nÚmeros complexos

NÚMEROS COMPLEXOSNÚMEROS COMPLEXOS

O que você deve saber sobre

Os números complexos vieram suprir uma lacuna deixada pelos números reais na solução de certos tipos de equação. Apesar das resistências iniciais, eles encontraram terreno fértil para serem aceitos e usados amplamente.

NÚMEROS COMPLEXOS

No século XIX demonstrou-se que os números complexos formavam um conjunto numérico que estava de acordo com a teoria dos conjuntos. A teoria também mostrou que eles englobavam o conjunto dos números reais, como representado abaixo.

I. Introdução

Números complexos representados na chamada forma algébrica:

em que a e b são números reais, e i é chamado unidade imaginária.

A unidade imaginária é um número i tal que:

Decorrência da definição anterior:

II. Forma algébrica

NÚMEROS COMPLEXOS

• Coeficiente a: parte real de z, representada por Re(z).

• Coeficiente b: parte imaginária de z, indicada por Im(z).

• Todo número real é complexo e pode ser representado como tal, desde que sua parte imaginária b seja igual a zero.

• Se a parte real de um número complexo é nula, ele é um número imaginário puro.

• Dois números complexos, z e w, para serem iguais, devem ter suas partes reais e imaginárias, respectivamente, iguais.

• Definição do conjunto dos números complexos:

II. Forma algébrica

NÚMEROS COMPLEXOS

Dados os dois números complexos z = a + bi e w = c + di:

Soma e subtração: é feita pela soma (ou subtração) de suas respectivas partes reais e imaginárias:

Multiplicação: é feita pela aplicação da propriedade distributiva:

III. Operações com números complexos

NÚMEROS COMPLEXOS

Divisão: necessita do conceito de complexo conjugado.

O conjugado de z, escrito como |z|, é dado por:

O produto de um número complexo por seu conjugado resulta

sempre em um número real. Assim, para obter o quociente ,

devemos multiplicar numerador e denominador

pelo conjugado de z:


NÚMEROS COMPLEXOS

zw

Potências de i: observe na tabela que os resultados

se repetem a partir da quarta potência de i:

Na potenciação de i, já que há 4 possibilidades de resultado,

divide-se o expoente por 4 (lembrar que i4 = 1) e toma-se

o resto da divisão como um valor equivalente para o expoente de i.


NÚMEROS COMPLEXOS

O número complexo z = a + bi é representado, no plano de Argand-Gauss, pelo ponto P(a, b). P é chamado de imagem de z, e z é denominado afixo do ponto P.

IV. Representação geométrica de número complexo

NÚMEROS COMPLEXOS

Representação por um ponto

i

• Representação vetorial: podemos representá-lo como um vetor OP, com origem em O(0, 0) e extremidade no ponto P.

• Módulo de z: indicado pela letra grega (rô), é definido como a medida do segmento OP e dado por:

• Direção de z: indicada pelo ângulo (0 ≤ ≤ 2), que o vetor estabelece com eixo real. Esse ângulo é conhecido como argumento de z.


NÚMEROS COMPLEXOS

Representação trigonométrica: como decorrência da representação de um número complexo z por um vetor e a partir da substituição de seu

módulo e de seu argumento na forma algébrica, podemos também

representá-lo na forma trigonométrica ou polar:


NÚMEROS COMPLEXOS

Dados dois números complexos z1 = 1(cos 1 + i sen 1) e

z2 = 2 (cos 2 + i sen 2), definimos:

Produto

Quociente

Potenciação (1a fórmula de De Moivre)

V. Operações na forma trigonométrica

NÚMEROS COMPLEXOS

Radiciação (2a fórmula de De Moivre)

Todo número complexo w, tal que wn = z, é denominado raiz enésima de z. As raízes enésimas de z podem ser obtidas pela fórmula:

V. Operações na forma trigonométrica

com k = 0, 1, 2, 3, ... (n - 1) e n e n > 1.

Podemos interpretar os valores obtidos pela fórmula como as enésimas

raízes distintas de z, todas de mesmo módulo ; e argumentos distintos

iguais . No plano imaginário, os pontos que representam as n

raízes de z estão sobre uma circunferência de centro na origem e raio ;

a circunferência fica então dividida em n arcos congruentes medindo cada

um .

n p

n

k2θ

n

2

NÚMEROS COMPLEXOS

n e

(UFRJ)

Determine o módulo, o argumento e represente graficamente o número complexo z = 2 + .

2

NÚMEROS COMPLEXOS - NO VESTIBULAR

EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

i32

(UFRJ) No jogo Batalha Complexa são dados números complexos z e w,chamados mira e alvo respectivamente. O tiro certeiro de z em wé o número complexo t tal que tz = w.

Considere a mira z e o alvo windicados na figura ao lado.Determine o tiro certeiro de z em w.

3EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR

(Fuvest-SP) A figura representa o número

no plano complexo, sendo i = a unidade imaginária.Nessas condições:

a) determine as partes real e imaginária

de e de 3.

b) represente e na figura a seguir.

4EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

c) determine as raízes complexas da equação z3 – 1 = 0.

1

1

231 i


1

(Ufal) Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do número complexo z.

Se o número complexo z1 = a + bi é o cubo de z, determine o valor da diferença b a.

7EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:


(UFC-CE) Sejam x, y, z e w números complexos tais que suas representações geométricas coincidemcom os vértices de um quadrado inscrito em uma circunferência com centro na origem.

Se x = + i, determine y, z e w.

8EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

3

RESPOSTA:


(UFRN) Os números complexos são representados geometricamente no plano XY por meio da correspondência biunívoca z = a + bi P = (a, b), conforme ilustração a seguir.

a) Represente, no plano XY anterior, os números complexosz1 = 2 + 2i e z2 = -2 + 2i.

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS12


RESPOSTA:

112

b) Represente geometricamente, no mesmo plano, os segmentos de reta

Oz1 e Oz2 e calcule o ângulo z1Ôz2.

c) Se z = a + bi, prove que z’ = iz é obtido girando-se z 90ºno sentido anti-horário, em torno da origem.

EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:


RESPOSTA:

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS14

RESPOSTA:

(Unicamp-SP) Um número complexo z = x + iy, z 0, pode ser

escrito na forma trigonométrica: z = | z | (cos + i sen ), onde | z | = cos = . Essa forma de representar os números complexos não nulos é muitoconveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre:

que é valida para todos t . Use essas informações para:

yx22

|| Z

X

a) calcular .

b) sendo z =

calcular o valor de 1 + z + z2 ++ z3 + ... + z15.

123 i

,2

2

2

2i


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