numeros racionais ppt
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NÚMEROS RACIONAIS
3
1
2
1
5
23
7
1
3
4
5
125
11
6
2,34
7
52
Teresa NascimentoZulmira Castro Lobo
NÚMEROS FRACCIONÁRIOSA Sara quis fazer um painel que representasse as quatro estações do ano.
Começou por dividi-lo em duas partes geometricamente iguais.
Cada uma destas partes do painel é uma metade do painel.
E representa-se por: 2
1
2
1
2
1
A seguir, a Sara dividiu, por sua vez, cada uma das metades do painel também em duas partes geometricamente iguais.
Obteve o painel dividido em quatro partes geometricamente iguais.
Cada uma destas partes é a quarta parte do painel.
Cada uma destas partes é um quarto do painel.
Ou …
E representa-se por .4
1
4
14
1
4
1
4
1
Os números representados por e são números
fraccionários e a esta representação dá-se o nome de …4
12
1
FRACÇÃO
A parte do painel que representa o Inverno e o Verão corresponde a metade do painel e é, por isso, representada por:
1 : 2
ou 2
1
2
1É o quociente exacto da divisão de 1 por 2.
Como,1 : 2 = 0,5 logo … 2
1 = 0,5 0,5 é, também, o quociente exacto da divisão de 1 por 2.
Assim, o número fraccionário um meio pode representar-se por:
2
1(fracção)
0,5 (numeral decimal)
ou
Pensemos no número fraccionário um quarto.
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1 = 1 : 4 e
1 : 4 = 0,25
Logo, 4
1 = 0,25
Portanto, este número, um quarto, pode representar-se por:
4
1(fracção)
0,25 (numeral decimal)
ou
2
1É um número fraccionário
2
1A esta representação dá-se o nome de fracção.
2
1 Numerador
DenominadorTermos da fracção
Traço de fracção
2
1 Numerador
DenominadorTermos da fracção
2 é o denominador, representa o número de partes geometricamente iguais em que se considera dividida a unidade.
2
1
1 é o numerador, representa o número de partes que se consideram.
Leitura de fracções
2
1 Lê-se um meio
3
1
Lê-se três décimas
4
3 Lê-se três quartos
5
12 Lê-se doze quintos
6
5 Lê-se cinco sextos
7
2 Lê-se dois sétimos
8
7 Lê-se sete oitavos
9
21 Lê-se vinte e um nonos
10
3
Lê-se um terço
Lê-se quatro onze avos11
4
Observa a figura que vai ser dividida em três partes geometricamente iguais.
3
1
A parte pintada de vermelho corresponde a …
3
1
3
1 = 1 : 3
1 : 3 = 0, 3333…
O quociente que vai aparecendo em cada momento
0,3 ; 0,33 ; 0, 333 ; 0,3333 e assim sucessivamente
É uma aproximação, por defeito, do quociente da divisão de 1 por 3.
Como 0, 3333… não é um quociente exacto, não podemos representar o número um terço por um numeral decimal.
3
1Por isso, representamo-lo por:
Estes novos números, os NÚMEROS FRACCIONÁRIOS, vieram tornar sempre possível a operação divisão.
3
1 Representa um número menor, igual ou maior do que a unidade (1)?
3
1< 1 Porque o numerador é menor do que o
denominador.
A esta fracção dá-se o nome de fracção própria.
Fracções que representam números inteiros Observa os três rectângulos geometricamente iguais, divididos em partes geometricamente iguais.
Que fracção representa a parte pintada de amarelo?
2
2
8
8
4
4
2
2= = =1
4
41
8
8 1
2
2
Cada uma das fracções:
4
4
8
8
Representam a unidade (1).
O numerador e o denominador de cada uma delas são representados pelo mesmo número.
2 : 2 = 1 8 : 8 = 14 : 4 = 1
Observa a figura.
3
7> 1
A esta fracção dá-se o nome de fracção imprópria.
Que fracção representa a parte da figura pintada a amarelo?
3
7
Porque o numerador é maior do que o denominador.
Representa um número menor, igual ou maior do que a unidade (1)?3
7
Observa as figuras representadas. Diz que fracção representa a parte pintada, sabendo que cada uma delas está dividida em partes geometricamente iguais.
3
32
4
2
6
4
16
3
3
2
4
2
6
4
16
=
=
=
= 1
2
3
4
Estas fracções representam números inteiros.
Uma fracção representa um número inteiro se o numerador for múltiplo do denominador.
És capaz de definir uma regra que permita verificar se uma fracção representa um número inteiro?
Observa as figuras representadas. Diz que fracção representa a parte pintada, sabendo que cada uma delas está dividida em partes geometricamente iguais.
4
16
5
9
2
4
16
5
9
2
Será que estas fracções representam números inteiros?
Não!
Porque …
Representam números … FRACCIONÁRIOS.
Nestas fracções o numerador NÃO É múltiplo do denominador.
O que é então um número racional?
Qualquer número que se possa representar por uma fracção ou por uma razão é um número racional.
3
34
12
6
NOTA: Razão é o mesmo que quociente.
Assim, qualquer número inteiro ou fraccionário é um número racional.
0 1 2 3
Observa a recta numérica.
Coloca na recta os seguintes números racionais.
5
25
15
5
8
5
5
5
4
5
2
5
15
5
8
5
5
5
4
5
11
5
11
Agora já podemos preencher a tabela de dupla entrada da divisão utilizando números inteiros.
: 0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
- 000
1
-
-
-
-
-
2
1
0
3
1
3
24
1
5
1
2
3
5
2
4
2
3
4
5
3
4
3
3
52
5
5
4
4
5
1
2
5 1
0
1
4
3
2 1
Fracções equivalentesA mãe da Sara fez duas deliciosas tortas de chocolate (que são iguais).
À sobremesa, dividiu uma delas em quatro fatias iguais e a outra em oito, tal como mostra a figura.
Torta A
Torta B
A Sara comeu uma fatia da torta A e o pai comeu duas fatias da torta B.
Qual dos dois comeu maior porção de torta?
Torta A
Torta B
Que fracção da torta A comeu a Sara?4
1
Que fracção da torta B comeu o pai da Sara?8
2
Então qual dos dois comeu maior quantidade?
Comeram a mesma quantidade.
Vamos ver se é verdade...
Torta A
Torta B
4
1
8
2
Podemos concluir que:
4
1
8
2=
4
1
8
2=
Estas fracções representam a mesma porção…
Dizem-se, por isso, fracções equivalentes.
As fracções que representam o mesmo número chamam-se fracções equivalentes.
Princípio de equivalência de fracções
12
4
6
2
3
1
Vamos observar as figuras:Que fracção representa a parte pintada, de cada uma das figuras?
Podemos concluir que:
12
43
1
6
2= =
12
43
1
6
2= =
Repara que …
× 2 × 2
× 2 × 2
12
43
1
6
2= =
: 2 : 2
: 2 : 2
Se multiplicarmos ou dividirmos os dois termos de uma fracção pelo mesmo número, diferente de zero, obteremos uma fracção equivalente à fracção dada.
Princípio de equivalência de fracções:
12
43
1
6
2= =
: 2 : 2
: 2 : 2
Simplificação de fracções
Utilizando o Princípio de equivalência de fracções
Podemos obter uma fracção equivalente
a
12
4
12
4, mas de
termos menores. Dizemos, por isso, que simplificámos a
fracção .
3
1
É uma fracção irredutível.
Simplificação de fracções
56
2814
7
28
14= =
: 2 : 2
= 21
: 2 : 2 : 7
: 7
2
1
É uma fracção irredutível.
Ou…
56
282
1=
: 28
: 28
Porque:
56
282
1=
: 28
: 28O máximo divisor comum entre 28 e 56 é o maior número que é divisor comum destes números.
Porque:
D28 = { 1, , 28 }2, ,144, 7
D56 = { 1, ,56}2, ,144, 7, , 288
m.d.c.(28,56) = 28
ou
56
282
1=
: 28
: 28
Porque:
28 214 27 71
56 228 214 2
7 71
28 = 2 O máximo divisor comum entre 28 e 56, decompostos em factores primos é igual ao produto dos factores primos comuns de menor expoente.
2 × 7 56 = 2
3 × 7
m.d.c.(28,56) = 22 × 7
= 28
Comparação e ordenação de números racionaisFracções com o mesmo denominadorA Sara e a Joana estão a comer dois chocolates.
Sara JoanaA Sara já comeu A Joana já comeu
5
3
5
1
Qual é a mais gulosa? É a Sara, porque5
3>5
1
De duas ou mais fracções com o mesmo denominador, representa o maior número a que tiver maior numerador.
Comparação e ordenação de números racionaisFracções com o mesmo numeradorA Sara e a Joana construíram 2 círculos em cartolina geometricamente iguais.
Sara
Joana
A Sara pintou de azul
A Joana pintou de amarelo
4
26
2
Qual das duas amigas pintou mais? Foi a Sara, porque4
2> 62
De duas ou mais fracções com o mesmo numerador, representa o maior número a que tiver menor denominador.
do círculo.
do círculo.
Comparação e ordenação de números racionaisFracções denominador e numerador diferentes
A Sara e o João comeram o que falta dos dois chocolates.
Sara João
Qual dos dois amigos comeu maior quantidade de chocolate?
A Sara comeu8
5do chocolate.
O João comeu3
2do chocolate.
A Sara comeu8
5do chocolate e o João comeu
3
2do chocolate.
8
53
2 M8: 0, 8, 16, 24, 32, …
M3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, …
Então, vamos escrever fracções equivalentes a
8
5e3
2com denominador 24.
(3) (8)
24
1524
16
Logo <85
3
2
porque 2415
< 2416
m.m.c.(8,3) = 24Então quem comeu mais chocolate?
Foi o João!
Fracções decimais
10
4 100
7
1000
3
As fracções cujo denominador é uma potência de 10 são fracções decimais.
Fracções decimais
10
4
100
7
1000
3
=
=
=
0,4
0,003
0,07
Adição e subtracção de números racionais
Observa as figuras:
5
15
4
5
3+ =
Adição e subtracção de números racionais
Observa as figuras:
5
1
5
45
3- =
Adição e subtracção de números racionais
Para adicionar ou subtrair dois números representados por fracções com o mesmo denominador, adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e o denominador mantém-se.
5
15
4
5
3+ = 5
1
5
4
5
3- =
Adição e subtracção de números racionais
6
5=
4
3+
m.m.c.(6,4) =M6: 0, 6, 12, 18, 24, …
M4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, …(2) (3)
=12
10+12
9=
=12
19
12
Então, vamos escrever fracções equivalentes a
6
5 e4
3com denominador 12.
A Maria comeu metade de um chocolate.
O Paulo comeu a quarta parte de um chocolate igual ao da Maria .
4
1
Logo o Paulo comeu metade de metade do chocolate que a Maria comeu .
2
12
1Ou seja, o Paulo comeu de
2
1
Multiplicação de números racionais
2
12
1de É o mesmo que
Como se multiplicaram estes dois números?
2
1
2
1
4
1
Multiplicámos os numeradores e multiplicámos os denominadores.Então:
Para multiplicar dois números representados por fracções, multiplicam-se os numeradores um pelo outro e multiplicam-se os denominadores, também, um pelo outro.
2
5
7
4 27
54
Vamos exemplificar:
14
20
7
10Fracção irredutível
7
98
7
9
1
8 71
987
72Fracção irredutível
Continuando a exemplificar…
3
56,0
3
5
10
6 310
56
30
301
2
7
7
4
2
4 2
Generalizando…
d
b
c
adc
ba
Potência de um número racional
47 7777 4949 2401
3
2
3
2
3
2
3
3
2
27
8
333
222
3
3
2
3
2 É a base
3 É o expoente
Inverso de um número racional
Dado um número racional diferente de zero, é sempre possível encontrar outro número que multiplicado pelo primeiro dê de produto a unidade (1).
8
18 1
6
5
5
61
O inverso de 8 é8
1
O inverso de5
6
6
5é
e vice-versa.
e vice-versa.
Generalizando…
a
b
b
a1
Divisão de números racionais
A operação divisão é a operação inversa da multiplicação.Exemplo:
8 × 7 = 56 56 : 8 = 7 2
7
7
21
7
2:1
Então …
7
2:6
5:2
7
6
5
2
7
1
2
7
7
2
2
7
6
5
12
35É o inverso de
7
2
Para dividir dois números racionais, diferentes de zero, multiplica-se o dividendo pelo inverso do divisor
7
2:6
5 2
7
6
5
12
35
Generalizando…
d
b
c
a:
b
d
c
a