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O PROBLEMA DA INVERSÃO DE ORDEM EM MÉTODOS MULTICRITÉRIOS: UM EXPERIMENTO COM O ELECTE III/IV

Henrique Rego Monteiro da HoraInstituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense

Rua Dr. Siqueira, 273 – Pq. Dom Bosco - Campos dos Goytacazes, RJ - CEP [email protected]

Helder Gomes CostaUniversidade Federal Fluminense

Rua Passo da Pátria, 156, sala 309 Bloco D, São Domingos, Niterói - RJ CEP: [email protected]

RESUMOO método AHP é muito criticado pela literatura científica por apresentar inversão de ordem. Até

então, não havia relato da ocorrência de inversão de ordem em métodos de sobreclassificação, salvo recente trabalho de Wang & Triantaphyllou (2006), que seguindo determinada metodologia, conseguem demonstrar que em algumas ocasiões há inversão de ordem nos métodos ELECTRE II e III. Este trabalho propõe uma investigação nos métodos ELECTRE III e IV utilizando uma metodologia inédita, que procura demonstrar a existência de inversão de ordem. Os resultados mostram que há sim ocorrência de inversão nos métodos estudados segundo a metodologia adotada, tendo o ELECTRE IV permanecido mais estável durante o experimento que o ELECTRE III.

Palavras-Chaves: Métodos multicritérios, ELECTRE III/VI, Inversão de Ordem.

ABSTRACTThe AHP method is widely criticized by the scientific literature to present a reverse order

problem. Until then, there was no report of the occurrence of reversal order in outranking methods, except recent work by Wang & Triantaphyllou (2006), which follow certain methodology, to demonstrate that sometimes there is reversal of order in methods ELECTRE II / III. This paper proposes a research on methods ELECTRE III / IV using a new methodology, which seeks to demonstrate the existence of reversal of order. The results show that there is occurrence of the inversion methods according to the methodology, the ELECTRE IV remained more stable during the experiment than the ELECTRE III.

Key-words: Multicriteria methods , ELECTRE III/VI, Reversal Order

XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1755

1. IntroduçãoA existência de diferentes soluções obtidas a partir de uma mesma matriz de pagamentos por

métodos diferentes é um fato, uma vez que cada método possui técnicas peculiares para sua utilização (ZANAKIS et al, 1998). Estes autores realizaram um experimento comparativo a partir de um mesmo problema (matriz de pagamentos) submetido a diversos métodos multicritérios e obtiveram diferentes resultados a partir de cada um. A obtenção diferentes resultados ao se utilizar diferentes métodos não caracteriza um problema de reversão de ordem, dado que cada um utiliza uma abordagem específica.

No entanto, a inversão de ordem, tal como reportada em Belton & Gear (1983), (onde a inclusão de uma nova alternativa, idêntica a uma que compunha inicialmente o problema, resulta após o novo cálculo, uma ordenação das alternativas diferente da obtida no problema original) é considerada por Bhushan & Rai (2003) como um dos mais graves problemas existentes no âmbito das modelagens baseadas em abordagens multicrtério.

Costa (2006) comenta sobre armadilhas usuais na utilização do método AHP, onde a eliminação de uma alternativa altera o resultado final significativamente. Silva & Belderrain (2005) relatam que novos métodos foram sugeridos, a partir do AHP clássico, com a proposta de resolver o problema da inversão de ordem a) O AHP Multiplicativo; b) AHP Referenciado e c) AHP B-G.

Também no âmbito dos métodos ELECTRE, uma das mais conhecidas famílias de métodos multicritério (ROMERO, 1996), Wang & Triantaphyllou (2008) identificaram a existência de problemas de reversão de ordem nos métodos ELECTRE II e III.

O objetivo central do presente trabalho é investigar a existência deste problema no contexto dos métodos ELECTRE III e IV, utilizando uma metodologia diferente das adotadas até então.

A problemática da pesquisa se desenvolve a partir da pergunta: “o que aconteceria com o resultado da aplicação do método se uma alternativa não fosse considerada?”. Aponta-se a hipótese que o resultado deve permanecer estável, não apresentando inversões de ordem, pois se uma alternativa A1 é melhor que a alternativa A2, à luz dos mesmos critérios em um problema com um conjunto X de alternativas, é de se esperar que se alterado o conjunto X de alternativas, a alternativa A1 mantenha-se prioritária à alternativa A2.

2. Materiais e Métodos

2.1. Classificação da PesquisaDo ponto de vista da sua natureza, a pesquisa é aplicada, pois objetiva gerar conhecimentos para a

aplicação prática dirigidos à solução de problemas específicos. A sua forma de abordagem é quantitativa na explicação do método, pois traduz opiniões em número, e qualitativa na análise dos resultados, pois compara as posições iniciais e finais das alternativas no grafo. Do ponto de vista de seus objetivos, a pesquisa é exploratória, pois visa proporcionar mais familiaridade com o problema com vistas a torná-lo explícito. Do ponto de vista dos procedimentos técnicos, a pesquisa se classifica como bibliográfica na fundamentação teórica dos temas abordados e experimentais em sua execução, pois variáveis são selecionadas e manipuladas para observar o objeto da pesquisa (SILVA & MARTINS, 2001; GIL, 2002).

2.2. Pesquisa MetodológicaWang & Triantaphyllou (2006; 2008) já demonstraram a ocorrência do problema de inversão de

ordem nos métodos ELECTRE II e III através de três testes:1. Substituir uma alternativa Ak por outra menos desejável Ak’;2. Dividir o problema em problemas de duas alternativas e verificar a propriedade de

transitividade, isto é, se A1 é melhor que A2, e A2 é melhor que A3, então A1 deve ser melhor do que A3;

3. Decompor o problema em menores problemas. A ordenação entre os dois problemas tem que ser idênticas.

Perez, Jimeno & Mokotoff (2001) afirmam que um dos procedimentos que ocasionam inversão de ordem no AHP é quando uma alternativa é eleita como a melhor dentro de um conjunto de alternativas “X”, falha em ser eleita novamente quando alternativa, menos importante, é excluída do conjunto de alternativas “X”.


O procedimento metodológico adotado nesta pesquisa é semelhante ao teste 3 feito por Wang & Triantaphyllou (2006; 2008) para os métodos ELECTRE II e III e Perez, Jimeno & Mokotoff (2001) para o métodos AHP, que consiste em eliminar uma alternativa do problema original e verificar o resultado obtido.

2.3. Procedimentos TécnicosA pesquisa bibliográfica é conduzida a partir da literatura nacional de referência em métodos

multicritérios para fundamentação teórica e justificativa do tema. A pesquisa metodológica é realizada a partir de palavras chaves em portais e periódicos científicos e nacionais e internacionais.

Para realizar o experimento, é utilizado o software ELECTRE III-IV e o arquivo de exemplo fornecido junto com o mesmo, disponível na página da internet do LAMSADE, da universidade francesa de Dauphine, em Paris (http://www.lamsade.dauphine.fr/).

A partir do resultado obtido com o arquivo de exemplo, obtém-se um grafo ordenando as alternativas de acordo com a preferência calculada entre elas. Em seguida, executa-se uma rotina que compreende em excluir uma alternativa (e conseqüentemente, todos os seus julgamentos) e comandar novamente o cálculo do método.

Após a obtenção do grafo, a alternativa excluída é restabelecida, voltando o problema à sua configuração original. Este procedimento é repetido tantas vezes quanto for o número de alternativas.

Os passos acima descritos foram realizados tanto para o método ELECTRE III quanto para o ELECTRE IV. Os resultados serão analisados comparando o grafo original e os grafos gerados no experimento, observando a ocorrência de inversão de ordem.

3. Breve introdução aos métodos ELECTRE III e IVOs métodos ELECTRE III e ELECTRE IV empregam a mesma noção de sobre-classificação,

embora mais enriquecida, cerne da escola francesa do Apoio Multicritério à Decisão, permitindo chegar-se às soluções de compromisso entre os distintos critérios intervenientes no problema. Enquanto o método ELECTRE III trabalha com relações de sobre-classificação nebulosas ou difusas, o método ELECTRE IV dispensa o uso de pesos dos critérios. (GOMES & MOREIRA, 1998).

Como os demais métodos da escola francesa do Apoio Multicritério à Decisão, os métodos ELECTRE III e IV trabalham explicitamente com uma estrutura de modelagem de preferências, segundo a qual compara-se cada duas ações ou alternativas de modo a obter-se uma das seguintes situações:

• Preferência por uma das duas ações;• Indiferença entre as duas ações;• Incomparabilidade entre as duas ações.As situações de preferência e indiferença são caracterizadas em função de limites de preferência e

indiferença especificados pelo analista da decisão. Para tanto, define-se:• Preferência de a por b = aPb;• Indiferença de a por b = aIb;• Limite de Preferência = p;• Limite de Indiferença = q;• Resultado da associação do critério j com a alternativa a = gj(a).O sistema de preferências subjacente aos métodos ELECTRE III e ELECTRE IV também lança

mão do índice de discordância {D(a,b)}, do limite de veto {Vj[gj(a)]} e do índice de credibilidade {Gc(a,b)}, alguns dos parâmetros necessários ao uso desses métodos (ALMEIDA & COSTA, 2003).

É optado por não constar no corpo deste trabalho a descrição detalhada e todas as nuances de ambos os métodos com o intuito de facilitar a leitura, dar ênfase à proposta do trabalho e também pelo fato de ambos os métodos já serem amplamente descritos em diversos trabalhos. Dentre as várias descrições disponíveis na literatura, uma é escolhida para servir como apêndice, levando em consideração o limite destinado a um trabalho de simpósio.


4. Dados dos ExperimentosO exemplo de utilização proposto pelo software do método ELECTRE III-IV é um problema de

compra de carro, onde são consideradas seis alternativas, que são julgadas a luz de cinco critérios. As alternativas são apresentadas na Tabela 1:

Cód. AlternativasCBX16 CITROEN BX 16 TZSP605S PEUGEOT 605 SV 24R4GTL RENAULT 4 GTL CLANRCLIO RENAULT CLIO 16SR21TS RENAULT 21 TSER25BA RENAULT 25 BACCARA V6Fonte: Software ELECTRE III/IV - LAMSADE.

Tabela 1 – Lista das alternativas do problema de decisão.

Os critérios considerados relevantes para o processo decisório são apresentados na Tabela 2:Cód. Descrição Peso Direção de

preferênciaPrix Preço em unidade monetária 30% DecrescenteVmax Velocidade máxima em km/h 10% CrescenteC120 Consumo a 120 km/h em litros 30% DecrescenteAcce Tempo de aceleração de 0 a 100 km/h em segundos 10% DecrescenteFrei Distância na frenagem a 130 km/h em metros 30% DecrescenteFonte: Software ELECTRE III/IV - LAMSADE.

Tabela 2 – Critérios do problema de escolha do carro, seus respectivos pesos e direção de preferência.

Sendo que a informação sobre os pesos somente é utilizada pelo método ELECTRE III. A seguir, são apresentados na Tabela 3 os julgamentos das performances de todas as alternativas à luz de todos os critérios:

Alternativas / Critérios Prix Vmax C120 Acce FreiCBX16 103.000 171,3 7,65 11,6 88P605S 267.400 230,7 10,5 8,6 64,7

R4GTL 49.900 122,6 8,3 23,7 74,1RCLIO 103.600 205,1 8,2 8,1 81,7R21TS 103.000 178 7,2 11,4 77,6R25BA 279.700 233,8 10,9 7,8 75,5

Fonte: Software ELECTRE III/IV - LAMSADE.

Tabela 3 - Tabela de Julgamentos, com as performances de todas as alternativas à luz de todos os critérios.

Por último, são apresentados os limites de preferência (p), indiferença (q) e veto (v). Para o critério “Vmax” não foram utilizados os limites de veto.

Preferência (p) Indiferença (q) Veto (v)alfa beta alfa beta alfa beta

Prix 0,08 -2000 0,13 -3000 0,9 50.000Vmax 0,02 0 0,05 0 - -

C120

0 1 0 2 0 4

Acce

0,1 -0,5 0,2 -1 0,5 3

Frei

0 0 0 5 0 15

Fonte: Software ELECTRE III/IV - LAMSADE.

Tabela 4 - Limites de preferência (p), indiferença (q) e veto (v) utilizados nos experimentos.

Para o cálculo do grafo final no método ELECTRE III (e também o ELECTRE IV), são utilizados os um coeficiente de destilação com alfa = -0,15 e beta = 0,3, que são os valores padrões fornecidos pelo software, que não recomenda que sejam alterados.


O grafo final resultante dos dados acima descritos é apresentado na figura a seguir:

Figura 1 – Grafo final do experimento completo utilizando o método ELECTRE III.

A decisão sobre a aquisição de um veículo dado o conjunto de alternativas julgadas à luz dos critérios acima descritos leva a escolha do “RCLIO” como melhor opção. Em um segundo nível, observa-se três opões incomparáveis entre si (P605S, R4GTL e R21TS), e em um último nível, duas opções também incomparáveis entre si (R25BA e CBX16).

Cabe notar que não há ligação entre as alternativas “P605S” e “CBX16”, nem entre as alternativas “R21TS” e “R25BA”, o que significa que uma não subordina a outra e vice-versa, indicando a incomparabilidade entre as alternativas.

Abaixo é ilustrado o grafo final do processo decisório utilizando o método ELECTRE IV.

Figura 2 – Grafo final do experimento completo utilizando o método ELECTRE IV. Fonte própria.

Ao contrário do resultado do processo decisório obtido com o método ELECTRE III, o grafo da Figura 2 apresenta menos incomparabilidades entre as alternativas.

5. Resultados5.1. Resultados dos experimentos com o ELECTRE IIIA seguir são apresentados todos os grafos resultantes dos seis experimentos realizados com o

ELECTRE III.


Figura 3 – Grafo final excluindo-se a alternativa CBX16. Fonte própria.

Figura 4 – Grafo final excluindo-se a alternativa P605S. Fonte própria.

Na Figura 3, onde é excluído a alternativa “CBX16” do processo decisório, que pertencia ai terceiro nível no grafo original, nota-se um interessante fenômeno onde a opção pela alternativa “RCLIO” não é mais evidente, e surge uma incomparabilidade entre esta e a alternativa “R4GTL” no primeiro nível.

Figura 5 – Grafo final excluindo-se a alternativa R4GTL. Fonte própria.

Figura 6 – Grafo final excluindo-se a alternativa RCLIO. Fonte própria.

Na Figura 5, onde a alternativa “R4GTL”, originalmente do segundo nível, é excluída, o resultado indica uma indiferença entre duas alternativas no primeiro nível, “RCLIO” e “R21TS” e a alternativa “CBX16”, originalmente pertencente ao terceiro nível, passa a fazer parte do segundo.

Figura 7 – Grafo final excluindo-se a alternativa R21TS. Fonte própria.

Figura 8 – Grafo final excluindo-se a alternativa R25BA. Fonte própria.

Observa-se na Figura 6, ao excluir-se do experimento a alternativa “RCLIO”, tida como preferível em relação às demais à luz dos critérios avaliados, que a alternativa “P605S”, inicialmente incomparável entre as demais do segundo nível, rebaixada ao nível mais baixo e indiferente a alternativa “R25BA”, que é subordinada a esta na solução original e em outros todos os outros experimentos onde ambas alternativas são consideradas.


5.2. Resultados dos experimentos com o ELECTRE IVEm geral, observa-se que os resultados dos experimentos com o método ELECTRE IV seguem a

propriedade de transitividade apontada por Wang & Triantaphyllou (2006) onde se retirando uma alternativa do cálculo original do método, e as comparações entre alternativas devem permanecer estáveis. A Figura 9 apresenta o único resultado que difere da hipótese.

Figura 9 – Grafo final excluindo-se a alternativa

CBX16. Fonte própria.

Figura 10 – Grafo final excluindo-se a alternativa P605S.

Fonte própria.

Figura 11– Grafo final excluindo-se a alternativa R4GTL.

Fonte própria.

Diferente dos experimentos com o método ELECTRE III, onde a alternativa originalmente preferencial não manteve a preferência isoladamente durante os experimentos, esta segunda bateria de experimentos apresentou a alternativa “RCLIO” como preferível às demais a luz dos critérios estabelecidos em todos os experimentos onde ela estava disponível com maior semelhança ao grafo original.

Figura 12 – Grafo final excluindo-se a alternativa RCLIO. Fonte Própria.

Figura 13 – Grafo final excluindo-se a alternativa R21TS.

Fonte Própria.

Figura 14 – Grafo final excluindo-se a alternativa R25BA.

Fonte Própria.

A alternativa “R21TS” teve um comportamento intrigante, na maioria dos casos pertencia ao segundo nível, sendo sempre incomparável às demais. Ao se excluir a pior opção do processo decisório (“CBX16”), a alternativa “R21TS” cai para o terceiro nível, não sendo mais incomparável às alternativas do segundo nível, e sim subordinando-se à elas agora.

Houve inversão de ordem?Alternativa

Excluída ELECTRE III ELECTRE IV

CBX16 Sim SimP605S Não Não

R4GTL Sim NãoRCLIO Sim Não (*)


R21TS Não NãoR25BA Não Não

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 5 – Resumo dos resultados dos experimentos.

No grafo da Figura 12, onde exclui a alternativa “RCLIO” e esta marcado com o asterisco na Tabela 5, observa-se não uma inversão de ordem, pois no primeiro momento, no grafo original, observava-se uma incomparabilidade.

6. ConclusõesO objetivo deste trabalho é demonstrar a inversão dos métodos multicritérios ELECTRE III e IV,

sendo que a literatura ainda não havia relatado a existência da inversão no método ELECTRE IV. Após a realização dos experimentos o objetivo foi contemplado diante dos resultados encontrados.

É interessante notar que o experimento com o método ELECTRE IV mostra-se mais estável que o experimento com o método ELECTRE III. Somente em uma ocasião das seis possíveis o método ELECTRE IV apresentou inversão de ordem, enquanto o ELECTRE III apresentou a inversão em metade das possibilidades.

Silva & Belderrain (2005) ao comentarem a inversão de ordem no método AHP, afirmam que na verdade, a inversão de ordem não é resultado da introdução de uma nova alternativa, mas sim da introdução da nova alternativa sem adequada reavaliação dos valores atribuídos aos elementos do nível hierárquico superior.

Conforme reportado por Gomes, Gomes & Almeida (2002), a fase de modelagem do problema mostra-se de grande importância no processo decisório uma vez que é nesta fase que o objeto de estudo deve ser criteriosamente definido, assim como deve ser feita as escolhas das alternativas que compõem o processo decisório.

A falta de foco na definição do objeto de estudo geralmente incorre na escolha de alternativas muito discrepantes entre si, levando a um de um conjunto de alternativas muito heterogêneas em relação ao objeto de estudo. Como resultado, tem-se com freqüência e como mostra este trabalho, a grande quantidade de incomparabilidade entre as alternativas.

Já é amplamente conhecida na literatura os problemas de inversão de ordem em métodos da escola americana derivados da teoria da utilidade, e com trabalhos mais recentes, é possível também observar o problema de inversão nos métodos de sobreclassificação da escola francesa / européia.

Deste modo, acredita-se que os únicos métodos que não estão sujeitos à inversão de ordem são os métodos lexicográficos (CRUZ & COVA, 2007), que resolvem a problemática de ordenação a partir da ordem alfabética, e os métodos que resolvem a problemática de classificação, uma vez que a construção dos relacionamentos fuzzy de sobreclassificação são construídos não comparando alternativas entre si, e sim, as alternativas com uma borda fixa, ou seja, uma alternativa nunca sobreclassifica a outra, e sim uma alternativa sobreclassifica uma borda e vice-versa.

Os casos de reversão de ordem apostados por este trabalho em paralelo com o de Wang & Triantaphyllou (2008) apresentam problema que precisa ser tratado pela comunidade acadêmica, desenvolvendo técnicas e/ou algoritmos para que sejam evitados, tal como o método AHP foi melhorado na década passada.

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CRUZ, E. P., COVA, C. J. G. Teoria das decisões: um estudo do método lexicográfico. Revista Pensamento contemporâneo em Administração. V. 7. N. 1.11p, 2009.FREITAS, A. L. P., PEIXOTO, F. S., SUETT, W. B. Seleção de equipamentos: uma análise decisória utilizando os métodos ELECTRE III-IV. Simpósio de Pesquisa Operacional – XXXVI SBPO, in Anais, São João Del Rei – MG, p. 1010-1020, 2004.GIL, A. C. Como elaborar projetos de pesquisa. Ed. Atlas, 4ª ed. 171p. São Paulo, 2002.GOMES, L. F. A. M. Teoria da decisão. Ed. Thomson, 116 p. São Paulo, 2007.GOMES, L. F. A. M., GOMES, C. F. S., ALMEIDA, A. T. Tomada de decisão gerencial: enfoque multicritério. Ed. Atlas, São Paulo – SP, 264 p, 2002.GOMES, L. F. A. M., MOREIRA, A. M. M. Da informação à tomada de decisão: agregando valor através dos métodos multicritério. RECITEC, v. 2, n. 2, p. 117-139, Recife, 1998.PERÉZ, J., JIMENO, J. L. MOKOTOFF, E., Another potential strong shortcoming of AHP. EconPapers, 13p, Suíça, 2001.RADÜNZ, R. G. Sistema de Informação para a Avaliação de Desempenho de Atacados, baseado na Metodologia Balanced ScoreCard. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção). Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC, Florianópolis, 2002.ROMERO, C. Análisis de las decisiones multicriterio. Ed. Algorán, 144p. Madrid, Espanha, 1996.SHIMIZU, T. Decisão nas organizações. Ed. Atlas 2ª Ed. São Paulo – SP, 419p, 2006.SILVA, E. L., MENEZES, E. M. Metodologia da pesquisa e elaboração de dissertação. 121p. UFSC. 3ª. Edição. Florianópolis, 2001.SILVA, R. M., BELDERRAIN, M. C. N. Considerações sobre Métodos de Decisão Multicritério. In: XI Encontro de Iniciação Científica e Pos Graduação do ITA, São José dos Campos. Anais do XI ENCITA, 2005.WANG, X., E. TRIANTAPHYLLOU. Ranking Irregularities When Evaluating Alternatives by Using Some ELECTRE Methods, Omega, Vol. 36, pp. 45-63, 2008WANG, X., E. TRIANTAPHYLLOU. Ranking Irregularities when Evaluating Alternatives by Using Some Multi-Criteria Decision Analysis Methods. in: BADIRU, A (org). Handbook of Industrial and Systems Engineering, CRC Press, Taylor & Francis Group, Boca Raton, FL, U.S.A., Chapter 27, pp. 27-1 to 27-12.ZANAKIS, S. H., SOLOMON, A., WHISHART, N., DUBLISH, S. Multi-attribute decision making: A simulation comparison of select methods. European Journal of Operation Research. (107) p.507-529, 1998


Apêndice I - Breve descrição dos métodos ELECTRE III-IV (FREITAS, PEIXOTO, SUATT, 2004)Dado um conjunto A = {a1, a2, ... , am} de alternativas avaliadas em relação a uma família de critérios F = {g1, ..., gn}, o método ELECTRE III (ROY, 1978 apud FREITAS, PEIXOTO & SUATT, 2004) se propõe a estabelecer uma ordenação de preferência entre as alternativas (ROY, 1985 apud FREITAS, PEIXOTO & SUATT, 2004). Neste método, a atribuição relativa dos pesos (importância) dos critérios é considerada de fundamental importância na modelagem do problema. Embora o método ELECTRE IV (ROY & HUGONNARD, 1982 apud FREITAS, PEIXOTO & SUATT, 2004) se proponha a responder à mesma problemática do ELECTRE III, neste método é suposto que o decisor não é capaz ou não deseja avaliar a importância relativa de cada critério. A não ponderação dos critérios não significa que estes possuam a mesma importância. Pelo contrário, significa que nenhum critério é mais importante ou mais desprezível em relação aos outros. Estes métodos estão estruturados em três etapas principais:Construção das relações de subordinação:Para cada par de alternativas (a,b), estas relações expressam a intensidade com que se pode afirmar que a subordina b (intensidade com que a é ao menos tão boa quanto b). Apresentam-se a seguir os passos para construção destas relações. Construção das relações de subordinação com o método ELECTRE IIISe gj(a) é o valor de desempenho da alternativa a à luz do critério j, calculam-se: – índices de concordância parcial cj(a,b): expressam a intensidade com que se pode afirmar que, sob o critério j, a é ao menos tão boa quanto b. cj(a,b) pode assumir os valores:

[ ]] [ [ ] [ ]

[ ]

≥+→=

+<<+→∈

≤+→=

=

)()()(,1

)()()()()(1,0

)()()(,0

),(

bgagqagagpagbgagqag

bgagpagbac

jjjj

jjjjjjj

jjjj

j

– índices de concordância global c(a,b): expressa a concordância que existe em se afirmar que a subordina b, à luz de todos os critérios. kj é o peso associado a cada critério. Assim:

( )

∑

∑

=

=

⋅= m

jj

m

jjj

k

backbac

1

1

),(),(

– índices de discordância dj(a,b): exprime a medida em que o critério j recusa a afirmativa de que a subordina b. Então, dj(a,b) pode assumir os valores:

[ ]] [ [ ] [ ]

[ ]

+≥→=

+<<+→∈

+≤→=

=

)()()(,1

)()()()()(1,0

)()()(,0

),(

agqagbgagvagbgagpag

agpagbgbad

jjjj

jjjjjjj

jjjj

j

– índices de credibilidade Gc(a,b): expressa quanto se admite que a subordina b globalmente, utilizando-se o conceito de discordância (índice dj(a,b)) para enfraquecer o conceito de concordância (índice c(a,b)). Seja ) },( > ),( / ∈= bacbadF j{j b)(a, F , então:

≠→−

−⋅

=→=

∏∈

φ

φ

Fbacbad

bac

FbacG

baFj

jc

),( ),(1),(1

),(

),(

Construção das relações de subordinação com o método ELECTRE IVQuando o decisor não pode expressar a importância relativa entre os critérios, é impossível de construir a matriz de concordância. Assim, o método ELECTRE IV utiliza quatro relações de subordinação para construir as relações de subordinação fuzzy. Sejam:

• mp(b,a) –n.º de critérios para os quais b é estritamente preferido à a. • mq(b,a) – n.º de critérios para os quais b é fracamente preferido à a. • mi(b,a) – n.º de critérios para os quais b é indiferente à a.• mo(b,a) = mo(a,b) – n.º de critérios para os quais b e a são incomparáveis.


• m = mp(b,a) + mq(b,a) + mi(b,a) + mo(b,a) + mq(a,b) + mi(a,b) + mp(a,b) – N, onde N é o número total de critérios.

Dado um par de alternativas valoradas (a,b) quatro relações de subordinação podem ser estruturadas:

a) Quase dominância ( S q):

+++≤

=+→

),(),(),(1),(,0),(),(

abmabmabmbamebambam

aSpqii

qpq

b) Dominância canônica ( S c):

+++≤+

<

=

→

),(),(),(1),(),(

),,(),(

,0),(

abmabmabmbambameabmbam

ebamabS

pqiiq

pq

p

c

c) Pseudo dominância ( S p):

+≤

=→

),(),(),(

,0),(

abmabmbamebam

aSqpq

pp

d) Veto dominância (Sv): Sendo b é estritamente preferível à a se bPvja ó gj(b) ≥ gj(a) + vj[gj(a)]:

≥=

=∀→

2),(,,1),(

,0),(|,mabmebam

oubambPvabS

pp

jjj

v

Segundo Valleé e Zielniewicz (1994 apud FREITAS, PEIXOTO & SUATT, 2004), além das quatro relações acima, ainda existe uma relação denominada relação de sub-dominância. Um par (a,b) verifica essa relação se e somente se para nenhum critério b é estritamente preferido à a. Baseando-se nas quatro relações de subordinação citadas anteriormente, Roy e Hugonnard (1982 apud FREITAS, PEIXOTO & SUATT, 2004) desenvolveram um estudo onde somente duas relações estão envolvidas: uma relação de subordinação forte (SF) e uma relação de subordinação fraca (Sf). Estas relações são definidas da seguinte forma:

+≤

=→

),(),(),(

,0),(

abmabmbamoubam

abSpqq

pF [ ]

≥

≤−=

=

→

2),(

,)(2)()(,1),(

,0),(

mabm

ebgpbgagcombamoubam

abS

p

jjjjp

p

f

Para ser possível afirmar que uma alternativa a subordina uma alternativa b é necessário calcular o índice de credibilidade Gc(a,b). Este índice é calculado para todos os pares (a,b) da seguinte forma:

• para cada par de alternativas (a,b), sob cada critério, verifica-se quais das relações de preferência (entre Pj ,Qj e Ij) relacionam a e b. • calculam-se os valores de mp(b,a) + mq(b,a) + mi(b,a) + mo(b,a) + mq(a,b) + mi(a,b) + mp(a,b) para determinar quais relações (entre Sq, Sp, Sc e Sv) relacionam a e b. • associa-se um índice de credibilidade (Gc) a cada relação de dominância, tal que:

o se aSqb, Gc(a,b) = 1;o se aScb, Gc(a,b) = 0,8;o se aSpb, Gc(a,b) = 0,6;o se aSvb, Gc(a,b) = 0,35 eo se aRb, Gc(a,b) = 0.

Ordenação das alternativas: a partir dos índices Gc(a,b), constrói-se uma sucessão de relações de subordinação. Utilizam-se planos de corte λk ∈ [0,1] e um limite de discriminação s(λ) = α’ + β’λk. No método ELECTRE III, a fim de evitar a utilização inoportuna da função s(λ) os valores recomendados para os parâmetros α’ e β’ são, respectivamente, 0,30 e -0,15 (o decisor experiente pode alterá-los, se desejar). Entretanto, no método ELECTRE IV, os valores acima são fixos de tal forma que seja mantida a coerência com as quatro relações de subordinação.Seja D0 o conjunto das melhores alternativas de A. No primeiro passo k = 0:

),(max,,

0

0

baGcbaDba ≠∈

=λ e ),(max)}(),({

1

00

baGcsbaGc λλ

λ−<

=


Obtém-se a primeira relação baSD1

0

λ b se e apenas se: Gc(a,b)>λ1 e Gc(a,b) > Gc(b,a) + α’ +β’Gc(a,b).

A partir da matriz de subordinação, calculam-se: a eficácia de a (número de alternativas que a subordina), a fraqueza de a (número de alternativas que subordinam a) e a qualificação de a (a eficácia de a menos a fraqueza de a). Após a qualificação, selecionam-se a(s) melhor(es) (seleção descendente) ou a(s) pior(es) (seleção ascendente), das quais extraem-se as alternativas restantes. Calcula-se uma nova qualificação destas alternativas para extrair uma ou mais alternativas, repetindo esta operação até que todas sejam classificadas (etapa de destilação). Mais precisamente, na destilação descendente selecionam-se primeiramente as melhores alternativas e termina-se o processo com piores. Na destilação ascendente, escolhem-se primeiramente as piores alternativas para terminar o processo com as melhores. Como resultado obtêm-se duas pré-ordenações. Em cada uma delas, as alternativas são agrupadas em classes de ordenadas entre as mesmas através da utilização de planos de corte. Os planos de corte refletem os percentuais mínimos necessários para que as alternativas subordinem as outras. Cada classe (ordem) contém ao menos uma alternativa.Construção de uma pré-ordenação de interseção.A interseção das duas pré-ordenações conduz a uma classificação mais confiável que evidencia as incomparabilidades entre as alternativas, caso elas existam. As hipóteses existentes são:

• a será considerada melhor que b (aPb) se, em ao menos uma das classificações a é classificada a frente de b e se numa outra a é ao menos tão bem classificada quanto b. • a será equivalente à b (aIb) se estas pertencerem à mesma classe nas duas pré-ordenações. • a e b serão incomparáveis (aRb) se, por exemplo, a está em melhor posição que b na destilação ascendente e se b vem à frente de a na destilação descendente.


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