Обратные тригонометрические

функции

Работу выполнила

Учитель МАОУ «Лицей №10»

Зололтухина Л.В

Содержание:

1. Обратные тригонометрические функции, свойства, графики

2. Историческая справка

3. Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

4. Решение уравнений

5. Задания различного уровня сложности

Из истории тригонометрических функций•Древняя Греция.III в до н. э. Евклид, Аполоний Пергский. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике.•Ок. 190 до н. э Гиппарх Никейский. Возможно он первый составил таблицу хорд, аналог современных таблиц тригонометрических функций.•Абу-аль-Ваф ввел тригонометрические функции тангенс и котангенс.•Первая половина XV в. Аль-Каши произвел уникальные расчеты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом 1’.•I-II вв. индийские математики вводят понятие синуса.•1423-1461- австрийский математик и астроном Георг фон Пойербах был одним из первых европейских ученых, которрый применил понятие синуса.•1602-1675 французский математик, астроном и физик Жиль Роберваль построил синусоиду. •XV в. Региомонтан ввел термин тангенс.•1739 г. И. Бернулли ввел современные обозначения синуса и косинуса.•1770 г. Георг Симон Клюгель вводит новый термин тригонометрические функции. •1772 г. Ж. Лагранж вводит первую из шести обратных тригонометрических функций. •Карл Шерфер ввел современные обозначения для обратных тригонометрических функций.

Arcsin х

Арксинусом числа m называется такой угол x, для которого sinx=m, -π/2≤X≤π/2,|m|≤1

Функция y = sinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей.

График обратной функции симметричен с графиком основной функции относительно биссектрисы I - III координатных углов.

Свойства функции y = arcsin x

1)Область определения: отрезок [-1; 1];

2)Область изменения: отрезок [-π/2,π/2];

3)Функция y = arcsin x нечетная: arcsin (-x) = - arcsin x;

4)Функция y = arcsin x монотонно возрастающая;

5)График пересекает оси Ох, Оу в начале координат.

Arccos х

Арккосинусом числа m называется такой угол x, для которого:

cos x = m0 ≤ x ≤ π|m|≤1

Функция y= arccosx является строго убывающей

cos(arccosx) = x при -1 ≤ x ≤ 1arccos(cosy) = y при 0 ≤ y ≤ π

D(arccosx)= [ −1;1]]

E(arccosx)= [0;π]]

Свойства функции y = arccos x .

Arctgх

Арктангенсом числа m называется такой угол x, для которого tgx=m, -π/2<X<π/2.График функции y=arctgxПолучается из графика Функции y=tgx, симметриейОтносительно прямой y=x.

y=arctgх

1)Область определения: R

2)Область значения: отрезок [-π/2,π/2];

3)Функция y = arctg x нечетная: arctg (-x) = - arctg x;

4)Функция y = arctg x монотонно возрастающая;

5)График пересекает оси Ох, Оу в начале координат.

y

yx

2

2

Arcctgх

Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого ctgx=a, 0<x<π

2

• Функция y=arcctgx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.

• Функция y=arcctgx является строго убывающей.

• ctg(arcctgx)=x при xєR

• arcctg(ctgy)=y при 0 < y < π

• D(arcctgx)=(-∞;∞)

• E(arcctgx)=(0; π)

Arcctgх

Преобразование выражений

.28)3

7(712

4

3arcsin712

4

3arcsin712

,3

7

,4

7

16

91sin1cos,

4

3-sin )3

.42

224

4cos24 )2

.243

1324

6324 )1

:Решение

.4

3arcsin712 )3

;1cos24 )2 ;5,0arcsin324 )1

:Вычислить

2

ctgctg

ctg

tg

ctg

arcctgtg

Преобразование выражений

.4

B т ,1 как Так .1120239119

119120239

239

1

119

1201

239

1

119

120

119

120

144

251

12

52

4,12

5

25

11

5

12

1

22

41

4)4(

:равенства этого частейобеих от ттангенВозьмем

4 вычислить Надо239

1,

5

1 ттогд,

239

1,

5

1

:239

1

5

14

ракалькулято без Вычислить 1.

2

tgBtgB

tgtg

tgtg

tgtg

tgtgtgtgB

В

tgtgarctgarctg

Решение

arctgarctg

.arctg(-2))25

3arccos

2

13.tg(

;arctg(-2))25

3arccos

2

1sin(..2

);5

4scos(2arcco 1.

:Вычислить

решения льногосамостояте для Упражнения

Уравнения, содержащие

обратные тригонометрические функции

.2

1sin x,

2

1arcsinx

,2

;2

-2 но,2

1t,2t

.0252t

тогда,2

;2

- tпричем t,arcsinx Пусть

.02arcsin52(arcsinx) уравнение Решить.2

.4

22 x,

2

2-12x откуда ,

4

3cos12x

уравнению оравносильн уравнение данное числа

аарккосинус юопределени по тт,;04

3 как Так

.4

31)arccos(2x уравнение Решить.1

21

2

2

t

x

Упражнения для самостоятельного решения

.32

xarcsin-arcsinx.3

,34

x-1arctg.2

;3

3)x1.arccos(2

:уравнения Решить

Задания различного уровня сложности

11.- равно выражения данного Значение

,6

11)

6

5(sin(arccos

поэтому значения, льныенеотрицате ттольк

принимаеет 0; промежутке наsinx f(x) Функция

.36

11)

6

5(1

))6

5(arccos(cos1))

6

5(arccos(sin

тт,cos1sinПоскольку

)).6

5(-sin(arccos116))

6

5arccos(-

2

3cos(116

:приведенияформулу Применим :Решение

)).6

5arccos(-

2

3cos(116

выражения значение Найти

2

22

22

tt

Задания различного уровня сложности

.8

1 xноокончатель получаем ОДЗ учетом С

.8

1,1,0178x или 781

812(2x)-1arcsin2x)(2sin-1n2x)cos(2arcsi

7x,s7x)cos(farcco как Так

7x)cos(arccosn2x)cos(2arcsi

:следующему оравносильн уравнение промежутке этом На

.7

1x

7

1- есть то

7

1x

7

12

1x

2

1-

или 17x1-

12x1-

:уравнения ОДЗ найдем :Решение

arccos7x.2arcsin2x

уравнение Решить

22

222

xxxxx

x

Задания различного уровня сложности

.4

1arccos- что Получим,

.4

1-1-

16

621-

22coscos Найдем

.4

6

2

3

2

2

2cos что Получим, .sin

2

2

2cos углами.

искомым и данныммежду емсоотношени мсяВоспользуе

:Решение

гранями. боковымимежду угол Найдите

.60 равный угол, основания плоскостью с образует

пирамиды льнойчетырехуго правильной грань Боковая

:задачу Решить

2

0

Таблицы значений обратных тригонометрических функций

В следующей таблице приведены значения функций арксинуса и арккосинуса для некоторых значений углов:

В следующей таблице приведены значения функций арктангенса и арккотангенса для некоторых значений углов:

Литература:1. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобр. учреждений/ Ш.А.

Алимов, Просвещение, 2009.-384 с.

2. Тесты по математике для абитуриентов.-М.:Айрис-пресс,2003.-352 с.

3. За страницами учебника математики/С.А Литвинова, Л.В. Куликова.- 2-е изд.,дополнительное.М.: Глобус, Волгоград: Панорама,2008.-176с.