numeros y mas

8/17/2019 Numeros y mas

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TOMO I NÚMEROS

3

Mauricio Andrés Chiong C.Ingeniero Civil Industrial (e)

Pontificia Universidad Católica de Chile

CEO Grupo Educativo Sinapsis

Contenidos y ejercicios de preparación PSU

TOMO INúmeros




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4

Distribución gratuita, prohibida su venta.

© Todos los derechos reservados.

COORDINACIÓN DE CONTENIDOS

Y EDICIÓN GENERAL

Nicolás Pinto P.

Lic. en Ciencias. Mención Matemáticas.

Universidad de Chile.

Ariel Reyes F.

Lic. en Ciencias Exactas.

Universidad de Chile.

DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN

Nicole Castro B.

Lic. en Artes Visuales. Diseñadora (e)

Pontificia Universidad Católica de Chile.




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TOMO I NÚMEROS

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PREFACIOEste libro fue confeccionado por Mauricio Chiong Ingeniero Civil Industrial(c) de la

Pontificia Universidad Católica de Chile, fundador de la empresa Sacateun y Direc-

tor del Preuniversitario Gauss.

En éste se plasma el conocimiento adquirido en arduos años de estudio, desde mi

formación escolar en el Instituto Nacional, donde tengo gratos recuerdos de grandes

profesores y maestros como Luis Arancibia y Belfor Aguayo, que hicieron que la mo-tivación por la matemática se tradujera en el amor por enseñarla, hasta mi forma-

ción profesional, donde la Universidad traspasó su espíritu de excelencia académica

y de compromiso social.

Espero que este libro sirva de apoyo para lograr un alto puntaje, entrar a la carrera

que quieren, y cumplir sus sueños

Santiago,

Mauricio Chiong




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ÍNDICE GENERAL

Prefacio 4Agradecimientos 51. Aritmética Básica 8 ¡Bienvenido a PreuGauss! 92. Conjuntos Numéricos 11 Conjuntos numéricos y su relación 12 Números Naturales y Enteros 14 Ejercicios Propuestos 18 Ejercicios 21 Números Racionales 31 Números Decimales 33 Aproximación de números racionales 37 Números Irracionales 38 Números Reales 40 Sucesiones (opcional) 40 Ejercicios Propuestos 41 Ejercicios 42

3. Productos Notables 55 Productos Notables 56

Factorización 57Factorización de trinomios cuadráticos 60

Ejercicios Propuestos 62 Ejercicios 63

4. Potencias y Raíces 74

Potencias 75 Raíces 75 Orden 76

Racionalización 77 Ejercicios Propuestos 78 Ejercicios 79




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TOMO I NÚMEROS

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5. Números Complejos 90 Potencias de la unidad imaginaria 91 Igualdad de números complejos 93 Conjugado y módulo de un número complejo 94 Notación 94 Plano complejo 95 Geometría en el plano complejo 96

Ejercicios Propuestos 98 Ejercicios 99

A. Razones y Proporciones 109 Razones 110 Proporciones 110

Proporción Áurea 113 Ejercicios Propuestos 114 Ejercicios 116

B. Porcentajes e Interés 127 Porcentajes 128 Operatoria con porcentajes 129

Interés 130 Ejercicios propuestos 132 Ejercicios 134

C. Sumatorias 145 Definición 146

Propiedades de las sumatorias 146

Ejercicios 147

Nomenclatura 148Hoja de Respuestas 150




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ARITMÉTICA BÁSICACAPÍTULO 1




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TOMO I NÚMEROS

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¡BIENVENIDO A PREUGAUSS!

Algunos tips para poder entender y

plantear mejor, son lo que te presen-

tamos a continuación

El doble de un número, significa x

donde x es una variable.

Un tercio de un número, significa

donde x es una variable. zapatos por $., es lo mismo

que $. cada zapato.

El exceso de sobre , es −

disminuido en , es lo mismo que el

exceso de sobre o bien −

La edad de Juan aumentada en , lla-

mando J a la edad de Juan será J + .

Antecesor de un número, significa

n − donde n es el número.

Sucesor de un número, significa n +

donde n es una variable.

Número par, significa que el número

puede ser escrito de la forma n, con

n

Número impar, significa que el núme-

ro puede ser escrito de la forma n +

, con n

Observación

Siempre procediendo de maneracautelosa, los problemas de aritmé-

tica básica se pueden catalogar como

los más sencillos dentro de la PSU.

Si estás leyendo este libro, es porque quieres prepararte para rendir la Prueba de

Selección Universitaria de Matemáticas, y aquí encontrarás todos los contenidos in-cluidos en ésta para la admisión en el siguiente proceso.

Para ayudarte a estudiar cada uno de los siguientes temas, este libro está dividido en

cuatro tomos, Números, Álgebra y Funciones, Geometría, y finalmente Datosy Azar, los cuales te ayudarán a comprender los contenidos de cada uno de los ejestemáticos evaluados en la PSU, y te proporcionarán ejercicios para afinar los conoci-

mientos y habilidades que necesitas en cada uno.

Sin extendernos más, aquí comienza el contenido del tomo que tienes en tus ma-

nos: Números.

AritméticaUn contenido esencial para la Matemática es la aritmética, cuyo contenido más im-

portante incluye las cuatro operaciones básicas: Adición, Sustracción, Multipli-cación, y División. A partir de estas cuatro operaciones (que como veremos en elfuturo, son en realidad sólo dos, pero esa es un historia para más adelante) también

encontramos dos estructuras que salen de ellas: las Potencias y Raíces.

Cada una de estas tiene sus propiedades pero lo que nos importa ahora es la orga-

nización entre ellas con hay una jerarquía en la cual está el Paréntesis como rey.Esta jerarquía nos da el orden de las operaciones, y nos dice quien tiene el primerpuesto a la hora de resolverlas. El orden es:

Paréntesis

Potencias/Raíces

Multiplicación/División

Adición/Sustracción




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ProblemasCuando hablamos de un problema matemático no nos referimos a que te pidieron

lavar la loza, perdiste el tiempo en Facebook, tu madre llegó y estás en problemas.

No. Hablamos de una situación que podemos representar con lenguaje matemático,

donde generalmente buscaremos descubrir los valores de una entidad desconocida.

A esta la llamaremos la Incógnita o Variable, y el proceso para encontrarlo gene-ralmente tiene cuatro pasos:

Primer pasoLeer cuidadosamente el enunciado.

Segundo pasoLeer cuidadosamente el enunciado. Lo ponemos dos veces porque es así de importan-

te, la mayor cantidad de errores durante la PSU ocurren por falta de atención al leer

el enunciado, tómate tu tiempo para entender el ejercicio antes de contestarlo.

Tercer pasoDeterminar cuáles son las incógnitas del problema (por ejemplo: cantidades desco-

nocidas, edades, etc). Una vez que las tengas completamente identificadas es reco-

mendable hacer una lista, dibujo o esquema si el problema es más complejo. Estas

incógnitas o variables deben ser identificadas asi que las identificamos con una le-

tra, y para evitar confusiones es ideal que esta letra esté relacionada con lo que la

incógnita representa. (por ejemplo: si las variables son las edades de Ana, Jorge y

Pedro, entonces las variables que deberíamos usar son A, J y P).

Cuarto pasoTranscribir el problema del enunciado a un lenguaje matemático identificando las re-

laciones entre tus bautizadas Variables, de tal forma que puedas resolver el ejercicio.

CAPÍTULO 1 / ARITMÉTICA BÁSICA




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CONJUNTOS NUMÉRICOSCAPÍTULO 2




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12

Comenzaremos estudiando los conjuntos numéricos más conocidos y utilizados

durante la enseñanza media. A continuación presentamos dichos conjuntos, junto

a una breve descripción de cada uno de ellos, especificando los elementos que los

componen y cómo reconocerlos.

CONJUNTOS NUMÉRICOS Y SU RELACIÓN

Partiremos por dar una lista con los conjuntos numéricos más conocidos y usados al

menos en la enseñanza media, los cuales son los números naturales, los números en-

teros, los números racionales, los números irracionales, los números reales y finalmente

los números complejos. A continuación presentamos una breve descripción de cada

uno de ellos, especificando los elementos de los cuales se compone cada conjunto y

como reconocerlos.

Números Naturales ( N )Se definen como aquellos que nos permiten

contar elementos que conforman conjuntos

no vacíos. Por ejemplo, es un número

natural, pues puede haber lápices en un

estuche, huevos en una caja o patos en

una laguna. Mientras que , no lo es, pues

una familia no puede tener dos hijos y medio.

Números Cardinales ( N )Es el resultado de añadir el al conjunto

de los números naturales. Notemos que el

cero no es un número natural, pues a pesar

de que puede haber lápices en un estuche,

eso implicaría que el estuche estaría vacío

(Y los naturales exigen que el conjunto no

sea vacío).

Números Enteros ( Z )Consiste en el conjunto formado por los

números naturales (N), unidos con sus

inversos aditivos (N_

) y el cero

Números Racionales ( Q )Consiste en el conjunto de todos los números

que se pueden escribir como una fracción

N= {, , , , , . . .}

N = {, , , , , . . .}

} }

Z = {. . . ,−,−, , , , . . .}

Z = N− ∪ {} ∪ N

Q =a

b: a∈Z, b∈Z\{}

CAPÍTULO 2 / CONJUNTOS NUMÉRICOS




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TOMO I NÚMEROS

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de la formaa

b donde a, b ∈Z y b ≠ .

Números Irracionales ( ) Consiste en el conjunto de todos

los números cuya expansión decimal

es infinita no periódica

Números Reales ( )Consiste en el conjunto formado por los

números racionales y los números irracionales

Números complejos ( C )Es el conjunto formado por todos los nú-

meros que se pueden escribir como la suma

entre un número real y el producto de un

número real por la unidad imaginaria i

π = ,...

2 = ,....

C={a + bi: a,b ∈R,}

R= ∪

Símbolos matemáticos

Durante tu estudio, te encontrarás a menudocon símbolos que relacionan conjuntos.

Aprender a interpretarlos y dominar su uso es

clave para tener éxito en la PSU. A continua-

ción te presentamos algunos de ellos:

: indica que el elemento pertenece al con-

junto. Ejemplo se lee como “ pertene-

ce a “ e indica que el número pertenece al

conjunto de los números racionales.

: Unión de conjuntos. Cuando escribimosA B nos referimos al conjunto que incluye

tanto a los elementos de A como a los ele-

mentos de B .

: Intersección de conjuntos. Cuando

escribimos A B nos referimos al conjunto

que incluye a los elementos que pertenecen

simultáneamente a los conjuntos A y B .

Ejemplo: Si A es el conjunto formado por los

números , y , mientras que B es el conjun-

to formado por los números , y , entonces

será A B el conjunto que contiene a los

números y , mientras que A B contendrá

a los números y , , y .

Un conjunto puede ser definido por extensión

(indicando todos sus elementos) o por com-

prensión (Indicando las propiedades que ca-

racterizan a sus elementos). Por ejemplo, el

conjunto de los números naturales menores

que puede ser definido por extensión como

{, , , }, mientras que se puede definir por

comprensión mediante los símbolos

{x | x < } (este grupo de símbolos se

lee “el conjunto de todos los elementos x

pertenecientes al conjunto tales que x es

menor que ).




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14

NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS

Profundizando en los conjuntos que acabamos de nombrar, partiremos con el

conjunto de los Números Naturales. Intuitivamente, estos son los números quese usan en la vida diaria para contar cantidades concretas, y son los más simples

que conocemos, pero el que sean simples no significa que no podamos encontrar

estructuras interesantes en ellos, por ejemplo, Paridad y Primalidad.

Paridad Números pares: Son los números que se pueden escribir de la forma n. Hay infinitos de ellos, y se escriben en la serie: , , , , . .. , n, ... .

Números impares: Son los números que se pueden escribir de la forma n + Tambien hay infinitos de ellos, y se pueden escribir en la serie:

, , , , ... , n - , ... .

Primalidad Números Primos: Son aquellos que tienen exactamente dos divisores distintos.Ellos son: , , , , ...

Números Compuestos: Son aquellos que son divisibles por algún número distintoa y sí mismos, es decir, un número es compuesto si y sólo si no es primo (a excep-

ción del ). Ellos son , , , , . . .

Teorema # Descomposición ÚnicaEl teorema fundamental de la aritmética, que con un nombre tan impresionante

debe ser algo destacable, dice: “Todo número natural compuesto mayor que , se

puede escribir como un único producto de números primos”

Esto significa que los números primos vienen a ser nuestros “ladrillos”; son los blo-

ques básicos con los que construimos todos los números que conocemos, y en con-

secuencia, la matemática que usaremos, entonces este teorema es el que garantiza

la existencia de los números como los conocemos. Podemos darnos cuenta también

que ciertos números se pueden escribir usando potencias.

Por ejemplo = · · = . Estas potencias siguen siendo una descomposición

única, no existe otra forma de escribir el número usando sólo números primos,

excepto por el orden. Esa única forma de escribir cada número compuesto como

multiplicación de números primos se llama la Descomposición Prima del número.

Esquema gráfico de los conjuntos

numéricos y su relación





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TOMO I NÚMEROS

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Los números primos que componen esta descomposición, se llaman los Factoresprimos del número.

Divisibilidad.Una vez entendido lo anterior, es fácil entender por qué algunos números se pue-

den separar en otros. Por ejemplo, el número = · está compuesto por el y el

, y por lo tanto se puede dividir por cualquiera de ellos. Esta propiedad se llama

Divisibilidad, indica que un número se puede dividir exactamente por otro.Formalizando lo que acabamos de decir diremos que:

Un número b es divisible por a si y sólo si b es un múltiplo de a, es decir, b = k · a,

donde k ∈Z. Lo anterior se denota por a|b.

Identificar estos pares de números es un problema cuando no los podemos descom-

poner, ya sea porque son muy grandes o porque es poco práctico, en ese caso existen

criterios llamados Reglas de divisibilidad (vea los tips a la derecha).

Algoritmo de la divisiónSi tras leer, y ojalá ejercitar, algunos ejemplos de los temas anteriores notaste que no

todos los números son divisibles te preguntarás cómo los divides en ese caso. No te

preocupes, para ello existe el Algoritmo de la División o Algoritmo de Euclides:

Sean a,b ∈N dos números naturales tales que a es mayor que b entonces existe un

número q ∈N tal que b x q < a pero que b x (q + ) > a. En dicho caso tendremos que

si nombramos r = a - b x q al que llamaremos el resto entonces se tendrá que: a = b x

q + r donde llamaremos al números a el dividendo, a b el divisor, a q el cuociente y a

r el resto.

Como esta muralla de simbología es útil pero engorrosa, nosotros representamoseste algoritmo con una notación más familiar:

¿Cómo saber si un número es divisi-

ble por algún número entre y ?

Termina en o un número par

La suma de sus dígitos es

divisible por

Sus últimos dígitos forman un

número divisible por Termina en o en

Es divisible por y a la vez

-

Sus útimos dígitos forman un

número divisible por

La suma de sus dígitos es

divisible por

Termina en

Observación

Observamos que para el número no

tenemos una regla, esto no es porque

no exista si no porque la regla es más

complicada que las otras y es más

conveniente ver directamente si puedo

dividir o no por haciendo la división.

Ejemplo /

Ejemplo: la descomposición prima del número se encuentra

de la siguiente forma:

= · = ( · ) · = ( · ) · · = · · · · = ·

Observación

Todo número es divisible por

cualquier producto formado por sus

factores primos. : =

Dividendo Resto Divisor Cuociente




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Mínimo Común Múltiplo (MCM)Tal como el nombre lo dice, el Mínimo común múltiplo (MCM) nos permite encontrar

un número que cumple la propiedad de ser el menor múltiplo que tienen en común

un conjunto de varios números naturales, esto es lo mismo que decir que el MCM esel menor número divisible por todos los números del conjunto.

¿Cómo lo encontramos?

Usando la descomposición prima de todos los números del conjunto, el MCM es el

número que contiene en su descomposición a todos los factores primos de todos los

números del conjunto.

Ejemplo /

Supongamos que queremos dividir por , sabemos que no

es divisible por ya que + = el cual no es múltiplo de , por

ello debemos usar el algoritmo de Euclides. Además sabemos

que · = y · = , por lo tanto tendremos que el cuociente

será y como · = entonces el resto será , obteniendo así

que = · +

Ejemplo /Encontremos el MCD entre , y

Escribimos los números en su descomposición prima:

= · , = , = ·

Ahora incluímos en la descomposición de nuestro posible MCM

todos los factores primos (los repetidos en el mismo número

cuentan, pero entre números distintos no)

· · · · · =

Notamos que la mayor cantidad de veces que se repite el es en

, que contiene al factor , mientras que la mayor cantidad de

veces que aparece el es en , que contiene al factor . Hay que

incluir todos esos números. Por otro lado, como se escribe · , sus factores ya están contenidos en los otros, de modo que,

no se necesita incluir ninguno como factor adicional. Ocurre lo

mismo con el perteneciente a la descomposición del .

Así,el mínimo común múltiplo buscado es .


Observación

El algoritmo de Euclides es necesario

pues no todos los números natura-

les se pueden dividir entre sí, ya que

los resultados de estas divisiones no

necesariamente son números natura-

les. Esto provoca que la división en los

naturales no sea Cerrada, es decir, que

la operacion y sus resultados no están

totalmente contenidos en el mismo

conjunto, razón por la cual necesitamos

más conjuntos numéricos.




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TOMO I NÚMEROS

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Ejemplo /El MCD entre , y

Escribimos los números en su descomposición prima:

= · , = · , = · ·

Luego tomamos todos los factores que se encuentran en todas

las descomposiciones, en este caso el y el

luego MCD entre , y es · = .

(+) + (+) = (+)

(−) + (−) = (−)

(+) + (−) = (+) Si (+) > (−)

(+) + (−) = (−) Si (+) < (−)

(+) · (+) = (+)

(−) · (−) = (+)

(−) · (+) = (−)

(+) · (−) = (−)

Adición Multiplicación

Máximo Común Divisor (MCD)Es mucho más sencillo encontrar el máximo común divisor, pues simplemente se

busca el número que divida a todos los números del conjunto, para ello se busca

aquel que su descomposición prima contenga sólo a los factores que todos los nú-meros del conjunto tengan en común.

TIPS

para abreviar, el MCM entre a y b se

escribe como MCM(a,b), y se utiliza

la misma notación para el MCD.

Números enteros.

Habrás notado que en lo que va del capítulo hemos hablado casi únicamente de los

números naturales. Estos no son los únicos que existen, puesto que de la misma for-

ma que la división falla en los naturales, la resta también. En los números naturales

no podemos encontrar la respuesta de la operación - = ?. Por lo tanto definimos

los Números Negativos, los cuales contienen a los inversos aditivos de los nú-meros naturales, es decir, todos los números que anulan (llevan al ) a algún natural

cuando son sumados.

Estos se forman incluyendo una copia de los números naturales en la recta nu-

mérica, pero al otro lado del cero, y por lo tanto su magnitud crece en la dirección

opuesta a la de los naturales.

Naturalmente, como una copia de los naturales, estos funcionan con las mismas

operaciones que los números naturales, con una pequeña distinción: El signo (Pue-de ser positivo, negativo o neutro)

El signo nos indica a qué lado del cero nos encontramos, y hacia qué lado aumenta la

magnitud de los números, el cual funciona como se ve en la siguiente tabla.




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18

Si al cuádruple de se le suma y luego se

multiplica por ¿Qué resulta?

Si al doble de se le suma y luego se divide por

¿Qué resulta?

Si al triple de se le resta y luego se divide por

¿Qué resulta?

Juan tiene el triple de la edad de Pedro y Andrés

tiene cuatro años más que Juan. Además la suma de

sus edades es ¿Cuál es la edad de Andrés?

María tiene tres años más que Nanci y Camilo tiene

dos años menos que Nanci. Además la suma de sus

edades es ¿Cuál es la edad de Camilo?

Felipe tiene tres veces la edad de Bastian y Mauricio

tiene la misma edad que Bastian. Además la suma de

sus edades es ¿Cuál es la edad de Felipe?

EJERCICIOS PROPUESTOS





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TOMO I NÚMEROS

19

Si la suma de números impares consecutivos es

, entonces el número del medio es

Si la suma de números consecutivos es , enton-

ces el número mayor es

Si la suma de números pares consecutivos es ,

entonces la suma de los medios es

¿Qué número(s) debe(n) colocarse en para que el

número . sea divisible por ?


número . sea divisible por ?


número .. sea divisible por ?




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20

Encuentre el mínimo común múltiplo entre losnúmeros , y .

Encuentre el máximo común divisor entre los

números , y .

Encuentre el mínimo común múltiplo entre los

números , y .





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TOMO I NÚMEROS

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EJERCICIOS

. Si al producto de dos números consecutivos se lesuma , el resultado es siempre

A) Un número par

B) Un número impar

C) Un número primo

D) Un múltiplo de tres

E) Ninguna de las anteriores

. Si a litros de Pepsi cuestan $p pesos, entonces

cuánto costarán b litros de Pepsi?

A) $ab

p

B) $pb

a

C) $a

bp

D) $abp


. El doble del sucesor de un número es .¿Cuál es el número?

A)

B)

C)

D)

E)

. La suma de números consecutivos es . ¿Cuál

es el producto de los centrales?

A)

B)

C)

D)

E)




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22


. ¿Cuál de las siguientes cifras debe colocarse enpara que . sea divisible por ?

A)

B)

C)

D)


. La suma de números impares consecutivos es

divisible por

A) B)

C)

D)


. El resultado de + − · − + (− + ) : esigual a

A)

B)

C) -

D) -

E) -

. Si $ = , & = ,% = . Entonces & -% + $ -=

A) %

B)$

2

C) &

D)





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TOMO I NÚMEROS

23

. Al resolver( − ( + ( + · ( − ) − + ( − )))) · es igual a

A) -

B)

C) -

D)

E)

. El quíntuple de sumado a la diferencia entre

y .

A) B)

C)

D)

E)

. Pedro tiene el triple de la edad de Javieraaumentada en . Si Javiera tiene la mitad de

la edad de su padre que acaba de cumplir tres

décadas, ¿Cuántos años tiene Pedro?

A)

B)

C)

D)

E)

. La diferencia entre las notas de dos alumnos

es , puntos. Si el alumno con mejor rendimiento

obtuvo el triple que el de menor puntaje, ¿cuál es

la nota menor?

A) ,

B) ,

C) ,

D) ,

E) ,




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24


. ¿Cuál de las siguientes expresiones esnegativa?

A) − ·

B)−

−

5

3

C) -, + ,

D) −−

9

3


. La edad de Pedro es la resta entre el sucesor

impar de y el antecesor par de . Si su hermana

Camila es mayor por años, entonces la edad deCamila es

A)

B)

C)

D)

E)

. Si un caballo come al día kilos de pastoy dicho pasto se vende por sacos de kilos,

¿Cuántos sacos necesito para alimentar por un día

a caballos?

A)

B)

C)

D)


. Un plan de celular cuesta $. fijo por

minutos y $ por cada minuto adicional. Si una

persona habló minutos, ¿Cuánto debería pagar?

A) $.

B) $.

C) $.

D) $.

E) $.




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TOMO I NÚMEROS

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. La suma de dos pares consecutivos cumplesiempre con una de las siguientes características

A) No es divisible por

B) Es divisible por

C) Es divisible por

D) Es igual a un número impar multiplicado por

E) Es el doble de un número par

. En el número _, ¿qué número debo

reemplazar en el guión de modo que el número sea

un múltiplo de y ?

A)

B)

C)

D)

E)

. Un reloj se adelanta minutos cada hora ymarca las : hrs. Si ha estado andando durante

hrs. ¿Cuál es la hora exacta?

A) :

B) :

C) :

D) :

E) :

. Si (n + ) es un número impar, con n ∈ N.

¿Cuál de las siguientes expresiones representa

siempre un número par?

A) (n + )

B) n

C) n +

D) n −





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26


. Catalina compró a kilos de plátanos y a kilos deduraznos. Si los plátanos le costaron el triple que los

duraznos y en total gasto $. pesos.

¿Cuánto gastó solo en los plátanos?

A) $.

B) $.

C) $.

D) $.

E) $.

. Juan nació en . cuando su padre tenía

años. ¿Cuántos años tendría su padre en .?

A) añosB) años

C) años

D) años

E) años

. La suma de tres enteros pares consecutivos es, ¿cuáles son los números?

A) , ,

B) , ,

C) , ,

D) , ,

E) , ,

. Andrés es mayor por años que Juan y Juan a su

vez, es mayor por años que Julieta. Si la suma de las

edades de Andrés, Juan y Julieta es años, entonces

la edad de Andrés es

A) años

B) años

C) años

D) años

E) años




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TOMO I NÚMEROS

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. El triple de la suma de tres números imparesconsecutivos es igual a , entonces la suma entre

el mayor y el menor es igual a

A)

B)

C)

D)

E)

. El mínimo común múltiplo y el máximo

común divisor entre los números , y , son

respectivamente

A) y

B) y

C) y

D) y


. El triple de la diferencia entre el antecesor de y el sucesor impar de es

A)

B)

C)

D)

E)

. Si la suma de tres números pares consecutivos

es , entonces la mitad del término del medio es

A) B)

C)

D)





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28


. Si la suma de cinco números imparesconsecutivos es . ¿Cuál es el número del centro?

A)

B)

C)

D)

E)

. personas en una reunión se dan la mano. Cada

una saluda una vez a cada uno de los restantes.

Entonces el número total de saludos es,

A) B)

C)

D)


. Tres corredores recorren una pista circular en, y segundos, respectivamente. Si parten

juntos, ¿Después de cuánto tiempo se encontrarán

de nuevo?

A) segundos

B) segundos

C) segundos

D) minutos

E) segundos

. Una sala se llena con alumnos, ¿Cuántas salas

se necesitan para albergar a alumnos?

A)

B) C)

D)

E)




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TOMO I NÚMEROS

29

. En una granja, hay gallinas y perros. Si en totaluna persona cuenta patas y cabezas, entonces

el número de perros en la granja es

A)

B)

C)

D)


. Estás corriendo una competencia de Km, si

ves un cartel que indica que la meta está a .

metros, ¿qué fracción te falta para terminar?

A)1

2

B)1

4

C)1

10

D)1

100

E)1

1000

. La suma de seis números consecutivos es igualal triple de , entonces veces el mayor menos

veces el menor es igual a

A)

B)

C)

D)

E)

. El divisor de una división es , el cuociente es

y el resto es . Por lo tanto, el dividendo es

A)

B) C)

D)

E)




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30


. El promedio de las edades de Juan, Pedro yCamila es años. Se sabe que Juan es años

mayor que Pedro y Camila tiene el doble de la edad

de Pedro. ¿Cuáles son las edades de Juan, Pedro y

Camila respectivamente?

A) , ,

B) , ,

C) , ,

D) , ,

E) No se puede resolver

. Si un perro de raza pequeña, se alimenta con gramos de un alimento especifico durante

todo un mes. Si su consumo es constante por día y

consideramos un mes con días, entonces cuántos

días demora el mismo perro en acabar con

gramos del mismo alimento?

A)

B)

C)

D)

E)

. Se dispone de litros de pintura para pintar lafachada de una casa. Si la superficie mide metros

de alto y de ancho, ¿cuántos litros falta comprar

si un litro rinde m y se quieren dar manos?

A) litros

B) litro

C) , litros

D) litros

E) litros

. Para una receta de cocina se necesita mediokilogramo de harina, huevos, gramos de

azúcar y1

8 de kilogramo de mantequilla. Si el costo

de una docena de huevos es $, un kilogramo

de harina cuesta $., se sabe que un kilogramo

el azúcar cuesta el doble que de harina y la

mantequilla cuesta $. los gramos. ¿Cuál es

el costo total de la receta?

A) $.

B) $.

C) $.D) $.

E) $




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TOMO I NÚMEROS

31

NÚMEROS RACIONALES

Como se dijo anteriormente, la sustracción y división en los números naturales no

siempre entregan números naturales. Para poder restar sin restricciones se constru-

yó el conjunto de los números enteros. Aún está pendiente el problema de la divi-

sión. Para ilustrar la importancia de poder dividir sin restricciones, consideremos la

siguiente situación:

Tenemos dos litros de bebida. Si queremos repartir la bebida entre dos personas en par-

tes iguales calculamos : y obtenemos que a cada persona le corresponde un litro. Sin

embargo, al agregar una tercera persona a esta repartición, dividiremos entre y obten-

dremos como resultado y resto , es decir, a nadie le corresponde tomar bebida y sobran

dos litros. Las personas más perspicaces se dan cuenta que litros de bebida se pueden

repartir entre dos personas si a cada persona se le entrega menos de un litro de bebida.

Lamentablemente, como no conocemos los números racionales, la mayor cantidad de be-bida que podemos repartir sin llegar a un litro es cero litros. En consecuencia, a menos que

aprendamos a trabajar con decimales y fracciones, nunca podremos resolver problemas

como este.

El conjunto numérico que necesitamos introducir para resolver este problema es

el de los Números Racionales. En esta sección estudiaremos cómo son, cómo se

opera con ellos y algunas de sus propiedades básicas. Estos son todos aquellos que

se pueden expresar en la formaa

bdonde a y b son enteros y b distinto de . Este

conjunto se representa por la letraQ

Q =a

b: a, b ∈ Z, b ≠

Al escribir un número racional como a/b, el número a es llamado numerador,

mientras que b recibe el nombre de denominador. En términos simples, un núme-

ro racional es aquel que se puede escribir como fracción de enteros con denominador

distinto de cero.

Clasificamos las fracciones en dos tipos:

Fracción propia: Es aquella cuyo numerador es menor que el denominador.Ej: 2

3,1

5,

3

10

Fracción impropia: Es aquella cuyo numerador es mayor que el denominador.

Ej: 9

4,7

2,11

7

{ }

Suma

El inverso aditivo (u opuesto) de es




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32

Multiplicación

El inverso multiplicativo

(o recíproco) de es

Con a y b distintos de .

Observaciones

Para comparar números raciona-

les, también se pueden utilizar los

siguientes procedimientos,

Igualar numeradores y luego analizar

los denominadores: a menor denomi-

nador mayor el valor de la fracción.

Igualar denominadores y luego anali-

zar los numeradores: a mayor nume-

rador mayor el valor de la fracción.

Entre dos números racionales

cualesquiera hay infinitos números

racionales.

Como toda fracción impropia tiene numerador mayor a su denominador, repre-

senta una cantidad mayor que . Esto significa que podemos escribirla como una

suma entre un número entero y lo que falte para completarla. Por ejemplo, 94

puede escribirse como+8 1

2

. Esto se puede interpretar como que se reparten ocho

elementos y un elemento adicional entre individuos, de modo que cada individuo

recibe elementos (la cuarta parte de ) y la cuarta parte del elemento sobrante.

En símbolos, esto se expresa como9

4 = +

1

4. Para abreviar la suma, esta fracción

se escribirá simplemente como 1

4. Una fracción impropia expresada de esta mane-

ra recibe el nombre de Número mixto.

La transformación entre fracciones

impropias y números mixtos está dada por

Por otro lado, dos expresiones fraccionarias diferentes pueden representar al mis-

mo número racional. Por ejemplo, 12

= 24

, pues al repartir una barra de chocolate

entre dos personas, cada persona obtiene la misma cantidad de chocolate que al

repartir dos barras entre cuatro personas (media barra). En base a ello, tenemos el

siguiente teorema que nos ayuda a distinguir cuando dos números racionales son

equivalentes o representan lo mismo.

Teorema # Equivalencia entre NúmerosRacionales Sean a

b ,

c

d ∈ Q , entonces

a

b=

c

d ⇔ a · d = b · c

Una consecuencia importante de este teorema es que al multiplicar por un número

positivo el numerador y el denominador, se obtiene una fracción equivalente a la

original, este proceso es llamado amplificación. Por ejemplo, al amplificar por la

fracción1

2, se obtiene

2

4.

Si hacemos el proceso inverso de la amplificación, es decir, dividimos simultánea-

mente por el mismo número el numerador y el denominador de una fracción, se

obtiene una fracción equivalente a la original. Este proceso es llamado simplifica-

ción. Por ejemplo, al simplificar por la fracción18

27 se obtiene 6

9.

Cuando el máximo común divisor entre el numerador y el denominador de una

fracción es , decimos que la fracción es irreducible. En este caso, no existe mane-

ra de simplificar la fracción. Ejemplos de fracciones irreducibles son 25

42, 8

9 y 2

5.

Una manera de obtener una fracción irreducible es simplificar por el máximo

común divisor entre el numerador y el denominador. Por ejemplo, si se tiene la

fracción 1827

, como el máximo común divisor entre y es , al simplificar por


=⋅ +

Aa

b

A b a

b




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TOMO I NÚMEROS

33

se obtiene una fracción irreducible. En efecto, al hacer esto se obtiene , que no

puede simplificarse nuevamente.

Veamos ahora cómo se puede operar con estos números, los cuales poseen lasmismas operaciones que los números naturales y enteros, es decir, adición, sustrac-

ción, multiplicación y división. Sin embargo, la forma de operar en el conjunto de

los números racionales es diferente.

Adición/sustracción

Sia

b,

c

d ∈ Q, entonces la suma o resta

de estas dos fracciones esta dada por la

regla de la derecha. Es decir, dos fracciones

pueden ser sumadas o restadas cuando

poseen el mismo denominador.

Multiplicación

Sia

b,

c

d ∈ Q entonces,

el producto o multiplicación será

División

Sia

b ,

c

d ∈ Q entonces,

su división o cociente será

Al igual que en los números enteros, los números racionales gozan de una propiedad

llamada orden total. Esto quiere decir que dados dos números racionales, siempreuno de ellos será mayor al otro, a menos que sean iguales. En otras palabras, todas

las fracciones pueden ser comparadas. Para simplificar esta tarea, presentamos la

siguiente propiedad.

Teorema # Sean ab

,c

d ∈ Q y b,d ∈ Z+ , entonces

a

b≥

c

d ⇔ ad ≥ bc

NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales son otra manera de expresar cantidades no enteras. Por

ejemplo, el número , representa la décima parte de una unidad, el número ,

representa la centésima parte de una unidad, y así sucesivamente. Al igual que al

representar cantidades enteras, cada dígito tiene un valor veces menor que si se

hubiese escrito en la cifra anterior. A modo de ejemplo = + +2,81 28

10

1

100.

⋅ =

a

b

c

d

ac

bd

= ⋅ = ≠a

b

c

d

a

b

d

c

ad

bcc: , 0

± = ± =±a

b

c

d

ad

bd

bc

bd

ad bc

bd




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34

Como se puede observar, este número es una suma de números racionales, por

lo tanto, ha de ser un número racional. Si eres un estudiante perspicaz, entonces

recordarás que los números racionales son los que puedes escribir como fracción

de enteros. La pregunta que surge de manera natural es cuándo y cómo se puede

escribir un decimal como fracción de enteros. Para lograr este objetivo clasificamos

los decimales en cuatro grupos que detallamos a continuación:

Decimales finitos

Son aquellos que tienen una cantidad finita de cifras decimales no nulas (esto signi-

fica que no son cero). Algunas de estas fracciones son ,; ,; ,.

Para entender la transformación decimales finitos en fracción de enteros, veremos

el siguiente ejemplo:

Sea x = , el decimal que intentamos escribir como fracción.

Multiplicando por se obtiene: x =

Al dividir por en cada lado de la ecuación, resulta x =3192

1000

De esto sigue que: , =3192

1000

Luego de hacer este proceso con varios decimales finitos notarás la siguiente pro-

piedad: Al escribir un número decimal finito como fracción, el numerador estará formado

por las mismas cifras, sin la coma. Mientras que en el denominador se tendrá un número

formado por un uno, seguido de tantas cifras cero como dígitos haya después de la coma.

Decimales infinitos periódicos

Son aquellos cuyas cifras decimales se repiten infinitas veces. Por ejemplo

,..., ,.... Como resulta engorroso escribir tantas

cifras, adoptamos una notación más abreviada y los números que se repiten

infinitamente se escribirán con una barra encima. Así, los números anteriores se

escribirían como , y , respectivamente. El conjunto de cifras que se repiten

recibe el nombre de período.

Ejemplo /

Si tenemos el número ,,

podemos transformarlo en

fracción de la siguiente manera = =3,1415

31.415

10.000

31.415

104





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TOMO I NÚMEROS

35

Al igual que con los decimales finitos, mostraremos como transformar los números

decimales infinitos periódicos a fracción. Considere el decimal x = ,.

Desarrollando un poco su expansión decimal se tiene: x = ,

Multiplicando por , se obtiene: x = ,

Restando x = , resulta: x -x = , - ,

Es decir, x = -

Al dividir por , resulta: x =−1718 1

999

Es decir, la expresión fraccionaria que resulta de , es1717

999

En general, para transformar de decimal infinito periódico a fracción, se toma el

número sin la coma, se resta su parte entera y luego se divide por tantas cifras nueve

como dígitos tenga el período.

Observaciones

Lo anterior se aplica para números

decimales con una cantidad finita de

cifras. En caso de tener un decimal

semi-periódico o periódico, se reco-

mienda transformar a fracción y luego

operar con ellos para evitar errores.

Para el paso de fracción a decimal,

simplemente se divide el numerador

por el denominador.

Ejemplo /

Si consideramos ,

entonces su escritura en

fracción será

3,14314 3

99

311

99=

−

=

Un caso muy importante de estas transformaciones es ,. Al escribirlo como frac-ción, te darás cuenta que se escribe como =

9

91 , es decir, los números , y son

equivalentes.

Decimales infinitos semiperiódicos

Estos números están formados por un número finito de cifras que no se repiten,

seguido de un período que se repite infinitas veces. Por ejemplo, un decimal

infinito semiperiódico es ,. En este caso, el número también es llamado

período. Los dígitos que están después de la coma y antes del período reciben el

nombre de anteperíodo.

Intentemos ahora escribir este número como fracción: x = ,

Multiplicamos por para que el anteperíodo pase al lado izquierdo de la coma

x = ,




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36

Por otro lado, simultáneamente multiplicamos por para que un período y el

anteperíodo pasen al lado izquierdo de la coma: x = ,

Restamos ambas igualdades para eliminar los decimales

x - x = - , obteniendo: x = -

Finalmente despejamos x =−3293 329

900

Así, , =−3293 329

900

Observación

El conjunto de los números reales,

no es el conjunto más grande que

podemos encontrar, de hecho existeninfinitos conjuntos más grandes y que

contienen a los números reales como

subconjunto. Ejemplo de números

que no son reales, son los de la forma

para n un número par y a < .

Decimal infinito no periódico

Es aquel con infinitas cifras decimales, pero sin repetir un grupo de cifras una canti-

dad infinita de veces. Ejemplos de este tipo de decimales son π = ,...

y 2 = ,... . Este tipo de números no puede escribirse como fracción de

enteros, de modo que no son números racionales.

Cuando los números decimales son finitos, se puede operar con ellos sin necesidad

de pasar de número decimal a fracción, de la siguiente manera:

Adición o Sustracción Para sumar o restar números en desarrollo decimal se ubican

las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas y los decimales bajo

los decimales (si no tienen la misma cantidad de decimales, se pueden agregar ceros

a la derecha al que tenga menor cantidad de decimales hasta igualarlos), luego se

realiza la suma o resta según corresponda de derecha a izquierda.

Ejemplo /

Sumemos los números , y ,. Para ello, notamos que el

primero de ellos tiene dos decimales mientras el segundo tiene

, por ello igualamos agregando un cero a la derecha del prime-

ro, es decir, ,. Luego sumamos como se explica antes

0,250

2,125

2,375++

Ejemplo /

Si consideramos el número

,, entonces su escritura

en fracción será

=−

=3,1415 31.415 314

9.900

31.101

9.900


Observación

Para pasar un decimal semiperiódico

a fracción, se debe tomar el número

completo sin la coma, restar todo lo que

está antes del período y dividir por un

número formado de tantos nueves comodígitos tenga el período y ceros como

dígitos tenga el anteperíodo




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TOMO I NÚMEROS

37

Multiplicación Para multiplicar números decimales, lo haremos tomando los nú-

meros como si fueran enteros (ejemplo , lo tomamos como ), los multiplica-

mos de manera usual y en el resultado colocamos la coma de modo que el numero

resultante tenga tantos decimales como los números en conjunto.

Ejemplo /

Para los mismos números anteriores , y ,, si les elimi-

namos la coma obtenemos y ., y si los multiplicamos de

manera usual se obtiene .. Luego observamos que en los

números iniciales el primero tiene dos decimales mientras que

el segundo tres, por lo que en conjunto poseen decimales y

por ende, el resultado final tendrá dicha cantidad de decimales,

es decir, el resultado será ,.

Ejemplo /

Para los números anteriores, observamos que , tiene mayor

cantidad de decimales (tres) y entonces multiplicaremos ambos

números por = . obteniendo así a . y , y luego

dividiendo de manera usual obtenemos ,.

División Para dividir, se puede transformar ambos números a enteros multipli-

cando por una potencia de donde el exponente será la cantidad de decimales que

tenga el número, con mayor cantidad de los mismos.

APROXIMACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Muchas veces nos interesa calcular cantidades con muchas cifras decimales, pero

solo nos interesa obtener un valor cercano al número decimal. Por ejemplo, si se

reparten pesos entre tres personas, al calcular cuánto dinero le corresponde a

cada uno, se obtiene como resultado ,. Como no es posible entregar una canti-

dad decimal de dinero, aproximamos este número a pesos por persona. Este es

un caso particular de aproximación que llamamos truncamiento al entero.




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38

Para aproximar números racionales existen dos criterios:

Aproximación por truncamiento

Consiste en eliminar las cifras que no interesan. Por ejemplo, si nos interesa aproxi-

mar el número , a la milésima por truncamiento, consideramos únicamen-

te las cifras que se ubican desde la milésima hacia la izquierda, es decir, ,.

Aproximación por redondeo

Este tipo de aproximación es más minuciosa, pues busca la cantidad más cercana al

número que se aproxima. Por ejemplo, si se tiene el decimal , y se desea aproxi-

mar por redondeo a la centésima, se sabe que el valor buscado se ubica entre , y

,. Como la cifra siguiente () está más cerca de que de , el número , se

acerca más a , que a ,. De modo que la aproximación por redondeo sería ,.

Si en lugar de , se quisiera aproximar el número ,, entonces la aproxima-

ción por redondeo coincidiría con el truncamiento, pues la cifra se acerca más a

que a . Así, la aproximación por redondeo a la centésima de , es ,.

A modo de regla general, incrementaremos la última cifra aproximada si el primer

dígito eliminado está entre y . Mientras que mantendremos la última cifra cuan-

do el primer dígito eliminado sea un número entre y .

NÚMEROS IRRACIONALES

Ya que conocemos los números racionales, estudiaremos el resto de los números.

Comenzaremos con un caso particular: 2

Si 2 fuera un número racional, significa que existe una fracción irreducible tal que

= p

q2 ,con p, q ∈ Z.

Por la definición de la raiz, queda = p

q2

2

2, es decir, q = p.

Como q es par, se puede dividir por y por lo tanto, ocurre lo mismo con p, con-

cluyendo que p también se puede dividir por .

Luego, como p se puede dividir por es un número par y puede ser escrito de la for-

ma p = k con k un número entero, por lo que reemplazando obtenemos que

q = (k) = k ⇔ q = k





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TOMO I NÚMEROS

39

Con el mismo razonamiento, podemos ver que ocurre exactamente lo mismo con q.

Luego, como tanto p como q son divisibles por dos, entonces podemos simplificar la

fracción por .

El problema yace en que la base de nuestro razonamiento estaba en la suposición

que p

q era irreducible, pero acabamos de mostrar que no lo es pues se simplifica por

, y esto es una contradicción.

Por lo tanto, 2 no se puede escribir como una fracción irreducible de números

enteros, entonces 2 no es racional.

Este resultado nos lleva a todo un nuevo conjunto de números, los Irracionales, que

se definen como los números que tienen una expansión decimal infinita no

periódica, e incluyen no sólo a 2 sino que a todas las raíces que no provie-

nen de un cuadrado perfecto, como , , ... etc, y además algunos números que

aunque infinitos son tan útiles que tienen su propio nombre, como π y e, ya que son

esenciales para la geometría de los círculos en el caso de π o definiendo una función

fundamental como lo es la exponencial (esto lo veremos en el futuro).

Hay que notar que los números irracionales siguen siendo números, sólo que como

a nadie le gusta escribir infinitos decimales, su forma más simple de escribirlos está

en los símbolos que acabamos de ver. Por lo tanto, operarlos para simplificarlos a

un único símbolo es difícil, por ejemplo la mejor forma de escribir la suma de 2 y

3 es por medio de la expresión 2 + 3 , pero las reglas para tratar estos casos las

veremos en el capítulo de este tomo.

Al igual que los números racionales, los números irracionales tienen sus propios

criterios de aproximación. Estos son la aproximación por defecto y la aproxima-

ción por exceso.

Aproximación por defecto

Consiste en tomar el número menor entre los que se ubica el número que se desea

aproximar. Por ejemplo, la expansión decimal de 10 es ,... Si queremos

aproximar por defecto a la décima, notamos que se ubica entre , y ,. Como de-

seamos tomar el número menor, escogemos la aproximación ,.

Aproximación por exceso

Al contrario que la aproximación por defecto, se toma el número mayor entre los

que se ubica el número que se desea aproximar. Por ejemplo, al aproximar por exce-

so a la centésima el número 10 resulta ,.

TIP PSU

Estas son algunas de las aproxima-

ciones de las raíces que aparecen

con frecuencia en la PSU:

= ,...

= ,...

= ,...

= ,...

= ,...




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40

NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales se define como la unión del conjunto de los raciona-

les (Q) y los irracionales (I), conjunto el cual se representa por R, es decir,R =Q ∪ I.

Las operaciones dentro de este conjunto son las mismas que antes y al contener a los

números irracionales heredan sus problemas frente a ellas, por ello es importante

tener las siguientes reglas en mente al momento de operarlos:

La operación entre números racionales, da siempre otro número racional.

La operación entre números irracionales, no da siempre un irracional. Por ejemplo,si consideramos los números + 2 y 2 , su resta es , que no es un irracional.

La operación entre un racional y un irracional, siempre obtiene como resultado unirracional (exceptuando la multiplicación por ).

SUCESIONES OPCIONAL

Una sucesión es una lista ordenada infinita de números, por ejemplo ,,,,,,

etc. donde lista infinita se entiende como una que nunca acaba. La definición es

realmente sencilla, pero los problemas que se nos pueden presentar con ellas pue-

den ser bastante complicados, principalmente porque la manera de resolverlos no

es estándar.

Existen en esencia dos clases de sucesiones:

Las primeras son aquellas donde la lista de números que compone la sucesiónes completamente aleatoria, es decir, no sigue ningún patrón y no podemos inferir

otros elementos a partir de una cantidad finita de ellos. Un ejemplo de este tipo de

sucesiones es , , , , , , , , , , , , , etc.

El segundo tipo de sucesiones son aquellas donde la lista de números que com-pone la sucesión tiene un patrón o una ley de formación, es decir, uno puede obtener

una fórmula que nos permita obtener cualquier elemento de la lista según su posi-

ción en la misma. Por ejemplo consideremos la sucesión , , , , , , , , etc.

La sucesión anterior es claramente de los números pares y por ende tiene una ley de

formación muy clara que es n, donde n es la posición del elemento que deseamos.





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TOMO I NÚMEROS

41

EJERCICIOS PROPUESTOS

La expresión 43

22

3

−

+

es igual a

La expresión +

−

12

32

7

es igual a

La expresión −

+

51

23

8

es igual a





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42

La familia Galasso celebra la graduación de magís-

ter de su hijo Bastián y para la ocasión compra un

pie de limón. El día de la celebración, entre los invi-

tados se comen1

3del pie, al día siguiente la familia

Galasso se come1

6 de lo restante en el desayuno

y finalmente Bastián se come1

2de lo restante a

escondidas de su esposa. ¿Cuánto sobró del pie?

Tres hermanos reciben una herencia por la muerte

de su padre. Si el hermano mayor recibe2

3 de ella

y el menor1

3 de lo restante. ¿Cuánto recibe el her-

mano del medio?

Entre amigos compran pizzas para comer mien-

tras estudian para una prueba. Si cuatro de ellos

comen1

5 del total de pizzas y el quinto come sólo

1

8

de lo que quedó, ¿Cuánta pizza sobró?




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TOMO I NÚMEROS

43

EJERCICIOS

. ¿Cuál de los siguientes números es racional?

A) 3

B)3 3

C)9 3

D)( 3) 32

E) ⋅3 3 3

. Al resolver − +2

3

5

6

1

12 se tiene como resultado

A) −1

6

B) −2

21

C) −1

12

D) 1

12

E)19

12

. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son)irracional(es)?

I. −5 4 9

II. +

2

3

2

6: 2

III. − +2 169 3

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) Solo II y III

. La expresión−

−3

14

51

3

es igual a

A)17

3

B)

C) −1

3

D) −9

2

E)




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44

CAPÍTULO 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS

. Si al quintuple de , se le resta el doble de ,,entonces resulta

A) ,

B) ,

C) ,

D) −,

E)

. La expansión decimal del número366

99 es:

A) 3,66

B) ,

C) 3,69

D) ,

E) 3,6

. Resuelva − + +12 13 113 1

A) 97

78

B)101

78

C)1

3

D)12

169

E)203

53

. Andrés demora en hacer una pizza hrs, Juan

hrs y Pepe , hrs. Si todos parten al mismo tiempo,

cuántas pizzas llevarán hechas al momento que

vuelvan a empezar todos juntos?

A)

B)

C)

D)

E)




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TOMO I NÚMEROS

45

. Si = ⋅ ⋅S1

3 P R entonces R− es igual a

A)3S

P

B)P

3S

C)S

3P

D)P

3

E)3P

S

. Se ha vendido1

5,1

2y

1

10de una rifa de la cual

quedan números por vender. ¿Cuál es la cantidad

de números vendidos de la rifa?

A) B)

C)

D)

E) No se puede saber

. Constanza, Camila y Valentina son jugadoras deajedrez que demoran en promedio por jugada ,;

, y , segundos, respectivamente. ¿Cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La suma de las centésimas de los tiempos

de Constanza y Camila resultan ser las

centésimas del tiempo de Valentina.

II. La que juega más rápido es Camila.

III. Constanza demora centésimas menos que

Valentina.

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

. Si el precio de un producto es $., el cuálla semana que sigue aumentará en un tercio de su

precio, y la semana que le sigue disminuye en un

tercio de su precio, entonces ¿Cuál será el precio

pasadas las dos semanas?

A) $.

B) $.

C) $.

D) $.

E) $.




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46


. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

falsa(s)?

I. Al multiplicar un número irracional con un

número racional, el producto es siempre un

número racional.

II. Al multiplicar dos números irracionales el

producto es siempre un número irracional.

III. Al dividir un número racional -distinto de

cero- con un número irracional, el cuociente es

siempre un número irracional.

A) Sólo I

B) Sólo III

C) Sólo II y III

D) Sólo I y II


. ¿Cuál es el término número de la siguiente

sucesión?

1,

5

2,10

2,17

2,26

2,37

2,...

A)

48

2

B)

49

2

C)

73

2

D)

50

2E)

44

2

. Si a se le restan los

25

125 de su mitad,entonces el resultado es

A) -

B)

C)

D)

E) − ⋅5001

2

1

5

. En la sucesión5

8,8

6,11

4 ,14

2 ,... El término siguientees

A)

B)

C)

D)

−19

2E) Indeterminado




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TOMO I NÚMEROS

47

. Si se tiene la secuencia

+ = , + = , + = , + = ,

entonces + es igual a

A)

B)

C)

D)

E)

. ¿Cuál es el sexto término de la sucesión , , ,

, , ...?

A)

B)

C)

D)

E)

. Si para imprimir un libro se usan toners,entonces cuántos toners he usado si llevo impresos

libros y se me acabo el toner justo en la mitad

del avo?

A) toners

B) toners

C) toners

D) toners

E) toners

. Si hoy es martes, ¿Qué día de la semana será

en . días más, a partir de hoy?

A) Viernes

B) Sábado

C) Lunes

D) Martes

E) Jueves




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48


. La expresión + +1

1

x

1

1

x

1

1

x

, es igual a

A)1

x3

B) x

C) x

D)1

3x

E) x−

. El recíproco de 1

5 sumado con el inverso aditivo

de − es igual a

A)

B) 4

5

C) 24

5

D) 26

5

E)

. Dados los racionales = = =p

19

13, q

3

2, y r

37

26 ,entonces se cumple que

A) q < r < p

B) q < p < r

C) p < q < r

D) r < q < p

E) r < p < q

. La expresión⋅

r

p q -con p, q y r números enteros,

con p y q distintos de - es positiva si

()<

r

q0 y p < .

() p · q > y r no negativo.

A) () por sí sola

B) () por sí sola

C) Ambas juntas, () y ()

D) Cada una por sí sola, () ó ()

E) Se requiere información adicional




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TOMO I NÚMEROS

49

. Se puede determinar el numerador de ciertafracción si

() Se conoce el denominador de la fracción y se

sabe que la fracción es menor a .

() Se conoce su expansión en desarrollo

decimal.

A) () por sí sola

B) () por sí sola


D) Cada una por sí sola, () ó ()E) Se requiere información adicional

. ¿Cuál es el quinto número de la siguiente serie:

, , , ,... ?

A)

B)

C)

D)

E)

. Resolviendo [, − , · (, + ,)] · , seobtiene

A)

B) ,

C) ,

D) ,

E) ,

. El resultado de ,�̄� + , ̄ es igual a

A) ,___

B) ,C)

D) ,

E) ,_




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50


. René comparte sus dos barras de chocolateiguales con sus dos amigas Camila e Ignacia. A

Camila le da8

9de una barra y a Ignacia

7

9 de la otra

barra, quedándose René con el resto de chocolate.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

falsa(s)?

I. René se quedó con 1

3 de la cantidad de

chocolate que tenía.

II. Entre Rene e Ignacia comieron más que

Camila.

III. Quien recibió más chocolate fue Camila.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo II y III

D) I, II y III

E) Ninguna de ellas

. Una piscina está con agua hasta un cuarto de su

capacidad. Si se sacan litros, entonces queda sólo

hasta la octava parte de su capacidad. ¿Cuál es la

capacidad de la piscina?

A) , Litros

B) , Litros

C) , Litros

D) , Litros

E) , Litros

. La expresión − = −( 1) 1n2

es verdadera, si

() n es impar

() n − es par

A) () por sí sola

B) () por sí sola


D) Cada una por sí sola, () ó ()

E) Se requiere información adicional

. Si p ∈ Q y r ∈ I, es correcto afirmar que

A) pr ∈ I

B) − ∈p r

C) + ∈p r

D) ∈r2

E) ∈p

r




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TOMO I NÚMEROS

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. ¿Cuál es el orden correspondiente de mayor amenor de los siguientes números decimales?

, - , - , - ,.

A) , - , - , - ,

B) , - , - , - ,

C) , - , - , - ,

D) , - , - , - ,

E) , - , - , - ,

. La expresión +

+

+

11

11

11

3

es igual a

A)11

7

B) 7

11

C)10

7

D) 4

3

E) 710

. Con cuadrados de igual tamaño se ha armadola siguiente secuencia de figuras

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I. La novena figura de la secuencia está

formada por cuadrados.

II. De acuerdo a la secuencia, cualquier figura

tendrá un número impar de cuadrados.

III. La diferencia positiva en cuanto a la

cantidad de cuadrados entre la primera y lasexta figura es .

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo III

E) Todas son correctas




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52


. Mauricio tiene una piscina de litros decapacidad, llena hasta 101

4 Litros ¿Cuántos litros

faltan para llenarla?

A)

B) ,

C)

D) ,

E) ,

. El orden de los números =a1

3, =b

2

9 y =c

5

12 de

menor a mayor es

A) a < b < c

B) c < b < a

C) c < a < b

D) a < c < b

E) b < a < c

. De una torta me sobró la tercera parte.Si esta parte la divido en tres y reparto una de ellas;

entonces, ¿Qué parte de la torta reparto?

A)

2

9

B)

1

3

C)

1

9

D)

9

2

E)

3

9

. ¿Cuánto se obtiene si el producto , · ,

se divide por el producto , · ,?

A) ,

B) ,

C) ,

D) ,

E) ,




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TOMO I NÚMEROS

53

. Sean a, b, c y d números enteros positivos. Si= +z

a

b

c

d, entonces z es

A)

( )+bd

ad bd

B)

( )+ad bcbd

C)

ac

bd

D)

( )( )

+

+

a c

b d

E)

( )( )+

+

b d

a c




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Te damos espacio extra para que puedas

desarrollar mejor los ejercicios

MIS ANOTACIONES




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PRODUCTOS NOTABLESCAPÍTULO 3




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56

CAPÍTULO 3 / PRODUCTOS NOTABLES

PRODUCTOS NOTABLES

En álgebra nos encontramos con resultados de productos que se repiten permanen-

temente, por lo que es importante manejarlos a cabalidad para simplificar expresio-

nes algebraicas. Estos productos son los que se denominan notables y pasamos a

mencionar y describir cada uno de ellos.

El primer producto notable es el cuadrado de binomio, que es el cuadrado de una

suma de dos elementos, es decir, (a + b). Este producto es sumamente conocido y

útil, por ello presentamos a continuación su expresión desarrollada

± = ± +a b a ab b( ) 22 2 2

Otro producto importante que involucra binomios, pero esta vez uno es suma de

dos elementos y el otro la resta de los mismos, toma el nombre de suma por sudiferencia y su expresión esta dada por

+ − = −a b a b a b( )( ) 2 2

El tercer producto que veremos responde a la pregunta natural cuando uno aprende

el cuadrado de binomio, el cual es conocido como cubo de binomio, es decir, un

binomio elevado a tres, cuya expresión esta dada por

± = ± + ±a b a a b ab b( ) 3 33 3 2 2 3

Estos resultados se pueden extender a un binomio (a + b) elevado a n veces, simple-mente multiplicando (a + b)(a + b) · . . . · (a + b) n veces en forma iterativa.

Si bien esta operación no es compleja, toma mucho tiempo. La forma más rápida de

obtener los resultados es utilizando el triángulo de Pascal (Es llamado así en honor

al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en , en su

Traité du triangle arithmétique). Ya sabemos que un binomio (a + b) elevado a cero es

uno, con a + b ≠ , es decir,

(a + b) =

El mismo binomio elevado a es

(a + b)

= · a + · b

Elevado a

(a + b) = · a + · ab + · b

Elevado a

(a + b) = · a + · ab + · ab + · b




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1

1

1

1

1

1

3

6

10

1

2

3

4

5

1

4

10

1

15

1

(a + b)

(a + b)

(a + b)

(a + b)

(a + b)

(a + b)

(a + b) = (a + b)(a + b) = (a + b)(a+ab+ab+b ) = a+ab+ab+ab+ab+ab+ab+b

Si tomamos solamente los números que acompañan a los factores, vemos que se

puede formar un triángulo con una secuencia lógica

¿Cuáles serán entonces las constantes asociadas a (a+b)?

Efectivamente son , , , y . Veamos por qué

es decir (a + b) = a + ab + ab + ab + b

¿Y si quisiéramos obtener (a + b)? Sabemos que las constantes serían , , , , y

, pero ¿Cómo armamos el resultado?. El resultado será el primer término elevado a

por el segundo término elevado a por la constante correspondiente. El segundo

será el primer término elevado a por el segundo elevado a por la constante y así

sucesivamente hasta terminar con los términos elevados a y respectivamente.

(a + b) = a a a a a a / Las a

= ab ab ab ab ab ab / Las b

= ab ab ab ab ab ab / Las constantes

¿Los sumo o los resto?

Si es (a + b) sumo todo, si es (a − b) la resta va intercalada,

(a + b) = a + ab + ab + ab + ab + b

(a − b) = a − ab + ab − ab + ab − b

FACTORIZACIÓNFactorizar significa tomar un resultado y llevarlo a factores, donde estos pueden ser

monomios, binomios, trinomios, etc. La factorización se puede interpretar como la

operación inversa que desarrollar productos notables, es decir,




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58

CAPÍTULO 3 / PRODUCTOS NOTABLES

(x + y) = x + y

Uno de los ejemplos más clásicos es encontrarnos con expresiones algebraicas de la

forma a + ab + b, que ya sabemos que no es más que un cuadrado de binomio y

sabemos que lo podemos factorizar por (a + b).

Ahora bien, uno puede preguntarse ¿Para qué me sirve poder factorizar? La res-

puesta es sencilla, el factorizar simplifica algunos problemas que parecen en extre-

mo complicados pero que en realidad son muy sencillos, como lo mostramos en el

siguiente ejemplo.

Factorización

Producto Notable

Ejemplo /

Suponga que x≠y, y considere la expresión

x x y x y x y xy y

x xy y x x y xy y

5 10 10 5

2 3 3

5 4 3 2 2 3 4 5

2 2 3 2 2 3( )( )+ + + + +

+ + + + +

Independiente de la pregunta que me estén haciendo -que po-

dría ser, por ejemplo, calcule lo anterior para x = .. e

y = ...- factorizando se puede simplificar mucho el

problema, así que si factorizamos el numerador y denominador

de la expresión anterior obtendremos lo siguiente

( )( )( )

( ) ( )

( )

( )

+ + + + +

+ + + + +

=

+

+ +

=

+

+

=x x y x y x y xy y

x xy y x x y xy y

x y

x y x y

x y

x y

5 10 10 5

2 3 31

5 4 3 2 2 3 4 5

5 2 3 2 2 3

5

2 3

5

5

es decir, si el problema fuese calcule lo anterior para x = ..

e y = ..., entonces sabemos de inmediato que la res-

puesta es y no perdemos un montón de tiempo en reemplazar

estos valores.

Para poder factorizar con cierta facilidad y rapidez, es necesario tener siempre pre-

sente los productos notables y de esa manera será mucho más fácil reconocer los

factores. A modo de conocer más productos notables, consideraremos como uno de

las básicos -junto a todos los anteriores- el siguiente

± = ± + x y x y x xy y( )( )3 3 2 2

2




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Otras factorizaciones que es necesario dominar a cabalidad son la factorización por

factor común y la factorización de trinomios

numeros y mas

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