nÚmeros - fra.utn.edu.arfra.utn.edu.ar/catedras/sunmat/lec_int_numeros.pdf · ¿puede hallarse...

NÚMEROS NÚMEROS REALES A los números que utilizamos para contar la cantidad de elementos de un conjunto no vacío se los denomina números naturales. Designamos con N al conjunto de dichos números.

N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... } Si a , b ∈ N entonces a + b ∈ N y a . b ∈ N . No es cierto en general que si a , b ∈ N entonces a - b ∈ N . Esto ocurre si y sólo si b < a . Ejemplo: 1 - 1 = 0 ∉ N

1 - 2 = -1 ∉ N 3 - 1 = 2 ∈ N

Indicamos con N- = {- a / a ∈ N } o sea N- = {-1 , -2 , -3 , -4 , -5 , ...}

N0 = N ∪ {0} Observamos que:

a ∈ N si y sólo si - a ∈ N- N ∩ N- = ∅

Definimos al conjunto de los números enteros como

Z = N - ∪ {0} ∪ N Los naturales se identifican con los enteros positivos, es decir N ⊂ Z

Ejercicio 1 : ¿Existe un número entero que sea menor o igual que todos los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás?. Ejercicio 2 : ¿Cuántos enteros existen entre los números consecutivos 2 y 3?; ¿y entre 5 y 6?; ¿y entre n y n + 1 ?.

Curso de Apoyo en Matemática

Página 4

Ejercicio 3 : ¿Cuántos enteros existen entre 2 y 10?; ¿y entre -3 y 7?. Ejercicio 4 : ¿Qué puede afirmarse sobre la cantidad de enteros que existen entre dos enteros dados?. ¿Cuántos números enteros existen entre dos números enteros dados?. Observemos que:

b ∈ Z implica - b ∈ Z

a , b ∈ Z implica a + b ∈ Z

a , b ∈ Z implica a - b ∈ Z pues: a - b = a + (- b) ; como - b ∈ Z ; por lo anterior resulta a + (- b) ∈ Z .

a , b ∈ Z implica a . b ∈ Z

Sean a , b ∈ Z , a ≠ 0 . Existen enteros únicos q , r tales que b = a . q + r con 0 ≤ r < a Ejemplo: a) Para b = 84 , a = 45 resulta q = 1 , r = 39 pues 84 = 45 . 1 + 39 b) Para b = 84 , a = - 45 resulta q = - 1 , r = 39 pues 84 = (- 45) . (- 1) + 39 c) Para b = - 84 , a = 45 resulta q = - 2 , r = 6 pues - 84 = 45 . (- 2) + 6 d) Para b = - 84 , a = - 45 resulta q = 2 , r = 6 pues - 84 = (- 45) . 2 + 6 Si r = 0 , resulta b = a . q y se dice que a divide a b (o que b es múltiplo de a , o que b es divisible por a , o que a es divisor de b ). Ejemplo: 2 divide a 6 pues 6 = 2 . 3

5 no divide a 12 pues no existe ningún entero que multiplicado por 5 dé 12. Si se descomponen dos enteros positivos a y b en sus factores primos, el máximo común divisor entre a y b, es el producto de los factores comunes, con el menor exponente. Se denota mcd (a , b). Recordemos que un número entero positivo a es primo si tiene exactamente cuatro divisores: 1, -1, a y -a. Ejemplo: Algunos números primos son 2 , 11 , 463

Números

Página 5

Ejemplo: Si a = 72 y b = 84 resulta 72 2 84 2 36 2 42 2 18 2 21 3 9 3 7 7 3 3 1 1 72 = 23 . 32 84 = 22 . 3 . 7 mcd (72 , 84) = 22 . 3 = 12 o sea 12 es el mayor de los divisores comunes entre 72 y 84. Si se descomponen dos enteros positivos a y b en sus factores primos, el mínimo común múltiplo entre a y b es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. Se denota mcm (a , b) Ejemplo: Tomando los números del ejemplo anterior resulta

mcm (72 , 84) = 23 . 32 . 7 = 504 o sea 504 es el menor de los múltiplos comunes entre 72 y 84.

No es cierto en general que si a , b ∈ Z entonces a : b ∈ Z . Por ejemplo 1 : 2 = 21 ∉ Z .

Llamamos número racional a todo número que se puede expresar como fracción mn donde n y

m son enteros y m ≠ 0. Con Q denotamos la totalidad de los números racionales. Observemos que:

Todo número entero es racional, pues si m ∈ Z escribimos m = 1m ∈ Q . Es decir Z ⊂ Q

La recíproca es falsa, por ejemplo, 21∈ Q pero

21 ∉ Z


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Si u , v ∈ Q entonces:

u + v ∈ Q u - v ∈ Q u . v ∈ Q

Si u ≠ 0 entonces u1 ∈ Q

Ejercicio 5 : ¿Existe un número racional que sea menor o igual que todos los demás?; y ¿mayor o igual que todos los demás?.

Ejercicio 6 : Hallar un número racional entre 32 y

73 . Hallar un número racional entre

37 y

38 .

¿Puede hallarse más de un número racional con esta propiedad?; ¿Qué se concluye?. Veamos ahora la expresión decimal de los números racionales. Ejemplo: El número racional tres cuartos puede expresarse como:

43 =

4 -3 - =

86 =

129 =

10075 = 0,75 = 0,750 = ....

El mismo está escrito en forma fraccionaria en las cinco primeras expresiones y en forma decimal en las dos últimas. Todo número racional puede expresarse como número decimal exacto o periódico. Ejemplo:

21 = 0,5 es decimal exacto

31 = 0,333..... = 30, período 3

1186 = 7,81818181... =

∩817, período 81

629 = 4,83333... = 34,8 período 3

A continuación se indica cómo pasar de la forma decimal a la forma fraccionaria mediante ejemplos:

Números

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FORMA

DECIMAL EJEMPLO

Exactas

0,75 = 10075

0,015 = 1000

15

2,23 = 100223

Puras

0,333... = 30, = 93

0,2525... = ∩250, =

9925

1,282828... = ∩281, = 1 +

9928 =

99127

Peri

ódic

as

Mixtas

0,8333... = 30,8 = 90

8 - 83 = 9075

12,75454... = ∩5412,7 = 12 +

9907 - 754 = 12 +

990747 =

99012627

5,12444... = 45,12 = 5 + 900

12 - 124 = 5 + 900112 =

9004612

A los números reales que no se los puede expresar en forma de fracción, se los denomina números irracionales. Es decir, expresado en forma decimal no es exacto ni periódico. Ejemplos:

a) 0,1234567891011... La parte decimal de este número irracional es la sucesión de los números naturales.

b) π ≅ 3,141592654 Representa una aproximación del número irracional π . Notemos que también existen otras aproximaciones para este número; por ejemplo: 3,14 ; 3,141 ; 3,14159 ; 3,1416 ; ... etc.

c) 2 ≅ 1,414213562 d) e ≅ 2,71

e) 2

5 1+ ≅ 1,618033989

f) 3 3 ≅ 1,4422 La unión del conjunto Q de números racionales y el conjunto de los números irracionales es el conjunto R de los números reales.

Página 8

El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una recta. A cada número real le corresponde un único punto de la recta y cada punto de la recta representa un único número real. A esta recta la llamamos recta real.

Representemos: 2 ; - 3 ; 0,2 ; 45 ; 2

No es posible representar la totalidad de los números irracionales por métodos geométricos. Sí podremos representar una aproximación de los mismos. Si en R definimos la relación de orden que indicamos “≤” (a ≤ b se lee: a es menor o igual que b) observamos que dados dos números reales a y b , se tiene una y sólo una de las siguientes situaciones:

a 0 ⇔ a . c b . c

Ejemplos: a) - 3 < 4 ⇔ - 3 + 1 < 4 + 1 b) - 3 < 4 y 2 > 0 ⇔ - 3 . 2 < 4 . 2 c) - 3 < 4 y - 2 < 0 ⇔ - 3 . (- 2) > 4 . (-2)

Números

Página 9

Ejercicio 7 : Completar con > ó < según corresponda:

a) - 2 < 0 y 41 > 0 ⇔ - 2 .

41 ..... 0 .

41

b) 25 >

37 y - 1 < 0 ⇔

25 . (- 1) .....

37 . (- 1)

c) 1,4 < 2 ⇔ 1,4 + 0,01 ...... 2 + 0,01

d) - 7 < - 6 y - 21 < 0 ⇔ - 7 .

21 - ..... (- 6) .

21 -

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN R Definimos an =

veces .... . .

naaaa donde a es un número real al que denominaremos base y n es

un número natural que llamaremos exponente.

Ejemplo: 4

32

− =

−

32 .

−

32 .

−

32 .

−

32 =

8116

Extendemos la definición para exponentes enteros.

Por convención se tiene: a0 = 1 ; a-n = na

1 (a ≠ 0)

Ejemplo: 5-3 = 125

1 513=

Definimos n a = b si bn = a donde: n es un número natural. n a se lee raíz n-ésima de a . Denominamos a n índice de la raíz, y a radicando. Observemos que para que la definición tenga sentido,

si n es par, a debe ser un número real positivo, si n es impar, a puede ser cualquier número real.

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Ejemplos:

a) 3 27 - = -3 pues (-3)3 = - 27

b) 4 81 = 3 pues 34 = 81

La raíz n-ésima de un número suele también denotarse como potencia n a = na1

.

Además n pa = np

a si a ≥ 0 . Observación: Si a < 0, esta afirmación no siempre tiene sentido, ya que pueden presentarse casos como el siguiente:

(-3)4/2 = ( )43 - pero (-3)4/2 = ((- 3)1/2)4 = ( )4 3 - no tiene sentido en el conjunto R. También se satisfacen las siguientes propiedades:

• a > 0 , b > 0 y a b-1 • a < 0 , b < 0 y a b-1

Ejemplos:

a) 2 < 3 ⇒ 2-1 > 3-1

b) - 23 < -

32 ⇒

1

23 -

−

>

1

32 -

−

El siguiente cuadro resume las propiedades que verifican las operaciones de suma, producto, potencia y raíz en R y en cada subconjunto de éste. Tener en cuenta que la propiedad no se cumple en el conjunto numérico correspondiente a la celda sombreada.

OPERACIONES PROPIEDADES N Z Q R Suma 1. Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c 2. Conmutativa a + b = b + a 3. Elemento neutro 0 4. Elemento opuesto de a - a Producto 5. Asociativa (a . b) . c = a . (b . c) 6. Conmutativa a . b = b . a 7. Elemento neutro 1

8. Elemento inverso de a (a ≠ 0) a1

Suma-Producto 9. Distributiva a . (b + c) = a . b + a . c

Números

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Potencias 1. Producto de potencias con la misma base am . an = am+n 2. Cociente de potencias con la misma base am : an = am-n 3. Potencia de una potencia (am)n = am.m 4. Potencia de un producto (a . b)n = an . bn 5. Potencia de un cociente (a : b)n = an : bn

Raíces 1. Producto de radicales con el mismo índice

n a . n b = . n ba

2. Cociente de radicales con el mismo índice

n a : n b = : n ba

3. Raíz de una raíz m n a = . mn a

4. Potencia de un radical ( )mn a = n ma

Observación: Las propiedades de las raíces son válidas en el conjunto de los números reales, siempre que las expresiones involucradas tengan sentido. En virtud de las propiedades que verifican la suma y el producto de números reales, se dice que R es un cuerpo, y por la relación de orden ≤ ,definida anteriormente, es ordenado. EJERCICIOS DE APLICACIÓN Ejercicio 8 : Efectuar las siguientes operaciones: a) 5 - (-2) + (-8) : (-4) - 5 b) 7 - (-3) - (-8) : (-8) + (-3) : (-1) c) 6 : (-2) + (-7) . (-15) : (-3) d) 22 - 42 : 8 + 25 e) 42 : 2 - 1 - 82 : 2 - 1 f) 32 : 2 - 1 - 32 : 2 g) 3-1 . 3 - 30 + 1 - 25 Ejercicio 9 : Calcular las siguientes expresiones: a) x2 . x5 b) (- x)2 . x5 c) (- x)2 . (- x)5 d) x5: x-5

e) x3: x-4 f) (- x)3 : x5


Página 12

g) (- x)3 : (- x)5 h) x-3 : x-6 Ejercicio 10 : El número - 15 es menor que 3 . a) ¿Es (-15)2 menor que 32? b) ¿Es (-15)3 menor que 33? Ejercicio 11 : El número -12 es menor que -3 . a) ¿Es (-12 ) . 6 menor que (-3) . 6 ? b) ¿Es (-12 ) . (-6) menor que (-3) . (-6) ? Ejercicio 12 : Verdadero o falso. (Justificar)

a) Si z ∈ Z entonces - z ∈ Z. b) Si z2 ∈ Z entonces z ∈ Z. c) Si 2 z ∈ Z entonces z ∈ Z.

d) Si z2 = 1 entonces z ∈ Z. Ejercicio 13 : Si el cubo de un número es 13824, ¿cuál es el cubo del doble de ese número?. Resolver sin calcular el valor de dicho número. Ejercicio 14 : El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cuadrados? Ejercicio 15 : El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cubos? Ejercicio 16 : Se lanzan tres monedas diferentes. ¿Cuántos resultados distintos pueden aparecer?. Ejercicio 17 : Sabemos de dos números enteros x e y que su producto x . y = - 16 y que x es positivo. a) Cuál es el signo de cada uno de los productos siguientes:

x . y . x . y (-1) x . y x . x . y ( - x )( - y )( - x )

b) Calcular el resultado de cada uno de los productos siguientes:

Números

Página 13

( - 1 ) ( - x ) y = x y : ( - 4 ) = - 2 x y = x y : 4 = 3 x y =

Ejercicio 18 : p y q representan números enteros, de los cuales sabemos que p ≤ q. Completar con ≤ o ≥ según corresponda: a) 3 p ..... 3 q b) - 4 p ..... - 4 q c) - p ..... - q d) p . a ..... q . a Ejercicio 19 :

a) Sean a y b enteros, b ≠ 0. Si a - b = 175 y la división de a por b tiene cociente 15 y resto 7, hallar a y b.

b) Si se divide un número natural a por 2 se obtiene como cociente entero un número que

llamamos b y el resto 0. Al dividir b por 2 obtenemos como cociente entero en número c y el resto 1. Luego dividimos c por 2 y en este caso el cociente es 1 y el resto 0. ¿Cuál es el número a ?

Ejercicio 20 : a) Hallar el mínimo común múltiplo entre 8 y 14. b) Hallar el máximo común divisor entre 544 y 1492. Ejercicio 21 : Tengo cierta cantidad de botones. Si los agrupo en montones de a cuatro me queda uno suelto. Si los agrupo de a tres, también me queda uno suelto y lo mismo me sucede si los coloco de a dos. Cuando los pongo en grupos de a cinco no me sobra ninguno. a) Si tengo menos de 30 botones, ¿cuántos tengo? b) Si tengo más de 50 botones y menos de 100, ¿cuántos tengo? Ejercicio 22 : En el país ABC las elecciones presidenciales son cada 6 años, las de gobernadores son cada 4 años y las de senadores cada 8 años. En 1974 coincidieron las elecciones para presidente, gobernadores y senadores. ¿Cuándo volverán a coincidir?. Ejercicio 23 : Tres hombres recorren 28, 35 y 40 kilómetros por día respectivamente. a) ¿A qué distancia del punto de partida está el lugar más cercano al que pueden llegar los tres

simultáneamente, en un número entero de días?. b) ¿Cuántos días empleará cada uno en llegar a él?.


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Ejercicio 24 : Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda:

a) ∀ x ∈ Z, x - 1 > 2 b) ∃ b ∈ Z / b + 0 = 0 c) ∀ a ∈ Z, a + 0 ≠ 0 d) ∃ t ∈ Z / t - 2 ≥ 1

e) ∀ a ∈ Z, a + 0 = a Ejercicio 25 : Se sabe que 24 = 42 . ¿Tiene la potenciación la propiedad conmutativa am = ma Ejercicio 26 : Indicar el error cometido:

4 - 10 = 9 - 10

4 -10 + 425 = 9 - 15 +

425

22 – 2 . 2 . 25 +

2

25

= 32 – 2 . 3 .

25 +

2

25

2

25 - 2

=

2

25 - 3

2 - 25 = 3 -

25

2 = 3 Ejercicio 27 : Calcular

a)

⋅

⋅

51 -

43

114 -

21 -

35

83

b)

+

+

53 -

21 .

310

21

43 - -

95

c) 73 :

43 -

31

34

54 -

32 :

53

+⋅

d)

+

++

61 -

32

34 - :

41

65 -

27-

32

e) 61 -

32

34 - :

41

65 -

27-

32

+

++

Ejercicio 28 : Calcular

a) 52

32

32

⋅

Números

Página 15

b) 47

51 :

51

c) 34

72 :

72

−

d) 232

21

21

⋅

e) 237

43 :

43

Ejercicio 29 : Calcular las siguientes potencias:

a) 3

52 -

b) 0

51

c) 2-2 d) (- 3)-2 e) (- 3)2 f) 105

g) 3

23 −

h) 1

101 −

i) - 125 j) (- 1)25 k) (0,1)-2 l) - 12325 Ejercicio 30 : Expresar en forma fraccionaria y resolver:

a) ( )( ) 240 - 30 - 51

6 - 51

81212

2

,,,,,, +

b) 250 -

23

51 - 70 - 70

21090

22

,

,,,

++

Página 16

c) 10 - 33 . 502 . 500 - 30 : 10 - 30 : 900 2 ,,,,,,,, +

d) ( )( ) 1-30 - 910

120 - 230 : 51 - 304

,,

,,,,+

Ejercicio 31 : Escribir en forma decimal y fraccionaria: a) 5 décimos b) 5 centésimos c) 123 centésimos d) 82 milésimos Ejercicio 32 : a) ¿De qué número es 200 la quinta parte?. b) ¿De qué número es 850 el 52%?.

Ejercicio 33 : ¿Cuál es mayor 1112

ó 1213

?

Ejercicio 34 : ¿Cuál de las siguientes expresiones es negativa cuando x = 2/3 ?. a) (2 x - 3)(2 x - 3) b) (3 - 2 x)(2 x - 3) c) (2 - 3 x)(3 - 2 x) d) (3 x - 2)(3 - 2 x) e) (2 - 3 x)(3 x - 2) Ejercicio 35 : Completar la tabla con los signos > ; < ; = según corresponda:

a b a ........b2a .......

2b a(-3) ........b(-3)

8 2 8 > 2 28 >

22 8 (-3) < 2 (-3)

-6 -10

-4 8

-10 -2

0 4

Números

Página 17

Ejercicio 36 : Expresar en unidades fraccionarias cada una de las piezas del TANGRAN. El lado del cuadrado a partir del cual se obtienen las piezas mide 1.

Ejercicio 37 : En un colegio, 31 de los alumnos estudian inglés y el 33% francés. ¿Cuál es la

lengua más elegida? Ejercicio 38 : Un auto recorre 50 km. en tres cuartos de hora, y otro recorre 36 km. en 27 minutos. ¿Cuál es el más rápido? Ejercicio 39 : Al tostarse el café, éste pierde un quinto de su peso. Si se tuestan 80 kg., ¿cuánto pesarán después? Ejercicio 40 : El agua al congelarse aumenta su volumen un décimo del mismo. ¿Qué volumen ocuparán 200 litros de agua después de helarse?.

Ejercicio 41 : Una aleación está compuesta por 2924 de cobre,

294 de estaño y

291 de cinc.

¿Cuántos kilogramos de cada metal habrá en 348 kg. de aleación?. Ejercicio 42 : Si al numerador de una fracción le aumentamos 21, la fracción queda aumentada en 3. ¿Cuál es el denominador de la fracción?. Justifique su respuesta. Ejercicio 43 : Juan toma la mitad de un cordel; de lo que queda, Pedro toma la mitad; de lo que

queda, María toma la mitad; de lo que resta, Carmen toma 52 . Al final quedan 30 cm. ¿Cuál era la

longitud del cordel?. Ejercicio 44 :

a) Javier y Carlos son dos hermanos. Javier tiene los 920

de la edad de su padre y Carlos los 25

.

¿Cuál es el mayor?.


Página 18

b) Un curso tiene 32 alumnos. Para colaborar en la organización de un acto fue convocada a concurrir 1 hora antes del inicio la cuarta parte del curso. De los que se esperaban sólo asistió la mitad. Tomando como unidad el curso, ¿cómo expresaría la parte del curso que asistió?

Ejercicio 45 : Indicar cuál de los siguientes números es racional y cuál es irracional.

a) 35

b) 0,494949... c) 3,75 d) 0,141144111444... e) 3,2222... f) 0,437537537... g) 0,101001000100001...

h) 7 Ejercicio 46 : Escribir: a) Tres números racionales entre 0,12 y 0,2. b) Tres números periódicos entre 0,12 y 0,2. c) Dos números irracionales entre 0,12 y 02. Ejercicio 47 : Indicar si el desarrollo decimal es periódico o no: a) 3,2222........ b) 0,101001000100001......... c) 0.43753753......... d) 0,12112111211112.......... Ejercicio 48 : Completar con SI o NO, según corresponda, la siguiente tabla:

Número 7 10 -2,08 1,1212212221... 25 -2,2424... 4− 67

28

−

¿Natural?

¿Entero?

¿Racional?

¿Irracional?

¿Real?

Números

Página 19

Ejercicio 49 : Indicar si es V (Verdadero) o F (Falso). Justificar. a) Todo número real es racional. b) Todo número natural es entero. c) Todo número entero es racional. d) Todo número real es irracional. Ejercicio 50 : Indicar cuáles de las siguientes igualdades son V (Verdaderas) y cuáles son F (Falsas). En este último caso justificar:

a) 57

57

=

b) 2318

=

c) 82

= 2

d) (52)7 = 59

e) (5 5 )2 = 25 5

f) ( 3 )3 = 3 3

g) 23 + 23 = 43

h) 7 2 - 4 2 = 3 2

i) 2 2 . 3 2 = 6 2

j) 12

22

=

k) 1

3 33

9=

Ejercicio 51 : El valor de (2 - 3 )2 + (2 + 3 )2 es: a) negativo b) menor que 14 c) igual a 14 d) mayor que 14 e) no puede responderse si no se conoce un valor aproximado de 3 Ejercicio 52 : Sean a , b , c números reales. Indicar V (verdadero) o F (falso); en este último caso, justificar la respuesta proponiendo un contraejemplo que la pruebe.

Página 20

a) a.0 = 0 b) (-a)(-b) = -(ab) c) a + (-b + c) = a - b + c

d) ab c

ab

ac+

= + , siendo b + c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

e) a - (b + c) = a - b + c

f) b ca

ba

ca

+= + , siendo a ≠ 0

g) el cociente entre un número y su opuesto es igual a (-1)

h) ∀ a ∈ R, a . a-1 = 1

i) ∀ a ∈ R, (a-1)-1 = a j) a (-b) = ab k) a (b - c) = ab - ac l) - (-a) = a

Ejercicio 53 : Si a y b son reales positivos y además a 1, ¿cuál de las siguientes proposiciones es falsa? a) a b > 0 b) b2 > a

c) 1 0a b−

>

d) 1 0b a+

>

e) b + a > 1 Ejercicio 54 : Simplificar, si es posible:

a) 4 23

b) 8 45

c) 9 27

d) 5 1024 Ejercicio 55 : Calcular usando propiedades:

a) 322 ⋅

b) 5082 ,⋅

c) 33 93 ⋅

d) 152 ⋅

Números

Página 21

e) 33 2:32

f) 33 2 : 8

g) 3 : 15

h) 4 : 3

i) 33 5 : 2

j) 3 32 : 2

k) 4 2 : 8

l) 63 3 : 9 Ejercicio 56 : Extraer factores del radicando:

a) 8 b) 18 c) 32 d) 50 Ejercicio 57 : Resolver usando propiedades y reduciendo las expresiones:

a) 32 - 1882 ++

b) 80 - 180455 ++

c) 4866 5 - 24 +

d) 33 16 - 54

e) 252

3250 5 -

92 5 -

92 3 +

Ejercicio 58 : Escribir como radicales los siguientes números:

21/2 , 72/3 , 50,5 , 120,2 , 7-1/2 , 9-1/3 , 510/5 , 8-2/3 Ejercicio 59 : Expresar como potencia fraccionaria

a) x

1

b) 3 : xx

c) 5 23 xxx ⋅⋅


Página 22

d) 51x

Ejercicio 60 : Simplificar las siguientes expresiones: a) 222 ⋅⋅

b) 31-

53 25 . 51 : 5 . 5

c) ( ) 21

34 18 : 126 ⋅

d) 3

21

0010 : 10

100-

,

e)

( )

( ) 31

21

10

32

23

2-3

32

32

⋅

⋅

Ejercicio 61 : Eliminar las raíces del denominador y simplificar:

a) 2 - 3

3

b) 2 -3

1

c) 522

2+

d) yxyx

- +

Ejercicio 62 : Indicar el valor de x:

x = ( )

8 3 912

3

2 3 3 2

10

2

/ /− ⋅

−

−

−

a

a) x = 935

Números

Página 23

b) x = 1225

81

c) x = 1835

d) x = 81

323

e) x = 3518

f) ninguno de los anteriores Ejercicio 63 : Indicar el resultado correcto

a) 16 274

1 4 1 3

1 2

/ /

/

⋅=

i. 3 ii. 6

iii. 9 iv. 12 v. 24

vi. ninguna de las anteriores

b) 64 27 1

111

2 3 1 3

1

/ /− −

=−

i. 1146

ii. 3314

iii. 34

iv. 346

v. 3

14

vi. ninguna de las anteriores c) ( ) ( )[ ]a b a b+ − − =2 2 1 2/


Página 24

i. 4 a b ii. 2 a b

iii. 2 a2 b iv. 2 a b2 v. 2 (a b)1/2

vi. ninguna de las anteriores d) (5 a)2 - 5 a2 =

i. 5 ii. 25 a - a2

iii. 20 a2 iv. 0 v. 20

vi. ninguna de las anteriores

e) a a−−

=3 23

1

i. a a6

ii. 67

1/a

iii. a

iv. a6

v. a-6/7 vi. ninguna de las anteriores

Ejercicio 64 : Escribir un número comprendido entre los siguientes:

a) 31 y

52

b) 1,4142 y 1,4143

c) 2 y 3

d) π y 113355

Ejercicio 65 : Representar en la recta real los siguientes números: a) 2 b) -5

Números

Página 25

c) 31

d) - 73

e) 5

f) 10 g) 2,5 Ejercicio 66 : Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 10 cm. y 12 cm. Expresar el resultado con dos decimales. Ejercicio 67 : Calcular el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 10 cm. Expresar el resultado con tres decimales. Ejercicio 68 : El área de un cuadrado mide 50 cm2. ¿Cuál es el área del cuadrado construido sobre su diagonal?. Ejercicio 69 : Calcular el área de un círculo de 100 cm. de radio y expresar el resultado con tres decimales exactos. Ejercicio 70 : Determinar entre qué números enteros se encuentra la raíz cuadrada positiva de: 17, 50, 105, 420.

nÚmeros - fra.utn.edu.arfra.utn.edu.ar/catedras/sunmat/lec_int_numeros.pdf · ¿puede hallarse...

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