nΓΊmeros complexos praticando1
TRANSCRIPT
1) Sejam ππ = π + ππ; ππ = π β π; ππ = βπ β ππ e ππ = ππ calcule: a) ππ + ππ
Temos que: ππ = π + ππ e ππ = βπ β ππ, entΓ£o:
ππ + ππ= π + ππ + βπ β ππ
Lembrando as propriedades da adição: π + ππ + π + ππ = π + ππ + π + ππ
= π + π + π + π π
Resposta:
4 + 5π + β3 β 4π = 4 + 5π β 3 β 4π= 4 β 3 + 5 β 4 π = π + π
by Renata Pinto
1) Sejam ππ = π + ππ; ππ = π β π; ππ = βπ β ππ e ππ = ππ calcule: b) ππ β ππ
Temos que: ππ = π + ππ e ππ = ππ, entΓ£o:
ππ β ππ= π + ππ β ππ
Lembrando as propriedades da subtração: π + ππ β π + ππ = π β π + π β π π
Resposta:
4 + 5π β 2π = 4 β 5 β 2 π = π β ππ
by Renata Pinto
1) Sejam ππ = π + ππ; ππ = π β π; ππ = βπ β ππ e ππ = ππ calcule: c) ππππ
Temos que: ππ = π β π e ππ = βπ β ππ, entΓ£o:
ππππ = π β π βπ β ππ
Lembrando as propriedades da multiplicação: π + ππ π + ππ = ππ + πππ + πππ + πππΒ²
= ππ β ππ + ππ + ππ π
Resposta:
4 β π β3 β 4π = β12 β 16π + 3π + 4π2
= 12 β 4 + β16 + 3 π = βππ β πππ
by Renata Pinto
1) Sejam ππ = π + ππ; ππ = π β π; ππ = βπ β ππ e ππ = ππ calcule:
d) ππ
ππ
Temos que: ππ = βπ β ππ e ππ = π + ππ, entΓ£o: ππ
ππ =
βπβππ
π+ππ
Lembrando as propriedades da divisΓ£o: π + ππ
π + ππ=
π + ππ
π + ππΓ
π β ππ
π β ππ=
ππ β πππ β πππ β πππΒ²
πΒ² + πΒ²πΒ²=
ππ + ππ + (ππ β ππ)π
πΒ² + πΒ²=
ππ + ππ
πΒ² + πΒ²+
ππ β ππ
πΒ² + πΒ²π
Resposta: β3 β 4π
4 + 5π=
β3 β 4π
4 + 5πΓ
4 β 5π
4 β 5π=
β12 β 15π β 16π β 20πΒ²
4Β² + 5Β²πΒ²
=β12 β 20 + (β16 β 15)π
16 + 25=
βππ β π
ππ
by Renata Pinto
1) Sejam ππ = π + ππ; ππ = π β π; ππ = βπ β ππ e ππ = ππ calcule: e) ππ β ππ
Temos que: ππ = π + ππ e ππ = βπβ ππ, entΓ£o:
ππ β ππ= π + ππ β βπ β ππ
Lembrando as propriedades da subtração: π + ππ β π + ππ = π β π + π β π π
Resposta:
4 + 5π β β3 β 4π = 4 + 3 + 5 + 4 π = π + ππ
by Renata Pinto
Atenção à regra dos sinais
2) Demonstre as propriedades:
a) ππ + ππ = ππ + ππ Propriedade da adição - comutativa
b) ππ. ππ = ππ. ππ Propriedade da multiplicação - comutativa
c) ππ. ππ + ππ = ππππ + ππππ β ππ, ππ, ππ β β Β» Propriedade da
multiplicação - distributiva
d) π + π = π. π(π©ππ«ππ π«πππ₯ ππ π) 1Βͺ Propriedade dos conjugados
π + ππ + π β ππ = π + π + ππ β ππ = ππ
e) ππ + ππ = ππ + ππ 3Βͺ Propriedade dos conjugados
f) |ππ + ππ| β€ |ππ| + |ππ| 3Βͺ Propriedade dos mΓ³dulos
by Renata Pinto
Resposta:
π = πΒ² β ππ β π§ = 2 + 3π 2 β 3 1 β π
Usando as propriedades da multiplicação, vamos calcular 0 xΒ² = 2 + 3π 2
xΒ² = 2 + 3π 2 + 3π = 4 + 6π + 6π + 9πΒ² = 4 + 9 +6 + 6 π = β5 + 12π, sendo, entΓ£o: π₯Β² = β5 + 12π,
substituindo na equação, teremos: π§ = β5 + 12π β 3 1 β π = β5 + 12π β 3 + 3π = βπ + πππ
by Renata Pinto
3) Se π = π + ππ e π = π β π, calcule π = πΒ² β ππ.
4) Se o complexo π + ππ Γ© produto dos dois complexos π = π + π e π = π β ππ, calcule o valor de π β π.
Resposta:
O enunciado nos diz que:
π + ππ = π Γ π ou π + ππ = π + π π β ππ , aplicando a propriedade da multiplicação, teremos:
π + ππ = π + π π β ππ = π β ππ + ππ β ππ2 = π + π +π β π π = ππ β ππ, ou seja, π + ππ = ππ β ππ, onde:
π = ππ e π = βπ
O enunciado pede o valor de π β π, isto Γ©: π β π = ππ β βπ = ππ + π = ππ
by Renata Pinto
5) Calcule o valor de:
a) ππππ Resposta:
179: 4 = 44 π πππ π‘π π. EntΓ£o:
π179 ππππππ πππππ π π3 π ππ’π πππ πππ£π a βπ.
π179= π3 = βπ
by Renata Pinto
Basta dividirmos o expoente por 4 e usarmos o resto como referencia.
Colinha:
π = β1 πΒ² = β1 πΒ³ = βπ π4 = 1
5) Calcule o valor de:
b) πππ+πππ
π
Resposta:
97: 4 = 24, πππ π‘π π π 98: 4 = 24, πππ π‘π π. EntΓ£o, aplicando a propriedade da divisΓ£o, teremos:
π + ππ
π=
π + ππ
πΓ
π
π=
ππ + ππ
ππ=
βπ β π
βπ= π + π
by Renata Pinto
Colinha:
π = β1 πΒ² = β1 πΒ³ = βπ π4 = 1
Teremos, assim: π + ππ = π + ππ = π
Com isso:
π = ππ + ππ
π = π + π
π = ππ
Resposta:
Assim:
π π + π = ππ + πππ, corresponde a:
π + ππ(2π) = 18 + 12π 2πΒ² + 2πππ = 18 + 12π Parte real Parte real
P. ImaginΓ‘ria P. ImaginΓ‘ria
by Renata Pinto
6) Calcule |z| sabendo que π π + π = ππ + πππ.
Sabemos que π = π + ππ e que π = π β ππ Pelas propriedades dos conjugados, temos: 1)π§ + π§ = 2π(ππππ‘π ππππ ππ π§)
Igualando as partes: Parte Real: 2πΒ² = 18 β« π = π Parte ImaginΓ‘ria: 2πππ = 12π, substituindo a:
2.3ππ = 12π β« 6ππ = 12π β« π = π
7) Determinar π β πΉ de modo que (π + ππ)(π β ππ)seja imaginΓ‘rio puro.
Aplicamos as propriedades da multiplicação: π + ππ π + ππ = ππ + πππ + πππ + πππΒ²
= ππ β ππ + ππ + ππ π
Resposta: 4 + 3π π₯ β 6π = 4π₯ β 20π + 3π₯π β 18π2
= 4π₯ + 18 + β20 + 3π₯ π
Parte Real Parte ImaginΓ‘ria
Devemos encontrar um x para que a parte real seja zero. EntΓ£o:
ππ + ππ = π β π = βππ
πβ π = β
π
π
by Renata Pinto
O enunciado pede que o resultado seja um βimaginΓ‘rio puroβ, para isso devemos fazer
com que a parte real seja igual a zero.
Lembrando que no exercΓcio 1:
ππ = π + ππ; ππ = π β π; ππ = βπ β ππ e ππ = ππ
by Renata Pinto
8) Represente graficamente: ππ =πβπ
π; ππ = π β ππ;
πβ = ππβπ e ππ, ππ, ππ, ππ do exercΓcio 1.
Continuando... Para representarmos: πβ = ππ
βπ, devemos observar que:
πβ = (π β ππ)βπ temos que, o inverso de um NΓΊmero Complexo Γ©:
πβ =π
π β ππ=
π
π β ππΓ
π + ππ
π + ππ=
π + ππ
π β ππΒ²=
π + ππ
π β π(βπ)=
π + ππ
ππ
Graficamente, teremos:
by Renata Pinto
π§β1 =1
π§=
1
π + ππ=
1
π + ππΓ
π β ππ
π β ππ=
π β ππ
πΒ² β π2πΒ²=
π β ππ
πΒ² β π2(β1)=
π β ππ
πΒ² + πΒ²
π)|π| = 2 π)|π| β€ 5 π)|π| > 3 π) π < |π| < 5
by Renata Pinto
9) Represente o conjunto de números complexos que são soluçáes da equação (graficamente):
Sabendo que a correspondΓͺncia entre Complexo na forma de Par Ordenado (um ponto de um grΓ‘fico) e a Forma AlgΓ©brica Γ©:
π π, π = π + ππ π βπ,βπ = βπ β π
Temos: π§ β π§0 = 4 π§ β β2 β π = 4 π + π + π = π
by Renata Pinto
10) Encontre a equação ou uma equação para um cΓrculo de raio 4 com centro (-2,-1) em função dos complexos.
Seja π§ = π + ππ, entΓ£o
π + ππ = π β ππ + ππ = π + ππ β ππ = π β ππ
by Renata Pinto
11) Mostre que π + ππ = π β ππ.
12) Se π = π + ππ Γ© um nΓΊmero complexo escrever πβπ em função de z.
Pelo inverso temos que:
πβπ =π
π o que nos leva a função
π
|π|Β²