números complexos, fasores e impedância

Nmeros Complexos, Fasores e Impedncia

Prof. Marcos J. Rider

1

AgendaNmeros Complexos

Fasores

Impedncia

Exerccios

2

MotivaesA resoluo de circuitos de corrente alternada no

domnio do tempo gera equaes diferenciais de

soluo complexa e/ou trabalhosa.

A anlise destes circuitos por meio do uso de fasores

e impedncia proporciona uma maneira simplificada

de resolv-los.

3

Nmeros ComplexosPara que se possa compreender o uso dos conceitos

de fasor e impedncia, faz-se necessrio ter o

domnio da teoria de nmeros complexos.

Z = x + jy, onde x = Re{Z} e y = Im{Z}

j = 1

4

Nmeros Complexos Se Z = x + jy Z* = x jy Forma Retangular

Z = Z* = Forma Exponencial

Z = Z* = Forma Polar

= +

= tan

5

Fasor expresso pelo valor eficaz e fase de uma tenso ou

corrente presente no circuito eltrico.

Trata-se de uma imagem congelada do vetor girante

que lhe d origem.

Z = Z = (cos + )

Z* = Z* = (cos )

6

Fasor

= ! + = 2$% ! + & = $%

Pode ser considerada como a parte imaginria do vetor

'( = 2$%(*+,-) = 2$% cos ! + + ! +

Raciocnio anlogo pode ser aplicado ao sinal de tenso abaixo

/ = 0 ! + 1 = 20$% ! + 1 02 = 0$%1

7

Impedncia Sejam os sinais de tenso e corrente abaixo:

& = $%

02 = 0$%1

Define-se a impedncia como a relao entre essas duas grandezas:

=34

5&=

3678 567-

= 1

8

Tabelas

9

Tabelas

10

Tabelas

11

Exerccios

12

Exerccios

13

Exerccios

14

Exerccios

15

AULA DE EXERCCIOS

Prof.: Gustavo Ognibeni Troiano (Marcos Julio Rider Flores)

Rafael Cuerda Mozani (Daniel Dotta)

PARTE I REVISO COMPLEXOS

I.1 Representao

+

I.2 Operaes

Soma/Subtrao + + = ( + ) + ( )

Multiplicao 1 2 = (1 + 2)

Diviso 12

=

(1 2)

PARTE II REPRESENTAO FASORIAL

II.1 Representao de todas as tenses/correntes em funo de seno ou cosseno.

II.2 Representao dos elementos de circuito em termos de impedncia

II.3 Relao entre tenso e corrente para a impedncia

a

b c

PARTE III RESOLUO DE CIRCUITOS

III.1 Impedncia equivalente Determine a impedncia de entrada do circuito abaixo. Suponha que o circuito opere com v = 50 rad/s.

1 = 8 + (50)(0,2)

1 = 8 + 10 = 12,8151,34

2 = 3 1/[(50)(0,01)]

2 = 3 2 = 3,61 33,7

3 = 1/[(50)(0,002)]

3 = 10 90

= 1//2 + 3

=12

1 + 2+ 3

=46,2417,64

13,6036,03+ 3

= 3,4 18,4 + 10 90

= 3,23 11,07 = 11,53 73,7

III.2 Resoluo simples de circuito

= 20 15.

1 = 60 .

2 = 1

40,01= 25 .

3 = (4 5) = 20 .

= 1 + 2//3

= 60 +(25)(20)

5

= 60 + 100

=100

60 + 10020 15

= 17,1515,96

III.2 Anlise Nodal

0 1 = 120

12

+1 2

1

2 01

+0

4= 0

(1 2)

1+

22

+2 0

1= 0

[

1 0 1

1 +1

22 1 +

1

4

1 2 +1

21 ]

[

120

] = [120

00

]

[

120

] = [

0,9438 8,08994,0449 6,471911,0562 8,0899

] = [8,14 96,657,63 60,0013,70 36,2

]

III.3 Anlise de Malhas

12 + 1(1 3) + 1(1 2) = 0

22 + 2(2 3) 1(1 2) = 0

2(2 3) (1 3) + (4)3 = 0

[

2 1 11 3 + 2 21 2 3 4

] [

123

] = [120

00

]

[123

] = [

9,0337 + 1,14614,0449 0,47192,0225 + 2,7640

] = [9,117,23

4,07 6,653,4253,8

]

0 = 43 = 13,7 36,2

III.4 Superposio

12 + 2 1 + 2 + 4 = 0

=12

6 + = 1,97 9,46

01 = 4 = 7,88 9,46

=2

6 + (20) = 0,73144

02 = 4 = 2,94144

0 = 01 + 02 = 5,39 0,43 = 5,41 4,56

III.5 Circuito equivalente de Thvenin

= 2 + 2 = 2 +

+ + +

+

+

1

2 3