanrepresentados por la funcin valor absoluto as como porlas valoraciones p-dicas sobre Q para cada nmero pri-mo p.

8.4 Nudos primos

En teora de nudos, un nudo primo es un nudo no trivialque no se puede descomponer en dos nudos ms peque-os. De forma ms precisa, se trata de un nudo que no sepuede escribir como suma conexa de dos nudos no trivia-les.En 1949 Horst Schubert demostr un teorema de factori-zacin anlogo al teorema fundamental de la aritmtica,que asegura que cada nudo se puede obtener de formanica como suma conexa de nudos primos.[49] Por estemotivo, los nudos primos desempean un papel centralen la teora de nudos: una clasificacin de los nudos ha si-do desde finales del siglo XIX el tema central de la teora.

9 Aplicaciones en la computacin

El algoritmo RSA se basa en la obtencin de la clave p-blica mediante la multiplicacin de dos nmeros grandes(mayores que 10100) que sean primos. La seguridad deeste algoritmo radica en que no se conocen maneras rpi-das de factorizar un nmero grande en sus factores primosutilizando computadoras tradicionales.

10 Nmeros primos en el arte y laliteratura

Los nmeros primos han influido en numerosos artistas yescritores. El compositor francs Olivier Messiaen se va-li de ellos para crear msica no mtrica. En obras talescomo La Nativit du Seigneur (1935) o Quatre tudes derythme (1949-50) emplea simultneamente motivos cuya

duracin es un nmero primo para crear ritmos impre-decibles. Segn Messiaen, esta forma de componer fueinspirada por los movimientos de la naturaleza, movi-mientos de duraciones libres y desiguales.[50]

En su novela de ciencia ficcin Contact, posteriormenteadaptada al cine, Carl Sagan sugiere que los nmeros pri-mos podran ser empleados para comunicarse con inte-ligencias extraterrestres, una idea que haba desarrolla-do de manera informal con el astrnomo estadounidenseFrank Drake en 1975.[51]

El curioso incidente del perro a medianoche, de MarkHaddon, que describe en primera persona la vida de unjoven autista muy dotado en matemticas y clculo men-tal, utiliza nicamente los nmeros primos para numerarlos captulos.En la novela PopCo de Scarlett Thomas, la abuela de Ali-ce Butler trabaja en la demostracin de la hiptesis deRiemann. El libro ilustra una tabla de los mil primerosnmeros primos.[52]

La soledad de los nmeros primos, novela escrita porPaolo Giordano, gan el premio Strega en 2008.Tambin son muchas las pelculas que reflejan la fascina-cin popular hacia los misterios de los nmeros primosy la criptografa, por ejemplo, Cube, Sneakers, El amortiene dos caras y Una mente maravillosa. Esta ltima sebasa en la biografa del matemtico y premio Nobel JohnForbes Nash, escrita por Sylvia Nasar.[53]

El escritor Griego Apostolos Doxiadis, escribi El to Pe-tros y la conjetura de Goldbach. Que narra cmo un ficti-cio matemtico prodigio de principios de siglo XX, se su-merge en el mundo de las matemticas de una forma apa-sionante. Tratando de resolver uno de los problemas msdifciles y an no resueltos de la matemtica La Conje-tura de Goldbach. La cual reza: Todo nmero par puedeexpresarse como la suma de dos nmeros primos.

11 Vase tambin

Portal:Matemtica. Contenido relacionado conMatemtica.

Criptografa

Espiral de Ulam

Matemtica

Test de primalidad

Anexo:Nmeros primos

Anexo:Tabla de factores primos

Primo de Solinas

Mayor nmero primo conocido

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14 12 REFERENCIAS

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[16] Gowers, T (2002). Mathematics: A Very Short Introduc-tion. Oxford University Press. p. 118. ISBN 0-19-285361-9. La exclusin aparentemente arbitraria del 1 de la de-finicin de nmero primo no expresa ningn conoci-miento profundo sobre los nmeros: se trata simplementede un convenio til, adoptado para que slo haya una ma-nera de factorizar cualquier nmero en sus factores pri-mos.

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[22] En general, en la notacin de Landau, f(n)O(g(n)) indi-ca que f(n) est dominada asintticamente por O(g(n)) ,es decir, lim supn

f(n)g(n)

15

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13 Enlaces externos Criba de Eratstenes para buscar los nmeros pri-mos aplicada en C/C++. Brainum Code.

The Prime Pages

Sobre el artculo de Manindra Agrawal et al. PRI-MES IS IN P, en donde afirman: We present a de-terministic polynomial-time algorithm that determi-nes whether an input number n is prime or compo-site mathmistakes

Algoritmos eficientes para calcular nmeros primos,por Steve Litt

Es este nmero primo?

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16 14 TEXTO E IMGENES DE ORIGEN, COLABORADORES Y LICENCIAS

14 Texto e imgenes de origen, colaboradores y licencias

14.1 Texto Nmero primo Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo?oldid=83830107 Colaboradores:AstroNomo, Youssefsan,

Youandme, EL Willy, Joseaperez, 4lex, Sabbut, Moriel, Frutoseco, Mrbrocoli, JorgeGG, Pieter, Sanbec, L'abbaco spagnolo~eswiki, Zwo-bot, Comae, Mario peral manzo, Interwiki, Ascnder, Tano4595, Barcex, RGLago, Arturo Reina~eswiki, Ncc1701zzz, Schummy, Ma-tiasBellone, Sofista~eswiki, Petronas, RobotJcb, Airunp, Jo-Con-El, Taichi, Emijrp, Rembiapo pohyiete (bot), Magister Mathematicae,Rupert de hentzau, Alpertron, RobotQuistnix, Chobot, Yrbot, BOT-Superzerocool, Adrruiz, FlaBot, Vitamine, BOTijo, YurikBot, Barct,S80236g, Icvav, GermanX, Beto29, KnightRider, The Photographer, Heliocrono, Eskimbot, Kepler Oort, Maldoror, Er Komandante, Car-los Alberto Carcagno, CaStarCo, Chlewbot, Ascatala, Tomatejc, Carlosblh, Paintman, Kronin~eswiki, Lagarto, Tamorlan, Kn, BOTpolicia,Qwertyytrewqqwerty, CEM-bot, Sive, JMCC1, Salvador alc, Marianov, Baiji, Roberpl, Eamezaga, Davius, Antur, Jjafjjaf, Gafotas, Do-rieo, Daniel JG, Ggenellina, Ingenioso Hidalgo, Aleph0~eswiki, P.o.l.o., Roberto Fiadone, uo Martnez, Yeza, Hugone, Bryant1410,B25es, Rrecillas, Botones, Cgb, JAnDbot, Nueva era, Muro de Aguas, Xavigivax, Gsrdzl, CommonsDelinker, TXiKiBoT, ^ DeViL ^,Noluz, Leon-sotelo, Humberto, Netito777, Pabloallo, Idioma-bot, Plux, Delphidius, Snakeeater, AlnoktaBOT, VolkovBot, Technopat,C'est moi, Queninosta, Matdrodes, BlackBeast, AlleborgoBot, Pedro.patino, Muro Bot, Edmenb, Bucho, Asimal, Comu nacho, ManelC,BotMultichill, SieBot, Mushii, DaBot~eswiki, Loveless, Carmin, ALEJANDRO PRENSA MARTINEZ, Cobalttempest, Rigenea, Drini-bot, Bigsus-bot, Dark, BOTarate, Macarse, Manw, Greek, Brindys, Mafores, Tirithel, Jarisleif, Javierito92, Dnu72, NeVic, HUB, Pau-lienator, Antn Francho, Farisori, PixelBot, Eduardosalg, Botelln, Leonpolanco, Charly genio, Mar del Sur, Alejandrocaro35, Slimtrax,CestBOT, Juan Mayordomo, Darkicebot, Raulshc, Aipni-Lovrij, Joseantoniopeke, Toshi8956, SilvonenBot, UA31, AVBOT, Interscope,LucienBOT, Louperibot, MastiBot, NicolasAlejandro, Ezarate, SpBot, Hpasten, Siddhartazen, Diegusjaimes, DumZiBoT, Melancholie-Bot, Rodri cyberdog, Arjuno3, Andreasmperu, Luckas-bot, Jotterbot, Angelsaracho, Strato79, Dangelin5, Barteik, Fernando101, Nixn,ArthurBot, Diogeneselcinico42, Yuyo 84, SuperBraulio13, Xqbot, Jkbw, GNM, GhalyBot, Heriotza, Userwiki~eswiki, Ricardogpn, Es-ceptic0, Miguel.izquierdo.garcia, Kismalac, Pyr0, AstaBOTh15, Panderine!, TiriBOT, TobeBot, Halfdrag, RedBot, El nawe, Jerowiki,KamikazeBot, Mr.Ajedrez, Corrector1, Ripchip Bot, Humbefa, Tarawa1943, Foundling, GrouchoBot, Edslov, EmausBot, Thebossking13,ZroBot, Marianorbc, Allforrous, Africanus, MercurioMT, Waka Waka, WikitanvirBot, Metrnomo, Rezabot, MerlIwBot, Julio grillo,AvocatoBot, MetroBot, Mikel24, Santga, Rotlink, Addbot, Mettallzoar, Balles2601, Roger de Lauria, DavosMat, Sever Juan, JacobRo-drigues, Rodrigox99, Alfr3dobayuelo, Andri Lopez, Ineditable, Kbua23, Jarould, Matiia, El nosferatus, Elyo014, Hbkhghigoiluigougdwe,Bibidowdowjobuscus, Anonymousbetohd, Abigail Torres, Sapristi1000, Zhirose, PollasNovas y Annimos: 412

14.2 Imgenes Archivo:Artculo_bueno.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e5/Art%C3%ADculo_bueno.svg Licencia:

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