nyquist fundamentos de controlo deec/istisabel lourtie critério de nyquist introdução...
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NyquistFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Critério de Nyquist
IntroduçãoDefinição; Teorema de Cauchy.
Método de Nyquist Contorno de Nyquist; Construção e análise do diagrama.Estabilidade relativa; Margens de ganho e de fase.
NyquistFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Introdução
O critério de Nyquist é um método gráfico que parte do conhecimento da função resposta em frequência da malha aberta para avaliar a estabilidade do sistema em malha fechada
K sG
sR sY
sH
função de transferência em cadeia aberta
Função de transferência em cadeia fechada: sHsKGsKG
1
Critério de estabilidade absoluta: as raízes da equação característica (polos da função de transferência em cadeia fechada)
situam-se no semiplano complexo esquerdo 01 sHsKG
O critério de Nyquist baseia-se no teorema de Cauchy para funções de variável complexa
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Teorema de Cauchy
Dada uma função , analítica sobre todo um contorno e no interior deste excepto para um número finito de pontos, quando percorre, num dado sentido, o contorno , percorre um contorno imagem dando em torno da origem do plano complexo um número de voltas que é igual ao número de zeros menos o número de polos de no interior do contorno :
sF
sF C
C
Z
sC sF
P
CN
PZN
Re
Im
C
plano sRe
Im
C
plano sF
dá 1 volta, no mesmo sentido que , em torno da origem.
112
PZNP
Z
CC
Ex. 1
Re
Im
C
plano sRe
Im
C
plano sF
dá 1 volta, em sentido contrário a , em torno da origem.
121
PZNP
Z
CC
Ex. 2
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Método de Nyquist K sG
sR sY
sHAplicação do Teorema de Cauchy ao estudo da estabilidade de um sistema em anel fechado
Objectivo: determinar se possui zeros no semiplano complexo direito
sHsKGsF 1
Definição do contorno C - contorno de Nyquist
não tem polos sobre o eixo imaginário sHsKG
Re
Im
C
- semicircunferência de raio - inclui todo o semiplano complexo direito
Plano s
tem polos sobre o eixo imaginário sHsKG
Re
Im
C
0raio
Plano sSentido positivo: sentido dos ponteiros do relógio
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Método de Nyquist K sG
sR sY
sHObjectivo: determinar se possui zeros no semiplano complexo direito
sHsKGsF 1
PZN
- nº de voltas de em torno da origem
CN
- nº de polos de - igual ao nº de polos de - no semiplano complexo direito
sFP sHsKG
- nº de zeros de - igual ao nº de polos da f.t.c.f. - no semiplano complexo direito
sFZ
Re
Im
Plano s
Re
Im Plano F(s)
1 0
Contorno de Nyquist
sHsKGsF 1
C
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Método de Nyquist Nº voltas de
em torno da origem sHsKGsF 1
Nº voltas de
em torno de sHsKG
1
PZN - nº de polos no semiplano complexo direitoP sHsKG
- nº de zeros de no semiplano complexo direito
sHsKG1Z
- nº de voltas de em torno de sHsKG
N1
Nº de polos da função de transferência em cadeia fechada no semiplano complexo direito
O sistema em cadeia fechada é estável sse PNZ 0
Re
Im
Contorno de Nyquist
sHsKG
Re
Im
2 01
Diagrama de Nyquist
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Diagrama de Nyquist
Re
Im
Contorno de Nyquist js
jHjKG - pode obter-se a partir do diagrama de Bode
jHjKG
jHjKGarg
- função par
- função ímpar
O diagrama de Nyquist é simétrico em relação ao eixo real
O diagrama de Nyquist é uma representação polar de
para um dado valor de
sHsKGjesHsKGsHsKG arg
K
Re
Im
11 sHsKG
11arg sHsKG
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Diagrama de Nyquist
Re
Im
Contorno de Nyquist
rres j ;
2,
2;
n
m
pspspszszszsKsHsKG
21
21
A imagem da semi-circunferência de
raio infinito é a origem
0: sHsKGmn
finito valor : sHsKGmn
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Diagrama de Nyquist
K
sR sY1
1s
Exemplo 1
1
sKsHsKG
210 110 010 110 210
0
45
90
dBK
Am
plitu
de (d
B)
Fase
(º)
rad/s
20dB
K
40dB
K
0Im
0
K
Re
02/K
1
1
01 :polo Ps
0,0 NK
0 PNZ
O sistema em anel fechado é estável para 0K
0K
Re
Im Contorno de Nyquist
1
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Diagrama de Nyquist
K
sR sY1
1s
Exemplo 1 (cont.)
1
sKsHsKG
210 110 010 110 210
180
135
90
dBK
Am
plitu
de (d
B)
Fase
(º)
rad/s
20dB
K
40dB
K
0K
só a fase se altera
Re
Im Contorno de Nyquist
0Im
0
K
Re
0
2/K
1
1
1
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O sistema em anel fechado é estável para
01 K
0Im
0
K
Re
0
2/K
1
1
Diagrama de Nyquist Exemplo 1 (cont.) 0K
1
sKsHsKG 01 :polo Ps
0Im
0
K
Re
0
2/K
1
1
1K
1
1
01 K
0 PNZ
0,01 NK
1 PNZ
1,1 NK
O sistema em anel fechado é instável para
1K
1 polo no SPCD
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Diagrama de Nyquist
0Im
0
K
Re
02/K
1
1
0K
0Im
0
K
Re
0
2/K
1
1
0K
rotação de 180º em torno da origem do plano
Exemplo 1 (cont.)
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Diagrama de Nyquist
K
sR sY1
1s
0KExemplo 2
1
sKsHsKG
210 110 010 110 210
90
135
180
dBK
Am
plitu
de (d
B)
Fase
(º)
rad/s
20dB
K
40dB
K
0Im
0
K
Re
02/K
1
1
Re
Im Contorno de Nyquist
1
11 :polo Ps
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O sistema em anel fechado é instável para
10 K
Diagrama de Nyquist Exemplo 2 (cont.) 0K
1
sKsHsKG 11 :polo Ps
1 PNZ
0,10 NK
0 PNZ
1,1 NKO sistema em anel fechado é estável para
1K
0Im
0
K
Re
0
2/K
1
1
1
10 K
1 polo no SPCD
0Im
0
K
Re
02/K
1
1
1K
1
NyquistFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
0Im
0
K
Re
02/K
1
1
Diagrama de Nyquist Exemplo 2 (cont.)
0K
11 :polo Ps
0,0 NK1 PNZ
O sistema em anel fechado é instável 0K
0Im
0
K
Re
02/K
1
1
0K
rotação de 180º em torno da origem
1
sKsHsKG
1 polo no SPCD
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Diagrama de Nyquist
K
sR sY 1
1ss
Exemplo 3
1ssKsHsKG
0K
210 110 010 110 210
90
135
180
40dB
K
Am
plitu
de (d
B)
Fase
(º)
rad/s
20dB
K
80dB
K
Re
Im
0
0
Re
ImContorno de Nyquist
1
0
0
jes
jjjjj
jjj eHeKGeKeeKeHeKGes arglim
1:
0
00,1 :polos Ps0,0 NK
O sistema em anel fechado é estável para 0K
0 PNZ
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Re
Im
0
0
Diagrama de Nyquist Exemplo 4 0K
21
ssKsHsKG
211ssK
sR sY
Re
Im
1
0
0
jes
210 110 010 110 210
90
180
270
40dB
K
Am
plitu
de (d
B)
Fase
(º)
rad/s
40dB
K
120dB
K
0P
?
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Diagrama de Nyquist
210 110 010 110 210
90
180
270
40dB
K
Am
plitu
de (d
B)
Fase
(º)
rad/s
40dB
K
120dB
K
Re
Im
0
0
Exemplo 4 (cont) 0K
Ponto de cruzamento com o eixo real negativo:
21
ssKsHsKG
Fase º180Amplitude
dBdB
KK2
6
Sistema estável: 2012
0 KK2K
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Diagrama de Nyquist Exemplo 5 0K
12
ssKsHsKG
Re
Im
1
0
0
jes
12
jKjHjKG
122
KjHjKG
arctanarg jHjKG
Re
Im
0
0
0P
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0
0 Re
Im
Diagrama de Nyquist Exemplo 5 (cont.)
0K
12
ssKsHsKG
Re
Im
1
0
0
jes
2
202200lim
1limlim j
jjjj eK
eeKeHeKG
1
22
0
22
4
0202
24
22
0
2arglim
0
jj eHeKG
2 NPZ
O sistema em cadeia fechada é instável para qualquer valor de K>0
0P2N
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Estabilidade Relativa
O diagrama não está à escala
41
sssKsHsKG
Re
Im
0
0
1K
210 110 010 110 210
90
180
270
40
Am
plitu
de (d
B)
Fase
(º)
rad/s
120
0
40
80
O sistema torna-se instável com o aumento do ganho?
?
1
dB 26
0.05-
O sistema fica instável quando 2005.01K
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Estabilidade Relativa Margem de Ganho (MG)
A Margem de Ganho (MG) é o valor máximo por que se pode multiplicar o ganho da malha de modo a colocar o sistema em anel fechado na fronteira da estabilidade.
Re
Im
0
0
1
MG1
210 110 010 110 210
90
180
270
40
Am
plitu
de (d
B)
Fase
(º)
rad/s
120
0
40
80
dB 26MG
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Estabilidade Relativa Margem de Fase (MF)
A Margem de Fase (MF) é o valor máximo por que se pode rodar o diagrama de Nyquist do sistema em cadeia aberta de modo a colocar o sistema em anel fechado na fronteira da estabilidade.
210 110 010 110 210
90
180
270
40
Am
plitu
de (d
B)
Fase
(º)
rad/s
120
0
40
80
º73MF
Re
Im
0
0
1
MF
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Estabilidade Relativa
A Margem de Ganho (MG) é o valor máximo por que se pode multiplicar o ganho da malha de modo a colocar o sistema em anel fechado na fronteira da estabilidade.
jHjKG
1MG
Re
Im
0
0
1
MG1
MF
A Margem de Fase (MF) é o valor máximo por que se pode rodar o diagrama de Nyquist do sistema em cadeia aberta de modo a colocar o sistema em anel fechado na fronteira da estabilidade.
c
jHjKG
argº180MF
frequência para a qual a função de transferência em anel aberto introduz uma rotação de fase de -180º
frequência de corte a 0 dB – frequência para a qual a função de transferência em anel aberto tem ganho unitário
c
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Estabilidade Relativa
O uso da Margem de Ganho e da Margem de Fase para o estudo da estabilidade relativa só é válido para sistemas em cadeia aberta estáveis ou marginalmente estáveis (P = 0).
Para sistemas cujo diagrama de Nyquist não cruza o eixo real negativo em mais do que um ponto, a condição de estabilidade imposta pelo critério de Nyquist traduz-se em MG>1 e MF>0.
Para sistemas de 1ª e 2ª ordem cujo diagrama de Nyquist não cruza o eixo real negativo em qualquer ponto, a MG é sempre infinita.
Para sistemas de ordem superior pode haver mais do que um ponto de cruzamento do diagrama de Nyquist com o eixo real negativo.
Consideram-se valores convenientes para uma boa estabilidade relativa 30º<MF<60º e MG>6dB.
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K
sR sY sG
Estabilidade Relativa Exemplo
Qual o valor de K para o qual a margem de fase é de 45º?
21
10KdB 10 K
210 110 010 110 210
90
180
270
40
Am
plitu
de (d
B)
Fase
(º)
rad/s
120
0
40
80
º45
dB 10
Qual a margem de ganho para este valor de K?
dB 26
2016
10MGdB 16)26(10MG
MG
1K
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Margem de Fase vs. Coeficiente de Amortecimento x
sR sY n
n
ss x2
2
10 x
nn
sssG
x2
2
Função de transferência em cadeia aberta:
Para sistemas em cadeia fechada de 2ª ordem sem zeros e com polos complexos,
que valor deve ter a Margem de Fase para que a sua resposta ao escalão apresente uma determinada sobre-elevação?
22
2
2 nn
n
sssRsY
x
Margem de Fase:
222
22
42n
n
n
n
jjjG
x
x
n
jGx
2arctanº90arg
142 42 xx nc
1
xxx
2142
arctanº90
argº180MF
42
cjG
NyquistFundamentos de Controlo
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Margem de Fase vs. Coeficiente de Amortecimento x
xxx
2142
arctanº90MF42
100ºMF
x
especificação no domínio da frequência
especificação no domínio do tempo
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Largura de Banda vs. Frequência de Corte a 0 dB
sR sY n
n
ss x2
2
c
dB0
Amplitude da malha aberta
c
Amplitude da malha fechada
dB3
c6.1
cc 2LB
NyquistFundamentos de Controlo
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Largura de Banda vs. Coeficiente de Amortecimento x
sR sY n
n
ss x2
2
cc 2LB
x
cLB