números irracionales
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1
Radicales
Definición del concepto
Vocabulario
Propiedades de los radicales
Simplificar expresiones con radicales
Preparado por Profa.Carmen Batiz UGHS
Estándar: Numeración y Operación
Expectativa 2
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2
¿A qué conjunto pertenece los radicales no exactos?
Los radicales pertenecen a los números irracionales. Éstos son números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas.
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3
Números Reales
Números Racionales Números Irracionales
Enteros fracciones y decimales finitos
Números Naturales
ceroNúmerosNegativos
Números Positivos
Fracciones y decimales infinitos Radicales no exactos
∏
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4
Indica cúal de éstos números son irracionales
2/125 d.
8 .
3 .
4 .
c
b
a entero númeroun , esno
infinito númeroun es ,si
5 25 o, =n
infinito númeroun es ,si
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5
RadicalesSurgen de los exponentes fraccionarios
Ejemplos:
( ) = 3u
=
5
132
3
2
= 2
1
v
m
xx
m23
35 32vu
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6
Generalización
El símbolo se denomina radical,n es índiceb es radicando
bm
n = bmn
m es el exponente
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7
Ejemplos:
9 10436 yx
5 3327 yx=
A. Expresa cada exponente racional en forma radical.
• u1/5
• (6x2y5)2/9
• (3xy)3/5
B. Expresa a la forma de exponentes racional.
(9u)1/4
-(2x)4/7
(x3 + y3)1/3
5 u=9 252 )6( yx
( )3 35 xy
1 9
2 2
3
4
47
3
.
. ( )
.
x33
u
x
y
−
+
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8
Intenta:A. Expresa cada exponente racional en forma radical.
• u2/3
• (xy)1/5
• 3x2/3y
B. Expresa a la forma de exponentes racional.
3 2
7 4
2
)( .3
2 .2
2 .1
mn
x
u
−
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9
Intenta:A. Expresa cada exponente racional en forma radical.
• u2/3
• (xy)1/5
• 3x2/3y
B. Expresa a la forma de exponentes racional.
(2u)1/2
-21/7 x4/7
(mn)2/3
3 2u5 xy
3 2 3 xy
3 2
7 4
2
)( .3
2 .2
2 .1
mn
x
u
−
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10
Propiedades de los radicalesSea k, n y m números mayores o iguales a 2; y x y números reales positivos:
mn/1/11/n
n mk/k
n
n
nn
m/m
x x = .5
x x= .4
y
x = .3
x xy.2
x= .1
==
=
⋅=
=
⋅ mnmm n
kn km
n
n
m m
xx
x
y
x
y
xx
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11
Ejemplos: Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.
(3x2y)5/5
x 4/6
x2/3= x0 = 1
ó 3
1 3 x=x
27
3
3
1/12 x=( ) 3/14/1x= .4
x
x 3.
27
.2
= )3( .1
3 4
3 2
6 4
3
5 52
x
x
yx
=
=
= (3x2y)
3
3 x
Propiedad 1
Propiedad 3
Propiedad 1/P. Exponentes
Propiedad 5
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12
Intenta: Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.
= .4
x 3.
8
.2
= xy .1
3
6 4
3
3 3
x
x
x
=
=
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13
Intenta:
6 x=
2
x3
Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.
x1/3 y3/3
x 4/6 = x1/2
x4/6-1/2 =
ó 2
1 3 x=
3
3
8
x
6 x= .4
x 3.
8
.2
= xy .1
3
6 4
3
3 3
x
x
x
=
=
= (x1/3y)
x4/6-3/6 = x 1/6
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14
Simplificando Números Irracionales
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15
Ejemplos:
3 2 3 =
2 3 3 33 ⋅ ⋅ ⋅
3 332 ⋅=
=3 54 .1
Simplifica.
Descomponer en factores primos
Propiedad 1 de los radicales
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16
Ejemplos:
=3 54 .1
Simplifica.
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17
Ejemplos:
=25312x .2 zy
Simplifica.
Descomponer en factores primos
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18
Ejemplos:
xyzyx 32 2/22/42/22/2=
242322 zyyxx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=25312x .2 zy
32 3 z2 xyxy=
Simplifica.
Descomponer en factores primos
Propiedad 1 de los radicales
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19
Ejemplos:
3 2416 .3 yx
Simplifica.
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20
Ejemplos:
3 222x xy=
=3 2416 .3 yx 3 233 22 xyx⋅⋅
3 23/33/3 22 xyx=
Simplifica.
Propiedad 1 de los radicales
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21
Ejemplos:
=3 27 .4
Simplifica.
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22
Ejemplos:
=3 27 .43 33
33 2/1 ==
( ) 3/12/33=
Simplifica.
Propiedad 5 de los radicales/Propiedad de los exponentes
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23
Intenta:
=
=
=
=
3
3 63
232
3
10 .4
32 .3
75x .2
16 .1
yx
zy
Simplifica utilizando las propiedades de los radicales y de los exponentes.
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24
Intenta:
3 2 2 =
32 2 2xy x=
=33/3 2 2=⋅3 322
35 2222 yzyx⋅⋅
=
=
=
=
3
3 63
232
3
10 .4
32 .3
75x .2
16 .1
yx
zy
3 63322 yx ⋅⋅
yxy 3 z5=
( ) =3/12/110 =6/110 6 10
Simplifica utilizando las propiedades de los radicales y de los exponentes.
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25
Práctica -Ejercicios sugeridos
Algebra -Barnett
p. 23-24 (1-40) p. 32-33 (1-70) Algebra -Larson
p.685 Algebra Glencoe
p. 724 (20-27)
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26
Operaciones con Radicales
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27
Multiplicación de Radicales
Para multiplicar radicales : Se multiplica los coeficientes y los radicales siguiendo las reglas de éstos. Luego se simplifica el radical si es posible.
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28
Multiplicación de RadicalesEJEMPLOS:
21
4
7
12.3
15873.2
10352.1
⋅
⋅⋅
⋅
![Page 29: Números Irracionales](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052204/559561801a28ab19658b4790/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Multiplicación de RadicalesEJEMPLOS:
15873.2
10352.1
⋅⋅
⋅ 2256 ⋅=256 ⋅=
230=
532473 ⋅⋅⋅⋅=532723 ⋅⋅⋅⋅=
2106=
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30
Multiplicación de RadicalesEJEMPLOS:
21
4
7
12.3 ⋅
377
434
⋅⋅⋅⋅=
7
4=
37
342
2
⋅⋅=
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31
Otros Ejemplos:
)32)(32(52 .4
)23)(23( .3
)23)(23( .2
)53(32 .1
.
+−
−+
++
−
Multiplica
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32
Otros Ejemplos:
)23)(23( .2
)53(32 .1
.
++
−
Multiplica
31092 −=31032 −⋅=
3106 −=
P. distributiva
P. 1 Radicales
432329 +++=
432323 +++=
347 +=
Multiplicación cada término del primer paréntesis con cada término del segundo paréntesis.
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33
Otros Ejemplos:
)32)(32(52 .4
)23)(23( .3
.
+−
−+
Multiplica
432329 −−+=432323 −−+= 1−=
)94(52 −=
)32(52 −=)1(52 −=
52−=
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34
Racionalizando denominadores
Racionalizar es eliminar cualquier raíz en un denominador.
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35
Racionalizando denominadores
1
2
32
42 4
.
.
.
.
3
5
6
2x
10x
3y
3
3
2
3
x
x
Ejemplos.
![Page 36: Números Irracionales](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052204/559561801a28ab19658b4790/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Racionalizando denominadores
=x
x
2
26
2x
6 .2
5
3 .1 =⋅
5
5 3 5
5
==x
x
2
2 =2)2(
26
x
x 3 2x
x
3
=25
53
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37
Racionalizando denominadores
34
2
3
3
2
3y .4
2
10x .3
x
x=⋅
3 2
3 2
)2(
)2(
x
xx
x
2
4 10x 3 23
3 22
3 22
2
2
x
x⋅3 33
3 22
2
12
xx
yx==
3
2
23
3
y
x x2
3 22
2
12
x
yx=
=3 3
3 23
)2(
)2( 10
x
xx
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38
Intenta
12
2
23
2 3
37
63
42
3 5
.
.
.
.+
Racionaliza y simplifica.
![Page 39: Números Irracionales](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052204/559561801a28ab19658b4790/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Intenta
32
3.2
2
2.1 • =2
22 2
2= 2
• =3
33 3
6= = 3
2
Racionaliza y simplifica.
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40
Intenta
53
2.4
63
7.3
+
=⋅
=7
7 9
7
3 7• =7
7
7 7
21= 7
3
3 5
3 5
−−
= 2 3 10
9 25
−−
=2 3 10
22
−−
Racionaliza y simplifica.
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41
Sumando y Restando Radicales
Para sumar los radicales, éstos deben tener el mismo índice y el mismo radicando. Si es así, entonces se suma los coeficientes y se escribe el término semejante.
(3 x + + + + −5 2 4y x y) ( )
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42
Sumando y Restando Radicales
(3 x + + + + −5 2 4y x y) ( )
4 x + 6 y − 2
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43
Intenta:
1 2 40 60
2 45 80 2 180
312
7
4
21
28
3
.
.
.
−
+ −
+ −
Suma y simplifica.
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44
Intenta:
2 2 2 5 2 5 3⋅ ⋅ − ⋅
4 10 2 15−
2 2 5 4 4 5 3⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
60402.1 −
Suma y simplifica.
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45
Intenta:
9 5 4 4 5 2 9 4 5⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
57−
5125453 −+
18028045.2 −+Suma y simplifica.
523252253 ⋅⋅−⋅+
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46
Intenta:
3
3
3
72
21
21
37
12
7
7
7
32 ⋅−⋅
⋅+⋅=
3
212
21
212
7
212 −+=
21
2172
21
212
21
2132 ⋅−+⋅=
21
2114
21
212
21
216 −+= 21
216−=
3
72
37
12
7
32 −
⋅+=
3
47
37
4
7
43 ⋅−⋅
+⋅=3
28
21
4
7
12.3 −+
Suma y simplifica.
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47
Práctica- Ejercicios sugeridos Algebra Barnett
p. 39-40 (1-54) Algebra Larson
p. 692 (1-30) Algebra Glencoe
p. 724 (28-49) impares
p. 729-730 (1-42) impares
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48
Resolviendo Ecuaciones con Radicales
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49
Regla General:
La operación inversa de una raíz cuadrada es el cuadrado de un número.
Repasemos operaciones inversas:Suma Resta
Multiplicación División
¿Cuál es la operación inversa de una raíz cuadrada?
Es por eso que para eliminar una raiz cuadrada,
sólo tienes que cuadrar esta. Ejemplo:
x = 5( )2 ( )2
x = 25
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50
Regla General:Repasemos operaciones inversas:
Suma Resta
Multiplicación División
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51
Entonces...
¿Cuál es la operación inversa de una raíz cuadrada?
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52
Entonces...
La operación inversa de una raíz cuadrada es el cuadrado de un número.
¿Cuál es la operación inversa de una raíz cuadrada?
x = 5
( )2 ( )2 x = 25
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53
EJEMPLO:x = 5
( )2 ( )2
x = 25
x = 5
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54
Otros ejemplos:
1 3 8. x =
2 3 1 5. x − =
3 3 1 5. x − =
Encuentra el valor de la variable.
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55
Otros ejemplos:
1 3 8. x =
( ) ( ) 2283 =x
( ) ( ) 2283 =x
643 =xx = 21
1
3
Encuentra el valor de la variable.
3
3
64
3
x =
![Page 56: Números Irracionales](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052204/559561801a28ab19658b4790/html5/thumbnails/56.jpg)
56
Otros ejemplos:
2 3 1 5. x − =( ) 22
513 =−x
3 1 25x − =
3 24x =x = 8
Encuentra el valor de la variable.
![Page 57: Números Irracionales](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052204/559561801a28ab19658b4790/html5/thumbnails/57.jpg)
57
Otros ejemplos:
3 3 1 5. x − =153 +=x
( ) 2263 =x
3 36x =x = 12
Encuentra el valor de la variable.
![Page 58: Números Irracionales](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052204/559561801a28ab19658b4790/html5/thumbnails/58.jpg)
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Intenta:4 9. 2x = x2 −
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59
Intenta:
( ) 22
2 92 xx =−
92 =x
92 =x
3 3 −== xóx
x= 92x 2 −
22 92 xx =−
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60
Práctica- Ejercicios sugeridos Algebra Larson
p. 698 (1-30) Algebra Glencoe
p. 734-735 (1-39)