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  • Nmeros Complexos Prof.: Juliana Santos
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  • Aula 1: Aula 1: Nmeros complexos: uma abordagem histrica Nmeros complexos: uma abordagem histrica Introduo aos nmeros complexos Introduo aos nmeros complexos Forma algbrica dos nmeros complexos Forma algbrica dos nmeros complexos Aula 2: Aula 2: Os nmeros complexos e sua representao geomtrica Os nmeros complexos e sua representao geomtrica Conjugado do nmero complexo Conjugado do nmero complexo Diviso de nmeros complexos Diviso de nmeros complexos Aula 3: Aula 3: Mdulo de um nmero complexo Mdulo de um nmero complexo Forma trigonomtrica dos nmeros complexos Forma trigonomtrica dos nmeros complexos Aula 4: Aula 4: Multiplicao e diviso de nmeros complexos na forma trigonomtrica Multiplicao e diviso de nmeros complexos na forma trigonomtrica Aula 5: Aula 5: Potenciao e radiciao de complexos na forma trigonomtrica Potenciao e radiciao de complexos na forma trigonomtrica Contedo Programtico
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  • Nmeros Complexos Uma Abordagem Histrica Nmeros Complexos Uma Abordagem Histrica Aos nmeros complexos atribudo grande esforo e tortura mental (como disse Girolamo Cardano) dos maiores matemticos da histria. A primeira vez que algum se deparou com problemas que envolviam nmeros complexos foi por volta do sculo I d.C.. Desde ento, matemticos como Cardano (1501- 1576), Tartaglia (1499/1500-1575), Del Ferro (1465- 1526), Bombelli (1526-1572), Euler (1707-1783), Gauss (1777-1855), dentre outros, aperfeioaram bastante o conceito e o estudo em torno dos complexos. E, no entanto, at hoje, existem ainda muitas questes em aberto. AULA 1
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  • Introduo aos Nmeros Complexos Introduo aos Nmeros Complexos Vamos tratar inicialmente um nmero complexo como sendo um par ordenado (a,b). A partir da, podemos utilizar as seguintes propriedades: IGUALDADE: (a,b) = (c,d) a=b e c=d IGUALDADE: (a,b) = (c,d) a=b e c=d ADIO: (a,b) + (c,d) (a+c, b+d) ADIO: (a,b) + (c,d) (a+c, b+d) MULTIPLICAO: (a,b)(c,d) (ac bd, bc + ad) MULTIPLICAO: (a,b)(c,d) (ac bd, bc + ad) Exemplos: Exemplos: a) (x, -2) = (1, y) x = 1 e y = -2 b) (3, -8) + (-1, 7) (3-1, -8+7) (2, -1) c) (0, 5)(3, -2) [ 0.5 5.(-2), 5.3 + 0.(-2) ] (-10, 15)
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  • Forma Trigonomtrica dos Nmeros Complexos Forma Trigonomtrica dos Nmeros Complexos Existem muitas maneiras de definir o conjunto (o conjunto dos nmeros complexos), onde esto definidas operaes de adio e de multiplicao. Alm disso, importante saber que os nmeros reais tambm esto includos em, e: a) Existe um nmero complexo i com i 2 = -1. b) Todo nmero complexo pode ser escrito de uma maneira nica na forma a + bi, onde a e b so reais (a chamado parte real e b chamado parte imaginria do complexo a + bi). Assim: z = a + bi
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  • Usando as propriedades que vimos anteriormente, podemos operar com complexos de maneira anloga que operamos com reais, com o cuidado de tomar i 2 = -1. Exemplos: Exemplos: a) (5 + 3i) + (8 + 5i) = 5 + 8 + (3 + 5)i = 13 + 8i b) (7 + 2i)(4 3i) = 7(4 3i) + 2i(4 3i) = 28 21i + 8 6i 2 = 28 + 6 + (-21 + 8)i = 34 13i c) (6 + 7i) (4 + 2i) + (1 10i) = 6 4 + (7 2)i + (1 10i) = (2 + 5i) + (1 10i) = 2 + 1 + (5 10)i = 3 5i d) (5 + 4i)(1 i) + (2 + i)i = 5(1 i) + 4i(1 i) + (2.i + i.i) = (5 5i + 4i 4i 2 ) + (2i + i 2 ) = (9 i) + (-1 + 2i) = 9 1 + (-1 + 2)i = 8 + i
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  • Uma observao importante! J sabemos que i = -1. Dessa forma, temos que: i = i i = -1 i = i.i = (-1).i = -i i 4 = (i) = (-1) = 1 i 5 = i 4.i = 1.i = i... Logo, para potncias maiores do que i, como a 4 potncia, os resultados comeam a se repetir, ento dividimos o valor da potncia por 4 e elevamos i ao resto da diviso. Exemplo: i 74 = i = -1 74 4 34 18 34 18 2
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  • Os Nmeros Complexos e sua Representao Geomtrica Os Nmeros Complexos e sua Representao Geomtrica Da definio adotada, ocorre que podemos pensar no nmero complexo z = a + bi como o ponto (a, b) no plano cartesiano cujas coordenadas a e b so exatamente como as coordenadas x e y do plano. Exemplo: z = 1 + 2i Onde a corresponde a x e b corresponde a y. AULA 2
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  • Conjugado de um Nmero ComplexoConjugado de um Nmero Complexo Seja o nmero complexo z = a + bi. Temos que o seu conjugado dado por. Ou, na forma de par ordenado: se z = (a, bi), ento Exemplos: Exemplos: z = a bi = (a, bi) z = a bi z = (a, bi). z = a + bi 10 + 5i10 5i - 2 i- 2 + i z = (a, bi) (0, 6i)(0, -6i) (-7, -3i)(-7, 3i) z = a bi z = (a, bi)
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  • O conjugado de z tambm pode ser representado geometricamente no plano. Exemplos: Exemplos: Seja z = 1 + 2i. Logo, z = 1 2i
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  • Diviso de Nmeros Complexos Diviso de Nmeros Complexos A partir do estudo do conjugado de z, agora possvel efetuar divises entre dois nmeros complexos z 1 = a + bi e z 2 = c + di, tal que z 2 0. Isto , para calcular basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Exemplo: Dados os complexos z 1 = 1 + i e z 2 = 1 i, efetuar : Soluo: Soluo:
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  • Mdulo de um Nmero Complexo Mdulo de um Nmero Complexo Dado um nmero complexo z = a + bi, chama-se mdulo de z (|z|) ao nmero real no negativo: Geometricamente, |z| mede a distncia de 0 a z, ou seja, mede o mdulo do vetor que representa o complexo z. AULA 3
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  • Exemplos: Se z = 1 + i, |z| = ? Se z = 3i, |z| = ? Soluo: Soluo: Se z = 3 + 42i, |z| = ? Se z = 2 i.2, |z| = ? Soluo: Soluo:
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  • Forma Trigonomtrica dos Nmeros Complexos Forma Trigonomtrica dos Nmeros Complexos Vimos que um nmero complexo pode ser pensado como um ponto do plano de coordenadas (a, b) ou como um vetor, de origem O e extremidade (a, b). A representao z = a + bi d nfase s coordenadas do ponto z. Uma representao que d nfase aos elementos geomtricos do vetor obtida do seguinte modo: Indiquemos por o comprimento de que suporemos diferente de zero e por o ngulo positivo xOz, que tambm chamado argumento de z (arg (z) ).
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  • Ento temos e Como r = |z|, vem: e e Isto , z = a + bi = r. cos + r. sen . i ou z = |z|. (cos + i. sen ) que chamada forma trigonomtrica dos nmeros complexos.
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  • Uma observao importante! Os nmeros complexos na sua forma trigonomtrica tambm tm sua representao geomtrica no plano. Os nmeros complexos na sua forma trigonomtrica tambm tm sua representao geomtrica no plano. Exemplo: 3 1
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  • Multiplicao e Diviso de Complexos na Forma Trigonomtrica Multiplicao e Diviso de Complexos na Forma Trigonomtrica Se z 1 = |z 1 |.(cos 1 + i.sen 1 ) e z 2 = |z 2 |.(cos 2 + i.sen 2 ) so as formas trigonomtricas dos complexos z 1 e z 2, ento: AULA 4
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  • Exemplos: Sejam e, z 1.z 2 = ? Soluo: Soluo:
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  • Exemplos: Sejam e, z 1.z 2 = ? Soluo: Soluo:
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  • Potenciao e Radiciao de Complexos na Forma Trigonomtrica Potenciao e Radiciao de Complexos na Forma Trigonomtrica Se z = |z|.(cos + i.sen ) a forma trigonomtrica do nmero complexo z e n, ento: Exemplo: Calcular z, sendo Soluo: Soluo: AULA 5
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  • Se z = |z|.(cos + i.sen ) a forma trigonomtrica do nmero complexo z, ento existem n razes ensimas de z que so da forma: Exemplos: Calcular as razes cbicas de 8. Exemplos: Calcular as razes cbicas de 8. Soluo: Temos que z = 8, ento |z| = 8 e = 0. Soluo: Temos que z = 8, ento |z| = 8 e = 0. Pela frmula dada, vem: Pela frmula dada, vem:, ento k= 0, 1 e 2, ento k= 0, 1 e 2
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  • Contato: julianna_stos@hotmail.com