obk-p8

8/16/2019 OBK-P8

http://slidepdf.com/reader/full/obk-p8 1/70

ELEMENTI NAPREZANIPOPREČNIM SILAMA

[email protected]

Građevinski fakultet u Rijeci Izv.prof.dr.sc. Davor Grandić, dipl.ing.građ.

8/16/2019 OBK-P8


Osnovne postavke

› poprečne sile u javljaju se kao posljedica promjene momentasavijanja uzduž grede (štapnog elementa)

› ako se promotri odsječak grede duljine d x uočava se da je:

(1)

2

8/16/2019 OBK-P8


Osnovne postavkeOpći postupak provjere nosivosti na poprečnu silu

› uvjet nosivosti na poprečne sile glasi:

Rd Ed V V ≤ (2)

› nosivost na poprečne sile V Rd može biti:

V Rd,c - proračunska nosivost na poprečnu silu elementa bez

poprečne armature

V Rd,s - proračunska poprečna sila koja se može preuzeti pri

popuštanju poprečne armature

V Rd,max - najveća proračunska poprečna sila koja se može

preuzeti bez otkazivanja tlačnih štapova

› V Ed je proračunska poprečna sila u promatranom presjeku

od vanjskog opterećenja i prednapinjanja

3

8/16/2019 OBK-P8



› u elementima s nagnutim pojasevima definiraju sesljedeće dodatne veličine:

V ccd - proračunska komponenta poprečne sile u tlačnom

području, u slučaju nagnutog tlačnog pojasa (ruba)

V td - proračunska komponenta poprečne sile u vlačnojarmaturi, u slučaju nagnutog vlačnog pojasa (ruba)

4

8/16/2019 OBK-P8


x

x

x x

d

M V α tg±=∆


5

8/16/2019 OBK-P8


› nosivost na poprečnu silu elementa s poprečnom armaturom tada je jednaka : V Rd = V Rd,s + V ccd + V td

› u područjima elementa u kojima je V Ed ≤ V Rdc proračunskapoprečna armatura nije potrebna (V Ed je proračunska poprečnasila u promatranom presjeku)

› međutim, i u slučajevima kada proračunska poprečna armaturanije potrebna valja uvijek predvidjeti najmanju poprečnuarmaturu

› najmanja poprečna armatura smije izostaviti kod ploča (pune,

rebraste, šuplje) kod kojih je moguća poprečna raspodjelaopterećenja

› dopušteno je također izostaviti najmanju poprečnu armaturu uelementima od podređene važnosti koji značajnije ne doprinoseukupnoj nosivosti i stabilnosti konstrukcije

6


8/16/2019 OBK-P8


› primjer elementa od podređene važnosti je nadvoj rasponamanjeg od 2 m

› u područjima elemenata u kojima je V Ed >V Rdc valja proračunatipotrebnu poprečnu armaturu

› zbroj proračunske poprečna sile i doprinosa nagnutih pojaseva,V Ed –V ccd – V td ne smije nigdje u elementu prekoračiti vrijednostV Rd ,max

› uzdužna armatura mora biti sposobna preuzeti dodatne vlačne sileprouzročene poprečnim silama

› kod elemenata koji su pretežno opterećeni jednolikoraspodijeljenim opterećenjem, vrijednost proračunske poprečnesile za koju provjeravamo nosivost presjeka, može se uzeti na

udaljenosti d od lica ležaja

7


8/16/2019 OBK-P8


› svu proračunanu poprečnu armaturu treba voditi do oslonca

› dodatno, potrebno je provjeriti da poprečna sila na osloncu (bezumanjenja) ne prijeđe vrijednost V Rd,max

› kad se opterećenje nanosi u blizini dna presjeka elementa, valjapredvidjeti dovoljnu dodatnu vertikalnu armaturu kako bi

prenijela opterećenja s dna na vrh presjeka (u tlačno područje)

8


VEd V 'Ed

q

x

d

d

a/2 V '=V -q·xEd Ed

a

8/16/2019 OBK-P8


Osnovne postavkePosmična vitkost

› posmična vitkost za gredu s koncentriranimopterećenjem:

d

a=λ (3)

› posmična vitkost za gredu s kontinuiranim opterećenjem:

(4)

› slučajevi iz izraza (3) i (4) prikazani su na sljedećojstranici

9

8/16/2019 OBK-P8


Osnovne postavkePosmična vitkost

10

8/16/2019 OBK-P8


Neraspucani elementiPosmična naprezanja

› naprezanja homogenog, tj. neraspucanog presjeka mogu se pronaćiprema otpornosti materijala

Orjentacija posmičnih naprezanja

11

8/16/2019 OBK-P8


8/16/2019 OBK-P8


(8)

(9)


› kad se u izraz (7) uvrste normalna naprezanja σ x( x) i σ x( x+dx) prema izrazima (5) i (6) dobiva se:

› sumom momenata oko točke (1) (slika(c) na slajdu 6)određen je zakon o uzajamnosti posmičnih naprezanja:

(10)

sa

13

8/16/2019 OBK-P8


(11)


› statički moment ploštine presjeka iznad neutralne osi iodgovarajuće najveće posmično naprezanje u neutralnoj osiza pravokutni presjek određeni su izrazima:

14

8/16/2019 OBK-P8


(12)

Neraspucani elementiGlavna naprezanja

› glavna (vlačna i tlačna: σ 1> σ 2)naprezanja određena suizrazom:

15

› nagib glavnih naprezanja u odnosu na os nosačaodređuje se formulom:

(13)

8/16/2019 OBK-P8



16

Morova kružnica naprezanja u nekoj

točki grede (nosa

ča)

8/16/2019 OBK-P8


(14)


› kod grednih nosača može se naprezanje okomito na osnosača (naprezanje σ z ) zanemariti zbog svoje malevrijednosti s obzirom na σ x i τ xz , pa se dobiva:

17

› naprezanja σ z značajna su samo nad osloncima i na

mjestima nanošenja koncentriranog opterećenja (to sutzv. D-područja (“D” kao diskontinuitet) za razliku od B-područja u kojima vrijedi Bernoullijeva hipoteza ravnihpresjeka iz otpornosti materijala (“B” kao Bernoulli)

22,1

22 xz x x τ σ σ σ +

+=

x

xz

σ τ β 22tg =

8/16/2019 OBK-P8



› na slici su prikazane trajektorije glavnih naprezanja u gredisavijanoj silama:

18

› u neutralnom sloju (σ x = 0) područja grede naprezanepoprečnim silama nagib trajektorija prema osi grede iznosi45° odnosno 135°

› trajektorije glavnih naprezanja paralelne su s gornjim i donjim

rubom grede na kojima je τ xz = τ zx = 0

trajektorije glavnih vlačnih naprezanja

trajektorije glavnih tlačnih naprezanja

8/16/2019 OBK-P8



› glavna naprezanja na donjem i gornjem rubu su:

19

› na slici su prikazana normala i posmična naprezanjapravokutnog presjeka i odgovarajuća glavna naprezanja ((β

označava kut između glavnog vlačnog naprezanja σ 1 i osigrede):

σ 1,2 = σ x /2 ± |σ x | /2 (15)

8/16/2019 OBK-P8


Nosivost elemenata bez poprčene armature na poprečne silePonašanje raspucane grede bez poprečne armature

› kada glavna vlačna naprezanja dostignu vlačnučvrstoću betona, pojavit će se pukotine

› u području greda s konstantnim momentomsavijanja pukotine će biti okomite na os grede

› u području greda s poprečnim silama pukotine ćebiti nagnute

› na slici prikazanoj na sljedećem slajdu prikazana su

pet ispitanih greda (Leonhardt i Walther 1962.) srazličitom posmičnom vitkošću i pukotinezabilježene pri slomu

20

8/16/2019 OBK-P8


Nosivost elemenata bez poprečne armature na poprečne silePonašanje raspucane grede bez poprečne armature

21

Poprečni presjek

Uzorak

8/16/2019 OBK-P8


Nosivost elemenata bez poprečne armature na poprečne sile

Oblici sloma

› kod elemenata bez poprečne armature mogući su sljedećioblici sloma:

• slom zbog poprečne sile i savijanja – kritična posmična(kosa) pukotina prodire u tlačno područje u kojem dolazi doprekoračenja tlačne čvrstoće betona, slom je iznenadan

• vlačni slom hrpta – iznenadni slom profiliranih i naročitoprednapetih nosača kosim raspucavanjem hrpta zbog utrenutku kada glavna vlačna naprezanja u hrptu prekoračevlačnu čvrstoću betona

• slom zbog nedovoljnog sidrenja uzdužne armature –zbog gubitka sidrenja armature pukotina od savijanja ipoprečne sile se dodatno širi i dolazi do trenutnog slomagrede

22

Nosivost elemenata bezzdrobljeni beton

8/16/2019 OBK-P8


Nosivost elemenata bezpoprečne armature na poprečne sile

Oblici sloma 23

zdrobljeni beton

a) Slom zbog poprečne sile i savijanja

dijagonalne pukotine

pukotina se produljuje u pojasnicu

b) Vlačni slom hrpta

c) Slom zbog nedovoljnog sidrenja uzdužne

armature

8/16/2019 OBK-P8


Nosivost elemenata bez poprčene armature na poprečne sile

Modeli i mehanizmi nosivosti

› modeli nosivosti koji se koriste u proračunu elemenatanaprezanih poprečnim silama razvijeni su na temeljuistraživanja mehanizma nosivosti

› modeli nosivosti uključuju pojedine mehanizme ili njihovukombinaciju

› osim čistih modela luka sa zategom, vrlo su značajni trodijelnimodel nosivosti (Specht i Sholz 1995.) i zubasti model(Fisher 1997., Zink 2000.)

› paralelno mehaničkim modelima egzistiraju i empirijski modeli

(Kordina i Blume 1985., Remmel 1994.)› u većini propisa, pa tako i u HRN EN 1992-1-1, prihvaćeni su

empirijski modeli nosivosti

› bez obzira na to u nastavku se prikazuju najvažniji mehanizmii odgovarajući predloženi modeli nosivosti

24

Nosivost elemenata bez poprečene armature na poprečne sile

8/16/2019 OBK-P8


Nosivost elemenata bez poprečene armature na poprečne sileModeli i mehanizmi nosivosti

Razupora ili luk sa zategom

› ovaj mehanizam ne može se u potpunosti ostvariti kod greda velikeposmične vitkosti

› u tom slučaju osim mehanizma razupore ili luka aktiviraju se dodatnimehanizmi nosivosti

25

a) Opterećenje koncentriranim si lama – razuporno

djelovanje

a) Kontinuirano opterećenje – lučno djelovanje


8/16/2019 OBK-P8



Zubasti model

› zubasti model nosivosti za elemente bez poprečne armatureodabrali su mnogi autori (Kani 1964. i 1966., Fenwick andPaulay 1968., Jungwirth 1970., Taylor 1974., Hamadi iReagan 1980. i Reineck 1990.)

26

a) zubasti model b) jedan betonski zub


8/16/2019 OBK-P8



Zubasti model

› nosivost na poprečnu silu elementa bez poprečne prema zubastommodelu sastoji se od sljedećih dijelova (doprinosa):

V cc doprinos tlačnog područja

V cr doprinos uklinjavanja zrna agregata

V d doprinos uzdužne armature kao trna

27

a) kinematika pukotine od savijanja i poprečne sile b) kinematika uklinjavanja zrna agregata


8/16/2019 OBK-P8




Zubasti model

› na slici je prikazan mehanizam nosivosti šipki kao trnova preko pukotine:

28

pukotina od djlelovanja šipki

kao trnova

pukotina od

djlelovanja šipki

kao trnova

a) naprezanja u betonu

b) vlačna naprezanja u razini armature

c) pukotina od djelovanja šipki kao trnova u

razini armature

d) ovosnost između nosivosti trna i širine

pukotine u razini armature

pukotina od

savijanja

odlamanje sloja betona

iznad armature

širina pukotine


8/16/2019 OBK-P8




Zubasti model

› javlja se i savijanje zuba i dorinos nosivosti na poprečnu silu područjabetona u procesu vlačnog loma, na slici:

29

› utjecaj osne sile na nosivot je povoljan ako je osna sila tlačna

područ je loma područ je loma

N i l b č č il

8/16/2019 OBK-P8



Provjera nosivosti

› proračun nosivosti provjerava se za dva oblika sloma:

– razvojem pukotina od poprečnih sila iz pukotina od momentasavijanja (provjera za raspucani hrbat (rebro))

– za profilirane i prednapete grede nastajanjem kosih pukotina(provjera uz uvjet ograničenja glavnih vlačnih naprezanja)

30

› kod provjere za raspucani hrbat glavni su utjecajni parametri:– vlačna čvrstoća betona

( → raspucavanje hrpta, nosivost zuba, djelovanje trna)

– koeficijent armiranja uzdužnom armaturom

( → visina tlačnog područja, djelovanje trna, ograničenje

širine pukotina i uklinjavanje zrna agregata)– geometrija hrpta

( visina hrpta → proces vlačnog loma, širina hrpta → poprečnipresjek)

– osna sila

( → visina tlačnog područja, uklinjavanje zrna agregata)

N i t l t b č t č il

8/16/2019 OBK-P8



Provjera nosivosti

› proračunska nosivost na poprečnu silu elementa bez poprečne

armature V Rd,c, određena je izrazom:

31

ali ne manje od:

( )[ ] (N) 100 1

3/1

., d bk f k C V wcpck lc Rd c Rd ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= σ ρ (16)

d bk v wcp ⋅⋅⋅+ σ 1min (17)

gdje je: f ck u MPa, mmuuvrstiti ,0,2200

1 d d

k ≤+=

02,0≤⋅

=d b

A

w

sll ρ 15,01 =k

2123

min 035,0 ck f k ⋅⋅=ν C

c Rd C γ

18,0, =

Napomena: Navedene vrijednosti za C rd,c , vmin i k 1 preporučene su u normi EN 1992-1-1. U

nacionalnim dodacima (NA) pojedinih država mogu se odrediti i druge vrijednosti. U

hrvatskom NA prihvaćene su navedene preporučene vrijednosti.


8/16/2019 OBK-P8



Provjera nosivosti

Asl

je ploština vlačne armature koja se od promatranog presjeka

proteže za ≥ (lbd + d ):

32

A - promatrani presjek

bw je najmanja širina poprečnog presjeka u vlačnom području(mm),

σ cp = N Ed / Ac < 0,2 f cd

N Ed je osna sila u poprečnom presjeku od opterećenja ili

prednapinjanja u N, N Ed > 0 ako je tlačna, Ac je ploština

betonskog poprečnog presjeka u mm2


8/16/2019 OBK-P8



Provjera nosivosti

› u područjima prednapetih elementa s jednim rasponom bezpoprečne armature i pukotina od savijanja (vlačno naprezanje odsavijanja manje je od f ctk,0,05 /γ C ) nosivost na poprečne sileograničena je vlačnom čvrstoćom betona:

33

α 1 koeficijent ovisan o vrsti prednapinjanja – naveden u HRNEN 1992-1-1,

ctd cpctd w

c Rd f f S b I V σ α 1

2, +⋅= (18)

C ctk ct ctd f f γ α 05,0,= je proračunska vlačna čvrstoća betona

Nosi ost elemenata be pop ečene a mat e na pop ečne sile

8/16/2019 OBK-P8



Provjera nosivosti

› pomak dijagrama momenta savijanja kod određivanja dijagramavlačnih sila za postavljanje uzdužne armature uzduž za elemente

bez poprečne armature iznosi: al = d

› kod elemenata s opterećenjima koja djeluju s gornje straneelementa unutar razmaka 0,5d ≤ av ≤ 2d od ruba ležaja (ili osi

ležaja u slučaju da je fleksibilan), doprinos tog opterećenjapoprečnoj sili V Ed može se umanjiti faktorom β = av /2d

› ovo umanjenje može se rabiti kod provjere V Rd,c

› ovakvo umanjenje može se primijeniti samo ako je uzdužna

armatura potpuno usidrena preko oslonca› za av ≤ 0,5d , treba uzeti da je av = 0,5d

› poprečna sila V Ed proračunana bez umanjenja s β , uvijek morazadovoljiti uvjet:

34

cd w Ed f d bV ⋅⋅⋅⋅≤ ν 5,0 (19)


8/16/2019 OBK-P8



Provjera nosivosti

› gdje je faktor umanjenja tlačne čvrstoće betona raspucanog od

poprečnih sila (preporučena vrijednost u EN 1992-1-1, prihvaćana je uhrvatskom NA):

35

(20)MPa)u( 250

16,0 ck ck f

f

−⋅=ν

› na slici su prikazani slučajevi opterećenja u blizini oslonaca:

a) Greda s izravnim oslanjanjem b) Kratka konzola

Napomena: Grede sizravnim oslanjanjem ikratke konzole mogu sedimenzionirati i spomoću štapnihmodela.

8/16/2019 OBK-P8


Dimenzioniranje elemenata poprečnom armaturom

› u nastavku izlaganja promatraju se elementi koji u kojima jepredviđena propisana najmanja poprečna armatura ( Asw,min narazmaku s)

› razmatranjem toka vlačnih i tlačnih sila u elementu kojepredstavljaju rezultante polja vlačnih i tlačnih naprezanja dolazi

se do slike pukotina od savijanja i poprečnih sila

36

8/16/2019 OBK-P8


Dimenzioniranje elemenata s poprečnom armaturom

› ovo razmišljanje dovodi do ideje rešetkastog modela u komeegzistiraju vlačni ispunski štapovi (poprečna armatura) i tlačniispunski štapovi (betonski)

› na slici je prikazan idealizirani tok sila u gredi s nagnutimpukotinama:

37

Napomena: Tlačni ispunski štap (eng. strut, njem. Druckstrebe) pojednostavnjenose naziva “tlačni štap” ili “tlačna dijagonala”. Dakle, kad se kaže tlačni štapovi udefiniranju pojma VRd,max ili kad se govori o “nagibu tlačnih štapova” θ ,

podrazumijeva se da se radi o ispunskim tlačnim štapovima.

8/16/2019 OBK-P8



› na prethodnoj slici vidimo da djelotvorna poprečna armaturamora prolaziti preko nagnutih pukotina, slično kao što smovidjeli da u slučaju savijanja uzdužna armatura prolazi prekopukotina nastalih zbog savijanja u vlačnom području elementa

› postoje sljedeći oblici poprečne armature:

• nagnute (kose) spone – imaju idealan smjer s obziorm nakose pukotine, ali otežana je izvedba elemenata s nagnutimsponama

• okomite spone – kod armiranja greda danas prevladava

poprečna armatura u obliku spona okomitih na uzdužnu oselementa

• povijenih armaturnih šipki – dio armature koji više nijestatički potreban u polju (zbog smanjenja poz. momenata)koso se povija (pod 45°) na krajevima greda u tlačno područje;

38

8/16/2019 OBK-P8



› dio poprečne armature može se sastojati od dodataka zapreuzimanje poprečnih sila u obliku koševa, ljestava itd. kojesu položene bez obuhvaćanja uzdužne armature, ali trebaju bitidovoljno usidrene u tlačnom i vlačnom području

› najmanje 50% poprečne armature mora biti u obliku spona

› kut nagiba poprečne armature ne smije biti manji od 45° nitiveći od 90° u odnosu na uzdužnu os elementa

› na slici su prikazani različiti oblici poprečne armature:

39

nagnute spone okomite spone povinuta šipkauzdužna armatura

s s


8/16/2019 OBK-P8


j p p

Ponašanje greda s poprečnom armaturom i raspucanimhrptom

› u području djelovanja poprečnih sila otvaraju se kose pukotinepod nagibom β r ≈ 30° - 45° u odnosu na os grede

› na slici je prikazana greda T-presjeka ispitivana u laboratorijuopterećivanjem do sloma, na slici vidimo sliku pukotina prislomu (Leonhardt i Walther 1962.):

40

› širenje kosih pukotina izaziva deformacije u poprečnoj armaturikoja ide preko njih – na taj način poprečna armatura senapreže i doprinosi nosivosti grede

› najučinkovitije su kose spone – vidjeti sliku na sljedećem

slajdu


8/16/2019 OBK-P8


41

j p p

Ponašanje greda s poprečnom armaturom i raspucanimhrptom


8/16/2019 OBK-P8


› oblici sloma ovise o količini i obliku poprečne i uzdužnearmature i o geometriji nosača – naročito o omjeru izmeđudebljine i visine hrpta, razlikujemo:

• slom zbog savijanja – nastaje pri normalnom armiranjunosača; naprezanje u armaturi dostiže ili prekoračuje granicu

popuštanja, neutralna os se podiže visoko čime se smanjujetlačno područje i nastaje slom betona (duktilno ponašanje) –pri jačem armiranju nosača uzdužnom armaturom, slomnastaje drobljenjem betona (krhki slom)

• vlačni slom poprečne armature – nastaje kada nema

dovoljno poprečne armature, dolazi do otvaranja širokih kosihpukotina i značajnog deformiranja nosača

• tlačni slom hrpta – kod nosača tankih hrptova (I ili T-presjeka) s jakom poprečnom armaturom može nastati slomzbog dostizanja tlačne čvrstoće betona u hrptovima

42


Oblici sloma


8/16/2019 OBK-P8


› ... razlikujemo - nastavak:

• slom zbog nedovoljnog sidrenja– očituje se u nastankuširoke kose pukotine u blizini oslonca

• slom cijepanjem hrpta zbog povijenih šipki – tlačni štap

zamišljene rešetke, koji djeluje po cijeloj širini grede, oslanjase kod prijevoja na kosu šipku zbog čega dolazi do otklonatlačnih trajektorija pojave sila cijepanja, a s druge strane šipkadjeluje kao oštrica na beton tlačnog štapa i želi ga raskoliti

43


Oblici sloma


8/16/2019 OBK-P8


44


Oblici sloma

prijevoj


8/16/2019 OBK-P8



Klasična analogija s rešetkom

› već je u ranom dobu primjene armiranog betona predložena tzv.

klasična analogija s rešetkom prema Ritteru i Mörschu (Ritter 1899.,Mörsch 1908.)

› klasična analogija s rešetkom zasniva se pretpostavci paralelnihpojaseva rešetke, zatim da su štapovi rešetke zglobno spojeni, tlačniispunski štapovi su nagnuti pod 45°, a vlačne ispunske štapove čini

poprečna armatura › na sljedećoj slici (slajd 46) prikazan je model nosivosti zasnovan na

klasičnoj analogiji s rešetkom prema Mörschu i prijelaz na njegiv opiss pomoću polja naprezanja

› valja razlikovati D-područje (diskontinuitet, poremećaj) uz ležaj i

ispod koncentrirane sile (tamnije osjenčano na slici c) i B-područje(Bernoulli) (svijetlo osjenčano)

› u B-području hrpta grede formiraju se paralelena polja vlačnih itlačnih naprezanja

› rezultirajuće sile u poljima se tada mogu dobiti iz jednostavnog

statički određenog rešetkastog modela sa zglobnim čvorovima

45

Klasična analogija s

8/16/2019 OBK-P8


rešetkom po Mörschu

46

sila u tlačnom pojasu Fc

homogena greda

vlačna polja

dvostruka rešetka

jednostruka rešetkasila u vlačnom pojasu Fs

s

s

a) jednostruka rešetka

b) dvostruka rešetka

c) model polja naprezanja

d) sile u pojasevima


8/16/2019 OBK-P8



Proširenje analogije s rešetkom

› na temelju ispitivanja dobivena su znatno manja naprezanja upoprečnoj armaturi nego što se dobiju proračunom po klasičnojanalogiji s rešetkom prema Mörschu (θ = 45°)

› razlog tomu je preuzimanje dijela poprečne sile preko drugihčimbenika:

– doprinosa tlačnog područja

– uklinjavanja zrna agregata

– djelovanjem uzdužne armature kao trna

› važan učinak je i u tome da je stvarni nagib tlačnih štapovamanji od pretpostavljenih 45°

› oblik presjeka također je značajan (vidjeti sljedeće slike)

47


8/16/2019 OBK-P8


› na slici su prikazana naprezanja u poprečnoj armaturi grede T-presjeka (ispitivanje - eksperiment):

48

(naprezanje u sponama)

(pojava kosih pukotina)

promatrane spone

proračunanevrijednosti zarešetku s

Θ = 45°Izmjerenevrijednosti

(izmjerne vrijednosti)




8/16/2019 OBK-P8


49



› na slici su prikazanirezultati ispitivanjagreda različitihpresjeka


8/16/2019 OBK-P8




› na temelju prikazanih rezultata ispitivanja možemo uočiti da bi sedimenzioniranjem poprečne armature prema klasičnoj Mörschovojanalogiji s rešetkom (θ = 45°) dobila nepotrebno velika količinapoprečne armature

› to drugim riječima znači da se proračunom prema klasičnoj

Mörschovoj analogiji podcjenjuje stvarna nosivost elemenata› za realnije dimenzioniranje općenito su na raspolaganju dvije metode:

1) uporaba rešetkastog modela s θ = 45° s izravno uračunanim(zbrojenim) doprinosom drugih čimbenika ∆V c (∆V c se još naziva idoprinos betona) (to je standardna metoda prema starijim propisima i

američkoj ACI 318 normi)

2) odabirom nagiba tlačnih štapova θ prema osi elementa koji je blažiod 45°

› druga spomenuta metoda temelji se proračunskom konceptu teorije

plastičnosti i prihvaćena je u HRN EN 1992-1-1

50


8/16/2019 OBK-P8



Sile u ispunskim štapovima rešetkastog modela

› na slici su prikazane sile u ispunskim štapovima jednostrukerešetke (tj. rešetkastog modela) sa zglobnim čvorovima:

51

presjek B presjek A

z ctg θ z ctg α

ctg θ ctg α


8/16/2019 OBK-P8




› u presjeku B na slici sa slajda 51 iz ravnoteže vertikalnih siladobiva se sila u tlačnom štapu:

52

(21)

› na temelju ravnoteže u presjeku A određuje se sila u vlačnomštapu:

(22)


8/16/2019 OBK-P8




› naprezanje u tlačnom polju koje se idealizira tlačnim štapom određeno

je silom u tlačnom štapu |F cwd | te širinom tlačnog štapa c’ i debljinomhrpta bw

› vlačno polje naprezanja koje se idealizira vlačnim štapom određeno jesilom u vlačnom štapu F swd koju preuzima količina poprečne armatureraspoređene na širini c (ta količina je asw · c , asw = As /s (cm

2 /m’), s je

razmak spona)

53

(24)

(23)

(26)

(25)

ctg θ ctg α

ctg θ ctg α

ctg θ ctg α ctg θ ctg α

ctg θ ctg α

ctg2

α θ


8/16/2019 OBK-P8



Nosivost elementa na poprečnu silu

› uvjet ravnoteže pri dimenzioniranju prema graničnom stanju nosivosti

je V Ed = V Rd

› nosivost mora biti zadovoljena prema kriteriju tlačne čvrstoće betona(V Rd ,max), ali i prema kriteriju otpornosti poprečne armature (V Rd,s)

› ako u izraze (25) i (26) uvrstimo čvrstoću betona (α cw ·ν 1·f cd ) i granicupopuštanja poprečne armature f ywd i uz V Ed = V Rd ,max te V Ed = V Rd,s,

dobivamo nosivost elementa na poprečnu silu prema kriterijuotkazivanja tlačnih (betonskih) (27) i vlačnih (poprečna armatura)štapova (28):

54

(28)

(27)

θ

α θ ν α

21max,

ctg1

ctgctg

+

+⋅⋅⋅⋅⋅= cd wcw Rd f zbV

α α θ sin)ctgctg(, ⋅+⋅⋅⋅= ywd sw

s Rd f zs

AV


8/16/2019 OBK-P8



Nosivost elementa na poprečnu silu

› Asw je ploština presjeka poprečne armature na razmaku s, a s

je razmak poprečne armature u uzdužnom smjeru elementa › α cw je koeficijent kojim se uzima u obzir stanje naprezanja u

tlačnom pojasu nosača, a uzima se kao:

1,0 za neprednapete konstrukcije bez osne tlačne sile

55

(30)

(29)

( ) cd cpcd cd cp

cd cpcd

cd cpcd cp

f f f

f f

f f

0,15,0 za 15,2

5,025,0 za ,251

25,00 za 1

≤<−

≤<≤<+

σ σ

σ

σ σ

› ν 1 je faktor smanjenja tlačne čvrstoće betona raspucanog od

poprečnih sila jednak je faktoru ν prema izrazu (20)

(31)

Napomena: Navedene vrijednosti za α cwi ν 1 preporučene su u normi EN 1992-1-1. U

nacionalnim dodacima (NA) pojedinih država mogu se odrediti i druge vrijednosti. Prijedlog je

da se u Hrvatskoj prihvate navedene preporučene vrijednosti.

8/16/2019 OBK-P8



8/16/2019 OBK-P8


j p p

Sile u pojasevima rešetkastog modela57

(36)

(35)

› sile u tlačnom i vlačnom pojasu rešetkastog modela su:

( )α θ

α θ

θ θ

ctgctg

ctgcos

ctgcos

−=⇒

==

==

Ed wd

Ed swd swd

Ed cwd cwd

V H

V F H

V F H

› hvatište horizontalne sile H wd je na polovici udaljenosti između tlačnogi vlačnog pojasa, tj. na z /2

› zbog toga se sila u vlačnom pojasu povećava, a u tlačnom sesmanjuje:

( )

( )α θ

α θ

ctgctg2

ctgctg2

−+−=

−+

+=

Ed Edscd

Ed Ed

Edssd

V

z

M F

V N z

M F

(37)

(38)

(39)


8/16/2019 OBK-P8


j p p

Sile u pojasevima rešetkastog modela58

(40)

› u izrazu (38) možemo uočiti da je povećanje vlačne sile uvlačnom pojasu:

› umjesto povećanja vlačne sile moguće je pomicanje dijagramaM Ed / z za veličinu:

(41)

( )αθ V F Ed sd ctgctg5,0 −⋅⋅=∆

( ) 0ctgctg5,0 ≥−⋅⋅= αθ zal

› za ostvarenje nosivosti prema na poprečne sile premakriterijima (27) i (28) kao i rešetkastog modela nosača u cjelininužno je povećane sile u vlačnom pojasu (40) preuzetiodgovarajućim armiranjem vlačnom armaturom pri čemu semože koristiti postupak (41) !


8/16/2019 OBK-P8


j p p

Elementi s okomitim sponama α = 90° 59

(43)

(42)

› vrijede svi izrazi od slajda 51 do 58, s time da se u njih uvrsti kutnagiba poprečne armature α = 90°, tako da se dobiva:

(44)

( )θ θ

ν α

tgctg

1max,

+

⋅⋅⋅⋅= cd wcw

Rd

f zbV

θ ctg, ⋅⋅⋅= ywd sw

s Rd f zs

AV

cd cw

w

ywd sw f

sb

f A1

max,

2

1ν α ≤

θ V F Ed sd ctg5,0 ⋅⋅=∆ (45)

0ctg5,0 ≥⋅⋅= θ zal(46)


8/16/2019 OBK-P8


j p p

Elementi s okomitim sponama α = 90° 60

› ako se pri proračunu okomite poprečne armature (spona)pretpostavi promjer (tj. ploština presjeka jedne granespona, A 1

sw ) i reznost m (Asw = A 1

sw ⋅ m ), potrebni

razmak spona proračunava se prema formuli (za V Ed =V

Rd,s):

θ ctg

1

⋅⋅⋅⋅

= Ed

ywd sw

V

z f m As (47)


8/16/2019 OBK-P8


j p p

Odabir nagiba tlačnih štapova θ 61

› već smo spomenuli da se odabirom nagiba tlačnih štapova θ prema osi

elementa koji je blaži od nagiba pukotina β r uzima u obzir povećananosivost elemenata na poprečne sile u odnosu na nosivost prema klasičnojMörchovoj analogiji s nagibom tlačnih štapova θ = 45°

› najmanja količina poprečne armature dobila bi se smanjivanjem θ dok sene dobije da je V Rd,max jednako predviđenoj veličini V Ed

› tada iz jednadžbi (28) i (43) proizlazi da se za V Ed

=V Rd,max

=V Rd,s

dobivanajmanje poprečne armature, ali s druge strane prema (40) i (45) sasmanjenjem θ povećava se sila u vlačnom pojasu, što dovodi do većegutroška uzdužne vlačne armature

› V Ed =V Rd,max =V Rd,s je uvjet ravnoteže, uvjeti kompatibilnosti nisu njimeuzeti u obzir, k tome odabir vrlo malog θ može biti nepovoljan za

sigurnost elementa ...› zbog toga se u HRN EN 1992-1-1 nagib tlačnih štapova ograničava, to jest

može se slobodno odabirati u sljedećim granicama (to su preporučenevrijednosti u EN 1992-1-1 koje se predlaže prihvatiti u nacionalnomdodatku (NA) buduće hrvatske norme HRN EN 1992-1-1):

( )oo

4521,8 5,2ctg1 ≤≤≤≤ θ θ

(48)

8/16/2019 OBK-P8



8/16/2019 OBK-P8


Odabir nagiba tlačnih štapova θ 63

› manji nagib θ i veća deformacija poprečne armature pri njenompopuštanju dovode do izraženijeg umanjenja tlačne čvrstoćebetona tlačnih štapova

› očito je da ograničenje nagiba tlačnih štapova ovisi o većembroju čimbenika

› prema pojednostavnjenom postupku predloženom unjemačkom DIN EN 1992-1-1/NA dopušta se uporaba sljedećihvrijednosti nagiba θ :

ctg θ = 1,2 (θ = 40°) za čisto savijanje (N Ed = 0)

ctg θ = 1,2 (θ = 40°) za savijanje s osnom tlačnom silom(N Ed < 0)

ctg θ = 1,0 (θ = 45°) za savijanje s osnom vlačnom silom(N Ed > 0)

Najmanja poprečna armatura armatura i najveći

8/16/2019 OBK-P8


j j p p j

razmaci spona i kosih šipki 64

› elementi moraju po cijeloj dužini imati najmanju poprečnu

armaturu tako da se osigura nosivost neposredno nakonpojave kosih pukotina

› ρ w,min je koeficijent armiranja najmanjom poprečnomarmaturom:

( )α ρ sinmin,min, ⋅⋅= wsww bs A (49)

› iz gornjeg izraza dobiva se najveći razmak poprečne armatureza neki pretpostavljeni promjer i reznost poprečne armature,

uz uvjet da poprečna armatura bude jednaka najmanjoj (za ρ w ,min):

α ρ sinmin,

1

max,⋅⋅

⋅=

ww

swl

b

m As (50)


8/16/2019 OBK-P8


j j p p j


› koeficijent armiranja najmanjom poprečnom ρ w,min proračunava se spomoću izraza danog u HRN EN 1991-1-1/NA (hrvatski NA premauzoru na austrijski NA):

(51)

› f ctm je srednja vlačna čvrstoća betona:

yd

ctmw

f

f 15,0min, = ρ

Razred tlačne

čvrstoće betona C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1[ ] MPa f ctm

› u normi EN 1992-1-1 predložen je sljedeći izraz:

yk ck w f f 08,0min, = ρ (52)

› u izraz (52) f ck i f yk uvrštavaju se isklučivo u MPa

8/16/2019 OBK-P8



8/16/2019 OBK-P8



› najveći poprečni razmak krakova spona (st,max ) određen jeovim uvjetima (u hrvatskom NA):

Vrijednost proračunske

poprečne sile VEd

Razred tlačne čvrstoće betona

≤ C50/60

≤ LC50/60

> C50/60

> LC50/60

Najveći poprečni razmak krakova spona st,max

VEd ≤ 0,3 VRd,max 0,75d ≤ 600 mm 0,75d ≤ 400 mm

0,3 VRd,max < VEd ≤ 0,6 VRd,max 0,75d ≤ 600 mm 0,75d ≤ 400 mm

0,6 VRd,max < VEd ≤ 1,0 VRd,max 0,3d ≤ 300 mm

Spoj ploče i rebra T presjeka

8/16/2019 OBK-P8


Spoj ploče i rebra T-presjeka68

› dimenzioniranje se provodi tako da se kontrolira nosivost tlačnih

štapova te proračuna armatura koja se postavlja okomito na rebro

tlačni štapovi propisno usidrena uzdužna armatura

Spoj ploče i rebra T presjeka

8/16/2019 OBK-P8



› uzdužno posmično naprezanje između rebra i ploče:

xhF v f d Ed ∆⋅∆= (53)

› količina armatura okomita na rebro po jedinici duljine Asf /sf :

f f Ed f yd sf hvs f A θ ctg⋅= (54)

› uvjet da ne dođe do sloma tlačnih štapova u ploči glasi:

f f cd Ed f v θ θ ν cossin ⋅⋅⋅≤ (55)

Spoj ploče i rebra T-presjeka

8/16/2019 OBK-P8



› kut nagiba tlačnih dijagonala u ploči ograničava se premauvjetima (preporučeno u EN 1992-1-1 i prihvaćeno u hrvatskomNA):

› u slučaju kombiniranog učinka savijanja ploče i posmika izmeđurebra i ploče uzima se veća vrijednost od:

armature prema izrazu (54)

ili pola dobivene prema izrazu (54) plus armatura dobivena zasavijanje ploče okomito na rebro

1,0 ≤ ctgθ f ≤ 2,0 za tlačnu ploču (45° ≥ θ f ≥ 26,5°)

1,0 ≤ ctgθ f ≤ 1,25 za vlačnu ploču (45° ≥ θ f ≥ 38,6°)

› ako je v Ed manja ili jednaka od 0,4f ctd nije potrebna dodatnaarmatura na već proračunanu za savijanje ploče

obk-p8

Documents