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UFRGS- UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ROSÂNGELA DA SILVA VIEIRA
O USO DE ANALOGIAS, ALEGORIAS E METÁFORAS NO
ENSINO DOS NÚMEROS INTEIROS
Porto Alegre
2008/02
ROSÂNGELA DA SILVA VIEIRA
O USO DE ANALOGIAS, ALEGORIAS E METÁFORAS NO
ENSINO DOS NÚMEROS INTEIROS
Monografia apresentada ao Curso de Licenciatura em Matemática, como requisito parcial a aprovação da disciplina Trabalho de Conclusão de Curso de Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Orientadora: Profª Drª Vera Clotilde Vanzetto Garcia
Porto Alegre
2008/02
ROSÂNGELA DA SILVA VIEIRA
O USO DE ANALOGIAS, ALEGORIAS E METÁFORAS NO
ENSINO DOS NÚMEROS INTEIROS
Monografia apresentada ao Curso de Licenciatura em Matemática, como requisito parcial a aprovação da disciplina Trabalho de Conclusão de Curso de Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Data de aprovação:
Banca Examinadora:
______________________________________
Francisco Egger Moellwald
_____________________________________
Lúcia Helena Marques Carrasco
AGRADECIMENTOS
Meus sinceros agradecimentos...
... à profª Drª Vera Clotilde Vanzetto Garcia, orientadora, que me
guiou com total dedicação e me ajudou a desenvolver este trabalho;
... à Deus, pois, sem sua proteção nada teria sido possível.
RESUMO
Este trabalho apresenta um estudo sobre o uso de analogias, alegorias e metáforas no ensino dos números inteiros. O objetivo é refletir sobre a experiência didática, realizada em 2006/01 na disciplina de laboratório de ensino-aprendizagem em matemática I, apresentando e comparando diferentes recursos de linguagem utilizados no ensino dos números inteiros e salientando os mais adequados dentre eles. Foram consultados vários autores e foi realizado um estudo sobre a importância deste assunto no ensino; analisados seis livros didáticos de 6ª série do ensino fundamental a fim de obter uma pequena amostragem de como aparecem esses recursos nos livros; e estudado um pouco da história dos números inteiros, a fim de identificar metáforas. Constatou-se que o uso dos recursos de linguagem é estudado em várias ciências e constitui um fator importante no processo de ensino aprendizagem, pois permite uma aproximação entre dois mundos, um conhecido e o outro, desconhecido. Percebeu-se que é preciso tomar cuidado quanto à escolha desses recursos, pois cada um serve a diferentes objetivos e tem deficiências em outros. Nem todos os recursos de linguagem são recomendáveis para serem utilizados no ensino dos números inteiros, pois podem causar confusões nos alunos.
Palavras chave: Analogias, alegorias e metáforas; ensino – aprendizagem; recursos de linguagem.
ABSTRACT
This paper presents a study about the uses of analogies, allegories and metaphors in the teaching of integer numbers. The purpose is to reflect about a didactical experience, developed in the year 2006 in the Laboratório de Ensino-aprendizagem em Matemática I course, presenting and comparing different resources used in the process of teaching integers emphasizing the most suitable process. It were consulted many authors and executed a study about the importance of this matter in the teaching process; it was analyzed six books from 6th grade of fundamental school intending to obtain a little sample of how these tools appear. The history of integer numbers was studied to find out metaphors. It was confirmed that the use of different resources is studied in many sciences and constitute an important factor in teaching and learning process because it allows proximity between two different worlds, a unknown one and a known one. It was realized that is necessary to pay attention about the choice of these resources because they suit for some purposes and lack for others. Not all resources are good to teach integer numbers, some of them can be more confusing than helpful.
Keywords: Analogies, allegories and metaphors; teaching and learning process; language
resources.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Quadro 1 - Especificação e definição da linguagem matemática utilizada na pesquisa dos livros didáticos..................................... 36-37
Quadro 2 - Analogias encontradas no ensino dos números inteiros............................................................................................. 38-39
Quadro 3 - Metáforas encontradas no ensino dos números inteiros............................................................................................. 39-40
Quadro 4 - Alegorias encontradas no ensino dos números
inteiros............................................................................................. 40-41
Quadro 5 - Para quais conceitos as analogias são adequadas
ou inadequadas?.................................................................................... 42
Quadro 6 - Para quais conceitos as alegorias são adequadas ou inadequadas?.................................................................................... 43-44
Quadro 7 - Para quais conceitos as metáforas são adequadas ou inadequadas?.................................................................................... 44-45
Quadro 8 - Diferentes metáforas para o número zero, para o número
negativo (- n) e para o número positivo (+ n).................................. 45-46
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 10 1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ........................................................................................... 13
1.1 ANALOGIAS, ALEGORIAS E METÁFORAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA.13 2 ANALOGIAS, ALEGORIAS E METÁFORAS UTILIZADAS NA PRÁTICA DE 2006/01 ................................................................................................................................... 211
2.1 METÁFORA COM O VARAL ILUSTRATIVO ....................................................... 222
2.2 ANALOGIA E METÁFORAS COM A IMAGEM NO ESPELHO ............................ 22
2.3 ANALOGIA E METÁFORAS COM O NÍVEL DA ÁGUA ...................................... 222
2.4 ANALOGIA E METÁFORAS COM AS TEMPERAURAS ....................................... 23
2.5 ANALOGIA E METÁFORAS COM AS ALTURAS DOS PRÉDIOS (ELEVADOR)... ...................................................................................................................... 23
2.6 ALEGORIA E METÁFORAS COM CARTÕES DE DUAS CORES DIFERENTES... .................................................................................................................... 244
2.7 ALEGORIA E METÁFORAS COM O JOGO DA RETA ........................................ 244
2.8 REFLEXÕES SOBRE OS RECURSOS UTILIZADOS NA PRÁTICA DE 2006/01 ... .................................................................................................................................................. 25 3 ANALOGIAS, ALEGORIAS E METÁFORAS ENCONTRADAS NOS LIVROS DIDÁTICOS PARA O ENSINO DE NÚMEROS INTEIROS ........................................ 277
3.1 LEVANTAMENTO DESCRITIVO DOS LIVROS DIDÁTICOS ............................ 322
3.1.1 Alegoria e metáforas com o Mundo das Pistas de Corrida de Carros.................... 322
3.1.2 Alegoria e metáforas com o Jogo de Objetos (fichas/bolinhas/cartas) de Duas Cores.. ...................................................................................................................................... 33
3.1.3 Analogia e metáforas com Fuso Horário ................................................................... 333
3.1.4 Analogia e metáforas com Dinheiro ............................................................................. 33
3.1.5 Analogia e metáforas com Balança de Comida por Quilo ....................................... 344
3.2 REFLEXÃO SOBRE NOVAS ANALOGIAS E ALEGORIAS ENCONTRADAS NOS LIVROS DIDÁTICOS ................................................................................................ 344 4 IDENTIFICAÇÃO DAS LÍNGUAGENS MATEMÁTICAS E RECURSOS DE LINGUAGEM ENCONTRADOS ...................................................................................... 366 5 METÁFORAS PRESENTES NA HISTÓRIA DOS NÚMEROS INTEIROS ............ 488 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................... 51 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................ 54
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INTRODUÇÃO
Na disciplina Laboratório de Prática de Ensino-aprendizagem em Matemática I, em
2006/01, participamos – professora orientadora e um grupo de quatro colegas – de uma
experiência didática visando o ensino dos Números Inteiros com crianças de 6ª série, do nível
fundamental, na Escola Estadual de Ensino Fundamental Alcebíades Azeredo dos Santos,
localizada na cidade de Viamão.
O objetivo maior era a introdução aos números negativos, com apresentação do
conjunto dos inteiros, relação de ordem e operação de adição neste conjunto.
O planejamento incluiu objetos concretos para auxílio visual (varal, termômetro e
garrafas com líquido); objetos manipulativos (cartões) e jogos (reta numerada com dados e
cartões). Nas explicações orais, muitas vezes utilizamos linguagem figurada: o número
negativo é a imagem do positivo, num espelho colocado no zero; o positivo fica à direita e o
negativo fica à esquerda; o positivo está acima e o negativo está abaixo; e outras.
Achei a experiência interessante pela variedade de estratégias que nosso grupo
preparou em cada uma dessas etapas. Dando início a este trabalho, identifico entre tais
estratégias, recursos de linguagem: “analogias”, “alegorias” e “metáforas”. Pretendo
apresentar e comparar diferentes recursos de linguagem utilizados no ensino dos números
inteiros e salientar os mais adequados entre eles.
Qual é a importância dos recursos de linguagem no ensino de Matemática? Como são
definidos os diferentes recursos? Existem metáforas/analogias mais adequadas que outras para
o ensino de determinado conteúdo? Quais seriam as mais adequadas no ensino dos números
inteiros?
É importante aproximar o discurso do professor e o universo cultural dos alunos, assim
como estabelecer relações entre novos domínios de aprendizagem e assuntos familiares aos
11
estudantes. É por esta razão que os recursos de linguagem, que podemos considerar como
estratégias didáticas, podem ter um papel motivador e contribuir para a melhoria do ensino de
matemática. Parece-me que é usual, para os professores, fazer relações com o cotidiano
usando recursos de linguagem, mas acredito que eles não percebam as diferenças entre eles e
o potencial de cada um deles.
Os autores que consultei definem analogias, alegorias e metáforas e indicam que estas
formas extrapolaram o campo da linguagem, visto que também estão presentes em textos não
literários, informativos, científicos e didáticos. Ocupam espaço importante no processo de
ensino-aprendizagem, facilitando os procedimentos heurísticos e cognitivos.
O uso destas formas permite reconhecer os elementos que fazem parte da cultura dos
estudantes, auxiliando o trabalho da escola de apropriar-se do universo de significados dos
alunos e estabelecer uma lógica em comum, que favoreça o diálogo pedagógico. Com isso,
pode-se afirmar que o estudo sistemático de diversas formas de linguagens é de extrema
importância no campo da Educação Matemática. Em especial, para a formação de professores,
pois é proveitoso prepará-los para que explorem esses recursos em toda sua potencialidade.
Os objetivos deste trabalho consistem em:
1. Aprofundar leituras sobre ensino por analogias, metáforas e alegorias;
2. Identificar metáforas presentes na história dos números inteiros;
3. Listar, refletir sobre, analisar e comparar diferentes analogias, metáforas e
alegorias utilizadas no ensino dos números inteiros;
4. Refletir sobre a importância deste trabalho na minha formação;
Este trabalho, ao apresentar analogias, alegorias e metáforas utilizadas como recursos
didáticos no ensino dos números inteiros, estrutura-se de acordo com a seguinte ordenação. O
primeiro item traz uma síntese de estudos realizados sobre o uso de analogias, alegorias e
12
metáforas no ensino da matemática e sobre a importância desses recursos. O segundo faz uma
breve descrição sobre as analogias, alegorias e metáforas utilizadas na prática de 2006/01,
comparando-as e salientando as mais adequadas dentre elas. O terceiro traz uma descrição
sobre as analogias, alegorias e metáforas encontradas em alguns livros didáticos de 6ª série do
ensino fundamental. O quarto apresenta quadros demonstrativos sobre todos os recursos de
linguagem encontrados durante o trabalho. O quinto apresenta a identificação de metáforas
presentes na história dos números inteiros. O sexto apresenta uma conclusão a partir de
reflexões sobre este trabalho e seu significado para minha formação.
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1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
As metáforas, analogias e alegorias são consideradas estratégias didáticas
fundamentais no ensino e na aprendizagem das ciências. Elas oferecem condições para
construir, ilustrar ou compreender um domínio científico desconhecido dos alunos a partir de
um domínio familiar a eles, com base na exploração de atributos/relações comuns e não
comuns de ambos os domínios, alvo e análogo. Foram encontradas obras a respeito, tratando
do ensino da Física e da Biologia. Destacamos aquelas dedicadas ao ensino da Matemática.
1.1 ANALOGIAS, ALEGORIAS E METÁFORAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Muitos pesquisadores (Carvalho, 2007; Frant, Acevedo e Font, 2005; Lellis, 2002;
Vereza, 2007) citam a obra de Lakoff e Nunez (2000) como marcante para as relações entre
metáfora e ensino. Para estes autores, a matemática é uma ciência construída pelo ser humano,
e sua origem deve ser investigada nos processos cognitivos cotidianos, dentre eles os
esquemas das imagens e o pensamento metafórico. Tais processos oferecem uma explicação
sobre como a construção de objetos matemáticos está apoiada na maneira como o sujeito se
relaciona com os objetos da vida cotidiana, sejam tais objetos físicos ou lingüísticos. Com
essa teoria, as metáforas deixaram de ser figuras decorativas, passando a integrar os sistemas
conceituais.
Lellis (2002) explica que essa é uma teoria cognitivista, que vem conduzindo
investigações sobre a gênese das idéias matemáticas. Pesquisadores têm apresentado
evidências de que muitos objetos matemáticos nascem como metáforas de experiências do
14
cotidiano, sendo refinados evolutivamente pela cultura. Exemplos seriam: a teoria dos
conjuntos, que se originou da relação continente-conteúdo; a noção de número que se
originou da contagem; a noção de número negativo, que tem origem na idéia de dívida.
O estudo desenvolvido por Oliveira (2005) identifica e analisa diversas linguagens
matemáticas presentes em livros didáticos e utiliza a metodologia de ensino com analogias
MECA para testar o potencial da balança de dois pratos, como veículo para a compreensão do
conceito de equação matemática. Ao analisar várias coleções de livros didáticos ela mostra
quadros comparativos entre conteúdos de matemática e linguagens utilizadas, sem destacar o
conteúdo de números inteiros. Conclui que as analogias e metáforas são importantes recursos
didáticos, entretanto sua utilização é pouco explorada e não há relações entre as
analogias/metáforas e o conteúdo abordado nos livros didáticos analisados.
A autora define vários recursos de linguagem, mas dentre eles citaremos as definições
de metáfora, analogia e alegoria. Define metáfora como termo de origem grega que significa
mudança, transposição. É uma comparação implícita entre dois elementos, sendo um dos
elementos considerado familiar, a partir do qual buscam-se semelhanças com o outro
elemento, considerado desconhecido. Expressar-se por metáforas consiste em usar certas
palavras em lugar de outras, porque a imaginação estabelece uma semelhança entre ambas: é a
transferência de uma palavra para um âmbito semântico que não é o do objeto que ela
designa. Esta transferência surpreende e pode causar uma mudança de concepções sobre o
objeto alvo, favorecendo a aprendizagem. Por exemplo: “Minha vida vai dar uma guinada de
1800”.
Tomemos como exemplo um número negativo, uma abstração matemática, um novo
conceito desconhecido para a criança. Podemos dizer a ela que “número negativo é uma
dívida” ou um débito e que “número positivo é ter dinheiro”, ter saldo. Na verdade, o número
negativo é utilizado para representar uma dívida, mas a idéia de dívida é muito mais antiga do
15
que a existência do número e faz parte do mundo concreto e da realidade da criança. Podemos
também recorrer às transações com dinheiro: no mundo das compras e vendas, o número
positivo é o “troco” e o número negativo é a “falta”. A metáfora faz parte do nosso cotidiano,
é um recurso de linguagem que utilizamos para explicar fatos do dia-a-dia.
Para Oliveira (2005), analogia é uma comparação explícita entre dois elementos,
sendo um dos elementos considerado familiar, a partir do qual buscam-se semelhanças com o
outro elemento, considerado desconhecido. Esta comparação busca salientar semelhanças nas
relações entre os objetos de dois mundos.
As analogias facilitam a compreensão de significados. No cotidiano, utilizamos
analogias para explicar ou identificar alguma coisa, com expressões do tipo: parece com; é
como se fosse; imagine que; suponha que. Como no caso da comparação do mapa de uma
cidade com o plano cartesiano. Ex: “imagine que a cidade é quadriculada, e as ruas se
cruzam, como as retas verticais e horizontais do plano cartesiano.”
No nosso caso, por exemplo, os números negativos podem ser considerados como
imagens, num espelho fictício, dos números positivos, ordenados sobre uma “reta”, de acordo
com a relação de ordem dos naturais. Considerando o espelho como sendo o zero podemos
supor que os números negativos são imagens dos números positivos, utilizando a idéia de
simetria. Esta comparação favorece a relação de ordem e a posição dos números negativos na
reta.
Segundo Oliveira (2005), alegorias são expressões lúdicas ou artísticas utilizadas para
representar conteúdos didáticos, cujos elementos concretos são representações do objeto
matemático. Exemplo são os quebra-cabeças e os jogos matemáticos em geral.
No nosso caso, comparamos o domínio abstrato dos números inteiros com o domínio
concreto de um jogo constituído por caminhos desenhados num tabuleiro, cujas casas são
numeradas de maneira semelhante à reta numerada. O jogo é desenvolvido a partir de
16
“passos” marcados com fichinhas. Deste modo, um número positivo pode ser a posição ou o
número de passos a ser dado. Estamos desenvolvendo os conceitos de número cardinal e de
número ordinal a partir das semelhanças entre os dois mundos. Por seu lado, um número
negativo pode ser a posição ou o número de passos a ser dado, no sentido contrário ao
crescimento da numeração, na reta.
Machado (1991) destaca e diferencia metáfora, alegoria e modelo, sem definir
analogia. Considera os recursos de linguagem como instrumentos essenciais para os que se
dedicam à matemática, sobretudo ao seu ensino.
Sua definição de metáfora é muito semelhante à anterior. Para ele metáfora consiste
em dar a uma coisa o nome de outra coisa, produzindo-se como que uma transferência de
significados, com base em alguma semelhança. Trata-se de estabelecer pontes entre diferentes
contextos, buscando relações estruturais que subjazem, a despeito da distinção dos
significados.
Ele define alegoria como uma construção que tem metáforas como tijolos. Trata-se da
produção de uma significação figurada com as características de uma metáfora continuada ou
de uma cadeia de metáforas. Além disso, aproxima as noções de alegoria, analogia e modelo,
lembrando que todas desempenham funções similares às da metáfora.
Define modelo no caso em que as metáforas podem apoiar-se em sistemas de
deduções especialmente construídas, assim como em lugares comuns aceitos. Os cientistas,
por exemplo, utilizaram a reta numérica dos números reais para criar artefatos como o
termômetro, elevadores e medidores de altitudes. Na sala de aula utilizamos esses artefatos
como objeto de partida para a compreensão da reta numérica e dos números com sinal. O
termômetro, por exemplo, serve como um modelo concreto, real, para a reta numérica – ainda
desconhecida - mas podemos também utilizá-lo para fazer uma analogia com os números
positivos e negativos, posicionando-os como na reta, pois existem temperaturas altas (acima
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do zero) e temperaturas baixas (abaixo do zero). Neste caso, o termômetro foi usado como um
modelo de ensino, objeto que possibilita criar a idéia abstrata desejada, por analogia.
Machado (1991) cita uma história como exemplo de alegoria, cuja meta é a
compreensão das propriedades operatórias com potências e logaritmos, mas uma parte da
história serve de alegoria para os números inteiros. Trata-se de uma história chamada O
mágico logarítmico. O mágico manda em tudo, controlando todo o dinheiro das pessoas, e
mora em um palácio, numa cidade em que as pessoas são divididas em pobres e ricas. Do lado
pobre, mais distante do palácio, as casas são numeradas com números negativos. A casa
seguinte à casa-zero tem o número -1, e assim por diante. Já as casas do lado rico são
numeradas com números positivos e são mais próximas do palácio. Aqui são identificadas
metáforas como: pobreza é negativo; riqueza é positivo. O autor salienta que este é um
exemplo totalmente inadequado de alegoria, pois o uso pedagógico desta historinha pode ter
efeitos sociais e psicológicos indesejáveis.
O autor defende o uso dos recursos de linguagem no ensino, pois considera que a
permanente associação entre o sentido literal e o figurado é o motor dos processos criativos
nas ciências e na matemática, como na língua.
Duarte (2005) faz um estudo de várias definições de analogia e de metáfora, e
demonstra que, apesar das diferenças, em todas as definições se reconhece que a analogia
envolve o estabelecimento de comparações ou relações entre o conhecido e o pouco
conhecido ou desconhecido.
Arruda (1993) afirma que o papel central da metáfora na aquisição do conhecimento
novo, assim como modelos e analogias, consiste em providenciar uma ponte racional entre o
conhecido e o radicalmente desconhecido. Analogias são consideradas metáforas estendidas e
têm a mesma função: permitir que domínios separados sejam postos em relação cognoscitiva.
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Machado (1995) observa que a presença do sentido figurado exerce relevantes funções
no desempenho de tarefas docentes. A metáfora aproxima dois contextos, um que se apresenta
mais familiar e outro que se afigura como o novo. O que se busca é explicar o que é
inacessível à experiência direta, relações que precisam ser instauradas pela imaginação.
As analogias são veículos para o raciocínio matemático. Ao dizer que “número
negativo corresponde a uma dívida e número positivo corresponde a saldo”, abre-se o
caminho para buscar todas as comparações possíveis entre o mundo abstrato dos números e o
mundo concreto do dinheiro. O raciocínio por analogia proporciona a transferência das
estruturas de um sistema - considerado o veículo, no caso o mundo do dinheiro - para atingir
outro sistema – considerado o alvo, o mundo dos números.
Quando o objetivo é compreender, fazer-se compreender e comunicar algo, pode-se
constatar sucesso na utilização de analogias, alegorias ou metáforas. É uma forma de
aproximar o discurso do professor e o universo cultural dos alunos, assim como de estabelecer
relações entre novos domínios de aprendizagem e instâncias familiares aos estudantes.
Um dos aspectos favoráveis ao uso das analogias é o papel do professor como
mediador junto ao aluno, à turma e aos grupos, para a busca de significados aos novos
conteúdos. A partir das experiências do aluno, do seu cotidiano e de seus conhecimentos
prévios, é possível estabelecer analogias que favoreçam o sentido real e o verdadeiro
significado daquilo que é ensinado em sala de aula. A analogia assume um papel motivador
no ensino de Matemática.
O uso de analogias, alegorias e metáforas pode facilitar a compreensão do abstrato, ao
apontar semelhanças com o mundo real; permitir certa visualização do abstrato; promover o
interesse e a motivação pelo novo tema e pode também permitir a percepção das concepções
prévias que podem ser obstáculos para a aprendizagem de conceitos novos.
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Como lembra Duit (apud NAGEM, CAVALHAES E DIAS, 2001), que as analogias
são valiosas ferramentas para mudanças conceituais, pois, quanto ao mérito, o uso de
analogias pode:
1. Abrir novas perspectivas e promover mudanças conceituais;
2. Facilitar a compreensão do abstrato, ao apontar semelhanças com o mundo
real;
3. Promover o interesse e a motivação dos alunos pelo novo tema;
4. Conscientizar o professor da importância das concepções prévias dos seus
alunos.
Por outro lado, o uso de analogias no ensino também tem limitações, pois, segundo
Duit (apud PÁDUA E NAGEM, 2001), a analogia pode não surtir o efeito esperado, podendo
vir a se constituir em uma “faca de dois gumes”, ou seja, os conceitos prévios mal aprendidos
podem gerar alguns obstáculos difíceis de serem transpostos. Pensando nisto, o recurso ao
raciocínio por analogias deve ser sempre guiado pelo professor, pois a transferência de
conhecimento deve ser natural. Deve-se ter certeza de que os alunos compreenderam
totalmente a analogia ou que esta seja realmente familiar para os alunos, pois apesar de
algumas áreas do conteúdo científico serem consideradas similares, podendo ser utilizadas
como análogas, elas podem ser vistas como totalmente distintas pelos estudantes.
Neste trabalho, seguimos as definições de Oliveira (2005), diferenciando metáfora,
alegoria e analogia, aceitando a estrita relação entre elas, como os demais autores sugerem.
Metáfora é uma relação implícita entre dois mundos, que não necessita de explicação;
analogia é uma relação explícita e bem explicada; alegoria é uma expressão lúdica utilizada
para representar conteúdos didáticos
Diante dos resultados da revisão bibliográfica, torna-se mais instigante estudar sobre o
uso de analogias, alegorias e metáforas e outros recursos de linguagem no ensino dos números
20
inteiros. Por um lado fica demonstrada a importância do tema e, por outro, evidencia-se que
ainda não há um trabalho específico para esse conteúdo matemático.
21
2 ANALOGIAS, ALEGORIAS E METÁFORAS UTILIZADAS NA PRÁTICA DE
2006/01
Em 2006/01 nós – professora orientadora e um grupo de quatro alunos – realizamos
diferentes etapas de um plano de trabalho para o ensino dos números inteiros em uma turma
de 6ª série durante duas horas-aula, na Escola Estadual de Ensino Fundamental Alcebíades
Azeredo dos Santos, localizada na cidade de Viamão. As crianças não conheciam o conteúdo
de números inteiros e durante a prática nós trabalhamos com os conceitos de número oposto,
número zero, número positivo e negativo, posição dos números inteiros na reta, relação de
ordem dos números inteiros e conceito de adição e subtração dos números inteiros.
Outros grupos da disciplina de Laboratório começaram a aula com uma atividade de
compra e venda, os alunos receberam cartões que representavam dinheiro e compravam
pacotinhos cujo valor estava assinalado no invólucro. O objetivo era introduzir números com
sinal envolvendo troco ou dívida. Quando o “dinheiro” é suficiente para efetuar a compra, o
aluno facilmente calcula o troco e recebe um cartão com sinal +; quando o “dinheiro” é
insuficiente para efetuar a compra, o aluno facilmente calcula o que falta e recebe um cartão
com sinal - para indicar sua dívida. Os alunos guardaram os cartões para a atividade do varal.
Nós não introduzimos os números inteiros com essa atividade, começamos a aula com o varal
ilustrativo, mas posteriormente chegamos à conclusão que a atividade de compra e venda
poderia facilitar melhor o entendimento dos alunos com relação aos números com sinais.
Diferentes recursos de linguagem foram utilizados na nossa prática de laboratório
para a introdução desses conceitos e estão descritos abaixo:
22
2.1 METÁFORA COM O VARAL ILUSTRATIVO
Este foi um modelo utilizado para representar a reta e para construirmos os números
inteiros com a participação dos alunos. Pode-se pensar na metáfora “a reta numérica é
semelhante a um varal”.
2.2 ANALOGIA E METÁFORAS COM A IMAGEM NO ESPELHO
Os números negativos podem ser identificados como imagens, num espelho fictício,
dos números positivos, ordenados sobre uma “reta”, de acordo com a relação de ordem dos
naturais. Considerando o espelho como sendo o zero podemos supor que os números
negativos são imagens dos números positivos, utilizando a idéia de simetria. Nesta analogia,
temos duas metáforas, “na reta, número negativo é a imagem no espelho do número positivo”
e “zero é o espelho”.
2.3 ANALOGIA E METÁFORAS COM O NÍVEL DA ÁGUA
Utilizamos a garrafa para dar início à idéia de reta numérica. Um número inteiro
corresponde ao nível de água numa garrafa. Inicialmente, a água está num nível indicado por
zero. Tirando água, o nível fica negativo, abaixo do zero. Colocando água, o nível fica
23
positivo, acima do zero. A analogia foi complementada com outra (analogias múltiplas),
considerando-se o nível das terras que estão acima ou abaixo do nível do mar. Metáforas:
“número positivo é um número acima do zero”, “número negativo é um número abaixo do
zero” e “zero é o nível de referência”.
2.4 ANALOGIA E METÁFORAS COM AS TEMPERATURAS
Neste caso, o termômetro dá início à idéia de reta numérica. Utilizamos este modelo
para fazer uma analogia com o mundo das temperaturas, ou seja, um número inteiro com sinal
corresponde ao número que indica temperaturas, num termômetro. Temos ali números
positivos que correspondem a temperaturas maiores do que zero e números negativos que
correspondem a temperaturas menores do que zero. Metáforas semelhantes às anteriores:
“número positivo é um número acima do zero”, “número negativo é um número abaixo do
zero” e “zero é o nível de referência”.
2.5 ANALOGIA E METÁFORAS COM AS ALTURAS DOS PRÉDIOS (ELEVADOR)
Neste caso, o elevador dá início à idéia de reta numérica. O andar térreo de um edifício
corresponde ao número zero. Os andares acima do térreo correspondem aos números positivos
e os andares abaixo do térreo correspondem aos números negativos. Metáforas semelhantes às
24
anteriores: “número positivo é um número acima do zero”, “número negativo é um número
abaixo do zero” e “zero é o nível de referência (o térreo)”.
2.6 ALEGORIA E METÁFORAS COM CARTÕES DE DUAS CORES DIFERENTES
Um número inteiro corresponde a um cartão. Números opostos têm cores diferentes e
a regra afirma que eles se anulam, um a um. A adição dos inteiros é feita por comparação dos
cartões de cores diferentes e por anulação. Metáforas: “número inteiro positivo é um objeto da
cor X”, “número inteiro negativo é um objeto da cor Y”, “zero é nada” e “zero é o resultado
da soma de objetos de cores diferentes”.
2.7 ALEGORIA E METÁFORAS COM O JOGO DA RETA
Um número inteiro tem duplo sentido. 1) Indica uma caminhada com certo número de
passos, sobre um caminho dado, sempre iniciando no zero. O número positivo corresponde a
caminhadas num sentido pré-estabelecido e o número negativo corresponde a caminhadas no
sentido oposto, ou seja, número positivo corresponde a caminhadas para a direita e número
negativo corresponde a caminhadas para a esquerda, do zero. Metáforas: “número positivo
“anda” para a direita”, “número negativo “anda” para a esquerda” e “zero é o ponto de
partida”. 2) Indica uma posição, à direita ou à esquerda do zero. Metáforas: “número positivo
fica à direita” e “número negativo fica à esquerda” e “zero é o ponto de referência”.
25
2.8 REFLEXÕES SOBRE OS RECURSOS UTILIZADOS NA PRÁTICA 2006/01
Segundo Duit (apud PÁDUA E NAGEM, 2001), o uso de analogias no ensino abre
possibilidades, mas também tem limitações. Uma analogia muitas vezes não se sustenta sobre
uma semelhança total entre os dois domínios comparados e as diferenças podem induzir os
estudantes a desenvolver concepções errôneas. Ou ainda, os estudantes podem deter
concepções equivocadas sobre o domínio analógico, que serão transferidas para o novo
conhecimento.
Fizemos uma análise, baseada na nossa prática, dos exemplos anteriores, e concluímos
que existem alguns domínios analógicos adequados e outros inadequados para determinados
conceitos-chave na aprendizagem dos números inteiros.
1) Noção de número com sinal, positivo e negativo: todos os exemplos
anteriores são bons domínios analógicos.
2) Noção do número zero: tem bons domínios em todos os exemplos anteriores,
exceto na analogia das temperaturas, pois neste caso a temperatura zero não seria uma
temperatura neutra, ela é considerada uma temperatura baixa.
3) Relação de ordem: tem um bom domínio para a analogia no mundo das
alturas e níveis de água. As crianças identificam com muita naturalidade as idéias de mais
alto, mais cheio e maior. A noção prévia de “ser maior ou ser menor” coincide, nas crianças
de 11-13 anos, com “ser mais alto” ou “ter mais água”. As demais analogias não são
adequadas para este conceito, por exemplo, no caso da analogia com temperaturas, as crianças
comparam os números com expressões do tipo “mais frio ou mais quente”. Estes casos são
exemplos de analogias com limitações devido ao tipo de conhecimento prévio que o aluno
desta faixa etária detém sobre o domínio que foi considerado conhecido. As crianças não têm
26
familiaridade com a comparação de temperaturas, mas têm noção de comparação entre alturas
e entre quantidades. A partir deste conhecimento prévio pode-se preparar analogias, desde que
se ache um acordo sobre o significado do zero. Para aperfeiçoar a analogia da relação de
ordem com altura é preciso uma metáfora para o zero: zero é o ponto de início, a altura inicial,
a altura de referência. Foi também bem sucedida a analogia do espelho. As crianças já
conheciam a relação de ordem entre os números naturais. Visualizando-os sobre uma reta
numerada, concluíram que, ao comparar dois números inteiros positivos, aquele que está mais
longe do zero é o maior. A idéia de um espelho colocado sobre o zero faz com que as crianças
associem número negativo com reflexo, com imagem espelhada. Para elas, tudo o que se vê
no espelho, se vê ao contrário. Assim, ao comparar dois números negativos, aquele que está
mais longe do zero é o menor.
4) Noção de oposto de um número inteiro: o melhor recurso foi a alegoria dos
cartões de duas cores diferentes, pois foi utilizada a idéia que números opostos têm cores
diferentes e a regra utilizada afirma que eles se anulam, um a um.
5) Noção de posição na reta numérica de um número inteiro: tem um bom
domínio de analogia no modelo do varal e também nas demais analogias descritas, pois todos
demonstram, na vida real, a existência da reta numérica.
6) Noção de adição com números inteiros: o melhor recurso foi a alegoria do
jogo da reta, atribuindo-se metáforas para os sinais e para o zero: positivo é andar para a
direita, negativo é andar para a esquerda; zero é o ponto de partida. A adição de dois números
inteiros coincide com o andar tantos passos para um lado ou outro, partindo do zero,
considerado como ponto de origem do movimento. Deste modo, podemos concluir que: A +
(-A) = 0; 0+A = A, para qualquer inteiro A.
27
3 ANALOGIAS, ALEGORIAS E METÁFORAS ENCONTRADAS NOS LIVROS
DIDÁTICOS PARA O ENSINO DE NÚMEROS INTEIROS
Foram analisados seis livros didáticos de 6ª série do Ensino Fundamental a fim de
obter uma pequena amostragem sobre como as analogias, alegorias e as metáforas estão sendo
utilizadas no ensino dos Números Inteiros. Em todos os livros são enfatizados vários
exemplos, sem serem explicitadas as relações entre esses recursos e o conteúdo abordado.
No livro “Matemática na medida certa1” os números inteiros são introduzidos através
de analogias como: temperatura, altitude e dinheiro. Os autores iniciam afirmando que
existem números positivos e números negativos e que eles são úteis para expressar medidas,
como por exemplo, as de temperatura. Após, citam que existem altitudes maiores e menores
que zero, dando exemplos de cidades nessas condições. Com relação ao dinheiro eles dão um
exemplo de uma pessoa que tem cheque especial e sua conta pode ficar com saldo positivo ou
negativo, e que isso pode ser resumido à expressão matemática 300 - 360 = -60. Em seguida,
é dado um exemplo de alegoria onde há um desenho de pista de corrida de fórmula 1. Há um
carro e um rapaz fora da pista com uma placa que contem duas indicações: -12 e +10 e é dito
que esta placa foi mostrada para um piloto de fórmula 1, numa corrida em que ele estava em
2º lugar. A indicação +10 indica que ele está 10 segundos à frente do 3º colocado, a indicação
-12, que ele está 12 segundos atrás do 1º colocado. Em seguida é apresentado o conjunto dos
números inteiros e uma atividade de jogo, “Subindo no Tobogã”, que é identificada com a
alegoria do jogo dos passos. Aparecem novas metáforas: “a faixa zero é o começo do jogo”,
“positivo é subir”, “negativo é descer”. Após, há muitos exercícios relacionados com as três
analogias iniciais.
1 JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Matemática na medida certa. São Paulo: Scipione, 1995.
28
A relação de ordem é abordada através de módulo (distância) e da analogia com
temperaturas e a adição é abordada através da analogia do dinheiro. Utiliza-se também a
alegoria do jogo das bolinhas. Uma bolinha branca será uma unidade positiva e uma bolinha
preta será uma unidade negativa. Juntas, uma unidade positiva e uma unidade negativa se
anulam. Metáfora: “bolinha branca é positivo e bolinha preta é negativo”. Com relação à
abordagem da adição com dinheiro são dados exemplos no comércio.
No segundo livro, “Matemática: idéias e desafios2”, o início se dá com um breve relato
sobre a história dos números inteiros, onde podemos destacar a analogia com o dinheiro
ligada ao comércio. Após, as autoras destacam a analogia com a temperatura, levando em
conta que as temperaturas são consideradas em relação a 0°C, por exemplo, +10°C acima de
zero e -3°C abaixo de zero. Em seguida aparecem as analogias com o dinheiro, referentes à
crédito e débito, e a analogia com o Fuso horário. Diferenças de horários são ocasionadas pela
localização de cada cidade em relação a uma referência. Assim, São Paulo está no fuso -3 (3
horas a oeste da zero hora(Londres)) e Tóquio no fuso +9 (9 horas a leste da zero hora
(Londres)). Aqui também temos a metáfora “Londres é o ponto zero”. Em seguida há uma
lista de exercícios onde podemos encontrar analogias com dinheiro, altitude e temperatura.
Após, é citado que os números inteiros são a ampliação dos números naturais e que foram
criados para calcular diferenças.
O livro contém uma leitura complementar explicando o que são os Fusos Horários e
um exercício com uma tabela indicando a diferença entre o horário local de várias cidades
com relação à Brasília, conforme o fuso horário. A relação de ordem é abordada através da
representação na reta de temperaturas, onde se questiona qual a mais baixa. Em seguida há
vários exercícios questionando quem é maior ou menor, representação na reta e adição através
de problemas.
2 MORI, Iracema; ONAGA, Dulce. Matemática: Idéias e Desafios. São Paulo: Saraiva, 1996.
29
No capítulo sobre adições é encontrada a alegoria com fichas (semelhante à alegoria
com bolinhas): fichas azuis adicionam valores positivos e fichas vermelhas adicionam valores
negativos.
No terceiro livro, “Matemática3”, os nomes dados aos números inteiros são: números
negativos e números positivos. No início encontra-se a analogia com dinheiro, através de um
extrato bancário onde se explica que neste caso o número negativo surgiu de uma subtração.
Após, encontramos exemplos da utilidade dos números negativos, como nos termômetros,
onde temos a analogia com a temperatura. A relação de ordem é fruto de uma analogia com a
escala do termômetro. Nos exercícios encontra-se a analogia com a altura dos prédios, há um
desenho de um painel de elevador e de um prédio com dois andares de subsolo, térreo, três
andares de escritórios e um de chefia e pergunta-se o andar que corresponde ao botão 0 e ao
botão -2. A adição é abordada através da analogia com o dinheiro em diversas situações do
comércio. Cabe destacar que em alguns exercícios há gráficos no plano cartesiano indicando
lucros e prejuízos. Em alguns exercícios também se encontra a alegoria com as fichas e a
metáfora “ficha branca é ponto positivo e ficha azul é ponto negativo”.
No quarto livro, “Matemática hoje é feita assim4”, o autor começa contando a história
da conta do banco de um senhor e explica que cada vez que ele fica devendo para o banco sua
conta fica negativa, chegando à conclusão que conta negativa significa menor do que zero.
Identificamos a analogia com o dinheiro, presente nesse exemplo. Após, é feito um breve
relato sobre a história dos números negativos e são dados vários exemplos sobre temperaturas.
Neles identificamos a analogia com as temperaturas, com muitas ilustrações, analogia com a
altura dos prédios, identificadas com um painel de elevador. Temos também alegorias com
jogos: vence quem faz mais pontos ficando com saldo positivo e perde quem faz menos
pontos ficando com saldo negativo. Também é dado um exemplo de jogos de campeonatos de
3 IMENES,Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Scipione, 1997. 4 BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2002.
30
futebol. Aqui surgem metáforas: “positivo é vencer”, “negativo é perder”. Em seguida
identificamos a analogia com altitudes, com ilustrações. Também há um exemplo de analogia
com restaurantes de comida “por quilo” em que a balança registra o ‘peso’ do prato em
números negativos para o cliente não pagar o ‘peso’. Cabe destacar que são utilizadas
calculadoras para representar os números negativos, em um exemplo e um exercício. Nos
exercícios, aparece a maioria das analogias citadas acima e há muitos só com expressões
matemáticas. Na representação dos números inteiros é encontrada a metáfora “distância entre
um número inteiro e seu vizinho é um passo” e a relação de ordem e simetria entre eles é feita
através de módulo (distância). A adição é abordada através da analogia com o dinheiro. Em
seguida é encontrada a alegoria andando sobre a reta que é semelhante à alegoria do jogo dos
passos, com novas metáforas: “ sinal + é andar para frente”, isto é, para a direita, e o “sinal – é
andar para trás”, isto é, para a esquerda. É interessante ressaltar que o autor relata que, para os
egípcios, o símbolo para indicar a adição era um desenho parecido com duas perninhas
andando para frente, para a subtração duas perninhas andando para trás.
No quinto livro, “Educação Matemática5”, os números negativos são citados em três
capítulos diferenciados chamados de: Abaixo de zero, Débitos e Créditos e Novas
Descobertas sobre números negativos. Na apresentação do primeiro capítulo são citados
exemplos de situações que aparecem no dia-a-dia e um breve relato da história dos números
inteiros, e são encontradas analogias como: a altura dos prédios, citando o painel do elevador,
com dinheiro, citando saldos bancários, e com temperaturas citando os termômetros. O
conteúdo começa com atividades de resolução de problemas e nelas são encontradas as
analogias citadas acima e, em um exercício, temos a analogia com o fuso horário. A relação
de ordem é abordada através da analogia com temperaturas.
5 PIRES,Célia Carolino; CURI, Eda; PIETROPAOLO, Ruy. Educação Matemática. São Paulo: Atual, 2002.
31
Na apresentação do segundo capítulo ocorre um breve relato da história dos números
inteiros através das operações comerciais, destacando principalmente a analogia com o
dinheiro, ganho ou perda de quantidades. O conteúdo também começa com atividades de
resolução de problemas e as linguagens encontradas são: alegoria do jogo, ganho ou perda de
pontos; analogia do dinheiro com alguns exercícios contendo gráficos no plano cartesiano,
visando lucros e prejuízos; analogia com as temperaturas; e a alegoria com flechas (flecha
azul significa deslocamento para a esquerda, sendo negativo, e flecha verde significa
deslocamento para a direita, sendo positivo). Metáforas aparecem: “positivo é ganho”,
“negativo é perda”.
Na apresentação do terceiro ocorre mais um comentário sobre a história dos números
inteiros, destacando que a concepção do número negativo está ligada a um interesse de caráter
matemático. O restante do capítulo trata de vários problemas e curiosidades, onde são
encontradas analogias com o dinheiro e a alegoria do jogo das cartas (em que cada carta
vermelha vale 5 pontos negativos e cada carta preta vale 5 pontos positivos, cada jogador
retira três cartas e determina seu número de pontos).
No sexto livro, “Matemática para todos6”, os números inteiros são introduzidos através
de exemplos de analogias como: temperaturas, altitudes e dinheiro. É dado o exemplo de um
termômetro no interior de uma geladeira, um desenho no plano cartesiano onde o ponto de
referência é o nível do mar, que é zero metro, e um exemplo de cálculo de contabilidade com
saldo negativo. A relação de ordem é abordada através da analogia com temperaturas. Nos
exercícios, encontram-se a analogia com a altura dos prédios e a alegoria com as fichas,
ambas iguais aos exemplos do 3º livro e as três analogias citadas acima. A adição é abordada
através da analogia com o dinheiro, com exemplos no comércio.
6 IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática para todos. São Paulo: Scipione, 2002.
32
3.1 LEVANTAMENTO DESCRITIVO DOS LIVROS DIDÁTICOS
No levantamento descritivo destes livros didáticos pude perceber a importância das
analogias no ensino de números inteiros, diferentemente de outros conteúdos como, por
exemplo, os números irracionais. Será possível explicar a forte presença dos recursos de
linguagem no ensino dos inteiros?
Os livros apresentam uma abordagem semelhante, com pequenas variações com
relação às analogias, alegorias e metáforas de números inteiros. Em todos os livros foram
encontradas as analogias do dinheiro, da temperatura e da altitude. Já às metáforas explícitas
foram muito poucas.
Neste levantamento descritivo encontramos algumas analogias e alegorias diferentes
daquelas já descritas na prática. Vejamos abaixo:
3.1.1 Alegoria e metáforas com o Mundo das Pistas de Corrida de Carros
É dado um exemplo onde há um desenho de pista de corrida de fórmula 1, há um carro
e um rapaz fora da pista com uma placa que continha duas indicações; -12 e +10: a indicação
+10 indica que um carro está 10 segundos à frente do 3º colocado e a indicação -12, que ele
está 12 segundos atrás do 1º colocado. Metáforas: um número inteiro positivo (+n)
corresponde a estar na frente, com n segundos de vantagem, e um número inteiro negativo (-
n) corresponde a estar atrás com n segundos de desvantagem.
33
3.1.2 Alegoria e metáforas com o Jogo de Objetos (fichas/bolinhas/cartas) de Duas
Cores
Um número inteiro corresponde a um objeto. Números opostos têm cores diferentes e
a regra do jogo afirma que eles se anulam, um a um. A adição dos inteiros é feita por
comparação dos objetos de cores diferentes e por anulação. Metáforas: “número inteiro
positivo é um objeto da cor X” e “número inteiro negativo é um objeto da cor Y”, “zero é
nada” e “zero é nulo”.
3.1.3 Analogia e metáforas com Fuso Horário
É estudado o sistema geográfico de fusos horários, localizando o fuso “0” no
meridiano de Londres, como sendo o número zero. As cidades à direita ou à esquerda deste
meridiano têm fusos positivo ou negativo. Metáforas: “número inteiro positivo é um fuso
horário positivo”, “número inteiro negativo corresponde a um fuso horário negativo” e
“Londres é o ponto zero” ou “ o zero é Londres”.
3.1.4 Analogia e metáforas com Dinheiro
Número zero significa ter uma conta bancária zerada, sem dinheiro, nula. Número
negativo é equivalente a uma dívida ou um débito (- n) e “número positivo” corresponde a ter
34
dinheiro, ter crédito, ter saldo (+ n). Conta negativa significa ter saldo menor do que zero, ou
seja, - n = - (+n). Metáforas: “zero é não ter dinheiro”, “zero é nada”, “número negativo é
dívida”, “número positivo é saldo”.
3.1.5 Analogia e metáforas com Balança de Comida por Quilo
A balança registra o peso do prato em números negativos para o cliente não pagar o
peso do prato. Metáfora: “peso do prato na balança é um número negativo”
3.2 REFLEXÃO SOBRE NOVAS ANALOGIAS E ALEGORIAS ENCONTRADAS
NOS LIVROS DIDÁTICOS
O domínio da alegoria com o mundo das pistas de corrida, e o domínio das analogias
com a balança de comida por quilo e o fuso horário são interessantes pela sua originalidade e
por estabelecerem vínculos com o cotidiano, mas parecem só serem adequados para dar uma
introdução para a existência dos negativos e para diferenciação com os positivos. Outros
conceitos, tais como relação de ordem e operações, não podem ser relacionados a estes
domínios.
Já o domínio de analogia com o mundo do dinheiro é adequado para o conceito de
adição e subtração, número zero, número oposto, número negativo e positivo, porém não é
adequada para o conceito de relação de ordem dos números inteiros, pois os alunos falam em
“dívida maior ou dívida menor”
35
O domínio de alegorias com jogo de comparação e anulação de objetos com cores
diferentes é adequado para desenvolver três competências: a adição de inteiros, oposto de
um número inteiro e a fluência em escrever os números com sinal, dando-lhes significado.
Está relacionado com o domínio do dinheiro, pois traz em si a idéia de ganho, perda, ter mais
ou ter menos. Porém é preciso ter cuidado, pois este jogo não é adequado para trabalhar com
a multiplicação. Com este objetivo, é preciso recorrer ao jogo da reta. Observamos que a
maioria dos livros utiliza para a relação de ordem, analogia com as temperaturas, que, na
nossa prática mostrou-se inadequada.
36
4 IDENTIFICAÇÃO DAS LINGUAGENS MATEMÁTICAS E RECURSOS DE LINGUAGEM ENCONTRADOS
A identificação das linguagens matemáticas referentes às analogias, metáforas e
alegorias encontradas nos livros analisados, baseou-se nas elaborações dos autores
pesquisados neste trabalho. Para facilitar a classificação dessas linguagens, utilizamos
definições que resumem a essência do pensamento de OLIVEIRA (2005), de MACHADO
(1991) e as definições contidas no Dicionário Aurélio FERREIRA (2004) reformulando-as
sem distorcer ou modificar seu significado original.
As definições utilizadas são descritas a seguir no quadro que elaboramos.
QUADRO 1 Especificação e definição da linguagem matemática
utilizada na pesquisa dos livros didáticos
LINGUAGENS DEFINIÇÃO EXEMPLO
METÁFORAS
Comparação implícita entre dois elementos. Relação de semelhança subentendida entre o
sentido próprio e o figurado. Consiste em dar a uma coisa o
nome de outra coisa, estabelecendo pontes entre
diferentes contextos. Parte-se do pressuposto de que um dos elementos é considerado familiar, a partir do qual
buscam-se semelhanças com o outro elemento, considerado
desconhecido.
Comparação entre o mundo abstrato dos números e o mundo concreto do dinheiro.
Ex: 1) “número negativo
é dívida e número positivo é saldo”.
Ex: 2) “número negativo é a imagem no espelho do
número positivo”.
37
ALEGORIAS
Exposição de um pensamento sob forma figurada, ficção que representa uma coisa
para dar idéia de outra. Seqüência de metáforas que significam uma
coisa nas palavras e outra no sentido. Expressão lúdica ou
artística utilizada para representar conteúdos didáticos. Os elementos
concretos são representações do objeto matemático.
Exemplos:
Ex: 1) jogo do tobogã:
“a faixa zero é o começo do jogo”, “positivo é subir”,
“negativo é descer”.
Ex: 2) Historinha de um piloto em uma pista de corrida: A indicação +10 indica que o
piloto está 10 segundos à frente do 3º colocado; a indicação -12, que ele está 12 segundos atrás do
1º colocado.
ANALOGIAS
Comparação explícita entre dois elementos. Utilizamos
analogias para explicar ou identificar alguma coisa, com
expressões do tipo: parece com; é como se fosse; imagine que;
suponha que. Analogia envolve o estabelecimento de comparações ou relações, entre o conhecido e o
pouco conhecido ou desconhecido. Parte-se do pressuposto de que um dos
elementos é considerado familiar, a partir do qual buscam-se semelhanças com o outro
elemento, considerado desconhecido.
Ex: 1) “número negativo” é equivalente a uma dívida ou um
débito e “número positivo” corresponde a ter dinheiro, ter saldo. A adição de um número
positivo e um negativo é análoga à operação bancária de operar
com débitos e saldos.
Ex: 2) Suponha que escolhamos uma certa altura de uma garrafa
para ser o nível de referência para medir a água. Um número inteiro corresponde ao nível de água numa garrafa, acima ou
abaixo do zero.
Ao nos referirmos aos livros didáticos analisados usaremos a notação abaixo:
Livro 1- JAKUBOVIC, José / LELLIS, Marcelo. Matemática na medida certa.São
Paulo: Scipione, 1995.
Livro 2 - MORI, Iracema / ONAGA, Dulce. Matemática: Idéias e Desafios.São Paulo:
Saraiva, 1996.
Livro 3 - IMENES,Luiz Márcio / LELLIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Scipione,
1997.
38
Livro 4 - BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:
FTD, 2002.
Livro 5 -PIRES,Célia Carolino / CURI, Eda / PIETROPAOLO, Ruy. Educação
Matemática. São Paulo: Atual, 2002.
Livro 6 - IMENES, Luiz Márcio / LELLIS, Marcelo. Matemática para todos. São
Paulo: Scipione, 2002.
QUADRO 2 Analogias encontradas no ensino dos números inteiros
Analogia Exemplo Encontrada em
Dinheiro
Número zero significa ter uma conta bancária zerada, sem dinheiro, nula. “Número negativo” é
equivalente a uma dívida ou um débito (- n) e “número positivo” corresponde a ter dinheiro, ter saldo (+ n). Conta
negativa significa ter saldo menor do que zero, ou seja, - n = - (+n).
Livro 1 Livro 2 Livro 3 Livro 4 Livro 5 Livro 6
Imagem no espelho
Imagine que sobre o zero da reta dos números naturais, tenha um espelho. “número negativo é como se
fosse a imagem no espelho do número positivo”. Prática 2006/01
Temperaturas
Examine um termômetro. O zero do termômetro corresponde à temperatura em que a água congela. Um número inteiro com sinal corresponde às temperaturas
acima ou abaixo de zero.
Livro 1 Livro 2 Livro 3 Livro 4 Livro 5 Livro 6
Prática 2006/01
Nível da água
Suponha que escolhamos uma certa altura de uma garrafa para ser o nível de referência para medir a água. Um número inteiro corresponde ao nível de água numa
garrafa, acima ou abaixo do zero.
Prática 2006/01
Altura dos prédios
(Elevador)
Imagine que o andar térreo de um edifício corresponda ao número zero, na lista de andares de um
prédio. Um número inteiro corresponde a andares acima ou abaixo do andar térreo.
Livro 3 Livro 4 Livro 5 Livro 6
Prática 2006/01
Altitudes
É intuitivo escolher o nível do mar como referência para as altitudes das cidades. Se o nível do mar
corresponde ao número zero, os números positivos correspondem a altitudes de c idades maiores e menores
que zero.
Livro 1 Livro2 Livro 3 Livro 4 Livro 5
39
Livro 6
Fuso horário
Examine o globo terrestre. O meridiano de Greenwich foi escolhido para ser o fuso horário de
referência, o zero. Um número inteiro corresponde a diferenças de horários, ocasionados pela localização de
cada cidade, a Leste ou a Oeste, desta referência.
Livro 2 Livro 5
Balança de comida “por
quilo”.
A balança registra o peso do prato em números negativos para o cliente não pagar o peso do prato.
Livro 4
QUADRO 3 Metáforas encontradas no ensino dos números inteiros (explícitas e implícitas)
Metáforas Encontrada em
“Zero é o ponto de partida” “Zero é o espelho”
“Zero é nada” “Zero é nulo”
“Número negativo é a imagem no espelho do número positivo”.
“Positivo é andar para frente” “Negativo é andar para trás”
Prática 2006/01
“Zero é não ter dinheiro” “Número positivo é saldo”
“Número negativo é dívida”
Livro 1 Livro 2 Livro 3 Livro 4 Livro 5 Livro 6
“Zero é o começo do jogo” “Positivo é subir”
“Negativo é descer”
Livro 1
“Positivo é ganhar” “Negativo é perder”
Livro 5
“Número positivo é estar num nível acima” “Número negativo é estar num nível abaixo”
Livro 1 Livro 2 Livro 3 Livro 4 Livro 5 Livro 6
Prática 2006/01
40
“Número positivo é andar para direita” “Número negativo é andar para esquerda”
“Zero é o início do jogo ”
Livro 4 Prática 2006/01
“Número positivo é estar à direita do zero”. “Número negativo é estar à esquerda do zero”.
“Londres é o ponto zero”
Livro 2 Livro 5
“Número inteiro negativo é um objeto da cor y” “Número inteiro positivo é um objeto da cor x”
Livro 1 Livro 2 Livro 3 Livro 5 Livro 6
Prática 2006/01 “Distância entre um número inteiro e seu vizinho é um
passo” Livro 4
“Número negativo é pobreza e número positivo é riqueza”.
Artigo de Machado (1991)
QUADRO 4 Alegorias encontradas no ensino dos números inteiros
Alegorias Explicação Encontrada em
Jogo de objetos: (fichas/bolinhas/cartas) de
duas cores
Um número inteiro corresponde a um objeto. Números opostos têm cores diferentes e a regra do jogo afirma que
elas se anulam, uma a uma. A adição dos inteiros é feita por comparação dos
objetos de cores diferentes e por anulação.
Livro 1 Livro2 Livro 3 Livro 5 Livro 6
Prática 2006/01 Jogo “Subindo no Tobogã”, Jogo dos passos e Andando
sobre a Reta.
Sinal (+) vai significar andar para frente, isto é, para a direita, e o sinal (-) andar para trás, isto é, para a esquerda.
Livro 1 Livro 4
Prática 2006/01
Flechas
Suponha que a flecha azul signifique deslocamento para a esquerda e este corresponda a um número negativo; e
que a flecha verde signifique deslocamento para a direita e este
corresponda a um número sendo positivo
Livro 5
Jogos de campeonatos de futebol e jogos em geral que envolvam ganho ou perda de
pontos.
Vence quem faz mais pontos ficando com saldo positivo de gols e perde quem faz menos pontos ficando com saldo
negativo.
Livro 4 Livro 5
Jogo das Cartas.
Cada carta vermelha vale 5 pontos negativos e cada carta preta vale 5 pontos
Livro 5
41
positivos, cada jogador retira três cartas e determina seu número de pontos.
Historinha do piloto em uma pista de corrida de carros.
A indicação +10 indica que o piloto está 10 segundos à frente do 3º
colocado; a indicação -12, que ele está 12 segundos atrás do 1º colocado.
Livro 1
História do mágico logarítmico
Pessoas são divididas em pobres e ricas. Do lado pobre, mais distante do palácio, as casas são numeradas com números negativos. A casa seguinte à
casa- zero tem o número -1, e assim por diante. Já as casas do lado rico são
numeradas com números positivos e são mais próximas do palácio.
Artigo a alegoria em matemática (Nilson
José Machado).
Com base em Duit (apud PÁDUA, 2001), que nos alerta quanto ao uso inadequado das
analogias para alguns conceitos, construiremos um quadro e definiremos para quais conceitos,
trabalhados na prática de 2006/01, as analogias, alegorias e metáforas encontradas são
adequadas ou inadequadas. Os conceitos trabalhados na prática de 2006/01 foram:
• Conceito de número oposto;
• Conceito do número zero;
• Conceito de número negativo e positivo;
• Conceito da posição dos números inteiros na reta;
• Conceito da relação de ordem dos números inteiros;
• Conceito de adição e subtração dos números inteiros.
Elaboramos um quadro classificando os recursos de linguagem como adequados e
inadequados, considerando nossas experiências pessoais na prática. Mas, é preciso deixar
claro que esta classificação é muito pessoal, pois o professor, no seu importante papel de
mediador, pode esclarecer muito bem estes recursos de linguagem tornando-os positivos,
adequados e úteis para a aprendizagem.
42
QUADRO 5 Para quais conceitos as analogias são adequadas ou inadequadas?
Analogia Adequada Inadequada
Dinheiro
- Conceito de adição e subtração dos números inteiros;
- Conceito do número zero;
- Conceito de número oposto; - Conceito de número negativo e
positivo.
- Conceito da relação de ordem dos números inteiros.
Imagem no espelho
- Conceito de número oposto; - Conceito de número negativo e
positivo. -Conceito da posição dos números inteiros na reta;
- Conceito do número zero.
-Conceito da relação de ordem dos números inteiros;
-Conceito de adição e subtração dos números inteiros.
Temperaturas
- Conceito de número negativo e positivo;
- Conceito da posição dos números inteiros na reta.
- Conceito de número oposto; -Conceito da relação de ordem
dos números inteiros; -Conceito de adição e subtração
dos números inteiros.
Nível da água
- Conceito de número negativo e positivo;
- Conceito da relação de ordem dos números inteiros;
- Conceito do número zero.
- Conceito de adição e subtração dos números inteiros.
Elevador
- Conceito de número negativo e positivo;
-Conceito da relação de ordem dos números inteiros;
- Conceito do número zero.
- Conceito de adição e subtração dos números inteiros;
Altitudes
- Conceito de número negativo e positivo;
- Conceito da relação de ordem dos números inteiros;
- Conceito do número zero.
- Conceito de adição e subtração dos números inteiros.
Fuso horário
- Conceito de número negativo e positivo;
- Conceito do número zero; -Conceito da posição dos números inteiros na reta.
- Conceito da relação de ordem dos números inteiros;
-Conceito de adição e subtração dos números inteiros.
Balança de comida “por quilo”.
- Conceito de número negativo e positivo;
- Conceito da relação de ordem dos números inteiros;
- Conceito de adição e subtração dos números inteiros.
- Conceito da posição dos números inteiros na reta.
43
QUADRO 6 Para quais conceitos as alegorias são adequadas ou inadequadas?
Alegoria Adequada Inadequada
Jogo de objetos: (fichas/bolinhas/cartas) de
duas cores.
- Conceito de adição e subtração dos números
inteiros; - Conceito de número
oposto. - Conceito do número
zero; - Conceito de número negativo e positivo;
- Conceito da relação de ordem dos números
inteiros; - Conceito da posição dos números inteiros na reta.
Jogo “Subindo no Tobogã”, Jogo dos passos e Andando
sobre a Reta.
- Conceito de adição e subtração dos números
inteiros; - Conceito de número negativo e positivo;
- Conceito de número oposto;
- Conceito do número zero.
-Conceito da posição dos números inteiros na reta.
- Conceito da relação de ordem dos números
inteiros;
Flechas
- Conceito de adição e subtração dos números
inteiros; - Conceito de número negativo e positivo;
- Conceito de número oposto;
- Conceito do número zero.
- Conceito da relação de ordem dos números
inteiros; -Conceito da
posição dos números inteiros na reta.
Jogos de campeonatos de futebol e jogos em geral que envolvam ganho ou perda de pontos.
- Conceito de número negativo e positivo; - Conceito de adição e subtração dos números inteiros; - Conceito do número zero.
- Conceito da relação de ordem dos números inteiros; - Conceito da posição dos números inteiros na reta.
Jogo das Cartas.
- Conceito de número negativo e positivo; - Conceito de número oposto; - Conceito de adição e subtração dos números inteiros;
- Conceito da relação de ordem dos números inteiros; - Conceito da posição dos números inteiros na reta.
Historinha do piloto em uma - Conceito de número - Conceito da relação de
44
pista de corrida de carros. negativo e positivo;
ordem dos números inteiros; - Conceito da posição dos números inteiros na reta. - Conceito de adição e subtração dos números inteiros.
História do mágico logarítmico
- Conceito do número zero.
- Conceito de número negativo e positivo;
- Conceito da posição dos números inteiros na reta.
- Conceito da relação de ordem dos números
inteiros; - Conceito de adição e subtração dos números
inteiros.
QUADRO 7 Para quais conceitos as metáforas são adequadas ou inadequadas?
Metáfora Adequada Inadequada
“Zero é o térreo” “Zero é o nível do mar”
“Zero é o começo do jogo” “Zero é o ponto de referência”
“Positivo é subir” “Positivo é estar acima do zero”
“Negativo é descer” “Negativo é estar abaixo do
zero”
- Conceito do número zero; - Conceito de número negativo e positivo;
-Conceito da posição dos números inteiros na reta.
- Conceito de adição e subtração dos números
inteiros; - Conceito de número
oposto. - Conceito da relação de
ordem dos números inteiros;
“Zero é nada” “Zero é nulo”
“Zero é não ter dinheiro” “Número positivo é saldo”
“Número negativo é dívida”
Conceito do número zero. Conceito de adição e
subtração dos números inteiros;
Conceito de número
oposto. - Conceito de número negativo e positivo;
- Conceito da relação de ordem dos números inteiros;
- Conceito da posição dos números inteiros na reta.
“Zero é o ponto de partida” “Positivo é andar para direita” “Positivo é estar à direita do
zero” “Positivo é andar para frente”
“Negativo é andar para esquerda”
“Negativo é estar à esquerda do
Conceito do número zero. Conceito de adição e
subtração dos números inteiros;
Conceito de número oposto.
- Conceito de número negativo e positivo;
45
zero” “Negativo é andar para trás”
- Conceito da posição dos números inteiros na reta. -Conceito da relação de
ordem dos números inteiros;
“Zero é o espelho” “Número negativo é a imagem
no espelho do número positivo”.
-Conceito do número zero. - Conceito de número negativo e positivo;
- Conceito de número oposto.
- Conceito da posição dos números inteiros na reta.
- Conceito de adição e subtração dos números
inteiros; -Conceito da relação de
ordem dos números inteiros;
“Negativo é pobreza e positivo é riqueza”
- Conceito de número negativo e positivo;
- Conceito de adição e subtração dos números
inteiros; - Conceito de número
oposto. -Conceito da relação de
ordem dos números inteiros;
Dentre as várias leituras feitas podemos concluir que as analogias e alegorias são
metáforas estendidas, portanto desempenham a mesma função, ou seja, permitem que
domínios separados sejam postos em relação. Então é possível analisar as diferentes alegorias
e analogias encontradas buscando as diferentes metáforas para o número zero, para o número
negativo (- n) e para o número positivo (+ n). O objetivo é mostrar a variedade de significados
que atravessam o ensino, sem que o professor perceba, sendo que muitos deles não são
apropriados para a matemática abstrata.
QUADRO 8
Diferentes metáforas para o número zero, para o número negativo (- n) e para o número positivo (+ n).
Analogias ou Alegorias
Metáforas para o Zero
Metáforas para o número negativo
(- n)
Metáforas para o número positivo
(+ n)
Dinheiro “Zero é não ter
dinheiro”. “Zero é nada”.
“Número negativo é dívida”.
“Número positivo é saldo”.
46
Imagem no espelho “Zero é o espelho”.
“Número negativo é a imagem no espelho
do número positivo”.
“Número positivo é a imagem no espelho
do número negativo”.
Temperaturas
“O zero do termômetro é a temperatura em
que a água congela”.
“Número negativo é temperatura abaixo
de zero”.
“Número positivo é temperatura acima
de zero”
Nível da água “Zero é o ponto de
referência”. “Número negativo é
estar abaixo do zero”. “Número positivo é
estar acima do zero”.
Elevador “Zero é o andar
térreo”.
“Números negativos são os andares do
subsolo”.
“Números positivos são os andares acima
do térreo”
Altitudes “Zero é o nível do
mar”.
“Números negativos são as cidades abaixo
do nível do mar”.
“Números positivos são as cidades acima
do nível do mar”.
Fuso horário “Londres é o ponto
zero”.
“Um número inteiro negativo corresponde
a um fuso horário negativo”.
“Um número inteiro positivo corresponde
a um fuso horário positivo”.
Balança de comida “por quilo”.
“Zero é nada” “Peso do prato na
balança é um número negativo”
“Peso da comida é um número positivo”
Jogo de objetos: (fichas/bolinhas/cartas)
de duas cores.
“Zero é quando objetos de duas
cores diferentes se anulam”.
“Objeto com uma cor x é um número
negativo”.
“Objeto com uma cor y é um número
positivo”.
Jogo “Subindo no Tobogã”, Jogo dos passos e Andando
sobre a Reta.
“Zero é ponto de partida”.
“Zero é o começo do jogo”.
“Negativo é descer”. “Negativo é estar à
esquerda”. “Negativo é andar
para trás”.
“Positivo é subir”. “Positivo é estar à
direita”. “Positivo é andar
para frente”.
Flechas “Zero é nulo” “Flecha com uma cor y anda para esquerda,
sentido negativo”
“Flecha com uma cor x anda para direita, sentido
positivo” Jogos de campeonatos de futebol e jogos em geral que envolvam ganho ou perda de
pontos.
“Zero é o começo do jogo”.
“Número negativo é gol perdido”.
“Número positivo é gol marcado”.
Historinha do piloto em uma pista de corrida de carros.
“Zero é ponto de partida”.
“Número negativo é o piloto estar à trás”.
“Número positivo é o piloto estar a
47
frente”.
História do mágico logarítmico
“Zero é o ponto de referência”
“Pobre é casa com número negativo”
“Rico é casa com número positivo”.
48
5 METÁFORAS PRESENTES NA HISTÓRIA DOS NÚMEROS INTEIROS
Os números inteiros foram criados através da álgebra. Inicialmente eles eram aceitos
como “artifícios para o cálculo”, não existiam como algo real e concreto, pois a idéia de
número daquela época estava associada à quantidade de grandeza.
Segundo Medeiros e Medeiros (1992), embora influenciados pela álgebra de Diofanto,
os hindus, diferentemente dos gregos, fizeram uso dos números negativos, atribuindo-lhes o
significado de um débito. Na verdade eles formularam as operações aritméticas sobre os
números negativos com esta aplicação em mente.
Os gregos, como não conseguiam representar os números negativos graficamente, pois
sua ênfase era a geometria, não aceitavam os números negativos. Segundo Medeiros e
Medeiros (1992), a polêmica sobre a visualização dos negativos como verdadeiros números
estava presa ao critério de aceitação de novas idéias como boa matemática. Tal critério, de
tradição grega, exigia para os negativos uma representação geométrica como a dos positivos
de contagens ou medições. Exigia-se um modelo concreto do qual a nova idéia pudesse se
constituir numa metáfora. A visão dos negativos como débitos, apesar de útil, parecia
insatisfatória e não preenchia o requisito matemático da necessidade da metáfora. Embora
compreensíveis como símbolos no papel, desafiavam diagramas, gravuras, ou metáforas
adequadas para explicá-los em termos da experiência comum. As dificuldades eram ainda
maiores quando se tentava visualizar as regras dos sinais nos termos geométricos exigidos.
Foram os hindus os primeiros a conceberem o conceito de número negativo. Os
árabes, mesmo tendo o conhecimento dos números negativos, os ignoravam, pensando que
estes eram imaginação dos hindus.
A introdução dos negativos nas representações coordenadas é obra dos sucessores de
Descartes (1596-1650) e Fermat (1601-1665). Mesmo após a representação dos negativos
49
como pontos de uma reta orientada, a polêmica sobre a aceitação dos negativos continuou em
pleno vigor. Em particular, a dificuldade em construir metáforas para as regras dos sinais
continuava a jogar um papel decisivo nessa aceitação.
“Euler fixou-se na antiga metáfora não geométrica hindu para explicar a operação de
subtrair – b como sendo o mesmo que somar b, visto que, segundo ele, cancelar um débito
significa o mesmo que dar um presente”. (MEDEIROS E MEDEIROS, pg.55, 1992).
Segundo Medeiros e Medeiros (1992), a superação dessa polêmica exigiria uma
mudança total nos critérios de aceitação dos negativos, com o abandono da necessidade da
metáfora e a adoção de novos critérios baseados na estruturação dos negativos enquanto um
sistema numérico. Isso viria a se constituir numa mudança radical de ponto de vista, numa
autêntica revolução que só viria a se operar em pleno decorrer do século XIX com a
fundamentação dos números.
Segundo Gonzalez et al. (1990), Alberto Girard (1590-1639) foi o primeiro
matemático a reconhecer explicitamente a utilidade algébrica de se admitir raízes negativas
como soluções gerais de equações. Foi no século XIX que os números negativos foram
finalmente legitimados na obra do matemático Herman Hankel (1893-1873).
De acordo com Medeiros e Medeiros (1992), levou muito tempo para que os
matemáticos percebessem que a “regra de sinais” junto com outras definições não poderiam
ser provadas. Elas são criadas por nós com o objetivo de obter liberdade de operação, ao
mesmo tempo em que preservam as leis fundamentais da aritmética. O que pode e deve ser
provado é apenas que; com base nessas definições, as leis comutativa, associativa e
distributiva da aritmética são preservadas.
É essa mudança radical no que exige uma aceitação dos negativos que estabelece a
diferença marcante entre a atitude dos matemáticos antes e depois da fundamentação da
matemática. O novo ponto de vista adotado rompe a tradição de que os negativos são apenas
50
meros símbolos. Estabelece um corte na busca da metáfora e coloca a questão da forma e da
estrutura lógica como um novo ideal a ser perseguido.
A história do conceito de número inteiro mostra a importância das metáforas na
construção da matemática. A origem dos números negativos está ligada a uma metáfora: o
significado de um débito. Mas os gregos exigiam um modelo concreto para esses novos
números, que não estavam relacionados com contagem ou medida. Com o tempo, a reta
numérica passa a ser modelo geométrico dos números positivos e negativos e se constitui
numa metáfora: os números negativos e positivos são pontos da reta. Mesmo após a aceitação
desta reta, a polêmica sobre a aceitação dos negativos continuou em pleno vigor, devido à
dificuldade em construir metáforas para as regras dos sinais. Euler criou uma metáfora
salvadora: a operação de subtrair – b é o mesmo que somar b, pois cancelar um débito
significa o mesmo que dar um presente.
A superação da polêmica7 deu-se com o abandono da necessidade da metáfora e a
adoção de novos critérios baseados na estruturação dos negativos enquanto um sistema
numérico. Ou seja, a matemática formal, teórica, é criada com o afastamento das metáforas,
mas, como vimos, no processo de ensino e aprendizagem há uma volta às origens, uma busca
por novas metáforas.
7 Não queremos, com este trabalho, dar a entender que a linguagem matemática formal é “pura”, por estar isenta de recursos de linguagem. É preciso lembrar que mesmo esta linguagem é permeada por metáforas. Por exemplo, quando associamos reta e conjunto numérico, e dizemos que “um número é um ponto da reta”, temos uma metáfora.
51
CONSIDERAÇÕES FINAIS PESSOAIS
Neste trabalho parti de minha prática didática na disciplina de Laboratório de Prática
de Ensino-Aprendizagem em Matemática I em 2006/01 para investigar o uso de recursos de
linguagem no ensino dos números inteiros. Foram abordadas diferentes analogias, alegorias e
metáforas e foi feito um levantamento descritivo das mesmas e de sua importância para o
ensino de matemática. Também fiz um levantamento descritivo análogo em livros didáticos
de 6ª série do ensino fundamental e um breve estudo sobre a história dos números inteiros.
Aprendi sobre analogias, alegorias e metáforas e sua importância para o ensino da
matemática. Elas podem ser utilizadas como recurso didático para facilitar a compreensão do
abstrato e promover o entusiasmo dos alunos. Mas, para resultar em uma efetiva
aprendizagem, é preciso cuidado ao explorar elementos que reconhecidamente são parte da
cultura dos estudantes. Uma sugestão é buscar, nos próprios alunos, os conhecimentos
implícitos que possuem das situações de seu dia-a-dia, caso contrário, eles poderão apresentar
dificuldades em entender as analogias propostas, mesmo aquelas que, aparentemente, sejam
de domínio do senso comum.
Fiquei muito surpresa ao descobrir que na própria história dos números inteiros estão
as metáforas. Principalmente na comparação com o mundo do dinheiro, onde temos os
números negativos como débitos. Assim, podemos dizer que no processo de ensino e
aprendizagem há uma volta às origens.
Dei-me conta de que é preciso ter consciência ao escolher analogias, pois cada uma
serve a diferentes objetivos e tem deficiências em outros. Nem todas as analogias são boas
para serem utilizadas no ensino dos números inteiros, como por exemplo, as analogias que
pretendem explicar a relação de ordem, usando termômetros e temperaturas. As crianças de 6ª
52
série não têm familiaridade com a comparação de temperaturas – dizem que +5 é mais quente
e -5 é mais frio, ou que -7 é maior do que -5, porque é mais frio -, ou com a comparação de
saldos bancários – dizem que -7 é maior do que -5, porque a dívida é maior . A relação de
ordem tem um bom domínio para a analogia no mundo das alturas e níveis de água, pois as
crianças têm noção de comparação entre alturas e entre quantidades. Elas identificam com
muita naturalidade as idéias de mais alto, mais cheio e maior. A noção prévia de “ser maior ou
ser menor” coincide, nas crianças de 11-13 anos, com “ser mais alto”.
Percebi que os melhores recursos para se pensar no conceito abstrato dos inteiros são o
mundo do dinheiro e o jogo da reta, pois sugerem as noções de oposto de um número positivo,
de elemento neutro e de adição.
Percebi também as falhas nos livros didáticos. Os autores, em geral, iniciam o
conteúdo com as mesmas analogias e exemplos e não deixam explícitas as relações
estabelecidas com o conteúdo abordado. O conteúdo torna-se repetitivo e não há muita
novidade. Parece que, para os autores, o importante é fazer relações com o cotidiano e para
isso deve-se recorrer a todas as analogias possíveis, sem dar-se conta das diferenças entre elas
e do potencial ou da deficiência de cada uma. Talvez os autores não saibam que estão fazendo
analogias.
As analogias, alegorias e metáforas são importantes recursos didáticos. Entretanto, não
são empregadas de forma sistemática, nem seu potencial cognitivo é bem explorado na
construção do conhecimento.
Seria proveitoso que autores e professores conhecessem seus sentidos mais amplos e
profundos, para que os alunos se beneficiem das diversas possibilidades abertas pela
utilização desses recursos no processo de ensino-aprendizagem.
Este trabalho foi bastante importante para a minha formação, pois além de aprender
sobre recursos de linguagem e seu aproveitamento no ensino dos números inteiros, pude
53
perceber que podemos explorar tais recursos didáticos em quase todos os conteúdos de
matemática. Assim, o ensino torna-se mais instigante tanto para o professor quanto para os
alunos, pois o conhecimento desses é aproveitado para promover uma melhor aprendizagem.
54
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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