o modelo de lorenz - usp · 0( ) = ˇ 1=4ei!0 e 2=2 (3) onde,! 0 e a frequ^encia adimensional; e um...

O modelo de LorenzE a transicao para o caos via intermitencia

Caike Crepaldi1 Taymara R. Dias1

1Instituto de Fısica,Universidade de Sao Paulo

PRGF5202 - Caos em Sistemas Dissipativos,07 de maio de 2018

Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 1 / 36

Sumario

1 O Modelo de Lorenz

2 Encontrando as Estruturas Intermitentes: A Transformada Wavelet

3 Estruturas Intermitentes em Fısica Experimental: A Turbulencia emPlasmas

4 Referencias


O Modelo de Lorenz

Sumario




4 Referencias


O Modelo de Lorenz

Um pouco de historia

Dentro os modelos fenomenologicos que apresentam caracterısticascaoticas (ou seja, imprevisıveis) nao podemos esquecer do sistemaextremamente complicado que esta por tras do clima e do tempo.

Com o intuito de simplificar o conjunto complicado deequacoes que modelam a atmosfera da Terra, com base nasequacoes de Navier-Stokes, Edward Norton Lorenz (1963)acabou dando sua enorme contribuicao no campo doestudo de sistemas caoticos.

A situacao especıfica que ele considerou foi o problema deRayleigh-Bernard, que consiste em um fluido em um recipiente cujassuperfıcies superior e inferior estao a temperaturas diferentes.


O Modelo de Lorenz

Um pouco de historia

Num sistema como esse vemos que conforme a diferenca de temperaturaentre as duas superfıcies aumenta, o fluido vai de um estado estacionario,a um estado de fluxo constante (conveccao), ate por fim atingir um fluxocaotico.

Considerando o poder computacional restrito acessıvel na epoca, Lorenzresolveu simplificar as equacoes de Navier-Stokes do problema deRayleigh-Bernard.

Ele simplificou tanto o problema que o reduziu a apenas 3 equacoes (1).Essas equacoes ficaram entao conhecidas como as equacoes de Lorenz (ouo modelo de Lorenz).


O Modelo de Lorenz

Introducao ao Modelo

O modelo tem 3 parametros de controle (σ, r , e b) e 3 variaveis (x , y , ez). Para estudar intermitencia, utilizaremos σ = 10 e b = 8/3, o que euma escolha bem comum na qual alguns autores atribuem a um sistemacom agua fria. O valor de r representa a diferenca de temperatura entre asduas superfıcies.

x = σ(y − x) (1a)

y = −xz + rx − y (1b)

z = xy − bz (1c)


O Modelo de Lorenz

Intermitencia

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

t

0

20

40

60

80

100

120

z

Lorenz Model: σ=10, b=8/3

r=35

r=20

r=10

Figura 1: Transicao para o caos.


O Modelo de Lorenz

Intermitencia

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

t

20

40

60

80

100

120

140

x




O Modelo de Lorenz

Intermitencia

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

t

0

20

40

60

80

100

120

140

y




O Modelo de Lorenz

Intermitencia

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

x

-20

0

20

y

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

x

0

20

40

z

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

y

0

20

40

z

Lorenz Model: r=20

Figura 4: Caminhando para um ponto fixo.


O Modelo de Lorenz

Intermitencia

Figura 5: Caminhando para um atrator.


O Modelo de Lorenz

Intermitencia

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

t

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

z


r=166

r=166.2

r=170

r=185

Figura 6: Surgimento da intermitencia.


O Modelo de Lorenz

Intermitencia

Figura 7: Caminhando para atratores com orbitas periodicas e caoticos.


O Modelo de Lorenz

Intermitencia

x

-50 0 50

y

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80r = 166

Figura 8: Atrator de orbita periodica.


O Modelo de Lorenz

Intermitencia

x

-50 0 50

y

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100r = 166.2

Figura 9: Atrator de orbita caotica.


O Modelo de Lorenz

Bifurcacao

Figura 10: Diagrama de Bifurcacao. Modelo de Lorenz com σ = 10 e b = 8/3.


O Modelo de Lorenz

Bifurcacao

Figura 11: Janela periodica ao redor de r = 155.


Encontrando as Estruturas Intermitentes

Sumario




4 Referencias



Transformada Wavelet

A transformada wavelet (ondaleta, em pt-br) e um metodo de analise deseries temporais que permite a localizacao de estruturas intermitentes.

Podemos considerar a Transformada de Wavelet como uma Transformadade Fourier Janelada com o tamanho da janela variavel. Como eventos debaixa frequencia precisam de uma maior janela no domınio do tempo paraserem observados e eventos de alta frequencia precisam de uma janelamenor para uma maior resolucao temporal, uma janela de tamanhovariavel permite decompor o sinal tanto no domınio da frequencia quantono domınio do tempo.



Transformada Wavelet

A Transformada de Wavelet contınua Wn(s) de uma serie temporal xn edefinida como uma convolucao de xn com uma versao escalonada etransladada da funcao wavelet Ψ0(η),

Wn(s) =N−1∑n′=0

xn′Ψ∗[

(n′ − n)δts

](2)

onde,

Ψ∗ e o complexo conjugado da funcao wavelet normalizada;

δt e o passo da serie temporal xn;

s e a escala, um fator proporcional ao perıodo T e que depende dafuncao wavelet escolhida.



A Funcao Morlet

Uma das funcoes wavelets utilidas e a Morlet. Essa funcao pode consisteem uma onda plana modulada por uma gaussiana

Ψ0(η) = π−1/4e iω0ηe−η2/2 (3)

onde,

ω0 e a frequencia adimensional;

η e um parametro adimensional de tempo.

Para essa wavelet, a relacao entre a a escala s e o perıodo T e

T =

4π

ω0 +√

2 + ω20

s (4)



A Funcao Morlet

η

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Ψ(η

)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Morlet Wavelet

Figura 12: Wavelet Morlet.



A Funcao Morlet

t

-4 0 4-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1s=1

t

-4 0 4-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1s=0.5

t

-4 0 4

Ψ(t

/s)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1s=2

Figura 13: A funcao Morlet para diferentes escalas.



Metodo de Wavelet

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-2

0

2

4

z

Wavelet analysis (σ=10, b=8/3, r=185)

-2

0

2

4

6

8

10z

Σj |W

n(s

j)|

2

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

t

-3.5

-2.5

-1.5

-0.5

log

2[T

]

1.5

1.0

0.5

s

Figura 14: O metodo de Wavelet.



Metodo de Wavelet

5 10 15 20 25 30 35 40 45

-2

0

2

4

z

Wavelet analysis for Lorenz model with σ=10, b=8/3, r=166

-2

0

2

4

6z

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

t

-3.5

-2.5

-1.5

-0.5

log

2[T

]




Metodo de Wavelet

10 15 20 25 30 35 40 45

-2

0

2

4

z

Wavelet analysis for Lorenz model with σ=10, b=8/3, r=166.2

-2

0

2

4

6

8

10

z

26 28 30 32 34 36 38

t

-3.5

-2.5

-1.5

-0.5

log

2[T

]



Estruturas Intermitentes em Fısica Experimental

Sumario




4 Referencias



O plasma no Tokamak

A fusao termonuclear controlada tem sido idealizada por meio do estudode plasmas quentes em reatores de confinamento magnetico, e.g.tokamaks, que tem por caracterıstica sua geometria toroidal.

Ja o plasma e formado por ıons e eletrons dissociados em um estado dequasineutralidade, onde as interacoes eletrostaticas de longo alcancegeram movimentos coletivos das partıculas carregadas, como ondas. Essasondas, associadas com gradientes presentes no plasma, acabamtransportando partıculas para fora deste atraves de processos turbulentos.



O plasma no Tokamak

Figura 17: Joint European Torus.



O plasma no Tokamak

Figura 18: Esquema de um Tokamak.



O plasma no Tokamak

Figura 19: TCABR.



Bursts

Figura 20: Corrente de Saturacao de ıons na borda do TCABR .



Bursts

Figura 21: Histograma da corrente de saturacao.



Bursts

-5

0

5

I sat

Tokamak TCABR shot - Wavelet transform analysis

50 50.2 50.4 50.6 50.8 51 51.2 51.4 51.6 51.8 52

t (ms)

0.014

0.018

0.022

0.026

0.03

Figura 22: Deteccao dos bursts por wavelet.


Referencias

Sumario




4 Referencias


Referencias

Referencias

Gustavo Lima, Analise espectral por Wavelet da turbulencia noTokamak TCABR, 2005

C. Torrence & G. P. Compo, A practical guide to wavelet analysis,Bull. Am. Meteor. Soc., 79(1), 61–78, 1998

P. Manneville & Y. Pomeau, Different ways to turbulence indissipative dynamical systems, Physica D: Nonlinear Phenomena,Volume 1, Issue 2, June 1980, Pages 219-226

Radu Balescu, Aspects of Anomalous Transport in Plasmas, 2005

Nicholas J. Giordano, Computational Physics, 2ed., Pearson, 2005


o modelo de lorenz - usp · 0( ) = ˇ 1=4ei!0 e 2=2 (3) onde,! 0 e a frequ^encia adimensional; e um...

Documents