números complexos, fasores e impedância

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Números Complexos, Fasores e Impedância Prof. Marcos J. Rider 1

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Page 1: Números Complexos, Fasores e Impedância

Números Complexos, Fasores e Impedância

Prof. Marcos J. Rider

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Page 2: Números Complexos, Fasores e Impedância

Agenda◦Números Complexos

◦Fasores

◦ Impedância

◦Exercícios

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Page 3: Números Complexos, Fasores e Impedância

Motivações◦A resolução de circuitos de corrente alternada no

domínio do tempo gera equações diferenciais de

solução complexa e/ou trabalhosa.

◦A análise destes circuitos por meio do uso de fasores

e impedância proporciona uma maneira simplificada

de resolvê-los.

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Page 4: Números Complexos, Fasores e Impedância

Números Complexos◦Para que se possa compreender o uso dos conceitos

de fasor e impedância, faz-se necessário ter o

domínio da teoria de números complexos.

◦Z = x + jy, onde x = Re{Z} e y = Im{Z}

◦ j = −1

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Page 5: Números Complexos, Fasores e Impedância

Números Complexos◦ Se Z = x + jy → Z* = x – jy → Forma Retangular

◦ Z = � ��� → Z* = � ��� → Forma Exponencial

◦ Z = � ∟� → Z* = � ∟ − � → Forma Polar

◦ � = � + �

◦ � = tan� �

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Page 6: Números Complexos, Fasores e Impedância

Fasor◦ É expresso pelo valor eficaz e fase de uma tensão ou

corrente presente no circuito elétrico.

◦ Trata-se de uma “imagem congelada” do vetor girante

que lhe dá origem.

◦ Z = � ��� → Z = � ∟� → � (cos � + � ��� �)

◦ Z* = � ��� → Z* = � ∟ − � → � (cos � − � ��� �)

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Page 7: Números Complexos, Fasores e Impedância

Fasor

◦ � � = � ��� !� + θ = 2�$%��� !� + θ → �& = �$%∟θ

◦ Pode ser considerada como a parte imaginária do vetor

◦ '( = 2�$%��(*+,-) = 2�$% cos !� + � + � ��� !� + θ

◦ Raciocínio análogo pode ser aplicado ao sinal de tensão abaixo

◦ / � = 0 ��� !� + 1 = 20$%��� !� + 1 → 02 = 0$%∟1

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Page 8: Números Complexos, Fasores e Impedância

Impedância◦ Sejamos sinais de tensão e corrente abaixo:

◦ �& = �$%∟θ

◦ 02 = 0$%∟1

◦ Define-se a impedância como a relação entre essas duas grandezas:

◦ � =34

5&=

367∟8 567∟- = � ∟1 − θ

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Page 9: Números Complexos, Fasores e Impedância

Tabelas

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Page 10: Números Complexos, Fasores e Impedância

Tabelas

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Tabelas

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Page 12: Números Complexos, Fasores e Impedância

Exercícios

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Exercícios

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Page 14: Números Complexos, Fasores e Impedância

Exercícios

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Page 15: Números Complexos, Fasores e Impedância

Exercícios

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Page 16: Números Complexos, Fasores e Impedância

AULA DE EXERCÍCIOS

Prof.: Gustavo Ognibeni Troiano (Marcos Julio Rider Flores)

Rafael Cuerda Mozani (Daniel Dotta)

PARTE I – REVISÃO COMPLEXOS

I.1 Representação

𝑎 + 𝑗𝑏 𝑐∠𝜑

I.2 Operações

Soma/Subtração 𝑎 + 𝑗𝑏 + 𝑐 − 𝑗𝑑 = (𝑎 + 𝑐) + 𝑗(𝑏 − 𝑑)

Multiplicação 𝑐∠𝜑1 ∙ 𝑒∠𝜑2 = 𝑐 ∙ 𝑒∠(𝜑1 + 𝜑2)

Divisão 𝑐∠𝜑1

𝑒∠𝜑2=

𝑐

𝑒∠(𝜑1 − 𝜑2)

PARTE II – REPRESENTAÇÃO FASORIAL

II.1 Representação de todas as tensões/correntes em função de seno ou cosseno.

II.2 Representação dos elementos de circuito em termos de impedância

II.3 Relação entre tensão e corrente para a impedância

a

b c

φ

Page 17: Números Complexos, Fasores e Impedância

PARTE III – RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS

III.1 Impedância equivalente Determine a impedância de entrada do circuito abaixo. Suponha que o circuito opere com v = 50 rad/s.

𝑍1 = 8 + 𝑗(50)(0,2)

𝑍1 = 8 + 𝑗10 = 12,81∠51,34

𝑍2 = 3 − 𝑗1/[(50)(0,01)]

𝑍2 = 3 − 𝑗2 = 3,61∠ − 33,7

𝑍3 = −𝑗1/[(50)(0,002)]

𝑍3 = 10∠ − 90

𝑍𝐸𝑄 = 𝑍1//𝑍2 + 𝑍3

𝑍𝐸𝑄 =𝑍1𝑍2

𝑍1 + 𝑍2

+ 𝑍3

𝑍𝐸𝑄 =46,24∠17,64

13,60∠36,03+ 𝑍3

𝑍𝐸𝑄 = 3,4∠ − 18,4 + 10∠ − 90

𝑍𝐸𝑄 = 3,23 − 𝑗11,07 = 11,53∠ − 73,7

III.2 Resolução simples de circuito

𝑉 = 20∠ − 15.

𝑍1 = 60 Ω.

𝑍2 = −𝑗1

4∙0,01= −𝑗25 Ω.

𝑍3 = 𝑗(4 ∙ 5) = 𝑗20 Ω.

𝑍𝐸𝑄 = 𝑍1 + 𝑍2//𝑍3

𝑍𝐸𝑄 = 60 +(−𝑗25)(𝑗20)

−𝑗5

𝑍𝐸𝑄 = 60 + 𝑗100

𝑣𝑜 =𝑗100

60 + 𝑗10020∠ − 15

𝑣𝑜 = 17,15∠15,96

III.2 Análise Nodal

𝑉0 − 𝑉1 = 12∠0

𝑉1

𝑗2+

𝑉1 − 𝑉2

1−

𝑉2 − 𝑉0

1+

𝑉0

−𝑗4= 0

−(𝑉1 − 𝑉2)

1+

𝑉2

2+

𝑉2 − 𝑉0

1= 0

[

−1 0 1

1 +1

𝑗2−2 1 +

1

−𝑗4

−1 2 +1

2−1 ]

[

𝑉1

𝑉2

𝑉0

] = [12∠0

00

]

[

𝑉1

𝑉2

𝑉0

] = [

−0,9438 − 𝑗8,08994,0449 − 𝑗6,471911,0562 − 𝑗8,0899

] = [8,14∠ − 96,657,63∠ − 60,0013,70∠ − 36,2

]

III.3 Análise de Malhas

−12 + 1(𝑖1 − 𝑖3) + 1(𝑖1 − 𝑖2) = 0

𝑗2𝑖2 + 2(𝑖2 − 𝑖3) − 1(𝑖1 − 𝑖2) = 0

−2(𝑖2 − 𝑖3) − (𝑖1 − 𝑖3) + (−𝑗4)𝑖3 = 0

[

2 −1 −1−1 3 + 𝑗2 −2−1 −2 3 − 𝑗4

] [

𝑖1𝑖2𝑖3

] = [12∠0

00

]

[𝑖1𝑖2𝑖3

] = [

9,0337 + 𝑗1,14614,0449 − 𝑗0,47192,0225 + 𝑗2,7640

] = [9,11∠7,23

4,07∠ − 6,653,42∠53,8

]

𝑉0 = −𝑗4𝑖3 = 13,7∠ − 36,2

III.4 Superposição

−12 + 2𝑖 − 𝑗1𝑖 + 𝑗2𝑖 + 4𝑖 = 0

𝑖 =12

6 + 𝑗= 1,97∠ − 9,46 𝐴

𝑉01 = 4𝑖 = 7,88∠ − 9,46 𝑉

𝐼𝑥 =2 − 𝑗

6 + 𝑗(−2∠0) = 0,73∠144 𝐴

𝑉02 = 4𝐼𝑥 = 2,94∠144

𝑉0 = 𝑉01 + 𝑉02 = 5,39 − 𝑗0,43 = 5,41∠ − 4,56° 𝑉

III.5 Circuito equivalente de Thévenin

𝑍𝑒𝑞 = 2 − 𝑗 + 𝑗2 = 2 + 𝑗

+ + +

+

+

𝑖1

𝑖2 𝑖3