números complexos, fasores e impedância

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  • Nmeros Complexos, Fasores e Impedncia

    Prof. Marcos J. Rider

    1

  • AgendaNmeros Complexos

    Fasores

    Impedncia

    Exerccios

    2

  • MotivaesA resoluo de circuitos de corrente alternada no

    domnio do tempo gera equaes diferenciais de

    soluo complexa e/ou trabalhosa.

    A anlise destes circuitos por meio do uso de fasores

    e impedncia proporciona uma maneira simplificada

    de resolv-los.

    3

  • Nmeros ComplexosPara que se possa compreender o uso dos conceitos

    de fasor e impedncia, faz-se necessrio ter o

    domnio da teoria de nmeros complexos.

    Z = x + jy, onde x = Re{Z} e y = Im{Z}

    j = 1

    4

  • Nmeros Complexos Se Z = x + jy Z* = x jy Forma Retangular

    Z = Z* = Forma Exponencial

    Z = Z* = Forma Polar

    = +

    = tan

    5

  • Fasor expresso pelo valor eficaz e fase de uma tenso ou

    corrente presente no circuito eltrico.

    Trata-se de uma imagem congelada do vetor girante

    que lhe d origem.

    Z = Z = (cos + )

    Z* = Z* = (cos )

    6

  • Fasor

    = ! + = 2$% ! + & = $%

    Pode ser considerada como a parte imaginria do vetor

    '( = 2$%(*+,-) = 2$% cos ! + + ! +

    Raciocnio anlogo pode ser aplicado ao sinal de tenso abaixo

    / = 0 ! + 1 = 20$% ! + 1 02 = 0$%1

    7

  • Impedncia Sejam os sinais de tenso e corrente abaixo:

    & = $%

    02 = 0$%1

    Define-se a impedncia como a relao entre essas duas grandezas:

    =34

    5&=

    3678 567-

    = 1

    8

  • Tabelas

    9

  • Tabelas

    10

  • Tabelas

    11

  • Exerccios

    12

  • Exerccios

    13

  • Exerccios

    14

  • Exerccios

    15

  • AULA DE EXERCCIOS

    Prof.: Gustavo Ognibeni Troiano (Marcos Julio Rider Flores)

    Rafael Cuerda Mozani (Daniel Dotta)

    PARTE I REVISO COMPLEXOS

    I.1 Representao

    +

    I.2 Operaes

    Soma/Subtrao + + = ( + ) + ( )

    Multiplicao 1 2 = (1 + 2)

    Diviso 12

    =

    (1 2)

    PARTE II REPRESENTAO FASORIAL

    II.1 Representao de todas as tenses/correntes em funo de seno ou cosseno.

    II.2 Representao dos elementos de circuito em termos de impedncia

    II.3 Relao entre tenso e corrente para a impedncia

    a

    b c

  • PARTE III RESOLUO DE CIRCUITOS

    III.1 Impedncia equivalente Determine a impedncia de entrada do circuito abaixo. Suponha que o circuito opere com v = 50 rad/s.

    1 = 8 + (50)(0,2)

    1 = 8 + 10 = 12,8151,34

    2 = 3 1/[(50)(0,01)]

    2 = 3 2 = 3,61 33,7

    3 = 1/[(50)(0,002)]

    3 = 10 90

    = 1//2 + 3

    =12

    1 + 2+ 3

    =46,2417,64

    13,6036,03+ 3

    = 3,4 18,4 + 10 90

    = 3,23 11,07 = 11,53 73,7

    III.2 Resoluo simples de circuito

    = 20 15.

    1 = 60 .

    2 = 1

    40,01= 25 .

    3 = (4 5) = 20 .

    = 1 + 2//3

    = 60 +(25)(20)

    5

    = 60 + 100

    =100

    60 + 10020 15

    = 17,1515,96

    III.2 Anlise Nodal

    0 1 = 120

    12

    +1 2

    1

    2 01

    +0

    4= 0

    (1 2)

    1+

    22

    +2 0

    1= 0

    [

    1 0 1

    1 +1

    22 1 +

    1

    4

    1 2 +1

    21 ]

    [

    120

    ] = [120

    00

    ]

    [

    120

    ] = [

    0,9438 8,08994,0449 6,471911,0562 8,0899

    ] = [8,14 96,657,63 60,0013,70 36,2

    ]

    III.3 Anlise de Malhas

    12 + 1(1 3) + 1(1 2) = 0

    22 + 2(2 3) 1(1 2) = 0

    2(2 3) (1 3) + (4)3 = 0

    [

    2 1 11 3 + 2 21 2 3 4

    ] [

    123

    ] = [120

    00

    ]

    [123

    ] = [

    9,0337 + 1,14614,0449 0,47192,0225 + 2,7640

    ] = [9,117,23

    4,07 6,653,4253,8

    ]

    0 = 43 = 13,7 36,2

    III.4 Superposio

    12 + 2 1 + 2 + 4 = 0

    =12

    6 + = 1,97 9,46

    01 = 4 = 7,88 9,46

    =2

    6 + (20) = 0,73144

    02 = 4 = 2,94144

    0 = 01 + 02 = 5,39 0,43 = 5,41 4,56

    III.5 Circuito equivalente de Thvenin

    = 2 + 2 = 2 +

    + + +

    +

    +

    1

    2 3