números naturales
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Números naturales
El conjunto de los números natura les se
representa por la le t r a , y es tá fo rm ado po r :
N = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , . . . }
Los números natura les s i r ven para contar los
e lem entos de un con junto ( número card inal ) . O
b ien para expresar la pos ic ión u orden que ocupa
un e lem ento en un con junto ( número ord inal ) .
Los números natura les es tán ordenados , lo
que nos perm i te comparar dos números natura les :
7 > 2 ; 5 es mayor que 3 .
2 < 7 ; 3 es menor que 5 .
Los números natura les son i l imi tados , s i a
un núm ero natura l le sum am os 1 , ob tenemos
o t ronúmero natura l .
Representación de los números naturales
Los números natura les se pueden representar
en una rec ta ordenados de m enor a m ayor .
En una rec ta seña lam os un punto , que
m arcam os con e l núm ero cero . A la derecha de l
cero , y con las m ism as separac iones , s i t uam os de
m enor a m ayor los números natura les : 1 , 2 , 3 . . .
Operaciones con números naturales
Suma de números naturales
a + b = c
Los té rm inos de la suma , a y b , se
l lam an sumandos y e l resu l tado, c , suma .
Propiedades de la suma
1 . In terna :
a + b
2. Asoc iat iva :
(a + b) + c = a + (b + c)
3.Conmutat iva :
a + b = b + a
4. Elemento neutro :
a + 0 = a
Resta de números naturales
a - b = c
Los té rm inos que in te rv ienen en una resta se
l lam an: a , minuendo y b , sustraendo . A l
resu l tado,c , l o l lam am os di ferencia .
Propiedades de la resta
1 . No es una operac ión in ter na
2. No es Conmutat iva
Mutiplicación de números naturales
a · b = c
Los té rm inos a y b se l l am an factores y e l
resu l tado, c , producto .
Propiedades de la multiplicación
1 . In terna :
a · b
2. Asoc iat iva :
(a · b ) · c = a · (b · c )
3. Conmutat iva :
a · b = b · a
4. Elemento neutro :
a · 1 = a
5. Dist r ibut iva :
a · (b + c) = a · b + a · c
6. Sacar factor común :
a · b + a · c = a · (b + c)
División de números naturales
D : d = c
Los té rm inos que in te rv ienen en
un div is ión se l lam an , D , div idendo y d div isor . A l
resu l tado, c , l o l lam am os cociente .
Propiedades de la división
1 .Div is ión exacta
D = d · c
2. Div is ión entera
D = d · c + r
3. No es una operac ión in terna
4. No es Conmutat iva .
5. Cero d iv id ido entre cualquier número da
cero .
6. No se puede d iv id i r por 0 .
Prioridades en las operaciones
1º .Efec tuar las operac iones ent re paréntesis ,
corchetes y l laves. .
2º .Ca lcu lar l as potencias y ra íces .
3º .Efec tuar los productos y cocientes .
4º .Real i zar l as sumas y restas
Números enteros
El conjunto de los números enteros es tá
formado por los naturales , sus opuestos
(negativos) y el cero.
= {. . . −5, −4, −3, −2, −1, 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
. . . }
Se dividen en t res partes : enteros posit ivos
o números naturales , enteros negativos y cero.
Dado que los enteros cont ienen los enteros
posi t ivos, se considera a los números
naturales son unsubconjunto de los números
enteros .
Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número entero es
el número natural que resul ta al suprimir su
s igno .
|−a | = a
|a | = a
Criterios para ordenar los números enteros
1. Todo número negat ivo es menor que
cero.
−7 < 0
2.Todo número posi t ivo es mayor que cero.
7 > 0
3. De dos enteros negat ivos es mayor el
que t iene menor valor absoluto.
−7 >− 10 |−7 | < |−10 |
4.De los enteros posi t ivos, es mayo r el que
t iene mayor valor absoluto.
10 > 7 |10 | > |7 |
Operaciones con números enteros
Suma de números enteros
1. S i los sumandos son del mismo signo, se
suman los valores absolutos y al resul tado se le
pone el s igno común.
3 + 5 = 8
(−3) + (−5) = − 8
2. S i los sumandos son de dis t into s igno, se
res tan los valores absolutos (al mayor le
res tamos el menor) y al resul tado se le pone el
s igno del número de mayor valor absolu to.
− 3 + 5 = 2
3 + (−5) = − 2
Propiedades de la suma de números enteros
1. Interna :
a + b
3 + (−5)
2. Asociativa :
(a + b) + c = a + (b + c) ·
(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]
5 − 5 = 2 + (− 2)
0 = 0
3. Conmutativa :
a + b = b + a
2 + (− 5) = (− 5) + 2
− 3 = − 3
4. Elemento neutro :
a + 0 = a
(−5) + 0 = − 5
5. Elemento opuesto
a + (-a) = 0
5 + (−5) = 0
−(−5) = 5
Resta de números enteros
La diferencia de los números enteros se
obt iene sumando al minuendo el opuesto
del sustraendo.
a - b = a + ( -b)
7 − 5 = 2
7 − (−5) = 7 + 5 = 12
Propiedades de la resta de números enteros
1.Interna :
a − b
10 − (−5)
2. No es Conmutativa :
a - b ≠ b - a
5 − 2 ≠ 2 − 5
Multiplicación de números enteros
La multipl icación de varios números
enteros es otro número entero , que t iene
como valor absoluto el producto de los valores
absolutos y, como signo , e l que se obt iene de la
apl icación de laregla de los s ignos .
Regla de los signos
2 · 5 = 10
(−2) · (−5) = 10
2 · (−5) = − 10
(−2) · 5 = − 10
Propiedades de la multiplicación de números enteros
1. Interna :
a · b
2 · (−5)
2. Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · (−5) = 2· [ (3 · (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
-30 = -30
3. Conmutativa:
a · b = b · a
2 · (−5) = (−5) · 2
-10 = -10
4. Elemento neutro :
a ·1 = a
(−5)· 1 = (−5)
5. Distributiva :
a · (b + c) = a · b + a · c
(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2)· 8 = - 6 - 10
-16 = -16
6. Sacar factor común:
a · b + a · c = a · (b + c)
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
División de números enteros
La divis ión de dos números enteros es igual
al valor absoluto del cociente de los valores
absolutos en tre el dividendo y el divisor , y t iene
de s igno, el que se obt iene de la apl icación de la
regla de los s ignos.
10 : 5 = 2
(−10) : (−5) = 2
10 : (−5) = − 2
(−10) : 5 = − 2
Propiedades de la división de números enteros
1. No es una operación interna :
(−2) : 6
2. No es Conmutativo :
a : b ≠ b : a
6 : (−2) ≠ (−2) : 6
Potencia de números enteros
La potencia de exponente natural de un
número entero es o tro número entero , cuyo
valorabsoluto es el valor absoluto de la
potencia y cuyo signo es el que se deduce de la
apl icación de las s iguientes reglas :
1. Las potencias de exponente par son
s iempre posi t ivas .
2. Las potencias de exponente impar t ienen
el mismo signo de la base.
Propiedades
a0 = 1 ·
a1 = a
am
· a n
= am + n
(−2)5
·(−2)2
= (−2)5 + 2
= (−2)7 = −128
am
: a n
= am - n
(−2)5
: (−2)2
= (−2)5 - 2
= (−2)3 = −8
(am
)n
= am · n
[(−2)3]
2 = (−2)
6 = 64
an
· b n
= (a · b) n
(−2)3
· (3)3
= (−6) 3 = −216
an
: b n
= (a : b) n
(−6)3 : 3
3 = (−2)
3 = −8
Potencias de exponente entero negativo
Raíz cuadrada de un número entero
Las raíces cuadradas de números enteros
t ienen dos s ignos: posit ivo y negativo.
El radicando es s iempre un número
posit ivo o igual a cero, ya que se t rata del
cuadrado número.
Operaciones combinadas con números enteros
Prioridades en las operaciones
1º.Efectuar las operaciones
entre paréntesis , corchetes y l laves. .
2º.Calcular las potencias y raíces .
3º.Efectuar los productos y cocientes .
4º.Real izar las sumas y restas .
Los números racionales
Un número racional es todo número que
puede representarse como el cociente de dos
enteros , con denominador dis t into de cero. Se
representa por .
Representación de números racionales
Los números racionales se representan en
la recta junto a los números enteros .
Para representar con precis ión
los números racionales :
1Tomamos un segmento de longi tud la
unidad, por ejemplo .
2Trazamos un segmento auxi l iar desde el
origen y lo dividimos en las partes que
deseemos. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4
partes .
3Unimos el úl t imo punto del segmento
auxi l iar con el ext remo del otro segmento y
t razamos segmentos paralelos en cada uno de los
puntos , obtenidos en la part ición del segmento
auxi l iar .
En la práct ica se ut i l izan número
racional y fracción como sinónimos .
Operaciones con números racionales
Suma y resta de números racionales
Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y
se mantiene el denominador.
Con distinto denominador
En primer lugar se reducen los
denominadores a común denominador , y se
suman o se restan los numeradores de las
fracciones equivalentes obtenidas .
Propiedades de la suma de números racionales
1. Interna :
a + b
2. Asociativa :
(a + b) + c = a + (b + c) ·
3. Conmutativa :
a + b = b + a
4. Elemento neutro :
a + 0 = a
5. Elemento opuesto
a + (−a) = 0
El opuesto del opuesto de un número es
igual al mismo número.
Multiplicación de números racionales
Propiedades de la multiplicación de números racionales
1. Interna :
a · b
2. Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
3. Conmutativa:
a · b = b · a
4. Elemento neutro :
a ·1 = a
5. Elemento inverso :
6. Distributiva :
a · (b + c) = a · b + a · c
7. Sacar factor común:
a · b + a · c = a · (b + c)
División de números racionales
Números irracionales
Los números irracionales poseen inf initas
ci fras decimales no periódicas , por tanto no se
pueden expresar en forma de fracción .
P i , , es el número irracional más
conocido. Se define como la relación ent re la
longi tud de la ci rcunferencia y su diámetro.
= 3.141592653589. . .
Otros números irracionales son:
El número e aparece en procesos de
crecimiento, en la desintegración radiact iva, en
la fórmula de la catenaria, que es la curva que
podemos apreciar en los tendidos eléctr icos .
e = 2.718281828459. . .
El número áureo , , u t i l izado por ar t is tas
de todas las épocas (Fidias , Leonardo da Vinci ,
Alberto Durero, Dal í , . . ) en las proporciones de
sus obras .
, , . . .
Números reales
El conjunto formado por los
números racionales e irracionales es el
conjunto de los números reales , se designa
por .
Con los números reales podemos
real izar todas las operaciones, excepto la
radicación de índice par y radicando negativo
y la divis ión por cero.
La recta real
A todo número real le corresponde
un punto de la recta y a todo punto de la recta
un número real .
Los números reales pueden ser
representados en la recta con tanta aproximación
como queramos, pero hay casos en los que
podemos representar los de forma exacta.
Operaciones con números reales
Suma de números reales
Propiedades
1.Interna :
El resul tado de sumar dos números
reales es otro número real .
a + b
+
2.Asociativa :
El modo de agrupar los sumandos no varía
el resul tado.
(a + b) + c = a + (b + c) ·
3.Conmutativa :
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
4.Elemento neutro :
El 0 es el elemento neutro de la suma
porque todo número sumado con él da el mismo
número.
a + 0 = a
+ 0 =
5.Elemento opuesto
Dos números son opuestos s i al sumarlos
obtenemos como resultado el cero.
e − e = 0
El opuesto del opuesto de un número es
igual al mismo número.
−(− ) =
La diferencia de dos números reales se
define como la suma del minuendo más el
opuesto del sustraendo .
a - b = a + ( - b)
Multiplicación números reales
La regla de los s ignos del producto de
los números enteros y racionales se s igue
manteniendo con los números reales .
Propiedades
1.Interna :
El resultado de multipl icar dos números
reales es otro número real .
a · b
2.Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía
el resultado. S i a , b y c son números reales
cualesquiera, se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
(e · ) · = e · ( · )
3.Conmutativa:
El orden de los factores no varía el
producto.
a · b = b · a
4. Elemento neutro :
El 1 es el elemento neutro de la
multipl icación porque todo número
multipl icado por él da el mismo número.
a ·1 = a
· 1 =
5. Elemento inverso :
Un número es inverso del otro s i al
multipl icarlos obtenemos como resultado el
elemento unidad.
6.Distributiva :
El producto de un número po r una suma
es igual a la suma de los productos de dicho
número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
· (e + ) = · e + ·
7.Sacar factor común:
Es el proceso inverso a la propiedad
dis t r ibut iva.
Si varios sumandos t ienen un fact or
común, podemos transformar la suma en
producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
· e + · = · (e + )
La divis ión de dos números reales se
def ine como el producto del dividendo por el
inverso del divisor.
Intervalos
Los intervalos es tán determinados por dos
números que se l laman extremos. En un intervalo
se encuent ran todos los números comprendidos
entre ambos y también pueden estar los
extremos.
Intervalo abierto
Intervalo abierto, (a , b) , es el conjunto de
todos los números reales mayores que a y
menores que b.
(a , b) = {x / a < x < b}
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado, [a, b] , es el conjunto
de todos los números reales mayores o iguales
que a y menores o iguales que b.
[a , b] = {x / a ≤ x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda,
(a, b] , es el conjunto de todos los números
reales mayores que a y menores o iguales que
b.
(a , b] = {x / a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha , [a,
b) , es el conjunto de todos los números reales
mayores o iguales que a y menores que b.
[a , b) = {x / a ≤ x < b}
Cuando queremos nombrar un conjunto de
puntos formado por dos o más de estos
intervalos , se ut i l iza el s igno (unión ) entre
el los .
Semirrectas
Las semirrectas es tán determinadas por un
número. En una semirrecta se encuentran todos
los números mayores (o menores) que él .
x > a
(a, +∞) = {x / a < x < +∞}
x ≥ a
[a, +∞) = {x / a ≤ x < +∞}
x < a
(-∞, a) = {x / -∞ < x < a}
x ≤ a
(-∞, a] = {x / -∞ < x ≤ a}
Valor absoluto de un número real
Valor absoluto de un número real a , se
escribe |a | , es el mismo número a cuando
es posit ivo o cero , y opuesto de a, s i a
es negativo .
|5 | = 5 | -5 |= 5 |0 | = 0
|x | = 2 x = −2 x = 2
|x |< 2 − 2< x < 2 x (−2, 2 )
|x |> 2 x< −2 ó x>2 (−∞ ,
−2) (2, +∞)
|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5
− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7
Propiedades
1 Los números opuestos t ienen igual valor
absoluto.
|a | = |−a |
|5 | = |−5 | = 5
2El valor absoluto de un producto es igual
al producto de los valores absolutos de los
factores .
|a · b | = |a | · |b |
|5 · (−2) | = |5 | · | (−2) | |− 10 | = |5 | ·
|2 | 10 = 10
3El valor absoluto de una suma es m enor o
igual que la suma de los valores absolutos de los
sumandos.
|a + b | ≤ |a | + |b |
|5 + (−2) | ≤ |5 | + |(−2) | |3 | = |5 | +
|2 | 3 ≤ 7
d(−5, 4) = |4 − (−5) | = |4 + 5 | = |9 |
Distancia
La distancia entre dos números reales a y
b, que se escribe d(a, b) , se define como
el valor absoluto de la diferencia de ambos
números :
d(a, b) = |b − a |
La dis tancia entre −5 y 4 es:
Entornos
Se l lama entorno de centro a y radio r , y
se denota por E r (a) o E(a,r) , a l intervalo
abierto (a-r , a+r).
E r (a) = (a-r, a+r)
Los entornos se expresan con ayuda del
valor absoluto.
E r (0) = ( -r, r ) se expresa también |x |<0 , o
bien, -r < x < r .
E r (a) = (a-r, a+r) se expresa también |x -
a |<0 , o bien, a -r < x < a+r .
Entornos laterales:
Por la izquierda
E r (a-) = (a-r, a)
Por la derecha
E r (a+) = (a, a+r)
Entorno reducido
Se emplea cuando se quiere saber qué pasa
en las proximidades del punto, s in que interese
lo que ocurre en dicho punto.
E r*(a) = { x (a-r, a+r), x ≠ a}
Números imaginarios
Un número imaginario se denota por b i ,
donde :
b es un número real
i es la unidad imaginaria:
i 0 = 1
i 1 = i
i 2 = −1
i 3 = −i
i 4 = 1
Los valores de las potencias de la unidad
imaginaria se repi ten de cuatro en cu at ro.
Para calcular cuánto vale una determinada
potencia de i , se div ide el exponente ent re 4, y
el restoes el exponente de la potencia
equivalente a la dada.
i 2 2
i 2 2 = (i 4
)5 · i2
= − 1
i 2 7 = −i
Los números imaginarios permiten
calcular raíces con índice par y radicando
negat ivo.
x2 + 9 = 0
Números complejos
Números complejos en forma binómica
Un número complejo en forma
binómica es a + bi .
El número a es la parte real del número
complejo .
El número b es la parte
imaginaria del número complejo .
S i b = 0 e l número complejo se reduce a
un número real , ya que a + 0 i = a .
S i a = 0 el número complejo se reduce
a bi , y se dice que es un número imaginario
puro .
El conjunto de los números complejos se
designa por .
Operaciones de complejos en forma binómica
Suma de números complejos
(a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i
Resta de números complejos
(a + b i ) − (c + d i ) = (a − c) + (b − d) i
( 5 + 2 i ) + ( − 8 + 3 i ) − (4 − 2 i ) =
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2) i = −7 + 7 i
Multiplicación de números complejos
(a + b i ) · (c + d i ) = (ac − bd) + (ad + bc) i
( 5 + 2 i ) · ( 2 − 3 i ) =
=10 − 15 i + 4 i − 6 i2 = 10 − 11 i + 6 = 16 −
11 i
División de números complejos
Números complejos en forma polar
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es e l
módulo del vector determinado por el origen
de coordenadas y su af i jo . Se designa por |z | .
Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es
el ángulo que forma el vector con el eje real .
Se designa por arg(z) .
.
Expresión de un número complejo en forma polar.
z = rα
|z | = r r es el módulo .
arg(z) = es el argumento .
Operaciones de complejos en forma polar
Multiplicación de complejos en forma polar
64 5 ° · 3 1 5 ° = 186 0 °
Producto por un complejo de módulo 1
Al multipl icar un número complejo z =
rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del
origen.
rα · 1β = r α + β
División de complejos en forma polar
64 5 ° : 31 5 ° = 23 0 °
Potencias de complejos en forma polar
(23 0 °)4 = 161 2 0 °
Fórmula de Moivre
Raíz de complejos en forma polar
k = 0,1 ,2 ,3 , … (n -1)
Números complejos en forma trigonométrica
r (cos α + i sen α)
Binómica z = a + bi
Polar z = rα
trigonométrica z = r (cos α + i sen α)
Pasar a la forma polar y trigonométrica :
z = 2 6 0 º
z = 2 · (cos 60º + i sen 60º)
z = 2 1 2 0 º
z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)
z = 2 2 4 0 º
z = 2 · (cos 240º + i sen 240º)
z = 2 3 0 0 º
z = 2 · (cos 300º + i sen 300º)
z = 2
z = 2 0 º
z = 2 · (cos 0º + i sen 0º)
z = −2
z = 2 1 8 0 º
z = 2 · (cos 180º + i sen 180º)
z = 2 i
z = 2 9 0 º
z = 2 · (cos 180º + i sen 180º)
z = −2 i
z = 2 2 7 0 º
z = 2 · (cos 270º + i sen 270º)
Escribe en forma binómica:
z = 2 1 2 0 º
z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)
z =1 0 º = 1
z =1 1 8 0 º = −1
z =1 9 0 º = i
z =1 2 7 0 º = − i
Números cardinales
Los números cardinales indican el número de elementos que t iene un conjunto .
1 uno 11 once 10 diez 100 cien
2 dos 12 doce 20 veinte 200 doscientos
3 tres 13 trece 30 treinta 300 trescientos
4 cuatro 14 catorce 40 cuarenta 400 cuatrocientos
5 cinco 15 quince 50 cincuenta 500 quinientos
6 seis 16 dieciséis 60 sesenta 600 seiscientos
7 siete 17 diecisiete 70 setenta 700 setecientos
8 ocho 18 dieciocho 80 ochenta 800 ochocientos
9 nueve 19 diecinueve 90 noventa 900 novecientos
1 000 mil 10 000 diez mil 100 000 cien mil 1000 000 millón
1 000 000 000 millardo 1 000 000 000 000 billón
1 000 000 000 000 000 000 trillón 1 000 000 000 000 000 000 000 000 cuatrillón
Números ordinales
Los números ordinales indican la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto.
1° primero 11° undécimo 10° décimo 100° centésimo
2° segundo 12° duodécimo 20° vigésimo 200° ducentésimo
3° tercero 13° decimotercero 30° trigésimo 300° tricentésimo
4° cuarto 14° decimocuarto 40° cuadragésimo 400° cuadrigentésimo
5° quinto 15° decimoquinto 50° quincuagésimo 500° quingentésimo
6° sexto 16° decimosexto 60° sexagésimo 600° sexcentésimo
7° séptimo 17° decimoséptimo 70° septuagésimo 700° septingentésimo
8° octavo 18° decimoctavo 80° octogésimo 800° octingentésimo
9° noveno 19° decimonoveno 90° nonagésimo 900° noningentésimo
1 000° milésimo 10 000° diezmilésimo 100 000° cienmilésimo 1000 000° millonésimo
El femenino de cada número ordinal se consigue sust i tuyendo la o f inal por una a.
Primero y tercero presentan apócope delante de un nombre mascul ino s ingular .
1e r
(primer) e lemento.
3e r
( tercer) e lemento.
Números decimales
Un número decimal es aquel que se puede
expresar mediante una fracción decimal .
Consta de dos partes: entera y decimal .
Para expresar un número decimal como
una fracción decimal , se pone
como numerador de la fracción
el númerodado sin la coma y
como denominador la unidad seguida de
tantos ceros como cifras decimales tenga ese
número .
Clasificación de números decimales
Decimal exacto
La parte decimal de un número decimal
exacto es tá compues ta por una cant idad f inita de
términos.
Periódico puro
La parte decimal , l lamada periodo, se
repite inf initamente.
Periódico mixto
Su parte decimal es tá compuesta por una
parte no periódica y una parte periódica o
período.
No exactos y no periódicos
Dada una fracción podemos determinar
qué t ipo de número decimal será, para lo cual ,
tomamos e ldenominador y lo descomponemos
en factores .
S i aparece sólo el 2 , o sólo el 5 , o el 5 y el
2; la fracción es decimal exacta.
Si no aparece ningún 2 ó 5, la fracción es
periódica pura.
Si aparecen otros factores además del 2 ó el
5 , la fracción es per iódica mixta.
Ordenar números decimales
Dados dos números decimales es menor :
1.El que tenga menor la parte entera.
2. S i t ienen la misma parte entera , e l que
tenga la menor parte decimal
No hay dos números decimales
consecutivos , porque entre dos decimales
s iempre se puede encontrar otros decimales .
Operaciones con números decimales
Suma y resta de números decimales
1Se colocan en columna haciendo
corresponder las comas.
2Se suman (o se restan) unidades con
unidades, décimas con décimas, centésimas
con centésimas. . .
342.528 + 6 726.34 + 5.3026 + 0.37 =
372.528 - 69.68452 =
Multiplicación de números decimales
1Se multipl ican como si fueran números
enteros.
2El resultado f inal es un número decimal
que t iene una cantidad de d ecimales igual a la
suma del número de decimales de los dos
factores .
46.562 · 38.6
Multiplicación por la unidad seguida de ceros
Para mult ipl icar un número por la unidad
seguida de ceros , se desplaza la coma hacia la
derecha tantos lugares como ceros ac ompañen
a la unidad.
División de números decimales
1. Sólo el dividendo es decimal
Se efectúa la divis ión como si de números
enteros se tratara. Cuando bajemos la primera
cifra decimal , ponemos una coma en el
cociente y continuamos dividiendo.
526.6562 : 7 =
2. Sólo el divisor es decimal
Quitamos la coma del divisor y añadimos
al dividendo tantos ceros como cifras
decimales t iene el divisor. A continuación
dividimos como si fueran números enteros.
5126 : 62.37 =
3. El dividendo y el divisor son decimales
Se iguala el número de ci fras decimales
del dividendo y el divisor, añadiendo a aquel
que tuviere menos, tantos ceros como cifras
decimales de diferencia hubiese. A
continuación se prescinde de la coma, y
dividimos como si fueran números enteros.
5627.64 : 67.5261
4. División por la unidad seguida de ceros
Para dividir un número por la unidad
seguida de ceros , se desplaza la coma hacia la
izquierda tantos lugares como ceros
acompañen a la unidad.
Raíz cuadrada de números decimales
1 Se separan grupos de dos ci fras a
partir de la coma hacia la izquierda ( la parte
entera) y hacia la derecha ( la parte décimal) .
2 S i e l radicando t iene en su parte
decimal un número impar de ci fras, se añade
un cero a la derecha.
3 Prescindiendo de la coma, se extrae la
raíz cuadrada del número que resulta.
4 En la raíz, a partir de la derecha,
colocamos un número de ci fras decimales igual
al número de pares de ci fras decimales que
hubiere en el radicando. En el resto y también
a partir de la derecha, se separan tantas c i fras
decimales como haya en el radicando.
Pasar de decimal exacto a fracción
Si la fracción es decimal exacta , la
fracción t iene como numerador el número dado
s in la coma, y por denominador, la unidad
seguida de tantos ceros como cifras decimales
tenga.
Pasar de periódico puro a fracción generatriz
Si la fracción es per iódica pura , la fracción
generat r iz t iene como numerador el número
dado s in la coma, menos la parte entera, y por
denominador un número formado por tantos
nueves como cifras t iene el pe ríodo.
Pasar de periódico mixto a fracción generatriz
Si la fracción es per iódica mixta , la
fracción generatr iz t iene como numerador el
número dado s in la coma, menos la parte
entera seguida de las ci fras decimales no
periódicas, y por denominador, un nu mero
formado por tantos nueves como cifras tenga
el período, seguidos de tantos ceros como
cifras tenga la parte decimal no periódica.
Redondeo
Para redondear números
decimales tenemos que f i jarnos en la unidad
decimal posterior a la que queremos redonde ar.
Si la unidad decimal es mayor o igual que 5,
aumentamos en una unidad la unidad decimal
anterior; en caso contrario, la dejamos como
está.
Ejemplo
2.36105 2.4 Redondeo hasta las décimas.
2 .36105 2.36 Redondeo hasta las
centésimas .
2 .36105 2.361 Redondeo hasta las
milésimas .
2 .36105 2.3611 Redondeo hasta las
diezmilésimas.
Truncar decimales
Para truncar un número decimal hasta un
orden determinado se ponen las ci f ras anteriores
a ese orden inclusive, el iminando las demás.
Ejemplo
2.3647 2.3 Truncamiento hasta las
décimas.
2 .3647 2.36 Truncamiento hasta las
centésimas.
2 .3647 2.364 Truncamiento hasta las
milésimas.
2 .3647 2.3467 Truncamiento hasta las
diezmilésimas.
Número mixto
El número mixto o fracción mixta es tá
compuesto de unaparte entera y
otra fraccionaria .
Pasar de número mixto a fracción impropia
1. Se deja el mismo denominador
2.El numerador es la suma de la
multipl icación delentero por el denominador
más el numerador del número mixto .
Pasar una fracción impropia a número mixto
1. Se divide e l numerador por
el denominador .
2. El cociente es el entero del número
mixto .
3. El resto es el numerador de
la fracción .
4. El denominador es el mismo de la
fracción impropia.
Operaciones con números mixtos
Para operar con números mixtos se
t ranforman éstos en fracciones impropias y
posteriormente se real izan
las operaciones indicadas.con las fracciones .
Números pares
Un número es par s i es múlt iplo de dos.
Número par = 2 · n . n es cualquier número
entero.
Los números pares terminan en 0, 2 , 4 , 6 ,
8 .
Propiedades de los números pares
La suma de dos números pares es
otro número par .
La suma de un número par e impar es
un número impar .
La suma de dos números impares es
un número par .
Números impares
Un número es impar s i es no es múlt iplo
de dos.
Número impar = 2 · n − 1 . n es cualquier
número entero.
Número impar = 2 · n + 1 . n es cualquier
número entero.
Los números impares terminan en 1, 3 , 5 ,
7 , 9 .
Propiedades de los números impares
La suma de un número par e impar es
un número impar .
La suma de dos números impares es
un número par .
Números consecutivos
Un número consecutivo se obt iene
sumando una unidad al anterior .
Número consecutivo = n + 1 . n es
cualquier número entero.
Son números consecut ivos 2 y 3, 158 y 159.
Números pares consecutivos
Un número par consecutivo se obt iene
sumando dos unidades al anterior número par .
Número par consecutivo = 2n + 2 . n es
cualquier número entero.
Son números pares consecutivos 4 y 6,
158 y 160.
Números impares consecutivos
Un número impar consecutivo se obt iene
sumando dos unidades al anterior número impar.
Número impar consecutivo = (2 · n − 1) +
2 . n es cualquier número entero.
Número impar consecutivo = (2 · n + 1) +
2 . n es cualquier número entero.
Son números impares consecutivos 5 y 7 ,
151 y 153.
Número compuesto
Un número compuesto posee más de dos
divisores .
12, 72, 144.
Los números compuestos , se pueden
expresar como productos de potencias de
números primos, a d icha expresión se le l lama
descomposición de un número en factores
primos.
70 = 2 ·5 · 7
Números primos
Un número primo sólo t iene dos
divisores : él mismo y la unidad .
5 , 13, 59.
El número 1 sólo t iene un divisor , por eso
no lo consideramos primo.
Para averiguar s i un número es primo , se
divideordenadamente por todos los números
primos menores que él . Cuando, s in resul tar
divis iones exactas , l lega a obtenerse un cociente
menor o igual al divisor , se dice que el número
es primo.
Por tanto 179 es primo .
Criba de Eratóstenes
La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hal lar todos los números primos menores que un
número natural dado.
Part imos de una l is ta de números que van de 2 hasta un determinado número.
El iminamos de la l ista los múlt iplos de 2.
Luego tomamos el primer número después del 2 que no fue el iminado (el 3) y el iminamos de la l is ta sus
múlt iplos , y as í sucesivamente.
El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es menor que el número
f inal de la l is ta .
Los números que permanecen en la l is ta son los primos.
Vamos a calcular por es te algori tmo los números primos menores que 40.
1. Escribimos los números, en nuestro caso serán los comprendidos entre 2 y 40.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
2. Eliminamos los múlt iplos de 2.
2 3 5 7 9 11 13 15 17 19
21 23 25 27 29 31 33 35 37 39
3. El s iguiente número es 3, como 32 < 40 el iminamos los múlt iplos de 3.
2 3 5 7 11 13 17 19
23 25 29 31 35 37
4. El s iguiente número es 5, como 52 < 40 el iminamos los múlt iplos de 5.
2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37
5. El s iguiente número es 7, como 72 > 40 el algori tmo termina y los números que nos quedan son primos .
2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37
Tabla de números primos
2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37
41 43 47 53 59
61 67 71 73 79
83 89 97
101 103 107 109 113
127 131 137 139
149 151 157
163 167 173 179
181 191 193 197 199
Números combinatorios
El número se l lama también número combinatorio . Se representa por y se lee "m sobre n".
Ejemplo
Propiedades de los números combinatorios
1.
2.
Los números de este t ipo se l laman complementarios .
3.
Ejemplo
Hallar el número de combinaciones de 75 elementos de orden 72.
Sistema de numeración romana
La numeración romana es el s is tema que usaban los romanos, actualmente se emplea en fechas, capí tulos ,
etc .
El sistema de numeración romana expresa los números por medio de s iete let ras del al fabeto lat ino , que
son: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500 y M = 1.000.
Estos valores quedan mult ipl icados por mil al superponer una raya sobre la correspondiente let ra, y por un
mil lón, s i se colocan dos ra yas.
M = 1 000 000
Ninguna ci fra puede repet i rse más de t res veces seguidas .
III = 3 XXX = 30 CCC = 300
Las let ras V, L y D no pueden dupl icarse, porque el doble de éstas son: X, C y M.
Si se coloca una ci fra a la derecha de otra s iendo su valor menor o ig ual que ésta sus valores se suman.
VII = 7 XX = 20 CLXVIII = 168
Si se coloca una ci fra menor a la izquierda de otra, los valores de ambas se res tan.
IV = 4 IX = 9 XL = 40