obliczenia w fizyce i technice - prochembio.pwr.wroc.pl · politechnika gdan´ska, mie...

Politechnika Gdanska, mie◆dzywydzia lowy kierunek ,,INZYNIERIA BIOMEDYCZNA”

SKRYPT DO PRZEDMIOTU

OBLICZENIA W FIZYCE I TECHNICE

dr inz. Sebastian Bielski

Katedra Fizyki Atomowej i Luminescencji

Wydzia l Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej

Politechnika Gdanska

Gdansk, 2012

Projekt ,,Przygotowanie i realizacja kierunku inzynieria biomedyczna - studia mie◆dzywydzia lowe”

wspo lfinansowany ze srodkow Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spo lecznego.


Spis tresci

Wste◆p 3

1 Wektory 41.1 Poje◆cie wektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Dzia lania na wektorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Pochodna funkcji jednej zmiennej 132.1 Pochodna pierwszego rze◆du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Pochodna funkcji wektorowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Pochodna rze◆du n � 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Ekstrema funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Pochodna funkcji wielu zmiennych 213.1 Pochodna cza◆stkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Pochodna kierunkowa, gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Dywergencja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Rotacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Ca lka 294.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Ca lki niew lasciwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Ca lki wielkokrotne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4 Krotkie uzupe lnienie dotycza◆ce ca lek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Rownania rozniczkowe 375.1 Rownania rozniczkowe zwyczajne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Zagadnienie brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3 Rownania rozniczkowe niejednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.4 Funkcje Bessela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5 Przyk lady rownan rozniczkowych cza◆stkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6 Metoda przekszta lcen ca lkowych 536.1 Przekszta lcenie Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2 Dyskretna transformata Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7 Przyk lady zadan do rozwia◆zania na cwiczeniach 59

Literatura 66

Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 2


Wste◆p

W powszechnym rozumieniu fizyka jest nauka◆ opisuja◆ca◆ otaczaja◆cy nas swiat. Aby moc scislezapisywac prawa rza◆dza◆ce tym swiatem, musimy miec precyzyjny je◆zyk, daje nam go matematyka.Celem wyk ladu zatytu lowanego ,,Obliczenia w fizyce i technice” jest przedstawienie niektorychpoje◆c matematycznych jako narze◆dzi umozliwiaja◆cych opisywanie wielkosci fizycznych i zaleznosciprzez nie spe lnianych. Inzynier pos luguja◆cy sie◆ metodami matematycznymi zazwyczaj skupia sie◆na konketnych w lasnosciach danej metody i na jej przydatnosci, w mniejszym stopniu interesuja◆csie◆ ,,wysublimowanymi” aspektami matematycznymi. Podobnie be◆dzie na tym wyk ladzie; zaj-miemy sie◆ wybranymi zagadnieniami, k lada◆c g lownie nacisk na ich interpretacje◆ fizyczna◆ ba◆dz naich uzytecznosc w kontekscie konkretnych problemow.

Wymagania wste◆pne do przedmiotu ,,Obliczenia w fizyce i technice” to obeznanie z poje◆ciamigranicy i cia◆g losci funkcji. Przydatna tez be◆dzie znajomosc pochodnych i ca lek najprostszychfunkcji. Studenci ucze◆szczaja◆cy na zaje◆cia z ,,Obliczen w fizyce i technice” powinni tez znacpodstawowe w lasnosci liczb zespolonych.



1 Wektory

Bieg le pos lugiwanie sie◆ wielkosciami wektorowymi jest niezbe◆dne do prawid lowej interpretacjiwielu rownan fizyki.

1.1 Poje◆cie wektora

Wfizyce mamy do czynienia z roznymi kategoriami wielkosci. Najprostsze w opisie sa◆ wielkosciskalarne. Na przyk lad mozemy powiedziec, ze czas jakiegos procesu to 2 sekundy (t = 2s), zenate◆zenie jakiegos pra◆du to po l ampera (I = 0.5A), albo ze masa jakiegos cia la to 70 kilogramow(m = 70kg). W przypadku wielkosci skalarnych wystarczy zatem podac ich wartosc, wyrazaja◆c jew odpowiednich jednostkach. Gdy mamy do czynienia z wielkosciami wektorowymi, podaniewartosci to za ma lo, potrzebne sa◆ dodatkowe informacje zwia◆zane z kierunkiem czy pocza◆tkiemwektora. I tak na przyk lad stwierdzenie, ze cia lo porusza sie◆ z pre◆dkoscia◆ v = 2m/s niewiele mowio ruchu tego cia la, poniewaz nie wiemy, w ktora◆ strone◆ ten ruch sie◆ odbywa. Aby w pe lni opisacwielkosc wektorowa◆, musimy zatem okreslic kierunek i zwrot. Kierunek jest to prosta, na ktorejdany wektor lezy, a zwrot definiuje, w ktora◆ z dwoch ,,stron” tej prostej wektor jest zwrocony.Matematycznie wektor definiuje sie◆ jako odcinek o konkretnej d lugosci maja◆cy okreslony kierunek.Na rysunku 1 pokazany jest wektor zaczynaja◆cy sie◆ w punkcie A i koncza◆cy sie◆ w punkcie B,

Rysunek 1: Wektor o pocza◆tku w punkcie A i koncu w punkcie B.

oznaczmy go symbolem��!AB. D lugosc (lub inaczej modu l) tego wektora, oznaczana |��!AB|, jest rowna

d lugosci odcinka AB. Prosta, na ktorej lezy odcinek AB, okresla kierunek wektora��!AB, natomiast

zwrot tego wektora definiuje grot strza lki. Kierunek i zwrot razem stanowia◆ tzw. skierowaniewektora. Jesli punkt B pokrywa sie◆ z punktem A, d lugosc wektora wynosi 0, a wektor takinazywa sie◆ wektorem zerowym. Skierowanie wektora zerowego jest nieokreslone (dowolne).

W przypadku wektora��!AB mamy do czynienia z wektorem zaczepionym, to znaczy takim,

dla ktorego zdefiniowany jest konkretny pocza◆tek (czyli punkt A) i koniec (punkt B). Jesli nieinteresuje nas pocza◆tek ani koniec wektora, to mowimy o wektorze swobodnym, ktory okresla sie◆podaja◆c tylko jego d lugosc, kierunek i zwrot. Chca◆c zilustrowac wektor swobodny, mozemy gonarysowac w dowolnym miejscu. Wektory swobodne oznacza sie◆ najcze◆sciej przy uzyciu jednejliterki, np. ~a i ich d lugosc zapisuje sie◆ jako |~a| lub po prostu a. Jesli na przyk lad rozwazamyruch danego cia la nad powierzchnia◆ ziemi (moze to byc ruch leca◆cego samolotu albo ruch w rzucieukosnym itp.), to wektor pre◆dkosci cia la narysujemy tak, aby zaczyna l sie◆ on w punkcie opisuja◆cympo lozenie cia la (w srodku cie◆zkosci cia la), be◆dzie wie◆c to wektor zaczepiony. Z drugiej strony,charakteryzuja◆c pole grawitacyjne, w ktorym to cia lo sie◆ porusza, wektor przyspieszenia ziemskiegomozemy w zasadzie umiescic gdziekolwiek (wektor swobodny), ale oczywiscie wektor si ly cie◆zkoscipowinnismy znow powia◆zac z badanym cia lem.

Sposrod wyste◆puja◆cych w fizyce wielkosci wektorowych warto wymienic po lozenie, pre◆dkosc,przyspieszenie, si le◆, moment si ly, pe◆d, czy nate◆zenie pola elektrycznego.



Rysunek 2: Rozne wektory.

Wektory sa◆ rowne, jesli charakteryzuja◆ sie◆ ta◆ sama◆ d lugoscia◆, kierunkiem i zwrotem. Nie maja◆tu znaczenia ich ewentualne punkty zaczepienia. Sposrod wektorow pokazanych na rysunku 2

rowne sa◆ wektory��!AB, ~a i ~b. Ich kierunki sa◆ jednakowe, poniewaz leza◆ na prostych, ktore sa◆ do

siebie rownoleg le.W literaturze spotkac mozna rozne oznaczenia wektorow. Najcze◆sciej uzywa sie◆ strza lki nad

literka◆ (~a), kreski nad literka◆ (a) lub pogrubionej literki (a). Niestety, zdarza sie◆, ze czytelnicynieobeznani ze sposobem oznaczania wektorow b le◆dnie interpretuja◆ wzory. Na przyk lad bywa, zektos widza◆c druga◆ zasade◆ dynamiki w postaci F = ma nie rozumie, ze si la F i przyspieszenie a towektory.

Matematycznie wektor jest scharakteryzowany poprzez swoja◆ d lugosc, czyli d lugosc konkretnegoodcinka. W fizyce raczej nie mowi sie◆ o d lugosci wektora reprezentuja◆cego dana◆ wielkosc fizyczna◆.Zazwyczaj mowi sie◆ o wartosci wielkosci fizycznej. Fizyk zatem nie powie, ze d lugosc wektorapre◆dkosci wynosi 5 m/s a d lugosc wektora momentu si ly to 10 Nm. Padnie raczej stwierdzenie, zewartosc pre◆dkosci to 5 m/s (albo po prostu, ze pre◆dkosc wynosi 5 m/s) a wartosc momentu si ly to(albo moment si ly jest rowny) 10 Nm. Nie jest to do konca poprawne, bo w matematyce nie mapoje◆cia ,,wartosc wektora”, ale dla fizykow czy inzynierow jest to wygodne i zrozumia le. Nawiasemmowia◆c, jesli us lyszelibysmy lub przeczytalibysmy cia◆g s low ,,d lugosc wektora pre◆dkosci wynosi 5m/s”, moglibysmy byc zdziwieni, bo jezeli pojawia sie◆ poje◆cie ,,d lugosc”, to spodziewamy sie◆, zewynik zostanie podany w metrach ba◆dz innych jednostkach d lugosci.

Warto wiedziec, ze oprocz skalarow i wektorow sa◆ jeszcze tensory, ktore sa◆ uogolnieniami wek-torow. W fizyce uzywa sie◆ np. tensora momentu bezw ladnosci czy tensora polaryzowalnosci.

Zanim przedstawimy dzia lania na wektorach, przypomnijmy w jaki sposob wektory opisuje sie◆w uk ladzie wspo lrze◆dnych kartezjanskich (w naszym przypadku be◆dzie to uk lad dwuwymiarowy).Dowolny wektor wygodnie jest przedstawic za pomoca◆ jego wspo lrze◆dnych. Wspo lrze◆dne wektoraodpowiadaja◆ rzutom tego wektora na kolejne osie uk ladu wspo lrze◆dnych. W przypadku wektora ~a,pokazanego na rysunku 3, rzuty na os, odpowiednio, x i y maja◆ d lugosci a

x

i ay

, a wektor zapisujesie◆ naste◆puja◆co

~a = [ax

, ay

]. (1.1)

Oczywiscie, d lugosc wektora ~a wynosi

a =qa2x

+ a2y

, (1.2)

a jesli zdefiniujemy ka◆t ↵ jako ka◆t skierowany od osi x do wektora, poda◆zaja◆c przeciwnie do ruchuwskazowek zegara, to dostajemy

ax

= a cos↵ oraz ay

= a sin↵. (1.3)

Jesli mamy wektor swobodny, zawsze mozemy tak go przesuna◆c, aby jego pocza◆tek pokry l sie◆ z

pocza◆tkiem uk ladu wspo lrze◆dnych, jak na rysunku 3. Jezeli z kolei mamy wektor zaczepiony��!AB i



Rysunek 3: Wektor w dwuwymiarowym uk ladzie wspo lrze◆dnych kartezjanskich.

punkt A nie pokrywa sie◆ z pocza◆tkiem uk ladu wspo lrze◆dnych, to wspo lrze◆dne wektora wyznaczamyna podstawie wspo lrze◆dnych punktow A i B:

��!AB = [B

x

�Ax

, By

�Ay

], (1.4)

gdzie Ax

i Ay

oraz Bx

i By

to wspo lrze◆dne, odpowiednio punktu A i B (co matematycznie wyrazasie◆ zapisem A(A

x

, Ay

) i B(Bx

, By

)).Szczegolne znaczenie maja◆ wektory jednostkowe leza◆ce na poszczegolnych osiach, czyli tzw. wer-

sory. Wektor o d lugosci 1 skierowany wzd luz osi x cze◆sto zapisuje sie◆ jako ~i a analogiczny wektorleza◆cy na osi y oznacza sie◆ ~j (oczywiscie, ~i i ~j sa◆ wzgle◆dem siebie prostopad le), patrz rysunek 4.Zgodnie ze wzorem (1.1) mamy zatem

Rysunek 4: Wersory ~i i ~j.

~i = [1, 0] oraz ~j = [0, 1]. (1.5)

1.2 Dzia lania na wektorach

Poznamy 5 dzia lan na wektorach.

1. Mnozenie przez liczbe◆ rzeczywista◆Jezeli mamy wektor ~v = [v

x

, vy

] oraz liczbe◆ rzeczywista◆ c, to wektor c~v zapisac mozna naste◆puja◆co

c~v = c[vx

, vy

] = [cvx

, cvy

]. (1.6)



Mnozenie przez liczbe◆ zmnienia zatem d lugosc wektora, a jesli c < 0, zmienia sie◆ rowniez zwrot.W szczegolnym przypadku mamy

�1~v = �[vx

, vy

] = [�vx

,�vy

], (1.7)

zatem d lugosc pozostaje bez zmian ale zmianie ulega zwrot. Oczywiscie, mnozenie dowolnegowektora przez 0 prowadzi do wektora zerowego.

2. Dodawanie wektorowZa lozmy, ze mamy 2 wektory: ~v = [v

x

, vy

] oraz ~u = [ux

, uy

]. Suma tych wektorow jest wektoremo wspo lrze◆dnych

~v + ~u = [vx

+ ux

, vy

+ uy

]. (1.8)

Dodawanie wektorow jest dzia laniem przemiennym, czyli kolejnosc sk ladnikow nie wp lywa nawynik:

~v + ~u = ~u+ ~v. (1.9)

Graficznie sume◆ wektorow otrzymuje sie◆ poprzez regu le◆ ronoleg loboku. Suma jest ta◆ przeka◆tna◆

Rysunek 5: Dodawanie wektorow.

rownoleg loboku, ktora◆ uzyskuje sie◆, ustawiaja◆c pocza◆tek jednego z wektorow w koncu drugiego,jak na rysunku 5. Zauwazmy, ze dowolny wektor ~v mozna przedstawic jako sume◆ dwoch wektorow:~v1 i ~v2, czyli sk ladowej ,,poziomej” i ,,pionowej” wektora ~v (rysunek 6). Mozemy zatem zapisac

Rysunek 6: Wektor jako suma swoich sk ladowych.

cia◆g rownosci

~v = [v1, v2] = ~v1 + ~v2 = [v1, 0] + [0, v2] = v1[1, 0] + v2[0, 1] = v1~i+ v2~j. (1.10)

Dodawanie wektorow przydaje sie◆ na przyk lad gdy rozwazamy ruch promu na rzece albo ruchsamolotu w powietrzu przy obecnosci wiatru. Jesli wektor pre◆dkosci wody w rzece to ~v a wektor



pre◆dkosci promu wzgle◆dem wody to ~u, to wypadkowa pre◆dkosc promu wzg le◆dem brzegu to w lasniesuma tych wektorow.

3. Odejmowanie wektorowOdejmowanie od wektora ~v = [v

x

, vy

] wektora ~u = [ux

, uy

] mozna traktowac jako dodawanie dowektora ~v wektora przeciwnego do ~u, czyli �~u, patrz rysunek 7. Otrzymujemy wzor:

~v � ~u = [vx

� ux

, vy

� uy

], (1.11)

a zatem odejmowanie wektorow nie jest przemienne.

Rysunek 7: Odejmowanie wektorow.

4. Iloczyn skalarny wektorowIloczyn skalarny to takie dzia lanie na wektorach, w wyniku ktorego otrzymujemy skalar, czyli liczbe◆.Iloczyn skalarny wektorow ~v = [v

x

, vy

] oraz ~u = [ux

, uy

] oznaczamy i obliczamy naste◆puja◆co

~v · ~u = vx

ux

+ vy

uy

. (1.12)

Zauwazmy, ze iloczyn skalarny wektora z samym soba◆ jest rowny kwadratowi d lugosci tegowektora

~u · ~u = u2x

+ u2y

= |~u|2. (1.13)

Jezeli z kolei iloczyn skalarny dwoch wektorow niezerowych jest zerem, to wektory te sa◆ do siebieprostopad le, czyli inaczej mowia◆c ortogonalne. Na rysunku 8 przedstawiono wektory ~v i ~u oraz

Rysunek 8: Wektory ortogonalne.

trzeci wektor be◆da◆cy roznica◆ ~u i ~v, wektory te tworza◆ trojka◆t. Obliczmy kwadrat d lugosci roznicy



~u� ~v:

|~u�~v|2 = (ux

�vx

)2+(uy

�vy

)2 = u2x

�2ux

vx

+v2x

+u2y

�2uy

vy

+v2y

= |~u|2+ |~v|2�2(ux

vx

+uy

vy

).(1.14)

Mamy wie◆c:|~u� ~v|2 = |~u|2 + |~v|2 � 2~u · ~v. (1.15)

Jesli zatem iloczyn skalarny wektorow ~u i ~v jest zerem, to dostajemy twierdzenie Pitagorasa, czylimamy do czynienia z trojka◆tem prostoka◆tnym, w ktorym prostopad le sa◆ boki odpowiadaja◆ce tymwektorom.

Jezeli znamy ka◆t pomie◆dzy wektorami (rysunek 9), to wartosc iloczynu skalarnego mozemy tezobliczac na podstawie wzoru

~v · ~u = |~v| · |~u| · cos ✓. (1.16)

Jesli z kolei nie znamy ka◆ta ✓, ale mozemy obliczyc iloczyn skalarny korzystaja◆c z (1.12), to ka◆t

Rysunek 9: Wektory ~u i ~v oraz ka◆t ✓.

ten mozna wyznaczyc na podstawie zaleznosci

cos ✓ =~v · ~u

|~v| · |~u| . (1.17)

Ponizej wymieniono kilka w lasnosci iloczynu skalarnego:

1. przemiennosc~v · ~u = ~u · ~v (1.18)

2. la◆cznosc wzgle◆dem mnozenia przez liczbe◆

m(~v · ~u) = (m~v) · ~u (1.19)

3. rozdzielnosc wzgle◆dem dodawania

(~v + ~u) · ~w = ~v · ~w + ~u · ~w (1.20)

4. zwia◆zek pomie◆dzy iloczynem skalarnym i d lugoscia◆ wektora

|~v| =p~v · ~v (1.21)

5. nierownosc|~v · ~u| |~v| · |~u|. (1.22)

Przyk ladem wielkosci fizycznej zdefiniowanej poprzez iloczyn skalarny dwoch wektorow jestpraca. W najprostszym przypadku, jesli na cia lo dzia la sta la si la ~F i powoduje ona przesunie◆ciecia la z punktu A do punktu B po linii prostej, a miara◆ tego przesunie◆cia jest wektor ~l (rysunek

10), to praca W jest iloczynem skalarnym ~F i ~l (w ogolniejszym przypadku praca jest zdefiniowanaza pomoca◆ odpowiedniej ca lki):

W = ~F ·~l. (1.23)



Rysunek 10: Wektory si ly ~F i przesunie◆cia ~l.

5. Iloczyn wektorowy

Zacznijmy od zdefiniowania trojwymiarowego uk ladu wspo lrze◆dnych kartezjanskich. Interesujenas tzw. uk lad prawoskre◆tny, a to znaczy, ze trzy prostopad le wzgle◆dem siebie osie musza◆ miecodpowiednio dobrane zwroty. Jezeli mamy ustalone zwroty osi x i y, to zwrot osi z wyznaczonyjest zgodnie z regu la◆ sruby prawoskre◆tnej (jesli srube◆ prawoskre◆tna◆ kre◆cimy srubokre◆tem zgodniez ruchem wskazowek zegara, to sruba jest wkre◆cana). A zatem, jesli wkre◆camy srube◆ tak, abykre◆ci la sie◆ ona od dodatniej po lowy osi x do dodatniej po lowy osi y wzd luz mniejszego ka◆ta, toruch sruby pokazuje zwrot osi z (analogicznie kre◆ca◆c od y do z dostajemy zwrot x, a kre◆ca◆c od zdo x otrzymujemy skierowanie y), patrz rysunek 11. Mozna tez pos lugiwac sie◆ regu la◆ prawej d loni:jesli jej cztery palce (bez kciuka) sa◆ wygie◆te wzd luz mniejszego ka◆ta od dodatniej po lowy osi x do

dodatniej po lowy osi y, to odgie◆ty kciuk pokaze zwrot osi z. Wersory~i, ~j i ~k, czyli wektory jednos-

Rysunek 11: Przyk lady uk ladow prawoskre◆tnych.

tkowe skierowane wzd luz osi, odpowiednio, x, y i z, w trojwymiarowym uk ladzie wspo lrze◆dnychkartezjanskich maja◆ wspo lrze◆dne: ~i = [1, 0, 0], ~j = [0, 1, 0] oraz ~k = [0, 0, 1]. Dowolny wektor~v = [v

x

, vy

, vz

] mozna wie◆c przedstawic w postaci

~v = vx

~i+ vy

~j + vz

~k. (1.24)

Sume◆ lub roznice◆ wektorow z przestrzeni trojwymiarowej ~v = [vx

, vy

, vz

] i ~u = [ux

, uy

, uz

] obliczycmozna na podstawie

~v ± ~u = [vx

± ux

, vy

± uy

, vz

± uz

], (1.25)

a ich iloczyn skalarny wynosi

~v · ~u = vx

ux

+ vy

uy

+ vz

uz

= |~v| · |~u| · cos ✓, (1.26)

przy czym ✓ to ka◆t pomie◆dzy wektorami, tak jak na rysunku 9. D lugosc wektora ~v z przestrzenitrojwymiarowej wynosi

|~v| =q

v2x

+ v2y

+ v2z

. (1.27)



Iloczyn wektorowy dwoch wektorow to dzia lanie, ktorego wynikiem jest wektor. Iloczyn wek-torowy wektorow ~v = [v

x

, vy

, vz

] i ~u = [ux

, uy

, uz

] zapisujemy i obliczamy, korzystaja◆c ze wzoru

~v ⇥ ~u = |~v| · |~u| · sin ✓ · ~n, (1.28)

przy czym ~n to wektor jednostkowy prostopad ly do p laszczyzny wyznaczonej przez ~v i ~u, jegoskierowanie wyznacza regu la sruby prawoskre◆tnej – kre◆cimy od ~v do ~u (czyli od tego, ktory wdzia laniu jest zapisany jako pierwszy, do tego, ktory stoi po znaku ⇥) wzd luz mniejszego ka◆ta. Zrownania (1.28) wynika, ze

~v ⇥ ~v = 0, (1.29)

bo ka◆t pomie◆dzy danym wektorem i tym samym wektorem wynosi 0. Podobnie, jesli wektory ~v i~u sa◆ rownoleg le, to ka◆t pomie◆dzy nimi wynosi 0 lub ⇡ radianow, zatem funkcja sin daje wartosc 0i iloczyn wektorowy tez sie◆ zeruje. W odniesieniu do wersorow mozna zapisac

~i⇥~i = ~j ⇥~j = ~k ⇥ ~k = 0, (1.30)

ale z drugiej strony, ze wzgle◆du na prawoskre◆tnosc uk ladu wspo lrze◆dnych, mamy

~i⇥~j = ~k, ~j ⇥ ~k =~i, ~k ⇥~i = ~j. (1.31)

Iloczyn wektorowy mozna tez obliczac jak wyznacznik odpowiedniej macierzy 3⇥ 3:

~v ⇥ ~u =

��

~i ~j ~kvx

vy

vz

ux

uy

uz

��=~i

��vy

vz

uy

uz

��~j��vx

vz

ux

uz

��+ ~k

��vx

vy

ux

uy

��

= (vy

uz

� vz

uy

)~i+ (vz

ux

� vx

uz

)~j + (vx

uy

� vy

ux

)~k. (1.32)

Wynik iloczynu wektorowego jest wektorem prostopad lym do kazdego z dwoch mnozonychwektorow. Pamie◆tamy, ze jezeli iloczyn skalarny dwoch wektorow jest zerem, to wektory te sa◆prostopad le. Rozwazmy iloczyn skalarny wektora ~v i wektora be◆da◆cego wynikiem iloczynu wek-torowego ~v ⇥ ~u. Na podstawie wyrazenia (1.32) mamy

~v · (~v ⇥ ~u) = vx

(vy

uz

� vz

uy

) + vy

(vz

ux

� vx

uz

) + vz

(vx

uy

� vy

ux

) = 0, (1.33)

czyli ~v oraz ~v ⇥ ~u sa◆ ortogonalne. Analogiczny wniosek otrzymamy, obliczaja◆c ~u · (~v ⇥ ~u).Przedstawmy kilka w lasnosci iloczynu wektorowego:

1. antyprzemiennosc~v ⇥ ~u = �~u⇥ ~v, (1.34)

2. la◆cznosc wzgle◆dem mnozenia przez liczbe◆

m(~v ⇥ ~u) = (m~v)⇥ ~u, (1.35)

3. rozdzielnosc wzgle◆dem dodawania

(~v + ~u)⇥ ~w = ~v ⇥ ~w + ~u⇥ ~w. (1.36)

Przyk ladem wyste◆powania iloczynu wektorowego w fizyce jest si la Lorentza, jest to si la dzia laja◆cana ladunek elektryczny q poruszaja◆cy sie◆ z pre◆dkoscia◆ ~v w polu o indukcji magnetycznej ~B:

~F = q~v ⇥ ~B (1.37)

(scisle mowia◆c, si la Lorentza uwzgle◆dnia tez obecnosc pola elektrycznego, ale tu zak ladamy, zenate◆zenie pola elektrycznego jest zerem). Jak juz wiemy, w iloczynie wektorowym wazna jestkolejnosc wektorow, wie◆c nie mozna zamieniac miejscami ~v i ~B (powoduje to zmiane◆ zwrotu si ly).Si la Lorentza zawsze jest prostopad la do wektora pre◆dkosci (i indukcji magnetycznej), a zatem w



Rysunek 12: Iloczyn wektorowy w definicji si ly Lorentza.

trakcie ruchu ,,wartosc” pre◆dkosci be◆dzie sta la (oczywiscie, o ile na ladunek nie dzia laja◆ zadneinne si ly), a zmieniac sie◆ be◆dzie kierunek wektora pre◆dkosci. Przecwiczmy ustalanie kierunkow izwrotow wektorow wyste◆puja◆cych w rownaniu (1.37), patrz rysunek 12 (zak ladamy, ze q > 0, jesli ladunek jest ujemny, zwrot si ly jest przeciwny do tego, ktory wynika z regu ly sruby prawoskre◆tnej).

Iloczyn wektorowy cze◆sto pojawia sie◆ w opisie ruchu obrotowego. W ruchu poste◆powymuzywamy wektora pe◆du ~p czy wektora si ly ~F , natomiast w ruchu obrotowym mowimy o momenciepe◆du ~L:

~L = ~r ⇥ ~p (1.38)

oraz momencie si ly~M = ~r ⇥ ~F (1.39)

(~r to wektor od osi obrotu do punktu, gdzie znajduje sie◆ cia lo o pe◆dzie ~p, lub na ktore dzia la si la~F ). Istotne tez sa◆ zwia◆zki pomie◆dzy pre◆dkoscia◆ i pre◆dkoscia◆ ka◆towa◆ ~!:

~! =~r ⇥ ~v

r2, ~v = ~! ⇥ ~r, (1.40)

patrz rysunek 13.

Rysunek 13: Pre◆dkosc i pre◆dkosc ka◆towa.



2 Pochodna funkcji jednej zmiennej

2.1 Pochodna pierwszego rze◆du

Niech funkcja y = f(x) be◆dzie okreslona na pewnym otoczeniu U punktu x0 (to znaczy dlax 2 (x0 � ⇢, x0 + ⇢), ⇢ > 0). Oznaczmy jako �x przyrost zmiennej niezaleznej x, dodatnilub ujemny, ale rozny od zera i taki, ze x0 + �x 2 U . Przyrostowi �x odpowiada przyrost�y = f(x0 + �x)� f(x0) zmiennej zaleznej y. Stosunek

�y

�x=

f(x0 + �x)� f(x0)

�x(2.1)

nazywamy ilorazem roznicowym. Jesli iloraz roznicowy ma granice◆ w lasciwa◆ (czyli jaka◆s ,,kon-kretna◆” liczbe◆, a nie ,,plus” lub ,,minus nieskonczonosc”) gdy �x ! 0, to granice◆ te◆ nazywamypochodna◆ funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy f 0(x0):

f 0(x0) = lim�x!0

f(x0 + �x)� f(x0)

�x. (2.2)

Jezeli dla funkcji f istnieje pochodna w kazdym punkcie pewnego przedzia lu, to jest ona funkcja◆.Oznaczamy ja◆ f

0(x) lub y0 albo df

dx

i nazywamy pochodna◆ funkcji f . O funkcji f mowimy w takimprzypadku, ze jest rozniczkowalna. Warto przypomniec, ze istnienie granicy oznacza, ze istnieja◆granice jednostronne i ze sa◆ sobie rowne. Dla przyk ladu rozwazmy funkcje◆

f(x) = |x| =⇢

x dla x � 0�x dla x < 0

. (2.3)

Jest to funkcja cia◆g la (jej wykres mozna narysowac bez odrywania o lowka od kartki), ale z punktu

Rysunek 14: Wykres funkcji f(x) = |x|.

widzenia pochodnej problematycznym punktem jest x0 = 0. Obliczaja◆c granice◆ prawostronna◆ilorazu roznicowego w x0 = 0, mamy

lim�x!0+

f(x0 + �x)� f(x0)

�x= lim

�x!0+

(0 + �x)� 0

�x= 1, (2.4)

natomiast w przypadku granicy lewostronnej mamy

lim�x!0�

f(x0 + �x)� f(x0)

�x= lim

�x!0�

�(0 + �x) + 0

�x= �1. (2.5)

Granice jednostronne ilorazu roznicowego istnieja◆ i sa◆ w lasciwe (nie sa◆ nieskonczone), ale poniewazsa◆ one rozne, to granica w punkcie x0 = 0 nie istnieje, funkcja f(x) = |x| nie ma zatem wtym punkcie pochodnej, mozna jedynie mowic o pochodnej prawostronnej f 0(x+

0 ) i pochodnejlewostronnej f 0(x�

0 ). Oczywiscie, dla pozosta lych punktow pochodna istnieje i wynosi f 0(x) = 1



dla x > 0 i f 0(x) = �1 dla x < 0. Jak widac, to ze w danym punkcie funkcja jest cia◆g la, nie oznacza,ze istnieje w tym punkcie pochodna funkcji. Podobnie moze byc dla innych funkcji w punktach, wktorych ich wykresy nie sa◆ g ladkie, a maja◆ ,,kanty”. Z drugiej strony, mozna udowodnic twierdzenie,mowia◆ce, ze jezeli funkcja ma pochodna◆ w punkcie x0, to jest w tym punkcie cia◆g la.

Zrozumienie sensu pochodnej u latwia jej interpretacja geometryczna (rysunek 15). Za lozmy,

Rysunek 15: Interpretacja geometryczna pochodnej i ilorazu roznicowego.

ze x0 i �x sa◆ ustalone. Na wykresie funkcji y = f(x) mozemy wyroznic punkt (x0, f(x0)) oraz(x0 + �x, f(x0 + �x)), a prosta przez nie przeprowadzona (sieczna) nachylona jest do osi x podka◆tem ↵, takim ze

tg ↵ =�y

�x=

f(x0 + �x)� f(x0)

�x. (2.6)

Jezeli �x zmierza do zera, sieczna przechodzi w styczna◆, nachylona◆ do osi x pod ka◆tem �:

tg � = lim�x!0

f(x0 + �x)� f(x0)

�x, (2.7)

a zatemtg � = f 0(x0). (2.8)

Wartosc tg �, czyli wartosc pochodnej funkcji w danym punkcie, jest rowna wspo lczynnikowikierunkowemu stycznej. Latwo zatem zrozumiec, ze w przedzia lach w ktorych funkcja jest rosna◆ca,pochodna jest dodatnia, a tam, gdzie funkcja jest maleja◆ca, pochodna jest ujemna.

W fizyce sporo wielkosci fizycznych definiuje sie◆ poprzez pochodna◆. Na przyk lad, niech s = f(t)opisuje zaleznosc przebywanej drogi s od czasu t (ruch moze, ale nie musi, odbywac sie◆ po prostej,liczy sie◆ tylko przebywany dystans, a nie kierunek, tak jak na liczniku przebiegu w samochodzie).W przedziale czasu od t0 do t0 + �t cia lo przebywa droge◆ �s = f(t0 + �t) � f(t0). Przyrost

Rysunek 16: Przyk lad zaleznosci przebywanej drogi s od czasu t.

drogi do przyrostu czasu w ruchu mie◆dzy chwila◆ t0 a t0 + �t, czyli stosunek �s/�t ma sens



pre◆dkosci sredniej w badanym przedziale czasu. Natomiast pochodna f 0(t0) to pre◆dkosc chwilowaw chwili t0, ktora◆ mozemy oznaczyc jako v(t0). Analogicznie, jesli v(t) jest pre◆dkoscia◆, to stosunek[v(t+ �t)� v(t)]/�t = �v/�t jest srednim przyspieszeniem w przedziale czasu �t, a a(t) = v0(t)to przyspieszenie chwilowe w chwili t. Podobnie, jesli Q(t) opisuje ilosc ladunkow, jaka przep lyne◆ laprzez przekroj przewodnika w przedziale czasowym [0, t], to [Q(t+ �t)�Q(t)]/�t = �Q/�t jestsrednim nate◆zeniem pra◆du, a I(t) = Q0(t) to chwilowe nate◆zenie pra◆du.

Po lozenie cia la poruszaja◆cego sie◆ po okre◆gu mozna opisac podaja◆c odpowiedni ka◆t. Wyobrazmysobie obracaja◆ca◆ sie◆ tarcze◆, wybierzmy na jej brzegu punkt. Odcinek la◆cza◆cy srodek okre◆gu z tympunktem w chwili t0 tworzy z osia◆ x ka◆t ↵0, jak na rysunku 17 (patrz tez rysunek 13). Po czasie�t ka◆t ulega zmianie o �↵, a szybkosc tej zmiany wyraza pre◆dkosc ka◆towa !:

! = lim�t!0

�↵

�t. (2.9)

Wzor (2.9) dotyczy wartosci pre◆dkosci ka◆towej, nalezy pamie◆tac, ze jest to wielkosc wektorowa.

Rysunek 17: Model obracaja◆cej sie◆ tarczy.

Generalnie zatem pierwsza pochodna odzwierciedla dynamike◆, szybkosc zmiany jakiejs wielkosciw zaleznosci od czasu, po lozenia, czy innej wielkosci.

2.2 Pochodna funkcji wektorowej

Dotychczas omawialismy pierwsza◆ pochodna◆ wielkosci skalarnych, teraz przejdziemy do wek-torow. Wektor zmienny ~a nazywamy funkcja◆ wektorowa◆ zmiennej skalarnej t, jezeli kazdejwartosci t odpowiada okreslony wektor ~a(t). Mozna zapisac

~a = ~f(t), (2.10)

a w trojwymiarowym uk ladzie wspo lrze◆dnych kartezjanskich mamy

~a = ax

~i+ ay

~j + az

~k, (2.11)

przy czym kazda ze wspo lrze◆dnych ax

, ay

i az

jest funkcja◆ t.Dobrym przyk ladem funkcji wektorowej jest wektor ~r(t) opisuja◆cy zalezne od czasu po lozenie

poruszaja◆cego sie◆ punktu wgle◆dem punktu 0. Krzywa zakreslana przez koniec wektora ~r(t) (lubinnego wektora zaleza◆cego od czasu) nazywa sie◆ hodografem, rysunek 18. Wektor po lozenia

przedstawiamy jako ~r = x~i + y~j + z~k, (albo inaczej ~r = [x, y, z]), a wyznaczana◆ przez ten wektorkrzywa◆ (czyli tor ruchu) opisac mozna rownaniami

x = x(t), y = y(t), z = z(t). (2.12)

Pochodna◆ funkcji wektorowej (2.10) jest funkcja wektorowa zdefiniowana naste◆puja◆co:

d~a

dt= lim

�t!0

~f(t+ �t)� ~f(t)

�t. (2.13)



Rysunek 18: Hodograf wektora po lozenia ~r, wektory ~r1(t), ~r2(t) i ~r3(t) ilustruja◆ wektor po lozeniaw trzech roznych chwilach t1, t2 i t3.

Rysunek 19: Wektor pre◆dkosci ~v jako pochodna wektora po lozenia ~r.

Jesli zatem wektor wodza◆cy ~r okresla ruch (po lozenie danego punktu) w roznych chwilach t, towektor ~v zdefiniowany jako pochodna

~v =d~r

dt= lim

�t!0

�~r

�t(2.14)

jest wektorem pre◆dkosci w tym ruchu. We wzorze (2.14) wektor �~r odpowiada roznicy ~r(t+�t)�~r(t), czyli wyraza zmiane◆ po lozenia w przedziale czasu [t, t+ �t], patrz rysunek 19.

W ruchu prostoliniowym oczywiste jest, ze kierunek wektora pre◆dkosci jest sta ly i pokrywasie◆ z torem ruchu. Analiza ruchu po okre◆gu prowadzi do wniosku, ze pre◆dkosc jest styczna dohodografu. Zauwazmy (rysunek 20), ze im �t jest mniejsze, tym wektor �~r lezy ,,blizej” luku

Rysunek 20: Zmiana po lozenia w ruchu prostoliniowym i po okre◆gu.

wyznaczonego przez konce wektorow ~r i ~r + �~r. Jesli �t jest ,,bardzo ma le”, �~r praktycznie



pokrywa sie◆ lukiem. Wektor pre◆dkosci zdefiniowany wzorem (2.14) jest wie◆c styczny do hodografui dotyczy to kazdego hodografu, a nie tylko w przypadku ruchu prostoliniowego czy po okre◆gu. Wkontekscie ruchu po okre◆gu warto podkreslic, ze wektor pre◆dkosci danego punktu jest prostopad lydo promienia wodza◆cego ~r wskazuja◆cego ten punkt, a zatem

~r · d~rdt

= 0. (2.15)

Naturalnie, kolejnym przyk ladem wielkosci wektorowej zdefiniowanej jako pochodna jest przyspiesze-nie ~a. Na rysunku 21 widzimy tor ruchu w wektory pre◆dkosci (oczywiscie styczne do toru) w dwoch

Rysunek 21: Zmiana wektora pre◆dkosci w trakcie ruchu.

roznych chwilach. Zmiana pre◆dkosci cia la jest wynikiem dzia lania zewne◆trznej si ly, a zgodnie zdruga◆ zasada◆ dynamiki Newtona z si la◆ powia◆zane jest przyspieszenie, okreslaja◆ce szybkosc zmianpre◆dkosci:

~a =d~v

dt= lim

�t!0

�~v

�t. (2.16)

Jezeli mamy funkcje◆ wektorowa◆ ~r(t) = [x(t), y(t), z(t)], to jej pochodna◆ obliczamy, licza◆cpochodne jej sk ladowych

d~r(t)

dt=

dx(t)

dt,dy(t)

dt,dz(t)

dt

�. (2.17)

Przyk ladRozpatrzmy rzut poziomy z wysokosci H z pre◆dkoscia◆ v0. Wektory po lozenia cia la wykonuja◆cego

Rysunek 22: Rzut poziomy.

ten ruch ma postac~r(t) = [v0t,H � gt2/2],

a zatem wektory pre◆dkosci i przyspieszenia sa◆ naste◆puja◆ce

~v(t) =d~r(t)

dt= [v0,�gt], ~a(t) =

d~v(t)

dt= [0,�g].



2.3 Pochodna rze◆du n � 2

Pochodna◆ rze◆du n � 2 (w skrocie: n-ta◆ pochodna◆) funkcji f(x) nazywamy pochodna◆ pochod-nej rze◆du n� 1:

dnf(x)

dxn

=d

dx

dn�1f(x)

dxn�1. (2.18)

Jesli wie◆c mamy funkcje◆ f(x) = x4, to jej kolejne pochodne maja◆ postacie f 0(x) = 4x3, f 00(x) =12x2, f (3)(x) = 24x, f (4)(x) = 24 i f (n)(x) = 0 dla n � 5 (zwroccie uwage◆ na zapis rze◆dupochodnej).

Jezeli cia lo wykonuje ruch prostoliniowy, a s(t) opisuje zaleznosc przebytej drogi od czasu, toprzyspieszenie a(t), ktore jest zdefiniowane jako pierwsza pochodna pre◆dkosci v(t), mozna przed-stawic bezposrednio jako druga◆ pochodna◆ drogi:

a(t) =d2s(t)

dt2. (2.19)

Bardzo waznym twierdzeniem, w ktorym wykorzystuje sie◆ pochodne wyzszych rze◆dow, jesttwierdzenie Taylora. Mowi ono, ze jesli funkcja f(x) jest n-krotnie rozniczkowalna na pewnymotoczeniu punktu x0 (czyli w pewnym przedziale (x0 � �, x0 + �)), to dla kazdego x naleza◆cego dotego otoczenia istnieje taki punkt c, po lozony mie◆dzy x0 i x, ze

f(x) = f(x0) + f 0(x0)(x� x0) +f 00(x0)

2!(x� x0)

2 + . . .+f (n�1)(x0)

(n� 1)!(x� x0)

n�1 +Rn

, (2.20)

gdzie

Rn

=f (n)(c)

n!(x� x0)

n (2.21)

to tzw. reszta w postaci Lagrange’a. Wzor Taylora (2.20) mozna zastosowac do przyblizonegoobliczania wartosci funkcji.

Przyk ladRozwazmy funkcje◆ f(x) =

px. Jej kolejne pochodne to: f 0(x) = 1

2x�1/2, f 00(x) = � 1

4x�3/2,

f (3)(x) = 38x

�5/2 itd. Za lozmy, ze interesuje nas wartosc f(4.1) czylip4.1. Poniewaz

p4 = 2, jako

x0 wezmiemy 4. Wybieraja◆c n = 1, mamy

p4.1 =

p4 +

1

2pc0.1 = 2 +

1

2pc0.1. (2.22)

Poniewaz c jest pomie◆dzy 4 i 4.1, wartoscpc to oko lo 2, czyli ca ly czynnik 1

2pc

0.1 wynosi kilka

setnych. Zwie◆kszaja◆c dok ladnosc i biora◆c n = 2, dostajemy

p4.1 =

p4 +

1

2p40.1� 1

8cpc0.12 = 2.025� 1

8cpc0.12 (2.23)

i w tym przypadku reszta jest mniejsza od 0.001. Ida◆c dalej i uwzgle◆dniaja◆c n = 3, uzyskujemy

p4.1 =

p4 +

1

2p40.1� 1

8 · 4p40.12 +

1

16c2pc0.13 = 2.02484375 +

1

16c2pc0.13, (2.24)

a reszta jest juz mniejsza od 0.00001. Mozna wie◆c przyja◆c, ze z dok ladnoscia◆ do 4–5 miejsc poprzecinku

p4.1 ' 2.02484. Tymczasem wynik uzyskany przy pomocy kalkulatora z dok ladnoscia◆

do 9 miejsc po przecinku jest naste◆puja◆cyp4.1 ' 2.024845673.

2.4 Ekstrema funkcji

Funkcja f okreslona na pewnym otoczeniu punktu x0 ma w tym punkcie maksimum (albo,odpowiednio, minimum) lokalne, jesli istnieje taka liczba � > 0, ze f(x0) > f(x) (odpowiednio,



Rysunek 23: Wykres funkcji posiadaja◆cej maksima i minima lokalne.

f(x0) < f(x)) dla kazdego x spe lniaja◆cego warunek 0 < |x� x0| < �. Krotko mowia◆c, jesli mamyjakis przedzia l o srodku w punkcie x0 i dla wszystkich x z tego przedzia lu (ale roznych od x0)wartosc funkcji jest mniejsza (wie◆ksza) od wartosci w x0 to w x0 funkcja ma maksimum (minimum)lokalne, czyli ogolnie ekstremum lokalne (rysunek 22). Warto podkreslic, ze ekstremum jestpoje◆ciem lokalnym. To, ze funkcja ma w jakims punkcie minimum nie oznacza, ze w innychprzedzia lach nie moze przyja◆c jeszcze mniejszych wartosci. Co wie◆cej, niektore minima moga◆ bycwie◆ksze od niektorych maksimow (widac to na rysunku 22).

Warunkiem koniecznym na to, aby funkcja okreslona na pewnym otoczeniu punktu x0 mia law tym punkcie ekstremum, jest by f 0(x0) = 0 lub by pochodna f 0(x0) nie istnia la (uwaga: nieznaczy to, ze zerowanie pochodnej oznacza istnienie ekstremum – np. funkcja f(x) = x3 mapochodna◆ f

0(x) = 3x2, ktora zeruje sie◆ w x0 = 0, ale funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum!).Funkcja zatem nie musi byc w danym punkcie rozniczkowalna, aby mog la miec w nim ekstremum(rysunek 23). W punktach a i d wykres funkcji ma ,,kanty”, pochodna tam nie istnieje, ale funkcja

Rysunek 24: Zwia◆zek mie◆dzy ekstremum a istnieniem pochodnej.

ma ekstrema (maksimum w a i minimum w d). W punktach b (minimum lokalne funkcji) i c(maksimum lokalne funkcji) pochodna istnieje i wynosi 0, zatem styczna do wykresu w obu tychpunktach jest rownoleg la do osi x. Rysunek 23 jest tez dobra◆ ilustracja◆ do twierdzenia, ktore wia◆zerodzaj ekstremum z zachowaniem pierwszej pochodnej.

TwierdzenieJezeli funkcja f jest cia◆g la w punkcie x0 i ma pochodna◆ w pewnym jego otoczeniu, to

1. jesli f 0(x) > 0 dla x < x0 i f 0(x) < 0 dla x > x0, to funkcja ma w punkcie x0 maksimumlokalne,

2. jesli f 0(x) < 0 dla x < x0 i f 0(x) > 0 dla x > x0, to funkcja ma w punkcie x0 minimumlokalne,

natomiast w samym punkcie x0 pochodna moze nie istniec, ale jesli istnieje, to jest rowna zeru.



Ekstremum jest wie◆c powia◆zane ze zmiana◆ monotonicznosci funkcji. Kolejne twierdzenie la◆czyrodzaj ekstremum z zachowaniem drugiej pochodnej.

TwierdzenieJesli f 0(x0) = 0 i f 00(x0) 6= 0, to w punkcie x0 funkcja ma maksimum przy f 00(x0) < 0 natomiastminimum przy f 00(x0) > 0.

Rozwazymy teraz przyk lad, w ktorym wykorzystamy powyzsze twierdzenia.

Rysunek 25: Wykresy funkcji: (a) - X(t) = 5� cos t� sin t; (b) - X 0(t) = sin t� cos t.

Przyk ladDwa cia la wykonuja◆ ruch drgaja◆cy wzd luz osi x. Po lozenie pierwszego cia la opisuje funkcja x1(t) =sin t, a po lozenie drugiego x2(t) = 5 � cos t (oczywiscie, po lozenia sa◆ podawane w jednostkachd lugosci a t w jednostkach czasu). Ustalmy, dla jakich t cia la sa◆ najblizej albo najdalej siebie.Zdefiniujmy sobie odleg losc pomie◆dzy cia lami jako funkcje◆ X(t) = x2(t)� x1(t) = 5� cos t� sin t.

Sprawdzmy zachowanie pierwszej pochodnej: X 0(t) = sin t�cos t. Miejscami zerowymi pochod-nej sa◆ takie t, dla ktorych tg t = 1, a zatem sa◆ to punkty t

k

=�k + 1

4

�⇡, gdzie k jest ca lkowite.

Na rysunku 24 widac, ze X 0 w swoich miejscach zerowych zmienia znak, co jest zreszta◆ oczywiste,i ze w tych samych punktach zmienia sie◆ monotonicznosc funkcji X. Na podstawie zachowaniaobu funkcji latwo mozna wywnioskowac, ze cia la be◆da◆ najblizej siebie w chwilach t

m

=�2m+ 1

4

�⇡

a najdalej od siebie w chwilach tn

=�2n+ 5

4

�⇡ (m i n sa◆ ca lkowite). To samo wynika z analizy

drugiej pochodnej: X 00(t) = cos t+ sin t. Dla punktow tm

(na przyk lad t = ⇡/4) druga pochodnajest dodatnia, wie◆c X ma w nich minimum. Analogicznie, dla punktow t

n

(na przyk lad t = 5⇡/4)druga pochodna jest ujemna, wie◆c X ma w nich maksimum.

W podanym przyk ladzie funkcja by la na tyle prosta, ze aby wydobyc informacje o jej ek-stremach, mozna by lo sie◆ obejsc bez badania pochodnej. W ogolniejszych przypadkach, analizapochodnej jest jednak bardzo przydatna (np. przy badania przebiegu zmiennosci bardziej skomp-likowanych funkcji).



3 Pochodna funkcji wielu zmiennych

3.1 Pochodna cza◆stkowa

Rozwazmy funkcje◆ f(x, y). Pochodna◆ cza◆stkowa◆ funkcji f wzgle◆dem zmiennej x oznaczamyi definiujemy naste◆puja◆ca◆ granica◆ (o ile ona istnieje)

fx

=@f

@x= lim

�x!0

f(x+ �x, y)� f(x, y)

�x. (3.1)

Analogicznie wprowadzamy definicje◆ pochodnej cza◆stkowej wzgle◆dem zmiennej y:

fy

=@f

@y= lim

�y!0

f(x, y + �y)� f(x, y)

�y. (3.2)

Pochodna◆ cza◆stkowa◆ obliczamy zatem, rozniczkuja◆c funkcje◆ wzgle◆dem jednej zmiennej i traktuja◆cpozosta le zmienne jak sta le. Pochodna cza◆stkowa informuje o szybkosci zmian funkcji wzgle◆demdanej zmiennej w sytuacji, gdy wartosci innych argumentow funkcji nie zmieniaja◆ sie◆.

Przyk ladPrzyjrzyjmy sie◆ uzywanemu w termodynamice rownaniu van der Waalsa. Rownanie to wia◆ze zesoba◆ cisnienie p, obje◆tosc V i temperature◆ (bezwzgle◆dna◆) T , w przypadku uk ladu zawieraja◆cego 1mol gazu ma ono postac

p =RT

V � b� a

V 2, (3.3)

przy czym R to uniwersalna sta la gazowa, a a i b to sta le charakteryzuja◆ce dany gaz. Cisnieniejest zatem funkcja◆ temperatury gazu i zajmowanej przez niego obje◆tosci. Pochodna cza◆stkowa@p/@T mowi o tym, jak szybko zmienia loby sie◆ cisnienie, gdybysmy przy sta lej obje◆tosci zmienialitemperature◆ gazu

@p

@T=

R

V � b,

@p

@V= � RT

(V � b)2+

2a

V 3. (3.4)

Z kolei, pochodna @p/@V opisuje szybkosc zmiany cisnienia przy zmianie obje◆tosci ale przy sta lejtemperaturze.

W ogolnym przypadku pochodne cza◆stkowe fx i fy

zdefiniowane wzorami (3.1) i (3.2) sa◆ funkc-jami zmiennych x i y. Mozemy je wie◆c rozniczkowac, otrzymuja◆c pochodne f

xx

, fxy

, fyx

i fyy

:

fxx

=@

@x

✓@f

@x

◆=@2f

@x2, f

xy

=@

@y

✓@f

@x

◆=

@2f

@y@x, (3.5)

fyx

=@

@x

✓@f

@y

◆=

@2f

@x@y, f

yy

=@

@y

✓@f

@y

◆=@2f

@y2. (3.6)

Pochodne, w ktorych wyste◆puje rozniczkowanie wzgle◆dem dwoch (lub wie◆cej) roznych zmiennych,nazywamy pochodnymi mieszanymi. Zapis f

xy

oznacza, ze najpierw obliczamy pochodna◆funkcji f wzgle◆dem x a potem wynik rozniczkujemy wzgle◆dem y. W przypadku pochodnej f

yx

kolejnosc rozniczkowania jest odwrotna. W kontekscie pochodnych mieszanych warto wspomnieco twierdzeniu Schwarza (zwanym rowniez twierdzeniem Clairaut’a):Jesli pochodne f

xy

i fyx

istnieja◆ i sa◆ cia◆g le, to sa◆ sobie rowne.

Oczywiscie, twierdzenie Schwarza mozna sformu lowac bardziej ogolnie, dla funkcji wie◆kszej iloscizmiennych i z uwzgle◆dnieniem pochodnych wyzszych rze◆dow. W najcze◆sciej rozwazanych przyk- ladach odpowiednie pochodne mieszane sa◆ cia◆g le, a wie◆c i rowne.

Omowimy teraz tzw. regu le◆ lancuchowa◆ dla pochodnych cza◆stkowych. Za lozmy, ze mamyfunkcje◆ u = f(x, y), przy czym x i y sa◆ funkcjami jednej zmiennej t. Funkcja z lozona U(t) =f(x(t), y(t)) jest funkcja◆ jednej zmiennej, a jej pochodna◆ obliczamy wed lug wzoru

dU

dt=@u

@x

dx

dt+@u

@t

dy

dt, (3.7)



o ile @u/@x i @u/@y sa◆ cia◆g le a x(t) i y(t) sa◆ rozniczkowalne. Sumujemy zatem sk ladniki mowia◆ceo tym, jak u zalezy od swoich poszczegolnych argumentow i jak te argumenty zaleza◆ od t.

Przyk ladRozwazmy cia lo poruszaja◆ce sie◆ w taki sposob, ze opisuja◆ce po lozenie tego cia la wspo lrze◆dne x i yzaleza◆ od czasu naste◆puja◆co: x(t) = x0 sin(!t), y(t) = vt. A zatem ,,w poziomie” cia lo wykonujeruch drgaja◆cy woko l x0, a ,,w pionie” mamy ruch ze sta la◆ pre◆dkoscia◆ v. Odleg losc tego cia la odpocza◆tku uk ladu wspo lrze◆dnych wynosi r =

px2 + y2 i jest ona funkcja◆ t. Aby sprawdzic, jaka jest

szybkosc oddalania sie◆ cia la od pocza◆tku uk ladu wspo lrze◆dnych, obliczamy pochodna◆ r wzgle◆demt i korzystamy w tym celu z regu ly lancuchowej:

dr

dt=@r

@x

dx

dt+@r

@t

dy

dt=!x2

0 sin(!t) cos(!t) + v2tqx20 sin

2(!t) + v2t2. (3.8)

Zwrocmy uwage◆, ze obliczona szybkosc ma niewiele wspolnego z pre◆dkoscia◆ (chwilowa◆) ~v. Zgodniez tym, co juz wiemy o wektorach i o pochodnych, ~v(t) = [x0(t), y0(t)], a zatem wartosc pre◆dkosciwynosi

v(t) =px02(t) + y02(t) =

q!2x2

0 cos(!t) + v2. (3.9)

Podobnie, w ruchu po okre◆gu, cia lo porusza sie◆ z pre◆dkoscia◆, ktorej kierunek cia◆gle sie◆ zmienia,ale szybkosc oddalania sie◆ od srodka okre◆gu wynosi zero, bo odleg losc cia la od srodka okre◆gu jeststa la i odpowiada promieniowi.

3.2 Pochodna kierunkowa, gradient

Wiemy juz, ze pochodna cza◆stkowa funkcji f(x, y) pokazuje, jaka jest szybkosc zmiany wartoscifunkcji f w kierunku x lub y. W ogolnym przypadku moze nas interesowac szybkosc zmian jakiejswielkosci fizycznej w konkretnym kierunku, a nie tylko wzd luz osi x czy y.

Rozwazamy wielkosci be◆da◆ce polami skalarnymi, czyli funkcjami, ktore kazdemu punktowiprzestrzeni przyporza◆dkowuja◆ skalar, jak np. temperatura, potencja l elektrostatyczny, energia po-tencjalna itp. (analogicznie, funkcje◆, ktora kazdemu punktowi przestrzeni przyporza◆dkowuje wek-tor, nazwiemy polem wektorowym). W przestrzeni (niech be◆dzie to przestrzen trojwymiarowa,zatem po lozenie danegu punktu okreslamy podaja◆c wartosci 3 wspo lrze◆dnych), w ktorej zdefinio-wane jest pole skalarne ' wybierzmy dwa punkty: P i P 0, odleg le od siebie o d lugosc |PP 0|.Wielkosc

�' = '(P 0)� '(P ) (3.10)

wyraza zmiane◆ pola skalarnego ' przy przejsciu z punktu P do P 0, natomiast iloraz (roznicowy)

�'

|PP 0| ='(P 0)� '(P )

|PP 0| (3.11)

opisuje srednia◆ pre◆dkosc zmiany pola skalarnego pomie◆dzy punktami P i P 0. Pochodna◆ kierun-kowa◆ pola ' w punkcie P i w kierunku zgodnym z zaczepiona◆ w tym punkcie po losia◆ s (rysunek25) nazywamy granice◆ ilorazu roznicowego (3.11), gdy P 0 da◆zy do P po po losi s:

@'

@s

��P

= limP

0!P

�'

|PP 0| . (3.12)

Wzor (3.12) mozemy przespisac w postaci

@'

@s

��P

= ~r' · ~u, (3.13)

gdzie ~u to wektor jednostkowy zaczepiony w punkcie P i skierowany zgodnie z osia◆ s, a ~r' towektor, ktory nazwiemy gradientem funkcji ', zdefiniowany naste◆puja◆co:

~r' =

@'

@x,@'

@y,@'

@z

�(3.14)



Rysunek 26: Rysunek do definicji pochodnej kierunkowej.

i ktory obliczamy w punkcie P (warto zapamie◆tac, ze symbol r nazywa sie◆ ,,nabla”). Sam gradientpola skalarnego wyznacza kierunek, w ktorym pole zmienia sie◆ najszybciej oraz wielkosc pochodnejkierunkowej w tym kierunku. Ogolnie, wartosc pochodnej kierunkowej w danym kierunku jest wie◆ciloczynem skalarnym gradientu i wektora jednostkowego w danym kierunku.

Przyk ladDla przyk ladu, znajdzmy pochodna◆ kierunkowa◆ funkcji �(x, y, z) = x3+2xy2+yz2 w punkcie P1 =(1, 2, 1) w kierunku punktu P2 = �1, 0, 1. Zacznijmy od wyznaczenia poszczegolnych pochodnychcza◆stkowych: �x = 3x2+2y2, �

y

= 4xy+z2, �z

= 2yz. Obliczmy gradient funkcji � w punkcie P1:wykorzystujemy wzor (3.14), obliczone pochodne cza◆stkowe i wspo lrze◆dne punktu P1, otrzymuja◆c

~r��P1=(1,2,1)

= [11, 9, 4].

Aby moc skorzystac ze wzoru (3.13), musimy wyznaczyc wektor jednostkowy ~u, skierowany wzd luzpo losi s zaczynaja◆cej sie◆ w P1 i przechodza◆cej przez P2. Najpierw obliczmy wektor ~U , o pocza◆tku wP1 i koncu P2: U = [�2,�2, 0]. Wektor ~u oczywiscie ma taki sam kierunek i zwrot jak ~U , a zatem,aby go wyznaczyc, wystarczy wektor ~U podzielic przez jego d lugosc (czyli go ,,unormowac”):

~u =~U

|~U |=

[�2,�2, 0]

2p2

=

"�p2

2,�

p2

2, 0

#.

Wstawiaja◆c znalezione wspo lrze◆dne wektora ~u do (3.13), mamy

d�

ds= [11, 9, 4] ·

"�p2

2,�

p2

2, 0

#= �10

p2.

Przyk lad

Jako kolejny przyk lad rozwazmy cos bardziej fizycznego. Wyobrazmy sobie mape◆ fizyczna◆ z izo-batami – liniami la◆cza◆cymi punkty o tej samej g le◆bokosci dna. Za lozmy, ze mamy mape◆ pewnegoakwenu i ze okreslaja◆c po lozenie danego punktu na mapie podajemy wspo lrze◆dne x i y. Niechg le◆bokosc h w akwenie be◆dzie naste◆puja◆ca◆ funkcja◆ po lozenia: h = 100 � x2 � y2. Powiedzmy,ze jestesmy w punkcie (1, 1) i interesuje nas, w ktora◆ strone◆ powinnismy sie◆ przesuwac, abyg le◆bokosc ros la najszybciej. Chcemy zatem poznac kierunek najszybszej zmiany wartosci funkcjih, czyli jej gradient. Mamy wie◆c ogolnie ~rh = [�2x,�2y], a w naszym konkretnym punkcie~rh|(1,1) = [�2,�2]. A teraz za lozmy, ze intersuje nas, jaka jest szybkosc wzrostu g le◆bokosci wpunkcie (1,1) w kierunku punktu (1,0). Wektor la◆cza◆cy punkt pierwszy z punktem drugim mawspo lrze◆dne ~u = [0,�1], czyli jest to wektor jednostkowy. Wykorzystuja◆c (3.13), mamy

dh

ds= [�2,�2] · [0,�1] = 2,

a zatem w punkcie (1, 1) w kierunku punktu (1, 0) na jednostke◆ drogi przypada przyrost gle◆bokoscio 2 jednostki. Oczywiscie, obok tego punktu dynamika zmiany be◆dzie juz inna. Teraz wyznaczmy



jeszcze, w jakim kierunku od punktu (1, 1) pochodna kierunkowa jest rowna zeru. Niech wektorjednostkowy ~v = [v

x

, vy

] okresla ten szukany kierunek. Zerowanie pochodnej kierunkowej oznacza,ze

~rh|(1,1) · ~v = [�2,�2] · [vx

, vy

] = 0.

Mamy wie◆c 2vx+2vy

= 0, czyli vy

= �vx

. Jesli ~v ma byc wektorem jednostkowym, toq

v2x

+ v2y

=p

2v2x

= 1. Uzyskujemy dwie mozliwosci: ~v1 = [�p2/2,

p2/2], ~v2 = [

p2/2,�

p2/2]. Kierunek

obu wektorow okresla styczna◆ do izobaty w punkcie (1, 1).

W fizyce niektore wielkosci wektorowe sa◆ zdefiniowane jako gradienty odpowiednich pol skalar-nych. Mamy na przyk lad

~E = �~r' (3.15)

gdzie ~E to nate◆zenie pola elektrycznego a ' to potencja l elektryczny. Inny przyk lad to zaleznosc

~q = ��~rT (3.16)

przy czym ~q jest ge◆stoscia◆ strumienia ciep la, � to charakteryzuja◆cy dany materia l wspo lczynnikprzewodzenia ciep la, a T jest temperatura◆.

Ogolnie, jesli istnieje zwia◆zek~A = ~r�, (3.17)

to mowimy, ze � jest potencja lym skalarnym pola wektorowego ~A.Warto tu tez zaznaczyc, ze w literaturze gradient oznacza sie◆ cze◆sto skrotem ,,grad” (np. pisze

sie◆ grad ' zamiast ~r').

3.3 Dywergencja

Na koncu poprzedniego podrozdzia lu pojawi la sie◆ wielkosc wektorowa ~q, ktora◆ nazwalismyge◆stoscia◆ strumienia ciep la. Wektor ge◆stosci strumienia ,,czegos” opisuje, ile ,,tego czegos” przep- lywa w jednostce czasu przez jednostkowa◆ powierzchnie◆ prostopad la◆ w danym punkcie do tego wek-tora. Niech teraz wektor ~q(x, y, z) be◆dzie ge◆stoscia◆ strumienia energii. Jesli mamy jaka◆s niewielka◆

Rysunek 27: Wielkosc wektorowa ~q, niewielka powierzchnia dS i wektor normalny do tejpowierzchni ~n.

powierzchnie◆ dS, przy czym wektor normalny do tej powierzchni to ~n (wektor normalny, czyli jed-nostkowy wektor prostopad ly do tej powierzchni i skierowany na zewna◆trz, patrz rysunek 26), towielkosc ~q ·~ndS mowi, ile energii w jednostce czasu przep lywa przez te◆ konkretna◆ powierzchnie◆ dS.Jezeli wektor ~q jest rownoleg ly do dS (a zatem ~q jest prostopad ly do ~n), to przez dS nie przep lywanic. Wielkosc ~q jest polem wektorowym i kazda jej sk ladowa moze byc inna◆ funkcja◆ po lozenia

~q(x, y, z) = [qx

(x, y, z), qy

(x, y, z), qz

(x, y, z)]. (3.18)

Za lozmy, ze mamy punkt (x, y, z) i jest on wierzcho lkiem prostopad loscianu o krawe◆dziach�x, �y i �z (rysunek 27). Prostopad loscian ma 6 scianek, wektory jednostkowe normalne do



Rysunek 28: Prostopad loscian z krawe◆dziami o d lugosciach �x, �y i �z.

poszczegolnych scianek to, odpowiednio, dla scianki przedniej i tylnej: [1, 0, 0] i [�1, 0, 0], dlascianki prawej i lewej: [0, 1, 0] i [0,�1, 0], a dla scianki gornej i dolnej [0, 0, 1] i [0, 0,�1]. Napodstawie (3.18) mozemy przyja◆c, ze wartosc energii wyp lywaja◆cej w jednostce czasu przez tylna◆scianke◆ prostopad loscianu to

Etyl

= [qx

(x, y, z), qy

(x, y, z), qz

(x, y, z)] · [�1, 0, 0]�y�z = �qx

(x, y, z)�y�z, (3.19)

natomiast z przedniej sciany wyp lywa

Eprz

= [qx

(x+ �z, y, z), qy

(x+ �x, y, z), qz

(x+ �x, y, z)] · [1, 0, 0]�y�z = qx

(x+ �x, y, z)�y�z.(3.20)

Przypominaja◆c sobie twierdzenie Taylora (2.20), mozemy zapisac (o ile �x jest ma le)

f(x+ �x) ' f(x) + f 0(x)�x, (3.21)

a w naszym przypadku

qx

(x+ �x, y, z) ' qx

(x, y, z) +@q

x

(x, y, z)

@x�x. (3.22)

Dostajemy wie◆c (w przyblizeniu)

Eprz

=

✓qx

(x, y, z) +@q

x

(x, y, z)

@x�x

◆�y�z, (3.23)

a suma energii wyp lywaja◆cej przez scianki tylna◆ i przednia◆ wynosi

Etyl

+ Eprz

=@q

x

(x, y, z)

@x�V, (3.24)

przy czym�V = �x�y�z. (3.25)

to obje◆tosc prostopad loscianu. Analogiczna analiza dla scianek lewej i prawej daje wynik

Elew

+ Epra

=@q

y

(x, y, z)

@y�V, (3.26)

a dla dolnej i gornej

Edol

+ Egor

=@q

z

(x, y, z)

@z�V. (3.27)

Suma energii wyp lywaja◆cej w jednostce czasu przez wszystkie scianki wynosi

Ecalk

=

✓@q

x

(x, y, z)

@x+@q

y

(x, y, z)

@y+@q

z

(x, y, z)

@z

◆�V. (3.28)



Zauwazmy, ze powyzsze wyrazenie mozna przepisac z uzyciem operatora nabla:

Ecalk

=

@

@x,@

@y,@

@z

�· [q

x

(x, y, z), qy

(x, y, z), qz

(x, y, z)]�V = ~r · ~q�V. (3.29)

Wniosek jest taki, ze wielkosc ~r·~q daje informacje◆, ile energii w jednostce czasu wyp lywa z obszaruo jednostkowej obje◆tosci (gdy rozmiary obszaru da◆za◆ do zera)

~r · ~q =@q

x

@x+@q

y

@y+@q

z

@z. (3.30)

Czynnik ~r · ~q to tzw. dywergencja pola wektorowego ~q, oznacza sie◆ ja◆ czasem jako div ~q.

Przyk ladZa lozmy, ze rozk lad temperatury w jakims obszarze opisuje funkcja

T (x, y, z) = T0 e�(x2+y

2+z

2), T0 > 0. (3.31)

Gdy w jakims uk ladzie temperatura jest rozna w roznych miejscach, ciep lo przep lywa z miejsc owyzszej temperaturze do miejsc ch lodniejszych. Ge◆stosc strumienia ciep la jest zdefiniowana jakogradient temperatury, opisuje ja◆ funkcja (3.16). Obliczmy dywergencje◆ ~q:

~r · ~q = ��~r · (~rT ) = ��@

@x,@

@y,@

@z

�·@T

@x,@T

@y,@T

@z

�. (3.32)

Mozemy to wyrazenie zapisac nieco inaczej:

~r · ~q = ��@

@x,@

@y,@

@z

�·@

@x,@

@y,@

@z

�T = ��T. (3.33)

Symbolem � oznaczylismy operator Laplace’a, inaczej laplasjan; jesli mamy pole skalarne �,to

�� =

✓@2

@x2+

@2

@y2+

@2

@z2

◆� = ~r · ~r� = (~r)2�. (3.34)

Interesuje nas interpretacja dywergencji w rownaniu (3.33). Potrzebne nam sa◆ pochodne cza◆stkowedrugiego rze◆du funkcji T (x, y, z), w przypadku pochodnej wzgle◆dem x otrzymujemy

@2

@x2T (x, y, z) =

@

@x

⇣�2T0xe

�(x2+y

2+z

2)⌘= T0

�4x2 � 2

�e�(x2+y

2+z

2). (3.35)

Uwzgle◆dniaja◆c powyzsza◆ i pozosta le pochodne w (3.33), mamy

~r · ~q = ��T0

�4x2 + 4y2 + 4z2 � 6

�e�(x2+y

2+z

2). (3.36)

Na podstawie dywergencji ge◆stosci strumienia ~q mozna wnioskowac o roz lozeniu zrode l ciep la. Wpunkcie (0, 0, 0) dywergencja jest dodatnia (przyjmujemy, ze � > 0), a zatem z niewielkiej obje◆toscizawieraja◆cej ten punkt ciep lo be◆dzie wyp lywac, be◆dzie dostarczane do uk ladu, a to znaczy, ze wobje◆tosci tej dzia la jakies zrod lo ciep la (egzoenergetyczne reakcje chemiczne, reakcje ja◆drowe, ciep lowydzielane w trakcie przep lywu pra◆du elektrycznego itp.). Z kolei w punkcie (1, 1, 1) wartosc ~r · ~qjest ujemna, wie◆c w niewielkim obszarze zawieraja◆cym ten punkt dzia la jakies ch lodzenie, ciep lo niewyp lywa z okolicy tego punktu, tylko przeciwnie – wp lywa do tej okolicy, jest zasysane, zabieranez uk ladu.

Jezeli w obszarze, w ktorym zdefiniowane jest pole wektorowe, dywergencja tego pola wsze◆dziewynosi zero, to pole takie nazywamy bezzrod lowym.



3.4 Rotacja

Wiemy juz, ze zapis~A = ~r� (3.37)

oznacza, ze funkcja � jest potencja lem skalarnym pola wektorowego ~A. Funkcja wektorowa mozetez miec tzw. potencja l wektorowy. Jesli zachodzi zwia◆zek

~A = ~r⇥ ~u, (3.38)

to funkcja ~u jest potencja lem wektorowym pola wektorowego ~A. Po prawej stronie rownania (3.38)mamy operacje◆, ktora◆ traktujemy jak iloczyn wektorowy operatora nabla i wektora ~u i ktora◆nazywamy rotacja◆ wektora ~u.

Przypomnijmy sobie pewne fakty zwia◆zane z ruchem obrotowym. Za lozmy, ze mamy obracaja◆ca◆sie◆ przeciwnie do ruchu wskazowek zegara tarcze◆ (rysunek 28). Po lozenie kazdego punktu tej tarczy

Rysunek 29: Model tarczy obracaja◆cej sie◆ przeciwnie do ruchu wskazowek zegara.

mozna scharakteryzowac wektorem ~r = [x, y, z], a pre◆dkosc wektorem ~v. Wektor pre◆dkosci ka◆towejoznaczmy tradycyjnie jako ~!. Wszystkie te wektory powia◆zane sa◆ zaleznoscia◆

~v = ~! ⇥ ~r. (3.39)

Za lozmy, ze uk lad wspo lrze◆dnych jest usytuowany w taki sposob, ze skierowanie wektora ~! jestzgodne ze skierowaniem osi z. S luszny jest zatem wzor

~! = !~k, (3.40)

gdzie ~k jest wersorem odpowiadaja◆cym osi z. Obliczmy wektor ~v w punkcie (x, y, z), korzystamyprzy tym ze wzoru (1.32)):

~v =

��

~i ~j ~k0 0 !x y z

��= �!y~i+ !x~j. (3.41)

Stwierdzamy, ze wektor pre◆dkosci ma niezerowe sk ladowe w kierunku osi x i y. Wyznaczmy terazrotacje◆ wektora ~v:

~r⇥ ~v =

��

~i ~j ~k@

@x

@

@y

@

@z

�!y !x 0

��= 2!~k = 2~!. (3.42)

Generalnie zatem z ruchem obrotowym zwia◆zana jest niezerowa rotacja wektora pre◆dkosci.Jezeli rotacja danego pola wektorowego ~u jest wsze◆dzie rowna zeru, to mowimy, ze pole ~u

jest bezwirowe. Za lozeniu bezwirowosci niektorych pol opieraja◆ sie◆ wazne modele stosowane wdynamice p lynow.

Przyk ladSprobujmy opisac pre◆dkosc cieczy w kubku z herbata◆, ktora◆ zamieszalismy zgodnie z kierunkiem



Rysunek 30: Ruch obrotowy.

ruchu wskazowek zegara. Mozemy przyja◆c, ze rozwazamy ruch obrotowy na p laszczyznie, jakpokazano na rysunku 29. Z ma la◆ pomoca◆ trygonometrii stwierdzamy, ze w punkcie (x, y) wartoscisk ladowych v

x

i vy

wektora pre◆dkosci ~v = [vx

, vy

] wynosza◆

vx

= v sin↵ = vy

r, (3.43)

vy

= �v cos↵ = �vx

r, (3.44)

gdzie r =px2 + y2 a znak ,,-” we wzorze (3.44) wynika z faktu, ze pre◆dkosc jest w wybranym na

rysunku punkcie skierowana ,,bardziej w do l niz do gory”. Oczywiste jest (wynika to tez ze wzoru(3.39)), ze wartosc pre◆dkosci jest proporcjonalna do odleg losci od osi obrotu (jak na karuzeli), azatem

v = ar, (3.45)

gdzie a jest sta la◆ dodatnia◆ (scisle mowia◆c, a = !). Wzory (3.43) i (3.44) mozemy zatem przepisacjak ponizej

vx

= v sin↵ = ay, (3.46)

vy

= �v cos↵ = �ax. (3.47)

A teraz zamiast kubka wyobrazmy sobie rure◆ z p lyna◆ca◆ w niej woda◆. Rura niech jest skierowanawzd luz osi z a woda niech wykonuje ruch obrotowy taki jak w powyzszym kubku a do tego przesuwasie◆ jednostajnie wzd luz rury ze sta la◆ sk ladowa◆ pre◆dkosci vz (woda nie dosc, ze sie◆ kre◆ci, to jeszczeprzesuwa sie◆ zgodnie z osia◆ z, czyli kazda cza◆steczka wody porusza sie◆ po spirali). Wektor pre◆dkosciw punkcie (x, y, z) ma zatem sk ladowe

~v = [ay,�ax, vz

]. (3.48)

Sprawdzimy, czy takie pole pre◆dkosci jest bezwirowe. Obliczamy rotacje◆

~r⇥ ~v =

��

~i ~j ~k@

@x

@

@y

@

@z

ay �ax vz

��= [0, 0,�2a], (3.49)

nie jest to zatem pole bezwirowe.



4 Ca lka

4.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona

Omawianie podstawowych w lasnosci i zastosowan ca lek rozpoczniemy od przypomnienia iuporza◆dkowania podstawowych definicji i twierdzen.

Funkcje◆ F (x) nazywamy funkcja◆ pierwotna◆ funkcji f(x) na przedziale X, jesli dla kazdego xnaleza◆cego do przedzia lu X zachodzi

F 0(x) = f(x). (4.1)

Na przyk lad, funkcja F (x) = x2, x 2 R jest funkcja◆ pierwotna◆ funkcji f(x) = 2x z x 2 R, boF 0(x) = 2x (a dziedziny sie◆ pokrywaja◆).

TwierdzenieKazda funkcja cia◆g la na przedziale X ma na nim funkcje◆ pierwotna◆.

TwierdzenieJezeli F (x) jest funkcja◆ pierwotna◆ funkcji f(x) na przedziale X, to F (x)+C, gdzie C jest dowolna◆sta la◆, wyraza wszystkie funkcje pierwotne funkcji f(x) na przedziale X. Wyrazenie F (x) + Cnazywamy ca lka◆ nieoznaczona◆ funkcji f(x) na przedziale X i oznaczamy

Zf(x)dx

przy czym x nazywamy zmienna◆ ca lkowania, f(x) to funkcja podca lkowa, f(x)dx to wyrazeniepodca lkowe, a

R. . . dx to symbol ca lkowania. Wyznaczanie ca lek nieoznaczonych w skrocie nazywa

sie◆ ca lkowaniem. Mozna powiedziec, ze ca lkowanie jest dzia laniem odwrotnym wzgle◆dem roznicz-kowania.

Twierdzenie o ca lkowaniu przez cze◆sciJesli funkcje u(x) i v(x) maja◆ cia◆g le pochodne, to zachodzi

Zu(x)v0(x)dx = u(x)v(x)�

Zu0(x)v(x)dx. (4.2)

Korzystaja◆c z twierdzenia o ca lkowaniu przez cze◆sci, mamy dowolnosc w wyborze funkcji u(x) iv(x). Nalezy tego wyboru dokonac tak, aby ca lka po prawej stronie (4.2) by la mozliwie naj latwiejsza.

Przyk ladRozwazmy ca lke◆ Z

x sinxdx.

Jesli wybierzemy u = x i v0 = sinx, to mamy u0 = 1 i v = � cosx, a zatemZ

x sinxdx = �x cosx+

Zcosxdx = �x cosx+ sinx+ C.

Gdybysmy wybrali u = sinx i v0 = x, mielibysmy u0 = cosx i v = x2/2, czyli dostalibysmy

Zx sinxdx =

x2

2sinx�

Zx2

2cosx,

co oczywiscie nadal by loby prawda◆, ale nowa funkcja podca lkowa by laby bardziej skomplikowananiz wyjsciowa. Twierdzenie nalezy stosowac tak, aby sobie u latwiac, a nie utrudniac.

Twierdzenie o ca lkowaniu przez podstawienie



Jesli funkcja h(x) ma cia◆g la◆ pochodna◆ h0(x) na przedziale X i przekszta lca go na przedzia l T , na

ktorym okreslona jest cia◆g la funkcja g, to zachodziZ

g[h(x)]h0(x)dx =

Zg(t)dt, (4.3)

gdzie t = h(x).

Przyk ladPrzeanalizujmy ca lke◆ Z

cos(x)esin xdx.

Zauwazmy, ze argumentem funkcji exp jest funkcja sinx, co wie◆cej sin0 x = cosx, a cosx toczynnik, przez ktory mnozona jest funkcja exp. Mamy wie◆c t = sinx, a ponadto dt = cosxdx (bodt

dx

= cosx), a zatem

Zcos(x)esin xdx =

Zetdt = et + C = esin x + C.

Maja◆c juz troche◆ wiedzy na temat ca lek nieoznaczonych, mozemy przejsc do naste◆pnego etapu –ca lek oznaczonych. Powiedzmy, ze mamy funkcje◆ f(x) ograniczona◆ na przedziale [a, b]. Z przedzia lu[a, b] wyodre◆bniamy n granicza◆cych ze soba◆ przedzia low: [a, x1], [x1, x2], . . ., [x

n�1, b], jak narysunku 30. Definiuja◆c x0 = a i x

n

= b, mozemy powiedziec, ze j-ty przedzia l to [xj�1, xj

].

Rysunek 31: Podzia l przedzia lu [a, b], w ktorym okreslona jest funkcja f(x) na mniejsze przedzia ly.

Szerokosc j-tego przedzia lu wynosi �xj

= xj

� xj�1. Okreslamy n liczb ⇠

j

, przy czym ⇠j

2[x

j�1, xj

], j = 1, 2, . . . , n, czyli w kazdym przedziale mamy wybrana◆ jedna◆ liczbe◆. Tworzymytzw. sume◆ Riemanna:

Sn

=nX

j=1

f(⇠j

)(xj

� xj�1) =

nX

j=1

f(⇠j

)�xj

, (4.4)

jest to suma pol prostoka◆tow okreslonych przez szerokosci przedzia low i wartosci f(⇠j

). Ca lke◆oznaczona◆ funkcji f(x) wzgle◆dem x przedziale [a, b] oznaczamy

Zb

a

f(x)dx,

a jej definicja zwia◆zana jest z suma◆ Riemanna:

Zb

a

f(x)dx = lim|L|!0

nX

j=1

f(⇠j

)�xj

, (4.5)



gdzie |L| to szerokosc najwie◆kszego przedzia lu. Wartosci a i b nazywa sie◆, odpowiednio, dolna◆i gorna◆ granica◆ ca lkowania. Granica ta ma byc niezalezna od sposobu podzielenia przedzia lu[a, b]. Jezeli ta granica istnieje, to nazywamy ja◆ ca lka◆ Riemanna, a o funkcji f(x) mowimy, ze jestca lkowalna w sensie Riemanna.

TwierdzenieJezeli funkcja f(x) jest cia◆g la, albo przedzia lami cia◆g la (czyli posiada skonczona◆ ilosc punktowniecia◆g losci, w ktorych istnieja◆ obie granice jednostronne), to granica po prawej stronie (4.5) ist-nieje.

Geometrycznie ca lka oznaczona odpowiada polu mie◆dzy wykresem funkcji a osia◆ x (w przedzia- lach, w ktorych f(x) < 0, przyjmujemy, ze pola sa◆ ujemne).

TwierdzenieJesli funkcja f(x) jest cia◆g la na przedziale [a, b], natomiast F (x) jest jej funkcja◆ pierwotna◆, to

Zb

a

f(x)dx = F (b)� F (a), (4.6)

co zapisuje sie◆ rowniezZ

b

a

f(x)dx = F (x)��ba

lub

Zb

a

f(x)dx =⇥F (x)

⇤b

a

.

Wyznaczanie ca lki oznaczonej sprowadza sie◆ zatem do znalezienia funkcji pierwotnej i do podsta-wienia w niej a i b.

Twierdzenie o wartosci sredniejJezeli funkcja f(x) jest cia◆g la na przedziale domknie◆tym [a, b], to istnieje wewna◆trz tego przedzia lutaki punkt c, ze Z

b

a

f(x)dx = f(c)(b� a). (4.7)

Liczbe◆1

b� a

Zb

a

f(x)dx = f(c) (4.8)

nazywamy wartoscia◆ srednia◆ ca lkowa◆ funkcji f(x) na przedziale [a, b]. Wartosc f(c) jest taka,

Rysunek 32: Interpretacja twierdzenia o wartosci sredniej.

ze pole prostoka◆ta o bokach b�a i f(c) jest rowne polu mie◆dzy wykresem funkcji a osia◆ x (rysunek31).

Przyk ladNapie◆cie w sieci elektrycznej zmienia sie◆ w czasie naste◆puja◆co

U(t) = 325 sin(100⇡t)



(czas wyrazony jest w sekundach a napie◆cie w woltach). Srednia wartosc napie◆cia w przedzialeczasu [0, t0] wynosi zatem

Usr

=1

t0

Zt0

0U(t)dt =

325

t0

Zt0

0sin(100⇡t)dt = � 325

100⇡t0cos(100⇡t)

��t00

= � 325

100⇡t0[cos(100⇡t0)� 1].

Jesli t0 = 1, to otrzymamy Usr

= 0.

4.2 Ca lki niew lasciwe

Omowimy dwa rodzaje tzw. ca lek niew lasciwych.Pierwszy rodzaj ca lek niew lasciwych, to takie przypadki, w ktorych co najmniej jedna z granic

ca lkowania jest nieskonczona. Ca lki te oblicza sie◆, wprowadzaja◆c w odpowiedni sposob granice.Przypadek 1: Z 1

a

f(x)dx = limc!1

Zc

a

f(x)dx. (4.9)

Przyk lad: Z 1

0e�xdx = lim

T!1

ZT

0e�xdx = � lim

T!1(e�T � e0) = 1.

Przypadek 2: Zb

�1f(x)dx = lim

c!�1

Zb

c

f(x)dx. (4.10)

Przyk lad: Z �1

�1

1

x2dx = lim

T!�1

Z �1

T

1

x2dx = � lim

T!�1

✓1

(�1)� 1

T

◆= 1.

Przypadek 3: Z 1

�1f(x)dx = lim

c!�1

Zz

c

f(x)dx+ limd!1

Zd

z

f(x)dx, (4.11)

przy czym c i d sa◆ od siebie niezalezne, czyli granice tez od siebie nie zaleza◆, a z wybieramy takjak nam wygodnie.Przyk lad: Z 1

�1e�|x|dx = lim

T1!�1

Z 0

T1

exdx+ limT2!1

ZT2

0e�xdx = 2.

Warto tez wspomniec o tzw. wartosci g lownej ca lki niew lasciwej, odpowiadaja◆cej sytuacji,gdy granice wyste◆puja◆ce w przypadku 3 sa◆ ze soba◆ scisle powia◆zane:

Z 1

�1f(x)dx = lim

A!1

ZA

�A

f(x)dx. (4.12)

Przyk ladZajmijmy sie◆ naste◆puja◆ca◆ ca lka◆ niew lasciwa◆:Z 1

�1sinxdx = lim

T1!�1

Z 0

T1

sinxdx+ limT2!1

ZT2

0sinxdx = � lim

T1!�1(1� cosT1)� lim

T2!1(cosT2 � 1).

Ca lka ta nie istnieje, poniewaz nie istnieja◆ granice

limT1!�1

cosT1 oraz limT2!1

cosT2.

A teraz zbadajmy wartosc g lowna◆ tej samej ca lki:Z 1

�1sinxdx = lim

A!1

ZA

�A

sinxdx = � limTA!1

(cosA� cos(�A)) = 0.



O drugim rodzaju ca lek niew lasciwych mowimy, np. gdy funkcja podca lkowa jest nieograniczonaw co najmniej jednym punkcie przedzia lu [a,b].Przypadek 1: funkcja nieograniczona w punkcie a (czyli lim

x!a

f(x) = ±1):

Zb

a

f(x)dx = lim"!0

Zb

a+"f(x)dx. (4.13)

Przypadek 2: funkcja nieograniczona w punkcie b (czyli limx!b

f(x) = ±1):

Zb

a

f(x)dx = lim"!0

Zb�"

a

f(x)dx. (4.14)

Przypadek 3: funkcja nieograniczona w punkcie c 2 [a, b] (czyli limx!c

f(x) = ±1):

Zb

a

f(x)dx = lim"1!0

Zc�"1

a

f(x)dx+ lim"2!0

Zb

c+"2

f(x)dx. (4.15)

Analogiczne wzory maja◆ zastosowanie, gdy funkcja f(x) jest nieokreslona (czyli tez niecia◆g la) wpunktach, odpowiednio, a, b lub c. A zatem nie tylko nieograniczonosc funkcji klasyfikuje daneca lki jako ca lki niew lasciwe drugiego rodzaju.

Przyk ladRozwazmy ca lke◆: Z 1

0

1

xdx = lim

"!0

Z 1

"

1

xdx = � lim

"!0ln " = +1,

ca lka ta wie◆c rozbiega. A teraz zbadajmy ca lke◆Z 1

0lnxdx = lim

"!0

Z 1

"

lnxdx = lim"!0

x lnx

��1"

�Z 1

"

dx

�= lim"!0

[x lnx� x]1"

= �1� lim"!0

["(ln "� 1)] = �1� lim"!0

ln "� 11"

= �1� lim"!0

1"

� 1"

2

= �1 + lim"!0

" = �1.

Po drodze skorzystalismy z twierdzenia o ca lkowaniu przez cze◆sci (u = lnx, v0 = 1), oraz twierdzeniade l’Hospitala1.

Jesli odpowiednie granice wyste◆puja◆ce we wzorach (4.9)–(4.15) istnieja◆ i sa◆ skonczone, tomowimy wowczas, ze dana ca lka niew lasciwa jest zbiezna (w przeciwnym razie ca lka jest roz-biezna). Analize◆ zbieznosci ca lek cze◆sto u latwiaja◆ tzw. kryteria porownawcze, o ktorych tutajjednak mowic nie be◆dziemy.

1Twierdzenie de l’Hospitala:Jezeli funkcje f i g sa◆ okreslone w przedziale (a, b), a punkt c nalezy do tego przedzia lu, c 2 (a, b), a ponadto

limx!c

f(x) = 0, i limx!c

g(x) = 0,

albolimx!c

f(x) = ±1, i limx!c

g(x) = ±1,

oraz istnieja◆ skonczone pochodne f

0(a) i g0(a), przy czym g

0(a) 6= 0, to

limx!c

f(x)

g(x)= lim

x!c

f

0(x)

g

0(x).



4.3 Ca lki wielkokrotne

Uogolnimy teraz poje◆cie ca lki na przypadek funkcji dwoch zmiennych.Niech funkcja f(x, y) be◆dzie okreslona na pewnym zamknie◆tym obszarze S, be◆da◆cym cze◆scia◆

p laszczyzny. Ca lke◆ podwojna◆ funkcji f(x, y) na tym obszarze oznaczamyZZ

S

f(x, y)dS,

gdzie dS jest elementem powierzchni naleza◆cym do S. Ca lke◆ podwojna◆ mozna zdefiniowac jakogranice◆ cia◆gu odpowiednich sum Riemanna, analogicznie jak we wzorze (4.5), z tym ze obszarca lkowania dzieli sie◆ na mniejsze podobszary, a w sumie Riemanna uwzgle◆dnia sie◆ pola tych podob-szarow. Geometrycznie ca lke◆ podwojna◆ interpretujemy jako obje◆tosc obszaru pomie◆dzy wykre-sem funkcji f(x, y) a obszarem S. Jesli obszar S okreslony jest przez nierownosci a x bi '1(x) y '2(x) (patrz rysunek 32), przy czym '1(x) i '2(x) sa◆ funkcjami cia◆g lymi wprzedziale a x b, a dla kazdego x z przedzia lu otwartego (a, b) zachodzi '1(x) < '2(x),to obszar S nazywamy obszarem normalnym wzgle◆dem osi x, a ca lke◆ podwojna◆ obliczac moznapoprzez tzw. ca lke◆ iterowana◆

ZZ

S

f(x, y)dS =

Zb

a

Z'2(x)

'1(x)f(x, y)dy

!dx. (4.16)

Obliczaja◆c te◆ ca lke◆, najpierw zajmujemy sie◆ ca lka◆ wzgle◆dem y, traktuja◆c x jak sta la◆, a potemca lkujemy wzgle◆dem x. Analogicznie zdefiniowac mozna obszar normalny wzgle◆dem osi y i wowczas

Rysunek 33: Obszar S jako obszar normalny wzgle◆dem osi x (po lewej) oraz wzgle◆dem osi y (poprawej).

w ca lce iterowanej mamy inna◆ kolejnosc

ZZ

S

f(x, y)dS =

Z�

↵

Z 2(x)

1(x)f(x, y)dx

!dy. (4.17)

Przyk lad

Wezmy ca lke◆

I =

ZZ

S

xy2dS,

gdzie S to obszar ograniczony funkcjami y = x2 i y = 2x (rysunek 33). Traktuja◆c obszar Sjako normalny wzgle◆dem osi x, mamy a = 0 i b = 2 (minimalna i maksymalna wartosc x) oraz'1(x) = x2 i '2(x) = 2x (funkcje ,,dolna” i ,,gorna” la◆cza◆ce punkty najbardziej wysunie◆te na lewoi na prawo). Korzystamy ze wzoru (4.16) i mamy

I =

Z 2

0

✓Z 2x

x

2

xy2dy

◆dx =

Z 2

0x

✓Z 2x

x

2

y2dy

◆dx =

Z 2

0x

y3

3

�2x

x

2

dx

=1

3

Z 2

0(8x4 � x7)dx =

32

5.



Rysunek 34: Obszar ca lkowania ograniczony funkcjami y = x2 i y = 2x.

Ida◆c druga◆ droga◆ i traktuja◆c obszar S jako normalny wzgle◆dem osi y, dostajemy ↵ = 0 i � = 4(minimalna i maksymalna wartosc y) oraz 1(y) = y/2 i 2(y) =

py (funkcje ,,lewa” i ,,prawa”,

la◆cza◆ce punkt po lozony najnizej z punktem po lozonym najwyzej, funkcje te wyrazaja◆ zaleznosc xod y)2. Stosujemy wzor (4.17) i dostajemy

I =

Z 4

0

Z py

y/2xy2dx

!dy =

Z 4

0y2

Z py

y/2xdx

!dy =

Z 4

0y2x2

2

�py

y/2

dy

=1

2

Z 4

0

✓y3 � y4

4

◆dx =

32

5.

Oczywiscie, wynik jest taki sam w obu przypadkach. W ogolnej sytuacji jedna z opcji moze byczdecydowanie latwiejsza do zastosowania niz druga.

Tytu lem tego rozdzia lu by ly ca lki wielkokrotne, ale ograniczylismy sie◆ do ca lki podwojnej.

4.4 Krotkie uzupe lnienie dotycza◆ce ca lek

Twierdzenia i w lasnosci ca lki oznaczonej funkcji jednej zmiennej uogolnia sie◆ na przypadekca lek wielokrotnych (np. twierdzenie o wartosci sredniej).

Niektore wielkosci fizyczne zdefiniowane sa◆ jako pochodne innych wielkosci, mozna zatem defi-niowac wielkosci za pomoca◆ ca lek. Na przyk lad, w ruchu prostoliniowym, obserwowanym od chwilit = 0, droge◆ s i pre◆dkosc v mozemy w chwili t = t0 powia◆zac naste◆puja◆co:

v(t0) =ds(t)

dt

��t=t0

zatem s(t0) =

Zt0

0v(t)dt.

Ca lki wykorzystuje sie◆ do liczenia d lugosci krzywych, pol powierzchni obszarow p laskich, polpowierzchni bocznych i obje◆tosci bry l, wyste◆puja◆ tez w metodach wariacyjnych, s luza◆ do oblicza-nia konkretnych parametrow fizycznych, np. po lozenia srodka masy, wartosci srednich roznychwielkosci itp. Ca lki wykorzystuje sie◆ rowniez do przekszta lcania roznego typu zagadnien (metodytransformacji ca lkowych). Duze znaczenie maja◆ funkcje zdefiniowane poprzez ca lki. Jednym zprzyk ladow takich funkcji to funkcja �:

�(x) =

Z 1

0zx�1e�zdz, z > 0, (4.18)

2Funkcja ,,lewa” postac y = 2x, a my chcemy uzaleznic x od y, zatem natychmiast dostajemy x = y/2, czyli 1(y) = y/2. Analogicznie, funkcja ,,prawa” to y = x

2, przy czym x � 0, sta◆d x =py, a zatem 2(y) =

py.



Rysunek 35: Wykresy funkcji: (a) - y = e�x

2

; (b) - y = erf (x).

ktora◆ traktuje sie◆ jako uogolnienie funkcji silnia. Inny przyk lad to tzw. funkcja b le◆du (rysunek 34),jest to ca lka z rozk ladu normalnego (Gaussa):

erf (x) =2p⇡

Zx

0e�t

2

dt, �1 < x < 1. (4.19)



5 Rownania rozniczkowe

5.1 Rownania rozniczkowe zwyczajne

Rownaniem rozniczkowym zwyczajnym rze◆du pierwszego nazywamy rownanie o postaci

F (x, y, y0) = 0, (5.1)

w rownaniu tym szukana◆ jest funkcja y(x). Jesli rownanie (5.1) mozna rozwia◆zac wzgle◆dem y0,otrzymujemy rownanie w postaci normalnej

y0 = f(x, y). (5.2)

Rownaniem rozniczkowym zwyczajnym rze◆du n nazywa sie◆ rownanie

F (x, y, y0, y00, . . . , y(n)) = 0, (5.3)

a jesli daje sie◆ ono rozwia◆zac wzgle◆dem y(n), to przybiera postac normalna◆

y(n) = f(x, y, y0, . . . , y(n�1)). (5.4)

Stopniem rownania rozniczkowego nazywamy najwyzszy stopien funkcji niewiadomej lub jejpochodnej, wyste◆puja◆cych w danym rownaniu. Na przyk lad rownanie

y(3) + x8y003 � y2 = 0. (5.5)

jest rownaniem trzeciego rze◆du i trzeciego stopnia. W przypadku, gdy funkcja niewiadoma wyste◆pujew rownaniu tylko w pierwszej pote◆dze i nie wyste◆puje w postaci iloczynow, to wowczas rownaniejest liniowe. Na przyk lad rownania

y0(x) + x2y(x) = 0,

y0(x) + P (x)y(x) = Q(x)

sa◆ liniowe, ale rownaniey00(x) + y0(x)y(x) = 0

zawiera iloczyn y0(x)y(x), wie◆c jest drugiego stopnia i nie jest liniowe. Jezeli rownanie rozniczkowezwyczajne mozna zapisac w postaci

Xn

dny

dxn

+Xn�1

dn�1y

dxn�1+ . . .+X1

dy

dx+X0y = 0, (5.6)

gdzie X0, . . ., Xn

sa◆ dowolnymi funkcjami zmiennej x, to rownanie to jest jednorodne. Wrownaniu jednorodnym w postaci (5.6) nie ma sk ladnikow w ktorych nie wyste◆powa laby funkcja ylub ktoras z jej pochodnych. Rownanie (5.6) jest jednorodne i liniowe, wsrod rownan nieliniowychtez mozna wyroznic jako szczegolne przypadki rownania jednorodne. Oczywista◆ cecha◆ rownaniajednorodnego liniowego jest to, ze jesli jakas funkcja jest jego rozwia◆zaniem, to rozwia◆zaniem jesttez iloczyn tej funkcji i dowolnej sta lej.

Rozwia◆zaniem szczegolnym lub ca lka◆ szczegolna◆ rownania rozniczkowego nazywamy kazda◆funkcje◆, ktora w rozwazanym obszarze po podstawieniu do rownania sprowadza je w tozsamosc(czyli spe lnia to rownanie). Na przyk lad w przypadku rownania

y00(x) = �y(x), x 2 [0, 2⇡]

latwo sprawdzic, ze ca lkami szczegolnymi sa◆ funkcje y1(x) = sinx i y2(x) = 0.001 cosx. A zatemca lka◆ szczegolna◆ jest po prostu jakas funkcja spe lniaja◆ca dane rownanie.

Sformu lujemy teraz poje◆cie rozwia◆zania ogolnego (ca lki ogolnej). Za lozmy, ze mamy rownanierozniczkowe rze◆du n:

y(n) = f(x, y, y0, . . . , y(n�1)) (5.7)



i punkt P (a, b1, . . . , bn). Rozwia◆zaniem ogolnym (ca lka◆ ogolna◆) rownania (5.7) nazwiemyfunkcje◆ g(x), zawieraja◆ca◆ n dowolnych sta lych niezaleznych od siebie i takich, ze jesli obierzemydowolny punkt P , to mozna tym sta lym nadac jednoznacznie okreslone wartosci liczbowe, przyktorych rozwia◆zanie be◆dzie spe lnia lo n warunkow pocza◆tkowych:

g(a) = b1, g0(a) = b2, . . . , g(n�1)(a) = bn

. (5.8)

Punkt P to pewna wybrana wartosc x, wartosc szukanej funkcji w x i wartosci kolejnych pochod-nych tej funkcji, do rze◆du n � 1 w la◆cznie, w x. Rozwia◆zanie ogolne ma tyle niezaleznych odsiebie sk ladnikow, ile wynosi rza◆d rownania rozniczkowego. Rozwia◆zanie ogolne zawiera wszystkiemozliwe rozwia◆zania szczegolne.

Rownanie rozniczkowe wraz z narzuconymi na nie warunkami pocza◆tkowymi tworzy zagad-nienie pocza◆tkowe.

Przyk ladDla rownania

y00(x) = �y(x)

rozwia◆zanie ogolne ma postacg(x) = A sinx+B cosx,

przy czym A i B to dowolne sta le3. Jezeli rownanie uzupe lnimy o warunki pocza◆tkowe

y(0) = 10, y0(0) = �5

(czyli mamy punkt P (0, 10,�5)), to jedyna◆ funkcja◆ g(x) spe lniaja◆ca◆ te warunki be◆dzie funkcja zA = �5 i B = 10:

g(x) = �5 sinx+ 10 cosx.

Rozwia◆zanemu przez nas zagadnieniu pocza◆tkowemu latwo mozna nadac sens fizyczny: rownanieopisuje zaleznosc po lozenia od czasu (y jest po lozeniem a x czasem) cia la o jednostkowej masiezawieszonego na spre◆zynie o jednostkowym wspo lczynniku spre◆zystosci, y(0) = 10 oznacza, zepocza◆tkowe po lozenie wynosi lo 10 [jednostek d lugosci], a y0(0) = �5 oznacza, ze pocza◆tkowapre◆dkosc wynosi la 5 [odpowiednich jednostek pre◆dkosci] i by la skierowana przeciwnie niz pocza◆tkowewychylenie.

Przyk ladMamy przedmiot, ktorego temperatura w chwili t = 0 wynosi la T0 i ktory stygnie rownomiernie(temperatura w ca lej jego obje◆tosci jest taka sama). Znalezc funkcje◆ opisuja◆ca◆ zaleznosc tempe-ratury przedmiotu od czasu, jesli temperatura otoczenia jest sta la i wynosi T1.Niech y(t) oznacza roznice◆ temperatur przedmiotu i otoczenia. W krotkim przedziale czasu dttemperatura roznica zmienia sie◆ o dy. Oczywiscie, im roznica jest wie◆ksza, tym szybciej cia lostygnie. Szybkosc stygnie◆cia be◆dzie tez zalezec od parametrow cia la. Zapostulujmy zwia◆zek

dy = �Aydt.

Mowi on, ze zmiana roznicy temperatur w czasie dt jest proporcjonalna do dt i do samej roznicyy, zalezy tez od parametrow wymiany ciep la (pomie◆dzy cia lem i otoczeniem) opisanych sta la◆ A.Znak ,,-” wynika z faktu, ze z czasem roznica temperatur maleje, czyli przyrost y jest ujemny.Rownanie to mozemy przepisac w postaci

dy

dt= �Ay lub tez y0 = �Ay.

3Rozwia◆zanie ogolne tego rownania mozna rowniez wyrazic za pomoca◆ funkcji exp z urojonym argumentem:

g(x) = Ce

ix +De

�ix

, C i D – dowolne sta le.



Warunkiem pocza◆tkowym jest pocza◆tkowa roznica temperatur cia la i otoczenia

y(0) = T0 � T1.

Ogolne rozwia◆zanie rownania mozna uzyskac, zapisuja◆c je w postaci z rozdzielonymi zmiennymi(czyli po jednej stronie sk ladniki zawieraja◆ce y a po drugiej sk ladniki zawieraja◆ce t)

dy

y= �Adt

i ca lkuja◆c Z1

ydy = �A

Zdt.

Dostajemyln y = �At+ c0 czyli y(t) = c · e�At (c jest sta le).

Uwzgle◆dniaja◆c warunek pocza◆tkowy, dostajemy

y(t) = (T0 � T1) · e�At

a sama temperatura przedmiotu be◆dzie opisana wyrazeniem (T0 � T1) · e�At + T1. Uwaga: czykiedykolwiek temperatura przedmiotu zrowna sie◆ z temperatura◆ otoczenia? Jak to rozumiec?

W powyzszym przyk ladzie rozwia◆zuja◆c rownanie rozniczkowe skorzystalismy z faktu, ze da losie◆ ono zapisac jako rownanie o zmiennych rozdzielonych. Sprowadzanie rownania do takiejpostaci a potem bezposrednie ca lkowanie to jedna z wielu metod znajdowania rozwia◆zan rownanrozniczkowych. Niektore inne metody to skorzystanie z tzw. rownania charakterystycznego, czymetoda operatorowa. W praktyce korzysta sie◆ tez ze znajomosci rozwia◆zan innych (podobnych)rownan, poszukuje sie◆ rozwia◆zania w tablicach rozwia◆zan, a niekiedy mowi sie◆ o ,,metodzie zgady-wania”, w ktorej metoda◆ prob i b le◆dow szuka sie◆ w lasciwego rozwia◆zania.

5.2 Zagadnienie brzegowe

Przypomnijmy, ze zagadnienie pocza◆tkowe zawiera rownanie rozniczkowe rze◆du n:

y(n) = f(x, y, y0, . . . , y(n�1)). (5.9)

i warunki pocza◆tkowe dla y, y0, . . ., y(n�1) dla pewnej konkretnej wartosci zmiennej niezaleznej,np. x = x0, a zatem dane sa◆ wartosci y(x0), y0(x0), . . ., y(n�1)(x0). W zagadnieniu brzegowymrozwia◆zanie rownania rozniczkowego (5.9) ma spe lniac warunki okreslone na koncach przedzia luzmiennosci zmiennej niezaleznej x (a w ogolnosci, na brzegu rozwazanego obszaru). Z punktuwidzenia fizyki waznym przyk ladem zagadnienia brzegowego jest tzw. zagadnienie Sturma–Liouville’a:

[p(x)y0(x)]0+ q(x)y(x) + �⇢(x)y(x) = 0, x 2 [a, b], (5.10)

A0y(a) +B0y0(a) = 0, A1y(b) +B1y

0(b) = 0, (5.11)

przy czym � jest liczba◆, natomiast funkcje p(x), q(x) i ⇢(x) sa◆ rzeczywiste i cia◆g le w przedziale [a, b](p0(x) rowniez jest cia◆g la), a dodatkowo p(x) i ⇢(x) (ta ostatnia to tzw. funkcja wagowa) musza◆byc w tym przedziale nieujemne. Liczby A0 i A1 sa◆ rzeczywiste i przynajmniej jedna sposrod nichjest rozna od zera, to samo dotyczy liczb B0 i B1. Rownanie posiadaja◆ce postac (5.10) nazywa sie◆samosprze◆zone. W zagadnieniu Sturma–Liouville’a jest ono uzupe lnione o dwa warunki brzegowe,zdefiniowane, odpowiednio, na pocza◆tku i na koncu przedzia lu [a, b] i okreslaja◆ce wartosc funkcjiy lub jej pochodnej y0 lub zwia◆zek pomie◆dzy y i y0 w a i b. Rownanie (5.10) z warunkami (5.11)posiada nietrywialne rozwia◆zania tylko dla pewnych wartosci �, zwanych wartosciami w lasnymi,zbior wartosci w lasnych nazywamy widmem zagadnienia. Odpowiadaja◆ca◆ danej wartosci w lasnejfunkcje◆ y(x) nazywamy funkcja◆ w lasna◆.W lasnosci wartosci w lasnych i funkcji w lasnych zagadnienia Sturma–Liouville’a:



1. Wartosci w lasne tworza◆ cia◆g liczb rzeczywistych �0 < �1 < �2 < . . . < �n

< . . . da◆za◆cy donieskonczonosci.

2. Jesli y(x) i z(x) sa◆ funkcjami w lasnymi odpowiadaja◆cymi danej wartosci w lasnej, to y(x) =cz(x), gdzie c jest sta la◆. Oznacza to, ze z punktu widzenia zagadnienia funkcje y(x) i z(x) wzasadzie niczym sie◆ nie roznia◆, jest to jakby ta sama funkcja.

3. Jesli y(x) i z(x) sa◆ funkcjami w lasnymi odpowiadaja◆cymi dwom roznym wartosciom w lasnym,to Z

b

a

y(x)z(x)⇢(x)dx = 0 (5.12)

i mowimy, ze funkcje odpowiadaja◆ce roznym wartosciom w lasnym sa◆ ortogonalne na przedziale[a, b] z waga◆ ⇢(x).

Rownanie (5.10) zawiera w sobie dosc ogolna◆ klase◆ rownan rozniczkowych drugiego rze◆du. Bezwie◆kszych problemow mozna pokazac, ze rownanie o postaci

A(x)y00(x) +B(x)y0(x) + C(x)y(x) + �D(x)y(x) = 0

mozna doprowadzic do postaci samosprze◆zonej (5.10), o ile funkcje A(x), B(x), C(x) i D(x)spe lniaja◆ odpowiednie za lozenia.

Przyk ladRozwia◆zac ponizsze zagadnienie brzegowe

y00(x) = ��y(x), x 2 [0, a], y(0) = y(a) = 0.

Naszym celem jest znalezienie mozliwych wartosci � i odpowiadaja◆cych im funkcji w lasnych.Oczywiscie, mamy tu do czynienia z zagadnieniem Sturma–Lioville’a, nasze rownanie jest szczegol-nym przypadkiem rownania (5.10) z funkcjami p(x) = 1, q(x) = 0 i ⇢(x) = 1. Rozwia◆zanie ogolnenaszego rownania ma postac

y(x) = C sin(p�x) + C 0 cos(

p�x),

gdzie C i C 0 to sta le. Z faktu, ze funkcja y ma sie◆ zerowac w x = 0 wynika natychmiast, ze C 0 = 0,pozostajemy zatem z

y(x) = C sin(p�x).

Z drugiego warunku brzegowego wynika ze sin(p�a) = 0. Funkcja sinus przyjmuje wartosc zero,

gdy jej argument jest ca lkowita◆ wielokrotnoscia◆ ⇡:

p�n

a = n⇡, n 2 Z, a zatem �n

=n2⇡2

a2, n 2 Z

(symbol Z oznacza zbior liczb ca lkowitych). Zauwazmy, ze znak n nie wp lywa na wartosci w lasne,n ujemne nie wnosza◆ zadnych nowych informacji do widma. Rozwia◆zania ostatecznie zapiszemy wpostaci

�n

=n2⇡2

a2, y

n

(x) = Cn

sin⇣n⇡x

a

⌘, n = 1, 2, 3, . . . .

Ujemne wartosci n pomijamy, bo nie wnosza◆ nic nowego ani do widma ani do zbioru funkcjiw lasnych. Wartosci n = 0 rowniez nie uwgle◆dniamy, bo daje ona rozwia◆zanie trywialne (funkcja y0jest tozsamosciowo rowna zeru, nie niesie wie◆c zadnych informacji, nie moze reprezentowac zadnegosensowengo rozwia◆zania fizycznego).

Zagadnienia brzegowe wyste◆puja◆ w fizyce bardzo cze◆sto. Pojawiaja◆ sie◆ np. w mechanice kwan-towej, w opisie przep lywu ciep la itd.



5.3 Rownania rozniczkowe niejednorodne

Ograniczymy sie◆ do rownan liniowych. Rozwazamy rownanie rozniczkowe liniowe niejednorodneo postaci

Xn

(x)y(n)niej

(x) +Xn�1(x)y

(n�1)niej

(x) + . . .+X1(x)y0niej

(x) +X0(x)yniej(x) = g(x). (5.13)

O tym, ze jest to rownanie niejednorodne decyduje wyste◆powanie sk ladnika niezaleznego od szukanejfunkcji y

niej

, w tym przypadku jest to funkcja g(x). Rownaniem jednorodnym odpowiadaja◆cymrownaniu (5.13) jest oczywiscie

Xn

(x)y(n)(x) +Xn�1(x)y

(n�1)(x) + . . .+X1(x)y0(x) +X0(x)y(x) = 0. (5.14)

Wiemy juz, ze rozwia◆zanie ogolne rownania jednorodnego rze◆du n zawiera n sk ladnikow

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + . . .+ Cn

yn

(x), (5.15)

przy czym C1, C2, . . ., Cn

to sta le, a funkcje y1(x), y2(x), . . ., yn(x) to rozwia◆zania szczegolneniezalezne od siebie (czyli zadne z nich nie da sie◆ wyrazic przez pozosta le4). I tak na przyk ladrozwia◆zaniem ogolnym rownania

y00(x) + y(x) = 0

jest funkcjay(x) = C1 sinx+ C2 cosx.

Rozwia◆zanie ogolne rownania niejednorodnego (5.13) jest suma◆ rozwia◆zania ogolnegorownania jednorodnego i dowolnego rozwia◆zania rownania niejednorodnego y(x):

yniej

(x) = y(x) + C1y1(x) + C2y2(x) + . . .+ Cn

yn

(x). (5.16)

Aby wie◆c miec rozwia◆zanie ogolne rownania niejednorodnego, musimy miec rozwia◆zanie ogolnerownania jednorodnego i jakies rozwia◆zanie szczegolne rownania niejednorodnego. Funkcji y(x)mozna szukac tzw. metoda◆ uzmiennienia sta lych

y(x) = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) + . . .+ Cn

(x)yn

(x), (5.17)

w ktorej funkcje◆ zapisujemy tak jak rozwia◆zanie ogolne rownania jednorodnego, ale wielkosci C1,C2, . . ., Cn

traktujemy nie jako sta le, a jako funkcje x.

TwierdzenieJesli funkcje C1(x), C2(x), . . ., Cn

(x) spe lniaja◆ uk lad

C 01(x)y1(x) + C 0

2(x)y2(x) + . . .+ C 0n

(x)yn

(x) = 0

C 01(x)y

01(x) + C 0

2(x)y02(x) + . . .+ C 0

n

(x)y0n

(x) = 0

· · ·C 0

1(x)y(n�1)1 (x) + C 0

2(x)y(n�1)2 (x) + . . .+ C 0

n

(x)yn�1n

(x) = g(x), (5.18)

to funkcja y(x) okreslona wzorem (5.17) jest rozwia◆zaniem szczegolnym rownania niejednorodnego(5.13).

4Scisle mowia◆c chodzi tu o poje◆cie liniowej niezaleznosci. Funkcje y1(x), y2(x), . . ., yn(x) sa◆ liniowo niezaleznewtedy, gdy rownosc

b1y1(x) + b2y2(x) + . . .+ b

n

y

n

(x) = 0

jest s luszna dla kazdego x tylko w przypadku, gdy wszystkie wspo lczynniki bi

sa◆ zerami. W lasnie to oznacza, zezadnej z funkcji nie mozna wyrazic przez kombinacje◆ liniowa◆ pozosta lych. Przyk ladowo, funkcje y1(x) = 1, y2(x) = x

i y3(x) = x

2 sa◆ liniowo niezalezne, ale jesli mamy y1(x) = 1, y2(x) = x i y3(x) = 3x� 2, to nie jest to zbior funkcjiliniowo niezaleznych, bo y3(x) = 3y2(x)� 2y1(x).



Wszystko to moze wydawac sie◆ bardzo skomplikowane, ale sporo powinno sie◆ wyjasnic, gdyomowimy przyk lad.

Przyk ladZnalezc ogolne rozwia◆zanie rownania

y00(x) + y(x) = 1.

Zapiszmy od razu odpowiednie rownanie jednorodne

y00jedn

(x) + yjedn

(x) = 0

i jego rozwia◆zanie ogolneyjedn

(x) = C1 sinx+ C2 cosx.

Ogolne rozwia◆zanie rownania niejednorodnego be◆dzie mia lo wie◆c postac

y(x) = y(x) + C1 sinx+ C2 cosx,

a funkcji y(x) szukamy w postaci

y(x) = C1(x) sinx+ C2(x) cosx.

Uk lad rownan (5.18) przyjmie postac

C 01(x) sinx+ C 0

2(x) cosx = 0

C 01(x) cosx� C 0

2(x) sinx = 1 ,

a szukaja◆c niewiadomych C1(x) i C2(x) mozemy uzyc np. metody wyznacznikow. Poszczegolnewyznaczniki wynosza◆

W =

��sinx cosxcosx � sinx

�� = � sin2 x� cos2 x = �1,

W1 =

��0 cosx1 � sinx

�� = � cosx,

W2 =

��sinx 0cosx 1

�� = sinx.

Mamy wie◆c

C 01(x) =

W1

W= cosx, C 0

2(x) =W2

W= � sinx.

Ca lkuja◆c powyzsze rozwia◆zania otrzymujemy

C1(x) = sinx, C2(x) = cosx

(pomijamy sta le ca lkowania, bo i tak wszystko co potrzebne be◆dzie uwzgle◆dnione w rozwia◆zaniuogolnym rownania jednorodnego). Dostajemy zatem

y(x) = sin2 x+ cos2 x = 1,

czyli szukane rozwia◆zanie toy(x) = 1 + C1 sinx+ C2 cosx.

Podstawiaja◆c to rozwia◆zanie do wyjsciowego rownania, uzyskujemy tozsamosc (zdanie prawdziwe).



5.4 Funkcje Bessela

Istnieja◆ rownania rozniczkowe, ktore wyja◆tkowo cze◆sto pojawiaja◆ sie◆ w roznych zagadnieniach.Funkcje spe lniaja◆ce niektore wybrane, badane juz od setek lat, rownania nazywa sie◆ funkcjamispecjalnymi. W tym podrozdziale omowimy krotko tzw. funkcje Bessela.

Rownanie rozniczkowe drugiego rze◆du o postaci

x2y00 + xy0 +�x2 � ⌫2

�y = 0 (5.19)

nosi nazwe◆ rownania Bessela, a jego rozwia◆zania nazywa sie◆ ogolnie funkcjami walcowymi lubcylindrycznymi. Wielkosc ⌫ to parametr zwany wskaznikiem lub rze◆dem funkcji walcowej. Jednoz rozwia◆zan szczegolnych rownania Bessela ma postac

J⌫

(x) =1X

s=0

(�1)s

s!�(⌫ + s+ 1)

⇣x2

⌘⌫+2s

, (5.20)

jest to funkcja Bessela I rodzaju. Jesli ⌫ nie jest liczba◆ naturalna◆, rozwia◆zanie ogolne rownania(5.19) mozna zapisac w postaci

y(x) = C1J⌫(x) + C2J�⌫(x), (5.21)

przy czym C1 i C2 to dowolne sta le5. Funkcja Bessela II rodzaju (inaczej: funkcja Neumanna)zdefiniowana jest naste◆puja◆co

Y⌫

(x) =

8>>>><

>>>>:

cos(⌫⇡)J⌫

(x)� J�⌫(x)

sin(⌫⇡)dla ⌫ 6= n

lim⌫!n

cos(⌫⇡)J⌫

(x)� J�⌫(x)

sin(⌫⇡)dla ⌫ = n,

(5.22)

gdzie n nalezy do zbioru liczb naturalnych. Przy tak zdefiniowanej funkcji Bessela II rodzajurozwia◆zanie ogolne rownania Bessela (5.19), niezaleznie od tego, czy ⌫ jest naturalne czy nie,mozna wyrazic jako

y(x) = C1J⌫(x) + C2Y⌫(x). (5.23)

W niektorych sytuacjach zamiast uzywac rozwia◆zania w postaci (5.23) wygodniej jest wyko-rzystywac rozwia◆zanie w postaci kombinacji tzw. funkcji Hankela I i II rodzaju, funkcje te sa◆zdefiniowane jako odpowiednie kombinacje funkcji J

⌫

(x) i Y⌫

(x). W zastosowaniach najwie◆kszeznaczenie maja◆ funkcje Bessela z ⌫ naturalnym i po lowkowym. Na rysunku 35 przedstawiono kilkapierwszych funkcji Bessela I i II rodzaju z rze◆dem naturalnym w przedziale [0, 10]. Warto zauwazyc,ze funkcje Bessela I rodzaju pozostaja◆ ograniczone w poblizu x = 0, podczas gdy funkcje Bessela IIrodzaju da◆za◆ do �1. Dotyczy to zreszta◆ nie tylko funkcji z ca lkowitym rze◆dem. Funkcje Besselaposiadaja◆ nieskonczenie wiele miejsc zerowych.

Funkcje Bessela znalaz ly zastosowanie w opisie bardzo wielu zagadnien, np. wahad lo o zmiennejd lugosci, membrana ko lowa, falowod cylindryczny, przep lyw ciep la w walcu itd. Jedno z tychzagadnien pojawi sie◆ w naste◆pnym podrozdziale.

5.5 Przyk lady rownan rozniczkowych cza◆stkowych

Dotychczas rozwazalismy rownania rozniczkowe zwyczajne. W rownaniach rozniczkowychcza◆stkowych szukane sa◆ funkcje dwoch lub wie◆cej zmiennych, rownania te zawieraja◆ pochodnecza◆stkowe. Przyk ladowe rownanie rozniczkowe cza◆stkowe:

@2f(x, y)

@x2+ xy

@2f(x, y)

@x@y= y. (5.24)

Z punktu widzenia zastosowan najwazniejsze sa◆ rownania drugiego rze◆du, a wsrod nich najistot-niejsze sa◆:

5Gdy ⌫ nie jest liczba◆ naturalna◆, funkcje J

⌫

(x) i J�⌫

(x) sa◆ liniowo niezalezne.



Rysunek 36: Wykresy funkcji Bessela: (a) - J0(x), J1(x), J2(x); (b) - Y0(x), Y1(x), Y2(x).

• rownanie falowe@2u(~r, t)

@t2� a2�u(~r, t) = Q(~r, t) (5.25)

funkcja u(~r, t) opisuje po lozenie poruszaja◆cego sie◆ cia la, wielkosc a to parametr opisuja◆cyw lasnosci osrodka (przy za lozeniu, ze osrodek jest jednorodny), a funkcja Q(~r, t) reprezentujesi ly dzia laja◆ce na cia lo

• rownanie dyfuzji@u(~r, t)

@t� a2�u(~r, t) = Q(~r, t) (5.26)

funkcja u(~r, t) opisuje np. temperature◆ osrodka albo ste◆zenie jakiejs substancji, wielkosca to parametr opisuja◆cy odpowiednie w lasnosci osrodka (jednorodnego), a funkcja Q(~r, t)reprezentuje np. zrod la ciep la (albo odbiorniki ciep la), lub, odpowiednio, zrod lo jakiejssubstancji; zauwazmy, ze rownanie (5.26) wygla◆da bardzo podobnie jak (5.25), ale opisujezupe lnie inne zjawiska fizyczne

• rownanie teorii potencja lu�u(~r) = �4⇡⇢(~r) (5.27)

funkcja u(~r) opisuje potencja l elektrostatyczny, a funkcja ⇢(~r) reprezentuje ge◆stosc ladunkowelektrycznych.

Zanim powiemy pare◆ s low o metodach rozwia◆zywania rownan rozniczkowych cza◆stkowych, przy-pomnijmy sobie najcze◆sciej stosowane uk lady wspo lrze◆dnych, oraz postaci operatora Laplace’a wtych uk ladach (rysunek 36):

• uk lad wspo lrze◆dnych kartezjanskich

~r = [x, y, z], (5.28)

�f =@2f

@x2+@2f

@y2+@2f

@z2(5.29)

• uk lad wspo lrze◆dnych sferycznych (kulistych)

x = r sin ✓ cos', y = r sin ✓ sin', z = r cos ✓, (5.30)

✓ – ka◆t azymutalny, ' – ka◆t biegunowy,

�f =1

r2@

@r

✓r2@f

@r

◆+

1

r2 sin ✓

@

@✓

✓sin ✓

@f

@✓

◆+

1

r2 sin2 ✓

@2f

@'2(5.31)



• uk lad wspo lrze◆dnych walcowych (cylindrycznych)

x = r cos', y = r sin', z = z, (5.32)

�f =@2f

@r2+

1

r

@f

@r+

1

r2@2f

@'2+@2f

@z2. (5.33)

Rysunek 37: Wspolrze◆dne w uk ladach (od lewej) kartezjanskim, sferycznym i walcowym.

Zauwazamy, ze w uk ladzie wspo lrze◆dnych sferycznych r to odleg losc punktu, na ktory wskazujewektor ~r od pocza◆tku uk ladu (czyli d lugosc wektora ~r), natomiast w uk ladzie wspo lrze◆dnych wal-cowych r to odleg losc tego punktu od osi z.

Istnieje wiele metod rozwia◆zywania zagadnien z rownaniami rozniczkowymi cza◆stkowymi. Niek-tore z nich to metoda separacji zmienych, metody transformacji ca lkowych, metoda funkcji Greena.Sa◆ tez metody numeryczne, a wsrod nich metoda roznic skonczonych, metoda elementow skon-czonych i metoda elementow brzegowych. Rozwazymy teraz dwa przyk lady, w pierwszym z nichposzukamy rozwia◆zania zarowno analitycznie jak i numerycznie.

Przyk ladPocza◆tkowy rozk lad temperatury w cienkim pre◆cie o d lugosci L i z izolowana◆ powierzchnia◆ boczna◆opisuje funkcja f(x). Wyznaczymy temperature◆ w dowolnym punkcie pre◆ta i w dowolnej chwilit > 0, jesli od chwili t = 0 konce tego pre◆ta sa◆ utrzymywane w temperaturze rownej zero. Musimyrozwia◆zac rownanie dyfuzji (5.26), ale w naszym zagadnieniu nie ma zrode l ciep la, wie◆c pomijamysk ladnik Q. Ponadto, poniewaz pre◆t jest cienki, a do tego jego powierzchnia boczna jest izolowana,temperatura w pre◆cie zalezec be◆dzie tylko od odleg losci od pocza◆tku pre◆ta. Przek ladaja◆c wszystkiete informacje na je◆zyk matematyki, mamy

@T (x, t)

@t= a2

@2T (x, t)

@x2, x 2 [0, L], t > 0, (5.34)

T (x, 0) = f(x), (5.35)

T (0, t) = 0, T (L, t) = 0. (5.36)

Zauwazmy, ze rownanie (5.34) jest rownaniem rozniczkowym pierwszego rze◆du ze wzgle◆du nazmienna◆ t (czas) i drugiego rze◆du ze wzgle◆du na po lozenie x. Jest ono uzupe lnione o warunek(5.35), mozemy go nazwac warunkiem pocza◆tkowym, wyraza on rozk lad temperatury w ca lympre◆cie w jednej konkretnej chwili (t = 0), i o dwa warunki (5.36) opisuja◆ce wartosc tempe-ratury w dwoch konkretnych punktach (x = 0 i x = L) i dowolnym czasie. Zagadnienie torozwia◆zemy metoda◆ rozdzielenia zmiennych (metoda separacji zmiennych, metoda Fouriera),tzn. za lozymy, ze szukana funkcja moze byc przedstawiona jako iloczyn funkcji jednej zmiennej:

T (x, t) = X(x)Y (t). (5.37)



Podstawiaja◆c (5.37) do (5.34) i dziela◆c wynik przez iloczyn a2XY , dostajemy

1

a2Y 0(t)

Y (t)=

X 00(x)

X(x). (5.38)

Lewa strona rownania (5.38) zalezy tylko od zmiennej t a prawa tylko od x. Aby strony by ly sobierowne i to niezaleznie od tego jakie jest t i jakie jest x, kazda z nich musi byc rowna jakiejs sta lejwielkosci, zwanej parametrem separacji, ktora◆ dla wygody oznaczymy jako �µ2. Mamy zatem

1

a2Y 0(t)

Y (t)= �µ2,

X 00(x)

X(x)= �µ2. (5.39)

Przepiszmy lewe rownanie w postaci

Y 0(t) = �a2µ2Y (t). (5.40)

Latwo sprawdzic, ze jego ogolne rozwia◆zanie ma postac

Y (t) = Ae�a

2µ

2t. (5.41)

Teraz wezmy prawe z rownan (5.39) i zapiszmy je naste◆puja◆co

X 00(x) = �µ2X(x). (5.42)

Na podstawie jednego z poprzednich podrozdzia low wiemy, ze jego rozwia◆zanie ogolne moznawyrazic jak ponizej

X(x) = B sin(µx) + C cos(µx), (5.43)

ale poniewaz temperatura ma sie◆ zerowac w x = 0, pomijamy sk ladnik zawieraja◆cy funkcje◆ cosinus,zeruja◆c sta la◆ C. Otrzymujemy zatem

X(x) = B sin(µx), (5.44)

ale biora◆c z kolei pod uwage◆ warunek zerowania temperatury w x = L, zapiszemy

sin(µL) = 0, (5.45)

a sta◆d wynika, ze

µL = n⇡ a zatem µn

=n⇡

L, (5.46)

przy czym n moze byc dowolna◆ liczba◆ ca lkowita◆. Mamy wie◆c nieskonczenie wiele mozliwychwartosci parametru separacji i wszystkie te mozliwosci musimy uwzgle◆dnic w rozwia◆zaniu, dlategozapiszemy

Yn

(t) = An

e�a

2n

2⇡

2t/L

2

, Xn

(x) = Bn

sin(n⇡x/L), (5.47)

a szukana temperatura wyraza sie◆ w postaci

T (x, t) =X

n

Xn

(x)Yn

(t) =X

n

Dn

e�a

2n

2⇡

2t/L

2

sin(n⇡x/L). (5.48)

Sumowanie uwzgle◆dnia wszystkie mozliwe wartosci n. Powiedzielismy wczesniej, ze n reprezentujeliczby ca lkowite, ale patrza◆c na wzor (5.48) widzimy, ze sk ladnik, w ktorym n = 0 jest zerem,wie◆c nie ma sensu uwzgle◆dniac go w sumie. Co wie◆cej, biora◆c sk ladniki np. z n = 5 i n = �5 ikorzystaja◆c z nieparzystosci funkcji sinus mozemy zapisac

D5 sin5⇡x

Le�25a2

⇡

2t/L

2

+D�5 sin�5⇡x

Le�25a2

⇡

2t/L

2

=

✓D5 sin

5⇡x

L�D�5 sin

5⇡x

L

◆e�25a2

⇡

2t/L

2

= D05 sin

5⇡x

Le�25a2

⇡

2t/L

2

. (5.49)



Czyli tak naprawde◆ sk ladniki z n ujemnym nie daja◆ nic nowego (zadnych nowych funkcji) ponadto, co wnosza◆ sk ladniki z n dodatnim. W rozwia◆zaniu uwzgle◆dnijmy wie◆c tylko sk ladniki z ndodatnim:

T (x, t) =1X

n=1

D0n

sinn⇡x

Le�a

2n

2⇡

2t/L

2

(5.50)

(rownie dobrze moglibysmy wzia◆c tylko sk ladniki ,,ujemne” i sumowac od n = �1 do n = �1).W dalszym cia◆gu mamy do wyznaczenia nieskonczenie wiele sta lych D0

n

. Uwzgle◆dniaja◆c warunekpocza◆tkowy (5.35), dostajemy

1X

n=1

D0n

sinn⇡x

L= f(x). (5.51)

Rownanie to przemnozmy przez wybrana◆ funkcje◆ sinm⇡x

L

, a naste◆pnie wyca lkujmy wzgle◆dem x wgranicach od 0 do L. Uzyskujemy wyrazenie

1X

n=1

D0n

ZL

0sin

n⇡x

Lsin

m⇡x

Ldx =

ZL

0f(x) sin

m⇡x

Ldx. (5.52)

Wykorzystuja◆c w lasnosci funkcji trygonometrycznych mozna pokazac, zeZ

L

0sin

n⇡x

Lsin

m⇡x

Ldx =

L

2�nm

, (5.53)

gdzie �nm

to delta Kroneckera6. Mamy

L

2

1X

n=1

D0n

�nm

=

ZL

0f(x) sin

m⇡x

Ldx. (5.54)

Z definicji delty Kroneckera wynika, ze wszystkie sk ladniki, w ktorych n 6= m zeruja◆ sie◆, a tooznacza, ze z ca lej sumy po prawej stronie rownania (5.54) pozostaje tylko sk ladnik, w ktorymn = m:

L

2D0

m

=

ZL

0f(x) sin

m⇡x

Ldx. (5.55)

W powyzszym wyrazeniu uwzgle◆dnione sa◆ rozne mozliwe pocza◆tkowe rok lady temperatury. Przyj-mijmy teraz, ze w chwili t = 0 temperatura w kazdym punkcie pre◆ta by la sta la i wynosi la T0:

f(x) = T0. (5.56)

Otrzymujemy

D0m

=2

LT0

ZL

0sin

m⇡x

Ldx, (5.57)

a po wykonaniu ca lkowania stwierdzimy, ze niezerowe sa◆ tylko wspo lczynniki z indeksami nieparzystymi:

D02k = 0, D0

2k+1 =4T0

(2k + 1)⇡, k 2 N. (5.58)

Ostatecznie, wynik ma postac

T (x, t) =4T0

⇡

1X

k=0

1

2k + 1sin

(2k + 1)⇡x

Le�a

2(2k+1)2⇡2t/L

2

. (5.59)

A teraz ten sam przyk lad rozwia◆zemy metoda◆ numeryczna◆, be◆dzie to metoda roznic skonczonych.Mamy zagadnienie (5.34)–(5.36), powiedzmy, ze jego dziedzina◆ jest prostoka◆t zdefiniowany przeznierownosci 0 x L, 0 t ⌧ , jak na rysunku 37. Przedzia l ,,po lozeniowy” [0, L] podzielmy na

6delta Kroneckera jest zdefiniowana naste◆puja◆co

�

nm

=

⇢1 gdy n = m

0 gdy n 6= m

.



Rysunek 38: Podzia l dziedziny zagadnienia (5.34)–(5.36).

N przedzia low [xi

, xi+1], i = 0, 1, 2, . . . , N � 1, przy czym x0 = 0 a x

N

= L, a szerokosc kazdegoprzedzia lu wynosi �x = L/N . Analogicznie, przedzia l ,,czasowy” [0, ⌧ ] dzielimy na M przedzia low[tj

, tj+1], j = 0, 1, 2, . . . ,M � 1, przy czym t0 = 0 a t

M

= ⌧ , a szerokosc kazdego przedzia luwynosi �t = ⌧/M . Oczywiste jest, ze w naszym przypadku x

i

= i�x, i = 0, 1, 2, . . . , N oraztj

= j�t, j = 0, 1, 2, . . . ,M . Przetnijmy nasz prostoka◆t prostymi x = xi

i t = tj

. Punkty (xi

, tj

),ktorych przecinaja◆ sie◆ proste, nazwiemy we◆z lami, wyrozniamy we◆z ly zewne◆trzne (leza◆ce na brzeguprostoka◆ta) i wewne◆trzne.

Przypomnijmy sobie, ze pierwsza pochodna funkcji jest zdefiniowana jako granica ilorazu roz-nicowego (podrozdzia l 2.1). Jesli �x jest ma le, s luszne jest przyblizenie

f 0(x) ' f(x+ �x)� f(x)

�x. (5.60)

Bez wie◆kszego trudu mozna pokazac, ze druga◆ pochodna◆ funkcji f(x) w punkcie x przyblizyc moznawyrazeniem

f 00(x) ' f(x+ �x)� 2f(x) + f(x� �x)

(�x)2. (5.61)

Z powyzszych wyrazen wynika, ze pierwsza◆ pochodna◆ funkcji T (x, t) wzgle◆dem t i druga◆ pochodna◆tej funkcji wzgle◆dem x w punkcie (x

i

, tj

) przyblizyc mozna naste◆puja◆co

@T

@t

��x=xi,t=tj

' T (xi

, tj+1)� T (x

i

, tj

)

�t,

@2T

@x2

��x=xi,t=tj

' T (xi+1, tj)� 2T (x

i

, tj

) + T (xi�1, tj)

(�x)2.

(5.62)Definiuja◆c

T (xi

, tj

) = Ti,j

, (5.63)

mozemy wzory (5.62) zapisac nieco krocej

@T

@t

��x=xi,t=tj

' Ti,j+1 � T

i,j

�t,

@2T

@x2

��x=xi,t=tj

' Ti+1,j � 2T

i,j

+ Ti�1,j

(�x)2. (5.64)

A teraz kluczowy moment: w rownaniu (5.34) pochodne zaste◆pujemy ilorazami roznicowymi (5.64):

Ti,j+1 � T

i,j

�t= a2

Ti+1,j � 2T

i,j

+ Ti�1,j

(�x)2. (5.65)



Rownanie rozniczkowe zasta◆pilismy zatem rownaniem roznicowym. Co wie◆cej, dziedzine◆ cia◆g la◆zasta◆pilismy zbiorem we◆z low (x

i

, tj

), proces ten to przyk lad tzw. dyskretyzacji. Rownanie (5.65)przekszta lcamy do postaci

Ti,j+1 = T

i,j

+a2�t

(�x)2(T

i+1,j � 2Ti,j

+ Ti�1,j) , (5.66)

ktora ma sens dla i = 1, 2, . . . , N � 1, oraz j = 0, 1, . . . ,M � 1. Widzimy, ze maja◆c wszystkiewartosci odpowiadaja◆ce danej chwili, mozemy oszacowac wartosci w naste◆pnej chwili w we◆z lachwewne◆trznych. Schemat dzia lania jest prosty:

• z warunku pocza◆tkowego mamy wszystkie wartosci Ti,0,

• w (5.66) podstawiamy j = 0, otrzymujemy wartosci Ti,1, dla dla i = 1, 2, . . . , N � 1, T0,1 i

TN,1 dostajemy z warunkow brzegowych,

• w (5.66) podstawiamy j = 1, otrzymujemy wartosci Ti,2, dla dla i = 1, 2, . . . , N � 1, T0,2 i

TN,2 dostajemy z warunkow brzegowych,

• i tak dalej, az do j = M � 1.

Zaprezentowane podejscie jest w zasadzie najprostszym z mozliwych (bo oczywiscie sa◆ innesposoby dykretyzacji lub inne wzory na ilorazy roznicowe), ale niesie pewne ograniczenie. Metodamoze dac akceptowalne przyblizenia, jesli spe lniony jest warunek stabilnosci

�t (�x)2

2a2. (5.67)

W przeciwnym razie mozemy otrzymac zupe lnie nieoczekiwane wartosci.A teraz wreszcie proba zilustrowania rozwia◆zan. Przyjmijmy, ze a = 1, T0 = 10, L = 10 i

ze interesuje nas rozk lad temperatury w chwili t = 1. W rozwia◆zaniu (5.59) mamy sumowanienieskonczonej liczby sk ladnikow, jesli chcemy te◆ funkcje◆ stablicowac, musimy przyja◆c jaka◆s skon-czona◆ wartosc gornego indeksu sumowania k

max

. W ten sposob pomijamy nieskonczenie wielesk ladnikow, ale generalnie im wie◆ksze k tym czynnik e�(a2(2k+1)2⇡2

t/L

2) staje sie◆ blizszy zeru, czylisk ladniki z wie◆kszym k daja◆ coraz to mniejszy wk lad w rozwia◆zanie. Na rysunku 38 zaprezentowany

Rysunek 39: Rozk lad temperatury (5.59) w zaleznosci od wartosci gornego indeksu sumowania.

jest interesuja◆cy nas rozk lad temperatury w zaleznosci od wartosci kmax

, widac, ze wynik dlakmax

= 5 praktycznie rozni sie◆ niezauwazalnie od wyniku dla kmax

= 2. Generalnie zauwazamytez, ze wyniki oddaja◆ sens zagadnienia – pre◆t w chwili pocza◆tkowej mia l wsze◆dzie sta la◆ temperature◆rowna◆ 10 i jest studzony na obu koncach.



Rysunek 40: Rozk lad temperatury uzyskany metoda◆ roznic skonczonych w zaleznosci od wartosciN .

Zobaczmy tez, jakie wyniki dla tych samych parametrow daje metoda roznic skonczonych, sa◆one pokazane na rysunku 39. Rozwazone sa◆ 3 przypadki: N = 10, N = 20 i N = 50. Aby spe lnionyby l warunek stabilnosci (5.67), przyje◆to, ze �t = 0.1(�x)2, oznacza to, ze M w poszczegolnychprzypadkach wynosi M = 10, M = 40 i M = 250. Generalnie, nalezy zak ladac, ze im wie◆kszesa◆ wartosci N i M , tym wyniki sa◆ dok ladniejsze, bo tym mniejsze sa◆ wartosci �x i �t, a za-tem tym dok ladniej pochodne sa◆ przyblizone przez ilorazy roznicowe (choc z drugiej strony, imwie◆cej operacji numerycznych, tym wie◆cej niedok ladnosci, wie◆c zawsze trzeba to jakos wywazyc).Porownajmy jeszcze wyniki uzyskane metoda◆ analityczna◆ – dla k

max

= 5 z wynikami otrzymanymimetoda◆ numeryczna◆ – dla N = 50, sa◆ one pokazane na rysunku 40. Mamy wyniki z dwoch zupe lnie

Rysunek 41: Porownanie wynikow otrzymanych analitycznie i numerycznie.

roznych metod i widac, ze sa◆ one zgodne.

Aby przecwiczyc jeszcze raz wykorzystanie metody separacji zmiennych, a przy okazji poznacprzyk lad zastowania funkcji Bessela zajmijmy sie◆ naste◆pnym zagadnieniem.

Przyk lad



Rozwazamy drgania membrany ko lowej o promieniu R0. Membrana jest zamocowana na brzegu,nie dzia laja◆ na nia◆ si ly zewne◆trzne. Zak ladamy, ze znamy pocza◆tkowe wychylenie kazdego punktumembrany i jego pre◆dkosc i przyjmujemy, ze zagadnienie ma symetrie◆ osiowa◆.Przyk ladem membrany moze byc be◆ben. Membrana wykonuje drgania, a nas interesuje naswychylenie danego punktu z po lozenia rownowagi, funkcje◆ opisuja◆ca◆ to wychylenie oznaczmy jakou. Symetria osiowa oznacza, ze zaleznosc wychylenia od po lozenia sprowadza sie◆ do zaleznosciod odleg losci od srodka membrany, oczywiscie wychylenie jest tez funkcja◆ czasu. Wprowadzmysobie uk lad wspo lrze◆dnych biegunowych (rysunek 41). W uk ladzie wspolrze◆dnych biegunowych

Rysunek 42: Uk lad wspo lrze◆dnych biegunowych.

po lozenie punktu okresla sie◆ podaja◆c jego odleg losc od pocza◆tku uk ladu r i ka◆t ' mierzony od osix do odcinka la◆cza◆cego punkt z pocza◆tkiem uk ladu wspo lrze◆dnych, ka◆t mierzymy przeciwnie dowskazowek zegara. Oczywiste sa◆ zwia◆zki

x = r cos', y = sin'.

Operator Laplace’a we wspo lrze◆dnych biegunowych ma postac (porownaj z laplasjanem dla uk laduwspo lrze◆dnych walcowych, (5.33))

�f =@2f

@r2+

1

r

@f

@r+

1

r2@2f

@'2.

Drgania membrany opisywane sa◆ przez rownanie falowe (5.25), ktore w naszym przypadku mapostac

1

a2@2u(r, t)

@t2=@2u(r, t)

@r2+

1

r

@u(r, t)

@r(5.68)

(poniewaz u nie zalezy od ', pochodna u wzgle◆dem ' jest rowna zeru, sta◆d brak w maszymrownaniu falowym jednego sk ladnika). Fakt, ze membrana jest zamocowana na brzegu, oznacza,ze jej wychylenie jest tam rowne zeru, czyli

u(R0, t) = 0. (5.69)

Stosujemy metode◆ separacji zmiennych, wie◆c zak ladamy, ze szukana◆ funkcje◆ u mozna wyrazic jakoiloczyn funkcji jednej zmiennej:

u(r, t) = R(r)T (t). (5.70)

Wstawiamy ten iloczyn do rownania (5.68), a naste◆pnie dzielimy uzyskane rownanie przez ten samiloczyn, otrzymujemy

1

R(r)

✓R00(r) +

1

rR0(r)

◆=

1

a21

T (t)T 00(t). (5.71)



Poniewaz lewa strona rownosci (5.71) zalezy tylko od r, a prawa tylko od t i obie strony musza◆byc sobie rowne dla kazdej wartosci r i t, kazda z nich musi byc rowna jakiejs liczbie (parametrseparacji), ktora◆ oznaczymy jako ��. Dostajemy dwa rownania, jedno z nich ma postac

d2T (t)

dt2= ��a2T (t), (5.72)

a jego rozwia◆zaniem ogolnym jest

T (t) = A sin(p�at) +B cos(

p�at). (5.73)

Drugie rownanie jest naste◆puja◆ce

d2R(r)

dr2+

1

r

dR(r)

dr+ �R(r) = 0 (5.74)

i jesli porownamy je z rownaniem (5.19), to stwierdzimy, ze gdyby nie by lo w nim sta lej �, by lobyono rownaniem Bessela z ⌫ = 0. Zdefiniujmy nowa◆ zmienna◆

s =p�r (5.75)

i przeanalizujmy cia◆g rownosci

@

@rf =

@s

@r

@

@sf =

ds

dr

@

@sf =

p�@

@sf. (5.76)

Podobnie@2

@r2f =

@

@r

✓@

@rf

◆=

ds

dr

@

@s

✓ds

dr

@

@sf

◆= �

@2

@s2f. (5.77)

Uwzgle◆dniaja◆c powyzsze rozwazania w rownaniu (5.74), dostajemy rownanie

d2R

ds2+

1

s

dR

ds+R = 0 (5.78)

i teraz juz mamy rownanie Bessela dla ⌫ = 0 dla zmiennej s. Jego ogolnym rozwia◆zaniem jestkombinacja funkcji Bessela I i II rodzaju z argumentem s. Biora◆c to wszystko pod uwage◆, mamy

R(r) = CJ0(p�r) +DY0(

p�r). (5.79)

Nasze rownanie falowe jest rownanie rze◆du drugiego ze wzgle◆du na r, a podany by l tylko jedenwarunek brzegowy, opisuja◆cy u w konkretnym r. Oczywiste jest jednak, ze zamocowana membrananie moze wychylic sie◆ w nieskonczonosc, a jak pamie◆tamy (rysunek 35 b), funkcje Bessela II rodzajuda◆za◆ do �1, gdy ich argument zmierza do zera. Musimy zatem przyja◆c, ze D = 0 i pozostajemy z

R(r) = CJ0(p�r). (5.80)

Z warunku brzegowego (5.69) wynika, ze

J0(p�R0) = 0. (5.81)

Z podrozdzia lu o funkcjach Bessela wiemy juz, ze funkcje Bessela posiadaja◆ nieskonczenie wielemiejsc zerowych. Oznaczaja◆c kolejne dodatnie miejsca zerowe funkcji J0 jako ↵

i

, i = 1, 2, . . .(wartosci miejsc zerowych funkcji Bessela sa◆ stablicowane, mozna je tez wyznaczac numerycznie),zapiszemy

p�i

R0 = ↵i

a zatem �i

=↵2i

R20

. (5.82)

W koncowym rozwia◆zaniu musimy zatem uwzgle◆dnic wszystkie mozliwe wartosci �i

. Podsumowuja◆cdotychczasowe rozwazania, mamy

u(r, t) =1X

i=1

J0

✓↵i

R0r

◆E

i

sin

✓↵i

R0at

◆+ F

i

cos

✓↵i

R0at

◆�. (5.83)

Wartosci sta lych Ei

oraz Fi

mozna obliczyc z warunkow opisuja◆cych pocza◆tkowe wychylenie ipocza◆tkowa◆ pre◆dkosc kazdego punktu membrany.



6 Metoda przekszta lcen ca lkowych

W tym zestawie zajmiemy sie◆ metoda◆ przekszta lcen ca lkowych. Jej niektore przyk lady tometoda przekszta lcenia Fouriera i metoda przekszta lcenia Laplace’a. Omowimy krotko metode◆przekszta lcenia Fouriera.

6.1 Przekszta lcenie Fouriera

Przekszta lceniem Fouriera danej funkcji f(t) nazywamy przyporza◆dkowanie jej funkcji F (!)wed lug wzoru

F (!) =1p2⇡

Z 1

�1e�i!tf(t)dt, (6.1)

gdzie t,! 2 R, a ca lka istnieje. Funkcje◆ f(t) nazywa sie◆ orygina lem, zas funkcje◆ F (!) – transformata◆.Fakt, ze F (!) jest transformata◆ Fouriera funkcji f(t) zapisujemy naste◆puja◆co

F (!) = F{f(t)}. (6.2)

Przekszta lceniem odwrotnym Fouriera nazywamy przyporza◆dkowanie transformacie F (!) ory-gina lu f(t) w taki sposob, aby spe lniony by l warunek (6.1). Fakt, ze f(t) jest wynikiem transfor-macji odwrotnej Fouriera funkcji F (!) zapisujemy

F�1{F (!)} = f(t). (6.3)

Zazwyczaj s luszny jest wzor

f(t) = F�1{F (!)} =1p2⇡

Z 1

�1ei!tF (!)d!. (6.4)

Przy odpowiednich za lozeniach (ktore w zagadnieniach fizycznych z regu ly sa◆ spe lnione) zachodzirelacja

F{f(t)(n)} = (i!)nF{f(t)} = (i!)nF (!). (6.5)

W ogolnym przypadku mozemy miec do czynienia z funkcja◆ wie◆kszej ilosci zmiennych. Jezeli mamyfunkcje◆ f(x, t), to jej transformata Fouriera wzgle◆dem zmiennej t zdefiniowana jest ca lka◆

Ft

{f(x, t)} = F (x,!) =1p2⇡

Z 1

�1e�i!tf(x, t)dt. (6.6)

Transformacje◆ odwrotna◆ przeprowadzamy naste◆puja◆co

f(x, t) = F�1t

{F (x,!)} =1p2⇡

Z 1

�1ei!tF (x,!)d!. (6.7)

Jesli transformujemy pochodna◆ orygina lu, wazne jest, czy pochodna jest wzgle◆dem tej samej zmien-nej, wzgle◆dem ktorej transformujemy orygina l. Mamy

Ft

⇢@nf(x, t)

@tn

�= (i!)nF

t

{f(x, t)} = (i!)nF (x,!), (6.8)

ale

Ft

⇢@nf(x, t)

@xn

�=

@n

@xn

Ft

{f(x, t)} =@n

@xn

F (x,!). (6.9)

Generalnie widac, ze przekszta lcenie prowadzi do zmiany dziedziny funkcji, mozna wie◆c powiedziec,prowadzi nas do troche◆ innego swiata, niz ten, z ktorego startujemy. Na przyk lad f(x, t) moze bycfunkcja◆ po lozenia i czasu, a F (x,!) funkcja◆ po lozenia i cze◆stotliwosci.

Przekszta lcenia ca lkowe sa◆ jedna◆ z metod rozwia◆zywania zagadnien z rownaniami rozniczkowymi.Aby zobaczyc transformacje◆ Fouriera ,,w akcji” rozwazmy naste◆puja◆cy przyk lad.

Przyk lad



Belka wykonuje drgania spre◆zyste. Wychylenie danego punktu belki od po lozenia rownowagiopisuje funkcja y(x, t) spe lniaja◆ca rownanie

@4y(x, t)

@x4+

1

a4@2y(x, t)

@t2= 0, (6.10)

gdzie a jest sta la◆ zalezna◆ od wielkosci belki i materia lu, z ktorego jest zrobiona. Znamy pocza◆tkowewychylenie:

y(x, 0) = f(x) (6.11)

(f(x) jest jaka◆s dana◆ funkcja◆) i wiemy, ze jej pocza◆tkowa pre◆dkosc jest w kazdym punkcie zerowa:

@y

@t

��t=0

= 0. (6.12)

Belka jest nieskonczona (x 2 (�1,1)). Mamy tu rownanie rozniczkowe, i to az 4 rze◆du zewzgle◆du na x. Sposrod obu argumentow funkcji y(x, t) zmienna x nalezy do ca lego zbioru liczbrzeczywistych, natomiast t jest nieujemne. Zdefiniujmy zatem transformate◆ Fouriera funkcji y(x, t)wzgle◆dem x:

Y (!, t) =1p2⇡

Z 1

�1e�i!xy(x, t)dx. (6.13)

Podkreslmy, ze tu transformata jest wzgle◆dem x, a nie wzgle◆dem t, jak w (6.6). Obliczmytransformate◆ rownania (6.10):

1p2⇡

Z 1

�1

@4y(x, t)

@x4e�i!xdx+

1

a41p2⇡

Z 1

�1

@2y(x, t)

@t2e�i!xdx = 0. (6.14)

To samo mozemy zapisac symbolicznie

Fx

⇢@4y(x, t)

@x4

�+

1

a4F

x

⇢@2y(x, t)

@t2

�= 0, (6.15)

a na podstawie (6.8), (6.9) i (6.13) dostajemy

!4Y (!, t) +1

a4@2

@t2Y (!, t) = 0, (6.16)

czyli@2

@t2Y (!, t) + a4!4Y (!, t) = 0. (6.17)

Widzimy, ze tranformacja Fouriera doprowadzi la nas do rownania rozniczkowego wzgle◆dem tylkojednej zmiennej. W tym przypadku jest to rownanie bardzo proste, jego rozwia◆zanie ogolne mapostac

Y (!, t) = A cos(a2!2t) +B sin(a2!2t). (6.18)

Przekszta lcenie Fouriera warunkow pocza◆tkowych (6.11) i (6.12) prowadzi do wzorow

Y (!, 0) =1p2⇡

Z 1

�1f(x)e�i!xdx, (6.19)

@Y (!, t)

@t

��t=0

= 0. (6.20)

Jesli zrozniczkujemy (6.18) wzgle◆dem t i uwzgle◆dnimy (6.20), natychmiast dostajemy, ze B = 0.Warunek (6.19) przepiszmy jeszcze raz, ale zamiast literki x uzyjmy jakiegos innego oznaczenia,np. ⇠ (wynik przeciez nie zalezy od tego, jak nazywa sie◆ zmienna ca lkowania):

Y (!, 0) =1p2⇡

Z 1

�1f(⇠)e�i!⇠d⇠. (6.21)



Porownanie (6.18) z podstawionym t = 0 (pamie◆tajmy, ze B = 0, choc akurat w tym przypadkunie ma to znaczenia) z (6.21) prowadzi do naste◆puja◆cego wniosku:

A =1p2⇡

Z 1

�1f(⇠)e�i!⇠d⇠. (6.22)

Mamy wie◆c

Y (!, t) =1p2⇡

cos(a2!2t)

Z 1

�1f(⇠)e�i!⇠d⇠. (6.23)

Znalezlismy transformate◆, mozemy wie◆c powrocic do orygina lu y(x, t). Transfrormacja powrotnaprowadzi w naszym przypadku do

y(x, t) =1

2⇡

Z 1

�1

Z 1

�1cos(a2!2t)f(⇠)ei!(x�⇠)d⇠d!. (6.24)

Rozwia◆zanie sprowadza sie◆ zatem do dwukrotnego policzenia ca lki. Teraz juz widac, dlaczego podrodze wprowadzilismy ⇠ zamiast x. Czynnik A jest wynikiem ca lkowania, liczba◆. Jesli w ca lcedefiniuja◆cej A pozostawimy x i przeprowadzimy przekszta lcenie powrotne, pojawia sie◆ problemz funkcja◆ podca lkowa◆. Jezeli wszystko robimy w lasciwie, jedynym czynnikiem zawieraja◆cym xpowinno byc ei!x.

6.2 Dyskretna transformata Fouriera

Dyskretna transformata Fouriera ma duze znaczenie w analizie danych pomiarowych, gdysygna l jest probkowany, tzn. gdy nie mamy cia◆g lej funkcji, a tylko zbior konkretnych wartosci,np. mierzymy wysokosc fali w konkretnych chwilach, albo wartosci jakiejs funkcji w konkret-nych punktach (po lozeniach). Za lozmy zatem, ze mamy {a0, a1, a2, . . . , aN�1} – zbior N wartoscirzeczywistych. Dyskretna transformata Fouriera prowadzi do zbioru N wartosci zespolonych{A0, A1, A2, . . . , AN�1}, wynosza◆cych

Ak

=N�1X

n=0

an

e�2⇡iN kn, 0 k N � 1. (6.25)

Maja◆c wartosci {A0, A1, A2, . . . , AN�1}mozemy ,,odzyskac” wartosci {a0, a1, a2, . . . , aN�1}, stosuja◆cprzekszta lcenie odwrotne

an

=1

N

N�1X

k=0

Ak

e2⇡iN kn, 0 k N � 1. (6.26)

Rysunek 43: Zbior 100 wartosci pewnej wielkosci.



Rysunek 44: Wartosci bezwzgle◆dne liczb otrzymanych poprzez zastosowanie dyskretnej transfor-maty Fouriera do liczb z rysunku 42.

Rysunek 45: Modyfikacja zbioru liczb z rysunku 43, pozostawiono 5 liczb o najwie◆kszych modu lach,a pozosta le wyzerowano.

Rysunek 46: Przekszta lcenie odwrotne wartosci z rysunku 44.

Dyskretna◆ transformate◆ Fouriera mozemy wykorzystac do ,,oczyszczania” sygna lu z zak locen.

Przyk ladMamy zbior 100 wartosci be◆da◆cych wynikami pomiaru pewnej wielkosci (np. co konkretny krokczasowy mierzono wychylenie jekiegos cia la od po lozenia rownowagi), sa◆ one pokazane na rysunku42. Zauwazyc mozna, ze generalnie punkty na rysunku 42 uk ladaja◆ sie◆ wzd luz pewnej g ladkiej krzy-wej. Stosuja◆c dyskretna◆ transformate◆ Fouriera otrzymujemy 100 liczb zespolonych, ich modu ly sa◆zilustrowane na rysunku 43. Stwierdzamy, ze 5 sposrod tych liczb ma modu ly wyraznie wie◆ksze odpozosta lych liczb, ktorych wartosci modu low rozk ladaja◆ sie◆ przypadkowo. Pozostawmy 5 liczb o



Rysunek 47: Rozk lad wartosci pewnej funkcji w kwadracie.

Rysunek 48: Wartosci bezwzgle◆dne liczb otrzymanych poprzez zastosowanie dyskretnej transfor-maty Fouriera do liczb z rysunku 46.

Rysunek 49: Modyfikacja zbioru liczb z rysunku 47, cze◆sc z nich wyzerowano.



Rysunek 50: Przekszta lcenie odwrotne wartosci z rysunku 48.

najwie◆kszych modu lach, a reszte◆ wyzerujmy, patrz rysunek 44. Jesli do zmodyfikowanego zbioruliczb zastosujemy przekszta lcenie odwrotne, otrzymamy rozk lad zblizony do rozk ladu wyjsciowego(rysunek 45), ale wyg ladzony i zdecydowanie latwiejszy do analizy.

Dyskretna◆ transformate◆ Fouriera stosowac mozna rowniez w przypadku wie◆kszej ilosci wymiarow.Za lozmy, ze mamy M ⇥N wartosci u

x,y

, x = 0, 1, . . . ,M �1, y = 0, 1, . . . , N �1. Uzyskamy z nichM ⇥N wartosci V

m,n

:

Vm,n

=M�1X

x=0

N�1X

y=0

ux,y

e�2⇡iM mxe�

2⇡iN ny. (6.27)

Przekszta lcenie odwrotne w tym przypadku wygla◆da naste◆puja◆co

ux,y

=1

MN

M�1X

m=0

N�1X

n=0

Vm,n

e2⇡iM mxe

2⇡iN ny. (6.28)

Przyk ladDysponujemy wartosciami funkcji dwoch zmiennych w pewnych konkretnych punktach naleza◆cychdo jakiegos kwadratu, rozk lad tych wartosci ilustruje rysunek 46. Obliczamy dyskretna◆ transformate◆Fouriera i ilustrujemy modu ly uzyskanych liczb, patrz rysunek 47. Widzimy wyrazne maksima wrogach kwadratu i przypadkowe fluktuacje w pozosta lych obszarach, zeruja◆c odpowiednie liczby,usuwamy te fluktuacje (rysunek 48). Stosujemy przekszta lcenie odwrotne i dostajemy rysunek 49,prezentuja◆cy ,,oczyszczona◆” wersje◆ danych z rysunku 46.

Takie podejscie mozna wykorzystac przede wszystkim do cyfrowej obrobki obrazu.



7 Przyk lady zadan do rozwia◆zania na cwiczeniach

Zadania 2, 3 i 4 zosta ly zaczerpnie◆te ze zbioru zadan opublikowanego na stroniehttp://www.mif.pg.gda.pl/zz/

Zadanie 1Znalezc ka◆t pomie◆dzy wektorami ~u = ~i + 2~j + 3~k oraz ~v = 2~i � 3~j � ~k. Wykorzystac a) iloczynskalarny, b) iloczyn wektorowy.

Zadanie 2Znalezc czas przelotu samolotu mie◆dzy dwoma punktami odleg lymi od siebie o L, jezeli pre◆dkosc

Rysunek 51: Rysunek do zadania 2.

samolotu wzgle◆dem powietrza wynosi v1, a pre◆dkosc przeciwnego wiatru skierowanego pod ka◆tem↵ wzgle◆dem kierunku ruchu samolotu wynosi v2 (rysunek).

Zadanie 3Cz lowiek stoi na nieruchomym wozku i rzuca do przodu kamien o masie m, nadaja◆c mu pre◆dkoscv. Wyznaczyc prace◆, jaka◆ musi wykonac przy tym cz lowiek, jezeli masa wozka wraz z nim wynosiM (zasada zachowania pe◆du).

Zadanie 4Cz lowiek o masie m1 = 60kg, biegna◆cy z pre◆dkoscia◆ v1 = 8km/h, dogania wozek o masie m2 =90kg, ktory jedzie z pre◆dkoscia◆ v2 = 4km/h i wskakuje na ten wozek. Z jaka◆ pre◆dkoscia◆ be◆dzieporusza l sie◆ wozek z cz lowiekiem? Jaka be◆dzie pre◆dkosc wozka z cz lowiekiem w przypadku, gdycz lowiek be◆dzie bieg l naprzeciwko wozka? (zasada zachowania pe◆du)

Zadanie 5Dwie ma le kule o masachm1 im2 poruszaja◆ sie◆ z pre◆dkosciami, odpowiednio, v1 i v2, skierowanymi


prostopadle wzgle◆dem siebie (rysunek). Jakie be◆da◆ wektory pre◆dkosci kulek po zderzeniu w przy-padku, jesli zderzenie jest niespre◆zyste?

Zadanie 6



Leza◆cy na ziemi granat rozpad l sie◆ na 3 od lamki. Masy poszczegolnych od lamkow wynosza◆,


odpowiednio, 20 %, 30 % i 50 % ca lkowitej masy granatu. Wyznaczyc wektor pre◆dkosci najwie◆kszegood lamka, jesli dane sa◆ wektory dwoch mniejszych od lamkow (rysunek).

Zadanie 7Wskaz kierunek i zwrot si ly Lorentza dzia laja◆cej na elektron, cza◆stke◆ ↵ i pozyton wlatuja◆ce w


obszar pola magnetycznego o indukcji ~B (rysunek).

Zadanie 8Cza◆stka o ladunku +q wlatuje w obszar pola magnetycznego o indukcji ~B i elektrycznego o


nate◆zeniu ~E. Na rysunku zaznacz si ly dzia laja◆ce na cza◆stke◆. Jaka powinna byc wartosc pre◆dkosci,aby kierunek ruchu cza◆stki nie zmienia l sie◆?

Zadanie 9Na ziemi lezy pod luzna belka o masie m. Jaka◆ minimalna◆ si la◆ musimy zadzia lac pionowo w gore◆ najeden z koncow belki, aby moc go uniesc? Wykonaj rysunek, uwzgle◆dnij na nim wektory momentusi ly.

Zadanie 10Na siedzisku A hustawki usiad l cz lowiek o masie M = 100kg. Po przeciwnej stronie w punktach B,C i D usiad ly osoby o masach, odpowiednio 60kg, 40kg i 50kg. Czy tak obcia◆zona hustawka mozeutrzymywac sie◆ w stanie rownowagi? Na rysunku uwzgle◆dnij wektory momentu si ly. Odleg losci




poszczegolnych miejsc od punktu podparcia wynosza◆: rA = rD

= 2m, rB

= 0.6m, rC

= 1.2m.

Zadanie 11Na wykresie przedstawiono zaleznosc przebywanej drogi od czasu. Wyznacz srednia◆ pre◆dkosc


w ca lym zbadanym przedziale czasu, srednia◆ pre◆dkosc dla czasu z przedzia lu od 2s do 8s orazpre◆dkosc chwilowa◆ dla t = 3s i t = 5s.

Zadanie 12Wektor o wspo lrze◆dnych [x(t), y(t)] opisuje po lozenie poruszaja◆cego sie◆ cia la. Wyznacz wektorypre◆dkosci i przyspieszenia dla t = 5s, jesli x(t) = 10t oraz y(t) = 1000� 5t2 (x(t) i y(t) wyrazonesa◆ w metrach a czas w sekundach).

Zadanie 13Wspo lrze◆dne pewnego punktu poruszaja◆cego sie◆ po okre◆gu o promieniu R sa◆ naste◆puja◆cymi funkc-jami czasu: x(t) = R cos(!t) , y(t) = R sin(!t). Wyznacz wektory pre◆dkosci i przyspieszenia tegopunktu i wykaz, ze ich d lugosci sa◆ sta le.

Zadanie 14Cia lo rzucono pionowo do gory z pre◆dkoscia◆ v0. Wysokosc cia la nad powierzchnia◆ ziemi opisujefunkcja y(t) = v0t� gt2/2. Znalezc ca lkowity czas ruchu oraz ekstrema wysokosci i pre◆dkosci orazmodu lu pre◆dkosci.

Zadanie 15Cia lo umieszczone w poziomym uk ladzie spre◆zyn wykonuje ruch drgaja◆cy, a jego wychylenie zpo lozenia rownowagi opisuje funkcja x(t) = 0.1 cos(2⇡t) (wychylenie wyrazone jest w metrach aczas w sekundach). Okresl, przy jakich wychyleniach sk ladowa pozioma pre◆dkosci i przyspieszeniaposiadaja◆ ekstrema.

Zadanie 16Zaleznosc cisnienia p gazu zamknie◆tego w pewnym zbiorniku od temperatury T i obje◆tosci V jest



naste◆puja◆ca: p = RT/V , przy czym R jest pewna◆ sta la◆. Temperatura i obje◆tosc sa◆ funkcjamiczasu danymi wzorami: T (t) = T0(1+at), V (t) = V0e

�t. Korzystaja◆c z regu ly lancuchowej, okreslszybkosc zmian cisnienia w zaleznosci od czasu.

Zadanie 17Moc P wydzielana przez pewien element uk ladu elektrycznego zalezy od napie◆cia U i opornosciR naste◆puja◆co: P = U2/R. Napie◆cie i opor zaleza◆ od temperatury t: U(t) = U0(1 + ↵t),R(t) = R0(1 + �t), przy czym U0, R0, ↵ i � to sta le, natomiast t > 0. Korzystaja◆c z regu ly lancuchowej, okresl szybkosc zmian mocy w zaleznosci od temperatury. Przy jakiej wartosci tem-peratury uzyskamy ekstremum mocy? Czy be◆dzie to minimum czy maksimum? (zak ladamy, ze� > 2↵).

Zadanie 18Potencja l elektrostatyczny pochodza◆cy od punktowego ladunku Q w odleg losci r od tego ladunkuwynosi ↵Q/r (gdzie ↵ jest sta le). Mamy uk lad sk ladaja◆cy sie◆ z 2 ladunkow +q i 2 ladunkow�q. Ladunki dodatnie umieszczone sa◆ w punktach (a, a) i (�a, a), natomiast ladunki ujemne w(�a,�a) i (a,�a). Wyznacz nate◆zenie pola elektrycznego w punktach (0, a) i (0, 0).

Zadanie 19Zaleznosc wysokosci wzgle◆dnej od po lozenia mozna w pewnym obszarze stoku narciarskiego opisacfunkcja◆ h(x, y) = 1000� 0.01(x2 + y2) (h, x i y wyrazane sa◆ w metrach). Wyznacz kierunek naj-szybszego spadku wysokosci w punkcie (10, 10). Jak duzy jest ten spadek? Czy narciarz stoja◆cy wpunkcie (10, 10) moze swobodnie (bez odpychania kijkami) ruszyc na wprost w kierunku punktu(40,�30)? Czy narciarz startuja◆cy z punktu (10, 0) moze jechac do punktu (40,�30) ca ly czas nawprost, jesli (ze wzgle◆dow bezpieczenstwa) maksymalny spadek wysokosci na jednym metrze (wpoziomie) to jeden metr?

Zadanie 20Rozk lad temperatury w pewnej d lugiej cienkiej p lytce o szerokosci 2a opisuje funkcja T (x, y) =T0 exp[�(x2 + y2)] + x(T1 � T2)/(2a) + (T1 + T2)/(2a). Wyznacz kierunek najszybszej zmianytemperatury w punkcie (0, 0), a takze szybkosc zmiany temperatury z tego punktu w kierunkupunktow (0, a) i (a, a).

Zadanie 21Potencja l pola grawitacyjnego pochodza◆cy od cia la o masie M w odleg losci r od tego cia la wynosi' = ��M/r (gdzie � jest sta le). Mamy uk lad 3 cia l: cia lo o masie m umieszczone w punkcie (0, 0)i dwa cia la w punktach (0, a) i (a, 0), kazde o masie 2m. Wyznacz nate◆zenie pola grawitacyjnegow punkcie (a, a). W jakim punkcie nate◆zenie pola grawitacyjnego be◆dzie zerowe? (Nate◆zenie tominus gradient potencja lu.)

Zadanie 22Pole temperatury w pewnym osrodku opisuje funkcja T (x, y, z) = T0 exp[�(x2 + y2 + z2)]. Wyz-naczyc pole ge◆stosci strumienia ciep la ~q = ��~rT , � = const. Czy jest ono bezzrod lowe?

Zadanie 23Sprawdz, czy pole wektorowe ~v = [ax,�ay, v

z

] (a oraz vz

sa◆ sta le) jest bezwirowe.

Zadanie 24Rozwazamy wektory naleza◆ce do przestrzeni trojwymiarowej. Wektor ~r opisuje po lozenie. Wykaz,ze

~r · ~r = 3,~r⇥ ~r = 0,

~r✓1

r

◆=

~r

r3, ~r 6= 0,

~r⇥⇣~r⇥ ~A

⌘= ~r

⇣~r · ~A

⌘�⇣~r⌘2

~A.



Zadanie 25Z ponizszego uk ladu rownan Maxwella wyprowadzic rownania falowe dla nate◆zenia pola elek-trycznego ~E i indukcji pola magnetycznego ~B. Wykorzystac ostatnia◆ rownosc z zadania 24.

~r · ~E = 0,~r · ~B = 0,

~r⇥ ~E = �@~B

@t,

~r⇥ ~B = µµ0""0@ ~E

@t.

Zadanie 26Oblicz ponizsze ca lki dla f(r) = A exp[��r]:

Zr|f(r)|2dr,

Zf(r)

d

dr

r2

df(r)

dr

�dr.

Zadanie 27Wyraz ca lke◆ Z

vf(v)dv

poprzez ca lke◆ umozliwiaja◆ca◆ (w odpowiednich granicach ca lkowania) wykorzystanie funkcji gamma.Funkcja podca lkowa zawiera funkcje◆ rozk ladu pre◆dkosci Maxwella:

f(v) = ↵v2 exp[��v2].

Funkcja gamma zdefiniowana jest ca lka◆

�(x) =

Z 1

0tx�1e�tdt.

Zadanie 28Napie◆cie w sieci zmienia sie◆ w czasie zgodnie z zaleznoscia◆ U(t) = 325 sin(2⇡50t), przy czymnapie◆cie podajemy w V a czas w s. Wyznacz srednia◆ wartosc napie◆cia w czasie od 0 do 0.02s.Do napie◆cia pod la◆czamy opornik R = 100⌦. Ile ciep la wydzieli sie◆ na tym oporniku w czasie 1minuty? Do jakiego sta lego napie◆cia U0 musia lby byc pod la◆czony ten opornik, aby w tym samymczasie wydzieli l tyle samo energii?

Zadanie 29Przewodnosc cieplna pewnego materia lu jest naste◆puja◆ca◆ funkcja◆ temperatury t (mierzonej w stop-niach Celsjusza) �(t) = �0(1 + at + bt2), t > 0. Wyznacz srednia◆ wartosc przewodnosci dlaprzedzia lu temperatur od 0 do t0.

Zadanie 30



Sprawdz zbieznosc ca lek niew lasciwych:Z 1

0e�xdx,

Z �1

�1

1

x2dx,

Z 1

�1e�|x|dx,

Z 1

0sinxdx,

Z 1

0lnxdx,

Z 1

0

1

xdx.

Zadanie 31Oblicz ca lke◆ dwukrotna◆ I. Obszar S ograniczony jest funkcjami y = x2 oraz y = 2x.

I =

ZZ

S

xy2dS.

Zadanie 32Korzystaja◆c z ca lki dwukrotnej, wykaz, ze obje◆tosc walca o promieniu podstawy R i wysokosci Hwynosi V = ⇡R2H.

Zadanie 33Roz lozenie masy na p laskim obszarze S opisuje ge◆stosc ⇢(x, y). Wspo lrze◆dne srodka masy zawartejw S definiuje sie◆ naste◆puja◆co:

Mx

=1

m

ZZ

S

x⇢(x, y)dS, My

=1

m

ZZ

S

y⇢(x, y)dS,

przy czym m =RR

S

⇢(x, y)dS jest ca lkowita◆ masa◆ zawarta◆ w S. Znajdz po lozenie srodka masy,jesli ⇢(x, y) = ⇢0, a S jest prostoka◆tem takim, ze x 2 [0, a] oraz y 2 [0, b].

Zadanie 34Znajdz ogolne rozwia◆zanie rownania y00(x) = �y(x). Znajdz rozwia◆zanie szczegolne odpowiadaja◆cewarunkom pocza◆tkowym y(0) = 10, y(0) = 5.

Zadanie 35Cia lo o masie m zawieszone na spre◆zynie o wspo lczynniku spre◆zystosci k zmienia swoje po lozeniezgodnie ze wzorem x00(t) = �(k/m)x(t). Znalezc zaleznosc po lozenia od czasu, jesli wiadomo,ze pocza◆tkowe wychylenie cia la (czyli odpowiadaja◆ce t = 0) wynosi x0, natomiast pocza◆tkowapre◆dkosc to v0.

Zadanie 36Stosuja◆c bezposrednie ca lkowanie znajdz rozwia◆zania ogolne rownan

d2

dx2T (x) + a = 0,

d2

dx2+

1

r

d

dr

�T (x) + a = 0,

1

r2d

dr

✓r2

dT (r)

dr

◆+ a = 0.



Zadanie 37Znajdz rozwia◆zania ogolne rownan stosuja◆c podane podstawienie i rozwia◆zuja◆c rownanie charak-terystyczne

d2T (r)

dx2+

2

r

dT (r)

dr= 0, T (r) = r↵

y00(x)� 10y0(x) + 9y(x) = 0, y(x) = e↵x.

Zadanie 38Po lozenie cia la wykonuja◆cego drgania t lumione jest funkcja◆ czasu i spe lnia rownanie

md2x(t)

dt2+ b

dx(t)

dt+ kx(t) = 0.

Okresl po lozenie cia la w dowolnej chwili, jesli pocza◆tkowe wychylenie wynosi x0, a pocza◆tkowapre◆dkosc to 0. Zak ladamy, ze b2 < 4mk.



Literatura

[1] Praca zbiorowa, Poradnik inzyniera. Matematyka, WNT, Warszawa, 1986.

[2] I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, PWN,Warszawa, 1996.

[3] Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wa◆sowski, Metody numeryczne, WNT, Warszawa, 1993.

[4] E. Ka◆cki, Rownania rozniczkowe cza◆stkowe w zagadnieniach fizyki i techniki, WNT, Warszawa,1992.

[5] E. Ka◆cki, L. Siewierski, Wybrane dzia ly matematyki wyzszej z cwiczeniami, PWN, Warszawa,1986.

[6] E. Korpal, Funkcje specjalne, Wydawnictwa AGH, Krakow, 2001.

[7] A. Lenda, Wybrane dzia ly matematycznych metod fizyki, Wydawnictwa AGH, Krakow, 2004.

[8] A. Lenda, B. Spisak, Wybrane dzia ly matematycznych metod fizyki. Rozwia◆zane problemy,Wydawnictwa AGH, Krakow, 2006.

[9] D. A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodnikow i inzynierow, PWN, Warszawa, 2005.

[10] T. Pang, Metody obliczeniowe w fizyce, PWN, Warszawa, 2001.

[11] S. Romanowski, W. Wrona, Matematyka wyzsza dla studiow technicznych, PWN, Warszawa,1967.

[12] B. Staniszewski, Wymiana ciep la. Podstawy teoretyczne, PWN, Warszawa, 1979.

[13] W. Zakowski, G. Decewicz, Matematyka, cz. I, WNT, Warszawa, 1997.

[14] W. Zakowski, W. Leksinski, Matematyka, cz. IV, WNT, Warszawa, 1995.


obliczenia w fizyce i technice - prochembio.pwr.wroc.pl · politechnika gdan´ska, mie...

Documents