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Nmeros reais e inequaes

Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 1

Nmeros reais e inequaes

Proposta de sequncia de tarefas para o 9. ano - 3. ciclo Outubro de 2011

Autores: Professores das turmas piloto do 9 ano de escolaridade

Ano Lectivo 2010 / 2011

Nmeros reais e inequaes

Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 2

ndice

Introduo Proposta de planificao Tarefas:

Tarefa 1 Os nmeros irracionais

Tarefa 2 Os nmeros reais (IR)

Visionamento do filme sobre o PI

Tarefa 3 Nmeros reais notveis - O nmero (pi) e o nmero

Tarefa 4 As operaes no conjunto dos reais

Tarefa 5 Os nmeros reais como medidas de grandezas.

Tarefa 6 Relao de ordem ( > e < ) em IR

Tarefa 7 Intervalos de nmeros reais

Tarefa 8 Inequaes

Tarefa 9 Problemas e inequaes

-

Nmeros reais e inequaes

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Introduo

Tpicos:

Nmeros reais

Noo de nmero real e recta real

Relaes < e > em IR

Intervalos

Inequaes

Inequaes do 1. grau a uma incgnita

A estreita ligao entre as propriedades das relaes maior e menor (> e

Nmeros reais e inequaes

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tarefas. Ao longo de toda a unidade os alunos devem ter oportunidade de interpretar e

representar situaes em contextos diversos, usando linguagem e procedimentos

algbricos; resolver problemas, comunicar, raciocinar e modelar situaes recorrendo a

conceitos e procedimentos algbricos; justificar os raciocnios que elaboram e as

concluses a que chegam.

Esta cadeia de tarefas inicia com algumas exploraes sobre o conjunto dos nmeros

racionais (Q) e a anlise de diferentes tipos de dzimas para introduzir os nmeros

irracionais e desenvolver a noo de nmero real. A tarefa 2, aborda o conjunto dos

nmeros reais, a sua marcao na recta real e a sua relao de ordem. Na tarefa 3 so

estudados alguns nmeros reais notveis. Na tarefa 4 generalizam-se as propriedades das

operaes estudadas em Q ao conjunto dos nmeros reais e aplicam-se as propriedades

das operaes em IR na simplificao de expresses numricas. Na tarefa 5 prope-se a

resoluo de problemas utilizando nmeros reais como medida de grandezas e na tarefa 6

aborda-se a relao de ordem em IR.

O trabalho com inequaes conduz, naturalmente, conjuno e disjuno de condies

em conjuntos infinitos alargando aos nmeros reais as operaes j estudadas e

proporcionando uma maior riqueza de significados aos objectos e procedimentos

algbricos.

A tarefa 7 aborda a representao e interpretao grfica e simblica de intervalos de

nmeros reais, bem como a interseco e reunio de intervalos. A tarefa 8 inicia o estudo

das Inequaes, sua resoluo e princpios de equivalncia. No tarefa 9 apresentamos um

conjunto diversificados de exerccios e problemas. O professor deve recorrer a estes ou

outros problemas, nomeadamente dos manuais em uso, para complementar o trabalho de

consolidao deste tema.

Nmeros reais e inequaes

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Proposta de planificao: Nmeros reais e inequaes

Aulas previstas:

9 Tpico Objectivos especficos Notas Tarefas Recursos

5

Nmeros reais

Noo de nmero real e recta real

Relaes < e > em R

Intervalos

Identificar um nmero real (racional e irracional) como um nmero cuja representao decimal uma dzima finita ou infinita.

Representar nmeros reais na recta real, com aproximaes apropriadas aos contextos.

Reconhecer que as propriedades das operaes em Q se mantm em R e aplic-las na simplificao de expresses.

Comparar e ordenar nmeros reais.

Compreender e utilizar a transitividade das relaes < e > em R.

Determinar valores aproximados por defeito (excesso) da soma e do produto de nmeros reais, conhecidos valores aproximados por defeito (excesso) das parcelas e dos factores.

Representar e interpretar intervalos de nmeros reais, bem como a sua interseco e reunio, simblica e graficamente.

Resolver problemas e investigar regularidades envolvendo nmeros racionais e reais.

Verificar que baba .. (a e b no

negativos) eb

a

b

a (a no

negativo e b positivo). Os alunos com melhor desempenho matemtico podem demonstrar estas relaes.

Os alunos podem tomar contacto

com a irracionalidade da 2 numa

abordagem histrica ao problema dos incomensurveis entre os pitagricos. Os alunos com melhor desempenho matemtico podem ter um primeiro contacto com a demonstrao, por reduo ao absurdo, da irracionalidade da

2 . O caso de justifica uma

referncia especial.

Representar na recta real

nmeros irracionais como 2 .

Propor a simplificao de

expresses como 232 .

Tarefa 1 Os nmeros irracionais Tarefa 2 Os nmeros reais (IR) Visionamento do filme sobre o PI Tarefa 3 - Nmeros reais notveis - O nmero (pi) e o

nmero Tarefa 4 - As operaes no conjunto dos reais Tarefa 5 - Os nmeros reais como medidas de grandezas. Tarefa 6 - Relao de ordem ( > e < ) em IR Tarefa 7 - Intervalos de nmeros reais

Calc

ula

do

ra

Ma

teria

l de

de

se

nho

e m

ed

ida

Nmeros reais e inequaes

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4

Inequaes

Inequaes do 1. grau a uma incgnita

Compreender as noes de inequao e de soluo de uma inequao.

Resolver inequaes do 1. grau utilizando as regras de resoluo.

Resolver e formular problemas envolvendo inequaes.

Propor a resoluo de inequaes simples antes da utilizao de regras.

Propor situaes em que se use a transitividade das relaes de ordem em R assim como a equivalncia entre aa.

O conjunto-soluo de uma inequao deve ser representado graficamente e na forma de intervalo de nmeros reais.

Salientar a necessidade de escolher solues de uma inequao tendo em conta o contexto da situao.

Tarefa 8 - Inequaes Tarefa 9 Problemas e inequaes

Calc

ula

do

ra

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Tarefa 1 Os nmeros irracionais

Com esta tarefa pretende-se que os alunos trabalhem com dzimas infinitas peridicas e no peridicas e assim compreendam o que um nmero irracional.

Tema matemtico: Nmeros e operaes

Nvel de ensino: 3 ciclo

Tpico matemtico: Nmeros reais

Subtpicos matemticos:

Noo de nmero real e recta real

Capacidades transversais:

Raciocnio matemtico: argumentao Comunicao matemtica: interpretao, representao, expresso e discusso. Resoluo de problemas: compreenso do problema; concepo, aplicao e justificao de estratgias.

Conhecimentos prvios dos alunos:

Compreender e usar um nmero racional representado por diversas formas; Representar nmeros racionais por dzimas finitas e infinitas peridicas.

Aprendizagens visadas:

Identificar um nmero real (racional e irracional) como um nmero cuja representao decimal uma dzima finita ou infinita.

Cadeia: 1 tarefa de Nmeros reais e inequaes

Recursos: calculadora.

Notas para o professor:

Parte-se de algumas questes de reviso do conjunto de nmeros racionais (Q) para que os

alunos possam compreender, por comparao, o conceito de nmero irracional.

O professor deve aproveitar para recordar os outros conjuntos de nmeros j estudados, o

conjunto dos nmeros naturais (IN) e o conjunto de nmeros inteiros (Z).

Na sntese final deve ficar claro o tipo de dzima que corresponde a um nmero racional e o

tipo de dzima que corresponde a um nmero irracional.

O item 4 tem como objectivo mostrar que a calculadora no permite decidir da irracionalidade

de um nmero. importante mostrar aos alunos casos de dzimas infinitas peridicas cujo

perodo no se pode determinar directamente a partir da calculadora para que compreendam a

necessidade de clarificar o conceito de nmero irracional.

Palavras chave: nmeros racionais; nmeros irracionais, dizima finita; dizima infinita peridica

e no peridica.

Nmeros reais e inequaes

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Tarefa 1 Os nmeros irracionais 1. Observa a sequinte sequncia de quadrados. Consider