números complexos em eletrônica

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NMEROS COMPLEXOS EM ELETRNICA uma forma na qual se inclui ngulo de fase e magnitude de uma ou mais grandezas. Uma expresso complexa compreende uma parte real e uma parte imaginria, conforme mostra a figura abaixo.

j um operador que varia de 0 a 360, em ngulos de 90. O ngulo de 90 de grande importncia na anlise de circuitos AC. 1) + 4 indica 4 unidades a 0 2) - 4 indica 4 unidades a 180 3) j4 indica 4 unidades a 90

Como j um operador a 90, isto significa que em 180 ele repetido 2 vezes, em 270 repetido 3 vezes e assim por diante.

RESUMINDO 0 = 1 90 = + j 180 = j2 = - 1 270 = j3 = j2. j = - 1. j = - j 360 = 0 = 1

A expresso complexa deve ser escrita da seguinte forma: parte real parte complexa onde j sempre escrito antes do nmero. Exemplo:ETE ALBERT EINSTEIN - NMEROS COMPLEXOS EM ELETRNICA FORMULRIO PARA CIRCUITOS AC Prof. Edgar Zuim1

4 j2RELAO DO FASOR COM A FORMA RETANGULAR3 representa um nmero real ( neste caso uma resistncia de valor igual a 3 ); o ngulo de 90 ou +j usado para representar XL (4 ); portanto: Z = 3 + j4

como no caso anterior, 3 representa uma resistncia no valor de 3 ; o ngulo de - 90 ou - j usado para representar XC (4 ); portanto: Z = 3 - j4 Podemos ento representar circuitos na forma complexa retangular conforme exemplos abaixo:

Z2 = R2 + XL2 Z = 8 + j5

Z2 = R2 + XC2 Z = 10 - j6

IT2 = IR2 + IC2 IT = 1 + j3

IT2 = IR2 + IL2 IT = 1 - j3

O operador j indica uma relao de fase diferente de zero entre a parte real e a parte imaginria. Tomemos como exemplo impedncias:

Se R = 0 e XC = 10 Z = 0 - j102

Se R = 10e XC = 0 Z = 10 - j0 Se R = 0 e XL = 10 Z = 0 + j10 Se R = 10e XL = 0 Z = 10 + j0Vejamos alguns exemplos abaixo de circuitos

ZT = (9 + j6) + (3 - j2) ZT = 12 + j4

1 1 1 1 = + + ZT 4 j8 - j 5

ZT =

(9 + j 5) . (3 - j 2) (9 + j 5) + (3 - j 2)

OPERAES COM NMEROS COMPLEXOSI - ADIO OU SUBTRAO:Soma-se ou subtrai-se a parte real e a parte imaginria ( j ) separadamente: a) (9 + j5) + (3 + j2) (9 + 3) + (j5 + j2) = 12 + j7 b) (9 + j5) + (3 - j2) (9 + 3) + (j5 - j2) = 12 + j3 c) (9 + j5) + (3 - j8) (9 + 3) + (j5 - j8) = 12 - j3

II - MULTIPLICAO OU DIVISO DE UM IMAGINRIO ( termo j ) POR UM NMERO REALBasta multiplicar ou dividir, conforme exemplos abaixo: a) 4 . j3 = j12 b) j5 . 6 = j30 c) j5 . -6 = -j30 d) j12 3 = j4 e) -j30 -6 = j5 f) j30 -6 = -j5

NMERO

g) j3 4 = j0,75 h) 1,5 . j2 = j3 i) 4 . j0,75 = j3

III - DIVISO DE UM NMERO IMAGINRIO POR UM NMEROETE ALBERT EINSTEIN - NMEROS COMPLEXOS EM ELETRNICA FORMULRIO PARA CIRCUITOS AC Prof. Edgar Zuim3

IMAGINRIO ( diviso de um termo j por um termo j )A diviso produzir um nmero real ( as partes imaginrias ou os termos j se cancelaro), conforme exemplos abaixo: a) j12 j3 = 4 b) j30 j5 = 6 c) - j12 j3 = - 4 d) j30 - j6 = - 5 e) - j30 - j5 = 6 f) - j15 - j3 = 5

IV- MULTIPLICAO DE UM NMERO IMAGINRIO POR UM NMERO IMAGINRIO ( multiplicao de um termo j por um termo j)Multiplica-se o nmero e o operador j. A multiplicao dos termos j produzir j2. Veja os exemplos abaixo: a) j3 . j4 = j . j = j2 = j2(3 . 4) = -1(12) = -12 b) j3 . - j4 = j . - j = - j2(3 . 4) = -(-1)(12) = 12

V - MULTIPLICAO DE NMEROS COMPLEXOSBasta seguir as regras da lgebra (propriedade distributiva), conforme mostra o exemplo abaixo: a) (9 + j5) . (3 - j2) = 27 + j15 - j18 - j210 observe que j2 = -1 = 27 - j3 + 10 = 37 - j3

VI - DIVISO DE NMEROS COMPLEXOSA diviso de um nmero real por um nmero complexo no possvel. Consideremos a expresso:4 - j1 1 + j2

O numerador contm um nmero real, que 4 e o denominador formado por um nmero complexo: 1 + j2, tornando impossvel a operao. Para concretizar a operao torna-se necessrio racionaliz-la, bastando para isso multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado do denominador 1 - j2 (basta trocar o sinal). Teremos ento:(4 - j1) . (1 - j 2) (1 + j 2) . (1 - j 2)

4 - j8 - j1 + j 2 2 4 - j9 - 2 2 - j9 = = = 0,4 - j1,8 2 1- j 4 1 +4 5

MAGNITUDE E NGULO DE UM NMERO COMPLEXO4

REPRESENTAO POLAR E RETANGULAR DE UM NMERO COMPLEXO CONVERSES RETANGULAR/POLAR - POLAR/RETANGULAR Veja a figura abaixo:

Em termos eltricos, uma impedncia complexa 4 + j3 significa 4 de resistncia eltrica e 3 de reatncia indutiva. Lembrar que, a impedncia 4 + j3 est escrita na forma retangular. A impedncia o resultado de: Z = Z=4 2 +32

R 2 + XL=

2

ou Z2 = R2 + XL225

=

1 +9 6

= 5

O ngulo de fase o arco tangente (arctan) da relao entre XL e R. Portanto: = arctanXL R

=

3 = 0,75 37 4

Desta forma, a impedncia complexa pode ser escrita da seguinte maneira: 4 + j3 - forma retangular - forma polar EXERCCIOS RESOLVIDOS

Converter para a forma polar:a) 2 + j4 =22 + 42

=

4+6 1

=

20

=

4,47

arctan

4 = 2

2

63

b) 8 + j6 =6 +3 4 6

=

100

= 10 arctan

6 = 0,75 37 8

c) 4 - j4 =1 +6 6 1

=

3 2

= 5,66 arctan

-4 = -1 = - 45 45

ETE ALBERT EINSTEIN - NMEROS COMPLEXOS EM ELETRNICA FORMULRIO PARA CIRCUITOS AC Prof. Edgar Zuim

Converter para a forma retangular:a) sen 65 = 0,906 (parte imaginria) 12 . 0,906 = 10,87 cos 65 = 0,423 (parte real) 12 . 0,423 = 5,08 Resposta: 5,08 + j10,87 b) sen 60 = 0,866 (parte imaginria) 100 . 0,866 = 86,6 cos 60 = 0,5 (parte real) 100 . 0,5 = 50 Resposta: 50 + j86,6 c) sen - 60 = - 0,866 (parte imaginria) 100 . - 0,866 = - 86,6 cos - 60 = 0,5 (parte real) 100 . 0,5 = 50 Resposta: 50 - j86,6 d) sen 90 = 1 (parte imaginria) 10 . 1 = 10 cos 90 = 0 (parte real) 10 . 0 = 0 Resposta: 0 + j10 Quando um nmero complexo formado por uma parte real igual a zero, como por exemplo: 0 + j5, a expresso na forma polar ser: Para a expresso: 0 - j5, a expresso na forma polar ser:

Quando um nmero complexo formado por uma parte imaginria igual a zero, como por exemplo: 5 + j0, a expresso na forma polar ser:

MULTIPLICAO DE NMEROS COMPLEXOS NA FORMA POLARI - REAL x POLAR a)

6

b) II - POLAR x POLAR Na multiplicao de nmeros complexos (polar x polar) os ngulos so somados algebricamente, conforme mostra os exemplos abaixo: a) b) c)

DIVISO DE NMEROS COMPLEXOS NA FORMA POLARI - POLAR REAL a) b) c) II - POLAR POLAR Na diviso de nmeros complexos na forma polar (polar polar) os ngulos so subtrados algebricamente, conforme mostra os exemplos a seguir: a) b) c) III - REAL POLAR a)

b)

EXERCCIOS RESOLVIDOS UTILIZANDO NMEROS COMPLEXOSETE ALBERT EINSTEIN - NMEROS COMPLEXOS EM ELETRNICA FORMULRIO PARA CIRCUITOS AC Prof. Edgar Zuim7

I - Dado o circuito abaixo:

Calcule as correntes I1, I2 e I3; as impedncias Z1; Z2 e Z3; a corrente total (IT) e a impedncia total (ZT) nas formas retangular e polar. Soluo: 1) escrevendo cada ramo de impedncia na forma retangular, temos: Z1 = 50 - j50 Z2 = 40 + j30 Z3 = 30 + (j110 - j70) = 30 + j40 2) convertendo cada ramo de impedncia na forma polar, temos: Z1 = Z2 = Z3 =50 2 + (-50)2

= 70,7 = arctan

- 50 = -1 = - 45 50

40 2 + 30 2

= 50 = arctan = 50 = arctan

30 = 0,75 = 36,87 (37) 40 40 = 1,33 = 53,15 (53) 30

30 2 + 40 2

3) Calculando a corrente em cada ramo de impedncia, ou seja, as correntes I1, I2 e I3: I1 = Vin / Z1 1 + j1A (retangular) I2 = Vin / Z2 1,6 - j1,2A (retangular) I3 = Vin / Z3 1,2 - j1,6A (retangular) 4) Calculando a corrente total (forma retangular): IT = I1 + I2 + I3 = 1 + 1,6 + 1,2 + j1 - j1,2 - j1,68

IT = 3,8 - j1,8A convertendo para a forma polar: IT =3,8 2 + (-1,8)2

= 4,2 = arctan

1,8 = - 0,474 = - 25.4 - 3,8

5) Calculando a impedncia total (forma polar): ZT = Vin / IT

Convertendo para a forma retangular: 23,8 . sen 25,4 = 23,8 . 0,429 = 10,21 (indutiva) 23,8 . cos 25,4 = 23,8 . 0,903 = 21,5 (resistiva) ZT = 21,5 + j10,21 II - Dado o circuito a seguir: a) calcule as tenses em cada um dos componentes; b) desenhe o fasor do circuito para a corrente e as tenses.

Soluo: 1) Calculando a impedncia total na forma retangular: ZT = 2 + j4 + 4 - j12 6 - j8 2) Convertendo a impedncia total na forma polar: ZT =6 2 + (-8)2

= 10 arctan ZT =

-8 = - 1,33 = -53,13 (- 53) 6

3) Calculando a corrente total na forma polar: IT = VT / ITETE ALBERT EINSTEIN - NMEROS COMPLEXOS EM ELETRNICA FORMULRIO PARA CIRCUITOS AC Prof. Edgar Zuim9

4) Calculando a tenso em cada componente: VR1 = VL = VC = VR2 = OBS: Como o operador j representa o ngulo de 90, na forma polar a reatncia indutiva (XL) assume o ngulo de 90 ; a reatncia capacitiva XC assume o ngulo 90 e a resistncia assume o ngulo de 0. 5) Desenhando o fasor do circuito para as tenses e a corrente, onde alguns aspectos devem ser observados:a)

O ngulo de 53 para VR1 e VR2 mostra que as tenses nestes dois componentes esto em fase com a corrente.

b) A tenso nos resistores est adiantada 53 em relao a VT enquanto que a tenso no capacitor est atrasada 37. c) A tenso no indutor est adiantada 143 em relao a VT (90 + 53). d) A relao de fase entre as tenses no capacitor e indutor de 180.

10

6) Comprovando: OBS: a soma das tenses de cada um dos componentes dever nos dar a tenso aplicada na entrada. Convertendo cada tenso para a forma polar: VR1 = VR2 = VC = VL = = 2,407 + j3,196V = - 6,389 + j4,814V = 19,167 - j14,444V = 4,812 + j6,389V

Total da VT = 19,997 + j0,045V Convertendo a tenso 19,997 + j0,045V para a forma polar: VT =19,9972

+0,045

2

=

39 8 9 ,8 2

20

0,045 = arctan 19,997

= 0,00225 = 0,129 0

Portanto, na forma polar VT =

FORMULRIO PARA CI