1. Nmeros Reales. 2. Tabla de contenido Historia Nmeros naturales Nmeros enteros Nmeros racionales Nmeros decimales peridicos Nmeros irracionales 3. En matemticas, los nmeros reales (designados por ) incluyen tanto a los numerosracionales (positivos, negativos y el cero) como a los nmeros irracionales; Conlos nmeros reales podemos realizar la mayora de las operaciones. 4. Historia.El concepto de nmeros reales surgi a partir de fracciones que los egipciosdesarrollaron, que se acab de desarrollar con la ayuda de los griegos, quienes fueronellos los que encontraron o descubrieron mejor dicho los nmeros irracionales.Los nmeros reales pueden ser expresados de distintas formas como lo pueden ser conenteres con (2-25-48-5487) y los decimales como (1.258-5.26-0.21), Otra clasificacin de losnmeros reales son los irracionales. 5. Nmeros naturalesLos nmeros naturales son los primeros que utilizo el hombre. Aparecieron con lanecesidad de contar rebaos, las personas de una tribu, etc. Indican el nmero deelementos de un conjunto se define como el nmero de elementos de un conjunto, esdecir su cardinal.As, cardinal de un conjunto se define como el nmero de elementos que componendicho conjunto. Si A es el conjunto de las vocales.A= {a, e, i, o, u}Dos conjuntos se dicen equipolentes, si entre ellos se pueden establecer unaaplicacin biyectiva. Por tanto, los dos conjuntos tienen el mismo nmero deelementos, el mismo cardinal. La relacin de equipotencia de conjuntos se representancon el signo ~. Escribir A~B quiere decir que los conjuntos A y B son equipotentes:A~B: AB; es biyectivaLa equipotencia de vectores es una relacin de equivalencia que cumple laspropiedades reflexiva, simtrica y transitiva. 6. Propiedad reflexiva: todo conjunto es equivalente consigo mismo, A~A. es evidente,pues la aplicacin de la identidad que, a cada elemento le hace corresponder el mismoes una biyeccion. Propiedad simtrica: si un conjunto A es equipotente con otro, entonces el otro esequipotente con el primero. A~BB~A, A~B:AB: es biyeccion, luego -1:B-A talque -1 es biyeccion, luego B~A: Propiedad transitiva: dice que si A, B y C son tres conjuntos tales que A~B y B~C,entonces se verifica que A~C es evidente, pues la composicin de las aplicacionesbiyectivas es una aplicacin biyectiva. 7. Toda relacin de equivalencia en un conjunto estable una clasificacin donde los elementosson las clases de equivalencia. Estas clases de equivalencia son los nmeros naturales. A laclase formada por el conjunto vaco se le llama cero y se le asigna el numero 0; a la claseformada por los conjuntos unitarios se llaman nmero uno y se representa por el numero 1; laclase formada por el conjunto de dos nmeros se llama dos y se representa por el nmero 2, yas sucesivamente. Por tanto, el conjunto de los nmeros naturales que se designan por N, esel conjunto de las clases de equivalencias N= [0, 1, 2, 3,4].Operaciones con nmeros naturalesAdicin o suma de los nmeros naturalesSean A y B de dos conjuntos tales que card (A)=a y card (B)=b y adems AB=. Se define lasuma de a y b y se representa por a+b, como el cardinal del conjunto AUB:A+b=card (AUB), AB= Donde a y b son los sumadores, y el resultado se denomina suma. 8. Propiedades de la suma: son las siguientesPropiedad conmutativa: si m y n N, entonces m+n=n+mPropiedad asociativa: si m,n y p son nmeros naturales verifica que:m+(n+p)=(m+n)+pSustraccin o resta de nmeros naturalesPara cada dos nmeros naturales m y n, se llama diferencia de m y n otro nmeronatural p que verifica que m=n+p; myp se llama, respectivamente, minuendo ysustraendo y p es la resta o diferencia.La resta no es operacin interna en el conjunto de los nmeros naturales ya que solose puede realizar cuando m>n. 9-3=6, pues 9=6+3. Esta operacin se puede realizar, pues9>3. Sin embargo 6-8=no se puede realizar en N.La resta no es asociativa ni conmutativa. 9. Multiplicacin de los nmeros naturalesDodos dos nmeros naturales llamados multiplicando y multiplicados (ambos denominadosfactores), se llama multiplicacin al resultado de sumar al multiplicando tantas veces comoindica el multiplicador. A este resultado se llama producto. La multiplicacin se indica con elsigno . X. Si m y n son dos nmeros naturales: m.n=m+m+m+ (n) +m7.4=7+7+7+7=28La multiplicacin es operacin interna en el conjunto de los nmeros naturales. Siempre quese multiplican dos nmeros naturales se obtiene otro nmero natural. Tambin es asociativa,conmutativa y posee elemento neutro para N* conjunto de los nmeros naturales menos elcero. N*=N-{0}. Este elemento neutro es el 1, llamado elemento unidad.Divisin de nmeros naturalesDivisin en la operacin matemtica por la que se conoce el nmero de veces que un nmerocontiene a otro. En la divisin de nmeros naturales se distingue dos casos: la divisin exactay la divisin inexactaDivisin inexacta: la divisin inexacta es aquella que el resultado o residuo diferente de 0 (de 0)Divisin exacta: la divisin exacta es aquella que el resultado o residi es 0. 10. Nmeros EnterosEn la prctica existen situaciones que no se pueden explicar utilizando losnmeros naturales. Si se dice que una temperatura es de 4 C no quedacompletamente determinada, pues pueden ser por encima o por debajo de 0. Losnmeros rojos o saldo devisitario de la cuenta corriente, no se expresaclaramente con los nmeros naturales, situaciones como las anteriores crean lanecesidad de ampliar el campo numrico. El conjunto del nmero entero serepresenta por la letra Z y est formado por los nmeros naturales y los nmerosnegativos:Z= [,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4,5] 11. Nmeros racionales.Los nmeros enteros si bien amplia el campo numrico de los nmeros naturales, nobastan para cubrir todas la necesidades que se presentan en la realidad. Al medir nosiempre se tiene un nmero exacto de veces la unidad. El conjunto de los nmerosenteros, los elementos no tienen inverso respecto de la multiplicacin, etc. Estosnmeros, ellos se concibe con los nmeros racionales, cuyo conjunto se representa porQ.Sea Z*=Z-[0]. En el conjunto producto Z. Z* se establece una relacin R. Estarelacin as definida es de equivalencia, es decir, cumple las propiedades reflexiva,simtrica y transitiva: Propiedad reflexiva Propiedad simtrica Propiedad transitiva 12. Nmeros irracionales.Los nmeros irracionales tienen como definicin que son nmeros que poseen infinitascifras decimales no peridicas, que por lo tanto no pueden ser expresados comofracciones.Estos nmeros pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de uncuadrado segn el Teorema de Pitgoras. El resultado es la 2Propiedades: Propiedad asociativa Propiedad cerrada Elemento expuestoClasificacin de los nmeros irracionales Numero algebraico Numero trascendenteEl nmero ms famoso es cuyo resultado es 3.14159265359.. Y aun se siguendescubriendo mas decimales. 13. Fin