números complexos

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  • 1. SETOR A NDICE-CONTROLE DE ESTUDO Aula 55 (pg. 44) AD TM TC Aula 56 (pg. 44) AD TM TC Aula 57 (pg. 46) AD TM TC Aula 58 (pg. 47) AD TM TC Aula 59 (pg. 48) AD TM TC Aula 60 (pg. 50) AD TM TC Aula 61 (pg. 50) AD TM TC Aula 62 (pg. 52) AD TM TC Aula 63 (pg. 54) AD TM TCTerceiro Caderno 6 Cdigo 830371610 Professor:TERCEIRO43 SISTEMA ANGLO DE ENSINO

2. 55LOGARITMOS: EXERCCIOSH inmeras situaes problemticas em que ac)N(t) = 141 (Dado: 2 1,41)varivel ou a incgnita ocorre no expoente de uma50 2t = 141potncia. Nesses casos, a teoria dos logaritmos for-nece recursos adequados para a busca de solues. 50 2t = 100 1,4150 2t = 100 22t = 2 212t = 21 2 21t=1+2Em anlises de crescimento populacional comumindicar o nmero N de elementos de uma populaoResposta: 1,5no instante t pela notao N(t). Dado que, numa dadapopulao, N(t) = 50 2t, obtenha t, tal que:d)N(t) = 150 (Dado: log 3 1,58 log 2)a)N(t) = 5050 2t = 1502t 50 = 50log 32t = 3 t = log2 3 = = 1,58 2t = 1 t = 0 log 2 Resposta: 0Resposta: 1,58b)N(t) = 100 50 2t = 100 2t = 2 t = 1 Caderno de exerccios unidade II Resposta: 1TAREFA MNIMAFaa o exerccio 23 srie 8.TAREFA COMPLEMENTARFaa os exerccios 22 e 26 srie 8.56NMEROS COMPLEXOS (FORMA ALGBRICA) Nmero complexo todo aquele da forma a + bi Observaescom a e b , sendo i a unidade imaginria de- 1.O conjunto dos nmeros reais um subconjunto dofinida de tal forma que i2 = 1. conjunto dos nmeros complexos, isto , C. O nmero a chama-se parte real do complexo e 2.Dado o nmero complexo z = a + bi, temos:indicada por Re(z); o nmero b chama-se parte ima- a)z um nmero real se e somente se b = 0.ginria do complexo e indicada por Im(z).b)z um nmero imaginrio puro, se e somentese, a = 0 e b 0.SISTEMA ANGLO DE ENSINO44TERCEIRO 3. 1Potncias de i comb)(1 + i)10 = [(1 + i)2]5expoente natural = (2i)5 = 25 i5 Quanto s potncias de i, temos: = 32i i0 = 1 i1 = i i2 = 13. Dados os nmeros z1 = 2 + 3i e z2 = 1 i, i3 = i2 i = i obtenha: i4 = i2 i2 = 1a)z1 + z2 = 2 + 3i + 1 i = 3 + 2i Sendo i a unidade imaginria, n um nmero in-teiro maior que 4 e r o resto da diviso de n por 4,temos: b)z1 z2 = 2 + 3i (1 i) = 2 + 3i 1 + in 4 n=4q+r = 1 + 4ir q Da:c)z1 z2 = (2 + 3i)(1 i) in = i4q + r = i4 q ir = (i4)q ir = 1q ir = ir = 2 2i + 3i 3i2ou seja: in = ir = 2 2i + 3i + 3 =5+i2Operaes comnmeros complexos4. Sendo z1 = 1 i e z2 = 2 + xi, x , obtenha x para que z1 z2 seja real. As operaes de adio, subtrao e multipli- z1 z2 = (1 i)(2 + xi)cao seguem as regras da lgebra, lembrando quei2 = 1. = 2 + xi 2i xi2 = 2 + xi 2i + x = (2 + x) + (x 2)i z1 z2 real x 2 = 0 x=21. Complete:5. Resolva em a equao x2 + 9 = 0a)i0 = 1x2 = 9 x2 = 9i2 x = 3i b)i1 = i S = {3i, 3i} c)i2 = 1 d)i3 = i2 i = i e)i4 = i2 i2 = 1 f) i19 = i3 = iCaderno de exerccios unidade III 19 43 4 TAREFA MNIMAFaa os exerccios 1 e 2 (at d) srie 11.2. Calcule:TAREFA COMPLEMENTARa)(1 + i)2 = 12 + 2 i + i2 = 2iFaa os exerccios 4 e 5 srie 11.TERCEIRO 45SISTEMA ANGLO DE ENSINO 4. 57 Nmeros complexos (Diviso Igualdade)1Nmeros complexos b)i =conjugados 2ii(2 + i) 2 Chama-se conjugado do nmero complexo = = 2i + i 2 =2i (2 i)(2 + i) 2z = x + yi, {x, y} R, o nmero indicado por , tal quez = x yi 1 + 2i 1 2z= = + i55 52diviso de Nmeros complexos Dados os nmeros complexos z1 = a + bi ez2 = c + di, z2 0, o nmero z quociente de z1 por z22. Determine os reais x e y tais que: indicado por2x + (y 1)i = 8 + 3iz 2x = 8 x = 4123z= 1 (I)z2y1=3 y=4 Obtm-se a forma algbrica de z do seguinte modo: Resposta: x = 4 e y = 4a)Toma-se o conjugado de z2, isto , 2 = c di.zb)Multiplicam-se o numerador e o denominador de (I) por 2. z3. Obtenha z tal que 2z + = 3i. z3Igualdade entrenmeros complexosSeja z = x + yi, {x, y} e i2 = 1 Ento: a + bi = c + di a = c e b = d 2 (x + yi) + x yi = 3i {a, b, c, d} 2x + 2yi + x yi = 3i 3x = 0 x = 0 123 3x + yi = 0 + 3i y=3 Logo, z = 3i1. Calcule:2 + 3ia)= 1+i(2 + 3i)(1 i) 2= = 2 2i2+ 3i 3i =2 (1 + i)(1 i)1 i5+i5 i= = + 2 2 2 Caderno de exerccios unidade III TAREFA MNIMA Faa os exerccios 6 e 7 srie 11. TAREFA COMPLEMENTAR Faa os exerccios 3 e 8 srie 11.SISTEMA ANGLO DE ENSINO46 TERCEIRO 5. 58 Nmeros complexos (MDULO)Plano de Argand-gauss ||zzc) z1 = | 1 |1 (z2 0) 2 | z2 | Vamos associar a cada nmero complexo z = x + yi,{a, b} , o par ordenado (x, y). Assim, no plano de d)| zn | = | z |n (n )Argand-Gauss ou plano complexo, no qual o eixoe) | z1 + z2 | < | z1 | + | z2 |das abscissas o eixo real e o das ordenadas o eixoimaginrio, o nmero z = x + yi ser identificado peloponto P(x, y), chamado afixo de z. Im (eixo imaginrio) y P (afixo de z) 1. Calcule: a) |3 + 4i| == 32 + 42 = 25 = 5b)|2 i| = 0 xRe (eixo real)= 22 + (1)2 = 52Mdulo de um c) |i| =nmero complexo = |0 + i| = 02 + 12 = 1 Chama-se mdulo de um nmero complexoz = x + yi, {x, y} , o nmero real no negativo, indi- 2. Sendo z = 4 + yi, y , obtenha y tal que |z| = 5.cado por |z|, tal que | z | = x2 + y2 , ou seja, a distn-|z| = 5cia do afixo P de z at a origem zero. O mdulo tambm ser indicado pela letra grega .42 + y2 = 5Im16 + y2 = 25 y=3123y2 = 9 ouPy = 3 yResposta: y = 3 ou y = 3 3. Sendo x e y variveis reais, esboce no plano com- plexo o lugar geomtrico dos afixos dos nmeros 0 x Re z = x + yi tais que |z 2| = |z|.|x + yi 2| = |x + yi|3 Propriedades do mdulo|(x 2) + yi| = |x + yi| Sendo z, z1 e z2 nmeros complexos, tem-se:(x 2)2 + y2 = x2 + y2a)z = | z | 2 zx2 4x + 4 + y2 = x2 + y24x + 4 = 0 x = 1b)| z1 z2 | = | z1 | | z2 |TERCEIRO47SISTEMA ANGLO DE ENSINO 6. 16 Imb)Obtenha |z|, sabendo que = z.z = 16 z = 16zz z|z|2 = 16Ou seja: |z| = 4 01Re4. Seja z um nmero complexo.a)Mostre que z = |z|2.z Seja z = x + yi, {x, y} e i2 = 1 Temos:Caderno de exerccios unidade III z = (x + yi)(x yi) z = x2 (yi)2 TAREFA MNIMAFaa os exerccios 9 e 10 srie 11. = x2 y2i2 = x2 + y2TAREFA COMPLEMENTAR = |z|2 Faa os exerccios de 14 a 16 srie 11.59Nmeros complexos (Forma trigonomtrica)1 Argumento 2 Forma trigonomtricaou forma polar Seja P o afixo do nmero z = x + yi, z 0. Ao ngulo , 0 2, que o sentido positivo do Dado o nmero complexo z = x + yi, z 0, de m-eixo real forma com a semirreta de origem zero e quedulo e argumento , temos:contm P, denomina-se argumento de z. = x + y2 2Im xcos = x = cos Py ysen = y = sen Da:z = x + yiz = cos + sen iOu seja: z = (cos + i sen ) , 0x Redenominada forma trigonomtrica ou polar do nmerocomplexo z.SISTEMA ANGLO DE ENSINO48 TERCEIRO 7. Exemplo: b)z = 1 + iConsideremos o nmero z = 1 + 3 i.Temos:31 1 0 = (1)2 + 12 = 2 01 = 135 = 12 + (3 )2 = 2Ento:z = 2 (cos 135 + i sen 135)142431cos =2 =33cos =c)z = i2Portanto a forma trigonomtrica de z = 1 + 3 i : (z = 2 cos + i sen 3 3) 10Escreva na forma trigonomtrica cada nmero abaixo: = 1 e = 90a)z = 3 + i z = 1 (cos 90 + i sen 90) d)z = 3 1 03 = (3 )2 + 12 = 214243 1 sen = 3 0 2 = 30 3 = 3 e = 180 cos =2 z = 3 (cos 180 + i sen 180) Ento: z = 2 (cos 30 + i sen 30)TERCEIRO 49SISTEMA ANGLO DE ENSINO 8. Caderno de exerccios unidade IIITAREFA MNIMATAREFA COMPLEMENTARFaa o exerccio 11 (a at e) srie 11.Faa o exerccio 11 (f at j) srie 11. Faa o exerccio a seguir.4i D a forma trigonomtrica do nmero z = . 1+i Resposta: z = 2 2 (cos 45 + i sen 45)60 e 61Nmeros complexos(Operaes na forma trigonomtrica)Produto de dois nmerostemos:na forma trigonomtricaz1z2 = 10 2 cos ( + ) + i sen ( + ) 3 6 3 6Dados os nmeros complexos no nulos: z1 = 1 (cos 1 + i sen 1) ez1z2 = 20 cos + i sen 2 2z2 = 2 (cos 2 + i sen 2),temos que: z1z2 = 20 [0 + i] z1z2 = 20 iz1 z2 = 1 2 [cos (1 + 2) + i sen (1 + 2)]z1 10Demonstrao: () z2 = 2 cos 3 6 + i sen 3 6( )z1z2 = 1 (cos 1 + i sen 1) 2 (cos 2 + i sen 2)z1 z2 = 5 cos 6 + i sen 6z1z2 = 12 [cos 1 cos 2 + i sen 1 cos 2 + + i sen 2 cos 1 sen 1 sen 2] z1 31 z1 53 5z2 = 5 2 + i 2 , ou seja:z2 = 2 + 2 iz1z2 = 12 [(cos 1 cos 2 sen 1 sen 2) + + i (sen 1 cos 2 + sen 2 cos 1)]Dados um nmero inteiro n e um nmero complexoz1z2 = 12 [cos (1 + 2) + i sen (1 + 2)]c.q.d.no nulo,Para a diviso temos: z = (cos + i sen ), z1 1 temos que: z2 = 2 [cos (1 2) + i sen (1 2)] zn = n [cos (n) + i sen (n)]Exemplo: Dados: z1 = 10 cos ( 3+ i sen3) e Exemplo: ( z2 = 2 cos + i sen ) ( Dado: z = 2 cos 6 + i sen ,6 ) 66 temos:SISTEMA ANGLO DE ENSINO 50 TERCEIRO 9. z = 2 (cos 30 + i sen 30)z3 = 23 cos 3 ( ) + i sen (3 ) 66z10 = 210 [cos 300 + i sen 300] z3 = 8 cos2+ i sen2z10 = 1.024 12+i 3 2( )z3 = 8 [0 + i] z10 = 512 512 3 iz3 = 8i3. Diz-se que um nmero complexo z uma das ra-zes quadradas de um complexo w se, e somentese, z2 = w. Mostre que 2 + i e 2 i so razesquadradas de 3 + 4i. Devemos mostrar que (2 + i)2 e (2 i)2 so iguais a 1. Dados os nmeros na forma trigonomtrica: 3 + 4i. z1 = 8 (cos 90 + i sen 90) Assim, e (2 + i)2 = 4 + 4i + i2 = 4 + 4i 1 = 3 + 4i z2 = 4 (cos 30 + i sen 30) e escreva na forma algbrica: (2 i)2 = 4 + 4i + i2 = 4 + 4i 1 = 3 + 4i a)z1 z2 z1 z2 = 8 4 [cos 120 + i sen 120]4. Calcule as razes quadradas de 4i.1 = 32 + i 3 1o modo22 Passando para a forma trigonomtrica temos:= 16 + 16 3 i z ( 4i = 4 cos + i sen 2 2)b) z12Seja uma raiz: z = x (cos + i sen ). z1 8 z2 = 4 [cos 60 + i sen 60]z2 = 4 cos(2+ i sen2 ) 13 =2 2 +i 2 = 1 + 3 ix2 (cos 2 + i sen 2) = 4 cos ( 2+ i sen2 ) x2 = 4 x = 2 (pois x 0) 2. Escreva na forma algbrica o nmero (3 + i)10. e Seja z = 3 + i2 = + h 2, h 2 =+ h , h 4 15 Como 0 a 2, = ou =44 Assim, 0 3 ( z = 2 cos 4 + i sen 4 =) = (3 )2 + 12 = 2=2( 22+i 2 2)= 2 + i 2 14243cos = 3 2 = 30 ( z = 2 cos 5 4+ i sen54 =) 1sen = 2=2 (2 2 i22 ) = 2 i 2TERCEIRO51 SISTEMA ANGLO DE ENSINO 10. 2o modoSeja z = x + yi, {x, y} e i2 = 1(x + yi)2 = 4ix2 y2 + 2xyi = 4ix2 y2 = 014243 Caderno de exerccios unidade III22xy = 4 y =TAREFA MNIMAx c Aula 604x2 = 0 x4 = 4 x = 6 2Faa o exerccio 12 srie 11.x2 c Aula 61 2 2 Faa os exerccios 15 e 17 srie 11.Se x = 2 , ento y == 22 2 TAREFA COMPLEMENTAR 2 2c Aula 6