números complexos, fasores e impedância
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Números Complexos, Fasores e Impedância
Prof. Marcos J. Rider
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Agenda◦Números Complexos
◦Fasores
◦ Impedância
◦Exercícios
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Motivações◦A resolução de circuitos de corrente alternada no
domínio do tempo gera equações diferenciais de
solução complexa e/ou trabalhosa.
◦A análise destes circuitos por meio do uso de fasores
e impedância proporciona uma maneira simplificada
de resolvê-los.
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Números Complexos◦Para que se possa compreender o uso dos conceitos
de fasor e impedância, faz-se necessário ter o
domínio da teoria de números complexos.
◦Z = x + jy, onde x = Re{Z} e y = Im{Z}
◦ j = −1
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Números Complexos◦ Se Z = x + jy → Z* = x – jy → Forma Retangular
◦ Z = � ��� → Z* = � ��� → Forma Exponencial
◦ Z = � ∟� → Z* = � ∟ − � → Forma Polar
◦ � = � + �
◦ � = tan� �
�
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Fasor◦ É expresso pelo valor eficaz e fase de uma tensão ou
corrente presente no circuito elétrico.
◦ Trata-se de uma “imagem congelada” do vetor girante
que lhe dá origem.
◦ Z = � ��� → Z = � ∟� → � (cos � + � ��� �)
◦ Z* = � ��� → Z* = � ∟ − � → � (cos � − � ��� �)
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Fasor
◦ � � = � ��� !� + θ = 2�$%��� !� + θ → �& = �$%∟θ
◦ Pode ser considerada como a parte imaginária do vetor
◦ '( = 2�$%��(*+,-) = 2�$% cos !� + � + � ��� !� + θ
◦ Raciocínio análogo pode ser aplicado ao sinal de tensão abaixo
◦ / � = 0 ��� !� + 1 = 20$%��� !� + 1 → 02 = 0$%∟1
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Impedância◦ Sejamos sinais de tensão e corrente abaixo:
◦ �& = �$%∟θ
◦ 02 = 0$%∟1
◦ Define-se a impedância como a relação entre essas duas grandezas:
◦ � =34
5&=
367∟8 567∟- = � ∟1 − θ
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Tabelas
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Tabelas
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Tabelas
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Exercícios
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Exercícios
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Exercícios
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Exercícios
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AULA DE EXERCÍCIOS
Prof.: Gustavo Ognibeni Troiano (Marcos Julio Rider Flores)
Rafael Cuerda Mozani (Daniel Dotta)
PARTE I – REVISÃO COMPLEXOS
I.1 Representação
𝑎 + 𝑗𝑏 𝑐∠𝜑
I.2 Operações
Soma/Subtração 𝑎 + 𝑗𝑏 + 𝑐 − 𝑗𝑑 = (𝑎 + 𝑐) + 𝑗(𝑏 − 𝑑)
Multiplicação 𝑐∠𝜑1 ∙ 𝑒∠𝜑2 = 𝑐 ∙ 𝑒∠(𝜑1 + 𝜑2)
Divisão 𝑐∠𝜑1
𝑒∠𝜑2=
𝑐
𝑒∠(𝜑1 − 𝜑2)
PARTE II – REPRESENTAÇÃO FASORIAL
II.1 Representação de todas as tensões/correntes em função de seno ou cosseno.
II.2 Representação dos elementos de circuito em termos de impedância
II.3 Relação entre tensão e corrente para a impedância
a
b c
φ
PARTE III – RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS
III.1 Impedância equivalente Determine a impedância de entrada do circuito abaixo. Suponha que o circuito opere com v = 50 rad/s.
𝑍1 = 8 + 𝑗(50)(0,2)
𝑍1 = 8 + 𝑗10 = 12,81∠51,34
𝑍2 = 3 − 𝑗1/[(50)(0,01)]
𝑍2 = 3 − 𝑗2 = 3,61∠ − 33,7
𝑍3 = −𝑗1/[(50)(0,002)]
𝑍3 = 10∠ − 90
𝑍𝐸𝑄 = 𝑍1//𝑍2 + 𝑍3
𝑍𝐸𝑄 =𝑍1𝑍2
𝑍1 + 𝑍2
+ 𝑍3
𝑍𝐸𝑄 =46,24∠17,64
13,60∠36,03+ 𝑍3
𝑍𝐸𝑄 = 3,4∠ − 18,4 + 10∠ − 90
𝑍𝐸𝑄 = 3,23 − 𝑗11,07 = 11,53∠ − 73,7
III.2 Resolução simples de circuito
𝑉 = 20∠ − 15.
𝑍1 = 60 Ω.
𝑍2 = −𝑗1
4∙0,01= −𝑗25 Ω.
𝑍3 = 𝑗(4 ∙ 5) = 𝑗20 Ω.
𝑍𝐸𝑄 = 𝑍1 + 𝑍2//𝑍3
𝑍𝐸𝑄 = 60 +(−𝑗25)(𝑗20)
−𝑗5
𝑍𝐸𝑄 = 60 + 𝑗100
𝑣𝑜 =𝑗100
60 + 𝑗10020∠ − 15
𝑣𝑜 = 17,15∠15,96
III.2 Análise Nodal
𝑉0 − 𝑉1 = 12∠0
𝑉1
𝑗2+
𝑉1 − 𝑉2
1−
𝑉2 − 𝑉0
1+
𝑉0
−𝑗4= 0
−(𝑉1 − 𝑉2)
1+
𝑉2
2+
𝑉2 − 𝑉0
1= 0
[
−1 0 1
1 +1
𝑗2−2 1 +
1
−𝑗4
−1 2 +1
2−1 ]
[
𝑉1
𝑉2
𝑉0
] = [12∠0
00
]
[
𝑉1
𝑉2
𝑉0
] = [
−0,9438 − 𝑗8,08994,0449 − 𝑗6,471911,0562 − 𝑗8,0899
] = [8,14∠ − 96,657,63∠ − 60,0013,70∠ − 36,2
]
III.3 Análise de Malhas
−12 + 1(𝑖1 − 𝑖3) + 1(𝑖1 − 𝑖2) = 0
𝑗2𝑖2 + 2(𝑖2 − 𝑖3) − 1(𝑖1 − 𝑖2) = 0
−2(𝑖2 − 𝑖3) − (𝑖1 − 𝑖3) + (−𝑗4)𝑖3 = 0
[
2 −1 −1−1 3 + 𝑗2 −2−1 −2 3 − 𝑗4
] [
𝑖1𝑖2𝑖3
] = [12∠0
00
]
[𝑖1𝑖2𝑖3
] = [
9,0337 + 𝑗1,14614,0449 − 𝑗0,47192,0225 + 𝑗2,7640
] = [9,11∠7,23
4,07∠ − 6,653,42∠53,8
]
𝑉0 = −𝑗4𝑖3 = 13,7∠ − 36,2
III.4 Superposição
−12 + 2𝑖 − 𝑗1𝑖 + 𝑗2𝑖 + 4𝑖 = 0
𝑖 =12
6 + 𝑗= 1,97∠ − 9,46 𝐴
𝑉01 = 4𝑖 = 7,88∠ − 9,46 𝑉
𝐼𝑥 =2 − 𝑗
6 + 𝑗(−2∠0) = 0,73∠144 𝐴
𝑉02 = 4𝐼𝑥 = 2,94∠144
𝑉0 = 𝑉01 + 𝑉02 = 5,39 − 𝑗0,43 = 5,41∠ − 4,56° 𝑉
III.5 Circuito equivalente de Thévenin
𝑍𝑒𝑞 = 2 − 𝑗 + 𝑗2 = 2 + 𝑗
+ + +
+
+
𝑖1
𝑖2 𝑖3