odabrani zadaci iz matematike 2 - marina tevčić
DESCRIPTION
Odabrani Zadaci Iz Matematike 2 - Marina TevčićVeleučilište u KarlovcuTRANSCRIPT
vELEUirr,rSrE u I(ARLovcu
Marina Tevdie.
ODABRANI ZADACITZ MATEMATIKE 2
Karlovac,2006.
I1 .2.3.4.5.6.
SADRZAJ
18 .
t l1 .2.3.4.5.6.
DIFERENCIJALNI RAEUNPojam derivacijeDerivacija nekih osnovnih funkciiaOsnovna pravila deriviraniaDerivacija sloZene i inverzne funkciieLogaritamsko deriviranieDerivacija implicitno zadane funkciie
7. Derivacija parametarski zadane funkciie8. Derivacije viSeg reda9. Jednadiba tangente i normale na krivuliu10. Diferencijal funkciie11. Primjena diferencijala na izra6unavanje pribliine vrijednosti funkciie12. Taylorova formula13.- Osnovni teoremi diferenciialnog ra6una14. L'Hospitalovo pravilo1 5. Intervali monotonosti, ekstremi funkciie16. Konveksnost, konkavnost, to6ke infleksiie17. Asimptote
lspitivanje toka i crtanje kvalitativnog grafa funkciie
NEODREDENI INTEGRALPojam neodredenog integralaOsnovna svojstva neodredenog integralaPronalaienje primitivne funkciieIntegriranje racionalnih f unkciialntegriranje iracionalnih funkciiaIntegriranje trigonometriiskih funkciia
ODREDENI INTEGRALPojam odredenog integralaOsnovna svojstva odredenog integralaNeki teoremi integralnog radunalzraiunavanje odredenih integralaNepravi integralPrimjena integrala u geometriii
LITERATURA
11267
1215172125303335394046525659
707070718195
100
ill1 .2.3.4.5.6.
IV
111111113114115118122
134
I DIFERENCIJALNI RAEUN
.1. Poiam derivaciie
1.1 Geometrijsko znadenie derivaciie
Nekaje zadana neprekidnafunkc'r ja f : I -+R nanekomintervalu l=(a,b)cR i vr i jednost
argumenta xo . Neka je todka 4 = (io,t(xo ))=f , . Odaberemo na ff to6ku
B = (xo + Ax,f (xo +Ax)). Todku A drZimo fiksnom, a to6ku B pustimo da se giba po grafu ft
tako da teZi prema todki A. Spojnica tih dviju to6aka je sekanta. Ako se izvr5i granidni procestako da B -+ A , tada 6e prirast argumenta Ax -+ 0, a kako je funkcija neprekidna, to 6e znaditi
da i Af(xo)-+0. Sekanta 6e u granidnom sludaju postati tangenta. lz pravokutnog trokuta
ACB slijedi da je koeficijent smjera sekante kroz todke A i B jednak tgp = 4p . Grani6naAX
vrijednost (ako postoji) od tgB kad B + A je broj. Pravac kroz todku A koji za koeficijent
smjera ima taj broj je upravo tangenta te krivulje u todki A. Qznadimo li sa a kut kojitaj pravaczatvara s pozitivnim smjerom x-osi, dobijemo da vrijedi :
tscr = lgl tgB = liT,# = Iqtd*s = f '(xo ).
Na osnovu ovoga zakljudujemo da je vrijednost derivacije funkcije f u xo koeficijent smjera
tangente grafa fr u to6ki 4=(xo,f(xo)). Todku Aef, zovemo diral iStem tangente.
JednadZba te tangente, ako postoji f '(xo ), glasi :
Y - f(xo ) = f ' (xo ) ' (* - *o )
Pravac okomit na tangentu u njenom dirali5tu A zovemo normalom u todki A, Njena jednadZba
y-f (xo)=-#.("-"0)
Affxfl =fh * Ax] - f( xs ]
). Odabrani zadaciiz Matematike2
1.2 Definicija derivaciie funkciie
Neka je f rea lna funkc i jadef in i ranana in te rva l f - r I= (a ,b )ER i neka ie xoe l nekato6ka iz
tog intervata. Ako postoji lg,1# , of,O" taj limes nazivamo derivaciiom funkciie f u
to ik i x0 ioznadavamosa f ' ( ro) . Akoposto j i der ivac i jazasvaki xe l ,ondakaZemodaje
funkcija derivabilna i l i diferenciiabi lna na I.
Ako je funkcija diferencijabilna na intervalu I, onda moZemo definirati novu funkciju na I :
f ' : I +R , x i + f ' ( x )
Tako definiranu funkciju nazivamo prvom derivaciiom funkciie f na I.
f , (xn)= r im 49= r im- f (xo+Ax)- f (xo) , gd je je Ax=X-Xor u ' Ax+o AX ax-+o AX
NuZan uviet za postoianie derivaciie :
Da bifunkc'rja imala derivaciju u nekojtodki, ona *or"titoltodki bit i neprekidna.
2. Derivaciie nekih osnovnih funkciia
2.1 Derlvacija konstante : f (x) = C.+ f '(x)= g
f , (x) = , ' r f (x + Ax)- f (x) = l im c -C
= oax+o Ax ax+o Ax
2.2Derivaci ja potencije : f (x)= xn => f '(x)= n'xn-t
(1 ) f ( x )= x2 ' )+n
f '(x): ligf
f (x + Ax) - f (x )Ax
. . (x + Ax)2 - x2= l l lTl
Ax+O AX
x2 +2 . x .Ax+ (Ax )z - x2
Ax= l im
Ax-t0
, . Ax . (2x + lx ) . . / - \= lim -.' \-.. - / = liq(z* + Lx)=lsaAx+o AX
(2 ) f ( x )= x3
f ' ( x ) = ' ' . f (x + Ax) - f (x ) : l im
ax+o AX ax+o
( x+Ax )3 - xs- l t m
x3 +3x2 .Ax+3x . (Ax )2 + (Ax )3 - x3
AX ax+o AX
llT.(3r' + 3x .Ax + (Ax)2 )= 3x'/ ^ . ^ \
, ,_ AX . (3x ' + 3x .Ax + (Ax) ' / _- t t t | |
Ax+o AX
(3) f(x) = xnkoriste6i binomnu formulu dobivamo :
f(x + Ax)- f(x) = (x + Ax)n - xn =
= l imAx-+0
' a
AX
**4 I l=1.cosX=cosX2)
. (u)''nlzj-. o-)l = tim
' ') ?-o
+ f (x+AI) - f (x) = n.xn-1 .n . . f }J) .xn-2 . ( lx )+. . .+n.x . ( lx ) " - , +(ax)" - '
AX
r t w + A x ) - f ( x ) = f l . x n - 1+ f '(x) = lig- Ax
2.3 Derivacija funkcije : f(x) = 1= t'(r) = -+
1 1 i
f ,(x)= '" f(x+Ax)-f(x) = rim x.A--; = 11n' ' , -I :-(IJAL= !in1 *-:4r--' Ax+o Ax ax-+o Ax ax'+o Ax ' 1x + li) x -
ol'lb U'lx + Ax)' x -
= l im ,-1 ,=-+,il*b x.(x + U) x'
2Ji
f '(x) = ,.,,.. f(x + Ax) - f(x) = timJx.Ax-f i Jx.Ax -.fi fiax *.fiax-ro AX Ax-r0 Ax
AX
2.4 Derivacija funkcije : f(x) = fi = f'(x)=
= rim (x + ax)- x -, = rim
^x-+0 AX.(Jx + Ax + Jx/ ax+oAx.
2.5 Derivacija funkcija : f (x) = sin x > f '(x)= cos x
f(x) = cosx + f ' (x)= -s inx
(1) f (x) = s in x
= l imAx+0
sin(x + Ax) - sin xf , (x) = , ' r
f (x + Ax) - f (x)Ax-+o AX
^ ^^^((*.4l):")z.cos l= l im \ 2 )
ax-+o AX
z."or1.(" * o*)* *'1. r,n[(x + a:r)- x)- - - - l
2 ) - | 2 ) : t imAx-+O
,irf4r)l\2 ) l - l i r "o,Ax I ax-+o
T)
2Ji
AX
2"o"I
A Odabrani zadaci iz l\{aterqatike 2
(e) f (x) = coS Xf (x + Ax) - f (x) ,. cos(x + Ax) - cos x
Ax-r0
- z sin[01 4r)+r] s"f&g)rl= l im \ 2 ) \ 2 )= l im
Ax-ro AX Ax+0
-z sin(x.-+) ''"[+)_
( (u))ts tn t - t l
- r iml \2/ l . t i ta* .^l AX I ax+o
" l 2 |\ - /
. in [ * * 4)= -1 .s in x =\ 2)
_ S I N X
Speci ja lno, f (x) : e* = f ' (x) : e ' ' ln€ = €"
PRIMJER
Po definiciji derivacije funkcije nadite derivacije :
(1 ) f ( x ) =x2 -4x+6
(z ) f ( x )= r /5 -3x
(3 ) f ( x )= "11-x '
(+) f (x) = cos 5x
2.6 Derivaciia funkciie : f (x) = a' = f '(x)= a' ' lna
r,(x) = Iiq(t{)-:I(*). = !i*^# = li. {{]:J) = €r* . IS#- \- -/ ax-o AX ax-+o AX Ax-+o AX
la- -1=t*ao"=t+1 / ln l f )=|l" ;;:r"r'.1)- "'l="" Hl,ilh l="- r"" H[,*h)=
lAx-+0 = t -+0 | [ t "^ )
f)()=€r*. tna.r iml - f- l="-.rna.r iml -- l --= l="".rna. , -J , .='-'[i rn(t + r) J
'-o[rn1t * r1i J r,,13['rt, ..',,
,]= a* . rnu -7-7L' . , ) = d ' . rna
f ; : a ' . tna
'"[Uit..u' ))
i
Odabrani zadaci iz Matematike 2 5
f (x )= x2 -4x+6
f , (x) = , ' r f (x + Ax) - f (x) = l im
Ax-+o AX Ax+o
(x + ax) ' -+.(x + ax)+ o)- (x ' -+x + 6) -
R.
(1 )
AX
x2 +4x -6 ', , . - x ' +2-x .Ax+(Ax) ' - 4x -4 'Ax+ 6 -t t t t l l im
Ax+0
u.(2x + lx - 4) _Axax-+o AX
l imZx+Ax- 4 \=2x-4Ax-+O'
(2) f(x) = 16 - 3x
r / . - . ̂ . . \ t t . . \ f - . tFAt-Js-3x _f , (x ) = I 'm t (x + axr -T(x , = l im {o -
-Ax+O AX Ax-+o AX
,,_ .F=1**at-Js-3i- l l t I I
ax-+o AX
Js - 3-[<-F Ax) * Js - sx
{F31x+^x)+Js-sx
, . -3 -3, . , . . : - :a ' -o {S-3 . ( *+Ax)+r /5 -3x 2 .45-3x
(3) f(x) =",11-r '
r'(x) : liLsa*4 : *T,f{t*-J1-7
AX ax+o AX| - - - - - 7 s t - - = - -
J t - ( "+ lx)2 -J1-* ' J t - (*+u) ' *Jt4= l im
Ax-+0 fr-G;tr+J1-',
-2x - X= l i r = l im
o"-o ax .( h -(x + lx)' * Jt - "t
I ax-+o
\ t \ /
)
-2x- Lxi------:--------
J t - ( *+ lx) ' +"11-x '- - - :
zJ l -x2 "11-x '
6 Odabrani zadaci iz Matematike2
( . .in[9 a*')= l im|- , r infsx+9 o* l . \2 I
ax+ol \ 2 ) ? .n*[2
- *5 . (sin 5x). 1 = -5 ' s in 5x
(a) f (x)= cos5x
, , - . \ , ,_ f (x +Ax)- f (x) , . - cos(5. (x+Ax))-cos5xl ' { X ) = l l m ' = l l l T l
ax+o AX ax-+o AX
^ . (s (x+u)+5x) . (s . (x+ax)-sx)- Z ' S l I ' l r r S l h r - i
= l im | 2 ) \ 2 )= l imAx+O AX Ax+o
3. Osnovna pravi la derivirania
Neka su f i g derivabilne funkcije na istom intervalu
. IT 'g , I v r |Jeor :
g' ,
( 1 ) ( f t 9 ) = f ' t g 'f
e ) ( ' 9 ) = f ' ' g+ f ' g '
(3) (c ' f ) = C' t ' , gdje je C konstantat
. . . ( t ) f ' . q - f . o '(4 ) l - | :# , g (x)*O, Vxe I'
[ g ) g 'I
. . , ( t ) q '(4 ) l - l= - * - , g (x )+O, Vxe I
\s/ s-
.l
3 .1 Der ivac i ja funkc i ja : f (x) =tgx + f ' (x)=COS_ X
f (x )=c tgx+ f ' ( x )=sin2 x
ql=-5 tim rinfs**9 o*.]. ,, ' I, ) a x + o \ 2 i ; * - , [
. (ssrn[1 'axI
I
I, tada su derivabilne i funkci je f + g,
-z 'i"[s"*i o,.) s"[3,o*)
9.u2
( t ) f ( x ) : tgx,
/ . \. , , \ f s l n x lT (x )= l - l :
\cos x /
cos2x+s in2x
, ,(sin x) .cos x - sin x . (cos x) cos x 'cos x - s in x . ( - s in x ) _- -
cos 'x(cos x)'
1
I
l il rl i r
cost x cos 'x
- - ( s in ' x *co" ' x ) = - 1 .
s in2 x s in ' x
(2) f(x) = ctgx
sin2 x
4. Derivaciia sloZene i inverzne funkciie
Ako je funkc i ja f :X-+Y der ivabi lna u todk i xeX, a funkc i ja g:Y-+Zder ivabi lna u
y: f (x) , tada je s loZenafunkc i ja g" f :X -+Z takoderder ivabi lna u to6k ix ivr i jed i :
(s " f )' (*) = s'(f(x)). f '(x;
Ovu formulu nazivamo pravilo o ulandanom deriviranju.
Na isti na6in derivira se i kompozicija sastavljena od tri ilivi5e funkcija :
(t(g(ntxD))' = r'(g(rr(xl)). g'(nt"l). h'(x)
Akofunkcijaf ima u to6ki xderivaciju f '(x)*O i u nekoj okolini od x je neprekidna iima
neprekidnu inverznu funkciju g, tada ta inverzna funkcija ima u Y=f(x)derivaciju koja iznosi
11g'(y) =
f tD Vidimo da vri jedi : f '(x) =
g,(y).
4.1 Derivac'rja logaritamske funkc'rje : f(x): Inx + f '(x)= 1X
f (x ) : l og"x+ f ' ( x ) :lna .x
(1 ) f (x )= lnx . / x+Ax \t n l _ l
r'(x) : li$ gi*S : I$qt*S : ii$# =
= l im 1 . ,n [x+^x) = r im f - .n( t*AI) : r im 1. I . ln [ r* o*) :Ax+o[ ;4 [ X / ax+07\ ; \ X ) aG+oY AX \ X /
= 1.11.qrn[r.*J* =|1=t l:+ 1!3rn(r*,)i =1,"[tint,*uf)=x a' io \ x )
lo*_+o=u_+ol x u-+0 x \u-+0'
=1. fne=1.1=LX X X
8 Odabrani zadaci iz Matematike 2
(Z) f (x )= log" x
lz log^x=g s l i jed i :Ina
(roo x) '=f lgi- 1 .(rnx) '- 1 .1= 1\ vd
\ l na ) l na I na x I na . x
4,2Derivacija eksponencijalne funkcije: f (x) = sx e f '(x)= s'
f (x) = a ' =+ f ' (x)= a ' . lna
(1 ) f ( x )=s '
y=e*<+x= lny
(2) f (x) -- a"
y = d " - g x . r n a
:+ ("'i = *=+=y=e*(rny) v
:> ( " " i =G- ' " " i =exrna.(x . lna)= g x l n a . l n a = a * . l n a
4.3 Derivacija ciklometrijskih funkcija :
( t ) f ( x ) :a rcs inx
y=" fcs inx<+x=s iny
f (x) = arcsinx = f '(x)= #
f (x) = arccosx + f '(x)= -#
f (x) = arctgx + f '(x)= #
f (x) = arcctgx = f '(x)= -#;u
r . t ' 1(arcsln X) = ----:r =
(sin y)
(Z) f (x)= ?rccosX
Y = a f C C O S X < + X = C O S Y, u ' 1 1( a f C C O S X ) = , = - = -
(cos Y) - srn Y
cos y [-,=x(1, -;=rri")1
^11- x '
1
J1-x '1 -cos ty( - t="<1, o<y<7r)
Odabrani zadaci iz Matematike 2 9
(arcctsx)' = -+ = -+ - -sin2 y =(ctgy) -
r,,f y
PRIMJERI-
Primier 1.
Nadite derivacije funkcija :
{f (x)=5x '+Vx'_ i
xf ( x )=3 .2 '+ (x -1 ) .e ,
f ( x )= {g t
f (x )=Sinx+cosxs inx-cosx
(3) f (x)= arctgx
y=drc tgXerx=tgy
(arctgxf = --1-- = -+- = cos2 y = 1 *h
=(tgv)
*,T
(+) f(x)=arcctgx
y=arcctgXg1x=ctgy
1+ x2
1+ c tg2y 1+ x2
=3 .2* . |n2+x .e '
( 1 )
(2)
(3)
(4)
R.
(1 ),, , 'I
f ' (x) =[sr , *V" , -1) = 5.3.x3-1 *?.^1- ' - ( -1) .x . .\ x) 3
(2)
f ' (x) =(s 'z- *(*-r) " - f
= s-(z ' . tn2)+1'e* +(x-1). e '
(3) f '(x)=l,o:i - ("' i "- -T''(e-i -
[e-J ("-f
' 1 r 1= 15x2 +4 . -L+-
3Vi x '
x' .(+ - x)g *e" ' e'*
(4)
f1")=[)
s inx+cosx, - '
/ . \ / \ / - r - - - \ / ' - \( s inx +cosx) . (s inx -cosx)- (s inx+cosx) ' (s lnx -cosxL -
(stnx -coSX,;
(cos x - sin x). (sin x - cos x)- (sin x + cos x)' Goq ::!!d -(s rnx-cosx/
- - (sin x - cos x)' - (sin x + cos x)' -(s inx-cosx) '
-2 .s in2 x -2 .cos2x - e.Gin ' x + cos' x) -(s inx-cosx) ' (s inx-cosx) '
-2
S I N X - C O S X
-2 .1
(sin x - cos x)' (sin x - cos x)'
Primier 2.Nadite derivacije sloZenih,funkcija :(1) f (x) = s inpx4 +2x)
(2 ) f (x )= tn (s in (sxo +zx)
(3) f (x)= / tn(sin(sxa +2x
(4) f (x)=rn(Jsinx)(5) f (x) = sins (ex)
(6 ) f (x )= s - *f (x) = arctg(ex)(7)
(8)
(e)(10 )
R.(1 )
f (x) = 4'o'*
f (x) = Jts- -.ffi;f (x) = arctg(ln x)+ ln(arctgx)
f ' (x)= (r in(s* '+z*) i = cos(3xa +zx) ' ( t r* ' +2)=(1r* '+z) 'cos(sxo +zx)
(2)
f '(x) = (n(.in(s"' + zx)) = sin.*;rt.cos(sxo
+ zx).(t z"' +z)=
: (1 ex' + z). ctg(3x o + zx)
(3)
f'(x)=hfiGi"Fx.*{)i =1112 {/ i-r$tu6..t) sin(3xo +2x)
(4)/ / - \ \ ' 1 1 1 1 cosx=1 .c tqx
f ' (x)=(ln(Jsin*) =JEinX t f f i .cosx=i f f i 2--v ' ,
ln(s in(3xo + 2x
t lOdabrani zadaci iz Matematike 2 -
(5)
f '(x) = ("in' 1z*;) = 3' sin2(ex)' cos(e x)' 2 =6'sin2(zx)' cos(zx)
(6), ' |
f ' (x) = G--) = (e--) ( -1) =-e-*(7)
1^2f '(x) = (arcts(zx)) = i&
.2 = 1* 4*,
(8) ,f ' ( x ) = (4 "o " " ) = 4 "o ' " ' l na ' ( - s inx ) = - l n4 '4cosx ' s inx
(e)r'(x)=(J,*-6ai =;##
(10)
f '(x) = (arctg(nx)+ ln(arctgx)) =;- 1*+-1+ ln2x x 'a rc tgx 1+ x2
ZADACI ZA VJEZBU
Nadite derivacije funkcija :
Ab( t ) f (x) =->
VX ' X 'VX
(2 ) f ( x ) =x2 ' cosx
(s)r(x)=fo{4$ol:"(+) f ( x ) = Ina ' l og" x - lnx ' l ogx(s) f (x)= In(ctgx)
(o) f (x)=rn(Ginx)(z) f (x) : 'n(*+J,C +1)
(a) r(x) : [*-*) ",."'n(fi). ;
.t;=
R.. -2a 4b
(1) f ' (x) =---- : :+-- ^ ^-3 .x .Vx t 3 .x ' 'Vx
(2) f ' ( x ) = 2x 'cosx - x2 's inx(3) f ' (x)= x 'arctgx
o Odabrani zadaci iz Matematike 2
(4) f ' (x )= ] f t -2 losx)
(5) f'(x)
(6) f ' (x )=] .c tox
(z)f '(x) =+r/x' + 1
(8) f ' (x)="t" . in(J i )
5. Loqaritamsko deriviranie
Logaritamsko deriviranje primjenjuje se na :
(1) funkcije oblika y = (t(x))n(")
(2) funkcije zakoje se logaritmiranjem pojednostavljuje traZenje derivacije
Postupak : ._Da bismo odredili derivaciju funkcije y = (f (x))n'"), funkciju prije deriviranja treba logaritmirati po
bazi e, a tek onda derivirati.
y=( t ( * ) )n ' " ) / In
Iny :s(x) . ln ( f (x ) ) / *
! . r '=s ' (x ) In ( f (xy)+g(x) * . (g ) t .yv
Y' =Y Ig' t" l ' tn(t1x1)+ s(x) * f lx) l\ " - \ \ / / f ( x ) " )
y ' : ( t(*))n'- ' Ig'(*). tn(t1x;)+ s(x) * f ' (*) l\ T ( X ) )
PRIMJER
Nadite derivacije funkcija :( 1 ) f ( x )= 1 "
(2) f (x) = (n " ) -
(3) f (x) : * f * ( " -d ' " "
(4) r(x)=4r/(* * 2)" .{i (x + 1)"
Odabrani zadaci iz Matematike 2 13
R.
(1 ) f ( x )=1 "
Y=x* / In
lnY=x' lnx I +dx
! . r '=1 . lnx * * - ! I .yy- xy '=y . (nx+t )
y '=x ' ' ( tnx+1) = f ' (x )=x ' ' (nx+1)
(2) f (x) : (n *)'
y= ( lnx ) ' / In
In y =-1 ' In(ln x) / *
! ' r '=1' ln( lnx)+x: ! , ,y ' Inx x
( *)*1)y '=y . [ tn ( tn ; , lnx /
' ,n(,n*)* l ) = f ' (x) = (n") 'u, = ( tn*) ' . [
hx )
(3) f (x) = "f
* (cos x)"'n*
f (x) = u(x) + v(x) = f '(x) = u'(x)+ v'(x)
u=x{ / ln
Inu=Ji rnx / *
1.r '=1 + Inx+Ji.1 | .uu 2 Jx x
(rn1rn*v**)
u'=u [; + Inx++)
u'=x' [; + rnx++) =xr + (; rnx+r)
14 Odabrani zadaci iz Matematike2
(4)
y=(cosx) ' 'n * / In
Inv=s inx . ln (cos^) , *
! .u' =cos x . In(cos x)+ sin * --]- . (- sin x) / . vV C O S X
, ( . / . , s in tx )V ' = V ' l cosX ' ln l cosX, -
\. cosx /
y' = (cos ")' 'n'
. ["o,
* ' In(cos t)- * )
= f ' (x ) =u ' (x)+v ' (x)= "n
{ ( ; r " * r ) * (cosx) ' 'n" [ "or" . ln(cos-) -* )
, ;dx
y '=
ZADACI ZAVJEZBU
Nadite derivacije funkcija :( t ) f ( x ) = ; 12x+1 + xs inx +3 ts *
(z) f (x)=Vx(3) f (x )= x " '
/ { \ x(a) f (x)= l t+- i l
I x /(s ) f (x ) : (a rc tgx) *
Odabrani zadaci iz Matematilre 2 15
R.
( rrn**
2x +1 l* xsinx . [ .or*. lnx+g']* ln3'3ts*
(1)f ' (x)=1". ' . [ , x / \ ^-)*; ;n*-,
f '(x) : x;-' . (t - ln x)
f ' ( x ) = " * '
' ( * + 2x ' lnx )/ r \x '
,(,*1)- - l-)f ' (x)=[ t . ; j [ ' ' , x ) 1+x)(, "' {-if ,(x) = (arctsx)' . [tn(arctox). F**d. arctsx /
(2)
(3)
(4)
(5)
@ Derivaciia implicitno zadane funkciie
Ako jednad2ba F(x,y)=0, koja povezuje x i y, nije rje5iva po zavisnoj varijabli y, tada y
nazivamo implicitnom funkcijom od x. Da bismo odredili derivaciju y' te implicitne funkciie
moramo obje strane jednadZbe F(x,y) = g derivirati po x, smatraju6i pri tome y kao sloZenu
funkciju od x. lz tako dobivenog izraza izradunamo traZenu derivaciju y'.
PRIMJERI
Primier 1.
Nadite derivacije implicitno zadanih funkcija :
x3 +2x2Y l -Y '=4x+3
eY =X*V
"" _ut
(1 )
(2)(3)
R.
(1 )
x3 +2x2Y*Y2 =4x+3
3x2 + 2 .2x . y +2x2 'Y '
y ' . (2* ' +zv) :4-3x2
. . , 4 -3x2 -4xyY =-
z* \2y
tddx
+2y 'Y ' :4- 4xy
16 Odabrani zadaciiz Matematike2
(2)
eY=X+y /
ey , y , -1+y '
y ' . ( " t - 1 )= t
x+y-1
ddx
(3)
x ' -Y ' / l n
x . lnx=y . lny , *
1 . lnx* * .1 = y ' . l ny +y . ! . y 'xy
lnx+ j=y ' . ( l ny+1)
u ,_ Iny+1
' l nx+1
Primier 2.Nadite y'(x) u to6kiT(0,1)funkcije y. eY = e**1
R.
y ' ev
y .ev
t ddx
1 .y ' . gv + y ' eY 'Y '= e* *1
y , . ( " r +y .ey )=e" * to x+1
v ' - "' eY + y .eY
tt-\ eo+1 e 1Y ( l /=
" \1 * r
= 2 "= 2
Ako se traZi samo vrijednost derivacije u nekoj todki, moZemo koordinate todke uvrstiti odmah unesredeni oblik.
,ddx
1 .y ' .gv +y 'eY.y '=e**1 / x=0 , Y=1
Y ' ' e '+ 1 'e1 'Y '= eo*1
Y ' ' (e + e )= e
,e1\ , - _ - _' 2e2
t7Odabrani zadaci iz Matematike 2
ZADAC' ZAVJEZBU
Naitite derivacije funkcija :(1 ) x '+2xy-Y2 =2x u todk i l= (2 ,4 )
/ v \ / ' : ^ \(2) arctgl lL l= tn(./x' *Y' )\x /
v 2 , r 2(3)
i +! ̂ =1
@) {7 *{y' =trl ' ,
R.
(1) y'==+ ,y'lr=7x-y
(2) y ' = X+Y
(4) y '=
(3) y '=
x-yb2x
a 'y
rF)- l
" l - |
[trvJ
7. Derivaciia parametarski zadane funkciie
Neka je y = f(x) zadana parametarskijednadZbama :
x=x( t ) II t n < t< t l
y=Y(t ) J "
Derivacija parametarski zadane funkcije je nova parametarski zadana funkcija :
x : x ( t ) II to < t< t1
Y'= Y'( t ) .J
Kako je y = y(x)= y(x(t)) sloZena funkcija od t, vrijedi :
y i =y l .x l +
x : x ( t )=>
y '= { ( t )X
dyYi - dY- at =Ix idxdxx
dt
)
, , = , . , ,
r. a .!t:t.:rl1{', i)
I o Odabrani zadaciiz Matematike2I O
PRIMJERI
Primier 1.
Nadite derivacije parametarski zada nih funkcija :
(1 )x=12 -1
1 3v =L-2 t'3
(1 )x = t2 -1
t3v : - -2 t'3
dX .rr- = z ldtdY - 3t2 -2=t2 -2d t3
(2)x=e- t I>Y=e" )
R.
dy
y,(x)=:*=&=dt
(2)*: "-' JY=e" )
#="-''t-'"dY -
" , ' . ,
dt
( -2 x=t2 -1
+ ( -2v =-'2 t
y'(x1= 9I =ox
2e2tdydt :dx - e-tdt
x=e- t I
Y' = -2' "tt J
= -2. esr
dy 1- ln t x = t . tn t Iv'(x) = :i = & = # = f(j*h + r, = #:o- ldt
y'(*=0, t=1)=ptrh=ffi=l
Primier 3.
Nadite y'(x = 0)
R.
X :? .COSt l
y = b 's int J
X=0 + a .cost=0 + a*0, cost=0
S = a . ( - s in t ) = -a .s in tdt
{ = b .costdt
Y' tx)=
za funkciju :
b .cost b=€= _ .c tg t- a .s in t a
Odabrani zadaciiz Matewatike2 19
Primier 2.
Naclite y'(x = 0)
R.
x = t ' l n tza funkciju : lnt
Y= t
II
I)
X :0 = t . l n t=0 = t *0 , In t=0 + t=1
S=1. tnt+1.1: ln t+1dt t
1
dv r - 1 - ln t: -
d t | 2 (
= t=I2
')II
tJ
dydtdxdt
,,[":0, t= 9:-**(;)=-: o:o
dy=dx
X = ? ' C O S I
hyf '= --T..ctgt
a .
20
ZADACI ZAVJEZBU
Nadite derivacije funkcija :(1 )X : t -4 I
Y :5 t -1 J
(2)x = ln (1+ t ' ) I
Iy= t -a rc tg t J
(3)X = ?-( t - s int)
iy : a'(t -cost) J
(4)
1x=-
cost
Y=tg t
R.
(1 )X=t -4
Y '=5
(3)
X = ? . ( t - s in t )
(2)
x : tn(1* r') l, t rY =t
)
sin tY,=
(4)
1 -cos t
1x=-
cost
,1v ' - -- s in t
2lOdabrani zadaci iz Matematike 2 -
8. Derivaciie vi5eq reda
Neka je y'=f'(x)=9 derivacija funkcije y=f(x). Derivaciju te derivacije nazivamodx
derivacijom drugos redi funkcUe f(x) i oznacavamo sa y" iti f'(x) ,,, *[|f,)
=#
Analogno se definiraju :
derivac'rja treceg reda : y' =f '(x) = +({+l = *' dx tdx ' , dx3
derivaci ia n-tog reda : Y(n) = 1(n)' d (d*tv) dny
tx) = * [or"_r )= #
Derivac'rje-vi5eg reda implicitno zadane funkcije F(x,y) = g
Drugu derivac'rju yo implicitno zadane funkcije F(x,y)=g dob'rjemo tako da jednadZbu
F(x,y) = 0 dva puta deriviramo po x. ViSe derivacije dobijemo uzastopnim deriviranjem.
Derivacije viseg reda parametarski zadanefunkciie' * =
"1:l l to < t < tl- y=y( t )J "
1. derivaci ia
x = x(t)
Y '= Y ' ( t ) = to < t< t1 , gd jesu
2. derivaciiax = x(t)
dyoyd tyd*=g"=i
dt
dy' d fy)vo = vn( t ) = dy ' = -d ! - - d t [ i / - y ' i -y 'x' ' \ - ' dx q I x x3
dt
.dvdx\ - - . { = -'d td t
to < ts t . , , gd jesu.. d2x'"=F.. d2v
Y= d t '
3. derivAeiia
x = x(t)
dy'
v . : v ' ( t )=dY" : i ! -t t \ - ,
dx dx
dt
t o < t< t l
).). Odabrani zadaci iz Matematike2
PRIMJERI
Primier 1.
Odredi te y" u to6ki A=(0,1) za funkci ju xo -xytya =1
R.
xo -xy +yo =1 / !dx
4x" -Y-x 'Y'+4Y' 'Y'=O / +dx
4 .3x2 -y ' -1 .y ' - x .y " + 4 '3y ' ' y ' ' y ' + 4y " 'Y" =O
12x2 - 2y' + 1zy' . (y')" + y' '(-x + 4y3 )= g
- .u 12x2 -2y '+1zy ' . (y ' ) 'y_T
4x3 .V-X ' Y ' +4Y" 'Y ' =O I ( x=0 ,Y =1)
4 .03 -1 *0 . y ! + 4 .1 t 'Y ' = 0
n 1+ Y In=10, r1=;
Y"lo=,0,r, = 12x2 -2y'+1zy' .(y ') '
x - 4y '
r ^ ( ' t \ 2 1 i c12 .02 -2 - ' +12 '12 .1 - l - ' * ' '-
4 \4 ) 2 '16 - 1-
0 -4 .1 ' -4 16
Primier 2.
Odredi te y"(x) zafunkci ju Y =x+arctgy
R.
Y=X+arc tgy
y'=1+if
u'['-#)u, [ r+y'_ r ' ]' l . 1+Y" )
y '=1*! 'v-
Y'=i+1 / *
/dt -
v'
- 1
- - l- l
()dabrani zadaciiz Matematike2 23
y' = (-2)y-" 'Y'
v'=-$ v'= 1+y" = _2, ( l+y ' )
Primier 3.
Nadite y-(x) za funkciju ' * =
:" tl
y= t " JR.
dy
y' = y'(t)= :l = # =
5 = -312 . et
-3 .2 t .e t -3 t ' . e '= 6t .e2t + 3t2 ."" = (3t ' + 6t) .e2' ,
-e '
_ (s. et + o). e" + (st' + ot).e. e" = (6t ' + 18t + o) ' " "dxdt
_ e-r
Pflmier 4.
Nadite y"(x) u todki za funkciju :
tv'y '
Y'=Y'(t)=#
'dt
dy'dtdxady'dty*=y'(t)=#=
* - f t2
X = o. ( t - s in t ) Iy=a.( t -cost)J
R.dy
v ,=v , ( t ) -dY- -d ! -= ? ' s in t - - s in tr r \ - ' dx dx a . (1 -cos t ) 1 -cos t
dt
dy' cos t ' (1 - cos t)- sin t ' sin t
v, = v,( t ) =dy'= -d!- = (1: cost) ' -r - t , ' r -dx
dx : a . ( t_cos t )dt
cos t -1 _ - ( t - cos t ) _ -1= -----:---------- :
a ' ( l -cos t )3 a . (1-cost )3 a . (1-cost ) '
I . n ) -1 -1 1/ Y t a
2 ) ( , (n ) ) ' a . ( r -o) ' a
" [,_..,[ZJJ
_ cost - Gos' t + sin' t) -a.(1-cost) '
ZADACIZAVJEaBU
Nadite viSe derivacije funkcija :
(1 )x :d . (cos t+ t . s in t ) I ^ - -_ , . . - - , , . .> z. oenvaciluy =a . (s in t - t . cos t ) J
(2)x :arcs in t l
r--------: | 2. derivacijuY : ' J1- t ' )
3. derivaciju
(3)
(4)r lX: e'
I z. oerivaciluy=arcs in t J
(5)x = tn(1+ t ' ) I ^' \ , | 2.derivaci juy=t -arc tg t J
R.
cost
Y=tg t
(1 )
X :? . ( cos t+ t . s i n t )
Y O :
(2)
a . t . cos3 t
x=arcs int I_ )
Y' = -rl1-t" )
(3)1
x - -cost
3 .coso ts ins t
Odabrani zadaci iz Matematike 2 25
(4)
X = e t
t2 + t -1Y,=
(5)"".(1-t ' ) .J
_F
a graf funkcije y = f(x) u to6ki T = ("o,yo) p pravac koji ima jednadZbu :
Y-Yo = f ' ( xo ) ' ( " - "0 ) .
x = In(1* *')'l
y,=+l
Ufi,ffia graf funkcue y = f(x) u todki T = (Xs,yo) p pravac koji ima jednadzbu :
l
l
i
26 Odabrani zadaci iz Matem atike 2
PRIMJERI
Primier 1.
Nadite jednadZbu tangente i normale u to6ki s apscisom
R.
X=-1 = y =-4x*\=-4. ( -1)+, + =4+1=5x2
\ / ( - t ) '
. 1 ldY=-4x*7 I a*y'=-4+(-2) 'x-3 - -4-+
x o
r t t 2Y ' | , *= - ' t = - { - ,
* = -4+2=-2
\- r/
jednadZba tangente :
Y -Yo = f ' ( xo ) ' ( * - *o )
y -5 = -2 . (x - ( - t ) )
y -5 = -2x -2
- Y = -2x+3
jednadZba normale :1 ,
V - V^ : --r:7----T .(x - xo )r r v f ' ( x o )
\
1y-5=-i( '-(-r))
-11V - 5 = - ' X + -' 22
1 11+ v - - . x+ -'22
Primier 2.
Nadite jednadZbu tangente i normale na krivulju/ - \
T= l 1 . - : l .\ 2 )
R.
x2 .s iny-cosy+cos2y =o I +' ldx2x. s iny + x2 .cosy. y ' - ( -s iny) . y '+ ( -s in2y) '2 'y ' =o
y' - (r ' . cosy + sin y - 2' sin Zy)=-2x' sin y
X = -1 na krivulju y = -4x+\' x '
= 1=f t , s)
x2 .s iny -cosy+cos2y=0 u todk i
Qdqhrani zadaci iz Matematike 2 27
,'.(,' *'[;).'*'(l)-z sin(z ;)= -2 1'' '(;)
y ' ,h ' . o + 1 - 2.0)= -2 '1 '1
y' ,1= -2 + ,'lU;)= -,
JadnadZba tangente :
v -n - -2 . (x -1),2
v*3 =-2-x+2'2n + 4
+ Y = -2 'x+?'2
lednadZba normale:T t l r
V -= = -- : . - (x - 1)' 2 -2 \
T t11V - - = - ' ) ( - -' 22 2
1 n-1= } ! = - . X + -' 1 2 2
$ : t ' cost + t ' ( - s in t )= cost - t 's in tdt
I : 1 . s in t+ t .cost : s in t+ t .costdt
Prlmier 3.
Nadite jednadZbu tangente i normale na krivulju :
R.
t=L2
u to6kisaX = t .cost ly = t .s int J
x=] ll_,^,1 ,:* + *=Z*"1=:- t ,ti =+ ,=(0, l)v=t 's intJ 2 y=;.s inf : | . t=;)
dy
v'= v'(t) - dY : d!- =' r ' d x d x
dt
s in t + t .costcost - t .s in t
)R Odabrani zadaciiz Maternatike2
, \ s in l+1. .or I t+1.0. ; ln \= 2 2 2- 2 -' \2)
.or I - I .s in I o-1. t22 2 2
jednadZba tangente :o
v - 'u - - ' . ( x -o )'2n
n2v-- - - - .x' 2 I t
2 T E= v- - - .x+-'TE2
jednadZba normale :rE1 ,
v-:---- ;-(x-o)z 1 _ ;
TE TEv- - - - .x'22
n f i= ) V - - 'X+ -'22
Primier 4.
Nadite jednadzbu tangente i normale na krivulju €v + xy : s u todki s apscisom x=o'
R.
ev+xy=s = x=0 + ev+Q'Y=e :> Y=1 :+ f = (O, t )
, , tde'+xY=" I a^
ev .y '+ 1 . y + x . y ' - 0
y ' ' (e t +x)=-y
y' = ---!-e '+x
n 1 1V t . = - - = - -, r (0 ,1) er + 0 e
jednadZba tangente :
v -1: -1.(" -o)'e
1Y - 1 = - - . Xe
= v=-1 'x+1-e
29Odabrani zadaci iz Matematike 2
jednadZba normale:1y-1= -+.('-o)
_ ;
y -1=€-X:+ Y = e ' x+1
Nadite jednadZbe tangente i normale na krivulje :
/ ' r . - ' l \(1) y = arcsinl = | u sjeci5tu krivulje s x-osi
\ z )
(3)
R.
(1 )
(2)
(3)
x=arcSint i l(2 ) , ^ l l za t=1
y = {1- t= U
x'Y - x" -Y" =7 u todki T=(1,2)
t . . .v=1."-1'22
n. . .Y = -2 'x+2
t . . .v = -* * I'2
nh . . . y = x_
2
.123I . . . V = _ _ . X + -' 11 11h . . .Y=11 'x -9
10 Odabrani zadaciiz Matematike2
10. Diferenciial funkci ie
10.1 Geometrijsko znadenje diferenciiala
Neka je funkc i ja f der ivabi lna u todk i x ineka je f , n jen graf . U to6k i 4=(x, f (x) )et
postavimo tangentu. Dulj ina CD je prirast ordinate tangente ako se x promijeni za Lx
lz pravokutnog trokuta ACD sl i jedi : CD = tgcr-AC = f '(x) 'Ax , Sto znadi da je diferencija
funkcije f za vri jednost argumenta x jednak prirastu ordinate tangente u todki 4 = (x,f (x))e I l
kad argumant x dobije Prirast Ax.
Ako je funkcija f u tocki x derivabilna, prirast funkcije moZemo prikazati kao :
Af (x) = f ' (x).Ax + cx(u).Ax, gdje j" i iT.cr(ax)= I
1 0.2 Definicija diferenciiala funkcije
D i fe renc i j a tomfunkc i j e y= f ( x ) u todk i x , uko jo j j e funkc i j ade r i vab i l na , naz i vamog lavn i d i t
f ' (x).Ax njezina prirasta, koj i je l inearan s obzirom na Ax. Diferencijal oznadavamo sa df (x,
i l i dy.d f ( x ) : f ' ( x ) 'Ax - d f ( x )= f ' ( x ) ' dx
dy =y ' ( x ) .Ax = dY :Y ' ( x ) ' dx
DL}
Odabrani zadaci iz Matematike 2 31
10.3 Diferenciial vi5eg reda
Neka je y = f (x) funkcija derivabilna u todki x.
Diferenciial 1. reda
dy = y ' ( x ) .dx
Diferenciial 2. reda
d"y =d(dy) = d (y ' (x ) .dx)= (y ' (x ) .d* ) .dx = (y ' (x ) 'dx ) 'dx = y ' (x ) ' (dx ) ' = y " (x ) 'dx2
:+ d 'y = y ' (x) .dx2
Diferenciial ntoo reda
(2)
(3)
R.
:?
dny = d(d(" -1)y) = y(n)(x) . (0") " = y(n)(x) .dxn
dny = U tn l l x ) . dxn
?RIMJERI
Primier 1.
Nadite diferencijale funkcija :
(1 ) y=arcc tg(e" )
Y = -3-*'
x2 +2xy -Y" =a '
(1) y="r " . tg( " " )
(2) Y =-3-" '
dy = y ' ( x ) .dx = -3 - " .1n3 . ( -zx ) .dx = 2 . |n3 .x .3 - " 'dx
(3 ) x '+Zxy-Y2 =a2
2x+2y +2x .y ' -2y .Y '=0
x+y+(*-v) .y '=o
y '= X+U = dy :
X*Y.dxy -x y -x
.2x .dx _ -2x .e " .O*
1+ e2"
1). Odabrani zadaci iz Matematike?J2
Primier 2.
Nadite diferencijale 2. reda za funkcije :
Y = -3-t '
x 2 + 2 x Y - Y 2 : a 2
(1 )
(2)
R.
(1) Y: -3-"
dy = 2 . |n3 'x '3 - " ' dx
d 'y =y" (x ) . (ox ; ' = (2 . tn
d 'y =(e rne.3-" ' + 2. ln i
d"y =g- ' ' (z ' ln3 - 4x2 '
.3- - ' ) . (d" ) ' \
3-" ' . rn3.(- 2x)) (dx) '?
)') (o*)'
3 . X
I ' x .( lne
r3 .
3 ..h ,
(2 ) x ' +Zxy -y ' =a '
dv=x+y .dx' y -x
d'y =y"(x) (ox;' = f':+i .(d*)'Iv-x l
d,y =(t + v ') (v - {)- ( [+ v) ' (v ' - t ) . (d*),, \ 2(y - x,,
dry : 2y -2x'_y '
. (dx;r =(y - x)-
2v-2x .x+Y' y -x .(ox)' = .(d*) '
2y2 -2xy -2x2 -2xy
v -x
(v - ")'(v - ')'
Primier 3.
Nadite diferencijale 4. reda za funkcije :
(1 ) Y=s in2x(2 )Y=x ' lnx
R.
(1 ) Y=s in2x ,dy : y ' ( x ) .dx = ( r in t * ) .dx :2 ' s inx ' cosx 'dx = s in2x 'dx
l it,\ti-\il r '
L)rlglrrani zadaci iz Matematike 2 33
d'y =y"(x).(0")' = (sin2x)' - (O*)' = cos2x .2- dxz = 2' cos2x' dx2
dty = y",(x) . (a*) t = (2.cos2x) ' . (ox) ' = 2.(-s in 2x). 2.dxs - 4 .s in 2x .dx3
doy = y (o) (x ) . (0 " )o =C+.s in2x) ' . (O*)n - -4 .cos2x .2 .dxa - -8 .cos2x .dxa
(2) Y=x ' lnx
dy = y'(x).dx = (x . ln x) '
d 'y =y ' (x) . (ox) '=
dty = y'(x).(ox)' =
d,y = y(o)(x).(o*) '
.dx=[ , . ,n" . " : )
+r) ' .(ox)'z = *.0"'
,.l
. (d*) ' = - j .dx'
dx=(nx+1) .dx
(n*
r1)l.;l
_ l- (.-
t'1. Primiena difergnciiala na izradunavanie pribliZne vriiednostifunkciie
Za male vrijednosti prirasta argumenta Ax, vrijedi da je prirast funkcije pribliZno jednakdlferencijalu funkcije, tj. :
lax l+o + Af (x)=df (x)
f (x+ax)- f (x)=f ' (x ) .uf (x+u)=f (x)+f ' (x ) . lx
+ f(x + Ax) = f(x)+ f'(x). ox
FRIMJER
ZamijenivSi prirast funkcije diferencijalom nadite pribliZnu vrijednost :
(1 ) eo2 ,za X=0 iAx=0 .2(2) tn (o .a ) , za X:1 i Lx : -0 .2(3) "J26 , =u x:27 i Ax : -1
(4) ctg(+oo ), za x : 450 i Ax = 10
R.
(1 ) eo ' ' , za X :0 i { x : ,0 .2
f (x ) :e * , f ' ( x ) :e "g'*- = e" + e" .Ax
e0+0 '2 - eo + eo .o .2=1+1.o .2=1 .2 + eo '2 = -1 .2 ':t:j::*j:iA',r ' - - : - '
2.A Odabrani zadaciiz Matematike2
(2) In(0.8) ,za X=1 iax=-0.2
f (x)= lnx, f ' (x)=1
In(x+Ax)=lnx+* o"
ln(r -o.e)= ln1+] { -o z)=0+1.( -o.z) =--0.2 = rn(o.e) =-O'2
(3 ) {26 , r x=27 i Ax=-1
f(x)=Vi , t '(x) =: +3 Vx'
Vx.^- = Vx *1'* 'o"3 Vx'
?t2? -1 ={n.1 +' (- r)= 3 - l ' l = 2'e62eos + {za = 2's62s63. 3tr lzz' \ / 39
(4) ctg(+oo), za
f (x) = ctgx ,
x=450 i Ax=10
f ' (x)= 1sin2 x
Ax=10= f t ( rad )
180 '
ctg(x + Ax)= ctgx - j, -
o"
cts(+so + 1o )= cts(aso )- *+F) 180 180=1-- l ^
/ - \ a
f . . /2 Ii.rJ
4 T l= l - -
90
= ctg(+oo)= 0.9650e3
ZADACI ZA VJEZBU
Zamijeniv5i prirast funkcije diferencijalom nadite pribliZnu vrijednost :
(1 ) ^1T7,= X=16 iAx=1(2) ln (1 .2) ,za X=1 iax=0.2
(3) \131 , =^ x=32 i Ax=-1(4) tg(++o), za x = 450 i Ax = -10
(s) cos(zoo ), ,u x : 3oo i Ax = -10
(o) sin(zoo), tu x = 3oo i Ax = -10
Orlrrlrrani zadaci iz Matematike2 35..
B.
( r ) 4 .125(e) 0.2(3) 1.e875(4) 0.9650e3(6) 0.874752(6) 0.485
.|2. Tavlorova formula
Zadana je funkcija f : I+R, gdje je Iotvoren interval realnih brojeva, koja ima derivaci je do
ukljudivo reda (n+1) u svakoj to6ki intervala I. Odaberemo li todku xo e I, onda funkciju f
mgtemo predo6iti u obliku :
. , - f ' ( x ) , , f ' ( x ^ ) , \ 2 l t n l ( x \
f (x) = f (xo)+tr . (* - ro) . t ; t . (*-ro) ' * . . . * f . ( " - ro)" +R^(x),
EdJe je R^(x) ostatak koji moZemo prikazati u obliku :
R^ (x ) - f ( ^ * t ) ( xo . +o . ' ( x -xo ) ) . ( * - *n )n* , , o < o< 1 .' I r '
( n + 1 ) !
Tg6ka (xo +t} . (*-*o)) , gdjeje 0 <O<1, nalazise izmedu todaka x i xo.
Molemo pisati : f (x) = % (x) + R" (x) . Polinom P. (x) zovemo Taylorov polinom.
Ako za todku xo uzmemo vrijednost 0, tada polinom P^(x) nazivamo Maclaurinov polinom, aTaylorova formula prelazi u Maclaurinovu formulu :
f (x) = t(o)+# -.ry .x' +#.x'+....ry.xn +Rn(x),
R,,(x)=ffi.Xn*" o<o<1
PRIMJERI
futmjer t
l'unkciju f (x) : 2x3 - x + 3 razvijte po potencijama binoma (x-1).
R,llnzvoj po potencijama binoma (x-1) podrazumijeva razvoj u okolini todke Xo = 1.
f (x )=2x3-x+3f ' (x )=6x2-1t"(x) =12Y
t" (x ) =12
1 t+ l ( x )= 0
f (1 ) = 2 -1+3 = 4
f ' (1 )=6-1=5
f ' (1 ) =12
t " (11=12
1 t+ l (1 )=o = R . ( t ;=9
=
+
9
I
+
r(x) = r(1).f .(x-1)+ ry (r-1)' .#'(*-t)' +R.(x)
r(x)=4+i (x-1)+ ft t"-t)'*f {*-r)'= f (x ) = 4 +5 ' (x - l )+6 ' (x - 1 )2 +2 ' ( t - t ) '
Primier 2.
Funkciju f (x) = ln(x + 1) aproksimirajte polinomom 3. stupnja u okolini todke Xo = 0 .
lzradunajte In(1.2) pomo6u te aproksimacije. Ocijenite pogre5ku.
R.
f (0 )= ln (O+1)= ln1=0
f'(o)=fr=rr"(o)=-pi,y =-''
f-(0)=ffi=,
= R,(x)={Trtl.xo = (o.x +t ) ' . xo , o<8<1
f (x) = In(x + 1)
f1 ' )=*
='
=
+
f ' (x )=(x + t)'
r-(x)=d.,).
1r+)1x)=-d1r
6
4l
l
f(x) = t(o)+f ".ry'x' +#'x' +R,(x)t (-1).
" , * ?.*"f (x )=O*n- " * tZ
3 !
- f ( x )= r -1 .x '+1 ' * '23
f (x )= ln (x+1) = f (0 .2 )= ln (0 .2+1) = ln (1 .2 )1-. (o.z\ ' * 1. (o.z)' = o. 1 82666= f (0.2) =0.2-V
3
()tlabrani zadaci iz Matematike 2 37
Rr(x) = t 'o '$ '* ) . * ' => R3(0.2) = .(o.z)'(O '0 .2 + 1 )a
o.(o.z)'
4l
0.0004lnrlo.z;l=3 \ v ' - ' ' l
1 -2 .3 . 4 - (o . 0 .2 + 1 )a (O .0 .2 + 1 )a,0<o<1
* lR.(0.2)l< o.ooo4
Prlmier 3.
Funkciju f (x)= e* aproksimirajte polinomom 4. stupnja u okolini to6ke Xo = 0. lzradunajte
O1 =e pomo6u te aproksimacije. Ocijenite pogre5ku.
H.
f (x )= f ' ( x ) = f " (x ) = f - (x )= 1 t+)1x) = 1 (s )1y1= e ':s f (0 ) = f ' (0 ) = f ' (0 ) = f " (0 ; = t t r r10) = f (5 ) (0 ) =e0 =1
l (x)=r** **+ 'x '+*.r ' ** ."0 +Ro(x)1! 21 3! 4l
+r ',
1 1 . f + ! . t t+ -1 - .1a=2 .70g333 = e=2 .708333=c f (1 ) = 1+ - , .1+ . r ,
3 ! 4 l
Hn(x)=t€r.xu =f iu"."u + Ro(1)=;" , 0<o<1
:? * . n . ( r ) .3 + 0.008333 < Ro(1) <0.0226525! 5!
Ellmier 4.
Funkciju f (x) : sin x aproksimirajte polinomom 10. stupnja u okolini todke Xo = 0 .
R .
f ( x )=5 ;nx
f ' ( x )= cosx
f " (x )= -s inx
f - ( x )= -cosx
1 ta t1x ) = s in x
l t t ' t ( x ) = cos X
:> f (0 )= s inO = 0= f ' (0)= cos0 = 1
= f " (0 )= -s in0 = 0
= f " (0 )= -cos0 = -1
+ t t r t l o )= s in0 = o
+ t ts r1O)= cos0 = 1
38 Odabrani zadaci iz Matematike 2
1tor1x) = *s inx
1tzl1x) = -coSX
l te t (x)= s inxl tsl (x) = cos X
l t t o ) ( x )= _s i nx
+ f (6 ) (0 )= -s in0 = 0
= f (? ) (0 )= -CoSQ=-1
> f (8 ) (0 )=s ing=0:? f (e ) (o )=coSo=1
= f (10) (0 )= -s in0=0
5 . 10 ax" - - .x '81 243
512
f(x)=0.+ ^**-x2 +t' "' **'*- **'*' **'"' .+ "' **'x' +j'*' *#'t'o
xt xu x t xn= t (x ;=x-
3 ! +
5 ! -v*
g l
ZADACI ZA VJEZBU
Aproksimirajte funkciju f(x) u okolini to6ke xo polinomom :
(1 ) f (x )=Xt+1 , X0=0, po l inomom2's tupn ja
(2\ f (x) = {ft , Xo= 0 , polinomom 4. stupnja
(3) f (x ) =cosx , Xo=0, po l inomom 6 ' s tupn ja
(4) f (x) = Ji , xo= 16 , polinomom 2' stupnja
R.
f (x )= t . * * - * . * '
f ( x )=1- * * - * * '
v z y 4 x uf ( x )= 1 - ; . ; -
"f ( x ) = O*
, .I f--16)-+ (x-16)'
(1 )
(2)
(3)
(4)
ao(Lrlnbrani zadaci iz Matematike 2 --
13. Qs.novni teoremi diferenciiatnoq raduna
Formatov teoremNoka je funkcija f :(a,b)-+R neprekidna na otvorenom intervalu (a,b)gR ineka u nekojtoeki c e (a,b) tog intervala poprima svoju najvecu ili najmanju vrijednost. Ako postoji derivacijart toj todki c, tada je ta derivacija jednaka nuli, f '(c) = I .
Hplleov teoremNcka je funkcija f :' noprekidna na zatvorenom intervalu [",b],rJorivabilna na otvorenom intervalu (a,b),
= na krajevima intervala poprima jednake vrijednosti, f (a) = 115;.TacJa postoji barem jedna todka c e (a,b) u kojojje f '(c) = I .
gucbylet/ teoremEeTrijedi :nf I g su neprekidne nazatvorenom intervalu [",0],e pgctoje derivacije f i g' na otvorenom intervalu (",b),- p ' (x ) *0 zasvak i xe (a ,b ) .
Tada postoli barem jedna todka c e (a,b) za koju vrijedi :
Lednosti
Hcka Je funkcija f :
" fi€Prekidna na zatvorenom intervalu [",b],. elerivabilna na otvorenom intervalu (a,b),
f (b)- f (a) = f ' (c)
g(b)- g(a) g'(c)
Terln postoli barem jednatodka ce (a,b) u kojojje f '(c)- f(-b)-f(a)
b -a
1 4. L'HosPital-ovo Pravilo
redeneob l i ke ,8 , : ,0 ' - ' oo -oo ,00 ' -o ' 1 * za
izradunavanje limesa primjenj ujemo L'Hospitalovo pravilo'
(1) Neodredeni oblici
f(x) i g(x) definirane u nekom intervalu koji sadr2i to6ku a i imaju u tom
i'(x) i -g'(x)
+ 0, i neka vri jedi :
i lim g(x) = Q (neodredeni onril< $
)
i lim g(x) - "" (neodredeni oblik
( r ( v \
, uz uvjet da je lill;ffi postoji (kona6an broj) ili ie jednak + "" '
niznova predstavlja neodredeni oblik 9 iti a ' tada pravilo ponovno
Q .,. oo- i l t -
0 o o
Neka su funkcijeintervalu derivacije
l im f (x )=g
iti
l im f (x )= -€- \ , ,oo
tadaje ljnffi=lgffiU sludaju da limes Hffiprimjenjujemo.
(2) Neodredeni oblici 0'*
Neka su funkcije f(x) i g(x) definirane u nekom intervaru koji sadrZi to6ku a i imaju u tom
intervalu derivacije f '(x) i g'(x) , i neka vrijedi :
l im f (x) = g i l im g(x) = "" (neodredeni oblik 0'- ) '
tadazadobivanje rimera 11g(ttxl g(x)), funkciju f (x)'g(x) pretvaramo u oblik :
f (x) g(x) :+ i l i t t " l 'g t* l=+, Stodovodidoslu6aja9 i r i a '
s(^) rE)
(3) Neodredeni oblici oo - -
Neka su funkcije f(x) i g(x) definirane u nekom intervalu koji sadrzi to6ku a i imaju u tom
intervalu derivacije f '(x) i g'(x) , i neka vrijedi :
l j g t ( * ) = - i l img(x) - " " (neodreden i ob l i k - - - ) 'Q . . . e
rada zadobivanje limesa 11n(tttl - g(x)) , funkciju f (x) - g(x) pretvaramo u oblik
; ili -
x-+a
(3) D' = (a,b] , limf(x) = a""
U b -
Ittrl.dx = LrS Jt1x1'ox
PRIMJER
lzra6unajte integrale :
t. dx(1)lmt. dx(2) Jm
tdx(3) J (x_1F
R.
' [g=l x=oe D,
dVx' Iintegral konvergira
(2)
ig=l x=1eD,dJt-x ' I
.i.iF ;;i+=!iq(I#=L'sb r )' =ti, 'ob.t/ i-g.t6)=g4e e-rO\( 1 )
=
= rir'i$ =lim(arcsinx)f,' =.* d J1_ x, €-r
0)= arcsinl -arcsin0 =;-O =!,= lim(arcsin(t - e)- arcsine -+0'
+ integral konvergira
(3)
l# = | x = 1 e D, | = j#.'l# =L,s]#.t.*,1ft =
= r,s(- * l:' .',,$[- * )", = I$(- t -= . * ).','$(- * . #=) =
= I's(: - t). '''s[-;. *)=
e ] 'o = e
+ integral divergira
6. Primiena odredenoq inteorala u qeometriii
6.'l Povr5ina lika u ravnini
(1) Povr5ina pseudotrapeza P, lika u ravnini ispod grafa neprekidne funkcije y=f(x) nab
intervalu [",b], f (x) > 0, vx. [a,b], omedenog pravcima X=o, X=b i x-osi , n = it{r).0*
(2) Povr5ina
fr(x) > f ,(x),
krivocrtnog
Vxe [a,b] ,
trapeza koji je omeden
te pravcima X=?, X=b I
grafovima funkcija f.,(x) i fr(x), pri 6emu jeb
e = Jft, (x) - f., (x)l dx
' Odabrani zadaci iz Matematike 2 123
(3) povrsina pseudotrapeza P, ako je krivulja y=f(x) zadana parametarskim iednadZbama :
x = x(t)y = y(t)dx = x'(t).dtx=8- t t= t r
x=b-+ t= tz
PRIMJER 1.Odredite povr5inu lika omedenog krivuljama
R.
y=x2-1 , Y=x+1
; = x(t)]y = v(t)J
b
t1 <t<t2 ' P=Jt1x1 'dx= ='ir{,).x'(t) .dttr
y=
!=
A (t=t, )
aB (t=tr)
t I ,/
/
I /,I
I ,/I
II
,/ fI \ tJ
/
\
124 Odabrani zadaci iz Matematike2
PRIMJER 2.Odredite povr5inu lika omedenog krivuljom y = x (x -1).(*-Z) i x-osi .
R.
xs =2y=x.(x- t ) . ("-z) ly=o
'J=*t=o' xr=.1 '
y = x ' ( * - t ) . ( " -z )= x3 -3x2 +2x
0 1=[+-. f; ., +), t+-' * ., t):,,=;n = i("' - 3x2 + ex)- o]. o" .ito - (", - s", + zx). dx =
PRIMJER 3.
Odredite povr5inu lika omedenog krivuljama y -
R.
1+xzx', Y=T
, a ispod pravca y --2.
t=f],?X,=-1 'x,=1
Y=T lJ
,=-[# t'l dx=, ll# gtdx=z[arctox-**],=
=, [["*,t-*)-(arctso-'))
, (;-*) =t-J"
,=jl,r-5l dx+l[, t'l dx=[,f *+]: *[,,,;+),=
=f, a-* 1 +2.2-| a' -2-1*f r=z
x''Y =TPRIMJER 4.
Odredite poyr5inu lika omedenog krivuljama y =Z'JV
R.{
3
1. na6in :
. r - " ' it - 2 l l= * t= -2 ,x2=2
Y=2 \
Y=2' f i i=Xo =1Y=2 )
,L,/
,/ 7^( YN /
Odabrani zadaci iz Matematike 2
\\\ E\\L na6 in :
v 2y=+ -x=Jzy' 2 !
y =2.f i- x=t4
PRIMJER 5.
Odredite povr5inu lika omedenog elipsom
R.
t *t=t.94
^ ' *Y" =194
2
P = 4 ' Jv(x) 'dx =0
e= 24'Jsin' t dt -- 2
o
X = 3.cost l=>
y =2. s in t J0 < t <2n
I= 3.cost I= 2.s int IX = -3.s int .dt l
-o+ t - f t |2 l
=3-> t=0 |
( 1 , - 1. s inet\24
X
Yd
X
X
0
= + . [z .s in t . ( -3 .s in t ) .d t =I
) I =ro l(t !- ! . inn)- (r o-1 " ino)l= 0,,)o L \224 ) \2 4 ) )
-t \r \
L I I\
rL ,-4{
4
.J
PRIMJER 6.
Odredite povr5inu lika omedenog prvim svodom cikloide :
R.
6.28 9.12 12.51 15.71 18.8J
X = 3.(t - sint) ]v=3.(t-cost)J
cos' t)dt -g.'ff 'r-2. cost * 1+cgsa )o, =
d\2)
03t<2n i x-osi.
t2I tl09I'l
6
J
+32I
0 3.1{
lx = 3.( t - s int) |6, lv = e .(1- cost) |
P = Jv(x).dx = ldx
= s.(t -cost) 'ot lo
lx=0->t=0 |lx=on +t=2n I
21 ztt
= n. J(' '-cost)2 dt = e Jt-2'cost0 0
= g. | . t -2. sint *-1. t *1.1. sinzt l\ 2 22 )o
I
2r
Js . (t - cost). 3 . (1 - cost). dt =
0
ZADACI ZA VJEZBU
Odredite povr5inu lika omedenog sa :
(1 ) y2 =X*1 , Y=X-1
X = €l .cOst l2 \ | 0S t<2r" y -b .s in tJ
X = ? .COS3 t l(3 ) . . . | 0< t32n
Y=a 'S ln - tJ
X = o . ( t - s in t ) )(4 ) " - ) ' f O . t<zn i x -os i .' ' y -a . (1 -cos t )J
flh.
\I \
r \T
128 Odabrani zadaci iz Matematike 2
R.
o(1 ) P = ;
(2 ) P = a .b .n
(3)P=9.^ ' 'n8
(4 )P=3.a2 .n
6.2 Duljina luka krivulie u ravnini
(1 )
x = x(t)ll : i t . '< t< t , +
Y = Y(t)J '
(2)
Y=f (x ) =
(3)
x= f (y )
X=X ly = y(xU
x = x(y)lV=Y )
Y 2 -
y t3y3yz : r r= [J1+(x ' (y ) ) ' .Oyi,
PRIMJER 1.
lzra6unajte dutj inu luka krivulje Y=ln(sinx) od todke sa apscisom
. f iaPSCISOffi | = -.' 2
R.
X=X I n , rE
y= ln(s inx)J 3 2sin2 x+cos2 x 1
sin2 x
;
I
- .1n3atZ
x= ! do3
todke sa
v = In(sinx) + y'(x) =ffi = 1+[y'(x)]'? = 1+# =sin2 x
ft
/* '{ l 'g.zJJ =
Odabrani zadaci iz Matematike 2 129
PRIMJER 2.
lzra6unajte duljinu luka krivulje
R.
1<yce
,|- ^ . lny za l<Y<e.
z1 o
X = - ' V -4
*=j'y'-t',.tiY=Y )
^=) 'vz -* ' " , = x'(y)= I r, ; +=L-+ =+ r+[x'(y)]' =r*(I-+T =vo +?v-" +1 =(v",n:Y
[z zv ) 4y' 4y'
y 2 - e
r = jJr * ["'(y)]' 'dy =lY r 1
=(++l".e,d/l(2 2 ), \2 ' ,- ' , f , . ,= ! . . , - 1 * l - . tn"-1.rnt =1." t * 1
4- 4 '2 2 4 4
PRIMJER 3.
lzradunajte duljinu luka krivuljex=4- ( t -s in t ) ly = 4'( t -co.t [ 0< t32n .
, ='i{*'{t)F * [v'{t)F 'ot = f;.''{5 dt=8 J,'"(;) dt=8 1,'(;) "=/ / * \ \ 2 "
=e ' l -z cosl ] l l =-16 ' (coszi -cos0)=32\ \ z / / o
130 Odabrani zailaciiz:Matematike2-
ZADACI ZA VJEZBU
lzra6unajte duljinu luka krivulje :( 1 )
X = X^ + R.cost l r r- - u ' l 0< t< :
y=yo+R.s i n t ) - - ' -
Z
(2)
) ( =
izmedu koordinatnih osi*i,-+)R.
(1)'=Y(2)'=f
6.3 Volumen rotacionog tijela
(1) Volumen tijela koje nastaje rotacijom lika u ravnini :X2
-'roiacija oko x-osi r V, = ru. JV'(x)' dx
Odabrani zadaci iz Matematike 2 ' ' 131'"
',. ')
(2) Volumen tijela koje nastaje rotacijom lika omedenog gornjom i donjom funkcijom :
,/,2'->
/:! rotacijaoko x-osi lika omedenog gornjom funkcijom Yr(x) i donjom funkcijom Yl(x):/ xz-r .^r
i - V, = n. J(v, ("))' - (y, (x))'l. ox
i " ,t
,t-' . .,,'! rotacija oko y-osi lika omedenog gornjom funkcijom xr(y) i donjom funkcijom x.'(Y):
Y z - r _ . . ^ ' l\. V, = 7r. J(",0))', - (*, (y))',l.ov' \ , , ,
PRIMJER 1.Odredite formulu za volumen sto5ca polumjera R i visine h.
R.
Ry(x) = h
'x
)12
V, =n Jv'("x.l
v _ n .R2 .h' x
3
dx=F ,, i-,R2 6s= h '
'7r 'T. R2 ( " ' ' ln. d X = - . 7 t . 1 - l
h . \ .3 / .) dx =,, i(* -l
' (y ' l ' - n,dy= " . IV.dy= n ' l , |
- e
t i \ t r l o c -
PRIMJER 2.lzradunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom oko y-osi lika omedenog parabolom y = 12 i
pravcern ! ='l
R.
PRIMJER 3.
lzra6unajte volumen t'rjela koje nastaje rotacijom oko x-osi lika omedenog krivuljama y - x" i
y --x+2
R.
xz =2
V, =7r jk ,(")) '-(v,(")) ' ] .dx=n ik-. ' . 2)" -(* ' I ] o" =n'l . l*" +4x+4-xo]'dx=x1 -1 -1
="[+.o**4x-+]l. =ry
PRIMJER 4.lzra6unajte volumen tijela koje nastaje rotacijom okoy-osi lika omedenog krivuljama y=1-x2
i x+y -1
R.
\ I ,/
/
/,
t ,/f
I/ I
,/ t J,/ 0
/
, Xz=1I;; =i')* "'y=1-x2 =
"=. .FVX+y=1 - - ) x=1-Y
v y = n -ik*, {r))' - (r, (y))' ]. o, =,,. i[m=f - (r - v)' ] . dv =
Y r o
=,, ift',-v)- Grv*y') dy=n J(-u'*y) ov=" [-+.+]. =' [-;.*)=;