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Preparação para a Prova Final de Matemática 2.º Ciclo do Ensino Básico

Olá, Matemática! – 6.º Ano

Pág. 1

Números e operações

Números racionais não negativos

Noção e representação de número racional

Comparação e ordenação de números racionais

Operações com números racionais

Valores aproximados

Percentagens

Síntese

Fração

O quociente exato 𝑎 ∶ 𝑏 de dois números naturais 𝑎 e 𝑏 pode ser representado pela fração 𝑎

𝑏 .

Exemplo:

Não é possível determinar o valor exato do quociente 1

3 pois, neste caso, a divisão

exata de 1 por 3 não é numeral decimal.

1 ∶ 3 =1

3= 0,333 333 333 …

Termos da fração

3 O numerador indica o número de partes consideradas do todo.

5 O denominador indica o número de partes iguais em que o todo está dividido.

Numeral misto

Qualquer fração cujo numerador é maior que o denominador pode escrever-se sob a forma de

numeral misto.

Exemplo:

66

24=

𝟐 × 24 + 𝟏𝟖

𝟐𝟒= 𝟐

𝟏𝟖

𝟐𝟒

Conjunto dos números naturais

IN = {1 , 2 , 3 , 4 , … }

Conjunto dos números inteiros (não negativos)

INo = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , … }

Número fracionário

Um número fracionário é um número que pode ser representado por uma fração mas que não

é um número inteiro.

Conjunto dos números racionais

Se juntares ao conjunto IN0 os números fracionários, obténs o conjunto dos números racionais.



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Frações equivalentes

Frações que representam o mesmo número denominam-se frações equivalentes.

Exemplo:

Considera as imagens ao lado.

Na imagem (1) está sombreada 6

10 da figura.

Na imagem (2) está sombreada 3

5 da figura.

Repara que a quantidade de sombreado nas duas

figuras é igual. Assim, pode-se afirmar que 6

10=

3

5 .

Como estas frações representam o mesmo número dizem-se equivalentes.

Princípio de equivalência de frações

Se se multiplicar, ou dividir, os dois termos de uma fração pelo mesmo número natural, obtém-se

uma fração equivalente à dada.

Exemplo:

Repara também que: se dividirmos ambos os termos de uma fração pelo seu máximo

divisor comum, obtemos uma fração irredutível equivalente (fração cujos termos não

têm divisores comuns diferentes de 1, isto é, são números primos entre si).

m. d. c. (6 , 12) = 6

Comparação e ordenação de frações

Comparação de números racionais com a unidade:

Fração própria (fração cujo numerador é menor

do que o denominador)

<

Unidade (fração cujo numerador

é igual ao

denominador)

< Fração imprópria (fração cujo numerador é

maior que o denominador)

6

12 =

12

24 =

36

72

6

12 =

3

6 =

1

2

6

12 =

1

2

(1)

(2)



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Comparação de números racionais com o mesmo denominador:

Quando dois ou mais números representados por frações têm o mesmo denominador, o

menor deles é representado pela fração que tiver menor numerador.

Comparação de números racionais com o mesmo numerador:

Quando dois ou mais números representados por frações têm o mesmo numerador, o

menor deles é representado pela fração que tiver maior denominador.

Comparação de números racionais com numeradores e denominadores diferentes:

Pode-se utilizar dois processos para esta comparação. Num dos processos recorre-se a

frações equivalentes e no outro ao quociente que a fração representa.

Exemplo: Vamos comparar as frações 5

3 e

3

2 .

Processo 1: escrever frações equivalentes às dadas com o mesmo

denominador. Chama-se a este procedimento "reduzir ao mesmo

denominador" .

Então: 5

3>

3

2 .

Processo 2: dividir o numerador pelo denominador.

5

3= 1, 666 666 …

3

2= 1,5

Então: 5

3>

3

2 .

Adição e subtração de números racionais

Para adicionar frações com o mesmo denominador, mantém-se o denominador e somam-

-se os numeradores.

Para subtrair frações com o mesmo denominador, mantém-se o denominador e

subtraem-se os numeradores.

Para adicionar (ou subtrair) frações com denominadores diferentes, reduzem-se as frações

ao mesmo denominador e de seguida adicionam-se (ou subtraem-se) estas frações.

Exemplos:

6

4+

9

4=

15

4

12

5−

6

5=

6

5

10

9+

7

3=

10

9+

21

9=

31

9

6

7−

2

3=

18

21−

14

21=

4

21

5

3 =

10

6

3

2 =

9

6



Pág. 4

Multiplicação de números racionais (na forma de fração)

Multiplicação de um número inteiro por uma fração:

𝑎 ×𝑏

𝑐=

𝑎 × 𝑏

𝑐 , 𝑐 ≠ 0

Multiplicação de uma fração por uma fração: 𝑎

𝑏×

𝑐

𝑑=

𝑎 × 𝑐

𝑏 × 𝑑 , 𝑏 ≠ 0 , 𝑑 ≠ 0

Exemplos:

2 ×7

3=

2×7

3=

14

3

6

7×

2

3=

6×2

7×3=

12

21

Inverso de um número

O inverso de um número racional não nulo 𝑎

𝑏 é

𝑏

𝑎 (𝑎 ≠ 0 , 𝑏 ≠ 0).

O inverso de um número natural 𝑛 é 1

𝑛 .

Divisão de números racionais

Divisão de um número inteiro por uma fração:

𝑎 ∶𝑏

𝑐= 𝑎 ×

𝑐

𝑏=

𝑎 × 𝑐

𝑏 , 𝑏 ≠ 0 , 𝑐 ≠ 0

Divisão de uma fração por um número inteiro:

𝑎

𝑏∶ 𝑐 =

𝑎

𝑏 ×

1

𝑐=

𝑎

𝑏 × 𝑐 , 𝑏 ≠ 0 , 𝑐 ≠ 0

Divisão de uma fração por uma fração:

𝑎

𝑏∶

𝑐

𝑑=

𝑎

𝑏×

𝑑

𝑐=

𝑎 × 𝑑

𝑏 × 𝑐 , 𝑏 ≠ 0 , 𝑐 ≠ 0, 𝑑 ≠ 0

Exemplos:

2 ∶7

3= 2 ×

3

7=

2×3

7=

6

7

5

6∶ 3 =

5

6×

1

3=

5×1

6×3=

5

18

6

7∶

2

3=

6

7×

3

2=

6×3

7×2=

18

14

Potência de base racional e expoente natural

Para calcular uma potência de um número racional representado na forma de fração elevam-se

os termos da fração ao expoente da potência.

(𝑎

𝑏)

𝑛

=𝑎𝑛

𝑏𝑛 , 𝑛 ∈ IN , 𝑏 ≠ 0

Exemplo:

(7

3)

2=

72

32



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Valores aproximados

Aproximação por defeito e por excesso

Exemplo:

Sabes que 𝜋 = 3,141 592 65 …

Para obter um valor aproximado de 𝜋 podemos proceder de várias formas:

𝜋 ≈ 3,2 (aproximação às décimas por excesso)

𝜋 ≈ 3,1 (aproximação às décimas por defeito)

𝜋 ≈ 3,15 (aproximação às centésimas por excesso)

𝜋 ≈ 3,14 (aproximação às centésimas por defeito)

Método de arredondamento

Se o primeiro algarismo a eliminar for igual ou superior a 5 , aproxima-se por excesso,

adicionando-se uma unidade ao algarismo da última classe a manter.

Exemplo: 0,367 ≈ 0,37 (arredondamento às centésimas)

Se o primeiro algarismo a eliminar for inferior a 5 , aproxima-se por defeito, mantendo-

se inalterado o algarismo da última classe a manter.

Exemplo: 0,3649 ≈ 0,36 (arredondamento às centésimas)

Estimativa

Exemplo:

"Se tiveres um saldo no teu telemóvel de 2,13 € e precisares de enviar algumas

mensagens que custam 0,08 € cada, quantas mensagens podes enviar?"

Proposta de resolução por estimativa:

Cada mensagem custa aproximadamente 0,10 €.

Vamos supor que o saldo é de 2,10 €.

2,10 : 0,10 = 21

Assim se conclui que se pode enviar aproximadamente 21 mensagens (repara que esta

estimativa é por defeito, uma vez que se aproximou o valor do saldo por defeito e o

valor de cada mensagem por excesso).

Percentagem

A percentagem representa uma razão cujo consequente é 100.

Repara que: 12% =12

100= 0,12

e que para determinar "5% de 1200 " efetuas o seguinte cálculo: 0,05 × 1200 = 60 .

Regras operatórias

Para o cálculo do valor de uma expressão numérica, tens de respeitar algumas regras,

efetuando os cálculos pela seguinte ordem:

1.º o valor da expressão que se encontra dentro de parêntesis;

2.º potências;

3.º produtos e quocientes pela ordem em que aparecem;

4.º somas e diferenças pela ordem em que aparecem.



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Nas próximas páginas encontrarás questões de provas finais de Matemática do 2.º

Ciclo seguidas de novas propostas semelhantes.

Não te esqueças que podes, e deves, consultar a síntese inicial sempre que tiveres

alguma dúvida.

Bom trabalho!

Prova final de Matemática (2013)

1. Na figura ao lado está representado um tampo de uma mesa composto

por retângulos iguais, uns pintados e outros por pintar.

1.1. Quais dos numerais representam a parte por pintar do tampo da

mesa?

Assinala com X as opções corretas.

4 4

10 40%

2

5

1.2. Quais dos numerais representam a parte pintada do tampo da mesa?

Assinala com X as opções corretas.

60% 60

100

6

10 0,6

2. A avó da Joana deu-lhe três chocolates pelo Natal. Desses chocolates a Joana comeu um durante as

férias de Natal e metade de outro chocolate até agora.

Assinala com X as opções que representam a parte do chocolate que a Joana comeu.

1

2 1

1

2

3

2 1




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3. Considera os seguintes números racionais: 1

7 ;

2

7 ;

2

6 ;

7

6 ;

8

5 .

3.1. Escreve-os por ordem crescente.

3.2. Indica uma fração de denominador 5 que seja superior a 7

6 e inferior a

8

5 .



4. Na reta numérica representada a seguir, está marcada uma sequência de pontos em que a distância

entre dois pontos consecutivos é sempre a mesma.

Nesta reta, estão assinalados os números 0 , 1

2 e 2 e os pontos A , B , C e D .

Indica qual o número que corresponde a cada um dos pontos A , B , C e D .



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5. Determina o número em falta de forma a obteres igualdades.

5.1. 3

5 × ? =

21

10 5.2.

2

3 ÷ ? =

8

9

5.3. ? × 4

5= 3 5.4. ? ÷

5

6= 3






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6. A Joana estuda todos os dias 2 h 30 min. Ontem, ela dedicou 2

5 desse tempo a estudar História e

Geografia de Portugal, 1

6 nos trabalhos de casa de Português, 30 minutos a fazer exercícios de

Matemática e o restante tempo esteve a estudar Inglês.

6.1. Escreve a fração que representa o tempo dedicado a Matemática.

6.2. Determina quanto tempo a Joana dedicou a cada uma das disciplinas.

7. O Carlos tinha ao todo 180 cromos. Deu 5

12 desses cromos à Maria e deu a terça do restante

cromos ao Rui.

Com quantos cromos ficou o Carlos? A que fração dos cromos corresponde esse número?

8. Num jogo de futebol estavam 1230 pessoas a assistir. Dois terços dessas pessoas eram homens, 1

5

eram mulheres e os restantes eram crianças.

Quantos homens, mulheres e crianças estavam a assistir ao jogo?





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9. Determina:

9.1. 25% de 30 ;

9.2. 50% de 120 ;

9.3. 75% de 500 ;

9.4. 40% de 40 ;

9.5. 35% de 70 .



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10. O Paulo comprou um cachecol e um casaco na época de saldos.

Antes da época de saldos, o cachecol custava 12 € e o casaco 35 €. Sabendo que foi feito um

desconto de 15% no cachecol e 4,90 € no casaco.

10.1. Quanto pagou o Paulo pela compra?

10.2. Determina a percentagem de desconto efetuado no casaco.

11. O João recebeu no seu aniversário 45 €. Gastou 1

3 na compra de um livro e 26% na compra de um

DVD.

11.1. Quanto custou o livro?

11.2. Quanto custou o DVD?

11.3. Quanto sobrou?




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12. Considera as seguintes rodas da sorte e as expressões numéricas nelas representadas. Quando se

roda as setas obtém-se uma expressão numérica e calcula-se o valor que ela representa.

12.1. Sabendo que os irmãos Miguel e a Sofia fizeram rodar as setas, respetivamente, da roda da

sorte 1 e da roda da sorte 2 e que ambos obtiveram expressões numéricas equivalentes, qual o

número que saiu a cada um dos irmãos?

12.2. A Sofia rodou mais uma vez a roda da sorte 2 e obteve um número que é o cubo do primeiro

número obtido. Qual foi este número?

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