Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«АЛТАЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Учебное пособие

для студентов физических факультетов

педагогических вузов

Издание 2-е, исправленное и дополненное

Допущено Учебно-методическим объединением по направлениям педагогического образования Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных

заведений, обучающихся по направлению 050200 Физико-математическое образование

Барнаул 2010

3

УДК 512.64(075)

ББК 22.143я73 К 562 А. А. Коваленко Основы линейной алгебры: Учебное пособие. – Издание 2-е,

исправленное и дополненное. - Барнаул: Изд-во АлтГПА, 2010. - 118 с.

Рецензенты:

Плотников В.А. - доктор физ.-мат. наук, профессор

(Алтайский государственный университет)

Ефремов Ю.С. - кандидат физ.-мат. наук, профессор

(Алтайская государственная педагогическая академия) Учебное пособие, в котором изложен необходимый минимум теоретических сведе-

ний по предмету, написано в соответствии с требованиями государственного стандарта

для специальностей 050203 (Физика) и 050203.65 (Физика с дополнительной специально-

стью). Излагаемый материал предназначен для студентов-первокурсников и является со-

ставной частью курса “Аналитическая геометрия и линейная алгебра”, в связи с чем в по-

собии рассматриваются только вещественные линейные пространства над полем действи-

тельных чисел. Предполагается, что необходимые обобщения для комплексных чисел бу-

дут сделаны при изучении тех дисциплин (например, квантовой механики), где соответст-

вующая теория находит своё непосредственное практическое применение.

Основное назначение настоящего пособия – помочь в усвоении ряда абстрактных

понятий линейной алгебры и на простых конкретных примерах показать возможности ее

аппарата. Изложение основных методов сопровождается достаточно подробным рассмот-

рением типовых задач и примеров.

Для удобства пользования пособием в тексте используются следующие обозначения:

• - определения, правила;

Ø - теоремы;

v - примеры.

Подзаголовки параграфов выделены жирным шрифтом, а замечания - курсивом. Не-

зависимо от номера параграфа приведенные примеры и формулы имеют сквозную нуме-

рацию. В конце каждого параграфа приводятся вопросы и задания для самоконтроля.

ISBN 978-5-88210-534-0

© Издательство БГПУ, 2010

© А.А. Коваленко, 2010

3

ВВЕДЕНИЕ

В математике часто приходится встречаться с объектами, над которы-

ми производятся так называемые линейные операции: сложение, вычита-

ние и умножение на число. Примерами таких объектов могут служить гео-

метрические векторы (направленные отрезки) на плоскости или в про-

странстве, множество всех непрерывных функций, заданных на данном

интервале [a,b] и т.д. Изучению множеств таких объектов и операций над

ними посвящён раздел математики, который получил название линейной

алгебры. Особое значение этого материала для физики объясняется тем,

что большинство физических законов (второй закон Ньютона, закон Ома и

др.) линейны относительно входящих в них величин, а сами эти физиче-

ские величины (например, сила, напряженность поля, потенциал и т.д.) ад-

дитивны.

§1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Из школьного курса алгебры известно понятие системы двух линей-

ных уравнений с двумя неизвестными 1 1 1

2 2

a x b y ca x b y c

+ = + =

, где ис-

пользуются следующие обозначения: x, y - неизвестные; a1, a2, b1, b2 – ко-

эффициенты при неизвестных; с1 и с2 – свободные члены уравнений.

• Любая пара чисел x, y, одновременно обращающая в тождество

оба уравнения системы, называется её решением.

• Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется

совместной.

• Система уравнений, не имеющая ни одного решения, называется

несовместной.

4

Разумеется, неизвестные можно обозначить другими буквами (на-

пример, u и v), решение системы при заданных коэффициентах и свобод-

ных членах от этого не изменится.

Условимся все неизвестные обозначать одной и той же латинской бу-

квой x, а для отличия их друг от друга снабжать нижним индексом, имею-

щим смысл номера неизвестного. Аналогично все коэффициенты при не-

известных будем обозначать латинской буквой а, но уже с двумя индекса-

ми, первый из которых обозначает номер уравнения системы, а второй –

номер неизвестного, при котором стоит данный коэффициент. Тогда обо-

значение а21, например, будет говорить о том, что данный коэффициент

относится к 1-му неизвестному во втором уравнении. Для обозначения

свободных членов сохраним прежний символ с, индекс которого будет

указывать на номер уравнения системы. Тогда, обозначая через xk неиз-

вестные, через aik коэффициенты при неизвестных, а через ci свободные

члены, систему уравнений можно записать в следующем виде:

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

a x a x ca x a x c

+ = + =

(1).

Поскольку в левой части равенств присутствуют суммы однородных сла-

гаемых с разными индексами, для сокращения записи часто используют

математический символ суммирования – знак Σ. Обсудим правила исполь-

зования этого символа.

Если дана сумма n однородных слагаемых a1, a2, … an , то с помощью

символа Σ её можно представить в форме 1 21

...n

k nk

a a a a=

= + + +∑ . Здесь Σ –

знак суммы, а k - индекс суммирования (номер слагаемого в сумме), кото-

рый может изменяться (пробегать значения) от 1 до n включительно.

Правила обращения со знаком Σ

Непосредственным вычислением легко проверить справедливость

следующих утверждений (свойств суммы):

5

1. Значение суммы не зависит от обозначения индекса суммирова-

ния:

1 1

n n

i ki k

a a= =

=∑ ∑ .

Утверждение станет очевидным, если записать правую и левую части ра-

венства в развернутом виде.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак суммы Σ:

1 1

n n

i ii i

a aα α= =

=∑ ∑ .

3. Если каждое слагаемое суммы представляет сумму двух слагае-

мых, то результат суммирования равен сумме двух сумм, в каждой из

которых указанные слагаемые складываются отдельно:

( )1 1 1

n n n

i i i ii i i

a b a b= = =

+ = +∑ ∑ ∑ .

Для доказательства достаточно записать левую часть равенства в развер-

нутом виде и сгруппировать слагаемые a и b.

4. В двойной сумме можно менять местами знаки суммирования

1 1 1 1

n m m n

ik kii k k i

a a= = = =

=∑∑ ∑∑ .

Наличие двух индексов суммирования i и k позволяет записать совокуп-

ность слагаемых в виде прямоугольной таблицы из n строк и m столбцов.

Сумму всех элементов таблицы можно найти несколькими способами. В

левой части равенства предполагается, что для этого сначала нужно вы-

числить сумму элементов каждой строки (т.е. при фиксированном значе-

нии первого индекса i выполнить суммирование по второму индексу k), а

потом сложить полученные результаты. В правой части равенства предва-

рительно вычисляется сумма элементов каждого столбца таблицы (т.е.

выполняется суммирование по индексу k), а затем находят сумму всех

столбцов. Но сумма элементов таблицы, очевидно, не зависит от способа

6

её вычисления, чем и доказана справедливость свойства 4.

При использовании символа Σ система (1) может быть записана в ви-

де

2

1 11

2

2 21

k kk

k kk

a x c

a x c

=

=

= =

∑

∑ или ещё короче:

2

1ik k i

k

a x c=

=∑ , где i = 1, 2.

Указанный способ позволяет значительно сократить объем записи, если не

требуется конкретных значений коэффициентов системы.

Для решения системы (1) используем метод исключения неизвестных.

С целью исключения x2 умножим первое уравнение системы на a22, второе

– на a12, и вычтем из первого уравнения второе:

11 1 12 2 1 22

21 1 22 2 2 12

a x a x c aa x a x c a

+ = ⋅− + = ⋅

.

Группируя слагаемые с неизвестными x1 и x2, получим:

(a11a22 – a12a21)x1 + (a12a22 – a22a12)x2 = (c1a22 – c2a12).

Т.к. коэффициент при x2 равен нулю, то, если правая часть данного урав-

нения отлична от нуля, для вычисления x1 получаем формулу

1 22 2 121

11 22 12 21

c a c axa a a a

−=

− (2).

Для исключения неизвестного x1 умножим первое уравнение системы

на a21, второе – на a11, и вычтем из первого уравнения второе:

11 1 12 2 1 21

21 1 22 2 2 11

a x a x c aa x a x c a

+ = ⋅− + = ⋅

.

Выполняя очевидные преобразования, приходим к выводу, что в случае

отличия от нуля выражения (a11a22 – a12a21) неизвестное x2 можно найти по

формуле

2 11 1 212

11 22 12 21

c a c axa a a a

−=

− (3).

Выражения в числителях и знаменателях формул (2) и (3) имеют оди-

наковую структуру и называются определителями второго порядка.

7

Определители второго порядка

Сформулируем ряд определений.

• Выражение вида (a11a22 – a12a21) называется определителем или

детерминантом второго порядка и обозначается в виде квадратной

таблицы:

( ) 11 12ik

21 22

a a =Det a =

а а∆ .

• Числа, входящие в эту таблицу, будем называть элементами оп-

ределителя и обозначать в общем случае буквой с двумя индексами,

например, aik, где первый индекс обозначает номер строки, а второй –

номер столбца.

• Горизонтальные ряды элементов определителя будем называть

строками, а вертикальные – столбцами.

Число строк и совпадающее с ним число столбцов называется порядком

определителя, в силу чего в нашем случае имеем дело с определителем

второго порядка.

• Элементы с совпадающими индексами образуют главную диаго-

наль, идущую из левого верхнего в правый нижний угол определите-

ля.

• Элементы с переставленными местами индексами образуют по-

бочную диагональ, идущую из правого верхнего в левый нижний угол

определителя

• Определитель второго порядка равен разности произведений эле-

ментов главной и побочной диагонали:

11 1211 22 12 21

21 22

a a =а а

a a a a∆ = −

v Пример 1: 3 1

12 5 175 -4

= − − = − .

8

• Транспонированием определителя называется замена строк

столбцами того же номера.

Операцию транспонирования принято обозначать верхним индексом Т,

так что если 11 1211 22 12 21

21 22

a a =а а

a a a a∆ = − , то

11 2111 22 12 21

12 22

a a =а а

T a a a a∆ = − .

Свойства определителей второго порядка

1. При транспонировании величина определителя не меняется.

Это свойство позволяет констатировать равноправие строк и столбцов

в том смысле, что любое утверждение, справедливое для строк, будет

справедливо и для столбцов.

2. При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель

меняет знак

3. Множитель, одинаковый для элементов какой-либо строки

(столбца), можно вынести за знак определителя.

4. Если определитель содержит две одинаковых строки (столбца),

то он равен нулю.

5. Для того, чтобы определитель второго порядка был равен нулю,

необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были пропор-

циональны.

Доказательство первых четырех свойств легко осуществить методом

непосредственного вычисления, последнее свойство докажем как теорему.

Ø Теорема: Для того, чтобы определитель второго порядка был ра-

вен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) бы-

ли пропорциональны.

Докажем необходимость:

Пусть 11 12

21 22

a a 0

а а= . Тогда (a11a22 – a12a21) = 0, откуда следует, что

9

a11a22 = a12a21 и 11 12

21 22

a aa a

= . Ч.т.д.

Докажем достаточность:

Пусть 11 12

21 22

a a ka a

= = . Тогда a11 = ka21 ; a12 = ka22 , вследствие чего

11 12

21 22

a a а а

= 21 22

21 22

ka ka 0

а а= на основании свойства 4, ч.т.д.

Формулы Крамера

Вернемся к формулам (2) и (3), дающим решение системы уравне-

ний (1). Заметим, что обе они имеют смысл только в случае, если их зна-

менатели (a11a22 – a12a21) ≠ 0. Знаменатели формул (2) и (3) одинаковы, ка-

ждый из них представляет собой определитель второго порядка и называ-

ется главным определителем системы (1).

• Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется главным определителем системы.

Легко заметить, что числители формул (2) и (3) также могут быть пред-

ставлены в виде определителей:

1 121

2 22x

c ac a

∆ = и 11 1

221 2

x

a ca c

∆ = .

Эти определители получили название вспомогательных.

• Определитель, полученный из главного заменой соответствую-

щего столбца свободными членами, называется вспомогательным оп-

ределителем системы.

С учетом данных определений формулы (2) и (3) можно переписать в виде

11

xx ∆=

∆ и 2

2xx ∆

=∆ , либо в более общей форме:

xkkx ∆

=∆ . Эти

выражения называют формулами Крамера. Напомним, что они имеют

смысл только в случае отличия главного определителя системы от нуля.

При этом каждое неизвестное можно найти путем деления соответствую-

10

щего вспомогательного определителя на главный определитель системы.

v Пример 2: Решить систему: 1 2

1 2

3 4 22 3 7

x xx x

+ = + =

.

Вычислим определители и, поскольку Δ ≠ 0, применим формулы Крамера:

3 41;

2 3∆ = = 1

2 422;

7 3x∆ = = − 2

3 217;

2 7x∆ = = 1 22;x = − 2 17.x =

Исследование системы двух линейных уравнений с двумя

неизвестными

При решении системы (1) могут иметь место три случая:

1. Главный определитель системы Δ отличен от нуля. В этом

случае система совместна и имеет единственное решение, которое

может быть найдено по формулам Крамера.

2. Главный определитель системы Δ равен нулю, но хотя бы

один из вспомогательных Δx1 либо Δx2 отличен от нуля. В этом случае

система несовместна, т.е. не имеет решения, вследствие невозможно-

сти деления на ноль.

Действительно, в такой ситуации одно (либо оба) из равенств вида xk·Δ =

Δxk становится невозможным.

3. Главный определитель системы Δ и оба вспомогательных рав-

ны нулю. В этом случае система совместна и имеет бесчисленно мно-

го решений, т.к. сводится к одному уравнению.

В самом деле, из условия Δ = Δx1 = Δx2 = 0 на основании свойства №5 оп-

ределителей второго порядка следует, что 11 12 1

21 22 2

a a ca a c

λ= = = , а это значит,

что уравнения системы пропорциональны и первое из них может быть по-

лучено из второго умножением на некоторый коэффициент λ.

Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными

• Система уравнений называется однородной, если свободные чле-

ны во всех её уравнениях равны нулю.

11

Таким образом, наша система должна иметь вид

11 1 12 2 13 3

21 1 22 2 23 3

00

a x a x a xa x a x a x

+ + = + + =

(4).

Легко заметить, что однородная система (4) всегда совместна, т.к. на-

бор x1 = x2 = x3 = 0 является её решением (такое решение называют нуле-

вым или тривиальным). Однако, кроме тривиального, такая система, оче-

видно, должна иметь и ненулевые решения. Попробуем их найти.

Из коэффициентов системы можно составить три определителя, каж-

дый из которых образован коэффициентами при двух неизвестных. Так,

если отбросить коэффициенты при х1, получим определитель

12 131

22 23

a aa a

∆ = . Аналогично можно составить определители 11 13

221 23

a aa a

∆ =

и 11 12

321 22

a aa a

∆ = .

Пусть хотя бы один из определителей (например, Δ3) отличен от нуля. Пе-

репишем систему (4) в виде

11 1 12 2 13 3

21 1 22 2 23 3

a x a x a xa x a x a x

+ = − + = −

(5).

Если придать неизвестному х3 произвольное фиксированное значение

x3 = Const, то систему (5) можно рассматривать как систему двух уравне-

ний с двумя неизвестными х1 и х2, главный определитель которой Δ =Δ3 ≠

0. Так как x3 = Const, то можно ввести новую постоянную 3

11 12

21 22

xta aa a

= .

Тогда в силу отличия Δ от нуля для системы (5) получим единственное

(при выбранном x3) решение:

12

13 3 12

23 3 2211

11 12

21 22

x

a x aa x a

xa aa a

−−∆

= = =∆

12 133

12 1322 23

11 12 22 23

21 22

a ax

a aa at

a a a aa a

= ;

11 13 3

21 23 322

11 12

21 22

x

a a xa a x

xa aa a

−−∆

= = =∆

11 133

11 1321 23

11 12 21 23

21 22

a ax

a aa at

a a a aa a

−= − .

Через эту же постоянную t можно выразить и неизвестное x3 , значение ко-

торого мы зафиксировали: 11 12

321 22

a ax t

a a= .

Можно показать, что те же формулы получим, если Δ3 = 0, но отличен

от нуля определитель Δ1 или Δ2.

На основании выше изложенного можно сделать вывод:

если хотя бы один из определителей Δ1, Δ2 или Δ3 однородной системы

двух уравнений с тремя неизвестными отличен от нуля, то система имеет

бесчисленно много решений вида ( )( ) ( )11 detkk ijx t a+= − ⋅ ⋅ при j ≠ k, где k

- номер неизвестного, а t - произвольная постоянная.

Таким образом, для однородной системы двух уравнений с тремя не-

известными можно сформулировать следующие правила:

• Если хотя бы один из определителей Δ1, Δ2 или Δ3 однородной

системы двух уравнений с тремя неизвестными отличен от нуля, то

неизвестное xk равно произведению произвольного числа t на опреде-

литель, составленный из коэффициентов при двух других неизвест-

ных. При этом определитель берётся со знаком плюс, если номер k

нечётный, и со знаком минус, если номер k чётный.

• Если все определители Δ1, Δ2 и Δ3 однородной системы двух

уравнений с тремя неизвестными равны нулю (в этом случае уравне-

ния системы пропорциональны), то система сводится к одному урав-

13

нению и имеет бесчисленно много решений. Чтобы получить кон-

кретное решение, нужно одновременно двум неизвестным придать

какие-либо произвольные значения, а третье найти из уравнения.

v Пример 4: Решить систему 1 2 3

1 2 3

3 4 5 02 3 0x x xx x x

+ + = − + =

.

Согласно сформулированному правилу имеем:

1

4 519 ;

3 1x t t= ⋅ =

− 2

3 57 ;

2 1x t t= − ⋅ = 3

3 417 .

2 3x t t= ⋅ = −

−

Убедиться в правильности результата можно непосредственной подста-

новкой решения в оба уравнения системы.

Контрольные вопросы и задания:

1. В каком смысле следует понимать равноправие строк и столбцов оп-

ределителя?

2. Какая система уравнений называется совместной?

3. Какая система уравнений называется однородной?

4. Решить системы уравнений: а) 1 2

1 2

2 83 3x xx x+ =

− = б) 1 2 3

1 2 3

2 2 03 0x x xx x x

+ − = + − =

§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

• Определителем третьего порядка называют выражение

11 22 33 12 23 31 13 32 21 13 22 31 23 32 11 12 21 33a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − − ,

обозначаемое в виде квадратной таблицы

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

.

Методы непосредственного вычисления определителя третьего по-

рядка

Для запоминания формулы вычисления определителя удобно вос-

пользоваться правилом Саррюса (правилом треугольников):

14

• Определитель третьего порядка равен сумме произведений его

элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца

так, что со знаком плюс берутся элементы главной диагонали и двух

треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали, а со

знаком минус - элементы побочной диагонали и двух треугольников с

основаниями, параллельными этой диагонали.

Схему образования элементов суммы можно представить в таком виде

Еще один из методов непосредственного вычисления определителя

третьего порядка можно назвать способом приписывания столбцов. Он за-

ключается в том, что справа к определителю приписывают два первых

столбца и вычисляют сумму произведений элементов, образующих глав-

ную диагональ, а также двух параллельных ей диагоналей; от полученного

результата отнимают сумму произведений элементов, образующих побоч-

ную диагональ, а также двух параллельных ей диагоналей.

v Пример 5: Вычислить определитель 2 1 03 1 21 4 3

− .

Воспользуемся методом приписывания столбцов:

2 1 03 1 21 4 3

− =2 1 0 2 13 1 2 3 1 6 2 0 0 16 9 291 4 3 1 4

− − = − + + − − − = −

Свойства определителей третьего порядка

1. При транспонировании величина определителя не меняется.

2. При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель

меняет знак

3. Если определитель содержит две одинаковых строки (столбца), то

15

он равен нулю.

Три этих свойства легко доказываются непосредственным вычислением.

Для изложения остальных свойств необходимо ввести новые понятия.

• Минором элемента aik определителя третьего порядка называется

определитель второго порядка, полученный вычеркиванием строки и

столбца, на пересечении которых находится данный элемент. Обозна-

чают минор символом Mik, индексы которого совпадают с индексами

относящегося к нему элемента aik.

Например, 22 2311

32 33

a aM

a a= ; 11 12

2331 32

a aM

a a= .

• Алгебраическим дополнением элемента Аik элемента aik называ-

ется соответствующий ему минор, взятый со знаком плюс, если сумма

индексов строки и столбца четная, и со знаком минус – если нечетная.

Например, 22 2311 11

32 33

a aA M

a a= = ; 11 12

23 2331 32

a aA M

a a= − = − .

4. Определитель равен сумме произведений элементов какой-

либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

det( )ik ik ik ik iki k

a a A a A= =∑ ∑ .

Такой способ вычисления называют разложением по строке (столбцу).

Например, 22 23 21 23 21 2211 11 12 12 13 13 11 12 13

32 33 31 33 31 32

det( )ik

a a a a a aa a A a A a A a a a

a a a a a a= + + = − +

v Пример 6: Вычислим методом разложения определитель,

приведенный в примере 5.

Поскольку элемент а13 = 0, удобно раскладывать по элементам третьего

столбца (либо первой строки):

2 1 02 1 2 1

3 1 2 0 2 3 14 15 291 4 3 1

1 4 3− = − + = − − = −

−

5. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца)

на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна

16

нулю.

Для доказательства можно воспользоваться предыдущим свойством №4 и

рассмотреть выражение вида 3

1ik jk

ka A

=∑ . В развернутом виде оно даст опре-

делитель, имеющий две одинаковые строки, который по свойству №3 ра-

вен нулю. Например, рассмотрим сумму элементов первой строки на ал-

гебраические дополнения второй строки. В результате получим

12 13 11 13 11 1211 21 12 22 13 23 11 12 13

32 33 31 33 31 32

a a a a a aa A a A a A a a a

a a a a a a+ + = − + − =

11 12 33 11 13 32 12 11 33 12 13 31 13 11 32 13 12 31 0a a a a a a a a a a a a a a a a a a= − + + − − + = .

6. Множитель, одинаковый для элементов какой-либо строки

(столбца), можно вынести за знак определителя.

Данное свойство элементарно доказывается разложением определителя по

строке либо столбцу, содержащим упомянутый постоянный множитель.

7. Определитель, содержащий нулевую строку (столбец) равен ну-

лю.

Для доказательства достаточно разложить определитель по нулевой стро-

ке.

8. Если определитель содержит две пропорциональные строки

(столбца), то он равен нулю.

Для доказательства достаточно вынести коэффициент пропорционально-

сти за знак определителя и воспользоваться свойством №3

9. Если элементы некоторой строки (столбца) представляют собой

сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в

виде суммы двух определителей, у которых элементы рассматривае-

мой строки (столбца) равны соответствующим слагаемым, а осталь-

ные элементы одинаковы.

17

Например,

11 11 12 13

21 21 22 23

31 31 32 33

( )( )( )

a b a aa b a aa b a a

++ =+

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

+

11 12 13

21 22 23

31 32 33

b a ab a ab a a

.

10. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо стро-

ки (столбца) прибавить элементы параллельного ряда, предваритель-

но умножив их на одно и то же число.

• Говорят, что определитель имеет треугольный вид, если все его

элементы, расположенные ниже либо выше главной диагонали равны

нулю.

11. Определитель треугольного вида равен произведению элементов

главной диагонали.

Перечисленные свойства определителей могут быть использованы

для их вычисления.

Таким образом, к уже известным методам непосредственного вычис-

ления определителей могут быть добавлены следующие:

1. Метод разложения по элементам какой-либо строки (столбца),

основанный на свойстве №4.

Иллюстрацией метода может служить пример 6.

2. Метод разделения элементов строки (столбца) на сумму двух

(или более) слагаемых

v Пример 7: Вычислить определитель:

2 2

2 2

2 2

sin cos cos 2sin cos cos 2sin cos cos 2

α α αβ β βγ γ γ

.

Легко заметить, что после представления элементов третьего столбца в

виде суммы (точнее, разности) двух функций определитель согласно свой-

ству №9 можно представить в виде суммы двух определителей, имеющих

равные либо пропорциональные столбцы. Согласно свойствам №3 и №8

каждый из них равен нулю, что и иллюстрируют приведенные ниже вы-

кладки:

18

2 2

2 2

2 2

sin cos cos 2sin cos cos 2sin cos cos 2

α α αβ β βγ γ γ

=

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

sin cos (cos sin )sin cos (cos sin )sin cos (cos sin )

α α α αβ β β βγ γ γ γ

−− =−

=

2 2 2

2 2 2

2 2 2

sin cos cossin cos cossin cos cos

α α αβ β βγ γ γ

+

2 2 2

2 2 2

2 2 2

sin cos sinsin cos sinsin cos sin

α α αβ β βγ γ γ

−− =−

0

3. Метод приведения к треугольному виду, основанный на свой-

стве №10, проще всего пояснить примером.

v Пример 8: Вычислить определитель: 1 7 30 2 14 6 3

.

Воспользуемся методом приведения к треугольному виду. Пользуясь

свойством №10, будем стремиться получить нули ниже главной диагона-

ли. Так как а12 = 0, то достаточно обратить в нули элементы а31 и а32. Ум-

ножим элементы первой строки на (-4) и прибавим к третьей. После этого

умножим на 11 элементы второй строки и прибавим к элементам новой

третьей. В результате получим цепочку равенств:

1 7 30 2 14 6 3

=1 7 30 2 10 22 9− −

=1 7 30 2 10 0 2

=4.

Понятие об определителях высших порядков

Аналогично определителю третьего порядка можно ввести понятие

определителя четвертого, пятого и последующих порядков. Все они полу-

чили название определителей высших порядков. В любом случае опреде-

литель представляет собой число или выражение, которое находят в соот-

ветствии с определенными правилами по его элементам, составляющим

квадратную таблицу.

Все свойства определителя третьего порядка справедливы для опре-

делителей высших порядков (именно поэтому в формулировках свойств

отсутствует указание на порядок определителя).

Наиболее удобным способом вычисления определителей высших по-

19

рядков является приведение их к треугольному виду. Впрочем, иногда оп-

ределители высших порядков вычисляют методом понижения порядка,

основанном на разложении определителя по элементам строки или столб-

ца. Таким способом удается свести определитель порядка n к сумме n оп-

ределителей (n-1)-го порядка, затем к сумме n(n-1) определителей (n-2)-го

порядка и так далее, пока не будут получены легко вычисляемые опреде-

лители третьего либо второго порядков.

Контрольные вопросы и задания:

1. Возможна ли ситуация, когда алгебраическое дополнение эле-

мента определителя равно его минору?

2. Можно ли для вычисления определителя третьего порядка ис-

пользовать правило приписывания строк, аналогичное правилу при-

писывания столбцов?

3. Вычислить определители:

2 4 33 0 12 2 2

−;

3 3 0 11 3 2 21 3 0 2

4 5 0 1

−

− −.

4. Приведите доказательство свойства №3 определителя третьего по-

рядка, не используя метод непосредственного вычисления.

§3. СИСТЕМЫ ТРЁХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

a x a x a x ca x a x a x ca x a x a x c

+ + = + + = + + =

(6).

Пользуясь символом суммирования Σ, систему (6) можно записать в более

20

компактном виде

3

1 11

3

2 21

3

3 31

k kk

k kk

k kk

a x c

a x c

a x c

=

=

=

=

=

=

∑

∑

∑ ,

либо ещё короче: 3

1,ik k i

ka x c

=

=∑ где индекс i = 1, 2, 3.

Формулы Крамера

По аналогии с системой двух уравнений будем называть главным оп-

ределителем системы определитель, составленный из коэффициентов при

неизвестных Δ = det(aik).

Для решения системы (6) воспользуемся методом исключения неиз-

вестных. Как известно, при этом каждое из уравнений системы (6) необхо-

димо умножить на подходящий множитель, в качестве которого будем ис-

пользовать алгебраическое дополнение соответствующего элемента глав-

ного определителя, и полученные выражения сложить. Если первое урав-

нение умножить на А11, второе – на А21, а третье – на А31, после сложения

получим:

11 1 12 2 13 3 1 11

21 1 22 2 23 3 2 21

3131 1 32 2 33 3 3

a x a x a x c Aa x a x a x c A

Aa x a x a x c

+ + =+ + + = ⇒ + + =

1 11 11 21 21 31 31 2 12 11 22 21 32 31 3 13 11 23 21 33 31( ) ( ) ( )x a A a A a A x a A a A a A x a A a A a A+ + + + + + + + =

1 11 2 21 3 31c A c A c A= + + .

Легко заметить, что коэффициент при неизвестном х1 в последнем равен-

стве представляет собой разложение по первому столбцу главного опреде-

лителя системы, а коэффициенты при двух других неизвестных согласно

свойству №5 определителя третьего порядка равны нулю. В то же время

правую часть равенства можно рассматривать как разложение по первому

столбцу главного определителя, в котором элементы этого столбца заме-

21

нены соответствующими свободными членами. Полученный таким спосо-

бом определитель будем называть первым вспомогательным и обозначать

символом Δх1.

Предположим, что Δ ≠ 0. Тогда из полученного уравнения х1·Δ = Δх1

следует, что х1 = Δх1/Δ.

Совершенно аналогично после умножения уравнений системы на Ai2

(либо на Ai3) получим формулы х2 = Δх2/Δ и х3 = Δх3/Δ, которые являются

частным случаем формул Крамера общего вида:

Xkkx ∆

=∆ (7).

Таким образом, если главный определитель системы (6) отличен от

нуля, то каждое из неизвестных можно найти путем деления соответст-

вующего вспомогательного определителя системы на главный.

Исследование системы трех линейных уравнений с тремя неизвест-

ными

При решении системы (6) могут иметь место три случая:

1. Главный определитель системы Δ отличен от нуля.

В этом случае система совместна и имеет единственное решение, которое

может быть найдено по формулам Крамера.

2. Главный определитель системы Δ равен нулю, но хотя бы один из

вспомогательных отличен от нуля.

В этом случае система несовместна вследствие невозможности деления на

ноль. Действительно, в такой ситуации хотя бы одно из равенств вида xk·Δ

= Δxk становится невозможным при любом xk.

3. Главный и все вспомогательные определители системы равны ну-

лю.

Такая система называется неопределенной. Она либо несовместна, либо

имеет бесчисленно много решений. Основываясь только на методе Краме-

ра, невозможно сказать, какая из этих двух возможностей действительно

реализована. Для анализа такого рода систем необходимо использовать

22

другие методы.

Замечание: Обратим внимание, что в пункте 3 ответ на вопрос об

исследовании системы трех уравнений с тремя неизвестными не совпада-

ет с соответствующим пунктом об исследовании системы двух уравне-

ний.

Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Согласно определению такая система имеет вид

11 1 12 2 13 3

21 1 22 2 23 3

31 1 32 2 33 3

000

a x a x a xa x a x a xa x a x a x

+ + = + + = + + =

(8).

Прежде всего отметим, что однородная система всегда совместна, т.к.

набор x1 = x2 = x3 = 0 является её решением. На практике могут иметь ме-

сто 3 случая:

1. Главный определитель отличен от нуля, т.е. Δ ≠ 0.

Поскольку все вспомогательные определители очевидно равны нулю, име-

ет место единственное тривиальное (нулевое) решение.

2. Главный определитель равен нулю, но среди его миноров сущест-

вует хотя бы один, отличный от нуля, т.е. Δ = 0, но существует

Мik ≠ 0.

Не ограничивая общности, можно считать, что М33 ≠ 0 (в противном слу-

чае можно просто перенумеровать уравнения и неизвестные). Рассмотрим

определитель

3

11 12 11

3

21 22 21

3

31 32 31

k kk

k kk

k kk

a a a x

a a a x

a a a x

=

=

=

∑

∑

∑

. Этот определитель равен нулю, по-

скольку его третий столбец состоит из нулей (очевидно, что элементы это-

го столбца представляют собой краткую запись левых частей системы

уравнений (8)). Раскладывая определитель по третьему столбцу, получим:

23

3 3 3

13 1 23 2 33 31 1 1

0k k k k k kk k k

A a x A a x A a x= = =

+ + =∑ ∑ ∑ .

Т.к. А33 = М33 ≠ 0, то третье уравнение системы можно выразить через два

первых: 3 3 3

3 13 1 23 21 1 133

1k k k k k k

k k ka x A a x A a x

A= = =

= − +

∑ ∑ ∑ .

Таким образом, третье уравнение является следствием (линейной

комбинацией) двух первых, в силу чего его можно отбросить и рассматри-

вать далее однородную систему двух уравнений с тремя неизвестными,

равносильную исходной системе (8). Ранее было показано, что такая сис-

тема совместна и имеет бесчисленно много решений вида

( )( ) ( )11 detkk ijx t a+= − ⋅ ⋅ при j ≠ k (Здесь k - номер неизвестного, а t - произ-

вольная постоянная).

3. Главный определитель системы (8) равен нулю, и среди его мино-

ров не существует ни одного, отличного от нуля, т.е. Δ = 0 и все

Мik = 0.

В соответствии со свойством №5 определителей 2-го порядка последнее

означает, что строки всех миноров (а значит и строки главного определи-

теля) пропорциональны. Значит, все три уравнения системы (8) пропор-

циональны друг другу и фактически система сводится к одному (безраз-

лично какому конкретно) уравнению с тремя неизвестными. Понятно, что

она имеет бесконечно много решений, и чтобы получить какое-то кон-

кретное из них, нужно одновременно двум неизвестным придать какие-

либо произвольные значения, а третье найти из уравнения.

v Пример 9: Решить систему: 0

3 2 03 0

x y zx y zx y

+ + = − + = − =

Вычислим главный определитель: 1 1 13 1 2 9 2 1 6 01 3 0

− = − + + + =−

. Поскольку

среди миноров этого определителя явно есть ненулевые (например, М11),

24

то одно из уравнений системы является следствием двух других и его

можно исключить. Так как безразлично, какое из уравнений исключать,

отбросим второе. Оставляя первое и третье уравнения, получим равно-

сильную данной систему 03 0

x y zx y+ + =

− =.

Её решение 1 13 ;

3 0x t t= =

− 1 1

;1 0

y t t= − = 1 14

1 3z t t= = −

−.

§ 4. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Рассмотрим некоторое числовое множество К, над элементами кото-

рого можно производить алгебраические операции сложения, вычитания,

умножения и деления (разумеется, для случая, когда делитель отличен от

нуля). Будем считать операцию корректной на множестве К, если любой

паре чисел из множества К эта операция ставит в соответствие определен-

ное число из того же множества.

• Множество чисел, на котором корректны операции сложения, вы-

читания, умножения и деления, называется числовым полем.

Легко убедиться, что числовыми полями являются, например, множе-

ства действительных чисел, рациональных чисел, комплексных чисел. В то

же время множество натуральных чисел не является числовым полем, т.к.

в нем некорректны операции вычитания и деления.

Краткое определение линейного пространства можно сформулировать

в виде следующего утверждения:

• Линейным пространством, заданным над числовым полем К, на-

зывается множество математических объектов любой природы, в ко-

тором определены операции их сложения и умножения на числа из

поля К.

25

• Объекты, образующие линейное пространство, называются его

элементами или векторами.

Таким образом, векторами, с точки зрения линейной алгебры, могут

быть не только объекты, характеризующиеся определенным направлением,

но и величины, не имеющие внешне ничего общего с направленными от-

резками. Ими могут быть функции, многочлены и даже просто числа. Не-

зависимо от природы элементы линейного пространства условимся обо-

значать строчными латинскими буквами, выделенными жирным шрифтом.

Замечание: В дальнейшем будем считать, что линейное пространст-

во задано над полем действительных чисел. Предполагается, что необхо-

димые обобщения для случая комплексных чисел будут сделаны позднее в

других курсах.

Сформулируем более строгое определение линейного пространства.

• Множество R элементов любой природы {x, y, z,…} называется

линейным пространством, если выполнены три условия:

I. Существует правило, с помощью которого любым двум элемен-

там x, y из множества R ставится в соответствие элемент v того же

множества, называемый суммой элементов x и y, т.е.

∀ x, y ∈R, ∃v∈Rx+y = v

II. Существует правило, с помощью которого любому элементу x из

множества R и произвольному действительному числу λ ставится в

соответствие элемент u множества R, называемый произведением

элемента x на число λ. Иначе:

∀ x∈R, ∃u∈R u =λ⋅x

III. Для всех элементов R справедливы аксиомы линейного пространства:

1. В линейном пространстве R существует единственный нулевой

элемент θ, который в сумме с любым вектором x дает вектор x, т.е.

∃ θ∈R ∀ x∈R, x+θ = x;

26

2. Для любого элемента линейного пространства R существует про-

тивоположный ему элемент (-x), который в сумме с вектором x дает

нулевой вектор θ, т.е.

∀ x∈R, ∃(-x)∈R x+(-x) = θ;

3. В линейном пространстве R справедливо свойство поглощения

единицы:

∀ x∈R, 1⋅x = x ;

4. В линейном пространстве R выполняется коммутативный закон

сложения векторов:

∀ x, y ∈R, x+y = y+x;

5. В линейном пространстве R выполняется ассоциативный закон

сложения векторов:

∀ x, y, z ∈R, (x+y)+z = x+(y+z) ;

6. В линейном пространстве R справедливо сочетательное свойст-

во умножения вектора на число:

∀ x∈R, λ⋅(µ⋅x) = (λ⋅µ)⋅x ;

7. В линейном пространстве R справедливо распределительное свой-

ство умножения элементов векторного пространства относительно

суммы числовых множителей:

∀ x∈R, (λ+µ)⋅x = λ⋅x+µ⋅x ;

8. В линейном пространстве R справедливо распределительное свой-

ство сложения элементов векторного пространства:

∀ x, y ∈R, λ⋅(x+y) = λ⋅x+λ⋅y .

Замечание. В определении линейного пространства ничего не сказано

о конкретных правилах выполнения операций сложения элементов и ум-

ножения их на числа. Очевидно, эти правила могут быть произвольны, ес-

ли они удовлетворяют перечисленным аксиомам линейного пространства.

Примерами линейных пространств, кроме уже упомянутых во введе-

нии, могут служить: множество всех дифференцируемых функций, задан-

27

ных на данном интервале [a,b], множество частных решений однородной

системы линейных уравнений, множество многочленов степени не выше n

и т.д.

Непосредственной проверкой легко установить, что для этих множеств

выполняются правила Ι и ΙΙ, а также все 8 аксиом, упомянутых в пункте ΙΙΙ.

Заметим, что множество многочленов степени n не образует линейно-

го пространства, так как сумма таких многочленов может иметь степень

ниже n.

v Пример 10. Пусть, например, степень n=2, и даны многочлены

p1 = (3x2 + 2x + 3) и p2 = (-3x2 – x + 5).

Легко видеть, что сумма p1 + p2 = (x + 8) не является многочленом вто-

рой степени и, следовательно, такое множество не образует линейного

пространства.

Приведенный пример наглядно показывает, что перед тем, как приме-

нить к элементам какого-либо множества аппарат линейной алгебры, не-

обходимо убедиться в законности его использования.

Контрольные вопросы и задания:

1. В чем отличие числового поля от произвольного множества чисел?

2. Можно ли считать множество иррациональных чисел числовым по-

лем? Ответ обосновать.

3. Сформулируйте краткое определение линейного пространства.

4. Приведите примеры линейных пространств, не упомянутые в данном

параграфе.

5. Перечислите аксиомы линейного пространства.

6. Какими рассуждениями можно доказать, что элементы данного мно-

жества образуют линейное пространство?

28

§ 5. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ. БАЗИС И РАЗМЕР-

НОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Рассмотрим произвольное линейное пространство R = {x, y, … z, …} и

сформулируем ряд определений.

• Линейной комбинацией элементов x, y, … z пространства R назы-

вается сумма произведений этих элементов на произвольные действи-

тельные числа α, β, …, γ, т.е. выражение вида: α⋅x + β⋅y + … + γ⋅z .

• Элементы x, y, … z пространства R называются линейно зависи-

мыми, если найдутся такие действительные числа α, β, …, γ, из кото-

рых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация элемен-

тов x, y, …, z с этими числами является нулевым элементом простран-

ства R, т.е. выполняется условие α⋅x + β⋅y + … + γ⋅z = θ, причем

α2 + β2 + …+ γ2 ≠ 0.

• Если линейная комбинация α⋅x + β⋅y + … + γ⋅z = θ лишь при усло-

вии α = β =…= γ = 0, то элементы x, y, …, z пространства R называют-

ся линейно независимыми.

Ø Теорема: Для того, чтобы элементы x, y, …, z пространства R были

линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из

этих элементов являлся линейной комбинацией остальных.

Докажем необходимость.

Пусть α⋅x + β⋅y + … + γ⋅z = θ, где для определенности α≠0. Тогда очевидно

x = (-β/α)⋅y + … + (-γ/α)⋅z = λ⋅y + … + µ⋅z. Таким образом, вектор x есть ли-

нейная комбинация элементов y, …, z. Что и требовалось доказать.

Докажем достаточность.

Пусть вектор x = λ⋅y + … + µ⋅z . Тогда (-x + λ⋅y + … + µ⋅z) = θ, или

α⋅x + β⋅y + … + γ⋅z = θ. Так как в этой линейной комбинации α = -1 ≠ 0, то

векторы x, y, …, z по определению линейно независимы. Что и требова-

лось доказать.

29

• Число n называется размерностью линейного пространства R, если

в нем можно найти n линейно независимых векторов, но любые (n+1)

вектора линейно зависимы.

Можно сказать иначе: максимальное число линейно независимых элемен-

тов данного линейного пространства R называется его размерностью. Раз-

мерность пространства обозначается символом dimR = n или просто ин-

дексом n у наименования пространства: Rn. Число n может быть, вообще

говоря, любым (в том числе и ∞). Однако мы будем рассматривать только

конечномерные пространства.

• Упорядоченная совокупность n линейно независимых элементов

n-мерного линейного пространства называется его базисом.

Система базисных векторов обозначается обычно {e1, e2, …en}. В любом

линейном пространстве можно указать бесчисленно много наборов базис-

ных векторов. При этом надо иметь в виду, что если изменить порядок ба-

зисных векторов, не меняя самих базисных элементов, то изменится и ба-

зис.

• Разложить вектор x по базисным векторам e1, e2, …, en – значит

представить его в виде их линейной комбинации:

x = α1e1 + α2e2 + … + αnen.

Ø Теорема: Любой вектор x линейного пространства Rn, имеющего

базис {e1, e2, …, en}, может быть разложен по элементам базиса и

притом единственным образом.

Доказательство:

Так как векторы e1, e2, …en образуют базис, то их линейная комбинация

α1e1 + α2e2 + … + αnen ≠ θ, если хотя бы одно из αi ≠ 0. Если же к базисным

векторам добавить произвольный вектор (-x), то система векторов

e1, e2, …, en, (-x) станет линейно зависимой. Это означает, что найдется

такой набор чисел α1, α2, …, αn, для которого

30

α1e1 + α2e2 + … + αnen – x = θ, откуда x = α1e1 + α2e2 + … + αnen . Послед-

нее выражение и представляет собой разложение вектора x по элементам

базиса.

Предположим, что существует ещё одно разложение вектора

x = α′1e1 + α′2e2 + …+ α′nen, не совпадающее с полученным ранее. Тогда,

вычитая друг из друга эти разложения, получим:

(α1 - α′1)⋅e1 + (α2 - α′1)⋅e2 + …+ (αn - α′n)⋅en = θ.

Так как векторы e1, e2, …, en линейно независимы, последнее равенство

возможно лишь при выполнении для всех i = 1, 2, …, n условия

(αI - α′i) = 0, откуда следует, что αi ≡ α′i. Полученный результат гово-

рит о том, что наше первоначальное предположение было неверным, и на

самом деле существует единственное разложение произвольного вектора x

по базису {e1, e2, …, en}. Что и требовалось доказать.

• Коэффициенты разложения вектора по данной базисной системе

векторов называются его координатами в данном базисе.

Условимся далее обозначать координаты вектора той же буквой, что

и сам вектор, но с соответствующим индексом. Координаты вектора будем

писать в фигурных скобках через знак “=”. Таким образом, если задан ба-

зис линейного пространства Rn, то любой элемент x∈Rn можно однозначно

определить, задав упорядоченную совокупность чисел (координат этого

элемента): x = {x1, x2, …, xn}.

Очевидно, что только нулевой вектор θ имеет координаты {0,

0, …, 0}. Координаты базисных векторов e1= {1, 0, …, 0},

e2= {0, 1, …, 0}, …, en= {0, 0, …, 1}.

При сложении (вычитании) векторов их соответственные координаты

складываются (вычитаются), при умножении вектора на число каждая его

координата умножается на это число. Предлагаем читателю самостоятель-

но доказать эти утверждения.

31

v Пример 11. Пусть линейное пространство состоит из многочле-

нов не выше третьей степени. Тогда за базис естественно принять че-

тыре вектора: x3, x2, x и 1. При этом любой многочлен степени не

выше 3-й может быть однозначно представлен в виде линейной ком-

бинации базисных элементов. Например, многочлен p=(5x3-x+2) в

указанном базисе будет иметь координаты {5, 0, -1, 2}. Разумеется, в

качестве базисных можно было принять и другой набор линейно не-

зависимых элементов, например (x-1)3, (x+2)2, x и 2. Тогда тот же

многочлен p имел бы другие координаты.

Контрольные вопросы и задания:

1. Что понимается в линейной алгебре под вектором?

2. Что называется линейной комбинацией векторов?

3. Какие векторы называются линейно зависимыми?

4. Что называется базисом линейного пространства?

5. Что называется координатами элемента линейного пространства?

6. Докажите, что при сложении векторов их соответственные координа-

ты складываются.

7. Вычислите координаты приведенного в примере 11 многочлена p при

переходе к указанному новому базису.

8. Можно ли считать различными базисы, отличающиеся только поряд-

ком базисных элементов?

32

§ 6. ПОНЯТИЕ ОПЕРАТОРА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

МАТРИЦА ОПЕРАТОРА

Сформулируем определение.

• Если в линейном пространстве R каждому вектору x∈R постав-

лен в соответствие вектор y∈R, то говорят, что в пространстве R за-

дано преобразование, а совокупность операций, которые надо совер-

шить над вектором x, чтобы получить из него вектор y, называют

оператором преобразования x → y и обозначают символом Â.

Записывают это так: y = Âx (читается: игрек равно а от икс). При этом

вектор y называют образом вектора x , а x – прообразом вектора y.

Замечание: мы будем использовать понятие оператора в узком смыс-

ле, сформулированном выше, - как линейное преобразование. В более ши-

роком толковании оператором называют отображение одного линейного

пространства на другое, когда каждому элементу некоторого про-

странства L поставлен в соответствие элемент другого линейного про-

странства M (возможно, иной природы и другой размерности). Если оп-

ределить оператор как преобразование пространства (т.е. как отраже-

ние его на себя), то в использовании этого понятия необходимо соблю-

дать осторожность. Так, например, нельзя над пространством дейст-

вительных чисел рассматривать оператор извлечения квадратного корня,

так как при действии его на отрицательное число получается элемент,

не принадлежащий данному пространству (мнимое число).

Понятие оператора может вводиться и использоваться очень широко.

Как правило, мы не задумываемся, что практически все математические

действия по сути своей являются операторами.

v Пример 12. Так в пространстве действительных чисел можно оп-

ределить оператор A€ возведения в куб, когда каждому числу x ста-

вится в соответствие число y = x3, так что, например, A€(3) = 27.

33

Замечание: Оператор, заданный над линейным пространством чисел,

называется функцией.

v Пример 13. В пространстве непрерывных дифференцируемых

функций аргумента x можно ввести оператор дифференцирования ∧

D ,

который каждой такой функции )(xf ставит в соответствие её произ-

водную )(xf ′ , так что dxxdfxfD /)()( =∧

.

Линейная алгебра изучает так называемые линейные операторы.

• Оператор Â, заданный в линейном пространстве R, называется ли-

нейным, если для любых двух элементов этого пространства x, y и

произвольного числа λ выполняются соотношения:

1. Â(x+y) = Âx+Ây – свойство аддитивности;

2. Â(λ⋅x) = λ⋅Âx – свойство однородности.

Замечание: Иногда свойства аддитивности и однородности не раз-

деляют и определяют линейный оператор Â как удовлетворяющий обоб-

щенному условию: Â(α⋅x + β⋅y) = α⋅Âx + β⋅Ây.

v Пример 14. В качестве одного из примеров линейных операторов

рассмотрим в пространстве геометрических векторов R2 оператор Â

поворота вектора x на угол α.

Пусть известно, что вектор y = {y1, y2} получен поворотом вектора

x = {x1, x2} на угол α (смотри рис. 1). Введем понятие оператора по-

ворота A€ и обозначим A€x = y. Из чертежа можно легко найти координаты

вектора y:

y1 = |y|⋅cos (ϕ+α); y2 = |y|⋅sin (ϕ+α). Оче-

видно, что при повороте |x| = |y|, поэтому

y1 = |x|⋅(cos ϕ⋅cos α -sin ϕ⋅sin α),

y2=|x|⋅(sin ϕ⋅cos α + cos ϕ⋅sin α).

Но так как |x|⋅cos ϕ=x1, |x|⋅sin ϕ=x2, то

Рис.1

34

+=−=

αααα

cossinsincos

212

211

xxyxxy

(9)

Если обозначить через aik коэффициент при k-ой координате в i-ом урав-

нении, то формулы преобразования (9) примут вид:

+=+=

2221212

2121111

xaxayxaxay

Как видим, оператор поворота A€ вполне определяется совокупностью ко-

эффициентов aik, входящих в формулы преобразования (9). Непосредст-

венной подстановкой можно убедиться, что условия линейности для этого

оператора выполняются.

Отталкиваясь от приведенного примера, легко понять, что самым

общим видом линейных преобразований, определённых в n-мерном ли-

нейном пространстве Rn, является оператор Â, задающий каждую коорди-

нату yi нового вектора y (образа x) в виде линейной комбинации коорди-

нат xi исходного вектора x (прообраза y) так что y = Âx означает:

=+++=

=+++=

=+++=

∑

∑

∑

=

=

=

n

1kknknnn22n11nn

n

1kkk2nn22221212

n

1kkk1nn12121111

xaxa...xaxay

xaxa...xaxay

xaxa...xaxay

LLLLLLLLL (10)

• Таблицу коэффициентов aik, записанную в порядке расположе-

ния их в уравнениях преобразования (10), называют матрицей опера-

тора Â.

Саму таблицу заключают при этом в скобки (…), или […], или L и обо-

значают той же буквой А без знака ^ сверху. Таким образом, для рассмот-

ренного в примере 14 оператора поворота матрица имеет вид:

35

αααα

=cossinsin-cos

A . Для произвольного оператора матрица принимает

вид квадратной таблицы:

nn2n1n

n22221

n11211

ik

a...aa

a...aaa...aa

aALLLLL

== (11)

Замечание: В общем случае, когда оператор представляет собой

отображение одного линейного пространства на другое, его матрица

может быть и не квадратной.

Коэффициенты aik, составляющие таблицу (11), называется элемен-

тами матрицы А, а индексы i и k обозначают соответственно номер строки

и номер столбца.

Замечание: внешне матрица очень похожа на определитель, но это

совершенно разные математические объекты: матрица – таблица, а оп-

ределитель – число или выражение, вычисляемое по определенным прави-

лам.

Понятие матрицы имеет в математике самостоятельное значение и не

ограничивается только характеристикой оператора, поэтому в следующем

параграфе рассмотрим его подробнее.

Контрольные вопросы и задания:

1. Что такое оператор?

2. Какие операторы называются линейными?

3. Что называется матрицей оператора?

4. В чём заключается основное отличие матрицы от определителя?

5. Какие из приведенных ниже операторов преобразований являются

линейными и почему?

a) A€x = {3x1 + x2 – 2x3; x2 + x3; x1 – x2 + 4x3}

36

б) Â x = {x1 + 3(x3)3; 2x1 – x2 + 3x3; x2}

в) Â x = {4x1 – 2x2 + 2x3; x2 + x3; x1 – x2 + 5}

§ 7. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ

Прежде всего сформулируем ряд определений.

• Матрицей размера (m×n) называется произвольная совокупность

элементов (чисел, функций или алгебраических выражений), распо-

ложенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.

• Если элементами матрицы являются числа, то она называется чи-

словой матрицей.

• Размер матрицы определяется числом её строк и столбцов и обо-

значается символом (m×n).

• Матрица, размера (1×n) называется матрицей-строкой.

• Матрица, размера (m×1) называется матрицей-столбцом.

• Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называ-

ется квадратной.

• Число строк квадратной матрицы называется её порядком.

• Элементы с одинаковыми индексами a11, a22, … ann образуют

главную диагональ, а элементы an1, a(n-1)2, …, a1n образуют побочную

диагональ квадратной матрицы.

• Если все элементы матрицы равны нулю, матрица называется

нулевой.

• Квадратная матрица, все элементы которой, кроме стоящих на

главной диагонали, равны нулю, называется диагональной и обозна-

чается символом Diag(ak).

Наличие одного индекса вместо двух подчеркивает, что все недиагональ-

ные элементы такой матрицы равны нулю.

37

• Диагональная матрица, все ненулевые элементы которой рав-

ны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом Е.

Часто пишут Е = δik , где δik – так называемый символ Кронекера: 1

при i=k и 0 при i ≠ k. Для диагональной матрицы можно записать

Diag(ak) = ak⋅δik.

Заметим, что для полной идентификации единичной матрицы необ-

ходимо обязательно знать её порядок.

• Квадратная матрица называется треугольной, если все её элемен-

ты, расположенные ниже либо выше главной диагонали, равны нулю.

Пример: 100

470632

−

−.

• Прямоугольную матрицу называют ступенчатой, если её первая

строка содержит хотя бы один ненулевой элемент, а в каждой из по-

следующих строк первый ненулевой элемент расположен правее, чем

в предыдущей. При этом возможно, что несколько последних строк

ступенчатой матрицы состоят из нулей.

В частности, ступенчатой можно считать треугольную матрицу, а также

матрицу, выписанную ниже:

200004600090110034275 −

.

• Две матрицы называются равными, если они одинакового разме-

ра и все их соответственные элементы равны между собой.

• Матрица, полученная из данной заменой строк столбцами без

изменения их порядка, называется транспонированной. Она обознача-

ется верхним индексом T у обозначения матрицы, например: AT.

38

• Если матрица А совпадает со своей транспонированной AT,

(для нее aik = aki), то она называется симметрической. Матрица, для

которой aik = - aki, называется кососимметрической.

С каждой квадратной матрицей можно связать определитель, составлен-

ный из тех же элементов.

• Определитель, составленный из элементов квадратной матри-

цы А, называется её детерминантом и обозначается символом DetA.

• Если детерминант матрицы равен нулю, то матрица A называется

вырожденной (или особенной); в противном случае матрица называ-

ется невырожденной (неособенной).

• Минором k-го порядка произвольной матрицы A называется оп-

ределитель, полученный из элементов матрицы, стоящих на пересе-

чении любых k строк и k столбцов, записанных в том же порядке, что

и в матрице.

• Наивысший порядок отличного от нуля минора называется ран-

гом матрицы и обозначается символом RgA.

Из определения ранга следует, что для матрицы размера (m×n)

≤≤ RgA0 min(m,n), где символом min(m,n) обозначено меньшее из двух

чисел m и n.

Если строки матрицы размера (m×n) рассматривать как координаты

некоторого n-мерного вектора, то для строк по аналогии с векторами мож-

но определить понятия линейной зависимости, базиса и т. д. Тогда рангом

матрицы можно назвать максимальное число ее линейно независимых

строк.

Практически ранг матрицы вычисляют обычно методом приведения

к ступенчатому виду с помощью так называемых элементарных преобра-

зований. К элементарным преобразованиям относятся:

1. Транспонирование.

2. Перемена местами двух строк (столбцов).

39

3. Умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) на про-

извольное, отличное от нуля число.

4. Прибавление ко всем элементам какой-либо строки (столбца)

соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на од-

но и то же число.

5. Исключение из матрицы нулевой либо пропорциональной стро-

ки.

• Матрицы, получаемые одна из другой с помощью элементарных

преобразований, называют эквивалентными.

Можно показать, что в результате элементарных преобразований по-

лучается новая матрица, но с тем же рангом. Эквивалентность матриц бу-

дем показывать знаком ∼ или (когда требуется подчеркнуть, что из одной

матрицы получается другая, эквивалентная первой) символом ⇒.

v Пример 15. Рассмотрим пример на вычисление ранга матрицы.

Пусть A =

21121701114523222111

−−−−−−−−−−−−

. Приведем ее к ступенчатому виду.

Для этого на первом этапе прибавим ко 2-й строке 1-ю, домножив ее на

(-2), а из 3-й и 4-й строк вычтем 1-ю. На втором этапе оставим без измене-

ния две первых строки, к 3-й строке прибавим 2-ю, умножив ее предвари-

тельно на 2, а к 4-й строке прибавим утроенную 2-ю. На последнем этапе

вычеркнем нулевую строку. Тогда цепочку преобразований можно пред-

ставить в виде:

21121701114523222111

−−−−−−−−−−−−

1 1 1 2 20 1 0 1 00 2 0 2 50 3 0 3 0

− − −−

⇒ ⇒− −−

1 1 1 2 20 0 01 10 0 0 0 50 0 0 0 0

− − −−⇒

−

1 1 1 2 20 0 01 10 0 0 0 5

− − −⇒ −

−.

40

Отсюда непосредственно видно, что минор третьего порядка, расположен-

ный в правом верхнем углу последней матрицы, отличен от нуля (он имеет

треугольный вид и равен (-5) ). Таким образом, по определению имеем

RgA=3.

Контрольные вопросы и задания:

1. Что такое ранг матрицы?

2. Какие матрицы называются равными?

3. Перечислите элементарные преобразования над строками матрицы

4. Что такое эквивалентные преобразования матрицы?

5. Как практически вычисляется ранг матрицы?

6. Вычислить ранг матрицы 4 3 18 5 32 1 2

−.

7. Что такое транспонирование матрицы?

8. Какие матрицы считаются эквивалентными?

9. Можно ли однозначно утверждать, что определитель n-го порядка

есть число?

§ 8. ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ

Как уже упоминалось, элементы каждой строки (столбца) матрицы

могут рассматриваться как координаты вектора. Тогда для строк (или

столбцов) могут быть определены понятия линейной комбинации, линей-

ной зависимости и базиса аналогично тому, как это сделано в §5 для век-

торов. Линейно независимые строки матрицы будем называть базисными.

Метод нахождения базисных строк понятен из примера 15, приведенного в

конце предыдущего параграфа (в этом примере базисными являются три

первые строки).

Отметим, что выбор базисных строк неоднозначен (он зависит от ме-

тода приведения ее к ступенчатому виду), однако число их для данной

41

матрицы не зависит от способа нахождения базисных строк и равно рангу

матрицы.

• Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор,

порядок которого равен рангу матрицы.

• Строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы базисно-

го минора, называются базисными.

Из определения следует, что для любой ненулевой матрицы существует

базисный минор (вообще говоря, не единственный).

Ø Теорема (о базисном миноре): Базисные строки (столбцы) мат-

рицы линейно независимы; любая строка (столбец) матрицы является

линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

Доказательство проведем только для строк (для столбцов все рассуждения

аналогичны). Если бы базисные строки были линейно зависимы, то хотя

бы одна из них являлась линейной комбинацией других (см. §5) и по из-

вестному свойству определителей базисный минор был бы равен нулю,

что противоречит его определению. Вторая часть теоремы для базисных

строк очевидна. Докажем её для небазисных строк. Пусть для определён-

ности базисный минор M имеет порядок r и расположен в левом верхнем

углу матрицы (в противном случае с помощью элементарных преобразо-

ваний приведём матрицу к такому виду). Рассмотрим определитель (r+1)-

го порядка матрицы A, полученный приписыванием к базисному минору

элементов i-й строки и j-го столбца:

ijiri2i1

rjrrr2r1

2j2r2221

1j1r1211

aaaaaaaa

aaaaaaaa

L

L

MMLMM

L

L

=∆

В силу того, что упомянутый минор порядка r базисный, определитель ∆

равен нулю. Разложив его по последнему столбцу, получим:

42

0AaAaAaAa ijijrjrjj2j2j1j1 =⋅+⋅++⋅+⋅=∆ K (12)

Так какAij=Mij≠ 0, то из последнего выражения следует:

rjij

rjj

ij

jj

ij

jij a

AA

aAA

aAA

a ⋅−−⋅−⋅−= K22

11

.

Или, обозначая коэффициенты при aij через αk,

rjrjjij aaaa ⋅++⋅+⋅= ααα K2211 .

Это означает, что i-я строка является линейной комбинацией строк, про-

ходящих через базисный минор M, т.е. линейной комбинацией базисных

строк.

Замечание: Идея, использованная при доказательстве теоремы о ба-

зисном миноре, может быть применена для практического вычисления

ранга матрицы специфическим способом, получившим название метода

окаймления миноров. Для этого внутри матрицы находят некоторый от-

личный от нуля минор (зачастую он может быть известен заранее), а

затем вычисляют все окаймляющие (т.е. содержащие его внутри себя)

миноры. Наивысший порядок одного из этих миноров, отличного от нуля,

и есть ранг матрицы.

v Пример 16. Рассмотрим пример, иллюстрирующий содержа-

ние теоремы о базисном миноре. Пусть А - матрица из примера 15

(см. §7). Как было установлено, за её базисный минор можно принять

определитель 3-го порядка, расположенный в правом верхнем углу.

Тогда строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы ба-

зисного минора, являются базисными. На основании доказанной тео-

ремы любая строка (столбец) исходной матрицы могут быть пред-

ставлены в виде линейной комбинации базисных. Продемонстрируем

это для элементов 2-го столбца. Будем рассматривать столбцы как

векторы. Базисные столбцы имеют координаты S3 = {-1, -2, -1, -1},

S4={-2, -5, 0, 1}, S5 = {-2, -4, -7, -2}, а небазисный второй столбец

43

S2 = {1, 3, -1, -2}. Согласно теореме о базисном миноре S2 = α⋅S3 +

β⋅S4 + γ⋅S5.

В развернутом виде это можно представить как систему четырех уравне-

ний с тремя неизвестными α, β, γ

−=γ−β+α−−=γ−α−

=γ−β−α−=γ−β−α−

2217

3452122

, которая равносильна системе

−=γ−α−−=γ+β+α=γ−β−α−

17526122

Система трех уравнений получается, если из 4-го уравнения вычесть 2-ое.

Решая последнюю систему уравнений любым известным методом (напри-

мер, по формулам Крамера), приходим к выводу, что она имеет единст-

венное решение α = 1, β = -1, γ = 0. Следовательно, 2-й столбец матрицы А

может быть представлен в виде линейной комбинации базисных столбцов:

S2 = S3 - S4 . Аналогично можно показать, что, например, 4-ая (небазисная)

строка может быть представлена в виде линейной комбинации трех пер-

вых (базисных) строк.

Замечание: как следует из определения, понятия базисных строк и

столбцов имеют смысл только по отношению к конкретному базисному

минору, а не к матрице в целом, поэтому их выбор также неоднозначен.

Контрольные вопросы и задания:

1. Какие строки матрицы называют базисными?

2. Как практически найти базисный минор?

3. В чем суть теоремы о базисном миноре?

4. Для матрицы

1 2 3 44 5 6 72 4 6 85 7 9 11

A = вычислить ранг и записать два разных

базисных минора.

44

5. Покажите, что для матрицы из примера 15 (см. §7) одна из четырёх

строк может быть представлена в виде линейной комбинации трёх других.

§ 9. СОСТАВЛЕНИЕ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

Так как любой вектор линейного пространства может быть однознач-

но представлен в виде линейной комбинации базисных векторов, то для

нахождения образа произвольного вектора при воздействии данного ли-

нейного оператора необходимо знать, что делает этот оператор с каждым

из базисных элементов. В §6 было введено понятие матрицы А линейного

оператора Â, действующего в линейном пространстве Rn с базисом

{e1, e2, …, en}. Пусть оператор Â переводит каждый из базисных векторов

ek в вектор fk, так что Âek = fk. Предположим, что нам известны координа-

ты образов всех базисных векторов в заданном базисе:

{ }1k 21

a , ,...,n

k nk iki

a a a=

= = ∑k if e .

Произвольный вектор x={x1, x2, …, xn} оператором Â переводится в вектор

y={y1, y2, …, yn}. Разложения векторов x и y имеют вид:

kex ∑=

=n

1kkx и ie∑

=

=n

1iiyy

Тогда с учетом линейности оператора можно записать цепочку равенств:

=== ∑=

kexn

1k

A€A€ kxy ( )∑=

n

kkxA

1

€ke == ∑

=

n

kk Ax

1

€ke =∑ ∑

= =

n

1kikk ax i

n

1ie

== ∑∑= =

n

1kikk ax i

n

1ie =⋅

∑ ∑= =

n

1i

n

1kkik xa ie ∑

=

n

1iiy ie ; где ∑

=

=n

1kkiki xay .

Последнее равенство для yi в развернутой форме может быть записано в

виде системы уравнений преобразования (11), приведенных в §6, коэффи-

циенты которой являются элементами матрицы А оператора Â.

45

Проведённые выкладки позволяют сформулировать

• Правило: Чтобы составить матрицу А линейного оператора Â,

нужно в соответствующие столбцы поставить координаты образов

базисных векторов Âek; тогда каждая строка матрицы даст коэффици-

енты разложения соответствующей координаты вектора y = Âx по ко-

ординатам вектора x.

Примем без доказательства утверждение:

Ø Теорема: Существует один и только один линейный оператор Â,

переводящий базисные векторы e1, e2, …, en , пространства Rn в неко-

торую произвольно заданную систему векторов f1, f2, …, fn .

Это позволяет отождествить оператор с его матрицей в данном базисе в

том смысле, что если в пространстве с фиксированным базисом задан опе-

ратор, то его матрица определена однозначно и наоборот.

v Пример 17. Применим сформулированное выше правило для со-

ставления матрицы оператора поворота из примера 14. Легко заме-

тить, что базисные орты декартовой системы координат i и j при по-

вороте на угол α преобразуются в орты с координатами i′={cos α; sin

α} и j′={-sin α; cos α}. Записав эти координаты в соответствующие

столбцы, получим матрицу А, совпадающую с приведенной в приме-

ре 14, где она была выведена другим способом.

v Пример 18. Установим вид матрицы тождественного оператора

E)

, который каждому вектору x ставит в соответствие тот же самый

вектор. Так как E)

x = x, то E)

e1 = e1, , E)

e2 = e2, …, E)

en= en и в соот-

ветствующие столбцы матрицы E необходимо записать координаты

самих базисных векторов e1 = {1, 0, …, 0}, e2 = {0, 1, …, 0}, …, en=

{0, 0, …, 1},

так что она примет вид:

100

010001

E

K

KKKK

K

K

= .

46

Замечание: Все рассуждения этого параграфа соответствуют слу-

чаю, когда образ и прообраз вектора принадлежат одному и тому же ли-

нейному пространству. В этом случае матрица оператора обязательно

квадратная. В общем случае, как уже отмечалось, образ и прообраз век-

тора могут принадлежать разным линейным пространствам, в каждом

из которых задан свой базис. Если при этом размерности пространств

различны, то матрица оператора не будет квадратной.

Контрольные вопросы и задания:

1. Сформулируйте правило составления матрицы оператора.

2. Может ли матрица оператора быть неквадратной?

3. Какие свойства оператора позволяют находить образ произвольного

вектора линейного пространства с помощью матрицы оператора?

4. Составьте матрицу оператора, действующего в трехмерном про-

странстве геометрических векторов, который проецирует векторы этого

пространства на плоскость y=0.

§ 10. ДЕЙСТВИЯ С ЛИНЕЙНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ И МАТРИЦАМИ

Рассмотрим основные математические действия, которые можно про-

изводить с операторами и матрицами.

Равенство операторов и матриц

• Два оператора A€ и B€ , действующие в линейном пространстве R,

называются равными, если для любого вектора x из этого пространст-

ва справедливо равенство A€ x= B€x.

В силу отождествления оператора с его матрицей из равенства операторов

A€ и B€ следует равенство их матриц A и B.

• Матрицы Α и B называются равными, если они одинакового раз-

мера и все их соответственные элементы равны между собой, т. е. выполняется условие ai k= bi k.

47

Сложение операторов и матриц

• Суммой линейных операторов A€ и B€ , действующих в линейном

пространстве R, называется такой оператор ( A€ + B€ ), что для любого

x∈R справедливо равенство ( A€ + B€ )x = A€ x + B€ x .

Установим вид матрицы суммы операторов. Пусть в некотором базисе

операторы A€ и B€ имеют соответственно матрицы ikaA = и ikbB = ,

так что можно записать:

∑=

=n

iiikk aA

1

€ ee , ∑=

=n

iiikk bB

1

€ ee . По определению

( ) +=+=+ ∑=

n

iiikkkk aBABA

1

€€€€ eeee ( )∑∑==

⋅+=n

1iiikik

n

1iiik bab ee .

Таким образом, матрица суммы операторов Â и B€ имеет вид ikik ba + .

Это позволяет сформулировать правило сложения матриц:

• Чтобы сложить две матрицы, нужно сложить их элементы с оди-

наковыми индексами (понятно, что складывать можно только матри-

цы одинакового размера).

Очевидно, что для суммы операторов и матриц справедливы коммутатив-

ный и ассоциативный законы, соответственно:

1. A€B€B€A€ +=+ для операторов, или ABBA +=+ для матриц;

2. )C€B€(A€C€)B€A€( ++=++ для операторов, или )CB(AC)BA( ++=++ для

матриц.

Умножение оператора и матрицы на число

• Произведением линейного оператора A€ , заданного в пространст-

ве Rn, на действительное число λ называется оператор )€( A⋅λ , опреде-

ляемый равенством ( ) xx AA €€ ⋅= λλ для любого x∈ Rn.

Установим вид его матрицы. Так как по определению ( ) xx AA €€ ⋅= λλ , то для

каждого базисного элемента ek выполняется цепочка равенств:

48

( ) ( ) i

n

iiki

n

iikkk aaAA eeee ⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∑∑

== 11

€€ λλλλ .

Это означает, что матрица оператора )€( A⋅λ должна иметь вид: ika⋅λ .

Отсюда следует вывод:

• При умножении матрицы на число необходимо каждый её эле-

мент умножить на это число.

Заметим, что при умножении определителя на число достаточно умножить

на это число элементы только одной его строки или столбца.

Произведение оператора на число обладает очевидными свойствами

(каждое из них может быть строго доказано):

1). λλ ⋅=⋅ AA €€

2). BABA €€)€€( ⋅+⋅=+⋅ λλλ

3). AA €)()€( ⋅⋅=⋅⋅ µλµλ

4). AAA €€€)( ⋅+⋅=⋅+ µλµλ

Аналогичные соотношения можно записать и для матриц.

Вычитание операторов

• Разностью операторов Â и B)

, действующих в линейном про-

странстве R, называется оператор )€€( BA − , определяемый равенством

BABA €)1(€)€€( ⋅−+=− .

Очевидно, что каждый элемент матрицы этого оператора равен разности

соответствующих элементов матриц A и B.

Понятно, что операция вычитания (как и сложения) может быть опре-

делена только для матриц одного размера.

Умножение операторов

• Оператор BAG €€€ ⋅= называется произведением или суперпозицией

операторов Â и B)

, если его действие состоит в последовательном

применении заданных операторов (сначала B)

, потом Â), так что

( ) ( )xx BABA €€€€ =⋅ .

49

Из определения следует, что если операторы Â и B€ линейные, то G€ - тоже

линейный оператор. Установим вид матрицы оператора G€ . По определе-

нию ( ) ( )xx BABA €€€€ =⋅ . Рассмотрим для простоты случай, когда x = ek. Пусть

∑=

=n

iiikk aA

1

€ ee , ∑=

=n

jjjkk bB

1

€ ee . Тогда

( ) ( )

==⋅ ∑

=j

n

jjkbABABA eee kk

1

€€€€€ ( )∑=

=n

jjjkbA

1

€ e ∑=

=n

jjjk Ab

1

€e

Но по условию ∑=

=n

iiijj aA

1

€ ee , поэтому

( ) ==⋅ ∑∑==

i

n

iij

n

jjk abBA eek

11

€€ ∑ ∑∑∑= ===

=

n

1iijk

n

1jiji

n

1iijjk

n

1jbaab ee i

n

1iikg e∑

=

= , где для

выражения в скобках введено обозначение gik.

Совокупность коэффициентов gik определяет матрицу G оператора

G€ , равного произведению операторов Α€ и Β€ . Таким образом, произведе-

нию операторов Α€ и Β€ соответствует произведение их матриц, которое

само в данном случае является матрицей того же порядка. Это позволяет

сформулировать правило умножения матриц, кратко называемое “строка

на столбец”:

• Чтобы получить элемент gik произведения матриц A и B, принад-

лежащий i-ой строке и k-ому столбцу, надо элементы i-ой строки мат-

рицы A умножить на соответствующие элементы k-го столбца матри-

цы B и результаты сложить.

Замечание: аналогичное правило справедливо и при умножении опре-

делителей (естественно, если они одного порядка).

Умножение матриц

Полученное при рассмотрении умножения операторов правило "строка на

столбец" умножения матриц можно распространить и на неквадратные

матрицы, необходимо только, чтобы число столбцов первой матрицы сов-

падало с числом строк второй (иначе мы не сможем составить сумму).

50

v Пример 19. Пользуясь упомянутым правилом, найдем произведе-

ние:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 01

1034

000100010000021301

011011

100010321

=++++++++++++

=⋅

Из приведенных рассуждений и рассмотренного примера можно сделать

следующий вывод:

• Произведение матриц определено только тогда, когда число

столбцов матрицы-множимого равно числу строк матри-

цы-множителя; если матрица-произведение существует, то она со-

держит столько строк, сколько первая из перемножаемых матриц, и

столько столбцов - сколько вторая.

В теоретической физике чаще всего приходится иметь дело с квад-

ратными (размера n×n), строчными (размера 1×n) и столбцовыми (размера

n×1) матрицами. Для таких матриц можно составить символическую "таб-

лицу умножения", приведенную на рис. 2.

Рис. 2. Символическая таблица умножения матриц

51

Свойства произведения матриц

1) А⋅B ≠ B⋅A — произведение матриц в общем случае некоммута-

тивно (более того, иногда одно из произведений может существовать,

а другое – нет);

2) (А⋅B)⋅C = A⋅(B⋅C) — сочетательный закон;

3) (А+B)⋅C = A⋅C+B⋅C — распределительный закон.

• Если для матриц А и В выполняется условие А⋅B = B⋅A, то мат-

рицы А и В называются перестановочными или коммутирующими.

Так как каждой квадратной матрице порядка n в некотором линейном про-

странстве Rn с фиксированным базисом соответствует оператор, то ука-

занные выше три свойства матриц можно распространить и на операторы.

• В случае, когда ABBA €€€€ ⋅=⋅ , операторы Α€ и Β€ называются комму-

тирующими, а выражение ABBA €€€€ ⋅−⋅ =Θ.

• В случае, когда ABBA €€€€ ⋅≠⋅ , операторы Α€ и Β€ называются не-

коммутирующими, а оператор [ ]=BA €€ ABBA €€€€ ⋅−⋅ называют коммутато-

ром операторов Α€ и Β€ .

Очевидно, что коммутатор линейных операторов сам является линейным

оператором. При преобразовании выражений, содержащих коммутаторы,

используют следующие их свойства:

1) [ Α€ , Β€ ] = - [Β€ , Α€ ]

2) [ Α€ + Β€ ,С€ ] = [ Α€ ,С)

] + [Β€ ,С€ ]

3) [λ⋅ Α€ , Β€ ] = λ⋅[ Α€ , Β€ ], где λ — число

4) [ ] [ ] [ ]BCACBACBA €€,€€,€€€,€€ +=

5) [ ] [ ] [ ]CBACABCBA €€,€€,€€€€,€ +=

С каждой квадратной матрицей можно связать определитель, состав-

ленный из тех же самых элементов, который называют детерминантом

матрицы. Для детерминантов матриц справедлива теорема об умножении

определителей, формулировка которой приведена ниже.

52

Ø Теорема: Определитель произведения матриц одного порядка

равен произведению определителей перемножаемых матриц, т.е.

Det(A⋅B) = DetA⋅DetB.

Проверим это утверждение для матриц второго порядка непосредственно:

2221

1211

2221

1211

b bb b

а аа а

ВА ⋅=⋅( ) ( )( ) ( )2222122121221121

2212121121121111

ba ba ba baba ba ba ba

++++

=

Пользуясь известными свойствами определителей, Det(A⋅B) можно пред-

ставить в видe суммы четырёх определителей:

( )22222122

22122112

12212122

21112112

22221121

22121111

12211121

21111111

ba ba ba ba

ba ba ba ba

ba ba ba ba

ba ba ba ba

BADet +++=⋅

Так как первый и последний определители, очевидно, равны нулю, то

2122

11121221

2221

12112211 а а

a abb

а а a a

bbВ)(АDet +=⋅

Меняя местами столбцы определителя во втором слагаемом, вынесем detA

за скобку как общий множитель. Тогда

BDet ADet )bb-bb(а а

a aВ)(АDet 12212211

2221

1211 ⋅=⋅=⋅

Аналогично можно доказать справедливость теоремы и для матриц более

высокого порядка.

При известной матрице оператора умножение матриц позволяет легко

найти образ вектора по координатам его прообраза. Условимся записывать

координаты векторов в виде столбцовых матриц. Тогда выражению A€x

можно сопоставить произведение квадратной матрицы A оператора A€ на

матрицу-столбец X из координат вектора x. В результате получим матри-

цу-столбец Y из координат вектора y – образа вектора x.

v Пример 20. Пусть в линейном пространстве R2 задан оператор A€

с матрицей A =3215 − . Найдем образ вектора x = {-2; 3}. По опреде-

53

лению образ вектора x есть вектор y = A€x. Сопоставим выражению

A€x произведение матриц A и X. Вычислим

513

32

3215

XA−

=−

⋅−

=⋅

В соответствии с вычислениями координаты вектора y = {-13; 5}.

Возведение матрицы в натуральную степень

Прежде всего, отметим, что действие возведения в степень может

быть определено только для квадратной матрицы. Поскольку для числа а

возведение в целую положительную степень n означает последовательное

умножении его самого на себя, то распространение этого правила на мат-

рицы приводит к требованию совпадения числа строк и столбцов (в про-

тивном случае матрицы нельзя будет перемножить). Тогда можно сформу-

лировать следующее определение:

• Целой положительной степенью An квадратной матрицы А назы-

вается последовательное произведение n матриц, т.е. выражение вида

...n

n

A A A A= ⋅ ⋅ ⋅14243

Естественно, что при возведении в степень получается квадратная матрица

того же порядка, что и А.

v Пример21 . Пусть дана матрица 10 1

nA = . Найти А3.

Необходимые вычисления элементарны и не требуют пояснений:

3 1 1 1 1 2 1 1 30 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

n n n n n nA = ⋅ ⋅ = ⋅ = .

Заметим, что в данном примере каждое умножение матрицы на себя при-

водит к увеличению на 1 коэффициента при a12, а остальные её элементы

не изменяются. Пользуясь методом математической индукции, можно до-

казать, что 1 10 1 0 1

mn mn

=

.

54

Отталкиваясь от определения, легко показать, что действие возведения

матрицы в натуральную степень подчиняется тем же законам, что и возве-

дение в степень чисел, в частности

m n m nA A A+ = ⋅ ; ( )mn n mA A ⋅= .

• Нулевой степенью A0 квадратной матрицы А называется еди-

ничная матрица того же порядка.

Замечание: Действие возведения матрицы в степень позволяет по

аналогии с обычными функциями формально ввести понятие функции от

квадратной матрицы, опираясь на представление функций бесконечными

степенными рядами. Например, отталкиваясь от представления экспо-

ненты ex разложением её в ряд вида 2 3

0

1 ...! 2 6

nx

n

x x xe xn

∞

=

= = + + + +∑ ,

для любой квадратной матрицы А можно определить еА выражением 2 3

0

...! 2 6

nA

n

A A Ae E An

∞

=

= = + + + +∑ .

Контрольные вопросы и задания:

1. Какие матрицы можно складывать?

2. Какие матрицы можно перемножать?

3. Вычислить 3 TA B− , если 1 2 3 2 3 12 1 1 ; 0 2 13 1 4 0 3 2

A B= − = − .

4. Сформулируйте правило умножения матриц.

5. Как определить размер матрицы-произведения?

6. Вычислить А4, если А= 2 22 2

− − .

7. Вычислить произведения АВ и ВА, если 1 2 3 ; 1 2 3TA B= = .

55

8. Даны матрицы: 2 1 32 2 1 ;4 1 2

A−

= 0 3 12 0 3 ;1 3 0

B−

= 1 0

2 3 ;1 2

C−

=

3 3 3;

1 1 0D =

−

1 0 00 1 0 ;0 0 1

E =

1 2 32 4 60 0 10 2 10 3 4

F = − .

Установить, какие из произведений AB, BA, ABCE, ABEC, AC, CA, DC,

CD, BE, EF, FE существуют, и определить их размер.

9. Найти произведения матриц AB, BA, AC, DC, FE, перечисленных в

предыдущем задании.

10. Вычислить функцию f(A), если функция задана выражением вида

f(x)=2x0 – 3x + x2, а матрица 2 3 10 1 01 0 2

A−

= .

§ 11. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

ЯДРО И ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРА

Для любого линейного оператора A€ в силу его линейности A€θ = θ.

• Линейный оператор A€ , для которого A€x = θ тогда и только то-

гда, когда x = θ, называется невырожденным.

• Если в линейном пространстве R найдется такой ненулевой век-

тор x, что A€x = θ, то оператор A€ называется вырожденным.

Ø Теорема: Для того, чтобы линейный оператор был невырожден-

ным, необходимо и достаточно, чтобы детерминант его матрицы был

отличен от нуля.

56

Для доказательства заметим, что выражение A€x = θ эквивалентно одно-

родной системе уравнений:

=+++=+++

=+++

0ха...хахa0ха...хахa0ха...хахa

nnn2n21n1

n2n222121

n1n212111

( 13),

где аik - элементы матрицы A оператора A€ , а xk - координаты вектора x. По

определению, оператор A€ будет невырожденным, если указанная система

уравнений (13) будет иметь единственное тривиальное решение, а для это-

го необходимо и достаточно, чтобы главный определитель системы, рав-

ный DetA, был отличен от нуля. Что и требовалось доказать.

Легко понять, что всякий невырожденный оператор является взаимно

однозначным, т.е. одинаковым образам, порожденным таким оператором,

соответствуют одинаковые векторы-прообразы. Напротив, вырожденный

оператор неоднозначен: в этом случае один и тот жe образ может иметь

разные прообразы.

• Множество образов векторов линейного пространства, порож-

даемое конкретным оператором, называется областью значений дан-

ного оператора.

Очевидно, что областью значений оператора может быть как все линейное

пространство, так и некоторая его часть.

• Ядром линейного оператора A€ , действующего в линейном про-

странстве R, называется множество всех элементов x этого простран-

ства, для которых A€x = θ.

Для обозначения ядра оператора A€ служит символ KerA.

Вполне очевидно, что для невырожденного оператора ядро состоит из

одного нулевого вектора, а областью значений оператора является все ли-

нейное пространство.

Напротив, ядро вырожденного оператора содержит более одного эле-

мента, причем и ядро, и область значений такого оператора являются ли-

57

нейными подпространствами того пространства, в котором действует опе-

ратор.

§ 12. ОБРАЩЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

• Опepaтор 1€−A называется обратным для оператора A€ , если

EAAAA €€€€€ 11 =⋅=⋅ −− , где E€ - тождественный оператор.

Действие оператора 1€−A состоит в том, что он "возвращает на свои места"

элементы, преобразованные оператором A€ , так что если A€x = y, то 1€−A y = x. В силу отождествления оператора и матрицы обратному операто-

ру соответствует матрица, которая также называется обратной.

• Матрица A-1 называется обратной по отношению к квадратной

матрице A порядка n, если A⋅A-1=E, где E – единичная матрица того

же порядка.

Замечание. Обращение является взаимной операцией: для матрицы

A-1 обратной будет матрица A.

Ø Теорема: Для любой невырожденной матрицы А существует об-

ратная ей матрица 1−Α .

Докажем это. Одновременно в ходе доказательства будет получен один из

алгоритмов нахождения обратной матрицы. Для простоты ограничимся

случаем матрицы третьего порядка. Пусть имеется невырожденная матри-

ца

333231

232221

131211

ааааааааа

А =

Из алгебраических дополнений данной матрицы А составим вспомога-

тельную матрицу и транспонируем её:

58

332313

322212

312111

AAAAAAAAA

S =

• Матрица S, полученная транспонированием матрицы, составлен-

ной из алгебраических дополнений исходной матрицы А, называется

союзной или присоединённой к A.

Рассмотрим произведение матриц А и S:

332313

322212

312111

333231

232221

131211

AAAAAAAAA

ааааааааа

SА ⋅=⋅ .

При выполнении умножения (по правилу "строка на столбец") используем

известные свойства определителя: определитель равен сумме произведе-

ний элементов какой-либо строки на соответствующие алгебраические до-

полнения, а сумма произведений элементов некоторой строки на алгебраи-

ческие дополнения, соответствующие элементам другой строки, равна ну-

лю. В результате получим цепочку равенств:

==⋅

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

===

===

===

3

1kk3k3

3

1kk2k3

3

1kk1k3

3

1kk3k2

3

1kk2k2

3

1kk1k2

3

1kk3k1

3

1kk2k1

3

1kk1k1

AaAaAa

AaAaAa

AaAaAa

SA

EAdet100010001

AdetAdet00

0Adet000Adet

⋅=⋅==

Сопоставляя полученный результат A∙S=detA∙Е с выражением A∙A-1=E,

можно сделать вывод, что

SdetA

А 1- ⋅=1 ( 14).

Так как по условию detA ≠ 0, то обратная матрица существует, а формула

(14) позволяет вычислить её элементы.

59

v Пример 22: Найдем матрицу, обратную данной. Предварительно убе-

димся, что матрица А невырожденная, затем составим союзную матрицу и

воспользуемся формулой (14).

311513111

А −−= ; detA= - 8 ≠ 0; 404

8214422

S−

−−−

=

2/102/114/14/72/14/14/1

4048214422

81S

detA11

−−−

−=

−−

−−⋅

−=⋅=Α−

После вычисления элементов обратной матрицы рекомендуется прокон-

тролировать правильность результата непосредственной проверкой соот-

ношения A∙A-1=E, что предоставляется в качестве упражнения читателю.

Ещё один широко распространенный метод вычисления элементов

обратной матрицы основан на том, что если существует преобразование,

переводящее данную матрицу А в единичную матрицу Е, то это же преоб-

разование переводит единичную матрицу в матрицу A-1, обратную А. Тех-

ника вычислений заключается в том, что рядом с данной матрицей А вы-

писывается единичная матрица того же порядка, а затем элементарными

преобразованиями строк обеих матриц исходную матрицу стремятся пре-

вратить в единичную. Если эта задача разрешима, то в итоге на месте пер-

воначально записанной единичной матрицы окажется матрица A-1, обрат-

ная А. Поясним сказанное примером.

v Пример 23: Найдем матрицу, обратную приведенной в предыдущем

примере с помощью элементарных преобразований строк.

Прежде всего выпишем справа рядом с исходной единичную матрицу, для

удобства отделяя её элементы от данной матрицы вертикальной чертой.

Идея заключается в том, чтобы на каждом этапе одновременного последо-

вательного преобразования матриц превращать в нули все элементы дан-

ного столбца левой матрицы, за исключением стоящего на её главной диа-

гонали. В данном случае было проделано следующее. На первом этапе к

60

элементам 2-ой строки прибавили элементы 1-ой, умноженные на (-3), а из

3-ей строки вычли 1-ю. На втором этапе разделили 2-ю строку на 4, а так-

же прибавили результат деления к 1-ой строке. На третьем этапе ко 2-ой

строке прибавили 3-ю, а к 1-ой прибавили последнюю, предварительно

разделив её на 2. На четвертом этапе умножили 2-ю строку на (-1), а 3-ю

разделили на 2. Цепочка описанных преобразований приводится ниже.

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 4 1 4 03 1 5 0 1 0 0 4 8 3 1 0 0 1 2 3 4 1 4 01 1 3 0 0 1 0 0 2 1 0 1 0 0 2 1 0 1

1 0 0 1 4 1 4 1 2 1 0 0 1 4 1 4 1 20 1 0 7 4 1 4 1 0 1 0 7 4 1 4 10 0 2 1 0 1 0 0 1 1 2 0 1 2

−− − ⇒ − − − ⇒ − − − ⇒

− −

− −⇒ − − ⇒ − −

− −

В результате левая матрица трансформировалась в единичную, а правая – в

матрицу A-1, обратную А. Легко убедиться, что результаты расчетов пол-

ностью совпадают с полученными в предыдущем примере, однако объём

вычислений в последнем случае меньше.

В заключение отметим, что наряду с продемонстрированными выше

методами существуют и другие способы вычисления элементов обратной

матрицы.

Замечание: Понятие обратной матрицы позволяет распространить

действие возведения матрицы в степень на любые целые отрицательные

показатели. Например, можно считать, что А-3 =(A-1)3=А-1·А-1·А-1.

Контрольные вопросы и задания:

1. В чем состоит действие обратного оператора?

2. Для какой матрицы существует понятие обратной?

61

3. Для матрицы

1 2 1 12 3 2 31 0 1 12 1 4 0

− −− −

найти обратную. Правильность вычис-

лений проверить умножением.

4. Какие методы вычисления элементов обратной матрицы Вы знаете?

5. Какая матрица называется особенной?

6. Найти А-2, если известно, что 1 23 7

A =

§ 13. МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ

К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим совместную систему n линейных уравнений с n неизвестными:

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

n1 1 n2 2 nn n n

a х а х ... а х ba х а х ... а х b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . a х а х ... а х b

+ + + = + + + = + + + =

(15)

• Основной матрицей системы линейных уравнений называется

матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных.

Обозначив основную матрицу системы через А, столбец из неизвестных -

X, а столбец свободных членов - В, можно записать систему уравнений (7)

в эквивалентной форме А⋅Х = В, что в развернутом виде даст:

n

2

1

n

2

1

nnn2n1

2n2221

1n1211

b:

bb

x:

xx

а...аа....а...ааа...аа

=⋅ (16)

Выражение (16) является простейшим примером так называемого матрич-

ного уравнения.

62

• Матричным уравнением будем называть уравнение вида А⋅Х = В,

Х⋅А = В или А⋅Х⋅С = В, где A, B, С - данные матрицы, а X - неизвест-

ная матрица.

Замечание. Существуют и более сложные матричные уравнения, но

мы ограничимся рассмотрением указанных выше трёх типов.

Решение матричных уравнений такого вида формально выглядит

очень просто и сводится к умножению на соответствующую обратную

матрицу (разумеется, если она существует).

Например, умножив обе части уравнения А⋅Х = В на А-1 слева, полу-

чим

А-1∙A∙Х = А-1∙В. Учитывая, что А-1∙A∙Х = E∙Х = Х, имеем право записать:

X = А-1∙В (17)

Для решения уравнения Х⋅А = В нужно умножить обе его части на А-1

справа. Тогда получим Х = В⋅А-1.

Для решения уравнения А⋅Х⋅С = В надо умножить обе его части на А-1

слева и на С-1 справа. В результате получим: X = А-1∙В⋅ С-1.

v Пример 24. Решим матричное уравнение:

8234

1123

X−

=⋅ .

Это уравнение вида Х⋅А=В. Его решение Х=В⋅А-1. Так как DetA=1≠0, то

существует обратная матрица

3121

A 1

−−

=− .

Решение уравнения Х = В⋅А-1 = 206177

3121

8234

−−

=−

−⋅

−.

Решение невырожденных систем линейных уравнений

• Система уравнений (15) называется невырожденной, если детер-

минант её основной матрицы отличен от нуля.

63

Вернёмся к матричной форме записи системы (15) в виде А⋅Х = В. Так

как по условию матрица А системы (15) невырожденная и, следовательно,

имеет обратную, решением уравнения А⋅Х = В будет Х = А-1⋅В.

В результате умножения квадратной матрицы А-1 на матрицу-столбец B

получим матрицу-столбец С. Матрицу С часто называют вектор-решением

системы уравнений (15), так как после подстановки чисел с1, с2, …, сn вме-

сто x1, x2, …, xn каждое из уравнений системы (15) обращается в верное ра-

венство.

Происхождение названия "вектор-решение'' связано с тем, что мат-

ричное уравнение А⋅Х = В можно рассматривать как пример применения

оператора А€ с матрицей А к некоторому неизвестному n-мерному вектору

x = {x1, x2, …, xn}, образом которого является известный вектор

b = {b1, b2, …, bn}. В этом случае А⋅Х=В есть матричная запись выражения

Α)

x = b, а задача решения системы уравнений (15) сводится к задаче оты-

скания прообраза вектора b при известном виде оператора преобразова-

ния Α€ .

v Пример 25. Пусть дана система уравнений

=++=−−

=++

23ххх45хх3х

0ххх

321

321

321

.

В матричной форме: 240

ххх

311513

111

3

2

1

=⋅−− (18).

Так как detA= - 8 ≠ 0, основная матрица этой системы имеет обратную А-1,

которая (см. пример 23) имеет вид:

А-1=2/102/114/14/72/14/14/1

−−−

−.

Решение матричного уравнения (18) можно найти матричным способом:

64

Х= А-1∙В=132

240

2/102/114/14/72/14/14/1

−=⋅−

−−−

.

Таким образом, решение исходной системы уравнений имеет вид:

x1 = 2; x2 = -3; x3 = 1.

Матричный метод решения систем линейных уравнений особенно

удобен, когда требуется решить несколько систем с одинаковыми левыми

частями, так как основная трудность при таком методе заключается в вы-

числении самой обратной матрицы.

Матричный вывод формул Крамера

Можно показать, что в развёрнутом виде из матричной записи (17)

решения системы уравнений непосредственно получаются известные фор-

мулы Крамера:

∆∆=ixix

Действительно, так как Х=А-1⋅В и SdetA

А 1- ⋅=1 , то:

n

2

1

nn2n1n

n22212

n12111

n

2

1

b:

bb

A...AA....

A...AAA...AA

detA1

x:

xx

⋅⋅= .

В силу этого равенства для произвольного неизвестного xi можно записать:

)nni2i21i1i b...bb(detA

1х Α++Α+Α⋅= (19)

Легко видеть, что выражение в скобках в этой формуле есть разложе-

ние по i-му столбцу вспомогательного определителя Δxi, полученного из

главного определителя системы Δ = detA заменой i-го столбца столбцом

свободных членов. Поэтому (19) можно записать в виде: xi=Δxi/Δ.

Рассмотренные методы решения систем линейных уравнений приме-

нимы, очевидно, только тогда, когда число уравнений системы равно чис-

лу неизвестных и, кроме того, система является невырожденной. Однако

65

матричные методы можно использовать и в более сложных случаях. Более

того, решение любой совместной системы линейных уравнений может

быть найдено методами линейной алгебры, и те же методы используются

для выяснения совместности системы.

Теорема Кронекера-Капелли

Пусть имеется m линейных уравнений c n неизвестными, причём не-

обязательно m = n:

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

m1 1 m2 2 mn n m

a х а х ... а х ba х а х ... а х b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a х а х ... а х b

+ + + = + + + = + + + =

(20)

Введём новое понятие.

• Расширенной матрицей системы линейных уравнений называется

матрица A~ , которая получается из основной матрицы системы A добавле-

нием столбца свободных членов (для удобства условимся отделять этот

столбец от остальных элементов матрицы вертикальной чертой):

m

2

1

mnm2m1

2n2221

1n1211

b.

bb

а...аа....а...ааа...аа

А~ = (21).

Критерием совместности системы линейных уравнений служит теорема

Кронекера-Капелли.

Ø Теорема: Для того, чтобы система линейных уравнений была со-

вместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг её основной матрицы

был равен рангу расширенной.

Докажем необходимость. Пусть система (20) совместна, т.е. существует

хотя бы один набор таких чисел с1, с2, …, сn, что ∑=

=n

1kikik bса , где

i = 1, 2, …, m. Запишем расширенную матрицу A~ системы уравнений (20).

66

Ранг A~ не изменится, если вычесть из элементов последнего столбца эле-

менты первого столбца, умноженные на с1, элементы второго, умноженные

на с2, … и, наконец, элементы n-го столбца, умноженные на cn.

В результате получим:

∑

∑

∑

=

=

=

⋅−

⋅−

⋅−

⇒=

n

1kknknnn2n1n

n

1kkk22n22221

n

1kkk11n11211

m

2

1

mnm2m1

2n2221

1n1211

cabaaa

cabaaa

cabaaa

b.

bb

а...аа....а...ааа...аа

А~

L

MMLMM

L

L

Но по условию ∑=

=n

1kikik bса , поэтому последний столбец полученной мат-

рицы нулевой, в силу чего RgAA~Rg = . Что и требовалось доказать.

Докажем теперь достаточность теоремы. Пусть RgAA~Rg = = r. Будем счи-

тать, для определённости, что базисный минор матрицы A расположен в

левом верхнем углу её (в противном случае элементарными преобразова-

ниями матрицу А всегда можно привести к такому виду). Тогда первые r

строк матрицы A~ линейно независимы (они базисные), а остальные (m - r)

согласно теореме о базисном миноре являются их линейными комбина-

циями. Это значит, что первые r уравнений системы (20) независимы, а ос-

тальные являются их следствиями. Назовём базисными или главными не-

известными те r неизвестных, коэффициенты при которых образуют ба-

зисный минор. Остальные неизвестные, если они есть, назовём свободны-

ми. Понятно, что выбор главных неизвестных неоднозначен, так как ба-

зисный минор может быть выбран не единственным образом, однако чис-

ло их для данной системы строго определено и равно r. Из определения

ранга матрицы следует, что r ≤ n.

Напомним, что две системы линейных уравнений с n неизвестными

называют эквивалентными или равносильными, если каждое решение од-

67

ной из них одновременно является решением для другой, и наоборот – ка-

ждое решение второй является решением первой.

Рассмотрим случай r = n. Тогда система (20) может быть заменена равно-

сильной ей системой, состоящей из первых r уравнений. Единственное ре-

шение этой системы может быть найдено, например, по формулам Краме-

ра. Если r < n, то систему (20) можно заменить ей эквивалентной, перенеся

свободные неизвестные в правую часть уравнений:

−−−=+++=

−−−=+++

++

++

nrn1r)1r(rrrrr22r11r

nn11r)1r(11rr1212111

xaxabxaxaxa

xaxabxaxaxa

KK

KKKKK

KK

Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бес-

конечное число решений исходной системы (20). Каждое из этих решений,

получаемое при конкретном выборе свободных неизвестных, называется

частным решением системы (20).

Следствия теоремы Кронекера-Капелли

На основании теоремы Кронекера-Капелли можно сделать следующие

практические выводы:

1. Если RgAARg ≠~ , то система несовместна.

2. Если RgAA~Rg = = n , где n - число неизвестных, то система имеет един-

ственное решение (все неизвестные главные).

3. Если RgAA~Rg = <n, система имеет бесчисленное множество решений

(есть свободные неизвестные).

4. Однородная система уравнений всегда совместна.

5. Однородная система имеет единственное нулевое решение, если ранг её

матрицы равен числу неизвестных.

6. Для того, чтобы однородная система имела ненулевые решения, необхо-

димо и достаточно, чтобы ранг её матрицы RgA был меньше числа неиз-

вестных n.

68

Структура общего решения системы линейных уравнений

• Назовем однородной системой уравнений, соответствующей дан-

ной системе (20) систему вида:

11 1 12 2 1n n

21 1 22 2 2n n

m1 1 m2 2 mn n

a х а х ... а х 0a х а х ... а х 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a х а х ... а х 0

+ + + = + + + = + + + =

(22)

Фактически (22) это та же система (20), где все bi=0. Тогда справедлива

Ø Теорема: Общее решение неоднородной системы линейных

уравнений может быть представлено в виде суммы некоторого (без-

различно какого) частного решения неоднородной системы и общего

решения соответствующей ей однородной системы.

Для доказательства достаточно убедиться в справедливости двух ут-

верждений:

1). Сумма любого решения неоднородной системы (20) с любым ре-

шением соответствующей ей однородной системы (22) является ре-

шением системы (20).

2). Разность двух произвольных решений неоднородной системы (20)

является решением соответствующей ей однородной системы (22).

Для сокращения записи представим системы (20) и (22) в матричной форме

как AX = B и AX = Θ соответственно. Пусть C - произвольное вектор-

решение система (20), а D - общее вектор-решение системы (22), тогда их

сумма (С+D) является вектор-решением системы (20), так как

A(C + D) = AC + AD= B + Θ =B.

Обратно, если C1 - некоторое фиксированное вектор-решение систе-

мы (20), а С - какое-либо произвольное её вектор-решение, то разность

(C - C1) является вектор-решением системы (22). Действительно,

A(C - C1) = AC - AC1= B – B = Θ. Теорема доказана.

69

Практическую пользу теоремы о структуре общего решения системы

линейных уравнений можно продемонстрировать на следующем примере.

v Пример 26.

Рассмотрим систему: 1 2 3

1 2 3

1 3

42 83 2 12

x x xx x xx x

+ + = − + = + =

(23).

Легко убедиться, что она не может быть решена по методу Крамера,

т.к. её главный определитель и все вспомогательные равны нулю. Таким

образом, система является неопределённой, т.е. может иметь либо бесчис-

ленно много решений, либо ни одного.

Можно заметить, что набор {2; -1; 3} является решением системы

(23). Но в таком случае существует бесконечно много её решений. Попы-

таемся их найти. Для этого составим однородную систему, соответствую-

щую данной:

1 2 3

1 2 3

1 3

02 03 2 0

x x xx x xx x

+ + = − + = + =

(24).

Так как её определитель равен нулю, то она сводится, как известно, к сис-

теме двух уравнений (например, первого и второго):

1 2 3

1 2 3

02 0x x x

x x x+ + =

− + =

Общее решение этой новой системы двух уравнений, которая эквивалент-

на системе (24), можно найти по известной формуле

( )( 1)1 det( )kk ijx t a+= − ⋅ ⋅ , где t – параметр (произвольное число), а j ≠ k.

Таким образом

1

1 12 ;

1 1x t t= =

− 2

1 1;

2 1x t t= − = 3

1 13

2 1x t t= = −

− .

Согласно доказанной теореме о структуре общего решения неоднородной

системы общее решение системы (23) может быть записано в виде

x1 = 2 + 2t; x2 = - 1 + t; x1 = 3 - 3t .

70

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что при любом значе-

нии параметра t данное решение удовлетворяет исходной системе (23).

Фундаментальная система решений

Пусть дана однородная система m уравнений с n неизвестными вида

11 1 12 2 1n n

21 1 22 2 2n n

m1 1 m2 2 mn n

a х а х ... а х 0a х а х ... а х 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a х а х ... а х 0

+ + + = + + + = + + + =

(25),

о которой известно, что ранг её матрицы А равен r, причём r < n. Будем

считать, для определённости, что базисный минор матрицы A расположен

в левом верхнем углу её (в противном случае систему и её матрицу всегда

можно привести к такому виду). Тогда система (25) может быть заменена

равносильной ей системой, состоящей из первых r уравнений. В этой сис-

теме первые r неизвестных являются главными, а остальные – свободными.

Перенося свободные неизвестные в правую часть уравнений, получим

эквивалентную систему уравнений вида

11 1 12 2 1 1( 1) 1 1( 2) 2 1

1 1 2 2 ( 1) 1 ( 2) 2

r r r r r r n n

r r rr r r r r r r r rn n

a x a x a x a x a x a x

a x a x a x a x a x a x

+ + + +

+ + + +

+ + + = − − − −

= + + + = − − − −

K K

KKK KK

K K (26).

Если дать переменным x(r+1), x(r+2), …, xn какие-нибудь фиксированные чи-

словые значения c(r+1), c(r+2), …, cn, получим систему r уравнений с r неиз-

вестными, главный определитель которой отличен от нуля (его элементы

образуют базисный минор матрицы А). Такая система имеет, как известно,

единственное решение. Поскольку выбор значений c(r+1), c(r+2), … cn, оче-

видно, произволен, то можно утверждать, что каждому конкретному набо-

ру чисел c(r+1), c(r+2), …, cn однозначно соответствует некоторое конкретное

вектор-решение системы (25) вида uk = {x1k, x2k, …, xrk, c(r+1), …, cn}. Ин-

декс k неизвестного xik может принимать значения от 1 до (n-r) включи-

тельно в соответствии с конкретным набором c(r+1), c(r+2), …, cn.

71

Рассмотрим наборы c(r+1), c(r+2), …, cn вида:

1; 0; ...; 00; 1; ...; 0... ... ... ...0; 0; ...; 1

(очевидно, что вместо единиц в таком наборе могут фигурировать произ-

вольные числа, отличные от нуля). Этим наборам будут соответствовать

вектор-решения системы (25) вида

1 11 1

2 12 2

(n-r) 1(n-r) ( )

u = {х ;...; ;1;0;...;0}u = {х ;...; ;0;1;...;0}. . . . . . . . . . . . . . . . . .u = {х ; ;0;0;...;1}

r

r

r n r

xx

x −

(27).

Легко убедиться, что вектор-решения u1, u2, …u(n-r) образуют базис

линейного пространства решений системы (25). Для этого достаточно по-

казать, во-первых, что векторы u1, u2, …u(n-r) линейно независимы, а

во-вторых, что каждое решение u = {x1; x2; …; xr; …; xn} системы (25) есть

линейная комбинация решений (27).

Для доказательства линейной независимости векторов (27) запишем

их линейную комбинацию, равную нулевому вектору:

λ1u1 + λ2 u2 +…+ λ(n-r) u(n-r) = Θ.

Рассматривая (r+1)-ю, (r+2)-ю, … и n-ю координаты этого векторного ра-

венства, получим систему (n-r) уравнений

1 2 (n-r)

1 2 (n-r)

1 2 (n-r)

1 0 ... 0 0

0 1 ... 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 ... 1 0

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

Очевидно, что данная система имеет только тривиальное решение, в силу

чего векторы u1, u2, …u(n-r) следует считать линейно независимыми.

72

• Любая совокупность (n-r) линейно независимых решений одно-

родной системы линейных уравнений (25) называется её фундамен-

тальной системой решений.

Докажем, что любое вектор-решение u = {x1; x2; …; xr; …; xn} систе-

мы (25) может быть представлено в виде u = α1·u1 + α2·u2 + … + α(n-r)·u(n-r) .

(Именно в этом и заключается смысл введения понятия фундаментальной

системы решений).

Рассмотрим вектор u0 = u - x(r+1)·u1 - x(r+2)·u2 - … - xn·u(n-r) .

Очевидно, что все координаты этого вектора, начиная с (r+1)-й и кон-

чая n-й, равны нулю, т.е. u0 = {ξ1; ξ2; …; ξr; 0; …; 0}. С другой стороны,

вектор u0 является вектор-решением системы (25), т.к. представляет собой

линейную комбинацию вектор-решений этой системы. Это означает, что

после подстановки координат вектора u0 в систему уравнений (25) придём

к однородной системе

11 1 12 2 1r r

21 1 22 2 2r r

r1 1 r2 2 r r r

a а ... а 0a а ... а 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . a а ... а 0

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

+ + + = + + + = + + + =

,

которая имеет единственное тривиальное решение в силу того, что её глав-

ный определитель, равный базисному минору исходной системы (25), от-

личен от нуля. А это как раз и означает, что произвольное вектор-решение

системы (25) u = {x1; x2; …; xr; …; xn} может единственным способом

представлено в виде линейной комбинации вектор-решений (27), обра-

зующих фундаментальную систему, что и требовалось доказать.

Конкретный пример нахождения фундаментальной системы решений

можно найти в §17 настоящего пособия.

Понятие о методе Гаусса

Одним из наиболее распространённых методов решения систем ли-

нейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного

73

исключения неизвестных. Метод имеет много вариантов, однако в любом

случае суть его состоит в следующем: выписывается расширенная матрица

системы A~ , которая с помощью элементарных преобразований приводит-

ся к такому виду, из которого решение системы видно непосредственно

(обычно стремятся получить ступенчатую матрицу). С помощью таких

преобразований всякий раз получается расширенная матрица новой систе-

мы, равносильной исходной. Равносильность новой и исходной систем

станет очевидной, если учесть, что элементарные преобразования матрицы

соответствуют просто линейным комбинациям уравнений.

Процесс приведения основной матрицы системы к ступенчатому виду

часто называют прямым ходом метода Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса состоит в том, что для упрощенной мат-

рицы записывают систему уравнений, которая будет эквивалентна исход-

ной системе, и, продвигаясь от последнего уравнения к первому, вычисля-

ют значения всех неизвестных.

Можно предложить следующий алгоритм реализации метода Гаусса:

1. Записать расширенную матрицу системы

2. Пронумеровать её столбцы, поставив над каждым из них номер

неизвестного

3. Если a11 =0, поменять местами строки или столбцы, не забывая о

их нумерации.

4. Если a11 ≠ 0, домножить первую строку на 1

11

iaa

−

и прибавить

её ко всем последующим i строкам. В результате все элементы перво-

го столбца (кроме a11) будут равны нулю.

5. Действуя по аналогии с пунктами 3 и 4 (с очевидной заменой a11

на akk и ai1 на aik), привести матрицу к ступенчатому виду.

74

6. Записать систему уравнений, соответствующую преобразован-

ной (ступенчатой) матрице и проанализировать её на предмет совме-

стности.

Замечание: при реализации прямого хода метода Гаусса возможны

следующие случаи:

а). Если в ходе преобразований окажется, что в какой-либо строке

матрицы все элементы, кроме последнего, нули, то система несо-

вместна.

б.) Если в упрощённой матрице число столбцов без учета последнего

равно числу строк (т.е. число неизвестных равно числу уравнений),

то система имеет единственное решение.

в.) Если в упрощенной матрице число столбцов без учёта последнего

больше числа строк (т.е. неизвестных больше, чем уравнений), то

система имеет бесконечно много решений. Выделяя базисный ми-

нор, можно выбрать главные неизвестные, тогда оставшимся (сво-

бодным) неизвестным можно придавать произвольные значения.

Этим действием завершается прямой ход метода Гаусса.

7. Если система совместна, то выбрать главные неизвестные (их ко-

эффициенты образуют базисный минор) и обозначить через парамет-

ры свободные неизвестные (если они есть).

8. Продвигаясь от последнего уравнения к первому, найти общее

решение системы.

Два последних пункта изложенного алгоритма реализуют обратный ход

метода Гаусса.

v Пример 27. Пусть дана система линейных уравнений:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

02 42 3 2

2 2 5 6 6

x x x xx x x xx x x x

x x x x

+ + + = + + − = − + − − = + − − =

(28)

75

Составим расширенную матрицу A~ и проведём с её строками элемен-

тарные преобразования, приводящие матрицу к ступенчатому виду:

6240

652232111211

1111

A~−

−−−−

= =>

6240

870043002100

1111−

−−−−− =>

22104

0

22000100002100

1111

−−−

−−− =>

=>140

100021001111

−−

Здесь с матрицей были последовательно проделаны следующие операции:

на первом шаге умножили первую строку на 1ia и вычли её из всех после-

дующих, на втором - умножили вторую строку на 3ia и вычли её из всех

последующих, на третьем - исключили одну из пропорциональных строк

(четвёртую), а третью разделили на ( -10). Выделим в полученной в ре-

зультате упрощений матрице базисный минор, в качестве которого можно

взять определитель, составленный из элементов 2-го, 3-го и 4-го столбцов.

Это означает, что за главные неизвестные приняты x2, x3 и x4. Получив-

шаяся в результате преобразований матрица соответствует системе (29),

равносильной исходной системе уравнений (28):

=−=−

=+++

1x4x2x

0xxxx

4

43

4321

(29)

Из (29) немедленно следует, что x4 =1; x3 - 2 x4 = - 4; => x3 = -2;

x1 + x2 – 2 +1 = 0; => x2 = (1 - x1).

Обозначив свободное неизвестное x1 за t, получим общее решение в виде:

x1 = t; x2 = 1 - t; x3 = -2; x4 =1.

Разобранный метод без всяких изменений переносится и на тот слу-

чай, когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных.

Замечание: Кроме рассмотренного варианта метода Гаусса к на-

стоящему времени разработано большое число численных методов реше-

76

ния систем линейных уравнений, с частью которых можно ознакомиться

по приведенному списку рекомендуемой литературы.

Контрольные вопросы и задания:

1. Что такое вектор-решение?

2. С помощью обратной матрицы найти решение системы

1 2 3

1 2 3

1 3

5 84

5 4 4

x x xx x xx x

+ − = − + = + =

3. Какие неизвестные называются свободными?

4. Что такое общее решение системы и в чем его отличие от частного?

5. Какая система линейных уравнений задает на плоскости три различ-

ные прямые, проходящие через одну точку?

6. Какая система линейных уравнений задает на плоскости три различ-

ные прямые, образующие треугольник?

7. Какая система линейных уравнений задает три попарно пересекаю-

щиеся плоскости, не имеющие общих точек?

8. Рассмотрите все возможные случаи, которые могут встретиться при

решении системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными и

попробуйте дать им геометрическую интерпретацию.

9. Решить системы уравнений методом Гаусса:

а).

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 2 33 3 2 45 3 2 34 2 3 7

x x x xx x x xx x x xx x x x

− + + = + − − = − + − − = + + + = −

б).

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 7 02 7 0

2 3 5 03 2 2 0

x x x xx x x x

x x x xx x x x

+ − + = + + − = − + − = − + + =

10. Найти фундаментальную систему решений для системы уравнений

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 3 2 4 02 8 2 04 2 5 7 0

x x x x xx x x x xx x x x x

− + − + = − + + + = − + + + =

77

§ 14. ПЕРЕХОД В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ К НОВОМУ БАЗИСУ

Пусть в пространстве Rn имеются два базиса: {e1, e2, …, en} и

{e′1, e′2, …, e′n}. Будем условно называть первый базис старым, а второй -

новым. Каждый из новых базисных векторов e′k можно разложить по ста-

рому базису, т.е. представить в виде линейной комбинации векторов

e1, e2, …, en:

+++=

+++=+++=

n21n

n212

n211

eeee'

eeee'eeee'

nnn2n1

2n2212

1n2111

aaa

aaaaaa

K

KKKKKKKKKKKK

K

K

(30)

Соотношения (30) можно кратко записать в виде:

∑=

=n

1iika ik ee' , где k = 1, 2, …, n. (31)

Рассмотрим произвольный вектор x ∈ Rn. В старом базисе

∑=

==n

1iin21 x}x,...,x,x{ iex . (32)

В новом базисе тот же самый вектор:

∑=

==n

1ikn21 'x}'x,...,'x,'x{ ke'x . (33)

Заменяя вектор e′k в формуле (33) его разложением по старому базису в

виде линейной комбинации векторов (31), получим:

∑∑==

=′=n

1iiik

n

1kk ax ex i

n

1kkik

n

1i

n

1iiikk

n

1kxaax ee ⋅

′=′ ∑∑∑∑====

Сравнивая полученное выражение с (32), можно заметить, что выражение

в скобках представляет собой «старые» координаты xi вектора x, так что

можно записать

78

∑=

′=n

kkiki xax

1, i=1,2,…,n

или в развёрнутом виде:

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn n

x a x a x a xx a x a x a x

x a x a x a x

′ ′ ′= + + + ′ ′ ′= + + + ′ ′ ′= + + +

K

K

KKKKKKKKKKK

K

(34)

Система (34) уравнений преобразования может быть записана в виде мат-

ричного уравнения

Χ′⋅=Χ С , (35)

где приняты обозначения:

n

2

1

x

xx

XM

= ,

n

2

1

x

xx

X

′

′′

=′M ,

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaaaaa

C

K

KKKKK

K

K

= .

Матрица С называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

Теперь можно сформулировать

• Правило: Чтобы составить матрицу перехода от старого базиса к

новому, нужно в соответствующие столбцы поставить координаты

новых базисных векторов в старом базисе. Тогда строки матрицы да-

дут коэффициенты в формулах перехода.

Формула (35) позволяет выразить «старые» координаты вектора через «но-

вые». Обратная задача может быть решена умножением слева матричного

уравнения (35) на матрицу C -1, в результате чего получается уравнение

(36), позволяющее выразить «новые» координаты вектора через «старые»:

Χ⋅=Χ′ −1С (36).

Матрица C -1 всегда существует, так как матрица перехода C обладает

следующим свойством:

• Ранг матрицы перехода равен размерности пространства, а опре-

делитель, составленный из её элементов, отличен от нуля.

79

Это свойство становится очевидным, если учесть, что в силу линейной не-

зависимости базисных векторов система уравнений преобразования (34)

имеет единственное решение и поэтому RgC равен числу базисных векто-

ров, т.е. размерности пространства. Это единственное решение может быть

найдено, например, по формулам Крамера ∆∆=′ /xKXk , где главный определи-

тель системы ∆ = detC ≠ 0.

Понятно, что при переходе к новому базису изменяются не только ко-

ординаты векторов, но и матрицы операторов. Пусть в линейном про-

странстве Rn с базисом {e1, e2, …, en} задан оператор Â с матрицей A.

Осуществим переход к новому базису {e′1, e′2, …, e′n} и выведем формулу,

позволяющую находить матрицу A′ этого оператора Â′ в новом базисе.

Пусть образом некоторого произвольного вектора x при воздействии на

него оператора Â является вектор y, т.е. yx=Α€ . Обозначим через X и Y

столбцовые матрицы, составленные из координат векторов x и y в старом

базисе. Тогда из операторного равенства yx=Α€ следует матричное уравне-

ние: A⋅X=Y. При переходе к новому базису матрицы A, Х и Y изменятся

соответственно на A′, Х′ и Y′. По аналогии можно записать yx ′=′Α′€ =>

A′⋅X′=Y′.

Составим матрицу перехода С и найдем координаты вектора y в но-

вом базисе. Тогда Y′= C-1⋅Y, но так как A⋅X=Y, а X=C⋅X′, получаем цепоч-

ку равенств:

Y′= C-1⋅Y = C-1⋅A⋅X = C-1⋅A⋅C⋅X′.

Сопостaвляя полученное выражение с матричным уравнением A′⋅X′=Y′,

можно сделать вывод, что

A′= C-1⋅A⋅C (37)

Формула (37) позволяет найти матрицу A′ оператора в новом базисе,

если известны матрица A этого оператора в старом базисе и сама матрица

перехода С.

80

v Пример 28. Пусть в пространстве R2 переход от старого базиса к

новому задаётся формулами:

+=′+=′

212

211

eeeeee32

2

а матрица A оператора Â имеет в старом базисе вид: 1626

A−−

= . Соста-

вим матрицу перехода С=3221

.

Так как 1Cdet,SCdet

1С 1 −=⋅=− , а 1223

S−

−= , то

1223

C 1

−−

=− .

Тогда согласно формуле (37) получим:

3002

3221

3646

3221

1626

1223

=⋅−

−=⋅

−⋅

−−

=Α′ .

Из формулы (37) следует, что детерминант матрицы линейного оператора

не зависит от базиса. Действительно, так как A′= СС 1 ⋅Α⋅− , то

Α=⋅Α⋅=⋅Α⋅=Α′ −− detdetdetdet)det(det 11 CCCC .

Для перехода от старого базиса к новому в линейном пространстве Rn не-

обходимо задать упорядоченную совокупность n новых линейно независи-

мых векторов. Когда же система n векторов будет линейно независимой?

На этот вопрос отвечает

Ø Теорема: Для того, чтобы исследовать линейную зависимость

векторов, заданных своими координатами, нужно найти ранг матри-

цы, составленной из этих координат. Если ранг матрицы равен коли-

честву данных векторов, то векторы линейно независимы, если же

ранг матрицы меньше количества векторов, то они линейно зависимы.

Доказательство: Пусть даны m векторов x, y, … z, принадлежащих про-

странству Rn. Если число векторов m больше размерности пространства n ,

то они по определению размерности линейно зависимы. Если же m≤n, то

векторы будут линейно независимы тогда, когда условие

81

иzyx =α++α+α m21 K (38)

выполняется только при одновременном обращении в нуль всех коэффи-

циентов αi. Известные координаты векторов позволяют записать это век-

торное равенство в виде системы n уравнений с m неизвестными

1 2, ,..., mα α α (причём m≤n).

=α++α+α

=α++α+α

=α++α+α

0z...yx...............

0z...yx0z...yx

nmn2n1

2m2221

1m1211

Эта однородная система имеет единственное тривиальное решение

a1 = a2 = ... = am=0 только в том случае, когда RgA=m, т.е. ранг её матрицы

равен числу неизвестных. Что и требовалось доказать.

Замечание: Как следует из доказательства, теорема справедлива для

любого числа векторов.

Контрольные вопросы и задания:

1. Как составить матрицу перехода к новому базису?

2. Дана упорядоченная совокупность n векторов n-мерного пространст-

ва. Как проверить, можно ли составить из этих векторов базис?

3. Найти координаты вектора x = 6e1 – e2 + 3e3 в новом базисе:

{ e'1 = e1 + e2 + 2e3 ; e'2 = 2e1 - e2 ; e'3 = - e1 + e2 + e3 }.

4. Каким свойством обладает матрица перехода к новому базису?

5. Как меняется детерминант матрицы линейного оператора при перехо-

де к новому базису?

6. Найти матрицу оператора в новом базисе

{ e'1 = e1 - e2 + e3 ; e'2 = - e1 + e2 - 2e3 ; e'3 = - e1 + 2e2 + e3 }, если в старом

базисе { e1 ; e2 ; e3 } его матрица имеет вид: 1 0 23 1 01 1 2

−−

.

82

§ 15. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

• Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного

оператора Α€ , если существует такое действительное число λ, что

Α€ x=λx. Число λ называется при этом собственным значением (или

собственным числом) оператора Α€ . В этом случае говорят, что собст-

венный вектор x принадлежит собственному значению λ.

Согласно определению, под действием данного оператора Α€ его соб-

ственный вектор x переходит в вектор, коллинеарный самому себе. Другие

(несобственные) векторы данного линейного пространства таким свойст-

вом не обладают. Очевидно, что если x - собственный вектор оператора Α€ ,

принадлежащий собственному значению λ, то всякий вектор µ⋅x, коллине-

арный вектору x, является собственным вектором оператора Α€ с тем же

собственным значением λ. Действительно, так как ,€ xx ⋅=Α λ то

)(€)(€ xxxx ⋅⋅=⋅⋅=Α⋅=⋅Α µλλµµµ .

Разумеется, не всякое число является собственным значением данного

оператора, поэтому рассмотрим вопрос о нахождении собственных значе-

ний и принадлежащих им собственных векторов оператора. При этом бу-

дем считать, что в линейном пространстве Rn задан базис {e1, e2, …, en} и

известна матрица ika оператора Α€ в этом базисе.

По определению, xx ⋅=Α λ€ => θ€ =⋅−Α xx λ . Учитывая, что xx =Ε€ , по-

следнее равенство можно переписать в виде θ€€ =Ε⋅−Α xx λ или θ)€€( =Ε⋅−Α xλ .

Этому операторному равенству соответствует матричное уравнение

θ=Χ⋅Ε⋅λ−Α )( . (39)

В развёрнутой форме это можно записать так:

83

0

00

x

xx

100.....

010001

aaa........

aaaaaa

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

MM

K

K

K

K

K

K

=⋅

⋅λ− .

После очевидных упрощений (вычитание матриц и умножение на матрицу-

столбец X) это матричное уравнение можно заменить равносильной систе-

мой уравнений:

=⋅λ−+++

=++⋅λ−+=+++⋅λ−

.0x)a(xaxa.......................

0xax)a(xa0xaxax)a(

nnn22n11n

nn2222121

nn1212111

K

K

K

(40)

Эта однородная система по условию имеет ненулевое решение (так как

вектор x по определению ненулевой), а для этого необходимо и достаточ-

но, чтобы ее главный определитель был равен нулю, т.е.

)a(aa..........

a)a(aaa)a(

)det(

nn2n1n

n22221

n11211

λ−

λ−λ−

=Ε⋅λ−Α

K

K

K

=0. (41)

Выражение (41) представляет собой уравнение степени n относитель-

но λ и называется характеристическим или вековым уравнением. Как из-

вестно, уравнение n-й степени имеет ровно n корней (вообще говоря, ком-

плексных), среди которых могут быть и кратные. Вещественные корни ха-

рактеристического уравнения являются собственными значениями опера-

тора Α€ . Теперь можно сформулировать

Правило: Чтобы найти собственные векторы данного линейного опе-

ратора, нужно составить и решить характеристическое уравнение (41);

каждый действительный корень λi этого уравнения является собст-

венным значением оператора; принадлежащие данному собственному

84

значению λi собственные векторы ai (точнее, их координаты) можно

найти, решив систему уравнений (40).

v Пример 29. Пусть в некотором базисе матрица оператора Α€

имеет вид: 4521

=Α . Найдем собственные значения и собственные

векторы этого оператора.

Согласно записанному выше правилу, составим характеристическое

уравнение 0)det( =Ελ−Α , т.е. 0)4(5

2)1(=

λ−λ−

, откуда следует

010)4()1( =−λ−⋅λ− или 0652 =−λ⋅−λ . Решением этого квадратного

уравнения будут числа 61 =λ и 12 −=λ . Поскольку оба числа действи-

тельные, они являются собственными значениями оператора Α€ . Найдем

собственный вектор a1, принадлежащий собственному значению λ1 = 6.

Система уравнений (40) в данном случае принимает вид:

=−+=+−

0)64(502)61(

21

21

xxxx

или

=−=+−025

025

21

21

xxxx

Она имеет бесчисленное множество решений вида n5x,n2x 21 ⋅=⋅= , где

n - произвольное число. Собственный вектор a1, принадлежащий собствен-

ному значению λ1 = 6, имеет в данном базисе координаты a1 = n⋅{2; 5}. Со-

вершенно аналогично для собственного значения =2λ -1 получим систе-

му:

=+=+

0x5x50x2x2

21

21 . Её решение

−==

mxmx

2

1 , где m – любое число.

Собственный вектор a2 }1;1{m −⋅= .

Вернёмся теперь к характеристическому уравнению (41). Выражение

det(А - λ⋅Е), стоящее в левой части характеристического уравнения, пред-

ставляет собой многочлен степени n относительно λ. Этот многочлен обо-

85

значают обычно Рn(λ) и называют характеристическим многочленом дан-

ного линейного оператора Â (или его матрицы).

Очевидно, что степень характеристического многочлена равна раз-

мерности пространства, в котором действует данный оператор Â.

Характеристический многочлен обладает свойством инвариантности

относительно изменения базиса. Содержание этого утверждения представ-

ляет собой теорему

Ø Теорема: В любом базисе характеристический многочлен остаёт-

ся неизменным.

Докажем это. В старом базисе Рn = det(A - λE). В новом базисе матрица

оператора изменится и примет вид СС 1 ⋅Α⋅=Α′ − , где С - матрица перехо-

да. Характеристический многочлен в новом базисе будет иметь вид

)det(Pn Ε′λ−Α′=′ . Но единичная матрица Е при переходе к новому базису

не меняется, так как Ε=⋅=⋅⋅=Ε′ −− CCCEC 11 , поэтому можно записать,

что

n1

11n

P)det(Cdet)det(Cdet]C)(Cdet[)CCCACdet()det(P

=Ελ−Α=⋅Ελ−Α⋅=

=⋅Ελ−Α⋅=⋅Ε⋅⋅λ−⋅⋅=Ε′λ−Α′=′−

−−

Инвариантность характеристического многочлена относительно изме-

нения базиса означает, что его корни, т.е. собственные значения линейного

оператора, не зависят от выбора базиса, и в силу этого могут, в некотором

смысле, служить характеристикой данного оператора.

• Совокупность всех собственных чисел линейного оператора (с

учётом кратности) называется его спектром.

• Спектр оператора называется простым, если его характеристиче-

ский многочлен имеет только простые (т.е. кратности 1) корни. Соб-

ственные векторы линейного оператора также не зависят от выбора

базиса (хотя, разумеется, в разных базисах они будут иметь и разные

координаты). Можно строго показать, что собственные векторы, при-

86

надлежащие различным собственным значениям, линейно независи-

мы.

• Если спектр оператора является простым, то из собственных век-

торов оператора можно составить базис.

Рассмотрим, как будет выглядеть матрица оператора в базисе из соб-

ственных векторов. Для конкретности разберём рассмотренный выше при-

мер 29, т.е. оператор Â, матрица которого в некотором базисе { 21 ee , }

имеет вид: 4521

=Α . В качестве новых базисных векторов возьмём соб-

ственные векторы оператора a1 = {2; 5} и a2 = {1; -1}. Согласно правилу

составления матрицы перехода к новому базису матрица С имеет вид:

1512

−.

Матрица оператора в новом базисе может быть найдена по формуле (37).

Так как 2511

71S

Cdet1С 1

−−−

⋅−=⋅=− , то

⋅−

−−⋅−=Α′

2511

71

.1006

1512

4521

−==

−⋅ K

Возникает вопрос: случайно ли матрица оператора в базисе из собст-

венных векторов получилась диагональной? На него отвечает

Ø Теорема: Для того, чтобы матрица оператора имела диагональ-

ный вид, необходимо и достаточно, чтобы векторы базиса были соб-

ственными векторами оператора. При этом диагональные элемента

матрицы равны собственным числам оператора:

nnn222111 a,...,a,a λ=λ=λ= .

При доказательстве для простоты ограничимся случаем трёхмерного про-

странства с базисом {e1, e2, e3}.

Необходимость. Пусть матрица оператора )a(DiagA k= , тогда

87

333333213

222322212

111321111

eee0e0e€ee0ee0e€

ee0e0ee€

⋅=⋅++⋅+⋅=Α

⋅=⋅++⋅+⋅=Α

⋅=⋅++⋅+⋅=Α

aa

aa

aa

K

K

K

.

Отсюда следует, что векторы e1, e2, e3 - собственные векторы оператора,

соответствующие собственным значениям 332211 a,a,a .

Достаточность. Пусть e1, e2, e3 - собственные векторы оператора, соответ-

ствующие собственным числам 321 a,a,a . Тогда

⋅=Α⋅=Α⋅=Α

33

22

11

eeeeee

3

2

1

€€€

aaa

=>

3

2

1

a000a000a

=Α .

Таким образом, действительно, матрица оператора имеет диагональ-

ный вид, и на ее главной диагонали стоят собственные числа оператора.

Что и требовалось доказать.

Следствием этой теоремы является сформулированное ниже правило

приведения матрицы оператора к диагональному виду.

Правило: Чтобы привести матрицу линейного оператора к диаго-

нальному виду, нужно найти собственные числа и собственные векто-

ры оператора. Тогда в базисе из собственных векторов (если он суще-

ствует) матрица будет иметь диагональный вид, причём по диагонали

будут стоять собственные числа оператора.

Подтверждением правила может служить разобранный выше пример.

Контрольные вопросы и задания:

1. Что такое характеристический многочлен? Какими свойствами он об-

ладает?

2. Что представляет собой вековое уравнение?

3. Какие векторы называют собственными векторами оператора?

4. Что такое собственные значения матрицы?

88

5. Найти собственные числа и собственные векторы оператора с матри-

цей

3 1 10 2 10 1 2

−−

−.

6. Что представляет собой спектр линейного оператора?

§ 16. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

Рассматриваемые до сих пор линейные пространства (они называются

аффинными) были лишены метрики, т.е. в них даже не упоминалось о воз-

можности измерения длин и углов между векторами. Для того чтобы вве-

сти метрику в линейном пространстве, проще всего использовать понятие

скалярного произведения.

В курсе аналитической геометрии скалярное произведение двух век-

торов (в виде направленных отрезков) определялось как произведение их

длин на косинус угла между ними. В аффинном линейном пространстве у

нас нет понятий длины и угла, поэтому скалярное произведение определим

аксиоматически, потребовав, чтобы для него выполнялись все известные

из аналитической геометрии свойства скалярного произведения "обычных"

(геометрических) векторов.

• Линейное пространство, в котором определено скалярное произведе-

ние любых двух его элементов, называется евклидовым.

Более точное и развёрнутое определение можно сформулировать так:

• Вещественное линейное пространство R называется евклидовым, ес-

ли выполнены два условия:

I. Имеется правило, посредством которого любой паре элементов x и y

этого пространства ставится в соответствие действительное число λ,

89

называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое

символом (x,y).

II. Указанное правило подчинено аксиомам:

1. (x,y) = (y,x) = λ - переместительное свойство

2. (x+y,z) = (x,z) + (y,z) - распределительное свойство

3. (α⋅x,y) = α⋅(x,y), где α - действительное число

4. (x,x) ≥ 0

5. (x,x) = 0 ⇔ x = θ.

Перечисленные в определении аксиомы тождественны известным из

аналитической геометрии свойствам скалярного произведения векторов.

Заметим, что такое определение евклидова пространства не преду-

сматривает конкретного вида правила вычисления скалярного произведе-

ния, а также конкретизации правил образования суммы элементов и произ-

ведения элемента на число. Необходимо лишь, чтобы эти правила удовле-

творяли перечисленным аксиомам скалярного произведения.

Ø Теорема: Для любых двух элементов евклидова пространства x и

y справедливо неравенство Коши-Буняковского:

(x,y)2 ≤ (x,x)⋅ (y,y).

Для доказательства заметим, что для любого действительного числа λ

в силу аксиомы 4 справедливо неравенство (λ⋅ (x -y), λ⋅ (x -y)) ≥ 0. В силу

аксиом 1 и 3 его можно переписать в виде:

λ2⋅(x,x) -2⋅λ⋅(x,y) + (y,y) ≥ 0.

Видно, что в левой части этого неравенства стоит квадратный трехчлен от-

носительно λ. Как известно, неотрицательность квадратного трёхчлена оз-

начает, что его дискриминант 0≤D . Дискриминант D=4⋅ (x,y)2 - 4⋅ (x,x)⋅

(y,y), откуда следует (x,y)2 ≤ (x,x)⋅ (y,y). Что и требовалось доказать.

По аналогии с трёхмерным пространством условимся

• Модулем, длиной или нормой вектора называть корень квадрат-

90

ный из скалярного произведения вектора самого на себя: ( )xxx ,= .

• Если норма вектора равна 1, то вектор называется нормирован-

ным.

• Чтобы нормировать произвольный ненулевой вектор x, нужно

привести его к виду: e=x/|x|, т.е. преобразовать в орт.

Неравенство Коши-Буняковского позволяет ввести понятие угла меж-

ду векторами. Действительно, так как (x, y)2 ≤ (x, x)⋅(y, y), то величина

( )( ) ( )

1,

≤⋅ yyxx,yx,

и её можно рассматривать как модуль косинуса неко-

торого угла φ, который можно назвать углом между элементами x и y.

Итак, угол между двумя ненулевыми элементами линейного про-

странства может быть определен из соотношения:

( )yx

yx,⋅

=ϕcos ( 42)

Если дополнительно потребовать выполнения условия 0 ϕ π≤ ≤ , то вычис-

ленное по формуле (42) значение угла будет единственным.

Заметим, что определенное таким способом понятие угла между век-

торами является формальным и зависит от способа определения скалярно-

го произведения, а в пространстве n измерений, где n>3, вообще лишено

привычного геометрического смысла.

Сформулируем определение:

• Векторы x и y произвольного евклидова пространства называют-

ся ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Действительно, из (37) следует, что при (x,y)=0 угол 2π

=ϕ .

В §5 было введено понятие базиса n-мерного линейного пространства.

В случае аффинных пространств все базисы равноправны. В евклидовом

пространстве можно выделить особые, так называемые ортонормирован-

ные базисы, пользоваться которыми удобнее из-за упрощения вычислений.

91

• Базис {e1, e2,…en} n-мерного евклидова пространства называется ор-

тонормированным, если все векторы базиса попарно ортогональны, и

норма каждого базисного вектора равна 1.

Математически условие ортонормированности базиса можно записать

в виде (ei,ek) = δik, где δik - символ Кронекера, т.е. 0, если ki ≠ или 1, если

ki = .

Удобство пользования ортонормированным базисом проявляется,

прежде всего, в простоте вычисления скалярного произведения.

Ø Теорема: В ортонормированном базисе скалярное произведение

двух любых векторов x = {x1, x2, …xn} и y = {y1, y2, …yn} равно сумме

произведений их соответствующих координат:

( ) k1

k yx∑=

=n

kyx, . ( 43)

Действительно, так как каждый из элементов x и y можно представить

в виде линейной комбинации базисных векторов e1, e2,…en, то вычисление

скалярного произведения (x,y) приводит к цепочке равенств:

( ) ( ) ==

= ∑∑∑∑= ===

n

i

n

kki

n

kki

ieeeeyx,

1 1ki

1k

n

1i y,xy,x

( ) == ∑∑= =

n

i

n

kki ee

1 1ki ,yx =δ∑∑

= =

n

k

n

i1 1ikki yx k

1kyx∑

=

n

k . Что и требовалось дока-

зать.

В произвольном (не ортонормированном) базисе нам не удалось бы

так просто избавиться от двойного суммирования, и формула для вычис-

ления скалярного произведения векторов оказалась бы гораздо сложнее.

Согласно доказанной теореме формула для нормы вектора принимает вид:

∑=

=n

x1k

2kx

• В пространстве с ортонормированным базисом норма вектора

равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

92

Рассмотрим скалярное произведение вектора x на какой-либо из ба-

зисных ортов ek. В результате получим:

( ) ( ) == ∑=

n

ikik eeex,

1i ,x ( ) i

1iki

n

1ii xx,x =δ= ∑∑

==

n

iki ee .

На основании этого можно сделать вывод, известный из курса аналитиче-

ской геометрии:

• Координаты произвольного элемента евклидова пространства от-

носительно ортонормированного базиса равны скалярным произведе-

ниям этого элемента на соответствующие базисные орты.

В заключение отметим, что в любом n-мерном евклидовом простран-

стве существуют ортонормированные базисы. Если же исходный базис из

векторов {f1, f2, …, fn} не является ортонормированным, то с помощью

процесса ортогонализации из него всегда может быть получен ортонорми-

рованный базис {e1, e2, … en}. Для этого можно, например, воспользовать-

ся таким алгоритмом: взять ( )111 ,fffe1 = , а каждый из последующих

базисных векторов определить как ( )iiii qqqe ,= , где

qi = fi - ( fi , e i -1)⋅e i -1 - ( fi , e i -2)⋅e i -2 - … - ( fi , e1)⋅e1. Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что полученный

таким образом базис будет ортонормированным.

Вычисление скалярного произведения в пространстве геометрических

векторов знакомо из курса аналитической геометрии. Покажем, как может

быть введено понятие скалярного произведения в линейном пространстве

функций.

v Пример 30. Линейное пространство непрерывных на интервале

[a, b] функций u(x), v(x), w(x), … можно сделать евклидовым, если

определить скалярное произведение двух любых его элементов равен-

ством:

93

( ) ( ) ( ) dxxxb

a

⋅⋅= ∫ vuvu,

В результате вычисления интеграла получим число, которое можно на-

звать скалярным произведением функций u(x) и v(x), так как для него с

очевидностью выполняются все аксиомы скалярного произведения. Дейст-

вительно, легко проверяется, что

o ( ) ( ) ( ) dxxxb

a

⋅⋅= ∫ vuvu, ( ) ( ) ( )uv,uv =⋅⋅= ∫ dxxxb

a

o ( ) ( ) =⋅⋅+=+ ∫ dxb

a

wvuwv,u ( ) ( )wvwuwvwu ,,dx dxb

a

b

a

+=⋅⋅+⋅⋅ ∫∫

o ( ) ( )vudxvudxvuvu, ,b

a

b

a

⋅α=⋅⋅α=⋅⋅⋅α=α ∫ ∫

o ( ) ( ) 0dxx,b

a

2 ≥⋅= ∫uuu

o ( ) ( ) ( ) 0x0dxx,b

a

2 =⇔=⋅= ∫ uuuu

v Пример 31. Пусть задано линейное евклидово пространство не-

прерывных на интервале [ -π, π] функций. Найдем угол между его

элементами sinx и cosx.

Вычислим скалярное произведение:

( ) .0x241dxx2

21dxxxxx =−=⋅=⋅⋅= π

π−

π

π−

π

π−∫∫ cossincossin cos , sin

Так как скалярное произведение элементов равно нулю, функции sin x и

cos x на интервале [ -π, π] ортогональны.

Контрольные вопросы и задания:

1. Какое пространство называется евклидовым?

94

2. В разных линейных пространствах понятие скалярного произведения

элементов можно вводить по-разному. Можно ли утверждать, что проце-

дура определения скалярного произведения однозначно определяется ви-

дом линейного пространства?

3. Что такое норма вектора?

4. Какие векторы называются ортогональными?

5. В чем преимущество ортонормированных базисов перед всеми други-

ми?

6. В линейном евклидовом пространстве функций, непрерывных на ин-

тервале [0; 1], где скалярное произведение определено аналогично приме-

ру 20, найти угол между элементами u = (x + 2) и v = (x – 2).

§ 17. ОПЕРАТОР, СОПРЯЖЕННЫЙ ДАННОМУ.

САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР

Прежде всего докажем лемму, т.е. небольшую вспомогательную тео-

рему, необходимую для доказательства основной теоремы.

Ø Лемма: Если в евклидовом пространстве Rn для любого вектора

nR∈x выполняется равенство )(),( v,xux = , то u = v.

Действительно, так как )(),( v,xux = , то 0)(),( =− v,xux , откуда следу-

ет, что 0),( =− vux .

Для произвольного элемента x последнее равенство справедливо только в

случае, если u – v = θ, => u = v. Что и требовалось доказать.

Этот результат потребуется нам в дальнейшем. Дадим определение:

• Линейный оператор +Α€ называется сопряжённым по отношению

к линейному оператору Â, действующему в том же евклидовом про-

странстве Rn , если для любых двух векторов x и y этого пространства

выполняется условие: (Âx, y) = ( x, +Α€ y).

95

Заметим, что в силу коммутативности скалярного произведения (ак-

сиома 1) по отношению к оператору +Α€ сопряженным является оператор

Â, поэтому операторы +Α€ и Â являются взаимно сопряжёнными.

Установим существование и единственность оператора +Α€ , сопря-

жённого данному оператору Â.

Ø Теорема: Если для линейного оператора Â существует сопря-

женный оператор +Α€ , то он единственный.

Доказательство: Будем рассуждать от противного. Предположим, что су-

ществует два оператора +Α1€ и +Α2

€ , сопряжённых данному оператору Â. То-

гда по определению (Âx, y) = (x, +Α1€ y) и (Âx, y) = (x, +Α2

€ y), в силу чего

(Âx, +Α1€ y) = (x, +Α2

€ y). Согласно доказанной в начале параграфа лемме это

возможно только при условии +Α1€ y= +Α2

€ y, что при произвольности вектора

y означает: +Α1€ ≡ +Α2

€ = Â. Таким образом, сопряженный оператор является

единственным.

Выясним, какой вид должна иметь матрица +Α)

сопряженного оператора +Α€ в ортонормированном базисе {e1, e2, …en} евклидова пространства Rn.

Пусть ika=Α . Обозначим jlb=Α+ . Тогда согласно определению со-

пряженного оператора для произвольных базисных ортов ep и eq можно за-

писать:

),(),( qpqp eeee +Α=Α))

(44)

Так как ∑=

=Αn

iiipp a

1

€ ee , и ,€1

∑=

+ =Αn

jjjqq b ee то

( ) qp

n

1iiqip

11aδa),(,),€( =⋅==

=Α ∑∑∑

===

n

iqiip

n

iqiipqp aa eeeeee ,

и, соответственно,

pj

n

ipjjq

n

ijpjq

n

ijjqpqp bbbb =⋅==

=Α ∑∑∑

===

+

111),(,)€,( δeeeeee .

96

В силу (44) pqqp ba = , что в общем случае даёт kiik ba = , где i, k = 1, 2, …n.

Это означает, что Τ+ Α=Α , на основании чего можно сделать вывод:

Ø У любого линейного оператора Â в евклидовом пространстве су-

ществует единственный сопряженный ему оператор +Α€ , матрица ко-

торого +Α в ортонормированном базисе является транспонированной

по отношению к матрице A .

Свойства сопряженного оператора

1. Тождественный оператор совпадает со своим сопряженным: Ε=Ε+ €€ .

Доказательство: С одной стороны ( ) ( ) ( )yxyxyx, +== EE €,,€ , а с другой -

( ) ( ) ( )yx,yxyx ==+ EE €,,€ ; => +Ε€ = Ε€ . Что и требовалось доказать.

2. Оператор, сопряженный сумме операторов, равен сумме сопряжен-

ных операторов: +++ Β+Α=Β+Α €€)€€( .

Доказательство: Пользуясь определением сопряженного оператора и

его линейностью, можно записать цепочку равенств:

=Β+Α=Β+Α=Β+Α=Β+Α + )y,€(),€(),€€(),)€€(())€€(,( xyxyxxyxyx))€€(,()€€,()€,()€,( yxyyxyxyx ++++++ Β+Α=Β+Α=Β+Α= , откуда следует, что

+++ Β+Α=Β+Α €€)€€( . Что и требовалось доказать.

3. Оператор, сопряженный произведению операторов, равен произве-

дению сопряженных операторов, взятых в обратном поряд-

ке: +++ ⋅=Β⋅Α AB €€)€€( .

Доказательство: По определению сопряженного оператора

),)€€(())€€(,( yxyx Β⋅Α=⋅Α +B , но тогда

=ΑΒ=ΑΒ=ΒΑ=Β⋅Α +++ ))€(€,()€,€(),)€(€(),)€€(( yxyxyxyx

.€€)€€())€€(,( +++++ ⋅=Β⋅Α⇒⋅= ABAB yx Что и требовалось доказать.

4. Результат последовательного применения к оператору операций об-

ращения и сопряжения не зависит от их порядка: 11 )€()€( −++− Α=Α .

97

Доказательство: Так как Ε=Ε=Α⋅Α ++− €€)€€( 1 , по доказанному свойству 3

можно записать: Ε=Ε=Α⋅Α +++− €€€)€( 1 , откуда 11 )€()€( −++− Α=Α . Что и требо-

валось доказать.

5. Действительный скалярный множитель можно вынести за знак со-

пряжения оператора: ( ) ++⋅=⋅ AA €€ αα .

Доказательство: Пользуясь определением сопряжённого оператора и

тем фактом, что действительный скалярный множитель α можно вы-

носить за знак скалярного произведения, можно последовательно за-

писать: ),(),(),())(,( yxyxyxyx ++ Α⋅=Α⋅=Α⋅=Α⋅))))

αααα = +++ Α⋅=Α⋅⇒Α⋅=

))ααα )(),( yx . Что и требовалось доказать.

6. Взаимно сопряженные операторы имеют одинаковые собственные

значения и одинаковые собственные векторы.

Доказательство: Так как матрица сопряжённого оператора в ортонор-

мированном базисе является транспонированной по отношению к

матрице исходного, то их характеристические уравнения имеют вид:

.0

)(.........

..).()(

0

)(..........

..).()(

21

22212

1...2111

21

22221

1...1211

=

−

−−

=

−

−−

λ

λλ

λ

λλ

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

и

aaa

aaaaaa

Так как при транспонировании определитель не изменяется, то, рас-

крыв эти определители, получим одинаковые уравнения, имеющие

одинаковые решения. Это означает, что все собственные значения

операторов Â и +Α€ совпадают.

Пусть x - собственный вектор оператора Â, принадлежащий собствен-

ному значению λ. Тогда скалярное произведение

),(),(),( xxxxxx ⋅λ=⋅λ=Α)

.

98

По определению сопряженного оператора (Âx, y) = ( x, +Α€ y), в силу

чего +Α€ x=λ⋅x, т.е. вектор x является собственным вектором операто-

ра +A€ . Что и требовалось доказать.

Самосопряженный оператор

• Оператор, совпадающий со своим сопряжённым, называется са-

мосопряжённым.

Из определения следует, что если оператор Â является самосопряжённым,

то для любых двух векторов x и y пространства Rn справедливо равенст-

во: )€,(),€( yxyx Α=Α .

Свойства самосопряженного оператора

1. Матрица самосопряжённого оператора в любом ортонормиро-

ванном базисе является симметричной (т.е. не меняется при транспо-

нировании).

Доказательство: В ортонормированном базисе +Α = ΤΑ и A= +Α , по-

этому А= ΤΑ .

2. Все корни характеристического многочлена самосопряжённого

оператора являются действительными.

Для доказательства в общем случае необходимо знание свойств ком-

плексных чисел, поэтому ограничимся лишь проверкой для простран-

ства R2.

Пусть оператор Â имеет матрицу 2212

1211

aaaa

=Α .

Его характеристическое уравнение имеет вид:

0)a(a

a)a()det(

2212

1211 =λ−

λ−=Ελ−Α , т.е.

0aaa)aa(a)1a()1a( 21222112211

22122211 =−++−λ=−−⋅− .

Дискриминант этого уравнения

99

0a4)aa(a4)aaa2a(

a4aa4aaa2a)aaa(4)aa(D212

22211

212

2222211

211

2122211

2222211

211

2122211

22211

≥+−=++−=

=+−++=−−+=

Неотрицательность дискриминанта означает, что корни характеристи-

ческого многочлена - действительные числа.

3. Собственные векторы самосопряжённого оператора, принадле-

жащие различным его собственным значениям, ортогональны.

Доказательство: Пусть λ1 и λ2 - различные собственные значения опе-

ратора Â, а x и y – соответствующие им собственные векторы.

Тогда yyxx ⋅=Α⋅=Α 21€€ λλ и . По определению самосопряжённого опе-

ратора )€,(),€( yxyx Α=Α или 0)€,(),€( =Α−Α yxyx . Но

.0),()(),(),()€,(),€( 2121 =⋅−=⋅−⋅=Α−Α yxyxyxyxyx λλλλ

Так как по условию 21 λ≠λ , то 0)( =yx, , что означает ортогональ-

ность векторов x и y. Что и требовалось доказать.

4. Матрица самосопряжённого оператора в некотором ортонорми-

рованном базисе приводится к диагональному виду.

Чаще всего спектр оператора простой. Тогда в силу свойства 2 он

имеет n попарно ортогональных (по свойству З) линейно независимых

собственных векторов. Если эти векторы нормировать, то из них мож-

но составить ортонормированный базис, в котором (согласно правилу

из §15) его матрица будет иметь диагональный вид. Если спектр опе-

ратора не является простым (т.е. характеристическое уравнение имеет

кратные корни), ортонормированный базис, в котором матрица опера-

тора имеет диагональный вид, также существует, но этот базис опре-

деляется не единственный образом.

5. Сумма самосопряженных операторов является самосопряженным

оператором: ).€€(€€€€)€€( Β+Α=Β+Α=Β+Α=Β+Α +++ Что и требовалось дока-

зать.

100

6. Произведение самосопряженного оператора на число является

самосопряженным оператором: Α⋅=Α⋅=Α⋅ ++ €€)€( ααα . Что и требова-

лось доказать.

7. Оператор, обратный самосопряжённому, является самосопря-

жённым: 111 €)€()€( −−++− Α=Α=Α .

8. Тождественный оператор является самосопряженным: +Ε€ = Ε€ .

9. Чтобы произведение самосопряжённых операторов было самосо-

пряжённым оператором, необходимо и достаточно, чтобы операторы

коммутировали, т.е. Α⋅Β=Β⋅Α €€€€ .

Действительно, если )€€( Β⋅Α - самосопряжённый оператор, то

)€€()€€( Β⋅Α=Β⋅Α + , но ( ) ABABBA €€€€€€ ⋅=⋅=⋅ +++ , откуда )€€(€€ Α⋅Β=Β⋅Α . Что и

требовалось доказать.

Рассмотрим весьма поучительную задачу, иллюстрирующую свойство

4 самосопряжённого оператора для случая, когда спектр оператора не яв-

ляется простым.

v Пример 32 : Найти собственные значения и собственные век-

торы

оператора с матрицей

6 2 22 3 42 4 3

A = −−

и указать один из базисов, в ко-

тором матрица этого оператора будет иметь диагональный вид.

Заметим, что в силу симметрии матрицы А соответствующий опера-

тор является самосопряжённым и, следовательно, в некотором базисе его

матрица может быть приведена к диагональному виду. Для решения по-

ставленной задачи составим характеристическое уравнение det(A - λE) = 0,

которое в развернутой форме будет иметь вид:

(6 ) 2 22 (3 ) 4 02 4 (3 )

λλ

λ

−− − =− −

.

101

Раскрывая определитель, после очевидных алгебраических упроще-

ний получим кубическое уравнение λ3 - 12λ2 + 21λ + 98 = 0. Как известно,

кубическое уравнение должно иметь три корня (среди которых могут быть

и кратные), причем, согласно свойству 2 самосопряженного оператора, все

эти корни – действительные числа. В приведенном кубическом уравнении

произведение корней равно свободному члену, взятому с обратным зна-

ком, так что λ1·λ2·λ3 = -98. Легко убедиться, что в данном случае уравне-

нию удовлетворяют числа λ1 = -2, λ2 = λ3 = 7.

Каждому собственному значению соответствует хотя бы один собст-

венный вектор (точнее, множество векторов, определяемое с точностью до

постоянного множителя).

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значе-

нию λ1 = -2, для чего решим матричное уравнение (A - λ1·E) ·X = Θ. В раз-

вернутой

форме оно примет вид: 1

2

3

(6 2) 2 2 02 (3 2) 4 02 4 (3 2) 0

xxx

++ − ⋅ =− +

,

что даст однородную систему уравнений

1 2 3

1 2 3

1 2 3

8 2 2 02 5 4 02 4 5 0

x x xx x xx x x

+ + = + − = − + =

Преобразуем систему, сократив на 2 первое уравнение и поменяв его

местами с последним, и решим её методом Гаусса, для чего придётся запи-

сать расширенную матрицу системы и произвести очевидные преобразо-

вания:

2 4 5 0 2 4 5 02 4 5 0

2 5 4 0 0 9 9 00 1 1 0

4 1 1 0 0 9 9 0

− −−

− ⇒ − ⇒−

−.

При осуществлении прямого хода метода Гаусса здесь последовательно

выполнены следующие действия: из 2-й строки вычли 1-ю, а из 3-ей – уд-

102

военную 1-ю, после чего отбросили одну из одинаковых строк, а остав-

шуюся разделили на 9. Для реализации обратного хода метода Гаусса за-

метим, что последняя строка упрощенной матрицы соответствует уравне-

нию x2 – x3 = 0, откуда получаем условие x2 = x3. Положим x2 = x3 = 2m,

тогда из условия

2x1 - 4x2 + 5x3 = 0 получим x1 = - m. Таким образом, собственному значе-

нию λ1 = -2 соответствует собственный вектор u с координатами {- m; 2m;

2m}.

Найдем теперь собственный вектор, соответствующий собственному

значению λ = 7. Соответствующая система уравнений может быть записана

в виде:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 02 4 4 02 4 4 0

x x xx x xx x x

− + + = − − = − − =

Отбрасывая одно из двух одинаковых уравнений, при осуществлении

прямого хода метода Гаусса получим цепочку матриц

1 2 2 0 1 2 2 01 2 2 0

2 4 4 0 1 2 2 0− −

⇒ ⇒ −− − − − , откуда следует, что сис-

тема сводится к одному уравнению: - x1 + 2x2 + 2x3 = 0.

Принимая в качестве свободных неизвестные x2 и x3, и полагая x2 = k,

а x3 = n, приходим к выводу, что x1 = 2k +2n. Таким образом, собственному

значению λ = 7 соответствует собственный вектор с координатами {2(k

+n); k; n}, где k и n – произвольные числа.

Легко заметить, что при надлежащем выборе числовых параметров k

и n (конкретно при k=0, n=1 и k=1, n=0) получим два линейно независимых

вектор-решения v={2; 0; 1} и w={2; 1; 0}, образующие фундаментальную

систему решений.

Для приведения матрицы оператора к диагональному виду попробуем

составить базис из собственных векторов

103

u={-1; 2; 2}, v={2; 0; 1} и w={2; 1; 0}.

Предварительно убедимся, что эти векторы действительно можно принять

в качестве базисных элементов линейного пространства в силу их линей-

ной независимости. Для этого рассмотрим матрицу B из их координат и

определим её ранг методом приведения к ступенчатому виду. Необходи-

мые преобразования приведены ниже и практически не требуют коммен-

тариев:

1 2 2 1 2 2 1 2 22 0 1 0 4 5 0 1 12 1 0 0 1 1 0 0 9

B− − −

= ⇒ ⇒ −−

.

Так как число линейно независимых строк равно трем, то RgB = 3, что

совпадает с размерностью пространства. Поэтому три собственных вектора

u, v и w можно принять в качестве базисных. Составим матрицу перехода к

новому базису

1 2 22 0 12 1 0

C−

= и найдём для неё обратную:

1

1 2 21 1 2 4 5

det 92 5 4

C SC

−

−= ⋅ = ⋅ −

−.

Матрицу A' оператора А в новом базисе можно найти по формуле:

1

1 2 2 6 2 2 1 2 21 2 4 5 2 3 4 2 0 19

2 5 4 2 4 3 2 1 0

1 2 2 2 14 14 2 0 01 2 4 5 4 0 7 0 7 0 .9

2 5 4 4 7 0 0 0 7

A C A C−

− −′ = ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ =

− −

− −= ⋅ − ⋅ − =

− −

Как и следовало ожидать, она имеет диагональный вид, причем диаго-

нальные элементы – собственные числа оператора.

Замечание: В комплексном пространстве оператор, сопряженный

данному, называют эрмитовосопряжённым, а самосопряжённый опера-

104

тор – просто эрмитовым. Эти понятия находят широкое применение

прежде всего в квантовой механике.

Контрольные вопросы и задания:

1. Какой оператор называется сопряженным данному?

2. Перечислите свойства сопряжённого оператора.

3. Как найти элементы матрицы сопряжённого оператора?

4. Какой оператор называется самосопряженным?

5. Какими свойствами обладает самосопряженный оператор?

§ 18. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ

• Линейный оператор Â в вещественном евклидовом пространстве

R называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произве-

дение любых двух его векторов, т.е. ).(),(,R yx,yxyx, =ΑΑ∈∀))

Из определения следует, что ортогональный оператор сохраняет длины

векторов и углы между ними.

Замечание: Аналогом ортогонального оператора в случае комплекс-

ного пространства является так называемый унитарный оператор.

Какие условия должны выполняться, чтобы оператор Â был ортого-

нальным? Так как для ортогонального оператора ),()( yxyx, ΑΑ=))

, то по

определению сопряженного оператора ))(,(),( yxyx ΑΑ=ΑΑ +))))

, откуда по

лемме из §17 следует, что Ε=Α⋅Α+ €€€ , и, следовательно, +− Α=Α €€ 1 . Таким об-

разом, доказана теорема:

Ø Для того, чтобы линейный оператор Â был ортогональным, необ-

ходимо и достаточно, чтобы сопряжённый ему оператор +Α€ совпадал

с обратным Â-1.

105

Отсюда следует, что ортогональный оператор всегда невырожденный, т.е.

0det ≠Α , так как для него должна существовать обратная матрица.

Свойства ортогональных операторов

1. Тождественный оператор является ортогональным.

Так как по определению обратного оператора xx =Ε€ и yy =Ε€ , то

)()€,€( yx,yx =ΕΕ , что и требовалось доказать.

2. Произведение ортогональных операторов является ортогональ-

ным оператором. Действительно, в силу ортогональности операторов

 и Β€ ).y,x()y€,x€())y€(€),x€(€()y€€,x€€( ===⋅⋅ BBBABABABA

3. Оператор, обратный ортогональному, является ортогональным.

Из условия ортогональности 11 €€ +− = AA . Но по известному свойству со-

пряженного оператора )€()€()€()€( 1111 AAAA === −−−++− , что и завершает до-

казательство, так как A€ - ортогональный оператор.

4. Если A€ - ортогональный оператор, то произведение α⋅Â будет

ортогональным оператором только при условии 1±=α .

Действительно, условие )()()€,€()€,€( 22 yx,yx,yxyx =⋅=⋅=⋅⋅ αααα AAAA вы-

полнимо только при 2α = 1, откуда 1±=α .

5. Ортогональный оператор переводит любой ортонормирован-

ный базис в ортонормированный.

Это следствие того, что ортогональный оператор сохраняет длины век-

торов и углы между ними.

6. Все собственные значения ортогонального оператора равны по

модулю 1.

Пусть x - собственный вектор оператора A€ . Тогда xx λ=A€ и для собст-

венного вектора x в силу ортогональности A€ можно записать:

)()€,€( xx,xx =AA или )(),( xx,xx =λλ , откуда )()(2 xx,xx, =⋅λ , что спра-

ведливо только при условии 1=λ , так как 0)( ≠xx, .

106

7. Матрица А ортогонального оператора удовлетворяет соотно-

шению 1−Α = ΤΑ . Действительно, так как +Α = ΤΑ , из условия ортого-

нальности оператора +Α€ = 1€ −Α следует, что ΤΑ = 1−Α .

Ортогональная матрица

• Матрица, для которой операции транспонирования и обращения

дают одинаковый результат, называется ортогональной.

По определению условие ортогональности матрицы имеет вид: 1−Α = ΤΑ .

Свойства ортогональной матрицы

1. Квадрат определителя ортогональной матрицы равен 1.

Так как по определению Ε=Α⋅Α−1 , то 1Det)(Det 1 =Ε=Α⋅Α − , но в

силу ортогональности 1−Α = ΤΑ , поэтому имеем цепочку равенств

)(Det)(Det 1 Α⋅Α=Α⋅Α Τ− = 1)DetA(DetDet 2 ==Α⋅ΑΤ

2. Сумма произведений элементов двух различных строк ортого-

нальной матрицы равна нулю, а сумма квадратов элементов каждой

строки равна единице.

Это означает, что

n,2,1j,i,aa ik

n

1kjkik K=δ=⋅∑

=

(45)

Для доказательства заметим, что так как Ε=Α⋅ΑΤ , то, согласно пра-

вилу умножения матриц, каждый элемент ije матрицы Е можно найти

как

∑∑==

Τ ⋅=⋅=n

1kjkik

n

1kkjikij aaaae

Но ikije δ= , откуда следует (45) . Соотношения (45) можно назвать ус-

ловием ортогональности для строк.

Замечание: Поскольку при транспонировании ортогональной матри-

цы А получается также ортогональная матрица АT, то столбцы матри-

цы А (или строки АT) тоже удовлетворяют соотношениям ортогонально-

сти:

107

njkaa ik

n

kjkik K,2,1,,

1

==⋅∑=

δ (46)

Соотношения (45) или (46) можно рассматривать как признак ортого-

нальности матрицы.

Ø Теорема: Для того, чтобы матрица А была ортогональной, не-

обходимо и достаточно, чтобы её строки или столбцы удовлетворяли

соотношениям ортогональности.

Доказательство теоремы фактически приведено выше. В качестве примера

ортогонального оператора можно рассмотреть оператор поворота в про-

странстве R2 (см. Пример 14).

Контрольные вопросы и задания:

1. Что такое ортогональный оператор?

2. Перечислите свойства ортогонального оператора.

3. Можно ли утверждать, что ортогональный оператор является взаимно

однозначным (т.е. одинаковым образам, порожденным этим оператором,

соответствуют одинаковые прообразы)?

4. Как по виду матрицы оператора установить его ортогональность?

5. Перечислите свойства ортогональной матрицы.

§19. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ПРИВЕДЕНИЕ ИХ

К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

• Квадратичной формой относительно переменных n21 x,x,x K на-

зывается многочлен второй степени, однородный относительно этих

переменных (т.е. не содержащий свободного члена и первых степеней

переменных). Условимся обозначать квадратичную форму буквой F.

Например, в двухмерном пространстве

108

22222112

211121 xaxxa2xa)x,x(F ++= .

В пространстве трёх измерений квадратичная форма имеет вид:

3223311321122333

2222

2111321 xxa2xxa2xxa2xaxaxa)x,x,x(F +++++= .

• Числа ika , задание которых определяет форму, называют коэф-

фициентами квадратичной формы (при этом вместо ika можно писать

kia , считая, что ika = kia ).

Упорядоченную совокупность чисел n21 x,x,x K можно рассматри-

вать как координаты некоторой точки M в n-мерном пространстве, а число

F - как значение квадратичной формы в точке М.

Для определенности далее будем считать, что квадратичная форма

задана в трёхмерном пространстве, хотя все полученные результаты будут

справедливы в пространстве любого числа измерений. Учитывая, что

ika = kia , квадратичную форму F можно записать в виде:

)(

)()(),,(

3332321313

32322212123132121111321

xaxaxaxxaxaxaxxaxaxaxxxxF

+++

++++++=

(47)

Предлагаемый подход интерпретации переменных 321 x,x,x как ко-

ординат некоторой точки неявно предполагает, что в пространстве задан

базис. Введем понятие матрицы квадратичной формы в заданном базисе:

.

332313

232212

131211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

==Α

Ввиду симметричности матрицы A можно считать, что матрица квадра-

тичной формы представляет собой матрицу некоторого самосопряжённого

оператора Â. Воздействие этого оператора на вектор x ={ 321 x,x,x } пере-

водит его в новый вектор x′={ 321 x,x,x ′′′ }, где

109

++=′++=′++=′

3332321313

3232221212

3131121111

xaxaxaxxaxaxaxxaxaxax

так что x′=Âx. Легко видеть, что квадратичная форма равна скалярному

произведению векторов x и x′, т.е. F=(x, x′). Итак, квадратичная форма -

это скалярное произведение прообраза вектора на его образ в заданном ба-

зисе. В матричной форме это можно записать как F=XT⋅A⋅X, или в развёр-

нутом виде:

3

2

1

333231

232221

131211

321

xxx

aaaaaaaaa

xxxF ⋅⋅= ,

откуда непосредственно получается (47).

При переходе к новому базису координаты вектора и матрица опера-

тора меняются. Меняется и квадратичная форма. Для каждой квадратичной

формы существуют базисы, в которых она записывается наиболее просто.

• Если квадратичная форма не содержит произведения перемен-

ных, то говорят, что она имеет канонический вид.

Можно строго доказать, что всякая квадратичная форма при помощи

невырожденного линейного преобразования переменных может быть при-

ведена к каноническому виду (это утверждение составляет суть теоремы

Лагранжа). Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [1].

Метод Лагранжа является прямым элементарным способом приведе-

ния квадратичной формы к каноническому виду. Проиллюстрируем это

примером.

v Пример 33: Привести к каноническому виду квадратичную

форму трех переменных:

F = 2x12 + 3x2

2 + 4x32 - 2x1x2 + 4x1x3 - 3x2x3

Сгруппируем члены, содержащие x1, и выделим полный квадрат:

F = 2 (x12 - x1x2 + 2x1x3 - x2x3 + x2

2/4 + x32) - x2

2/2 - 2x32 +

110

+ 2x2x3 + 3x22 + 4x3

2 - 3x2x3 = 2 (x1 - x2 /2 + x3)2 +5x22/2 + 2x3

2 - x2x3

В полученном выражении сгруппируем теперь члены, содержащие x2, и

тоже выделим полный квадрат:

F = 2 (x1 - x2 /2 + x3)2 +5(x22 - 2x2x3/5 + x3

2/25)/2 - x32/10 + 2x3

2 =

= 2 (x1 - x2 /2 + x3)2 +5(x2 - x3/5)2/2 + 19x32/10

Введем новые переменные:

u1 = (x1 - x2 /2 + x3)2 ; u2 = (x2 - x3/5) ; u3 = x3 .

В новых обозначениях квадратичная форма F будет иметь канонический

вид: F = 2u12 + 5u2

2 + 19u32/10 .

Возможен и иной подход в вопросе приведения квадратичной формы

к каноническому виду, использующий ту же идею. Так как матрица квад-

ратичной формы канонического вида симметрична (в этом случае при i ≠ k

имеем aik = 0), то её можно рассматривать как матрицу самосопряжённого

оператора, которая в некотором ортогональном базисе всегда приводится к

диагональному виду:

3

2

1

000000

λλ

λ=Α′ .

Действительно, рассматривая матрицу квадратичной формы как матрицу

оператора и пользуясь формулой перехода от старого базиса к новому, по-

лучим:

.)x()x()x(xxx

xxx

xxx

000000

xxxX)X(F

233

222

211

3

2

1

332211

3

2

1

3

2

1

321

′λ+′λ+′λ=′′′

⋅′λ′λ′λ=

=′′′

⋅λ

λλ

⋅′′′=′⋅Α′⋅′=′ Τ

На основании этого можно сформулировать

• Правило: Для того чтобы привести квадратичную форму к кано-

ническому виду, нужно найти собственные числа и собственные век-

111

торы матрицы квадратичной формы и составить ортонормированный

базис из собственных векторов; в этом базисе квадратичная форма бу-

дет иметь канонический вид: 233

222

211 )x()x()x(F ′⋅λ+′⋅λ+′⋅λ= .

Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду пре-

жде всего находят приложение в аналитической геометрии, когда встает

задача приведения к каноническому виду уравнения кривой или поверхно-

сти второго порядка. Известно, что общее уравнение кривой второго по-

рядка имеет вид:

0FEy2Dx2CyBxy2Ax 22 =+++++ (48)

Группа старших членов 22 CyBxy2Ax ++ является квадратичной формой

переменных х и у с матрицей СΒΒΑ

=Α , которая приводится к диаго-

нальному виду с помощью перехода к новому ортонормированному бази-

су, составленному из собственных векторов матрицы А. Уравнение (48)

может быть записано в матричной форме в виде:

.0Fyx

E2D2yx

Cyx =+⋅+⋅

ΒΒΑ

⋅ (49)

После перехода к новомy базису с помощью матрицы перехода

2221

1211

сссс

С =

координаты x и y изменятся на x′ и y′, причём согласно формуле (35)

можно записать: yx

cccc

yx

2221

1211

′′

⋅= .

Теперь уравнение (49) может быть записано в виде

,0Fcccc

E2D2)y()x(2221

121122

21 =+⋅+′⋅λ+′⋅λ (50),

где 1λ и 2λ - собственные значения матрицы A квадратичной формы.

112

Выделением полных квадратов уравнение (50) может быть приведено к

виду, определяющему каноническое уравнение кривой второго порядка

либо какой-то случай распадения или вырождения кривой.

Выясним, какой геометрический смысл имеют проведённые операции.

Так как матрица С является ортогональной, то переход к новому базису

означает просто поворот системы координат xOy (возможно, с инверсией

осей). Действительно, поворот и инверсия исчерпывают преобразования

пространства R2 (плоскости), которые сохраняют длины векторов и углы

между ними (ортогональные преобразования) и, следовательно, не могут

изменить форму кривой.

Выделение полных квадратов в уравнении (50) означает параллель-

ный перенос начала координат в точку O′ с координатами (x′0; y′0) относи-

тельно повернутой с помощью оператора C€ системы координат x′Оy′, т.е.

переход в систему координат x′′О′y′′ .

v Пример 34: Пусть дано уравнение второго порядка:

020x520y8xy12x17 22 =++++ . Нужно привести его к канониче-

скому виду и, по возможности, построить на плоскости кривую, кото-

рую оно определяет.

Матрица квадратичной формы старших членов уравнения имеет вид:

.86617

=A

Составим ее характеристическое уравнение 0)det( =Ελ−Α :

010025,0)8(6

6)17( 2 =−λ−λ⇒=λ−

λ−.

Его корни (собственные значения матрицы A): 5,20 21 =λ=λ .

Найдём собственный вектор матрицы u }u;u{ 21= , принадлежащий

собственному значению 201 =λ , для чего составим и решим матричное

уравнение:

113

=−=+−

⇒=⋅−

−.0u12u6

0u6u300

uu

)208(66)2017(

21

21

2

1

Решение системы имеет вид tu,t2u 21 == , где t - произвольное число.

Собственный вектор }t;t2{=u после нормировки дает орт

}5/1;5/2{=1e .

Аналогично найдём собственный вектор }v;v{ 21=v принадлежащий

собственному значению 52 =λ :

=+=+

⇒=⋅−

−0v3v60v6v3

00

vv

)58(66)517(

21

21

2

1 .

Полученная система сводится к одному уравнению вида 2v1+v2=0, откуда

следует, что собственный вектор v имеет координаты {-m; 2m}, где

m - произвольное число. После нормирования вектора v получим орт

}5/2;5/1{−=2e .

Составим матрицу перехода С от старого базиса { ji , } к новому ор-

тонормированному базису };{ 21 ee , для чего запишем в соответствующие

столбцы координаты новых базисных ортов:

5/25/15/15/2C −

= .

Тогда исходное уравнение второго порядка примет вид (см. Формулу (50)):

⋅+′+′ 0520)y(5)x(20 22 020yx

5/25/15/15/2

=+′′

⋅−

После умножения матриц это даст: .020y20x40)y(5)x(20 22 =+′−′+′+′

Выделяя полные квадраты, получим:

,020)4y4)y((5)1x2)x((20 22 =−+′−′++′+′

что после очевидных упрощений позволит записать:

.14

)2y(1

)1x( 22

=−′

++′

114

После переноса начала координат в точку )2;1(O −′ , уравнение принимает

канонический вид: 14)y(

1)x( 22

=′′

+′′ и определяет эллипс с полуосями

1a = , 2b = , изображенный на рис. 3, где показаны также старые и новые

координатные оси.

Рис. 3.

Аналогичным образом приводятся к каноническому виду уравнения

поверхностей второго порядка.

Замечание: Существуют квадратичные формы, для которых канони-

ческий вид определяется не единственным образом.

В заключение отметим, что методы приведения квадратичных форм к

каноническому виду отнюдь не исчерпываются рассмотренными в данном

пособии.

Контрольные вопросы и задания:

1. Что такое квадратичная форма?

2. Записать квадратичную форму переменных x1, x2, x3, заданную матри-

цей

y y’

y” x”

x’

x

O

O’

i

j e1

e2

115

11 2 82 2 108 10 5

A−

=−

.

3. Какой вид квадратичной формы называется каноническим?

4. Какие методы приведения квадратичной формы к каноническому ви-

ду Вам известны?

5. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную

форму F = (x1)2 + 2x1x2 + 2x1x3 – (x3)2

6. Для решения каких геометрических задач применяют приведение

квадратичной формы к каноническому виду?

7. С помощью ортогонального преобразования привести уравнение кри-

вой второго порядка 2xy + 2x +2y – 3 = 0 к каноническому виду и постро-

ить её, указав старые и новые координатные оси.

116

Рекомендуемая литература:

1. В.А. Ильин, Э. Г. Позняк. Линейная алгебра. – М: Наука, 1984. – 295с.

2. П.С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

– М.: Наука, 1979. – 512 с.

3. О.В. Мантуров, Н.М. Матвеев. Курс высшей математики: Линейная ал-

гебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций

одной переменной. – М.: Высшая школа, 1986. – 480 с.

4. Л.И. Головина. Линейная алгебра и некоторые её приложения. – М.:

Наука, 1979. - 320 с.

5. З.И. Боревич. Определители и матрицы. – М.: Наука, 1988. – 184 с.

6. Р.Ф. Апатенок, А.М. Маркина, Н.В. Попова, В.В. Хейнман.

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – Мн.: Высшая

школа, 1986. – 272 с.

7. А.А. Гусак. Справочное пособие по решению задач: Аналитическая

геометрия и линейная алгебра. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 288 с.

8. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах. Ч. Ι. – М.: Высшая школа, 1980. – 320 с.

9. И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. – 7-е изд. –

М.: Наука, 1984. - 336 с.

10. И.В. Белоусов. Матрицы и определители: учебное пособие по линейной

алгебре. – Кишинев, 2006. – 101 с.

117

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение …………………………………………………………………...

§1. Системы линейных уравнений. Определители второго порядка ……

§2. Определители третьего и высших порядков ………………………….

§3. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными ………….

§4. Понятие линейного пространства ……………………………………

§5. Линейная зависимость векторов. Базис и размерность линейного

пространства. Координаты вектора ………………………………………

§6. Понятие оператора. Линейные операторы. Матрица оператора. ……

§7. Некоторые сведения о матрицах ……………………………………...

§8. Теорема о базисном миноре …………………………………………..

§9. Составление матрицы линейного оператора …………………………

§10. Действия с линейными операторами и матрицами ………………...

§11. Невырожденные линейные операторы. Ядро и область значений

оператора …………………………………………………………………..

§12. Обращение линейного оператора. Обратная матрица …………….

§13. Матричные уравнения. Применение матриц к решению систем

линейных уравнений ………………………………………………………

§14. Переход в линейном пространстве к новому базису …………........

§15. Собственные векторы и собственные значения линейного

оператора …………………………………………………………………..

§16. Евклидово пространство …………………………………………….

§17. Оператор, сопряженный данному. Самосопряженный оператор …

§18. Ортогональные операторы и матрицы ………………………………

§19. Квадратичные формы и приведение их к каноническому виду …...

Рекомендуемая литература …………………………………………………

Оглавление ………………………………………………………………....

3

3

13

19

24

28

31

36

40

44

46

56

57

61

77

82

89

95

105

109

117

118

118

Учебное пособие

Коваленко Андрей Андреевич

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Учебное пособие

для студентов физических факультетов педагогических вузов

Подписано в печать 09.04.2010 г.