o axioma da escolha(the axiom of choice)

Seja S um sistema de conjuntos. Uma função g definida em S é uma função de escolha para S se g(X) ∈ X para

todo X ∈ S não vazio.

(let S be a system of sets. A function g defined on S is called a choice function for S if g(X) ∈ X for all

nonempty X ∈ S)

Teorema: Um conjunto A é bem ordenado se e somente se o conjunto ℘(a) possui uma funcão de escolha.

(A set A can be well-ordered if and only if the set ℘(a) of all subsets of A has a choice function)

Teorema: Todo sistema finito de conjuntos possui uma função de

escolha.

(every finite system of sets has a choice function)

Axioma da Escolha: Existe uma função de escolha para todo sistema

de conjuntos.

(Axiom of Choice: There exists a choice function for every system of sets)

Teorema: Os axiomas a seguir são equivalentes:

(the following statements are equivalents:)

(a) (O axioma da escolha) Existe uma função de escolha para todo sistema de conjuntos.

(b)Toda partição possui um conjunto de representantes.

(c)Se ⟨Xi | i ∈ I⟩ é um sistema indexado de conjuntos não vazios, então existe uma função f tal que f(i) ∈ Xi para todo i ∈ I.

(a) (The axiom of choice) There exists a choice function for every system of sets. (b) Every partition has a set of representatives. (c) if ⟨Xi | i ∈ I⟩ is an indexed system of nonempty sets, then there is a function

f such that f(i) ∈ Xi for all i ∈ I.

Teorema: Todo conjunto infinito possui um subconjunto contável.

(every infinite set has a countable subset)

Teorema: Para todo conjunto infinito S existe um único aleph אα tal que |S|=אα.

(for every infinite set S there exists a unique aleph אα such that |S|=אα)

Teorema: Para quaisquer conjuntos A e B, |A| ≤ |B| ou |B| ≤ |A|.

(for any sets A and B either |A| ≤ |B| or |B| ≤ |A|)

Teorema: A união de uma coleção contável de conjuntos contáveis é

contável.

(the union of a countable collection of countable sets is countable)

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