o closing lemma ergódico

Universidade Federal da BahiaInstituto de Matematica

Curso de Pos-Graduacao em Matematica

Dissertacao de Mestrado

Ergodic Closing Lemma

Tiago Estrela de Oliveira

Salvador-Bahia

Dezembro 2008

Ergodic Closing Lemma

Tiago Estrela de Oliveira

Dissertacao apresentada ao cole-

giado do curso de Pos-Graduacao

em Matematica da Universidade

Federal da Bahia, como requisito

parcial para obtencao do Tıtulo

de Mestre em Matematica.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Junior (Orientador).

Prof. Dr.

Prof. Dr.

Tiago Estrela Oliveira

“Ergodic Closing Lemma ”/ Salvador-BA, 2008.

Orientador: Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Junior (UFBA).

Dissertacao de Mestrado apresentada ao curso de Pos-Graduacao em

Matematica da UFBA, 46 paginas.

Palavras-Chave: .

Este trabalho e dedicado com todo

carinho a minha mae, irma, fa-

miliares e amigos.

“So existem dois dias no ano que nada pode ser feito. Um se

chama ontem e o outro se chama amanha, portanto hoje e o

dia certo para amar, acreditar, fazer e principalmente viver..”

Dalai Lama

Agradecimentos

i

Resumo

Neste trabalho caracterizaremos M(f), que e o conjuntos das probabilidades f -

invariantes. O estudo desenvolvido foi baseado no artigo de R. Mane intitulado An Ergodic

Closing Lemma, publicado na revista Annals of Mathematics em 1982.

Seja Diff(M) o espaco dos difeomorfsmos sobre a variedade M com a topologia

C1. Entao existe um conjunto residual R ! M(f) tal que para toda f ! R vale que M(f)

e igual ao fecho convexo das probabilidades invariantes suportadas em orbitas periodicas,

como poderemos ver no capıtulo final da dissertacao.

ii

Sumario

Agradecimentos i

Resumo ii

Introducao 1

1 Versao Forte do Closing Lemma 3

2 Teorema A 13

3 Versao Residual do Ergodic Closing Lemma 23

4 Apendices 28

4.1 Apendice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Apendice B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Referencias Bibliograficas 32

iii

Introducao

Um topico classico na teoria Sistemas Dinamicos que tem destacado interesse e a

criacao de orbitas atraves de perturbacao como feito no closing lemma de Pugh. Alem

de melhorar esse resultado geometrico tambem obteremos um resultado do ponto de vista

estatıstico.

Vamos definir alguns objetos importantes para a compreensao global do problema.Por

todo nosso trabalho M sera uma variedade compacta sem bordo e Diff(f) o espaco dos

difeomorfismos de classe C1 munido da topologia C1.

Definicao 0.1. Sejam x ! M e f ! Diff(f). Dizemos que x e ponto periodico de f se

existe m ! Z tal que fm(x) = x

Definicao 0.2. Sejam x ! M e f ! Diff(f). Dizemos que x e recorrente se

lim infn!+"

d(fn(x), x) = 0

Definicao 0.3. Sejam x ! M e f ! Diff(f). Dizemos que x e um ponto nao-errante de

f se para toda vizinhanca U de x existe n "= 0 tal que

fn(U)!

U "= #.

Definicao 0.4. Sejam f, g ! Diff(M). Dizemos que g e g-proxima de f se g ! U, onde U

e uma vizinhanca de f em Diff(M)

Definicao 0.5. Sejam y, z ! M e f, g ! Diff(f). Dizemos que y e !-sombreado por um

ponto z m-periodico para g-proxima se

d(f i(y), gi(z)) < !

para i ! {1, . . . , m}.

A primeira parte do nosso trabalho sera melhora o trabalho de Pugh, [Pugh1],

mostraremos fortalecimento da Closing Lemma desenvolvido por Pugh, isto e, provaremos

1

que todo ponto nao-errante x ! M tem um iterado fm(x)(x) = y tal que y ! M e sombreado

por z ! M , onde z e um ponto periodico para g-proxima de f . Formalmente falando:

Proposicao 0.6. Dada f ! Diff(M), p ! M , ! > 0 e uma vizinhanca U de f, existe r > 0,

" > 1 tal que se x ! Br(p) com 0 < r $ 0 e fm(x) ! Br(p) para algum m > 0 entao existe 0 $

m1 < m2 $ m e g ! U tal que fm1(x) ! B!r(p),fm2(x) ! B!r(p), gm2#m1(fm2(x)) = fm2(x),

g(w) = f(w) para w /! B"(f, p) e d(gi(fm2(x)), f j(fm1(x))) $ ! para 0 $ j $ m2 % m1.

Definicao 0.7. Denotamos por B"(f, x) conjunto dos pontos y ! M tal que d(fn(x), y) $ !

para algum n ! Z

Definicao 0.8. Denotamos por"

(U, !) o conjunto dos pontos x ! M tal que existe g ! U,

y ! M e z ! Z+ tal que y e um ponto m-periodico para g, g = f sobre M % B"(f, x) e

d(f j(x), gj(y)) $ ! para todo 0 $ j $ m


(f) o conjunto dos pontos x ! M tal que para toda

vizinhanca U de fe todo ! > 0 existe g ! U e y ! M tal que y e um ponto m-periodico para

g, g = f sobre M % B"(f, x) e d(f j(x), gj(y)) $ ! para todo 0 $ j $ m

Definicao 0.10. Uma medida de probabilidade µ e ergodica se para qualquer A & M temos

µ(A) = 0 ou µ(Ac) = 0 .

Perceba que o resultado acima e geometrico e uma questao natural seria tirar in-

formacoes estatısticas sobre o conjunto dos pontos que satisfaz a proposicao acima.Isto sera

o tema central do segundo capıtulo, ou seja,

Proposicao 0.11. Para toda f ! Diff(M), toda vizinhanca U de f e todo ! > 0 temos

µ("

(U, !)) = 1 para toda medida ergodica µ ! M(f).

Definicao 0.12. Seja X um estaco topologico. Dizemos que R & X e um conjunto residual

de X se ele puder ser escrito como intersecao enumeravel de abertos densos em X.

Finalmente no terceiro capıtulo usaremos o resultado acima para provar

Teorema 0.13. Sejam M(f) o espaco das probabilidades f-invariantes e Diff(M) o espaco

dos difeomorfsmos sobre a variedade M com a topologia C1. Entao existe um conjunto

residual R ! M(f) tal que para toda f ! R vale que M(f) e igual ao fecho convexo das

probabilidades invariantes suportadas em orbitas periodicas.

Capıtulo 1

Versao Forte do Closing Lemma

Mostraremos nesse capıtulo o fortalecimento da Closing Lemma desenvolvido por

Pugh, isto e, provaremos que todo ponto nao-errante x ! M tem um iterado fm(x)(x) = y

tal que y ! M e sombreado por z ! M , onde z e um ponto periodico para g-proxima de

f .Formalmente falando:

Proposicao 1.1. Versao Forte

Dada f ! Diff(M), p ! M , ! > 0 e uma vizinhanca U de f, existe r > 0, " > 1

tal que se x ! Br(p) com 0 < r $ 0 e fm(x) ! Br(p) para algum m > 0 entao existe 0 $

m1 < m2 $ m e g ! U tal que fm1(x) ! B!r(p),fm2(x) ! B!r(p), gm2#m1(fm2(x)) = fm2(x),

g(w) = f(w) para w /! B"(f, p) e d(gi(fm2(x)), f j(fm1(x))) $ ! para 0 $ j $ m2 % m1.

Para provar a proposicao acima precisaremos de dois lemas:

Lema 1.2. Sejam f ! Diff(M) e p ! M . Suponha que exista uma vizinhanca compacta

de p que e identificada pela aplicacao exponencial com a bola BR = {x ! TpM ; ' x '$

R}.Entao existe uma decomposicao TpM = E1

#...

#Eltal que dada uma vizinhanca U de

f e constante C > 1, 2 > # > 1 existe N > 0, 0 < r1 < r0 < R com r0 arbitrariamente

pequeno e $i, i = 1, ..., l, satisfazendo as seguintes propriedades:

I Se %i : TpM ( Ei, i = 1, ..., l denota a projecao associada com a decomposicao TpM =

E1

#...

#El entao {x; supi $i ' %i(x % u) '$ 2r1} & Br0 se ' u '$ r1.

II Se ' y '$ r1, ' z '$ r1 e 1 $ µi $ C, i = 1, ..., l entao existe g ! U tal que

• gN(y) = fN(z)

• g(w) = f(w) quando w /!$N#1

j=0 f i( %B#r(q))

3

onde q = 2#1(y + z), r = 2#1 ' y % z ', %B#r(q) = {x; supi µi$i ' %i(x % q) '$ #r}

A demonstracao desse lema esta feita no artigo C. Pugh, The Closing Lemma,Amer.

J.Math.,89,(1967),956-1009. Porem tiraremos algumas consequencias pertinentes ao

nosso proposito.

• Suponha ! > 0 dado pela proposicao 1.1 entao pela continuidade de f podemos escolher

r0 tal que sup0$j$N diamf i(Br0) $ !

• %B#r(q) & Br0

Seja x ! %B#r(q) entao supi µi$i ' %i(x % q) '$ #r mas como cada µi ) 1 temos que

µi$i ' %i(x % q) ') $i ' %i(x % q) ' para todo i ! {1, ..., l} logo $i ' %i(x % q) '$ #r mas

como r < r1 e 2 > # > 1 obtemos assim #r < 2r1. Portanto supi $i ' %i(x % q) '$ 2r1 logo

pela propriedade I do lema obtemos que x ! Br0 .

• g(w) = f(w) para w /! B"(f, p).

Se w /! B"(f, p) entao pela definicao desse conjunto temos que d(fn(p), w) > ! *n !

N.Em particular, d(f j(p), w) > !, *j ! {0, 1, ..., N%1} logo como sup0$j$N diamf j(Br0) $ !

obtemos que w /! f j(Br0) *j ! {0, 1, ..., N % 1} mas %B#r(q) & Br0 logo w /! f j( %B#r(q))

*j ! {0, 1, ..., N % 1}. Consequentemente, w /!$N#1

j=0 f i( %B#r(q)) logo por II temos que

f(w)=g(w).

• Se p nao e f -periodico podemos escolher pela continuidade e compacidade da variedade

M r0 tao pequeno que f j1(Br0)&

f j2(Br0) = # para todo 0 $ j1 $ j2 $ N .

Sejam y, z ! %B#r(q). Suponha que para algum m temos y = fm(z) e f i(z) /! %B#r(q)

para todo 0 < j < m.Ou seja, os iterados de z saindo de %B#r(q) e so retornam no m-esimo

iterado quando y = fm(z).Entao podemos inferir o seguinte:

• m ) N

Se m < N entao Br0

&fm(Br0) + {y = fm(z)} com m < N contrariando a escolha

de r0 de modo que f j1(Br0)&

f j2(Br0) = # para todo 0 $ j1 $ j2 $ N .

• gm(y) = y

Seja m > N pois gN(y) = fN(y) = y entao m = kN+r com 0 $ r < N e k ! Z.Com

isso temos

gm(y) = gkN+r(y) = gr(gkN(y)) =(II) gr(fkN(z)).

Mas

fkN(z) /!N#1'

j=0

f i( %B#r(q)).

De fato, se

fkN(z) !N#1'

j=0

f j( %B#r(q))

entao existe j0 ! {0, 1, ..., N % 1} tal que

fkN(z) ! f j0( %B#r(q))

logo

fkN#j0(z) ! %B#r(q)

com kN % j0 variando entre kN e (k % 1)N + 1 mas isso contraria a hipotese de que

f i(z) /! %B#r(q)

para todo 0 < j < m.Consequentemente,

fkN(z) /!N#1'

j=0

f i( %B#r(q))

implicando por (II) que

g(fkN(z)) = f(fkN(z)) = fkN+1(z)

logo

gr(fkN(z)) = gr#1(g(fkN(z))) = gr#1(fkN+1(z)).

Procedendo da mesma forma anterior obtemos que

g(fkN+1(z)) = fkN+2(z)

logo

gr#1(fkN+1(z)) = gr#2(g(fkN+1(z))) = gr#2(fkN+2(z)))

Repetindo o processo temos

gr#2(fkN+2(z))) = ... = fkN+r(z) = fm(z) = y.

Logo gm(y) = y

• d(gi(y), f i(z)) $ !

O item acima esta e provado no trabalho do Pugh na hora em quele constroi a

perturbacao com essa propriedade. Agora vamos enunciar e provar o segundo lema.

Lema 1.3. Dado l ! Z+ existem C = C(l) > 1, A = A(l) > 1 e 2 > # = #(l) > 1

tal que se E = E1

#...

#El e um espaco vetorial e |.|i uma norma em Ei proveniente

do produto interno entao para qualquer conjunto x0, ..., xn de pontos distintos de E existem

0 $ j1 < j2 $ n e 1 $ µi $ C com i = 1, ..., m tal que definindo ' . '1 em E por

' v '1= supi µi|%i(v)|i, onde %i : E ( Ei sao as projecoes associadas com as decomposicoes

de Ei, satisfazendo as seguintes propriedades:

• ' xji % x0 '1$ A ' xn % x0 '1 , i = 1, 2

• ' xj % p '1> 2#1# ' xj1 % xj2 '1, j1 < j < j2, onde p = 2#1(xj1 + xj2).

Prova 1. Para provar esse lema necessitaremos de algumas afirmacoes.

Afirmacao 1.1. Se 1 < #0 <%

52 , C > 1 e 1 < # < #0 tal que C2 > 4m(#20 % 1)#1 e

2#2 < #20 +1 entao #("l

i=1 max{&2i , C

#2}) 12 $ #0(

"li=1 &

2i )

12 para todo 0 $ &i $ 1, i = 1, ..., l,

com &1 = 1.

Prova 2. Vamos provar essa afirmacao por inducao em l. Pois veja que essa desigualdade

depende da quantidade de subespacos que vamos decompor TpM . Seja m = 1. Temos que

&1 = 1 logo

#(max{&2i , C

#2}) 12 = #(max{1, C#2}) 1

2 = # $ #0 = #0(&21)

12 .

Suponha por hipotese de inducao que

#(m#1(

i=1

max{&2i , C

#2}) 12 $ #0(

m#1(

i=1

&2i )

12 .

Para completar a provar da afirmacao provaremos que

#2(m(

i=1

max{&2i , C

#2}) $ #20(m(

i=1

&2i ).

De fato,

#2(m(

i=1

max{&2i , C

#2}) $ #2(m#1(

i=1

max{&2i , C

#2}) + #2(max{&2m, C#2})

$ #20(m#1(

i=1

&2i ) + #2(max{&2

m, C#2}),

usamos a hipotese de inducao na segunda desigualdade. Agora se

• max{&2m, C#2} = &2

m entao

#2("m

i=1 max{&2i , C

#2}) $ #2("m#1

i=1 &2i ) + #2(max{&2

m, C#2})

$ #2("m#1

i=1 &2i ) + #2&2

m $ #20("m#1

i=1 &2i ) + #20&

2m = #20(

"mi=1 &

2i )

• max{&2m, C#2} = C#2 entao

#2("m

i=1 max{&2i , C

#2}) $ #2("m#1

i=1 &2i ) + #2(max{&2

m, C#2}) $ #2("m#1

i=1 &2i ) + #2C#2.

Resta mostrar que #2C#2 $ #0&2m.Mas isso segue direto do fato que &2

m $ C#2 pois

#2C#2 $ #0&2m , #2

#20$ 1

!

Defina A = 4Cm12 . Seja |.| a norma em E dada por |v| = (

"i |%iv|2i )

12 e se µ =

(µ1, ..., µm) com C ) µi ) 1 para todo 1 $ i $ m defina a norma ' . 'µ por ' v 'µ=

supi µi|%iv|i.Para todo v ! E nos temos C#1 ' v 'µ$' v '$ m12 ' v 'µ

Afirmacao 1.2. Afirmamos que existe j1, j2(0 $ j1 < j2 $ n) tal que

• |xji % x0| $ 4|xn % x0|, i = 1, 2

• |xj % p| > #02#1|xj1 % xj2 | , j1 < j < j2

Prova 3. Escolha por inducao um conjunto 0 = i0 $ i1 $ ... $ is < ls $ ls#1 $ ... $ l0 = n

tal que vale

)*

+xik+1

= xik ou

xlk+1= xlk

e

|xlk+1% xik+1

| $ 2#1(1 + #20)12 |xik % xlk |

para todo 0 $ k < s. Suponha que o conjunto de ındices construıdo seja maximal. Entao

mostraremos que se

p = 2#1(xis + xls)

temos |xj % p| > #02#1|xis % xls | para todo is < j < ls.Caso contrario,

|xj % p| $ #02#1|xis % xls |

para algum is < j < ls usando identidade do paralelogramos obterıamos:

|xj % xis |2 + |xj % xls |2 = 2|xj % p|2 +1

2|xis % xls |2 $ 2#1(1 + #20)|xis % xls |2

para i = 1, 2. Para completar a prova do lema basta encontrar µ tal que

' x % p 'µ$ #2#1 ' xj1 % xj2 'µ

implica

|x % p| $ #02#1|xj1 % xj2|.

Suponha para simplicar a notacao suponha que

|%1(xj1 % xj2)|1 = supi

|%i(xj1 % xj2)|i.

Defina

µi =

)*

+C se |%i(xj1 % xj2)|i = 0

min{C, |%1(xj1 % xj2)|1|%i(xj1 % xj2)|#1i } se |%i(xj1 % xj2)|i "= 0

Entao

|x % p| = ((

i

|%i(x % p)|2i )12 $ (

(

i

µ#2i )

12 ' x % p 'µ$

((

i

µ#2i )

12 #2#1 ' xj1 % xj2 'µ= (

(

i

µ#2i )

12 #2#1|%1(xj1 % xj2)|1.

A segunda desigualdade segue da hipotese verificaremos a primeira. Denote

µmax = supi

µi

entao

((

i

µ#2i ) ' x%p '2

µ) n(µmax)#2 ' x%p '2

µ) n supi

(µmax)#2µ2

i ' %i(x%p) '2i)

(

i

|%i(x%p)|2i .

Usando a definicao do µi e a primeira afirmacao feita no nesse lema temos que

((

i

µ#2i )

12 # < #0[

(

i

|%i(xj1 % xj2)|2i|%1(xj1 % xj2)|21

]12 .

Portanto

|x % p| $ #02#1((

i

|%i(xj1 % xj2)|2i )12 = #02

#1|xj1 % xj2 |.

!

Apos finalizar a prova dos dois lemas estamos em condicoes de atacar o resultado

principal desse capıtulo. Todos os elementos utilizados agora sao os mesmo do resultado

principal e dos lemas. Se p e um ponto periodico entao o resulado e imediato , caso contrario

suponhamos que p seja um ponto nao periodico e tambem que r0 tao pequeno tal que

sup0$j$N

diamf i(Br0) $ !

e

f j1(Br0)!

f j2(Br0) = #

para j1, j2 ! {1, . . . , N} com j1 "= j2 sejam satisfeitos. Seja S = [1, C]- l. . . -[1, C]. Se µ ! S

defina a norma ' . 'µ sobre TpM por

' v 'µ:= supiµi$i|%iv|i

e faca 0 < k < K, 0 < b < B tal que

kd(x, y) $' x % y '$ Kd(x, y)

para todo x ! BR, onde d(.,.) denota a metrica de M, e

b ' x 'µ$' x '$ B ' x 'µ

para todo x ! TpM, µ ! S. Faca r > 0 e " > 1 satisfazendo

• (2ABb#1 + 1)Kr $ r1

• (2ABb#1)(1 + B#b#1)Kr $ r0

• " = (2ABb#1 + 1)Kk#1

Suponha agora que x ! M, m > 0 e 0 < r $ r satisfazendo x ! Br(p) e fm(x) !

Br(p). Sejam 0 = k1 < ... < km inteiros em [0, m] tais que fki(x) ! Br0 . Se fkj(x) = fki(x)

para alguma i "= j entao nao ha nada a se provar;portanto podemos supor que os fki(x)

sao distintos. Aplicando o segundo lema para os pontos x0 = x, xj = fkj(x), 1 $ j $ n,

a decomposicao TpM = E1

#...

#El , e normas |v|i = $i ' v ' sobre Ei, encontraremos

0 $ m1 = kj1 < kj2 = m2 $ m e µ ! S tal que definindo ' . '1=' . 'µ

temos pelo segundo lema que

• ' fmi(x) % x '1$ A ' fm(x) % x '1, i=1,2

• fkj(x) /! B#r2(q) para todo j1 < j < j2

onde q = fm1 (x)+fm2 (x)2 , r2 = &fm1 (x)#fm2 (x)&1

2 e

%B#r2(q) = {x; supi

µi$i ' %i(x % q) '$ #r2}.

Entao para i=1,2

' fmi(x) % x '$ AB ' fm(x) % x '1$ ABb#1(' fm(x) ' + ' x ') $ 2ABb#1Kr.

Afirmamos que

f j(x) /! B#r2(q)

para todo m1 < j < m2. Se

f j(x) ! B#r2(q)

entao

' f j(x) % q '1$ #r2

implicando temos

' f j(x) '$' f j(x) % q ' + ' q % x ' + ' x '

$ B ' f j(x) % q '1 +1

2' fm1(x) % x ' +

1

2' fm2(x) % x ' + ' x '

$ B#1

2' fm1(x) % fm2(x) '1 +2ABb#1Kr + Kd(x, p)

(pois existe uma identificacao entre p e 0 com isso ' x '=' x % p '$ Kd(x, p))

$ B#1

2b#1 ' fm1(x) % fm2(x) ' +2ABb#1Kr + Kd(x, p)

$ B#1

2b#1(' fm1(x) % x ' + ' fm2(x) % x ') + 2ABb#1Kr + Kr

$ B#b#12ABb#1Kr + 2ABb#1Kr + Kr

$ (2ABb#1(1 + B#b#1) + 1)Kr $ r0

Entao f j(x) ! Br0 logo podemos ter j "= ki para algum j1 < i < j2 mas isso contradiz a

maximalidade do conjunto de tempos que

fki ! Br0

por outro na lado se j = ki contradiz a hipotese

fkj(x) /! B#r2(q)

para todo

j1 < j < j2.

Alem disso para 1=1,2

' fmi(x) '$ 2ABb#1Kr+ ' x '

$ 2ABb#1Kr + Kd(x, p) $ (2ABb#1 + 1)Kr $ r1

.

Entao aplicando o primeiro lema para

y = fm2(x), z = fm1(x)

obtemos uma aplicacao g ! U satisfazendo

gN(y) = fN(z)

,

g(w) = f(w)

quando w /!$N#1

j=0 f i( %B#r(q)) e

f i(z) /! %B#r(q)

para todo 0 < j < m mas escolhemos r0 tao pequeno que

sup0$j$N

diamf i(Br0) $ !

e

f j1(Br0)!

f j2(Br0) = #

para todo 0 $ j1 $ j2 $ N entao como foi observado apos o primeiro lema temos que

o difeomorfismo g satisfaz g(w) = f(w) para w /! B"(f, p), gm2#m1(fm2(x)) = fm2(x) e

d(gj(fm2(x)), gj(fm1(x))) $ ! para 0 $ j $ m2 % m1.Finalmente por

" = (2ABb#1 + 1)Kk#1

e

' fmi(x) % x '

, para i=1,2

d(fmi(x), p) $ k#1 ' fmi(x) '$ (2ABb#1 + 1)Kk#1r = "r

e isso completa a prova do resultado principal.

Capıtulo 2

Teorema A

Definicao 2.1. Denotamos por B"(f, x) conjunto dos pontos y ! M tal que d(fn(x), y) $ !

para algum n ! Z


(U, !) o conjunto dos pontos x ! M tal que existe g ! U,

y ! M e z ! Z+ tal que y e um ponto m-periodico para g, g = f sobre M % B"(f, x) e

d(f j(x), gj(y)) $ ! para todo 0 $ j $ m


(f) o conjunto dos pontos x ! M tal que para toda

vizinhanca U de fe todo ! > 0 existe g ! U e y ! M tal que y e um ponto m-periodico para

g, g = f sobre M % B"(f, x) e d(f j(x), gj(y)) $ ! para todo 0 $ j $ m

Definicao 2.4. Uma medida de probabilidade µ e ergodica se para qualquer A & M temos

µ(A) = 0 ou µ(Ac) = 0 .

Vamos usar a versao forte do Closing Lemma para provar o Teorema A. Inicialmente

teremos que analisar o conjunto"

(f) para simplificar a prova de A. Observe que se Un e

!n > 0 sao base de vizinhanca de f e uma sequencia convergindo a 0 respectivamente entao

((f) =

!

n'0

((Un, !n).

Com efeito, x !"

(f) entao para toda vizinhanca U de f e todo ! > 0 existe g ! U,

y ! M e m ! Z+ satisfazendo gm(y) = y, g=f em M \ B"(f, x) e d(fn(x), gn(x)) $ !

para todo 0 $ n $ m logo x !"

(Un, !n) em particular x !&

n'0

"(Un, !n) basta tomar

U = Un e ! = !n logo x !&

n'0

"(Un, !n). Reciprocamente se x !

"(Un, !n) *n ! N entao

podemos escolher n suficientemente grande de modo que !n < ! e Un + U pois {Un} uma

base de vizinhaca de U e sem perda de generalidade podemos assumir !n . 0 logo x !"

(f).

13

Com esse argumento percebemos que a prova do teorema A resume-se a prova da seguinte

proposicao

Proposicao 2.5. Para toda f ! Diff(M), toda vizinhanca U de f e todo ! > 0 temos

µ("

(U, !)) = 1 para toda medida ergodica µ ! M(f).

Boa parte do trabalho de prova dessa proposicao foi feita no capitulo anterior, isto e

mostramos que todo ponto nao errante x tem um iterado fm(x)(x) = y tal que y e !-sombreado

por z, onde z e ponto periodico para g proxima de f .Por z sombrear y,entendemos que a

orbita de z !-acompanha a orbita de y durante um numero de iterados pelo menos igual

ao perıodo de z.Agora mostraremos que o conjunto Y dos pontos y com tal propriedade de

sombreamento tem probabilidade total para toda medida ergodica.Neste capıtulo tambem

usaremos argumentos de Ergodicidade, Teorema de Birkho!, e alguma gordura de certos

conjuntos que aproximam Y .

Definicao 2.6. Defina"

(µ, !, r, ", m) onde r > 0, " > 1 e m ! Z+ como o conjunto

dos pontos x ! M tal que se y ! Br1(x) para algum 0 < r1 $ r e fm(y) ! Br1(x) existe

0 $ m1 < m2 $ m, g ! U e z ! M tal que g = f sobre M % B"(f, x), gm2#m1(z) = z,

d(gn(z), fn(fm1) $ ! para todo 0 $ n $ m2 % m1 e fm1 ! B!r1(x)

Observe que nesse caso pela propria definicao de"

(U, !) considerando m = m2

temos que fm1(y) !"

(U, !). E facil ver que"

(µ, !, r, ", m) e fechado. Com efeito, tome

uma sequencia {xn} em"

(µ, !, r, ", m) convergindo para x ! M . Devemos mostrar que

x !"

(µ, !, r, ", m).Entao como x !"

(µ, !, r, ", m) temos que para cada n ! N tal que: se

yn ! Brn1(x) para algum 0 < rn

1 $ r e fm(yn) ! Brn1(x) existe 0 $ mn

1 < mn2 $ m, gn ! U

e zn ! M tal que gn = f sobre M % B"(f, x), gmn2#mn

1 (zn) = zn, d(gjn(z), f j(fmn

1 ) $ ! para

todo 0 $ j $ mn2 % mn

1 e fmn1 ! B!rn

1(x).Perceba que todas as novas sequencia formadas,

exceto {gn} que esta em U, estao em compactos. Logo sem perda de generalidade podemos

supor que elas estao convergindo. Ou seja, yn ( y,zn ( z, rn1 ( r1,mn

1 ( m1, mn2 ( m2.

Por outro lado podemos considerar que {gn} que esta contido num compacto K & U. Como

gn = f sobre M %B"(f, x) pela convergencia das sequencias temos g = f sobre M %B"(f, x),

gm2#m1(z) = z, d(gn(z), fn(fm1) $ ! para todo 0 $ n $ m2 % m1 e fm1 ! B!r1(x). Em

outras palavras x !"

(µ, !, r, ", m).

Definicao 2.7.(

(µ, !, r, ") ='

m'0

((µ, !, r, ", m)

Como"

(µ, !, r, ", m) e fechado logo boreliano temos que"

(µ, !, r, ") e boreliano

pois e a uniao enumeravel de borelianos.

A prova da proposicao requer um tipo de Teorema de Recobrimento de Vitali sobre

certas particoes do toro T s = S1- s. . . = -S1. Necessitando de algumas definicoes:

Definicao 2.8. Dizemos que A & T s e um cubo se ele puder ser escrito como A = I1 . . . Is

onde cada Ii sao intervalos de S1.

Definicao 2.9. Dizemos que (p1, . . . , ps) e o centro do cubo A se pi e o ponto medio de Ii.

Definicao 2.10. O comprimento de um intervalo Ii e chamado de lado do cubo.

Definicao 2.11. Dizemos que Pkj e uma particao de T s com lado de comprimento 2$

kj

Como cada lado possui tamanho 2$kj serao necessarios kj atomos da particao Pk

j ,

para cobrir T s

Definicao 2.12. Seja k ! Z+. Entao dizemos que Pk1 $ Pk

2 $ . . . e uma sequencia de

particoes sobre T s

Observe que para cada elemento Q de Pkj podemos associar cubos Q, Q concentricos

e de lados 2k$kj , 6k$

kj respectivamente. Com esses atomos geraremos as seguintes particoes Pkj

e Pkj para o toro T s.

Definicao 2.13. Seja x ! T s. Dizemos que Pkj (x) e o atomo de Pk

j contendo x

Provaremos alguns lemas importantes para a prova da Proposicao principal do

capıtulo. Mas para isso suponha M isometricamente imerso em T s

Lema 2.14. Para cada medida de probabilidade µ sobre os conjuntos borelianos de T s, todo

# > 0 e todo inteiro ımpar k as seguintes inequacoes sao satisfeitas para todo j ) 1 :

µ({x|µ(Pkj (x)) ) #µ(Pk

j (x))}) ) 1 % #ks e µ({x|µ(Pkj (x)) ) #µ(Pk

j (x))}) ) 1 % #3sks

Prova 4. Seja {x1, . . . , xl} um conjunto de pontos que cada elemento esta esta em um unico

atomo de Pkj logo l = kj. Seja

S = {1 $ i $ l|µ(Pkj (xi)) < #µ(Pk

j (xi))}.

Entao

µ({x|µ(Pkj (x)) < #µ(Pk

j (x))}) =

(

i(S

µ(Pkj (xi)) < #

(

i(S

µ(Pkj (xi))

$ #l(

i=1

µ(Pkj (xi))

= #l(

i=1

ksµ(Pkj (xi)) = #ks.

Consequentemente,

1 % µ({x|µ(Pkj (x)) < #µ(Pk

j (x))}) $ 1 % #ks /


j (x))}) ) 1 % #ks.

Usamos o fato de k ser ımpar, pois sendo assim temos que conjuntos Pkj (xi), i = 1, . . . , l,

cobre cada atomo de Pkj (xi)) exatamente ks vezes. Isto prova a primeira desigualdade. Vamos

provar a segunda desigualdade. Defina

S = {1 $ i $ l|µ(Pkj (xi)) < #µ(Pk

j (xi))}.

Entao

µ({x|µ(Pkj (x)) < #µ(Pk

j (x))}) =

(

i(S

µ(Pkj (xi)) < #

(

i(S

µ(Pkj (xi))

$ #l(

i=1

µ(tildePkj (xi))

= #l(

i=1

3sksµ(Pkj (xi)) = #ks.

Consequentemente,

1 % µ({x|µ(Pkj (x)) < #µ(Pk

j (x))}) $ 1 % #3sksks /


j (x))}) ) 1 % #3Sks.

!

Agora provaremos a proposicao. Seja f ! Diff(M), ! > 0, uma vizinhanca U de f

e uma medida ergodica µ ! M seja dada. Extenda µ para uma medida sobre T s definindo

µ(A) = µ(A&

M) para todo conjunto boreliano A de T s. Pegue uma sequencia monotona

rn > 0, "n > 1 convergindo para 0 e +0 respectivamente. Para cada par de inteiros n > 0,

m > 0 podemos encontrar k = k(n, m) e j(n, m) tal que se j ) j(n, m) e x ! T s existem

0 < r $ rn satisfazendo

(a) Pkj (x) & Br(x)

(b) B!mr(r)(x) & Pkj (x)

Agora a notacao Bt(z) denota a bola aberta em T s com raio t e centro z. Nos deveremos

sempre escolher k = k(n, m) ımpar pelo motivo mencionado na prova do lema anterior.

Definicao 2.15. Seja # > 0 denotamos,0

#(n, m) como o conjunto dos pontos x ! T s tal

que para k = k(n, m) as inquacoes sao µ(Pkj (x)) ) #µ(Pk

j (x)) e µ(Pkj (x)) ) #µ(Pk

j (x)) sao

satisfeitas para uma sequencia '(x) de infinitos valores de j

Definicao 2.16. Defina,

#(n, m) ="

(U, !, rn, "m)&,0

#(n, m).

Lema 2.17. Se x !"

(U, !, rn, "m), j ) j(n, m), j ) j(n, m) k ) k(n, m) e µ(Pkj (x)) )

#µ(Pkj (x))}) temos

µ(Pkj (x)

!((U, !)) ) #µ(Pk

j (x)).

Prova 5. Faca 0 < r $ rn satisfazendo as propriedades (a) e (b). Queremos mostrar que que

para qualquer par de inteiros 0 $ ii < i2 tal que f i1(y) e f i2(y) pertencentes a Pkj (x) & Br(x),

existe i3, i1 $ i3 $ i3 tal que

f i3(y) ! B!mr(x)!(

(U, !) & Pkj (x)

! ((U, !).

Como

x !(

(U, !, rn, "m)

podemos aplica a versao forte do Closing lema da seguinte maneira: sejam w = f i1(y) e

fm(w) = f i2#i1(f i2(y)) = f i2#i1(w) pertencentes a ! Pkj (x) & Br(x) logo existe 0 $ m1 <

m2 $ m e g ! U tal que

fm1(w) ! B!r(p), fm2(w) ! B!r(p),

gm2#m1(fm2(w)) = fm2(w)

, g(() = f(() para ( /! B"(f, p) e d(gi(fm2(w)), f j(fm1(w))) $ ! para 0 $ j $ m2 % m1.

Basta definir i3 = m1 + i1 que teremos tambem de forma imediata que f i3(y) !"

(U, !)

e o resto do desejado. Esta propriedade mostrada agora sera importante para estimar a

cardinalidade dos seguintes conjuntos:

A = ){1 $ i $ l|f i(y) ! Pkj (x)

! ((U, !)},

B = ){1 $ i $ l|f i(y) ! Pkj (x)}

Se )B = 2 isto e, B = {i1i2} entao pela propriedade mostrada existe i3 ! A logo

)A ) )B % 1. Por raciocınio analogo, podemos aplicar o processo indutivo e obter que:

){1 $ i $ l|f i(y) ! Pkj (x)

! ((U, !)} ) ){1 $ i $ l|f i(y) ! Pk

j (x)}% 1.

Antes de realizar a majoracao desejada pelo lema perceba que como µ e uma medida

ergodica entao existe y ! M tal que :

liml!"

1

l){1 $ i $ l|f i(y) ! Pk

j (x)! (

(U, !)} = µ(Pkj (x)

!((U, !))

liml!"

1

l){1 $ i $ l | f i(y) ! Pk

j (x)} = µ(Pkj (x))

Entao

µ(Pkj (x)

!((U, !)) = lim

l!"

1

l){1 $ i $ l|f i(y) ! Pk

j (x)!(

(U, !)} )

liml!"

1

l){1 $ i $ l|f i(y) ! Pk

j (x)} = µ(Pkj (x)) ) #µ(Pk

j (x)).

Isto completa a prova do lema.

!

Definicao 2.18. Denotamos por F a famılia de conjuntos P(k)ji

(x) com

x !-

#

(n, m)!(

(U, !)c

e j ! '(x).

Lema 2.19. Dada uma vizinhanca de U de,

#(n, m)& "

(U, !)c existe uma sequencia de

xi !,

#(n, m)&"

(U, !)c, ji ! '(xi),i=1,2,3... tal que

• Os conjuntos P(k)ji

(xi) ,i=1,2,3... sao disjuntos e estao contidos em U .

• µ(,

#(n, m)&"

(U, !)c %$

i P(k)ji

(xi)) = 0

Prova 6. Por argumentos padroes de medida podemos encontrar uma translacao * : T s 1+

tal que

µ(*('

{,A|A ! P(k)ji

(xi), l ) 1, i ) 1})) = 0

onde ,A denota a fronteira de A.De fato se para toda translacao * : T s 1+ temos

µ(*('

{,A|A ! P(k)ji

(xi), l ) 1, i ) 1})) "= 0

Entao se consideramos o subconjunto de M dado por

V ='

%

µ(*('

{,A|A ! P(k)ji

(xi), l ) 1, i ) 1}))

temos que µ(V ) = +0 contrarindo que V & M e µ(M) = 1.

Entao podemos supor sem perda de generalidade, que:

µ('

{,A|A ! P(k)ji

(xi), l ) 1, i ) 1}) = 0.

Como j e k nao sao fixos podemos escollher uma sequencia Ai ! F

1. Ai & U para todo 1 $ i

2. µ(Ai

&Al) = 0 para todo 1 $ l < i

3. Para todo l < i temos que diamAi = max{diamA|A ! F, A & U, µ(Ai

&Al) = 0 para

todo 1 $ l < i}

E facil ver que essa propriedade implica

limj!+"

diamAj = 0

Pois se limj!+" diamAj = L "= 0 dado ! entao existiria j0 tal que diamAj > L % !

logo podemos escolher j1j2 > j0 de modo que µ(Aj1

&Aj2) "= 0 contrariando a construcao da

famılia.

(

i

µ(Ai) = µ('

i

Ai) $ 1

pois

µ('

i

Ai) = µ(('

i

Ai)!

M) $ µ(M) = 1.

Afirmamos que para qualquer N ) 1 temos

-

#

(n, m)!(

(U, !)c %N'

i=1

Ai &'

i>N

Ai.

Suponha que

x !-

#

(n, m)!(

(U, !)c %N'

i=1

Ai.

Entao existe A ! F com x ! A e

A! N'

i=1

Ai = #.

fazendo N crescer temos que os cubos Ai vao diminuido e exaurindo o subconjunto U de,

#(n, m)& "

(U, !)c entao existe um determinado momento,N1 > N , em que

A!

Ai = #

para todo 1 $ i < N1 e

A!

AN1 "= #.

Por outro lado como

A!

(N'

i=1

Ai) = #

temos

A & (N'

i=1

Ai)c

logo

A!

AN1 & (N'

i=1

Ai)c!

AN1 = AN1

implicando

A & AN1 .

Portanto

diam(A) $ diam(AN1).

Temos tambem

x ! A & A & AN1 &'

i>N

Ai &'

i>N

Ai

completando assim a prova de

-

#

(n, m)!(

(U, !)c %N'

i=1

Ai &'

i>N

Ai.

Segue de

µ('

{,A | A ! P(k)ji

(xi), l ) 1, i ) 1}) = 0

. que

µ((-

#

(n, m)!(

(U, !)c) %N'

i=1

Ai) =

µ((-

#

(n, m)!(

(U, !)c) %N'

i=1

¯iA) $

µ((-

#

(n, m)!(

(U, !)c) $

µ('

i>N

Ai) $(

i>N

µ(Ai) $ ##1(

i>N

µ(Ai).

Por(

i

µ(Ai) = µ('

i

Ai) $ 1

o lema esta provado.

!

Pelos dois ultimos lemas temos que

µ(U) )(

i

µ(P(k)ji

(xi)) )1

1 % #(

i

µ(P(k)ji

(xi)!(

(U, !)c) =

1

1 % #µ('

i

P(k)ji

(xi)!(

(U, !)c) $ 1

1 % #µ(-

#

(n, m)!(

(U, !)c).

A ultimas desigualdade segue do fato de que

P(k)ji

(xi) & U &-

#

(n, m)!(

(U, !)c

Mas se

µ(-

#

(n, m)!(

(U, !)c) > 0

podemos escolher U satisfazendo

µ(U) <1

1 % #µ(-

#

(n, m)!(

(U, !)c)

contradizendo a ultima inequacao. Portanto

µ(-

#

(n, m)!(

(U, !)c) = 0.

Pelo primeiro lema aplicado ao conjunto µ(,0

#(n, m) temos que µ(,0

#(n, m)) ) 1 %

#(ks + 3sks).

Alem disso a partir da definicao de,

#(n, m) podemos escrever

+"'

r=1

-

1r

(n, m) =+"'

r=1

((

(U, !, rn, "m)! 0-

1r

(n, m)) =

((U, !, rn, "m)

!(+"'

r=1

0-

1r

(n, m)) =(

(U, !, rn, "m)mod(0),

onde mod(0) representa a menos de um conjunto de medida nula.Como mostramos acima

µ((

(U, !)c! -

#

(n, m)) = 0

para todo 0 < # < 1 temos que

((U, !) +

-

#

(n, m))mod(0)

para todo 0 < # < 1 logo

((U, !) +

1'

#=0

-

#

(n, m))mod(0).

ou seja,

((U, !) +

+"'

r=1

-

1r

(n, m) +(

(U, !, rn, "m)mod(0).

Como a propriedade sera satisfeita para todo n > 0, m > 0 mas como

M ='

n'0

'

m'0

((µ, !, rn, "m)

obteremos que

µ((

(U, !)) = µ(M) = 1

e isso completa a prova da proposicao que implica no teorema A.

Capıtulo 3

Versao Residual do Ergodic Closing

Lemma

Inicialmente teremos que introduzir uma topologia em M(f) para obter os resultados

desejados do capıtulo.

Definicao 3.1. Sejam µ ! M(f) um conjunto finito ! > 0 e F = {-1, . . . ,-s} & C0(M)

dados. Defina

V&1,...,&s;" := {' ! M(f); |.-id'k %

.-idµk |< !, *i = 1, . . . , s}.

Entao a topologia fraca-) e definida estipulando que estes conjuntos V&1,...,&s;" para ! > 0 e

{-1, . . . ,-s} variaveis constituem uma base de vizinhanca de µ

Vamos agora caracterizar a convergencia nesse espaco.

Lema 3.2. Uma sequencia (µn)n(N em M(f) converge para uma medida µ em M(f) na

topologia fraca-) se e somente se

.-dµk (

.-dµ

para toda funcao contınua - : M ( R.

Prova 7. (2)

Considere qualquer funcao continua - e forme o conjunto F = {-}. Como µn ( µ

temos que dado ! > 0 existe n0 tal que

µn ! V&;"

23

para todo n > n0 logo

|.-dµk %

.-dµ |< !

para todo

n > n0. Portanto .-dµk (

.-dµ

.

(3)

Se/-dµk (

/-dµ para toda funcao contınua -, entao dado ! e F = {-1, . . . ,-s}

temos para cada i ! {i = 1, . . . , s} existe ni0 tal que

|.-idµk %

.-idµ |< !

para todo n > ni0. Fazendo n0 = max{n10 , . . . ns0} temos µn ! V&1,...,&s;".

!

Lema 3.3. Seja f : M ( M um difeomorfismo.Se para um x em um conjunto de probabili-

dade total S temos que dado ! > 0 existe um ponto p = p(x) f -periodico que e !-sombreado

por x entao M(f) e o fecho convexo de medidas ergodicas suportadas em orbitas f -periodicas.

Prova 8. Relembramos que um conjunto convexo em M(f) e fechado sse e fechado na

topologia fraca-). Devido ao Teorema da Decomposicao Ergodica M(f) e o fecho convexo

de probabilidades f -ergodicas. Todo o trabalho sera para mostrar que qualquer medida de

probabilidade ergodica µ sera o limite fraco-) de medidas suportadas em orbitas periodicas.

Portanto consideremos uma probabilidade f -ergodica µ. Suponhamos sem perda de general-

idade que µ nao e suportada numa orbita periodica. Para um ponto x ! M µ-tıpico temos:

• Teorema de Recorrencia de Poincare implica x e recorrente

• Pela versao forte do Ergodic Closing Lemma temos que x possui a propriedade de

sombreamento

• Teorema Ergodico de Birkho! implica que

1

n

n#1(

j=0

#fj(x) (fraca#" µ

quando n ( +0.[Apendice A]

Vamos agora construir as medidas suportadas nas orbitas periodicas. Seja (nk) a

sequencia de tempos de primeiro retorno da orbita de x que voltam para B(x,.k), onde

.1 = 1 e .k+1 := d(f!k (x),x)2 para todo k ) 1. Portanto nk ( +0 quando k ( +0.Pela

Versao Forte do Ergodic Closing Lemma escolha uma sequencia de pontos periodicos (pk) de

tal modo que cada pk e 'k3 a orbita de x.

Em particular, o perıodo tk de pke de pelo menos nk (de outro modo a orbita de x

retornaria a B(x,.k)ante de nk). Entao para tk ) nk implica tk ( +0 quando k ( +0

e ate termos uma sequencia podemos supor que os tk’s sao dinstintos. Defina µk como uma

probabilidade ergodica suportada na orbita de (pk), ou seja,

µk :=1

tk

tk#1(

j=0

#fj(pk).

Mostraremos

µk (fraca#" µ.

De

1

n

n#1(

j=0

#fj(x) (fraca#" µ

temos que

'k =1

tk

tk#1(

j=0

#fj(x) (fraca#" µ

quando k ( +0. Sejam ! > 0 e {-1, . . . ,-s} & C0(M) dados. Tudo o que

precisamos verifica e se existe k0 ! N tal que 'k pertence a vizinhanca

V&1,...,&s;" := {' ! M(f); |.-id'k %

.-idµk |< !, *i = 1, . . . , s},

para todo k ) k0.

De fato, faca . > 0 tal que | -i(y)-i(z) |< "2 , *i = 1, . . . , s, *y, z ! M tal que

d(y, z) < .. Entao, faca k0 tal que .k < '2 , e

|.-id'k %

.-idµ |< !

2,

para todo k ) k0, *i = 1, . . . , s. concluimos que

|.-idµk %

.-idµ |$|

.-id'k %

.-idµk | + |

.-id'k %

.-idµ |<

1

tk

tk#1(

j=0

| -i(fj(x)) % -i(f

j(pk)) | +!

2< !,

*i = 1, . . . , s. A ultima desigualdade e devida a propria definicao de integral. Com

isso obtemos que µk ! V&1,...,&s;", para todo k ) k0. Portanto µk (fraca#" µ

!

Definicao 3.4. Seja X um estaco topologico. Dizemos que R & X e um conjunto residual

de X se ele puder ser escrito como intersecao enumeravel de abertos densos em X.

Teorema 3.5. Versao Residual do Ergodic Closing Lemma

Sejam M(f) o espaco das probabilidades f-invariantes e Diff(M) o espaco dos

difeomorfsmos sobre a variedade M com a topologia C1. Entao existe um conjunto residual

R ! M(f) tal que para toda f ! R vale que M(f) e igual ao fecho convexo das probabilidades

invariantes suportadas em orbitas periodicas.

Prova 9. Devido ao ultimo lema se para alguma f e qualquer ponto q ! M que retorna

suficientemente proximo de si mesmo, tem algum interado que e sombreado por um ponto

f -periodico, entao para f, nos temos que M(f) e o fecho convexo de medidas ergodicas

suportadas em orbitas periodicas. De fato, se isso ocorre, como na prova do teorema da

Versao Forte do Closing Lemma segue que para qualquer ! > 0 o conjunto dos pontos x ! M

que sao !-sombreadas por pontos f -periodicos de probabilidade total. Seja ! > 0 dado e seja

B = B(f , !) para alguma bola em Diff(M). Fixe m ! N. Nao ha perda de generalidade

generalidade em supor que todos os pontos periodicos de f com perıodo ate m sao hiperbolicos,

como tais tipos de endomorfismos formam um subconjunto aberto e denso em Diff(M).

Tambem pegaremos ! suficientemente pequeno tal que cada ponto periodico pg de g ! B e uma

continuacao analıtica hiperbolica de um ponto periodico pf de f .Fazendo ! suficientemente

pequeno , podemos supor que d(f j(x), gj(x)) < "3 , para todo x ! M e f, g ! B, j = 1, . . . , m.

Agora pegue qualquer ponto x ! M e qualquer f ! B. Pelo lema na primeira parte do

teorema A, existe r > 0 tal que, se x, f(x) ! B(q, r), entao existe 0 $ m1 $ m2 $ m tal que

fm1(x) e "3 -sombreado por um ponto pg m1 % m2-periodico para g-proxima em B. Devido a

nossa escolha de B, f tambem tem um ponto pf cuja f -orbita a g-orbita de pg. Portanto,

concluimos que fm1(x) e !-sombreado por pf . Agora Sm," e a uniao de todas as bolas B.

Portanto Sm,"e um aberto e denso de Diff(M). Seja uma sequencia ! . 0. E claro que

S :=!

m(NSm,"

e um conjunto residual que para qualquer ! > 0, qualquer f !,

e qualquer q ! M que

retorna suficientemente proximo de si mesmo, q possui algum iterado que e !-sombreado por

algum ponto f -periodico. Isto implica que o conjunto dos pontos x ! M que sao sombreados

por pontos f -periodicos tem f -probabilidade total. Logo o resultado segue do ultimo lema.

!

Capıtulo 4

Apendices

4.1 Apendice A

Dissemos no capıtulo 3 que a partir do Teorema Ergodico de Birkho! terıamos:

'k =1

n

n#1(

j=0

#fj(x) (fraca#" µ

quando n ( +0.

Para tal precisamos mostrar um lema que garantira esse fato imediatamente.

Lema 4.1. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

1. M(f) possui um unico elemento

2. existe µ ! M(f) tal que para toda aplicacao - : M ( R contınua e qualquer x ! M

limn!+"

1

n

n#1(

j=0

-(f i(x)) =

.-dµ

3. Para toda - : M ( R contınua, 1n

"n#1j=0 -(f i(x)) converge pontualmente a uma con-

stante

4. Para toda - : M ( R contınua, 1n

"n#1j=0 -(f i(x)) converge uniformemente a uma

constante

Prova 10. (4) 2 (3) Imediato

(3) 2 (2) Seja C0(M) o espaco das funcoes contınuas de M em R. Defina / :

C0(M) ( R por

/(-) = limn!+"

1

n

n#1(

j=0

-(f i(x))

28

para todo x ! M . Afirmamos que essa aplicacao e um funcional linear positivo.A linearidade

e imediata resta mostra que e positivo. Se - ) 0 entao

-(f i(x)) ) 0

para todo i ! N logo /(-) ) 0. Consequentemente pelo Teorema da Representacao de Riesz

existe uma unica probabilidade invariante µ tal que

.-dµ = /(-)

para toda - ! C0(M). Alem disso a medida µ encontrada e invariante pois /(- 4 f) = /(-).

(2) 2 (1) Suponhamos a exstencia de ' ! M(f). Sabemos pelo Teorema Ergodico

de Birkho! que

limn!+"

1

n

n#1(

j=0

-(f i(x))

converge para '-q.t.p para uma funcao - tal que

.-d' =

.-d'.

Mas os fatos das medias convergirem pontualmente para a funcao constante igual a/-dµ

segue que/-d' =

/-dµ. Como ' e µ integram funcoes contınuas da mesma forma entao

sao identicas.

(1) 2 (4) Lembre-se qie a constante para qual a media de Birkho! converge tem

que ser/-dµ, onde µ e a unica probabilidade invariante de f . Suponha que (4) nao valha

entao. entao, existem 0 ! C0(M) e ! > 0 tais que para todo n0 ) 1 existem n ) n0 e xn

tais que

| 1

n

n#1(

j=0

0(f i(xn)) %.0dµ |) !.

Ou seja, exite uma subsequencia {nj}j e para cada j um ponto xnj tais que

| 1

nj

nj#1(

j=0

0(f i(xnj)) %.0dµ |) !.

Tomes as medidas µnj dadas por

µnj =1

nj

nj#1(

j=0

#f ixnj

.

Para elas, temos

|.0dµnj %

.0dµ |) !.

Por causa da compacidade de M(f), existe uma uma subsequencia de {nj}j (su-

poremos que e a mesma, para facilitar a notacao) tal que

µnj ( µ"

, onde µ" = limj!+"1nj

"nj#1j=0 #f i

xnj.Pela desigualdade acima µ "= µ". Como µ" e invari-

ante provamos que M(f) + {µ, µ"} contrariando (1).

!

Observaremos que se µ e ergodica entao toda funcao invariante 0 ! C0(M) e con-

stante num concjunto de medida total.Com efeito,considerando 0 ! C0(M)uma funcao qual-

quer invariante temos que a pre-imagem A = 0#1(I) de qualquer intervalo I(R) e um con-

junto invariante pois

f#1(A) = f#1 4 0#1(I) = (0 4 f)#1(I) = 0#1(I) = A.

Como µ e ergodica temos que temos que essa pre-imagem tem medida zero ou 1. Como o

intervalo I e arbitrario, isto prova que 0 constante num conjunto de probabilidade total µ.

Como µ e ergodica e por um argumento simples sabemos que limn!+"1n

"n#1j=0 -(f i(x))

e invariante entao sabemos pelo argumento anterior que limn!+"1n

"n#1j=0 -(f i(x)) e costante

num conjunto de medida de medida total.Entao a condicao (3) do lema e satisfeita para um

conjunto de medida total. Logo

limn!+"

1

n

n#1(

j=0

-(f i(x)) =

.-dµ

para µ % q.t.p x ! M .

Sejam {-1, ldots,-s} e ! > 0 entao pela igualdade acima temos que existe ni0 para

todo i ! {1, . . . , s} tal que

|.-id'k %

.-idµ | !,

para todo n > ni0 onde

'k :=1

n

n#1(

j=0

#fj(x).

Portanto

'k =1

n

n#1(

j=0

#fj(x) (fraca#" µ

quando n ( +0.

4.2 Apendice B

Referencias Bibliograficas

[Castro] A. Castro, -A criterion of generic hyperbolicity based on periodic points, to appear.

[M] R. Mane, -An Ergodic Closing Lemma Ann.of Math. , 116, (1982), 503-540.

[Pugh1] C. Pugh,C. Robinson -The C1 Closing Lemma, including Hamiltonians Ergodic

Theory Dynam. Systems 3, (1983),2 61-313.

[Pugh2] C. Pugh, -The Closing Lemma , Amer. J. Math. , 89, (1967), 956-1009

[Robinson] C. Robinson, -Introduction to the Closing Lemma ,The Structure of Attractors

in Dynamical Systems, Lectures Nontes in Math. , 668, (1978), Springer Verlag.

o closing lemma ergódico

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