oι νόμοι του Νεύτωνα...oι νόμοι του Νεύτωνα 1 ος Νόμος 2 ος...
TRANSCRIPT
Oι νόμοι του Νεύτωνα1ος Νόμος
2ος Νόμος
3ος Νόμος
Αν η ολική εξωτερική δύναμη (Fολ) που ασκείται πάνω σε ένα σώμα είναι μηδέν τότε το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα
•Ομαλή ευθύγραμμη κίνηση u=σταθερή•Ακινησία u=0
Aν σε ένα σώμα ασκείται συνολική εξωτερική δύναμη Fx τότε το σώμα αποκτά επιτάχυνση κατα την ίδια διεύθυνση:
Fx=max
Ορισμός μάζας (αδρανείας):
Το φυσικό μέγεθος που εκφράζει την αντίστασης του σώματος στην αλλαγή της φυσικής του κατάστασης
Τρόπος μέτρησης μάζας:111
000
amFamF
⋅=⋅= 0
1
01 m
aam ⋅=
Av το σώμα Α ασκεί δύναμη στο σώμα Β τότε το σώμα Β ασκεί δύναμη στο σώμα Α ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς
Ο 1ος νόμος του ΝεύτωναΈνα σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα (κατά μέτρο και διεύθυνση) εκτός και αν μια μη μηδενική ολική δύναμη ασκηθεί επάνω του
Καθημερινή εμπειρία: Ένα αυτοκίνητο που κινείται με σταθερή ταχύτητα και επάνω του δεν ασκείται δύναμη δεν θα συνεχίσει να κινείται αλλά αντίθετα θα σταματήσει. ΓΙΑΤΙ ? Απάντηση: στην πραγματικότητα
ασκείται επάνω του μια δύναμη (η τριβή) αντίθετης φοράς από την κίνησή του η οποία προκαλεί την επιβράδυνσή του.
Αν ένα σώμα παρεκλίνει από ευθεία κίνηση
η ταχύτητά του δεν ειναι σταθερή
Ασκείται επάνω του μία δύναμη F
Ο 1ος νόμος του Νεύτωνα
Μπορεί ένα σώμα να επιταχύνεται ενώ το μέτρο της ταχύτητάς του παραμένει σταθερό ?
ΝΑΙ αν αλλάζει η διεύθυνση της ταχύτητάς του ( Η επιτάχυνση είναι η μεταβολή του διανύσματος της ταχύτητας
Ο 1ος νόμος του Νεύτωνα
Μπορεί ένα σώμα να επιταχύνεται ενώ το μέτρο της ταχύτητάς του παραμένει σταθερό ?
ΝΑΙ αν αλλάζει η διεύθυνση της ταχύτητάς του ( Η επιτάχυνση είναι η μεταβολή του διανύσματος της ταχύτητας
Ο 2ος νόμος του Νεύτωνα
Όταν ένα σώμα επιταχύνεται σημαίνει ότι μια δύναμη ασκείται επάνω του. Αυτή η δύναμη είναι η συνισταμένη όλων των δυνάμεων που ασκούνται επάνω στο σώμα
amF ⋅=
2
2
dtrdm
dtudmF
⋅=⋅=
....)(
...)(==
trtu
Kανόνες για την εφαρμογή των νόμων του Νεύτωνα στο χώρο
•Επιλογή συστήματος συντεταγμένων•Φτιάχνουμε τα διαγράμματα ελεύθερου σώματος για κάθε σώμα •Για κάθε σώμα χωριστά βρίσκουμε τις δυνάμεις που ασκούνται επάνω του.( Βρίσκουμε και τις δυνάμεις που συνδέονται μέσω δράσης-αντίδρασης •Αναλύουμε τις δυνάμεις στους άξονες•Εφαρμόζουμε τον 2ο νόμο του Νεύτωνα σε κάθε άξονα για κάθε σώμα χωριστά
∑∑
=
=
yy
xx
maF
maF ....)(...)(
==
txtux
....)(...)(
=
=
tytuy
Ένα ηλεκτρόνιο κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά και επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση. Η ταχύτητά του μεταβάλλεται από 0 έως τελική ταχύτητα σε απόσταση 1cm : 6x106 m/sYπολογίστε τη δύναμη που ασκείται στο ηλεκτρόνιο. Δίδεται η μάζα του ηλεκτρονίου :9.1x10-31 Kg
amF ⋅=
tαυ =2
21 atx = x
a2
2υ= x
mF2
2υ⋅=
msmKg
xmF 2
22122312
102/106101.9
2 −
−
××××
=⋅=υ
Βρείτε τη δύναμη σε (gr cm )/h2
Yπολογίστε την αρχική προς τα πάνω επιτάχυνση πυραύλου μάζας 1.3x104 Kg αν η αρχική προς τα πάνω δύναμη του κινητήρα είναι: 2.6x105 Ν
maBFFo =−=λ
mmgFa −
=Kg
smKgNa 4
245
103.1/10103.1106.2
×⋅×−×
=
2/10 sma =
Βρείτε την επιτάχυνση σε Km/h2
Σε σώμα μάζας m επιδρουν δύο δυνάμεις F1 και F2 κάθετες μεταξύ τους. Βρείτε τη διανυσματική επιτάχυνση αν m=5Kg F1=3N F2=4N
mFmF
y
x
1
2
=
=
α
α
22
12
222 /1 smm
FFaaaa yx =
+=⇒+=
0
2
1 3775.0tan =⇒=== φαα
φFF
y
y
F1
F2
φ
Fολ
Αντικείμενο 8.5Kg περνά από την αρχή των αξόνων με ταχύτητα 30m/s παράλληλα προς τον άξονα x. Δέχεται σταθερή δύναμη 17Ν στη διεύθυνση του θετικού άξονα x. Περιγράψτε την προκύπτουσα κίνηση και υπολογίστε την ταχύτητα και τη θέση του μετά από 15s
Fυ0
Η δύναμη που δρα πάνω στο σώμα είναι σταθερήΆρα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση
2/2 smmF==α
20
0
21 tatx
t
⋅+⋅=
⋅+=
υ
αυυ
Για t=15s
mxsm
675/60
==υ
Σώμα μάζας m δέχεται μια δύναμη βαρύτητας προς τα κάτω και μια οριζόντια σταθερή δύναμη F. Βρείτε την επιτάχυνσή της και την ταχύτητά της σαν συνάρτηση του χρόνου υποθέτοντας ότι ξεκινά από την ηρεμία.
F
B R
22 BFR +=
H συνισταμένη δύναμη είναι:
Η επιτάχυνση είναι:m
gmFmR 222 +==α
FΒ
=φtan
φ
Παράδειγμα: Έστω αντικείμενο στο οποίο ασκούνται οι δυνάμεις που φαίνονται στο σχήμα: Πόση είναι η δύναμη Α που ασκείται στο αντικείμενο προκειμένου να κινείται με σταθερή ταχύτητα? Πόση είναι η δύναμη Α αν το αντικείμενο επιταχύνεται με επιτάχυνση α=0.16ms-2 Δίδονται: Τ1=Τ2=Τ=1100Ν και η μάζα του αντικείμένου ίση με 3700Κg
U=σταθερό:
Τ
Τ
Α φ
Τ
Τ
Α φ χ
yKατά χ:
...25cos2025cos25cos
0
00
=⇒=
⇒=−+
ATAATT
Aν το σώμα επιταχύνεται κατά τον άξονα χ:
...25cos225cos25cos
0
00
=⇒−=
⇒=−+
AmaTAmATT α
α=0
έστω η μάζα του κύβου είναι m και η γωνία είναι φ. Βρείτε την τάση στο σκοινί και την κάθετη δύναμη που εξασκείται στον κύβο. Αν το σκοινί κοπει βρείτε την επιτάχυνση του κύβου
xy FN
mg
φφ
mgcosφ
mgsinφ 0cos0sin
=−Ν=−
φφ
mgmgF
...cos...sin==Ν==
φφ
mgmgF
Αν σπάσει το σκοινί η δύναμη F θα γίνει 0
...sin =⇒= ααφ mmg
Βρείτε την τάση στο σκοινί και την επιτάχυνση των δύο κύβων
m1
m2
m2g
T
amTgm ⋅=− 22
α
amT ⋅= 1
( )21
211 mm
gmmamT+
⋅=⋅=
amamgm ⋅=⋅− 212 ( )21
2
mmgma
+=
amT ⋅= 1
A
B
Σώμα Α
Σώμα Β:
Σώμα Α:
m1g
N
T
Σώμα Β
F=60NM1=20Kg M2=20Kg
M3=30Kg
T1 T2
Βρείτε τις Τ1 και Τ2 και την επιτάχυνση
M1=20Kg
am11 =Τ
T2
T1
T1 am212 =Τ−Τ
T2
F
amF 32 =Τ−
( )
( )321
321
mmmFa
ammmF
++=
⇒++=
...11 ==Τ am
...212 =+Τ=Τ am
Παράδειγμα: Να βρεθούν οι τάσεις των σκοινιών που συγκρατούν το σώμα του σχήματος . Γνωστά: η μάζα του σώματος
Τ2
Στον άξονα χ :
W=mg
θ=8ο
Τ1χ
y
TTTTTTT xx ==⇒⋅=⋅⇒= 210
20
121 8cos8cos
Στον άξονα y : 000
21 8sin28sin28sin20 mgWTWTWTT yy ==⇒=⇒=−+
Να βρεθούν οι δυνάμεις πάνω στα δύο σώματα του σχήματος
Α
Β
Α
Β
Στο σώμα Α
•Το βάρος του WΑ•H ελαστική δύναμη N που του ασκεί το σώμα ΒWΑ=mΑg
N
Στο σώμα B
•To βάρος του WB• H ελαστική δύναμη Ν’ που του ασκεί το σώμα Α •Η ελαστική δύναμη Ν’’ που του ασκεί το πάτωμα
WΒ=mΒgΝ’’
Ν’
Δυνάμεις δράσης-αντίδρασης:Ν-Ν’
Να βρεθούν οι δυνάμεις πάνω στα δύο σώματα του σχήματος
x
y
Wa=mg
Α
Β
•Το βάρος του Wa•H ελαστική δύναμη N που του ασκεί το σώμα Β
N
Way=Wa sinθ=N
Στο σώμα ΑWayWaxθ
Στο σώμα B
•Το βάρος του WΒ•H ελαστική δύναμη N’’ που του ασκεί το έδαφος•Η ελαστική δύναμη Ν’ που του ασκεί το σώμα•Είναι Ν’=Ν (3ος νόμος του Νεύτωνα)W=mg
Ν’’ Ν’
x
y
Aμαξίδιο μάζας 11Kg έχει κολημένο στη μια άκρη του ξύλο μάζας 1.8Κg. Να βρεθούν η δύναμη Τ1 με την οποία σπρώχνεται το ξύλο και η Τ2 με την οποία το ξύλο σπρώχνει το αμαξίδιο. Το αμαξίδιο αποκτά επιτάχυνση 2.3 m/s2
α= 2.3 m/s2
Τ1
Τ2
Τ1 Τ’2 Δυνάμεις στο ξύλο:•Τ1 δύναμη ώθησης•Τ’2 δύναμη που ασκεί το αμαξίδιο στο ξύλο
αξ ⋅=Τ′− mT 21
Δυνάμεις στο αμαξίδιο:•Τ2 δύναμη που ασκεί το ξύλο στο αμαξίδιο
Τ2
Ν=⋅=⇒⋅= 3.253.21122 TmT αα
22 Τ′−=T
( ) Ν=⋅+= 4.291 αξα mmT
1)
2)
1)+2) αα αξ ⋅+⋅=Τ+ mmT 21
3)3) ( ) Ν=⋅+= 4.291 αξβ mmT
Η δύναμη της τριβής
F
F=δύναμη που ασκούμε για να κινήσουμε ένα σώμα το οποίο αρχικά ηρεμείΤs= στατική τριβή (όσο το σώμα είναι ακίνητο)Τκ= τριβή ολίσθησης
Τ
Το σώμαπαραμένει ακίνητο Το σώμα
ολισθαίνει
Τsmax
F=Ts
Τκ
F=Τsmax
Τsmax =μς Ν
Συντελεστής στατικής τριβής
Ελαστική δύναμη
Τκ =μκ Ν
Συντελεστής τριβής ολίσθησης
μs >μκ
Η δύναμη της τριβής
Tριβές: Αν το σώμα δεν ολισθαίνει : στατική τριβή που δίδεται από τη σχέση : Τs<μs N
Αν το σώμα ολισθαίνει : τριβή ολίσθησης που δίδεται από τη σχέση : Τκ=μκ N
Παράδειγμα: χάρις στην τριβή περπατάμε.
F
•To πόδι ασκεί στο έδαφος δύναμη F
•To έδαφος «ανταποδίδει» μια δύναμη F’
•H F’ αναλύεται στην κάθετη αντίδραση Ν και στην στατική τριβή Τs
F’N
Ts
Το σώμα Β του σχήματος είναι ακίνητο πάνω στο Α , δηλαδή επιταχύνεται μαζί με το Α. Η δύναμη που το επιταχύνει είναι η τριβή
Α
Τ
F
B
Είναι σωστή η διεύθυνση της τριβής επάνω στο Β και αν ναι γιατί?
Για ποιά τιμή της δύναμης F το επάνω κιβώτιο θα αρχίσει να ολισθαίνει ?
Το Α : Πριν αρχίσει την ολίσθηση κινείται μαζί με το B(λόγω της στατικής τριβής μεταξύ τους). Συνεπώς μπορούμε να τα θεωρήσουμε ως ένα σώμα μάζας MA+MB
N= (MA+MB) )g
Α Τs
FB N
aMMTF BAk ⋅+=− )(
BA
BAk
MMgMMF
++−
=)(µα
Η επιτάχυνση του Α (μαζί με το Β) οφείλεται στη δύναμη της στατικής τριβής Ts : BA
BAks MM
gMMFMaMT++−
⋅=⋅= ΑΑ)(µ
Ν= ΚµkT
To σώμα Α θα αρχίσει να ολισθαίνει όταν Τs=Tsmax
..)('max
=⇒++−
⋅=
==⋅= ΑΑ
FMM
gMMFM
MgMNT
BA
BAkA
sss
µ
αµµ
N’
( )gMMT BAk += Κµ
Τ’sΤκ
Η επιτάχυνση είναι:
Όταν αρχίσει να κινείται:
Η θέση του σώματος:
Πριν αρχίσει να κινείται:
Εστω κιβώτιο πάνω σε τραίνο που κινείται όπως στο σχήμα. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ κιβωτίου και πλατφόρμας είναι μ=0.5 Ποιά είναι η μέγιστη επιβράδυνση ώστε το κιβώτιο να μην ολισθαίνει . Σε πόση απόσταση θα σταματήσει το τραίνο;
U=48Km/h
+
αaaa ίί == ουκιβωτνουτρα
Τ-Τ=-mα Τ=mα
mg
N
N=mg
Ν⋅≤ µT
g⋅≤ µα
g⋅= µαmax
aux2
20
max =
Αντικείμενο βρίσκεται σε απόσταση 10cm από το κέντρο περιστρεφόμενου δίσκου.Ο δίσκος περιστρέφεται με συχνότητα 33 στροφές/min. Ποιός ο συντελεστής τριβής μεταξύ αντικειμένου και δίσκου
Β
Ν
Τ
Η Τριβή είναι κεντρομόλος δύναμη (Fk)
Ν=ΤΝ=Βµ
mgµµ =Β=Τ
gmamgF kk
καµµ =⇒==Τ=
sέ
sέέf ςστροφςστροφςστροφ 55.0
6033
min33 ===
..)2( 22 =⋅=⋅= RfRak πω ...=µ
Την χρονική στιγμή t=0 μια δύναμη μέτρου F=ct ( όπου c σταθερά αρχίζει να εφαρμόζεται υπό σταθερή γωνία φ ως προς το οριζόντιο επίπεδο πάνω σε σώμα μάζα m που ακινητεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο.Να υπολογιστούν: η ταχύτητα του σώματος την χρονική στιγμή που εγκαταλείπει την οριζόντια επιφάνεια και την απόσταση που διανύεει το σώμα μέχρι εκείνη την στιγμή.
Fy
Fxφ
F
2
0 0cos
2)(cos
cos
tmctutdt
mcdu
dtdumctmaF
u t
x
⋅=⇒⋅
=
⇒=⋅⇒=
∫ ∫ φφ
φ
Στον άξονα y:
00 =−+⇒= mgFNF yy
Όταν το σώμα εγκαταλείπει την επιφάνεια Ν=0
φφ
sinsin
cmgtmgtcmgFy =′⇒=′⇒=
φφφφ
sintan2sincos
2
2
22
22
cmg
cgm
mcu ==
Στo σώμα του σχήματος ασκείται δύναμη F η οποία σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο. Πόσο πρέπει να είναι το μέτρο της ώστε να κινηθεί το σώμα με σταθερή ταχύτητα? Δίδεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ
θ
Ν
Β
υ=σταθερό α=0
Στον άξονα χ:
Στον άξονα y:
T θθ sin0sin FTF =⇒=Τ−
mgFNFN +=⇒=Β−− θθ cos0cos
Ν=Τ µ)cos(sin mgFF +=Ν= θµµθ
θµθµ
cossin −=
mgF
θ
F
Ποιά είναι η δύναμη F που πρέπει να εφαρμοστεί στο σώμα μάζας m2 ώστε το σώμα μάζας m1 να μην ολισθαίνει ?
F
Για το σώμα μάζας m1 :
m1g
θ
θ
Κατά χ:
Κατά y:
amN 1sin =θ
gmN 1cos =θ
N
θtanga =
Αφού το σώμα δεν ολισθαίνει ως προς το κάτω σώμα, έπεται ότι τα δύο σώματα μπορούν να θεωρηθούν ως ένα σώμα μάζας m1+m2
θtan)()( 2121 gmmammF +=+=
m1
m2
Ν
Β
Τ
Το σώμα επιταχύνεται με επιτάχυνση α=0.11m/s2
Yπολογίστε τον συντελεστή τριβής ολίσθησης μ.
φ
φ
Βcosφ Βsinφ
Bρείτε την επιτάχυνση των δύο μαζών και την τάση του νήματος. To νήμα είναι μη εκτατό και συνεπώς τα δύο σώματα έχουν την ίδια επιτάχυνση
θm1
m2
θ
Σώμα m1
Σώμα m2
0cossin
2
22
=−=Σ=Τ−=Σθ
θgmNF
amgmF
y
x
m1 g
T
amgmTFF
y
x
11
0=−=Σ
=Σ
m2 g
NT
θ
θ
m2 gsinθm2 gcosθ
amgmTFF
y
x
11
0=−=Σ
=Σ
0cossin
2
22
=−=Σ=Τ−=Σθ
θgmNF
amgmF
y
x
gmamT 11 +=
21
12 sinmm
gmgma+
−=
θ
gmmm
gmgmmT 121
121
sin+
+−
⋅=θ
m1 :
m2 :
Το τραπέζι είναι λείο. Oι μάζες m και Μ συνδέονται με αβαρές και μη εκτατό σκοινί. Ποιά είναι η συνθήκη για την οποία η μάζα m περιστρέφεται με τέτοιον τρόπο ώστε η μάζα Μ να είναι ακίνητη
m
M
T
To M πρέπει να ισορροπεί άρα:
Β
Τ=Β=Μg
Στο σώμα μάζας m η τάση του σκοινιού παίζει το ρόλο κεντρομόλου δύναμης. Αρα:
rmuT
2
=
mMg
ruMg
rmuT =⇒==
22
Ζύγιση σώματος μέσα σε ανελκυστήρα
Έστω ότι ο ανελκυστήρας ακινητεί
Δυνάμεις πάνω στο σώμα
Β
•Ν=δύναμη που ασκεί η ζυγαριά•Β= βάρος του σώματος
Ν
Δυνάμεις πάνω στη ζυγαριά:Η δύναμη F που ασκεί το σώμα στη ζυγαριά και που δίνει την ένδειξη της ζυγαριάς
F
Έστω ότι ο ανελκυστήρας κινείται με σταθερή επιτάχυνση προς τα επάνω
mgmaFmgmaBmaNmaBNma
+=⇒+=+=⇒=−⇒=Β+Ν
+
Έστω ότι ο ανελκυστήρας κινείται με σταθερή επιτάχυνση προς τα kάτω
mamgFmamgmaBNmaBNma
−=⇒−=−=⇒−=−⇒=Β+Ν
Ν=F
Δυνάμεις δράσης-αντίδρασης
Συμπληρωματικές ασκήσεις
amgmT 11 −=−
amgmT 22 =−
21
21 )(mm
gmma+−
=
+
O συντελεστής τριβης ολίσθησης είναι μ=0.2.Ποια είναι η επιτάχυνση του κύβου
Δίδεται: φ=60ο
2/5.7)cos(sincossin
smgmgmamg
=−=
⇒⋅=−
φµφα
φµφ
σ
σ
Ν⋅=Τ=Ν⇒=−
−=Τ⇒=Τ−Β
σµφφφφ
cos0cossinsin
mgBNmamgma
Θέλουμε να βρούμε τους συντελεστές στατικής τριβής και τριβής ολίσθησης ενός κιβωτίου και μιας σανίδας. Τοποθετούμε το κιβώτιο στη σανίδα και αρχίζουμε να την ανυψώνουμε σιγά σιγά.΄Οταν η γωνία κλίσης ως προς την οριζόντιο γίνει 30ο το κιβώτιο αρχίζει να ολισθαίνει και διανύει 4m μέσα σε 4 s. Ποίοι είναι οι συντελεστές τριβής
Όταν το σώμα δεν κινείται έχουμε στατική τριβή και:
Ν⋅≤Τ=Ν⇒=−
=Τ⇒=Τ−Β
σµφφ
φφcos0cos
sin0sinmgBN
mg
φµφ σ cossin mgmg ⋅≤ φµφ σ cossin ≤
σµφ ≤tan
Όταν η γωνία γίνει μέγιστη φ=30ο
58.0tan =⇒= σσ µµφ
Όταν το κιβώτιο ολισθαίνει κάνει κίνηση ομαλά επιταχυνόμενη με σταθερή επιτάχυνση προς τα κάτω
Ν==Ν⇒=−
−=Τ⇒=Τ−Β
0
cos0cossinsin
µφφφφ
TmgBN
mamgma
φµαφ cossin 0mgmmg =−
φαφµcos
tan0 g−=
Υπολογισμός επιτάχυνσης:
2222
2 /5.04
42221 sm
sm
txaatx =
⋅==⇒=
φαφµcos
tan0 g−=
52.030cos/8.9
/5.030tan 02
20
0 =−=sm
smµ
sµµ <0 Όπως προβλέπει η θεωρία
Κύβος 10Κg ηρεμεί πάνω σε τραπέζι. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ κύβου και τραπεζιού είναι 0.5. Ποιό είναι το μέτρο της οριζόντιας δύναμης που επιτρέπει στον κύβο μόλις να κινηθεί ;
Ν≤=⇒=−=⇒=Τ−
σµTBNBN
FTF00
BF σµ≤
Για να κινηθεί ο κύβος πρέπει
NsmKgmgF 49/81.9105.0 2 =⋅⋅== σµ
Κύβος 10Κg ηρεμεί πάνω σε τραπέζι. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ κύβου και τραπεζιού είναι 0.5. Ποιό είναι το μέτρο της δύναμης που επενεργώντας πάνω στον κύβο υπο γωνία 60ο κάτω από την οριζόντιο επιτρέπει στον κύβο μόλις να κινηθεί ;
Ν≤+=⇒=−−
=⇒=Τ−
σµφφ
φφ
TmgFNBFN
FTFsin0sin
cos0cos
NsmKgF 75487.05.05.0
/81.9105.0 2
=⋅−
⋅⋅=
Για να κινηθεί ο κύβος πρέπει
φµφµ
σ
σ
sincos ⋅−≤
mgF
φµφµ
σ
σ
sincos ⋅−=
mgF
Κύβος 10 Kg ηρεμεί σε οριζόντιο τραπέζι. Ο συντελεστής τριβής μεταξυ κύβου και τραπεζιού είναι 0.5. Ποιό είναι το μέτρο της οριζόντιας δύναμης που επιτρέπει στον κύβο να κινηθεί ?
Ν⋅≤=⇒=−=Τ⇒=−
σµTBNBN
FTF00
NmgF 49=⋅= σµΓια να κινηθεί ο κύβος πρέπει:
O κύβος Β έχει βάρος 710Ν. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ του κύβου και του τραπεζιού είναι 0.25. Βρείτε το μέγιστο βάρος που μπορεί να έχει ο κύβος Α χωρίς να ανατραπεί η ισορροπία του συστήματος.
Σώμα Α
22
22
FFBF′=
=222 BFF =′=
Από την συνθήκη ισορροπίας του κόμβου των σκοινιών:
φφ
φφ
cos0cos
sin0sin
3113
3223
FFFF
FFFF
=′⇒=′−
=′⇒=′−
φφ tantan22
1BFF =
′=′
Απο τη συνθήκη ισορροπίας του κύβου B ισχύεi
Ν≤Β=Ν⇒=−
=Τ⇒=−
µTBN
FTF
11
11
00
11 BF µ≤
φφ tantan22
1BFF =
′=′
11 FF ′=
φtan2
1BF =
φµµφ
tantan 121
2 ⋅≤Β⇒Β≤Β B
Mέγιστο βάρος του Β2 ειναι: φµ tan12 ⋅=Β B
Δύο μάζες m1 και m2 συνδεονται με αβαρή ράβδο . Ημάζα m2 ρυμουλκει την μάζα m1. H γωνία κλίσης είναι θ=30ο . Ο συντελεστής τριβής για το σωμα m1 είναι η1=0.225 και για το σώμα m2 είναι h2=0.113. Υπολογίστε την τάση στη ράβδο που συνδέει τις δυο μάζες και την κοινή τους επιτάχυνση
Σώμα Α μαζας m1
111
1111
111111
cos0cossinsin
Ν==⇒=−
−Β+=Τ⇒=+−
ηφφ
φφ
TBNBN
amFamBTF
φφ
η
cossin 1111
111
gmnamFgmT
=−+
⇒Ν=
Σώμα Β μάζας m2
222
2211
222222
cos0cossinsin
Ν==⇒=−
−−Β=Τ⇒=−−
ηφφ
φφ
TBNBN
amFamTFB
φφ
η
cossin 2222
222
gmnamFgmT
=−−
⇒Ν=
A
B
φφ
η
cossin 2222
222
gmnamFgmT
=−−
⇒Ν=
φφ
η
cossin 1111
111
gmnamFgmT
=−+
⇒Ν=
α=...F=..