nusa mandiri
TRANSCRIPT
StatiStika DeSkriptif itu MuDah(Contoh Soal dan pembahasan)
Oleh: Dwiza RianaEditor Bahasa: Anis Komalasari
Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2012
Hak Cipta © 2012 pada penulis,Hak cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit.
Riana, Dwiza
StatiStika DeSkRiptif itu MuDah(Contoh Soal dan pembahasan)/Dwiza Riana—edisi pertama — tangerang; Jelajah Nusa, 2012xxiv + 386 hlm, 1 jil. 23 cm
iSBN:
1. xxxxxxx 2. xxxxxxx 2. xxxxxxx
JELAJAH NUSAJl. DR. Setiabudi No. 71C Pamulang TimurTangerang SelatanTekp./Fax : 021-7412412E-mail : [email protected]
�
Kata Pengantarrektor U-BSI Bandung
Assalamu’alaikum Wr. Wb.
Seraya memanjatkan puji dan syukur ke Hadirat Allah SWT, saya atas nama pemimpin Universitas BSI Bandung menyambut baik atas
penerbitan buku “Statistika Deskriptif itu Mudah”, yang disusun oleh Ibu Hj. Dwiza Riana, MM.,M.Kom. Saya yakin, buku ini akan sangat bermanfaat bagi para mahasiswa dan pembaca pada umumnya dalam memahami proses berfikir induktif, khususnya yang berkenaan dengan analisis kuantitatif untuk berbagai kepentingan atau kegiatan keilmuan secara teoritis maupun praktis. Bagi para dosen di lingkungan perguruan tinggi BSI diharapkan menjadi motivasi tersendiri dalam menulis karya ilmiah sesuai dengan program “One Lecturer One Book” yang sudah dicanangkan setahun yang lalu. Tujuannya, di samping memenuhi kebutuhan bahan pembelajaran bagi para mahasiswa, juga sebagai wujud produktivitas kinerja dosen dalam memenuhi tugas profesinya terutama yang berkaitan dengan penulisan karya ilmiah. Seperti dimaklumi bersama, seorang dosen memiliki tugas keahliannya untuk melaksanakan Tri Dharma Perguruan Tinggi yang terdiri dari (1) pendidikan dan pengajaran, (2) penelitian dan penulisan karya ilmiah, dan (3) pengabdian pada masyarakat. Di samping itu, setiap dosen dituntut pula untuk melaksanakan tugas penunjang Tri Dharma berupa aktivitas
Statistika Deskriptif Itu Mudah�i
di lingkungan kelembagaan, baik yang terkait dengan akademik maupun tidak. Penulisan buku, adalah bentuk partisipasi penulisan karya ilmiah di samping bentuk-bentuk lainnya seperti menulis makalah untuk seminar dan menulis artikel ilmiah untuk dipublikasikan di media massa. Dengan cara ini, kebutuhan internal pembelajaran tidak lagi tergantung pada bahan yang disiapkan orang lain. Sebaliknya orang lain bisa ikut memanfaatkan hasil karya kita sendiri. Artinya, kemampuan kita dapat dikenal pihak lain dan sekaligus menunjukkan kualitas berpikir yang dimiliki. Akhirnya, Saya berharap semoga langkah penulis buku ini diikuti oleh dosen-dosen lainnya sesuai bidang ilmu dan keahlian masing-masing. Dengan demikian, khasanah keilmuan akan terus berkembang dan Insya Allah akan berkontribusi penting terhadap peningkatan kesejahteraan hidup manusia.
Wassalam.Bandung, Maret 2012Rektor,
Prof. Dr. H.M. Ahman SyaNIP. 195806121983031004
�ii
Kata Pengantar
Seraya memanjatkan puji dan syukur ke hadirat Allah SWT, semoga buku Statistika Deskriptif Itu Mudah, Contoh Soal dan Pembahasan
ini bermanfaat bagi para pembaca, khususnya bagi para guru, dosen dan mahasiswa yang mempelajari ilmu statistika. Dalam kehidupan sehari-hari data bukanlah hal yang asing bagi kita. Dengan data kita mengungkapkan fakta. Ilmu statistika membantu kita mengungkapkan fakta. Sebagai disiplin ilmu, Statistika dipelajari oleh pembaca dari berbagai disiplin ilmu. Bagi sebagian pembaca ilmu statistika bukanlah ilmu yang mudah dipelajari, terlihat rumit dan sulit dimengerti. Padahal pada kenyataannya tidak sedikit pembaca yang menyukai dan mencintai Statistika. Berdasarkan kenyataan ini perlu ditanamkan bahwa ilmu Statistika itu mudah dan bukan sesuatu yang harus ditakuti. Statistika dapat dipelajari dengan cara mudah jika tersedia buku-buku pendukung yang berisi penyampaian materi yang akrab di telinga pembaca. Materi pembahasan yang lugas dan memberikan kesempatan yang banyak pada pembaca untuk berlatih soal dan sekaligus dapat memeriksa sendiri kebenaran dari jawabannya. Pemahaman terhadap perhitungan-perhitungan dasar dalam materi statistika deskriptif akan memberikan kemudahan bagi pembaca untuk mempelajari ilmu statistika yang lebih lanjut. Inilah alasan sederhana
Statistika Deskriptif Itu Mudah�iii
mengapa buku Statistika Deskriptif Itu Mudah, Contoh Soal dan Pembahasan ini disusun, sehingga para pembaca dapat yakin bahwa sesungguhnya statistika itu sangat mudah dipelajari dan bukan menjadi sesuatu yang menyulitkan. Mudah-mudahan melalui buku ini, para pembaca memahami dasar-dasar ilmu statistika deskriptif, dan selanjutnya dapat menerapkan dan mengembangkan perhitungan-perhitungan statistika dalam praktek nyata di kehidupan. Kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan untuk memperbaiki tulisan ini sehingga memberikan manfaat yang lebih besar bagi banyak kalangan. Ucapan terima kasih disampaikan kepada semua pihak yang memungkinkan buku ini terbit, mudah-mudahan menjadi amal sholeh dan mendapat imbalan yang berlipat ganda dari Allah SWT, Tuhan Yang Maha Kuasa.Amien
Bandung, Maret 2012
Penulis
ix
Daftar ISI
Kata Pengantar ..................................................................................... vRektor U-BSI Bandung ....................................................................... vKata Pengantar ..................................................................................... viiDaftar Isi ................................................................................................. ixDaftar Tabel dan Gambar .................................................................. xiii
BAB 1 DISTRIBUSI FREKUENSI .................................................... 11.1 Pengertian ...................................................................... 21.2 Mengenal Istilah-istilah dalam Distribusi Frekuensi ...................................................... 21.3 Tahap-tahap Penyusunan Distribusi Frekuensi ....... 31.4 Pembuatan Distribusi Frekuensi dari Sekelompok Data .......................................................... 51.5 Jenis-jenis Distribusi Frekuensi ................................... 191.6 Histogram, Poligon Frekuensi dan Ogif ..................... 251.7 Notasi Sigma .................................................................. 351.8 Jenis Grafik .................................................................... 471.9 Rangkuman .................................................................... 631.10 Latihan Soal .................................................................. 641.11 Jawaban Latihan Soal ................................................... 71
Statistika Deskriptif Itu Mudahx
BAB 2 UKURAN PEMUSATAN DATA TIDAK BERKELOMPOK 852.1 Rata-rata Hitung ............................................................ 852.2 Median .......................................................................... 982.3 Modus ............................................................................. 1042.4 Hubungan antara Nilai Rata-rata Hitung, ................
Median dan Modus ....................................................... 1062.5 Kuartil, Desil dan Persentil .......................................... 1082.6 Rata-rata Ukur (Geomethric Mean) ............................ 1252.7 Rata-rata Harmonis (Harmonic Mean) ...................... 1272.8 Rangkuman .................................................................... 1302.9 Latihan Soal ................................................................... 1302.10 Jawaban Latihan Soal ................................................... 132
BAB 3 UKURAN PEMUSATAN DATA BERKELOMPOK ............. 1413.1 Rata-rata Hitung ............................................................ 1413.2 Median ............................................................................ 1443.3 Modus ............................................................................. 1473.4 Kuartil ............................................................................. 1513.5 Desil ................................................................................ 1563.6 Persentil .......................................................................... 1653.7 Rangkuman ................................................................... 1733.8 Latihan Soal ................................................................... 1733.9 Jawaban Latihan Soal .................................................... 175
BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA .......................................... 1834.1 Jangkauan (Range) ........................................................ 1834.2 Simpangan Rata-rata (Mean Deviation)..................... 1864.3 Variansi (Variance) ........................................................ 1914.4 Standar Deviasi (Standard Deviation) ....................... 1964.5 Jangkauan Kuartil dan Jangkauan Persentil 10 – 90 ... 2084.6 Koefisien Variasi ............................................................ 2134.7 Koefisien Variasi Kuartil............................................... 217
xiDaftar Isi
4.8 Nilai Baku (Z) ................................................................ 2184.9 Rangkuman .................................................................... 2204.10 Latihan Soal ................................................................... 2214.11 Jawaban Latihan Soal .................................................... 224
BAB 5 UKURAN PENYEBARAN DATA (KEMIRINGAN DAN KERUNCINGAN) ............................. 231
5.1 Kemiringan Distribusi Data ........................................ 2315.2 Keruncingan Distribusi Data ....................................... 2505.3 Rangkuman .................................................................... 2555.4 Latihan Soal ................................................................... 2565.5 Jawaban Latihan Soal .................................................... 257
BAB 6 ANGKA INDEKS..................................................................... 2616.1 Pengertian ...................................................................... 2616.2 Pemilihan Tahun Dasar ............................................... 2626.3 Peranan Angka Indeks dalam Ekonomi .................... 2626.4 Indeks Harga Tidak Tertimbang (Unweighted Index) ....................................................... 2636.5 Indeks Harga Tertimbang (Weighted Index) .............. 2716.6 Indeks Berantai .............................................................. 2906.7 Rangkuman .................................................................... 2916.8 Latihan Soal ................................................................... 2926.9 Jawaban Latihan Soal .................................................... 293
BAB 7 REGRESI DAN KORELASI ................................................... 2977.1 Pengertian Regresi dan Korelasi .................................. 2977.2 Regresi dan Korelasi...................................................... 2987.3 Analisa Regresi Sederhana ........................................... 2987.4 Pembuatan Analisa Regresi Sederhana ...................... 3007.5 Analisa Korelasi Sederhana ......................................... 3097.6 Koefisien Determinasi (r2) ........................................... 310
Statistika Deskriptif Itu Mudahxii
7.7 Kesalahan Baku dari Penaksiran Y = a + bx ............. 3197.8 Rangkuman .................................................................... 3307.9 Latihan Soal ................................................................... 3307.10 Jawaban Latihan Soal .................................................... 332
BAB 8 ANALISIS DATA BERKALA ................................................. 3418.1 Komponen Deret Berkala ............................................ 3428.2 Cara Menentukan Trend .............................................. 3458.3 Rangkuman .................................................................... 3798.4 Latihan Soal ................................................................... 3798.5 Jawaban Latihan Soal .................................................... 380
Daftar Pustaka ...................................................................................... 385
xiii
Daftar taBeL Dan gaMBar
DAFTAR TABEL
Tabel 1.1 Turus dan Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ........................................... 9Tabel 1.2 Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ............................................................... 9Tabel 1.3 Turus dan Frekuensi dari data Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung ............................................................................... 12Tabel 1.4 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem Mahasiswa Universitas BSI Bandung ......................... 12Tabel 1.5 Turus dan Frekuensi Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100
Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ... 15Tabel 1.6 Distribusi frekuensi dari Nilai-nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .......................................................... 16Tabel 1.7 Turus dan Frekuensi Nilai ELPT 50 Mahasiswa Jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung ........................... 18Tabel 1.8 Distribusi Frekuensi Nilai ELPT 50 Mahasiswa Jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung ........................... 19Tabel 1.9 Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ............................................................... 20
Statistika Deskriptif Itu Mudahxi�
Tabel 1.10 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang daripada Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ........... 21Tabel 1.11 Distribusi frekuensi dari Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .......................................................... 21Tabel 1.12 Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada Nilai OCR murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ........................ 22Tabel 1.13 Distribusi Frekuensi dari Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP................................................................................... 22Tabel 1.14 Distribusi Frekuensi Relatif dari Data Tinggi Badan 50 siswa SMP .............................................................................. 23Tabel 1.15 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung .................... 23Tabel 1.16 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang dari Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung ............................................................................... 24Tabel 1.17 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Tengah Semester Perpajakan 65 Mahasiswa ......................................................... 24Tabel 1.18 Distribusi Frekuensi Relatif dari Nilai Ujian Tengah Semester Perpajakan 65 Mahasiswa ........................................ 25Tabel 1.19 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester Mata kuliah Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa ............. 27Tabel 1.20 Distribusi frekuensi dari nilai nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ......................................................... 28Tabel 1.21 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Daripada Nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa .................................................................................. 30Tabel 1.22 Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada Nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa .................................................................. 31Tabel 1.23 Distribusi Frekuensi dari nilai OCR murni Ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .......................................................... 32
x�Daftar Tabel dan Gambar
Tabel 1.24 Distribusi Frekuensi Lebih Daripada Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP ..................................................... 33Tabel 1.25 Penggunaan Keramik di PD. Mahar Putri Selama Tahun 2001 – 2007 .................................................................... 48Tabel 1.26 Data Angka Kelahiran di Kota Palu Tahun 2003 – 2008 ...... 49Tabel 1.27 Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006 ................................................................... 50Tabel 1.28 Data Jumlah Produk Menurut Jenis Dan Waktunya di Toko Putri Agung Tahun 2005 – 2009 .............................. 51Tabel 1.29 Penggunaan Barang Produksi di PT. Abadi Selama Tahun 2005 – 2009 .................................................................... 52Tabel 1.30 Data Angka Kelahiran di Kota Palu Tahun 2004 – 2009 ..... 53Tabel 1.31 Data Banyaknya Murid di Kuningan Tahun 2002 ................ 54Tabel 1.32 Data Nilai Impor Menurut Golongan Makanan Pokok Tahun 2002 – 2006 .................................................................... 55Tabel 1.33 Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001...... 57Tabel 1.34 Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung...................................................... 58Tabel 1.35 Data Jumlah Pelajar di Indonesia (dalam ribuan) ................. 60Tabel 1.36 Data Jumlah Populasi Kelinci Tahun 2004 – 2008 (dalam ribuan) ........................................................................... 61Tabel 1.37 Data Jumlah Produksi Pabrik Obeng Tahun 2005 – 2008 (dalam ratusan) ....................................... 62Tabel 1.38 Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ........................................... 65Tabel 1.39 Distribusi Frekuensi dari Nilai-nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .......................................................... 65Tabel 1.40 Distribusi Frekuensi dari Nilai ELPT Jurusan Sistem Informasi 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung .. 66Tabel 1.41 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Daripada Tinggi Badan 50 Siswa .............................................................. 66Tabel 1.42 Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ........................ 67
Statistika Deskriptif Itu Mudahx�i
Tabel 1.43 Penggunaan Barang Produksi di PT. Abadi selama Tahun 2005 – 2009 .................................................................... 69Tabel 1.44 Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 - 2006 ..................................................................... 69Tabel 1.45 Banyaknya Permintaan Konsumen Produk Komputer Tahun 2000 – 2005 ................................................................... 70Tabel 1.46 Data Jumlah Produk Menurut Jenis Dan Waktunya di Toko Putri Agung Tahun 2005 – 2009 ................................... 70Tabel 1.47 Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di Universitas BSI Bandung .......................................................... 71Tabel 1.48 Data Jumlah Pembangunan Gedung Tahun 2006 – 2010 (dalam ratusan) .......................................................................... 71Tabel 1.49 Turus dan Frekuensi Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP ..... 73Tabel 1.50 Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP ....... 74Tabel 1.51 Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ........... 74Tabel 1.52 Distribusi Frekuensi Relatif Pada Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ........................................... 75Tabel 1.53 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ....................................... 76Tabel 1.54 Distribusi Frekuensi Relatif Dari Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .......................................................... 76Tabel 2.1 Nilai Hasil Ujian ........................................................................ 86Tabel 2.2 Perbandingan Tingkat Gaji Karyawan Dua Perusahaan ...... 87Tabel 2.3 Perbandingan Nilai Matematika dan Biologi Kelas 3 ........... 88Tabel 2.4 Hasil Penjualan buku Perpajakan di Dua Toko ..................... 92Tabel 2.5 Upah per bulan Tiga Kelompok Karyawan ............................ 96Tabel 3.1 Modal PT. Maju ......................................................................... 142Tabel 3.2 Perhitungan Rata-Rata Hitung ................................................ 143Tabel 3.3 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri .. 143Tabel 3.4 Perhitungan Rata-Rata Hitung ................................................ 144Tabel 3.5 Modal PT. Maju ......................................................................... 145Tabel 3.6 Perhitungan Median .................................................................. 145
x�iiDaftar Tabel dan Gambar
Tabel 3.7 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri .. 146Tabel 3.8 Perhitungan Median .................................................................. 147Tabel 3.9 Modal PT. Maju ......................................................................... 148Tabel 3.10 Perhitungan Modus ................................................................... 149Tabel 3.11 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri .. 150Tabel 3.12 Perhitungan Modus ................................................................... 150Tabel 3.13 Modal PT. Maju ......................................................................... 152Tabel 3.14 Perhitungan Kuartil ................................................................... 152Tabel 3.15 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri .. 154Tabel 3.16 Perhitungan Kuartil ................................................................... 154Tabel 3.17 Modal PT. Maju ......................................................................... 157Tabel 3.18 Perhitungan Desil ...................................................................... 157Tabel 3.19 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri .. 161Tabel 3.20 Perhitungan Desil ...................................................................... 161Tabel 3.21 Modal PT. Maju ......................................................................... 165Tabel 3.22 Perhitungan Persentil ................................................................ 166Tabel 3.23 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri .. 169Tabel 3.24 Perhitungan Persentil ................................................................ 170Tabel 3.25 Nilai Ujian Komputer Animasi 50 Mahasiswa Jurusan Public Relation Universitas BSI Bandung ................ 173Tabel 3.26 Tinggi Badan 40 Anak Panti Asuhan Tambatan Hati ........... 174Tabel 3.27 Nilai Ujian Metodologi Keperawatan 30 Mahasiswa Jurusan Keperawatan Universitas BSI Bandung .................... 174Tabel 3.28 Nilai Ujian Komputer Grafis II 40 Mahasiswa Jurusan Desain Komunikasi Visual Universitas BSI Bandung .......... 175Tabel 3.29 Tinggi Badan 90 Mahasiswa UKM Bulutangkis Universitas BSI Bandung .......................................................... 175Tabel 3.30 Nilai Ujian Komputer Animasi 50 Mahasiswa Jurusan Public Relation Universitas BSI Bandung ................ 176Tabel 3.31 Perhitungan Median Dan Modus ............................................ 176Tabel 3.32 Perhitungan Kuartil ................................................................... 177Tabel 3.33 Perhitungan Desil ...................................................................... 179Tabel 3.34 Perhitungan Persentil ................................................................ 180Tabel 4.1 Berat Badan 54 Mahasiswa Jurusan Manajemen Informatika Universitas BSI Bandung .................................... 185
Statistika Deskriptif Itu Mudahx�iii
Tabel 4.2 Berat Badan 50 Anak di Panti Asuhan Tambatan Hati ........ 188Tabel 4.3 Perhitungan Simpangan Rata-rata .......................................... 189Tabel 4.4 Nilai Ujian Pengantar Bisnis .................................................... 190Tabel 4.5 Perhitungan Simpangan Rata-Rata ......................................... 190Tabel 4.6 Modal Perusahaan Cahaya ....................................................... 195Tabel 4.7 Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi .................. 195Tabel 4.8 Modal Perusahaan Cahaya ....................................................... 198Tabel 4.9 Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi .................. 198Tabel 4.10 Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi............................. 201Tabel 4.11 Daftar Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi ................ 202Tabel 4.12 Modal Perusahaan Cahaya ....................................................... 203Tabel 4.13 Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi............................. 203Tabel 4.14 Hasil Ujian Statistik Industri Jurusan Teknik Industri Universitas BSI Bandung .......................................................... 204Tabel 4.15 Perhitungan Variansi ................................................................. 205Tabel 4.16 Modal Perusahaan Cahaya ....................................................... 207Tabel 4.17 Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi............................. 207Tabel 4.18 Berat Badan 20 Mahasiswa Jurusan Desain Komunikasi Visual Universitas BSI Bandung ........................ 209Tabel 4.19 Berat Badan 100 Anak Panti Yatim Indonesia ....................... 210Tabel 4.20 Berat Badan 100 Mahasiswa Jurusan Ilmu Komunikasi Universitas BSI Bandung .................................... 211Tabel 4.21 Perhitungan Koefisien Variasi .................................................. 215Tabel 4.22 Berat Badan 20 Mahasiswa UKM Bulutangkis di Universitas BSI Bandung .......................................................... 217Tabel 4.23 Modal Perusahaan PT. Putrii ................................................... 221Tabel 4.24 Nilai Ujian Bahasa Inggris kelas Manajemen Universitas BSI Bandung .......................................................... 222Tabel 4.25 Nilai Hasil Ujian Gizi dan Terapi Diet Jurusan Keperawatan Universitas BSI Bandung .................................. 222Tabel 4.26 Hasil Ujian Anatomi jurusan Keperawatan di Universitas BSI Bandung .......................................................... 223Tabel 4.27 Perhitungan Simpangan Rata-Rata ......................................... 224Tabel 4.28 Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi .................. 225Tabel 4.29 Distribusi lengkap Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi .......................................................................... 226
xixDaftar Tabel dan Gambar
Tabel 4.30 Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi............................. 228Tabel 4.31 Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi............................. 229Tabel 5.1 Perhitungan Standar Deviasi.................................................... 234Tabel 5.2 Perhitungan Standar Deviasi.................................................... 236Tabel 5.3 Distribusi Frekuensi .................................................................. 237Tabel 5.4 Perhitungan ............................................................................... 237Tabel 5.5 Perhitungan Standar Deviasi.................................................... 240Tabel 5.6 Modal Perusahaan Citra ........................................................... 242Tabel 5.7 Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi, Standar Deviasi dan Derajat Kemiringan ............................... 242Tabel 5.8 Distribusi Frekuensi Data dari Berat Badan 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung ...................................... 244Tabel 5.9 Perhitungan Derajat Kemiringan ............................................ 245Tabel 5.10 Data Nilai Ujian B.Inggris 50 Mahasiswa Jurusan Pariwisata Universitas BSI Bandung ....................................... 254Tabel 5.11 Perhitungan ................................................................................ 254Tabel 5.12 Data Nilai Ujian Akhir Semester 80 Mahasiswa Jurusan
Manajemen Pemasaran Universitas BSI Bandung ................ 256Tabel 5.13 Perhitungan ................................................................................ 257Tabel 6.1 Harga Beras Dari 3 Daerah ...................................................... 264Tabel 6.2 Kebutuhan-Kebutuhan Pokok Tahun 2000 dan 2005 ........... 267Tabel 6.3 Jenis-Jenis Bahan Bangunan Tahun 2003 dan 2008 .............. 268Tabel 6.5 Perhitungan ................................................................................ 269Tabel 6.6 Jenis-Jenis Bahan Tahun 2003 dan 2006 ................................ 270Tabel 6.7 Perhitungan ................................................................................ 271Tabel 6.8 Harga dan Kuantitas yang dibeli PT.Citra .............................. 274Tabel 6.9 Perhitungan ................................................................................ 274Tabel 6.10 Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan PT. Ayu Tahun 2000 dan 2005 ................................................................ 276Tabel 6.11 Perhitungan ................................................................................ 276Tabel 6.12 Harga dan Kuantitas yang dibeli PT.Citra .............................. 279Tabel 6.13 Perhitungan ................................................................................ 280Tabel 6.14 Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan Tahun 2000 dan 2005 ................................................................ 280Tabel 6.15 Perhitungan ................................................................................ 281
Statistika Deskriptif Itu Mudahxx
Tabel 6.16 Penjualan Barang-Barang Elektronik Tahun 2005 dan 2007 (dalam jutaan) ..................................... 284Tabel 6.17 Perhitungan Dengan Cara Walsh ............................................ 284Tabel 6.18 Perhitungan Indeks Dengan Cara Marshall – Edgeworth ... 285Tabel 6.19 Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan Tahun 2000 dan 2005 ................................................................ 286Tabel 6.20 Perhitungan Dengan Cara Walsh ............................................ 286Tabel 6.21 Perhitungan Dengan Cara Marshall – Edgeworth ............... 287Tabel 6.22 Harga Dan Jumlah Pembelian 4 Jenis Bahan Tahun 2001 dan 2006 ................................................................ 289Tabel 6.23 Perhitungan ................................................................................ 289Tabel 6.24 Harga Perdagangan Tahun 1990 – 1995 ................................. 291Tabel 6.25 Kebutuhan Alat-alat Kantor Tahun 2002 dan 2007 .............. 292Tabel 6.26 Jenis Kebutuhan-kebutuhan Medis Tahun 2005 dan 2009 .... 293Tabel 6.27 Harga dan Kuantitas Persediaan Barang yang Dibeli PT. Angkasa ................................................................................ 293Tabel 6.28 Jenis Kebutuhan-kebutuhan Medis Tahun 2005 dan 2009 .. 294Tabel 6.29 Perhitungan ................................................................................ 295Tabel 7.1 Data Kecepatan Mesin Per Menit Dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran) ................................................. 301Tabel 7.2 Perhitungan ................................................................................ 301Tabel 7.3 Data Besarnya Pendapatan Dan Pengeluaran Negara .......... 303Tabel 7.4 Perhitungan ................................................................................ 304Tabel 7.5 Data Antara Biaya Iklan Dan Volume Penjualan Perusahaan Jasa Eceran Produk Komputer............................ 305Tabel 7.6 Perhitungan ................................................................................ 306Tabel 7.7 Data Pendapatan Dengan Konsumsi Per Minggu Dalam $ ... 307Tabel 7.8 Perhitungan ................................................................................ 308Tabel 7.9 Data Kecepatan Mesin Per Menit Dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran) ................................................. 311Tabel 7.10 Perhitungan ................................................................................ 311Tabel 7.11 Data Besarnya Pendapatan Dan Pengeluaran Negara .......... 313Tabel 7.12 Perhitungan ................................................................................ 314Tabel 7.13 Data Antara Biaya Iklan Dan Volume Penjualan Perusahaan Jasa Eceran Produk Komputer............................ 315
xxiDaftar Tabel dan Gambar
Tabel 7.14 Perhitungan ................................................................................ 316Tabel 7.15 Data Pendapatan Dengan Konsumsi Per Minggu Dalam $ . 317Tabel 7.16 Perhitungan ................................................................................ 318Tabel 7.17 Data Kecepatan Mesin Per Menit dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran) ................................................. 321Tabel 7.18 Perhitungan ................................................................................ 322Tabel 7.19 Data Besarnya Pendapatan Dan Pengeluaran Negara .......... 323Tabel 7.20 Perhitungan ................................................................................ 324Tabel 7.21 Data Antara Biaya Iklan Dan Volume Penjualan Perusahaan Jasa Eceran Produk Komputer............................ 325Tabel 7.22 Perhitungan ................................................................................ 326Tabel 7.23 Data Pendapatan Dengan Konsumsi Per Minggu Dalam $ ... 327Tabel 7.24 Perhitungan ................................................................................ 329Tabel 7.25 Tinggi Badan Ayah dan Tinggi Badan Putra dengan Sampel 12 Orang Ayah dan Putra ........................................... 331Tabel 7.26 Percobaan Nitrogen pada Tanaman Padi ............................... 331Tabel 7.27 Perhitungan Metode Kuadrat Terkecil .................................... 332Tabel 7.28 Perhitungan Penaksiran Kesalahan Baku ............................... 336Tabel 7.29 Perhitungan Metode Kuadrat Terkecil .................................... 337Tabel 7.30 Perhitungan Penaksiran Kesalahan Baku ............................... 340Tabel 8.1 Besar Pendapatan Usaha (Jutaan Rupiah) .............................. 346Tabel 8.2 Perhitungan Semi Average ...................................................... 347Tabel 8.3 Besar Keuntungan Penjualan Laptop (Puluhan Juta Rupiah) .............................................................. 349Tabel 8.4 Perhitungan Semi Average ...................................................... 349Tabel 8.5 Biaya Produksi Sparepart Mobil (Milliaran Rupiah) ............ 351Tabel 8.6 Perhitungan Semi Average ...................................................... 351Tabel 8.7 Besar Pengeluaran PT. Indo (Miliaran Rupiah) .................... 353Tabel 8.8 Perhitungan Semi Average ...................................................... 354Tabel 8.9 Besar Penjualan Cabai (Jutaan Rupiah) .................................. 355Tabel 8.10 Perhitungan Semi Average ....................................................... 356Tabel 8.11 Keuntungan Penjualan Smartphone Di Gerai Smart (Milliaran Rupiah) ..................................................................... 358Tabel 8.12 Perhitungan Semi Average ...................................................... 358Tabel 8.13 Frekuensi Penggunaan Layanan Email Perusahaan (Jutaan Rupiah) .......................................................................... 360
Statistika Deskriptif Itu Mudahxxii
Tabel 8.14 Perhitungan Semi Average ...................................................... 361Tabel 8.15 Keuntungan Penjualan CCTV (Dalam Jutaan) ..................... 362Tabel 8.16 Perhitungan Semi Average ...................................................... 363Tabel 8.17 Besar Pinjaman Suatu Negara (Milliaran Rupiah) ................ 369Tabel 8.18 Letak Rata-Rata Bergerak 2 Tahun ......................................... 370Tabel 8.19 Letak Rata-Rata Bergerak 3 Tahun ......................................... 371Tabel 8.20 Besar Penjualan Motor (Jutaan Rupiah) ................................. 376Tabel 8.21 Perhitungan Least Square ....................................................... 376Tabel 8.22 Besar Pembelian Baju (Dalam Jutaan Rupiah) ...................... 377Tabel 8.23 Perhitungan Least Square ....................................................... 378Tabel 8.24 Besar Pinjaman Perusahaan (Jutaan Rupiah) ........................ 380Tabel 8.25 Perhitungan Semi Average ...................................................... 380Tabel 8.26 Perhitungan Least Square ....................................................... 383
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Contoh Tabel Distribusi Frekuensi ......................................... 5Gambar 1.2 Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa ........ 27Gambar 1.3 Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .......................................................... 29Gambar 1.4 Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Daripada nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa ............................................................................. 30Gambar 1.5 Ogif Distribusi Frekuensi Lebih Daripada Nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa .................................................................. 31Gambar 1.6 Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Dari dan Lebih Daripada Nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa .................................... 32Gambar 1.7 Ogif Distribusi Frekuensi dari nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .......................................................... 33Gambar 1.8 Ogif Distribusi Frekuensi Lebih Daripada Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP .................................................... 34
xxiiiDaftar Tabel dan Gambar
Gambar 1.9 Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Dari dan Lebih Daripada Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP ............... 34Gambar 1.10 Grafik Garis Tunggal dari data Penggunaan Keramik di PD. Mahar Putri Tahun 2001 – 2007 .................................. 48Gambar 1.11 Grafik Garis Ganda dari Data Angka Kelahiran di Kota Palu tahun 2003 – 2008 .............................................. 49Gambar 1.12 Grafik Garis Ganda dari Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006 ................... 50Gambar 1.13 Grafik Garis Ganda Dari Data Jumlah Produk Menurut Jenis dan Waktunya di Toko Putri Agung Tahun 2005 – 2009 ................................................................... 51Gambar 1.14 Grafik Batang Tunggal Dari Data Penggunaan Barang Produksi di PT. Abadi Tahun 2005 – 2009 .............. 53Gambar 1.15 Grafik Batang Tunggal Dari Data Angka Kelahiran di Kota Palu Tahun 2004 – 2009 ................................................ 54Gambar 1.16 Grafik Batang Ganda Dari Data Banyaknya Murid di Kuningan Tahun 2002 ............................................................... 55Gambar 1.17 Grafik Batang Ganda Dari Data Nilai Impor Menurut Golongan Makanan Pokok Tahun 2002 – 2006 .... 56Gambar 1.18 Grafik Lingkaran Dari Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001 .............................................. 58Gambar 1.19 Grafik Lingkaran Dari Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001 .............................................. 58Gambar 1.20 Grafik Lingkaran dari Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung ................................. 59Gambar 1.21 Grafik Lingkaran dari Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung ................................. 59Gambar 1.22 Grafik Gambar Dari Data Jumlah Pelajar di Indonesia (dalam ribuan) ........................................................................... 61Gambar 1.23 Grafik Gambar Dari Jumlah Populasi Kelinci Tahun 2004 – 2008 (dalam ribuan) ......................................... 62Gambar 1.24 Grafik Gambar Dari Data Jumlah Produksi Pabrik Obeng Tahun 2005 – 2008 (dalam ratusan) ........................... 62Gambar 1.25 Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai ELPT Jurusan Sistem Informasi 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung .......................................................... 77
Statistika Deskriptif Itu Mudahxxi�
Gambar 1.26 Ogif Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Daripada Tinggi Badan 50 Siswa SMP ..................................................... 77Gambar 1.27 Ogif Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ........................ 78Gambar 1.28 Grafik Garis Tunggal dari Data Penggunaan Barang Produksi di PT. Abadi selama 2005 – 2009 ........................... 80Gambar 1.29 Grafik Garis Ganda Dari Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006 .................. 81Gambar 1.30 Grafik Batang Tunggal dari Data Banyaknya Permintaan
Konsumen Produk Komputer Tahun 2000 – 2005 .............. 81Gambar 1.31 Grafik Batang Ganda dari Data Jumlah Produk Menurut Jenis dan Waktunya di Toko Putri Agung Tahun 2005 – 2009 ................................................................... 82Gambar 1.32 Grafik Lingkaran dari Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di Universitas BSI Bandung ............. 83Gambar 1.33 Grafik Lingkaran Dari Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di Universitas BSI Bandung ............. 83Gambar 1.34 Grafik Gambar Dari Jumlah Pembangunan Gedung Tahun 2003 – 2007 (dalam ratusan) ....................................... 84Gambar 5.1 Distribusi Simetri ...................................................................... 232Gambar 5.2 Distribusi Miring ke Kanan...................................................... 232Gambar 5.3 Distribusi Miring ke Kiri .......................................................... 233Gambar 5.4 Leptokurtis ................................................................................. 250Gambar 5.5 Mesokurtis .................................................................................. 251Gambar 5.6 Platikurtis ................................................................................... 251Gambar 8.1 Grafik Trend Jangka Panjang ................................................... 342Gambar 8.2 Tahap-tahap Siklis ..................................................................... 343Gambar 8.3 Variasi Musiman ........................................................................ 344Gambar 8.4 Gerakan Tidak Teratur ............................................................. 344
�
DIStrIBUSI freKUenSIBab 1
Dalam kehidupan sehari-hari secara terus-menerus kita terhubung dengan data. Data nilai adalah contoh data yang paling akrab bagi
mahasiswa dan dosen. Data di perusahaan yang secara lengkap memuat proses tumbuh kembangnya perusahaan. Data kebutuhan layanan Broadband di dunia memperlihatkan kebiasaan, preference dan prioritas pelanggan dalam memilih layanan Internet Broadband. Data-data ini hanya contoh sebagian kecil data yang ada di sekitar kita. Tanpa disadari data yang telah terkumpul tersedia dalam jumlah yang besar. Sering tumpukan data-data menjadi sangat besar sehingga kita mengalami kesulitan untuk mengenali ciri-cirinya. Meringkas data menjadi suatu kebutuhan. Data yang jumlahnya besar perlu diatur, ditata atau diorganisir sedemikian rupa sehingga dapat dimunculkan ciri khas dari kelompok data tersebut. Salah satu cara dengan meringkas data tersebut ke dalam bentuk kelompok data sehingga dengan segera dapat diketahui ciri-cirinya dan dapat dengan mudah dianalisis sesuai dengan kepentingan kita. Untuk menunjukkan ciri-ciri data bisa beragam cara. Secara garis besar ada 2 cara untuk menyajikan data, yaitu dengan tabel dan grafik. Penyajian data secara tabel bisa dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam kelas dan menetapkan banyaknya nilai yang termasuk dalam setiap kelas disebut juga frekuensi kelas. Sedangkan penyajian data dengan grafik dikatakan lebih komunikatif karena dalam waktu singkat seseorang akan
Statistika Deskriptif Itu Mudah�
dapat dengan mudah memperoleh gambaran dan kesimpulan mengenai suatu keadaan.
�.� Pengertian
Pengertian Distribusi Frekuensi (DF) adalah proses pengelompokkan atau penyusunan data menjadi tabulasi data yang memakai kelas-kelas data dan dikaitkan dengan masing-masing frekuensinya. Pembuatan DF bertujuan untuk mengatur data mentah atau belum dikelompokkan ke dalam bentuk yang rapi tanpa mengurangi atau menambah inti informasi yang ada. Distribusi frekuensi terbagi menjadi dua kelompok yaitu Distribusi Frekuensi Numerikal dan Distribusi Frekuensi Kategorikal. Pengertian Distribusi Frekuensi Numerikal yaitu pengelompokkan data berdasarkan angka-angka tertentu, biasanya disajikan dengan grafik histogram.Sedangkan pengertian Distribusi Frekuensi Kategorikal yaitu pengelompokkan data berdasarkan kategori-kategori tertentu, biasanya disajikan dengan grafik batang, lingkaran dan gambar.
�.� Mengenal Istilah-istilah dalam Distribusi Frekuensi
Untuk dapat membentuk distribusi frekuensi, kita perlu mengenal istilah-istilah yang ada dalam distribusi frekuensi.Istilah-istilah tersebut adalah: 1. kelas (Class) adalah penggolongan data yang dibatasi dengan nilai
terendah dan nilai tertinggi yang masing-masing dinamakan batas kelas.
2. Batas kelas (Class Limit) adalah nilai batas daripada tiap kelas dalam sebuah distribusi, terbagi menjadi:
States Class Limit adalah batas-batas kelas yang tertulis dalam distribusi frekuensi yang terdiri dari Batas bawah kelas (Lower Class Limit) dan Batas atas kelas (Upper Class Limit).
�Bab 1 Distribusi Frekuensi
3. tepi kelas (Class Bounderies) adalah batas kelas yang sebenarnya yang terdiri dari Batas bawah kelas yang sebenarnya (Lower Class Boundary) dan Batas atas kelas yang sebenarnya (Upper Class Boundary)
4. panjang kelas atau Lebar kelas (Class interval) adalah lebar dari sebuah kelas dan dihitung dari perbedaan antara kedua tepi kelasnya.
5. titik tengah kelas (Class Mark/Mid Point) adalah rata-rata hitung dari kedua batas kelasnya atau tepi kelasnya.
�.� Tahap-tahap Penyusunan Distribusi Frekuensi
Dalam penyusunan suatu distribusi frekuensi perlu dilakukan tahapan penyusunan yang dapat dijadikan Lakukan pengurutan data-data mentah terlebih dahulu sesuai urutan besarnya nilai data bila diperlukan. Selanjutnya lakukan tahapan-tahapan berikut ini: 1. Gunakan rumus berikut untuk menentukan nilai jangkauan atau range
(R):
R = Nilai Maksimum Data – Nilai Minimum Data
2. Hitung banyaknya kelas yang diinginkan, dapat digunakan rumus Strugges yaitu:
K = 1 + 3,3 log n
Dimana: K = banyaknya kelas n = banyaknya data
Penggunaan rumus Strugges ini untuk memandu kita menentukan dengan mudah perkiraan jumlah kelas yang dapat dibentuk dari sekelompok data. Hindari terlalu sedikit kelas karena dengan kelas yang jumlahnya
Statistika Deskriptif Itu Mudah�
sedikit informasi data juga tidak maksimal. Sedangkan jika terlalu banyak kelas dikhawatirkan akan terdapat kelas yang frekuensinya kosong.
3. Dapatkan nilai Interval Kelas dengan menggunakan rumus:
I = R/K
Dimana: I = interval kelas R = range atau jangkauan K = banyaknya kelas 4. Buat batas-batas kelas untuk membentuk kelas-kelas dalam distribusi
frekuensi:
Tbk = bbk – 0,5 (skala terkecil)Tak = bak + 0,5 (skala terkecil)
Dimana: Tbk = Tepi bawah kelas Tak = Tepi atas kelas Bbk = Batas bawah kelas Bak = Batas atas kelas Dengan menggunakan batas-batas kelas maka dapat ditentukan pula
panjang interval kelas yaitu Tak – Tbk.
5. Dapatkan titik tengah kelas dengan menggunakan rumus
TTK = ½ (bak +bbk)
Dimana: TTK = titik tengah kelas Bak = batas atas kelas Bbk = batas bawah kelas
�Bab 1 Distribusi Frekuensi
6. Setelah kerangka kelas tersusun, masukkanlah data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dengan memakai sistem Tally atau Turus.
7. Lengkapi distribusi frekuensi dengan cara mengisi kolom frekuensi sesuai dengan jumlah frekuensi data yang dihimpun dalam Tally atau Turus.
6
Gambar 1.1 Contoh Tabel Distribusi Frekuensi
1.4 Pembuatan Distribusi Frekuensi dari Sekelompok Data
Setelah mengetahui tahapan pembuatan distribusi frekuensi, maka sekarang kita akan membuat distribusi data dari kelompok-kelompok data berikut :
1. Data tinggi badan 100 orang mahasiswa STMIK Nusa Mandiri.
2. Nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI Bandung.
gambar 1.1 Contoh Tabel Distribusi Frekuensi
�.� Pembuatan Distribusi Frekuensi dari Sekelompok Data
Setelah mengetahui tahapan pembuatan distribusi frekuensi, maka sekarang kita akan membuat distribusi data dari kelompok-kelompok data berikut: 1. Data tinggi badan 100 orang mahasiswa STMIK Nusa Mandiri. 2. Nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI
Bandung. 3. Nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi
Universitas BSI Bandung.
Statistika Deskriptif Itu Mudah�
4. Nilai ELPT dari 50 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung.
Ciri kelompok data di atas adalah semua kelompok data terdiri dari sekumpulan data yang merupakan hasil pengukuran ataupun hasil pemeriksaan yang terdiri dari kumpulan data yang ditampilkan apa adanya. Data seperti itu disebut data mentah dan sering disebut sebagai raw data.
Contoh 1.1Perhatikan data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri berikut ini yang diukur dalam cm:
167 164 163 156 164 168 174 163 169 159164 169 162 163 157 167 162 158 165 163165 169 173 159 164 169 163 156 162 168171 157 169 165 167 156 170 164 153 168162 158 161 164 167 163 156 162 164 168158 165 173 156 164 167 163 154 162 169170 161 166 152 163 160 167 162 171 157156 168 161 157 164 166 162 160 165 167160 164 166 155 161 164 167 162 174 159170 153 163 168 162 172 161 164 158 161
Dari 100 ukuran tinggi badan mahasiswa di atas susunlah ke dalam tabel distribusi frekuensi.
penyelesaian:Tahap awal jika memungkinkan urutkan kelompok data tinggi badan di atas dari nilai tinggi terendah hingga tertinggi. Setelah diurutkan dari yang paling kecil sampai paling besar secara menyamping untuk data tinggi badan adalah sebagai berikut:
�Bab 1 Distribusi Frekuensi
152 153 153 154 155 156 156 156 156 156 156 157 157 157 157 158 158 158 158 159159 159 160 160 160 161 161 161 161 161161 162 162 162 162 162 162 162 162 162162 163 163 163 163 163 163 163 163 163164 164 164 164 164 164 164 164 164 164164 164 165 165 165 165 165 166 166 166167 167 167 167 167 167 167 167 168 168168 168 168 168 169 169 169 169 169 169170 170 170 171 171 172 173 173 174 174
Selanjutnya lakukan tahapan pembuatan distribusi frekuensi dengan langkah-langkah: 1. Periksa nilai maksimum dan nilai minimum dari data terurut di atas,
hitunglah nilai range atau jangkauan. Diperoleh nilai maksimum 174 dan nilai minimum 152, maka diperoleh range (R).
R = Nilai maksimum – Nilai minimum = 174 – 152 = 22
2. Prediksi jumlah banyaknya kelas data: K = 1+ 3,3 log n = 1 + 3,3 log 100 = 7,6 Dengan demikian banyaknya kelas dapat ditentukan kira-kira 7 atau
8.
3. Untuk contoh ini diambil banyak kelas 8, maka Interval (I) kelasnya diperoleh:
I = R/K = 22/8 = 2,75 Dengan demikian interval kelas dapat ditentukan kira-kira 2 atau 3.
Statistika Deskriptif Itu Mudah�
4. Karena nilai minimum data adalah 152, maka kita dapat memilih batas kelas pertama adalah 150, 151, atau 152 dan usahakan agar tidak terlalu jauh dengan nilai minimumnya. Dengan interval kelas ditentukan 3, maka diambil saja batas kelas pertamanya 152 untuk memudahkan penyusunan dalam tabel distribusi frekuensi. Maka didapatlah batas kelas pertamanya “ 152 – 154 “.
Sehingga diperoleh: Tbk = bbk – 0,5 = 152 – 0,5 = 151,5
Tak = bak + 0,5 = 154 + 0,5 = 154,5
Sehingga panjang interval kelas yaitu “151,5 – 154,5” 5. Didapatkan nilai Titik Tengah Kelas (TTK) pertama adalah:
TTK = ½ (152+154) = 153
Dengan cara yang sama dapat diperoleh titik tengah kelas berikutnya, yaitu kelas kedua 155 – 157 adalah 156. Kelas ketiga 158 – 160 adalah 159. Kelas keempat 161 – 163 adalah 162. Kelas kelima 164 – 166 adalah 165. Kelas keenam 167 – 169 adalah 168. Kelas ketujuh 170 –172 adalah 171. Kelas kedelapan 173 – 175 adalah 174.
6. Lakukan proses tally atau turus, pengurutan data pada tahap awal sebelumnya tentu sangat membantu dalam proses ini. Data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri diperoleh turus dan frekuensi data yaitu sebagai berikut:
�Bab 1 Distribusi Frekuensi
tabel 1.1 Turus dan Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
kelas turus frekuensi152 – 154 IIII 4155 – 157 IIII IIII I 11158 – 160 IIII IIII 10161 – 163 IIII IIII IIII IIII IIII 25164 – 166 IIII IIII IIII IIII 20167 – 169 IIII IIII IIII IIII 20170 – 172 IIII I 6173 – 175 IIII 4
7. Langkah terakhir susunlah semua data dalam tabel distribusi frekuensi secara lengkap sebagai berikut.
tabel 1.2 Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
kelas tepi kelas titik tengah frekuensi152 – 154 151,5 – 154,5 153 4155 – 157 154,5 – 157,5 156 11158 – 160 157,5 – 160,5 159 10161 – 163 160,5 - 163,5 162 25164 – 166 163,5 – 166,5 165 20167 – 169 166,5 – 169,5 168 20170 – 172 169,5 – 172,5 171 6173 – 175 172,5 – 175,5 174 4
Jumlah 100
Contoh 1.2Data nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
50 48 22 49 78 59 27 41 68 5434 80 68 42 73 51 76 45 32 5366 32 64 47 76 58 75 60 35 5773 38 30 44 54 57 72 67 51 8625 37 69 71 52 25 47 63 59 64
Buatlah daftar distribusi frekuensinya!
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0
penyelesaian:Setelah diurutkan nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI Bandung diperoleh:
22 25 25 27 30 32 32 34 35 3738 41 42 44 45 47 47 48 49 5051 51 52 53 54 54 57 57 58 5959 60 63 64 64 66 67 68 68 6971 72 73 73 75 76 76 78 80 86
Selanjutnya dihitung data-data berikut:
1. Dari jajaran data di atas, maka diperoleh range atau jangkauan: R = Nilai maksimum – Nilai minimum = 86 – 22 = 64
2. Banyaknya kelas data: K = 1+ 3,3 log n = 1 + 3,3 log 50 = 6,62
Dengan demikian banyaknya kelas dapat ditentukan kira-kira 6 atau 7.
3. Maka jika banyak kelas diambil 7. Jadi Interval kelasnya adalah: I = R/K = 64/7 = 9,14
Dengan demikian interval kelas dapat ditentukan kira-kira 9 atau 10.
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
4. Karena nilai minimum data adalah 22, maka kita dapat memiih batas kelas pertama adalah 22, 21, atau 20 dan usahakan agar tidak terlalu jauh dengan nilai minimumnya. Dengan interval kelasnya 10 maka diambil saja batas kelas pertamanya 20 untuk memudahkan penyusunan dalam tabel distribusi frekuensi. Maka didapatlah batas kelas pertamanya 20 – 29.
Jadi;
Tbk = bbk – 0,5 = 20 – 0,5 = 19,5
Tak = bak + 0,5 = 29 + 0,5 = 29,5
Panjang interval kelas pertama yaitu “19,5 – 29,5”
5. Titik tengah kelas pertama adalah: TTK = ½ (20+29) = 24,5 Dengan cara yang sama dapat diperoleh titik tengah kelas berikutnya,
yaitu kelas 30 – 39 adalah 34,5. Kelas 40 – 49 adalah 44,5. Kelas 50 – 59 adalah 54,5. Kelas 60 – 69 adalah 64,5. Kelas 70 – 79 adalah 74,5. Kelas 80 – 89 adalah 84,5.
Dengan memakai jajaran data dari data nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI Bandung, maka diperoleh turus dan frekuensi data yaitu sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
tabel 1.3Turus dan Frekuensi dari data Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50
Mahasiswa Universitas BSI Bandung
kelas turus frekuensi20 – 29 IIII 430 – 39 IIII II 740 – 49 IIII III 850 – 59 IIII IIII II 1260 – 69 IIII IIII 970 – 79 IIII III 880 – 89 II 2
Dengan demikian, tabel distribusi frekuensi lengkap adalah sebagai berikut:
tabel 1.4 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50
Mahasiswa Universitas BSI Bandung
kelas tepi kelastitik
tengahfrekuensi
20 – 29 19,5 – 29,5 24,5 430 – 39 29,5 – 39,5 34,5 740 – 49 39,5 – 49,5 44,5 850 – 59 49,5 - 59,5 54,5 1260 – 69 59,5 – 69,5 64,5 970 – 79 69,5 – 79,5 74,5 880 – 89 79,5 – 89,5 84,5 2
Jumlah 50
Contoh 1.3Data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
25 27 30 25 34 95 78 50 50 4087 25 95 25 95 40 66 53 70 5339 93 25 27 34 66 53 55 55 5340 89 27 95 89 40 55 53 53 5343 87 89 32 66 53 53 95 53 6478 40 39 30 70 55 95 93 64 4093 34 87 92 68 53 91 37 40 4395 25 93 37 44 53 68 64 37 3734 44 32 91 37 60 53 60 92 9525 25 92 30 91 95 87 55 95 78
Buatlah daftar distribusi frekuensinya!
penyelesaian:Jajaran data yang diurutkan dari yang paling kecil sampai paling besar untuk data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
25 25 25 25 25 25 25 25 27 2727 30 30 30 32 32 34 34 34 3437 37 37 37 37 39 39 40 40 4040 40 40 40 43 43 44 44 50 5053 53 53 53 53 53 53 53 53 5353 53 53 55 55 55 55 55 60 6064 64 64 66 66 66 68 68 70 7078 78 78 87 87 87 87 89 89 8991 91 91 92 92 92 93 93 93 9395 95 95 95 95 95 95 95 95 95
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
Selanjutnya dilakukan tahap dan langkah perhitungan berikut: 1. Dari jajaran data di atas, maka diperoleh range atau jangkauan: R = Nilai maksimum – Nilai minimum = 95 – 25 = 70
2. Banyaknya kelas data: K = 1+ 3,3 log n = 1 + 3,3 log 100 = 7,6
Dengan demikian banyaknya kelas dapat ditentukan antara 7 atau 8 kelas
3. Maka jika banyak kelas diambil 8. Jadi Interval kelasnya adalah: I = R/K = 70/8 = 8,75
Dengan demikian interval kelas dapat ditentukan kira-kira 8 atau 9.
4. Karena nilai minimum data adalah 25, maka kita dapat memilih batas kelas pertama adalah 25, 24, 23 atau 21 dan usahakan agar tidak terlalu jauh dengan nilai minimumnya. Dengan interval kelasnya 9 maka diambil saja batas kelas pertamanya 25 untuk memudahkan penyusunan dalam tabel distribusi frekuensi. Maka didapatlah batas kelas pertamanya 25 – 33.
Jadi; Tbk = bbk – 0,5 = 25 – 0,5 = 24,5
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
Tak = bak + 0,5 = 33 + 0,5 = 33,5
Panjang interval kelas yaitu “24,5 – 33,5”
5. Titik tengah kelas pertama adalah: TTK = ½ (25+33) = 29
Dengan cara yang sama dapat diperoleh titik tengah kelas berikutnya, yaitu kelas 34 – 42 adalah 38. Kelas 43 – 51 adalah 47. Kelas 52 – 60 adalah 56. Kelas 61 – 69 adalah 65. Kelas 70 – 78 adalah 74. Kelas 79 – 87 adalah 83. Kelas 88 – 96 adalah 92.
Selanjutnya diperoleh hasil turus dan frekuensi data yaitu sebagai berikut:
tabel 1.5Turus dan Frekuensi Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 mahasiswa
jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung
kelas turus frekuensi25 – 33 IIII IIII I 1634 – 42 IIII IIII IIII III 1843 – 51 IIII I 652 – 60 IIII IIII IIII IIII 2061 – 69 IIII III 870 – 78 IIII 579 – 87 IIII 488 – 96 IIIII IIII IIII IIII III 23
Dengan demikian, tabel distribusi frekuensi lengkap yaitu sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
tabel 1.6Distribusi frekuensi dari nilai nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa
jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung
kelas tepi kelastitik
tengahfrekuensi
25 – 33 24,5 – 33,5 29 1634 – 42 33,5 – 42,5 38 1843 – 51 42,5 – 51,5 47 652 – 60 51,5 – 60,5 56 2061 – 69 60,5 – 69,5 65 870 – 78 69,5 – 78,5 74 579 – 87 78,5 – 87,5 83 488 – 96 87,5 – 96,5 92 23
Jumlah 100
Contoh 1.4Data nilai ELPT dari 50 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
40 37 55 65 63 60 53 60 42 4337 68 37 70 53 63 38 42 43 5040 55 65 37 58 50 53 50 50 5065 50 58 63 43 47 60 38 50 5070 37 50 45 63 50 38 50 50 50
Sajikan data di atas dalam bentuk distribusi frekuensi!
penyelesaian:Data mentah di atas diatur dalam jajaran data yang diurutkan dari yang paling kecil sampai paling besar untuk data nilai ELPT dari 50 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung menjadi:
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
37 37 37 37 37 38 38 38 40 4042 42 43 43 43 45 47 50 50 5050 50 50 50 50 50 50 50 50 5053 53 53 55 55 58 58 60 60 6063 63 63 63 65 65 65 68 70 70
Berikutnya dilakukan perhitungan dan langkah-langkah penyusunan: 1. Dari jajaran data di atas, maka diperoleh range atau jangkauan: R = Nilai maksimum – Nilai minimum = 70 – 37 = 33
2. Banyaknya kelas data: K = 1+ 3,3 log n = 1 + 3,3 log 50 = 6,62
Dengan demikian banyaknya kelas dapat ditentukan kira-kira 6 atau 7.
3. Maka jika banyak kelas diambil 7. Jadi Interval kelasnya adalah: I = R/K = 33/7 = 4,71
Dengan demikian interval kelas dapat ditentukan kira-kira 4 atau 5.
4. Karena nilai minimum data adalah 37, maka kita dapat memiih batas kelas pertama adalah 37, 36 atau 35 dan usahakan agar tidak terlalu jauh dengan nilai minimumnya. Dengan interval kelasnya 5 maka diambil saja batas kelas pertamanya 35 untuk memudahkan
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
penyusunan dalam tabel distribusi frekuensi. Maka didapat lah batas kelas pertamanya 35 – 39.
Jadi; Tbk = bbk – 0,5 = 35 – 0,5 = 34,5
Tak = bak + 0,5 = 39 + 0,5 = 39,5
Panjang interval kelas yaitu “34,5 – 39,5”
5. Titik tengah kelas pertama adalah: TTK = ½ (35+39) = 37
Dengan cara yang sama dapat diperoleh titik tengah kelas berikutnya, yaitu kelas 40 – 44 adalah 42. Kelas 45 – 49 adalah 47. Kelas 50 – 54 adalah 52. Kelas 55 – 59 adalah 57. Kelas 60 – 64 adalah 62. Kelas 65 – 69 adalah 67.
Dengan memakai jajaran data nilai ELPT dari 50 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung maka diperoleh turus dan frekuensi data yaitu:
tabel 1.7Turus dan Frekuensi Nilai ELPT 50 Mahasiswa Jurusan Sistem Informasi
Universitas BSI Bandung
kelas turus frekuensi35 – 39 IIII III 840 – 44 IIII II 745 – 49 II 250 – 54 IIII IIII IIII I 1655 – 59 IIII 460 – 64 IIII II 765 – 70 IIII I 6
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
Dengan demikian, tabel distribusi frekuensi lengkapnya yaitu sebagai berikut:
tabel 1.8Distribusi Frekuensi Nilai ELPT 50 Mahasiswa Jurusan Sistem Informasi
Universitas BSI Bandung
kelas tepi kelastitik
tengahfrekuensi
35 – 39 34,5 – 39,5 37 840 – 44 39,5 – 44,5 42 745 – 49 44,5 – 49,5 47 250 – 54 49,5 – 54,5 52 1655 – 59 54,5 – 59,5 57 460 – 64 59,5 – 64,5 62 765 – 69 64,5 – 69,5 67 6
Jumlah 50
�.� Jenis-jenis Distribusi Frekuensi
�. Distribusi Frekuensi Kumulatif
Distribusi frekuensi kumulatif adalah suatu daftar yang memuat frekuensi-frekuensi kumulatif, jika ingin mengetahui banyaknya data yang ada di atas atau di bawah suatu nilai tertentu. Distribusi frekuensi kumulatif ini terbagi menjadi 2 bagian yaitu diantaranya: • Distribusi Frekuensi kumulatif kurang dari (dari atas) yaitu suatu total
frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya.
• Distribusi Frekuensi kumulatif lebih dari (dari bawah) yaitu suatu total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih besar dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya.
• Distribusi Frekuensi Kumulatif Relatif adalah suatu total frekuensi dengan menggunakan persentasi.
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0
�. Distribusi Frekuensi Relatif
Distribusi frekuensi relatif adalah perbandingan daripada frekuensi masing-masing kelas dan jumlah frekuensi seluruhnya dan dinyatakan dalam persen.
Contoh 1.5Perhatikan data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri berikut ini:
tabel 1.9Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
kelas tepi kelastitik
tengahfrekuensi
152 – 154 151,5 – 154,5 153 4155 – 157 154,5 – 157,5 156 11158 – 160 157,5 – 160,5 159 10161 – 163 160,5 - 163,5 162 25164 – 166 163,5 – 166,5 165 20167 – 169 166,5 – 169,5 168 20170 – 172 169,5 – 172,5 171 6173 – 175 172,5 – 175,5 174 4
Jumlah 100
Dari 100 ukuran tinggi badan mahasiswa di atas buatlah ke dalam tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari!Penyelesaian: Frekuensi kumulatif kurang dari diperoleh dengan cara menghitung total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya. Maka dengan itu lebih lengkapnya tabelnya seperti berikut:
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
tabel 1.10Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang daripada Data Tinggi Badan 100
Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
kelas Batas kelasfrekuensi kumulatif
kurang dari
persenkumulatif
≤ 151,5 0 0152 – 154 ≤ 154,5 4 4155 – 157 ≤ 157,5 15 15158 – 160 ≤ 160,5 25 25161 – 163 ≤ 163,5 50 50164 – 166 ≤ 166,5 70 70167 – 169 ≤ 169,5 90 90170 – 172 ≤ 172,5 96 96173 – 175 ≤ 175,5 100 100
Contoh 1.6 Data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
tabel 1.11 Distribusi frekuensi dari Nilai OCR murni Ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan
Akuntansi Universitas BSI Bandung
kelas tepi kelas titik tengah frekuensi25 – 33 24,5 – 33,5 29 1634 – 42 33,5 – 42,5 38 1843 – 51 42,5 – 51,5 47 652 – 60 51,5 – 60,5 56 2061 – 69 60,5 – 69,5 65 870 – 78 69,5 – 78,5 74 579 – 87 78,5 – 87,5 83 488 – 96 87,5 – 96,5 92 23
Jumlah 100
Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari!
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
penyelesaian:Frekuensi kumulatif lebih dari diperoleh dengan cara menghitung total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih besar dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya. Maka dengan itu lebih lengkapnya tabelnya seperti di bawah ini:
tabel 1.12Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada nilai OCR murni Ujian Statistika 100
mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung
kelas Batas kelasfrekuensi kumulatifLebih dari
persenkumulatif
25 – 33 ≥ 24,5 100 10034 – 42 ≥ 33,5 84 8443 – 51 ≥ 42,5 66 6652 – 60 ≥ 51,5 60 6061 – 69 ≥ 60,5 40 4070 – 78 ≥ 69,5 32 3279 – 87 ≥ 78,5 27 2788 – 96 ≥ 87,5 23 23
≥ 96,5 0 0
Contoh 1.7 Data tinggi badan siswa SMP yang jumlah siswanya 50 orang adalah sebagai berikut:
tabel 1.13Distribusi Frekuensi dari Data Tinggi Badan 50 siswa SMP
kelas tepi kelas titik tengah frekuensi105 – 110 104,5 – 110,5 107,5 12111 – 116 110,5 – 116,5 113,5 9117 – 122 116,5 – 122,5 119,5 4123 – 128 122,5 – 128,5 125,5 6129 – 134 128,5 – 134,5 131,5 2135 – 140 134,5 – 140,5 137,5 9141 – 146 140,5 – 146,5 143,5 8
Jumlah 50
Buatlah tabel distribusi frekuensi relatifnya dari data di atas!
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
penyelesaian:Frekuensi relatif diperoleh dengan cara membandingkan antara frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi kemudian dikalikan 100%. Misalnya untuk kelas 105 – 110 dengan frekuensi (f) = 12, maka frekuensi relatifnya adalah 12/50 * 100% = 24% dan seterusnya. Maka tabelnya seperti berikut:
tabel 1.14Distribusi Frekuensi Relatif dari Data Tinggi Badan 50 siswa SMP
kelas titik tengah frekuensifrekuensi relatif (%)
105 – 110 107,5 12 24111 – 116 113,5 9 18117 – 122 119,5 4 8123 – 128 125,5 6 12129 – 134 131,5 2 4135 – 140 137,5 9 18141 – 146 143,5 8 16
Jumlah 50 100
Contoh 1.8Data nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
tabel 1.15 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50
Mahasiswa Universitas BSI Bandung
kelas tepi kelastitik
tengahfrekuensi
20 – 29 19,5 – 29,5 24,5 430 – 39 29,5 – 39,5 34,5 740 – 49 39,5 – 49,5 44,5 850 – 59 49,5 - 59,5 54,5 1260 – 69 59,5 – 69,5 64,5 970 – 79 69,5 – 79,5 74,5 880 – 89 79,5 – 89,5 84,5 2
Jumlah 50
Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari!
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
penyelesaian:Frekuensi kumulatif kurang dari diperoleh dengan cara menghitung total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya. Maka dengan itu lebih lengkapnya tabelnya seperti di bawah ini:
tabel 1.16Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang dari Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50
Mahasiswa Universitas BSI Bandung
kelas Batas kelasfrekuensi kumulatif
kurang dari
persenkumulatif
≤ 19,5 0 020 – 29 ≤ 29,5 4 830 – 39 ≤ 39,5 11 2240 – 49 ≤ 49,5 19 3850 – 59 ≤ 59,5 31 6260 – 69 ≤ 69,5 40 8070 – 79 ≤ 79,5 48 9680 – 89 ≤ 89,5 50 100
Contoh 1.9Data nilai Ujian Tengah Semester pada mata kuliah Perpajakan dari 65 mahasiswa sebagai berikut:
tabel 1.17Distribusi Frekuensi nilai Ujian Tengah Semester Perpajakan 65 Mahasiswa
kelas tepi kelas titik tengah frekuensi20 – 27 19,5 – 27,5 23,5 528 – 35 27,5 – 35,5 31,5 836 – 43 35,5 – 43,5 39,5 1044 – 51 43,5 – 51,5 47,5 1452– 59 51,5 –59,5 55,5 2160 – 67 59,5 –67,5 63,5 7
Jumlah 65
Buatlah tabel distribusi frekuensi relatif dari data di atas!
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
penyelesaian:Frekuensi relatif diperoleh dengan cara membandingkan antara frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi kemudian dikalikan 100%. Misalnya untuk kelas 20 – 27 dengan frekuensi (f) = 5, maka frekuensi relatifnya adalah 5/65 * 100% = 7,7% dan seterusnya. Maka tabelnya seperti berikut:
tabel 1.18Distribusi Frekuensi Relatif dari Nilai Ujian Tengah Semester
Perpajakan 65 Mahasiswa
kelas titik tengah frekuensifrekuensi relatif (%)
20 – 27 23,5 5 7,728 – 35 31,5 8 12,336 – 43 39,5 10 15,443 – 51 47,5 14 21,552 – 59 55,5 21 32,460 – 67 63,5 7 10,7
Jumlah 65 100
�.� Histogram, Poligon Frekuensi dan Ogif
Histogram dan poligon frekuensi adalah dua grafik yang mencerminkan distribusi frekuensi. Sedangkan ogif adalah grafik yang mencerminkan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari atau distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Untuk menyajikan data dengan histogram dan poligon frekuensi, maka diperlukan sumbu X dan sumbu Y. Biasanya sumbu X dipakai untuk menyatakan kelas interval dan sumbu Y dipakai untuk menyatakan frekuensi kelas baik frekuensi absolut maupun frekuensi relatif. Cara untuk menyajikan data dengan histogram, poligon frekuensi dan ogif adalah sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
�. Histogram
Suatu histogram terdiri atas satu kumpulan batang persegi panjang yang masing-masing mempunyai: a. Alas pada sumbu mendatar (sumbu X) yang lebarnya sama dengan
lebar kelas interval. b. Luas yang sebanding dengan frekuensi kelas.
Jika semua kelas interval sama lebarnya, maka tinggi batang sebanding dengan frekuensi kelas dan biasanya tinggi batang secara numerik sama dengan frekuensi kelas interval. Akan tetapi, jika kelas interval lebarnya tidak sama, maka tinggi batang ini harus disesuaikan.
�. Poligon Frekuensi
Suatu poligon frekuensi adalah grafik garis dari fekuensi kelas yang menghubungkan nilai tengah–nilai tengah kelas dari puncak batang histogram. Untuk menggambar poligon frekuensi secara lengkap biasanya diperlukan garis tambahan berupa segmen garis yang menghubungkan nilai tengah dari puncak batang histogram pertama dan terakhir dengan nilai tengah kelas yang paling ujung (paling pinggir) di kiri dan di kanan yang frekuensi kelasnya sama dengan nol. Dengan demikian jumlah luas batang histogram sama dengan total luas yang dibatasi oleh poligon frekuensi dan sumbu datar (sumbu X). (Boediono: 2008)
Contoh 1.10Nilai Ujian Akhir Semester mata kuliah Dasar Manejemen dan Bisnis dari 80 mahasiswa sebagai berikut:
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
tabel 1.19Distribusi Frekuensi nilai Ujian Akhir Semester mata kuliah Dasar Manajemen dan
Bisnis 80 Mahasiswa
kelas tepi kelas titik tengah frekuensi31 – 40 30,5 – 40,5 35,5 241 – 50 40,5 – 50,5 45,5 351 – 60 50,5 – 60,5 55,5 561 – 70 60,5 – 70,5 65,5 1371 – 80 70,5 – 80,5 75,5 2481 – 90 80,5 – 90,5 85,5 21
91 – 100 90,5 – 100,5 95,5 12Jumlah 80
Buatlah grafik histogram dan poligon frekuensi dari data di atas!
penyelesaian:
gambar 1.2Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen
dan Bisnis 80 Mahasiswa
0
10
20
30
Frek
uens
i kel
as
2
30,5 40,5 5
3 5
13
0,5 60,5 70,5batas kelas
2421
5 80,5 90,5 1
12
00,5
Pada gambar di atas, sumbu mendatar menyatakan nilai ujian akhir semester Dasar Manjemen dan Bisnis yang telah dikelompokkan menjadi 7 kelas interval dan yang tampak pada gambar adalah batas kelas dari masing-masing kelas interval. Sedangkan sumbu tegak menyatakan frekuensi masing-masing kelas interval.
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
Pada gambar di atas jelas terlihat bahwa batang histogram kelas pertama 30,5 – 40,5 mempunyai lebar batang sama dengan lebar kelas, yaitu C = 10 dan tinggi batang histogram sama dengan frekuensi kelas interval, yaitu f = 2. Batang histogram kelas kedua dengan batas kelas 40,5 – 50,5 mempunyai lebar batang sama dengan lebar kelas, yaitu C = 10 dan tinggi batang histogram sama dengan frekuensi kelas interval, yaitu f = 3 dan seterusnya. Perhatikan bahwa karena alas dari batang histogram selalu dinyatakan oleh batas kelas, maka antara batang histogram yang satu dengan batang histogram yang lain tidak mempunyai jarak atau berimpit. Perlu diingat bahwa sumbu tegak dari batang histogram dan poligon frekuensi, selain dapat dinyatakan dengan frekuensi relatif atau persen dari frekuensi masing-masing kelas interval. Tentu saja untuk itu diperlukan distribusi frekuensi relatif atau persen frekuensi. Dalam kasus ini, tinggi batang histogram dinyatakan dalam frekuensi relatif masing-masing kelas atau persen frekuensi masing-masing kelas.
Contoh 1.11 Data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
tabel 1.20Distribusi frekuensi dari nilai nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan
Akuntansi Universitas BSI Bandung
kelas tepi kelastitik
tengahfrekuensi
25 – 33 24,5 – 33,5 29 1634 – 42 33,5 – 42,5 38 1843 – 51 42,5 – 51,5 47 652 – 60 51,5 – 60,5 56 2061 – 69 60,5 – 69,5 65 870 – 78 69,5 – 78,5 74 579 – 87 78,5 – 87,5 83 488 – 96 87,5 – 96,5 92 23
Jumlah 100
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
Buatlah grafik histogram dan poligon frekuensi dari data di atas!
penyelesaian:
gambar 1.3Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai OCR murni Ujian Statistika 100
Mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung
0
5
10
15
20
25
24,5 33,5 42,5 51,5 60,5 69,5 78,5 87,5 96,5
Frek
uens
i kel
as
batas kelas
�. Ogif
Ogif merupakan grafik dari distribusi frekuensi kumulatif lebih dari atau distribusi frekuensi kurang dari. Ogif disebut juga poligon frekuensi kumulatif. Untuk menggambarkan ogif diperlukan tabel distribusi frekuensi kumulatif. Prinsip yang dipakai untuk menggambarkan ogif hampir sama dengan prinsip untuk menggambarkan histrogram dan poligon frekuensi. Sumbu datar dari ogif menyatakan batas kelas dan sumbu tegak menyatakan frekuensi kumulatif.(Boediono: 2008)
Contoh 1.12Buatlah ogif dari data nilai Ujian Akhir Semester mata kuliah Dasar Manejemen dan Bisnis dari 80 mahasiswa yang data distribusi frekuensi kumulatif kurang darinya sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0
tabel 1.21Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Daripada nilai Ujian Akhir Semester Dasar
Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa
kelas Batas kelasfrekuensi kumulatif
kurang dari
persenkumulatif
≤ 30,5 0 031 – 40 ≤ 40,5 2 2,541 – 50 ≤ 50,5 5 6,2551 – 60 ≤ 60,5 10 12,561 – 70 ≤ 70,5 23 28,7571 – 80 ≤ 80,5 47 58,7581 – 90 ≤ 90,5 68 81,25
91 – 100 ≤ 100,5 80 100
penyelesaian:
gambar 1.4Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Daripada nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen
dan Bisnis 80 Mahasiswa
0 2 5 1023
4768
80
020406080100
30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5Htgmwgpuk"Mwowncvkh
Dcvcu"Mgncu
Contoh 1.13Buatlah ogif dari data nilai Ujian Akhir Semester mata kuliah Dasar Manajemen dan Bisnis dari 80 mahasiswa sebagaimana dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi lebih dari yang datanya sebagai berikut:
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
tabel 1.22Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada nilai Ujian Akhir Semester Dasar
Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa
kelas Batas kelasfrekuensi kumulatifLebih dari
persenkumulatif
31 – 40 ≥ 30,5 80 10041 – 50 ≥ 40,5 78 97,551 – 60 ≥ 50,5 75 93,7561 – 70 ≥ 60,5 70 87,571 – 80 ≥ 70,5 57 71,2581 – 90 ≥ 80,5 33 41,25
91 – 100 ≥ 90,5 12 15≥ 100,5 0 0
penyelesaian:
gambar 1.5Ogif Distribusi Frekuensi Lebih Daripada nilai Ujian Akhir Semester Dasar
Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa
80 78 7570
57
3312
0020406080100
30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5
Frek
uens
i Kum
ulat
if
Batas Kelas
Bila titik-titik sudut dari ogif atau poligon frekuensi kumulatif pada ogif frekuensi kumulatif kurang dari dan ogif frekuensi lebih dari dihilangkan atau dihapuskan sehingga diperoleh ogif yang mulus (tanpa titik sudut), maka akan diperoleh kurva ogif kurang dari dan kurva ogif lebih dari, dari contoh tadi sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
gambar 1.6Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Dari dan Lebih Daripada nilai Ujian Akhir Semester
Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa
0 2 510
23
47
688080 78 75 70
57
33
1200
20
40
60
80
10030
,5
40,5
50,5
60,5
70,5
80,5
90,5
100,
5
Htgmwgpuk"Mwowncvkh
Dcvcu"Mgncu
Ogif Frekuensi kumula�f kurang dari
Ogif frekuensi kumula�f lebih dari
Contoh 1.14Buatlah ogif dari data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung sebagaimana dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kurang dari yang datanya sebagai berikut:
tabel 1.23Distribusi Frekuensi dari nilai OCR murni Ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan
Akuntansi Universitas BSI Bandung
kelas Batas kelasfrekuensi kumulatif
kurang dari
persenkumulatif
≤ 24,5 0 025 – 33 ≤ 33,5 16 1634 – 42 ≤ 42,5 34 3443 – 51 ≤ 51,5 40 4052 – 60 ≤ 60,5 60 6061 – 69 ≤ 69,5 68 6870 – 78 ≤ 78,5 73 7379 – 87 ≤ 87,5 77 7788 – 96 ≤ 96,5 100 100
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
penyelesaian:
gambar 1.7Ogif Distribusi Frekuensi dari nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan
Akuntansi Universitas BSI Bandung
Pen
ConBuaBantabeberi
T
1111111
nyelesaian :
GambOCR
juru
ntoh 1.15 atlah ogif dandung kelas el distribusi ikut :
Tabel 1.24 DTinggi Badan
Kelas
05 – 110 111 – 116 17 – 122 23 – 128 29 – 134 35 – 140 41 – 146
0
20
40
60
80
100
120
Frek
uens
i Kum
ulat
if
bar 1.7 Ogif DR murni ujia
usan Akuntan
ari data tin7A sebagaimfrekuensi l
Distribusi Frn 50 siswa SM
Batas Kelas
104,5 110,5 116,5 122,5 128,5 134,5 140,5 146,5
016
24,5 33,5 42
Distribusi Fran Statistika nsi Universit
nggi badan amana dinyatebih dari ya
ekuensi LebiMP Negeri 8
FrekuenKumulatLebih da
50382925191780
634 40
6
2,5 51,5 60,5Batas Kela
rekuensi dari100 mahasis
tas BSI Band
anak SMP Ntakan dalamang datanya
ih Dari pada Bandung ke
nsi tifari
PersKumu
107658503834160
6068 73
69,5 78,5 87,5as
36
i nilai swadung
Negeri 8 m bentuk
sebagai
Data elas 7A
sen ulatif
00680846
0
77
100
5 96,5
Contoh 1.15Buatlah ogif dari data tinggi badan 50 anak SMP sebagaimana dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi lebih dari yang datanya sebagai berikut:
tabel 1.24Distribusi Frekuensi Lebih Daripada Data Tinggi Badan 50 siswa SMP
kelasBatas kelas
frekuensi kumulatifLebih dari
persenkumulatif
105 – 110 ≥ 104,5 50 100111 – 116 ≥ 110,5 38 76117 – 122 ≥ 116,5 29 58123 – 128 ≥ 122,5 25 50129 – 134 ≥ 128,5 19 38135 – 140 ≥ 134,5 17 34141 – 146 ≥ 140,5 8 16
≥ 146,5 0 0
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
penyelesaian:
gambar 1.8Ogif Distribusi Frekuensi Lebih Daripada Data Tinggi Badan 50 siswa SMP
Pen
kumogifsehmaklebi
nyelesaian :
GamDari
Bila titikmulatif padaf frekuensi ingga diperoka akan dipeih dari, dari c
0
10
20
30
40
50
60
10
Frek
uens
i Kum
ulat
if
mbar 1.8 Ogif i pada Data T
Negeri 8
k-titik suduta ogif frekue
lebih dari oleh ogif yaeroleh kurvacontoh di ata
50
38
04,5110,5116,
Distribusi FTinggi BadanBandung Ke
t dari ogif atensi kumulat
dihilangkanang mulus a ogif kurangas sebagai be
2925
19
5122,5128,51Batas Kelas
Frekuensi Lebn 50 siswa SMelas 7A
au poligon frtif kurang dn atau diha(tanpa titik
g dari dan kurikut :
9 178
34,5140,5146
37
bihMP
rekuensi dari dan apuskan
sudut), urva ogif
0
,5
Bila titik-titik sudut dari ogif atau poligon frekuensi kumulatif pada ogif frekuensi kumulatif kurang dari dan ogif frekuensi lebih dari dihilangkan atau dihapuskan sehingga diperoleh ogif yang mulus (tanpa titik sudut), maka akan diperoleh kurva ogif kurang dari dan kurva ogif lebih dari, dari contoh di atas sebagai berikut:
gambar 1.9Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Dari dan Lebih Daripada Data Tinggi Badan
50 Siswa SMP
0
1221 25
31 3342
5050
3829 25
19 178
00102030405060
104,
5
110,
5
116 ,
5
122 ,
5
128 ,
5
134,
5
140,
5
146,
5
Frek
uens
i Kum
ulat
if
Batas Kelas
Ogif frekuensi kumula�f kurang dari
Ogif frekuensi kumula�f lebih dari
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
�.� Notasi Sigma
Σ adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah berpola. Σ merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah.
Rumus: Xii
n
=∑ 1dibaca sigma Xi, i dari 1 sampai n
Sifat-sifat Notasi Sigma
Xi Yi Zi Xi Yi Zii
n
i
n
i
n
i
n
± ±( )= ± ±= = ==∑ ∑ ∑∑
1 1 11
k Xi k Xi ki
n
i
n
. ,= ===∑∑ bilangan konstanta
11
k k k k nki
n
= + + + ==∑
1
a.
b.
c.
d.
e.
Xi k Xi kXi ki
n
i
n
−( ) = − +( )==∑∑ 2 2 2
11
2
Yi a bXi Yi na b Xii
n
i
n
i
n
− −( )= − −= ==∑ ∑∑
1 11
Contoh 1.16Diketahui:
X1 = 3 X2 = 5 X3 = 7 X4 = 9 X5 = 11 Y1 = 1 Y2 = 2 Y3 = 3 Y4 = 4 Y5 = 5 Z1 = 2 Z2 = 4 Z3 = 6 Z4 = 8 Z5 = 10
Hitunglah Xi Zi Yii
n
+ +=∑ !
1
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
penyelesaian:
Xii
= + + + + ==∑ 3 5 7 9 11 35
1
5
Yii
= + + + + ==∑ 1 2 3 4 5 15
1
5
Zii
= + + + + ==∑ 2 4 6 8 10 30
1
5
Xi Yi Zi Xi Yi Zii
n
iii
+ +( )= + +
= + +=
= ===∑ ∑∑∑
1 1
5
1
5
1
5
35 15 3080
Contoh 1.17Diketahui:
X1 = 15 X2 = 17 X3 = 19 X4 = 21 X5 = 23 Y1 = 11 Y2 = 12 Y3 = 13 Y4 = 14 Y5 = 15 Z1 = 1 Z2 = 2 Z3 = 3 Z4 = 4 Z5 =5
Hitunglah Xi Zi Yii
n
+ +=∑ !
1
penyelesaian:
Xii=∑ = + + + + =
1
5
15 17 19 21 23 95
Yii=∑ = + + + + =
1
5
11 12 13 14 15 65
Zii=∑ = + + + + =
1
5
1 2 3 4 5 15
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
Xi Yi Zi Xi Yi Zii
n
i ii
− −( )= − −
= − −=
= = ==∑ ∑ ∑∑
1 1
5
1
5
1
5
95 65 1515
Contoh 1.18Diketahui:
X1 = 2 X2 = 4 Y1 = 0 Y2 = 1 Y3 = 8
Hitunglah 2 61
Xi Yii
n
=∑ + !
penyelesaian:
2 6 2 61 1
2
1
3
Xi Yi Xi Yii
n
i i
+( )= += =∑ ∑ ∑
= 2 (2+4) + 6 (0+1+8) = 2 (6) + 6 (9) = 12 + 54 = 66
Contoh 1.19Diketahui:
B1 = 10 B2 = 8 B3 = 12 C1 = 7 C2 = 8 C3 = 9 D1 = 2 D2 = 6 D3 = 8
Hitunglah Bi Ci Dii
n
=∑ + +
1
!
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
penyelesaian:
Bii=∑ = + + =
1
3
10 8 12 30
Cii=∑ = + + =
1
3
7 8 9 24
Dii=∑ = + + =
1
3
2 6 8 16
Bi Ci Di Bi Ci Dii
n
i i i
+ +( )= + +
= + +=
= = = =∑ ∑ ∑ ∑
1 1
3
1
3
1
3
30 24 1670
Contoh 1.20F1 = 2 F2 = 3 F3 = 4 F4 = 5 L1 = 6 L2 = 7 L3 = 8 L4 = 9 M1 = 10 M2 = 11 M3 = 12 M4 = 13
Hitunglah Fi Li Mii
n
+ +=∑ !
1
penyelesaian:
Fii
= + + + ==∑
1
4
2 3 4 5 14
Lii=∑ = + + + =
1
4
6 7 8 9 30
Mii=∑ = + + + =
1
4
10 11 12 13 46
Fi Li Mi Fi Li Mii
n
i i i
+ +( )= + +
= + +=
= = = =∑ ∑ ∑ ∑
1 1
4
1
4
1
4
14 30 4690
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
Contoh 1.21Diketahui:
F1 = 25 F2 = 35 F3 = 40 L1 = 5 L2 = 7 L3 = 9M1 = 10 M2 = 13 M3 = 15
Hitunglah Fi Li Mii
n
− −=∑ !
1
penyelesaian:
Fii=∑ = + + =
1
3
25 35 40 100
Lii=∑ = + + =
1
3
5 7 9 21
Mii=∑ = + + =
1
3
10 13 15 38
Fi Li Mi Fi Li Mii
n
i i i
− −( )= − −
= − −=
= = = =∑ ∑ ∑ ∑
1 1
3
1
3
1
3
100 21 3841
Contoh 1.22Diketahui:
R1 = 10 R2 = 11 R3 = 12 R4 = 15 S1 = 0 S2 = 1 S3 = 2 S4 = 3 T1 = 2 T2 = 3 T3 = 4 T4 = 5
Hitunglah Ri Si Tii
n
=∑ − −
1
!
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0
penyelesaian:
Rii=∑ = + + + =
1
4
10 11 12 15 48
Sii=∑ = + + + =
1
4
0 1 2 3 6
Tii=∑ = + + + =
1
4
2 3 4 5 14
Ri Si Ti Ri Si Tii i i i
− −( )= − −
= − −=
= = = =∑ ∑ ∑ ∑
1
4
1
4
1
4
1
4
48 6 1428
Contoh 1.23Diketahui: X1 = 7 X2 = 5 X3 = 6 X4 = 3 X5 = 4 k = 3
Hitunglah k Xii
n
. !=∑
1
penyelesaian:
k Xi k Xi k X X X X Xi
n
i
n
.= =∑ ∑= = + + + +( )
= + + + +( )
= ( )
=
1 11 2 3 4 5
3 7 5 6 3 43 2575
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
Contoh 1.24Diketahui:
X1 = 2 X2 = 4 X3 = 6 k = 10
Hitunglah k Xii
n
. !=∑
1
penyelesaian:
k Xi k Xi k X X Xi
n
i
n
.= =∑ ∑= = + +( )
= + +( )
= ( )
=
1 11 2 3
10 2 4 610 12120
Contoh 1.25Diketahui:
X1 = 4 X2 = 8 X3 = 12 X4 = 16 X5 = 18 X6 = 24 k = 5
Hitunglah k Xii
n
. !=∑
1
penyelesaian:
k Xi k Xi k X X X X X Xi
n
i
n
.= =∑ ∑= = + + + + +( )
= + + + + +( )1 1
1 2 3 4 5 6
5 4 8 12 16 18 24== ( )
=5 82460
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
Contoh 1.26 Diketahui:
X1 = 0 X2 = 1 X3 = 2 X4 = 4 k = 15
Hitunglah k Xii
n
. !=∑
1
penyelesaian:
k Xi k Xi k X X X Xi
n
i
n
.= =∑ ∑= = + + +( )
= + + +( )
= ( )
=
1 11 2 3 4
15 0 1 2 415 7105
Contoh 1.27Diketahui: n = 5 k = 20
Hitunglah ki
n
!=∑
1
penyelesaian:
k nk
i
n
=∑ = = =
1
5 20 100.
Contoh 1.28Diketahui:
n = 10 k = ½
Hitunglah ki
n
!=∑
1
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
penyelesaian:
k nk
i
n
=∑ = = =
1
10 12
5.
Contoh 1.29 Diketahui:
n = 8 k = 15
Hitunglah ki
n
!=∑
1
penyelesaian:
k nk
i
n
=∑ = = =
1
8 15 120.
Contoh 1.30Diketahui:
n = 3 k = 25
Hitunglah ki
n
!=∑
1
penyelesaian:
k nk
i
n
=∑ = = =
1
3 25 75.
Contoh 1.31Diketahui: n = 4 k = 5
Hitunglah ki
n
!=∑
1
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
penyelesaian:
k nk
i
n
=∑ = = =
1
4 5 20.
Contoh 1.32Diketahui:
X1 = 5 X2 = 7 X3 = 4 X4 = 6 X5 = 3
Hitunglah 2 5 2
1
5
Xii
−( )=∑ !
penyelesaian:
2 5 4 10 10 25
4 20 25
2
1
52
1
5
2
1
5
Xi Xi Xi Xi
Xi Xi
i i
i
−( ) = − − +( )
= − +( )
= =
=
∑ ∑
∑
== − +
= + + + +( ) − + + + +( )+===∑∑∑4 29 25
4 5 7 4 6 3 20 5 7 4 6 3
2
1
5
1
5
1
5
2
Xi Xiiii
55 25
4 5 7 4 6 3 20 25 1254 135 500 125540 500
2 2 2 2 2
( )
= + + + +( )− ( )+
= ( )− += − ++=
125165
Contoh 1.33Diketahui:
X1 = 7 X2 = 8 X3 = 9 X4 = 10 X5 = 11
Hitunglah 4 8 2
1
5
Xii
−( )=∑ !
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
penyelesaian:
4 8 16 64 64
16 64 64
2
1
52
1
5
2
1
5
1
5
Xi Xi Xi
Xi Xi
i i
i i
−( ) = − +( )
= − +
= =
= =
∑ ∑
∑ ∑ii=∑
= + + + +( ) − + + + +( )+ ( )
= + + +
1
5
2
2 2 2
16 7 8 9 10 11 64 7 8 9 10 11 5 64
16 7 8 9 100 11 64 45 32064 415 2880 32026560 2880 32024000
2 2+( )− ( )+
= ( )− += − +=
Contoh 1.34Diketahui:X1 = 2 X2 = 4 X3 =6 X4 = 8
Hitunglah 3 4 2
1
4
Xii
−( )=∑ !
penyelesaian:
3 4 9 24 16
9 24 16
2
1
42
1
4
2
1
4
1
4
Xi Xi Xi
Xi Xi
i i
i ii
−( ) = − +( )
= − +
= =
= ==
∑ ∑
∑ ∑11
4
2 2 2 2
2 2 2 2
9 2 4 6 8 24 2 4 6 8 4 16
9 2 4 6 8 24 25
∑= + + +( )− + + +( )+ ( )
= + + +( )− ( ))+
= ( )− += − +=−
644 120 600 64480 600 64
56
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
Contoh 1.35Diketahui:
X1 = 2 X2 = 5 X3 = 1 X4 = 2 X5 = 1Y1 = 15 Y2 =17 Y3 = 20 Y4 = 35 Y5 = 30a = 6 b = 2
Hitunglah Yi Xii
n
− −( )=∑ 6 2
1
penyelesaian:
Yi Xi Yi i Xii ii
− −( )= − − =
= + + + +( )−= ==∑ ∑∑6 2 5 6 2
15 17 20 35 30 301
5
1
5
1
5
.
−− + + + +( )
= − − ( )
= − −=
2 2 5 1 2 1117 30 2 11117 30 2265
Contoh 1.36Diketahui:
A1 = 1 A2 = 2 A3 = 3 A4 = 4 A5 = 5B1 = 25 B2 =27 B3 = 29 B4 = 30 B5 = 32a = 5 b = 3
Hitunglah Bi Aii
n
− −( )=∑ 5 3
1
penyelesaian:
Bi Ai Yi Xii ii
− −( )= − −
= + + + +( )− −= ==∑ ∑∑5 3 5 5 3
25 27 29 30 32 25 21
5
1
5
1
5
.
11 2 3 4 5143 25 2 15143 30 3083
+ + + +( )
= − − ( )
= − −=
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
Contoh 1.37 Diketahui:
R1 = 3 R2 = 4 R3 = 5 S1 = 10 S2 =25 S3 = 35a = 4 b = 2
Hitunglah Si Rii
n
− −( )=∑ 4 2
1
penyelesaian:
Si Ri Yi Xii ii
− −( )= − −
= + +( )− − + +(= ==∑ ∑∑4 2 3 4 2
10 25 35 12 2 3 4 51
3
1
3
1
3
.
))
= − − ( )
= − −=
70 12 2 1270 12 2434
�.� Jenis Grafik
Penyajian data dengan grafik lebih komunikatif dan dalam waktu yang singkat. Tujuannya untuk mengetahui suatu keadaan yang memerlukan keputusan. Secara visual grafik merupakan gambar-gambar yang menunjukkan data berupa angka dan biasanya dibuat berdasarkan tabel yang telah ada sebelumnya. (Boediono: 2008)
�.�.� Grafik Garis (Line Chart)
Grafik garis atau diagram garis dipakai untuk menggambarkan suatu keadaan berupa data berkala. Misalnya, jumlah kelahiran tiap tahun, pertumbuhan ekonomi tiap tahun, pendapatan per kapita dari tahun 2000 – 2005, banyaknya bayi yang lahir di rumah sakit per bulan dalam 1 tahun dan lain-lain. Ada beberapa jenis grafik garis, yaitu diantaranya adalah:
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
a. GrafikGarisTunggal
Grafik Garis Tunggal adalah grafik yang terdiri dari atas satu garis yang menggambarkan suatu keadaan atau kejadian berupa data berkala dari waktu ke waktu.Untuk menggambarkan grafik garis diperlukan sumbu datar (sumbu X) dan sumbu tegak (sumbu Y).
Contoh 1.38Buatlah grafik garis tunggal dari data penggunaan barang keramik di PD. Mahar Putri selama 2001 – 2007 yang tabelnya tertera dalam tabel berikut ini:
tabel 1.25Penggunaan keramik di PD. Mahar Putri Selama Tahun 2001 – 2007
tahun Barang yang digunakan
2001 3762002 5242003 4122004 3102005 2682006 4762007 316
penyelesaian:gambar 1.10
Grafik Garis Tunggal dari data Penggunaan Keramik di PD. Mahar Putri Tahun 2001 – 2007
0
100
200
300400
500
600
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Bany
akny
a Ba
rang
Tahun
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
Contoh 1.39Buatlah grafik garis tunggal dari data angka kelahiran (dalam jutaan) di kota Palu dari tahun 2003 – 2008 disajikan pada tabel berikut:
tabel 1.26Data Angka Kelahiran di Kota Palu Tahun 2003 – 2008
tahun angka kelahiran
2003 3,32004 6,22005 8,12006 10,32007 14,22008 18,7
penyelesaian:
gambar 1.11Grafik Garis Ganda dari Data Angka Kelahiran di Kota Palu tahun 2003 – 2008
0
5
10
15
20
2003 2004 2005 2006 2007 2008
Jum
lah
Pend
uduk
( jut
aan
oran
g )
Tahun
b. GrafikGarisGanda
Grafik garis berganda adalah grafik yang terdiri atas beberapa garis yang menggambarkan perkembangan beberapa keadaan dari waktu ke waktu.
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0
Contoh 1.40Buatlah grafik garis ganda dari data nilai impor menurut golongan barang ekonomi (dalam miliar dollar) pada tahun 2002 – 2006 adalah sebagai berikut:
tabel 1.27 Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006
tahunBarang ekonomi
Barang konsumsi
Barang BakuBarang Modal
2002 1,73 11.73 2,892003 0,83 10,48 2,572004 0,28 0,16 1,722005 0,45 8,36 1,912006 0,5 9,57 2,44
penyelesaian:
gambar 1.12 Grafik Garis Ganda Dari Data Nilai Impor Menurut Golongan
Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006
0
5
10
15
2002 2003 2004 2005 2006nila
i im
por (
dala
m m
illia
r do
llar)
Tahun
Barang KonsumsiBarang BakuBarang Modal
Contoh 1.41Buatlah grafik garis ganda dari data jumlah produk terjual (dalam persen) menurut jenis dan waktu di Toko Putri Agung disajikan pada tabel:
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
tabel 1.28Data Jumlah Produk Menurut Jenis Dan Waktunya di Toko Putri Agung
Tahun 2005 – 2009
tahunJenis produk
Laptop Netbook printer2005 9,2 12,5 26,32006 11,5 13,2 34,22007 25,5 45,5 30,22008 11,2 50,0 45,52009 40,5 63,0 55,5
penyelesaian:
gambar 1.13 Grafik Garis Ganda Dari Data Jumlah Produk Menurut Jenis
dan Waktunya di Toko Putri Agung Tahun 2005 – 2009
010203040506070
2005 2006 2007 2008 2009
Jum
lah
Prod
uk T
erju
al
Tahun
Laptop
Netbook
Printer
�.�.� Grafik Batang (Bar Chart)
Menggambar grafik batang caranya hampir sama dengan menggambarkan grafik garis. Hanya di dalam grafik batang untuk mengatakan suatu keadaan digunakan batang atau balok bukan garis. Data yang berbentuk kategori atau atribut sangat tepat disajikan dalam diagram ini asalkan tahunnya tidak terlalu banyak.
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
Untuk menggambar grafik batang di perlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus. Sumbu datar dibagi menjadi beberapa skala bagian yang sama; demikian pula sumbu tegaknya. Skala pada sumbu tegak dengan skala pada sumbu datar tidak perlu sama. Kalau grafik dibuat tegak, maka sumbu datar dipakai untuk menyatakan atribut atau waktu. Kuantum atau nilai data digambar pada sumbu tegak. Seperti juga pada grafik garis, grafik batang pun terdiri atas beberapa jenis yang diantaranya:
a. GrafikBatangTunggal
Grafik batang tunggal atau single bar chart yaitu grafik batang yang terdiri dari satu batang saja.
Contoh Soal 1.42Buatlah grafik batang tunggal dari data penggunaan barang produksi di PT. Abadi selama 2005 – 2009 yang tabelnya seperti berikut ini:
tabel 1.29Penggunaan Barang Produksi di PT. Abadi Selama Tahun 2005 – 2009
tahun Barang yang digunakan2005 30002006 32452007 31782008 45562009 6590
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
penyelesaian:
gambar 1.14Grafik Batang Tunggal Dari Data Penggunaan Barang Produksi di PT. Abadi
Tahun 2005 – 2009
0
2000
4000
6000
8000
2005 2006 2007 2008 2009
Bara
ng y
ang
digu
naka
n
Tahun
Contoh 1.43Data angka kelahiran (dalam jutaan) di kota Palu dari tahun 2004 – 2009 disajikan pada tabel berikut dan buatlah grafik batang tunggalnya!
tabel 1.30Data Angka Kelahiran di Kota Palu Tahun 2004 – 2009
tahun angka kelahiran
2004 3,32005 6,22006 8,12007 10,32008 14,22009 18,7
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
penyelesaian:
gambar 1.15Grafik Batang Tunggal Dari Data Angka Kelahiran di Kota Palu
Tahun 2004 – 2009
0
5
10
15
20
2004 2005 2006 2007 2008 2009
An g
kaKe
lahiran
Tahun
b. GrafikBatangGanda
Grafik batang ganda atau multiple bar chart yaitu grafik batang yang terdiri dari beberapa batang.
Contoh 1.44Diketahui banyaknya murid di daerah Kuningan menurut tingkat sekolah dan jenis kelamin pada tahun 2002 disajikan pada tabel berikut ini dan buatlah grafik batang gandanya!
tabel 1.31Data Banyaknya Murid di Kuningan Tahun 2002
tingkatSekolah
Banyaknya MuridLaki-Laki perempuan
SD 875 687SMP 512 507SMA 347 321STM 476 342SMK 316 427
Jumlah 2526 2048
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
penyelesaian:
gambar 1.16Grafik Batang Ganda Dari Data Banyaknya Murid di Kuningan Tahun 2002
Pen
ConDatmilibata
nyelesaian :
GaBa
ntoh 1.45 ta nilai impoiar dollar) aang gandany
Tabel 1.3Ma
Tahun
2002 2003 2004 2005 2006
Bany
akny
a m
urid
mbar 1.16 Ganyaknya Mu
or menurut gadalah sebaya!
32 Data Nilaiakanan Pokok
Tepung12,73 2,33 3,84 5,55 4,5
0
500
1000
T
rafik Batangurid di Kunin
golongan makgai berikut
i Impor Menuk Tahun 2002
MakanaRoti
10,93 11,48 2,157,23 11,56
Tingkat Sekolah
g Ganda Daringan Tahun
kanan pokokdan buatlah
urut Golonga2 – 2006
an Pokok Beras5,894,753,621,997,39
Laki-L
Perem
59
i Data 2002
k (dalam h grafik
an
Laki
mpuan
Contoh 1.45Data nilai impor menurut golongan makanan pokok (dalam miliar dollar) adalah sebagai berikut dan buatlah grafik batang gandanya!
tabel 1.32Data Nilai Impor Menurut Golongan Makanan Pokok Tahun 2002 – 2006
tahunMakanan pokok
tepung roti Beras2002 12,73 10,93 5,892003 2,33 11,48 4,752004 3,84 2,15 3,622005 5,55 7,23 1,992006 4,5 11,56 7,39
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
penyelesaian:
gambar 1.17Grafik Batang Ganda Dari Data Nilai Impor Menurut Golongan Makanan Pokok
Tahun 2002 – 2006
Pen
ConDatmilibata
nyelesaian :
GaBa
ntoh 1.45 ta nilai impoiar dollar) aang gandany
Tabel 1.3Ma
Tahun
2002 2003 2004 2005 2006
Bany
akny
a m
urid
mbar 1.16 Ganyaknya Mu
or menurut gadalah sebaya!
32 Data Nilaiakanan Pokok
Tepung12,73 2,33 3,84 5,55 4,5
0
500
1000
T
rafik Batangurid di Kunin
golongan makgai berikut
i Impor Menuk Tahun 2002
MakanaRoti
10,93 11,48 2,157,23 11,56
Tingkat Sekolah
g Ganda Daringan Tahun
kanan pokokdan buatlah
urut Golonga2 – 2006
an Pokok Beras5,894,753,621,997,39
Laki-L
Perem
59
i Data 2002
k (dalam h grafik
an
Laki
mpuan
�.�.� Grafik Lingkaran (Pie Chart)
Cara lain yang juga sering dipakai untuk menggambarkan data adalah dengan grafik lingkaran. Untuk membuat grafik lingkaran, gambarkanlah suatu lingkaran, lalu dibagi-bagi menjadi beberapa bagian sesuai dengan kepentingan. Tiap bagian menunjukkan karakteristik data yang terlebih dahulu diubah menjadi derajat.(Boediono: 2008)
Contoh 1.46Buatlah grafik lingkaran dari data biaya tiap bulan di daerah Bandung (dalam persen) pada tahun 2001 yang disajikan pada tabel berikut ini:
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
tabel 1.33Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001
keperluan Biayauntuk (%)Pos A 28Pos B 18Pos C 14Pos D 22Pos E 10Pos F 8
Jumlah 100
penyelesaian:Untuk mengetahui berapa derajat dalam setiap pos maka lakukanlah hal seperti di bawah ini:
Lingkaran kita bagi menjadi 6 bagian (sektor), yang besar sudutnya ditentukan dengan cara seperti berikut:
Pos A : 28% × 360° =100,8°Pos B : 18% × 360° = 64,8°Pos C : 14% × 360° = 50,4°Pos D : 22% × 360° = 79,2°Pos E : 10% × 360° = 36°Pos F : 8% × 360° = 28,8°Jumlah = 360°
Untuk membagi lingkaran mulailah dari bagian lingkaran yang paling besar. Grafik lingkaran dapat dibuat dalam 2 jenis yaitu:
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
a. gambar 1.18
Grafik Lingkaran Dari Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001
14%
22%
10% 28%
8%
18%
%
Pos A
Pos B
Pos C
Pos D
Pos E
Pos F
b.gambar 1.19
Grafik Lingkaran Dari Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001
Pos F8% Pos A
28%
Pos B18%Pos C
14%
Pos D22%
Pos E10%
Contoh 1.47Buatlah grafik lingkaran dari data perolehan suara kegemaran sekolah di Universitas BSI Bandung yang disajikan pada tabel berikut ini:
tabel 1.34Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung
kegemaran perolehan SuaraBasket 36%Volli 16%
Futsal 22%Renang 26%
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
penyelesaian:Untuk mengetahui berapa derajat dalam setiap pos maka lakukanlah hal seperti di bawah ini:
Lingkaran kita bagi menjadi 4 bagian, yang besar sudutnya di tentukan secara berikut:Basket : 36% × 360° = 129,6°Volli : 16% × 360° = 57,6°Futsal : 22% × 360° = 79,2°Renang : 26% × 360° = 93,6°Jumlah = 360°
Untuk membagi lingkaran mulailah dari bagian lingkaran yang paling besar. Grafik lingkaran dapat dibuat dalam 2 jenis yaitu:
a.gambar 1.20
Grafik Lingkaran dari Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung
22%
26%
Perolehan suara
36%
16%
Basket
Voli
Futsal
Renang
b.gambar 1.21
Grafik Lingkaran dari Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung
a.G
Perol
b.G
Perol
ambar 1.20 Glehan Suara
ambar 1.21 Glehan Suara
22%
26%
Per
Fut22
Pero
Grafik LingkKegemaran
Bandung
Grafik LingkKegemaran
Bandung
36%
16%
rolehan Suara
Basket36%Voli16%
tsal2%
Renang26%
olehan Suara
karan Dari Ddi Universita
karan Dari Ddi Universita
Basket
Voli
Futsal
Renang
64
ata as BSI
ata as BSI
Basket36%
Renang26%
Futsal22% Voli
16%
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0
�.�.� Grafik Gambar (Pictogram)
Grafik gambar adalah grafik berupa gambar atau lambang. Grafik gambar sering dipakai untuk mendapatkan suatu gambaran yang agak kasar mengenai suatu keadaan dan merupakan alat visual bagi orang awam. Grafik gambar dapat menampilkan suatu keadaan cara yang sangat menarik, lebih-lebih bila lambang atau gambar yang dipilih bagus dan menarik. Lambang yang dipilih biasanya bergantung pada karakteristik datanya. Misalnya, data jumlah penduduk digambarkan atau dilambangkan dengan orang, data gedung digambarkan dengan gedung, data hasil pertanian digambarkan dengan pohon-pohonan, atau buah-buahan, dan sebagainya. Kesulitan yang dihadapi adalah untuk menggambarkan sesuatu yang tidak penuh. Misalnya, bila satu gambar orang menyatakan 1000 penduduk, maka kita sulit menggambarkan penduduk yang jumlahnya 250 orang, karena sulit membuat gambar seperempat orang. (Boediono: 2008)
Contoh 1.48Buatlah grafik gambar dari data jumlah Pelajar di Indonesia (dalam ribuan) adalah sebagai berikut:
tabel 1.35Data Jumlah Pelajar di Indonesia (dalam ribuan)
tahun pelajaran Jumlah pelajar
2001/2002 6,555
2002/2003 7,0002003/2004 7,4232004/2005 8,0002005/2006 8,846
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
penyelesaian:gambar 1.22
Grafik Gambar Dari Data Jumlah Pelajar di Indonesia (dalam ribuan)
2001/2002
2002/2003
2003/2004
2004/2005
2005/2006
Contoh 1.49Buatlah grafik gambar dari data jumlah populasi kelinci dari tahun 2004 – 2008 di Lembang adalah sebagai berikut:
tabel 1.36Data Jumlah Populasi Kelinci Tahun 2004 – 2008 (dalam ribuan)
tahunJumlah kelinci (dalam ribuan)
2004 32005 52006 72007 92008 10
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
Penyelesaian:gambar 1.23
Grafik Gambar Dari Jumlah Populasi Kelinci Tahun 2004 – 2008(dalam ribuan)
2004
2005
2006
2007
2008
Contoh 1.50Buatlah grafik gambar dari data jumlah produksi pabrik obeng dari tahun 2005 – 2008 (dalam ratusan) di Bandung adalah sebagai berikut:
tabel 1.37Data Jumlah Produksi Pabrik Obeng Tahun 2005 – 2008 (dalam ratusan)
tahun 2005 2006 2007 2008produksi 3 6 2 4
penyelesaian:gambar 1.24
Grafik Gambar Dari Data Jumlah Produksi Pabrik Obeng Tahun 2005 – 2008(dalam ratusan)
2005
2006
2007
2008
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
�.� Rangkuman
Distribusi frekuensi merupakan suatu pengelompokkan atau penyusunan data menjadi tabulasi data yang memakai kelas-kelas data dan dikaitkan dengan masing-masing frekuensinya. Tujuannya untuk mengatur data mentah (belum dikelompokkan) ke dalam bentuk yang rapi tanpa mengurangi atau menambah inti informasi yang ada. Distribusi frekuensi dibagi menjadi 2 kelompok yaitu: distribusi frekuensi numerikal dan distribusi frekuensi kategorikal. Untuk memudahkan kita membuat tabel distribusi frekuensi maka kita harus menggunakan tahap-tahap penyusunan distribusi frekuensi. Jenis-Jenis Distribusi Frekuensi yaitu Distribusi Frekuensi Kumulatif dan distribusi frekuensi relatif. Σ adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah berpola. Σ merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah. Sifat-sifat notasi sigma diantaranya:
Xi Yi Zi Xi Yi Zii
n
i
n
i
n
i
n
± ±( )= ± ±= = ==∑ ∑ ∑∑
1 1 11
k Xi k Xi ki
n
i
n
. ,= ===∑∑ bilangan konstanta
11
k k k k nki
n
= + + + ==∑
1
a.
b.
c.
d.
e.
Xi k Xi kXi ki
n
i
n
−( ) = − +( )==∑∑ 2 2 2
11
2
Yi a bXi Yi na b Xii
n
i
n
i
n
− −( )= − −= ==∑ ∑∑
1 11
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
Penyajian data dengan grafik atau diagram lebih komunikatif dan dalam waktu yang singkat. Tujuannya untuk mengetahui suatu keadaan yang memerlukan keputusan. Secara visual grafik merupakan gambar-gambar yang menunjukkan data berupa angka dan biasanya dibuat berdasarkan tabel yang telah ada sebelumnya. Adapun jenis-jenis grafik yaitu sebagai berikut: a. Grafik garis (line chart): Grafik garis dipakai untuk menggambarkan
suatu keadaan berupa data berkala. b. Grafik Batang (bar chart): Grafik batang dipakai untuk mengatakan
suatu keadaan digunakan batang atau balok bukan garis. c. Grafik Lingkaran (pie chart): Grafik yang dipakai untuk menggambarkan
data dengan menggunakan lingkaran. d. Grafik Gambar (pictogram): grafik berupa gambar atau lambang.
Grafik gambar sering dipakai untuk mendapatkan suatu gambaran yang agak kasar mengenai suatu keadaan dan merupakan alat visual bagi orang awam.
�.�0 Latihan Soal
1.10.1 Buatlah tabel Distribusi Frekuensi dari data tinggi badan siswa SMP dengan jumlah siswa 50 adalah sebagai berikut:
145 110 112 144 143 140 127 116 127 133110 109 107 108 114 107 133 112 124 105140 110 112 116 125 114 124 120 121 108107 114 120 137 140 143 140 138 137 110105 121 125 145 138 144 143 144 140 112
1.10.2 Perhatikan data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri berikut ini:
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
tabel 1.38Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
kelas tepi kelas titik tengah frekuensi152 – 154 151,5 – 154,5 153 4155 – 157 154,5 – 157,5 156 11158 - 160 157,5 – 160,5 159 10161 - 163 160,5 - 163,5 162 25164 - 166 163,5 – 166,5 165 20167 – 169 166,5 – 169,5 168 20170 – 172 169,5 – 172,5 171 6173 – 175 172,5 – 175,5 174 4
Jumlah 100
Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari dan frekuensi relatif!
1.10.3 Data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
tabel 1.39Distribusi frekuensi dari nilai nilai OCR murni ujian Statistika 100
mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung
kelas tepi kelastitik
tengahfrekuensi
25 – 33 24,5 – 33,5 29 1634 – 42 33,5 – 42,5 38 1843 – 51 42,5 – 51,5 47 652 – 60 51,5 – 60,5 56 2061 – 69 60,5 – 69,5 65 870 – 78 69,5 – 78,5 74 579 – 87 78,5 – 87,5 83 488 – 96 87,5 – 96,5 92 23
Jumlah 100
Buatlah daftar distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan frekuensi relatif!
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
1.10.4 Data nilai ELPT dari 50 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut:
tabel 1.40Distribusi Frekuensi dari Nilai ELPT Jurusan Sistem Informasi 50 Mahasiswa
Universitas BSI Bandung
kelas tepi kelastitik
tengahfrekuensi
35 – 39 34,5 – 39,5 37 840 – 44 39,5 – 44,5 42 745 – 49 44,5 – 49,5 47 250 – 54 49,5 – 54,5 52 1655 – 59 54,5 – 59,5 57 460 – 64 59,5 – 64,5 62 765 – 69 64,5 – 69,5 67 6
Jumlah 50
Buatlah histogram dan poligon frekuensi dari data nilai ELPT 50 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung!
1.10.5 Buatlah ogif dari data tinggi badan siswa SMP yang jumlah siswanya 50 sebagaimana dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kurang dari yang datanya sebagai berikut:
tabel 1.41Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Daripada Tinggi Badan 50 Siswa
kelas Batas kelasfrekuensi kumulatif
kurang dari
persenkumulatif
≤ 104,5 0 0105 – 110 ≤ 110,5 12 24111 – 116 ≤ 116,5 21 42117 – 122 ≤ 122,5 25 50123 – 128 ≤ 128,5 31 62129 – 134 ≤ 134,5 33 66135 – 140 ≤ 140,5 42 84141 – 146 ≤ 146,5 50 100
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
1.10.6 Buatlah ogif dari data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung sebagaimana dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi lebih dari yang datanya sebagai berikut:
tabel 1.42Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada nilai OCR murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung
kelas Batas kelasfrekuensi kumulatifLebih dari
persenkumulatif
25 – 33 ≥ 24,5 100 10034 – 42 ≥ 33,5 84 8443 – 51 ≥ 42,5 66 6652 – 60 ≥ 51,5 60 6061 – 69 ≥ 60,5 40 4070 – 78 ≥ 69,5 32 3279 – 87 ≥ 78,5 27 2788 – 96 ≥ 87,5 23 23
≥ 96,5 0 0
1.10.7 Diketahui: Y1 =10 Y2 = 20 Y3 = 30
Hitung Yii
n
=∑
1
1.10.8 Diketahui: B1 = 3 B2 = 7 B3 = 11 M4 = 15 M5 =19
Hitung Bii
n
=∑
1
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
1.10.9 Diketahui: H1 = 5 H2 = 8 H3 = 11 H4 = 13 H5 = 14 H6 = 17 I1 = 0 I2 = 3 I3 = 4 I4 = 5 I5 = 6 I6 = 7 J1 = 1 J2 = 4 J3 = 7 J4 = 9 J5 = 13 J6 = 15
Hitung Hi Ii Jii
n
+ +=∑
1
1.10.10 Diketahui: X1 = 20 X2 = 21 X3 = 22 X4 = 23 X5 = 24 Y1 = 10 Y2 = 9 Y3 = 8 Y4 = 7 Y5 = 6 Z1 = 15 Z2 = 14 Z3 = 13 Z4 = 12 Z5 = 11
Hitung Xi Zi Yii
n
− −=∑
1
1.10.11 Diketahui: X1 = 2 X2 = 4 X3 = 6 X4 = 8 k = 10
Hitung k Xii
n
.=∑
1
1.10.12 Diketahui: n = 10 k = 5
Hitung ki
n
=∑
1
1.10.13 Diketahui: X1 = 4 X2 =3 X3 = 2 X4 = 1
Hitung 5 6 2
1
4
Xii
−( )=∑
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
1.10.14 Diketahui: X1 = 10 X2 = 11 X3 = 12 Y1 = 35 Y2 = 40 Y3 = 45 a = 3 b = 1
Hitunglah Yi Xii
n
− −( )=∑ 3 1
1
1.10.15 Buatlah grafik garis tunggal dari data penggunaan barang produksi di PT. Abadi selama 2005 – 2009 yang tabelnya seperti berikut ini:
tabel 1.43Penggunaan Barang Produksi di PT. Abadi selama Tahun 2005 – 2009
tahun Barang yang digunakan2005 30002006 32452007 31782008 45562009 6590
1.10.16 Buatlah grafik garis ganda dari data nilai impor menurut golongan makanan pokok (dalam jutaan rupiah) tahun 2002 – 2006 adalah sebagai berikut:
tabel 1.44 Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 - 2006
tahunMakanan pokok
tepung roti Beras2002 12,73 10,93 5,892003 2,33 11,48 4,752004 3,84 2,15 3,622005 5,55 7,23 1,992006 4,5 11,56 7,39
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0
1.10.17 Diketahui banyaknya permintaan konsumen dengan produk Komputer pada tahun 2000 – 2005 disajikan pada tabel berikut ini dan buatlah grafik batang tunggalnya!
tabel 1.45Banyaknya Permintaan Konsumen Produk Komputer Tahun 2000 – 2005
tahun Jumlah permintaan2000 12002001 15002002 17502003 20002004 25002005 3000
1.10.18 Jumlah produk terjual (dalam persen) menurut jenis dan waktu di Toko Putri Agung disajikan pada tabel berikut ini dan buatlah grafik batang gandanya!
tabel 1.46Data Jumlah Produk Menurut Jenis Dan Waktunya di Toko Putri Agung
Tahun 2005 – 2009
tahunJenis produk
Laptop Netbook printer2005 9,2 12,5 26,32006 11,5 13,2 34,22007 25,5 45,5 30,22008 11,2 50,0 45,52009 40,5 63,0 55,5
1.10.19 Buatlah grafik lingkaran dari data perolehan suara pemilihan ketua BEM di Universitas BSI Bandung yang disajikan pada tabel berikut ini:
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
tabel 1.47 Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di Universitas BSI Bandung
Nama perolehan SuaraYunandi 32%
Arif 40%Nurdian 28%
1.10.20. Buatlah grafik gambar dari data jumlah Pembangunan Gedung dari tahun 2006 – 2010 di Bandung adalah sebagai berikut:
tabel 1.48 Data Jumlah Pembangunan Gedung Tahun 2006 – 2010 (dalam ratusan)
tahunJumlah Gedung (dalam ratusan)
2006 22007 52008 62009 82010 10
�.�� Jawaban Latihan Soal
1.11.1 penyelesaian: Setelah diurutkan data tinggi siswa SMP dengan jumlah siswa 50
diperoleh:
105 105 107 107 107 108 108 109 110 110110 110 112 112 112 112 114 114 114 116116 120 120 121 121 124 124 125 125 127127 133 133 137 137 138 138 140 140 140140 140 143 143 143 144 144 144 145 145
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
Selanjutnya dihitung data-data berikut:1. Dari jajaran data di atas, maka diperoleh range atau
jangkauan: R = Nilai maksimum – Nilai minimum = 145 – 105 = 40
2. Banyaknya kelas data: K = 1+ 3,3 log n = 1 + 3,3 log 50 = 6,62 Dengan demikian banyaknya kelas dapat ditentukan kira-
kira 6 atau 7.
3. Maka jika banyak kelas diambil 7. Jadi Interval kelasnya adalah:
I = R/K = 40/7 = 5,71 Dengan demikian interval kelas dapat ditentukan kira-kira
5 atau 6.
4. Karena nilai minimum data adalah 105, maka kita dapat memiih batas kelas pertama adalah 105, atau 106 dan usahakan agar tidak terlalu jauh dengan nilai minimumnya. Dengan interval kelasnya 6 maka diambil saja batas kelas pertamanya 105 untuk memudahkan penyusunan dalam tabel distribusi frekuensi. Maka didapatlah batas kelas pertamanya 105 – 110.
Jadi; Tbk = bbk – 0,5 = 105 – 0,5 = 104,5
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
Tak = bak + 0,5 = 110 + 0,5 = 110,5
Panjang interval kelas pertama yaitu “104,5 – 110,5”
5. Titik tengah kelas pertama adalah: TTK = ½ (105+110) = 107,5
Dengan cara yang sama dapat diperoleh titik tengah kelas berikutnya, yaitu kelas 111 – 116 adalah 113,5. Kelas 117 – 122 adalah 119,5. Kelas 123 – 128 adalah 125,5. Kelas 129 – 134 adalah 131,5. Kelas 135 – 140 adalah 147,5. Kelas 141 – 146 adalah 143,5.
Dengan memakai jajaran data dari data tinggi siswa SMP dengan jumlah siswa 50 maka diperoleh turus dan frekuensi data yaitu sebagai berikut:
tabel 1.49Turus dan Frekuensi Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP
kelas turus frekuensi105 – 110 IIII IIII II 12111 – 116 IIII IIII 9117 – 122 IIII 4123 – 128 IIII I 6129 – 134 II 2135 – 140 IIII IIII 9141 – 146 IIII III 8
Dengan demikian, tabel distribusi frekuensi lengkap data tinggi siswa SMP yang jumlah siswanya 50 orang adalah sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
tabel 1.50Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP
kelas tepi kelastitik
tengahfrekuensi
105 – 110 104,5 – 110,5 107,5 12111 – 116 110,5 – 116,5 113,5 9117 – 122 116,5 – 122,5 119,5 4123 – 128 122,5 – 128,5 125,5 6129 – 134 128,5 – 134,5 131,5 2135 – 140 134,5 – 140,5 137,5 9141 – 146 140,5 – 146,5 143,5 8
Jumlah 50
1.11.2 penyelesaian: Frekuensi kumulatif lebih dari diperoleh dengan cara menghitung
total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih besar dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya. Maka dengan itu lebih lengkapnya tabelnya seperti di bawah ini:
tabel 1.51Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada Data Tinggi Badan 100
Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
kelas Batas kelasfrekuensi kumulatifLebih dari
persenkumulatif
152 – 154 ≥ 151,5 100 100155 – 157 ≥ 154,5 96 96158 - 160 ≥ 157,5 85 85161 - 163 ≥ 160,5 75 75164 - 166 ≥ 163,5 50 50167 – 169 ≥ 166,5 30 30170 – 172 ≥ 169,5 10 10173 – 175 ≥ 172,5 4 4
≥ 175,5 0 0
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
Frekuensi relatif diperoleh dengan cara membandingkan antara frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi kemudian dikalikan 100%. Misalnya untuk kelas 152 – 154 dengan frekuensi (f) = 4, maka frekuensi relatifnya adalah 4/100 * 100% = 4% dan seterusnya. Maka tabelnya seperti berikut:
tabel 1.52Distribusi Frekuensi Relatif Pada Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK
Nusa Mandiri
kelas titik tengah frekuensifrekuensi relatif
(%)152 – 154 153 4 4155 – 157 156 11 11158 – 160 159 10 10161 – 163 162 25 25164 – 166 165 20 20167 – 169 168 20 20170 – 172 171 6 6173 – 175 174 4 4
Jumlah 100 100
penyelesaian: Frekuensi kumulatif kurang dari diperoleh dengan cara menghitung
total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya. Maka dengan itu lebih lengkapnya tabelnya seperti di bawah ini:
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
tabel 1.53Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Nilai OCR murni Ujian Statistika
100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung
kelas Batas kelasfrekuensi kumulatif
kurang dari
persenkumulatif
≤ 24,5 0 025 – 33 ≤ 33,5 16 1634 – 42 ≤ 42,5 34 3443 – 51 ≤ 51,5 40 4052 – 60 ≤ 60,5 60 6061 – 69 ≤ 69,5 68 6870 – 78 ≤ 78,5 73 7379 – 87 ≤ 87,5 77 7788 – 96 ≤ 96,5 100 100
Frekuensi relatif diperoleh dengan cara membandingkan antara frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi kemudian dikalikan 100%. Misalnya untuk kelas 25 – 33 dengan frekuensi (f) = 16, maka frekuensi relatifnya adalah 16/100 * 100% = 16% dan seterusnya. Maka tabelnya seperti berikut:
tabel 1.54Distribusi Frekuensi Relatif Dari Nilai OCR murni Ujian Statistika 100
mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung
kelas titik tengah frekuensifrekuensi relatif (%)
25 – 33 29 16 1634 – 42 38 18 1843 – 51 47 6 652 – 60 56 20 2061 – 69 65 8 870 – 78 74 5 579 – 87 83 4 488 – 96 92 23 23
Jumlah 100 100
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
1.11.3 penyelesaian:
gambar 1.25Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai ELPT jurusan Sistem Informasi
50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung
1.11
1.11
1.3 Penyeles
Gambanilai EL
1.4 Penyeles
GambKura
0
5
10
15
20
Frek
uens
i kel
as
0
10
20
30
40
50
60
1
Frek
uens
i Kum
ulat
if
saian :
ar 1.25 HistogLPT jurusan
Univer
saian :
bar 1.26 Ogif ang Dari Pad
Negeri
34,5 39,5 4
0
12
104,5 110,5 11
gram dan Pon Sistem Inforrsitas BSI Ba
Distribusi Fda Tinggi Bad8 Bandung K
44,5 49,5 54,Batas Kelas
2125
16,5 122,5 128,.Batas Kelas
oligon Frekuermasi 50 Maandung
Frekuensi Kudan 50 SiswaKelas 7A
5 59,5 64,5
31 334
.5 134,5 140,5s
85
ensi dari ahasiswa
umulatif a SMP
69,5
4250
146,5
1.11.4 penyelesaian:
gambar 1.26Ogif Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Daripada
Tinggi Badan 50 Siswa SMP
1.11
1.11
1.3 Penyeles
Gambanilai EL
1.4 Penyeles
GambKura
0
5
10
15
20
Frek
uens
i kel
as
0
10
20
30
40
50
60
1
Frek
uens
i Kum
ulat
if
saian :
ar 1.25 HistogLPT jurusan
Univer
saian :
bar 1.26 Ogif ang Dari Pad
Negeri
34,5 39,5 4
0
12
104,5 110,5 11
gram dan Pon Sistem Inforrsitas BSI Ba
Distribusi Fda Tinggi Bad8 Bandung K
44,5 49,5 54,Batas Kelas
2125
16,5 122,5 128,.Batas Kelas
oligon Frekuermasi 50 Maandung
Frekuensi Kudan 50 SiswaKelas 7A
5 59,5 64,5
31 334
.5 134,5 140,5s
85
ensi dari ahasiswa
umulatif a SMP
69,5
4250
146,5
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
1.11.5 penyelesaian:
gambar 1.27Ogif Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada nilai OCR Murni Ujian
Statistika 100 Mahasiswa Jurusan AkuntansiUniversitas BSI Bandung
10084
66 6040 32 27 23
00
50
100
150
24,5 33,5 42,5 51,5 60,5 69,5 78,5 87,5 96,5
Frek
uens
i Kum
ula�
f
Batas Kelas
1.11.7 penyelesaian:
Yi Yi
i
n
i= =∑ ∑= = + + =
1 1
3
10 20 30 60
1.11.8 penyelesaian:
Bi Bi
i
n
i= =∑ ∑= = + + + + =
1 1
5
3 7 11 15 19 55
1.11.9 penyelesaian:
Hii=∑ = + + + + + =
1
6
5 8 11 13 14 17 68
Iii=∑ = + + + + + =
1
6
0 3 4 5 6 7 25
Jii=∑ = + + + + + =
1
6
1 4 7 9 13 15 49
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
Hi Ii Ji Hi Ii Jii
n
iii
+ +( )= + +
= + +=
= ===∑ ∑∑∑
1 1
6
1
6
1
6
68 25 49142
1.11.10 penyelesaian:
Xii=∑ = + + + + =
1
5
20 21 22 23 24 110
Yii=∑ = + + + + =
1
5
10 9 8 7 6 40
Zii=∑ = + + + + =
1
5
15 14 13 12 11 65
Xi Yi Zi Xi Yi Zii
n
iii
− −( )= − −
= − −=
= ===∑ ∑∑∑
1 1
5
1
5
1
5
110 40 655
1.11.11 penyelesaian:
k Xi k Xi k X X X Xi
n
i
n
.= =∑ ∑= = + + +( )
= + + +( )
= ( )
=
11 2 3 4
1
10 2 4 6 810 20200
1.11.12 penyelesaian:
k nk
i
n
=∑ = = =
1
10 5 50.
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0
1.11.13 penyelesaian:
5 6 25 60 36
25 60 36
2
1
4
1
4
2
1
4
1
4
Xi Xi Xi
Xi Xi
i i
i ii
−( ) = − +( )
= − +
= =
= =
∑ ∑
∑ ∑==∑
= + + +( ) − + + +( )+ ( )
= + + +( )− (
1
4
2
2 2 2 2
25 4 3 2 1 60 4 3 2 1 4 36
25 4 3 2 1 60 10))+= − +=
144750 600 144294
1.11.14 penyelesaian:
Yi Xi Yi Xii ii
− −( )= − −
= + + − − + += ==∑ ∑∑3 1 3 3
35 40 45 9 10 11 121
3
1
3
1
3
.
( ) ( ))= − −=
120 12 3375
1.11.15 penyelesaian:
gambar 1.28Grafik Garis Tunggal Dari Data Penggunaan Barang Produksi di PT. Abadi
selama 2005 – 2009
1.11
1.11
1.15 Penyeles
GamPeng
1.16 Penyeles
GambIm
20
40
60
80
Bany
akny
a Ba
rang
nila
i im
por (
dala
m ju
taan
i
h)
saian :
mbar 1.28 Graggunaan Bar
sela
saian :
bar 1.29 Grafmpor Menuru
Ta
0
000
000
000
000
2005
0
2
4
6
8
10
12
14
2002 20
rupi
ah)
afik Garis Turang Produksama 2005 – 2
fik Garis Ganut Golongan Bahun 2002 – 2
2006 2007Tahun
003 2004 2005Tahun
unggal Dari Dsi di PT. Kah009
nda Dari DatBarang Ekon2006
2008 2009
5 2006
T
R
B
89
Data atex
ta Nilai nomi
Tepung
Roti
Beras
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
1.11.16 penyelesaian:
gambar 1.29Grafik Garis Ganda Dari Data Nilai Impor Menurut
Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006
nila
i im
por (
dala
m ju
taan
i
h)
0
2
4
6
8
10
12
14
2002 20
rupi
a h)
003 2004 2005Tahun
5 2006
T
R
B
Tepung
Ro�
Beras
1.11.17 penyelesaian:
gambar 1.30Grafik Batang Tunggal Dari Data
Banyaknya Permintaan Konsumen Produk Komputer Tahun 2000 – 2005
0
1.000
2.000
3.000
4.000
2000 2001 2002 2003 2004 2005
Bany
akny
a Pe
rmin
taan
Tahun
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
1.11.18 penyelesaian:
gambar 1.31Grafik Batang Ganda Dari Data Jumlah Produk Menurut Jenis Dan
Waktunya di Toko Putri Agung Tahun 2005 – 2009
010203040506070
2005 2006 2007 2008 2009
Jeni
s Pr
oduk
Tahun
Laptop
Netbook
Printer
1.11.19 penyelesaian: Lingkaran kita bagi menjadi 3 bagian, yang besar sudutnya di
tentukan secara berikut: Yunandi : 32% x 360° = 115,2° Arif : 40% x 360° = 144° Nurdian : 28% x 360° = 100,8° Jumlah = 360°
Untuk membagi lingkaran mulailah dari bagian lingkaran yang paling besar. Grafik lingkaran dapat dibuat dalam 2 jenis yaitu:a.
��Bab 1 Distribusi Frekuensi
gambar 1.32Grafik Lingkaran Dari Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di
Universitas BSI Bandung
32%
40%
28%
Perolehan Suara
Yunandi
Arif
Nurdian
b.gambar 1.33
Grafik Lingkaran Dari Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di Universitas BSI Bandung
1.11
b.GPe
1.20 Penyeles
GPe
2003
2004
2005
2006
2007
Gambar 1.33 Gerolehan Sua
Unive
saian :
ambar 1.34 Gembangunan
(d
Nurdi28%
Perole
Grafik Lingkara Pemilihanersitas BSI B
Grafik GambGedung Tah
dalam ratusa
Yunandi32%Arif
40%
ian%
ehan Suara
karan Dari Dn Ketua BEM
Bandung
bar Dari Jumhun 2003 – 2an)
92
Data M di
mlah 2007
Nurdian28%
Yunandi32%
Arif40%
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
1.11.20 penyelesaian:
gambar 1.34Grafik Gambar Dari Jumlah Pembangunan Gedung Tahun 2003 – 2007
(dalam ratusan)
2003
2004
2005
2006
2007
��
UKUran PeMUSatan Data tIDaK BerKeLOMPOK
Bab 2
Pada data yang tidak berkelompok jika diurutkan baik membesar dan mengecil maka akan menunjukkan pusat data dari kelompok data
tersebut. Ukuran pusat data sangat berguna ketika kita ingin menganalisa data yang menjadi pusat perhatian kita. Jenis ukuran pemusatan data yang akan kita pelajari adalah rata-rata hitung (arithmetic mean), median, modus, kuartil, desil, persentil, rata-rata ukur (geometric mean) dan rata-rata harmonis (harmonic mean).
�.� Rata-rata Hitung
�.�.� Pengertian
Penggunaan rata-rata hitung untuk suatu kelompok data tergantung dari tujuan analisisnya. Nilai yang mewakili himpunan atau sekelompok data disebut rata-rata hitung. Nilai rata-rata umumnya cenderung terletak di tengah suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai. Beberapa jenis rata-rata yang digunakan ialah rata-rata hitung, rata-rata ukur dan rata-rata harmonis. Setiap rata-rata tersebut selain mempunyai keunggulan juga memiliki kelemahan.
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
Contoh 2.1 Hasil ujian Anis dan Anas adalah seperti disajikan dalam tabel berikut ini:
tabel 2.1Nilai Hasil Ujian
Mata pelajaranhasil ujian
anishasil ujian
anas (B) (D)
Statistik 9 8Perpajakan 8,6 9Teori Ekonomi 7,9 6,6B. Inggris 8 8,2Akuntansi Dasar 8,5 7,9
Hitunglah rata-rata hasil ujian Anis dan Anas!
penyelesaian:
XB = 9 + 8,6 + 7,9 + 8 + 8,5 5 = 8,4
XD = 8 + 9 + 6,6 + 8,2 + 7,9 5 = 7,94
Dari nilai rata-rata di atas dapat disimpulkan bahwa Anis memiliki nilai rata-rata yang lebih tinggi daripada Anas.
��Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Contoh 2.2Perhatikan tabel di bawah ini!
tabel 2.2Perbandingan Tingkat Gaji Karyawan Dua Perusahaan
karyawanGaji perusahaan
Cahaya (u)Gaji perusahaan
Bulan (Z)1 50000 450002 40000 350003 45000 400004 55000 300005 60000 250006 75000 500007 65000 550008 80000 450009 75000 30000
10 50000 35000
Hitunglah rata-rata gaji Perusahaan Cahaya dan gaji perusahaan Bulan dalam membagi gaji 10 orang karyawannya!
penyelesaian:
XU = 50000 + 40000 +45000 + 55000 + 60000 + 75000 + 65000 + 80000 + 75000 + 50000
10 = 59500
XZ = 45000 + 35000 +40000 + 30000 + 25000 + 50000 + 55000 + 45000 + 30000 + 35000 10
= 39000
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
Contoh 2.3 Perhatikan tabel di bawah ini!Hitunglah rata-rata nilai Matematika dan rata-rata nilai Biologi!
tabel 2.3Perbandingan Nilai Matematika dan Biologi Kelas 3
Siswa Matematika BiologiAndi 80 56Arif 85 68
Anton 67 77Aisyah 79 87Gina 98 69Siti 77 97Yuli 86 79Kiki 88 90
penyelesaian:
X Matematika = 80 + 85 + 67 + 79 + 98 + 77 + 86 + 88 8 = 82,5
X Biologi = 56 + 68 + 77 + 87 + 69 + 97 + 79 + 90 8 = 77,875
�.�.� Macam-macam Rata-rata Hitung
Kalau kita mempunyai nilai variabel B, sebagai hasil pengamatan sebanyak N kali, yaitu B1, B2, B3, B4 … BN
1) Rata-rata sebenarnya (populasi)
µ=
= + + +( )
=∑1
11
1 2 3
NBi
NB B B B
i
n
N
��Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
µ dibaca myu, yaitu symbol rata-rata sebenarnya yang disebut parameter. Rata-rata ini dihitung berdasarkan populasi. Karena itu, rata-rata juga sering disebut rata-rata populasi.
2) Rata-rata perkiraan (sampel) Kalau rata-rata tersebut dihitung berdasarkan sampel sebanyak n
dimana n < N observasi, maka rata-rata yang diperoleh disebut rata-rata perkiraan atau rata-rata observasi yang diberi symbol yang rumusnya adalah sebagai berikut:
Xn
Bi
nB B B B
i
n
N
=
= + + +( )
=∑1
11
1 2 3
Contoh 2.4Diketahui:
B1 = 79 (Hasil pembelian tahun pertama)B2 = 85 (Hasil pembelian tahun kedua)B3 = 98 (Hasil pembelian tahun ketiga)B4 = 120 (Hasil pembelian tahun keempat)B5 = 91 (Hasil pembelian tahun kelima)B6 = 105 (Hasil pembelian tahun keenam)B7 = 119 (Hasil pembelian tahun ketujuh)B8 = 154 (Hasil pembelian tahun kedelapan)B9 = 145 (hasil pembelian tahun kesembilan)B10 = 130 (Hasil pembelian tahun kesepuluh)
(angka-angka yang digaris bawahi merupakan data sampel)
a) Hitung rata-rata hasil pembelian sebenarnya ! b) Ambil sampel sebanyak n = 7, misalnya setelah diambil sampelnya
diperoleh:B1, B3, B4, B6, B8, B9, B10. Hitung hasil pembelian per tahun !
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0
penyelesaian:
a) µ=
= ( )
=
=∑1
101
101126
112 6
1
10 Bii
,
Jadi, rata-rata hasil penjualan per tahun = Rp 112,6 juta
b) Xn
Bii
n=
= + + + + + +( )
=
=∑1
17
79 98 120 105 154 145 130
118 7
1
,
Jadi, rata-rata perkiraan hasil penjualan per tahun adalah 118,7 juta (ternyata sangat mendekati rata-rata sebenarnya) X merupakan perkiraaan dari µ.
Contoh 2.5Diketahui:B = hasil ujian Statistika Deskriptif 20 Mahasiswa jurusan Manajemen Perbankan adalah sebagai berikut:
B1 = 70 B11 = 45B2 = 72 B12 = 30B3 = 80 B13 = 75B4 = 90 B14 = 90B5 = 75 B15 = 87B6 = 70 B16 = 55B7 = 85 B17 = 85B8 =100 B18 = 72B9 = 65 B19 = 75B10 = 55 B20 = 98
(Angka yang digarisbawahi merupakan data sampel)
��Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
a) Berdasarkan data di atas hitunglah rata-rata hasil ujian yang sebenarnya!
b) Kemudian ambil sampel sebanyak n = 10 dan hitunglah rata-rata perkiraan sampel yang terambil B2, B4, B6, B8, B10, B12, B14, B16, B18,
B20!
penyelesaian:
a)
µ=
= + + +( )
=
=∑1
120
70 72 90 98
73 7
1NBi
i
n
…
,
b)
Xn
Bi
B B B B B B B B B B
i
n=
= + + + + + + + + +( )
=
=∑1
1101
1072
1
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
++ + + + + + + + +( )
=
90 70 100 55 30 90 55 72 98
73 2,
Pada umumnya makin besar elemen sampel (nilai n makin besar), makin baiklah perkiraan yang diperoleh. Oleh karena itu pengumpulan data umumnya didasarkan atas sampel, maka hasilnya suatu perkiraan. Untuk selanjutnya kita pergunakan rumus rata-rata perkiraan sebagai perkiraan sebagai perkiraan dari m dan sampel yang diselidiki sebanyak n elemen.
Contoh 2.6 Perhatikan tabel di bawah ini!Hitunglah rata-rata hitung kedua toko di atas!
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
tabel 2.4Hasil Penjualan buku Perpajakan di Dua Toko
hari ke- toko edi (e) toko ardi (a)1 6 22 5 43 7 34 4 95 2 56 5 27 3 3
penyelesaian:
XE = 6 + 5 + 7 + 4 + 2 + 5 + 3
7 = 4,57
XA = 2 + 4 + 3 + 9 +5 + 2 + 3
7 = 4
Maka, dapat disimpulkan penjualan di toko Edi lebih tinggi daripada di toko Ardi.
Contoh 2.7Diketahui:M adalah nilai Akuntansi Menengah sebanyak 7 orang yaitu sebagai berikut:
M1 = 65 M5 = 55M2 = 75 M6 = 60M3 = 50 M7 = 90M4 = 70
��Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
a) Hitunglah rata-rata sebenarnya! b) Ambilah 3 sampel nilai Akuntansi Menengah diperoleh M1, M2, dan
M3 dan hitunglah rata-rata perkiraan sampelnya!
penyelesaian:
a) µ=
= + + + + +( )
= ( )
=
=∑1717
65 75 70 55 60 90
17
465
66 43
1Mi
i
n
,
b)
X Mii
n=
= ( )
= ( )
=
=∑1313
65 50 70
13
185
61 67
1
, ,
,
Contoh 2.8 Diketahui:Jika A adalah gaji karyawan per tahun.
A1 =150 A8 = 120A2 =120 A9 = 160A3 =130 A10 = 130A4 =140 A11 = 110A5 =100 A12 = 140A6 = 90 A13 = 100A7 =140 A14 = 80
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
a) Hitunglah rata-rata sebenarnya! b) Hitunglah rata-rata perkiraan diambil banyaknya n = 6 dari gaji
karyawan (A2, A4, A8, A10, A11, A13)!
penyelesaian:
a)
µ=
= ( )
=
=∑1
141
141710
122 14
1Ai
i
n
,
b) µ=
= + + + + +( )
=
=∑1
141
14120 140 120 130 110 100
120
1Ai
i
n
�.�.� Beberapa Sifat Rata-rata Hitung
1. Jumlah deviasi atau selisih dari suatu kelompok nilai terhadap rata-ratanya sama dengan nol, yaitu:
Bi Xi
n
−( )==∑
1
0
Dimana :
Xn
Bi nX= =∑1 atau
Bukti:Bi X Bi X
Bi nX
Bi Bi
−( ) −
= −
= −
=
∑ ∑∑∑
∑∑0
��Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Contoh 2.9 Diketahui: B1 = 5 B2 = 4 B3 = 6 B4 = 7 B5 = 3
Hitung rata-rata hitung ( X ) dan tunjukan bahwa
Bi X−( )=∑∑ 0
penyelesaian:
X Bi
Bii
=
= + + + +( )
=
∑
∑ =
1515
5 4 6 7 3
51
5
Bukti:
Bi B X B X B X B X B Xi
n
=∑ = −( )+ −( )+ −( )+ −( )+ −( )= −( )+ −( )+ −
1 1 2 31 4 5
5 5 4 5 6 55 7 5 3 50
( )+ −( )+ −( )
=
Jumlah deviasi kuadrat dari suatu kelompok nilai terhadap nilai k akan
minimum (terkecil) kalau k = X .
Maksudnya:
B k Bi Xi
n
i11
2
1−( ) > −( )
= =∑ ∑,
Kalau suatu kelompok data sangat heterogen, maka rata-rata hitung tidak dapat mewakili masing-masing nilai dari kelompok tersebut dengan baik. Rata-rata hitung tidak dapat mewakili dengan sempurna atau tepat sekali apabila kelompok data homogen. Semakin heterogen datanya semakin tidak tepat.
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
Suatu kelompok data dikatakan homogen atau tidak bervariasi kalau semua nilai dari kelompok tersebut sama dan dikatakan sangat heterogen apabila nilai-nilai tersebut sangat berbeda satu sama lain atau sangat bervariasi. Antara homogen dan sangat heterogen disebut relatif homogen, yaitu perbedaan antara nilai yang satu dengan yang lainnya tidak begitu besar. Untuk mengukur tingkat homogen atau tingkat variasi tersebut sering dipergunakan kriteria yang disebut simpangan baku (standar deviasi).
Contoh 2.10Perhatikan tabel dibawah, yang menggambarkan upah bulanan dalam ribuan dari 3 kelompok karyawan perusahaan. Jika X adalah upah dalam ribuan rupiah.
tabel 2.5Upah per bulan Tiga Kelompok Karyawan
X kelompok i kelompok ii kelompok iii
(homogen) (relatif homogen) (heterogen)
X1 75 80 125
X2 75 70 40
X3 75 70 25
X4 75 80 35
X5 75 75 150
Hitunglah rata-rata hitung dalam setiap kelompok!
penyelesaian:
X Homogen = 75 + 75 + 75 + 75 + 75
5 = 75
X Relatif Homogen = 80 + 70 + 70 + 80 + 75
5 = 75
��Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
X Heterogen = 125 + 40 + 25 + 35 + 150
5 = 75 Walaupun rata-rata upah bulanan per karyawan dari kelompok 1, 2, dan 3 masing-masing sama besar Rp.75.000, namun kalau diperhatikan secara lebih cermat rata-rata dari kelompok 1 mewakili kelompok dengan sempurna atau tepat sekali (sebab masing-masing nilai sebesar Rp.75.000, sama dengan nilai rata-rata), rata-rata kelompok 2 agak mewakili atau mewakili dengan cukup. Sedangkan rata-rata kelompok 3 sangat tidak mewakili. Jadi nilai rata-rata hitung sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrim. Dalam usaha mencari nilai untuk mewakili suatu kelompok nilai, selain dipergunakan rata-rata hitung atau mean, yang baru saja selesai dibahas, juga dipergunakan ukuran-ukuran lain seperti median dan modus.
Contoh 2.11 Diketahui:
B₁ = 60 B₄ = 50 B₇ = 30B₂ = 90 B₅ = 20 B₈ = 70B₃ = 40 B₆ = 80
a) Hitung rata-ratanya!
b) Tunjukan bahwa Bi X−( )=∑∑ 0
penyelesaian:
a)
X Bi=
= + + + + + + +( )
= ( )
=
∑18
18
60 90 40 50 20 80 30 70
18
440
55
Statistika Deskriptif Itu Mudah��
b)
Bi B x B x B x B x B x
B x B x Bi
n
=∑ = −( )+ −( )+ −( )+ −( )+ −( )+ −( )+ −( )+
1 1 2 3 4 5
6 7 88
60 55 90 55 40 55 50 55 20 5580 55 30
−( )= −( )+ −( )+ −( )+ −( )+ −( )
+ −( )+ −
x
555 70 555 35 15 5 35 25 25 150
( )+ −( )
= + − − − + − −=
Contoh 2.12Diketahui: A₁ = 4 A₂ = 3 A₃ = 6 A₄ = 7
a) Hitung rata-ratanya!
b) Tunjukan bahwa Ai X−( )=∑∑ 0
penyelesaian:
a)
X Ai=
= + + +( )
= ( )
=
∑1414
4 3 6 7
14
20
5
b) Ai A x A x A x A xi
n
=∑ = −( )+ −( )+ −( )+ −( )= −( )+ −( )+ −( )+ −(
1 1 2 3 4
4 5 3 5 6 5 7 5))= 0
�.� Median
Nilai tengah dari kelompok data yang telah diurutkan baik membesar atau mengecil disebut median. Biasanya median disingkat Med. Median data tidak berkelompok dapat ditentukan langsung setelah datanya diurutkan.
��Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
untuk n bilangan ganjil
n k
k n= +
=−
2 11
2
Keterangan: k suatu bilangan konstanta n merupakan bilangan ganjil
Contoh 2.13
n kk
k
= → = +
= −
=
7 7 2 12 7 1
62
=
= → = +
= −
=
3
9 9 2 12 9 1
82
n kk
k
= 4
Kelompok nilai M1, M2, … Mk – i, Mk, Mk, Mk+I … Mn
Terkecil Terbesar
Median = Mk - i atau nilai yang ke (k+1)
Contoh 2.14Diketahui:Nilai Ujian Biokimia 15 Mahasiswa jurusan Keperawatan Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut: 65, 55, 70, 80, 75, 95, 90, 75, 50, 90, 50, 60, 65, 75, 85.
Statistika Deskriptif Itu Mudah�00
Carilah median dari nilai di atas!
penyelesaian:Hal yang harus pertama kali kita lakukan yaitu urutkan terlebih dahulu nilai yang terkecil sampai nilai yang terbesar. 50, 50, 55, 60, 65, 65, 70, 75, 75, 75, 80, 85, 90, 90, 95
Kedua; Tentukan nilai k!
15 2 12 15 1
142
7
= +
= −
=
=
kk
k
Jadi, Med = M8 = 70
Perhatikan bahwa M8, merupakan nilai yang berada di tengah-tengah setelah data diurutkan mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7, M8, M9, M10, M11, M12, M13, M14, M15
Median
Contoh 2.15 Himpunan bilangan genap yaitu sebagai berikut: 8, 4, 10, 2, 6, 12, 16, 20, 14, 22, 18
Carilah median dari data di atas!
penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22
�0�Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Nilai k yaitu:
n kk
k
= → = +
= −
=
=
11 11 2 12 11 1
102
5
Maka, median dari data di atas M6 = 12
Contoh 2.1611 mahasiswa Universitas BSI Bandung yang mempunyai nilai persentasi Manajemen masing-masing adalah sebagai berikut: 80, 70, 90, 60, 95, 40, 50, 65, 45, 75.
Berapa besar nilai mediannya?
penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 90, 95
Nilai k yaitu:
n kk
k
= → = +
= −
=
=
11 11 2 12 11 1
102
5
Maka, median dari data diatas yaitu M6 = 65
untuk n bilangan GenapKalau k adalah bilangan konstanta dan n bilangan genap, maka selalu dapat ditulis:
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0�
n k
k n=
=
2
2
Contoh 2.17Diketahui:Gaji 8 orang karyawan (dalam ribuan) adalah sebagai berikut: 20, 80, 75, 60, 50, 85, 45, 90
Berapa nilai mediannya?
penyelesaian: Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 20, 45, 50, 75, 80, 80, 85, 90
Nilai k yaitu:
8 2824
=
=
=
k
k
Median M M = +( )
= +( )
=
1212
60 75
67 5
4 5
,
Jadi, median gaji karyawan = Rp.67.500
Perhatikan bahwa M4 dan M5, merupakan nilai yang berada di tengah-tengah setelah data diurutkan mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7, M8
Median
�0�Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Median M M = +4 5
2
Contoh 2.18Nilai Persentasi 10 Mahasiswa mata kuliah Fisika Dasar jurusan Teknik Industri Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut ini: 40, 70, 60, 75, 65, 80, 90, 45, 50, 95.
Berapa besarnya median dari nilai persentasi tersebut?
penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 40, 45, 50, 60, 65, 70, 75, 80, 90, 95
Nilai k yaitu: 10 = 2k k = 5
Median M M= +( )
= +( )
=
1212
65 70
67 5
5 6
,
Jadi, Median nilai persentasi = 67,5.
Pada umumnya kelompok nilai tersebut merupakan hasil pengumpulan data. Simbol n sering disebut banyaknya data (n=8, n=10). Kalau kita perhatikan, hasil perhitungan median tersebut menunjukan bahwa median suatu kelompok merupakan salah satu nilai yang ada ditengah atau rata-rata dari dua nilai yang ada ditengah.
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0�
Contoh 2.19Diketahui:Gaji 20 karyawan (dalam ribuan) adalah sebagai berikut: 140, 130, 250, 115, 120, 170, 125, 100, 70, 150, 90, 165, 140, 200, 145,
160, 120, 125, 110, 95.
Berapa nilai median data tersebut?
penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 70, 90, 95, 100, 110, 115, 120, 120, 125, 125, 130, 140, 140, 145, 150,
160, 165, 170, 200, 250.
Nilai k yaitu:20 = 2k k = 10
Med M M= +( )
= +( )
=
1212
125 130
127 5
10 11
,
Jadi Median gaji 20 karyawan sebesar Rp. 127.500.
�.� Modus
Nilai yang sering muncul dalam suatu kelompok data atau nilai yang paling banyak frekuensinya disebut modus. Suatu kelompok data mungkin mempunyai modus tetapi mungkin juga tidak mempunyai modus. Artinya, modus suatu kelompok data tidak selalu ada. Bila suatu kelompok data mempunyai modus, maka modusnya bisa lebih dari satu, atau dikatakan modusnya tidak tunggal.
�0�Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Untuk menentukan modus suatu kelompok data, data tersebut tidak perlu diurutkan, tetapi bila data telah diurutkan akan sangat mempermudah menentukan modusnya. Biasanya modus disingkat Mod. Contoh 2.20Dari data berikut, apakah ada modusnya? Kalau ada, tentukan nilainya: a) 10, 2, 5, 7,9, 9, 10, 11, 12, 18, 9, 2 b) 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 c) 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9
penyelesaian: a) Modusnya adalah 9 karena nilai 9 adalah nilai yang paling banyak
muncul. b) Karena semua nilai mempunyai frekuensi yang sama, maka data di
atas tidak mempunyai modus. c) Modusnya adalah 4 dan 7 karena nilai yang sering munculnya
mempunyai frekuensi yang sama, maka mempunyai 2 modus.
Contoh 2.21Perhatikan data di bawah ini! a) 2, 1, 3, 6, 6, 3, 2, 2, 6, 3, 6 b) 1, 4, 5, 7, 3 c) 6, 8, 4, 1, 6, 8, 7, 7, 11, 9, 8, 2, 6
Carilah modus dari data di atas!
penyelesaian: a) Modusnya adalah 8 karena nilai 8 yang paling sering muncul b) Karena semua nilai mempunyai frekuensi yang sama, maka data di
atas tidak mempunyai modus. c) Modusnya adalah 8 dan 6 karena nilai yang sering munculnya
mempunyai frekuensi yang sama, maka mempunyai 2 modus.
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0�
Contoh 2.22Perhatikan data di bawah ini! a) 2, 2, 3, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 9, 5, 7, 1, 2,4 b) 5, 7, 3, 11, 14, 6, 8, 2 c) 0, 10, 5, 9, 2, 4, 10, 1, 7, 10, 8, 4, 6
Carilah modus dari data di atas!
penyelesaian: a) Modusnya adalah 2 dan 4 karena nilai yang sering munculnya
mempunyai frekuensi yang sama, maka mempunyai 2 modus. b) Karena semua nilai mempunyai frekuensi yang sama, maka data di
atas tidak mempunyai modus. c) Modusnya adalah 10 karena nilai 10 yang paling sering muncul.
�.� Hubungan antara Nilai Rata-rata Hitung, Median dan Modus
Hubungan antara nilai rata-rata hitung, median dan modus ditentukan oleh kesimetrian kurva distribusi data yang bersangkutan. Ada tiga kemungkinan untuk kesimetrian kurva. Pertama, jika nilai rata-rata hitung, median dan modus berdekatan (hampir sama) satu sama lain, maka kurva dari data tersebut akan mendekati simetri. Kedua, jika nilai modus lebih kecil dari median, dan median lebih kecil daripada nilai rata-rata hitung, maka kurva dari distribusi data akan miring ke kanan. Ketiga, jika sebaliknya, nilai rata-rata hitung lebih kecil dari median, dan median lebih kecil daripada modus, maka distribusi data akan miring ke kiri. Pada kasus kedua, nilai modus paling kecil dan nilai rata-rata hitung paling besar, sedangkan pada kasus ketiga, sebalikya, yaitu nilai rata-rata hitung paling kecil dan modus paling besar. Grafik kurva distribusi data untuk ketiga kemungkinan tersebut adalah:
�0�Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok Ukuran Pemusatan Data 116
Mod = Med = X Mod Med X
X Med Mod
Dalam hal distribusi data tidak simetris, miring ke kanan atau miring ke kiri, maka terdapat hubungan empiris antara rata-rata hitung dengan median dan modus, yaitu :
Contoh 2.23 Suatu kelompok data diketahui mempunyai distribusi tidak simetri dengan rata-rata hitung ( ) 67,45 dan median (Med) 65,64.
Tentukanlah modus dari data di atas!
Penyelesaian :
– Mod = 3 ( – Med)
Dalam hal distribusi data tidak simetris, miring ke kanan atau miring ke kiri, maka terdapat hubungan empiris antara rata-rata hitung dengan median dan modus, yaitu:
X X− = −( )Mod Med3
Contoh 2.23Suatu kelompok data diketahui mempunyai distribusi tidak simetri dengan
rata-rata hitung ( X ) 67,45 dan median (Med) 65,64.Tentukanlah modus dari data di atas!
penyelesaian:
X X
X X
X
− = −( )− = −
= −
= ( )− ( )
=
Mod Med
Mod Med
Mod Med
3
3 3
3 23 65 64 2 67 45, ,1196 2 134 961 3
, ,,−
=
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0�
Contoh 2.24Suatu kelompok data diketahui mempunyai distribusi tidak simetri dengan
rata-rata hitung ( X ) 75,9 dan median (Mod) 77,2.Tentukanlah median dari data di atas!
penyelesaian:
X X
X X
X
− = −( )− = −
= −
= ( )− ( )
=
Mod Med
Mod Med
Mod Med
3 3
3 3
3 23 77 2 2 75 979
, ,,,8
�.� Kuartil, Desil dan Persentil
�.�.� Kuartil
Kita telah mengetahui bahwa median itu merupakan nilai tengah data. Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4 bagian yang sama banyak disebut kuartil. Bilangan pembaginya ada 3, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2) dan kuartil ketiga (Q3). Kuartil pertama disebut juga kuartil bawah, kuartil kedua disebut juga kuartil tengah dan kuartil ketiga disebut juga kuartil atas. Untuk data yang tidak berkelompok nilai kuartil ke-i, yaitu Qi, ditentukan dengan rumus berikut ini:
Qi = Nilai yang ke Q Nilai yang ke i n
i
11
41 2 3
=+( )
=
, , i = 1,2,3
�0�Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Contoh 2.25Berikut ini adalah data gaji bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu: 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100 (n=13).
Tentukanlah nilai Q1, Q2, dan Q3!
penyelesaian:Hal yang harus kita lakukan pertama kali yaitu data yang di atas diurutkan terlebih dahulu, maka hasilnya seperti di bawah ini: 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 75, 80, 85, 95, 100
Maka nilai Q₁, Q₂ dan Q₃ adalah
Q i n1
14
1 13 14
3 12
=+( )
=+( )
=
=
Nilai yang ke
nilai ke
nilai ke-
antarra nilai ke-3 dan nilai ke-4Jadi:
Q nilai ke- nilai ke1 = +3 12
-- nilai ke-4 3
40 12
45 40
42 5
−( )
= + −( )
= ,
Q22 13 1
4
760
=+( )
=
==
nilai yang ke
nilai ke-7Jadi:Q nilai ke-
Q
2
3 ==
=
=
nilai ke-nilai ke-antara nilai ke- dan nilai ke-
710
10 111
10 12
11 10
80 12
85
Jadi:
Q nilai ke- nilai ke- nilai ke-3 = + −( )
= + −880
82 5
( )
= ,
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0Q22 13 1
4
760
=+( )
=
==
nilai yang ke
nilai ke-7Jadi:Q nilai ke-
Q
2
3 ==
=
=
nilai ke-nilai ke-antara nilai ke- dan nilai ke-
710
10 111
10 12
11 10
80 12
85
Jadi:
Q nilai ke- nilai ke- nilai ke-3 = + −( )
= + −880
82 5
( )
= ,
Contoh 2.26Berat badan 15 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 55, 45, 65, 53, 60, 45, 65, 47, 53, 63, 55, 46, 57, 44, 50
Tentukanlah nilai Q₁, Q₂, dan Q₃!
penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 44, 45, 45, 46, 47, 50, 53, 53, 55, 55, 57, 60, 63, 65, 65
Maka nilai Q₁, Q₂ dan Q₃ adalah
Q i n
n
11
41 1
44
=+( )
=+( )
=
=
nilai yang ke
nilai ke
nilai ke-Jadi:Q1 nnilai ke-4
Q nilai ke
nilai ke-8Jadi:Q nilai
2
2
=
=+( )
=
=
46
2 15 14
kke-8
Q nilai ke-12Jadi:Q nilai ke-
3
3
=
=
==
53
1260
���Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Q i n
n
11
41 1
44
=+( )
=+( )
=
=
nilai yang ke
nilai ke
nilai ke-Jadi:Q1 nnilai ke-4
Q nilai ke
nilai ke-8Jadi:Q nilai
2
2
=
=+( )
=
=
46
2 15 14
kke-8
Q nilai ke-12Jadi:Q nilai ke-
3
3
=
=
==
53
1260
Contoh 2.27Tinggi badan 25 mahasiswa jurusan Pariwisata Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 160, 158, 173, 166, 162, 175, 164, 172, 163, 168, 166, 159, 165, 158, 160,
165, 163, 174, 171, 180, 169, 165, 164, 170, 170
Tentukanlah nilai Q₁, Q₂, dan Q₃!
penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 158, 158, 159, 160, 160, 162, 163, 163, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 166,
168, 169, 170, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 180
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Maka nilai Q₁, Q₂ dan Q₃ adalah
Q i n1
14
1 25 14
6 12
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-
antara nillai ke-6 dan nilai ke-7Jadi:
Q nilai ke-6+ 12
nilai ke- ni1 = −7 llai ke-
Q nilai ke
nilai
2
6
162 12
163 162
162 5
2 25 14
( )
= + −( )
=
=+( )
=
,
ke-13Jadi:Q nilai ke-13
Q nilai ke-19=antara nilai
2
3
==
=
165
kke-19 dan nilai ke-20Jadi:
Q nilai ke- nilai ke- ni3 = + −19 12
20 llai ke-19
170 12
171 170
170 5
( )
= + −( )
= ,
���Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
�.�.� Desil
Jika sekelompok data, dibagi menjadi 10 bagian yang sama banyaknya disebut desil. Maka akan terdapat 9 pembagi, masing-masing disebut nilai desil (D), yaitu D₁, D₂, D₃, D₄, … D₉. Untuk data tidak berkelompok nilai desil ke-i, yaitu Di ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
Di i n
i
=+( )
=
nilai ke
110
1 2 3 4 9, , ,
Contoh 2.28Berikut ini adalah data gaji bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu: 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100 (n=13).
Tentukanlah nilai D1, D4, D5, dan D9!
penyelesaian:Hal yang harus kita lakukan pertama kali yaitu data yang di atas diurutkan terlebih dahulu, maka hasilnya seperti di bawah ini: 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 75, 80, 85, 95, 100
Maka nilai D1, D4, D5, dan D9 adalah
D i n1
14
1 13 110
1 410
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-
nilai kee-
antara nilai ke-1 dan nilai ke-2
Jadi:
D nilai ke-1+1
125
=
=225
nilai ke-2 nilai ke-1
D nilai ke4
−( )
= + −( )
=
=+
30 25
35 30
32
4 13 1(( )
=
=
=
10
nilai ke-5 610
nilai ke-5 35
antara nilai ke-5 dan nilaai ke-6Jadi:
D nilai ke-5 35
nilai ke- nilai ke-4 = + −( )
= +
6 5
50 35
555 50
53
60
9 1
−( )
=
=
==
=
D nilai ke-7Jadi:D nilai ke-7
D nilai ke
5
5
933 110
12 610
12 35
+( )
=
=
=
nilai ke-
nilai ke-
antara nilai ke-12 daan nilai ke-13Jadi:
D nilai ke-12 35
nilai ke-13 nilai ke-9 = + − 112( )
= + −( )
=
95 35
100 95
98
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
D i n1
14
1 13 110
1 410
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-
nilai kee-
antara nilai ke-1 dan nilai ke-2
Jadi:
D nilai ke-1+1
125
=
=225
nilai ke-2 nilai ke-1
D nilai ke4
−( )
= + −( )
=
=+
30 25
35 30
32
4 13 1(( )
=
=
=
10
nilai ke-5 610
nilai ke-5 35
antara nilai ke-5 dan nilaai ke-6Jadi:
D nilai ke-5 35
nilai ke- nilai ke-4 = + −( )
= +
6 5
50 35
555 50
53
60
9 1
−( )
=
=
==
=
D nilai ke-7Jadi:D nilai ke-7
D nilai ke
5
5
933 110
12 610
12 35
+( )
=
=
=
nilai ke-
nilai ke-
antara nilai ke-12 daan nilai ke-13Jadi:
D nilai ke-12 35
nilai ke-13 nilai ke-9 = + − 112( )
= + −( )
=
95 35
100 95
98
���Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
D i n1
14
1 13 110
1 410
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-
nilai kee-
antara nilai ke-1 dan nilai ke-2
Jadi:
D nilai ke-1+1
125
=
=225
nilai ke-2 nilai ke-1
D nilai ke4
−( )
= + −( )
=
=+
30 25
35 30
32
4 13 1(( )
=
=
=
10
nilai ke-5 610
nilai ke-5 35
antara nilai ke-5 dan nilaai ke-6Jadi:
D nilai ke-5 35
nilai ke- nilai ke-4 = + −( )
= +
6 5
50 35
555 50
53
60
9 1
−( )
=
=
==
=
D nilai ke-7Jadi:D nilai ke-7
D nilai ke
5
5
933 110
12 610
12 35
+( )
=
=
=
nilai ke-
nilai ke-
antara nilai ke-12 daan nilai ke-13Jadi:
D nilai ke-12 35
nilai ke-13 nilai ke-9 = + − 112( )
= + −( )
=
95 35
100 95
98
Contoh 2.29Berat badan 15 mahasiswa jurusan Teknik Informatika Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 55, 45, 65, 53, 60, 45, 65, 47, 53, 63, 55, 46, 57, 44, 50
Tentukanlah nilai D₂, D₃, dan D₆!
penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 44, 45, 45, 46, 47, 50, 53, 53, 55, 55, 57, 60, 63, 65, 65
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Maka nilai D₂, D₃, dan D₆ adalah
D i n2
14
2 15 1102
10
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-3
nilai kee-3
antara nilai ke-3 dan nilai ke-4Jadi:
D nilai ke-32
15
=
= +115
nilai ke-4 nilai ke-3
D nilai ke3
−( )
= + −( )
=
=
45 35
46 45
45 6
3 15
,
++( )
=
=
=
110
nilai ke-4 810
nilai ke-4 45
antara nilai ke-4 dan niilai ke-5Jadi:
D nilai ke-4 45
nilai ke-5 nilai ke-43 = + −( )
= +46 445
47 46
46 8
−( )
=
=
=
=
,
D nilai ke-9 610
nilai ke-9 35
antara nilai
6
kke-9 dan nilai ke-10Jadi:
D nilai ke-9 35
nilai ke-10 nila6 = + − ii ke-9( )
= + −( )
=
55 35
55 55
55
���Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
D i n2
14
2 15 1102
10
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-3
nilai kee-3
antara nilai ke-3 dan nilai ke-4Jadi:
D nilai ke-32
15
=
= +115
nilai ke-4 nilai ke-3
D nilai ke3
−( )
= + −( )
=
=
45 35
46 45
45 6
3 15
,
++( )
=
=
=
110
nilai ke-4 810
nilai ke-4 45
antara nilai ke-4 dan niilai ke-5Jadi:
D nilai ke-4 45
nilai ke-5 nilai ke-43 = + −( )
= +46 445
47 46
46 8
−( )
=
=
=
=
,
D nilai ke-9 610
nilai ke-9 35
antara nilai
6
kke-9 dan nilai ke-10Jadi:
D nilai ke-9 35
nilai ke-10 nila6 = + − ii ke-9( )
= + −( )
=
55 35
55 55
55
Contoh 2.30Tinggi badan 25 mahasiswa jurusan Desain Komunikasi Visual Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 160, 158, 173, 166, 162, 175, 164, 172, 163, 168, 166, 159, 165, 158, 160,
165, 163, 174, 171, 180, 169, 165, 164, 170, 170
Tentukanlah nilai D₂, D₇, dan D₈!
penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 158, 158, 159, 160, 160, 162, 163, 163, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 166,
168, 169, 170, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 180
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Maka nilai D₂, D₇, dan D₈ adalah
D i n2
14
2 25 110
210
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-5
nilai kee-5
antara nilai ke-5 dan nilai ke-6Jadi:
D nilai ke-52
15
=
= +115
nilai ke-6 nilai ke-5
D nilai k7
−( )
= + −( )
=
=
160 15
162 160
160 4,
ee
nilai ke-18 210
nilai ke-18 15
antara nilai ke-1
7 25 110+( )
=
=
= 88 dan nilai ke-19Jadi:
D nilai ke-18 15
nilai ke-19 nilai 7 = + − kke-18
D nilai ke-20antara nilai ke
8
( )
= + −( )
=
=
=
170 15
170 170
170
--20 dan nilai ke-21Jadi:
D nilai ke-20 45
nilai ke-21 nila8 = + − ii ke-20( )
= + −( )
=
171 45
172 171
171 8,
���Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
D i n2
14
2 25 110
210
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-5
nilai kee-5
antara nilai ke-5 dan nilai ke-6Jadi:
D nilai ke-52
15
=
= +115
nilai ke-6 nilai ke-5
D nilai k7
−( )
= + −( )
=
=
160 15
162 160
160 4,
ee
nilai ke-18 210
nilai ke-18 15
antara nilai ke-1
7 25 110+( )
=
=
= 88 dan nilai ke-19Jadi:
D nilai ke-18 15
nilai ke-19 nilai 7 = + − kke-18
D nilai ke-20antara nilai ke
8
( )
= + −( )
=
=
=
170 15
170 170
170
--20 dan nilai ke-21Jadi:
D nilai ke-20 45
nilai ke-21 nila8 = + − ii ke-20( )
= + −( )
=
171 45
172 171
171 8,
�.�.� Persentil
Jika sekelompok data dibagi menjadi 100 bagian yang sama banyaknya disebut persentil. Maka akan terdapat 99 pembagi yang maisng-masing disebut persentil (P), yaitu P₁, P₂, P₃, P₄… P₉₉. Untuk data tidak berkelompok nilai persentil ke-i, yaitu Pi dihitung dengan rumus berikut ini:
Pi i i n
i
=+( )
=
nilai ke-
1100
1 2 3 4 5 99, , , , …
Contoh 2.31Berikut ini adalah data gaji bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu: 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100 (n=13).
Tentukanlah nilai P₁₅, P₂₀, P₄₅, dan P₆₈!
penyelesaian:Hal yang harus kita lakukan pertama kali yaitu data yang di atas diurutkan terlebih dahulu, maka hasilnya seperti di bawah ini: 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 75, 80, 85, 95, 100
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
Maka nilai P15, P₂₀, P₄₅, dan P₆₈ adalah
P i n15
14
15 13 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-2 10100
nillai ke-2 110
antara nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:
nila
=
=P15 ii ke-2+ nilai ke-3 dan nilai ke-110
2
35 110
40 35
35 5
( )
= + −( )
= ,
P22020 13 1
100=
+( )
=
=
=
nilai ke
nilai ke-2 80100
nilai ke-2 45
antaraa nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:
nilai ke-2+ 45
nilai keP20 = --3 dan nilai ke-
nilai ke-6 30100
ni
2
35 45
40 35
39
45
( )
= + −( )
=
=
=
P
llai ke-6 310
antara nilai ke-6 dan nilai ke-7Jadi:
nila
=
=P45 ii ke-6+ nilai ke-7 nilai ke-310
6
55 310
60 55
56 5
68
−( )
= + −( )
= ,
P == +( )
=
=
=
nilai ke
nilai ke-9 52100
nilai ke-9 1325
antar
68 13 1100
aa nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
nilai ke-9+ nilaiP681325
= ke- nilai ke-910
75 1325
80 75
77 6
−( )
= + −( )
= ,
���Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
P i n15
14
15 13 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-2 10100
nillai ke-2 110
antara nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:
nila
=
=P15 ii ke-2+ nilai ke-3 dan nilai ke-110
2
35 110
40 35
35 5
( )
= + −( )
= ,
P22020 13 1
100=
+( )
=
=
=
nilai ke
nilai ke-2 80100
nilai ke-2 45
antaraa nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:
nilai ke-2+ 45
nilai keP20 = --3 dan nilai ke-
nilai ke-6 30100
ni
2
35 45
40 35
39
45
( )
= + −( )
=
=
=
P
llai ke-6 310
antara nilai ke-6 dan nilai ke-7Jadi:
nila
=
=P45 ii ke-6+ nilai ke-7 nilai ke-310
6
55 310
60 55
56 5
68
−( )
= + −( )
= ,
P == +( )
=
=
=
nilai ke
nilai ke-9 52100
nilai ke-9 1325
antar
68 13 1100
aa nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
nilai ke-9+ nilaiP681325
= ke- nilai ke-910
75 1325
80 75
77 6
−( )
= + −( )
= ,
Contoh 2.32Berat badan 15 mahasiswa jurusan Manajemen Pemasaran Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 55, 45, 65, 53, 60, 45, 65, 47, 53, 63, 55, 46, 57, 44, 50
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Tentukanlah nilai P₃₃, P₅₀, P₆₂ dan P₈₄!
penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 44, 45, 45, 46, 47, 50, 53, 53, 55, 55, 57, 60, 63, 65, 65
Maka nilai P₃₃, P₅₀, P₆₂ dan P₈₄ adalah
P i n33
14
33 15 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-5 725
antarra nilai ke-5 dan nilai ke-6Jadi:
nilai ke-5+ nilai P337
25= kke-6 dan nilai ke-
nilai ke
5
47 725
50 47
47 84
50 1550
( )
= + −( )
=
=
,
P ++( )
=
==
=
1100
5350
62
nilai ke-8Jadi:
nilai ke-8
nilai ke-9 921
P
P000
nilai ke-9 2325
antara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
=
=
P6622325
10 9
55 2325
55 55
= −( )
= + −
nilai ke-9+ nilai ke- nilai ke-
(( )
=
=
=
=
55
84P nilai ke-13 44100
nilai ke-13 1125
antara nilai ke--13 dan nilai ke-14Jadi:
nilai ke-13+ nilai ke- P842325
14= − nilai ke-13
63 2325
65 63
64 84
( )
= + −( )
= ,
���Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
P i n33
14
33 15 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-5 725
antarra nilai ke-5 dan nilai ke-6Jadi:
nilai ke-5+ nilai P337
25= kke-6 dan nilai ke-
nilai ke
5
47 725
50 47
47 84
50 1550
( )
= + −( )
=
=
,
P ++( )
=
==
=
1100
5350
62
nilai ke-8Jadi:
nilai ke-8
nilai ke-9 921
P
P000
nilai ke-9 2325
antara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
=
=
P6622325
10 9
55 2325
55 55
= −( )
= + −
nilai ke-9+ nilai ke- nilai ke-
(( )
=
=
=
=
55
84P nilai ke-13 44100
nilai ke-13 1125
antara nilai ke--13 dan nilai ke-14Jadi:
nilai ke-13+ nilai ke- P842325
14= − nilai ke-13
63 2325
65 63
64 84
( )
= + −( )
= ,
Contoh 2.33Tinggi badan 25 mahasiswa jurusan Manajemen Perbankan Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 160, 158, 173, 166, 162, 175, 164, 172, 163, 168, 166, 159, 165, 158, 160,
165, 163, 174, 171, 180, 169, 165, 164, 170, 170
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Tentukanlah nilai P₁₈, P₃₅, P₄₁ dan P₇₅!
penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 158, 158, 159, 160, 160, 162, 163, 163, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 166,
168, 169, 170, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 180
Maka nilai P₁₈, P₃₅, P₄₁ dan P₇₅ adalah
P i n18
14
18 25 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-4 68100
nillai ke-4 1725
antara nilai ke-4 dan nilai ke-5Jadi:
nil
=
=P18 aai ke-4+ nilai ke-5 dan nilai ke-41725
160 1725
160 160
( )
= + −( )
==
=+( )
=
=
160
35 25 110035P nilai ke
nilai ke-9 10100
nilai ke-9 110
==
=
antara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
nilai ke-9+ 110
P35 nnilai ke-10 dan nilai ke-9
nilai
( )
= + −( )
=
=
164 15
164 164
164
41P ke-10antara nilai ke-10 dan nilai ke-11
Jadi:
nilai k
=
=P41 ee-10+ nilai ke-11 nilai ke-3350
10
164 3350
165 164
16
−( )
= + −( )
= 44 66
75
,
P ==
nilai ke-19antara nilai ke-19 dan nilai ke-20
Jadii:
nilai ke-19+ nilai ke- nilai ke-19P7512
20
170 12
171
= −( )
= + −−( )
=
170
170 5,
���Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
P i n18
14
18 25 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-4 68100
nillai ke-4 1725
antara nilai ke-4 dan nilai ke-5Jadi:
nil
=
=P18 aai ke-4+ nilai ke-5 dan nilai ke-41725
160 1725
160 160
( )
= + −( )
==
=+( )
=
=
160
35 25 110035P nilai ke
nilai ke-9 10100
nilai ke-9 110
==
=
antara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
nilai ke-9+ 110
P35 nnilai ke-10 dan nilai ke-9
nilai
( )
= + −( )
=
=
164 15
164 164
164
41P ke-10antara nilai ke-10 dan nilai ke-11
Jadi:
nilai k
=
=P41 ee-10+ nilai ke-11 nilai ke-3350
10
164 3350
165 164
16
−( )
= + −( )
= 44 66
75
,
P ==
nilai ke-19antara nilai ke-19 dan nilai ke-20
Jadii:
nilai ke-19+ nilai ke- nilai ke-19P7512
20
170 12
171
= −( )
= + −−( )
=
170
170 5,
�.� Rata-rata Ukur (Geomethric Mean)
Rata-rata ukur dipakai untuk menggambarkan keseluruhan data, khususnya bila data tersebut mempunyai ciri tertentu, yaitu banyak nilai data yang satu sama lain saling berkelipatan sehingga perbandingan tiap
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
dua data yang berurutan tetap atau hampir tetap bila suatu kelompok data mempunyai ciri seperti ini, maka rata-rata ukur akan lebih baik daripada rata-rata hitung.(Boediono: 2008) Untuk data tidak berkelompok rumus rata-rata ukur adalah sebagai berikut:
G A A Ann= 1 2, , ,…
Contoh 2.34Hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini: a) X₁ = 3, X₂ = 6, X₃ = 9 b) Y₁ = 5, Y₂ = 10, Y₃ = 15 c) Z₂ = 4, Z₂ = 8, Z₃ = 12 penyelesaian:a) , G= X .X .X
b) G= Y .Y .Y1 2 3
1 2 3
3 3 3
3 3
3 6 9 162 5 45
5 10
= ( )( )( )= =
= ( )( ) 115 750 9 08
4 8 12 1920 7 26
3
3 3 3
( )= =
= ( )( )( )= =
,
,c) G= Z .Z .Z1 2 3
Contoh 2.35hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini: a) A₁ = 3, A₂ = 6, A₃ = 9 b) B₁ = 5, B₂ = 10, B₃ = 15 c) C₂ = 4, C₂ = 8, C₃ = 12
penyelesaian:a G= A .A .A
b) G= B .B .B1 2 3
1 2 3
) ,3 3 3
3 3
3 6 9 162 5 45
5 10
= ( )( )( )= =
= ( )( ) 115 750 9 08
4 8 12 1920 7 26
3
3 3 3
( )= =
= ( )( )( )= =
,
,c) G= C .C .C1 2 3
���Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Contoh 2.36Hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini: a) R₁ = 6, R₂ = 12, R₃ = 24 b) S₁ = 21, S₂ = 42, S₃ = 84 c) T₁ = 8, T₂ = 16, T₃ = 32
penyelesaian:a G= R .R .R
b) G= S .S .S1 2 3
1 2 3
) 3 3 3
3 3
6 12 24 1728 12
21 42
= ( )( )( )= =
= ( )(( )( )= =
= ( )( )( )= =
84 74088 42
8 16 32 4096 16
3
3 3 3c) G= T .T .T1 2 3
Contoh 2.37Hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini: a) L₁ = 18, L₂ = 36, L₃ = 72 b) M₁ = 41, M₂ = 82, M₃ = 164 c) N₁ = 35, N₂ = 70, N₃ = 140
penyelesaian:a G= L .L .L
b) G= M .M .M1 2 3
1 2 3
) 3 3 3
3 3
18 36 72 46656 36
41
= ( )( )( )= =
= ( ) 882 164 551368 82
35 70 140 343000
3
3 3 3
( )( )= =
= ( )( )( )=c) G= N .N .N1 2 3 == 70
�.� Rata-rata Harmonis (Harmonic Mean)
Untuk menentukan ukuran pemusatan data yaitu dengan rata-rata harmonis, khususnya kalau suatu kelompok data mempunyai ciri-ciri tertentu yang merupakan bilangan pecahan atau bilangan dalam desimal. (Boediono: 2008) Untuk data tidak berkelompok rata-rata harmonis dari kelompok data; X₁, X₂, X₃ …,Xn rumusnya adalah sebagai berikut ini:
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
R n
x
H = ∑ 1
Contoh 2.38Hitunglah rata-rata harmonis dari data di bawah ini! X₁ = 3, X₂ = 6, X₃ = 9
penyelesaian:
R n
x
H =
=+ +
=
=
∑ 1
113
16
19
3694 5,
Contoh 2.39Hitunglah rata-rata harmonis dari data di bawah ini!
12
34
58
916
, , ,
penyelesaian:
R n
x
H =
=+ + +
=
=
∑ 1
412
34
58
916
439161 64,
���Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Contoh 2.40Hitunglah rata-rata harmonis dari data di bawah ini!
L L L1 2 318 36 72= = =, ,
penyelesaian:
R n
x
H =
=+ +
=
=
∑ 1
31
181
361
7237
7230 8,
Contoh 2.41Hitunglah rata-rata harmonis dari data di bawah ini!
23
49
318
89
, , ,
penyelesaian:
R n
x
H =
=+ + +
=
=
∑ 1
423
49
318
89
439181 84,
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
�.� Rangkuman
Ukuran pemusatan data tidak berkelompok masih merupakan bagian dari statistika deskriptif. Ukuran pemusatan data itu diantaranya: a. Rata-rata hitung yaitu nilai yang mewakili himpunan atau sekelompok
data. b. Median yaitu nilai tengah dari kelompok data yang telah diurutkan. c. Modus yaitu nilai yang sering muncul. d. Kuartil yaitu kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4
bagian yang sama banyak. e. Desil yaitu kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 10
bagian yang sama banyak. f. Persentil yaitu kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi
100 bagian yang sama banyak. g. Rata-rata ukur dipakai untuk menggambarkan keseluruhan data,
khususnya bila data tersebut mempunyai ciri tertentu, yaitu nilai data yang satu sama lain saling berkelipatan sehingga perbandingan tiap 2 data yang berurutan tetap atau hampir tetap.
h. Rata-rata harmonis dipakai untuk menentukan ukuran pemusatan data khususnya kalau suatu kelompok data mempunyai ciri-ciri tertentu yang merupakan bilangan pecahan atau bilangan dalam desimal.
�.� Latihan Soal
2.9.1 Nilai Ujian Teori Akuntansi dengan 27 Mahasiswa jurusan Perpajakan Universitas BSI Bandung yaitu: 6 mahasiswa mendapat nilai 65, 10 mahasiswa mendapat nilai 75, 5 mahasiswa mendapat nilai 80, 2 mahasiswa mendapat nilai 60 dan 4 mahasiswa mendapat nilai 95.
Hitunglah nilai rata-rata hitungnya!
���Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
2.9.2 Berat badan kelas Manajemen di Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut:
45, 40, 49, 45, 49, 60, 48, 50, 60, 65, 70, 54, 55, 60, 43, 44, 50, 48, 70, 55, 60
Hitunglah median yang ada pada data di atas!
2.9.3 Tinggi badan suatu organisasi UKM Bulutangkis di Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut:
160, 165, 170, 163, 165, 172, 161, 160, 164, 168, 160, 180, 178, 172, 165, 163, 165, 162
Carilah besar modus dari data di atas!
2.9.4 Penjualan formulir masuk Universitas BSI Bandung selama seminggu yaitu sebagai berikut:
20, 12, 18, 9, 14, 25, 33. Hitunglah nilai Q₁, Q₂, dan Q₃!
2.9.5 Gaji 16 karyawan di Yogya Sunda setiap hari adalah sebagai berikut:
45, 30, 35, 50, 43, 37, 55, 45, 60, 48, 46, 43, 47, 42, 30, 38 Hitunglah nilai D₄, D₆, D₇, dan D₉!
2.9.6 Nilai Ujian mata kuliah Geologi Pariwisata 20 mahasiswa jurusan Pariwisata adalah sebagai berikut:
90, 85, 72, 65, 83, 75, 60, 77, 87, 85, 98, 80, 75, 78, 73, 82, 70, 78, 88, 95.
Hitunglah P₁₀, P₂₀, P₄₀, P₆₀ dan P₈₀!
2.9.7 Hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini:a) P₁ = 12, P₂ = 24, P₃ = 48b) Q₁ = 10, Q₂ = 20, Q₃ = 40
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
2.9.8 Hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini:a) E₁ = 15, E₂ = 30, E₃ = 90b) F₁ = 25, F₂ = 50, F₃ = 100
2.9.9 Hitunglah rata-rata harmonis dari data di bawah ini: 4, 6, 8, 24 2.9.10 Hitunglah rata-rata harmonis dari data di bawah ini:
72
13
34
, ,
�.�0 Jawaban Latihan Soal
2.10.1 penyelesaian:
X = ×( )+ ×( )+ ×( )+ ×( )+ ×( )
=+ + + +
6 65 10 75 5 80 2 60 4 9527
390 750 400 120 380027
204027
75 5
=
= ,
2.10.2 penyelesaian: Data yang telah diurutkan maka hasilnya seperti di bawah ini: 43, 44, 44, 45, 45, 48, 48, 49, 49, 50, 50, 54, 55, 55, 60, 60, 60, 60,
65, 70, 70
Nilai k yaitu:
21 2 12 21 1
202
10
= +
= −
=
=
kk
k
k
���Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Maka, median dari data di atas M₁₁ = 50
2.10.3 penyelesaian: Modusnya adalah 165 karena tinggi badan 165 yang paling banyak
muncul.
2.10.4 penyelesaian: Setelah data diurutkan maka hasilnya seperti ini: 9, 12, 14, 18, 20, 25, 33
Maka nilai Q₁, Q₂ dan Q₃ adalah
Q i n
Q
1
1
14
1 7 14
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-2Jadi:
nilai ke-2
nilai ke
nilai ke-4Jadi:
nilai ke-4
=
=+( )
=
==
12
2 7 14
1
2
2
Q
Q88
25
3
3
Q
Q
=
==
nilai ke-6Jadi:
nilai ke-6
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Q i n
Q
1
1
14
1 7 14
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-2Jadi:
nilai ke-2
nilai ke
nilai ke-4Jadi:
nilai ke-4
=
=+( )
=
==
12
2 7 14
1
2
2
Q
Q88
25
3
3
Q
Q
=
==
nilai ke-6Jadi:
nilai ke-6
2.10.5 penyelesaian: Data yang telah diurutkan adalah sebagai berikut: 30, 30, 35, 37, 38, 42, 43, 43, 45, 45, 46, 47, 48, 50, 55, 60
Maka nilai D₄, D₆, D₇ dan D₉ adalah
D i n4
14
4 16 110
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-6 810
nilai kee-6 45
antara nilai ke-6 dan nilai ke-7Jadi:
nilai ke-6
=
= +D4445
nilai ke- nilai ke-
nilai ke
7 6
42 45
43 42
42 8
6 166
−( )
= + −( )
=
=
,
D ++( )
=
=
=
110
nilai ke-10 210
nilai ke-10 15
antara nilai ke-10 dann nilai ke-11Jadi:
nilai ke-10 15
nilai ke- nilai ke-D6 11 1= + − 00
45 15
46 45
45 2
7
( )
= + −( )
=
=( )
=
=
,
D nilai ke 7 16+110
nilai ke-11 910
aantara nilai ke-11 dan nilai ke-12Jadi:
nilai ke-11 910
D7 = + nnilai ke-12 nilai ke-11
nilai ke
−( )
= + −( )
=
=
46 910
47 46
46 9
9
,
D 99 16+110
nilai ke-15
antara nilai ke-15 dan nilai ke-
( )
=
=
310
116Jadi:
nilai ke-15+ 310
nilai ke- nilai ke-D9 16 15
55 310
= −( )
= + 660 55
56 5
−( )
= ,
���Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
D i n4
14
4 16 110
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-6 810
nilai kee-6 45
antara nilai ke-6 dan nilai ke-7Jadi:
nilai ke-6
=
= +D4445
nilai ke- nilai ke-
nilai ke
7 6
42 45
43 42
42 8
6 166
−( )
= + −( )
=
=
,
D ++( )
=
=
=
110
nilai ke-10 210
nilai ke-10 15
antara nilai ke-10 dann nilai ke-11Jadi:
nilai ke-10 15
nilai ke- nilai ke-D6 11 1= + − 00
45 15
46 45
45 2
7
( )
= + −( )
=
=( )
=
=
,
D nilai ke 7 16+110
nilai ke-11 910
aantara nilai ke-11 dan nilai ke-12Jadi:
nilai ke-11 910
D7 = + nnilai ke-12 nilai ke-11
nilai ke
−( )
= + −( )
=
=
46 910
47 46
46 9
9
,
D 99 16+110
nilai ke-15
antara nilai ke-15 dan nilai ke-
( )
=
=
310
116Jadi:
nilai ke-15+ 310
nilai ke- nilai ke-D9 16 15
55 310
= −( )
= + 660 55
56 5
−( )
= ,
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
2.10.6 penyelesaian: Data yang telah diurutkan adalah sebagai berikut: 60, 65, 70, 72, 73, 75, 75, 77, 78, 78, 80, 82, 83, 85, 85, 87, 88, 90,
95, 98
Maka nilai P₁₀, P₂₀, P₄₀, P₆₀ dan P₈₀ adalah
P i n10
14
10 20 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-2 10100
nillai ke-2 110
antara nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:
nila
=
=P10 ii ke-2 110
nilai ke- nilai ke-
n
+ −( )
= + −( )
=
=
3 2
65 110
70 65
65 5
20
,
P iilai ke
nilai ke-4 20100
nilai ke-4 15
antara ni
20 20 1100+( )
=
=
= llai ke-4 dan nilai ke-Jadi:
nilai ke-4 15
nilai ke- n
5
520P = + − iilai ke-
nilai ke-8 40100
nilai ke
4
72 15
73 72
72 2
40
( )
= + −( )
=
=
=
,
P
--8 25
antara nilai ke-8 dan nilai ke-9Jadi:
nilai ke-8+
=
=P40225
nilai ke- nilai ke-
nilai ke 60
9 8
77 25
78 77
77 4
60
−( )
= + −( )
=
=
,
P 220+1100
nilai ke-12
nilai ke-12
antara nilai ke-
( )
=
=
=
6010035
112 dan nilai ke-13Jadi:
nilai ke-12 35
nilai ke- nilaP60 13= + − ii ke-
nilai ke 60 20+1100
nilai
12
82 35
83 82
82 6
60
( )
= + −( )
=
=( )
=
,
P
kke-12
nilai ke-12
antara nilai ke-12 dan nilai ke-
6010035
=
= 113
���Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
P i n10
14
10 20 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-2 10100
nillai ke-2 110
antara nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:
nila
=
=P10 ii ke-2 110
nilai ke- nilai ke-
n
+ −( )
= + −( )
=
=
3 2
65 110
70 65
65 5
20
,
P iilai ke
nilai ke-4 20100
nilai ke-4 15
antara ni
20 20 1100+( )
=
=
= llai ke-4 dan nilai ke-Jadi:
nilai ke-4 15
nilai ke- n
5
520P = + − iilai ke-
nilai ke-8 40100
nilai ke
4
72 15
73 72
72 2
40
( )
= + −( )
=
=
=
,
P
--8 25
antara nilai ke-8 dan nilai ke-9Jadi:
nilai ke-8+
=
=P40225
nilai ke- nilai ke-
nilai ke 60
9 8
77 25
78 77
77 4
60
−( )
= + −( )
=
=
,
P 220+1100
nilai ke-12
nilai ke-12
antara nilai ke-
( )
=
=
=
6010035
112 dan nilai ke-13Jadi:
nilai ke-12 35
nilai ke- nilaP60 13= + − ii ke-
nilai ke 60 20+1100
nilai
12
82 35
83 82
82 6
60
( )
= + −( )
=
=( )
=
,
P
kke-12
nilai ke-12
antara nilai ke-12 dan nilai ke-
6010035
=
= 113
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
P8080 20 1
100=
+( )
=
=
=
nilai ke
nilai ke-16 80100
nilai ke-16 45
antaara nilai ke-16 dan nilai ke-17Jadi:
nilai ke-16+ 45
nilP80 = aai ke- nilai ke-17 16
87 45
88 87
87 8
−( )
= + −( )
= ,
2.10.7 penyelesaian:
a
b
) . .
) . .
G P P P
G Q Q Q
= = ( )( )( ) = =
= = ( )(
1 2 33 3 3
1 2 33
12 24 48 13824 24
10 20))( ) = =40 8000 203 3
2.10.8 penyelesaian:
a
b
) . .
) . .
G E E E
G F F F
= = ( )( )( ) = =
= = ( )(
1 2 33 3 3
1 2 33
15 30 60 27000 30
25 50))( ) = =100 125000 503 3
2.10.9 penyelesaian:
R n
x
H =
=+ + +
=
=
∑ 1
414
16
18
124
414246 85,
���Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
2.10.10 penyelesaian:
R n
x
H =
=+ +
=
=
∑ 1
37
1213
34
320121 8,
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
���
UKUran PeMUSatan Data BerKeLOMPOK
Bab 3
Ukuran pemusatan dimaksudkan sebagai parameter atau ukuran keterpusatan data. Ukuran pemusatan data ini digunakan untuk
mendapatkan gambaran yang lebih jelas dari suatu persoalan yang terhimpun dalam sekelompok data. Ukuran ini seringkali dijadikan pengambilan keputusan, sehingga keberadaan ukuran pemusatan data tersebut boleh dikatakan sangat berarti dalam rangka melakukan analisis data. Ukuran pemusatan data berkelompok yang akan dipelajari yaitu, rata-rata hitung, median, modus, kuartil, desil dan persentil.
�.� Rata-rata Hitung
Penggunaan rata-rata hitung untuk suatu kelompok data tergantung dari tujuan analisisnya. Nilai yang mewakili sekelompok data yaitu disebut rata-rata hitung. Untuk menentukan nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan ke dalam daftar distribusi frekuensi, dapat dilakukan perhitungan dengan cara yaitu perhitungan yang didasarkan pada jumlah dari hasil perkalian antara frekuensi tiap kelas interval dengan nilai tengah kelas.
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Penggunaan rata-rata banyak sekali dilakukan, bukan saja di dalam pelajaran statistik akan tetapi juga dalam perhitungan sehari-hari. Rata-rata
hitung sering disimbolkan sebagai X , dibaca x bar.Persamaan rata-rata hitung ditentukan sebagai berikut:
XfX
f
ii
n
= =∑∑
1
Keterangan:
X = Nilai Rata-Rata Hitung
∑ f.Xi = Jumlah perkalian frekuensi dengan nilai tengah ∑ f = Jumlah data atau banyaknya data
Contoh 3.1Tentukanlah nilai rata-rata hitung dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!
tabel 3.1Modal PT. Maju
Modal frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19
90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45
Jumlah 200
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan rata-rata hitung data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
tabel 3.2Perhitungan Rata-Rata Hitung
Modal f Xi f. Xi10 – 29 22 19,5 42930 – 49 38 39,5 150150 – 69 26 59,5 154770 – 89 19 79,5 1510,5
90 – 109 35 99,5 3482,5110 – 129 15 109,5 1792,5130 – 149 45 139,5 6277,5
Jumlah 200 16540
Maka rata-rata hitung dari data modal perusahaan di atas yaitu
X = =
16540200
82 7,
Contoh 3.2 Tentukanlah nilai rata-rata hitung dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!
tabel 3.3Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
kelas frekuensi152 – 154 4155 – 157 11158 – 160 10161 – 163 25164 – 166 20167 – 169 20170 – 172 6173 – 175 4
Jumlah 100
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan rata-rata hitung data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
tabel 3.4Perhitungan Rata-Rata Hitung
kelas f Xi f. Xi152 – 154 4 153 612155 – 157 11 156 1716158 – 160 10 159 1590161 – 163 25 162 4050164 – 166 20 165 3300167 – 169 20 168 3360170 – 172 6 171 1026173 – 175 4 174 696
Jumlah 100 16350
Maka rata-rata hitung dari data modal perusahaan di atas yaitu
X = =
16350100
163 5,
�.� Median
Nilai tengah dari kelompok data yang telah diurutkan baik membesar atau mengecil disebut median. Biasanya median disingkat Med. Median data yang sudah dikelompokkan dirumuskan sebagai berikut:
Med Lm
in F
fC= +
−( )∑2 .
Keterangan:Med = MedianLm = Batas bawah kelas median C = Panjang kelas atau Interval kelasn = Banyaknya data∑F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari
tanda kelas medianf = Frekuensi kelas median
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Contoh 3.3Tentukanlah nilai median dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!
tabel 3.5Modal PT. Maju
Modal frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19
90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45
Jumlah 200
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan median pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
tabel 3.6Perhitungan Median
kelas tepi kelas f f. kumulatif10 – 29 9,5 – 29,5 22 2230 – 49 29,5 – 49,5 38 6050 – 69 49,5 – 69,5 26 8670 – 89 69,5 – 89,5 19 104
90 – 109 89,5 – 109,5 35 140110 – 129 109,5 –129,5 15 155130 – 149 129,5 – 149,5 45 200
Letak median yaitu pada data yang ke 200/2 = 100 (artinya median yang dicari terletak pada data yang ke 100 atau lebih). Lm = 69,5, ∑f = 86. Dari tabel data di atas ternyata nilai median yaitu:
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Med Lm
in F
fC= +
−( )
= +−( )
= +
= +
∑2
69 5
2002
86
1920
69 5 1419
20
69 5 0
.
, .
, .
, ,, .,
74 2084 3=
Bahwasannya ada sebanyak 50% Modal PT. Maju yang bernilai 84,3.
Contoh 3.4Tentukanlah nilai median dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!
tabel 3.7Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
kelas frekuensi152 – 154 4155 – 157 11158 – 160 10161 – 163 25164 – 166 20167 – 169 20170 – 172 6173 – 175 4Jumlah 100
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan median pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
tabel 3.8Perhitungan Median
kelas tepi kelas f f. kumulatif152 – 154 151,5 – 154,5 4 4155 – 157 154,5 – 157,5 11 15158 – 160 157,5 – 160,5 10 25161 – 163 160,5 – 163,5 25 50164 – 166 163,5 – 166,5 20 70167 – 169 166,5 –169,5 20 90170 – 172 169,5 – 172,5 6 96173 – 175 172,5 – 175,5 4 100
Letak median yaitu pada data yang ke 100/2 = 50 (artinya median yang dicari terletak pada data yang ke 50 atau lebih). Lm = 160,5, ∑f = 25. Dari tabel data di atas ternyata nilai median yaitu:
Med Lm
n F
fC= +
−( )
= +−( )
= +=
∑2
160 5
502
25
503
160 5 0160 5
.
, .
,,
Bahwasannya ada sebanyak 50% tinggi badan mahasiswa STMIK Nusa Mandiri yang bernilai 160,5.
�.� Modus
Nilai yang sering muncul dalam suatu kelompok data atau nilai yang paling banyak frekuensinya disebut modus. Suatu kelompok data mungkin mempunyai modus tetapi mungkin juga tidak mempunyai modus. Artinya, modus suatu kelompok data tidak selalu ada. Bila suatu kelompok data mempunyai modus, maka modusnya bisa lebih dari satu, atau dikatakan modusnya tidak tunggal. Modus sering disingkat dengan Mod.
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Persamaan modus data yang sudah dikelompokkan adalah sebagai berikut:
Mod Lmo dd d
C= ++
1
1 2
.
Keterangan:Mod = ModusLm = Batas bawah kelas modusd1 = Selisih frekuensi yang mengandung modus dengan frekuensi
sebelumnyad2 = Selisih frekuensi yang mengandung modus dengan frekuensi
sesudahnyaC = Panjang kelas interval
Contoh 3.5Tentukanlah nilai modus dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!
tabel 3.9Modal PT. Maju
Modal frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19
90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45
Jumlah 200
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan rata-rata hitung pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
tabel 3.10Perhitungan Modus
kelas tepi kelas f f. kumulatif10 – 29 9,5 – 29,5 22 2230 – 49 29,5 – 49,5 38 6050 – 69 49,5 – 69,5 26 8670 – 89 69,5 – 89,5 19 104
90 – 109 89,5 – 109,5 35 140110 – 129 109,5 –129,5 15 155130 – 149 129,5 – 149,5 45 200
Letak modus yaitu pada data yang paling banyak frekuensinya yaitu 45. d1 = 45 – 15 = 30, d2 = 45, Lm = 129,5. Dari tabel di atas ternyata nilai modus yaitu:
Mod Lmo dd d
C= ++
= ++
=
1
1 2
129 5 3030 45
20
1
.
, .
229 5 8137 5
,,+
=
Contoh 3.6Tentukanlah nilai modus dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
tabel 3.11Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
kelas frekuensi152 – 154 4155 – 157 11158 – 160 10161 – 163 25164 – 166 20167 – 169 20170 – 172 6173 – 175 4Jumlah 100
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan modus pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
tabel 3.12Perhitungan Modus
kelas tepi kelas f f. kumulatif152 – 154 151,5 – 154,5 4 4155 – 157 154,5 – 157,5 11 15158 – 160 157,5 – 160,5 10 25161 – 163 160,5 – 163,5 25 50164 – 166 163,5 – 166,5 20 70167 – 169 166,5 –169,5 20 90170 – 172 169,5 – 172,5 6 96173 – 175 172,5 – 175,5 4 100
Letak modus yaitu pada data yang paling banyak frekuensinya yaitu 25. d1 = 25 – 10 = 15, d2 = 25 – 20 = 5, Lm = 129,5. Dari tabel di atas ternyata nilai modus yaitu:
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Mod Lmo dd d
C= ++
= ++
= +=
1
1 2
129 5 1515 5
20
129 5 15144
.
, .
,,,5
�.� Kuartil
Kita telah mengetahui bahwa median itu merupakan nilai tengah data. Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4 bagian yang sama banyak disebut kuartil. Bilangan pembaginya ada 3, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2) dan kuartil ketiga (Q3). Kuartil pertama disebut juga kuartil bawah, kuartil kedua disebut juga kuartil tengah dan kuartil ketiga disebut juga kuartil atas. Untuk data yang sudah dikelompokan nilai kuartil ke-i, yaitu Qi, ditentukan dengan rumus berikut ini:
Qi Lqi
in f
fC= +
−
∑4 .
Keterangan:Qi = Nilai Kuartil ke i, i = 1, 2, dan 3Lqi = Batas bawah kelas Qi C = Panjang kelas intervaln = Banyaknya data∑F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari
tanda kelas Qif = Frekuensi kelas Qi
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Contoh 3.7Tentukanlah Q₂ dan Q₃ dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!
tabel 3.13Modal PT. Maju
Modal frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19
90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45
Jumlah 200
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan kuartil data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
tabel 3.14Perhitungan Kuartil
Kelas Tepi Kelas f f. kumulatif10 – 29 9,5 – 29,5 22 2230 – 49 29,5 – 49,5 38 6050 – 69 49,5 – 69,5 26 8670 – 89 69,5 – 89,5 19 104
90 – 109 89,5 – 109,5 35 140110 – 129 109,5 –129,5 15 155130 – 149 129,5 – 149,5 45 200
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Q Lq
n f
fC1 1
14
29 5
2004
22
38
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,,
20
29 5 50 2238
20
29 5 14 7444 24
2Q Lqq
n f
fC2
24
69 5
4004
86
19
+−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,,
20
69 5 100 8619
20
69 5 14 7484 24
3 3Q Lq ++−
= +−
∑34
109 5
6004
140
15
n f
fC.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
109 5 150 14015
20
109 5 13 33122 83
Contoh 3.8Tentukanlah nilai Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
tabel 3.15Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
kelas frekuensi152 – 154 4155 – 157 11158 – 160 10161 – 163 25164 – 166 20167 – 169 20170 – 172 6173 – 175 4Jumlah 100
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan kuartil pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
tabel 3.16Perhitungan Kuartil
kelas tepi kelas f f. kumulatif152 – 154 151,5 – 154,5 4 4155 – 157 154,5 – 157,5 11 15158 – 160 157,5 – 160,5 10 25161 – 163 160,5 – 163,5 25 50164 – 166 163,5 – 166,5 20 70167 – 169 166,5 –169,5 20 90170 – 172 169,5 – 172,5 6 96173 – 175 172,5 – 175,5 4 100
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Q Lq
n f
fC1 1
14
157 5
1004
15
38
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
,,
3
157 5 25 1510
3
157 5 3160 5
2 2Q Lq
224
160 5
2004
25
25
n f
fC
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +−∑
.
, .
,,
3
160 5 50 2525
3
160 5 3163 5
34
3 3Q Lq
n f
ffC
= +−
.
,166 5
3004
70
20
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
3
166 5 75 7020
3
166 5 0 75167 25
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Q Lq
n f
fC1 1
14
157 5
1004
15
38
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
,,
3
157 5 25 1510
3
157 5 3160 5
2 2Q Lq
224
160 5
2004
25
25
n f
fC
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +−∑
.
, .
,,
3
160 5 50 2525
3
160 5 3163 5
34
3 3Q Lq
n f
ffC
= +−
.
,166 5
3004
70
20
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
3
166 5 75 7020
3
166 5 0 75167 25
�.� Desil
Jika sekelompok data, dibagi menjadi 10 bagian yang sama banyaknya disebut desil. Maka akan terdapat 9 pembagi, masing-masing disebut nilai desil (D), yaitu D₁, D₂, D₃, D₄, … D₉. Untuk data yang sudah dikelompokkan nilai desil ke-i, yaitu Di ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
D Ld
in F
fCi i= +
−
∑10 .
Keterangan:Di = Nilai Desil ke i, i = 1, 2, dan 3Ldi = Batas bawah kelas Di C = Panjang kelas intervaln = Banyaknya data∑F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari
tanda kelas Dif = Frekuensi kelas Di
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Contoh 3.9Tentukanlah D₁, D₂, D₃, D₄, D₅, D₆, D₇, D₈ dan D₉ dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!
tabel 3.17Modal PT. Maju
Modal frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19
90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45
Jumlah 200
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan desil data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
tabel 3.18Perhitungan Desil
kelas tepi kelas f f. kumulatif10 – 29 9,5 – 29,5 22 2230 – 49 29,5 – 49,5 38 6050 – 69 49,5 – 69,5 26 8670 – 89 69,5 – 89,5 19 104
90 – 109 89,5 – 109,5 35 140110 – 129 109,5 –129,5 15 155130 – 149 129,5 – 149,5 45 200
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
D Ld
n F
fC1 1
110
9 5
20010
0
22
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
20
9 5 20 022
20
9 5 18 1827 68
2 2D Ld
2210
29 5
40010
22
38
n f
fC
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
20
29 5 40 2238
20
29 5 9 4738 97
3
3 3D Ld
n110
29 5
60010
22
38
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
.
, .
,,
20
29 5 60 2238
20
29 5 2049 5
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
D Ld
n F
fC4 4
410
49 5
80010
60
26
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
49 5 80 6026
20
49 5 15 3864 88
5D == +−
= +−
∑Ld
n f
fC5
510
69 5
100010
86
19
.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
69 5 100 8619
20
69 5 14 7384 23
D66 6
610
29 5
120010
105
35
= +−
= +−
∑Ld
n f
fC.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
89 5 120 10538
20
89 5 8 5798 077
710
89 5
140010
105
35
7 7D Ld
n f
fC= +
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
.
, .
,,
20
89 5 140 10535
20
89 5 20109 55
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
D Ld
n F
fC4 4
410
49 5
80010
60
26
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
49 5 80 6026
20
49 5 15 3864 88
5D == +−
= +−
∑Ld
n f
fC5
510
69 5
100010
86
19
.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
69 5 100 8619
20
69 5 14 7384 23
D66 6
610
29 5
120010
105
35
= +−
= +−
∑Ld
n f
fC.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
89 5 120 10538
20
89 5 8 5798 077
710
89 5
140010
105
35
7 7D Ld
n f
fC= +
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
.
, .
,,
20
89 5 140 10535
20
89 5 20109 55
D Ld
n f
fC8 8
810
129 5
160010
155
45
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,
20
129 5 160 15545
20
129 5 2 221331 72
910
129 5
180010
9 9
,
.
,
D Ld
n f
fC= +
−
= +−
∑
1155
4520
129 5 1800 15545
20
129 5
= +−( )
=
.
, .
, ++=
11 11140 61
,,
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Contoh 3.10Tentukanlah nilai D₁, D₂, D₃, D₄, D₅, D₆, D₇, D₈ dan D₉ dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!
tabel 3.19Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
kelas frekuensi152 – 154 4155 – 157 11158 – 160 10161 – 163 25164 – 166 20167 – 169 20170 – 172 6173 – 175 4Jumlah 100
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan desil data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
tabel 3.20Perhitungan Desil
Kelas tepi kelas f f. kumulatif152 – 154 151,5 – 154,5 4 4155 – 157 154,5 – 157,5 11 15158 – 160 157,5 – 160,5 10 25161 – 163 160,5 – 163,5 25 50164 – 166 163,5 – 166,5 20 70167 – 169 166,5 –169,5 20 90170 – 172 169,5 – 172,5 6 96173 – 175 172,5 – 175,5 4 100
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
D Ld
n f
fC1 1
110
154 5
10011
4
38
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,,
3
154 5 10 411
3
154 5 1 63156 13
2D LLd
n f
fC2
210
157 5
20010
15
10
+−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,
3
157 5 20 1510
3
157 5 1 5159
3 3D Ld
3310
160 5
30010
25
25
n f
fC
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
3
160 5 30 2525
3
160 5 0 6161 1
4
4 4D Ld
n110
160 5
40010
25
25
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
3
160 5 40 2525
3
160 5 1 8162 3
510
5 5D Ld
n−−
= +−
∑ f
fC.
,160 5
50010
25
25
= +−( )
= +=
.
, .
,,
3
160 5 50 2525
3
160 5 3163 5
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
D Ld
n f
fC1 1
110
154 5
10011
4
38
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,,
3
154 5 10 411
3
154 5 1 63156 13
2D LLd
n f
fC2
210
157 5
20010
15
10
+−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,
3
157 5 20 1510
3
157 5 1 5159
3 3D Ld
3310
160 5
30010
25
25
n f
fC
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
3
160 5 30 2525
3
160 5 0 6161 1
4
4 4D Ld
n110
160 5
40010
25
25
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
3
160 5 40 2525
3
160 5 1 8162 3
510
5 5D Ld
n−−
= +−
∑ f
fC.
,160 5
50010
25
25
= +−( )
= +=
.
, .
,,
3
160 5 50 2525
3
160 5 3163 5
D Ld
n f
fC6 6
610
163 5
60010
50
20
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,
3
163 5 60 5020
3
163 5 1 5165
7D Ld77
710
163 5
70010
50
20
+−
= +−
∑n f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
,,
3
163 5 70 5020
3
163 5 3166 5
8
8 8D Ld
n110
166 5
80010
70
20
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +−
.
, .
, ,
3
166 5 80 7020
3
166 5 1 5168
910
9 9D Ld
n f∑∑
= +−
fC.
,166 5
90010
70
20
= +−( )
= +=
.
, .
,,
3
166 5 90 7020
3
166 5 3169 5
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
D Ld
n f
fC6 6
610
163 5
60010
50
20
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,
3
163 5 60 5020
3
163 5 1 5165
7D Ld77
710
163 5
70010
50
20
+−
= +−
∑n f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
,,
3
163 5 70 5020
3
163 5 3166 5
8
8 8D Ld
n110
166 5
80010
70
20
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +−
.
, .
, ,
3
166 5 80 7020
3
166 5 1 5168
910
9 9D Ld
n f∑∑
= +−
fC.
,166 5
90010
70
20
= +−( )
= +=
.
, .
,,
3
166 5 90 7020
3
166 5 3169 5
D Ld
n f
fC6 6
610
163 5
60010
50
20
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,
3
163 5 60 5020
3
163 5 1 5165
7D Ld77
710
163 5
70010
50
20
+−
= +−
∑n f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
,,
3
163 5 70 5020
3
163 5 3166 5
8
8 8D Ld
n110
166 5
80010
70
20
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +−
.
, .
, ,
3
166 5 80 7020
3
166 5 1 5168
910
9 9D Ld
n f∑∑
= +−
fC.
,166 5
90010
70
20
= +−( )
= +=
.
, .
,,
3
166 5 90 7020
3
166 5 3169 5
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
�.� Persentil
Jika sekelompok data dibagi menjadi 100 bagian yang sama banyaknya disebut persentil. Maka akan terdapat 99 pembagi yang maisng-masing disebut persentil (P), yaitu P₁, P₂, P₃, P₄… P₉₉. Untuk data tidak berkelompok nilai persentil ke-i, yaitu Pi dihitung dengan rumus berikut ini:
Pi Lpi
in F
fC= +
−
∑10 .
Keterangan:Pi = Nilai Persentil ke i, i = 1, 2, dan 3Lpi = Batas bawah kelas Pi C = Panjang kelas intervaln = Banyaknya data∑F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari
tanda kelas Pif = Frekuensi kelas Pi
Contoh 3.11Tentukanlah P₁₅, P₂₃, P₄₇, P₅₈, P₇₂, P₇₉, P₈₇, dan P₉₄ dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!
tabel 3.21Modal PT. Maju
Modal frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19
90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45
Jumlah 200
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan persentil pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
tabel 3.22Perhitungan Persentil
kelas tepi kelas f f. kumulatif10 – 29 9,5 – 29,5 22 2230 – 49 29,5 – 49,5 38 6050 – 69 49,5 – 69,5 26 8670 – 89 69,5 – 89,5 19 104
90 – 109 89,5 – 109,5 35 140110 – 129 109,5 –129,5 15 155130 – 149 129,5 – 149,5 45 200
P Lp
n f
fC15 15
15100
29 5
3000100
22
= +−
= +−
∑.
,338
20
29 5 30 2238
20
29 5 4 2133
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,,
.
,
71
23100
29 5
460010
23 23P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
0022
3820
29 5 46 2238
20
29 5 12
−
= +−( )
= +
.
, .
, ,66342 13
47100
69 5
9
47 47
=
= +−
= +
∑
,
.
,
P Lp
n f
fC
4400100
86
1920
69 5 94 8619
20
69
−
= +−( )
=
.
, .
,55 8 4277 92
58100
89
58 58
+=
= +−
=
∑
,,
.P Lp
n f
fC
,, .
,
5
11600100
105
3520
89 5 116 1053
+−
= +−( )
5520
89 5 6 2895 78
.
, ,,
= +=
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
P Lp
n f
fC15 15
15100
29 5
3000100
22
= +−
= +−
∑.
,338
20
29 5 30 2238
20
29 5 4 2133
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,,
.
,
71
23100
29 5
460010
23 23P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
0022
3820
29 5 46 2238
20
29 5 12
−
= +−( )
= +
.
, .
, ,66342 13
47100
69 5
9
47 47
=
= +−
= +
∑
,
.
,
P Lp
n f
fC
4400100
86
1920
69 5 94 8619
20
69
−
= +−( )
=
.
, .
,55 8 4277 92
58100
89
58 58
+=
= +−
=
∑
,,
.P Lp
n f
fC
,, .
,
5
11600100
105
3520
89 5 116 1053
+−
= +−( )
5520
89 5 6 2895 78
.
, ,,
= +=
P Lp
n f
fC15 15
15100
29 5
3000100
22
= +−
= +−
∑.
,338
20
29 5 30 2238
20
29 5 4 2133
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,,
.
,
71
23100
29 5
460010
23 23P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
0022
3820
29 5 46 2238
20
29 5 12
−
= +−( )
= +
.
, .
, ,66342 13
47100
69 5
9
47 47
=
= +−
= +
∑
,
.
,
P Lp
n f
fC
4400100
86
1920
69 5 94 8619
20
69
−
= +−( )
=
.
, .
,55 8 4277 92
58100
89
58 58
+=
= +−
=
∑
,,
.P Lp
n f
fC
,, .
,
5
11600100
105
3520
89 5 116 1053
+−
= +−( )
5520
89 5 6 2895 78
.
, ,,
= +=
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
P Lp
n f
fC72 72
72100
109 5
14400100
= +−
= +−
∑.
,1140
1520
109 5 144 14015
20
109 5
= +−( )
= +
.
, .
, 55 33114 83
79100
129
79 79
,,
.
=
= +−
=
∑P Lp
n f
fC
,, .
,
5
15800100
155
4520
129 5 158 155
+−
= +−( )
44520
129 5 1 33130 83
87100
87 87
.
, ,,
= +=
= +−
∑P Lp
n f
f
= +−
=
.
, .
C
129 5
17400100
155
4520
129,, .
, ,,
5 174 15545
20
129 5 8 44137 94
94100
94 94
+−( )
= +=
= +−
∑P Lp
n f
f
= +−
.
,
C
129 5
18800100
155
45
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
129 5 188 15545
20
129 5 14 66144 16
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
P Lp
n f
fC72 72
72100
109 5
14400100
= +−
= +−
∑.
,1140
1520
109 5 144 14015
20
109 5
= +−( )
= +
.
, .
, 55 33114 83
79100
129
79 79
,,
.
=
= +−
=
∑P Lp
n f
fC
,, .
,
5
15800100
155
4520
129 5 158 155
+−
= +−( )
44520
129 5 1 33130 83
87100
87 87
.
, ,,
= +=
= +−
∑P Lp
n f
f
= +−
=
.
, .
C
129 5
17400100
155
4520
129,, .
, ,,
5 174 15545
20
129 5 8 44137 94
94100
94 94
+−( )
= +=
= +−
∑P Lp
n f
f
= +−
.
,
C
129 5
18800100
155
45
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
129 5 188 15545
20
129 5 14 66144 16
Contoh 3.12Tentukanlah nilai P₁₈, P₂₅, P₄₃, P₅₅, P₇₇, P₈₂, P₈₉, dan P₉₅ dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!
tabel 3.23Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
kelas frekuensi152 – 154 4155 – 157 11158 – 160 10161 – 163 25164 – 166 20167 – 169 20170 – 172 6173 – 175 4Jumlah 100
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan persentil pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
tabel 3.24Perhitungan Persentil
kelas tepi kelas f f. kumulatif152 – 154 151,5 – 154,5 4 4155 – 157 154,5 – 157,5 11 15158 – 160 157,5 – 160,5 10 25161 – 163 160,5 – 163,5 25 50164 – 166 163,5 – 166,5 20 70167 – 169 166,5 –169,5 20 90170 – 172 169,5 – 172,5 6 96173 – 175 172,5 – 175,5 4 100
P Lp
n f
fC18 18
18100
154 5
800100
4
1
= +−
= +−
∑.
,11
3
154 5 8 411
3
154 5 1 09155 5
= +−( )
= +=
.
, .
, ,, 99
25100
157 5
2500100
25 25P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑.
,−−
= +−( )
= +=
15
103
157 5 25 1510
3
157 5 316
.
, .
,00 5
43100
160 5
43001
43 43
,
.
,
P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
00025
253
160 5 43 2525
3
160 5 2
−
= +−( )
= +
.
, .
, ,116162 66= ,
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
P Lp
n f
fC18 18
18100
154 5
800100
4
1
= +−
= +−
∑.
,11
3
154 5 8 411
3
154 5 1 09155 5
= +−( )
= +=
.
, .
, ,, 99
25100
157 5
2500100
25 25P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑.
,−−
= +−( )
= +=
15
103
157 5 25 1510
3
157 5 316
.
, .
,00 5
43100
160 5
43001
43 43
,
.
,
P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
00025
253
160 5 43 2525
3
160 5 2
−
= +−( )
= +
.
, .
, ,116162 66= ,
P Lp
n f
fC55 55
55100
163 5
5500100
5
= +−
= +−
∑.
,00
203
163 5 55 5020
3
163 5 0 751
= +−( )
= +=
.
, .
, ,664 25
77100
166 5
770
77 77
,
.
,
P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
00100
70
203
166 5 77 7020
3
166 5
−
= +−( )
= +
.
, .
, 11 05167 55
82100
166
82 82
,,
.
=
= +−
=
∑P Lp
n f
fC
,, .
, .
5
8200100
70
203
166 5 82 7020
3
+−
= +−( )
=1166 5 1 8168 3
, ,,+
=
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
P Lp
n f
fC55 55
55100
163 5
5500100
5
= +−
= +−
∑.
,00
203
163 5 55 5020
3
163 5 0 751
= +−( )
= +=
.
, .
, ,664 25
77100
166 5
770
77 77
,
.
,
P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
00100
70
203
166 5 77 7020
3
166 5
−
= +−( )
= +
.
, .
, 11 05167 55
82100
166
82 82
,,
.
=
= +−
=
∑P Lp
n f
fC
,, .
, .
5
8200100
70
203
166 5 82 7020
3
+−
= +−( )
=1166 5 1 8168 3
, ,,+
=
P Lp
n f
fC89 89
89100
166 5
8900100
7
= +−
= +−
∑.
,00
203
166 5 89 7020
3
166 5 2 851
= +−( )
= +=
.
, .
, ,669 35
55100
163 5
550
55 55
,
.
,
P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
00100
50
203
163 5 55 5020
3
163 5
−
= +−( )
= +
.
, .
, 00 75164 25
77100
166
77 77
,,
.
=
= +−
=
∑P Lp
n f
fC
,, .
, .
5
7700100
70
203
166 5 77 7020
3
+−
= +−( )
=1166 5 1 05167 55
82100
82 82
, ,,+
=
= +−
∑P Lp
n f
f..
, .
,
C
= +−
= +−(
166 5
8200100
70
203
166 5 82 70))
= +=
= +−
∑
203
166 5 1 8168 3
89100
89 89
.
, ,,
P Lp
n f
f
= +−
= +
.
, .
,
C
166 5
8900100
70
203
166 5 89−−( )
= +=
= +−
∑
7020
3
166 5 2 85169 35
95100
95 95
.
, ,,
P Lp
n f
f
= +−
=
.
, .
C
169 5
9500100
90
63
169,, .
, ,
5 95 906
3
169 5 2 5172
+−( )
= +=
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
�.� Rangkuman
Ukuran pemusatan data digunakan untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas dari suatu persoalan yang terdapat dalam sekelompok data. Ukuran pemusatan data yang sudah dikelompokkan yaitu diantaranya: a. Rata-rata hitung yaitu nilai yang mewakili sekelompok data. b. Median yaitu nilai tengah sekelompok data. c. Modus yaitu nilai yang sering muncul atau nilai yang paling banyak
frekuensinya, d. Kuartil yaitu kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4
bagian yang sama banyak. e. Desil yaitu sekelompok data yang dibagi menjadi 10 bagian yang sama
banyaknya. f. Persentil yaitu sekelompok data dibagi menjadi 100 bagian yang sama
banyaknya.
�.� Latihan Soal
3.8.1 Tentukan rata-rata hitung dari data nilai Ujian Komputer Animasi 50 mahasiswa jurusan Public Relation Universitas BSI Bandung!
tabel 3.25Nilai Ujian Komputer Animasi 50 Mahasiswa Jurusan Public Relation
Universitas BSI Bandung
Nilai frekuensi60 – 62 563 – 65 1166 – 68 1469 – 71 872 – 74 12Jumlah 50
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
3.8.2 Tentukanlah nilai median dan modus dari tinggi badan 40 anak panti Asuhan Tambatan Hati!
tabel 3.26Tinggi Badan 40 Anak Panti Asuhan Tambatan Hati
tinggi Badan frekuensi118 – 126 3127 – 135 5136 – 144 9145 – 153 12154 – 162 5163 – 171 4172 – 180 2Jumlah 40
3.8.3 Tentukanlah nilai Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data nilai ujian Metodologi Keperawatan 30 mahasiwa jurusan Keperawatan Universitas BSI Bandung!
tabel 3.27Nilai Ujian Metodologi Keperawatan 30 Mahasiswa Jurusan Keperawatan
Universitas BSI Bandung
Nilai frekuensi21 – 30 131 – 40 141 – 50 351 – 60 961 – 70 871 – 80 681 – 90 2Jumlah 30
3.8.4 Tentukanlah nilai D₂, D₅ dan D₉ dari data nilai ujian Komputer Grafis II 40 mahasiswa jurusan Desain Komunikasi Visual Universitas BSI Bandung!
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
tabel 3.28Nilai Ujian Komputer Grafis II 40 Mahasiswa Jurusan Desain Komunikasi
Visual Universitas BSI Bandung
Nilai frekuensi19 – 27 428 – 36 637 – 45 846 – 54 1055 – 63 664 – 72 373 – 81 3Jumlah 40
3.8.5 Tentukanlah nilai P₂₄, P₅₆, dan P₇₀ dari data tinggi badan 90 mahasiswa UKM Bulutangkis Universitas BSI Bandung!
tabel 3.29Tinggi Badan 90 Mahasiswa UKM Bulutangkis Universitas BSI Bandung
tinggi Badan frekuensi140 – 142 4143 – 145 9146 – 148 20149 – 151 44152 – 154 18155 – 157 5Jumlah 90
�.� Jawaban Latihan Soal
3.9.1 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan rata-rata hitung maka dibuat
tabel perhitungan sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
tabel 3.30Nilai Ujian Komputer Animasi 50 Mahasiswa Jurusan Public Relation
Universitas BSI Bandung
Nilai f Xi f.Xi60 – 62 5 61 30563 – 65 11 64 70466 – 68 14 67 93869 – 71 8 70 56072 – 74 12 73 876
50 3383
Maka rata-rata hitungnya adalah
X
f Xif
= = =∑∑
.,3383
5067 66
3.9.2 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan median dan modus maka
dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:tabel 3.31
Perhitungan Median Dan Modus
tinggi Badan f Xi fk118 – 126 3 122 3127 – 135 5 131 8136 – 144 9 140 17145 – 153 12 149 29154 – 162 5 158 34163 – 171 4 167 38172 – 180 2 176 40
Letak median yaitu pada data yang ke 40/2 = 20 (artinya median yang dicari terletak pada data yang ke 20 atau lebih). Lm = 145,5, ∑f = 17. Dari tabel data di atas ternyata nilai median dan modus yaitu:
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Med Lm= +−
= +−
∑n F
fC2
144 5
402
17
12
.
,
= +
= +=
= +
.
, .
, ,,
9
144 5 312
9
144 5 2 25146 75
1Mod Lmo dd11 2
144 5 33 7
9
144 5 2 7147 2
+
= ++
= +=
dC.
, .
, ,,
3.9.3 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan kuartil pada data yang sudah
dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 3.32Perhitungan Kuartil
Nilai f fk21 – 30 1 131 – 40 1 241 – 50 3 551 – 60 9 1461 – 70 8 2271 – 80 6 2881 – 90 2 30
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Q Lq
n f
fC1 1
14
50 5
304
5
9
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, , .
, ,,
10
50 5 7 5 59
10
50 5 2 7853 28
2
2 2Q Lq
n44
60 5
604
14
8
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +−
∑
.
, .
, ,,
10
60 5 15 148
10
60 5 1 2561 75
34
3 3Q Lq
n f
f
= +−
.
, .
C
70 5
904
22
6100
70 5 22 5 226
10
70 5 0 8371 33
= +−( )
= +=
, , .
, ,,
Q Lq
n f
fC1 1
14
50 5
304
5
9
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, , .
, ,,
10
50 5 7 5 59
10
50 5 2 7853 28
2
2 2Q Lq
n44
60 5
604
14
8
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +−
∑
.
, .
, ,,
10
60 5 15 148
10
60 5 1 2561 75
34
3 3Q Lq
n f
f
= +−
.
, .
C
70 5
904
22
6100
70 5 22 5 226
10
70 5 0 8371 33
= +−( )
= +=
, , .
, ,,
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
3.9.4 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan desil pada data yang sudah
dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 3.33Perhitungan Desil
Nilai f fk19 – 27 4 428 – 36 6 1037 – 45 8 1846 – 54 10 2855 – 63 6 3464 – 72 3 3773 – 81 3 40
D Ld
n f
fC2 2
210
27 5
8010
4
6
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +−∑
.
, .
,,
9
27 5 8 46
9
27 5 633 5
510
5 5D Ld
n f
f
= +−
.
,
C
45 5
20010
18
10
= +−( )
= +=
= +−
∑
.
, .
, ,,
9
45 5 20 1810
9
45 5 1 847 3
910
9 9D Ld
n f
f
= +−
=
.
, .
C
63 5
36010
22
39
633 5 60 223
9
63 5 669 5
, .
,,
+−( )
= +=
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
D Ld
n f
fC2 2
210
27 5
8010
4
6
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +−∑
.
, .
,,
9
27 5 8 46
9
27 5 633 5
510
5 5D Ld
n f
f
= +−
.
,
C
45 5
20010
18
10
= +−( )
= +=
= +−
∑
.
, .
, ,,
9
45 5 20 1810
9
45 5 1 847 3
910
9 9D Ld
n f
f
= +−
=
.
, .
C
63 5
36010
22
39
633 5 60 223
9
63 5 669 5
, .
,,
+−( )
= +=
3.9.5 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan persentil pada data yang sudah
dikelompokkan, maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 3.34Perhitungan Persentil
tinggi Badan f fk140 – 142 4 4143 – 145 9 13146 – 148 20 33149 – 151 44 77152 – 154 18 85155 – 157 5 90
P Lp
n f
fC24 24
24100
145 5
2160100
1
= +−
= +−
∑.
,33
203
145 5 21 6 1320
3
145 5 1 29
= +−( )
= +
.
, , .
, ,==
= +−
= +
∑
146 7956100
148 5
5
56 56
,
.
,
P Lp
n f
fC
0040100
23
443
148 5 50 4 2344
3
14
−
= +−( )
=
.
, , .
88 5 1 87150 37
70100
70 70
, ,,
.
+=
= +−
∑P Lp
n f
fC
== +−
= +−( )
148 5
6300100
23
443
148 5 63 234
, .
,44
3
148 5 2 73151 23
.
, ,,
= +=
���Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
P Lp
n f
fC24 24
24100
145 5
2160100
1
= +−
= +−
∑.
,33
203
145 5 21 6 1320
3
145 5 1 29
= +−( )
= +
.
, , .
, ,==
= +−
= +
∑
146 7956100
148 5
5
56 56
,
.
,
P Lp
n f
fC
0040100
23
443
148 5 50 4 2344
3
14
−
= +−( )
=
.
, , .
88 5 1 87150 37
70100
70 70
, ,,
.
+=
= +−
∑P Lp
n f
fC
== +−
= +−( )
148 5
6300100
23
443
148 5 63 234
, .
,44
3
148 5 2 73151 23
.
, ,,
= +=
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
���
UKUran PenYeBaran DataBab 4
Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data disebut dispersi. Dispersi sangat berguna untuk menganalisa data dengan cara
membandingkan dua atau beberapa penyebaran distribusi data. Analisa data dengan menggunakan ukuran pemusatan data belum memberikan informasi yang mendalam, karena hanya memberikan informasi yang terbatas. Dengan ukuran dispersi akan dapat diketahui lebih banyak informasi tentang perbedaan dari kelompok data. Ada beberapa jenis ukuran dispersi data yang akan kita pelajari yaitu diantaranya jangkauan (range), simpangan rata-rata (mean deviation), variansi (variance), standar deviasi (standard deviation), simpangan kuartil (quartile deviation), simpangan persentil (percentile deviation), koefisien variasi dan nilai baku.
�.� Jangkauan (Range)
Bentuk yang paling sederhana dari ukuran dispersi adalah jangkauan atau range, yang dilambangkan dengan R. Definisi jangkauan atau range (R) suatu kelompok data adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum dalam suatu kelompok data. Jangkauan dapat diketahui dari data yang belum dikelompokkan dan data yang sudah dikelompokkan.
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
�.�.� Jangkauan Data yang Belum Dikelompokkan
Persamaan jangkauan yang belum dikelompokkan dinyatakan sebagai berikut:
Range (r) = Nilai Maksimum – Nilai Minimum
Contoh 4.1 Kelompok data 1: 45, 45, 45, 45, 45. Kelompok data 2: 20, 40, 55, 60, 80. Kelompok data 3: 15, 35, 45, 60, 85.Hitunglah range dari kelompok-kelompok data di atas!
penyelesaian: R1 = Nilai Maksimum – Nilai Minimum = 45 – 45 = 0
R2 = Nilai Maksimum – Nilai Minimum = 80 – 20 = 60
R3 = Nilai Maksimum – Nilai Minimum = 85 – 15 = 70
Terlihat bahwa kelompok data 1 mempunyai jangkauan yang paling kecil (R1) dan kelompok data 3 mempunyai jangkauan yang paling besar (R3). Artinya kelompok data 3 paling menyebar daripada data yang lain.
�.�.� Jangkauan Data yang Sudah Dikelompokkan
Untuk data berkelompok dalam bentuk distribusi frekuensi jangkauan data dihitung dengan memakai selisih antara nilai tengah kelas yang
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
maksimum dengan nilai tengah kelas minimum, dapat ditentukan dalam persamaan berikut ini:
r = Nilai tengah kelas Maksimum – Nilai tengah kelas Minimum
Contoh 4.2Perhatikan tabel berikut ini!
tabel 4.1Berat Badan 54 Mahasiswa Jurusan Manajemen Informatika Universitas BSI Bandung
Berat badan (kg) Xi f50 – 54 52 555 – 59 57 360 – 64 62 2165 – 69 67 1570 – 74 72 10
Hitunglah range dari data di atas!
penyelesaian: R = Nilai Tengah Kelas Maksimum – Nilai Tengah Kelas Minimum = 72 – 52 = 20 kg
Nilai jangkauan suatu kelompok data dapat menunjukkan kualitas data. Semakin kecil jangkauan suatu data, maka kualitas data itu semakin baik, sebaliknya semakin besar jangkauan suatu data, maka kualitas data tersebut semakin tidak baik. Oleh karena terlalu sederhana, yaitu hanya memakai nilai maksimum dan nilai minimum, maka jangkauan dikatakan terlalu kasar untuk menggambarkan penyebaran data sehingga dalam analisis data yang memerlukan tingkat ketelitian yang tinggi, ukuran dispersi data ini jarang dipakai. Inilah kekurangan dari jangkauan data. Akan tetapi kelebihannya paling mudah dihitung.
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
�.� Simpangan Rata-rata (Mean Deviation)
Pengertian Simpangan Rata-rata (Mean Deviation) adalah jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi banyaknya data. Misalkan kelompok data X1, X2, X3,…Xn mempunyai niilai rata-rata hitung X, maka simpangan atau selisih nilai dari X1, X2, X3,…Xn dengan X
masing-masing adalah (X1 – X), (X2 – X), (X3 – X), …(Xn – X). Simpangan rata-rata sering disingkat dengan SR.
�.�.� Simpangan Rata-rata Data yang Belum Dikelompokkan
Persamaan simpangan rata-rata data yang belum dikelompokkan dinyatakan sebagai berikut:
SRx xn
=−∑
Keterangan:SR = Simpangan Rata-rataX = nilai data
X = rata-rata hitungn = banyaknya data
Contoh 4.3Tentukanlah simpangan rata-rata dari kelompok-kelompok data sebagai berikut: Kelompok data 1: 60, 78, 80, 92, 100. Kelompok data 2: 20, 30, 40, 50, 60.
penyelesaian:
X160 78 80 92 100
582
=+ + + +
=
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
maka, simpangan rata-rata dari data di atas yaitu:
SRx xn1
60 82 78 82 80 82 92 82 100 825
22 4 2 10 185
11
=−
=− + − + − + − + −
=+ + + +
=
∑
,,2
20 30 40 50 605
40
20 40 30 40 40 40 50 40
2
2
X
SRx xn
=+ + + +
=
=−
=− + − + − + − +
∑
660 405
20 10 0 10 205
12
−
=+ + + +
=
Maka;
SRx xn1
60 82 78 82 80 82 92 82 100 825
22 4 2 10 185
11
=−
=− + − + − + − + −
=+ + + +
=
∑
,,2
20 30 40 50 605
40
20 40 30 40 40 40 50 40
2
2
X
SRx xn
=+ + + +
=
=−
=− + − + − + − +
∑
660 405
20 10 0 10 205
12
−
=+ + + +
=
Terlihat bahwa kelompok data 1 mempunyai simpangan rata-rata yang paling kecil (SR1) dan kelompok data 2 mempunyai simpangan rata-rata yang paling besar (SR2). Artinya kelompok data 3 paling menyebar daripada data yang lain.
�.�.� Simpangan Rata-rata Data yang Sudah Dikelompokkan
Simpangan rata-rata untuk data berkelompok dapat dibuat tabel distribusi frekuensi yang melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, frekuensi kelas dan banyaknya data.
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Persamaan simpangan rata-rata data yang sudah dikelompokkan dapat ditentukan sebagai berikut:
SRf x x
f
SRX
=−
=
∑∑
Keterangan: simpangan Rata-rata
nilai data
frekuensi kelas (data berkelompok)
=
=x
ff∑ = banyaknya data
Keterangan: SR = Simpangan Rata-rataX = nilai data
X = nilai rata-rata hitungf = frekuensi kelas (data berkelompok)∑f = banyaknya data
Tanda nilai mutlak pada rumus tersebut untuk menjamin agar simpanan bertanda positif, karena dispersi data merupakan ukuran yang positif.
Contoh 4.4Tentukanlah simpangan rata-rata dari data tabel frekuensi di bawah ini!
tabel 4.2Berat Badan 50 Anak di Panti Asuhan Tambatan Hati
Berat badan f20 – 29 230 – 39 340 – 49 950 – 59 1160 – 69 770 – 79 18
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan simpangan rata-rata pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
tabel 4.3Perhitungan Simpangan Rata-Rata
Berat Badan
f Xi f. Xi (Xi – X) |Xi – X | f |Xi – X |
20 - 29 2 24.5 49 -34.4 34.4 68.8
30 - 39 3 34.5 103.5 -24.4 24.4 73.2
40 - 49 9 44.5 400.5 -14.4 14.4 129.6
50 - 59 11 54.5 599.5 -4.4 4.4 48.4
60 - 69 7 64.5 451.5 5.6 5.6 39.2
70 - 79 18 74.5 1341 15.6 15.6 280.8
Jumlah 50 2945 640
Diketahui:
Diketahui
f f Xi f Xi X
X
Maka s
:
, . ,
,
,
= = − =
=
=
∑∑50 2945 6402945
5058 9
iimpangan rata rata data perusahaan tersebuta dalah
SRf x x
-
=−∑∑
∑=
=
f64050
12 8,
Maka, simpangan rata-rata data perusahaan tersebut adalah
Diketahui
f f Xi f Xi X
X
Maka s
:
, . ,
,
,
= = − =
=
=
∑∑50 2945 6402945
5058 9
iimpangan rata rata data perusahaan tersebuta dalah
SRf x x
-
=−∑∑
∑=
=
f64050
12 8,
Contoh 4.5Tentukanlah simpangan rata-rata data nilai Ujian Pengantar Bisnis jurusan Manajemen Pemasaran di bawah ini!
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
tabel 4.4Nilai Ujian Pengantar Bisnis
Nilai Xi f
26 – 35 30.5 2
36 – 45 40.5 4
46 – 55 50.5 8
56 – 65 60.5 13
66 – 75 70.5 8
76 – 85 80.5 4
86 - 95 90.5 1
Jumlah 40
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan simpangan rata-rata dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 4.5Perhitungan Simpangan Rata-rata
Nilai Xi f Xi. f |Xi – X | f |Xi - X |
26 - 35 30.5 2 61 28.8 57.6
36 - 45 40.5 4 162 18.8 75.2
46 - 55 50.5 8 404 8.8 70.4
56 - 65 60.5 13 786.5 0.75 9.75
66 - 75 70.5 8 564 10.75 86
76 - 85 80.5 4 322 20.75 83
86 - 95 90.5 1 90.5 30.75 30.75
40 2390 412.7
Diketahui:
Diketahui
f X f f Xi X
X
Ma
i
:
, , ,
,
∑ ∑∑= = − =
=
=
40 2390 412 72390
4059 75
kka simpangan rata rata data perusahaan tersebuta dalah
SR
, -
==−
=
=
∑∑f x x
f412 7
4010 3175
,
,
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Maka simpangan rata-ratanya adalah:
Diketahui
f X f f Xi X
X
Ma
i
:
, , ,
,
∑ ∑∑= = − =
=
=
40 2390 412 72390
4059 75
kka simpangan rata rata data perusahaan tersebuta dalah
SR
, -
==−
=
=
∑∑f x x
f412 7
4010 3175
,
,
Tanda nilai mutlak dapat mengubah (membalikkan) nilai besar bertanda negatif menjadi nilai besar bertanda positif. Sifat ini mempengaruhi simpangan rata-rata, yaitu mengakibatkan ukuran simpangan rata-rata menjadi kurang baik. Akan tetapi simpangan rata-rata masih lebih baik daripada jangkauan, karena simpangan rata-rata mempertimbangkan semua selisih antara nilai data dengan pusat data. Meskipun demikian, karena simpangan rata-rata mempunyai sifat yang kurang baik, maka ukuran dispersi ini juga jarang dipakai dalam analisis data. Satu hal lagi yang perlu diketahui adalah bahwa pada rumus simpangan rata-rata baik untuk data tidak berkelompok maupun data berkelompok, nilai rata-rata hitung dapat diganti dengan ukuran pemusatan data yang lain, misalnya median dan modus.
�.� Variansi (Variance)
Variansi untuk data berkelompok dapat dibuat tabel frekuensi yang melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung dan banyaknya data. Rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap rata-rata hitung disebut variansi (variance). Variansi untuk sampel dilambangkan dengan S2. sedangkan untuk populasi dilambangkan dengan σ2. Bila sampel berupa kelompok data X1, X2, X3, …, Xn mempunyai rata-
rata hitung ( X ) maka kuadrat selisih nilai-nilai tersebut terhadap X adalah
X -X X -X X -X X -X1 2 3 n( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2, , ,… .
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
�.�.� Variansi (Variance) Data yang Belum Dikelompokkan
Pada perumusan variansi menggunakan nilai kuadrat yang tujuannya sama dengan nilai mutlak pada persamaan simpangan rata-rata yang tujuannya untuk membuat nilai negatif menjadi nilai positif. Persamaan rumusnya adalah sebagai berikut:
SX Xn
SX
X
2
2
2
1=
−( )−
=
=
=
∑
Keterangan:
variansi nilai data
nilaai rata-rata hitung banyaknya datan =
Keterangan:S2 = variansi X = nilai data
X = nilai rata-rata hitungn = banyaknya data
Contoh 4.6Tentukanlah variansi dari kelompok data: 20, 30, 50, 70, 80!
penyelesaian:
Penyelesaian
X
Maka ian ya adalah
:
, var sin
=+ + + +
=
20 30 50 70 805
50
ssebagai berikut
SX x
n
:
2
2
2 2 21
20 50 30 50 50 50
=−( )−
=−( ) + −( ) + −( ) +
∑
770 50 80 505 1
900 400 0 400 9004
650
2 2−( ) + −( )
−
=+ + + +
=
Jadi ian, var si kelompok data tersebut adalah S2 650= .
Maka variansinya adalah sebagai berikut:
Penyelesaian
X
Maka ian ya adalah
:
, var sin
=+ + + +
=
20 30 50 70 805
50
ssebagai berikut
SX x
n
:
2
2
2 2 21
20 50 30 50 50 50
=−( )−
=−( ) + −( ) + −( ) +
∑
770 50 80 505 1
900 400 0 400 9004
650
2 2−( ) + −( )
−
=+ + + +
=
Jadi ian, var si kelompok data tersebut adalah S2 650= .Jadi, variansi kelompok data tersebut adalah S2 = 650
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Perhatikan bahwa dengan memakai variansi, dispersi data tersebut jauh lebih besar jika dibandingkan dengan memakai simpangan rata-rata,. Hal ini diakibatkan oleh variansi yang memakai kuadrat selisih dari nilai-nilai data terhadap rata-rata hitung, sehingga simpangannya membesar secara drastis. Ini berarti variansi bukan merupakan ukuran dispersi yang baik untuk menggambarkan penyebaran data. Kelemahan variansi disebabkan oleh bentuk kuadrat yang dipakai dalam rumus, sementara dispersi data sesungguhnya merupakan ukuran yang bentuknya linear. Oleh karena itu, variansi juga merupakan ukuran yang jarang dipakai dalam analisis data. Meskipun demikian, variansi masih mempunyai kelebihan karena melibatkan selisih dari semua nilai data.
Contoh 4.7Tentukanlah variansi kelompok data: 32, 45, 49, 85, 56, 70, 82!
penyelesaian:
X
SX Xn
=+ + + + + +
=
=−( )−
=−( ) + −( )
∑
32 45 49 85 56 70 827
59 8
132 60 45 60
2
2
2
,
22 2 2 2 2 249 60 85 60 56 60 76 60 82 607 1
784 225
+ −( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )
−
=+ ++ + + + +
=
=
121 625 16 100 4846
23556
392 5,
Maka, variansi dari kelompok data di atas adalah:
X
SX Xn
=+ + + + + +
=
=−( )−
=−( ) + −( )
∑
32 45 49 85 56 70 827
59 8
132 60 45 60
2
2
2
,
22 2 2 2 2 249 60 85 60 56 60 76 60 82 607 1
784 225
+ −( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )
−
=+ ++ + + + +
=
=
121 625 16 100 4846
23556
392 5,
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Contoh 4.8Tentukan variansi dari kelompok data 25, 38, 40, 45, 52, 65!
penyelesaian:
Penyelesaian
X
Maka ian
:
,
, var s
=+ + + + +
=
=
25 38 40 45 52 656
2656
44 167
iin :
,
ya dari kelompok di atas yaitu
SX Xn
2
2
125 44 167
=−( )−
=−(
∑
)) + −( ) + −( ) + −( ) + −( ) +2 2 2 2 238 44 167 40 44 167 45 44 167 52 44 167 65, , , , −−( )
−
=+ + + + +
=
=
44 1676 1
367 4 38 17 4 0 7 61 4 4345
918 95
83 78
2,
, , , ,
,
,
Jadii ian ya adalah, var sin , . 83 78
Maka, variansi dari kelompok data di atas yaitu:
Penyelesaian
X
Maka ian
:
,
, var s
=+ + + + +
=
=
25 38 40 45 52 656
2656
44 167
iin :
,
ya dari kelompok di atas yaitu
SX Xn
2
2
125 44 167
=−( )−
=−(
∑
)) + −( ) + −( ) + −( ) + −( ) +2 2 2 2 238 44 167 40 44 167 45 44 167 52 44 167 65, , , , −−( )
−
=+ + + + +
=
=
44 1676 1
367 4 38 17 4 0 7 61 4 4345
918 95
83 78
2,
, , , ,
,
,
Jadii ian ya adalah, var sin , . 83 78Jadi, variansinya adalah 83,78
�.�.� Variansi (Variance) Data yang Sudah Dikelompokkan
Variansi untuk data berkelompok dapat dibuat tabel frekuensi yang melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, frekuensi kelas dan banyaknya data. Perumusan variansi data yang sudah dikelompokkan adalah sebagai berikut:
Sf X xn
Keterangan
S variansiX nilai data
x nilai ra
2
2
2
1=
−( )−
=
=
=
∑
:
tta rata hitungf frekuensi kelas data berkelompokn banya
- =
=
( )kknya data
Keterangan:S2 = Variansi X = nilai data
X = nilai rata-rata hitung
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
f = frekuensi kelas (data berkelompok)n = banyaknya data
Contoh 4.9Tentukanlah variansi data modal perusahaan Cahaya pada tabel berikut ini!
tabel 4.6Modal Perusahaan Cahaya
Modal f112 – 120 4121 – 129 5130 – 138 8139 – 147 12148 – 156 5157 – 165 4166 – 174 2
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan variansi maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 4.7Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi
Modal Xi f (Xi - X )2 f(Xi– X )2
112 - 120 116 4 601.4756 2405.9024
121 - 129 125 5 241.0256 1205.128
130 - 138 134 8 42.5756 340.6048
139 - 147 143 12 6.1256 73.5072
148 - 156 152 5 131.6756 658.378
157 - 165 161 4 419.2256 1676.9024
166 - 174 170 2 868.7756 1737.5512
40 8.098
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Diketahui:
n atau Xi X
X
Maka iansi
f=40 f
−( ) =
=
=
∑∑2
8 0985621
40140 525
,
,
var data tersebut adalah
S
:
,
2 809839
207 64
=
=
Maka variansi data tersebut adalah:
n atau Xi X
X
Maka iansi
f=40 f
−( ) =
=
=
∑∑2
8 0985621
40140 525
,
,
var data tersebut adalah
S
:
,
2 809839
207 64
=
=
�.� Standar De�iasi (Standard Deviation)
Akar pangkat dua dari variansi disebut standar deviasi (standard deviation). Standar deviasi seringkali disebut dengan simpangan baku. Standar deviasi berkaitan langsung dengan variansi. Standar deviasi sering disingkat dengan S.
�.�.� Standar De�iasi (Standard Deviation) yang Belum Dikelompokkan
Perumusan standar deviasi (standard deviation) data yang belum dikelompokkan adalah sebagai berikut;
SX Xn
=−( )−
∑2
1
Keterangan : S = Standar Deviasi (Simpangan Baku) X = nilai data
S
X Xn
=−( )−
∑2
1
= nilai rata-rata hitung n = banyaknya data
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Contoh 4.10Tentukanlah standar deviasi dari kelompok data: 20, 30, 50, 70, 80!
penyelesaian:
Penyelesaian
X
SX x
n
:
=+ + + +
=
=−( )−
=−( ) +
∑
20 30 50 70 805
50
120 50 30
2
2
2 −−( ) + −( ) + −( ) + −( )
−
=+ + + +
−
50 50 50 70 50 80 505 1
900 400 0 400 9005 1
2 2 2 2
== 650
Jadi s dar deviasi dari kelompok data tersebut ada, tan llah
S
:
,==
65025 495
Jadi, standar deviasi dari kelompok data tersebut adalah
Penyelesaian
X
SX x
n
:
=+ + + +
=
=−( )−
=−( ) +
∑
20 30 50 70 805
50
120 50 30
2
2
2 −−( ) + −( ) + −( ) + −( )
−
=+ + + +
−
50 50 50 70 50 80 505 1
900 400 0 400 9005 1
2 2 2 2
== 650
Jadi s dar deviasi dari kelompok data tersebut ada, tan llah
S
:
,==
65025 495
�.�.� Standar De�iasi (Standard Deviation) yang Sudah Dikelompokkan
Perumusan standar deviasi (standard deviation) data yang sudah dikelompokkan adalah sebagai berikut;
Sf X Xn
KeteranganS s dar deviasi simpangan baku
=−( )−
=
∑2
1
:tan ( ))
X nilai data
X nilai rata rata hitungf frekuensi kelas
=
=
=
- banyaknya data
( )data berkelompokn=
Keterangan:S = Standar Deviasi (Simpangan Baku)X = nilai data
X = nilai rata-rata hitungf = frekuensi kelas (data berkelompok)n = banyaknya data
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Contoh 4.11Tentukanlah standar deviasi dari data modal perusahaan Cahaya pada tabel berikut ini!
tabel 4.8Modal Perusahaan Cahaya
Modal f112 – 120 4121 – 129 5130 – 138 8139 – 147 12148 – 156 5157 – 165 4166 – 174 2
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan standar deviasi maka dibuat tabel frekuensi sebagai berikut:
tabel 4.9 Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi
Modal Xi f (Xi - X)2 f(Xi – X)2
112 - 120 116 4 601.4756 2405.9024
121 - 129 125 5 241.0256 1205.128
130 - 138 134 8 42.5756 340.6048
139 - 147 143 12 6.1256 73.5072
148 - 156 152 5 131.6756 658.378
157 - 165 161 4 419.2256 1676.9024
166 - 174 170 2 868.7756 1737.5512
40 8.098
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Diketahui:
f f Xi X
S
∑ = − =
=
=
=
=
40 80985621
40140 5258098
39207
2
2
, ( )
,
,
664
207 6414 410
S==
,,
Maka, standar deviasi dari data di atas adalah
f f Xi X
S
∑ = − =
=
=
=
=
40 80985621
40140 5258098
39207
2
2
, ( )
,
,
664
207 6414 410
S==
,,
Oleh karena standar deviasi merupakan akar dari variansi, maka standar deviasi mempunyai bentuk linier dari kuadrat selisih antara semua nilai data dengan rata-rata hitungnya. Seperti juga variansi, standar deviasi selalu bertanda positif. Oleh karena standar deviasi melibatkan semua nilai data serta merupakan bentuk linier dan selalu positif, sementara ukuran dispersi data merupakan jarak yang bentuknya linear dan positif, maka standar deviasi merupakan ukuran dispersi yang dianggap paling baik sehingga paling banyak dipakai dalam analisis data daripada ukuran dispersi yang lain. Rumus lain untuk mencari variansi data tidak berkelompok.
Sn X X
n n2
2 2
1=
−( )−( )∑∑
Keterangan : S2 = Variansi X = nilai data n = banyaknya data
Statistika Deskriptif Itu Mudah�00
Dan rumus standar deviasinya adalah
Sn X X
n n=
−( )−( )∑∑ 2 2
1
Keterangan : S = Standar Deviasi (Simpangan Baku) X = nilai data n = banyaknya data
Untuk data berkelompok rumus variansi dan standar deviasi data menjadi:
Sn fX fX
n n2
2 2
1=
−( )−( )∑∑
Keterangan : S2 = Variansi X = nilai data n = banyaknya data
dimana n f
Sn fX fX
n n
=
=−( )−( )
∑∑∑ 2 2
1
Keterangan : S = Standar Deviasi (Simpangan Baku) X = nilai data n = banyaknya data
Contoh 4.12Tentukanlah variansi dan standar deviasi dari kelompok data 20, 30, 50, 70, 80!
�0�Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
penyelesaian:Buat tabel seperti berikut untuk memudahkan perhitungan variansi dan standar deviasi!
tabel 4.10Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi
X 20 30 50 70 80 Σ X = 250X2 400 900 2500 4900 6400 Σ X2 = 15100
Maka diperoleh:
S =
Jadi,
2n X X
n n
S
−( )−( )
=( )−( )
( )
=
=
=
∑∑2
2
15 15100 250
5 413000
20650
665025 495= ,
Contoh 4.13Diketahui kelompok data 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5, 6, 5, 4, 3, 5, 9, 10, 5.
Tentukanlah: a) Variansi b) Standar deviasi
penyelesaian:Gunakan tabel berikut untuk memudahkan perhitungan variansi dan standar deviasi!
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0�
tabel 4.11Daftar Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi
X f X2 f. X f. X2
3 2 9 6 184 1 16 4 165 4 25 20 1006 2 36 12 727 1 49 7 499 1 81 9 81
10 2 100 20 20012 1 144 12 14415 1 225 15 22518 1 324 18 324 16 123 1229
Dari tabel di atas diperoleh Dari tabel di atas diperolah f X fXMaka
dan .:
= =∑∑ 123 12292
aa Sn fX fX
n n) ( ) Variansi 2
2 2
2
116 1229 123
16 15
=−( )−( )
=( )−( )
( )
∑∑
==
=
==
4535240
18 9
18 94 3
,
) ( ) ,,
b S Standar deviasi
Maka:
a)
Dari tabel di atas diperolah f X fXMaka
dan .:
= =∑∑ 123 12292
aa Sn fX fX
n n) ( ) Variansi 2
2 2
2
116 1229 123
16 15
=−( )−( )
=( )−( )
( )
∑∑
==
=
==
4535240
18 9
18 94 3
,
) ( ) ,,
b S Standar deviasi b)
Dari tabel di atas diperolah f X fXMaka
dan .:
= =∑∑ 123 12292
aa Sn fX fX
n n) ( ) Variansi 2
2 2
2
116 1229 123
16 15
=−( )−( )
=( )−( )
( )
∑∑
==
=
==
4535240
18 9
18 94 3
,
) ( ) ,,
b S Standar deviasi
Contoh 4.14Tentukanlah variansi dan standar deviasi dengan menggunakan rumus lain dari data modal perusahaan Cahaya berikut ini!
�0�Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
tabel 4.12Modal Perusahaan Cahaya
Modal f112 – 120 4121 – 129 5130 – 138 8139 – 147 12148 – 156 5157 – 165 4166 – 174 2
penyelesaian:Gunakan tabel berikut untuk memudahkan perhitungan variansi dan standar deviasi!
tabel 4.13Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi
Modal X f X2 f X f X2
112 – 120 116 4 13456 464 53824121 – 129 125 5 15625 625 78125130 – 138 134 8 17956 1072 143648139 – 147 143 12 20449 1716 245388148 – 156 152 5 23104 760 115520157 – 165 161 4 25921 644 103684166 – 174 170 2 28900 340 57800
40 5,621 797989
Dari tabel diperoleh:
Dari tabel diperoleh
f
fX
fX
Dengan
demi
:
.
.
=
=
=
∑∑∑
40
5 621
797 9892
kkian variansi dan standar data tersebut adalah:
Sn fX fX
22
=− ∑∑∑ ( )−( )
=( )−( )
( )
=−
2
2
140 797989 5621
40 3931 919 560 31 595 64
n n
. . . . 111560
207 640
207 64014 410
=
==
,
,,
S
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0�
Dengan demikian variansi dan standar deviasi data tersebut adalah
Dari tabel diperoleh
f
fX
fX
Dengan
demi
:
.
.
=
=
=
∑∑∑
40
5 621
797 9892
kkian variansi dan standar data tersebut adalah:
Sn fX fX
22
=− ∑∑∑ ( )−( )
=( )−( )
( )
=−
2
2
140 797989 5621
40 3931 919 560 31 595 64
n n
. . . . 111560
207 640
207 64014 410
=
==
,
,,
S
Dengan menggunakan rumus ini akan sama hasilnya dengan rumus sebelumnya. Akan tetapi dengan memakai rumus dan standar deviasi tersebut, proses perhitungan lebih mudah dilakukan dan mengurangi resiko kesalahan daripada memakai rumus variansi dan standar deviasi sebelumnya.
Contoh 4.15Tentukanlah variansi dari data nilai ujian di bawah ini!
tabel 4.14Hasil Ujian Statistik Industri Jurusan Teknik Industri Universitas BSI Bandung
Nilai ujian f31 – 40 141 – 50 251 – 60 561 – 70 1571 – 80 2581 – 90 20
91 – 100 12Jumlah 80
�0�Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
penyelesaian:Gunakan tabel di bawah ini untuk memudahkan perhitungan variansi dan standar deviasi!
tabel 4.15Perhitungan Variansi
Nilai ujian f Xi Xi2 f.Xi f.Xi2
31 – 40 1 35,5 1260,25 35,5 1260,2541 – 50 2 45,5 2070,25 91 4140,551 – 60 5 55,5 3080,25 277,5 15401,2561 – 70 15 65,5 4290,25 982,5 64353,7571 – 80 25 75,5 5700,25 1887,5 142506,381 – 90 20 85,5 7310,25 1710 146205
91 – 100 12 95,5 9120,25 1146 109443Jumlah 80 6130 483310
Diketahui:n f
f X
f x
Sn fX fX
n n
i
i i
= =
=
=
=−( )−(
∑∑
∑∑
Σ
dan
80
6130
483 310
1
2
22 2
.
.
))
=× −( )
=
80 483 310 6 13080 79
172 1
2. ..
,
n f
f X
f x
Sn fX fX
n n
i
i i
= =
=
=
=−( )−(
∑∑
∑∑
Σ
dan
80
6130
483 310
1
2
22 2
.
.
))
=× −( )
=
80 483 310 6 13080 79
172 1
2. ..
,
n f
f X
f x
Sn fX fX
n n
i
i i
= =
=
=
=−( )−(
∑∑
∑∑
Σ
dan
80
6130
483 310
1
2
22 2
.
.
))
=× −( )
=
80 483 310 6 13080 79
172 1
2. ..
,
n f
f X
f x
Sn fX fX
n n
i
i i
= =
=
=
=−( )−(
∑∑
∑∑
Σ
dan
80
6130
483 310
1
2
22 2
.
.
))
=× −( )
=
80 483 310 6 13080 79
172 1
2. ..
,
Selain memakai cara itu, seperti juga cara menghitung rata-rata hitung, untuk menentukan variansi dan standar deviasi juga dapat dipakai cara koding atau transformasi dari variabel X ke variabel U, khususnya untuk data yang disajikan dalam bentuk distribusi frekuensi. Dengan cara transformasi, maka rumus variansi dan standar deviasi menjadi seperti berikut ini.
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0�
Variansi:S cn fU fU
n n2 2
2 2
1=
−( )−( )
∑∑
Keterangan : S2 = Variansi c = interval kelas n = banyaknya data f = frekuensi U = ... -2, -1, 0, 1, 2 .
Standar Deviasi : S cn fU fU
n n=
−( )−( )
∑∑ 2 2
1
Keterangan : S = Standar Deviasi c = interval kelas n = banyaknya data f = frekuensi U = ... -2, -1, 0, 1, 2 ...
Dengan memakai cara transformasi atau kode tersebut, maka untuk nilai (X) yang besar akan berubah menjadi nilai data U yang kecil, yaitu U =0, ±1, ±2,±3 dan seterusnya sehingga akan mempermudah melakukan perhitungan dan hasil yang diperoleh juga akan menjadi lebih teliti serta mengurangi resiko kesalahan dalam proses penghitungan.
Contoh 4.16Tentukanlah variansi dan standar deviasi dengan menggunakan rumus di atas dari data modal perusahaan Cahaya berikut ini!
�0�Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
tabel 4.16Modal Perusahaan Cahaya
Modal f112 – 120 4121 – 129 5130 – 138 8139 – 147 12148 – 156 5157 – 165 4166 – 174 2
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan variansi dan standar deviasi buatlah tabel seperti di bawah ini:
tabel 4.17Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi
Modal X f U f U f U2
112 - 120 116 4 -3 -12 36121 - 129 125 5 -2 -10 20130 - 138 134 8 -1 -8 8139 - 147 143 12 0 0 0148 - 156 152 5 1 5 5157 - 165 161 4 2 8 16166 - 174 170 2 3 6 18
40 -11 103
Dari tabel diperoleh; n = 40, Σ f U = –11, c = 9, dan Σ f U2 = 103.
Dengan demikian variansi dan standar deviasi data perusahaan tersebut adalah
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0�
S cn fU fU
n n2 2
2 2
2
1
9 40 103 11
=−( )−( )
=( )( )−(
∑∑
- ))( )
=−( )
=
2
40 39
81 4120 12140 39
207,, 640
Sedangkan standar deviasinya adalah
Dari tabel diperolehn
fUc
fU
Dengan
- dan
dem
:=
=
=
=
∑
∑
40
119
1032
iikian variansi dan standar deviasi data perusahaan tersebuut adalah:
S cn fU fU
n n2 2
2 2
2
1
9 4
=−( )−( )
=( )
∑∑
00 103 1140 39
81 4120 12140 39
2( )−( )
( )
=−( )
-
=
=
207 640
207
,
tan sin :
,
Sedangkan s dar devia ya adalah
S
6640 14 410= ,
Perhatikan bahwa hasil ini sama persis dengan jawaban pada contoh 4.14. Akan tetapi, dengan memakai cara ini perhitungan menjadi jauh lebih sederhana dan sangat mudah dilakukan serta dengan hasil yang lebih teliti atau lebih baik karena resiko melakukan kesalahan lebih kecil daripada memakai rumus-rumus sebelumnya. Oleh karena itu, perhitungan variansi dan standar deviasi dengan memakai rumus tersebut untuk data dalam bentuk distribusi frekuensi paling sering dipakai dalam analisis data.
�.� Jangkauan Kuartil dan Jangkauan Persentil �0 – �0
Cara lain yang dipakai untuk menggambarkan penyebaran data adalah dengan jangkauan kuartil dan jangkauan persentil 10 – 90. Jangkauan kuartil disebut juga simpangan kuartil atau rentang semi antarkuartil atau deviasi kuartil. Sedangkan jangkauan persentil 10 - 90 disebut juga rentang persentil. Jangkauan kuartil dan jangkauan persentil lebih baik daripada jangkauan atau range yang memakai selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum suatu kelompok data.
�0�Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
�.�.� Jangkauan Kuartil (JK)
Jangkauan kuartil melibatkan nilai kuartil ke-1 dan kuartil ke-3. Persamaan jangkauan kuartil dirumuskan sebagai berikut ini:
JK
= −( )
=
12 3 1
1
Q Q
KeteranganQ kuartil bawah atau kuartil perta
:mma
Q kuartil atas atau kuartil ketiga3 =
Keterangan:JK = Jangkauan KuartilQ1 = kuartil bawah atau kuartil pertamaQ3 = kuartil atas atau kuartil ketiga
Contoh 4.17Tentukan jangkauan kuartil dari data di bawah ini!
tabel 4.18Berat Badan 20 Mahasiswa jurusan Desain Komunikasi Visual
Universitas BSI Bandung
Berat Badan (kg) frekuensifrekuensi kumulatif
45 - 47 2 248 - 50 5 751 – 53 7 1454 – 56 4 1857 - 59 2 20
20
penyelesaian:
Q X n X
Q
Q
1 5
1
3
4
47 5 5 25
3
49 3
= =
= +−
=
=
,
, .
,
terletak pada kelas 48-50
XX n X34
43
54 2
15. ,
.
,
=
=
=
terletak pada kelas 54-56
Q 53,5+15-143
55
12
54 25 49 3
2 475
3 1JK= 12
Q Q−( )
= −( )
=
, ,
,
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
Maka jangkauan kuartilnya adalah
Q X n X
Q
Q
1 5
1
3
4
47 5 5 25
3
49 3
= =
= +−
=
=
,
, .
,
terletak pada kelas 48-50
XX n X34
43
54 2
15. ,
.
,
=
=
=
terletak pada kelas 54-56
Q 53,5+15-143
55
12
54 25 49 3
2 475
3 1JK= 12
Q Q−( )
= −( )
=
, ,
,
�.�.� Jangkauan Persentil (JP)
Jangkauan persentil melibatkan nilai persentil ke-10 dan ke-90. Persamaan jangkauan persentil dirumuskan seperti berikut:
JP P P10 90 90 10− = −
Keterangan:P = persentil ke-10P = persen
10
90 ttil ke-90
Keterangan:JP = Jangkauan PersentilP10 = persentil ke-10P90 = persentil ke-90
Contoh 4.18Tentukanlah jangkauan persentil dari data berikut!
tabel 4.19Berat Badan 100 Anak Panti Yatim Indonesia
Berat Badan frekuensifrekuensi kumulatif
40 - 42 3 343 - 45 7 1046 - 48 21 3149 - 51 48 7952 - 54 19 9855 - 57 2 100
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
penyelesaian:
Penyelesaian:
, terletak pada kelas 43-45P X n X
P
10 10
1
10100
= =.
00
90 90
42 5 10 37
3
42 5 345 5
90100
= +−
= +=
= =
, .
,,
.P X n X , terletak pada kelas 52-54
Jadi,
P
JP
90
10 90
51 5 90 7919
3
51 5 1 753 2
= +−
= +=
−
, .
, ,,
== −= −=
P P90 10
53 2 45 57 7
, ,,
Penyelesaian:
, terletak pada kelas 43-45P X n X
P
10 10
1
10100
= =.
00
90 90
42 5 10 37
3
42 5 345 5
90100
= +−
= +=
= =
, .
,,
.P X n X , terletak pada kelas 52-54
Jadi,
P
JP
90
10 90
51 5 90 7919
3
51 5 1 753 2
= +−
= +=
−
, .
, ,,
== −= −=
P P90 10
53 2 45 57 7
, ,,
Contoh 4.19Data berat badan 100 mahasiswa jurusan Ilmu Komunikasi di Universitas BSI Bandung disajikan pada tabel distribusi frekuensi berikut. Tentukanlah nilai jangkauan kuartil dan jangkauan persentil 10 – 90 data tersebut!
tabel 4.20Berat Badan 100 Mahasiswa Jurusan Ilmu Komunikasi Universitas BSI Bandung
Berat Badan (kg) frekuensi60 – 62 563 – 65 1866 – 68 4269 – 71 2772 - 74 8Jumlah 100
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
penyelesaian:Karena n = 100, maka Q1 terletak pada nilai ke-25, yaitu kelas 66 – 68, dan Q3 terletak pada nilai ke-75, yaitu kelas 69 – 71.
Maka nilai Q1 dan Q3 adalah
Maka nilai dan adalah:Q Q
Q
1 3
1 65 5 3 25 2342
65 6= +−
=, , 44
68 5 3 75 6527
69 61
1212
69
3
3 1
Q
JK Q Q
= +−
=
= −( )
=
, ,
,
Jadi,
661 65 64
1 985
−( )
=
,
,
Maka nilai dan adalah:Q Q
Q
1 3
1 65 5 3 25 2342
65 6= +−
=, , 44
68 5 3 75 6527
69 61
1212
69
3
3 1
Q
JK Q Q
= +−
=
= −( )
=
, ,
,
Jadi,
661 65 64
1 985
−( )
=
,
,
Sedangkan P10 terletak pada nilai ke-10, yaitu kelas 63 – 65 dan P90 terletak pada nilai ke-90 yaitu kelas 69 – 71. Maka nilai P10 dan P90 adalah
P
Q
10
90
62 5 3 10 518
63 33
68 5 3 90 6527
= +−
=
= +−
, ,
, =
= −= −=
−
71 28
71 28 63 337 95
10 90 90 10
,
, ,,
Jadi, JP P P
P
Q
10
90
62 5 3 10 518
63 33
68 5 3 90 6527
= +−
=
= +−
, ,
, =
= −= −=
−
71 28
71 28 63 337 95
10 90 90 10
,
, ,,
Jadi, JP P P
Contoh 4.20Tentukanlah jangkauan kuartil dan jangkauan persentil dari kelompok data 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5, 6, 5, 4, 3, 5, 9, 10, 5.
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
penyelesaian:Penyelesaian:
JK
nilai ke-
= −( )
= −( )
=
=+
1212
10 5
2 510 16 1
3 1
10
Q Q
P
,(( )
= + −( )
= + −( )
=
=
10070
100
3 70100
3 3
3
1 2 1
90
nilai ke-1 70100
X X X
P nnilai ke- nilai ke-15 30100
90 16 1100
3010015 16 15
+( )
= + −( )
=
X X X
115 30100
18 15
15 9
15 9 312 9
10 90 90 10
+ −( )
=
= −= −=
−
,
,,
JP P P
�.� Koefisien Variasi
Seperti yang telah diuraikan sebelumnya, bahwa ukuran penyebaran data seperti jangkauan, simpangan rata-rata, variansi, standar deviasi, jangkauan kuartil, dan jangkauan persentil merupakan dispersi mutlak. Ukuran dispersi ini tidak dapat dipakai untuk membandingkan penyebaran dua kelompok data atau lebih.
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Variasi satu meter dalam pengukuran jarak seribu meter jelas berbeda pengaruhnya dengan variasi satu meter dalam pengukuran jarak dua ribu meter. Untuk mengukur pengaruh demikian dan untuk membandingkan variasi antara nilai-nilai besar dan nilai-nilai kecil, digunakan dispersi relatif. Rumus:
Dispersi Relatif= Dispersi AbsolutRata-rata
Untuk mengukur pengaruh demikian dan untuk membandingkan variasi antara nilai-nilai besar dengan nilai-nilai kecil digunakan dispersi relatif. Salah satu ukuran dispersi relatif yang sangat terkenal adalah koefisien variasi (KV) yang dirumuskan sebagai berikut:
Koefisien Variasi (KV)= sx
Keterangan:S = Standar devia
×100%
ssi (simpangan baku)
x = Rata-rata hitung
Keterangan: KV = Koefisien VariasiS = Standar deviasi (simpangan baku)
X = Rata-rata Hitung
Contoh 4.21Tentukanlah koefisien variasi kelompok data: 35, 45, 55, 65, 75!
penyelesaian:Yang pertama kita tentukan dulu rata-rata hitung dan standar deviasi (S).
X = + + + +
=
35 45 55 65 755
55
Untuk memudahkan perhitungan koefisien variasi maka buatlah tabel seperti di bawah ini:
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
tabel 4.21Perhitungan Koefisien Variasi
X 35 45 55 65 75 ΣX = 275X2 1225 2025 3025 4225 5625 ΣX² = 16125
Sn X X
n n
S
22 2
2
15 16125 275
5 4250
25016 81
=−( )−( )
=( )−( )
( )=
==
∑∑
,
Jadi,,
KV sx
= ×
= ×
=
100
16 8155
100
30 56
%
, %
, %
Jadi,
Sn X X
n n
S
22 2
2
15 16125 275
5 4250
25016 81
=−( )−( )
=( )−( )
( )=
==
∑∑
,
Jadi,,
KV sx
= ×
= ×
=
100
16 8155
100
30 56
%
, %
, %
Contoh 4.22Ada dua jenis bola lampu. Lampu jenis A secara rata-rata mampu menyala selama 1.500 jam dengan simpangan baku S1 = 200 jam. Sedangkan lampu jenis B secara rata-rata mampu menyala selama 1.750 jam dengan simpangan baku S2 = 300 jam. Lampu mana yang kualitasnya lebih baik?
penyelesaian:
Lampu jenis
Lampu jenis
A KV
B KV
: %
, %
:
1
2
2001500
100
13 3300
1
= ×
=
=7750
100
17 1
×
=
%
, %
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Berdasarkan koefisien variasinya, lampu jenis A mempunyai koefisien variasi lebih kecil dari pada lampu jenis B. dengan kata lain kemampuan menyala lampu jenis B lebih bervariasi dari pada lampu jenis A dan kemampuan menyala lampu jenis A lebih seragam dari pada lampu jenis B.
Contoh 4.23Semacam lampu elektron rata-rata dapat di pakai selama 3.500 jam dengan simpangan baku 1.050 jam. Lampu model lain rata-ratanya 7.500 jam dengan simpangan baku 2.000 jam. Manakah dari kedua lampu tersebut mempunyai masa pakai yang baik?
penyelesaian:
KV (lampu pertama)
KV (lampu kedua)
= ×
=
=
10503500
100
3020007
%
%
5500100
26 6
×
=
%
, %
Ternyata lampu kedua secara relatif mempunyai masa pakai yang lebih uniform.
Contoh 4.24Tentukanlah koefisien Variasi dari kelompok data yaitu: 12, 6, 7, 3, 15, 10,18, 5, 6, 5, 4, 3, 5, 9, 10, 5.Penyelesaian:
penyelesaian:
KV sx
= ×
= ×
=
100
4 37 7
100
55 8
%
,,
%
, %
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
�.� Koefisien Variasi Kuartil
Ukuran dispersi relatif selain koefisien variasi adalah koefisien variasi kuartil. Koefisien variasi kuartil dipakai bilamana suatu kelompok data tidak diketahui berapa nilai rata-rata hitungnya dan standar deviasi (S). Persamaan koefisien variasi kuartil (KVQ) dirumuskan sebagai berikut:
KV Q QQ QQ =−+
3 1
3 1
Keterangan : KVQ = Koefisien Variasi Kuartil Q1 = Kuartil kesatu atau kuartil bawah Q3 = Kuartil ketiga atau kuartil atas
Atau bisa juga menggunakan rumus
KV
Q QMedQ =−( )3 1 2/
Keterangan : KVQ = Koefisien Variasi Kuartil Q1 = Kuartil kesatu atau kuartil bawah Q3 = Kuartil ketiga atau kuartil atas Med = Median
Contoh 4.25Tentukanlah koefisien variasi kuartil dari data berikut ini!
tabel 4.22Berat Badan 20 Mahasiswa UKM Bulutangkis di Universitas BSI Bandung
Berat Badan (kg) FrekuensiFrekuensi Kumulatif
45 – 47 2 248 – 50 5 751 – 53 7 1454 – 56 4 1857 – 59 2 20
20
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
penyelesaian:
Q X n X
Q
Q
1 5
1
3
4
47 5 5 25
3
49 3
= =
= +−
=
=
,
, .
,
terletak pada kelas 48-50
XX n X
Q
34
53 5 15 144
3
54 2
15
3
. ,
, .
,
=
= +−
=
terletak pada kelas 54-56
55
54 25 49 354 25 49 34 95
103 550 047
3 1
3 1
KVQ QQ QQ =−+
=−+
=
=
, ,, ,,,
,
Maka koefisien kuartil, yaitu:
Q X n X
Q
Q
1 5
1
3
4
47 5 5 25
3
49 3
= =
= +−
=
=
,
, .
,
terletak pada kelas 48-50
XX n X
Q
34
53 5 15 144
3
54 2
15
3
. ,
, .
,
=
= +−
=
terletak pada kelas 54-56
55
54 25 49 354 25 49 34 95
103 550 047
3 1
3 1
KVQ QQ QQ =−+
=−+
=
=
, ,, ,,,
,
�.� Nilai Baku (Z)
Salah satu manfaat penting dari nilai rata-rata hitung dan standar deviasi (S) adalah kedua nilai tersebut dapat dipakai untuk membuat transformasi data yang menghasilkan nilai baku atau disebut juga skor baku (nilai standar). Misalkan, kelompok data dengan nilai-nilai: X1, X2, X 3, ….,Xn mempunyai nilai rata-rata hitung X dan standar deviasi S.(Boediono:2008) Kita dapat membuat nilai baku Z dengan memakai tranformasi berikut:Rumus:
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Z X Xsi =−1 , di mana i = 1, 2, 3, ..., n
Keterangan : Zi = Nilai Baku X1 = Nilai kelompok data X = Nilai rata-rata hitung
Karena nilai-nilai variabel Z diturunkan dari nilai-nilai variabel X, maka distribusi Z pada umumnya menyerupai (mirip) distribusi dari data X. Secara matematis dapat dibuktikan bahwa ternyata distribusi nilai Z1, Z2, Z3,…Zn mempunyai rata-rata sama dengan nol (Z = 0) dan standar deviasi sama dengan satu (SZ = 1). Nilai-nilai Z1, Z2, Z3,…Zn yang diperoleh dengan cara transformasi seperti itu disebut nilai baku. Skor baku dapat dipakai untuk membuat skala yang sama dari dua atau lebih kelompok data yang semula skalanya berbeda, sehingga dapat dibandingkan.
Contoh 4.26Nilai rata-rata Ujian Akhir Semester (UAS) mata kuliah Ekonomi di kelas A dengan 50 mahasiswa adalah 75 dan simpangan bakunya (S) = 10. Sedangkan untuk mata kuliah Bahasa Inggris di kelas itu mempunyai nilai rata-rata 80 dan simpangan bakunya (S) = 18. Bila di kelas itu Dono memperoleh nilai UAS untuk Ekonomi adalah 85 dan untuk Bahasa Inggris adalah 92, bagaimana posisi (prestasi) Dono di kelas itu?
penyelesaian:Untuk melihat posisi Dono, apakah lebih baik prestasinya pada UAS mata kuliah Ekonomi atau Bahasa Inggris harus dicari nilai baku untuk nilai UAS pada dua mata kuliah tersebut.
Z X Xsi =−1
Di mana X adalah nilai UAS yang diperoleh oleh Donoo
Untuk Ekonomi:
Untuk Bahasa Inggris:
Z
Z
=−
=
=−
85 7510
1
92 80188
0 67= ,
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
Dimana X adalah nilai UAS yang diperoleh oleh Dono
Z X Xsi =−1
Di mana X adalah nilai UAS yang diperoleh oleh Donoo
Untuk Ekonomi:
Untuk Bahasa Inggris:
Z
Z
=−
=
=−
85 7510
1
92 80188
0 67= ,
Karena nilai Z untuk mata kuliah Ekonomi lebih besar dari nilai Z untuk mata kuliah Bahasa inggris, maka posisi (prestasi) Dono lebih baik pada mata kuliah Ekonomi daripada mata kuliah Bahasa inggris.
Contoh 4.27Pada ujian tengah semester yang lalu, untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi: Titan memperoleh nilai 84; sedangkan untuk mata kuliah Statistik ia memperoleh nilai 90. Di kelas itu terdapat 50 mahasiswa, di mana nilai rata-rata untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi adalah 76 dengan simpangan baku 10; sedangkan nilai rata-rata untuk mata kuliah Statistik adalah 82 dengan simpangan baku 16. Pada mata kuliah mana prestasi Titan yang lebih baik?
penyelesaian:Untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi:
Untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi:
Untu
Z x xs
=−=
−=
84 7610
0 8,
kk mata kuliah Statistik
Z x xs
=−=
−=
90 8216
0 5,Untuk mata kuliah Statistik:
Untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi:
Untu
Z x xs
=−=
−=
84 7610
0 8,
kk mata kuliah Statistik
Z x xs
=−=
−=
90 8216
0 5,
Ternyata prestasi Titan lebih baik pada ujian mata kuliah Pengantar Ekonomi, sebab nilai bakunya lebih besar.
�.� Rangkuman
Ada beberapa jenis ukuran dispersi data, antara lain: jangkauan (range), simpangan rata-rata (mean deviation), variansi (variance), standar deviasi (standard deviation), simpangan kuartil (quartile deviation), simpangan
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
persentil (percentile deviation), koefisien variasi, koefisien variasi kuartil dan nilai baku Jangkauan atau range (r) suatu kelompok data adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum. Simpangan rata-rata disingkat SR adalah jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi banyaknya data. Variansi adalah rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap rata-rata hitung. Standar deviasi adalah akar pangkat dua dari variansi. Standar deviasi seringkali disebut dengan simpangan baku. Jangkauan kuartil disebut juga simpangan kuartil atau rentang semi antarkuartil atau deviasi kuartil. Sedangkan jangkauan persentil 10 – 90 disebut juga rentang persentil.
�.�0 Latihan Soal
4.10.1 Hitunglah range dari kelompok data di bawah ini! 110, 190, 90, 120, 150, 115, 85, 155, 185, 120.
4.10.2 Hitunglah range dari data di bawah ini!
tabel 4.23Modal Perusahaan PT. Putrii
Batas kelas Modal (Jutaan rp)
frekuensi(f)
titik tengah(Xi)
30 – 39 2 34,540 – 49 3 44,550 – 59 11 54,560 – 69 20 64,570 – 79 32 74,580 – 89 25 84,590 – 99 7 94,5
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
4.10.3 Tentukanlah simpangan rata-rata data perusahaan pada tabel berikut ini:
tabel 4.24Nilai Ujian Bahasa Inggris kelas Manajemen Universitas BSI Bandung
Nilai f65 – 69 1270 – 74 675 – 79 1080 – 84 485 – 89 18
4.10.4 Data hasil ujian Gizi dan Terapi Diet jurusan Keperawatan Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut:
tabel 4.25Nilai Hasil Ujian Gizi dan Terapi Diet Jurusan Keperawatan
Universitas BSI Bandung
NilaiJumlah
Mahasiswa30 – 39,9 740 – 49,9 850 – 59,9 1060 – 69,9 3070 – 79,9 2080 – 89,9 1590 – 99,9 10
Tentukanlah variansi dari data tersebut!
4.10.5 Tentukanlah standar deviasi dari kelompok data: 25, 40, 55, 60, 75.
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
4.11.6 Data hasil ujian Anatomi jurusan Keperawatan di Universitas BSI Bandung sebagai berikut:
tabel 4.26Hasil Ujian Anatomi jurusan Keperawatan di Universitas BSI Bandung
NilaiJumlah
mahasiswa30 – 39,9 740 – 49,9 850 – 59,9 1060 – 69,9 3070 – 79,9 2080 – 89,9 1590 – 99,9 10
Tentukanlah standar deviasi dari data tersebut!4.10.7 Tentukanlah jangkauan kuartil dari kelompok data berikut: 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100
4.10.8 Sampel berat badan 10 mahasiswa dan 10 mahasiswi di Universaitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
Berat badan mahasiswa: 40, 50, 60, 55, 70, 65, 60, 55, 65, 80. Berat badan mahasiswi: 45, 55, 50, 60, 45, 40, 55, 50, 65, 60.
Tentukanlah koefisien variasinya, manakah yang lebih merata?
4.10.9 Tentukanlah koefisien variasi kuartil dari kelompok data 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5, 6, 5, 4, 3, 5, 9, 10, 5.
4.10.10 Seorang mahasiswa mendapat nilai 86 pada ujian akhir matematika di mana rata-rata dan simpangan baku kelompok, masing-masing 78 dan 10. Pada ujian akhir statistika di mana rata-rata kelompok 84 dan simpangan baku 18, yang mendapat nilai 92. Dalam mata ujian mana yang mencapai kedudukan yang lebih baik?
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
�.�� Jawaban Latihan Soal
4.11.1 penyelesaian: R = Nilai Maksimum – Nilai Minimum = 185 – 85 = 100
4.11.2 penyelesaian: R = Nilai Maksimum – Nilai Minimum = 94,5 – 34,5 = 60
4.11.3 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan simpangan rata-rata maka
buatlah tabel seperti di bawah ini:
tabel 4.27Perhitungan Simpangan Rata-Rata
Nilai f Xi f. Xi |Xi – X| f. |Xi – X| 65 - 69 12 67 804 11 13270 - 74 6 72 432 6 3675 - 79 10 77 770 1 1080 - 84 4 82 328 4 1685 - 89 18 87 1566 9 162
50 3900 356
Diketahui:
Diketahui:
n atau f f Xi f Xi X
X
= = − =
= =
∑∑∑ 50 3900 3563900
50
, . , .
778
Maka, simpangan rata-rata ujian di atas adalah:
SRf X X
=−∑ff∑
=
=
35650
7 12,
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Maka, simpangan rata-rata nilai Ujian di atas adalah:
Diketahui:
n atau f f Xi f Xi X
X
= = − =
= =
∑∑∑ 50 3900 3563900
50
, . , .
778
Maka, simpangan rata-rata ujian di atas adalah:
SRf X X
=−∑ff∑
=
=
35650
7 12,
4.11.4 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan variansi maka buatlah tabel
seperti di bawah ini:
tabel 4.28Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi
Nilai f Xi f.Xi (Xi –X)2 f (Xi – X)2
30 – 39,9 7 34.95 244,65 1108,89 7762,2340 – 49,9 8 44.95 359,6 542,89 4343,1250 – 59,9 10 54.95 549,5 176,89 1768,960 – 69,9 30 64.95 1948,5 10,89 326,770 – 79,9 20 74.95 1499 44,89 897,880 – 89,9 15 84.95 1274,25 278,89 4183,3590 – 99,9 10 94.95 949,5 712,89 7128,9
100 26411
Diketahui:
Diketahui:
n= 100,
Maka, varia
f Xi X
X
−( )=
=
=
∑ 264116825100
68 25,
nnsi dari data berkelompok adalah:
Sf X Xn
2
2
126411
=−( )−
=
∑
1100 1266 78
25 40 55 60 755
51
−=
=+ + + +
=
4.11.5 Penyelesaian:
,
X
S22
2
2 2 2 2 21
25 51 40 51 55 51 60 51 75 51
=−( )−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑ X Xn
55 1676 121 16 81 576
4367 5
−
=+ + + +
= ,
Jadi, standar deviasi dari kellompok data tersebut adalah:
S==
367 519 17
,,
Maka variansi dari data berkelompok di atas adalah
Diketahui:
n= 100,
Maka, varia
f Xi X
X
−( )=
=
=
∑ 264116825100
68 25,
nnsi dari data berkelompok adalah:
Sf X Xn
2
2
126411
=−( )−
=
∑
1100 1266 78
25 40 55 60 755
51
−=
=+ + + +
=
4.11.5 Penyelesaian:
,
X
S22
2
2 2 2 2 21
25 51 40 51 55 51 60 51 75 51
=−( )−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑ X Xn
55 1676 121 16 81 576
4367 5
−
=+ + + +
= ,
Jadi, standar deviasi dari kellompok data tersebut adalah:
S==
367 519 17
,,
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
4.11.5 penyelesaian:
Diketahui:
n= 100,
Maka, varia
f Xi X
X
−( )=
=
=
∑ 264116825100
68 25,
nnsi dari data berkelompok adalah:
Sf X Xn
2
2
126411
=−( )−
=
∑
1100 1266 78
25 40 55 60 755
51
−=
=+ + + +
=
4.11.5 Penyelesaian:
,
X
S22
2
2 2 2 2 21
25 51 40 51 55 51 60 51 75 51
=−( )−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑ X Xn
55 1676 121 16 81 576
4367 5
−
=+ + + +
= ,
Jadi, standar deviasi dari kellompok data tersebut adalah:
S==
367 519 17
,,
Diketahui:
n= 100,
Maka, varia
f Xi X
X
−( )=
=
=
∑ 264116825100
68 25,
nnsi dari data berkelompok adalah:
Sf X Xn
2
2
126411
=−( )−
=
∑
1100 1266 78
25 40 55 60 755
51
−=
=+ + + +
=
4.11.5 Penyelesaian:
,
X
S22
2
2 2 2 2 21
25 51 40 51 55 51 60 51 75 51
=−( )−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑ X Xn
55 1676 121 16 81 576
4367 5
−
=+ + + +
= ,
Jadi, standar deviasi dari kellompok data tersebut adalah:
S==
367 519 17
,,
Jadi, standar deviasi dari kelompok data tersebut adalah
Diketahui:
n= 100,
Maka, varia
f Xi X
X
−( )=
=
=
∑ 264116825100
68 25,
nnsi dari data berkelompok adalah:
Sf X Xn
2
2
126411
=−( )−
=
∑
1100 1266 78
25 40 55 60 755
51
−=
=+ + + +
=
4.11.5 Penyelesaian:
,
X
S22
2
2 2 2 2 21
25 51 40 51 55 51 60 51 75 51
=−( )−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑ X Xn
55 1676 121 16 81 576
4367 5
−
=+ + + +
= ,
Jadi, standar deviasi dari kellompok data tersebut adalah:
S==
367 519 17
,,
Diketahui:
n= 100,
Maka, varia
f Xi X
X
−( )=
=
=
∑ 264116825100
68 25,
nnsi dari data berkelompok adalah:
Sf X Xn
2
2
126411
=−( )−
=
∑
1100 1266 78
25 40 55 60 755
51
−=
=+ + + +
=
4.11.5 Penyelesaian:
,
X
S22
2
2 2 2 2 21
25 51 40 51 55 51 60 51 75 51
=−( )−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑ X Xn
55 1676 121 16 81 576
4367 5
−
=+ + + +
= ,
Jadi, standar deviasi dari kellompok data tersebut adalah:
S==
367 519 17
,,
4.11.6 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan variansi dan standar deviasi
maka buatlah tabel seperti di bawah ini:
tabel 4.29Distribusi lengkap Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi
Nilai f Xi u f u f u2
30 – 39,9 7 34.95 -3 -21 6340 – 49,9 8 44.95 -2 -16 3250 – 59,9 10 54.95 -1 -10 1060 – 69,9 30 64.95 0 0 070 – 79,9 20 74.95 1 20 2080 – 89,9 15 84.95 2 30 6090 – 99,9 10 94.95 3 30 90
100 33 275
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Diketahui:
Diketahui:
n= 100, f U f U
S C
. , .∑ ∑= =
=( )−( )
33 175
100 275 33100
2
2 22
999
10 27 500 1 0899900
266 78
266 78
2
( )
=( )−{ }
=
=
. .
,
,S==16 3,
Diketahui:
n= 100, f U f U
S C
. , .∑ ∑= =
=( )−( )
33 175
100 275 33100
2
2 22
999
10 27 500 1 0899900
266 78
266 78
2
( )
=( )−{ }
=
=
. .
,
,S==16 3,
4.11.7 penyelesaian: Data telah diurutkan: 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 80, 85, 95, 100
4.11.7 Data telah diurutkan:30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 655, 70, 80, 85, 95, 100
nilai ke-1 13+14
nilai ke-144
nQ1 =( )
= = iilai ke-3 12
nilai ke-
= + −( )= + −( )=
=
X X X
Q
3 4 3
3
12
40 12
45 40 42 5
3
,
113 14
12
80 12
810 11 10
+( )= =
= + −( )= +
nilai ke- 424
nilai ke-10 12
X X X 55 80 82 5
12
12
82 5 42 5 203 1
−( )=
= −( )= −( )=
,
, ,
Maka
JK Q Q
Maka,
4.11.7 Data telah diurutkan:30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 655, 70, 80, 85, 95, 100
nilai ke-1 13+14
nilai ke-144
nQ1 =( )
= = iilai ke-3 12
nilai ke-
= + −( )= + −( )=
=
X X X
Q
3 4 3
3
12
40 12
45 40 42 5
3
,
113 14
12
80 12
810 11 10
+( )= =
= + −( )= +
nilai ke- 424
nilai ke-10 12
X X X 55 80 82 5
12
12
82 5 42 5 203 1
−( )=
= −( )= −( )=
,
, ,
Maka
JK Q Q
4.11.8 penyelesaian: Kelompok mahasiswa: Data yang telah diurutkan: 40, 50, 55, 55, 60, 60, 65, 65, 70, 80.
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
4.11.8 Penyelesaian:Data telah diurutkan 40, 55, 55, 55, 660, 60, 65, 65, 70, 80
X140 50 2 55 2 60 2 65 70 80
=+ + ×( )+ ×( )+ ×( )+ +
11060010
60
=
=
Untuk memudahkan kita menghitung variansi dan standar deviasi maka dibuat tabel seperti di bawah ini:
tabel 4.30Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi
X X2
40 160050 250055 325055 325060 360060 360065 422565 422570 490080 6400
600 37100
Diperoleh dan X =2X
Sn X X
n n
=
=−( )−( )
=
∑ ∑∑∑
600 37 100
110 37 10
22 2
.
. 00 60010 9
11 0090
122 2
122 211 05
2( )−( )
( )
=
=
==
.
,
,,
S
Kelompok mahasisswi:Data yang telah diurutkan: 40, 45, 45, 50, 50, 55, 55,, 60, 60, 65
X= + ×( )+ ×( )+ ×( )+ ×( )+
=
=
40 2 45 2 50 2 55 2 60 6510
52510
522 5,
Diperoleh dan X =2X
Sn X X
n n
=
=−( )−( )
=
∑ ∑∑∑
600 37 100
110 37 10
22 2
.
. 00 60010 9
11 0090
122 2
122 211 05
2( )−( )
( )
=
=
==
.
,
,,
S
Kelompok mahasisswi:Data yang telah diurutkan: 40, 45, 45, 50, 50, 55, 55,, 60, 60, 65
X= + ×( )+ ×( )+ ×( )+ ×( )+
=
=
40 2 45 2 50 2 55 2 60 6510
52510
522 5,
���Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Kelompok mahasiswi: Data yang telah diurutkan: 40, 45, 45, 50, 50, 55, 55, 60, 60, 65.
Diperoleh dan X =2X
Sn X X
n n
=
=−( )−( )
=
∑ ∑∑∑
600 37 100
110 37 10
22 2
.
. 00 60010 9
11 0090
122 2
122 211 05
2( )−( )
( )
=
=
==
.
,
,,
S
Kelompok mahasisswi:Data yang telah diurutkan: 40, 45, 45, 50, 50, 55, 55,, 60, 60, 65
X= + ×( )+ ×( )+ ×( )+ ×( )+
=
=
40 2 45 2 50 2 55 2 60 6510
52510
522 5,
Untuk memudahkan kita menghitung variansi dan standar deviasi maka dibuat tabel seperti di bawah ini!
tabel 4.31Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi
X X2
40 160045 202545 202550 250050 250055 302555 302560 360060 360065 4225
525 28125
Diperoleh dan X =2X
Sn X X
n n
=
=−( )−( )
=
∑ ∑∑∑
525 28 125
110 28 12
22 2
.
. 55 52510 9
5 62590
62 5
62 57 91
2( )−( )
( )
=
=
==
.
,
,,
S
Koefisien variasi ((KV) berat badan mahasiswa
Koefisien vKV( )= × =100 18 42% , %
aariasi (KV) berat badan mahasiswi
Jadi,
KV( )= × =100 15 1% , %
data berat badan mahasiswi jauh lebih merata daripada berrat badan mahasiswa
Diperoleh dan X =2X
Sn X X
n n
=
=−( )−( )
=
∑ ∑∑∑
525 28 125
110 28 12
22 2
.
. 55 52510 9
5 62590
62 5
62 57 91
2( )−( )
( )
=
=
==
.
,
,,
S
Koefisien variasi ((KV) berat badan mahasiswa
Koefisien vKV( )= × =100 18 42% , %
aariasi (KV) berat badan mahasiswi
Jadi,
KV( )= × =100 15 1% , %
data berat badan mahasiswi jauh lebih merata daripada berrat badan mahasiswa
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
koefisien variasi (kV) berat badan mahasiswa (KV) = 0,1842 × 100% = 18,42%
koefisien variasi (kV) berat badan mahasiswi (KV) = 0,151 × 100% = 15,1%
Jadi, data berat badan mahasiswi jauh lebih merata daripada berat badan mahasiswa.
4.11.9 penyelesaian:
4.11.9 Penyelesaian:
nilai ke- 1 16+14
nilai ke-4 14
Q
X
1
4
=( )
=
= +114
5 14
5 5
53 16 1
4
5 4
3
X X
Q
X
−( )= + −( )
=
=+( )=
=
nilai ke- nilai ke-12 34
112 13 12
3 1
3 1
34
10 33
10 10
10
10 510
+ −( )= + −( )
=
=−+
=−+
X X
KVQ QQ QQ
Jadi,
550 33= ,
Jadi,
4.11.9 Penyelesaian:
nilai ke- 1 16+14
nilai ke-4 14
Q
X
1
4
=( )
=
= +114
5 14
5 5
53 16 1
4
5 4
3
X X
Q
X
−( )= + −( )
=
=+( )=
=
nilai ke- nilai ke-12 34
112 13 12
3 1
3 1
34
10 33
10 10
10
10 510
+ −( )= + −( )
=
=−+
=−+
X X
KVQ QQ QQ
Jadi,
550 33= ,
4.11.10 penyelesaian:
4.11.10 Penyelesaian:
Untuk Matematika 86-7810
Untuk S
Z = = 0 8,
ttatistika Z= 92 8418
0 44−= ,
Mahasiswa itu mendapat 0,8 simpangan baku di atas rata-rata nilai matematika dan hanya 0,44 simpangan baku di atas rata-rata nilai statistika. Kedudukannya lebih tinggi dalam hal matematika.
���
UKUran PenYeBaran Data (KeMIrIngan Dan KerUnCIngan)
Bab 5
Kemiringan dan keruncingan merupakan salah satu bagian dari ukuran penyebaran data. Ada beberapa kemiringan keruncingan yang akan
kita pelajari yaitu, simetri, miring ke kanan dan miring ke kiri. Distribusi yang simetris menunjukkan bahwa letak nilai rata-rata hitung, median, dan juga modus berimpit. Distribus yang miring ke kanan, mempunyai nilai modus paling kecil dan rata-rata hitung paling besar. Sedangkan distribusi data yang miring ke kiri, mempunyai nilai sebaliknya, yaitu nilai modus paling besar dan rata-rata hitung paling kecil. Nilai keruncingan distribusi data ada tiga jenis juga yaitu, leptokurtis, mesokurtis dan platikurtis. Leptokurtis artinya distribusi data yang puncaknya relatif tinggi. Mesokurtis artinya distribusi data yang puncaknya normal sedangkan platikurtis yaitu distribusi data yang puncaknya tidak terlalu rendah atau tinggi.
�.� Kemiringan Distribusi Data
Derajat atau ukuran dari ketidaksimetrian suatu distribusi data disebut kemiringan. Kemiringan distribusi data ada tiga jenis yaitu simetri, miring ke kanan, dan miring ke kiri. Distribusi data yang simetri menunjukkan letak nilai rata-rata hitung, median dan modus adalah berimpit, yaitu berkisar di satu titik.
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Distribusi data yang miring ke kanan, mempunyai nilai modus paling kecil dan rata-rata hitung paling besar. Sedangkan distribusi data yang miring ke kiri sebaliknya, yaitu mempunyai nilai modus paling besar dan rata-rata hitung paling kecil. Distribusi data miring ke kanan disebut juga mempunyai kemiringan positif, distribusi data miring ke kiri disebut juga mempunyai kemiringan negatif, sedangkan distribusi data simetri disebut mempunyai kemiringan nol. Kemiringan distribusi data disebut juga kemencengan atau kemenjuluran (skewness). Pola dari kemiringan distribusi data dapat diperoleh dengan cara menghaluskan poligon frekuensi dari suatu kelompok data. a. Distribusi Simetri (kemiringan Nol)
gambar 5.1Distribusi Simetri
Ukuran Penyebaran Data (kemiringan..) 239
kemiringan positif, distribusi data miring kekiri disebut juga mempunyai kemiringan negatif, sedangkan distribusi data simetri disebut mempunyai kemiringan nol. Kemiringan distribusi data disebut juga kemencengan atau kemenjuluran (skewness).
Pola dari kemiringan distribusi data dapat diperoleh dengan cara menghaluskan poligon frekuensi dari suatu kelompok data.
a. Distribusi Simetri (kemiringan Nol)
f
x
Mod = Med =
b. Distribusi Miring ke kanan (Kemiringan positif)
f
Ekor ke Kanan
x Mod Med
b. Distribusi Miring ke kanan (Kemiringan positif)
gambar 5.2Distribusi Miring ke Kanan
Ukuran Penyebaran Data (kemiringan..) 239
kemiringan positif, distribusi data miring kekiri disebut juga mempunyai kemiringan negatif, sedangkan distribusi data simetri disebut mempunyai kemiringan nol. Kemiringan distribusi data disebut juga kemencengan atau kemenjuluran (skewness).
Pola dari kemiringan distribusi data dapat diperoleh dengan cara menghaluskan poligon frekuensi dari suatu kelompok data.
a. Distribusi Simetri (kemiringan Nol)
f
x
Mod = Med =
b. Distribusi Miring ke kanan (Kemiringan positif)
f
Ekor ke Kanan
x Mod Med
���Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
c. Distribusi Miring Ke Kiri (Kemiringan Negatif)
gambar 5.3Distribusi Miring ke Kiri
Ukuran Penyebaran Data (kemiringan..) 240
c. Distribusi Miring Kekiri (Kemiringan Negatif)
f
Ekor ke kiri
x
Med Mod
Cara-cara yang digunakan untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data yaitu :
5.1.1 Rumus Pearson
Pearson berkali-kali menekankan bahwa rata-rata hitung dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrimnya. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrim sedangkan median hanya dipengaruhi oleh kedudukannya. Bila sebuah distibusi memang simetris, rata-rata hitung = median = modus (6-5). Sebaliknya, biladistribusi tidak simetris maka rata-rata hitung median modus.
Persamaan kemiringan data menurut pearson yaitu sebagai berikut :
Atau
= ( - Mod) S
Cara-cara yang digunakan untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data yaitu dengan menggunakan rumus Pearson, rumus Momen dan rumus Bowley.
�.�.� Rumus Pearson
Pearson berkali-kali menekankan bahwa rata-rata hitung dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrimnya. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrim sedangkan median hanya dipengaruhi oleh kedudukannya. Bila sebuah distribusi memang simetris, rata-rata hitung = median = modus (6-5). Sebaliknya, bila distribusi tidak simetris maka rata-rata hitung ≠ median ≠ modus. Persamaan kemiringan data menurut Pearson yaitu sebagai berikut:
α
α
α
=−( )
=−( )
X ModS
X MedS
atau
Keterangan: = derajat kemi
3
rringan Pearson
X = rata-rata hitungMod = modusS = standar deviasiMed = median
atau
α
α
α
=−( )
=−( )
X ModS
X MedS
atau
Keterangan: = derajat kemi
3
rringan Pearson
X = rata-rata hitungMod = modusS = standar deviasiMed = median
Keterangan:α = derajat kemiringan Pearson
X = rata-rata hitungMod = modusS = standar deviasiMed = median
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Rumus di atas dapat digunakan untuk data yang belum dikelompokkan dan data yang sudah dikelompokkan. Bila α = 0 atau mendekati nol maka dikatakan distribusi data simetri, bila α bertanda negatif maka dikatakan distribusi data miring ke kiri, dan bila α bertanda positif maka dikatakan distribusi data miring ke kanan. Semakin besar α maka distribusi data akan semakin miring atau semakin tidak simetri.
Contoh 5.1Tentukan kemiringan disribusi data berikut ini dengan menggunakan rumus Pearson jika diketahui data sebagai berikut: 7, 7, 4, 6, 5, 10, 5, 7, 6, 9
penyelesaian:Data yang telah diurutkan: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 10
Data yang diurutkan: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 10
X= + + +4 5 5 66 6 7 7 7 9 1010
6610
6 6
7
+ + + + + +
= =
=
X ,
Modus
Untuk memudahkan perhitungan standar deviasi pada data yang belum dikelompokkan maka dibuat tabel distribusi sebagai berikut ini:
tabel 5.1Perhitungan Standar Deviasi
X X2
4 165 255 256 366 367 497 497 499 81
10 100
���Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
Diperoleh x x
Sn x x
n n
∑ ∑∑ ∑
= =
=−( )−( )
=( )−( )
66 466
110 466 66
2
22 2
2
110 94660 4356
903 37
1 8
( )
=−
=
=
,
,Maka standar deviasi (S) = 3,37 33
Derajat kemiringan distribusi data menurut person adalah
αα
α
=−( )
=
=
X
-
bertanda negatif, maka distribu
ModS
6 61 830 21
,,,
ssi data miring ke kiri.
Derajat kemiringan distribusi data menurut Pearson adalah
Diperoleh x x
Sn x x
n n
∑ ∑∑ ∑
= =
=−( )−( )
=( )−( )
66 466
110 466 66
2
22 2
2
110 94660 4356
903 37
1 8
( )
=−
=
=
,
,Maka standar deviasi (S) = 3,37 33
Derajat kemiringan distribusi data menurut person adalah
αα
α
=−( )
=
=
X
-
bertanda negatif, maka distribu
ModS
6 61 830 21
,,,
ssi data miring ke kiri.α bertanda negatif, maka distribusi data miring ke kiri.
Contoh 5.2Tentukan kemiringan distribusi data berikut ini dengan menggunakan rumus Pearson jika diketahui data sebagai berikut: 8, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 5, 6, 5
penyelesaian:Data yang telah diurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Penyelesaian:Data yang diurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 88, 9
Med=
X
X
=+ + + + + + + + +
=
=
+( )
=
4 5 5 5 6 6 7 8 8 910
63106 312
6 6
6
,
Penyelesaian:Data yang diurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 88, 9
Med=
X
X
=+ + + + + + + + +
=
=
+( )
=
4 5 5 5 6 6 7 8 8 910
63106 312
6 6
6
,
Untuk memudahkan perhitungan standar deviasi pada data yang belum dikelompokkan maka dibuat tabel distribusi sebagai berikut ini:
tabel 5.2Perhitungan Standar Deviasi
X X2
4 165 255 255 256 366 367 498 648 649 81
∑x=63 ∑x2=421
Diperoleh x x= =∑∑ 63 4212
Diperoleh X X
Sn X X
n n
= =
=−( )−( )
=( )−( )
∑∑∑∑
63 421
110 421 63
10 9
2
22 2
2
(( )
=
=
= =
24190
2 6
2 6 1 6
,
, ,Maka standar deviasi (S)Dearajat kemirringan menurut rumus person adalah
MedS
α =−( )
=−( )
3
3 6 3 61 6
X
,,
== ( )
=3 0 180 54
,,
Jadi, bertanda positif, maka data miring kα ee kanan.
���Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
Diperoleh X X
Sn X X
n n
= =
=−( )−( )
=( )−( )
∑∑∑∑
63 421
110 421 63
10 9
2
22 2
2
(( )
=
=
= =
24190
2 6
2 6 1 6
,
, ,Maka standar deviasi (S)Dearajat kemirringan menurut rumus person adalah
MedS
α =−( )
=−( )
3
3 6 3 61 6
X
,,
== ( )
=3 0 180 54
,,
Jadi, bertanda positif, maka data miring kα ee kanan.
Derajat kemiringan menurut rumus Pearson adalah
Diperoleh X X
Sn X X
n n
= =
=−( )−( )
=( )−( )
∑∑∑∑
63 421
110 421 63
10 9
2
22 2
2
(( )
=
=
= =
24190
2 6
2 6 1 6
,
, ,Maka standar deviasi (S)Dearajat kemirringan menurut rumus person adalah
MedS
α =−( )
=−( )
3
3 6 3 61 6
X
,,
== ( )
=3 0 180 54
,,
Jadi, bertanda positif, maka data miring kα ee kanan.Jadi, α bertanda positif, maka distribusi data miring ke kanan.
Contoh 5.3 Tentukanlah derajat kemiringan dari data di bawah ini dengan menggunakan rumus Pearson!
tabel 5.3Distribusi Frekuensi
kelas frekuensi11 – 13 314 – 16 717 – 19 1120 – 22 1723 – 25 2Jumlah 40
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan derajat kemiringan maka dibuat tabel distribusi sebagai berikut ini:
tabel 5.4Perhitungan
kelas f u Xi f u f u² f u³11 – 13 3 -2 12 -6 12 -2414 – 16 7 -1 15 -7 7 -717 – 19 11 0 18 0 0 020 – 22 17 1 21 17 17 1723 – 25 2 2 24 4 8 16Jumlah 40 8 44 2
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Dari tabel di atas diketahui:
f fU fU fU
Xf Xi
f
= = = =
= = =
= +
∑∑ ∑∑∑
40 8 44 2
74440
18 6
2 3 dan
Med Lm
n2
.,
−−
= +−
∑ fi
fmC.
.16 5
402
10
11
= +−
=
= ++
=
.
, .
,
3
16 5 20 1011
3
19 22
Mod Lmo dd d
.c1
1 2
119 5 66 15
3
19 5 0 8420 34
12
2 2
, .
, ,,
++
= +=
=−( )−( )
∑∑S2 Cn fU fU
n n
=( )−( )( )
==
3 40 44 840 39
9 1 089
22
. ,, 772
9 723 12
1 76
0 59
S
X
==
−( )
−( )
=−
,,
,
,
α=1s
Mod
= 13,12
Jadi, – bertandda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiri.
���Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
Derajat kemiringan dengan menggunakan rumus Pearson:
f fU fU fU
Xf Xi
f
= = = =
= = =
= +
∑∑ ∑∑∑
40 8 44 2
74440
18 6
2 3 dan
Med Lm
n2
.,
−−
= +−
∑ fi
fmC.
.16 5
402
10
11
= +−
=
= ++
=
.
, .
,
3
16 5 20 1011
3
19 22
Mod Lmo dd d
.c1
1 2
119 5 66 15
3
19 5 0 8420 34
12
2 2
, .
, ,,
++
= +=
=−( )−( )
∑∑S2 Cn fU fU
n n
=( )−( )( )
==
3 40 44 840 39
9 1 089
22
. ,, 772
9 723 12
1 76
0 59
S
X
==
−( )
−( )
=−
,,
,
,
α=1s
Mod
= 13,12
Jadi, – bertandda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiri.Jadi, α bertanda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiri.
�.�.� Rumus Momen
Kemiringan relatif α3 sangat tergantung pada bentuk kurva frekuensi dan seringkali digunakan sebagai pengukuran kemiringan sekitar rata-rata distribusi teoritis.
�.�.�.� Kemiringan Distribusi Data yang Belum Dikelompokkan
Kemiringan distribusi data yang belum dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat kemiringan (α3) secara umum bagi data yang belum dikelompokkan adalah sebagai berikut:
α3
3
3=−( )∑ X X
nS
Keterangan:– = derajat kemiringanX = nilai d
3
aata
X = nilai rata-rata hitungS = nilai standar deviasi
Keterangan:α3
3
3=−( )∑ X X
nS
Keterangan:– = derajat kemiringanX = nilai d
3
aata
X = nilai rata-rata hitungS = nilai standar deviasi
= derajat kemiringanX = nilai data
X = nilai rata-rata hitungS = nilai standar deviasi
Contoh 5.4Tentukan kemiringan distribusi data berikut ini dengan menggunakan rumus Momen jika diketahui datanya sebagai berikut: 8, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 5, 6, 5
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
Penyelesaian:Data yang telah diurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9
Penyelesaian:Datayangdiurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9
X
Med
=+ + + + + + + + +
=
=
= +( )
=
4 5 5 5 6 6 7 8 8 910
63106 312
6 6
6
,
Penyelesaian:Datayangdiurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9
X
Med
=+ + + + + + + + +
=
=
= +( )
=
4 5 5 5 6 6 7 8 8 910
63106 312
6 6
6
,
Untuk memudahkan perhitungan standar deviasi maka dibuat tabel distribusi sebagai berikut ini:
tabel 5.5Perhitungan Standar Deviasi
X X2
4 165 255 255 256 366 367 498 648 649 81
∑x=63 ∑x2=421
Diperoleh X X= =∑∑ 63 4212
Sn X X
n n2
2 2
2
110 421 63
10 924190
2 6
=−( )
−( )
=( )−( )( )
=
=
∑
,
Maka standarr deviasi
=X-X
( ) , ,
, , ,
S
nS
= =
( )
=
−( ) + −( ) + −
∑
2 6 1 6
4 6 3 5 6 3 5 6
3
2
3
3 3
α
33 5 6 3 6 6 3
6 6 3 7 6 3 8 6 3 8 6 3
3 3 3
3 3 3
( ) + −( ) + −( )
+ −( ) + −( ) + −( ) + −( )
, ,
, , , , 33 3
3
9 6 310 1 6
28 98140 96
0 71
+ −( )
( )
=
=
,,
,,
,Jadi, – bertanda positiif, maka distribusi data miring ke kanan.
���Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
Sn X X
n n2
2 2
2
110 421 63
10 924190
2 6
=−( )
−( )
=( )−( )( )
=
=
∑
,
Maka standarr deviasi
=X-X
( ) , ,
, , ,
S
nS
= =
( )
=
−( ) + −( ) + −
∑
2 6 1 6
4 6 3 5 6 3 5 6
3
2
3
3 3
α
33 5 6 3 6 6 3
6 6 3 7 6 3 8 6 3 8 6 3
3 3 3
3 3 3
( ) + −( ) + −( )
+ −( ) + −( ) + −( ) + −( )
, ,
, , , , 33 3
3
9 6 310 1 6
28 98140 96
0 71
+ −( )
( )
=
=
,,
,,
,Jadi, – bertanda positiif, maka distribusi data miring ke kanan.
Derajat kemiringan menurut rumus Momen adalah
Sn X X
n n2
2 2
2
110 421 63
10 924190
2 6
=−( )
−( )
=( )−( )( )
=
=
∑
,
Maka standarr deviasi
=X-X
( ) , ,
, , ,
S
nS
= =
( )
=
−( ) + −( ) + −
∑
2 6 1 6
4 6 3 5 6 3 5 6
3
2
3
3 3
α
33 5 6 3 6 6 3
6 6 3 7 6 3 8 6 3 8 6 3
3 3 3
3 3 3
( ) + −( ) + −( )
+ −( ) + −( ) + −( ) + −( )
, ,
, , , , 33 3
3
9 6 310 1 6
28 98140 96
0 71
+ −( )
( )
=
=
,,
,,
,Jadi, – bertanda positiif, maka distribusi data miring ke kanan.
Jadi, α bertanda positif, maka distribusi data miring ke kanan.
�.�.�.� Kemiringan Distribusi Data yang Sudah Dikelompokkan
Kemiringan distribusi data yang sudah dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, frekuensi nilai data ke-i, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat kemiringan (α3) secara umum bagi data yang sudah dikelompokkan adalah sebagai berikut:
α3
3
3=−( )∑ f X X
nS
Keterangan:– = derajat kemiringan
X = nilai3
rata-rata hitungf = frekuensi nilai data ke-iS = standdar deviasin = banyaknya data
Keterangan:α3
3
3=−( )∑ f X X
nS
Keterangan:– = derajat kemiringan
X = nilai3
rata-rata hitungf = frekuensi nilai data ke-iS = standdar deviasin = banyaknya data
= derajat kemiringan
X = nilai rata-rata hitungf = frekuensi nilai data ke-iS = standar deviasin = banyaknya data
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Contoh 5.5Tentukanlah derajat kemiringan dari data modal perusahaan Citra berikut ini!
tabel 5.6Modal Perusahaan Citra
Modal f112 – 120 4121 – 129 5130 – 138 8139 – 147 12148 – 156 5157 – 165 4166 – 174 2
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 5.7Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi, Standar Deviasi
dan Derajat Kemiringan
Modal Xi f (Xi - X )2 f (Xi– X)2 f (Xi– X)3
112 - 120 116 4 601.4756 2405.9024 -59004.76121 - 129 125 5 241.0256 1205.128 -187096.14130 - 138 134 8 42.5756 340.6048 -2222.48139 - 147 143 12 6.1256 73.5072 181.93148 - 156 152 5 131.6756 658.378 7554.89157 - 165 161 4 419.2256 1676.9024 34334.58166 - 174 170 2 868.7756 1737.5512 51214.32
40 8098 -155037.66
���Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
Dari tabel di atas diperoleh:
n atau f f Xi X
X
S
= −( ) =
=
=
=
=
∑∑ 40 80985621
40140 5258098
29207 64
2
2
,
,
SS
n S
==
=−( )( )
=−
=−
∑
207 6414 4
1550 66119439 36
1 29
3
3
3
,,
,,
,
αf X X
Jadi,, – bertanda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiiri.
Maka derajat kemiringan dengan menggunakan rumus Momen yaitu:
n atau f f Xi X
X
S
= −( ) =
=
=
=
=
∑∑ 40 80985621
40140 5258098
29207 64
2
2
,
,
SS
n S
==
=−( )( )
=−
=−
∑
207 6414 4
1550 66119439 36
1 29
3
3
3
,,
,,
,
αf X X
Jadi,, – bertanda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiiri.Jadi, α bertanda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiri.
�.�.�.� Rumus lain Kemiringan Distribusi Data yang Sudah Dikelompokkan
Khusus untuk data berkelompok dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, derajat kemiringan a₃, dapat dihitung dengan cara tranformasi sehingga lebih sederhana ketika menghitung rata-rata hitung dan standar deviasi, yaitu sebagai berikut;
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
α3
3
3
3 2 3
32
2= −
+( )∑ ∑ ∑ ∑C
Sfu
nfu
nfu fu
n
Keterangan : a3 = derajat kemiringan C = interval kelas S = standar deviasi n = banyaknya data u = ... -2, -1 , 0 , 1, 2 ... f = frekuensi
Bila distribusi simetris sekitar rata-ratanya maka α3 = 0. Sebaliknya,bila distribusi menceng sekitar rata-ratanya,maka α3 akan mnghasilkan nilai positif atau negatif sesuai dengan arah menceng distribusi. Kenney menganggap hasil α3 yang bervariasi antara ± 2 sebagai pertanda bagi distribusi yang menceng secara moderat. Sebaliknya α3 > ± 2 menggambarkan distribusi yang menceng secara berarti sekali. Dalam perumusan kurva Pearson jenis III tentang hubungan antara besarnya α3 dan tingkat kemencengan yang berpedoman pada sebuah distribusi normal, Karl Pearson menganggap bahwa distribusi yang sangat menceng memiliki α3 > ± 0,50
Contoh 5.6 Tentukanlah derajat kemiringan dari data berat badan 50 mahasiswa jurusan Teknik Industri di Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
tabel 5.8Distribusi Frekuensi Data dari Berat Badan 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung
Berat Badan Frekuensi45 – 49 550 – 54 1255 – 59 1660 – 64 1365 – 69 4
���Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan variansi, standar deviasi dan derajat kemiringan pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 5.9Perhitungan Derajat Kemiringan
Berat badan Xi f U fu fu2 fu3 fu4
45 – 49 47 5 -2 -10 20 -40 8050 – 54 52 12 -1 -12 12 -12 1255 – 59 57 16 0 0 0 0 060 – 64 62 13 1 13 12 13 1365 – 69 67 4 2 8 16 32 64
-1 61 -7 169
Dari tabel diatas diperoleh:
C n f
fu fu
fu fu
S C
= = =
= =
= =
=
∑∑ ∑∑ ∑
5 50
1 61
7 169
2
3 4
2
,
-
-
222 2
22
1
5 50 61 150 49
n fu fu
n n
−( )−( )
=( )−( )(
∑∑
-))
=−{ }
=
==
= ∑
25 3050 12450
1 24
1 241 11
3
3
3
,
,,
S
CS
fuα3
nnfu
nfu
n
fu
n−
+( )
∑ ∑ ∑3 22 3
=−−−5
1 117
503 61
501
50
3
3, +
−( )
= − −
2 150
1251 36
0 14
3
,, 33 1 22 0 22 2 0 000008
91 9 0 8779 9
, , ,
, ,,
( ) −( )+ −( ){ }
= −( )
=−
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Derajat kemiringan distribusi data menurut momen adalah
C n f
fu fu
fu fu
S C
= = =
= =
= =
=
∑∑ ∑∑ ∑
5 50
1 61
7 169
2
3 4
2
,
-
-
222 2
22
1
5 50 61 150 49
n fu fu
n n
−( )−( )
=( )−( )(
∑∑
-))
=−{ }
=
==
= ∑
25 3050 12450
1 24
1 241 11
3
3
3
,
,,
S
CS
fuα3
nnfu
nfu
n
fu
n−
+( )
∑ ∑ ∑3 22 3
=−−−5
1 117
503 61
501
50
3
3, +
−( )
= − −
2 150
1251 36
0 14
3
,, 33 1 22 0 22 2 0 000008
91 9 0 8779 9
, , ,
, ,,
( ) −( )+ −( ){ }
= −( )
=−
Jadi, α bertanda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiri.
�.�.� Rumus Bowley
Sebuah perumusan tentang pengukuran kemiringan yang lebih sederhana dari perumusan Pearson telah dikembangkan oleh A.L Bowley. Bowley mengembangkan koefisiennya atas dasar hubungan antara statistik Q1, Q3 dan median dari sebuah distribusi. Jika sebuah distribusi simetris, maka jarak antara kedua kuartil diatas dari mediannya seharusnya sama. Sebaliknya, bila distribusi tersebut tidak simetris, maka jarak antara kedua kuartil dari kedua mediannya tidak akan sama. Secara Aljabar,bila distribusi simetris, maka:
(Q3 – Q2) = (Q2 – Q1) atau (Q3 – Med) = (Med – Q1)
Sebaliknya, pada distribusi yang menceng secara positif, maka (Q3 – Med) > (Med – Q1)sedangkan pada distribusi yang menceng secara negatif, maka (Q3 – Med) < (Med – Q1).
���Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
Persamaan derajat kemiringan dengan menggunakan rumus Bowley dapat ditentukan sebagai berikut:
α=+( )−
Q Q QQ Q
3 1 2
3 1
-
Keterangan:Q = kuartilke-1Q = kuartilke
1
2 --2Q = kuartilke-33
Keterangan:a = derajat kemiringan BowleyQ1 = kuartil ke-1Q2 = kuartil ke-2Q3 = kuartil ke-3
Bowley berpendapat bahwa α = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng secara tidak berarti. Sebaliknya α > ± 0,30 menggambarkan distribusi yang menceng secara berarti sekali.
Contoh 5.7Tentukanlah derajat kemiringan dari kelompok data di bawah ini! 10, 5, 4, 7, 4, 6, 9, 8, 12, 11, 6, 10, 5, 4, 3, 13.
penyelesaian: Penyelesaian:Median = Q = 6
Q = nilai ke-1 16 + 14
= nila
2
1( )
ii ke-4 14
Jadi,
Q = nilai ke-4 + 14
nilai ke-5 nilai ke-4
=4
1 −( )
+ 14
5 4
Q = nilai ke- 3 16 + 14
= nilai ke-1
3
−( )
= +=
( )
4 0 254 25
,,
22 34
Jadi,
Q = nilai ke-12 + 34
nilaike-13 nilai ke-12
=10 +
3 −( )
34
10 10
=10Maka derajat kemiringan menggunakan rumus Bo
−( )
wwley, yaitu sebagai berikut:
α = + −−
= + −−
Q Q QQ Q
3 1 2
3 1
10 4 25 610 4
,,,
,,,
258 255 751 43
=
=Jadi, nilai – positif berarti distribusi data miring ke kanan.
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Penyelesaian:Median = Q = 6
Q = nilai ke-1 16 + 14
= nila
2
1( )
ii ke-4 14
Jadi,
Q = nilai ke-4 + 14
nilai ke-5 nilai ke-4
=4
1 −( )
+ 14
5 4
Q = nilai ke- 3 16 + 14
= nilai ke-1
3
−( )
= +=
( )
4 0 254 25
,,
22 34
Jadi,
Q = nilai ke-12 + 34
nilaike-13 nilai ke-12
=10 +
3 −( )
34
10 10
=10Maka derajat kemiringan menggunakan rumus Bo
−( )
wwley, yaitu sebagai berikut:
α = + −−
= + −−
Q Q QQ Q
3 1 2
3 1
10 4 25 610 4
,,,
,,,
258 255 751 43
=
=Jadi, nilai – positif berarti distribusi data miring ke kanan.
Maka derajat kemiringan menggunakan rumus Bowley yaitu sebagai berikut:
Penyelesaian:Median = Q = 6
Q = nilai ke-1 16 + 14
= nila
2
1( )
ii ke-4 14
Jadi,
Q = nilai ke-4 + 14
nilai ke-5 nilai ke-4
=4
1 −( )
+ 14
5 4
Q = nilai ke- 3 16 + 14
= nilai ke-1
3
−( )
= +=
( )
4 0 254 25
,,
22 34
Jadi,
Q = nilai ke-12 + 34
nilaike-13 nilai ke-12
=10 +
3 −( )
34
10 10
=10Maka derajat kemiringan menggunakan rumus Bo
−( )
wwley, yaitu sebagai berikut:
α = + −−
= + −−
Q Q QQ Q
3 1 2
3 1
10 4 25 610 4
,,,
,,,
258 255 751 43
=
=Jadi, nilai – positif berarti distribusi data miring ke kanan.Jadi, nilai α positif, berarti distribusi data miring ke kanan.
Contoh 5.8Diketahui kelompok data sebagai berikut: 6, 9, 4, 3, 7, 8, 3, 5, 4, 3, 9, 7.
Tentukanlah derajat kemiringan dengan menggunakan rumus Bowley!
���Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
penyelesaian:Penyelesaian:
Median = Q = 5 + 62
Q = nilai ke-1 12 + 1
2
1
= 5 5,(( )
−
4
= nilai ke-3 14
Jadi,
Q = nilai ke-3 + 14
nilai ke-4 nilai1 ke-3
= 3 + 0,25
Q = nilai ke- 3 12 + 14
= nilai ke-9
3
( )
=
( )
3 25,
334
Jadi,
Q = nilai ke-9 + 34
nilai ke-10 nilai ke-9
= 7 + 3
3 −( )
448 7
= 7 + 0,75=7,75
Derajat kemiringan menggunakan rumus
−( )
Bowley:
α=+ −−
=+ −−
=
=
Q Q QQ Q
3 1 2
3 1
7 75 3 25 5 57 75 3 25
5 54 51 2
, , ,, ,
,,
, 22Jadi, nilai – positif berarti distribusi data miring ke kkanan.
Derajat kemiringan menggunakan rumus Bowley
Penyelesaian:
Median = Q = 5 + 62
Q = nilai ke-1 12 + 1
2
1
= 5 5,(( )
−
4
= nilai ke-3 14
Jadi,
Q = nilai ke-3 + 14
nilai ke-4 nilai1 ke-3
= 3 + 0,25
Q = nilai ke- 3 12 + 14
= nilai ke-9
3
( )
=
( )
3 25,
334
Jadi,
Q = nilai ke-9 + 34
nilai ke-10 nilai ke-9
= 7 + 3
3 −( )
448 7
= 7 + 0,75=7,75
Derajat kemiringan menggunakan rumus
−( )
Bowley:
α=+ −−
=+ −−
=
=
Q Q QQ Q
3 1 2
3 1
7 75 3 25 5 57 75 3 25
5 54 51 2
, , ,, ,
,,
, 22Jadi, nilai – positif berarti distribusi data miring ke kkanan.
Jadi, α positif yang berarti distribusi datanya miring ke kanan.
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
�.� Keruncingan Distribusi Data
Derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data disebut keruncingan distribusi data. Keruncingan data disebut kurtosis. Ada tiga jenis derajat keruncingan: a. Leptokurtis, distribusi data yang puncaknya relatif tinggi. b. Mesokurtis, distribusi data yang puncaknya normal, tidak terlalu
runcing. c. Platikurtis, distribusi data yang puncaknya terlalu rendah atau terlalu
mendatar. Maka, syarat keruncingan terbagi atas tiga yaitu: Jika α4 = 3, Mesokurtis Jika α4 > 3, Leptokurtis Jika α4 < 3, Platikurtis
Tiga jenis keruncingan distribusi data dapat digambarkan sebagai berikut ini: a. Leptokurtis
gambar 5.4 Leptokurtis
Ukuran Penyebaran Data (kemiringan..) 258
5.2 Keruncingan Distribusi Data Derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu
distribusi data terhadap distribusi normalnya data disebut keruncingan distribusi data. Keruncingan data disebut kurtosis.
Ada tiga jenis derajat keruncingan :
a. Leptokurtis, distribusi data yang puncaknya relatif tinggi. b. Mesokurtis, distribusi data yang puncaknya normal, tidak
terlalu runcing. c. Platikurtis, distribusi data yang puncaknya terlalu rendah
atau terlalu mendatar.
Maka, syarat keruncingan terbagi atas tiga yaitu : Jika 4 = 3, Mesokurtis Jika 4 > 3, Leptokurtis Jika 4 < 3 ,Platikurtis
Tiga jenis keruncingan distribusi data dapat digambarkan sebagai berikut ini :
a. Leptokurtis
f Puncak runcing
X
���Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
b. Mesokurtis
gambar 5.5 Mesokurtis
Ukuran Penyebaran Data (kemiringan..) 259
b. Mesokurtis f Puncak normal
X
c. Platikurtis
f Puncak tumpul
X
5.2.1 Keruncingan Distribusi Data Yang Belum Dikelompokkan
Keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan dapat ditentukan sebagai berikut :
c. Platikurtis
gambar 5.6Platikurtis
Ukuran Penyebaran Data (kemiringan..) 259
b. Mesokurtis f Puncak normal
X
c. Platikurtis
f Puncak tumpul
X
5.2.1 Keruncingan Distribusi Data Yang Belum Dikelompokkan
Keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan dapat ditentukan sebagai berikut :
Ukuran Penyebaran Data (kemiringan..) 259
b. Mesokurtis f Puncak normal
X
c. Platikurtis
f Puncak tumpul
X
5.2.1 Keruncingan Distribusi Data Yang Belum Dikelompokkan
Keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan dapat ditentukan sebagai berikut :
�.�.� Keruncingan Distribusi Data yang Belum Dikelompokkan
Keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan dapat ditentukan sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
α4 4
41= −( )∑nS
X X
Keterangan:– = derajat keruncinganX = nila
4
ii data
X = nilai rata-rata hitungS = standar deviasin=baanyaknyadata
Keterangan:a4 = derajat keruncinganX = nilai data
X = nilai rata-rata hitungS = standar deviasin = banyakya data
Contoh 5.9Diketahui kelompok data sebagai berikut: 6, 4, 3, 7, Tentukanlah derajat keruncingan dari kelompok data di atas!
penyelesaian:
X
SX Xn
=+ + +
=
=
=−( )−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑
3 4 6 74
204
5
13 5 4 5 6 5 7 5
4
2
2
2 2 2 2
−−
=+ + +
=
14 1 1 4
33 33,
Jadi, standar deviasi dari kelompok data ttersebut adalah:
S= 3,33
Maka, derajat keruncingannya a=1 82,
ddalah sebagai berikut:
= 1nS4α4
4
4
14 1 82
16 1 1 16
X Xi−( )
=( )
+ + +
=
∑
,00 77,
Jadi, – kurang dari 3, maka distribusi data mempunyai derajat keruncingan platikurtis.
Jadi, standar deviasi dari kelompok data tersebut adalah
X
SX Xn
=+ + +
=
=
=−( )−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑
3 4 6 74
204
5
13 5 4 5 6 5 7 5
4
2
2
2 2 2 2
−−
=+ + +
=
14 1 1 4
33 33,
Jadi, standar deviasi dari kelompok data ttersebut adalah:
S= 3,33
Maka, derajat keruncingannya a=1 82,
ddalah sebagai berikut:
= 1nS4α4
4
4
14 1 82
16 1 1 16
X Xi−( )
=( )
+ + +
=
∑
,00 77,
Jadi, – kurang dari 3, maka distribusi data mempunyai derajat keruncingan platikurtis.
���Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
Maka, derajat keruncingannya adalah sebagai berikut:
X
SX Xn
=+ + +
=
=
=−( )−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑
3 4 6 74
204
5
13 5 4 5 6 5 7 5
4
2
2
2 2 2 2
−−
=+ + +
=
14 1 1 4
33 33,
Jadi, standar deviasi dari kelompok data ttersebut adalah:
S= 3,33
Maka, derajat keruncingannya a=1 82,
ddalah sebagai berikut:
= 1nS4α4
4
4
14 1 82
16 1 1 16
X Xi−( )
=( )
+ + +
=
∑
,00 77,
Jadi, – kurang dari 3, maka distribusi data mempunyai derajat keruncingan platikurtis. Jadi, a kurang dari 3 maka distribusi data mempunyai derajat keruncingan platikurtis.
�.�.� Keruncingan Distribuisi Data yang Sudah Dikelompokkan
Keruncingan distribusi data yang sudah dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, nilai frekuensi kelas ke-i, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan dapat ditentukan sebagai berikut:
α4 4
41= −( )∑nS
f Xi x
Keterangan:– = derajat keruncinganXi =
4
nnilai titik tengah kelas ke-if = frekuensi data kelas ke-i
X = nilai rata-rata hitungS = standar deviasin = banyaknya data
Keterangan:a4 = derajat keruncinganXi = nilai titik tengah kelas ke-if = frekuensi data kelas ke-i
X = nilai rata-rata hitungS = standar deviasin = banyaknya data
Contoh 5.10Tentukanlah derajat keruncingan dari data nilai ujian B. Inggris 50 Mahasiswa jurusan Pariwisata Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
tabel 5.10Data Nilai Ujian B.Inggris 50 Mahasiswa Jurusan Pariwisata Universitas BSI Bandung
kelas titik tengah frekuensi20 – 29 24,5 4
30 – 39 34,5 7
40 – 49 44,5 8
50 – 59 54,5 12
60 – 69 64,5 9
70 – 79 74,5 8
80 – 89 84,5 2
Jumlah 50
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan derajat keruncingan pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan seperti di bawah ini:
tabel 5.11Perhitungan
kelas Xi f f.Xi f(Xi – X)2 f(Xi – X)4
20 – 29 24,5 4 98 3457,44 2988472,8
30 – 39 34,5 7 241,5 2634,52 991527,9
40 – 49 44,5 8 356 706,88 62459,9
50 – 59 54,5 12 654 4,32 1,55
60 – 69 64,5 9 580,5 1011,24 113622,9
70 – 79 74,5 8 596 3394,88 1440651,3
80 – 89 84,5 2 169 1872,72 1753540,1
Jumlah 50 2695 13082 7350276,5
Dari tabel di atas diperoleh:
f
f Xi X
∑∑=
−( ) =
50
130822
fXi=2695
f Xi-X =7.350.276,5
= 16,34
4
∑∑ ( )
=
=
=
=
S
S
2
4
1308249
266 9
266 9
1
,
,
αnnS
f Xi X4
4
41
50 16 347 350 276 5
2 6
−( )
=( )
=
∑
,. . ,
,
���Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
f
f Xi X
∑∑=
−( ) =
50
130822
fXi=2695
f Xi-X =7.350.276,5
= 16,34
4
∑∑ ( )
=
=
=
=
S
S
2
4
1308249
266 9
266 9
1
,
,
αnnS
f Xi X4
4
41
50 16 347 350 276 5
2 6
−( )
=( )
=
∑
,. . ,
,
Maka, derajat keruncingan dari data di atas adalah
f
f Xi X
∑∑=
−( ) =
50
130822
fXi=2695
f Xi-X =7.350.276,5
= 16,34
4
∑∑ ( )
=
=
=
=
S
S
2
4
1308249
266 9
266 9
1
,
,
αnnS
f Xi X4
4
41
50 16 347 350 276 5
2 6
−( )
=( )
=
∑
,. . ,
,
Jadi, a kurang dari 3 maka distribusi data mempunyai derajat keruncingan platikurtis.
�.� Rangkuman
Kemiringan distribusi data adalah derajat atau ukuran dari ketidaksimetrian atau asimetri suatu distribusi data. Bila α = 0 atau mendekati 0 maka dikatakan distribusi data simetri, bila α bertanda negatif maka dikatakan distribusi data miring ke kiri, dan bila α bertanda positif maka dikatakan distribusi data miring ke kanan. Semakin besar α maka distribusi data akan semakin miring atau semakin tidak simetri. Keruncingan adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Keruncingan distribusi data disebut juga Kurtosis. Ada 3 jenis derajat keruncingan,
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
yaitu Leptokurtis artinya distribusi data yang puncaknya relatif tinggi. Mesokurtis artinya distribusi data yang puncaknya normal. Yang terakhir adalah Platikurtis artinya distribusi data yang puncaknya terlalu rendah atau terlalu mendatar.
�.� Latihan Soal
5.4.1 Data nilai Ujian Akhir Semester 80 mahasiswa jurusan Manajemen Pemasaran Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
tabel 5.12Data Nilai Ujian Akhir Semester 80 Mahasiswa Jurusan Manajemen
Pemasaran Universitas BSI Bandung
Nilai ujian f31 – 40 141 – 50 251 – 60 561 – 70 1571 – 80 2581 – 90 20
91 – 100 12Jumlah 80
Tentukanlah nilai-nilai:a. Rata-Rata Hitungb. Variansic. Standar Deviasid. Q₁, Q₂ dan Q₃e. Modusf. Derajat Kemiringan dengan menggunakan rumus Pearsong. Derajat Kemiringan dengan menggunakan rumus Momenh. Derajat Kemiringan dengan menggunakan rumus Bowleyi. Derajat Keruncingan
���Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
�.� Jawaban Latihan Soal
5.5.1 Untuk memudahkan perhitungan pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 5.13Perhitungan
Nilai ujian
f Xi f.Xi f (Xi – X)² f (Xi – X)³ f (Xi – X)⁴
31 – 40 1 35,5 35,5 3074,7 170492,2 9453795,541 – 50 2 45,5 91 4131,4 -187772,3 8534253,651 – 60 5 55,5 277,5 6283,5 -222750,5 7896505,961 – 70 15 65,5 982,5 9715,5 -247260,4 6292777,971 – 80 25 75,5 1887,5 5967,5 -92198,8 1424472,181 – 90 20 85,5 1710 594,1 -3237,5 17644,891– 100 12 95,5 1146 248,4 1130,3 5143,1
80 7276 30015,1 -922581,4 33624592,9
Dari tabel di atas diperoleh:
f
f Xi
f Xi
∑∑
∑
=
=
−
80
7276 .
XX
f Xi X
f Xi X
( ) =−( ) =−( ) =
∑∑
2
3
4
30015,1
-922581,4
33624592,9
a.
b.
c.
X
Sf Xi xn
S
=
=
=−( )−
=
=
=
∑
727680
90 95
130015 1
79379 94
3
2
2
,
,
,
779 94 19 49
14
60 5
804
8
1510
60 5 2
1 1
, ,
.
, .
,
=
= +−( )
= +−( )
= +
∑d. Q Lq
n F
fC
00 815
10
60 5 868 5
24
70 5
1604
23
25
2 2
−( )
= +=
= +−( )
= +−
∑
.
,,
.
,
Q Lq
n F
fC
= +−
= +
.
, .
, ,
10
70 5 40 2325
10
70 5 6 8==
= +−
= +−
∑
77 3
34
80 5
2404
48
20
3 3
,
.
,
Q Lq
n F
fC
= +−
= +
.
, .
,
10
80 5 60 4820
10
80 5 6== 86 5,
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
a.
b.
c.
X
Sf Xi xn
S
=
=
=−( )
−
=
=
=
∑
727680
90 95
130015 1
79379 94
3
2
2
,
,
,
779 94 19 49
14
60 5
804
8
1510
60 5 2
1 1
, ,
.
, .
,
=
= +−( )
= +−( )
= +
∑d. Q Lq
n F
fC
00 815
10
60 5 868 5
24
70 5
1604
23
25
2 2
−( )
= +=
= +−( )
= +−
∑
.
,,
.
,
Q Lq
n F
fC
= +−
= +
.
, .
, ,
10
70 5 40 2325
10
70 5 6 8==
= +−
= +−
∑
77 3
34
80 5
2404
48
20
3 3
,
.
,
Q Lq
n F
fC
= +−
= +
.
, .
,
10
80 5 60 4820
10
80 5 6== 86 5,
���Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
e. Mod=Lmo++
= ++
dd d
C1
1 2
70 5 1010 5
1
.
, . 00
70 5 6 6677 16
922581 480 19 49
3
3
3
3
= +=
=−( )
=−( )
=
∑
, ,,
,,
g. αf X X
nS
−−
=−
=+ −( )−
=+ −
922581 4592277 81 56
86 5 68 5 7
3 1 2
3 1
,,
,
, ,
h. αQ Q Q
Q Q77 3
86 5 68 54 32
41
80 19 493362459
44
,, ,
,
,.
( )
−=
−( )
=( )
∑i. = 1α f Xi X
22 9
2 9
,
,=
f. Mod
α=−( )
=−
=
XS
90 95 77 1619 49
0 70
, ,,
,
Jadi, nilai α bertanda positif, maka distribusi data miring ke kanan.
e. Mod=Lmo++
= ++
dd d
C1
1 2
70 5 1010 5
1
.
, . 00
70 5 6 6677 16
922581 480 19 49
3
3
3
3
= +=
=−( )
=−( )
=
∑
, ,,
,,
g. αf X X
nS
−−
=−
=+ −( )−
=+ −
922581 4592277 81 56
86 5 68 5 7
3 1 2
3 1
,,
,
, ,
h. αQ Q Q
Q Q77 3
86 5 68 54 32
41
80 19 493362459
44
,, ,
,
,.
( )
−=
−( )
=( )
∑i. = 1α f Xi X
22 9
2 9
,
,=
Jadi, nilai α bertanda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiri.
e. Mod=Lmo++
= ++
dd d
C1
1 2
70 5 1010 5
1
.
, . 00
70 5 6 6677 16
922581 480 19 49
3
3
3
3
= +=
=−( )
=−( )
=
∑
, ,,
,,
g. αf X X
nS
−−
=−
=+ −( )−
=+ −
922581 4592277 81 56
86 5 68 5 7
3 1 2
3 1
,,
,
, ,
h. αQ Q Q
Q Q77 3
86 5 68 54 32
41
80 19 493362459
44
,, ,
,
,.
( )
−=
−( )
=( )
∑i. = 1α f Xi X
22 9
2 9
,
,=
Jadi, nilai α bertanda positif, maka distribusi datanya miring ke kanan.
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
e. Mod=Lmo++
= ++
dd d
C1
1 2
70 5 1010 5
1
.
, . 00
70 5 6 6677 16
922581 480 19 49
3
3
3
3
= +=
=−( )
=−( )
=
∑
, ,,
,,
g. αf X X
nS
−−
=−
=+ −( )−
=+ −
922581 4592277 81 56
86 5 68 5 7
3 1 2
3 1
,,
,
, ,
h. αQ Q Q
Q Q77 3
86 5 68 54 32
41
80 19 493362459
44
,, ,
,
,.
( )
−=
−( )
=( )
∑i. = 1α f Xi X
22 9
2 9
,
,= Jadi, nilai a kurang dari 3 maka distribusi data mempunyai
derajat keruncingan platikurtis.
���
angKa InDeKSBab 6
Kata indeks sudah sering kita dengar melalui berbagai media, misalnya sering dilaporkan dalam pemberitaan mengenai indeks harga dan
indeks gabungan. Ketidakseimbangan antara fluktuasi pendapatan golongan yang berpendapatan tetap dan fluktuasi harga-harga umum yang menimbulkan ketegangan-ketegangan sosial kecil. Ketidakseimbangan antara harga barang industri yang harus dibayar oleh para petani dengan pendapatan petani yang diperoleh dari penjualan barang-barang menimbulkan kegoncangan-kegoncangan pada kegiatan-kegiatan ekonomi dan ketegangan sosial.
�.� Pengertian
Suatu ukuran statistik yang menunjukkan perubahan-perubahan atau perkembangan-perkembangan keadaan, kegiatan, dan peristiwa yang sama jenisnya yang berhubungan satu sama lainnya disebut angka indeks. Dengan kata lain, angka indeks merupakan suatu ukuran yang dipakai untuk perbandingan dua keadaan yang sama jenisnya dalam dua waktu yang berbeda. Maka dari itu fungsi angka indeks adalah untuk mengukur secara kuantitatif adanya perubahan dari keadaan dalam dua waktu yang berlainan. Dengan adanya angka indeks, kita dapat mengetahui kenaikan
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
dan penurunan dalam suatu kegiatan dan usaha yang dilaksanakan. Misalnya, biaya hidup, ekspor, harga, tingkat pengangguran, dan upah waktu tertentu dibanding dengan waktu sebelumnya. Atau dapat juga dipakai untuk membandingkan kecerdasan para mahasiswa dari tahun ke tahun. Dalam membuat angka indeks diperlukan dua macam waktu yaitu diantaranya: a. Waktu Dasar (Base Period) yaitu waktu dimana suatu kejadian atau
peristiwa dipergunakan untuk dasar perbandingan. b. Waktu yang sedang berjalan (Current Period) yaitu waktu dimana
suatu kejadian atau peristiwa akan diperbandingkan terhadap kegiatan pada waktu dasar.
�.� Pemilihan Tahun Dasar
Beberapa syarat yang perlu diperhatikan dalam memilih tahun dasar yaitu: 1. Waktu sebaiknya menunjukkan keadaan perekonomian yang stabil,
dimana harga tidak berubah dengan cepat sekali. 2. Waktu sebaiknya usahakan paling lama 10 tahun atau lebih baik kurang
dari 5 tahun. 3. Waktu dimana terjadi peristiwa penting. 4. Waktu dimana tersedia data untuk keperluan pertimbangan, hal ini
tergantung pada tersedianya biaya untuk pengumpulan data.
�.� Peranan Angka Indeks dalam Ekonomi
Peranan angka indeks dalam ekonomi yaitu diantaranya: 1. Dapat dijadikan standar atau pedoman untuk melakukan perbandingan
dari periode ke periode lainnya. 2. Indeks harga merupakan petunjuk yang dapat digunakan untuk
mengukur pertumbuhan ekonomi secara umum.
���Bab 6 Angka Indeks
3. Indeks harga dalam perdagangan besar dapat memberikan gambaran dalam perdagangan.
4. Indeks harga konsumen dan indeks biaya hidup dapat digunakan sebagai dasar penetapan gaji, termasuk dasar untuk mengubahnya.
5. Indeks harga yang dibayar atau diterima petani dapat menggambarkan apakah petani itu semakin makmur atau sebaliknya.
�.� Indeks Harga Tidak Tertimbang (Unweighted Index)
Metode angka indeks tidak tertimbang digunakan untuk mengetahui perkembangan suatu harga, yaitu terfokus hanya pada harga dan tidak mempertimbangkan kuantitasnya. Indeks Harga Tidak Tertimbang (Unweight Index) terbagi menjadi tiga macam yaitu sebagai berikut:
�.�.� Indeks Relatif Harga Sederhana (Simple Relatif Price Index)
Indeks yang terdiri dari satu macam barang saja, baik untuk indeks produksi maupun indeks harga disebut indeks relatif harga sederhana. Perbandingan dari suatu harga barang pada waktu tertentu terhadap waktu sebelumnya (waktu dasar). Jika harga barang pada waktu tertentu (waktu sedang berjalan) dilambangkan dengan Pn dan harga pada waktu dasar dilambangkan dengan Po, maka indeks relatif harga (In,o) dirumuskan sebagai berikut: Rumus:
I PPn o
n
o. %= ×100
Keterangan:I = indeks Relatif Harga Sedern.o hhanaP = harga masing-masing barang pada waktu berjalanP
n
oo = harga masing-masing barang pada waktu dasar
Keterangan:In,o = Indeks Relatif Harga SederhanaPn = harga masing-masing barang pada waktu berjalanPo = harga masing-masing barang pada waktu dasar
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Contoh 6.1Harga coki-coki pada tahun 2000 adalah Rp. 300,00 dan pada tahun 2005 adalah Rp. 500,00 dalam hal ini tahun 2000 sebagai tahun dasar dan tahun 2005 sebagai tahun berjalan. Tentukanlah indeks relatif harga sederhana!
penyelesaian:
IPP
n
o20052000
100
500300
100
166 67
= ×
= ×
=
%
%
, %
Angka indeks sederhana relatif harga tersebut menunjukkan bahwa pada tahun 2005 harga coki-coki tersebut adalah 166,67% dari harga pada tahun 2000, yaitu mengalami kenaikan sebesar 66,67%.
Contoh 6.2Harga beras dari ketiga daerah pada tahun 2002, 2004, dan 2007 disajikan pada tabel berikut ini:
tabel 6.1Harga Beras Dari 3 Daerah
Nama Daerah 2002 2004 2007Beras Padang 3500 4500 6000Beras Bandung 4000 5500 6500Beras Surabaya 3000 5000 5500
Tentukan indeks relatif harga pada tahun 2004 dan 2007 dengan memakai tahun dasar 2002!
penyelesaian:Indeks relatif harga beras Padang:
���Bab 6 Angka Indeks
IPP
IPP
n
o
n
o
20042002
20072002
100
45003500
100
128 57
10
= ×
= ×
=
= ×
%
%
, %
00
60003500
100
171 43
100
55004000
100
20042002
%
%
, %
%
%
= ×
=
= ×
= ×
IPP
n
o
==
= ×
= ×
=
=
137 5
100
65004000
100
162 5
20072002
20042002
, %
%
%
, %
IPP
I
n
o
PPP
IPP
n
o
n
o
×
= ×
=
= ×
=
100
50003000
100
166 67
100
550040
20072002
%
%
, %
%
000100
137 5
×
=
%
, %
IPP
IPP
n
o
n
o
20042002
20072002
100
45003500
100
128 57
10
= ×
= ×
=
= ×
%
%
, %
00
60003500
100
171 43
100
55004000
100
20042002
%
%
, %
%
%
= ×
=
= ×
= ×
IPP
n
o
==
= ×
= ×
=
=
137 5
100
65004000
100
162 5
20072002
20042002
, %
%
%
, %
IPP
I
n
o
PPP
IPP
n
o
n
o
×
= ×
=
= ×
=
100
50003000
100
166 67
100
550040
20072002
%
%
, %
%
000100
137 5
×
=
%
, %
Indeks relatif harga beras Bandung:
IPP
IPP
n
o
n
o
20042002
20072002
100
45003500
100
128 57
10
= ×
= ×
=
= ×
%
%
, %
00
60003500
100
171 43
100
55004000
100
20042002
%
%
, %
%
%
= ×
=
= ×
= ×
IPP
n
o
==
= ×
= ×
=
=
137 5
100
65004000
100
162 5
20072002
20042002
, %
%
%
, %
IPP
I
n
o
PPP
IPP
n
o
n
o
×
= ×
=
= ×
=
100
50003000
100
166 67
100
550040
20072002
%
%
, %
%
000100
137 5
×
=
%
, %
Indeks relatif harga beras Surabaya:
IPP
IPP
n
o
n
o
20042002
20072002
100
45003500
100
128 57
10
= ×
= ×
=
= ×
%
%
, %
00
60003500
100
171 43
100
55004000
100
20042002
%
%
, %
%
%
= ×
=
= ×
= ×
IPP
n
o
==
= ×
= ×
=
=
137 5
100
65004000
100
162 5
20072002
20042002
, %
%
%
, %
IPP
I
n
o
PPP
IPP
n
o
n
o
×
= ×
=
= ×
=
100
50003000
100
166 67
100
550040
20072002
%
%
, %
%
000100
137 5
×
=
%
, %
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
�.�.� Indeks Harga Agregatif Sederhana (Tidak Tertimbang)
Indeks agregatif tidak tertimbang digunakan untuk unit-unit yang mempunyai satuan yang sama. Indeks ini diperoleh dengan cara membagi hasil penjumlahan harga pada waktu yang bersangkutan dengan hasil penjumlahan harga pada waktu dasar. Indeks harga agregatif sederhana membandingkan jumlah semua harga barang pada tahun berjalan untuk tiap tahun dasar. Persamaan angka indeks agregatif sederhana (tidak tertimbang) ditentukan sebagai berikut:
IP
PHAn
o
= ×∑∑
100%
Keterangan:IHA = Indeks Harga Agregatif∑ Pn = Jumlah semua harga barang pada tahun berjalan.∑ Po = Jumlah semua harga barang pada tahun dasar.
Kelebihan dari indeks agregatif ini adalah cara perhitungannya lebih mudah dipahami dan dipakai. Sedangkan kekurangannya dari indeks agregatif adalah sebagai berikut: 1. Indeks ini tidak memperhatikan arti penting secara relatif dari berbagai
komoditi, sebab semua harga komoditi diberi bobot (timbangan) yang sama atau mempunyai arti penting yang sama.
2. Indeks ini peka terhadap satuan dalam pencatatan harga seperti liter, gram, dan sebagainya.
Contoh 6.3PT Kasih membeli lima jenis kebutuhan pokok pada tahun 2000 dan 2005, ditampilkan dalam tabel berikut ini:
���Bab 6 Angka Indeks
tabel 6.2Kebutuhan-Kebutuhan Pokok Tahun 2000 dan 2005
Jenis kebutuhan pokokharga
2000 2005
Roti 5000 7500Tepung 3000 6000Beras 4500 8000Minyak 4000 8000Susu 5000 10000
Tentukanlah indeks harga agregatif sederhana dari lima jenis kebutuhan pokok!
penyelesaian: ∑Pn = 7500 + 6000 + 8000 + 8000 + 10000 = 39500 ∑P0 = 5000 + 3000 + 4500 + 4000 + 5000 = 21500
Jadi, angka indeks harga agregatif sederhana dari PT Kasih adalah:
P
Pn
o
= + + + + =
= + + +
∑∑
7500 6000 8000 8000 10000 39500
5000 3000 4500 4000++ =
×
= ×
=
∑∑
5000 21500
100
3950021500
100
183 72
I =HA
P
Pn
o
%
%
, %
Jadi, secara agregat (keseluruhan) harga lima kebutuhan pokok pada tahun 2005 mengalami kenaikan 83,72 dibandingkan tahun 2000.
Contoh 6.4PT. Jaya Agung membeli beberapa jenis bahan bangunan pada tahun 2003 dan 2008. Jenis bahan dan harganya ditampilkan pada tabel berikut ini:
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
tabel 6.3Jenis-Jenis Bahan Bangunan Tahun 2003 dan 2008
Jenis Bahanharga
2003 2008Semen 7500 17500Kayu 11000 18000Besi 15500 24000Paku 5000 8000
Tentukan indeks harga agregatif sederhana!
penyelesaian: ∑Pn = 17500+18000+24000+8000 = 67500 ∑Po = 7500+11000+15500+5000 = 39000
Jadi, angka indeks harga agregatif sederhana adalah:
Penyelesaian:
P
Pn
o
= + + + =
= +
∑∑
17500 18000 24000 8000 67500
7500 110000 15500 5000 39000+ + =
Jadi, angka indeks harga agregatif sederrhana adalah:
I =HA
PP
n
o
∑∑
×
= ×
=
100
6750039000
100
173 08
%
%
, %
Jadi, secara agregat (keseluruhan) harga 4 jenis-jenis bahan bangunan pada tahun 2008 mengalami kenaikan 73,08 dibandingkan tahun 2003.
�.�.� Indeks Rata-rata Relatif Harga Sederhana
Dengan perhitungan indeks rata-rata relatif harga terdapat beberapa kemungkinan bergantung pada prosedur yang dipakai untuk menentukan rata-rata relatif harga, seperti rata-rata hitung, rata-rata harmonis, rata-rata ukur, median dan sebagainya. Bila yang dipakai konsep rata-rata hitung, maka persamaan indeks rata-rata relatif harga sederhana ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
���Bab 6 Angka Indeks
I
PP
nRH
n
o=
×
∑100%
Keterangan:IRH = Indeks Rata–Rata Relatif Harga
I
PP
nRH
n
o=
×
∑100%
= jumlah semua relatif harga barangn = banyaknya jenis barang
Contoh 6.5Tentukan indeks relatif harga sederhana PT Indra dari jenis kebutuhan pokok pada tahun 2002 dan 2006 sebagai berikut:
tabel 6.4Jenis Kebutuhan-Kebutuhan Pokok Tahun 2002 dan 2006
Jenis kebutuhan pokokharga
2002 (po) 2006 (pn)Tepung 5000 7500Roti 4500 6500Beras 6000 7500Susu 5000 8500Jumlah 20500 30000
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 6.5Perhitungan
Jenis kebutuhan pokok
harga relatif harga
indeks relatif harga
2002 (po)
2006 (pn)
Tepung 5000 7500 1,50 150%Roti 4500 6500 1,44 144%Beras 6000 7500 1,25 125%Susu 5000 8500 1,70 171%
Jumlah 590%
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
Dari tabel di atas diperoleh
PP
I
PP
n
n
o
RH
n
o
∑
∑
=
=
×
=
=
590
100
5904
147 5
%
%
%
, %
Jadi, indeks rata-rata relatif harga dari PT Indra adalah
PP
I
PP
n
n
o
RH
n
o
∑
∑
=
=
×
=
=
590
100
5904
147 5
%
%
%
, %
Contoh 6.6Tentukan indeks relatif harga sederhana PT. Indo dari jenis bahan yang dibutuhkan untuk perhitungan tahun 2003 dan 2006 pada tabel berikut ini:
tabel 6.6Jenis-Jenis Bahan
Tahun 2003 dan 2006
Jenis bahanharga
2003 (po) 2006 (pn)Kabel 3500 5000Buster 4000 7000Lampu 5500 8000Senter 6500 9000Stop Kontak 4500 7500Jumlah 24000 36500
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
���Bab 6 Angka Indeks
tabel 6.7Perhitungan
Jenis bahanharga relatif harga
indeks relatif harga2003 (po) 2006 (pn)
Kabel 3500 5000 1,43 143%Buster 4000 7000 1,75 175%Lampu 5500 8000 1,45 145%Senter 6500 9000 1,38 138%Stop Kontak 4500 7500 1,67 167%
Jumlah 768%
Dari tabel di atas diperoleh:
PP
I
PP
n
n
o
RH
n
o
∑
∑
=
=
×
=
=
768
100
7685
153 6
%
%
%
, %
Jadi, jenis rata – rata relatif harga dari PT. Indo adalah:
PP
I
PP
n
n
o
RH
n
o
∑
∑
=
=
×
=
=
768
100
7685
153 6
%
%
%
, %
�.� Indeks Harga Tertimbang (Weighted Index)
Angka indeks yang mencerminkan pentingnya suatu angka penimbang (bobot atau weight) terhadap angka-angka lainnya, sedangkan pemberian bobot angka penimbang tersebut ditentukan berdasarkan pentingnya barang tersebut secara subyektif disebut indeks harga tertimbang. Terkait dengan indeks tertimbang, disamping menggunakan angka penimbang secara subyektif dapat juga memperhatikan kuantitas atau jumlah barang sebagai pengganti angka penimbang tersebut, sehingga sering disebut dengan Indeks Kuantitas. Dalam menghitung indeks kuantitas
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
tersebut variabel yang sangat penting untuk menjadi pertimbangan adalah kuantitas dari masing-masing barang.
�.�.� Indeks Harga Agregatif Tertimbang
Indeks yang dalam pembuatan telah dipertimbangkan faktor-faktor yang akan mempengaruhi naik turunnya angka indeks disebut indeks agregatif tertimbang. Kelemahannya dari indeks agregatif tertimbang adalah sebagai berikut; 1. Satuan untuk unit harga barang sangat mempengaruhi angka
indeks. 2. Tidak memperhitungkan kepentingan relatif (relatif importance)
barang-barang yang tercangkup dalam pembuatan indeks.
Sebelumnya telah dijelaskan indeks agregatif sederhana atau tidak tertimbang menganggap bahwa perubahan harga masing-masing barang mempunyai peranan yang sama terhadap perubahan harga secara keseluruhan, yang dipakai hanya harga-harga barang tanpa mempertimbangkan kuantitas yang dihasilkan atau yang diproduksi. Oleh karena itu, angka indeks agregatif tidak tertimbang dianggap tidak memuaskan, sehingga jarang sekali digunakannya atau dipakai. Untuk menanggulangi kekurangan dari indeks harga agregatif tak tertimbang, maka kita perlu memberikan bobot atau timbangan pada harga masing-masing barang dengan memakai faktor yang sesuai, yaitu kuantitas atau volume dari komoditi yang dihasilkan selama waktu dasar dan waktu berjalan. Kuantitas yang dipakai dapat berupa nilai tengah dari komoditi selama beberapa waktu. Bobot atau timbangan yang menunjukkan arti penting dari masing-masing komoditi.
�.�.� Indeks Harga Agregatif Tertimbang Laspeyres
Indeks harga agregatif tertimbang yang memakai kuantitas pada waktu dasar sebagai timbangan (bobot) disebut Indeks harga tertimbang Laspeyres.
���Bab 6 Angka Indeks
Persamaan indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres ditentukan sebagai berikut:
IP Q
P QHLn o
o o
= ×∑∑
100%
Keterangan:IHL = Indeks Harga Agregatif Tertimbang Laspeyres.Pn = harga pada waktu berjalan Po = harga pada waktu dasarQo = kuantitas pada waktu dasar
�.�.� Indeks Harga Agregatif Tertimbang Paasche
Indeks harga agregatif tertimbang yang memakai kuantitas pada waktu berjalan sebagai timbangan (bobot) disebut indeks harga agregatif tertimbang Paasche. Persamaan indeks harga agregatif tertimbang Paasche ditentukan sebagai berikut:
IP QP QHP
n n
o n
= ×∑∑
100%
Keterangan:IHP = indeks harga agregatif tertimbang PaaschePn = harga pada waktu berjalanPo = harga pada waktu dasarQn = kuantitas pada waktu berjalanQo = kuantitas pada waktu dasar
Contoh Perhitungan indeks Harga Agregatif Tertimbang Laspeyres dan Harga Agregatif Tertimbang Paasche diberikan dalam contoh sebagai berikut.
Contoh 6.7Berikut ini PT. Citra membeli persediaan barang yang disajikan pada tabel harga (dalam ribuan rupiah) dan banyaknya kebutuhan pada tahun 2005 dan 2007 sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
tabel 6.8Harga dan Kuantitas yang dibeli PT.Citra
Jenis bahanharga Jumlah pembelian
2005 2007 2005 2007Plastik 3,5 6,5 2,0 5.,0Karet 2,5 5,5 3,5 6,5Kertas 3,0 6,5 4,5 7,0Map 4,5 8,0 5,0 6,0Tinta 5,5 9,0 6,5 8,5
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel sebagai berikut ini:
tabel 6.9Perhitungan
Jenis Bahanharga Jumlah pembelian
po Qo pn Qo po Qn pn Qn2005 2007 2005 2007po pn Qo Qn
Plastik 3,5 6,5 2,0 5,0 7,0 13,0 17,5 32,5Karet 2,5 5,5 3,5 6,5 8,75 19,25 16.25 35,75Kertas 3,0 6,5 4,5 7,0 13,50 29,25 21,0 45,50Map 4,5 8,0 5,0 6,0 22,50 40,0 27,0 48,0Tinta 5,5 9,0 6,5 8,5 35,75 58,5 46,75 76,5Jumlah 87,5 160,0 128,5 238,25
Dari tabel di atas diperoleh:
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP Q
o o
n o
o o
n n
HLn o
o o
∑∑∑∑
∑
=
=
=
=
=
87 5
160 0
128 5
238 25
,
,
,
,
∑∑
∑∑
×
= ×
=
= ×
=
100
16087 5
100
182 86
100
238 25128
%
,%
, %
%
,,
IP QP QHP
n n
o o
550100
185 41
×
=
%
, %
���Bab 6 Angka Indeks
Maka hasil yang diperoleh dari indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres dan Paasche sebagai berikut: Indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres:
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP Q
o o
n o
o o
n n
HLn o
o o
∑∑∑∑
∑
=
=
=
=
=
87 5
160 0
128 5
238 25
,
,
,
,
∑∑
∑∑
×
= ×
=
= ×
=
100
16087 5
100
182 86
100
238 25128
%
,%
, %
%
,,
IP QP QHP
n n
o o
550100
185 41
×
=
%
, %
Indeks harga agregatif tertimbang Paasche:
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP Q
o o
n o
o o
n n
HLn o
o o
∑∑∑∑
∑
=
=
=
=
=
87 5
160 0
128 5
238 25
,
,
,
,
∑∑
∑∑
×
= ×
=
= ×
=
100
16087 5
100
182 86
100
238 25128
%
,%
, %
%
,,
IP QP QHP
n n
o o
550100
185 41
×
=
%
, %
Terlihat bahwa indeks harga agregatif tertimbang yang dihitung dengan rumus Laspeyres dan Paasche ternyata hampir sama. Dengan angka indeks harga Laspeyres, bila jumlah pembelian pada tahun dasar dipakai sebagai timbangan, maka diperoleh kenaikan harga secara keseluruhan dari lima bahan di atas pada tahun 2007 sebesar 82.86 %, sedangkan indeks harga Paasche dengan memakai jumlah pembelian pada tahun berjalan sebagai timbangan, maka diperoleh kenaikan harga secara keseluruhan lima bahan tersebut pada tahun 2007 sebesar 85.41% dibanding tahun 2005.
Contoh 6.8Berikut ini PT. Ayu menyajikan tabel harga (dalam puluhan ribuan rupiah) dan jenis perlengkapan yang dibutuhkan oleh perusahaan:
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
tabel 6.10Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan PT. Ayu Tahun 2000 dan 2005
Jenis perlengkapan
harga Jumlah pembelian2000 2005 2000 2005
po pn Qo QnSepatu 2,0 6,5 1,5 2,5Tas 2,5 4,5 2,5 3,5Baju 3,5 5,5 1,0 4,0Sandal 2,5 4,5 2,0 3,5
Tentukanlah nilai indeks harga agregatif tertimbang dengan menggunakan cara Laspeyres dan Paasche!
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 6.11Perhitungan
Jenis perlengkapan
harga Jumlah pembelianpo Qo pn Qo po Qn pn Qn2000 2005 2000 2005
po pn Qo QnSepatu 2,0 6,5 1,5 2,5 3,0 9,75 5,0 16,25Tas 2,5 4,5 2,5 3,5 6,25 11,25 8,75 15,75Baju 3,5 5,5 1,0 4,0 3,5 5,5 14,0 22,00Sandal 2,5 4,5 2,0 3,5 5,0 9,0 8,75 15,75Jumlah 17,75 35,5 36,5 69,75
Dari tabel di atas diperoleh:
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP
o o
n o
o o
n n
HLn o
o
∑∑∑∑
∑
=
=
=
=
=
17 75
35 5
36 5
69 75
,
,
,
,
IP QP Q
o
HPn n
o n
∑
∑∑
×
= ×
=
= ×
=
100
35 517 75
100
200
100
69 7536 5
%
,,
%
%
%
,, 00
100
191 09
×
=
%
, %
���Bab 6 Angka Indeks
Maka hasil yang diperoleh dari indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres dan Paasche sebagai berikut: Indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres:
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP
o o
n o
o o
n n
HLn o
o
∑∑∑∑
∑
=
=
=
=
=
17 75
35 5
36 5
69 75
,
,
,
,
IP QP Q
o
HPn n
o n
∑
∑∑
×
= ×
=
= ×
=
100
35 517 75
100
200
100
69 7536 5
%
,,
%
%
%
,, 00
100
191 09
×
=
%
, %
Indeks harga agregatif tertimbang Paasche:
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP
o o
n o
o o
n n
HLn o
o
∑∑∑∑
∑
=
=
=
=
=
17 75
35 5
36 5
69 75
,
,
,
,
IP QP Q
o
HPn n
o n
∑
∑∑
×
= ×
=
= ×
=
100
35 517 75
100
200
100
69 7536 5
%
,,
%
%
%
,, 00
100
191 09
×
=
%
, %
Terlihat bahwa indeks harga agregatif tertimbang yang dihitung dengan rumus Laspeyres dan Paasche ternyata hampir sama. Dengan angka indeks harga Laspeyres, bila jumlah pembelian pada tahun dasar dipakai sebagai timbangan, maka diperoleh kenaikan harga secara keseluruhan dari empat jenis perlengkapan di atas pada tahun 2000 sebesar 100%, sedangkan indeks harga Paasche dengan memakai jumlah pembelian pada tahun berjalan sebagai timbangan, maka diperoleh kenaikan harga secara keseluruhan empat jenis perlengkapan tersebut pada tahun 2005 sebesar 91,09% dibanding tahun 2000. Perbedaan antara indeks harga Laspeyres dan Paasche sebagai berikut: 1. Perubahan angka indeks harga yang diperoleh dengan rumus Paasche
tidak hanya disebabkan oleh perubahan harga, karena timbangan dari tahun ke tahun akan berubah-ubah.
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
2. Perhitungan angka indeks harga dengan rumus Paasche membutuhkan waktu dan tenaga lebih banyak untuk mengumpulkan data mengenai timbangan yang dipakai. Metode Paasche memberikan keuntungan yang penting karena memakai timbangan yang up to date.
Indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres dan indeks harga agregatif tertimbang Paasche mempunyai keunggulan dan kelemahan masing-masing. 1. Indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres Keunggulan dari indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres yaitu
data kuantitas yang diperlukan hanya dari periode yang ditentukan. Dengan demikian kita dapat membandingkan yang lebih bermakna seiring waktu, perubahan pada indeks dapat dihubungkan dengan perubahan harga.
Sedangkan kelemahannya yaitu tidak merefleksikan perubahan-perubahan pola pembelian seiring dengan waktu. Selain itu, indeks Laspeyres mungkin memberikan terlalu banyak bobot untuk barang-barang yang meningkat harganya.
2. Indeks harga agregatif tertimbang Paasche Keunggulan dari indeks agregatif tertimbang Paasche yaitu karena
menggunakan kuantitas dari periode sekarang, indeks ini merefleksikan perilaku pembelian masa sekarang.
Sedangkan kelemahannya yaitu memerlukan data kuantitas dari tahun sekarang. Oleh karena itu, kuantitas yang digunakan berbeda-beda setiap tahunnya, tidak mungkin menghubungkan perubahan pada indeks dengan perubahan pada harga. Indeks ini cenderung memberikan terlalu banyak bobot pada barang-barang yang harganya turun. Untuk indeks ini, harga-harganya harus dihitung ulang setiap tahunnya.
���Bab 6 Angka Indeks
�.�.� Indeks Drobisch dan Indeks Fisher
�.�.�.� Indeks Drobisch
Jika diantara indeks harga dengan rumus Laspeyres dan Paasche terdapat perbedaan atau selisih yang besar, kedua angka indeks harga yang diperoleh dari dua rumus tersebut dapat digabungkan menjadi satu angka indeks. Drobisch menggabungkan dua angka indeks tersebut dengan cara mengambil rata-rata hitung dari rumus Laspeyres dan Paasche.Persamaan angka indeks Drobisch ditentukan sebagai berikut:
I I IHD
HL HP=+2
Keterangan:IHD = nilai indeks DrobischIHL = nilai indeks LaspeyresIHP = nilai indeks Paasche
Contoh 6.9Tentukanlah angka indeks menurut Drobisch dari data di bawah ini!
tabel 6.12Harga dan Kuantitas yang dibeli PT.Citra
Jenis bahan harga Jumlah pembelian2005 2007 2005 2007
Lemari 3,5 6,5 2,0 5,0Kulkas 2,5 5,5 3,5 6,5TV 3,0 6,5 4,5 7,0LCD 4,5 8,0 5,0 6,0Laptop 5,5 9,0 6,5 8,5
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
tabel 6.13Perhitungan
Jenis bahanharga
Jumlah pembelian
po Qo pn Qo po Qn pn Qn2005 2007 2005 2007
po pn Qo QnLemari 3,5 6,5 2,0 5,0 7,0 13,0 17,50 32,50Kulkas 2,5 5,5 3,5 6,5 8,75 19,25 16,25 35,75TV 3,0 6,5 4,5 7,0 13,50 29,25 21,00 45,50LCD 4,5 8,0 5,0 6,0 22,50 40,0 27,00 48,00Laptop 5,5 9,0 6,5 8,5 35,75 58,5 46,75 76,50Jumlah 87,5 160,0 128,50 238,25
Dengan menggunakan tabel di atas, maka diperoleh
IHL = 182,86% dan IHP = 185,41% Maka, indeks Drobisch adalah
I I
I I I
HL HP
HDHL HP
= =
=+
=+
=
182 86 285 41
2182 86 185 41
21
, % , %
, % , %
dan
884 135, %
Contoh 6.10Tentukan angka indeks Drobisch dari data di bawah ini!
tabel 6.14Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan Tahun 2000 dan 2005
Jenis perlengkapan
harga Jumlah pembelian2000 2005 2000 2005
po pn Qo QnSepatu 2,0 6,5 1,5 2,5Tas 2,5 4,5 2,5 3,5Baju 3,5 5,5 1,0 4,0Sandal 2,5 4,5 2,0 3,5
���Bab 6 Angka Indeks
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut ini:
tabel 6.15Perhitungan
Jenis perlengkapan
harga Jumlah pembelianpo Qo pn Qo po Qn pn Qn2000 2005 2000 2005
po pn Qo QnSepatu 2.0 6.5 1.5 2.5 3.0 9.75 5.00 16.25Tas 2.5 4.5 2.5 3.5 6.25 11.25 8.75 15.75Baju 3.5 5.5 1.0 4.0 3.50 5.50 14.00 22.00Sandal 2.5 4.5 2.0 3.5 5.0 9.00 8.75 15.75Jumlah 17.75 35.5 36.50 69.75
Dengan menggunakan tabel di atas, maka diperoleh
IHL = 200% dan IHP = 191,09%
Maka, indeks Drobisch adalah
I I
I I I
HL HP
HDHL HP
= =
=+
=+
=
200 191 09
2200 191 09
2195 545
% , %
% , %
,
dan
%%
�.�.�.� Indeks Fisher
Indeks Fisher yaitu menggabungkan kedua indeks harga itu dengan mengambil rata-rata ukur dari rumus Laspeyres dan Paasche. Persamaan indeks Fisher ditentukan sebagai berikut:
I I IHF HL HP= ( )( )
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Keterangan:IHF = nilai indeks FisherIHL = nilai indeks LaspeyresIHP = nilai indeks Paasche
Contoh 6.11Diketahui indeks harga Laspeyres (IHL) = 182,86% dan indeks harga Paasche (IHP) = 185,41%. Tentukan angka indeks menurut Fisher!
penyelesaian:
I I IHF HL HD= ( )( )
= ( )( )
=
182 86 185 41184 13
, % , %, %
Contoh 6.12Diketahui indeks harga Laspeyres (IHL) = 200% dan indeks harga Paasche (IHP) = 191,09%. Tentukan angka indeks menurut Fisher!
penyelesaian:
I I IHF HL HD= ( )( )
= ( )( )
=
200 191 09195 49
% , %, %
�.�.� Indeks Harga Walsh dan Marshall–Edgeworth
Selain memakai rumus Drobisch dan Fisher penanggulangan perbedaan antara indeks harga Laspeyres dan Indeks harga Paasche juga dapat dilakukan dengan memakai rumus Walsh dan rumus Marshall – Edgeworth, sebagai berikut:
���Bab 6 Angka Indeks
�.�.�.� Indeks Harga Walsh
Rumus:
IP Q Q
P Q QHW
n o n
o o n
=( )
( )×
∑∑
100%
Keterangan : IHW = Indeks Harga Walsh Pn = harga pada waktu berjalan Po = harga pada waktu dasar Qn = kuantitas pada waktu berjalan Qo = kuantitas pada waktu dasar
�.�.�.� Indeks Harga Marshall – Edgeworth
Rumus:
IP Q QP Q QHw
n o n
o o n
=+( )+( )
×∑∑
100%
Keterangan : IHME = Indeks Harga Marshall - Edgeworth Pn = harga pada waktu berjalan Po = harga pada waktu dasar Qn = kuantitas pada waktu berjalan Qo = kuantitas pada waktu dasar
Contoh 6.13Hitunglah angka indeks harga Walsh dan Marshall – Edgeworth dari data di bawah ini!
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
tabel 6.16Penjualan Barang-Barang ElektronikTahun 2005 dan 2007 (dalam jutaan)
Barang elektronik
harga Jumlah penjualan2005 2007 2005 2007
Lemari 3,5 6,5 2,0 5,0Kulkas 2,5 5,5 3,5 6,5TV 3,0 6,5 4,5 7,0LCD 4,5 8,0 5,0 6,0Laptop 5,5 9,0 6,5 8,5
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 6.17Perhitungan Dengan Cara Walsh
Barang elektronik
harga Jumlah pembelian
Qo.Qnpo
Qo.Qnpn
Qo.Qn
2005 2007 2005 2007po pn Qo Qn
Lemari 3,5 6,5 2,0 5,0 3,16 11,06 20,54Kulkas 2,5 5,5 3,5 6,5 22,75 56,875 125,125TV 3,0 6,5 4,5 7,0 31,50 94,50 204,75LCD 4,5 8,0 5,0 6,0 30,0 135,0 240Laptop 5,5 9,0 6,5 8,5 55,25 303,875 497,25
Jumlah 601,31 1087,665
Dari tabel di atas diperoleh:
P Q Q
P Q Q
IP Q Q
P Q Q
n o n
o o n
HWn o n
o o n
( ) =
( ) =
=( )( )
×
∑∑
∑∑
1087 66
601 31
10
,
,
00
1087 66601 31
100
180 89
%
,,
%
, %
= ×
=
���Bab 6 Angka Indeks
Maka,
P Q Q
P Q Q
IP Q Q
P Q Q
n o n
o o n
HWn o n
o o n
( ) =
( ) =
=( )( )
×
∑∑
∑∑
1087 66
601 31
10
,
,
00
1087 66601 31
100
180 89
%
,,
%
, %
= ×
=tabel 6.18
Perhitungan Indeks Dengan CaraMarshall – Edgeworth
Barang elektronik
harga Jumlah pembelianQo+Qn po(Qo+Qn) pn(Qo+Qn)2005 2007 2005 2007
po pn Qo QnLemari 3,5 6,5 2,0 5,0 7,00 24,50 45,50Kulkas 2,5 5,5 3,5 6,5 10,0 25,0 55,0TV 3,0 6,5 4,5 7,0 11,50 34,50 74,75LCD 4,5 8,0 5,0 6,0 11,0 49,50 88,0Laptop 5,5 9,0 6,5 8,5 15,0 82,50 135,0Jumlah 54,5 216,0 398,3
Dari tabel di atas diperoleh:
P Q Q
P Q Q
IP Q Q
P Q Q
n o n
o o n
HMEn o n
o o n
+( ) =
+( ) =
=+( )+( )
×
∑∑
∑∑
398 3
216 0
,
,
1100
398 3216
100
184 39
%
, %
, %
= ×
=
Maka,
P Q Q
P Q Q
IP Q Q
P Q Q
n o n
o o n
HMEn o n
o o n
+( ) =
+( ) =
=+( )+( )
×
∑∑
∑∑
398 3
216 0
,
,
1100
398 3216
100
184 39
%
, %
, %
= ×
=
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Dari tabel contoh 6.9, contoh 6.11 dan contoh 6.13 dengan menggunakan rumus Drobisch, Fisher, Walsh, dan Marshall – Edgeworth ternyata hasil yang diperoleh indeks yang sama, yaitu 184% (setelah dibulatkan).
Contoh 6.14Tentukan angka indeks Walsh dan Marshall - Edgeworth dari data di bawah ini!
tabel 6.19Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan Tahun 2000 dan 2005
Jenis perlengkapan
harga Jumlah pembelian2000 2005 2000 2005
po pn Qo QnSepatu 2,0 6,5 1,5 2,5Tas 2,5 4,5 2,5 3,5Baju 3,5 5,5 1,0 4,0Sandal 2,5 4,5 2,0 3,5
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 6.20Perhitungan Dengan Cara Walsh
Jenis perlengkapan
hargaJumlah pembelian
Qo.Qn po Qo.Qn
pn Qo.Qn
2000 2005 2000 2005po pn Qo Qn
Sepatu 2,0 6,5 1,5 2,5 3,75 3,87 12,58Tas 2,5 4,5 2,5 3,5 8,75 7,39 13,31Baju 3,5 5,5 1,0 4,0 4,0 7,0 11,0Sandal 2,5 4,5 2,0 3,5 7,0 6,61 11,9Jumlah 24,87 48,79
���Bab 6 Angka Indeks
Dari tabel di atas diperoleh
P Q Q
P Q Q
IP Q Q
P Q Q
n o n
n o n
HWn o n
o o n
( ) =
( ) =
=( )( )
×
=
∑∑
∑∑
48 79
24 87
100
,
,
%
448 7924 87
100
196 18
,,
%
, %
×
=
Maka,
P Q Q
P Q Q
IP Q Q
P Q Q
n o n
n o n
HWn o n
o o n
( ) =
( ) =
=( )( )
×
=
∑∑
∑∑
48 79
24 87
100
,
,
%
448 7924 87
100
196 18
,,
%
, %
×
=tabel 6.21
Perhitungan Dengan Cara Marshall – Edgeworth
Jenis perlengkapan
harga Jumlah pembelianQo+Qn po(Qo+Qn) pn(Qo+Qn)2000 2005 2000 2005
po pn Qo QnSepatu 2,0 6.5 1,5 2,5 4,0 8,0 26,0Tas 2.5 4,5 2,5 3,5 6,0 15,0 27,0Baju 3,5 5,5 1,0 4,0 5,0 17,5 27,5Sandal 2,5 4,5 2,0 3,5 5,5 13,75 24,75
Jumlah 54,25 105,25
Dari tabel di atas diperoleh
P Q Q
P Q Q
IP Q Q
P Q Q
n o n
o o n
HMEn o n
o o n
+( ) =
+( ) =
=+( )+( )
∑∑
∑∑
105 25
54 25
,
,
××
= ×
=
100
105 2554 25
100
194 12
%
,,
%
, %
Maka,
P Q Q
P Q Q
IP Q Q
P Q Q
n o n
o o n
HMEn o n
o o n
+( ) =
+( ) =
=+( )+( )
∑∑
∑∑
105 25
54 25
,
,
××
= ×
=
100
105 2554 25
100
194 12
%
,,
%
, %
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Dari tabel contoh 6.10, contoh 6.12 dan contoh 6.14 dengan menggunakan rumus Drobisch, Fisher, Walsh, dan Marshall – Edgeworth ternyata hasil yang di peroleh indeks yang sama, yaitu 195% (setelah dibulatkan).
�.�.� Indeks Rata-rata Relatif Harga Tertimbang
Pada penghitungan indeks rata–rata dengan menggunakan indeks rata–rata sederhana memiliki kelemahan. Kelemahan indeks rata-rata sederhana yaitu tidak mempunyai kuatitas dari produksi dimana harga masing masing komoditi diberi bobot yang sama. Dalam mengatasi kelemahan digunakanlah indeks rata-rata relatif harga tertimbang. Dengan menggunakan cara ini, pada masing–masing harga diberi bobot sesuai nilai total dari komoditi yang dinyatakan dalam satuan moneter seperti rupiah. Oleh karena itu, nilai dari suatu komoditi diperoleh dengan mengalikan harga (P) dari komoditi dengan kuantitas (Q), maka timbangannya ditentukan oleh (P x Q). Pada indeks rata–rata relatif harga tertimbang ada tiga (3) rumus untuk menghitung rata–rata yang tergantung pada nilai (P x Q) pada tahun dasar, tahun berjalan atau pada waktu tertentu (t), yaitu berturut–turut adalah PoQo, PnQn atau PtQt sebagai berikut: 1. Indeks rata – rata relatif harga tertimbang PoQo adalah: Rumus:
I
PP
P Q
P QP QP Q
I
RHT
n
oo o
o o
n o
o o
RHT
=
( )
× = ×∑
∑∑∑
100 100% %
==
( )
×
=
∑
∑
∑
PP
P Q
P Q
I
PP
P
n
on n
n n
RHT
n
o
100%
tt t
t t
Q
P Q
( )×
∑100%
2. Indeks rata – rata relatif harga dengan tertimbangan PnQn adalah Rumus:
I
PP
P Q
P QP QP Q
I
RHT
n
oo o
o o
n o
o o
RHT
=
( )
× = ×∑
∑∑∑
100 100% %
==
( )
×
=
∑
∑
∑
PP
P Q
P Q
I
PP
P
n
on n
n n
RHT
n
o
100%
tt t
t t
Q
P Q
( )×
∑100%
���Bab 6 Angka Indeks
3. Indeks rata – rata relatif harga dengan tertimbang PtQt adalah Rumus:
I
PP
P Q
P QP QP Q
I
RHT
n
oo o
o o
n o
o o
RHT
=
( )
× = ×∑
∑∑∑
100 100% %
==
( )
×
=
∑
∑
∑
PP
P Q
P Q
I
PP
P
n
on n
n n
RHT
n
o
100%
tt t
t t
Q
P Q
( )×
∑100%
Contoh 6.15Hitunglah indeks rata-rata hitung tertimbang PnQn dari data harga dan jumlah pembelian dari empat jenis dari PT. Asia pada tahun 2001 dan 2006 (dalam ribuan)!
tabel 6.22Harga Dan Jumlah Pembelian 4 Jenis Bahan Tahun 2001 dan 2006
Jenis Bahan
harga Jumlah pembelian
2001 (po)
2006 (pn)
2001 (Qo)
2006 (Qn)
Tepung 2,5 3,6 2,1 4,3Garam 2,2 4,6 1,5 4,4Susu 3,4 5,6 2,7 4,7Gula 4,2 6,8 3,1 5,0
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel sebagai berikut:
tabel 6.23Perhitungan
Jenis Bahan
harga Jumlah pembelianpn pn Qn
pn (pn Qn)2001 (po)
2006 (pn)
2001 (Qo)
2006 (Qn)
po po
Tepung 2,5 3,6 2,1 4,3 1,44 15,48 22,29Garam 2,2 4,6 1,5 4,4 2,09 20,24 42,32Susu 3,4 5,6 2,7 4,7 1,65 26,32 43,35Gula 4,2 6,8 3,1 5,0 1,62 34,00 55,05Jumlah 96,04 163,01
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
Dari tabel di atas diperoleh
PP
P Q
P Q
I
PP
n
on n
n n
RHT
n
o
( )=
=
=
∑
∑
163 01
96 04
,
,
( )×
= ×
=
∑
∑
P Q
P Q
n n
n
100
163 0196 04
100
169 82
%
,,
%
, %
Maka,
PP
P Q
P Q
I
PP
n
on n
n n
RHT
n
o
( )=
=
=
∑
∑
163 01
96 04
,
,
( )×
= ×
=
∑
∑
P Q
P Q
n n
n
100
163 0196 04
100
169 82
%
,,
%
, %
�.� Indeks Berantai
Untuk data berkala, angka indeks dapat dibuat dengan melakukan perubahan secara berurutan dari waktu dasarnya, misalnya dalam satu tahun, dua tahun, atau lebih. Susunan keseluruhan angka indeks bisa diperoleh dengan cara ini disebut indeks berantai. Untuk indeks harga berantai yang sederhana dirumuskan sebagai berikut:
I PPn n
n
n. %−
−
= ×11
100
Keterangan:In, n-1 = Indeks BerantaiPn = harga pada tahun berjalanPn-1 = harga pada tahun dasar
Contoh 6.16Data harga perdagangan besar suatu komoditi dari indikator ekonomi, Biro Pusat Statistik, tahun 1990 sampai 1995 adalah sebagai berikut:
���Bab 6 Angka Indeks
tabel 6.24Harga Perdagangan Tahun 1990 – 1995
Tahun 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Harga/kg 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Tentukan indeks berantai dari data tersebut!
penyelesaian:
Tahun dasar 1990: I = 20001500
Tahun d
1991/1990 × =100 133 33% , %
aasar 1991: I = 25002000
Tahun dasar 1992
1992/1991 × =100 125% %
:: I = 30002500
Tahun dasar 1993: I
1993/1992
1994/1
× =100 120% %
9993
1995/1994
= 35003000
Tahun dasar 1994: I = 4
× =100 116 67% , %
00003500
× =100 114 29% , %
�.� Rangkuman
Angka indeks sangat dibutuhkan bagi orang yang melakukan kegiatan (terutama kegiatan perdagangan), karena dengan angka indeks itu, suatu perusahaan dapat mengetahui kenaikan dan penurunan penjualan yang terjadi. Indeks Harga Tidak Tertimbang (Unweight Index) terbagi menjadi tiga macam yaitu sebagai berikut: a. Indeks relatif harga merupakan perbandingan dari suatu harga barang
pada waktu tertentu terhadap waktu dasar. b. Indeks harga agregatif sederhana (tidak tertimbang) merupakan
perbandingan keseluruhan harga pada tahun berjalan terhadap keseluruhan harga barang pada waktu tahun dasar.
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
c. Indeks rata-rata relatif harga Indeks Harga Tertimbang (Weight Index) terdiri dari:
a. Indeks Harga Agregatif Tertimbang1. Indeks Harga Agregatif Tertimbang Laspeyres2. Indeks Harga Agregatif Tetimbang Paasche3. Indeks Drobish dan Indeks Fisher4. Indeks Rata-Rata Relatif Harga Tertimbang5. Indeks Harga Walsh dan Marshall – Edgeworth
b. Indeks Berantai
�.� Latihan Soal
6.8.1 Harga terigu pada tahun 2004 adalah Rp. 3200,00 dan pada tahun 2009 adalah Rp. 6000,00 dalam hal ini tahun 2000 sebagai tahun dasar dan tahun 2004 sebagai tahun berjalan.
Tentukanlah indeks relatif harga sederhana!
6.8.2 PT Suka-Suka membeli lima jenis kebutuhan alat-alat kantor pada tahun 2002 dan 2007, ditampilkan dalam tabel berikut ini:
tabel 6.25Kebutuhan Alat-Alat Kantor
Tahun 2002 dan 2007
Jenis kebutuhan pokokharga
2002 2007
Buku 10000 14000Bolpoin 25000 40000Map 10000 13500Tipe-X 4000 7500Tinta Print 20000 35000
Tentukanlah indeks harga agregatif sederhana dari lima jenis kebutuhan alat-alat kantor!
���Bab 6 Angka Indeks
6.8.3 Tentukan indeks relatif harga sederhana PMI dari jenis kebutuhan medis pada tahun 2005 dan 2009 sebagai berikut:
tabel 6.26Jenis Kebutuhan-Kebutuhan Medis Tahun 2005 dan 2009
Jenis kebutuhan Medisharga
2005 (po) 2009 (pn)Kayu Putih 8000 12500Betadine 4500 7000Alkohol 10000 15000Perban 7500 11000Jumlah 21000 45500
6.8.4 Berikut ini PT. Angkasa membeli persediaan barang yang disajikan pada tabel harga (dalam ribuan rupiah) dan banyaknya kebutuhan pada tahun 2006 dan 2010 sebagai berikut:
tabel 6.27Harga dan Kuantitas Persediaan Barang yang dibeli PT. Angkasa
Jenis bahanharga Jumlah pembelian
2006 2010 2005 2007Mentega 7,0 15,0 2,5 5,3Telur 7,5 11,0 4,0 7,4Terigu 4,8 6,0 4.5 6,5Coklat 5,5 8.0 5.0 6,8
Tentukanlah:a. Indeks Laspeyres dan Paascheb. Indeks Drobisch dan Fisher
�.� Jawaban Latihan Soal
6.9.1 penyelesaian:
I = P2009/2004
n
Po
×
= ×
=
100
500300
100
166 67
%
%
, %
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
6.9.2 penyelesaian: ∑Pn = 14000+40000+13500+7500+35000 = 110000 ∑P0 = 10000+25000+10000+4000+20000 = 69000
Jadi, angka indeks harga agregatif sederhana dari PT Suka-Suka adalah:
P
Pn
o
= + + + + =
= + +
∑∑
14000 40000 13500 7500 35000 110000
10000 25000 100000 4000 20000 69000
100
11000069000
100
159 4
+ + =
= ×
= ×
=
∑∑
IPPHA
n
o
%
%
, 22%
Jadi, secara agregat (keseluruhan) harga lima kebutuhan alat-alat kantor pada tahun 2007 mengalami kenaikan 59,42 dibandingkan tahun 2002.
6.9.3 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan
sebagai berikut:tabel 6.28
Jenis Kebutuhan-Kebutuhan Medis Tahun 2005 dan 2009
Jenis kebutuhan Medis
harga relatif harga
indeks relatif harga2005 (po) 2009 (pn)
Kayu Putih 8000 12500 1,56 156%Betadine 4500 7000 1,55 155%Alkohol 10000 15000 1,50 150%Perban 7500 11000 1,46 146%Jumlah 21000 45500 5,89 590%
Jadi, indeks rata-rata relatif harga dari PT Indra adalah
I
PP
nRH
n
o=
×
=
=
∑100
6074
151 75
%
%
, %
���Bab 6 Angka Indeks
6.9.4 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel sebagai
berikut ini:
tabel 6.29Perhitungan
Jenis bahan
harga Jumlah pembelian
po Qo pn Qo po Qn pn Qn2006 2010 2006 2010
po pn Qo QnMentega 7,0 15,0 2,5 5,3 17,5 37,5 37,1 79,5Telur 7,5 11,0 4,0 7,4 30,0 44,0 55,5 81,4Terigu 4,8 6,0 4,5 6,5 21,6 27,0 31,2 39,0Coklat 5,5 8,0 5,0 6,8 27,5 40,0 37,4 54,4Jumlah 96,6 148,5 161,2 254,3
Dari tabel di atas diperoleh
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP Q
o o
n o
o n
n n
HLn o
o o
=
=
=
=
= ×
∑∑∑∑
∑∑
96 6
148 5
161 2
254 3
,
,
,
,
1100
148 596 6
100
153 72
100
154 3161 2
%
,,
%
, %
%
,,
= ×
=
= ×
=
∑∑
IP QP QHP
n n
o n
××
=
=+
=+
=
=
100
157 75
2153 72 1557 75
2155 73
%
, %
, % , %
, %
I I I
I I
HDHL HP
HF HLL HPI( )( )
= ( )( )
=
153 72 157 75155 72
, % , %, %
Maka hasil yang diperoleh dari indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres dan Paasche sebagai berikut:a. Indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres:
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP Q
o o
n o
o n
n n
HLn o
o o
=
=
=
=
= ×
∑∑∑∑
∑∑
96 6
148 5
161 2
254 3
,
,
,
,
1100
148 596 6
100
153 72
100
154 3161 2
%
,,
%
, %
%
,,
= ×
=
= ×
=
∑∑
IP QP QHP
n n
o n
××
=
=+
=+
=
=
100
157 75
2153 72 1557 75
2155 73
%
, %
, % , %
, %
I I I
I I
HDHL HP
HF HLL HPI( )( )
= ( )( )
=
153 72 157 75155 72
, % , %, %
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Indeks harga agregatif tertimbang Paasche:
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP Q
o o
n o
o n
n n
HLn o
o o
=
=
=
=
= ×
∑∑∑∑
∑∑
96 6
148 5
161 2
254 3
,
,
,
,
1100
148 596 6
100
153 72
100
154 3161 2
%
,,
%
, %
%
,,
= ×
=
= ×
=
∑∑
IP QP QHP
n n
o n
××
=
=+
=+
=
=
100
157 75
2153 72 1557 75
2155 73
%
, %
, % , %
, %
I I I
I I
HDHL HP
HF HLL HPI( )( )
= ( )( )
=
153 72 157 75155 72
, % , %, %
b. Indeks Drobisch adalah
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP Q
o o
n o
o n
n n
HLn o
o o
=
=
=
=
= ×
∑∑∑∑
∑∑
96 6
148 5
161 2
254 3
,
,
,
,
1100
148 596 6
100
153 72
100
154 3161 2
%
,,
%
, %
%
,,
= ×
=
= ×
=
∑∑
IP QP QHP
n n
o n
××
=
=+
=+
=
=
100
157 75
2153 72 1557 75
2155 73
%
, %
, % , %
, %
I I I
I I
HDHL HP
HF HLL HPI( )( )
= ( )( )
=
153 72 157 75155 72
, % , %, %
Indeks Fisher adalah
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP Q
o o
n o
o n
n n
HLn o
o o
=
=
=
=
= ×
∑∑∑∑
∑∑
96 6
148 5
161 2
254 3
,
,
,
,
1100
148 596 6
100
153 72
100
154 3161 2
%
,,
%
, %
%
,,
= ×
=
= ×
=
∑∑
IP QP QHP
n n
o n
××
=
=+
=+
=
=
100
157 75
2153 72 1557 75
2155 73
%
, %
, % , %
, %
I I I
I I
HDHL HP
HF HLL HPI( )( )
= ( )( )
=
153 72 157 75155 72
, % , %, %
���
regreSI Dan KOreLaSIBab 7
Dalam kehidupan sehari-hari kita sudah sering menemukan kegiatan-kegiatan yang saling berhubungan satu sama lainnya. Kegiatan-
kegiatan itu tentunya membutuhkan analisis hubungan antara kegiatan-kegiatan tersebut. Pada bab ini yang akan dipelajari yaitu hubungan statistik antara 2 atau lebih variabel yang disebut regresi dan korelasi.
�.� Pengertian Regresi dan Korelasi
Regresi dan korelasi digunakan untuk mempelajari pola dan mengukur hubungan statistik antara 2 atau lebih variabel. Jika digunakan hanya 2 variabel disebut regresi dan korelasi sederhana. Sedangkan jika digunakan lebih dari 2 variabel disebut regresi dan korelasi berganda. Persamaan regresi dibentuk untuk menerangkan pola hubungan variabel-variabel. Variabel yang akan diduga disebut variabel terikat (tidak bebas), bisa dinyatakan dengan variabel Y. Variabel yang menerangkan perubahan variabel terikat disebut variabel bebas, bisa dinyatakan dengan variabel X.
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
�.� Regresi dan Korelasi
Kegunaan Regresi Mengukur besar dan arah hubungan.Dipergunakan untuk pendugaan dan peramalan.Harus ditentukan mana variabel bebas dan variabel
terikatnya.Bisa disajikan dalam bentuk gambar.
Kegunaan KorelasiMengukur derajat keeratan hubungan.Bukan untuk pendugaan dan peramalan.Tak perlu memilih variabel bebas dan terikatnya.Tidak bisa disajikan dalam bentuk gambar.
�.� Analisa Regresi Sederhana
Garis lurus atau garis linear yang merupakan garis taksiran atau perkiraan untuk mewakili pola hubungan antara variabel X dengan variabel Y disebut garis regresi atau korelasi. Dalam hal ini X disebut variabel bebas dan Y disebut variabel tak bebas. Persamaan garis regresi linear sederhana ditentukan sebagai berikut:
Y a bX= +
Keterangan:Y bX= +α = nilai-nilai taksiran untuk variabel tak bebas (Y)X = nilai-nilai variabel bebas a = intersep (pintasan) bilamana X = 0b = koefisien arah atau slope dari garis regresi
Dalam hal ini a dan b merupakan koefisien regresi
���Bab 7 Regresi dan Korelasi
Variabel bebas X sering disebut sebagai prediktor, yaitu variabel yang dipakai untuk memprediksi nilai Y, sedangkan variabel Y sering disebut sebagai variabel yang diprediksi Dalam hal ini, suatu kriteria bahwa persamaan regresi yang paling baik adalah regresi yang mempunyai total
kuadrat selisih atau total kuadrat eror S (Y – Y bX= +α) yang paling minimum. Model
populasi linear ini diduga dengan metode kuadrat terkecil (Least Square Method). Persamaan regresi linear dengan metode kuadrat terkecil akan mempunyai total kuadrat eror minimum ditentukan sebagai berikut:
Keterangan : a = intersep (pintasan) bilamana X = 0 X = variabel bebas Y = variabel tak bebas
Keterangan : b = koefisien arah atau slope dari garis regresi X = variabel bebas Y = variabel tak bebas
Persamaan regresi linier di atas di hitung secara terpisah. Selain dengan persamaan di atas bisa juga koefisien b dihitung pertama kali dan hasil yang diperoleh digunakan untuk menghitung koefisien a, persamaannya ditentukan sebagai berikut:
aY X X XY
n X X=
−
−( )∑∑ ∑∑∑ ∑
2
2 2
bXY X Y
n X X=
−
−( )∑ ∑∑∑ ∑2 2
Statistika Deskriptif Itu Mudah�00
Keterangan : a = intersep (pintasan) bilamana X = 0 b = koefisien arah atau slope dari garis regresi X = variabel bebas Y = variabel tak bebas n = banyaknya data
�.� Pembuatan Analisa Regresi Sederhana
Setelah mengetahui persamaan analisa regresi sederhana, maka sekarang kita akan membuat analisa regresi sederhana dari hubungan-hubungan berikut ini: 1. Hubungan antara kecepatan beroperasi mesin cetak (X) dengan jumlah
kerusakan kertas (Y). 2. Hubungan antara besarnya pendapatan (X) dengan besarnya
pengeluaran (Y). 3. Hubungan antara biaya iklan (X) dengan volume penjualan (Y). 4. Hubungan antara pendapatan perminggu (X) dengan konsumsi atau
belanja (Y) dalam $.
Contoh 7.1 Data pada suatu pabrik kertas menunjukkan bahwa kebanyakannya kertas rusak ada hubungannya dengan kecepatan beroperasi mesin cetak.
aY
nb
Xn
= −
∑ ∑
�0�Bab 7 Regresi dan Korelasi
tabel 7.1Data Kecepatan Mesin Per Menit Dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran)
kecepatan mesin permenit (X)
Jumlah kerusakan kertas (Y)
9,2 7,012,2 8,013,2 8,514,2 6,714,5 9,615,8 9,216,5 11,517,6 12,2
Tentukan persamaan regresi linear dengan memakai metode kuadrat terkecil!
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 7.2Perhitungan
kecepatan mesin permenit
(X)
Jumlah kerusakan kertas
(Y)XY X2 Y2
9,2 7,0 64,4 84,64 4912,2 8,0 97,6 148,84 6413,2 8,5 112,2 174,24 72,2514,2 6,7 95,14 201,64 44,8914,5 9,6 139,2 210,25 92,1615,8 9,2 145,36 249,64 84,6416,5 11,5 189,75 272,25 132,2517,6 12,2 214,72 309,76 148,84
113,2 72,7 1058,37 1651,26 688,03
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0�
Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:X
Y
XY
X
Y
n XY X Y
=
=
=
=
=
=−
∑∑∑∑∑
∑
113 2
72 7
1 058 37
1 651 26
688 03
2
2
,
,
. ,
. ,
,
b ∑∑∑∑ ∑−( )
=( )−( )( )
( )−( )
n X X2 2
2
8 1 058 37 113 2 72 78 1651 26 113 2. , , ,
, ,
==
=
= −
= −( )
∑ ∑
237 32395 840 5995
72 7 0 5995 11
,,
,
, ,
aY
nb
Xn
n33 28
9 0875 6 4830 6045
,
, ,,
= −=
Maka, nilai b yaitu:
X
Y
XY
X
Y
n XY X Y
=
=
=
=
=
=−
∑∑∑∑∑
∑
113 2
72 7
1 058 37
1 651 26
688 03
2
2
,
,
. ,
. ,
,
b ∑∑∑∑ ∑−( )
=( )−( )( )
( )−( )
n X X2 2
2
8 1 058 37 113 2 72 78 1651 26 113 2. , , ,
, ,
==
=
= −
= −( )
∑ ∑
237 32395 840 5995
72 7 0 5995 11
,,
,
, ,
aY
nb
Xn
n33 28
9 0875 6 4830 6045
,
, ,,
= −=
Maka, nilai a yaitu:
X
Y
XY
X
Y
n XY X Y
=
=
=
=
=
=−
∑∑∑∑∑
∑
113 2
72 7
1 058 37
1 651 26
688 03
2
2
,
,
. ,
. ,
,
b ∑∑∑∑ ∑−( )
=( )−( )( )
( )−( )
n X X2 2
2
8 1 058 37 113 2 72 78 1651 26 113 2. , , ,
, ,
==
=
= −
= −( )
∑ ∑
237 32395 840 5995
72 7 0 5995 11
,,
,
, ,
aY
nb
Xn
n33 28
9 0875 6 4830 6045
,
, ,,
= −=
Jadi persamaan regresi linier dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu
Y = 0,6045 + 0,5995X
�0�Bab 7 Regresi dan Korelasi
Contoh 7.2 Data pada tabel berikut menyajikan besarnya pendapatan dan pengeluaran suatu negara (dalam jutaan dolar) dari tahun 2000 sampai dengan tahun 2009.
tabel 7.3Data Besarnya Pendapatan Dan Pengeluaran Negara
tahunBesar pendapatan
(X)Besar pengeluaran
(Y)2000 5,2 4,22001 4,7 4,02002 5,0 4,12003 4,8 4,32004 5,4 5,02005 5,1 4,92006 5,8 5,72007 6,4 5,72008 6,8 6,32009 7,2 6,9
Tentukan persamaan regresi linear dengan menggunakan metode kuadrat terkecil!
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0�
tabel 7.4Perhitungan
tahunBesar
pendapatan (X)
Besar pengeluaran
(Y)XY X2 Y2
2000 5,2 4,2 21,84 27,04 17,642001 4,7 4,0 18,8 22,09 162002 5,0 4,1 20,5 25 16,812003 4,8 4,3 20,64 23,04 18,492004 5,4 5,0 27 29,16 252005 5,1 4,9 24,09 26,01 24,012006 5,8 5,7 33,06 33,64 32,492007 6,4 5,7 36,48 40,96 32,492008 6,8 6,3 42,84 46,24 39,692009 7,2 6,9 49,68 51,84 47,61
Jumlah 56,0 51,1 295,83 325,02 270,23
Dari tabel perhitungan di atas maka diperoleh:
X
Y
XY
X
=
=
=
=
∑∑∑∑
56 0
51 1
295 83
325 022
,
,
,
,
b
Y
n XY X Y
n X X
2
2
270 23=
=−
−(
∑
∑∑∑∑ ∑
,
))
=( )−( )( )
( )−( )
=−
2
2
10 295 83 56 4 51 110 325 02 56 4
2958 3 2882
, , ,, ,
, , 0043250 3180 96
76 2669 241 10
51 110
−
=
=
= −
=
∑ ∑
,,,
,
,
aY
nb
Xn
−−
= −=
1 10 56 410
5 11 6 2041 094
, ,
, ,,-
Maka, nilai b yaitu:
X
Y
XY
X
=
=
=
=
∑∑∑∑
56 0
51 1
295 83
325 022
,
,
,
,
b
Y
n XY X Y
n X X
2
2
270 23=
=−
−(
∑
∑∑∑∑ ∑
,
))
=( )−( )( )
( )−( )
=−
2
2
10 295 83 56 4 51 110 325 02 56 4
2958 3 2882
, , ,, ,
, , 0043250 3180 96
76 2669 241 10
51 110
−
=
=
= −
=
∑ ∑
,,,
,
,
aY
nb
Xn
−−
= −=
1 10 56 410
5 11 6 2041 094
, ,
, ,,-
�0�Bab 7 Regresi dan Korelasi
Maka, nilai a yaitu:
X
Y
XY
X
=
=
=
=
∑∑∑∑
56 0
51 1
295 83
325 022
,
,
,
,
b
Y
n XY X Y
n X X
2
2
270 23=
=−
−(
∑
∑∑∑∑ ∑
,
))
=( )−( )( )
( )−( )
=−
2
2
10 295 83 56 4 51 110 325 02 56 4
2958 3 2882
, , ,, ,
, , 0043250 3180 96
76 2669 241 10
51 110
−
=
=
= −
=
∑ ∑
,,,
,
,
aY
nb
Xn
−−
= −=
1 10 56 410
5 11 6 2041 094
, ,
, ,,-
Jadi persamaan regresi linier dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu
Y = –1,094 + 1,10 X
Contoh 7.3Dari hasil pencatatan antara biaya iklan dan volume penjualan sebuah perusahaan jasa eceran produk komputer diperoleh informasi sebagai berikut:
tabel 7.5Data Antara Biaya Iklan Dan Volume Penjualan Perusahaan Jasa Eceran Produk
Komputer
Biaya iklan(jutaan rupiah)
X
Volume penjualan(ribuan unit)
Y3 124 115 136 127 138 149 16
Tentukan persamaan regresi linear dengan menggunakan metode kuadrat terkecil!
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0�
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 7.6Perhitungan
Biaya iklan(jutaan rupiah)
X
Volume penjualan(ribuan unit)
YX2 Y2 XY
3 12 9 144 364 11 16 121 445 13 25 169 656 12 36 144 727 13 49 169 918 14 64 196 1129 16 81 256 144
42 91 280 1199 564
Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:=
=
=
=
∑∑∑∑
42
280
564
912
Y
XY
X
b
Y
n XY X Y
n X X
2
2 2
1199
7 564
=
=−
−( )
=
∑
∑∑∑∑ ∑(( )−( )( )( )−( )
=
= −
= −
∑ ∑
42 917 280 42
0 6429
917
0
2
,
,
aY
nb
Xn
6642 427
13 0 6429 613 3 85749 1426
= − ( )
= −=
,,
,
Maka, nilai b yaitu:
=
=
=
=
∑∑∑∑
42
280
564
912
Y
XY
X
b
Y
n XY X Y
n X X
2
2 2
1199
7 564
=
=−
−( )
=
∑
∑∑∑∑ ∑(( )−( )( )( )−( )
=
= −
= −
∑ ∑
42 917 280 42
0 6429
917
0
2
,
,
aY
nb
Xn
6642 427
13 0 6429 613 3 85749 1426
= − ( )
= −=
,,
,
�0�Bab 7 Regresi dan Korelasi
Maka, nilai a yaitu:
=
=
=
=
∑∑∑∑
42
280
564
912
Y
XY
X
b
Y
n XY X Y
n X X
2
2 2
1199
7 564
=
=−
−( )
=
∑
∑∑∑∑ ∑(( )−( )( )( )−( )
=
= −
= −
∑ ∑
42 917 280 42
0 6429
917
0
2
,
,
aY
nb
Xn
6642 427
13 0 6429 613 3 85749 1426
= − ( )
= −=
,,
,
Jadi, persamaan regresi linier dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu Y = 9,1426 + 0,6429X
Contoh 7.4Hubungan antara pendapatan perminggu (X) dengan konsumsi (belanja = Y) perminggu dalam $.
tabel 7.7Data Pendapatan Dengan Konsumsi Per Minggu Dalam $
pendapatan (X) konsumsi (Y)8 6
10 812 1014 1216 1418 1620 1822 2024 2226 2428 2630 2832 3034 32
Statistika Deskriptif Itu Mudah�0�
Tentukan persamaan regresi linear dengan menggunakan metode kuadrat terkecil!
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 7.8Perhitungan
pendapatan (X)
konsumsi (Y)
XY X2 Y2
8 6 48 64 3610 8 80 100 6412 10 120 144 10014 12 168 196 14416 14 224 256 19618 16 288 324 25620 18 360 400 32422 20 440 484 40024 22 528 576 48426 24 624 676 57628 26 728 784 67630 28 840 900 78432 30 960 1024 90034 32 1088 1156 1024
294 266 6496 7084 5964
Dari tabel perhitungan di atas maka diperoleh:
X
X
XY
Y
=
=
=
=
∑∑∑∑
294
7084
6496
266
2
b
Y
n XY X Y
2 5964=
=−
∑
∑∑∑nn X X
aY
n
∑ ∑
∑
−( )
=( )−( )( )
( )−( )=
= −
2 2
2
14 6496 294 26614 7084 294
0 958,
bbX
n∑
= −
= − ( )
= −
26614
0 958 29414
19 0 958 2119
,
,220 118
1 118,
,= -
�0�Bab 7 Regresi dan Korelasi
Maka, nilai b yaitu:
X
X
XY
Y
=
=
=
=
∑∑∑∑
294
7084
6496
266
2
b
Y
n XY X Y
2 5964=
=−
∑
∑∑∑nn X X
aY
n
∑ ∑
∑
−( )
=( )−( )( )
( )−( )=
= −
2 2
2
14 6496 294 26614 7084 294
0 958,
bbX
n∑
= −
= − ( )
= −
26614
0 958 29414
19 0 958 2119
,
,220 118
1 118,
,= -
Maka, nilai a yaitu:
X
X
XY
Y
=
=
=
=
∑∑∑∑
294
7084
6496
266
2
b
Y
n XY X Y
2 5964=
=−
∑
∑∑∑nn X X
aY
n
∑ ∑
∑
−( )
=( )−( )( )
( )−( )=
= −
2 2
2
14 6496 294 26614 7084 294
0 958,
bbX
n∑
= −
= − ( )
= −
26614
0 958 29414
19 0 958 2119
,
,220 118
1 118,
,= -
Jadi, persamaan regresi linier dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu
Y = –1,118 + 0,958X
�.� Analisa Korelasi Sederhana
Derajat hubungan antara variabel-variabel dikenal dengan analisa korelasi. Ukuran yang digunakan untuk mengetahui derajat hubungan, terutama untuk data kuantitatif yang disebut koefisien korelasi. Jika garis regresi yang terbaik untuk sekelompok data berbentuk linear, maka derajat hubungannya akan dinyatakan dengan r dan biasa disebut koefisien korelasi. Persamaan koefisien korelasi (r) ditentukan sebagai berikut:
rn XY X Y
n X X n Y Y=
−
−( ){ } −( ){ }∑∑∑
∑ ∑ ∑ ∑2 2 2 2
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
Jika b positif maka r positif sedangkan jika b negatif maka r negatif, nilai r terletak dari -1 sampai +1 atau ditulis -1 < r <+1. Bila r mendekati +1 dan -1 maka terjadi korelasi tinggi dan terjadi hubungan linear yang sempurna antara X dan Y, bila r mendekati 0 hubungan linearnya sangat lemah atau tidak ada.
Contoh: r = -0,6 itu menunjukkan arah yang berlawanan, X↑ maka Y↓ atau X↓ maka Y↑. r = = 0,6 itu menunjukkan arah yang sama, X↑ maka Y↑ atau X↓ maka Y↓. r = 0 itu menunjukkan tidak ada hubungan linear antara X dan Y.
�.� Koefisien Determinasi (r�)
Alat untuk mengukur tingkat kecocokan/kesempurnaan model regresi disebut koefisien determinasi (r2) misal r2 = 0,90 artinya nilai duga regresi yang kita peroleh memenuhi model yang kita kehendaki atau 90% (Sembilan puluh persen) nilai-nilai Y besarnya ditentukan oleh nilai-nilai variabel X yang dimasukkan dalam model, sedangkan 10% lagi ditentukan oleh variabel lain di luar model. Atau untuk menyatakan proporsi keragaman total nilai-nilai peubah Y yang dapat dijelaskan oleh nilai-nilai peubah X melalui hubungan linear tersebut. Koefisien determinasi ditulis r2 untuk regresi dua variabel dan nilainya antara 0 dan 1. Contoh halnya r2 = 0,6 artinya 0,36 atau 36% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X atau besarnya sumbangan X terhadap naik turunnya Y adalah 36% sedangkan 64% disebabkan oleh faktor lain.
Contoh 7.5Data pada suatu pabrik kertas menunjukkan bahwa kebanyakannya kertas rusak ada hubungannya dengan kecepatan beroperasi mesin cetak.
���Bab 7 Regresi dan Korelasi
tabel 7.9Data Kecepatan Mesin Per Menit Dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran)
kecepatan mesin permenit (X)
Jumlah kerusakan kertas (Y)
9,2 7,012,2 8,013,2 8,514,2 6,714,5 9,615,8 9,216,5 11,517,6 12,2
Tentukan koefisien korelasi dan koefisien determinasinya!
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 7.10Perhitungan
X Y XY X2 Y2
9,2 7,0 64,4 84,64 4912,2 8,0 97,6 148,84 6413,2 8,5 112,2 174,24 72,2514,2 6,7 95,14 201,64 44,8914,5 9,6 139,2 210,25 92,1615,8 9,2 145,36 249,64 84,6416,5 11,5 189,75 272,25 132,2517,6 12,2 214,72 309,76 148,84
113,2 72,7 1058,37 1651,26 688,03
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:
X=113,2
Y
XY
X = 1.651,26 2
∑∑∑∑
=
=
72 7
1 058 37
,
. ,
Y∑
∑∑∑∑ ∑
=
=−
−(
2
2
688 03,
rn XY X Y
n X X)){ } −( ){ }=
( )−( )( )
( )−(
∑ ∑2 2 2
8 105 37 113 2 72 7
8 1651 26 113 2
n Y Y
, , ,
, , )){ } ( )−( ){ }
=−
−{
2 28 688 03 72 7
8466 96 8229 6413210 08 12814 24
, ,
, ,, , }} −{ }
=
=
=
5504 24 5285 293237 32294 396237 3286669 17
237 3229
, ,,,,
,,
44 3960 81
,,=
Maka, koefisien korelasinya yaitu:
X=113,2
Y
XY
X = 1.651,26 2
∑∑∑∑
=
=
72 7
1 058 37
,
. ,
Y∑
∑∑∑∑ ∑
=
=−
−(
2
2
688 03,
rn XY X Y
n X X)){ } −( ){ }=
( )−( )( )
( )−(
∑ ∑2 2 2
8 105 37 113 2 72 7
8 1651 26 113 2
n Y Y
, , ,
, , )){ } ( )−( ){ }
=−
−{
2 28 688 03 72 7
8466 96 8229 6413210 08 12814 24
, ,
, ,, , }} −{ }
=
=
=
5504 24 5285 293237 32294 396237 3286669 17
237 3229
, ,,,,
,,
44 3960 81
,,=
Dengan nilai koefisien relasinya 0,81 terletak antara 0,70 dan 0,90, maka terdapat hubungan positif yang kuat antara kecepatan mesin dengan jumlah kerusakan kertas. Maka, koefisien determinasinya yaitu:
r² = (0,81)² = 0,6561 = 65,61%
���Bab 7 Regresi dan Korelasi
r2 = 0,81 artinya 0,6561 atau 65,61% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X terhadap naik turunnya Y adalah 65,61% sedangkan 34,39% disebabkan oleh faktor lain.
Contoh 7.6Data pada tabel berikut menyajikan besarnya pendapatan dan pengeluaran suatu negara (dalam jutaan dolar) dari tahun 2000 sampai dengan tahun 2009.
tabel 7.11Data Besarnya Pendapatan Dan Pengeluaran Negara
tahunBesar pendapatan
(X)Besar pengeluaran
(Y)2000 5,2 4,22001 4,7 4,02002 5,0 4,12003 4,8 4,32004 5,4 5,02005 5,1 4,92006 5,8 5,72007 6,4 5,72008 6,8 6,32009 7,2 6,9
Tentukanlah nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasi!
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
tabel 7.12Perhitungan
tahun X Y XY X2 Y2
2000 5,2 4,2 21,84 27,04 17,642001 4,7 4,0 18,8 22,09 162002 5,0 4,1 20,5 25 16,812003 4,8 4,3 20,64 23,04 18,492004 5,4 5,0 27 29,16 252005 5,1 4,9 24,09 26,01 24,012006 5,8 5,7 33,06 33,64 32,492007 6,4 5,7 36,48 40,96 32,492008 6,8 6,3 42,84 46,24 39,692009 7,2 6,9 49,68 51,84 47,61
Jumlah 56,0 51,1 295,83 325,02 270,23
Dari tabel perhitungan di atas maka diperoleh:
X=56,0
Y
XY
X = 325,02 2
∑∑∑∑
=
=
51 1
295 83
,
.
Y∑
∑∑∑∑ ∑
=
=−
−( ){
2
2
2 2
270 23,
rn XY X Y
n X X }} −( ){ }=
( )−( )( )
( )−( ){ }
∑ ∑n Y Y2 2
2
10 295 83 56 4 51 1
10 325 02 56 4
, , ,
, , 110 270 23 51 1
2958 3 2882 043250 2 3180 96 2702 3
2, ,
, ,, , ,
( )−( ){ }
=−
−{ } −−{ }
=( )( )
=
=
2611 2176 26
69 24 91 0976 2679 420 96
,,
, ,,,
,
Maka, nilai koefisien korelasinya yaitu:
X=56,0
Y
XY
X = 325,02 2
∑∑∑∑
=
=
51 1
295 83
,
.
Y∑
∑∑∑∑ ∑
=
=−
−( ){
2
2
2 2
270 23,
rn XY X Y
n X X }} −( ){ }=
( )−( )( )
( )−( ){ }
∑ ∑n Y Y2 2
2
10 295 83 56 4 51 1
10 325 02 56 4
, , ,
, , 110 270 23 51 1
2958 3 2882 043250 2 3180 96 2702 3
2, ,
, ,, , ,
( )−( ){ }
=−
−{ } −−{ }
=( )( )
=
=
2611 2176 26
69 24 91 0976 2679 420 96
,,
, ,,,
,
���Bab 7 Regresi dan Korelasi
Dengan nilai koefisien relasinya 0,96 terletak antara 0,90 dan 1,0, maka terdapat hubungan positif yang sangat kuat antara besarnya pendapatan dengan besarnya pengeluaran. Maka, nilai koefisien determinasi yaitu:
r² = (0,96)² = 0,9216 = 92,16%
r2 = 0,96 artinya 0,9216 atau 92,16% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X terhadap naik turunnya Y adalah 92,16% sedangkan 7,84% disebabkan oleh faktor lain.
Contoh 7.7Dari hasil pencatatan antara biaya iklan dan volume penjualan sebuah perusahaan jasa eceran produk komputer diperoleh informasi sebagai berikut:
tabel 7.13Data Antara Biaya Iklan Dan Volume Penjualan Perusahaan Jasa Eceran Produk
Komputer
Biaya iklan(jutaan rupiah)
X
Volume penjualan(ribuan unit)
Y3 124 115 136 127 138 149 16
Tentukan nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasinya!
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
tabel 7.14Perhitungan
X Y X2 Y2 XY3 12 9 144 364 11 16 121 445 13 25 169 656 12 36 144 727 13 49 169 918 14 64 196 1129 16 81 256 144
42 91 280 1199 564
Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:
X=42
X 280
XY
Y= 91
2
∑∑∑∑
=
= 564
Y∑
∑∑∑∑ ∑ ∑ ∑
=
=−
−( ){ } −( ){ }=
( )−( )
2
2 2 2 2
1199
7 564 42
rn XY X Y
n X X n Y Y
991
7 280 42 7 1199 91
3948 38821960 1764 839
2 2
( )
( )−( ){ } ( )−( ){ }
=−
−{ } 33 8281126
196 112126
148 20 85
−{ }
=( )( )
=
=,
,
Maka, nilai koefisien korelasi yaitu:
X=42
X 280
XY
Y= 91
2
∑∑∑∑
=
= 564
Y∑
∑∑∑∑ ∑ ∑ ∑
=
=−
−( ){ } −( ){ }=
( )−( )
2
2 2 2 2
1199
7 564 42
rn XY X Y
n X X n Y Y
991
7 280 42 7 1199 91
3948 38821960 1764 839
2 2
( )
( )−( ){ } ( )−( ){ }
=−
−{ } 33 8281126
196 112126
148 20 85
−{ }
=( )( )
=
=,
,
���Bab 7 Regresi dan Korelasi
Dengan nilai koefisien relasinya 0,85 terletak antara 0,70 dan 0,90, maka terdapat hubungan positif yang kuat antara biaya iklan dengan volume penjualan. Maka, koefisien determinasinya yaitu:
r2 = (0,85)2 = 0,7225 = 72,25%
r2 = 0,85 artinya 0,7225 atau 72,25% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X terhadap naik turunnya Y adalah 72,25% sedangkan 27,75% disebabkan oleh faktor lain.
Contoh 7.8Hubungan antara pendapatan perminggu (X) dengan konsumsi (belanja = Y) perminggu dalam $.
tabel 7.15Data Pendapatan Dengan Konsumsi Per Minggu Dalam $
pendapatan (X)
konsumsi (Y)
8 610 812 1014 1216 1418 1620 1822 2024 2226 2428 2630 2832 3034 32
Tentukan nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasinya!
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 7.16Perhitungan
(X) (Y) XY X2 Y2
8 6 48 64 3610 8 80 100 6412 10 120 144 10014 12 168 196 14416 14 224 256 19618 16 288 324 25620 18 360 400 32422 20 440 484 40024 22 528 576 48426 24 624 676 57628 26 728 784 67630 28 840 900 78432 30 960 1024 90034 32 1088 1156 1024
294 266 6496 7084 5964
Dari tabel perhitungan di atas maka diperoleh:
X=294
X 7084
XY
Y= 266
2
∑∑∑∑
=
= 6496
Y∑
∑∑∑∑ ∑ ∑ ∑
=
=−
−( ){ } −( )
2
2 2 2
5964
rn XY X Y
n X X n Y Y22
2 2
14 6496 294 266
14 7084 294 14 5964 266
{ }=
( )−( )( )
( )−( ){ } ( )−( ){ }
==−
{ }{ }
=
=
90944 7820412740 12740
12740127401 0,
���Bab 7 Regresi dan Korelasi
Maka, nilai koefisien korelasinya yaitu:
X=294
X 7084
XY
Y= 266
2
∑∑∑∑
=
= 6496
Y∑
∑∑∑∑ ∑ ∑ ∑
=
=−
−( ){ } −( )
2
2 2 2
5964
rn XY X Y
n X X n Y Y22
2 2
14 6496 294 266
14 7084 294 14 5964 266
{ }=
( )−( )( )
( )−( ){ } ( )−( ){ }
==−
{ }{ }
=
=
90944 7820412740 12740
12740127401 0,
Dengan nilai koefisien relasinya 1,0, terletak antara 1,0 dan 0,90, maka terdapat hubungan positif yang sangat kuat antara pendapatan dengan konsumsi. Maka, koefisien determinasinya yaitu:
r2 = (1,0)2 = 1 = 100%
r2 = 1,0 artinya 1 atau 100% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X terhadap naik turunnya Y adalah 100%.
�.� Kesalahan Baku dari Penaksiran Y = a + bx
Penaksiran dengan persamaan regresi e Y Y2 2= −( )∑ ∑ = a + bX memberi total kuadrat
eror sebesar:
e Y Y2 2= −( )∑ ∑
Keterangan: Σe2 = total kuadrat eror Y = variabel tak bebas Ŷ = nilai-nilai taksiran untuk variabel tak bebas
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
Persamaan regresi yang memberi total kuadrat eror merupakan total kuadrat kesalahan dari penaksiran e Y Y2 2
= −( )∑ ∑ = a + bX terhadap nilai-nilai Y yang sebenarnya. Bila bentuk itu kita bagi dengan banyaknya data, yaitu n, maka kita peroleh rata-rata kesalahan baku, yaitu:
en
Y Yn
∑ ∑= −( )2 2
Keterangan: Σe2 = total kuadrat eror Y = variabel tak bebas Ŷ = nilai-nilai taksiran untuk variabel tak bebas n = banyaknya data
Selanjutnya kita ambil akarnya maka diperoleh:
SY yny x. =−( )∑ 2
Keterangan: Sy.x = penaksiran kesalahan baku Y = variabel tak bebas Ŷ = nilai-nilai taksiran untuk variabel tak bebas n = banyaknya data
Persamaan terakhir ni merupakan kesalahan baku dari penaksiran (standard eror of estimate) ini oleh e Y Y2 2
= −( )∑ ∑ = a + bX.
Contoh 7.9Data pada suatu pabrik kertas menunjukkan bahwa kebanyakannya kertas rusak ada hubungannya dengan kecepatan beroperasi mesin cetak.
���Bab 7 Regresi dan Korelasi
tabel 7.17Data Kecepatan Mesin Per Menit dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran)
kecepatan Mesin permenit (X)
Jumlah kerusakan kertas (Y)
9,2 7,012,2 8,013,2 8,514,2 6,714,5 9,615,8 9,216,5 11,517,6 12,2
Tentukan kesalahan baku yang diberikan oleh persamaan regresi jika diketahui persamaan regresi liniernya yaitu e Y Y2 2
= −( )∑ ∑ = 0,6045 + 0,5995X
penyelesaian:Dengan menggunakan persamaan regresi tersebut adalah Ŷ= 0,6045 + 0,5995X, maka penaksiran kesalahan baku yaitu:
X = 9,2 Y = 0,6045 + 0,5995(9,2) = 6,12
(Y Y ) = (7,0 1
1 1− − 66,12) = 0,7744
X = 12,2 Y = 0,6045 + 0,5995(12,2) = 7,92
2
2 2
((Y Y ) = (8,0 7,92) = 0,0064
X = 13,2 Y = 0,6045 + 2 2
2
3 3
− −
00,5995(13,2) = 8,52
(Y Y ) = (8,5 8,52) = 0,0004
X = 3 3
2
4
− −
114,2 Y = 0,6045 + 0,5995(14,2) = 9,12
(Y Y ) = (6,7 9
4
4 4− − ,,12) = 5,8564
X = 14,5 Y = 0,6045 + 0,5995(14,5) = 9,37
(
2
5 5
YY Y ) = (9,6 9,37) = 0,0529
X = 15,8 Y = 0,6045 + 05 5
2
6 6
− −
,,5995(15,8) = 10,08
(Y Y ) = (9,2 10,08) = 0,7744
X = 6 6
2
7
− −
116,5 Y = 0,6045 + 0,5995(16,5) = 10,49
(Y Y ) = ( 11,5
7
7 7− −− 10,49) = 1,0201
X = 17,6 Y = 0,6045 + 0,5995(17,6) = 1
2
8 8 11,16
(Y Y ) = (12,2 11,16) = 1,08168 82− −
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
X = 9,2 Y = 0,6045 + 0,5995(9,2) = 6,12
(Y Y ) = (7,0 1
1 1− − 66,12) = 0,7744
X = 12,2 Y = 0,6045 + 0,5995(12,2) = 7,92
2
2 2
((Y Y ) = (8,0 7,92) = 0,0064
X = 13,2 Y = 0,6045 + 2 2
2
3 3
− −
00,5995(13,2) = 8,52
(Y Y ) = (8,5 8,52) = 0,0004
X = 3 3
2
4
− −
114,2 Y = 0,6045 + 0,5995(14,2) = 9,12
(Y Y ) = (6,7 9
4
4 4− − ,,12) = 5,8564
X = 14,5 Y = 0,6045 + 0,5995(14,5) = 9,37
(
2
5 5
YY Y ) = (9,6 9,37) = 0,0529
X = 15,8 Y = 0,6045 + 05 5
2
6 6
− −
,,5995(15,8) = 10,08
(Y Y ) = (9,2 10,08) = 0,7744
X = 6 6
2
7
− −
116,5 Y = 0,6045 + 0,5995(16,5) = 10,49
(Y Y ) = ( 11,5
7
7 7− −− 10,49) = 1,0201
X = 17,6 Y = 0,6045 + 0,5995(17,6) = 1
2
8 8 11,16
(Y Y ) = (12,2 11,16) = 1,08168 82− −
Keseluruhan nilai-nilai yang sudah didapat jika dimasukkan ke dalam bentuk tabel maka akan tampak seperti berikut:
tabel 7.18Perhitungan
(X) (Y) Ŷ (Y-Ŷ)²9,2 7,0 6,12 0,7744
12,2 8,0 7,92 0,006413,2 8,5 8,52 0,000414,2 6,7 9,12 5,856414,5 9,6 9,37 0,052915,8 9,2 10,08 0,774416,5 11,5 10,49 1,020117,6 12,2 11,16 1,0816
Jumlah 9,5666
Dari tabel di atas dapat diperoleh total kuadrat kesalahan
Y Y
SY Y
nyx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
2
2
9 5666
9 56668
1 09
,
,
,
Jadi, kesalahan baku dari taksiran regresi tersebut adalah:
Y Y
SY Y
nyx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
2
2
9 5666
9 56668
1 09
,
,
,
���Bab 7 Regresi dan Korelasi
Contoh 7.10Data pada tabel berikut menyajikan besarnya pendapatan dan pengeluaran suatu negara (dalam jutaan dolar) dari tahun 2000 sampai dengan tahun 2009.
tabel 7.19Data Besarnya Pendapatan Dan Pengeluaran Negara
tahun Besar pendapatan (X) Besar pengeluaran (Y)2000 5,2 4,22001 4,7 4,02002 5,0 4,12003 4,8 4,32004 5,4 5,02005 5,1 4,92006 5,8 5,72007 6,4 5,72008 6,8 6,32009 7,2 6,9
Tentukan kesalahan baku yang diberikan oleh persamaan regresi jika diketahui persamaan regresi liniernya yaitu
Y X=− +1 094 1 10, , !
penyelesaian:Dengan menggunakan persamaan regresi tersebut adalah
Y = –1,094 +
1,10X maka penaksiran kesalahan baku yaitu:
Y X= +
−
-
X = 9,2 Y = -1,094 + 1,10(5,2) = 4,6
(Y Y1
1
1 094 1 10, ,
112
2 2
) = (4,2 4,63) = 0,1849
X = 4,7 Y = -1,094 + 1,10(4,7
−
)) = 4,08
(Y Y ) = (4,0 4,08) = 0,0064
X = 5,0 Y = -2 2
2
3 3
− −
11,094 + 1,10(5,0) = 6,6
(Y Y ) = (4,1 6,6) = 6,25
X =3 3
2
4
− −
4,8 Y = -1,094 + 1,10(4,8) = 4,19
(Y Y ) = (4,3 4,1
4
4 4− − 99) = 0,0121
X = 5,1 Y = -1,094 + 1,10(5,4) = 4,85
(Y
2
5 5
5 − YY ) = (5,0 4,85) = 0,0225
X = 5,1 Y = -1,094 + 1,10(5
52
6 6
−
,,1) = 4,52
(Y Y ) = (4,9 4,52) = 0,1444
X = 5,8 Y = -6 6
2
7 7
− −
11,094 + 1,10(5,8) = 5,29
(Y Y ) = ( 5,7 5,29) = 0,167 72− − 881
X = 6,4 Y = -1,094 + 1,10(6,4) = 5,95
(Y Y ) = (5,78 8
8 8− 5,95) = 0,0625
X = 6,8 Y = -1,094 + 1,10(6,8) = 6,39
2
9 9
−
((Y Y ) = (6,3 6,39) = 0,0081
X = 7,2 Y = -1,094 9 9
2
10 10
− −
++ 1,10(7,2) = 6,83
(Y Y ) = (6,9 6,83) = 0,004910 102− −
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Y X= +
−
-
X = 9,2 Y = -1,094 + 1,10(5,2) = 4,6
(Y Y1
1
1 094 1 10, ,
112
2 2
) = (4,2 4,63) = 0,1849
X = 4,7 Y = -1,094 + 1,10(4,7
−
)) = 4,08
(Y Y ) = (4,0 4,08) = 0,0064
X = 5,0 Y = -2 2
2
3 3
− −
11,094 + 1,10(5,0) = 6,6
(Y Y ) = (4,1 6,6) = 6,25
X =3 3
2
4
− −
4,8 Y = -1,094 + 1,10(4,8) = 4,19
(Y Y ) = (4,3 4,1
4
4 4− − 99) = 0,0121
X = 5,1 Y = -1,094 + 1,10(5,4) = 4,85
(Y
2
5 5
5 − YY ) = (5,0 4,85) = 0,0225
X = 5,1 Y = -1,094 + 1,10(5
52
6 6
−
,,1) = 4,52
(Y Y ) = (4,9 4,52) = 0,1444
X = 5,8 Y = -6 6
2
7 7
− −
11,094 + 1,10(5,8) = 5,29
(Y Y ) = ( 5,7 5,29) = 0,167 72− − 881
X = 6,4 Y = -1,094 + 1,10(6,4) = 5,95
(Y Y ) = (5,78 8
8 8− 5,95) = 0,0625
X = 6,8 Y = -1,094 + 1,10(6,8) = 6,39
2
9 9
−
((Y Y ) = (6,3 6,39) = 0,0081
X = 7,2 Y = -1,094 9 9
2
10 10
− −
++ 1,10(7,2) = 6,83
(Y Y ) = (6,9 6,83) = 0,004910 102− −
Keseluruhan nilai-nilai yang sudah didapat jika dimasukkan ke dalam bentuk tabel maka akan tampak seperti berikut:
tabel 7.20Perhitungan
tahunBesar
pendapatan (X)Besar
pengeluaran (Y)Ŷ (Y- Ŷ)²
2000 5,2 4,2 4,63 0,18492001 4,7 4,0 4,08 0,00642002 5,0 4,1 6,6 6,252003 4,8 4,3 4,19 0,01212004 5,4 5,0 4,85 0,02252005 5,1 4,9 4,52 0,14442006 5,8 5,7 5,29 0,16812007 6,4 5,7 5,95 0,06252008 6,8 6,3 6,39 0,00812009 7,2 6,9 6,83 0,0049
Jumlah 6,8639
���Bab 7 Regresi dan Korelasi
Dari tabel di atas dapat diperoleh total kuadrat kesalahan
Y Y
Y Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
2
2
6 8639
6 863910
0 69
,
,
,
Sy
Jadi, kesalahan baku dari taksiran regresi tersebut adalah:
Y Y
Y Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
2
2
6 8639
6 863910
0 69
,
,
,
Sy
Contoh 7.11Dari hasil pencatatan antara biaya iklan dan volume penjualan sebuah perusahaan jasa eceran produk komputer diperoleh informasi sebagai berikut:
tabel 7.21Data Antara Biaya Iklan Dan Volume Penjualan Perusahaan Jasa Eceran Produk
Komputer
Biaya iklan(jutaan rupiah)
X
Volume penjualan(ribuan unit)
Y3 124 115 136 127 138 149 16
Tentukan kesalahan baku yang diberikan oleh persamaan regresi jika diketahui persamaan regresi liniernya yaitu
Y X= +9 1426 0 6429, , !
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
penyelesaian:Dengan menggunakan persamaan regresi tersebut adalah Y x
Y X
X Y
= +
= +
= = +
9 1426 0 6429
1 094 1 10
3 9 1426 0 64291 1
, ,
- , ,
, ,
(( ) ,
( ) ( , ) ,
3 11 07
12 11 07 0 8649
41 1
2
2 2
2
=
− = − =
= =
Y Y
X Y
2
9 1426 0 6429 4 11 71
11 11 71 02 22
, , ( ) ,
( ) ( , )
+ =
− = − =Y Y ,,
, , ( ) ,
( ) (
5041
5 9 1426 0 6429 5 12 363 3
3 32
X Y
Y Y
= = + =
− = 113 12 36 0 4096
6 9 1426 0 6429 6 134 4
2− =
= = + =
, ) ,
, , ( )
(
X Y
Y44 42
5 5
12 13 1
7 9 1426 0 6429 7 1
2− = − =
= = + =
Y
X Y
) ( )
, , ( ) 33 64
13 13 64 0 4096
8 9 14265 5
2
6 6
,
( ) ( , ) ,
,
Y Y
X Y
2− = − =
= = ++ =
− = − =
2
0 6429 8 14 29
14 14 29 0 08416 62
7
, ( ) ,
( ) ( , ) ,Y Y
X == = + =
− = −
9 9 1426 0 6429 9 14 93
14 14 9
7
7 72
Y
Y Y
, , ( ) ,
( ) ( , 33 1 14) ,2 =
maka penaksiran kesalahan baku yaitu:
Y x
Y X
X Y
= +
= +
= = +
9 1426 0 6429
1 094 1 10
3 9 1426 0 64291 1
, ,
- , ,
, ,
(( ) ,
( ) ( , ) ,
3 11 07
12 11 07 0 8649
41 1
2
2 2
2
=
− = − =
= =
Y Y
X Y
2
9 1426 0 6429 4 11 71
11 11 71 02 22
, , ( ) ,
( ) ( , )
+ =
− = − =Y Y ,,
, , ( ) ,
( ) (
5041
5 9 1426 0 6429 5 12 363 3
3 32
X Y
Y Y
= = + =
− = 113 12 36 0 4096
6 9 1426 0 6429 6 134 4
2− =
= = + =
, ) ,
, , ( )
(
X Y
Y44 42
5 5
12 13 1
7 9 1426 0 6429 7 1
2− = − =
= = + =
Y
X Y
) ( )
, , ( ) 33 64
13 13 64 0 4096
8 9 14265 5
2
6 6
,
( ) ( , ) ,
,
Y Y
X Y
2− = − =
= = ++ =
− = − =
2
0 6429 8 14 29
14 14 29 0 08416 62
7
, ( ) ,
( ) ( , ) ,Y Y
X == = + =
− = −
9 9 1426 0 6429 9 14 93
14 14 9
7
7 72
Y
Y Y
, , ( ) ,
( ) ( , 33 1 14) ,2 =
Keseluruhan nilai-nilai yang sudah didapat jika dimasukkan ke dalam bentuk tabel maka akan tampak seperti berikut:
tabel 7.22Perhitungan
X Y Ý (Y - Ý)2
3 12 11,07 0,86494 11 11,71 0,50415 13 12,36 0,40966 12 13 17 13 13,64 0,40968 14 14,29 0,08419 16 14,93 1,1449
Jumlah 4,4172
���Bab 7 Regresi dan Korelasi
Dari tabel di atas dapat diperoleh total kuadrat kesalahan
Y Y
Y Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
2
2
4 4172
4 41727
0 79
,
,
,
Sy
Jadi, kesalahan baku dari taksiran regresi tersebut adalah:
Y Y
Y Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
2
2
4 4172
4 41727
0 79
,
,
,
Sy
Contoh 7.12Hubungan antara pendapatan perminggu (X) dengan konsumsi (belanja = Y) perminggu dalam $.
tabel 7.23Data Pendapatan Dengan Konsumsi Per Minggu Dalam $
pendapatan (X) konsumsi (Y)8 6
10 812 1014 1216 1418 1620 1822 2024 2226 2428 2630 2832 3034 32
Tentukan kesalahan baku yang diberikan oleh persamaan regresi jika diketahui persamaan regresi liniernya yaitu
Y = –1,118 + 0,958X!
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
penyelesaian:Dengan menggunakan persamaan regresi tersebut adalah Y X= +
−
1 1186 0 958, ,
X = 8 Y = -1,118 + 0,958(8) = 6,546
(Y 1 1
1 YY ) = (6 6,546) = 0,298
X = 10 Y = -1,118 + 0,958(10
12 2
2 2
−
)) = 8,462
(Y Y ) = (8 8,462) = 0,213
X = 12 Y = -1,2 2
2 2
3 3
− −
1118 + 0,958(12) = 10,378
(Y Y ) = (10 10,378) = 0,13 32 2− − 4428
X = 14 Y = -1,118 + 0,958(14) = 12,294
(Y Y ) = 4 4
4 42− ((12 12,294) = 0,086
X = 16 Y = -1,118 + 0,958(16) = 14
2
5 5
−
,,21
(Y Y ) = (14 14,21) = 0,0441
X = 18 Y = -1,118 5 5
2 2
6 6
− −
++ 0,958(18) = 16,126
(Y Y ) = (16 16,126) = 0,0158
X6 6
2 2− −
77 7
7 72
= 20 Y = -1,118 + 0,958(20) = 18,042
(Y Y ) = (18 − − 118,042) = 0,001764
X = 22 Y = -1,118 + 0,958(22) = 19,9
2
8 8 558
(Y Y ) = (20 19,958) = 0,001764
X = 24 Y = -1,8 8
2 2
9 9
− −
1118 + 0,958(24) = 21,874
(Y Y ) = (22 21,874) = 0,9 92 2− − 00158
X = 26 Y = -1,118 + 0,958(26) = 23,79
(Y Y )10 10
10 102− = (24 23,79) = 0,0441
X = 28 Y = -1,118 + 0,958(28)
2
11 11
−
= 25,706
(Y Y ) = (26 25,706) = 0,0864
X = 30 Y11 11
2 2
12
− −
112
12 1
= -1,118 + 0,958(30) = 27,622
(Y Y− 222 2
13 13
) = (28 27,622) = 0,1428
X = 32 Y = -1,118 + 0,958
−
((32) = 29,538
(Y Y ) = (30 29,638) = 0,2134
X =13 13
2 2
14
− −
34 Y = -1,118 + 0,958(34) = 31,459
(Y Y ) = (32
14
14 142− −− 31,459) = 0,2926812
maka penaksiran kesalahan baku yaitu:
Y X= +
−
1 1186 0 958, ,
X = 8 Y = -1,118 + 0,958(8) = 6,546
(Y 1 1
1 YY ) = (6 6,546) = 0,298
X = 10 Y = -1,118 + 0,958(10
12 2
2 2
−
)) = 8,462
(Y Y ) = (8 8,462) = 0,213
X = 12 Y = -1,2 2
2 2
3 3
− −
1118 + 0,958(12) = 10,378
(Y Y ) = (10 10,378) = 0,13 32 2− − 4428
X = 14 Y = -1,118 + 0,958(14) = 12,294
(Y Y ) = 4 4
4 42− ((12 12,294) = 0,086
X = 16 Y = -1,118 + 0,958(16) = 14
2
5 5
−
,,21
(Y Y ) = (14 14,21) = 0,0441
X = 18 Y = -1,118 5 5
2 2
6 6
− −
++ 0,958(18) = 16,126
(Y Y ) = (16 16,126) = 0,0158
X6 6
2 2− −
77 7
7 72
= 20 Y = -1,118 + 0,958(20) = 18,042
(Y Y ) = (18 − − 118,042) = 0,001764
X = 22 Y = -1,118 + 0,958(22) = 19,9
2
8 8 558
(Y Y ) = (20 19,958) = 0,001764
X = 24 Y = -1,8 8
2 2
9 9
− −
1118 + 0,958(24) = 21,874
(Y Y ) = (22 21,874) = 0,9 92 2− − 00158
X = 26 Y = -1,118 + 0,958(26) = 23,79
(Y Y )10 10
10 102− = (24 23,79) = 0,0441
X = 28 Y = -1,118 + 0,958(28)
2
11 11
−
= 25,706
(Y Y ) = (26 25,706) = 0,0864
X = 30 Y11 11
2 2
12
− −
112
12 1
= -1,118 + 0,958(30) = 27,622
(Y Y− 222 2
13 13
) = (28 27,622) = 0,1428
X = 32 Y = -1,118 + 0,958
−
((32) = 29,538
(Y Y ) = (30 29,638) = 0,2134
X =13 13
2 2
14
− −
34 Y = -1,118 + 0,958(34) = 31,459
(Y Y ) = (32
14
14 142− −− 31,459) = 0,2926812
���Bab 7 Regresi dan Korelasi
Y X= +
−
1 1186 0 958, ,
X = 8 Y = -1,118 + 0,958(8) = 6,546
(Y 1 1
1 YY ) = (6 6,546) = 0,298
X = 10 Y = -1,118 + 0,958(10
12 2
2 2
−
)) = 8,462
(Y Y ) = (8 8,462) = 0,213
X = 12 Y = -1,2 2
2 2
3 3
− −
1118 + 0,958(12) = 10,378
(Y Y ) = (10 10,378) = 0,13 32 2− − 4428
X = 14 Y = -1,118 + 0,958(14) = 12,294
(Y Y ) = 4 4
4 42− ((12 12,294) = 0,086
X = 16 Y = -1,118 + 0,958(16) = 14
2
5 5
−
,,21
(Y Y ) = (14 14,21) = 0,0441
X = 18 Y = -1,118 5 5
2 2
6 6
− −
++ 0,958(18) = 16,126
(Y Y ) = (16 16,126) = 0,0158
X6 6
2 2− −
77 7
7 72
= 20 Y = -1,118 + 0,958(20) = 18,042
(Y Y ) = (18 − − 118,042) = 0,001764
X = 22 Y = -1,118 + 0,958(22) = 19,9
2
8 8 558
(Y Y ) = (20 19,958) = 0,001764
X = 24 Y = -1,8 8
2 2
9 9
− −
1118 + 0,958(24) = 21,874
(Y Y ) = (22 21,874) = 0,9 92 2− − 00158
X = 26 Y = -1,118 + 0,958(26) = 23,79
(Y Y )10 10
10 102− = (24 23,79) = 0,0441
X = 28 Y = -1,118 + 0,958(28)
2
11 11
−
= 25,706
(Y Y ) = (26 25,706) = 0,0864
X = 30 Y11 11
2 2
12
− −
112
12 1
= -1,118 + 0,958(30) = 27,622
(Y Y− 222 2
13 13
) = (28 27,622) = 0,1428
X = 32 Y = -1,118 + 0,958
−
((32) = 29,538
(Y Y ) = (30 29,638) = 0,2134
X =13 13
2 2
14
− −
34 Y = -1,118 + 0,958(34) = 31,459
(Y Y ) = (32
14
14 142− −− 31,459) = 0,2926812
Keseluruhan nilai-nilai yang sudah didapat jika dimasukkan ke dalam bentuk tabel maka akan tampak seperti berikut:
tabel 7.24Perhitungan
pendapatan (X)
konsumsi(Y)
Ý (Y - Ý)2
8 6 6,546 0,29810 8 8,462 0,21312 10 10,378 0,142814 12 12,294 0,08616 14 14,21 0,044118 16 16,126 0,015820 18 18,042 0,00176422 20 19,958 0,00176424 22 21,874 0,015826 24 23,79 0,044128 26 25,706 0,086430 28 27,622 0,142832 30 29,538 0,213434 32 31,459 0,292681
Jumlah 1,939
Dari tabel di atas dapat diperoleh total kuadrat kesalahan
Y Y
Y Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
2
2
1 939
1 93914
0 37
,
,
,
Sy
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
Jadi, kesalahan baku dari taksiran regresi tersebut adalah:
Y Y
Y Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
2
2
1 939
1 93914
0 37
,
,
,
Sy
�.� Rangkuman
Analisis regresi berbeda dengan analisis korelasi. Jika analisis korelasi digunakan untuk melihat hubungan dua variabel, maka analisis regresi digunakan untuk melihat pengaruh variabel bebas terhadap variabel tergantung serta memprediksi nilai variabel tergantung dengan menggunakan variabel bebas. Dalam analisis regresi variabel bebas berfungsi untuk menerangkan (explanatory) sedangkan variabel tergantung berfungsi sebagai yang diterangkan (the explained). Untuk mengumpulkan data waktu ke waktu kita dapat menggunakan deret berkala metode semi average. Analisa regresi ingin mengetahui pola relasi dalam bentuk persamaan regresi, analisa korelasi ingin mengetahui kekuatan tersebut dalam koefisien korelasinya. Hasil dari suatu analisis regresi linier tidak lain persamaan linier Y = a + bX. Nilai a dan b dapat langsung dicari menggunakan rumus penurunan parsial terhadap a dan b yang sederhana.
�.� Latihan Soal
7.9.1 Data tinggi badan ayah (X) dan tinggi badan putra (Y) yang diperoleh dari suatu survei dengan sampel 12 orang ayah dan putra mereka disajikan pada tabel berikut (dalam satuan in).
���Bab 7 Regresi dan Korelasi
tabel 7.25Tinggi Badan Ayah dan Tinggi Badan Putra dengan Sampel
12 Orang Ayah dan Putra
tinggi Badan ayah (X)
tinggi Badan putra (Y)
66 6964 6768 6965 6669 7063 6772 6967 6668 7162 6261 6071 70
Tentukan:a. Persamaan regresi linear dengan memakai metode kuadrat
terkecil.b. Koefisien korelasic. Koefisien determinasid. Penaksiran kesalahan baku
7.9.2 Percobaan nitrogen pada tanaman padi menghasilkan data berikut:
tabel 7.26Percobaan Nitrogen pada Tanaman Padi
pupuk Nitrogen (X)
hasil (Y)
0 5,10 4,5
30 5,730 5,560 6,560 7,090 7,090 7,5
120 5,5120 6,0
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Tentukan:a. Persamaan regresi linear dengan memakai metode kuadrat
terkecil.b. Koefisien korelasic. Koefisien determinasid. Penaksiran kesalahan baku
�.�0 Jawaban Latihan Soal
7.10.1 penyelesaian:a. Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel
perhitungan sebagai berikut:
tabel 7.27Perhitungan Metode Kuadrat Terkecil
X Y XY X2 Y2
66 69 4554 4356 476164 67 4288 4096 448968 69 4692 4624 476165 66 4290 4225 435669 70 4830 4761 49063 67 4221 3969 448972 69 4968 5184 476167 66 4422 4489 435668 71 4828 4624 504162 62 3844 3844 384461 60 3660 3721 360071 70 4970 5041 4900
796 806 53567 52934 54258
���Bab 7 Regresi dan Korelasi
Dari tabel perhitungan di atas maka diperoleh:
X=796
∑∑∑∑
=
=
=
Y
XY
X
806
53567
529342
Y
bn XY X
2 54258=
=−
∑
YY
n X X∑∑∑∑∑ −( )
=( )−( )( )
( )−( )
=
2 2
2
12 53567 796 80612 52934 796
6428044 641576635208 633616122815920 77
−−
=
=
= −
=
∑ ∑
,
a Y
nb
Xn
880612
0 77 79612
67 17 0 77 66 3367 17 51 0716
−
= − ( )
= −=
,
, , ,, ,,11
16 1 51 07 16 1
12
2 2 2 2
Y
rn XY X Y
n X X n Y Y
= − =
=−( ){ } −( ){ }
=
∑∑∑∑∑ ∑∑
, , ,
-
553567 796 806
12 52934 796 12 54258 806
64
2 2
( )−( )( )
( )−( ){ } ( )−( ){ }
=22804 641576
635208 633616 651096 64963631228
1592 1460
−−{ } −{ }
=( )(( )
=
=
12281524 50 80
,,
Maka nilai b yaitu:
X=796
∑∑∑∑
=
=
=
Y
XY
X
806
53567
529342
Y
bn XY X
2 54258=
=−
∑
YY
n X X∑∑∑∑∑ −( )
=( )−( )( )
( )−( )
=
2 2
2
12 53567 796 80612 52934 796
6428044 641576635208 633616122815920 77
−−
=
=
= −
=
∑ ∑
,
a Y
nb
Xn
880612
0 77 79612
67 17 0 77 66 3367 17 51 0716
−
= − ( )
= −=
,
, , ,, ,,11
16 1 51 07 16 1
12
2 2 2 2
Y
rn XY X Y
n X X n Y Y
= − =
=−( ){ } −( ){ }
=
∑∑∑∑∑ ∑∑
, , ,
-
553567 796 806
12 52934 796 12 54258 806
64
2 2
( )−( )( )
( )−( ){ } ( )−( ){ }
=22804 641576
635208 633616 651096 64963631228
1592 1460
−−{ } −{ }
=( )(( )
=
=
12281524 50 80
,,
Maka nilai a yaitu:
X=796
∑∑∑∑
=
=
=
Y
XY
X
806
53567
529342
Y
bn XY X
2 54258=
=−
∑
YY
n X X∑∑∑∑∑ −( )
=( )−( )( )
( )−( )
=
2 2
2
12 53567 796 80612 52934 796
6428044 641576635208 633616122815920 77
−−
=
=
= −
=
∑ ∑
,
a Y
nb
Xn
880612
0 77 79612
67 17 0 77 66 3367 17 51 0716
−
= − ( )
= −=
,
, , ,, ,,11
16 1 51 07 16 1
12
2 2 2 2
Y
rn XY X Y
n X X n Y Y
= − =
=−( ){ } −( ){ }
=
∑∑∑∑∑ ∑∑
, , ,
-
553567 796 806
12 52934 796 12 54258 806
64
2 2
( )−( )( )
( )−( ){ } ( )−( ){ }
=22804 641576
635208 633616 651096 64963631228
1592 1460
−−{ } −{ }
=( )(( )
=
=
12281524 50 80
,,
Jadi persamaan regresi linier dengan menggunakan metode kuadrat minimum yaitu Ŷ = 16,1 + 0,77 X
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
b. Maka nilai koefisien korelasinya adalah
X=796
∑∑∑∑
=
=
=
Y
XY
X
806
53567
529342
Y
bn XY X
2 54258=
=−
∑
YY
n X X∑∑∑∑∑ −( )
=( )−( )( )
( )−( )
=
2 2
2
12 53567 796 80612 52934 796
6428044 641576635208 633616122815920 77
−−
=
=
= −
=
∑ ∑
,
a Y
nb
Xn
880612
0 77 79612
67 17 0 77 66 3367 17 51 0716
−
= − ( )
= −=
,
, , ,, ,,11
16 1 51 07 16 1
12
2 2 2 2
Y
rn XY X Y
n X X n Y Y
= − =
=−( ){ } −( ){ }
=
∑∑∑∑∑ ∑∑
, , ,
-
553567 796 806
12 52934 796 12 54258 806
64
2 2
( )−( )( )
( )−( ){ } ( )−( ){ }
=22804 641576
635208 633616 651096 64963631228
1592 1460
−−{ } −{ }
=( )(( )
=
=
12281524 50 80
,,
Dengan nilai koefisien relasinya 0,80 terletak antara 0,70 dan 0,90, maka terdapat hubungan positif yang kuat antara tinggi badan ayah dengan tinggi badan putranya.
c. Maka nilai koefisien determinasinya adalah
r2 0 800 6464
=( )
=
=
.,
%
r2 = 0,80 artinya 0,64 atau 64% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X terhadap naik turunnya Y adalah 64% sedangkan 36% disebabkan oleh faktor lain.
d. Maka, penaksiran kesalahan baku dari persamaan regresi linier yaitu Ŷ= 16,1 + 0,77X adalah sebagai berikut:
X = 66 Y = 16,1 + 0,77(66) = 66,92
(Y Y ) = (69 66,91 1
1 1− − 22) = 4,33
X = 64 Y =16,1 + 0,77(64) = 65,38
(Y Y ) =
2
2 2
2 2− (67 65,8) = 2,62
X = 68 Y = 16,1+0,77(68) = 68,46
(Y
2
3 3
3
−
Y ) = (69 68,46) = 0,29
X =65 Y = 16,1 + 0,77(65)
32
4 4
− −
= 66,15
(Y Y ) = (66 66,15) = 0,023
X =69 Y = 16,4 4
2
5 5
− −
11 + 0,77(69) = 69,23
(Y Y ) = (70 69,23) = 0,59
X = 5 5
2
6
− −
663 Y = 16,1 + 0,77(63) = 64,61
(Y Y ) = (67 64,61)
6
6 62− − == 5,71
X =72 Y = 16,1 + 0,77(72) = 71,54
(Y Y ) = (69 7 7
7 7− − 71,54) = 6,45
X =67 Y =16,1 + 0,77(67) = 67,69
(Y Y
2
8 8
8 − 882
9 9
) = (66 67,69) = 2,86
X = 68 Y = 16,1 + 0,77(68) = 6
−
88,46
(Y Y ) = (71 68,46) = 6,45
X = 62 Y = 16,1 + 9 9
2
10 10
− −
00,77(62) = 63,84
(Y Y ) = (62 63,84) = 3,39
X = 610 10
2
11
− −
11 Y = 16,1 + 0,77(61) = 63,07
(Y Y ) = (60 63,07)
11
11 112− − = 9,42
X = 71 Y = 16,1 + 0,77(71) = 70,77
(Y Y ) =12 12
12 12− (70 70,77) = 0,592−
���Bab 7 Regresi dan Korelasi
X = 66 Y = 16,1 + 0,77(66) = 66,92
(Y Y ) = (69 66,91 1
1 1− − 22) = 4,33
X = 64 Y =16,1 + 0,77(64) = 65,38
(Y Y ) =
2
2 2
2 2− (67 65,8) = 2,62
X = 68 Y = 16,1+0,77(68) = 68,46
(Y
2
3 3
3
−
Y ) = (69 68,46) = 0,29
X =65 Y = 16,1 + 0,77(65)
32
4 4
− −
= 66,15
(Y Y ) = (66 66,15) = 0,023
X =69 Y = 16,4 4
2
5 5
− −
11 + 0,77(69) = 69,23
(Y Y ) = (70 69,23) = 0,59
X = 5 5
2
6
− −
663 Y = 16,1 + 0,77(63) = 64,61
(Y Y ) = (67 64,61)
6
6 62− − == 5,71
X =72 Y = 16,1 + 0,77(72) = 71,54
(Y Y ) = (69 7 7
7 7− − 71,54) = 6,45
X =67 Y =16,1 + 0,77(67) = 67,69
(Y Y
2
8 8
8 − 882
9 9
) = (66 67,69) = 2,86
X = 68 Y = 16,1 + 0,77(68) = 6
−
88,46
(Y Y ) = (71 68,46) = 6,45
X = 62 Y = 16,1 + 9 9
2
10 10
− −
00,77(62) = 63,84
(Y Y ) = (62 63,84) = 3,39
X = 610 10
2
11
− −
11 Y = 16,1 + 0,77(61) = 63,07
(Y Y ) = (60 63,07)
11
11 112− − = 9,42
X = 71 Y = 16,1 + 0,77(71) = 70,77
(Y Y ) =12 12
12 12− (70 70,77) = 0,592−
Keseluruhan nilai-nilai yang sudah didapat jika dimasukkan ke dalam bentuk tabel maka akan tampak seperti berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
tabel 7.28Perhitungan Penaksiran Kesalahan Baku
X Y Ý (Y- Ŷ)²66 69 66,92 4,3364 67 65,38 2,6268 69 68,46 0,2965 66 66,15 0,02369 70 69,23 0,5963 67 64,61 5,7172 69 71,54 6,4567 66 67,69 2,8668 71 68,46 6,4562 62 63,84 3,3961 60 63,07 9,4271 70 70,77 0,59
Jumlah 42,72
Dari tabel di atas dapat diperoleh total kuadrat kesalahan
Y Y
Y Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
2
2
42 72
42 7212
1 89
,
,
,
Sy
Jadi, kesalahan baku dari taksiran regresi tersebut adalah:
Y Y
Y Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
2
2
42 72
42 7212
1 89
,
,
,
Sy
7.10.2 penyelesaian:a. Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel
perhitungan sebagai berikut:
���Bab 7 Regresi dan Korelasi
tabel 7.29Perhitungan Metode Kuadrat Terkecil
pupuk Nitrogen (X)
hasil(Y)
X2 Y2 XY
0 5,1 0 26,01 00 4,5 0 20,25 0
30 5,7 900 32,49 17130 5,5 900 30,25 16560 6,5 3600 42,25 39060 7,0 3600 49 42090 7,0 8100 49 63090 7,5 8100 56,25 675
120 5,5 14400 56,25 660120 6,0 1440 36 720600 60,3 54000 397,75 3831
Dari tabel perhitungan di atas maka diperoleh:
X= 600
∑∑∑∑
=
=
=
X
XY
Y
2 54000
3831
60,,
,
5
397 752
Y
bn X
=
=
∑
YY X Y
n X X
−
−( )
=( )−( )( )
( )−( )=
∑∑∑∑∑ 2 2
2
10 3831 600 60 310 54000 600
0
,
,0012
60 310
0 012 60010
6 03 0
a = −
= −
= −
∑ ∑Yn
bX
n
, ,
, ,,, ,,
, ,
-
012 606 03 0 725 31
5 31 0 012
2 2
( )
= −=
= +
=−( )
∑∑∑∑∑
Y X
rn XY X Y
n X X{{ } −( ){ }=
( )−( )( )
( )−( ){ }
∑∑n Y Y2 2
2
10 3831 600 60 3
10 54000 600 10 39
,
77 75 60 3
38310 361805400000 360000 3977 5 3636 0
2, ,
, ,
( )−( ){ }
=−
−{ } − 992130
5040000 341 412130
41481 40 05
{ }
=( )( )
=
=
,
,,
Maka nilai b yaitu:
X= 600
∑∑∑∑
=
=
=
X
XY
Y
2 54000
3831
60,,
,
5
397 752
Y
bn X
=
=
∑
YY X Y
n X X
−
−( )
=( )−( )( )
( )−( )=
∑∑∑∑∑ 2 2
2
10 3831 600 60 310 54000 600
0
,
,0012
60 310
0 012 60010
6 03 0
a = −
= −
= −
∑ ∑Yn
bX
n
, ,
, ,,, ,,
, ,
-
012 606 03 0 725 31
5 31 0 012
2 2
( )
= −=
= +
=−( )
∑∑∑∑∑
Y X
rn XY X Y
n X X{{ } −( ){ }=
( )−( )( )
( )−( ){ }
∑∑n Y Y2 2
2
10 3831 600 60 3
10 54000 600 10 39
,
77 75 60 3
38310 361805400000 360000 3977 5 3636 0
2, ,
, ,
( )−( ){ }
=−
−{ } − 992130
5040000 341 412130
41481 40 05
{ }
=( )( )
=
=
,
,,
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Maka nilai a yaitu:
X= 600
∑∑∑∑
=
=
=
X
XY
Y
2 54000
3831
60,,
,
5
397 752
Y
bn X
=
=
∑
YY X Y
n X X
−
−( )
=( )−( )( )
( )−( )=
∑∑∑∑∑ 2 2
2
10 3831 600 60 310 54000 600
0
,
,0012
60 310
0 012 60010
6 03 0
a = −
= −
= −
∑ ∑Yn
bX
n
, ,
, ,,, ,,
, ,
-
012 606 03 0 725 31
5 31 0 012
2 2
( )
= −=
= +
=−( )
∑∑∑∑∑
Y X
rn XY X Y
n X X{{ } −( ){ }=
( )−( )( )
( )−( ){ }
∑∑n Y Y2 2
2
10 3831 600 60 3
10 54000 600 10 39
,
77 75 60 3
38310 361805400000 360000 3977 5 3636 0
2, ,
, ,
( )−( ){ }
=−
−{ } − 992130
5040000 341 412130
41481 40 05
{ }
=( )( )
=
=
,
,,
Jadi, persamaan regresi linier dengan menggunakan metode
kuadrat minimum yaitu
X= 600
∑∑∑∑
=
=
=
X
XY
Y
2 54000
3831
60,,
,
5
397 752
Y
bn X
=
=
∑
YY X Y
n X X
−
−( )
=( )−( )( )
( )−( )=
∑∑∑∑∑ 2 2
2
10 3831 600 60 310 54000 600
0
,
,0012
60 310
0 012 60010
6 03 0
a = −
= −
= −
∑ ∑Yn
bX
n
, ,
, ,,, ,,
, ,
-
012 606 03 0 725 31
5 31 0 012
2 2
( )
= −=
= +
=−( )
∑∑∑∑∑
Y X
rn XY X Y
n X X{{ } −( ){ }=
( )−( )( )
( )−( ){ }
∑∑n Y Y2 2
2
10 3831 600 60 3
10 54000 600 10 39
,
77 75 60 3
38310 361805400000 360000 3977 5 3636 0
2, ,
, ,
( )−( ){ }
=−
−{ } − 992130
5040000 341 412130
41481 40 05
{ }
=( )( )
=
=
,
,,
b. Maka koefisien korelasinya yaitu:
X= 600
∑∑∑∑
=
=
=
X
XY
Y
2 54000
3831
60,,
,
5
397 752
Y
bn X
=
=
∑
YY X Y
n X X
−
−( )
=( )−( )( )
( )−( )=
∑∑∑∑∑ 2 2
2
10 3831 600 60 310 54000 600
0
,
,0012
60 310
0 012 60010
6 03 0
a = −
= −
= −
∑ ∑Yn
bX
n
, ,
, ,,, ,,
, ,
-
012 606 03 0 725 31
5 31 0 012
2 2
( )
= −=
= +
=−( )
∑∑∑∑∑
Y X
rn XY X Y
n X X{{ } −( ){ }=
( )−( )( )
( )−( ){ }
∑∑n Y Y2 2
2
10 3831 600 60 3
10 54000 600 10 39
,
77 75 60 3
38310 361805400000 360000 3977 5 3636 0
2, ,
, ,
( )−( ){ }
=−
−{ } − 992130
5040000 341 412130
41481 40 05
{ }
=( )( )
=
=
,
,,
Dengan nilai koefisien relasinya 0,05 terletak antara 0,0 dan 0,30, maka terdapat hubungan positif yang sangat lemah antara pupuk nitrogen dengan hasil tanaman padi.
c. Maka koefisien determinasi yaitu:
r2 = (0,05)2 = 0,0025 = 0,25%
���Bab 7 Regresi dan Korelasi
r2 = 0,05 artinya 0,0025 atau 25% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X terhadap naik turunnya Y adalah 25% sedangkan 75% disebabkan oleh faktor lain.
d. Maka, penaksiran kesalahan baku dari persamaan regresi linier yaitu Ŷ= 5,31 + 0,012X adalah sebagai berikut:
X = 0 Y = 5,31 + 0,012 (0) = 5,31
(Y Y ) = (5,1 5,311 1
1 12− − )) = 0,0441
X = 0 Y = 5,31 + 0,012 (0) = 5,31
(Y Y ) =
2
2 2
2 22− (4,5 5,31) = 0,6561
X = 30 Y = 5,31 + 0,012 (30) = 5
2
3 3
−
,,67
(Y Y ) = (5,7 5,67) = 0,0009
X = 30 Y = 5,31+ 3 3
2 2
4 4
− −
00,012 (30) = 5,67
(Y Y ) = (5,5 5,67) = 0,0289
X = 4 4
2 2
5
− −
660 Y = 5,31 + 0,012 (60) = 6,03
(Y Y ) = (6,5 6,03
5
5 52− − )) = 0,2209
X6 = 60 Y = 5,31 + 0,012 (60) = 6,03
(Y Y
2
6
6 6− )) = (7 6,03) = 1,2321
X = 90 Y = 5,31 + 0,012 (90)
2 2
7 7
−
== 6,39
(Y Y7) = (7 6,39) = 0,3721
X = 90 Y = 5,317
2 2
8 8
− −
+ 0,012 (90) = 6,39
(Y Y8) = (7,5 6,39) = 1,2321
X8
2 2
9
− −
= 120 Y = 5,31 + 0,012 (120) = 6,75
(Y Y ) = (5,5 6
9
9 92− − ,,75) = 1,5625
X = 120 Y = 5,31 + 0,012 (120) = 6,75
(Y
2
10 10
110 102 2 Y ) = (6 6,75) = 0,5625− −
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
Keseluruhan nilai-nilai yang sudah didapat jika dimasukkan ke dalam bentuk tabel maka akan tampak seperti berikut:
tabel 7.30Perhitungan Penaksiran Kesalahan Baku
X Y Ý (Y - Ý)2
0 5,1 5,31 0,04410 4,5 5,31 0,6561
30 5,7 5,67 0,000930 5,5 5,67 0,028960 6,5 6,03 0,220960 7,0 6,03 0,940990 7,0 6,39 0,372190 7,5 6,39 1,2321
120 5,5 6,95 1,5625120 6,0 6,95 0,5625
Jumlah 5,621
Dari tabel di atas dapat diperoleh total kuadrat kesalahan
Y Y
Y Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
2
2
5 621
5 62110
0 74
,
,
,
Sy
Jadi, kesalahan baku dari taksiran regresi tersebut adalah:
Y Y
Y Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
2
2
5 621
5 62110
0 74
,
,
,
Sy
���
anaLISIS Data BerKaLaBab 8
Data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan suatu perkembangan atau kecenderungan keadaan/peristiwa
(perkembangan produksi, harga, hasil penjualan, jumlah penduduk, jumlah kecelakaan, jumlah kejahatan, dan sebagainya) disebut data berkala. Data berkala sering disebut time series data. Serangkaian nilai-nilai variabel yang disusun berdasarkan waktu disebut juga dengan data berkala. Analisis data berkala sangat berguna untuk mengetahui perkembangan satu atau beberapa keadaan serta hubungan terhadap keadaan lain. Artinya apakah suatu keadaan mempunyai hubungan terhadap keadaan yang lain atau apakah suatu keadaan mempunyai pengaruh yang besar terhadap keadaan yang lain. Analisis data berkala yang akan kita pelajari yaitu dengan menggunakan metode setengah rata-rata (semi average), metode rata-rata bergerak (moving average), dan metode kuadrat minimun (least square).
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
�.� Komponen Deret Berkala
Empat komponen deret berkala yaitu diantaranya: 1. Trend Sekuler, yaitu gerakan yang berjangka panjang, lamban, seolah-
olah alun ombak dan berkecenderungan menuju ke satu arah, arah menaik atau menurun.
2. Variasi Musiman, yaitu ayunan sekitar trend yang bersifat musiman serta kurang lebih teratur.
3. Variasi Sikli, yaitu ayunan trend yang berjangka lebih panjang dan agak lebih tidak teratur.
4. Variasi Random, yaitu gerakan yang tidak teratur sama sekali.
KomponenDeretBerkalaSebagaiBentukPerubahan:
Gerakan atau variasi dari data berkala terdiri dari empat komponen yaitu sebagai berkut: 1. Gerakan Trend Jangka Panjang Atau Trend Sekuler (Long Term
Movement Or Secular Trend), yaitu suatu gerakan yang menunjukan arah perkembangan atau kecenderungan secara umum, arahnya bisa menaik atau menurun. Garis trend ini juga sangat berguna untuk membuat ramalan (forecasting). Trend sekuler umunya meliputi gerakan yang lamanya sekitar 10 tahun atau lebih.
gambar 8.1 Grafik Trend Jangka Panjang
Analisis Data Berkala 355
4. Variasi Random, yaitu gerakan yang tidak teratur sama sekali.
Komponen Deret Berkala Sebagai Bentuk Perubahan : Gerakan atau variasi dari data berkala terdiri dari empat komponen yaitu sebagai berkut : 1. Gerakan Trend Jangka Panjang Atau Trend Sekuler (Long
Term Movement Or Secular Trend), yaitu suatu gerakan yang menunjukan arah perkembangan atau kecenderungan secara umum, arahnya bisa menaik atau menurun.. Garis trend ini juga sangat berguna untuk membuat ramalan (forecasting). Trend sekuler umunya meliputi gerakan yang lamanya sekitar 10 tahun atau lebih.
Y =f(X) Y = f(X)
X(Waktu) X (Waktu)
Gambar 8.1 Grafik Trend Jangka Panjang
2. Gerakan/Variasi Sikli atau Siklus (Cyclical Movement or Variations), yaitu gerakan atau variasi jangka panjang di sekitar garis trend (berlaku untuk data tahunan). Gerakan sikli bisa terulang setelah jangka waktu tertentu (setiap 3 tahun, 5 tahun atau bisa lebih), bisa juga tidak terulag dalam jangka waktu yang sama. Gerakan/variasi sikli berlangsung selama lebih dari setahun dan tidak pernah variasi tersebut memperlihatkan pola yang tertentu mengenai gelombangnya. Gerakan/variasi yang sempurna meliputi fase-fase pemulihan (recovery), kemakmuran (prosperity), kemunduran atau resesi (recession) dan depresi (depression).
���Bab 8 Analisis Data Berkala
2. Gerakan/Variasi Sikli atau Siklus (Cyclical Movement or Variations), yaitu gerakan atau variasi jangka panjang di sekitar garis trend (berlaku untuk data tahunan). Gerakan sikli bisa terulang setelah jangka waktu tertentu (setiap 3 tahun, 5 tahun atau bisa lebih), bisa juga tidak terulang dalam jangka waktu yang sama. Gerakan/variasi sikli berlangsung selama lebih dari setahun dan tidak pernah variasi tersebut memperlihatkan pola yang tertentu mengenai gelombangnya. Gerakan/variasi yang sempurna meliputi fase-fase pemulihan (recovery), kemakmuran (prosperity), kemunduran atau resesi (recession) dan depresi (depression).
gambar 8.2Tahap-tahap Siklis
Analisis Data Berkala 356
resesi kemakmuran
Pemulihan
Depresi
Gambar 8.2 Tahap-tahap Siklis
3. Gerakan/Variasi Musiman (Seasonal Movement or Variations), yaitu gerakan yang mempunyai pola tetap atau berulang-ulang secara teratur selama kurang lebih setahun, Gerakan-gerakan tersebut disebabkan karena adanya kebiasaan masyarakat seperti pemberian hadiah di Tahun Baru, Idul Fitri dan Natal serta konsumsi menjelang Tahun Baru dan hari-hari besar lainnya yang menimbulkan variasi yang tertentu dalam penjualan barang-barang konsumsi. Dalam bidang produksi dan harga-hargabarang agraria keadaan alam seperti iklim, hujan, sinar matahari, tingkat kelembaban, angin, tanah, dan lain-lain merupakan penyebab terjadinya variasi musim.
Y=f(X) 1990 1991 1992 1993
Waktu
Gambar 8.3 Variasi Musiman
3. Gerakan/Variasi Musiman (Seasonal Movement or Variations), yaitu gerakan yang mempunyai pola tetap atau berulang-ulang secara teratur selama kurang lebih setahun, Gerakan-gerakan tersebut disebabkan karena adanya kebiasaan masyarakat seperti pemberian hadiah di Tahun Baru, Idul Fitri dan Natal serta konsumsi menjelang Tahun Baru dan hari-hari besar lainnya yang menimbulkan variasi yang tertentu dalam penjualan barang-barang konsumsi. Dalam bidang produksi dan harga-harga barang agraria keadaan alam seperti iklim, hujan, sinar matahari, tingkat kelembaban, angin, tanah, dan lain-lain merupakan penyebab terjadinya variasi musim.
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
gambar 8.3 Variasi Musiman
Analisis Data Berkala 356
resesi kemakmuran
Pemulihan
Depresi
Gambar 8.2 Tahap-tahap Siklis
3. Gerakan/Variasi Musiman (Seasonal Movement or Variations), yaitu gerakan yang mempunyai pola tetap atau berulang-ulang secara teratur selama kurang lebih setahun, Gerakan-gerakan tersebut disebabkan karena adanya kebiasaan masyarakat seperti pemberian hadiah di Tahun Baru, Idul Fitri dan Natal serta konsumsi menjelang Tahun Baru dan hari-hari besar lainnya yang menimbulkan variasi yang tertentu dalam penjualan barang-barang konsumsi. Dalam bidang produksi dan harga-hargabarang agraria keadaan alam seperti iklim, hujan, sinar matahari, tingkat kelembaban, angin, tanah, dan lain-lain merupakan penyebab terjadinya variasi musim.
Y=f(X) 1990 1991 1992 1993
Waktu
Gambar 8.3 Variasi Musiman
4. Gerakan/VariasiRandom/Residu (Irregular or Random Variations), yaitu gerakan/variasi yang disebabkan oleh faktor kebetulan (chance factor). Gerakan yang berbeda tapi dalam waktu yang singkat, tidak diikuti dengan pola yang teratur dan tidak dapat diperkirakan. Variasi random biasanya disebabkan oleh peperangan, banjir, gempa bumi, perubahan politik, pemogokan dan sebagainya, yang mempengaruhi kegiatan-kegiatan perdagangan perindustrian, keuangan dan lain-lain. Variasi ini berbeda dengan ketiga variasi sebelumnya yaitu terletak pada sistematik fluktuasi itu sendiri.
gambar 8.4 gerakan tidak teratur
Analisis Data Berkala 357
4. Gerakan/VariasiRandom/Residu (Irregular or Random Variations), yaitu gerakan/variasi yang disebabkan oleh faktor kebetulan (chance factor). Gerakan yang berbeda tapi dalam waktu yang singkat, tidak diikuti dengan pola yang teratur dan tidak dapat diperkirakan. Variasi random biasanya disebabkan oleh peperangan, banjir, gempa bumi, perubahan politik, pemogoka dan sebagainya, yang mempengaruhi kegitan-kegiatan perdagangan perindustrian, keuangan dan lain-lain. Variasi ini berbeda dengan ketiga variasi sebelumnya yaitu terletak pada sistematik fluktuasi itu sendiri.
Y = f(X)
Gambar 8.4 Gerakan Tidak Teratur
8.2 Cara Menentukan Trend
Ada 3 cara yang akan kita pelajari untuk menentukan persamaan trend linier yaitu : metode setengah rata-rata (semi average), metode rata-rata bergerak (moving average), dan metode kuadrat minimum (least square). Ketiga cara ini yang akan digunakan untuk menentukan bentuk umum dari persamaan trend linier yaitu :
���Bab 8 Analisis Data Berkala
�.� Cara Menentukan Trend
Dalam bagian ini akan dibahas 3 cara untuk menentukan persamaan trend linier yaitu: metode setengah rata-rata (semi average), metode rata-rata bergerak (moving average), dan metode kuadrat minimum (least square). Ketiga cara ini yang akan digunakan untuk menentukan bentuk umum dari persamaan trend linier yaitu:
Y bX= +α
Keterangan:Y = nilai trend pada periode tertentuX = periode waktua = intersep dari persamaan trendb = koefisien kemiringan atau gradien dari persamaan trend yang
menunjukan besarnya suatu perubahan suatu unit pada X
�.�.� Metode Setengah Rata-rata (Semi Average)
Penentuan persamaan trend linier Y = a + bx dengan metode setengah rata-rata dilakukan dengan tahapan seperti berikut: 1. Kelompokanlah data berkala menjadi dua kelompok dengan jumlah
tahun dan jumlah deret yang sama, sebagai kelompok 1 dan kelompok 2.
2. Tentukanlah rata-rata hitung masing-masing kelompok, sebagai Y₁ dan Y₂.
3. Tentukan dua titik, yaitu (X₁; Y₁) dan (X₂; Y₂), dimana absis X₁ dan X₂ ditentukan dari periode waktu data berkala.
4. Tentukan nilai a dan b dengan mensubtitusikan nilai-nilai data X dan Y dari dua titik tersebut pada persamaan trend
Y = a + bX
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Permasalahan akan muncul ketika kita membagi data berkala menjadi dua kelompok yang sama banyak. Dalam hal banyak data berkala genap maka kita tidak akan banyak masalah, karena tiap kelompok akan terdiri dari nilai data berkala yang sama banyaknya. Akan tetapi bila banyaknya data berupa ganjil, agar masing-masing kelompok terdiri atas nilai data berkala yang sama banyak, maka dapat dilakukan dengan cara yaitu, pertama menghilangkan nilai data paling tengah atau kedua memasukan nilai data paling tengah tersebut pada masing-masing kelompok.
Contoh 8.1
Tentukanlah persamaan trend Y = a + bX dari data di bawah ini dengan
menggunakan metode setengah rata-rata (semi average)!
tabel 8.1Besar Pendapatan Usaha (Jutaan Rupiah)
X tahun Besar pendapatan (Y)0 2000 1,21 2001 1,52 2002 2,33 2003 3,34 2004 1,05 2005 1,86 2006 1,37 2007 7,18 2008 9,39 2009 1,1
10 2010 3,5
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
���Bab 8 Analisis Data Berkala
tabel 8.2 Perhitungan Semi Average
X tahun Besar pendapatan (Y)0 2000 1,21 2001 1,52 2002 2,33 2003 3,34 2004 1,05 2005 1,86 2006 1,37 2007 7,18 2008 9,39 2009 1,1
10 2010 3,5
Keterangan: : Kelompok 1
: Dihilangkan : Kelompok 2
Dengan banyaknya data berkala n = 11 (ganjil) maka data berkala dibagi menjadi 2 kelompok yaitu dengan cara menghilangkan nilai paling tengah, yaitu nilai data berkala tahun 2005 = 1,8, sehingga masing-masing kelompok terdiri atas 5 nilai data berkala. Sekarang kita akan menentukan nilai rata-rata hitung dari kelompok data tersebut.
Y
Y
1
2
1 2 1 5 2 3 3 3 1 05
1 86
1 3 7 1 9 3 1 1 3 55
4 46
=+ + + +
=
=+ + + +
=
, , , , , ,
, , , , , ,
Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 1,86 bertepatan dengan tahun 2002 (paling tengah dari kelompok 1) sehingga X = 2 dan nilai rata-rata Y₂ = 4,46 bertepatan dengan tahun 2008 (paling tengah dari kelompok 2) sehingga X = 8. Dengan demikian diperoleh dua titik yaitu (X₁; Y₁) = (2; 1,86) dan (X₂; Y₂) = (8; 4,46).
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Dengan dua titik (2; 1,86) dan (8; 4,46) sekarang kita akan tentukan nilai a dan b dari persamaan trend y = a + bX, dengan menggunakan cara berikut yaitu:
Titik (2; 1,86) X1 = 2 Y1 = 1.86 → 1,86 = a + 2b …..(1)Titik (8; 4,46) X2 = 8 Y2 = 4.46 → 4,46 = a + 8b …..(2)
Maka diperoleh:
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− =−
=−−
=
2 1 868 4 466 2 6
2 66
0 43
,,
,,
,
Masukkan nilai bb = 0,43 pada persamaan 1 maka:a+2 0,43
( )
( )=+ =
1 860 86 1 8
,, ,a 66
1 86 0 861 0
aa= −=
, ,,
Masukkan nilai b = 0,43 pada persamaan (1) maka:
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− =−
=−−
=
2 1 868 4 466 2 6
2 66
0 43
,,
,,
,
Masukkan nilai bb = 0,43 pada persamaan 1 maka:a+2 0,43
( )
( )=+ =
1 860 86 1 8
,, ,a 66
1 86 0 861 0
aa= −=
, ,,
Jadi persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-rata
(semi average) yaitu Y = 1 +0,43X
Contoh 8.2
Tentukanlah persamaan trend Y = a + bX dari data di bawah ini dengan menggunakan metode setengah rata-rata (semi average)!
���Bab 8 Analisis Data Berkala
tabel 8.3 Besar Keuntungan Penjualan Laptop (Puluhan Juta Rupiah)
X tahun Besar keuntungan (Y)0 2002 3,21 2003 3,72 2004 4,03 2005 4,34 2006 4,45 2007 5,0
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 8.4Perhitungan Semi Average
X tahun Besar keuntungan (Y)0 2002 3,21 2003 3,72 2004 4,03 2005 4,34 2006 4,45 2007 5,0
Keterangan: : Kelompok 1 : Kelompok 2
Dengan banyaknya data berkala n = 6 (genap) maka data berkala dibagi menjadi 2 kelompok yaitu dengan cara membagi dua kelompok dengan sama banyaknya. Sekarang kita akan menentukan rata-rata hitung dari dua kelompok tersebut.
Y
Y
1
2
3 2 3 7 4 03
3 63
4 3 4 4 5 03
4 56
=+ +
=
=+ +
=
, , , ,
, , , ,
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 3,63 bertepatan dengan tahun 2003 (paling tengah dari kelompok 1) sehingga X = 1 dan nilai rata-rata Y₂ = 4,56 bertepatan dengan tahun 2006 (paling tengah dari kelompok 2) sehingga X = 4. Dengan demikian diperoleh dua titik yaitu (X₁; Y₁) = (1; 3,63) dan (X₂; Y₂) = (4; 4,56). Dengan dua titik (1; 3,63) dan (4; 4,56) sekarang kita akan tentukan
nilai a dan b dari persamaan trend Y = a + bX, dengan menggunakan cara
berikut yaitu:
Titik (1; 3.63) X1 = 1 Y1 = 3.63 → 3,63 = a + 1b …..(1)Titik (4; 4.56) X2 = 4 Y2 = 4.56 → 4,56 = a + 4b …..(2)
Maka diperoleh:
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− =−
=−−
=
3 634 4 563 0 93
0 933
0 31
,,
,,
,
Masukkan nilai b = 0,2325 pada persamaan 1 maka:( )
+ == −
aa
0 31 3 633 63 0 3
, ,, , 11
3 32a= ,
Masukkan nilai b = 0.2325 pada persamaan (1) maka:
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− =−
=−−
=
3 634 4 563 0 93
0 933
0 31
,,
,,
,
Masukkan nilai b = 0,2325 pada persamaan 1 maka:( )
+ == −
aa
0 31 3 633 63 0 3
, ,, , 11
3 32a= ,
Jadi persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-
rata (semi average) yaitu Y = 3,32 + 0,31X.
���Bab 8 Analisis Data Berkala
Contoh 8.3
Tentukanlah persamaan trend Y = a + bX dari data di bawah ini dengan
menggunakan metode setengah rata-rata (semi average)!
tabel 8.5Biaya Produksi Sparepart Mobil (Milliaran Rupiah)
X tahun Biaya produksi (Y)0 1992 1,31 1993 1,42 1994 1,53 1995 1,74 1996 2,05 1997 2,16 1998 2,37 1999 2,78 2000 3,09 2001 3,3
10 2002 3,0
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 8.6Perhitungan Semi Average
X tahun Biaya produksi (Y)0 1992 1,31 1993 1,42 1994 1,53 1995 1,74 1996 2,05 1997 2,16 1998 2,37 1999 2,78 2000 3,09 2001 3,3
10 2002 3,0Keterangan:
: Kelompok 1 : Dihilangkan : Kelompok 2
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Nilai rata-rata hitung dari masing-masing kelompok yaitu
Y
Y
1
2
1 3 1 4 1 5 1 7 2 05
1 58
2 3 2 7 3 0 3 3 3 05
2 86
=+ + + +
=
=+ + + +
=
, , , , , ,
, , , , , ,
Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 1,58 bertepatan dengan tahun 1994 (paling tengah dari kelompok 1) sehingga X = 2 dan nilai rata-rata Y₂ = 2,86 bertepatan dengan tahun 2000 (paling tengah dari kelompok 2) sehingga X = 8. Dengan demikian diperoleh dua titik yaitu (X₁; Y₁) = (2; 1,58) dan (X₂; Y₂) = (8; 2,86). Dengan dua titik (2; 1,58) dan (8; 2,86) sekarang kita akan tentukan
nilai a dan b dari persamaan trend Y = a + bX, dengan menggunakan cara
berikut yaitu:
Titik (2; 1,58) X1 = 2 Y1 = 1,58 → 1,58 = a + 2b …..(1)
Titik (8; 2,86) X2 = 8 Y2 = 2,86 → 2,86 = a + 8b …..(2)
Maka diperoleh:a ba b
b
b
+ =
+ = −
− =−
=−−
=
2 1 588 2 866 1 28
1 286
0 21
,,
,,
,
Masukkan nilaii b = 0,32 pada persamaan 1 maka:a+2 0,21
( )
( )=+ =
1 580 42 1
,,a ,,
, ,,
581 58 0 421 16
aa= −=
���Bab 8 Analisis Data Berkala
Masukkan nilai b = 0.32 pada persamaan (1) maka:
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− =−
=−−
=
2 1 588 2 866 1 28
1 286
0 21
,,
,,
,
Masukkan nilaii b = 0,32 pada persamaan 1 maka:a+2 0,21
( )
( )=+ =
1 580 42 1
,,a ,,
, ,,
581 58 0 421 16
aa= −=
Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-
rata (semi average) yaitu Y = 1,16 + 0,21X
Contoh 8.4
Tentukanlah persamaan trend Y = a + bX dari data di bawah ini dengan
menggunakan metode setengah rata-rata (semi average)!
tabel 8.7Besar Pengeluaran PT. Indo (Miliaran Rupiah)
X tahun Besar pengeluaran (Y)0 2002 1,21 2003 1,52 2004 1,83 2005 2,04 2006 2,25 2007 2,46 2008 2,87 2009 3,0
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
tabel 8.8Perhitungan Semi Average
X tahun Besar pengeluaran (Y)0 2002 1,21 2003 1,52 2004 1,83 2005 2,04 2006 2,25 2007 2,46 2008 2,87 2009 3,0
Keterangan: : Kelompok 1 : Kelompok 2
Nilai rata-rata hitung dari masing-masing kelompok yaitu:
Y
Y
1
2
1 2 1 5 1 8 2 04
1 63
2 2 2 4 2 8 3 04
2 60
=+ + +
=
=+ + +
=
, , , , ,
, , , , ,
Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 1,63 berada di antara nilai data 1,5 pada tahun 2003 dengan X = 1 dan nilai 1,8 tahun 2004 dengan X = 2. Dengan demikian rata-rata Y₁ = 1,63 bertepatan dengan nilai X = = 1,5 sehingga diperoleh titik (1,5; 1,63). Sedangkan Y₂ = 2, 60 berada di antara nilai data 2, 4 tahun 2007 dengan X = 5 dan nilai data 2,8 tahun 2008 dengan X = 6; dengan demikian rata rata Y₂ = 2,60 bertepatan dengan X = = 5,5 sehingga diperoleh titik kedua, yaitu (5,5; 2,60). Dengan dua titik (1,5; 1,63) dan (5,5; 2,60) sekarang kita akan tentukan
nilai a dan b dari persamaan trend Y = a + bX, dengan menggunakan cara
berikut yaitu:Titik (1,5; 1.63) X1 =1,5 Y1 = 1,63 → 1,63 = a + 1,5b …..(1)
���Bab 8 Analisis Data Berkala
Titik (5,5; 2.60) X2=5.5 Y2 = 2,60 → 2,60 = a + 5,5b …..(2)
Maka diperoleh:
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− =−
=−−
==
1 5 1 635 5 2 60
4 0 970 97
40 24250 24
, ,, ,
,,
,,
Massukkan nilai b = 0,24 pada persamaan 1 :( )+ =
+
a ba
1 5 1 631 5
, ,, 00 24 1 63 0 36
1 27, , ,
,( )= −
=
Masukkan nilai b = 0,24 pada persamaan (1):
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− =−
=−−
==
1 5 1 635 5 2 60
4 0 970 97
40 24250 24
, ,, ,
,,
,,
Massukkan nilai b = 0,24 pada persamaan 1 :( )+ =
+
a ba
1 5 1 631 5
, ,, 00 24 1 63 0 36
1 27, , ,
,( )= −
=
Jadi persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-rata
(semi average) yaitu Y = 1,27 + 0,24X.
Contoh 8.5
Tentukanlah persamaan trend Y = a + bX dari data di bawah ini dengan
menggunakan metode setengah rata-rata (semi average)!
tabel 8.9Besar Penjualan Cabai
(Jutaan Rupiah)
X tahun Besar penjualan (Y)0 2002 2,01 2003 2,32 2004 2,73 2005 3,04 2006 3,25 2007 3,76 2008 4,0
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 8.10Perhitungan Semi Average
X tahun Besar penjualan (Y)0 2202 2,01 2003 2,32 2004 2,73 2005 3,04 2006 3,25 2007 3,76 2008 4,0
Keterangan: : Kelompok 1
: Dihilangkan : Kelompok 2
Nilai rata-rata hitung dari masing-masing kelompok yaitu:
Y
Y
1
2
2 0 2 3 2 73
2 3
3 2 3 7 4 03
3 63
=+ +
=
=+ +
=
, , , ,
, , , ,
Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 2,3 bertepatan dengan tahun 2003 (paling tengah dari kelompok 1) sehingga X = 1 dan nilai rata-rata Y₂ = 3,63 bertepatan dengan tahun 2007 (paling tengah dari kelompok 2) sehingga X = 5. Dengan demikian diperoleh dua titik yaitu (X₁; Y₁) = (1; 2,3) dan (X₂; Y₂) = (5; 3,63).
���Bab 8 Analisis Data Berkala
Dengan dua titik (1; 2,3) dan (5; 3,63) sekarang kita akan tentukan
nilai a dan b dari persamaan trend Y = a + bx, dengan menggunakan cara
berikut yaitu:Titik (1; 2,3) X1 = 1 Y1 = 2,3 → 2,3 = a + 1b .…(1)
Titik (5; 3,63) X2 = 5 Y2 = 3.63 → 3,63 = a + 5b …. (2)
Maka diperoleh:
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− =−
=−−
==
2 35 3 634 1 33
1 334
0 33250 33
,,
,,
,,
Masukkan nilai b = 0,33 pada persamaan 1 :a+1b 0,33
( )
( )=+ =
2 30 33 2
,,a ,,
, ,,
32 3 0 331 97
aa= −=
Masukkan nilai b = 0,33 pada persamaan (1):
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− =−
=−−
==
2 35 3 634 1 33
1 334
0 33250 33
,,
,,
,,
Masukkan nilai b = 0,33 pada persamaan 1 :a+1b 0,33
( )
( )=+ =
2 30 33 2
,,a ,,
, ,,
32 3 0 331 97
aa= −=
Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-
rata (semi average) yaitu Y = 1,97 + 0,33X.
Contoh 8.6
Tentukanlah persamaan trend Y = a + bX dari data di bawah ini dengan
menggunakan metode setengah rata-rata (semi average)!
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
tabel 8.11Keuntungan Penjualan Smartphone Di Gerai Smart
(Milliaran Rupiah)
X tahun Besar keuntungan penjualan (Y)
0 2000 1,31 2001 2,42 2002 3,33 2003 2,14 2004 1,75 2005 4,36 2006 1,27 2007 5,18 2008 2,29 2009 1,1
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 8.12Perhitungan Semi Average
X tahun Besar keuntungan penjualan (Y)
0 2000 1,31 2001 2,42 2002 3,33 2003 2,14 2004 1,75 2005 4,36 2006 1,27 2007 5,18 2008 2,29 2009 1,1
Keterangan: : Kelompok 1 : Kelompok 2
���Bab 8 Analisis Data Berkala
Nilai rata-rata hitung dari masing-masing kelompok yaitu:
Y
Y
1
2
1 3 2 4 3 3 2 1 1 75
2 16
4 3 1 2 5 1 2 2 1 15
2 78
=+ + + +
=
=+ + + +
=
, , , , , ,
, , , , , ,
Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 2,10 bertepatan dengan tahun 2002 (paling tengah dari kelompok 1) sehingga X = 2 dan nilai rata-rata Y₂ = 2,78 bertepatan dengan tahun 2007 (paling tengah dari kelompok 2) sehingga X = 7. Dengan demikian diperoleh dua titik yaitu (X₁; Y₁) = (2; 2,16) dan (X₂; Y₂) = (7; 2,78). Dengan dua titik (2; 2,16) dan (7; 2,78) sekarang kita akan tentukan
nilai a dan b dari persamaan trend Y = a + bX, dengan menggunakan cara
berikut yaitu:
Titik (2; 2,10) X1 = 2 Y1 = 2,16 → 2,16 = a + 2b .…..(1)
Titik (7; 2,78) X2 = 7 Y2 = 2,78 → 2,78 = a + 7b ..….(2)
Maka diperoleh:
a ba b
b
b
bb
+ =
+ = −
− =−
=−−
=
=
2 2 167 2 785 0 62
0 625
0 1240 12
,,
,,
,,
Masukkkan nilai b = 0,12 pada persamaan 1 yaitu:( )
+ =
+
a ba
2 2 162 0
,,, ,
, ,,
12 2 162 16 0 241 92
( )== −=
a
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
Masukkan nilai b = 0,12 pada persamaan (1) yaitu:
a ba b
b
b
bb
+ =
+ = −
− =−
=−−
=
=
2 2 167 2 785 0 62
0 625
0 1240 12
,,
,,
,,
Masukkkan nilai b = 0,12 pada persamaan 1 yaitu:( )
+ =
+
a ba
2 2 162 0
,,, ,
, ,,
12 2 162 16 0 241 92
( )== −=
a
Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-
rata (semi average) yaitu Y = 1,92 + 0,12X.
Contoh 8.7
Tentukanlah persamaan trend Y = a + bX dari data di bawah ini dengan
menggunakan metode setengah rata-rata (semi average)!
tabel 8.13Frekuensi Penggunaan Layanan Email Perusahaan
(Jutaan Rupiah)
X tahun frekuensi (Y)0 2003 20,71 2004 24,52 2005 24,63 2006 27,84 2007 30,15 2008 32,46 2009 34,5
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
���Bab 8 Analisis Data Berkala
tabel 8.14Perhitungan Semi Average
X tahun frekuensi (Y)0 2003 20,71 2004 24,52 2005 24,63 2006 27,84 2007 30,15 2008 32,46 2009 34,5
Keterangan: : Kelompok 1
: Dihilangkan : Kelompok 2
Nilai rata-rata hitung dari masing-masing kelompok yaitu
Y
Y
1
2
20 7 24 5 24 63
23 26
30 1 32 4 34 53
32 33
=+ +
=
=+ +
=
, , , ,
, , , ,
Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 23,26 bertepatan dengan tahun 2004 (paling tengah dari kelompok 1) sehingga X = 1 dan nilai rata-rata Y₂ = 32,33 bertepatan dengan tahun 2008 (paling tengah dari kelompok 2) sehingga X = 5. Dengan demikian diperoleh dua titik yaitu (X₁; Y₁) = (1; 23,26) dan (X₂; Y₂) = (5; 32,33). Dengan dua titik (1; 23,26) dan (5; 32,33) sekarang kita akan tentukan
nilai a dan b dari persamaan trend Y = a + bx, dengan menggunakan cara
berikut yaitu:
Titik (1; 23,26) X1 = 1 Y1 = 23,26 → 23,26 = a + 1b …..(1)
Titik (5; 32,33) X2 = 5 Y2 = 32,33 → 32,33 = a + 5b ….. (2)
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Maka diperoleh:
a ba b
b
b
b
+ =
+ = −
− =−
=−−
==
1 23 265 32 334 9 07
9 074
2 26752 27
,,,,
,,
Masuukkan nilai b = 2,27 pada persamaan 1 maka:2,27
( )
+ ( )=a 1 23,,, ,
, ,,
262 27 23 26
23 26 2 2720 99
aaa
+ == −=
Masukkan nilai b = 2,27 pada persamaan (1) maka:
a ba b
b
b
b
+ =
+ = −
− =−
=−−
==
1 23 265 32 334 9 07
9 074
2 26752 27
,,,,
,,
Masuukkan nilai b = 2,27 pada persamaan 1 maka:2,27
( )
+ ( )=a 1 23,,, ,
, ,,
262 27 23 26
23 26 2 2720 99
aaa
+ == −=
Jadi persamaan trendnya dengan menggunakan metode setengah rata-
rata (semi average) yaitu Y = 20,99 + 2,27X.
Contoh 8.8
Tentukanlah persamaan trend Y = a + bX dari data di bawah ini dengan
menggunakan metode setengah rata-rata (semi average)!
tabel 8.15Keuntungan Penjualan CCTV
(Dalam Jutaan)
X tahun Besar keuntungan (Y)0 2000 1,01 2001 3,02 2003 2,83 2004 2,14 2005 1,55 2006 3,46 2007 3,27 2008 1,7
���Bab 8 Analisis Data Berkala
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 8.16Perhitungan Semi Average
X tahun Besar keuntungan (Y)0 2000 1,01 2001 3,02 2003 2,83 2004 2,14 2005 1,55 2006 3,46 2007 3,27 2008 1,7
Keterangan: : Kelompok 1 : Kelompok 2
Nilai rata-rata hitung dari masing-masing kelompok yaitu:
Y
Y
1
2
1 0 3 0 2 8 2 14
2 23
1 5 3 4 3 2 1 74
2 45
=+ + +
=
=+ + +
=
, , , , ,
, , , , ,
Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 2,23 berada di antara nilai data 3,0 pada tahun 2001 dengan X = 1 dan nilai 2,8 tahun 2003 dengan X = 2. Dengan demikian rata-rata Y₁ = 2,23 bertepatan atau bersesuaian dengan
nilai X = Y = 1,5 sehingga diperoleh titik (1,5; 2,23). Sedangkan Y₂ = 2,45
berada di antara nilai data 3,4 tahun 2006 dengan X = 5 dan nilai data 3,2 tahun 2007 dengan X = 6; dengan demikian rata rata Y₂ = 2,45 bertepatan
atau bersesuaian dengan X = Y = 5,5 sehingga diperoleh titik kedua, yaitu
(5,5; 2,45).
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Dengan dua titik (1,5; 2,23) dan (5,5; 2,45) sekarang kita akan tentukan
nilai a dan b dari persamaan trend Y = a + bX, dengan menggunakan cara
berikut yaitu:
Titik (1,5; 2,23) X1 = 1,5 Y1 = 2,23 → 2,23 = a + 1,5b …….(1)
Titik (5,5; 2,45) X2 = 5,5 Y2 = 2,45 → 2,45 = a + 5,5b …….(2)
Maka diperoleh:
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− =−
=−−
==
1 5 2 235 5 2 45
4 0 22224
0 0550 05
, ,, ,
,
,,
Masukkkan nilai b = 0,05 pada persamaan 1 :( )+ =
+
a ba
1 5 2 231 5 0 0
, ,, , 55 2 23
2 23 0 0752 155
( )== −=
,, ,,
a
Masukkan nilai b = 0,05 pada persamaan (1):
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− =−
=−−
==
1 5 2 235 5 2 45
4 0 22224
0 0550 05
, ,, ,
,
,,
Masukkkan nilai b = 0,05 pada persamaan 1 :( )+ =
+
a ba
1 5 2 231 5 0 0
, ,, , 55 2 23
2 23 0 0752 155
( )== −=
,, ,,
a
Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-rata (semi average) yaitu Y = 2,155 + 0,05X.
�.�.� Metode Rata-rata Bergerak (Moving Average)
Jika setelah rata-rata dihitung, diikuti gerakan satu periode ke belakang maka disebut dengan rata-rata bergerak. Metode rata-rata bergerak disebut
���Bab 8 Analisis Data Berkala
juga rata-rata bergerak terpusat, karena rata-rata bergerak diletakkan pada pusat dari periode yang digunakan. Pada metode rata-rata bergerak diadakan penggantian nilai data suatu tahun dengan nilai rata-rata, dihitung dengan nilai data tahun yang mendahuluinya dan nilai data tahun berikutnya. Langkah-langkahnya ialah sebagai berikut: 1. Menghitung rata-rata dari sejumlah data paling awal 2. Melupakan nilai data yang pertama 3. Mengulangi tahap (a) dan (b) sampai data yang terakhir
Kalau kita mempunyai data sebanyak n yaitu Y1, Y2, Y3,…,Yn, maka rata-rata bergerak (moving average) n waktu (tahun, bulan, minggu, hari) merupakan urutan rata-rata hitung sebagai berikut:
Y Y Yn
Y Y Yn
Y Y Yn
n n n1 2 1 2 1 3 4 1+ + + + + + + + ++ +… … , ,
Dan seterusnya, setiap rata-rata hitung di atas disebut total gerak (moving total), yang berguna untuk mengurangi variasi dari data asli.di dalam data berkala, rata-rata bergerak sering dipergunakan untuk memuluskan fluktuasi yang terjadi dalam data tersebut.proses pemulusan ini disebut pemulusan data berkala. Bagian pembilang masing-masing disebut total bergerak menurut total n yang bergantung pada periode waktu data berkala. Data berkala merupakan data tahunan, maka urutan n adalah dalam tahunan, bila data berkala merupakan data bulanan, maka urutan n adalah bulanan, dan seterusnya. Dengan demikian kita dapat mengenal rata-rata bergerak satu tahun, rata-rata bergerak 5 tahun rata-rata bergerak 10 tahun, rata-rata bergerak 3 bulan, dan seterusnya. Apabila rata-rata bergerak dibuat dari data tahunan atau bulanan sebanyak n waktu, maka rata-rata bergerak disebut rata-rata bergerak tahunan atau bulanan dengan order n (moving average of order n).
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Dalam menggunakan metode rata-rata bergerak untuk mencari nilai trend, perlu diperhatikan beberapa hal yaitu: 1. Jika dalam membuat prakiraan digunakan rata-rata bergerak, misalnya
3 tahun, prakiraan tahun ke-4 dapat dilakukan jika sudah tersedia data sampai dengan 3 tahun sebelumnya. Demikian juga, membuat prakiraan dengan rata-rata bergerak 5 tahun, harus tersedia data dari 5 tahun sebelumnya, dan seterusnya.
2. Semakin banyak tahun bersangkutan diambil, semakin kurang fluktuasi rata-ratanya dan semakin kelihatan halus (smooth) grafiknya.
3. Jika diperkirakan tidak banyak terjadi perubahan data di masa datang maka dalam membuat prakiraan sebaiknya diambil waktu yang panjang, demikian pula sebaliknya.
Metode rata-rata bergerak (moving average) dapat dibedakan menjadi 2 yaitu: 1. Rata-Rata Bergerak Sederhana yaitu sering digunakan untuk
meratakan deret berkala yang bergelombang adalah metode rata-rata bergerak. Metode ini beda berdasarkan jumlah tahun yang dipakai untuk mencari rata-rata.
2. Rata-Rata Bergerak Tertimbang yaitu umumnya timbangan yang digunakan bagi rata-rata bergerak adalah koefisien Binomial. Rata-rata bergerak per 3 tahun harus diberi koefisien 1, 2, 1, sebagai timbangan.
Berikut ini prosedur-prosedur cara menghitung metode moving average: a. Prosedur menghitung rata-rata bergerak sederhana per 3 tahun sebagai
berikut: (1) Jumlahkan data selama 3 tahun berturut-turut. Hasilnya diletakkan di tengah-tengah tahun tersebut. (2) Bagilah dengan banyaknya tahun tersebut untuk mencari nilai rata-rata hitungnya. (3) Jumlahkan data berikutnya selama 3 tahun berturut-turut dengan
���Bab 8 Analisis Data Berkala
meninggalkan tahun yang pertama. Hasilnya diletakkan di tengah-tengah tahun tersebut dan bagilah dengan banyaknya tahun tersebut dan seterusnya sampai selesai.
b. Rata-rata Bergerak Tertimbang. Umumnya timbangan yang digunakan bagi rata-rata bergerak ialah koefisien binomial. Rata-rata bergerak per 3 tahun harus diberi koefisien 1, 2, 1 sebagai timbangannya prosedur menghitung rata-rata bergerak tertimbang per 3 tahun sebagai berikut: (1) Jumlahkan data tersebut selama 3 tahun berturut-turut secara tertimbang. (2) Bagilah hasil penjumlahan tersebut dengan faktor pembagi 1+2+1 = 4. Hasilnya diletakkan di tengah-tengah tahun tersebut dan seterusnya sampai selesai.
Contoh 8.9Gunakan data berkala berikut: 3, 6, 1, 6, 4, 7, 3, 3, 1
Tentukanlah rata-rata bergerak menurut urutan 3!
penyelesaian:
Y
Y
Y
Y
1
2
3
4
3 6 13
103
3 33
6 1 63
133
4 33
1 6 43
113
3 66
6
=+ +
= =
=+ +
= =
=+ +
= =
=
,
,
,
++ += =
=+ +
= =
=+ +
= =
=+ +
4 73
173
5 66
4 7 33
143
4 66
7 3 33
133
4 33
3 3
5
6
7
,
,
,
Y
Y
Y 113
73
2 33= = ,
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Data berkala asli: 3, 6, 1, 6, 4, 7, 3, 3, 1
Rata-rata bergerak: 3,33, 4,33, 3,66, 5,66, 4,66, 4,33, 2,33
Contoh 8.10Gunakan data berkala ini: 3, 6, 1, 6, 4, 7, 3, 3, 1 bila tiap nilai menurut urutan 3 masing-masing diberi bobot 1, 4, dan 1, maka tentukanlah rata-rata bergerak secara tertimbang menurut urutan 3!
penyelesaian:
Y
Y
1
2
1 3 4 6 1 11 4 1
3 24 16
286
4 66
1 6 4 1 1 61
=( )+ ( )+ ( )+ +
=+ +
= =
=( )+ ( )+ ( )+
,
44 16 4 6
6166
2 66
1 4 4 6 1 41 4 1
4 24 46
326
5 33
+=+ +
= =
=( )+ ( )+ ( )+ +
=+ +
= =
,
,Y 33
1 6 4 4 1 71 4 1
6 16 76
296
4 83
1 4 4 7 1 3
4
5
Y
Y
=( )+ ( )+ ( )+ +
=+ +
= =
=( )+ ( )+ ( )
,
11 4 14 28 3
6356
5 83
1 7 4 3 1 31 4 1
7 12 36
2266
+ +=+ +
= =
=( )+ ( )+ ( )+ +
=+ +
= =
,
Y 33 66
1 3 4 3 1 11 4 1
3 12 16
166
2 667
,
,Y = ( )+ ( )+ ( )+ +
=+ +
= =
Dengan demikian diperoleh:Data berkala asli: 3, 6, 1, 6, 4, 7, 3,
Rata-rata bergerak: 4,66, 2,66, 5,33, 4,83, 5,83, 3,66, 2,66
���Bab 8 Analisis Data Berkala
Contoh 8.11Dengan menggunakan data berkala di bawah ini, tentukanlah: a. Rata-rata bergerak 2 tahun b. Rata-rata bergerak 3 tahun
tabel 8.17Besar Pinjaman Suatu Negara (Milliaran Rupiah)
tahun Besar pinjaman (Y)2000 2,52001 3,82002 3,52003 2,32004 1,52005 4,52006 4,22007 1,72008 1,8
a. Rata-rata bergerak 2 tahun:
Y
Y
Y
1
2
3
2 5 3 82
6 32
3 15
3 8 3 52
7 32
3 65
3 5 2 32
5 82
=+
= =
=+
= =
=+
=
, , , ,
, , , ,
, , ,==
=+
= =
=+
= =
=+
= =
2 9
2 3 1 52
3 82
1 9
1 5 4 52
62
3
4 5 4 22
8 72
4
5
6
,
, , , ,
, ,
, , ,
Y
Y
Y 44 35
4 2 1 72
5 42
2 95
1 7 1 82
3 52
1 75
7
8
,
, , , ,
, , , ,
Y
Y
=+
= =
=+
= =
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
b. Rata-rata bergerak 3 tahun:
Y
Y
Y
1
2
3
2 5 3 8 3 53
9 83
3 26
3 8 3 5 2 33
9 63
3 2
3 5 2
=+ +
= =
=+ +
= =
=+
, , , , ,
, , , , ,
, ,33 1 53
7 33
2 43
2 3 1 5 4 53
8 33
2 76
1 5 4 5 4 23
4
5
+= =
=+ +
= =
=+ +
=
, , ,
, , , , ,
, , ,
Y
Y 88 33
2 76
4 5 4 2 1 73
10 43
3 46
4 2 1 7 1 83
7 73
2
6
7
, ,
, , , , ,
, , , ,
=
=+ +
= =
=+ +
= =
Y
Y ,,56
Letak rata-rata bergerak 2 tahun dan rata-rata bergerak 3 tahun disajikan pada 2 tabel berikut:
tabel 8.18Letak Rata-Rata Bergerak 2 Tahun
tahun Data aslitotal Bergerak 2
tahunrata-rata Bergerak 2
tahun2000 2,52001 3,8 6,3 3,152002 3,5 7,3 3,652003 2,3 5,8 2,92004 1,5 3,8 1,92005 4,5 6 32006 4,2 8,7 4,352007 1,7 5,9 2,952008 1,8 3,5 1,75
���Bab 8 Analisis Data Berkala
tabel 8.19Letak Rata-Rata Bergerak 3 Tahun
tahunData asli
total bergerak3 tahun
rata-rata Bergerak 3 tahun
2000 2.52001 3,8 9,8 3,262002 3,5 9,6 3,22003 2,3 7,3 2,432004 1,5 8,3 2,762005 4,5 10,2 3,42006 4,2 10,4 3,462007 1,7 7,7 2,562008 1,8
Contoh 8.12Diketahui data berkala sebagai berikut: 4, 5, 3, 2, 1, 7, 6, 4
Tentukanlah rata-rata bergerak urutan 4!
penyelesaian:
Y
Y
Y
1
2
3
4 5 3 24
144
3 5
5 3 2 14
114
2 75
3 2 1 74
134
3 2
=+ + +
= =
=+ + +
= =
=+ + +
= =
,
,
, 55
2 1 7 64
164
4
1 7 6 44
184
4 5
4
5
Y
Y
=+ + +
= =
=+ + +
= = ,
Data bergerak asli: 4, 5, 3, 2, 1, 7, 6, 4
Rata-rata bergerak: 3,5, 2,75, 3,25, 4, 4,5
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Contoh 8.13Diketahui data berkala berikut ini: 4, 5, 3, 2, 1, 7, 6, 4. Bila nilai menurut urutan 4 masing-masing diberi bobot 2, 3, 3 dan 2 maka tentukanlah rata-rata bergerak secara tertimbang menurut urutan 4!
penyelesaian:
Y
Y
1
2
2 4 3 5 3 3 2 22 3 3 2
3610
3 6
2 5 3 3 3 2 2 1
=( )+ ( )+ ( )+ [ ]
+ + += =
=( )+ ( )+ ( )+
,
[[ ]
+ + += =
=( )+ ( )+ ( )+ [ ]
+ + += =
2 3 3 22710
2 7
2 3 3 2 3 1 2 72 3 3 2
2910
2 93
,
,Y
Y44
5
2 2 3 1 3 7 2 62 3 3 2
4010
4
2 1 3 7 3 6 2 4
=( )+ ( )+ ( )+ [ ]
+ + += =
=( )+ ( )+ ( )+ [ ]Y
22 3 3 24910
4 9+ + +
= = ,
Dengan demikian diperoleh:Data berkala asli: 4, 5, 3, 2, 1, 7, 6, 4
Rata-rata bergerak: 3,6, 2,7, 2,9, 4, 4,9
Contoh 8.14Diketahui data berkala berikut: 2, 6, 2, 3, 4, 5, 4, 4, 1
Tentukanlah rata-rata bergerak menurut urutan 4!
���Bab 8 Analisis Data Berkala
penyelesaian:
Y
Y
Y
Y
1
2
3
4
2 6 24
104
2 5
6 2 34
114
2 75
2 3 44
94
2 25
3 4
=+ +
= =
=+ +
= =
=+ +
= =
=+
,
,
,
++= =
=+ +
= =
=+ +
= =
=+ +
54
124
3 25
4 5 44
134
3 25
5 4 44
134
3 25
4 4 14
5
6
7
,
,
,
Y
Y
Y == =94
2 25,
Data berkala asli: 2, 6, 2, 3, 4, 5, 4, 4, 1
Rata-rata bergerak: 2,5, 2,75, 2,25, 3, 3,25, 3,25, 2,25
Contoh 8.15Diketahui data berkala berikut ini: 2, 6, 2, 3, 4, 5, 4, 4, 1Bila tiap nilai menurut urutan 2 masing-masing diberi bobot 2, 1, dan 2, maka tentukanlah rata-rata bergerak secara tertimbang menurut urutan 4!
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
penyelesaian:
Y
Y
1
2
2 2 1 6 2 22 1 2
4 6 45
145
2 8
2 6 1 2 2 32 1
=( )+ ( )+ ( )+ +
=+ +
= =
=( )+ ( )+ ( )+ +
,
2212 2 6
5205
4
2 2 1 3 2 42 1 2
4 3 85
155
3
2 3
3
4
=+ +
= =
=( )+ ( )+ ( )+ +
=+ +
= =
=( )
Y
Y ++ ( )+ ( )+ +
=+ +
= =
=( )+ ( )+ ( )+ +
=+ +
1 4 2 52 1 2
6 4 105
205
4
2 4 1 5 2 42 1 2
8 5 85Y
55215
4 2
2 5 1 4 2 42 1 2
10 4 85
225
4 4
2 4 1 4
6
7
= =
=( )+ ( )+ ( )+ +
=+ +
= =
=( )+
,
,Y
Y (( )+ ( )+ +
=+ +
= =2 1
2 1 28 4 2
5145
2 8,
Dengan demikian diperoleh:Data berkala asli: 2, 6, 2, 3, 4, 5, 4, 4, 1
Rata-rata bergerak: 2, 8, 4, 3, 4, 4,2, 4,4, 2,8
�.�.� Metode Kuadrat Minimum (Least Square)
Telah dijelaskan sebelumnya dalam bab regresi dan korelasi bahwa
antara nilai-nilai data berkala y₁, y₂, y₃,.....,yn dengan nilai-nilai trend Y 1
, Y 2 ,
Y 3 ,....
Yn , yang diperoleh dari persamaan trend linear
Y i = a + bX
mempunyai selisih sebesar ei = Yi –Y i , sehingga jumlah seluruh selisih
dari semua titik adalah Σei. Oleh karena nilai ei bisa bertanda positif atau bertanda negatif, maka agar menjadi nilai bertanda positif, dapat diambil kuadrat dari semua ei, yaitu ei
2 sehingga diperoleh jumlah kuadrat selisih,
���Bab 8 Analisis Data Berkala
yaitu Σei2 = Σ (Yi –
Y i)
2. Dengan meminimumkan bentuk kuadrat ini, maka akan diperoleh persamaan trend linear
Y = a + bX yang mempunyai
kesalahan atau selisih (paling kecil). Persamaan trend dengan menggunakan metode kuadrat terkecil dalam
persamaan trend linear Y = a + bX ditentukan sebagai berikut:
aY
n
bXY
X
=
=
∑
∑2
Keterangan:Y = nilai data berkalan = jumlah periode waktuX = tahun kode
Dengan syarat ΣX = 0, di mana X adalah variable waktu dari data berkala dan Y adalah nilai – nilai data berkala. Oleh karena itu pendekatan yang dipakai bersifat matematis, maka persamaan trend yang diperoleh dengan metode kuadrat terkecil ini dipandang sebagai suatu persamaan trend yang paling baik dibandingkan dengan metode bebas, metode setengah rata-rata dan metode rata-rata bergerak, sehingga banyak dipakai dalam analisis data berkala. Secara teknis persyaratan ΣX = 0, ditentukan berdasarkan banyaknya nilai data berkala. Bila banyaknya nilai data berkala n ganjil, maka nilai – nilai X adalah...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...... sedangkan bila banyaknya nilai berkala n genap, maka nilai – nilai X adalah...., -5, -3, -1, 1, 3, 5,....
Contoh 8.16Tentukanlah persamaan trend linier dari data di bawah ini dengan menggunakan metode kuadrat minimum (least square)!
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
tabel 8.20Besar Penjualan Motor
(Jutaan Rupiah)
tahun penjualan2001 1702002 1902003 2252004 2502005 325
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
tabel 8.21Perhitungan Least Square
tahun penjualan (Y) X XY X²2001 170 -2 -340 42002 190 -1 -190 12003 225 0 0 02004 250 1 250 12005 325 2 650 4
Jumlah 1160 370 10
Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:
Y XY X
Yn
XYX
= = =
=
=
=
=
=
=
∑∑∑
∑
∑∑
1160 370 10
11605
232
37010
37
2
2
a
s
b
Maka, nilai a yaitu:
Y XY X
Yn
XYX
= = =
=
=
=
=
=
=
∑∑∑
∑
∑∑
1160 370 10
11605
232
37010
37
2
2
a
s
b
���Bab 8 Analisis Data Berkala
Maka, nilai b yaitu:
Y XY X
Yn
XYX
= = =
=
=
=
=
=
=
∑∑∑
∑
∑∑
1160 370 10
11605
232
37010
37
2
2
a
s
b
Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode kuadrat minimum
(least square) yaitu Y = 232 + 37X.
Contoh 8.17Tentukanlah persamaan trend linier dari data di bawah ini dengan menggunakan metode kuadrat minimum (least square)!
tabel 8.22Besar Pembelian Baju (Dalam Jutaan Rupiah)
tahun pembelian (Y)2000 2002001 2352002 1552003 1752004 2102005 220
Jumlah 1195
penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
tabel 8.23Perhitungan Least Square
tahun pembelian (Y) X XY X²2000 200 -5 -1000 252001 235 -3 -705 92002 155 -1 -155 12003 175 1 175 12004 210 3 630 92005 220 5 1100 25
Jumlah 1195 45 70
Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:
∑Y = 1195 ∑XY = 45 ∑X² = 70
Maka, nilai a yaitu:
aY
n
b =XYX2
=
=
=
=
=
∑
∑∑
11956
199 17
45700 64
,
,
Maka, nilai b yaitu:
aY
n
b =XYX2
=
=
=
=
=
∑
∑∑
11956
199 17
45700 64
,
,
Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode kuadrat minimum
(least square) yaitu Y = 199,17 + 0,64X
���Bab 8 Analisis Data Berkala
�.� Rangkuman
Data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan suatu perkembangan atau kecenderungan keadaan/peristiwa (perkembangan produksi, harga, hasil penjualan, jumlah penduduk, jumlah kecelakaan, jumlah kejahatan, dan sebagainya) disebut data berkala. Gerakan atau variasi dari data berkala terdiri dari empat komponen yaitu sebagai berkut: 1. Gerakan Trend Jangka Panjang Atau Trend Sekuler (Long Term
Movement Or Secular Trend), yaitu suatu gerakan yang menunjukan arah perkembangan atau kecenderungan secara umum, arahnya bisa menaik atau menurun.
2. Gerakan/Variasi Sikli atau Siklus (Cyclical Movement or Variations), yaitu gerakan atau variasi jangka panjang di sekitar garis trend (berlaku untuk data tahunan).
3. Gerakan/Variasi Musiman (Seasonal Movement or Variations), yaitu gerakan yang mempunyai pola tetap atau berulang-ulang secara teratur selama kurang lebih setahun.
4. Gerakan/VariasiRandom/Residu (Irregular or Random Variations), yaitu gerakan/variasi yang disebabkan oleh faktor kebetulan (chance factor). Gerakan yang berbeda tapi dalam waktu yang singkat, tidak diikuti dengan pola yang teratur dan tidak dapat diperkirakan.
Cara menentukan persamaan trend yaitu diantaranya dengan menggunkan metode setengah rata-rata (semi average), metode rata-rata bergerak (moving average) dan metode kuadrat minimum (least square).
�.� Latihan Soal
8.4.1 Tentukanlah persamaan trend Y= a + bX dari data di bawah ini dengan menggunakan metode:
Statistika Deskriptif Itu Mudah��0
a. setengah rata-rata (semi average)b. rata-rata bergerak urutan 3 (moving average)c. kuadrat minimum (least square)
tabel 8.24Besar Pinjaman Perusahaan (Jutaan Rupiah)
X tahun Besar pinjaman (Y)0 2002 1,81 2003 2,02 2004 2,13 2005 2.34 2006 2,65 2007 2,86 2008 3,07 2009 3,48 2010 3,6
�.� Jawaban Latihan Soal
8.5.1 penyelesaian:a. Metode Setengah Rata-Rata (Semi Average) Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel
perhitungan sebagai berikut:
tabel 8.25Perhitungan Semi Average
X tahun Besar pinjaman (Y)0 2002 1,81 2003 2,02 2004 2,13 2005 2.34 2006 2,65 2007 2,86 2008 3,07 2009 3,48 2010 3,6
Keterangan: : Kelompok 1
: Dihilangkan : Kelompok 2
���Bab 8 Analisis Data Berkala
Nilai rata-rata hitung dari masing-masing kelompok yaitu
Y
Y
1
2
1 8 2 0 2 1 2 34
2 05
2 8 3 0 3 4 3 64
3 2
=+ + +
=
=+ + +
=
, , , , ,
, , , , ,
Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 2,05 berada di antara nilai data 2,0 pada tahun 2003 dengan X = 1 dan nilai 2,1 tahun 2004 dengan X = 2. Dengan demikian rata-rata
Y₁ = 2,05 bertepatan atau bersesuaian dengan nilai X = Y =
1,5 sehingga diperoleh titik (1,5; 2,05). Sedangkan Y₂ = 3,2 berada di antara nilai data 3,0 tahun 2008 dengan X = 6 dan nilai data 3,4 tahun 2009 dengan X = 7; dengan demikian rata
rata Y₂ = 2,45 bertepatan atau bersesuaian dengan X = Y =
6,5 sehingga diperoleh titik kedua, yaitu (6,5; 3,2). Dengan dua titik (1,5; 2,05) dan (6,5; 3,2) sekarang kita
akan tentukan nilai a dan b dari persamaan trend Y = a + bx, dengan menggunakan cara berikut ini yaitu:
Titik (1,5; 2,05) X1 = 1,5 Y1 = 2,05 → 2,05 = a + 1,5b .…..(1)
Titik (6,5; 3,2) X2 = 6,5 Y2 = 3,2 → 3,2 = a + 6,5b ..….(2)
Maka diperoleh:
a ba b
b
b
b
a b
+ =
+ = −
− =−
=−−
=
+ =
1 5 2 056 5 3 2
5 1 151 15
50 23
1 5 2
, ,, ,
,,
,
, ,
0051 5 0 23 2 05
2 05 0 3451 705
aa
+ ( )== −=
, , ,, ,,
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Masukan nilai b = 0,23 pada persamaan (1) yaitu:
a ba b
b
b
b
a b
+ =
+ = −
− =−
=−−
=
+ =
1 5 2 056 5 3 2
5 1 151 15
50 23
1 5 2
, ,, ,
,,
,
, ,
0051 5 0 23 2 05
2 05 0 3451 705
aa
+ ( )== −=
, , ,, ,,
Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-rata yaitu
Y = 1,705+ 0,23X
b. Metode Rata-rata Bergerak
Y
Y
Y
1
2
3
1 8 2 0 2 13
5 93
1 97
2 0 2 1 2 33
6 43
2 13
2 1 2
=+ +
= =
=+ +
= =
=+
, , , , ,
, , , , ,
, ,, , ,
, , , , ,
, , ,
3 2 63
73
2 33
2 3 2 6 2 83
7 73
2 57
2 6 2 8 3 03
8
4
5
+= =
=+ +
= =
=+ +
=
Y
Y ,, ,
, , , , ,
, , , ,
43
2 8
2 8 3 0 3 43
9 23
3 07
3 0 3 4 3 63
103
3 33
6
7
=
=+ +
= =
=+ +
= =
Y
Y
Data berkala asli: 1,8, 2,0, 2,1, 2,3, 2,6, 2,8, 3,0, 3,4, 3,6
Rata-rata bergerak: 1,97, 2,13, 2,33, 2,57, 2,8, 3,07, 3,33c. Metode Kuadrat Minimum (Least Square) Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel
perhitungan sebagai berikut:
���Bab 8 Analisis Data Berkala
tabel 8.26Perhitungan Least Square
tahunBesar
pinjaman (Y)X XY X²
2002 1,8 -4 -7,2 162003 2,0 -3 -6,0 92004 2,1 -2 -4,2 42005 2,3 -1 -2,3 12006 2,6 0 0 02007 2,8 1 2,8 12008 3,0 2 6,0 42009 3,4 3 10,2 92010 3,6 4 14,4 16
Jumlah 23,6 13,7 60
d. Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:
∑Y = 23,6 ∑XY = 13,7 ∑X² = 60
Maka, nilai a yaitu:
Y
XY
X
aY
n
bXY
X
=
=
=
=
=
=
=
=
∑∑∑
∑
∑∑
23 6
13 7
60
23 69
2 62
1
2
2
,
,
,
,
33 760
0 23
,
,=
Maka, nilai b yaitu:
Y
XY
X
aY
n
bXY
X
=
=
=
=
=
=
=
=
∑∑∑
∑
∑∑
23 6
13 7
60
23 69
2 62
1
2
2
,
,
,
,
33 760
0 23
,
,=
Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode kuadrat
minimum (least square) yaitu Y = 2,62 + 0,23X.
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
���
Daftar PUStaKa
Boediono, Wayan Koster, Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas. PT. Remaja Rosdakarya. Bandung. 2008.
Dajan, Anto. Pengantar Metode Statistik. Jilid 1. LP3ES Jakarta. 1991Hinkle Dennise, et.al.Apllied Statistikcs for the Behavioral Sciences
Houghton Mifflin Company. New Jersey, London, 1979.Lewis E.E. Introduction to Relaibility Engineering, Second Edition, John
Wiley & Sons, Inc. New York, 1994.Susila, I Nyoman. Statistika, Edisi Kedua, Penerbit Erlangga, Jakarta,
1994.Soemartojo H, Statistik untuk Manajemen dan Ekonomi, Edisi Keempat,
Jilid I, Penerbit Erlangga, Jakarta,1982.Soentoro, A. Idris. Cara Mudah Belajar Metodologi Penelitian Bisnis, CV
Taramedia, Jakarta.2002Sri Mulyono, Statistika untuk Ekonomi, Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi
UI, Jakarta, 1991.Supranto, Statistika Teori dan Aplikasi, Jilid I, Penerbit Erlangga, Jakarta,
1992.Sujadi PA, Seri Matematika Pendahuluan Teori Kemungkinan dan Statistika,
Penerbit ITB, Bandung, 1983.Sudjana, Metoda Statistika. Edisi Ke-6. Tarsito. Bandung. 1996.
Statistika Deskriptif Itu Mudah���
Walpole Ronald E., Introduction Statistics, 3rd Edition, Terjemahan Bambang Soemantri, Penerbit ITB, Bandung, 1986.
Walpole Ronald E., Probability and Statistics for Engineer and Scientiest, Second Edition, Terjemahan R.K. Sembiring, Penerbit ITB, Bandung, 1986.