números complexos

Download Números complexos

If you can't read please download the document

Upload: susoigto

Post on 30-Jun-2015

82 views

Category:

Education


1 download

DESCRIPTION

Unidade 6 do temario de Matemáticas I de 1º Bacharelato

TRANSCRIPT

  • 1. UNIDADE 6: NMEROS COMPLEXOS

2. Conxuntos numricos 3. Conxuntos numricos Problema: Non todas as ecuacins teen solucin dentro dalgn destes conxuntos numricos. 4. Conxuntos numricos Por exemplo : a ecuacin x26x+13=0. Aplicandoafrmula,obtemos: x=3 16 5. Conxuntos numricosFaise necesario pois a ampliacin do conxunto dos nmeros reais, aceptando, dalgn xeito, as races cadradas dos nmerosnegativos. 6. Conxuntos numricosOclculoderacesdenegativosredcese adarllesentido 1 7. Conxuntos numricosOclculoderacesdenegativosredcese adarllesentido 1 xaque,porexemplo, 16= 16( 1 ) =4 1 ou 5= 5( 1 ) = 5 1 8. As, 1 Chamaremosaunidadeimaxinaria erepresentarmolocoaletrai. 9. i= 1 10. Nosexemplosanteriores: 16= 16( 1 ) =4 1=4 i 5= 5( 1 ) = 5 1= 5 i 11. i= 1 e polo tanto 2 i= 3 i= 4 i= 12. Chamamos nmero complexo a unha expresindaforma a+bi ondeaebsonnmerosreais. 13. Forma binmicaEsta forma de escribir un complexo denomnase forma binmica porque ten dascompoentes: aaparterealdonmerocomplexo,e baparteimaxinaria. 14. Dousnmeroscomplexossoniguaissse teenamesmaparterealeamesmaparte imaxinaria. 15. Conxunto dos nmeros complexos Ao conxunto dos nmeros complexos desgnmolopolaletra 16. Conxunto dos nmeros complexos= { a+ bi/a , b } 17. Mis definicinsChamamos nmeros imaxinarios a aqueles nmeros complexos que teen compoenteimaxinarianonnula. As, un nmero complexo ou real ou imaxinario. 18. Mis definicinsChamamos nmeros imaxinarios puros aaquelesimaxinariosqueteenpartereal nula. Porexemplo: 19. Mis definicinsChamamos nmeros imaxinarios puros aaquelesimaxinariosqueteenpartereal nula. Porexemplo:2 5i ,3 i , i , 3 i, i 3 20. Mis definicinsOs nmeros complexos a+bi e abi chmanse............ 21. Mis definicinsOs nmeros complexos a+bi e abi chmanseopostos. 22. Mis definicinsOs nmeros complexos z=a+ b i e =abi zchmanse ............ 23. Mis definicinsOs nmeros complexos z=a+ b i e =abi zchmanse conxugados. 24. Exercicio 2 Obtn as solucins das seguintes ecuacins e represntaas: a)x2+4=0 b)3x2+27=0 2+6x+10=0 c)x 25. Exercicio 4 Sabemosquei2=1.Calculai3,i4,i5,i6,i20,i21, i22, e d despois un criterio para calcular o valordecalquerapotenciadeideexpoente natural. 26. Representacingrfica dosnmeroscomplexos Para representar os nmeros complexos temos que sar da recta real e encher o plano: o plano complexo. 27. Representacingrfica dosnmeroscomplexosOs nmeros complexos represntanse nuns eixos cartesianos. 28. Representacingrfica dosnmeroscomplexos Os nmeros complexos represntanse nuns eixos cartesianos. O eixo OX chmase eixo real e o OY eixoimaxinario. 29. Representacingrfica dosnmeroscomplexos Os nmeros complexos represntanse nuns eixos cartesianos. O eixo OX chmase eixo real e o OY eixoimaxinario. Un nmero complexo a+bi represntase mediante o punto (a,b), ao que chamaremos o seu afixo, ou mediante un vector de orixe (0,0) e extremo (a,b). 30. Representacingrfica dosnmeroscomplexos 31. Representacingrfica dosnmeroscomplexosOs afixos dos nmeros reais sitanse sobre o eixo real e os dos imaxinarios purossobreoeixoimaxinario. 32. Exercicio1Representa graficamente os seguintes nmeros complexos e di cales son reais, cales imaxinarios e destes, cales son imaxinariospuros: 1 5 + i 53i 6 1i 2 4 5i 33. Operacinscon nmeroscomplexos O resultado de sumar, restar, multiplicar ou dividir dous nmeros complexos outro nmerocomplexoqueseobtndoseguinte xeito: Suma:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i Resta:(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i 34. Operacinscon nmeroscomplexos Produto:(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i 35. Operacinscon nmeroscomplexos Produto:(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)iO produto dun nmero complexo polo seu conxugadosempreunnmeroreal: 2(bi)2=a2+b2 (a+bi)(abi)=a 36. Operacinscon nmeroscomplexos Divisin: para dividir dous complexos, multiplicamos o numerador polo conxugadododenominador: 37. Operacinscon nmeroscomplexos Divisin: para dividir dous complexos, multiplicamos o numerador polo conxugadododenominador: a+ bi ( a+ bi ) ( cdi ) ac+ bd bcad = = 2 2+ 2 2i c+ di ( c+ di ) ( cdi ) c + d c +d 38. Propiedadesdasoperacins connmeroscomplexos Asumadecomplexostenaspropiedades asociativaeconmutativa. Tenademaisunelementoneutro,o0. Todos os nmeros complexos teen oposto. 39. Propiedadesdasoperacins connmeroscomplexos O produto de complexos ten tamn as propiedadesasociativaeconmutativa. Tenademaisunelementoneutro,o1. Todos os nmeros complexos, ags o 0, teen inverso (o inverso de a+bi 1/ (a+bi)). 40. Propiedadesdasoperacins connmeroscomplexosOs nmeros complexos teen a propiedade distributiva do produto respectodasuma. 41. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR 42. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLARO mdulo dun nmero complexo z a lonxitude do vector mediante o que se representa.Designmolopor|z|. 43. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLARO argumento dun complexo z distinto de 0 o ngulo que forma o vector co eixo real.Designmoloporarg(z). 44. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR 45. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR Se|z|=rearg(z)=,onmerocomplexoz podedesignarseas:z=r. Esta a forma polar (ou mdulo argumental) de escribir un nmero complexo. 46. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR 47. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLARUn nmero complexo admite infinitos argumentos:r =r =r =..., +360+720pero normalmente escolleremos como argumentounnguloentre0e360. 48. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLARPasodeformabinmicaapolar:Dadoocomplexoz=a+bi,podemospasaloa formapolarr : r=z= a + b 22(teorema de Pitgoras) b tan = a 49. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR Exercicio pasaaformapolaroscomplexos: :z 1=2+ 2 3 iz 2 =iz 3=2 50. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLARPasodeformapolarabinmica:Dado o complexo r , podemos pasalo a formabinmicaz=a+bi: a=rcos b=rsen 51. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLARPasodeformapolarabinmica:Dadoocomplexor z=rcos +(rsen)i=r(cos +isen).Aestaexpresintamnsellechamaforma trigonomtrica 52. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR Exercicio pasaaformabinmica: :z 1=5225z 2 =40 z3 =3270 53. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR OperacinsconcomplexosenformapolarProduto: o produto de dous nmeros complexos outro nmero complexo que ten como mdulo o produto dos mdulos dos factores e como argumento a suma dos argumentosdosfactores 54. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR OperacinsconcomplexosenformapolarProduto:rr'=(rr')+ 55. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR OperacinsconcomplexosenformapolarProduto:demostrmolo: r r '=r ( cos + i sen ) r ' ( cos + i sen ) 56. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR OperacinsconcomplexosenformapolarProduto:demostrmolo: r r '=r ( cos + i sen ) r ' ( cos+ i sen ) = r r ' [ ( cos cossen sen ) + i ( sen cos+ cos sen ) ] 57. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR OperacinsconcomplexosenformapolarProduto:demostrmolo: r r ' =r ( cos + i sen ) r ' ( cos + i sen ) = r r ' [ ( cos cossen sen ) + i ( sen cos+ cos sen ) ] =r r ' [ cos ( + ) + i sen ( + ) ] 58. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR OperacinsconcomplexosenformapolarProduto:demostrmolo: r r '=r ( cos + i sen ) r ' ( cos + i sen ) = r r ' [ ( cos cossen sen ) + i ( sen cos + cos sen ) ] =r r ' [ cos ( + ) + i sen ( + ) ] =( r r ' ) + 59. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR OperacinsconcomplexosenformapolarPotencia: ao elevar un complexo r a un expoentenaturaln,ocomplexoresultanteten mdulorneargumenton. 60. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR OperacinsconcomplexosenformapolarPotencia:demostrmolo: n( r n) n ( r ) =r r ... r =( r r ... r ) + + ...+ = 61. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR OperacinsconcomplexosenformapolarCociente:paradividirdouscomplexos, divdenseosseusmduloserstanseosseus argumentos. 62. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR OperacinsconcomplexosenformapolarCociente:paradividirdouscomplexos, divdenseosseusmduloserstanseosseus argumentos.( )r r = r ' r ', pois ( ) r r'( )r r '= r ' r' =r + 63. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR Exercicio Dadosz1=460ez2=3210,calcula: :z1z2 5z1 4z2 z2/z1 64. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR OperacinsconcomplexosenformapolarFrmuladeMoivre. Aplicandoaspropiedades dapotenciadunnmerocomplexo,obtensea seguintefrmula: n( cos + i sen ) =cos ( n ) + i sen ( n ) 65. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR OperacinsconcomplexosenformapolarFrmuladeMoivre.Usaremosestafrmulaparacalcularcos(n)e sen(n)enfuncindecosesen. 66. 6.2.NMEROSCOMPLEXOS ENFORMAPOLAR Cunexemplo:calculacos2esen2mediante afrmuladeMoivre. 67. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOSUnnmerocomplexoRtennracesnsimas. 68. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOSUnnmerocomplexoRtennracesnsimas. Todaselasteenomesmomdulo. 69. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOSUnnmerocomplexoRtennracesnsimas. Todaselasteenomesmomdulo.Osseusargumentosson: 360 360 360 1= , 2 = + , 3 = + 2,... , n= + ( n1 ) n n n n n n n 70. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOSParan>2,osafixosdestasnracessonos vrticesdunngonoregularconcentrona orixedecoordenadas. 71. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOSParan>2,osafixosdestasnracessonos vrticesdunngonoregularconcentrona orixedecoordenadas. 72. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOSParan>2,osafixosdestasnracessonos vrticesdunngonoregularconcentrona orixedecoordenadas. 73. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Exercicioresolto .Calcularasracescbicasde8ierepresntaas. 74. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Exercicioresolto .Calcularasracescbicasde8ierepresntaas. 8i=890 75. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Exercicioresolto .Calcularasracescbicasde8ierepresntaas. 8i=8903 8=2 Asracescbicasvantermdulo 76. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Exercicioresolto .Calcularasracescbicasde8ierepresntaas. 8i=8903 8=2 Asracescbicasvantermdulo Osargumentosson: 90 1 = =30 3 77. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Exercicioresolto .Calcularasracescbicasde8ierepresntaas. 8i=8903 8=2 Asracescbicasvantermdulo Osargumentosson: 90 360 90 2= + =150 1 = =30 3 3 3 78. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Exercicioresolto .Calcularasracescbicasde8ierepresntaas. 8i=8903 8=2 Asracescbicasvantermdulo Osargumentosson: 90 360 90 2= + =150 1 = =30 3 3 3 90 3= + 120 2=270 3 79. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Exercicioresolto .Calcularasracescbicasde8ierepresntaas. Polotanto,astresracescbicasde8ison: 230,2150,2270. 80. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Exercicioresolto .Calcularasracescbicasde8ierepresntaas. Graficamente, 81. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Demostracin . nn R=r R=( r ) R=( rn)n {nnR=r r= R =n = n 82. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Demostracin .Andaqueoargumentoduncomplexopodeser tanto , como +360 ou +720 ,..., os resultadosdedividirestes ngulosentrennon soniguais. 83. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Demostracin .Andaqueoargumentoduncomplexopodeser tanto , como +360 ou +720 ,..., os resultadosdedividirestes ngulosentrennon soniguais. Imos estudar cantos resultados distintos podemoster: 84. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Demostracin .Imos estudar cantos resultados distintos podemoster: + 360k + 360k=n , k = , k n 85. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Demostracin .Imos estudar cantos resultados distintos podemoster: + 360k + 360k=n , k = , k n Se k=0 1= n 86. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Demostracin .Imos estudar cantos resultados distintos podemoster: + 360k + 360k=n , k = , k n 360 Se k=1 2= + n n 87. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Demostracin .Imos estudar cantos resultados distintos podemoster: + 360k + 360k=n , k = , k n 360 Se k=2 3 = + 2 n n 88. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Demostracin .Imos estudar cantos resultados distintos podemoster: + 360k + 360k=n , k = , k n 360 Se k=n1 n= + ( n1 ) n n 89. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Demostracin .Imos estudar cantos resultados distintos podemoster: + 360k + 360k=n , k = , k n + 360 n Se k=n = + 360=1 n n 90. 6.3.RADICACINDE COMPLEXOS Exercicio .Calcula as races cuartas de z e represntaas graficamente: 1 3 z= i 2 2