nΓΊmeros complexos praticando1

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1) Sejam = + ; =βˆ’; = βˆ’ βˆ’ e = calcule: a) + Temos que: = + e = βˆ’ βˆ’ , entΓ£o: + = + + βˆ’ βˆ’ Lembrando as propriedades da adição: + + + = + + + = + + + Resposta: 4 + 5 + βˆ’3 βˆ’ 4 = 4 + 5 βˆ’ 3 βˆ’ 4 = 4βˆ’3 + 5βˆ’4= + by Renata Pinto

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1) Sejam π’›πŸ = πŸ’ + πŸ“π’Š; π’›πŸ = πŸ’ βˆ’ π’Š; π’›πŸ‘ = βˆ’πŸ‘ βˆ’ πŸ’π’Š e π’›πŸ’ = πŸπ’Š calcule: a) π’›πŸ + π’›πŸ‘

Temos que: π’›πŸ = πŸ’ + πŸ“π’Š e π’›πŸ‘ = βˆ’πŸ‘ βˆ’ πŸ’π’Š, entΓ£o:

π’›πŸ + π’›πŸ‘= πŸ’ + πŸ“π’Š + βˆ’πŸ‘ βˆ’ πŸ’π’Š

Lembrando as propriedades da adição: π‘Ž + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = π‘Ž + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖

= π‘Ž + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖

Resposta:

4 + 5𝑖 + βˆ’3 βˆ’ 4𝑖 = 4 + 5𝑖 βˆ’ 3 βˆ’ 4𝑖= 4 βˆ’ 3 + 5 βˆ’ 4 𝑖 = 𝟏 + π’Š

by Renata Pinto

1) Sejam π’›πŸ = πŸ’ + πŸ“π’Š; π’›πŸ = πŸ’ βˆ’ π’Š; π’›πŸ‘ = βˆ’πŸ‘ βˆ’ πŸ’π’Š e π’›πŸ’ = πŸπ’Š calcule: b) π’›πŸ βˆ’ π’›πŸ’

Temos que: π’›πŸ = πŸ’ + πŸ“π’Š e π’›πŸ’ = πŸπ’Š, entΓ£o:

π’›πŸ βˆ’ π’›πŸ’= πŸ’ + πŸ“π’Š βˆ’ πŸπ’Š

Lembrando as propriedades da subtração: π‘Ž + 𝑏𝑖 βˆ’ 𝑐 + 𝑑𝑖 = π‘Ž βˆ’ 𝑐 + 𝑏 βˆ’ 𝑑 𝑖

Resposta:

4 + 5𝑖 βˆ’ 2𝑖 = 4 βˆ’ 5 βˆ’ 2 𝑖 = πŸ’ βˆ’ πŸ‘π’Š

by Renata Pinto

1) Sejam π’›πŸ = πŸ’ + πŸ“π’Š; π’›πŸ = πŸ’ βˆ’ π’Š; π’›πŸ‘ = βˆ’πŸ‘ βˆ’ πŸ’π’Š e π’›πŸ’ = πŸπ’Š calcule: c) π’›πŸπ’›πŸ‘

Temos que: π’›πŸ = πŸ’ βˆ’ π’Š e π’›πŸ‘ = βˆ’πŸ‘ βˆ’ πŸ’π’Š, entΓ£o:

π’›πŸπ’›πŸ‘ = πŸ’ βˆ’ π’Š βˆ’πŸ‘ βˆ’ πŸ’π’Š

Lembrando as propriedades da multiplicação: π‘Ž + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = π‘Žπ‘ + π‘Žπ‘‘π‘– + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖²

= π‘Žπ‘ βˆ’ 𝑏𝑑 + π‘Žπ‘‘ + 𝑏𝑐 𝑖

Resposta:

4 βˆ’ 𝑖 βˆ’3 βˆ’ 4𝑖 = βˆ’12 βˆ’ 16𝑖 + 3𝑖 + 4𝑖2

= 12 βˆ’ 4 + βˆ’16 + 3 𝑖 = βˆ’πŸπŸ” βˆ’ πŸπŸ‘π’Š

by Renata Pinto

1) Sejam π’›πŸ = πŸ’ + πŸ“π’Š; π’›πŸ = πŸ’ βˆ’ π’Š; π’›πŸ‘ = βˆ’πŸ‘ βˆ’ πŸ’π’Š e π’›πŸ’ = πŸπ’Š calcule:

d) π’›πŸ‘

π’›πŸ

Temos que: π’›πŸ‘ = βˆ’πŸ‘ βˆ’ πŸ’π’Š e π’›πŸ = πŸ’ + πŸ“π’Š, entΓ£o: π’›πŸ‘

π’›πŸ =

βˆ’πŸ‘βˆ’πŸ’π’Š

πŸ’+πŸ“π’Š

Lembrando as propriedades da divisΓ£o: π‘Ž + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖=

π‘Ž + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖×

𝑐 βˆ’ 𝑑𝑖

𝑐 βˆ’ 𝑑𝑖=

π‘Žπ‘ βˆ’ π‘Žπ‘‘π‘– βˆ’ 𝑏𝑐𝑖 βˆ’ 𝑏𝑑𝑖²

𝑐² + 𝑑²𝑖²=

π‘Žπ‘ + 𝑏𝑑 + (𝑏𝑐 βˆ’ π‘Žπ‘‘)𝑖

𝑐² + 𝑑²=

π‘Žπ‘ + 𝑏𝑑

𝑐² + 𝑑²+

𝑏𝑑 βˆ’ π‘Žπ‘‘

𝑐² + 𝑑²𝑖

Resposta: βˆ’3 βˆ’ 4𝑖

4 + 5𝑖=

βˆ’3 βˆ’ 4𝑖

4 + 5𝑖×

4 βˆ’ 5𝑖

4 βˆ’ 5𝑖=

βˆ’12 βˆ’ 15𝑖 βˆ’ 16𝑖 βˆ’ 20𝑖²

4Β² + 5²𝑖²

=βˆ’12 βˆ’ 20 + (βˆ’16 βˆ’ 15)𝑖

16 + 25=

βˆ’πŸ‘πŸ βˆ’ π’Š

πŸ’πŸ

by Renata Pinto

1) Sejam π’›πŸ = πŸ’ + πŸ“π’Š; π’›πŸ = πŸ’ βˆ’ π’Š; π’›πŸ‘ = βˆ’πŸ‘ βˆ’ πŸ’π’Š e π’›πŸ’ = πŸπ’Š calcule: e) π’›πŸ βˆ’ π’›πŸ‘

Temos que: π’›πŸ = πŸ’ + πŸ“π’Š e π’›πŸ‘ = βˆ’πŸ‘βˆ’ πŸ’π’Š, entΓ£o:

π’›πŸ βˆ’ π’›πŸ‘= πŸ’ + πŸ“π’Š βˆ’ βˆ’πŸ‘ βˆ’ πŸ’π’Š

Lembrando as propriedades da subtração: π‘Ž + 𝑏𝑖 βˆ’ 𝑐 + 𝑑𝑖 = π‘Ž βˆ’ 𝑐 + 𝑏 βˆ’ 𝑑 𝑖

Resposta:

4 + 5𝑖 βˆ’ βˆ’3 βˆ’ 4𝑖 = 4 + 3 + 5 + 4 𝑖 = πŸ• + πŸ—π’Š

by Renata Pinto

Atenção à regra dos sinais

2) Demonstre as propriedades:

a) π’›πŸ + π’›πŸ = π’›πŸ + π’›πŸ Propriedade da adição - comutativa

b) π’›πŸ. π’›πŸ = π’›πŸ. π’›πŸ Propriedade da multiplicação - comutativa

c) π’›πŸ. π’›πŸ + π’›πŸ‘ = π’›πŸπ’›πŸ + π’›πŸπ’›πŸ‘ βˆ€ π’›πŸ, π’›πŸ, π’›πŸ‘ ∈ ∁ Β» Propriedade da

multiplicação - distributiva

d) 𝒛 + 𝒛 = 𝟐. 𝐚(𝐩𝐚𝐫𝐭𝐞 𝐫𝐞𝐚π₯ 𝐝𝐞 𝒛) 1Βͺ Propriedade dos conjugados

𝒂 + π’ƒπ’Š + 𝒂 βˆ’ π’ƒπ’Š = 𝒂 + 𝒂 + π’ƒπ’Š βˆ’ π’ƒπ’Š = πŸπ’‚

e) π’›πŸ + π’›πŸ = π’›πŸ + π’›πŸ 3Βͺ Propriedade dos conjugados

f) |π’›πŸ + π’›πŸ| ≀ |π’›πŸ| + |π’›πŸ| 3Βͺ Propriedade dos mΓ³dulos

by Renata Pinto

Resposta:

𝒛 = 𝒙² βˆ’ πŸ‘π’š ↔ 𝑧 = 2 + 3𝑖 2 βˆ’ 3 1 βˆ’ 𝑖

Usando as propriedades da multiplicação, vamos calcular 0 xΒ² = 2 + 3𝑖 2

xΒ² = 2 + 3𝑖 2 + 3𝑖 = 4 + 6𝑖 + 6𝑖 + 9𝑖² = 4 + 9 +6 + 6 𝑖 = βˆ’5 + 12𝑖, sendo, entΓ£o: π‘₯Β² = βˆ’5 + 12𝑖,

substituindo na equação, teremos: 𝑧 = βˆ’5 + 12𝑖 βˆ’ 3 1 βˆ’ 𝑖 = βˆ’5 + 12𝑖 βˆ’ 3 + 3𝑖 = βˆ’πŸ– + πŸπŸ“π’Š

by Renata Pinto

3) Se 𝒙 = 𝟐 + πŸ‘π’Š e π’š = 𝟏 βˆ’ π’Š, calcule 𝒛 = 𝒙² βˆ’ πŸ‘π’š.

4) Se o complexo 𝒂 + π’ƒπ’Š Γ© produto dos dois complexos 𝒛 = 𝟐 + π’Š e π’˜ = πŸ‘ βˆ’ πŸ’π’Š, calcule o valor de 𝒂 βˆ’ 𝒃.

Resposta:

O enunciado nos diz que:

𝒂 + π’ƒπ’Š = 𝒛 Γ— π’˜ ou 𝒂 + π’ƒπ’Š = 𝟐 + π’Š πŸ‘ βˆ’ πŸ’π’Š , aplicando a propriedade da multiplicação, teremos:

𝒂 + π’ƒπ’Š = 𝟐 + π’Š πŸ‘ βˆ’ πŸ’π’Š = πŸ” βˆ’ πŸ–π’Š + πŸ‘π’Š βˆ’ πŸ’π’Š2 = πŸ” + πŸ’ +πŸ‘ βˆ’ πŸ– π’Š = 𝟏𝟎 βˆ’ πŸ“π’Š, ou seja, 𝒂 + π’ƒπ’Š = 𝟏𝟎 βˆ’ πŸ“π’Š, onde:

𝒂 = 𝟏𝟎 e 𝒃 = βˆ’πŸ“

O enunciado pede o valor de 𝒂 βˆ’ 𝒃, isto Γ©: 𝒂 βˆ’ 𝒃 = 𝟏𝟎 βˆ’ βˆ’πŸ“ = 𝟏𝟎 + πŸ“ = πŸπŸ“

by Renata Pinto

5) Calcule o valor de:

a) π’ŠπŸπŸ•πŸ— Resposta:

179: 4 = 44 𝑒 π‘Ÿπ‘’π‘ π‘‘π‘œ πŸ‘. EntΓ£o:

𝑖179 π‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘ π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’ π‘Ž 𝑖3 π‘œ π‘žπ‘’π‘’ π‘›π‘œπ‘  π‘™π‘’π‘£π‘Ž a βˆ’π‘–.

𝑖179= 𝑖3 = βˆ’π’Š

by Renata Pinto

Basta dividirmos o expoente por 4 e usarmos o resto como referencia.

Colinha:

𝑖 = βˆ’1 𝑖² = βˆ’1 𝑖³ = βˆ’π‘– 𝑖4 = 1

5) Calcule o valor de:

b) π’ŠπŸ—πŸ•+π’ŠπŸ—πŸ–

π’Š

Resposta:

97: 4 = 24, π‘Ÿπ‘’π‘ π‘‘π‘œ 𝟏 𝑒 98: 4 = 24, π‘Ÿπ‘’π‘ π‘‘π‘œ 𝟐. EntΓ£o, aplicando a propriedade da divisΓ£o, teremos:

π’Š + π’ŠπŸ

π’Š=

π’Š + π’ŠπŸ

π’ŠΓ—

π’Š

π’Š=

π’ŠπŸ + π’ŠπŸ‘

π’ŠπŸ=

βˆ’πŸ βˆ’ π’Š

βˆ’πŸ= 𝟏 + π’Š

by Renata Pinto

Colinha:

𝑖 = βˆ’1 𝑖² = βˆ’1 𝑖³ = βˆ’π‘– 𝑖4 = 1

Teremos, assim: 𝒂 + π’ƒπ’Š = πŸ‘ + πŸπ’Š = 𝒛

Com isso:

𝒛 = πŸ‘πŸ + 𝟐𝟐

𝒛 = πŸ— + πŸ’

𝒛 = πŸπŸ‘

Resposta:

Assim:

𝒛 𝒛 + 𝒛 = πŸπŸ– + πŸπŸπ’Š, corresponde a:

π‘Ž + 𝑏𝑖(2π‘Ž) = 18 + 12𝑖 2π‘ŽΒ² + 2π‘Žπ‘π‘– = 18 + 12𝑖 Parte real Parte real

P. ImaginΓ‘ria P. ImaginΓ‘ria

by Renata Pinto

6) Calcule |z| sabendo que 𝒛 𝒛 + 𝒛 = πŸπŸ– + πŸπŸπ’Š.

Sabemos que 𝒛 = 𝒂 + π’ƒπ’Š e que 𝒛 = 𝒂 βˆ’ π’ƒπ’Š Pelas propriedades dos conjugados, temos: 1)𝑧 + 𝑧 = 2π‘Ž(π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘‘π‘’ π‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘™ 𝑑𝑒 𝑧)

Igualando as partes: Parte Real: 2π‘ŽΒ² = 18 ≫ 𝒂 = πŸ‘ Parte ImaginΓ‘ria: 2π‘Žπ‘π‘– = 12𝑖, substituindo a:

2.3𝑏𝑖 = 12𝑖 ≫ 6𝑏𝑖 = 12𝑖 ≫ 𝒃 = 𝟐

7) Determinar 𝒙 ∈ 𝑹 de modo que (πŸ’ + πŸ‘π’Š)(𝒙 βˆ’ πŸ”π’Š)seja imaginΓ‘rio puro.

Aplicamos as propriedades da multiplicação: π‘Ž + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = π‘Žπ‘ + π‘Žπ‘‘π‘– + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖²

= π‘Žπ‘ βˆ’ 𝑏𝑑 + π‘Žπ‘‘ + 𝑏𝑐 𝑖

Resposta: 4 + 3𝑖 π‘₯ βˆ’ 6𝑖 = 4π‘₯ βˆ’ 20𝑖 + 3π‘₯𝑖 βˆ’ 18𝑖2

= 4π‘₯ + 18 + βˆ’20 + 3π‘₯ 𝑖

Parte Real Parte ImaginΓ‘ria

Devemos encontrar um x para que a parte real seja zero. EntΓ£o:

πŸ’π’™ + πŸπŸ– = 𝟎 β†’ 𝒙 = βˆ’πŸπŸ–

πŸ’β†’ 𝒙 = βˆ’

πŸ—

𝟐

by Renata Pinto

O enunciado pede que o resultado seja um β€œimaginΓ‘rio puro”, para isso devemos fazer

com que a parte real seja igual a zero.

Lembrando que no exercΓ­cio 1:

π’›πŸ = πŸ’ + πŸ“π’Š; π’›πŸ = πŸ’ βˆ’ π’Š; π’›πŸ‘ = βˆ’πŸ‘ βˆ’ πŸ’π’Š e π’›πŸ’ = πŸπ’Š

by Renata Pinto

8) Represente graficamente: π’›πŸ“ =πŸβˆ’π’Š

𝟐; π’›πŸ” = 𝟐 βˆ’ πŸ‘π’Š;

π’›βˆ’ = π’›πŸ”βˆ’πŸ e π’›πŸ, π’›πŸ, π’›πŸ‘, π’›πŸ’ do exercΓ­cio 1.

Continuando... Para representarmos: π’›βˆ’ = π’›πŸ”

βˆ’πŸ, devemos observar que:

π’›βˆ’ = (𝟐 βˆ’ πŸ‘π’Š)βˆ’πŸ temos que, o inverso de um NΓΊmero Complexo Γ©:

π’›βˆ’ =𝟏

𝟐 βˆ’ πŸ‘π’Š=

𝟏

𝟐 βˆ’ πŸ‘π’ŠΓ—

𝟐 + πŸ‘π’Š

𝟐 + πŸ‘π’Š=

𝟐 + πŸ‘π’Š

πŸ’ βˆ’ πŸ—π’ŠΒ²=

𝟐 + πŸ‘π’Š

πŸ’ βˆ’ πŸ—(βˆ’πŸ)=

𝟐 + πŸ‘π’Š

πŸπŸ‘

Graficamente, teremos:

by Renata Pinto

π‘§βˆ’1 =1

𝑧=

1

π‘Ž + 𝑏𝑖=

1

π‘Ž + 𝑏𝑖×

π‘Ž βˆ’ 𝑏𝑖

π‘Ž βˆ’ 𝑏𝑖=

π‘Ž βˆ’ 𝑏𝑖

π‘ŽΒ² βˆ’ 𝑏2𝑖²=

π‘Ž βˆ’ 𝑏𝑖

π‘ŽΒ² βˆ’ 𝑏2(βˆ’1)=

π‘Ž βˆ’ 𝑏𝑖

π‘ŽΒ² + 𝑏²

π‘Ž)|𝒁| = 2 𝑏)|𝒁| ≀ 5 𝑐)|𝒁| > 3 𝑑) πŸ‘ < |𝒁| < 5

by Renata Pinto

9) Represente o conjunto de números complexos que são soluçáes da equação (graficamente):

Sabendo que a correspondΓͺncia entre Complexo na forma de Par Ordenado (um ponto de um grΓ‘fico) e a Forma AlgΓ©brica Γ©:

𝒛 𝒂, 𝒃 = 𝒂 + π’ƒπ’Š 𝒛 βˆ’πŸ,βˆ’πŸ = βˆ’πŸ βˆ’ π’Š

Temos: 𝑧 βˆ’ 𝑧0 = 4 𝑧 βˆ’ βˆ’2 βˆ’ 𝑖 = 4 𝒛 + 𝟐 + π’Š = πŸ’

by Renata Pinto

10) Encontre a equação ou uma equação para um círculo de raio 4 com centro (-2,-1) em função dos complexos.

Seja 𝑧 = π‘Ž + 𝑏𝑖, entΓ£o

𝒛 + πŸ‘π’Š = 𝒂 βˆ’ π’ƒπ’Š + πŸ‘π’Š = 𝒂 + π’ƒπ’Š βˆ’ πŸ‘π’Š = 𝒛 βˆ’ πŸ‘π’Š

by Renata Pinto

11) Mostre que 𝒛 + πŸ‘π’Š = 𝒛 βˆ’ πŸ‘π’Š.

12) Se 𝒛 = 𝒂 + π’ƒπ’Š Γ© um nΓΊmero complexo escrever π’›βˆ’πŸ em função de z.

Pelo inverso temos que:

π’›βˆ’πŸ =𝟏

𝒛 o que nos leva a função

𝒛

|𝒛|Β²