nÁvody pro elektrotechnická výuková pracoviště · tento projekt je spolufinancován...

NÁVODY pro elektrotechnická výuková pracoviště

Publikace vznikla v rámci projektu IET1 v Operačním programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost CZ.1.07/1.1.02/010029

verze 1 říjen 2011

Institut experimentálních technologií 1

Řešitelské pracoviště: Ústav teoretické a experimentální elektrotechniky FEKT VUT v Brně

NÁVODY pro elektrotechnická výuková pracoviště

Obsah Měřicí módy RC2000 ...................................................................................................................... 1

1 Impedance dvojpólu ................................................................................................................. 3

2 Paralelní rezonanční obvod ................................................................................................... 15

3 Přechodné děje v obvodech RC a RLC .................................................................................. 21

Brno, říjen 2011

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

1

MĚŘICÍ MÓDY RC2000

Analogová technika


2

Číslicová technika


3

1 IMPEDANCE DVOJPÓLU

1.1 Komplexní čísla Pro vysvětlení významu pojmu impedance, fázor a pro výpočty obvodů napájených harmonickým (sinusovým) proudem se neobejdeme bez teorie komplexních čísel. Komplexní čísla jsou jakousi nástavbou reálných čísel. Stejně jako u reálných čísel jsou definovány operace sčítání, odečítání, násobení a dělení (vyjma dělení nulou). V oboru reálných čísel však můžeme odmocňovat pouze nezáporná čísla, takže zde například kvadratická rovnice x2 + 1 = 0 nemá řešení. To představuje trhlinu, kterou zaplňují komplexní čísla. Komplexní čísla jsou významná nejen v matematice, ale také ve fyzice, zejména v elektrotechnice, optice, hydrodynamice i jinde. Komplexním číslem nazveme číslo tvaru (a+ib), kde a a b jsou reálná čísla. Tento tvar komplexního čísla se nazývá algebraický nebo též složkový. Písmeno i značí imaginární jednotku, která se formálně zavádí jako číslo splňující rovnici i2 + 1 = 0 tj. jako odmocnina z −1, která v oboru reálných čísel neexistuje. Protože však v elektrotechnice se střídavý proud označují malým písmenem i a docházelo by k záměnám, neoznačují elektrotechnici imaginární jednotku písmenem i, ale písmenem j. Pro rozlišení budeme reálná komplexní čísla označovat tučným písmenem (např. A), na rozdíl od reálného čísla A. Algebraický (složkový) tvar komplexního čísla se zapisuje

ja b A. (1.1)

Reálné číslo a se nazývá reálnou částí tohoto komplexního čísla, a = Re{A}, číslo b je jeho imaginární částí, b = Im{A}. Pokud je b = 0, je dotyčné číslo reálným číslem; reálná čísla tedy tvoří podmnožinu čísel komplexních. Pokud je a = 0, mluvíme o ryze imaginárním číslu. Geometricky lze komplexní číslo A zobrazit jako bod v rovině, viz obr. 1.1. Tuto rovinu opatříme souřadnicovými osami, nazývanými reálná (Re) a imaginární (Im). Na vodorovné reálné ose leží pak čísla reálná, na svislé imaginární ose čísla ryze imaginární. Kromě již ukázaného zápisu komplexního čísla v algebraickém tvaru existují ještě další možnosti zápisu. Např. exponenciální tvar komplexního čísla uvádí vzdálenost čísla od počátku souřadnic A a úhel natočení spojnice čísla s bodem 0 od reálné osy , viz obr. 1.1

jeA A , (1.2)

kde A je absolutní hodnota (modul), je argument komplexního čísla.

Dodejme, že „e“ označuje základ přirozeného logaritmu.

Obr. 1.1 Komplexní číslo

Im

Re0

A b

a


4

Pro zjednodušení a zrychlení zápisu exponenciálního tvaru (1.2) byl zaveden verzorový tvar komplexního čísla

A A . (1.3)

Součtem (rozdílem) komplexních čísel ja b A a jc d B je komplexní číslo C, jehož

reálná složka je součtem (rozdílem) reálných složek a imaginární složka součtem (rozdílem) imaginárních složek jednotlivých komplexních čísel. Komplexní čísla zadaná v jiném tvaru nejprve převedeme do tvaru algebraického.

j j ja b c d a c b d C A B . (1.4)

Násobení komplexních čísel je nejlépe provádět v exponenciálním tvaru. Výsledkem je komplexní číslo s modulem rovným součinu modulů a s argumentem rovným součtu argumentů jednotlivých komplexních čísel.

jj je e eA B A B C A B . (1.5)

Dělením komplexních čísel v exponenciálním tvaru dostaneme komplexní číslo, jehož modul je dán podílem modulů a argument rozdílem argumentu dělence a dělitele.

j

jj

e ee

A ABB

ACB

. (1.6)

Násobení a dělení lze provádět i s goniometrickým tvarem komplexních čísel, ale je to již komplikovanější. Při násobení a dalších úpravách je nutné respektovat to, že

2 3 4 5j 1, j j, j 1, j j, atd. (1.7)

Pro další použití ještě uveďme verzorový tvar imaginární jednotky. Lze velmi snadno ukázat (s využitím obr. 1.1), že platí

j 1 90 1 , j 1 90 12 2

. (1.8)

Na závěr poznamenejme, že číslo * ja b A je k číslu ja b A tzv. komplexně

sdružené, což znamená, že má obrácené znaménko u imaginární části.

Vzájemný převod mezi složkovým a exponenciálním tvarem komplexního čísla je možné uskutečnit pomocí následujících vztahů, které vyplývají z geometrie na obr. 1.1.

Algebraický tvar Exponenciální tvar

ja b A

a – reálná část b – imaginární část

jeA A A – modul (absolutní hodnota) – úhel, fáze

2 2A a b arctan ba

cosa A sinb A


5

Pro procvičení matematických operací s komplexními čísly nabízíme několik příkladů.

Příklad 1.1

Vyjádřete komplexní číslo 3 j4 A v exponenciálním a verzorovém tvaru.

Řešení Vypočteme modul a argument komplexního čísla

2 2 43 4 25 5 , arctan 53,133

A .

Sestavíme exponenciální a verzorový tvar

j53,135 e 5 53,13 A .

Příklad 1.2

Vyjádřete komplexní číslo j605e A v algebraickém tvaru.

Řešení

Nejprve vypočteme reálnou a imaginární část komplexního čísla Re 5 cos60 2,5 A ,

Im 5 sin60 4,33 A .

Algebraický tvar komplexního čísla je 2,5 j4,33 A .

Příklad 1.3

Určete součet komplexních čísel 1 2 j5 A a 2 1 j1,5 A .

Řešení

1 2 2 j5 1 j1,5 3 j3,5 A A A

Příklad 1.4

Vypočítejte součin komplexních čísel j401 10e A a j10

2 30e A .

Řešení

j40 j10 j301 2 10e 30e 300e A A A

Příklad 1.5

Vypočítejte podíl komplexních čísel j301 20e A a j10

2 4e A .

Řešení

j30j201

j102

20e 5e4e

AA

A.


6

Příklad 1.6

Vypočítejte součin a podíl komplexních čísel 1 2 j3 A a 2 2 j A .

Řešení V případě násobení čísel v algebraickém tvaru můžeme buď nejprve převést obě čísla na exponenciální tvar a pak postupovat viz příklad 1.4, nebo násobit čísla přímo v algebraickém tvaru. Postupuje se stejně jako u násobení mnohočlenů s využitím (1.7).

21 2 2 j3 2 j 2 2 j3 2 j2 j 3 1 j8 A A A

Obdobně při dělení je možné převést čísla na exponenciální tvar a pak postupovat viz příklad 1.5, nebo dělit přímo čísla v algebraickém tvaru. V tomto případě se násobí dělenec i dělitel číslem komplexně sdruženým k děliteli, čímž díky pravidlu j2 = -1 dostaneme reálný jmenovatel, kterým poté vydělíme postupně reálnou i imaginární část čitatele.

1

2

2 j3 2 j 7 j4 1,4 j0,82 j 2 j 5

AA

A

1.2 Uvedení do problematiky střídavých obvodů V obvodech stejnosměrného proudu využíváme jako základní pasivní součástku rezistor, jehož vlastností je elektrický odpor. Hodnota odporu se značí R, uvádí se v jednotkách Ohmů () a udává poměr mezi napětím U na rezistoru a proudem I jím tekoucím. Tento vztah je znám jako Ohmův zákon

URI

. () (1.9)

V obvodech střídavého proudu se využívají kromě rezistoru i další pasivní součástky - kapacitor (C) a induktor (L). U těchto součástek je však vztah mezi napětím a proudem o něco složitější, neobejdeme se bez integrodiferenciálního počtu. Pro kapacitor platí

CC

ddu

i Ct

nebo také C C

1 du i tC

, (1.10)

podobně pro induktor platí

LL

ddi

u Lt

nebo také L L

1 di u tL

. (1.11)

Řešení obvodů obsahujících prvky L a C se tak matematicky značně komplikuje.


7

Často se však setkáme s obvody napájenými zdrojem napětí sinusového (synonymum harmonického) průběhu. Harmonicky proměnnou veličinu je možno popsat pomocí funkce sinus. Okamžitou hodnotu časového průběhu harmonického napětí s periodou T (obr. 1.2) můžeme psát

m sinu U t

(V) (1.12)

kde je Um amplituda, (V) = 2/T = f úhlový kmitočet, (rad/s) počáteční fáze. (rad)

Pokud připojíme například kapacitor ke zdroji harmonického napětí, pak protékající proud bude podle (1.10) s dosazením (1.12)

mC m m

d sincos sin

d 2

U ti C CU t CU t

t

. (1.13)

Při úpravě ve vztahu (1.13) jsme využili toho, že cos() = sin(+/2). Díky vlastnosti harmonické funkce, že její derivací či integrací dostaneme opět harmonickou funkci, se v tomto případě shoduje tvar časových průběhů napětí i proudu. Jinak řečeno, při napájení prvků R, L, C zdrojem sinusového napětí resp. proudu je i průběh proudu resp. napětí sinusový, pouze má jinou amplitudu a jinou počáteční fázi. Toto však neplatí pro jiný než harmonický průběh! Při popisu napětí a proudů v obvodu složeném z pasivních prvků R, L a C a napájeném harmonickým zdrojem nám tedy stačí namísto popisu obvodových veličin funkcemi ve tvaru (1.12) zaznamenávat pouze velikost a počáteční fázi. K tomu se znamenitě hodí právě komplexní čísla. Poznamenejme, že v popsaném případě hovoříme o obvodu v harmonickém ustáleném stavu. Pro zjednodušení popisu obvodů s harmonickým napájením se proto zavádí dva pojmy: fázor a impedance. Fázor je komplexní veličina popisující napětí nebo proud v obvodu v harmonickém ustáleném stavu. Fázor popisuje jednak velikost napětí nebo proudu, jednak jeho fázový posun. Například fázor 1 10 0 V U popisuje napětí s hodnotou 10 V, časový průběh má nulový

fázový posun; fázor 2 10 90 V U popisuje napětí stejné hodnoty, avšak časový průběh je posunut o 90º, viz°obr. 1.3.

Obr. 1.2 Napětí s harmonickým průběhem


8

90

Obr. 1.3 Časový průběh dvou harmonických napětí popsaných fázory 1 10 0 V U a

2 10 90 V U

Impedance je veličina, popisující zdánlivý odpor součástky (dvojpólu) a fázový posuv napětí proti proudu při průchodu harmonického střídavého proudu daného kmitočtu. Jednotka impedance je shodná s jednotkou elektrického odporu – Ohm (). Impedance tedy charakterizuje vlastnosti prvku (například rezistoru, kapacitoru) pro střídavý proud, podobně jako elektrický odpor charakterizuje vlastnosti rezistoru pro stejnosměrný proud. Impedance je základní vlastností, kterou potřebujeme znát pro analýzu střídavých elektrických obvodů. S impedancí se lze setkat například při výpočtu proudů motorů a dalších spotřebičů napájených ze střídavé sítě. Impedance je komplexní veličinou, značí se Z. Analogicky k definici odporu (1.9) je hodnota impedance definována jako poměr fázoru napětí U na součástce a proudem I jí tekoucím

UZI

. () (1.14)

Ve vztahu (1.13) jsme odvodili proud kapacitorem, který je připojen na napětí definované v (1.12). Pokud tento proud a napětí napíšeme ve formě fázorů, dostaneme

Cm m / 2CU I , (A) (1.15)

Cm mU U . (V) (1.16)

Nyní již můžeme vyjádřit impedanci kapacitoru podle (1.14)

m

Cm

1 1/ 2j/ 2

UC CCU

Z . () (1.17)


9

Podobně lze snadno odvodit impedanci induktoru

L / 2 jL L Z , () (1.18)

pro rezistor pak je impedance ZR = R. Všimněme si, že impedance kapacitoru a induktoru jsou funkcemi kmitočtu = 2f, jsou tedy kmitočtově závislé. Vztahy mezi jednotlivými veličinami pro základní obvodové prvky spolu s časovými i fázorovými diagramy ukazuje přehledně tab. 1.1. Převrácená hodnota impedance se nazývá admitance, Y = 1/Z; má rozměr vodivosti - Siemens (S).

tab. 1.1 Vztahy mezi napětím a proudem, jejich časové průběhy, impedance a fázorové diagramy pro základní obvodové prvky R, L, C

Prvek Časová oblast Oblast komplexní proměnné

Okamžité hodnoty

Časový průběh Fázory

Fázorový diagram

R

u t R i t

m R m U Z I

R RZ

L

ddi t

u t Lt

m L m U Z I

L j LZ

C

1 du t i t tC

m C m U Z I

C

1j C

Z

1.3 Úkol Zobrazte vzájemné poměry napětí a proudů zadaných dvojpólů a jejich kombinací. Ze zobrazených fázorů napětí a proudu spočtěte hodnoty impedancí dvojpólů. Ze zadaných parametrů prvků vypočtěte teoretické hodnoty impedancí dvojpólů.


10

1.4 Pracovní postup Podle zapojení na obr. 1.4 napájí generátor napětím UG sériovou kombinaci měřeného dvojpólu Z a snímacího rezistoru RS. Napětí na rezistoru je úměrné proudu měřeným dvojpólem IZ a je s ním ve fázi, UA = RS·IZ.

Obr. 1.4 Princip měření impedancí

Ze schématu plyne vztah pro proud dvojpólem Z

G AZ

S SR R

U U

IZ

. (A) (1.19)

Pro hodnotu impedance měřeného dvojpólu platí

B

Z

U

ZI

, (A) (1.20)

hodnotu modulu a fáze impedance můžeme vypočítat z naměřených velikostí a fázových posuvů napětí UA a UB, přičemž vyjdeme z toho, že napětí UA má nulovou počáteční fázi:

B BS

AZ

UZ R

U

UZ

I, () (1.21)

Barg argZ U . (°) (1.22)

a. Zapojte pracoviště podle schématu obr. 1.5. Generátor připojte na svorky přípravku Gen A a Gen B. Analogový vstup A připojte ke snímacímu rezistoru RS (svorky +IN A a –IN A), k propojení použijte žlutou dvojlinku, pozor na polaritu vstupu značenou + a -. Analogový vstup B připojte modrou dvojlinkou ke svorkám měřených impedancí označeným +IN B a –IN B. Zapněte napájecí zdroj pracoviště.

b. Na přípravku generátoru Function generator stiskněte tlačítko Init, potom nastavte kmitočet 1 kHz (MODE Freq, pak tlačítky v bloku SHIFT) a amplitudu 1 V (MODE Ampl, pak tlačítky v bloku SHIFT).

c. Spusťte obslužný program RC 2000. Z výběru programů zvolte Oscilloscope. Stiskem tlačítka Phasor zapněte zobrazování fázorů měřených napětí. Stiskem tlačítka Cursor v sekci Function zvolte zobrazování hodnot fázorů. Nastavte tyto parametry: rozsah zobrazení kanálu A: ±200 mV, rozsah zobrazení kanálu B: ±1 V (Gain pomocí tlačítek ), průměrování vypnuto (Average: off). Rozsah časové osy (Time pomocí tlačítek ) nastavte tak, aby byly zobrazeny časové značky 0,5 a 1 ms.

d. Propojovací svorkou zapojte na přípravku první z měřených dvojpólů Z1.


11

e. Stiskem virtuálního tlačítka Single spusťte měření. Zobrazí se fázory naměřených napětí a odpovídající harmonické časové průběhy. Žlutá křivka odpovídá proudu dvojpólem (napětí na snímací odporu RS), modrá křivka je napětí na měřeném dvojpólu. Při uvedeném nastavení má žlutá křivka nulovou počáteční fázi.

f. Do tab. 1.2 do sloupce Měřeno zapište amplitudy obou zobrazených křivek a fázový posun modré křivky - hodnoty se zobrazují v tabulce Cursor – Phasors. Do tab. 1.3 si zakreslete průběh zobrazených křivek odpovídající časovému průběhu napětí a proudu a jim odpovídající fázory.

g. Propojovací svorkou zapojte na přípravku další z měřených impedancí. Postup podle bodů e) a f) opakujte i pro dvojpóly Z2 až Z5. Všímejte si souvislostí mezi časovými průběhy a fázory napětí a proudu.

h. Měření ukončete (Exit).

Obr. 1.5 Zapojení pracoviště RC 2000 pro měření impedancí


12

Obr. 1.6 Skutečný vzhled pracoviště pro měření impedancí dvojpólů

1.5 Zpracování tab. 1.2 Impedance měřených dvojpólů složených z prvků R, L a C v sérii

Měřeno Vypočteno z měř. hodnot

Vypočteno z prvků

Poznámky

UA UB Z Zteor RS = 100 UG = 1 V f = 1000 Hz R1 = 1 k C2 = ……… L3 = ……… RL = ……… L4 = ……… R4 = ……… C5 = ……… R5 = ………

mV V ° ° °

R1 1000 0,0

C2

L3 + RL

L4 + R4

C5 + R5

i. Do tab. 1.2 vypočítejte pro každý z dvojpólů z hodnot jeho obvodových prvků teoretickou hodnotu modulu a fáze impedance Zteor. Při výpočtu teoretické hodnoty impedance se vychází z impedancí Z základních obvodových prvků R, L, C uvedených v tab. 1.1. Impedance se při sériovém řazení dvojpólů sčítají.


13

Pro sériové spojení induktoru a rezistoru platí:

jR L Z , () (1.23)

22Z R L , arctan LR (), (°) (1.24)

Pro sériové spojení kapacitoru a rezistoru platí:

1j

RC

Z , () (1.25)

22Z R C

, 1arctan

RC

(), (°) (1.26)

j. Vypočtěte impedanci dvojpólů Z - modul podle vztahu (1.21) a fázi podle (1.22), fázi podle potřeby přepočítejte odečtením 360° tak, aby její hodnota byla v intervalu 90 ,90 .

1.6 Závěr Porovnejte hodnoty impedancí všech dvojpólů zjištěné měřením s hodnotami

teoretickými, viz tab. 1.2. Porovnejte průběh zobrazených křivek odpovídající časovému průběhu napětí a proudu

a odpovídající fázory z tab. 1.3 s teoretickými z tab. 1.1.

tab. 1.3 Vzor tabulky pro zobrazení napětí a proudů měřených dvojpólů

Dvojpól Časový průběh Fázorový diagram U a I

UR

IR


14

Dvojpól Časový průběh Fázorový diagram U a I

1.7 Stručné shrnutí Impedance vypočtené ze zadaných parametrů obvodu umožňují efektivní analýzu střídavých obvodů v harmonickém ustáleném stavu. Charakter impedance dvojpólu odráží bezprostředně jeho chování jak v časové oblasti (fázový posun napětí a proudu), tak i při změnách kmitočtu. Vlastní měření ukazuje i na rozdíl mezi vlastnostmi ideálních a reálných obvodových prvků, představuje způsob praktického vyšetření hodnot modulu a fázového posunu impedance libovolného neznámého dvojpólu. V úloze byla ukázána souvislost zobrazení hodnot napětí a proudů v časovém průběhu i fázorové rovině.


15

2 PARALELNÍ REZONANČNÍ OBVOD

2.1 Cíl úlohy Praktickým měřením ověřit základní parametry reálného paralelního rezonančního obvodu (PRO) - činitel jakosti Q, rezonanční kmitočet fr a šířku pásma B. Vyšetřit selektivní vlastnosti paralelního rezonančního obvodu změřením jeho kmitočtových závislostí a porovnat naměřené hodnoty parametrů obvodu s hodnotami určenými výpočtem z parametrů jednotlivých prvků rezonančního obvodu.

2.2 Úkol Změřte a zobrazte kmitočtovou závislost modulu

napětí ULC(f) paralelního rezonančního obvodu a určete rezonanční kmitočet fr, činitel jakosti Q a šířku pásma B.

Naměřené hodnoty porovnejte s teoretickými hodnotami.

2.3 Úvod K základním typům elektrických rezonančních obvodů patří sériový a paralelní rezonanční obvod. V této úloze se seznámíme s vlastnostmi paralelního rezonančního obvodu (PRO), jehož zapojení je na obr. 2.1. Admitance PRO je

1j( )G CL

Y . (S) (2.1)

Při tzv. rezonančním kmitočtu jsou si rovny admitance cívky a kondenzátoru

C L

1,Y Y tedy CL

(-) (2.2)

a admitance PRO podle (2.1) je minimální, nabývá hodnoty

GY . (S) (2.3)

Pro rezonanční kmitočet fr můžeme z (2.2) nalézt tzv. Thomsonův vztah

r

1LC

,

r

12

fLC

. (rad·s-1, Hz) (2.4)

Další veličinou používanou pro popis PRO je činitel kvality Q, který je definován

r

r

1 1C CQLG G G L

. (-) (2.5)

Obr. 2.1 Paralelní rezonanční obvod

C ULG

I

IG IL IC


16

Při vyšším Q mluvíme o kvalitnějším, lepším PRO. Zpravidla je požadavek dosáhnout co nejvyššího činitele jakosti, což v souladu s (2.5) znamená co nejmenší vodivost G. V praxi se toho dosahuje použitím kondenzátoru s kvalitním dielektrikem a kvalitní nízkoztrátové cívky. Rezonanční obvody lze nalézt v generátorech harmonických kmitů - oscilátorech, při konstrukci elektrických kmitočtových filtrů, u bezdrátového přenosu energie (nabíječky moderních přenosných přístrojů, elektronické turnikety na sjezdovkách a podobně). Grafickou závislost napětí U na kmitočtu pro obvod z obr. 2.1 při konstantním proudu I nazýváme rezonanční křivkou. Zapojení uvedené na obr. 2.1 je těžko realizovatelné vzhledem k vlastnostem reálné cívky – ta má vždy nějaký sériový odpor RL, daný jejím technickým provedením. Rezonanční kmitočet reálného PRO je tímto parazitním odporem ovlivněn (většinou však vcelku zanedbatelně)

2L

r 2

1 12

Rf

LC L . (Hz) (2.6)

Podstatnější je vliv tohoto odporu na činitel jakosti PRO, neboť zvyšuje hodnotu vodivosti G. V reálu je hodnota vodivosti G dána paralelní kombinací připojovaného rezistoru Rn a přepočteného ztrátového odporu cívky RLp

Lp

Lp

n

n

R RG

R R

, LpL

LRC R

. (S), () (2.7)

2.4 Pracovní postup Měřený obvod bude zapojen podle obr. 2.2. Protože PRO je vhodné pro měření napájet zdrojem konstantního proudu, je do série s generátorem s konstantním napětím Ug zapojen rezistor Ri, mající oproti kmitočtově závislé impedanci rezonančního obvodu mnohonásobně větší odpor. Proud I napájející PRO lze tak považovat za téměř konstantní, nezávislý na kmitočtu.

Obr. 2.2 Princip měření přenosu článku s PRO

Měření se provádí pomocí modulárního systému RC 2000, pro měření se využívá dvojitý analogový vstup a programovatelný generátor. Princip měření spočívá v porovnávání vstupního signálu UG dodávaného generátorem s napětím UC na PRO, viz obr. 2.2. Měří se tedy napěťový přenos KU děliče tvořeného rezistorem Ri a impedancí PRO.


17

CL

RL

Ri

R1 R2 R3gC

ANALOG INPUT ANALOG OUTPUT

CHANNEL A

CHANNEL B

+ IN A

+ IN B

OUT

MEASURE MODE

FREQUENCY CHAR

PC/RS232

- IN A

- IN B

GND

A&DDU

Obr. 2.3 Schéma zapojení pracoviště RC 2000 pro měření rezonanční křivky PRO

a. Propojte měřený obvod PRO s měřicím zařízením podle obr. 2.3. Vstup A je připojen na napětí UG (zároveň je zde připojen výstup generátoru), vstup B na napětí UC. Pro připojení výstupu generátoru a vstupu IN A použijte žluté propojovací dvojlinky, pro vstup IN B modrou dvojlinku. Zkratovací spojkou zvolte odpor R1.

b. Spusťte program RC 2000 a z Výběru programů zvolte nabídku Frequency Characteristics. Nastavte tyto parametry: Display: Ampl., Phase, |K| dB/div: 5 , |K| offset: 30 dB, deg/div: 30, offset: 0º, Decades: 1, Begin: 100 Hz, Resolution: High.

c. Stiskem virtuálního tlačítka Start spusťte měření. Vykresluje se modul (v logaritmické míře) i fáze napětí na kondenzátoru UC v závislosti na kmitočtu. Modul i fáze tohoto napětí jsou měřeny relativně k UG. Všimněte si, že při rezonanci je napětí UC ve fázi se vstupním napětím UG (nulové ), jinak řečeno admitance PRO má při rezonanci čistě reálný charakter, viz úvod.

d. Nyní změřte závislost rezonanční křivky na připojeném paralelním odporu. Přepněte na sekvenční měření tlačítkem Measurement: Sequence. Poté zobrazte křivku pro odpor R1 stiskem tlačítka M1. V režimu sekvenčního měření se zobrazuje jen modul nebo jen fáze měřeného přenosu napětí; zobrazení se volí pomocí tlačítek Display: Ampl / Phase. Ponechte zobrazení modulů.


18

e. Na přípravku PRO zvolte zkratovací spojkou odpor R2. Změřte další křivku stiskem tlačítka M2 a poté obdobně pro R3 stiskem M3. Nyní jsou zobrazeny tři různé rezonanční křivky (moduly přenosu článku s PRO na obr. 2.4 a fázové charakteristiky na obr. 2.5).

Obr. 2.4 Modulová kmitočtová charakteristika PRO

Obr. 2.5 Fázová kmitočtová charakteristika PRO

f. Příkazem Print otevřete dialog tisku. Můžete graf popsat (Legend: Edit) případně vložit poznámky k měření (Edit notes). Poté stiskem tlačítka Print vytiskněte zobrazený graf.

g. Přepněte na zobrazení fáze přenosu článku Display: Phase a graf také vytiskněte. V obou grafech pak tužkou označte jednotlivé křivky odpovídající R1, R2 nebo R3.

h. Zapněte kursory (Cursor: On) a pohybem kurzoru pomocí tlačítek najděte maximum křivek – tomu odpovídající rezonanční kmitočet fr zapište do tab. 2.1. Zároveň si zapište hodnotu přenosu KUmax (je to hodnota přenosu při rezonanci).

i. Pomocí kurzoru zjistěte pro každou zobrazenou křivku šířku pásma B následujícím způsobem (viz obr. 2.6): kurzory 1 a 2 posuňte pomocí tlačítek na mezní kmitočty fmd resp. fmh. Pro mezní kmitočty platí vztahy KU(fm) = KUmax - 3 (dB) a také (fm)= 45°. Vzhledem k rozlišení bodů grafu se kurzory Obr. 2.6 Rezonanční křivka

f

KU

rfm dfm hf

B

-3 dB


19

posouvají skokově, proto nastavujte vždy nejbližší možné hodnoty. Takto zjištěné mezní kmitočty zapište do tab. 2.1 zároveň s odpovídající hodnotou šířky pásma

mh mdB f f . (Hz) (2.8)

j. Ukončete program (tlačítkem Exit).

Obr. 2.7 Skutečné zapojení pracoviště RC 2000 pro měření rezonanční křivky PRO

2.5 Zpracování k. Z hodnot prvků PRO uvedených v tab. 2.1 vypočtěte a zapište teoretické hodnoty

rezonančního kmitočtu fr podle (2.4), celkové paralelní vodivosti G (2.7) a činitele jakosti Q (2.5). Určete šířku pásma B pomocí empirického vztahu

rfBQ

, (Hz) (2.9)

l. Vypočítejte teoretický přenos obvodu obr. 2.2 při rezonanci

1

Umax 1i

GKR G

, (-)

Umax(dB) Umax20 logK K v logaritmické míře. (dB) (2.10)


20

m. Ze změřených hodnot určete odpovídající činitel jakosti Q, s využitím (2.8). n. Uvedené výpočty proveďte pro všechny tři varianty Rn = {R1, R2, R3}.

tab. 2.1 Naměřené a teoretické hodnoty PRO

fr KUmax fmd fmh G B Q

Hz dB Hz Hz S Hz -

R1 Změřeno

Vypočteno

R2 Změřeno

Vypočteno

R3 Změřeno

Vypočteno

Ve vytištěném grafu UC(f) vyznačte rezonanční kmitočet fr a pro všechny tři křivky rovněž šířku pásma B. Ke křivkám v grafu dopište zjištěné hodnoty činitele jakosti Q.

2.6 Závěr Popište závislost tvaru rezonanční křivky PRO na činiteli jakosti obvodu. Zhodnoťte odchylky naměřených a vypočtených parametrů PRO a uvažujte o možných

příčinách.

2.7 Stručné shrnutí Paralelní rezonanční obvod je v praxi využíván jako selektivní obvod (filtr typu pásmová propust nebo zádrž), který je schopen zdůraznit či naopak potlačit určité kmitočtové pásmo signálů. Jeho selektivní vlastnosti jsou určeny činitelem jakosti Q, závislém na hodnotách parametrů jednotlivých prvků. U praktické realizace jsou reálné vlastnosti většinou určeny ztrátovým odporem cívky. Uvedená úloha umožňuje ověření teoreticky vypočtených parametrů paralelního rezonančního obvodu měřením a ukazuje praktickou možnost využití rezonančního obvodu jako pásmové propusti. V úloze byl rozebrán jev rezonance PRO a byl ukázán vliv činitele jakosti Q na tvar rezonanční křivky.


21

3 PŘECHODNÉ DĚJE V OBVODECH RC A RLC

3.1 Uvedení do problematiky Přechodným dějem nazýváme děj, který vzniká při přechodu jakéhokoliv obecně dynamického systému (elektrického, mechanického, společenského, apod.) z jednoho ustáleného stavu do druhého ustáleného stavu. Prakticky každý reálný systém, který si dokážeme představit, je dynamický, tzn., že přechod z jednoho stavu do druhého probíhá s jistým zpožděním a bývá rozkmitán. V elektrických obvodech vznikají přechodné děje připojováním nebo odpojováním zdrojů, změnou topologie obvodu nebo změnou parametrů obvodových prvků. Jak takový přechodný děj vypadá, si ukážeme na příkladu jednoduchých obvodů složených z rezistoru, kondenzátoru a cívky.

3.2 Obvod prvního řádu - RC V první části úlohy budeme zkoumat přechodné děje v jednoduchém sériovém obvodu RC, vzniklé připojováním zdroje stejnosměrného napětí a následným zkratováním obvodu - obr. 3.1.

C

R

U

1

2

U

i(t)

uR(t)

uC(t)

Obr. 3.1 K měření přechodných dějů v sériovém obvodu RC

Pro okamžité hodnoty napětí na jednotlivých prvcích sériového obvodu RC během přechodného děje vzniklého připojením stejnosměrného zdroje můžeme psát

R C0

1d

t

U u t u t R i t iC

. (V) (3.1)

Analytickým řešením (3.1), které však vyžaduje znalost integrodiferenciálních rovnic a přesahuje tak rámec této publikace, získáme časové závislosti napětí a proudu v obvodu.

Připojení zdroje k obvodu - nabíjení

R et

u t R i t U

, C 1 et

u t U

. (V) (3.2)


22

Zkratování obvodu - vybíjení

R et

u t R i t U

, C et

u t U

, (V) (3.3)

kde je = RC časová konstanta obvodu, (s) U napětí stejnosměrného zdroje. (V)

3.3 Obvod druhého řádu - RLC

Obr. 3.2 K měření přechodných dějů v sériovém obvodu RLC

Složitější průběh mají přechodné děje v sériovém obvodu RLC, vzniklé připojováním obvodu ke zdroji stejnosměrného napětí a následným zkratováním obvodu - obr. 3.2. Pro okamžité hodnoty napětí na jednotlivých prvcích sériového obvodu RLC během přechodného děje vzniklého připojením stejnosměrného zdroje můžeme psát

R L C0

d 1 dd

ti tU u t u t u t R i t L i

t C . (V) (3.4)

Analytickým řešením (3.4) lze získat časové závislosti napětí a proudu v obvodu. Výsledek řešení závisí na hodnotě odporu R v porovnání s hodnotou tzv. kritického odporu

k 2LRC

. () (3.5)

1) Aperiodický děj Platí-li R > Rk, pak se hodnoty všech obvodových veličin blíží ke svým ustáleným hodnotám asymptoticky, bez oscilací. Mluvíme o přetlumeném ději.

2) Děj na mezi aperiodicity V tomto případě je R = Rk. Všechny veličiny obvodu se opět bez oscilací asymptoticky blíží ke svým ustáleným hodnotám. Ustálení veličin trvá na rozdíl od předešlého případu nejkratší možnou dobu, čehož se v praxi velmi často využívá. Mluvíme o kritickém tlumení obvodu.

3) Periodický děj Pro R < Rk se zásadně mění tvar časových průběhů veličin obvodu, které mají nyní charakter harmonického exponenciálně tlumeného děje. Mluvíme o podkritickém tlumení obvodu.


23

Obr. 3.3 K přechodným dějům v RLC obvodu

Názornou představu o fyzikálních poměrech při zkoumání přechodných dějů lze získat zobrazením časových průběhů napětí a proudu na osciloskopu. Protože je jednodušší zachytit periodické průběhy, byl použit zdroj periodického napětí obdélníkového průběhu. Měření se provádí pomocí modulárního systému RC 2000, který zde slouží jako dvoukanálový osciloskop umožňující současné sledování vstupního i výstupního signálu. Buzení článku odpovídající připojování zdroje a zkratování obvodu je z důvodu snadnějšího pozorování nahrazeno periodickým průběhem - obdélníkovým napětím uG(t).

3.4 Měření přechodných dějů RC obvodu Časovou konstantu obvodů můžeme zjistit graficky pomocí tečny k časovým průběhům napětí nebo proudů v obvodu. Příkladem může být určení časové konstanty z nabíjecí (obr. 3.4) a vybíjecí (obr. 3.5) křivky napětí na kondenzátoru v obvodu RC. Hodnotu lze snadno odečíst jako dobu, za kterou napětí na kondenzátoru vzroste na 0,632 násobek, resp. poklesne na 0,368 násobek maximální hodnoty, což plyne ze vztahů uvedených v grafech po dosazení t = .

Obr. 3.4 Nabíjení kondenzátoru v obvodu RC (připojení zdroje)

Obr. 3.5 Vybíjení kondenzátoru v obvodu RC (zkratování obvodu)

0

i(t)

aperiodický děj

mez aperiodicity

periodický děj

t

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4

t/

u/U

0,368

t

eUtu

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4

t/

u/U

0,632

t

eUtu 1


24

Obr. 3.6 Zapojení pro měření přechodných dějů v obvodech RC a RLC

Obr. 3.7 Zapojení měřicího pracoviště


25

a. Sestavte měřicí systém podle obr. 3.6. Do obvodu připojte přípravek RC článku, vstup IN B jednotky A&DDU bude měřit napětí uC.

b. Spusťte programu RC 2000 a z Výběru programů zvolte nabídku Oscilloscope+Gen. Na generátoru nastavte obdélníkový signál 5 V s kmitočtem 1000 Hz takto: v sekci Output zvolte tlačítko Open, v dialogovém okně vyberte definiční soubor obdélníkového impulzu 1kHzPulse5V.aio. Rozsah zobrazení kanálu OUT i B ponechejte ±5 V, rozsah časové osy 1,0 ms rovněž neměňte.

c. Vyberte sekvenční měření Sequence. Stiskem virtuálního tlačítka B1 v sekci Measurement spusťte měření uC(t) (žlutá křivka). Vstup IN B přepojte tak, aby měřil napětí uR(t). Stiskem virtuálního tlačítka B2 v sekci Measurement spusťte měření uR(t) (modrá křivka).

d. Zapněte kursor (tlačítkem Cursor) a s jeho pomocí změřte na zobrazené křivce průběhu uC(t) časovou konstantu m podle výše popsaného postupu (obr. 3.4) pro nástupnou hranu (nabíjení C) i sestupnou hranu (vybíjení C, obr. 3.5). Zjištěné hodnoty m zapište do tab. 3.1. Poznámka: od zobrazovaného času je potřeba odečíst čas počátku děje nabíjení resp. vybíjení (čas nástupné resp. sestupné hrany budicího impulzu).

e. Pomocí kurzorů změřte okamžité hodnoty napětí uC(t) a uR(t) pro čas t m/2 a t 2m od nástupné a od sestupné hrany vstupního signálu. Zjištěné hodnoty zapište do tab. 3.1.

f. Příkazem Print otevřete dialog tisku. Můžete vložit poznámky k měření (Edit notes). Poté stiskem tlačítka Print vytiskněte zobrazený graf.

Obr. 3.8 Vybíjení kondenzátoru v obvodu RC (zkratování obvodu)


26

3.5 Měření přechodných dějů v RLC obvodu g. K měřicímu systému podle obr. 3.6 připojte přípravek s RLC článkem, do obvodu zapojte

podkritický tlumicí odpor s hodnotou 0,1Rk, vstup IN B bude měřit napětí uC. h. Stiskněte tlačítko Init, čímž uvedete systém do počátečního stavu. Na generátoru

nastavte opět obdélníkový signál 5 V s kmitočtem 1000 Hz (v sekci Output zvolte tlačítko Open, v dialogovém okně vyberte definiční soubor obdélníkového impulzu 1kHzPulse5V.aio). Rozsah zobrazení kanálu OUT ponechejte ±5 V, rozsah kanálu B změňte na ±10 V (Gain pomocí tlačítek ), rozsah časové osy 1,0 ms.

i. Vyberte sekvenční měření Sequence. Stiskem virtuálního tlačítka B1 v sekci Measurement spusťte měření uC(t) pro podkritické tlumení (žlutá křivka).

j. Zapněte kursor (tlačítkem Cursor) a s jeho pomocí zjistěte polohu prvního a druhého kladného maxima napětí uC(t) na charakteristice po nástupné hraně budicího napětí (uCm1, tm1, uCm2, tm2), viz obr. 3.9. Hodnoty zapište do tab. 3.2. Poznámka: od zobrazovaného času je potřeba odečíst čas počátku děje (čas nástupné hrany impulzu).

k. Nahraďte přepojením vstupu přípravku odpor 0.1Rk kritickým odporem Rk. Stiskem virtuálního tlačítka B2 v sekci Measurement spusťte měření uC(t) pro kritické tlumení (modrá křivka). Vytiskněte zobrazený graf.

l. Ukončete program (Exit).

Obr. 3.9 Měření přechodného děje RLC obvodu

Poloha maxim


27

3.6 Zpracování

tab. 3.1 Přechodný děj v sériovém RC obvodu

Měřeno Vypočteno

m t = m/2 t = 2m

v t = v/2 t = 2v

uC uR uC uR uC uR uC uR

s V V V V s V V V V

Nabíjení

Vybíjení

Poznámka: U = 5 V, R = ………… , C = …………

m. Do tab. 3.1 doplňte vypočtenou časovou konstantu v článku RC. S využitím vztahů (3.2) a (3.3) určete hodnoty napětí uC(t) a uR(t) pro časy t = v/2 a t = 2v pro nabíjení i vybíjení kondenzátoru.

tab. 3.2 Přechodný děj v sériovém RLC obvodu při podkritickém tlumení

Měřeno Vypočteno

uCm1 tm1 uCm2 tm2 Rkm t fm m Rk f0 f

V s V s k s kHz s-1 k s-1 kHz kHz

11,5

Poznámka: U = 5 V, 0,1Rk = ……………., L = ……………. , C = …………….

n. Do tabulky tab. 3.2 doplňte vypočtenou časovou vzdálenost dvou po sobě jdoucích kladných maxim napětí z obr. 3.9 při podkritickém tlumení

m2 m1t t t , (s) (3.6)

dále kmitočet vlastních kmitů obvodu RLC

m

1

t

f

(Hz) (3.7)

a činitel tlumení vlastních kmitů

Cm1m m

Cm2

lnu U

fu U

, (s-1) (3.8)

kde je U amplituda budicích obdélníkových kmitů (5 V). o. Vypočtěte teoretickou hodnotu kritického odporu Rk (3.5) a podle následujících vztahů

pak činitel tlumení , rezonanční kmitočet f0 a kmitočet vlastních kmitů f. Hodnoty doplňte do tab. 3.2.


28

2RL

, kde k0,1R R , (s-1) (3.9)

0

1

2f

LC , (Hz) (3.10)

22

0 2f f

. (Hz) (3.11)

3.7 Závěr Porovnejte naměřené hodnoty v tab. 3.1 pro RC s teoretickými. Uveďte vliv velikosti odporu R (vzhledem k hodnotě Rk) na časový průběh veličin v obvodu

RLC.

3.8 Stručné shrnutí Uvedená úloha ukazuje možný způsob měření přechodných dějů a jejich parametrů v obvodech 1. a 2. řádu. U RLC obvodu byl ukázán vliv tlumicího odporu na charakter děje, kdy tzv. kritické tlumení má v praxi velký význam např. pro návrh tlumení kmitajících soustav. Při kritické hodnotě tlumicího odporu R má přechodný děj RLC obvodu nejkratší dobu trvání, se zvyšováním či snižováním hodnoty odporu se doba děje prodlužuje. Podkriticky tlumený RLC obvod vykazuje tlumený periodický přechodný děj.

nÁvody pro elektrotechnická výuková pracoviště · tento projekt je spolufinancován...

Documents