odd_srp_print_… · vektor. operacije nad vektorima7 du` a na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima...

228
DEVETOGODI[WE OSNOVNO OBRAZOVAWE OSMI RAZRED JOVO STEFANOVSKI NAUM CELAKOSKI

Upload: vuongkiet

Post on 08-Mar-2018

223 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

Page 1: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ��������� ���� �������� ��

���������

������������� �����������

Page 2: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

Dragi u~eni~e!

Ova }e ti kwiga pomo}i da nau~i{ predvi|ene sadr`aje programa. Nau~i}e{ novezanimqive sadr`aje o vektorima, translaciji i rotaciji. Ste}i }e{ va`na znawao stepenima, korenima i polinomima. Pro{iri}e{ znawa iz geometrije.Izra~unava}e{ povr{inu figura. Ste}i}e{ nova znawa o funkciji iproporcionalnosti.

Kwiga je podeqena na pet tematske celine, a svaka od wih je podeqena na podteme.Tematske celine po~iwu sadr`ajem , a nastavne jedinice su numerisane.U svakoj nastavnoj jedinici ima oznaka u boji i preko wih su ispisane poruke,

aktivnosti, obaveze i druge preporuke, a to :

Nastavne jedinice po~iwu ne~im {to ti je ve} poznato.Podseti se i re{i zadate zahteve. To }e ti pomo}i kodizu~avawa novog sadr`aja lekcije.

A � B ��� Ovim oznakama je nastavna jedinica podeqena na delove(porcije), koje se odnose na nove pojmove.

1.

2. ���Ovakvim oznakama su ozna~ene aktivnosti, pitawa i zadaci koje}e{ samostalno re{avati ili uz pomo} nastavnika. U ovom deluu~i{ novinu u lekciji i zato treba da bude{ pa`qiv i aktivan dabi boqe razumeo i nau~io. Najbitnije je obojeno `utom bojom.

Treba da zna{: Ono {to je najbitnije je izdvojeno u obliku pitawa,zadataka ili tvr|ewa. To treba{ upamtiti i primenitiu zadacima i prakti~nim primerima.

Proveri! Ovaj deo sadr`i pitawa i zadatke kojima mo`e{ daproveri{ da li si razumeo ve}i deo onog {to se u~i, da bimogao da primeni{ i koristi{ u svakodnevnom `ivotu.

ZadaciTreba da redovno i samostalno re{ava{ ove zadatke. Time}e{ boqe nau~iti i oni }e ti koristiti.

Kada nai|e{ na pote{ko}e u izu~avawu matematike ne otkazuj se, poku{aj ponovo, aupornost donosi rezultat i zadovoqstvo.Zadovoqstvo }e nam biti ako ovom kwigom vi{e zavoli{ matematiku i postigne{veliki uspeh. Autori

PROVERISVOJE ZNAWE

Na kraju svake teme ima{ test sastavqen od pitawa izadataka. Samostalno re{i test i time }e{proveriti svoje znawe iz teme koja je u~ena.

Poku{aj... Potrudi se da re{ava{ zadatke i probleme u ovom delu (nijeobavezno). Time }e{ znati vi{e i bi}e{ bogatiji sa idejama.

���������

Page 3: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

3Vektor. Operacije nad vektorima

TEMA 1. VEKTORI. TRANSLACIJA

VEKTORI I OPERACIJE SA VEKTORIMA

1. Usmerenost poluprava. Smer 2. Vektori 3. Jednakost vektora 4. Sabirawe vektora 5. Oduzimawe vektora 19

TRANSLACIJA

6. Translacija 7. Osobine translacije 24 8. Primena translacije 27 Proveri svoje znawe 30 14

11 7 4 22

Page 4: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

4 Tema 1. Vektori. Translacija

Nacrtaj pravu a i na woj ozna~i ta~ku O.

Ta~ka O deli pravu a na dva dela ilidva skupa.

Kako se naziva deo prave koji sadr`ita~ku O i jedan od dva dela na kojimaje razdvojena prava a sa ta~kom O ?

Na crte`u je nacrtana poluprava OMsa po~etnom ta~kom O i proizvoqnomta~kom M.

Nacrtaj poluprave AV i A�, tako {tota~ke A, �, i � ne le`e na istoj pravi.

Nacrtaj pravu a i na woj ozna~ita~ke M i �?

1. Na pravi � uo~i polupraveOA, O1A, O� i ��

Koja je poluprava podskup polupraveOA?

Koja poluprava je podskup polupraveO

1� ?

Za poluprave OA i O1A ka`emo da su

isto usmerene. I poluprave O�i O1� su

isto usmerene.

Za poluprave OA i O1�ka`emo da su

suprotnog smera. I poluprave OA i O�su suprotnog smera.

Poluprave istog smera ozna~avamoznakom ������, a suprotno usmereneznakom������ Primer:� ������� �� ���������

Razgledaj crte`. Uo~i paralelne prave � i � i nawima ozna~ene poluprave OA, O

1V i O

1S.

Koje poluprave le`e na istoj poluravni sa grani~nompravom OO

1?

USMERENOST POLUPRAVA. SMER11111VEKTORI. OPERACIJE NAD VEKTORIMA

A 1.

V O �A p

Uo~io sam da:Sve ta~ke poluprave O

1A

pripadaju polupravi OA, t.j. � ��� �Sve ta~ke poluprave OBpripadaju polupravi O1�, t.j. �� � ��.

2.

O

M

Sa pravom � na crte`u ravan jepodeqena na dve poluravni, od kojihje jedna obojena.

Koje od ozna~enih ta~ki le`e na istojpoluravni ?

� b

[ta je prava � za poluravan ?

1234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012

��b

a

���������

Page 5: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

5Vektor. Operacije nad vektorima

Za dve poluprave ka`emo da su isto usmerene (ili: imaju isti smer) ako le`e najednoj pravi i jedna je podskup druge ili ako le`e na paralelnim pravama ipripadaju istoj poluravni sa grani~nom pravom kroz wihove po~etne ta~ke.

Za dve poluprave koje le`e na istoj pravi ili na paralelnim pravama i nisu istousmerene, ka`emo da su suprotno usmerene (ili imaju suprotne smerove).

Odredi kako su usmerene:

Va`i i uop{te

3.

a)b) ���

v) � � � �g) � �

� ��

a

ba��b

Ovo ti je poznato

Na crte`u su prikazani saobra}ajni znakovi koji ozna~avaju smer.

Nacrtaj polupravu OA i zatim:

Nacrtaj dve poluprave O1A1 i O2B2 isto usmerene sa pravom OA.

Kako su usmerene poluprave O1A1 i O2�2?Koliko poluprava u ravni mo`e da se konstrui{e isto usmerenih sa polupravomOA?

a) poluprave OA i O1A,b) poluprave OA i O1Av) poluprave OV i O1Ag) poluprave OV i O1� O1�i O1�OV i O1�

Uo~io sam dapoluprave OA i O1�le`e na istojpoluravni, a gra-ni~na poluprava jeOO1.

Ka`emo da su isto usmerene poluprave OA i O1�

t.j

Poluprave OA i O1S ne le`e u istoj poluravni sa

grani~nom polupravom OO1 i za wih ka`emo da su

suprotno usmerene, t.j. OA ������

Objasni {ta koji znak pokazuje.

Re~ smer ~esto upotrebqavamo na primer: ,, vetar duva u severnom smeru,, avion leti usmeru Skopqe-Ohrid itd.

���������

��������

��

���

Page 6: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

6 Tema 1. Vektori. Translacija

Smer �predstavqamo jednom polupravom A� iz skupa istousmerenih poluprava i ka`emo, poluprava A� ima smer �.

Date su poluprave OA, O1A1 i O2A2, tako {to� . polupravom

OA je opredeqen smer �, a polupravom O2A2

smer ��

[ta je ta~no:

Da objasni{ koje dve polupraveimaju isti smer, odnosnosuprotni smer.

Da objasni{ {ta je smer i ~imese smer predstavqa.

Na crte`u su prave � i �paralelne.

Koje poluprave OA, O1Si O1� :

Su istog smera,Suprotnog smera

Odre|uju isti smer ?

Kakvu figuru mo`e da napravipresek:

dve poluprave istog smera kojele`e na jednoj pravi,

dve poluprave suprotnog smerakoje le‘e na jednoj pravi?

1.

Na pravi a su date poluprave OA,O1A i O2A, tako {to su �

�� �poluprave OA i O

2A?

�5.

Zadaci

Kakvu figuru mo`e da napravi unija:dve poluprave istog smera koje

le‘e na jednoj pravi,dve poluprave suprotnog smera

koje le`e na jednoj pravi?

Nacrtaj pravougaonik ��� i neka Obude ta~ka preseka wegovihdijagonala. Koje poluprave : ������ � ���� i �� su :

istog smera,

suprotnog smera?

2.

A O a

b� � �

��

Proveri!

��

Zakqu~io sam da u ravni postoje beskona~no mnogo poluprava koje suisto usmerene sa datom polupravom OA

Skup � jedne poluprave i sve isto usmerene poluprave na woj u ravni se naziva smer.

����� � �� � � � ��� �

� � ������ � ���

���������

�����

�A. Kako su usmerene

Treba da zna{:

��

a)

b)

��

a)

b)

a)

b)

Page 7: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

7Vektor. Operacije nad vektorima

Du` A� na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, senaziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa ��

Ta~ka A se zove po~etak, a ta~ka � kraj usmerene du`i ��

Na crte`u, poluprave ���� ��le`e naparalelnim pravama a�b ic.

Kako su usmerene poluprave � ����i���

2.

Uporedi du`ine du`i� �i��� �i���Uo~i usmerene du`i ������� i potrudi se da shvati{

Usmerena du` �� na crte`u se predstavqa strelicom odpo~etne ta~ke A prema krajwoj ta~ki �.

o kojima dvema usmerenim du`ima se ka`e da su jednake.�

��

c

b

a

Neka su A i � krajwe ta~kedu`i a.

[ta je ta~no:

A 1.

Uo~io sam da je:

a) � � � ;

b) � i � je ista du`

v) � ������� �;g) � ������� �?

Ta~no pod a),b) i v) ,

a

Neta~no pod g), jer kod pore|anih parova va`i:� ��� � ��� ��kada ��.

Krajwe ta~ke usmerene du‘i � predstavqaju pore|ani par � ����

VEKTORI22222

Zapisom ( ) ozna~ujemo pore|anipar.U pore|anom paru se ta~no zna koji jeprvi, a koji drugi elemenat.

Za pore|ani par ta~aka, (A�), ta~kaA je prva komponenta, a ta~ka �druga komponenta.Neka pore|ani par (5,8) ozna~avapeti red i osmo sedi{te ubioskopskoj Sali. Da li pore|ani par(8,5) ozna~ava isto sedi{te ?

Podseti se!

Uo~io sam da su poluprave ���� i E� isto usmerene

� ��

���

�� ����� ���� ���� �

Page 8: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

8 Tema 1. Vektori. Translacija

Usmerene du`i � ��su jednake, ako imaju jednaku du`inu i

� �������i ������Zapisujemo ���� .

Neka se ta~ka O pomeri za 4jedinice udesno po pravi �gde

je �U koju ta~ku }e se pomeriti, t.j. preslikati ta~ka O na pravi

3.

Ta~ke O i � su krajwe ta~ke nausmerenoj du`i ���Onepredstavqaju pore|ani par (O,�).

Ta~ka O je po~etna, a ta~ka� krajwa u ovom pomerawu.[ta predstavqaju ta~ke O i� ?

Ovo pomerawe ta~ke u ravni je izvr{eno u odre|enomsmeru i na odre|eno rastojawe. Na crte`u gapredstavqamo kao usmerenu du`

��

Uo~io sam da }e se ta~ka O pomeriti (preslikati) u ta~ku �.

B

� �

� � � � � �

p

Smer koji Aopredequje polupravu A� se zove smer usmerene du‘i ��

Prema tome, usmerene du`i ���� �� su isto usmerene.

Du`ina du‘i A� se zove du‘ina (intenzitet) usmerene du`i

��ozna~ava se sa� ���Prema tome�� ���������� ��!�����

Usmerena du`, ~iji se po~etak podudara sa krajem � �������� se zove nultausmerena du‘. Ona nema odre|eni smer, a wena du`ina je nula

Neka je predstavqena jedna usmerena du` ��Koliko usmerenih du`i jednakih �postoje?

Mogu da nacrtam mnogo usmerenih du`i jednakih na

�, a ima beskona~no mnogo koje su jednake woj.

Skup od jedne usmerene du`i i sve usmerene du`i jednake woj se naziva vektor.

��

"

��

Skup svih nulti usmerenih du`i se zove nulti vektor.

��� �

���

���

���

��

Uo~i i upamti!

Page 9: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

9Vektor. Operacije nad vektorima

Ozna~i ~etiri ta~ke A, ��� i �. Predstavi vektore: 4.

To {to si nau~io o usmerenim du`ima, mo`e da se iska`e i o vektorima.

Neka je dat vektor sa usmerenom du‘i ��

Du`ina usmerene du`i �se zove du`ina (ili intenzitet) vektora i ozna~ava se

Nacrtaj dva vektora �i���tako da su oni:a) isto usmereni, b) suprotno usmereni.

5.

Vektori �i��u zahtevima a)i b) mo`e{ da predstavi{ kao nacrte`u.

Primetio sam da: smer vektora se odre|uje na isti na~in kao i kod usmerenihdu`i, jer se vektor predstavqa kao usmerena du`.

Nacrtaj vektor �i ozna~i ta~ke � i M (kao na crte`u).6.Nacrtaj vektor��tako {to�� ������ ��

Nacrtaj vektor #�tako {to #������ ��

�#

ili � ���

� �

�b)a)

� �

�a

Smer usmerene du`i �predstavqa smervektora

Na crte`u }emo vektor predstavqati sa jednom usmerenomdu`i, t.j. jednim predstavnikom iz skupa jednako usmerenihdu`i.Prema tome, usmerena du` }e predstavqati vektor.

Ovo je va`no !

��

b

�a

� �

c

Vektor }emo ozna~avati sa �ili malim slovom i strelicom

iznad wega. Na crte`u su dati vektori

Uo~i i upamti!

Za vektore koji imaju isti smer ili suprotan smer, ka`emo da su kolinearni.

t.j. vektori �i��su kolinearni, ako � ���ili ����

Za kolinearne vektore ka`emo da imaju isti pravac.

��

��

�� ��

�������� ���������������

���������������� ������������

���

���

�����

Page 10: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

10 Tema 1. Vektori. Translacija

Nacrtaj dva kolinearna vektora tako da le`e:

Da objasni{ {ta je usmerena du` i {taje vektor,

Da odredi{ (i objasni{ ) vektore:istog smera, suprotnih smerova ikolinearne vektore.

Treba da zna{:

Na crte`u prava � je paralelna sa pravom $. Koji su vektori predstavqeni na crte`u?

Kakav smer imaju vektori�Da li su vektori kolinearni ? Za{to ?

Da li su vektori kolinearni ? Za{to ?

Zapi{i vektore koji su opredeqenipore|anim parovima ta~aka : (A,�),(���) i (E,�).

1.

Zadaci

Poznato je da su vektori �i��kolinearni . Da li su kolinearnivektori:

2.

� i ��; � i ��?

Na crte`u su dati vektori ukvadratnoj mre`i. Kako su usmerenivektori?

3.

d

#

�� � i �; b) � i ��; v) � i ��;

g) %& i ��; d) #� i '(; |) �� i %& ?

� �

� � &

%

# ' � (

� �

c q

b

� �

a p

na paralelnim pravama i7.

na paralelnim pravama ina istoj pravi i na istoj pravi i

Nulta usmerena du` predstavqa nulti vektor koji se ozna~ava sa )�Nulti vektor smatramo za kolinearan sa svakim drugim vektorom i du`inom jednakojnuli.

������

���������

���������

� ������

����������������������������������

Proveri!

��������������������������������

��������

�����������

Page 11: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

11Vektor. Operacije nad vektorima

U paralelogramu ��� ozna~enisu vektori ��a����b�

A 1.

Uo~io sam da:

Uporedi du‘ine i odredismer vektora odnosno vektore

Vektori a i imaju istismer i jednake du‘ine.

Dva vektora a i su jednaka ako imaju isti smer i jednake du`ine, t.j.

Dva vektora c i d su suprotni ako imaju suprotne smerove i jednake du`ine.

Za vektora d se ka`e da je suprotan vektoru c.

��c����d�

Vektori c i d imaju suprotnesmerove i jednake du`ine.

Suprotan vektor c ozna~ava se -c, t.j. d = -c.

� �

a

b

cdNa pravougaoniku ��� predstavqeni

su vektori wihove du‘ine i odredi wihov smer.

Suprotne strane svakog parale-lograma su paralelne i jednake.

� �b

a

JEDNAKOST VEKTORA3

Za koja dva vektora �i��ika‘emo da imaju isti smer?[ta predstavqa du‘ina vektora

�?

Nacrtaj vektor #� jednak zadanog vektora a� �.2.

Kroz ta~ku M }u povu}ipolupravu M� istog smera sapolupravom A�. Napolupravi M� odredi}u

ta~ku � tako {to

Prvo }e{ nacrtati vektor �iozna~i}e{ proizvoqnu ta~ku M.Kako }e{ odrediti ta~ku � zavektor#��

a = b ako 1. a ���� b i 2. � a � = � b �.

���� �

Podseti se!

���������� �����Uporedi

Uo~i i upamti!

b

b

a i b c i d

Page 12: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

12 Tema 1. Vektori. Translacija

Nacrtaj vektor ako je dat wegov smer S i du`ina3.

Uo~i postupak i uporedi svoje re{ewe.

�� Na crte`u je dat smer S sa polupravom

A� i du`inom r = vektora a.

% &r

�� Od proizvoqne ta~ke M konstrui{emopolupravu M� isto usmerenu sa A�.

�� Na polupravoj MD odre|ujemo ta~ku �, tako {to Time je opredeqen vektor#��� �

Dat je vektor ���i ta~ka M. Nacrtaj vektor 4.

Prema crte`u, odredi koji od vektora su jednaki,odnosno suprotni:

5.

a) a i b ; g) e i r ;

b) a i c ; d) g i h ;

v) b i c; |) c i n :

B 6.

Razgledaj re{ewe i obrazlo`i postupak.

�����

Dat je vektor i ta~ka O. konstrui{i vektor �� jednak vektoru

��

Na koji na~in si konstruisao prvo polupravu O�?

����� Kako si odredio ta~ku � na vektoru ���

Uo~i i upamti!

Ako je u ravni dat vektor ��� i proizvoqna ta~ka O, tada postojijedinstveni vektor ��sa po~etkom u ta~ki O koji je jednak vektoru � �

Konstruisawe vektora �� jednak vektoru � �zovemo preno{ewe vektora�u ta~ki O.

#

a

#

�a

��

��

a

a

a b

c

e r n

g h

Uo~i da za dati vektor mo`e{ da nacrta{ bezbroj jednakih vektora na wemu.

Jedan vektor�je opredeqen ako je dat wegov smer S i du`ina � � ��rili ako jedat pore|ani par ta~aka (A,�)- wegov po~etak A i kraj �.

��

�����������

�� ����

���������

�������

Page 13: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

13Vektor. Operacije nad vektorima

Izaberi ~etiri ta~ke O,A,� i �. U ta~ki O prenesi vektore �i���7.

Dati su vektori �U krajwu ta~ku vektora prenesi vektor 8.

Razgledaj re{ewe i obrazlo`i postupak.

Da objasni{ koja su dva vektorajednaka, odnosno suprotna;

Da prenese{ dati vektor u datu ta~ku ida datom vektoru nadove`e{ drugidati vektor.

Na vektor nadove`i vektor �

Obrazlo`ipostupak.

Nacrtaj dva kolinearna vektora i na vektor nadove`i vektor

1.Date su dve proizvoqne ta~ke A i � .Da li vektor � je suprotan vektoru ��Obrazlo`i!

Zadaci

4.

Nacrtaj dva suprotna vektora a ibi vektor a nadove`i vektor b�

Da li su jednaki vektori kolinearni?Obrazlo`i!

5. Izaberi dva vektora Na vektor anadove`i vektor b �

2.

3.

�� Prvo konstrui{i polupravu �� sa smerom

�� Kako si odredio ta~ku � za vektor ��da je jednak

Uo~i i upamti!

Za vektor i preneseni vektor ka`emo da su nadovezani.

Dva vektora su nadovezana ako se kraj jednog vektora podudara sa po~etkom drugogvektora.

6. Dati su vektori i ta~ka O .Prenesi sva tri vektora u ta~ku O.

�# ba

b

� � �b

a

Proveri!

��������� �� ���

���

���

� �

� ��

��������

� ��

��������� �� ��� ��

Treba da zna{:

�����������

Page 14: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

14 Tema 1. Vektori. Translacija

Konstrui{i vektor

Uporedi svoje re{ewe sa datim i obrazlo`ipostupak.

Kako si preneo vektor i vektor

b� �?

�� Kako si odredio vektor

�� Koja je po~etna, a koja krajwa ta~ka vektora

�� [ta predstavqa ta~ka O za vektor i ta~ka � za vektor Uo~i i zapamti da ovako konstruisan vektor se zove zbir vektora

Zbir dva nadovezana vektora predstavqaju vektor �~iji se po~etakpodudara sa po~etkom vektora a� a kraj se podudara sa krajem vektora �tj. ako

onda

Ovo je va`no pravilo za sabirawe vektora!

Uo~i i zakqu~i !

Vektor ����� �c�

Zbir dva vektora je jednozna~no odre|en i ne zavisi od izbora po~etne ta~ke O.

Nacrtaj dva nekolinearni vektori a i b i konstrui{i wihov zbir.2.

Izaberi drugu ta~ku �razli~itu od O i prenesi vektor �[ta

predstavqa vektor za vektore �Uporedi vektore ��i���

��� b

a

c�

b

a

Obrazlo`i postupak za preno{ewedatog vektora u datu ta~ku O.

SABIRAWE VEKTORA44444Podseti se!

Na vektor nadove`i vektor Obrazlo`i postupak!

Dati su vektori a� bi ta~kaO u ravni.

Prenesi vektore

a i b tako{to � �a i

��b.

A 1.

�b

a

��

�� ��

�������

������

�����������

������������������ ���������������

���

�����������

������� ��

��

��������� ��� ���������

���� ���������

Page 15: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

15Vektor. Operacija nad vektorima

Kako je lak{e izvr{itisabirawe vektora �jerwihov zbir ne zavisi od izborapo~etne ta~ke O?

Prene}u samo vektor odnosno na vektor nadoveza}u vektor �a zatim }uodrediti wihov zbir.

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

�� Imenuj date vektore sa wihovim po~etnim ikrajwim ta~kama.

b

a

c�a*b

b

#

�� Kako je konstruisan vektor

�� [ta predstavqa vektor za vektore Uo~i da odre|ivawe zbira dva vektora se svodi na konstrukcijutrougla AVS. Zato ka`emo, zbir dva vektora je odre|en po pravilutrougla.

Dati su vektori Konstrui{i zbir:3.

a + b ; b + c .

Dati su kolinearni vektori Konstrui{i zbir

4.

Razgledaj re{ewe pod a)

�� a ; ��� b i �� a + b .

Uo~i kako je primeweno pravilo za sabirawe vektora. Obrazlo`i postupak.

Odredi zbir nultog vektora i vektor B 5.

Uo~i da za zbir vektora �po pravilu za sabirawe vektora va`i:

Isto tako:

ac

b

�� �

ab

� ba

� �c

Va`i i op{te

Za svaki vektor asu ta~ne jedna~ine

Dati su vektori Konstrui{i vektor 6.a

��������

� ������

�������������

������

��������� ���������� ��������

������������

������������������

����� �� � �

��

��������� �������

������� ��������

������������������������ ���������������������������

��������

���

���

Page 16: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

16 Tema 1. Vektori. Translacija

�� Biramo ta~ku A. Vektor prenosimo sapo~etkom u ta~ki A i na wega nadovezujemovektor �tj

�dobijamo

�� Konstrui{emo paralelogram A���, tj.odre|ujemo teme �.

�� Po{to su u paralelogramu suprotne stane paralelne i jednake, dobijamo:

�� Onda: �� �*���b *a , pa: a *b�b *a �

Va`i i op{te

Za koja bilo dva vektora je ta~na jedna~ina

Prema crte`u, mo`e{li da uo~i{ drugina~in za sabirawevektora i

Vektore a i b prene}u u zajedni~ki

po~etak ( �� a i �� b ), a zatimkonstruisati paralelogram A���.Vektor koji opredequje dijagonalu

� je zbir a + b .

Ovo pravilo za sabirawe vektora se naziva pravilo paralelograma.

b

a

a + bb + ab

� �

ab

a

Nacrtaj dva suprotna vektora �a zatim odredi wihov zbir.7.

Ako a � � i - a�� , onda po pravilu za sabirawe vektora sledi:

a + (- a ) = �*� � �). Isto tako: (- a �*a�� * �����)�

Va`i i op{te

Za svaki vektorasu ta~ne jedna~ine

Neka su data dva nekolinearna vektora Konstrui{i zbirove . Uporedi vektore a + b i b + a .

8.

Uporedi svoje re{ewe sa datim i uo~i postupak.

���������

�����������������������������

�������� ����������

� ���� � ������������

�� ��������

� ��������� �������� ���� �

��

��������

�����������

��

�������������������������������t.j. sabirawe vektora ima komutativno svojstvo.

a

����

Page 17: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

17Vektor. Operacija nad vektorima

Nacrtaj tri nekolinearna vektora �a zatim konstrui{i wihov zbir.

Nacrtaj dva nekolinearna vektora ikonstrui{i wihov zbir po pravilu paralelograma.

9.

Uporedi svoje re{ewe sa datim na crte`u i obrazlo`ipostupak.

Dat je ~etvorougaonik A���. Neka

���c i ��d .10.

�� Od � �� mo`e{ da uo~i{ da: �*��� �, t.j.

( a + b ) + c = d .

�� Od � �� sledi: �*��� �, t.j. a + ( b + c ) = d .

�� Prema tome: ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

a

b

cd

a + b

b + c

Poku{aj da poka`e{ da �

Uo~i na crte`u da su vektori nadovezani.

� �

a

ba + b

b

a

Uo~i i upamti

Zbir tri ili vi{e nadovezanih vektora je vektor ~iji se po~etak podudara sa po~etkomprvog vektora, a wegov kraj se podudara sa krajem posledweg nadovezanog vektora.

Na crte`u je konstruisan zbir vektora

Va`i i op{te

Za svaka tri vektora je ta~na jedna~ina �t.j. za sabirawe vektora va`i asocijativno svojstvo. Zbog toga, zbir triju vektoramo`e da se zapi{e i bez zagrada �

a

b

d c d c

ba

e

���������� ������

���������������������������

������������

����������� a + b ) + c = a + ( b + c ).

�����������

� � �������� ���������������

��������������

, t.j.

�������

Page 18: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

18 Tema 1. Vektori. Translacija

Dat je ~etvorougao A��� ivektora ��a ����b����ci� �d �Pocrte`u odredi zbir:

3.

a) a + b ; v) a + b + c ;

b) d + a ; g) a + b + c + d .

4. Nacrtaj tri kolinearna vektora �tako {to vektor ima suprotni

smer od vektora �Konstrui{izbirove:

a) a + b ; b) a + c ;

v) b + c ; g) a + b + c .

Dati su vektori (kao na crte`u)

��a , ���b i %%�).

1.

Zadaci

Konstrui{i ih sa po~etkom u datoj ta~kiM, vektore:

a) - a ; b) - b ; v) a + b ;

g) a + ); d) - b + ); |) a + (-a ).

a) a + b = c ; b) a + b = - c ;

v) a + c = a ; g) a + b + c = ) ?

Dat je trougao A�� i

vektorite ��a , ���b i � �c.Koje su jedna~ine ta~ne?

2.

Da konstrui{e{ zbir dva vektora popravilu trougla i paralelograma;

Da iska`e{ i primeni{ svojstvasabirawa vektora.

Nacrtaj dva vektora �tako {to

Treba da zna{:

dati vektor predstavqawihov zbir. c

Proveri se!

�a

bc

ab

cd

a

b� �

%

���������

��������

�� ��� �� ��

Page 19: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

19Vektor. Operacija nad vektorima

ODUZIMAWE VEKTORA55555Dati su vektori

� � a i �� = b .

Konstrui{i vektor�tako {to

b + x = a .

A 1.

Uo~io sam da vektor treba da bude nadovezan na vektor �a kraj da mu sepodudara sa krajem vektora �tj �

Razgledaj re{ewe (nacrte`u) i obrazlo`i.Koja je po~etna, a kojakrajwa ta~ka vektora x ?

�� Ovako konstruisani vektor se zove razlika vektora �ozna~ava se sa �tj

Razlika vektora a i b pretstavqa vektor x , takav {to b + x = a ,

t.j. ako b + x = a , tada x = a - b .

b

a

b

a

x

Dati su vektori a i b .2.Konstrui{i vektor c = a - b .

ba

Razgledaj re{ewe i uo~i postupak.

�� Da bi konstruisao razliku a - b treba prethodno da

vektore a i b dovede{ u proizvoqnu zajedni~ku ta~ku,ali je prakti~nije da jedan vektor prenese{ u po~etakdrugog vektora.

�� Ako ��a i #�b, tada vektor a - b go konstrui{e prema zakqu~ku:

#��a - b .

c = a - b

a �

b

#

� ���� ������

� ��������

������� �������������

Dati su vektori

Podseti se!

Nacrtaj vektor �tako {to �

a

b

����������

���������������

Uo~i i upamti!

Page 20: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

20 Tema 1. Vektori. Translacija

Koje su ti veli~inepoznate kao vektorskeveli~ine?

Takve veli~ine su: brzina, snaga,ubrzawe i dr.

Voda jedne reke te~e brzinom od 4 m u sekundi. Jedan ~amac polazi sa jedne obale,normalnoj drugoj obali, sopstvenom brzinom 3 m u sekundi.

7.

Odredi u kom smeru }e se kretati ~amac i kojom brzinom.

Prirodno je da veli~ine koje imaju karakteristike, osim brojevne vrednosti, jo{ isvoj smer da ih zovemo vektorske veli~ine.

Dati su kolinearni vektori a , b i c.Konstrui{i vektor:

a) m = a - b ; b) n = b - c.

3.

Nacrtaj dva vektora a i b tako {to �a� = 5 +,� a �b�� 3 +, i konstrui{i vektor

c = a - b .

4.

Prema crte`u koja od slede}ih jedna~ina ta~na:

a) b + a = c ; b) c - b = a ;

v) c = a - b ; g) c - a = b �

5.

Uo~i re{ewe i obrazlo`i. Po crte`u:

a) ���a ; � �b ; ��m � a - b ;

b) ���c ; � �b ; � �n � b - c .

B Upoznao si se sa vektorima, wihovim svojstvima i operacijama nad wima. Udaqem u~ewu matematike, fizike i drugih nauka uvide}e{ wihovu velikuprimenu.

Ako zapi{e{ da je du`ina u~ionice 10 m ili je danas temperatura +120S, tada je ovimpodacima potpuno odre|ena du`ina u~ionice i temperatura. Veli~ine kao {to su naprimer du`ina, povr{ina, volumen, masa, temperatura i dr., celosno su brojevimaodre|ene. Takve veli~ine se nazivaju skalarne veli~ine ili skalari

� �b

c

n

� �b m

a

a

b

c

Da li je dovoqan podatak ako ka`emo da vetar ima brzinu 20 km na ~as?6.

Nije dovoqan podatak. Karakteristika vetra je da on ima svoj smer koji mo`eda bude severan, ju`an, isto~ni i dr.

b a

c

Page 21: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

21Vektor. Operacija nad vektorima

Razmisli o re{ewu, a zatim sagledaj slede}ipostupak.

�� Sa vektorom v (�v� = -,) je pretdstavqena sop-stvenata brzina ~amca u mirnoj vodi.

�� Vektorom v� (�v�� = .,) je pretstavqena brzinana reke.

�� Smer vektora v je smer kretawa ~amca, a du`ina

vektora v predstavqa koliko metara u sekundise kre}e ~amac.

�� Izmeri koliko metara u sekundi se kre}e ~amac.

Da iska‘e{ definiciju i na~inoduzimawa dvaju vektora;

Da konstrui{e{ razliku dva vektora;Nacrtaj vektor a , a zatim predstavi gakao razliku dva vektora.

Treba da zna{:

Da objasni{ koji su skalari, a kojevektorske veli~ine. Nacrtaj dva kolinearna vektora, a

zatim odredi wihovu razliku.

�� Vektor v = v*v� pretstavqa brzinu kretawa~amca.

1.

Zadaci

Konstrui{i razliku:

a) a - b ; b) a - ) ;

v) ) - a ; g) ( a + b ) - ).

Dati su vektorite ��a , ���b i

##�) .

2.

Konstrui{i razliku:

a) a - b ; b) b - c ;

v) a - c ; g) ( a - b ) - c .

#�

ba

� �

��b

c�

a

v

reka

v�

v = v + v �

�v�

v

Dati su vektori � = a; �� = b i

�� = c .

Proveri se!

Dati su vektori a , b i c tako

{ta a i b su kolinearni vektori.

3.

Konstrui{i vektora

a

bc

Preko vektora a i b izrazi vektor

a) �; b) ��.

Nacrtaj pravougaonik ��� i stavi

��a , ���b.

4.

( a + b ) - c.

Page 22: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ����������� ���� ���������

� ����������������� ��������������� ����������������� �������������������

����������������

�������� ���� �������� � ����� � ��� ���� ����� �������������� �������� �������� ������ ����� �� ������ ����� ������� � � �� �� ���� �� ����� ����� � � ���� � ����������������������� �

��� ����������

���������

����������������������������� �� ��������� ��! �� ����!� ���������������� ����"

���������������������

�����������������

������������������������������������������

!��������������������������

"�����������������������������

�#�������

! � � � � �������������� ��#� ��$�������

�������������������

� ��

%�����������������������������������������

# � � � � � ������ �������� �����"

"������������������������&���������'� ��������������������#�����������������

%���������������������������������������(��������)�#����������������������������

$�������� ��� �������������������� ��������� �������%

*�������������������������#

�������������#���������

��� ��������������

��������������������#��������������������������������+���������� �������������#�������������

#��� �� ����� ������ �� ����� �� � �� �� ������ ���� ����� �� ���� ���������#����������������������

��

���

� �

��

��

���#������������������������������������

Page 23: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� ���������

������������������������������������������

�������!�������������������������������������� �

��

#������ ����� ������ �� �����"

� "������,��������������������������������������

� -�������������(������������������������������

-��������&�������������������

$��� �� ����� ������������� ������%$� ��� ����� ����� �� ����&�'�����������������

��� ����� � ��� � ��$���

��������������������������

.����� ����� ��� � ���&���� ���������������������

"�����������������������������&�����������������������������������������������&�������'#��������������(�������������������)���������

(����� � ����� ����� ���������&��� �� �� ������"

�������������� �������������������� �� ������� ������") ���� �� ����� ����� �� ������� � /� #� ����� ������ ���� ����������� ��*�"+���� �������������,���������������

������� �

�����

�����

� -�����������.�������������!���/����� ���������������� ��"����� �������������0������ ������ ����������������� �

� 0����������� ��������1������������������������������������

1����� �����0� ��� �� �������� � ������������������������ �����������������

��� ��������

2��*��������� �� ����� �����3

4��� �� ����&��� ����� ����� �����3

2�������� � ��� ���� ������������� ����������������� ��� �

��������

�������

����

Page 24: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ����������� ���� ���������

����!� �� �� ��!0��� ���� � �� � ������� ����!�0�"

���������������������������&���������'�

!�������������������������������������

��

#��� �� ����� ����� ��� � ���.� ��������"

� (�� ����������0���������� �������������������������� ������ ��������������)5���������� �������������������� ��������

���

������������������������#���������

����� ������������ ���'�� ����� ������������&���������������0� �0�"

������

��

���� ��� ���&���� ��������&������'�

��

+ ��$���������������������#������

������������

����

-������$���������������������������������

���

������� ����������

1*����� ����� �������� � ����� ������� �����"4��� �� ����&��� ����� ����� �����%

������������������������ �������

������#��������

!����������������������

�����������

��������� � ��

(����� ��� ������0� ��������� ������������������������ �����"

1����������� �������������� ��*�������� ����������� �������������� ��� �

2� ��������������������� �������������������� ������������������

(��� ���� ������� ����/

��

��

�� %��� �������������#����$����������$�$�����

���� ���� #� ����� ��� �����$�������� ���$����� ��� ��

)�)���������������������������

2$����������#��������������������������� ������#�������������

�����

������� �������

��

�� ��

���

�-����� ���6������� ��� �� ��!��� ���� ����%

Page 25: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� ���������

����!��� ����!0��� � ����� �0��������� �����

(��� ���� ������� ������������"

� ����� 00 � � ��� �� ��������������0���0�� ��� ��� �������� ������ 00� � ����

+����0�����7���� ���0������*���������� ������� �� �� #�6����������������������0���0�"

#����� �� � ���.� ��������"

� -��������������������������������&����������'��������������������������������

0�������� ��!�0�� ������������08� ���� ���� ������ ����������0� �������� ��������

���

�����08.������� �'����������0���� ����' � �����"

)�#�������������������������������������(�$��� ��� �

� � �������������

���� � �� � �������� �� �������������� 0���0� �� ���� � �����"

� 0����������������������������#�������������������������������������&%$� '!�����1� ��������������������������������������������������#������$������������������������ ��!0��� �� � ��� ��!�0�"

#����� ��!� ��������/

� $�� ����� ����� ����� ����� �� ������ ���� ������ � �������� ���� � ��"

��

��

�����������

� �

�� ��

��

+ ��$�������������� ��������������������������

� ���������������������������������������������

2���������������������

��������������������������������������+ ��$������������������������������������� �

���������

��

�������������� ������� ��$�������������� ���������� � �� ������ � ��� � ����� ��"�$����

�������������������

��

2���������������������������

��

� �

#����� �� ��� ����� ����� �����������&� �������������"

�����

�����

����������

��

Page 26: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ����������� ���� ���������

���� ��� ����� �� ����� � �� �� + ��$�����������������(������� �1

�'����������3����'����������������

��

�������������������������������������������������#������������4��+ ��$�������������������������� ����������

��

������

������������������������������������������������������� ����������

��

�������� ���� ��� �� ����� ����������������������� �1

�'����������������3

�'� ����������������

��

���������(�����������������+ ��$����������������(������� �

���������

��

9�����!����������������� ���������������������

������� �������� ����� ����� �� ��!� � ��������� �� ������ ����� ���" +��� .�� �������� �����������������

��������� ���� ���������������� �� �������������� ��������������� �����������������������-���������� ����������������������� ��������

���

5���������.���������

� 2�������������������������������6�(���������������������6�(�������������������)��

"������ ������������ �� ���������������� #� ����� �������� ��6�(������� ��� 7���.�8���

��������������9#������6�(�����������������6�(��������������������������

������������ ������������&������������'#����������������������� ����������������

�����������

2���!����*��� �!�� ������������� �������������� �

2� �������� �������� ����� ����� ���������"

��� ��������

�������� ������� �� ���)�� � ��$�� �����

�����������������������

��

��

��

��

-���� � ��� ����� ����� ���� ��������� ����� �� �������� �� ���� �� �����"

��������

"�$��#�����6�(��������������������������������������)��1�������#�����$������������������������������������������� �������������������������������������#

�������#���������� � ��� � �� �

������

��

��

��

Page 27: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� ���������

������ ����������

#����6����� ��� ���� ����� ����� ������ �����/

�'�����3 �'����3�'���������3 ('������3�'��(�3 &'��������3�'����(�3 �������������'�����������$����

��������

2��� � ��/

��������� �

��

�������� �(������ �� ����� ��� ��+ ��$�

������������������ �����������-�������� �������������� �� )�(��� �����������

#� ����. ����� ����� �� ����������.�*��� ������������7 ���������������� �� ������" $��� ����������� ����� ����� ' ���� ������������������"

�'���� �� � �� ���� ������������������ ���������3

�'������ ������������������������������� �������3

�'� ��� �� �� ������� ����� ��� ������� ���� ���� ��������� � ����� ��� ����������������� �� ��� ���������"

(��� ���� ����!�� ��������������� ��������������"

�'

��

��

��

��������������������

��������������������

��������������������

�'

��

��

��

��

���

�'

��

���

��

������� ��������/ ��� ���� ����� ������ �����6����� �� ���� ����� � �� ����6��������� �� ���� �� ���� ����� � �������� �������� �� �����"

��������������2������������������ ������������(������������������(����������

���������&����'��������������������������������������

��������������2������� ����������#������������������(���������������

�����������&����'������������2������������������������

"������������������������������������(�����,��$���� �����$�������������������

�������������������������&�)���'��

� �

���

Page 28: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ����������� ���� ���������

� ����������$�������������$�$����������������������������

���������$�����������$�$�������������������������������� �������������

�������� ����� ����� ����!� �� �� �*�� ���������7�� ��� ����� � 5:,�"

��

#����������������������������������!�"

��������������������������"(������ ��$�������������� �������������#���������&�'������

��$�������� ����������� �����%������(����� ��$�������������� ������������-��������(������������������� �����������(������������������������������!��� ���#���$�����������������������(��������

��%�$��������� %�$������������������

��� !��� ���#� �$���������������� �

����������������#������������ ������������������$�

������� ��� ��� ����� ���� ������ �� ������ �� ���

���������������������

��

����������� �� �� ������� ����� ���� ����!�"0�� ����������������� �������������� ����������

�������������

�����������������������������������%�$� ��2��������������������������������������

� ���

�� ��

� �

� �

���������������������

�,����������

Page 29: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ���������

������������

+ �������������������������������������������������&�'�

��

�����������������������������������&�'���

2� ������� ��� ��� ����� ������� � �� �������� �� ���!�� �� ������������������ �����"

��� ��������

���������������������������������������

������

$��������� ���!���� ���� ��� ������� ���� ����� � � �������� ������� � �������

������������������#��������������

��� ��������� ������$�� ����� ��� ��� ����������� ��� �������� �� ���� ������������ �

��������

-�������:�������������������������

$�����������!������� � ����������0� � ���� ������ ����� �!� �� ������������

���

� �

�� ��

���

��������

������

������

Page 30: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

� ����������� ���� ���������

�� � �������� ��������������� ���� �����

��

��

��

��

��

��

�� ����� ��1� �����0� �� ����� �0�#�$��� ��

������������0�������������������

�� �� ����� ��� !������ ����� �

���������������������

���

���

���

-� ���� ��� �� ������ ��!��� �� ������� �����%

2��� �� �� ������10"�� ������� �� ������ 1�0�� ���������� �� �� �������10"*� ������� �� ������1�0� �������������� �� �� ������10"

-� ���� ��� ������� ��!��� �� ���� �������%

��������������������0�������

������������#���������������

���������������������

����� ��� ��������#���� �� ������-������$������1

�'�������������

�'���������������

�����������������������������������#

�� �������������������������

�������

������������������ ��� ��� ��#��� ����������$�1

�'�������������;���3

�'�����������������

�������������� ��#� ��� ������� ��������� � ����� ������� ������$�����1

�'���������3 �'���������

����� ��� ������� �� ����� � �� �����+ ��$������������������������

����������

����� ��� �������� �&�#� �'#� ��&��#� ��'� ������� ���� -������$�� ������� ����������� � �#� ��� ��� ���� �������������� ��� 6������ � �������������

2��� �� ��� ���!������ ��� ���� ������" $��� ����� �������� ����������� ����� �� ���� �� �� ���������!���� ���� ��������� ����� ��������"

Page 31: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

31Stepen sa pokazateqem prirodni broj

TEMA 2. STEPENI. KVADRATNI KOREN

STEPEN GDE JE POKAZATEQPRIRODNI BROJ

1. Stepen 32

2. Pretstavqawe broja u obliku stepena. Izra~unavawe brojnog izraza 35

OPERACIJE SA STEPENIMA

3. Mno`ewe i deqewe stepena jednakih osnova 39

4. Stepenovawe stepena, proizvod i koli~nik 42

Sre}an

22 + 3 4- / ti

ro|endan

KVADRAT I KVADRATNI KORENRACIONALNOG BROJA

5. Kvadrat broja. Kvadratni koren 45

6. Izra~unavawe kvadratnog koren -

na nije obavezno

REALNI BROJEVI

7. Iracionalni brojevi 52

8. Skupovi realnih brojeva 54

Proveri svoje znaewe 56

�����������

Page 32: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

32 Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

Zbir istih sabiraka se kra}e zapisujekao proizvod.

3 + 3 + 3 + 3 = 4 3Zapi{i slede}e zbirove kaoproizvode:

36 + 36 =

120 + 120 + 120 + 120=

Jedan obojeni kru`i} nekapredstavqa amebu.

STEPEN11111STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ

A

1.

Ameba je jedno}elijski`ivi organizam. Ona serazmno‘ava prostomdeobom. Svaka ameba sedeli na dve nove amebe.

Zna~i, stepen 24 je kratakzapis proizvoda od 4mno`ioca, jednakih na broj 2.

Proizvod istih mno`ioca zapisuje sekra}e kao stepen.

6 6 6 = 63

Zapi{i slede}e proizvode kaostepene:

2 �2 2 2 =

18 �18 =

Uo~i broj ameba koje se dobijajurazmno`avawem jedne amebe.

Proizvod 2 �2 2 2 kratak zapis 24 (se ~ita"dva na ~etvrti#), a negova brojevna vrednost je16.

Zapi{i ~etvrtu deobu amebe kao proizvod jednakih mno`ioca.

Prva deoba

Druga deoba

Tre}a deoba

2 = 2

2 2 = 22 = 4

2 2 2= 23 = 8

Zapi{i kao stepen ~etvrtu deobu amebe.

Koliki je broj ameba, posle ~etvrte deobe?

an�����Stepen

�����Eksponent,stepenov

pokazateq

����� Osnovastepena

Zapi{i kao stepen proizvod: (- 3,2) (- 3,2) (- 3,2);

2. Pro~itaj stepen: 712.

Proizvodot od n jednakih mno`ioca jed-nakih broja a se ozna~ava sa an i zove sestepen na a, t.j.

Po dogovoru: a1 = a.

Podseti se!

Uop{te

^ita se: a na enti.

a a a a = an

n-puta������

Page 33: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

33Stepen sa pokazateqem prirodni broj

Stepen 34 zapi{i kao proizvod i izra~unaj wegovu vrednost.

Uo~i primere gde je izvr{eno stepenovawe.

B

3.

Operacija kojom se izra~unava brojna vrednost stepena nekog broja senaziva stepenovawe.

Koristi asocijativno svojstvo{to ti je najpogodnije.

� 34 = 3 3 3 3 = (3 3) (3 3) = 9 9 = 81

ili 3 (3 3 3)= 3 27 = 81

(- 4)2 = (- 4) (- 4) = 16

(- 4)3 = (- 4) (- 4) (- 4) = 16 (- 4) = - 64

� 17 = 1 1 1 1 1 1 1 = 1

(- 1)3 = (- 1) (- 1) (- 1) = - 1

(- 1)6 = (- 1) (- 1) (- 1) (- 1) (- 1) (- 1) = 1

� 06 = 0 0 0 0 0 0 = 0

Uo~i znak osnove i znakvrednosti stepena, a naro~itoda li je eksponent parni ilineparni broj.

Kolika je vrednost stepena saosnovicom 1, a koliko stepenasa osnovicom (-1)?

Da li vrednost stepena saosnovicom 0, zavisi odeksponenta?

Izra~unaj vrednost svakog stepena:

(1,2) 3 = ; (- 5) 4 = ; (- 3) 3 = ; = ; 00 = ; 16 = ; 71 = .

Slede}a tabela }e ti pomo}i da proceni{ kakav broj je vrednost stepena u zavisnostiod osnove stepena i eksponenta stepena.

Osnovica stepena Eksponent Vrednost stepena

Pozitivni broj

1

0

Negativni broj

Koji bilo broj

Koji biloprirodni broj

Pozitivni broj

1

0Parni brojNeparni broj

Pozitivni broj Negativni broj

1 Sam taj broj

��

�� � ��

�� ��� �� �

����

�� ��� �� �

����

�� ��� �� �

����

�� ��� �� �

�������������

�����

����

��

���

������

� � � � ��� ������������

� � � � � ��

Page 34: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

34 Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

[ta je stepen, osnovu (osnovicu) stepena ieksponent (stepenov pokazateq);

Da odredi{ brojnu vrednost stepena;

Odredi {ta je ta~no za stepen a1.a) a je eksponent, a n je osnova stepena;b) n pokazuje koliko je puta broj a uzetkao mno`ilac;v) vrednost a1 je pozitivni broj ako a<0i n je neparni broj.

Tvr|ewe koje za a1 nije ta~no ispravi izapi{i.

Treba da zna{:

Koriste}i pravila iz tabele, odredi kakav broj }e biti vrednost svakog stepena:

63; (- 6)3; ; 61; (- 0,23)1; 260; 1103; 020.

4.

5. Uo~i brojnu vrednost stepena (-2)3, izra~unatu digitronom:

Izra~unaj kalkulatorom:

3 3 = ; 0,5 10 = ; (- 1,2) 4 = ; (-136)- = ; 152 = .

Da odredi{ brojnu vrednost stepena;

Poku{aj da odgovori{:

Izraz -426 nije stepen, a izraz (-42)6 jestepen. Za{to?

Zapi{i svaki izraz kaoproizvod. Uo~i razlikume|u zapisima.

Problem sa algama

U jednoj ~a{i stoje alge. Alge su takve{to se za jedan dan wihov broj mo‘euve}ati za dvaput.Potrebno je bilo da se za 10 dana ~a{anapuni algama.

Za koliko dana je ~a{a bila napuwenaalgama do pola?Obrazlo`i svoj odgovor.

-2 yx 3 = -8 Ako kalkulator ima ili na tastaturi.

yx xy

-2 = 4 Ako kalkulator nema ilina tastaturi.

yx xy= -8

Proveri!

��

�� � ��

�����

�� � ��

Page 35: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

35Stepen sa pokazateqem prirodni broj

Odredi osnovicu i eksponent svakogstepena:

1.

Zadaci

3-�-3�.��34��-p�m��-x*.� p��-p0�.

Zapi{i kao stepen proizvode:2.

(- 2,5) (- 2,5) = ;

x x x x x �x = ;

(a + b)� (a + b) (a + b) = ;

6 6 6 6 6 = ;

(x + 6)� (x + 6) = .

Zapi{i kao stepen proizvode:3.

64 = ;

= ;

4.

(- 2)5 = ;

Proizvod 10.10.10, zapisan kaostepen je 103.

Odredi osnovicu i eksponentastepena 103.

PRETSTAVQAWE BROJA U OBLIKU STEPENA.IZRA^UNAVAWE BROJNE VREDNOSTI IZRAZA

22222

Podseti se!

Zapi{i stepen 106 kao proizvodjednakih dvocifrenih mno`ioca.

A 1. U tabeli su neke dekadnejedinice zapisane kao proizvod

Uporedi : broj nula u svakoj dekadnojjedinici, broj mno`ioca u proizvodu ieksponenta u zapisu kao stepen.

Uo~io sam da je broj nula udekadnoj jedinici jednakpokazatequ u wegovom zapisuu obliku stepena sa osnovicom10.

(- x + 3)3= ;

(- 2)4 = ;

�= ; (m3)4�= .

Izra~unaj vrednost svakog stepena:

(- 0,6 )7 = ;

= ;

Proveri svoj rezultatkalkulatorom.

istih mno`ioca i kao stepeni saosnovicom 10.

Dekadnajedinica

Proizvod Stepen

)) )) )�)))) )))) ).)))))))))) )5

)))))))))))) )3

(- 5)2 = ;

���

� ���� �

� �� � ������

�� ��� �� �

����

�� ��� �� �

���

�� ��� �� �

���������

��

�� ��� �� �

��

��� � ��

��

�� � ��

Page 36: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

36 Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

Zapi{i kao proizvod stepene 109,1011,1010

.

3.

Brzina svetlosti je 300 000 kilometara u sekundi. Zapi{i brzinu svetlosti kaoproizvod broja i stepena sa osnovicom 10.

Brojevi koji mogu da se zapi{u kao proizvod broja i dekadne jedinice, moguda se zapi{u i kao proizvod broja i stepena sa osnovicom 10.Na primer: 265.000 000= 265.1 000 000= 265.106.

4.

Masa Sunca je oko deset miliona puta ve}a od mase Meseca. Zapi{i masu Sunca uobliku stepena.

Zapi{i dekadnu jedinicu koja jejednaka stepenu 107.

Put koji prolazi svetlost u toku jedne godine se zove svetlosna godina. Kolikokilometara ima jedna svetlosna godina?

1 godina = 365 dana; 1 dan = 24 ~asa;1 ~as = 60 minuta; 1 minuta =60 sekundi;

Podseti se!

1 svetlosnagodina

Zapi{i svetlosnu godinu kao proizvoddva broja od kojih je jedan stepen saosnovicom 10 i pokazateqem 8.

Do sada si sagledao da veliki brojevi mogu da se zapi{u kao proizvod dvabroja, od kojih je jedan stepen sa osnovicom 10.Na sli~an na~in, mali brojevi mogu da se zapi{u kao stepen sa osnovicom0,1 ili proizvod broja i stepena sa osnovicom 0,1.

B U tabeli uo~i decimalnebrojeve koji su zapisani kaoproizvod jednakih mno‘ioca ikao stepeni sa osnovicom 0,1

5.

Masa Meseca je oko kilograma.

Ja imam 107 putave}u masu

Broj Zapis kao proizvod Stepen

)�) )�)� )��)�)) )�)�)� )�-)�))))�)�)�)� )�.

)�)))))�)�)�)�)� )�5

Zapi{i oblik stepena brojeva koji se sre}u u svakoj re~enici:2.

= 300 000 365 24 60 60 =

Masa Neptuna je oko �3

)))����)�����nuli

kilograma.��

������������������

Page 37: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

37Stepen sa pokazateqem prirodni broj

Svaki decimalni broj mo‘e da se napi{e kao proizvod dva mno‘iocatako {to je jedan stepen od o,1.

Zapi{i kao stepen sa osnovom 0,1 brojeve:0,0000000001 i 0,0000001.6.

Uporedi broj decimalnih mesta poslezapete u broju, sa eksponentom u zapisubroja kao stepen.

Uo~io sam da eksponent uzapisu kao stepen je jednakbroju decimalnih mestaposle zapete u broju.

Stepen sa osnovom 0,1 zapi{i kao decimalni broj.=

Napi{i slede}e brojeve kao proizvod celog broja i stepena sa osnovicom 0,1:

7. Uo~i primer: 0,007 = 7 0,001 = 7 (0,1 0,1 0,1) = 7 �0,13

0,3 = ; 0,0008 = ; 0,000362 = ; 1,05 = .

Potseti se!

Izra~unaj -*5 � �3 �� ��� ��

����

V Operacije stepenovaweje operacija tre}eg reda.

8. Uo~i preme{tawe brojevnevrednosti izraza

(816 - 6) : (-3)4 - (63 : 8) 2.

21

3

Ja sam tre}ired, ali naprvom mestu

Ali prvou zagradi.

Red operacijaBrojni izraz

(816 - 6) : (-3)4 - (63 : 8) 2

Zagrade 810 : (-3)4 - (63 : 8) 2 =

Tre}i red = 810 : 81 - (216 : 8) 2 =

Drugi red = 10 - 27 2 =

Prvi red = 10 - 54 =

Rezultat - 44

Ta~ke idupre crtice.

an+ -

������������� �������������

Page 38: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

38

Da napi{e{ velike i male brojeve u vidu stepena;

Da primeni{ redosled operacija pri-likom izra~unavawa brojevne vred-nosti izraza.

Povr{inu Zemqe, koja iznosi oko 510 000 000 km2, napi{i kao proizvod dva mno`ioca od kojih je jedan stepen sa osnovicom 10.Napi{i redosled kojim se vr{e oper-acije sabirawe, oduzimawe, mno`ewe, deqewe i stepenovawe u brojnom izrazu.

Napi{i brojeve koji se nalaze u svakoj re~enici ,kao proizvod dva mno`ioca, tako da je jedan stepen broja 10 (ili obratno):

1.

Zadaci

Uo~i brojevnu vrednost izraza 6:3+3.32. gde treba da se napi{u za-grade tako da bude ta~na wegova bro-jevna vrednost?

4.

Izra~unaj:2.

Odredi brojevnu vrednost izraza: 3.

Masa Jupitera je oko

Mars ima masu oko 6,4 1020 tonaU ~ovekovom telu ima oko 0,1 1015 }elija.

435 104 = ; 26783 102 = ;

6,9 102 = ; 0,45 103 = ;

15 0,13 = ; 0,392 0,12 = .

6 : 3 + 3 32 = 45; 6 : 3 + 3 32 = 9;

6 : 3 + 3 32 = 29.

Odredi brojevnu vrednost izraza:

a) 620 + 3 52 - 147 : (- 7)2 = ; b)

Kod obra~unavawa brojne vrednosti izraza, operacija stepenovawa se vr{i pre operacije drugog reda (mno`ewe i deqewe), a na kraju su operacije prvog reda (sabirawe i oduzimawe). Naravno, treba se obratiti pa`wa na zagrade.

�����

�� � ��

���������

�� � ��

������������������������

���������������������

� �

� �

��

���������

�������������������������

� ���� � �

� � �

� �� �

�����������

�������������������

������

Proveri!Treba da zna{:

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

Page 39: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

39

Stepen a n u oblikuproizvoda se pi{e

Predstavi kao proizvod jednakve mno`iteqe stepena

73 = ; (- 2)2 = .

MNO@EWE I DEQEWE STEPENA JEDNAKIH OSNOVICA3OPERACIJE SA STEPENIMA

Lak{e se pamti:

Uo~i da prilikom mno`ewa dva stepena sa jednakim osnovicama:

I ovo je lako, osnovicu prepisujem, a stepenove po-kazateqe sabiram.

Odredi proizvode: a4 a5; ( - 2)7 (- 2)2; (a - 3) (a - 3)6. 2.

Koji stepenovi pokazateq nedostaje u posledwem slu~aju datog u tabeli?

Predstavi vrstu stepena proiz-voda:

Osnova rezultata je ista kao i mno`ioca;Stepenovi pokazateq rezultata je zbir pokazateqa mno`ioca.

Proizvod stepena sa jednakim osnovi-cama je stepen sa istom osnovicom kao osnovice mno`ioca i pokazateqa jed-nakom zbiru pokazateqa mno`ioca.

am an = am + n

Zapi{i rezultat mno`ewa stepena: x5 x6 = ; ( - k)p (- k)m = .

Uo~i kako je izra~unat proizvod (x2 x4) x3 (x2 x4) x3 = (x2 + 4) x3 = x6 x3 = x6 + 3 = x9

3.

a m a n a p = a m + n + p

Razgledaj tabelu o mno`ewu stepena.

Mno`ewe stepena

Pisawe stepena kao proiz-voda

Proizvod stepena

23 22 (2 2 2) (2 2) =2 2 2 2 2

23+2 = 25

(-3)2 (-3) ((-3) (-3)) (-3) =(-3) (-3) (-3)

(-3)2+1 = (-3)3

= =

54 52 (5 5 5 5) (5 5) =5 5 5 5 5 5

54+2 = 5

��

� ���������������������� �

��

�� � ��

�����

�� �� �� �

������

�� � ��

�����

�� � ��

��������

������� ����������������������������������������

��������

������������ ����������������������������������������

���������������

���

� �� �� � �

���

� �� �� �

� ���

�� �� �� �

���

� �� �� �

� � � �

� � � �� �� � �� �� � �

� � � �

� � � �� �� � �� �� � �

� � � � � � � �

� � � � � � � �� � � � � � �

������ ������������������������������������������������

�������

Potseti se!

����

� � � ������������

� � � � �����������

� ��

��������������� ���

Page 40: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

40

Ako a, b i n su prirodni bro-jevi i n je deliteq brojevima

a i b, tada

Skrati razlomke:

Podseti se!

Primer: �

���

� � �

� � ���

�ili

razgledaj tabelu o deqewu stepena jed-nakih osnovica.

Deqewe stepena

Pisawe stepena kao de-qewe proizvoda

Koli~nikstepena

25 : 22

= 2 2 225-2 = 23

(-3)2 : (-3) = (-3)

(-3)2-1 = (-3)

57 : 53

= 5 5 5 557-3 = 54

96 : 9 = 9 9 9 9 9

96-1 = 9

Primeti da prilikom deqewa dva stepena jednakih osnovica va`i slede}e:

�Osnovica koli~nika je ista kao i osnovica deqenika i delioca;

�Stepenovi pokazateq koli~nika je razlika od pokazateqa deqenika i delioca.

Koji je broj stepenovi pokazateq koji nedostaje u posledwem primeru datog u ta-beli?

Lak{e se pamti:Koli~nik stepena jednakih osnovica (razli~iti od 0) je stepen sa istom os-novicom i pokazateqem jednakog razli-ci pokazateqa m i n, m > n, deqenika i delioca.

a m : a n = a m - n; m > n

uo~i izra~unavawe koli~nika (-6)5 : (-6)3 = .6.

ili skra}eno: (-6)5 : (-6)3 = (-6)5 - 3 = (-6)2.

Uo~i deqewe stepena jednakih osnovica kada deqenik i delilac imaju iste eksponente.

7.

Razlo`i stepen 69 na tri mno`ioca. Vide}e{ da ima tri re{ewa, ali ti napi{i samo dva.

4.

Proizvod jednog mno`ioca i a7 je jednak a97. Koji je taj mno`ilac?Koji broj je stepenovi pokazateq koji nedostaje u mno`ewu 63 6 = 612 ?

a � 0

������ � � � � �

� �

� � � ��

������������ ��������

������������� �� � ��

� ��

� ������� ��������������

������� � � � � � � �

� � �

� � � � � �� �

���������������� ��������

������� � � � � �

� � � � ��������������������� ��������

�����

�����

��

��� �

� � �

�� �

���

��

��

��������������������������������������������������������������������������

��

� �� �� � ���

���

� �� �� � ��������izra~unaj:

���������������� �

� ��

� ��

���

���� �

� �� � ��

� ��

� � ��

�������������������������

� ��

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

��� � �

� � ��

Page 41: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

41

���������������

� ��

� ��

��

���

� �

� ��

� �� � ��

�� � �

�� �

� ����

��������������������� �����

��

� �� �� � ���

���

� �� �� � ��������

Uo~i deqewe stepena jednakih osnova kada je pokazateq deqenika broj koji je mawi od pokazateqa delioca.

8.

Izra~unaj:

Odredi koli~nik:

Da ka`e{ i primeni{ pravila:Ka`i pravilo o mno`ewu stepena jednakih osnova.Objasni kako se dele stepeni jednakih osnova.

� Ako � 0 tada ise, an : an = . jer su brojilac i imenilac jednaki.

� Ako primeni{ pravilo o deqewu stepena jednakih osnova, dobi}e{:: an : an = an - n = ao

Uvidi da si u prvom slu~aju dobio 1, a u drugom a0

Koji broj je koli~nik prilikom deqewa dva stepena jednakih osnova (razli~iti od nule) i jednakih eksponenata?Koja je brojna vrednost stepena sa kojom bilo osnovom a � 0 , i eksponent 0?

smatra}emo da ao = 1

� am an = am + n, m, n � N;

� am an = am - n, a � 0 i m > n;

� ����������������

� a � 0 i m < n;

� an an = a 0 = 1, a � 0 i n � N.

Izra~unaj proizvode stepena:1.

Izra~unaj brojnu vrednost svakog izraza:

4.[ta treba da se upi{e u prazne kva-drati}e da jedna~ine budu ta~ne:

2.

Izra~unaj koli~nike stepena:3.

x5 �x15 ��������

a6 � 9��a15�

174 : 172 = ; 1,14 : 1,1 = ;

y100 �y2 �������� 615 �6100 ��������

x3 �x5 �x2�������� (-b) �(-b)5 �(-b)10���������

7 � 7100 = 7135;

p4 �p 4��p10?

x9 : x12 = ; 35 : 318 = ;

126 : 126 = ; a3 : a3 = .

= ; = ;

2 32 - 6 + 5 (75 : 72) = .

������������

����

������������������������������������������������������������� ��������� ����������������

� �� �� � ���

���

� �� �� � ��������

� �

� �

���������

� �

��

� �

���������

��������������

��������� ��� �����������

��������������� ���

Zadaci

Proveri!Treba da zna{:

Page 42: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

42

broj bakterija se u nekom proizvodu dvaput pove}ava na svakih 6 minuta.

Koliko bakterija }e imati taj proizvod za 1 ~as, ako je na po~etku imao jednu bak-teriju?

Stepen a3 se pi{e kao proizvod ovako:

a3 = a a a

Napi{i stepene kao proizvod:

STEPENOVAWE STEPENA, PROIZVOD I KOLI^NIKSTEPENOVAWE 4

Napi{i pravilo o mno`ewu stepena jednakih osnova.

Zapis (23)4 predstavqa stepen.

[ta je osnova, a {ta eksponent stepena?

Uo~i da 23 predstavqa osnovu stepena, a zapis (23)4 -stepenovani stepen.

Zapi{i stepen (23)4 kao proizvod jed-nakih mno`ioca.

Stepen zapisan kao proizvod je(23)4 = 23 �23 �23 �23

Lako je!(23)4 = 23 23 23 23 =

= 23+3+3+3 = 212.ili (23)4 = 23 4 = 212.

Mo`e{ li stepen (23)4da napi{e{ kao stepen sa osnovicom 2?Mo`e{ li da uvidi{ skra}eni na~in za stepenovawe stepena(23)4 ?

Stepen se stepenuje tako {to se os-nova stepena stepenuje sa proizvodom stepenovih pokazateqa.

Zna~i, osnova se prepisuje, a eksponenti mno`e.

Uo~i primer: : (x4)2 = x4 �2 = x8.2.

6.Koliko-bakterijaima

Izra~unaj koliki je koli~nik �

�� k = 2 za k = -25.

(a m)n = a m n

���������������

����

� �� ��� �� �� �� � ��������� ����������������Stepenuj stepene:

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

� ��

��������������� ����

��

� �� �� � ��������

������� ����������

Potseti se!

Page 43: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

43

Odredi brojnu vrednost :a) (3 5)2 = i b) 32 52 = .

Uporedi svoje re{ewe sa datim: a) (3 5)2 = 152 = 15 15 = 225. b) 32 52 = (3 3) (5 5) = 9 25 = 225.

[ta si zakqu~io o brojnim vrednostima a) i b)

Uo~i da je (3 5)2 = 32 52 .

Zna~i: proizvod stepenujem tako {to stepenujem svaki mno`ilac i dobijene stepene mno`im.

Uop{te, stepen proizvoda je jednak proizvodu stepe-novanih mno`ioca datim po-kazateqem, tj.

Razgledaj primere: a) (x y)3 = x3 y3; b) (p4 k)2 = (p4)2 k2 = p8 k2.5.

Stepenuj proizvode:

a) (a b c)10 = ; b) (4xy)2 = ; v) (-ax)4 = ;

g) -(ab)6 = ; d) (7x2)6 = ; ; |)

���

� �� �� �� �� �� � � ����������

Odredi brojnu vrednost:

Uporedi svoje re{ewe sa datim:

{ta si zakqu~io o brojnim vrednostima a) i b)?

Uo~i da je�

��

� �� �� � ��

��ili (2 : 3)3 = 23 : 33.

3.

Uprosti izraze: � ��� �

� �

��� ; (-4)8 : ((-4)2)4 = .

(a b)n = an bn.

�� �� �� � ���

����

� �� �� �� �� �� � ��

���

� ���

�� �� �� � ��

���

���

� �� �� � ���

� ���

� �� �� � ���

��

� �� �� � �

���

��

� �� �� � ��

���

���

��

� � �

� �� �

����

���

���

� � �

� �� �

���

���

Razgledaj primer:

���

��

� �� �� �

���������

��������������� ���

� ��

� ��

� ��������������

� ���

Page 44: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

44

Razgledaj primere: 7.

v) (c : 2)3 = ; g) (x3 : y7)2 = ; d) (2m : 3n)4 = .

Uo~i upro{}avawe izraza (x4)3 : x2 primenom operacija sa stepenima.

(x4)3 : x2 = x4 �3 : x2 = x12 : x2 = x12 - 2 = x10.

8.

Izra~unaj vrednost brojnih izraza:

a) (32)3 = ; b) (2 3)4 : 33 = ; v) ((-4)8 : (-4)4) : (-4)2 = .

9.

Date izraze napi{i kao stepene sa osnovom 2, ali predhodno razgledaj re{eni primer.

a) 27 : 42 = ; b) = .

10.Primer:164 : 83 = (24)4 : (23)3 = = 24 4 : 23 3 = 216 : 29 = 216 - 9 = 27.

Da ka`e{ pravila o stepenovawu proizvoda, koli~nik i stepen

Da primeni{ postupke za stepenovawe proizvoda, koli~nika i stepena u zadacima.

Izvr{i stepenovawe svakog izraza:

Stepenovawe proizvoda

(a b)n = an bn

Stepenovawe koli~nika

(a b)n = an bn; b � 0Stepenovawe stepena

(am)n = am n

= ; = .

Uprosti izraze:

��� �� �

��

� �

������������b) (y13 y) : (y7)2 = ; v) (b4)3 : (b4 b3 b2) = ; g) (2 3)4 : 63 = .

Zna~i, kada stepenujem koli~nik, stepenujem deqe-nika i delioca (ili brojioca i imenioca) posebno i dobi-jene stepene delim.

Uop{te, stepen koli~nika je jednak koli~niku stepenova-nog deqenika i delioca sa datim pokazateqem, tj.

= ; b � 0.

(x3y4)5 = ;

� �� �� �

���

���

�����������

� ���

�� �� �� ��

��

����

��

��

� �� �� ��

���

� �� �

��

��

����

� �

� ��

��

���

��

��

����� �

� �� �

�������������

��� �

� �� �������������

� �

� �

����������

b)

b)

Stepenuj koli~nike:

���

��

� �� �� � ��������������������

��� �

� �� ������������

�� �

� �

� ��� �� � ����������

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

Treba da zna{:

Proveri!

Page 45: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

45

Izmeri i napi{i du`inu strane kvadrata na crte`u.

KVADRAT BROJA. KVADRATNI KOREN5

Napi{i koli~nik kao stepen: 3.

Odredi vrednost izraza:5.

Napi{i stepen a18, kao stepen sa osnovicom:

a) a2; b) a6; v) a9

4.

Date proizvode stepena, napi{i kao stepen proizvoda.

6.

a) a2b2 = ; b) 36x6 = ;

v) x8 y4 z12 = ; g) 8x9 y6 = .

P = a a

a

a

Izra~unaj proizvode:

Napi{i kao stepen proizvode:

a) 7 7 7 = ; b) = ;

c) 6 6 = ; d) (-0,5) (-0,5) = ;

e) x x = ; f) ab ab = .

Stepenuj proizvode:

(a3b)2 = ; (x4y3)7 = ;(ay3b5)2 = ; (7a6b4)9 = .

1.

Stepenuj svaki koli~nik

2.

Proizvod dva jednaka mno`ioca se zove kvadrat tog mno`ioca.

����������������������������

���

���

���

��������

������������������������� �������������������������

!����������������������"�����������������

a) b)

v) g)

d) e)

��������������� ����� ����� �� ������

Zadaci

� �� � �� �� �

������ �

� � � �� �������

� �����

��

����������

��

�� �

� ��� �� ��� �

� ��# ������������

��

� ��� �� ��� �

� ��# �����

KVADRAT I KVADRATNI KOREN RACIONALNOG BROJA

�����

Potseti se! � ��

Izra~unaj povr{inu kvadrata i napi{i je u mm2

Izra~unaj povr{inu kvadrata sa

stranom �

��

����

�� �

� �

� �� �� � �������������

�� �

� �� �� �� �

���������

���������������������������������������

����

���������

Page 46: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

46

Napi{i ga u obliku proizvoda od dva jednaka mno`ioca:2.

Izra~unaj: 62 = ; = ; (0,1)2 = ; (-0,1)2 = .

Kvadriraj svaki broj: 2; -2; 1; ; 2 ; -10.

Izra~unaj napisane kvadrate:

32 = ; = ; = ; 02 = .

3.

Uo~i da je svaki od primera pozitivan broj Bilo koji racionalni broj x razli~it od

nule, broj x2 je pozitivan broj, a je 0 za x =0.

Uo~i primere za kvadrirawe digitronom:4.

a) 72 =

7 = 49

b)

Kvadriraj digitronom: a)1232 = ; -462 = ; b) (0,3)2 = ; = .

Izra~unaj vrednosti brojevnih izraza, a zatim proveri digitronom

a) 4122 - 5 792 = . b) 40,42 - 10 2,282 = .

Povr{ina jednog kvadrata je 81 cm2.

Odre|ivawe brojevne vrednosti kvadrata broja, se zove kvadrirawe. Uop{te, koji bilo racionalni broj x, proizvod x x , kratko se pi{e kao stepen x2.

x x = x2 (~ita se: iks na kvadrat)

x2 je kvadrat racionalnog broja x.

Odredi du`inu strane kvadrata.

1 =-0.2 5 � 0.04

����������������!������������������������������������������������������

��

� ��� �� � ���������

�����������������

��

� �� �� � ����������������"�������������������"�����������

���������"����

������

����#"��

�����������������

��

� �� �� � ��������������

���

� �� �� � ��������������������������

$ %�

��

� �� �� � ��

��

��

� �� �� � ���������

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

�����

� ��

Page 47: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

47

Zna~i, treba da odredim vrednost x, tako da x2 x2 = 81 Za x=9, ta~no je da 9 �9 = 81, ali i za x =(-9) ta~no je da (-9)=81.Po{to je du`ina uvek pozitivan broj, sledi da je strana kvadrata 9 sm.

Razgledaj primer: Brojeve 4 i -4 su re{ewa jedna~ine x2 = 16, tako {to 42 = 4 4=16 i (-4)2 =(-4) �(-4)=16

6.

Proveri da li su brojevi i re{ewa

Odredi re{ewa:

a) x2 = 1; b) x2 = .

7.

= a Ja sam pozi-tivan.

Odredi samo pozitivna re{ewa jedna~ina: a) x2 = 25; b) x2 = 9; c) x2 = 144.

Ne negativno re{ewe jedna~ine x2 = a; a � 0, zove se kvadratni

koren a i pi{e se a

Znak je znak za kvadratni koren, a

u zapisu a , broj a je osnova korena ili veli~ina ispod korena.

Ja imam dva re{ewa.

2

Povr{ina kvadrata je x2 = 81. Da bi izra~unao stranu kvadrata ,treba da izra~una{ jedna~inu x2 = 81.

Neka je du`ina strane kvadrata x . Povr{ina kvadrata je P = x x ili P = x2 .

81 cm2

x

x

Koji broj je kvadratni koren od: 49, 25, 16 i 9.

Razgledaj primer: �$ %

&' ( zato {to

�� �� �

� � � �� � �

Doka`i da su ta~ne jednakosti: 10.

������

���

��

�� �� �� �

�����

��

����

��������������� ����� ����� �� ������

� ��

)�� ��� �������������� ��� ���""��������� �� ����������� �� ��� ������

Uo~i

Uo~i crte`

Page 48: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

48

Da odredi{ kvadrat racionalnog broja;Izra~unaj:

32 = ; (1,6)2 = ; (-0,3)2 = .

Proveri da li je �

�re{ewe jedna~ine

����

��

Izra~unaj:

a) (16 - 13)2 : 2 = ;

b) 82 + (4 8 : 4) = ;

v) = .

1.

Proveri da li je ta~no: � �� ����

Uo~i i obrazlo`i datu {emu.11.

Zna~i, da bi izra~unao kvadratni koren od a, treba da odredim ne negativan broj b ~iji kvadrat je jednak broju a .

Upamti! a = b (a � 0), akob2 = a (b � 0).

Izra~unaj brojevnu vrednost izraza: 12.

Razgledaj primere za odre|ivawe kvadratnog korena kalkulatorom. 13.

Izra~unaj kalkulatorom:

Proveri rezultate sa kvadrirawem.

Da odredi{ re{ewa jedna~ine tipa x2 = aDigitronom da izra~una{ kvadrat i kvadratni koren broja.

Odredi x u jedna~inama:

a) x2 = 144; b) 2x2 = 72; v) + 2 = 20.

2.

Izra~unaj du`inu strane kvadrata koji ima povr{inu 324 cm2 .

3.

!��� � ��������� ����� � ��������������

�����������

%'

($��� ��� ���������

�� �������������� ��� �������������� ��� �������������� ��� �������������� ����� ���������

��

����������

�� � �� � �

� �� � ��������

�� � � � �� ���� ��� �b)

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

Kvadratni koren

Kvadrat

Zadaci

Proveri!Treba da zna{:

Page 49: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

49

Ja znam da izra~unam kvadrat broja na druga~iji na~in!

Uo~i kako su izra~unati kvadrati:

22 = 3 1 + 1 = 4; 32 = 4 2 + 1 = 9; 42 = 5 3 + 1 = 16; 52 = 6 4 + 1 = 25.

Otkri koje je pravilo za izra~unavawe.

Napi{i: 62, 72 i 82 na ovaj na~in. Izra~unaj 192, 312 i 992 koriste}i dati postupak. Proveri svoje rezultate sa kvadrirawem.

IZRA^UNAVAWE KVADRATNOG KORENA -nije obavezno 6

Sagledaj podatke u tabeli.1.

Koliko cifara ima kvadratni koren broja:

a) 5625 ; b) 1 000 000 ;

v) 625 108?Izra~unaj digitronom i proveri svoj odgovor bro-jeva a) i b).

��������������� ����� ����� �� ������

Podseti se!

Koriste}i vrednosti iz tabele, izra~unaj:

U tabeli su date vrednosti broja a. Odredi kvadrate tih brojeva.

aa2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 100

= ; = ; - = ; �� = .��� �������� ��� �������� ��� �� ��� ������� �� ��� ��� ��������

Treba da zna{ da proceni{ koliko }e cifri imati kvadratni koren datog broja.

Trocifreni ili ~etvorocifreni

= 11

= 60dvocifreni

Broj a

Jednocifreni ili dvocifreni

= 3

= 5

Kvadratni koren Primer

Jednocifreni

Petocifreni[estocifreni

= 101

= 800Trocifreni

. . .

��� ����

���� ����

� ��

�� ���

����� �����

������ �����

Page 50: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

50

Pa`qivo primeni primer 1. nau~i}e{ da ra~una{ kvadratni koren broja bez digitrona.

Primer 1.

� Data veli~ina ispod korena se deli na klase sa desna na levo po dve cifre u klasi ( prva klasa u levo mo`e da ima i jednu cifru).

Prva cifra korena od broja je cifra 3 i dobija se kao broj ~iji kvadrat je najbli`e do 11 i mawi od 11 (prva klasa sa leva). Zatim se od prve klase oduzima kvadrat broja 3, tj. 3 3 = 9

Do dobijene razlike 2 (11-9=2) s desna se zapisuje naredna klasa (97) i dobija se broj 297 od koga se odvaja posledwa cifra (7).

Dvocifreni broj 29 se deli sa dvojnim proizvodom prve cifre od rezultata, 3 2 = 6.

Pritom, 29:6=4 i broj 4 je druga cifra od rezultata.

Cifra 4 se dopisuje do 6 (dobija se 64) i tako dobijeni broj se mno`i sa 4, a dobijeni proizvod se oduzima od 297.

Do razlike od oduzimawa (297 - 256=41) zapisuje se naredna klasa (16).Dobija se broj 4116 od koga se izdvaja posledwa cifra - cifra 6 (dobija se broj 411) i tako dobijeni broj se deli sa dvojnim proiz-vodom broja od prve i druge cifre korena (34 2 = 68). Pritom se dobija (411:68=6) tre}a cifra korena. Ona se dopisuje do 68 i tako dobijeni broj se mno`i sa wom; dobija se (686 6 = 4116) proizvod koji se oduzima od datog broja. Ostatak od ovog deqewa je = 0.

= 3 - 9 2

= 34 - 9 29 7 : 64 4 - 25 6 41

= 346 - 9 29 7 : 64 4 - 25 6 411 6 : 686 6 - 411 6 0

Primer 2.Za decimalni broj je sli~an postupak.Jedina razlika je {to deqewe klasa je u dva smera: od deci-malnog zareza ulevo po dve cifre i udesno po dve cifre.Ako posledwa klasa sa desna ima samo jednu cifru, dopisuje se 0.

Uo~i da pre nego {to se spusti prva klasa decimala, u rezultatu se stavqa zarez.

�����

�� �� ��

�� �� �� ����

�����������

�� �� �� �����

��������������������������������������

�� �� �� ������

�������������������������������������� ������������������ ����������������

� ����� �������

������ ������������� ������������������������������������������

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

Page 51: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

51

Ako posle spustawa posledwe klase ima ostatak, postupak mo`e da se produ`i, tako {to dodaje{ klasu od dve nule, a u rezultatu stavqa{ zarez.

Primer 3

Daqim dodavawem klase od dve nule postupak mo`e da se produ`i.

Kvadratni koren broja izra~unava{ do odre|enog broja decimala.

= 25,59 � 25,6- 4 25 5 : 45 5- 22 5 300 0 : 505 5 - 252 5 4750 0 : 5109 9 - 4598 1 1519

Izra~unaj:

U slu~aju pod v) zaokru`i rezultat na jednu decimalu.

Da odredi{ kvadratni koren datog pozitivnog broja.

Izra~unaj:

Koliko cifara ima broj koji je kvadratni koren od petocifrenog broja?

Odredi i proveri rezultat digitronom.

Odredi brojeve ~iji je kvadrat izme|u: a) 4 i 9; b) 9 i 16

1.

Obrazlo`i odgovor.

Napi{i po dva cela broja najbli`a do vrednosti slede}ih kvadratnih korena:

2.

Proveri da li je ta~no3.

Proveri koja je jedna~ina ta~na:4.

Koliko je obim kvadrata ~ija je povr{ina 25 cm2

5.

2.

��������������� ����� ����� �� ������

Zadaci

Proveri!

Treba da zna{:

�� � � � �� � � �

�� �� �� �� ��� � � �

�� �� � �� �� � � �

� ��� ��� ��� ���� � � �

�� � �� � ��� �

&' (

&** &* �

�� ���� ������������ ����� ����������������� �� ��� ������������ ������� ���������

��� �� ������������ ��� ������������ � ���������

� ������������� ��� ��������

����

� ��

Page 52: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

52 ����������� ��������� �����

Racionalni brojevi su brojevi koji moguda se napi{u u obliku razlomka

ab , gde a i b su celi brojevi i b � ).

Skup racionalnih brojeva se ozna~ava

� i ��� �a�b���b�)��

IRACIONALNI BROJEVI77777REALNI BROJEVI

Podseti se!Jedan kvadrat je povr{ine od 2+,2. Kolika je du`ina wegovestranice?

A 1.

Uo~i re{avawe.Po{to %= a2, brojevna vrednost du`inestranice je broj tako {to

a2 =2 ,tj.

Svaki racionalni broj mo`e da sepredstavi kao kona~an decimalani brojili periodi~ni decimalni broj.

Brojevi:

a) 15; 4,27 su kona~ni decimalnibrojevi;

Su periodi~ni decimalni brojevi.

Procenom i proverom mo`e da se odredi:

Zna~i, du`ina stranice kvadrata je,,broj,, izme|u �.�.��

Digitronom mo`e da se izra~una da je

� 1,4142135..., t.j. je beskona~noneperiodi~ni decimalni broj.

Svaki decimalni broj koji imabeskona~no decimala ineperiodi~an je, zove seiracionalni broj.

Tako, je iracionalni broj.

I brojevi: itd prikazuju se kao beskona~nidecimalni brojevi koji suneperiodi~ni, pa su i oniiracionalni brojevi.

Iracionalne brojeve kao decimalne brojeve zapisujemo kao pribli`ne vrednosti.

Uz pomo} digitrona odredi pribli`ne vrednosti iracionalnih brojeva u oblikudecimalnih sa dve decimale.

2.

Skupovi iracionalnih brojeva se ozna~avaju slovom 6.

< 2 zato {to 12 = 1 i 22 = 4. Prema

tome nije cel broj.

Ali da li je celi broj�

Po{to se svaki racionalni broj predstavqa kao kona~an decimalni broj ili beskona~ni

periodi~ni decimalni broj, mo`emo da zakqu~imo da nije racionalni broj.

����

��������������

�������������

���� � �

��� �

������ � ������������������ � ������������

��� �

� �

�� � �� � ��� � ���

��������� � ���������� ���������� �� ��������

Page 53: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

53Realni brojevi

Koriste}i vrednosti od proceni vrednost i proveri digitronom da lisi dobro procenio.

3.

Proveri da li va`i nejedna~ina )!4.

Odredi pribli`nu vrednost:5.

preciznost sa 1 decimalnim mestom;

preciznost sa dva decimalna mesta;

Da li postoji du` ~ija du`ina ima merni broj �6.

Strana kvadrata 7�� ima du`inu 1 +,, wegovapovr{ina je % 7��=1 1=1.

Dijagonala kvadrata 7�� je strana kvadrata ���.

Mo`e da se vidi da kvadrat ��� ima dvaputve}u povr{inuod povr{ine kvadrata 7��, tj.

Podseti se na zadatak 1. Kvadrat

povr{ine 2 ima stranu du‘ine �

Odredi du`inu strane kvadrata ���, akoje povr{ina �+,�� Zna~i postoji du‘ du‘ine

, a ona je �.

Razgledaj crte‘ i vidi obrazlo‘ewe.

��

Iznad du`i � se konstrui{ekvadrat. Wegova je povr{ina�Dijagonala kvadrata (wena du`ina) seprenosi na brojnoj pravi.

Rastojawe od O do dobijene ta~ke u

pozitivnom smeru je � a u

negativnom smeru je �

Mo`e{ da vidi{ da�

B Ako `eli{ da zna{ vi{e....

Uo~i kako je na brojnoj pravi predstavqen iracionalni broj �7.

� ��� � �

��� ������

��

+ ���

�������+ ���

������"�����

��

���� � ����� ������ � ������

�� ��

� �

� � �

� � �� ����

� � �

� ,

Page 54: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

54 ����������� ��������� �����

SKUPOVI REALNIH BROJEVA88888Podseti se!

& je skup racionalnih brojeva:

& = � �a�b���b�)��

Odredi kom skupu brojeva pripada vrednost svakog brojnog izraza.

vrednosti izraza a), b), d) i ‘) su elementi ��Vrednosti iz a) do |) i ‘) su elementi skupa ��

Primeti da:

Vrednosti svih izraza od a) do z) su elementi skupa��

Odredi re{ewe jedna~ine Da li jedna~ina 22=3 ima re{ewe koje je element skupa ��

2.

Uo~i da 22=3 ima re{ewe

je iracionalni broj i nije element skupa

Kom skupu pripadaju brojevi:

�je skup prirodnih brojeva: ������-�.�5������8 je skup celih brojeva: 8�������-������)����-������

A Dosada si nau~io da sabira{,oduzima{, mno`i{ i deli{brojeve, da odredi{ stepen ikvadratni koren broja.

1. Izra~unaj:

a) 106 - 95 = ; b) 47 102 = ; v) 316 + 316 = ;

g) 9 - 15 = ; d) 135 : 5 = ; |) 816 - 816 = ;

e) 1 : 2 = ; `) 63 = ; z) 1 : 3 = .

Koji se broj naziva iracionalni broj.

Napi{i 4 broja koji su iracionalni.

Treba da zna{:

Zadaci

Koji su od brojeva

iracionalni?

1.

Predstavi brojeve na brojnoj pravi:2.

3.

Proveri re{ewe izra~unavawemkvadratnog korena digitronom.

Zaokru`i na dva decimalna mestairacionalne brojeve koji su dati ubrojnim izrazima.Odredi brojnu vrednost izraza:

Proveri!

� �� � ��&

-�

&'

%'��� ���

����� � ������������� � ��������������

������ � ��������

��� �� ��� � ��������

������ � ��� � ��������

�� ��� ��� � ��������

����

�� ������� �

� � ���� � �

.

Page 55: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

55Realni brojevi

Prema elementima skupova: � -prirodni brojevi, � -celi brojevi, � -racionalni brojevii �-iracionalni brojevi, odgovori na pitawa:

3.

Da li svaki element skupa � pripada i skupu �? Da li svaki element iz skupa � pripada skupu �?

Da li svaki element skupa � pripada i skupu �? Da li svaki element iz skupa � pripada skupu �?Da li neki elementi skupa � pripadaju i skupu �?

Uo~i venov dijagram:

Za skupove ������� i � va`i: � � � i � � � = ��Skupovi ~iji elementi su svi racionalni iiracionalni brojevi se zove skup realnihbrojeva i ozna~ava se sa �.

�����

��

Odredi kom skupu pripada svaki od slede}ih brojeva:

3�3333��)�0/-4�

4.

Na brojnoj pravi predstavi brojeve: ����6.

Treba da zna{:

Koji brojevi su elementi skupa �;

Da li je ta~no:Ako je broj a element skupa celihbrojeva Z , tada je taj broj element iskupa Q i �. Obrazlo`i!

Dati su brojevi:1.

Zadaci

Koji brojevi su elementi skupa N?

Od onog {to je navedeno, {ta jeta~no:

a) je iracionalni broj;

b) - je realni broj;

v) je iracionalni i racionalni broj;

g)7 je prirodni broj, a ceo broj jeracionalni broj i realni broj.

2.

Da navede{ primere realnih brojeva.

Koji brojevi su elementi skupa Z?Koji brojevi su elementi skupa Q?Koji brojevi su elementi skupa R?

BZa svaki realni broj postojita~ka na brojnoj pravi.

Na brojnoj pravi ozna~ene su ta~ke. Kojaod wih je pridru`ena racionalnom, akoja iracionalnom broju?

5.

-1 0

� �

- -

3

� �

-2-3-4-5 1 2 3 4 51,5

Proveri!

�������������������������� ����

� ������

��������

���� � �������

��������

�� ����

���������� � ����

��������������� � �

��

Page 56: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

56 Tema 2. Stepeni. Kvadratni koren

U^IO SI O STEPENIMA, KVADRATNOM KORENU.PROVERI SVOJE ZNAWE

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Izra~unaj digitronom:

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Izra~unaj vrednost stepena saosnovicom (-5) i eksponent:

a) 4; b) 3; v) 1; g) 0.

Re{i jedna~inu:

a) -x��.0; b) x�*5�/3�

a) Predstavi ih u obliku stepenovihproizvoda:

3 3 3 3 3 3 = ;

(a - 1)(a - 1)(a - 1) = ;b) Predstavi ih u obliku proizvodastepena:

x7 = ; (-2)3 = ; (x - y)5 = .

Odredi proizvod stepena:

a) x4x-��b) �a+�-�a+���

Izraz napi{i kao stepen sa

osnovom x

13.

14.

15.

Koji broj je osnova, a koji eksponentstepena 53?

Napi{i broj u obliku proizvoda odprirodnih brojeva i stepen sa osnovom 10.

a) 25 000 = ; b) 7 050 000 = .

Napi{i broj u obliku proizvoda odprirodnih brojeva i stepen sa osnovom 0,1.

a) 0,00025 = ; b) 2,103 = .

Odredi brojnu vrednost izraza:

a) 8 - 22 3 + 4 = ;

b) 32 - (23 + 1) + 200 0,12 = .

Napravi stepenovawe proizvoda ikoli~nika:

a) (ab)3 = ; b) (2x3y)4 = ;

Odredi koli~nik stepena:

Napravi stepenovawe stepena:

Izra~unaj brojnu vrednost izraza:

Dati su brojevi:

Koji brojevi pripadajua) �� b) �� v) �� g) I� d) ��

�� � ��� ������������������� � ����� �������

���

���

� �� �� �� �� �� �� �

��������

�������� ��������� ���

�� � �� �

��������

� �

�� �

�������� � �������

������������� � ����� � �������

�� ��� ������� ��� � �� �������

������

��������� � ��� � ��������������

���� ���� ����������������

��

�������

Page 57: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

57Monomi i polinomi

TEMA 3. POLINOMI

MONOMI I POLINOMI

1. Izrazi 58

2. Monomi 63

3. Sabirawe i oduzimawe monoma 67

4. Polinomi 69

5. Mno`ewe i stepenovawe monoma 73

6. Sabirawe i oduzimawe polinoma 74

7. Mno`ewe polinoma sa monomom 76

8. Mno`ewe polinoma 78

9. Proizvod zbira i razlike dva

izraza 81

10. Kvadrat binoma 83

11. Deqewe monoma. Deqewe polinoma sa monomom 86

12. Delewe polinoma sa polinomom 88

13. Racionalni izrazi 90

RAZLAGAWE POLINOMA NAMNO@IOCE

14. Razla`ewe polinoma izvla~ewemzajedni~kog mno`ioca ispred zagrade igrupirawem 93

15. Razlagawe polinoma tipa

� - �� na proste mno`ioce 95

16. Razlagawe polinoma tipa � + � � + �� i � - � � + �� na proste mno`ioce 97RAD SA PODACIMA17. Prikupqawe podataka 99 Proveri svoje znawe 102

�������� ������������

Page 58: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

58 Tema 3. Polinomi

Kojim redosledom treba daizvr{i{ operacije u datimbrojevnim izrazima?

U datim izrazima, prvo treba daizvr{im operacije mno‘ewe ideqewe, a zatim operacije sabirawe ioduzimawe.

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

� -0- ��53*0��-.���.-5-��/-��4, tj. vrednost izraza je 7.

��. � 3 �. � � -0 � . � � � .- � -

= = =+ +

, tj. vrednost izraza je 3.

Broj koji se dobija posle vr{ewa svih operacija u datom brojevnom izrazu se zovebrojevna vrednost izraza.

2. Izra~unaj vrednost izraza�5 � .) � � 5

� ��

Koja je vrednost imeniocaizraza ? Da li tim brojemmo‘e{ da izvr{i{ deqewe?

Vrednost izraza 10:2-5=0, ne delise sa nulom, tj. deqewe sa nulomnema smisla.

Za brojni izraz u kome ima deqewe sa nulom, se ka`e da nema brojnu vrednost ilida nema smisla.

3. Odredi koji od navedenih izraza nema brojevnu vrednost:

Zapise�59.���4�5�-�0��*���3 - 1,75 : 0,5 + 3,8 2 su brojevni izrazi.

IZRAZI11111MONOMI I POLINOMI

Podseti se! Izra~unaj vrednost izraza:A 1.

3

���������������������������

� � �

� � �

� ��

��������� ������������������� �

�� �

�� �

�� �� ��

Page 59: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

59Monomi i polinomi

4. Izra~unaj brojevnu vrednost slede}ih izraza:

a) 12 - 2 5 + 30 : 6; b) 6 - 4 : 2 + 7; v) 52 - 3 8 + 18 : 3.

Koji izrazi imaju jednake brojevne vrednosti?

Uo~i da izrazi a) i v) imaju jednake brojevne vrednosti.

Brojni izrazi koji imaju jednake brojne vrednosti, ka`emo da su jednaki brojevniizrazi.

5. Dat je brojevni izraz: 5�- �*��.9 5��-�3������� Od ~ega je sastavqen datibrojevni izraz?

B Neka u

Uvidi da je ovaj brojevni izraz ( i drugi brojevni izrazi koje si u~io) sastavqen odbrojeva, znakova za operacije: sabirawe, oduzimawe, mno`ewe i deqewe istepenovawe sa eksponentom prirodni broj, kao i od zagrada.

Podseti se!

Brojevi: 5�-���.�5�-�3su konstante. Konstante su i: �pravi ugao Mo`eda se ka`e da su konstante ta~no odre|eni matemati~ki objekti.

Obim ravnostranog trougla seizra~unava uz pomo} izraza -a�Kojim simbolima je sastavqen ovaj izraz?[ta ozna~ava svaki simbol?

Mo`e li a da bude:

6.

Kolika mo`e da bude du`inastrane a?

Koje brojeve zamewuje slovo a, akoje wen merni broj, prirodan broj?

Koje nejedna~ine va`e za stranea�� i + u trouglu?Primeni ih prilikom re{avawazadataka.

Za strane trougla va`e nejedna~ine:

� Uporedi svoje re{avawe sa zadatim.

a !/*5�a !.�a :/-5�a :.�

Uo~i da je slovo a zamena za brojeve: 5�3�4�0�/�)���i -�

7. Neka je 2 oznaka za elemente skupa

Koje konstante zamewuje slovo

Uo~i da je slovo 2 zamena za brojeve: 1,2,3,4 i 5. Svaki broj je wena vrednost.

� /"�����!0�

������ ��������

��

��� ��������������������

���1������ ������2�� � ��

/"�����!��0

Page 60: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

60 Tema 3. Polinomi

Promenqiva je simbol (naj~e{}e slovo) koji predstavqa zajedni~ku oznaku zaelemente datog skupa..Skup se zove domen promenqive (naj~e{}e se ozna~ava sa �, a svaku wegov elementpredstavqa vrednost promenqive.

Ako nije zadat domen promenqive smatra}emo da je on skup R realnih brojeva.

8. Odredi domen svake promenqive u prethodna dva zadatka.

Uoo~i i zapamti

Konstante: 1, 2, 0, , ... su izrazi.

Promenqive: x, y, z,... , a, b, c, ... su izrazi.

Zapisi: 3 + 5 2, x*y��x�y-.�� i drugi, sostaveni od konstante i promenqive

uz pomo} znakova za operacije, su izrazi.

Ako u izrazu ima promenqive, tada se on zove izraz sa promenqivom.

9. Koji od slede}ih izraza je sa promenqivom:

Izraz sa promenqivom 52 -2 mo`e da se ozna~i sa A(

V 10. Izra~unaj vrednost izraza

Uporedi svoje re{avawe sa zadatim.x�-�x --��-���-��-��--�.*.--�5,

t.j. broj 5 je vrednost izraza

Datom izrazu sa promenqivom odgovara odgovaraju}i brojevni izraz, ako sepromenqiva zameni sa odre|enom vredno{}u; vrednost brojevnog izraza je brojevnavrednost izraza sa promenqivom.

11. Izra~unaj vrednost izraza

������� �

� �

���

���������� �������

���� �

��

� ���

����������

�����������������# �������

�����������������# �������

�������# ������ � � ��# ����� ������ ����3�

Page 61: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

61Monomi i polinomi

Iz tabele mo`e{ da uo~i{ da je skup vrednosti izraza A(2��2 ��.2 -5 u domenupromenqive , je skup

Skup vrednosti izraza

Za koju vrednost x��izraz ) nema vrednost?

13. Neka su dati izrazi:

Odredi skupove vrednosti A(

Uporedi skupove vrednosti A(2�i � (2 ). [ta prime}uje{?

Uo~i re{avawe ovog zadatka u tabeli.

x �x���x�

-2 -1 1 2

0 -1 3 8

0 -1 3 8

Prime}ue{ da za svaku vrednost x��� �x����x��

Izrazi sa promenqivom koji imaju jednake brojevne vrednosti, za svaku vrednostpromenqive od domena se zovu identi~ni izrazi.

14. Dati su izrazi �x��x�--x i ��x��x�x--�� a domenom ������-�.�.

Proveri dali su izrazi �x� i ��x� identi~ni.

Ako dva identi~na izraza se ve`u znakom za jednakost (=) dobija se jedna~ina koja sezove identitet.

15. Napi{i identitet iz zadatka br. 14.

12. Neka su dati izrazi: �

Odredi vrednosti

Uo~i u tabeli re{avawe ovogzadatka.

x �x�

��x�

-2 -1 0 1 2

7 0 -5 -8 -9

-1 -2 -5nema

vrednost

���������������������������

���

��������������# �����/����"���"��0�����

�����

��

���# �����/�����"���"0�������/��

���"������0�

��

�����������������������������

��������� &�����/#��#"�"��0�����

����/��� "���"��0 ����/ �������3���0�

Page 62: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

62 Tema 3. Polinomi

Da izra~una{ vrednost brojevnog izraza;

Izra~unaj brojevnu vrednost slede}ihizraza:

Treba da zna{:

Da razlikuje{ brojevni izraz od izrazasa promenqivom;

[ta je: konstanta, promenqiva i domenpromenqive.

Dati su izrazi: �x��3x--x� i��x��-x(2 -x), so domenom ������-�.�.Poka`i da je jedna~ina �x���� x�identitet.

Dati su izrazi: �x��-x-3���x��-�x��� i ��x��-�x-3�� pri {tox ��0����-�.�.

Odredi koja jedna~ina: �x����x�� �x����x�ili ��x����x� eidentitet.

1.

Zadaci

Izra~unaj brojevnu vrednostslede}ih izraza:

2. Odredi koji od slede}ih brojevnihizraza nema vrednost

3. Koji je od slede}ih izraza sapromenqivom

4. Izra~unaj brojevnu vrednost izraza x�--x*5 za x�-�.

5. Za koju vrednost �5 �5��

xx

nema

vrednost?

6. U skupu ������-�.� dati su izrazi: �x���x��.x i��x���x�x-��.Poka`i da su izrazi �x� i ��x�identi~ni.

7. Poka`i da je jedna~ina.x�-.�.� x���� za x ��0����-� , jeidentitet.

8.

Proveri!

�� � �

�� �

� ��

���� �

�� �� �

��

����������������� ��� ��

� ��� ������

����

��� � �

� �

� ��

� ����� � �

�� �� � �

�� �

�� � �

� ��

� ��� �

� ��

������ �� ���

� �

� �� �

���� � ���

� �� ��

�������� �������������

����

��

�� ��

� �

���

Page 63: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

63Monomi i polinomi

su

izrazi sa promenqivom.

Podseti se!

Dati su izrazi: 5A 1.

Od kojih je konstanti i promenqivihsastavqen svaki izraz?

Koje su operacije zastupqene udatim izrazima?

[ta su konstante, a {ta su promenqive uizrazima. 2x

Uo~i da su neki izrazi samo konstante, a neki promenqive.

Neke promenqive su napisane u obliku stepena.

Dati izrazi predstavqaju monome.

Monomi su: konstante, promenqive i izrazi koji su proizvod od konstanta i stepenapromenqive.

Odredi koji od slede}ih izraza su monomi i obrazlo`i odgovor.2.

Proizvod stepena sa istim osnovama jestepen sa istom osnovom i eksponentomjednakom zbiru eksponenata mno`ioca.

Podseti se!

Dat je monom .xy-x�y�.B 3.

Od kojih mno`ioca je sastavqenmonom?

Sa kojim mno`iocima u monomumo`e da se izvr{i operacijamno`ewe?

Odredi slede}e proizvodea4 a2; x3 x5 x.

Pomno`i sa istim osnovama u monom�a�a-b�b�

Uradi mno`ewe sa timmno`iocima.

Ako primeni{ komutativno i asocijativno svojstvo mno`ioca u datom monomu iuradi{ mno`ewe, dobi}e{ identi~an monom datom.

MONOMI22222

U drugim izrazima me|u konstantama i promenqivima ima samo operacija mno`ewe.

Op{to

������ �������������

���� �

� ���� �

���

����� �����

�������

���

� ��

������� ����������

�� ������

����

��

��������������������������

���� �

Page 64: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

64 Tema 3. Polinomi

Dat je monom -3x5y-.6.

Koji mno`ioci u monomu su konstante, akoji promenqive?

Primeti da u monomu �3x5y-mno‘ilac �3je konstanta, a promenqiva je

Uporedi svoje re{avawe sa datim.

� 4x x��y-�y�= 4(x x���y-�y��=4x-y5�

� Uo~i da dobijeni monom 42-y5 ima samo jednog brojevnog mno`ioca i nema stepenejednakih osnova.

Ako je u jednom monomu ura|ena operacija mno`ewe sa wegovim mno`iocima sakojima je mogu}e, ka`emo da je taj monom sveden u standardni oblik.

Uo~i kako se svodi monom �-x�y��x-y�u standardni oblik.4.

� -3x�y��x-y�= (-3 2)(x� x-� (y� y���-6x5y.�

Napi{i kao standardni oblik monome:5.

5a�b-�a.b�� -�x�y--y�x�� �x-y-xy���-�xy�

Brojevni mno`ilac u standardnom obliku monoma ( u slu~aju -6) se zove koeficijentmonoma,a proizvod od promenqivih (u slu~aju 25y3) se zove glavna vrednost monoma.

Odredi koeficijent i glavnu vrednost slede}ih monoma:7.

-a�b-� -�x�y5� -5x�y-�x-y�

Dati su monomi --x-y� i .x-y�. Uo~i koeficijente i glavne vrednosti obamonoma.

V 8.

Monomi: x; x�y; ab imaju koeficient jedan. Jedinicu kao koeficijent ne zapisujemo.

Koja je glavna vrednost ovih monoma?

Monome: -x�; -ab; -x�y imaju koeficient -.

Napi{i glavnu vrednost ovih monoma.

[ta je zajedni~ko za oba monoma? Oba monoma imaju jednakeglavne vrednosti.

�����

Page 65: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

65Monomi i polinomi

10. Dati su sli~ni monomi: --x�y- i -x�y-.

Kakvi su me|u sebom kojeficienti datih monoma?

Uo~i da kojeficient monoma: --x�y- i -x�y- su suprotni brojevi.

Dva sli~na monoma ~iji su koeficijenti suprotni brojevi, nazivaju se suprotnimonomi.

11. Napi{i suprotan monom monomu 5a�x-y� -4a-b��

12. Odredi koji od slede}ih monoma su suprotni. -4a�bc-� 4ab�c-� 4a�bc-�

13. Odredi stepen svakoj od promenqivih u slede}im monomima:

5x-y�z� �a-b-c��

G U monomu 5x-y�z promenqiva je x tre}eg stepena, y je od drugog stepena i z odprvog stepena. Zbir stepena svih promenqivih je 3 + 2 + 1 = 6; zato se ka`e damonom 5x-y�z je od {estog stepena.

Uo~i i zapamti

Stepen monoma predstavqa zbir eksponenta promenqivih u monomu. Ako je monomkonstanta, tada se smatra da on ima nulti stepen.

� Na primer, monom .a5bc� je od osmog stepena, jer 5**��0 , a monom 4 je od nultogstepena.

Monomi koji imaju jednake glavne vrednosti se zovu sli~ni monomi.

Odredi koji slede}i monomi su sli~ni:9.

Dva racionalna broja koji imaju istu apsolutnu vrednost i suprotne znakove, zovu sesuprotni brojevi.

Podseti se!

Napi{i suprotni broj svakog slede}eg broja: a)

� �� � � ��

� � � �

� ��

�� � � �������� �� �� ���

���������������������

��

� ���� �������

Page 66: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

66 Tema 3. Polinomi

14. Odredi stepen svakog monoma:

-�x-� 5a�b� -.x�yz� 0a�b�c5�

Da svede{ monom u standardni oblik;

Treba da zna{:

Da odredi{ koeficijent i glavnuvrednost monoma;

Da defini{e{ sli~ne i suprotnemonome;

Da odredi{ stepen monoma.

Napi{i u standardni oblik monom-�x�y- �--�xy� i odredi kojeficient iglavnu vrednost monoma;

Dat je monom -.x-y�z.a) napi{i sli~ni monom datom.

b) napi{i suprotni monom datom monomu.

v) odredi stepen datog monoma.

1.

Zadaci

Napi{i u standardni oblik:

--a-b.�a�c� � - - �

x y xy .

2. Odredi koeficijente i glavnevrednosti slede}im monomima:

-.x�y-�

3. Napi{i monom sa kojeficient -0,5 iglavne vrednosti a2b3.

4. Odredi koji su od slede}ih monomasli~ni:

5. Odredi koji su od slede}ih monomasuprotni.

6. Napi{i suprotini monom monoma

7. Odredi stepen svakome od slede}ihmonoma:

-a�bc-� -�x�y� -5a� .x-yz�

8. Napi{i dva monoma sa kojeficientom-3 i promenlive a i b, tako da jedanbude od ~etvrtog stepena, a drugi odpetog stepena.

Proveri!

� ��

�� � � �

��������

� ��

�� � � �

� ��

�� � � � �

�������

� ��

�� � � �

��������

� ����

� ��

��� � �

�������

Page 67: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�������������������

%������<�;�=4�;�>���=/���?������������������.�������1

�<�;�=4�;�>���=/���?��&�<���=/���?'�;

;�&;=4�;�>'����44�;�=<����?�

������� �������� ����������������

+ �������� ���1�'�@���A���=<�;�4�;�B���C3�'��C#<�;�4#A�;�>#=���A#B���/#<�

2��� ��������/��� �� !���"�� �������� �

� ��

2� ������������ ����%1*��� �!����� �������"

9�������������*���������� �����.������������ ��� �*��"

#����������� �� ��*����� ����7� ����7������"

=

4

>

A

��������������� ���������������

-���� �*���������

1� �*�&��� �� �������

�� ������*������� ��������

)�*����� ���6���������

�� ����"�� ��������

�� ���"�� �������

���"��������

#��

2� ���������� ������ �����*����� ��� ������������'��*������%

!������� ���������1��$�������"����������%���� ��

������������

����� ����7�������������� ��������������������*�����������6����������������� �*��� ���6���������������'��*�����"

!������� ���������1�� �� ����%�� �����"�� �������"�� � ��

#������������������������� ����/����.���7��*��������� � �����%

# ���� � ������ ������.���������� � ����7 ������ �������������� �*�����"

#������ ����� ������ �� �����"

� �� ����%�� ����4�� ����4�� ���� �� ����"�� �����%�� ����4�� ����� ���"��� ����%���"��� �������� ����"�� ��

Page 68: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ����������������

2���������������� ��*����&���������� ���*����������/*���������������������*���*����&���'�&;���'&�"

���������!�������$�������� ��� �� �������%�����

� ��

<�������� ��� ��� *������/

#����������������������*�������������� ����������"

@�����A3 @������A3 �@������A�

#������������ �� ��������� � ����7������"

!�� ����� � ����� � ����� � �� � �"����

�� ������:����� ����

=

4

>

A

-��������� ��� ���

1� �*�&��� �� �������

������� ������*������� ��������

1�������� �� ���6����������

$������� �%��������$�����;� ;%�����

$�����;� %����

$�;�%������

=>����

2� ��������������� ������ ������������������������������%

2�����������������������0���������������0���������������������������"0'�;0='��"�����0'��������������������������

!��������%������ ���������(��� ��

"�������������1�%�������(�������%�������(�������%������(����������������������

!�������?������� �������1 �'�%����3����'��A���� ��

2���������*������ �����������3

��� ���������

2������������� ��� ����� � ����7������"

1����� �*��������/� �� �#��"�� ������ ���%�� �������"� �

!�� ����������1���"�� ������ �� ���� ���������� ��

��

������

1����� �*��������/

�'����������� ���!�����'�"�� ���� �� ������ �

�� 1����� �*��������/

�'�#������ ����#��"�����������

�'� �����"��������#�������#���

�� !���������� ����� ������� � ��

�� !�� ��������������� ������"�� ��� ��������(�� �

��

��������

Page 69: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������������������

����������������

>�� �������%$���������������� ����������%

9����� �*��������/��������������"����������������������

1������*��� ����7������"$� ��������������*�������7������%

2��� �� ������/ �� ����� ������������"���������

� ��

1��� �����������6������������ ���� �����%

<�� �� ����7������������������ ������%

"��&�$������� �� �� � �� ����� �#���������������1�� �� ���'�� �#����������������

-*�������������������� ���������������"

+ �� �������"���������� ��� ��������1������� ��"���� �������#�����������������%�������������#����������������#� ������������

1�������������������7������ ��*����������������/�� �� ����� �!���� ���������� !������������� !������� ���"� ���� �!���� �� �!����(�����"����������(

��

�������*�������������������*������ �������������������������"

������������7��6�������� ��������������������������"

$� ���� ������������������� ����/��

������"�������! �����" �! ���

���������

����$�� �� � ����������� ���� �����&�����1�� � ���� �!���"�� ��� �

����$�� ���� ����� ��� ��� �������������"�� ��

D� (������������

��� ���"���� ����"� ��� ��� � ��

#����� ������� ��������������������� � �����������* ��"

#����� ������� ���������������� �* ��"

#���� �������� ���������� � ������� �����

��� ���"���� ����"� ��� ��� � �����������* ��"

,��������������������(������������������� �������������

� ��� ���"���� ����"� ��� �'� ������ ���"�� ����"�� ��'�

Page 70: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

� ����������������

����������������� ���"� ������� ����%� ������ ���

�����������������������������������������������

?�������� ������������� ��������������� ������������������������������*������ ������� ����������"

�#������ ����� ������ �� ������ �������������"

� ��� ���"� ����>�� ����%� ��;��� ������ ����� �����"� ����%� �������� ����%�� ���#� ������� �

2� ����� ����7�������������*�������� �����%

0��� �������� ���������� ����� ������� ����������* ��� ����������*������ ������������ ������������ ������������������� ��� ��������� ����������������������� ��������� �"

�� ��������������� ����������������������������� ����������������������������* �������� ����7������"

0����� �������� ��������� ��������������������������* ��������� ����7��������!������� ���������������������"

1��������� ���� � ���.�7�� ������ ������������* ���"�

������� ���" �! "������� ��� �������! (������"����� '��������! ��� ���"�� ����� �

+����6�������������������* ����� �����

�������������"������� ��� ����

1��������6������� ������ � ��� ����� �� �����"

��!�������������������6��������� ������� ����� ��*������� ��������

"�������������������������� �������������� ���6��������������7� �������/��#���#������<�

$��6��������������������� ������� ������������������ ��������������

��������������%�� ����"�� �� �������� �� ������$��������������������)�(������������������������������������

��

� ������ ������ ������ ��

������ ���� �

����

Page 71: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�������������������

��� 1��������6�������� � ���.�7�� ����� �������������)"

% ����" �'� ! � ����"� ���%�

���������

-����������������!���������������������%����$������������������������ ��

!�������������������"�� ����

�������� ������������*��� �����"

)��������������������� �*��������������� ���������� �����"

��� 2������� �����/#�� ���"�� ����������#�� ���"�� ������

$������������ �������������*��� �����%

#����������������������� �����"

���������������1��#*�)����#�� !���"�� ������"�� ���������������

%��������1��#�� ���"���������������#�� ���"�� ����������������������� ����������

����

-������ ���������!�������������������� ����� �������� ������������������������ ��������������� �������*�����"

��� ����$�������������������������(�� ����"�� ���� � �

� ��� ������������������ ����"�� ���� �� ���#�

1����� ������ ������ � ����� �����"

$���� ���� �������������.�������%

1���� ������� ��� �� '@%

2����.���$�����������������&���� �'����(��������#����(��&"�� �'�����$���(��������#�����E�& �� '�������������������������������������������(���������������)�������������������

�����.���������&���'����������������%������������� ����"�� ���� �� ���C������������������������

Page 72: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ����������������

"� ������� �� � �� "�� �� �� ��� �� '� (���.���)�(��� ������� �� ����������������

��� 1����� ������ ������ � ���.�� �� �����/

"�����! (�� ����� ����"� ! ����������! ����( ���"

2���������� ��������� �����������������* ���3

��� ��������

2���������� ����� �����������* ��3

2������� ����������������* ��/��� ��� �� ��� ���"�� �

9��������������� ������ �����/������������� ����"���������

��

������

)���� � �����������* ��� ������� �����/

2��*�������������� �������������3

2���������������� �������*�������������� �� ����&��� ������"

����&������ ���������������������������.��� � ������� ������������������ �� ���"�� ������� �����1����� ������ ����� �� �����"

"�� � ������� ���!

� �����������������������

�� )����� �����������* ���� ����"

"�� ������� ������� ���� �� �

(�����"����������"�����"��

�� +����6������� �����������* ���� ����/

"�� � ���� �� ����"�� ����"���� �

�"�� ������� ���"�� ���"�� ����(� �

�� 1����� ���6������� �� ����� ��������������

�����"���������'�� �� 9��������������� ������ �����/

%������"���������! ��� ������ ����"� �

�� <�������� *������� ���������� �������

� 1����� �������� �����

$�� ����"�� ����"�� �!

�%�����"����������

����

����������������������������* ��� �������.����������������������� ������� �����"

��������

���� �����#����# ��������

Page 73: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�������������������

����������&� ��*������ �����6�������� � ��������������7������ ���������"

#������ ����� �������� �� �����"

��� ����"�� �������"��������������� ���� ����#�� ��

1*���������������� ������������"

����������� ������������������� ���7������6��������������������7�����������������*�������������� �����"

1�������������������/��

�������� �� ��������� �� ���������*������������ �� ��������� �� ���*�����������!����"����������1�������������������

+ �������1���'��� ���3����'�������

+ �������� ��� ��� � ����1��� ������"�� �

� ��

����������6���������������� �������7������"$���.������������!���%

������� ����������� ����������������

2�� ������������������������

��������������������<�������� � ���.� ���������/

�������� �������

)����� �� ��������� �� ��� �������������� ������� �� ��������� ����������������������� �"�"

����������������

+ �������1���'�����3����'������

����������.���������������"�� ��� ��

,��$� ��� ������"�� �������������$�$����� ��

���.�����������������1"�� ������"�� �����"�� ����"�� �� ������������� ������������#�����(����� ��������

#������ ����� ������ �� �����"

� "�� ������"�� ����"�� ����"�� ����"���"���"�������������������� ���� ���� �����"����������� ��������� �

� "�����1��"�� ������"����������� ��������� �

#���� �����������/�� '"+�*)��� �������! ���� ����!

�� �����

��� �

��

�� �� � ������������3� ������ �� ���������������������

Page 74: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ����������������

<��������/

��

������

1�������������������/

"������������! �"���������� ������ �

�� 1����� � ���.� ���������������/

&�<�����'� �� &4�����'3&=#4�� '���&�4� �'���&>#<�� �'�

�� 2������� ����� ��������3��������

�� �"����� � ����� ��������� ����������)��

�� 2���� ��� �� ��� ��� � ����1� � �"������ � ������ � �� � �%����� ����� ������������������������)��

�� 1����� ����� ������������

�'��"�� �3 �'� � ���� ��

�� #���� �����������������

�� ���! �"� ������!

��� ���! � � ��� ��� �� �

�"������ �� �����! ��� ��� �� �"�� ���

<��������/�

�� ����! �"��������

������� �������� �����������������

*�����������

!������� �����������1��� ������ ����"� ������%�� ���"�� �

� ��

<����� � ������� ����� �� ���"�� ������ ��

F������� ������ ����� ������� ������1��� ����!��"�������������

G������� �������� � ����� �����:� �� �1� � �=4�;�>�;�=B� � �� � <��� @�;�=� ��� �����������1&�=4�;�>�;�=B'�;�&<���@�;�='�����=4�;�>�;�=B�;�<���@�;�=���&�=4���@'�;�&>�;�=B�;�<�;�='�����4=�;�4?���C�

"����� ������� � �� ������)�� � ����:�������

� �������������

����������������������� �������������

� �����������������

�������������������������������������

� ��������� � � � � � �������

�� ���������������� ������������������ ��������

� � � � � ��������� ��� � � � � � ���������

���������������������

2������������������������3

��� ��������

2� ��������������� �� �������������������*���"

1����� ��������/"�� �����&��� ��'���&� ��'�

1����� ������� ������������/

��������

+ ������������������������� �� ���&�@���A�;�=<'�;�&�4�;�B���=C'�

��� ���

Page 75: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�������������������

1����� �*���� �����

�'�� �����"����������������%�����"�����!�����'�"�����������"����%����������� ����(�

��

����������!�������0��������� ��������� �����������0��������������������������������#�����������������������

!�������� ���������1�� �� �������"�� ��

!��������� ����������1�(������ �������#���������������"����������� ��

� -��������� ��� ��� ���(������ �������#��������������"������������

� 1� �*�&��� �� ������� (������ �������#�����������;�"�������������

� ?�������� � ����7������ ���(��������������� �������"���������#����������

� ��������������� ���������� ���������%��������������$���

������������

2����������� ��������� �����0������������ �����0�������������� �������� ���������"0'�;0='��"

+ �������1�� ������� ��������������"����! (������"����������� �����#�����"�

2�����������*���� �����3

��� ��������

2������������� ��� ����� �����3

+����6������� �����������* ���� ������ �����/ �������"���������������� ���������"�������������

#������� � �� ����� ���������

2��*�������������� ��*������������������������ �����"

2�����*����� ������ ��������������� �����������������*��������7���� ����� ����7�������������� � ������� �����������&���� ����7������� ����7���"

��������

�������!����������� �������������������������

Page 76: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ����������������

��

������

<�������� �*���� �����/

+���������"�������������������

���(�����%���������������(����������

�� +����6������� �����������* ���� ������ �����/

�'� �����"����������%����������"����� �!

�'���������%���������������������%����������

�� 1����� *������� �������� ������/

�� 2������ �� �� �� "�� �� ����� � ���������1

"�� ������ �������� ������ ��

�� 2�������������� �� �

�� + ����������� �����������1

�'�(�����"����� ������%����� �����%�3

�'�"� ������������������������#���

� +����6������� �����������* ���� ����������/

�'�������"� ���" ����������"� ���# ��!

�'������%� ���% ����������� ��

����������! ����������

� 1����� *������� �������� ������/

������"�����%������������������� �������"�# ����( ���� �����% ����" ���� ����� �� ���"

������"���� ����������"����������"�����%���"���� ����������

�� !������������,����$�1

,��������"� ���� �����������%� ���� �

��� %��������1����������%����������������� ����%���������"���������#�������1

����������!������������������������!���7������6�������������������� �� ����������� ���� ����*���������������������* ���"���������1����������"������������"���������������������'����#�����

������� ������� �� �����������������

+ �������1������ ����%� ��

2�����*������ �����������!��� ������� �� ��*����� �� ��������/

��������������������������!��������������������������

<�������� �� ��� ������/

&=<�;�B'���C���4>���C�������3&=<�;�B'���C���=<���C�;�B���C��������

�2�����*������ �����������!�������� ��*�����������.������������� �������������� �������������* ����� �����"

�� "����� �� ��� ������� ��� ����������������% �����������"�� �

� � � � � � � � � � ��������

������������� ������

� � � � � � ���������������� � � � � � � ���� ���������������

��� ��������������� ������������

� !�� ���������������"��#����������������������$%

����������������

Page 77: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�������������������

�� !��������� ��1 ������"����������� ���� "����������� �����%��!

�� ���������!����������������������������� ���� ���������� �������������*������*������������������� �����������������* ���"

2���� ���� ����������3

��� ��������

2��*�����������������!����� ��������������"

<�������� ��������/

�'�� ����%�������������!�'��"�� ����� ���� �����"�� ��

��

������

<�������� ��������/

�'�"������ �����%� !�'� ����������������������"�����

+ �������� ����������������� �� �� �

������"���������"�������������� ����%� ������"

�� !��������� ��1 "� � ������%�� �����"�� �� %������"������ ������������!

�� 1����� ��������

�'�%��� �����"������!�'��"������� ������� ����� ���

�� 1����� � ���.� ���������/

�'� � � �� � � �� � � � � � �� � �� � ��� � �

�'� � � � �� � � � �

� �� � � � �� �� � � � �

�� ��������� �� �1����"������������������������������������ �� �� � � ������ �:� ��� ������ ����������������� �� �1

�'�����������!�����'�����������

�� 2����������������������������������� �� �1

�'����������������������"���������!�'������������"����� ����%������������

��

��������

Page 78: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ����������������

#������ ����� ������ �� �����/

2�� ���������������������������������� ��������� ��������(������������(��������������������������((��������

+ ����������� ���"���������� ���� � ��

2����������������������������������������������������!� �� �� ������ ������������ ������������ ����&�/ �������� �� ����������������� � �*��� �������������� ���� ������������� ������!��"

��

� ��

������������)������������ ����������������������������������

*���������$���0�� �����$������;��

���.�1����������������������������

� ����������������������������������������&����������������������������������������������������������������

������������������������������������

-������������� ������������������������ ����������������"

+ ����������� ����������1���%����� ����������"��'�� ��

� �

������� �����������������

�� ���������!����������������������������� ���� ����������!�������������*�������������� �� ��*�����"

<�������� ��������/�'�����������!�'���"��� �!�'�"������������� ����"��

���$�� ��� ���������)�#� ������������� �����$����0

��������������1��������������

+ ����������� ������������������

Page 79: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������������������

������������������!��� ����7�� �����"

� -��������� ��������� ��&A�����<��;�>'&4����>'

� ���!��� ������� ��� �������� ����� ��������� �������������� �����/

���%�����"����%����������� ����"���� �����������������"�����������

� ���!���/ ����������"������������� ����#����$

� )��&����� ������ �����������* �� ���������""�����"�����$

+����������� ��������"�������������� ������� ��

������� �� ������������� �*�� ������������� �����������!������!� �� �� ������/�"��������������"����� ������������������������!�������������!����"

A������ ���������!������������������������������ ���� ���������!���������� �������������� ��������*������*������������������� ��������������� �* ��"

�+ ����������� ����������������������#����������������������

$������.���*��������� ��������������� ������

2�����������������&���)������ �����������������������#�H�����������������

�����6���$����� ����"��������������"���� ���������� ��������.�����������������* ��"

��

���������

9����������������6����*������ @B�@:"

�2����6����*��� ����6���������������6�����������&�����������6���� �� ����5,�=&"

����� ����!����� ���������������������"C����������������

*�������&��������������*������ ����/C4���CB3�?A���?C3�<>���<?3

+� �� ���������*���������� �������������� ���*�� ��������������5,"

����������������������������������������������������������������������

������������������������ �������������

�������������������

�����������������

Page 80: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

� ����������������

2������������������ �����

��� ��������

2��*�������������� �� ����&�������������� �� �����"

<�������� ��������/%�����"�����������"������

>����������� ��������� �� *��� �����/

"�������������"����"�������������"��

��

������

<�������� ��������/�'�"�����������"��!�'������"� ��� ��"����� �

�� + �������1�'���������������������������!�'�������� ���� ���� ������ �

�� �+ �������1�'���"�����"� �������"���������%�!

�'�� �� � �

� �� ��� �

� � �� � � � �

�� <����������6�������� � �� ��������������� �* ���� �����/������"���� �%������"������

�� <�������� �������� ������/

����������"��������������%��� ��������

�� #�������������� ���������/�'�?4���?B3���'�C>���C?�

2�� ���C4���CB������������ ����������������������������$����������������&C'����������������������� ��=���.����)�(��&?'�������������� ����&A4'�������������� �����������������������&=C'#������C4���CB���A4=C�

+ ����������������� ���1��'�>A���>C3��'�B=���B@3��'�<>���<?��

��������

.������������������������������������������������$�����������$� ����$���)� ������

2��������������1�#"���#����������#���(���"�������%"������#���%"�#

Page 81: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�������������������

������� ���� ������ ��� �����

���������

A������ ���������!������������������������������ �������������!��� ������� ������ ������ �� ��������*������*������������������� ����� �����������* ��"+ ����������� ��1

"���������%�������

9�����0��������"<�������� �������� 0=�� 0'�����*������� ��������������������� �* ��"

� ��

%�������������������������������

-��� � �� � �� ��������:� � �� �� �����������/1�'�������������!���'�"�� ����"�� �!�'����������!��('���� ����� �

#������ ����� ������ �� �����/

� ������������������������������������������#��������������������������

����������������������

�������

�������� �*���� ��� ��� ����������� ��������� �����7���7��������"

+�������������������������������������������� ������������������!�"��� �������� ���������� �� ��

+ ����������� ���"�������"��������� ���.�6������ �����.�������)�1����������������������

��

"����������������������#����������

"�������������$�)���������������������������

� "����������������"����������

� "�6������6�������� �����.�������)�� �����1������"�����������1

� "�������"����������"�������������%�����$��

#�����.6���� � �� ����.������!��������������������/

�'������ ������ �!�����'� ����"�� ����"��!�����'�����������;���!����('�&A/��=�'&A/�;�='�

��

" ���.�6������������������������������� ������������ ���A4���>B�� ��

G����A4����������������������� �����������A/���4#������A4���A/�;�4�

����$�������>B����� ��������:��������

"�������.���������������6�����#�������� ���������� ���A4���>B1

Page 82: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ����������������

2���������������� �*������� ������������3

��� ��������

2��*�������������� �� ����&�������������� �*������� ������������3

1����� ��������/

�"�������������"���������

<�������� ������ ��������/��?>���C?�2����������������� �� ����&���������������*������� ��������������������� ��������"

��

������

1����� ���������/

�'��������������! �'�"������"������

�� �������������� �����������������* ��� ������/

�'���� ���"� ����� ���"� ��!

�'�#������ ����#������ ����

�� 1����� �������� � ���.�7 ������/

�'�&C/���='&C/�;�='3����'�&=//�;�A'&=//���A'�

�� 1����� �������� ���������/

�'�@>���B?3������'�4/4���=@B�

�� <����������6�������� � �� ��������������� �* ���� �����/

�'�����" �����" ����"����� �!

�'� �����������������������"������������

�� 1����������������� �� ��������� ��� ��������/

�'������$!�����'�%�����$ �

� <����� �����6�������� ����� �������*����/�'���"���������"�������!

�'� � � � �� � � �

� � �� �� �� �

� �������������� ����� ������������* ��� ����������/

�'�&��;�>'&����>'&���;�@'3

�'����� ��������� �;���

� A4���>B���&A/�;�4'&A/���4'���A/����4����=C//���A���=<@C�

1�� �� ���������� ����������������������������*����� ������7 �������!���������������*�����*����������������� �������7*������"

#�����.6���� � �� ����.������!������������/��

��������

����������������������������������������

Page 83: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�������������������

������� �� ��������������

1����� ������� �*��������

� ��0���0�����������������#������� ��� �� � ������ � �� � �'���� � ��� ������ ����#������������� ��� ���� ���������

����$�������������� ��������� ����������1���������4 �

����$�������� ����������1

�'���3�����'��������3�����'�&�����'��

-������������������$�����$������

������.�1�������������������#�� �����.��� ������������ ���

#������ ����� ������ �� �����/�������������������������������������������������"�������������

���������������"�������

������������

$������ �*��� ��������� �� ������ �*����������������������� ������������������������ ������������� �������� ������������"

� #������������ �� ����&������������� �*����� � ���.���������/

"����� �����"������"���"����� ���� �����%������"� ���$ �

1����� �������� � ���.�7 *�����/�� �����"���! ����� ���

������������������#������������� ����;���+ ������������$�������(���������

��

"����� ��� ��� ������ ��� ������� ���������������������������,��

"����������� ��������(�������

!����������$�������(�������

2��$�������������,���� ��������$����,���,���,���,��������#������,���,����,����,����,�

����$�����������&��������$������

,��$���������$���1������������������������������������"�������

�������������(��������������� ����6���������������������"��������

,������

,������ ,������

,������

� , �

-�

� � �

� �

Page 84: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ����������������

2�������6���������������������"������������������� �������C4����

����$�������C4����� �������6����

2��������6������

#������ ����� ������ �� �����"

� #"����#����"�����#�����"���#����"���"�����#�����"%����%�����%%�

� �� 1����� ������� ��� ���0'�"

-�����������������$��������$�&0����'�

2�����E����������E�������1��������������������������������������;�����������"���;���

������� �������� ���������������"�������

������

$��������� ��� ��������� �� ����������������������������������������������������� ������������� � ��������� ������������"

F�����1��&0�;��'���������"������������&�����'���������"������������ ���6������ �����.������)��

� (��� ���� �������� �� ����&������������� ��� ��� �� � ���.���������/ ����"������ ������"��� ����"����"������" �����"������%��

� ��������6���� � �� ���������� ��� ���������� ��������� D:�"������� ���"

�� 1����� �������� � ���.���� �������/ �����% ��! "���������

9�����*���D:������ �����E,�B"

2��������6���������������������"�������

#������ ����� ������ �� �����"

AB����&</���4'����</����4���</���4�;�4����4<//���4//�;�A���4>/A�

� + �������1������C@� �����>?� ��@B��

Page 85: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�������������������

2��������������� �*��� ���������3

��� ��������

!�����1����������������3

��� � ��

�� � 3

2��*�������������� �� ����&������������� �*������������� �������������������3

2��������������� ��� ��� ���������3

2��*�������������� �� ����&���������������� ��� ���������� ����������� ��������"

��B4��

!�����1 <?��

��

������

�1����� � ���.� ��������/

�� 2�������6��������������������"�������������1

��'�A=�3 ����'�?4�3�����'�=/<��

�� �������������� �����������������* ��� �����/

+����������������%��!

�'������" �����"���� ��������� ��

�� 1���������*������������� �������� �������/

�'������"�������!

�'�%������"� ���$ �

+������%��!����'�"����( ��!����'������� ���

��������

�� (��� � ���.� ���������/

�'�����"�����������#!

�'������ �����$�����

�� 1����� � ���.� ��������/

�'��������!����'������" ��!���'�%��������

� �������������� �����������������* ��� �����/

�'������ ���������" ��!

�'� ����"������������������������

�� 1���������*������������� �������� �������/

+�������%����%!�����'�$������"� ���% �

� 2�������6�����

�������������"�������������1

��'�>B�3������'�<@�3������'�@C��

��� )����������� ���* ����� ����/

�'��������������� ����� �!

�'�"�����������"��������

Page 86: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ����������������

)������ �������7������ �� �� � ������� �� ���������������� � ����������������� �� ���������"9��������

������ ������� ������ ������� �� ������������������

!�������������1

�'����1���3������'� ��1� �

� �� + �������� ������ � ����1C� ������4�� ��

�� + ����������������"�� �.��#�� ��

"������������1

#�� ��.�"�� �����#�.�"����.���� ��.� �������� �

1*������������� �������"

�������� �� ���6��������� �������� �� �����������7������"

9�������������������* ������ ����� � ������������� �����"

"�������������$�)����������1���� � � �

� �

� � � �

� ��

��� � � �

� � � �� �

� � � ��

A���� ����� �� �� � �� ������ ���� ��� �� ���� � ���6������� �������� �����6��������� �� ����� � ������� � ���� ��������� �������� �� �� � �� �������������7������� ��������������� �������*������� �����������������������"

�� 1������� ������/

������������� ������� ����)�� ������������������������)���������������$�1��������.�������.�������.��

���������

+ �������1

�"���%���.������"�.�����%��.����������!

��������.���������.��������.������������

� �� 2�����������%�����#�����������������"���

$��� .�� �����������������*������ ��������%

������������������������%�����#��������E���������"���

#������ ����� ������ �� �����"

������%�����#����.�"�����������.�"�������%����.�"������#����.�"������%�����"������� �

���������������������

�"������������� �� � � �� � �

��� � � � �

Page 87: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�������������������

�� 2�������������������1���#�����$����������.������

������� ������*������ ��������"+ ��$�������)��

#������ ����� ������ �� �����"

�#�����$����������.����������#����.����������$����.��������������.���������"������������ ������������������������ ����� �����������������������������������������������������������������������

�� �������������������

���� ����"%�� �����"�� ���.�#�� ��! %�������������� .��%����

������������������������������

��� ��������

������������� ������� ���������!������"������������������ ��������#��������

�%�� ���.�"�� ������#�� ���.��"�� ��������

$��������������

#�������$��������������.�������������

����������������������������

������������� ������� ��������������������

��������

��

������

������������"����������

�� ����������

�� !������"������������������ ��������#��������

�� ��������������� ��������� �

�� �

� �� �

� ��������4���������4�

�'��#�� ���.�%� �! �'��$������.�������

�'���%%�� ���.���"�� ��!

�'�� � � �� �

� � � � �� �

�� � � � �

+���"���������������.��#�����!

�'�� � � � � � �

�� � �

� �� � � � � ��� � � �� � � �� � � � � � � � � � �

�� ������������"����������

�� ����������

+��%�� ����#�� ������� ���.�"�� ��!

�'��"���������������%������.�%�����

+���%������"�� ����#�� ���.�%���!

�'�%�������"������.�%����

� !������"����������������� ��������#��������

+��$��������"������.��������"�������������!

�'������"� �����������$� �����"�� ���.��� �

� $�����%��������������

�'�#����%������"����.�"�������!

�'�#�����%�����"�����.�(������#

Page 88: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ����������������

������ ������� �� ��������

���������

0����"����� ������"����#�����%������ �����#�������������������1

&C�����A�����=<��;�=/'�1�&4�����<'3

2�����#�����(�����(����#����������������������"�����

� ��

��

&C�����A�����=<��;�=/'�1�&>����4'

-�������������������������� ����#�����%������ ������

������ ����� ����� ������� �� �������������������

�����&���������'%�()����������������������

��������������������������������������������

*���������������� ����� ���� ���������������#�������)%����������������*�������&��� � ����� ���� ����� � ��������������������������#�#����������������

+������� ��������� ���� �%�����������+��������������� ������������

,������ ��� � �� ���������������� ���������

�������%���������������������� ���������� ���������������� �������� �����������������������

������� ���������

����������������������������������������������� ������������� ������ ������� !������ ������"#�������������������� �������!���#�������������� ��

���������� ����������������

��������������#�#���� �� !����$���� �������������������� ������� ��������� �!%������������&

������� �������

���#�������������������� �!%������� �� �������� �� ������������� ����� !������ ���#�#�������'��(�&

���������������������������������)����#�#����)�(����� ������������������� ������������� ���������#��*������������&

������� ���������������������������������#��*�������������������� ������������� ����� !������ ���#�#��)��(��

�������������������������������������#�#���+"��������� ���$�����,���

� ���������������������� ���������������������������������

����������������������������������������

����������������������������������������������

��������������

��

��

����

��

��

��

Page 89: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������������������

!������������������ ����������� -

+�������� ����������������������������� ��������������#����������� � ��

.���������������������������������� ��-

�� /��#������� ������� ��������������������������������&���>���;�>���;�C����=/'�1�&�����4'�

$�������� �������0����1����������������

����������������������������

��� ��������

������������� ������� ����������������������

!�������������������"���������� ���"�������"#��� ��������������������������������

��

��

������

0�������������������������#�������������������'�&�����='�1�&����='3�'�&�����='�1�&��;�='

�� !������������������������������1�'�#������������"������ ��.���������������������#���� �'�"����� �����#����� ��.�����������"����

$���������������'�&����� ����������%��.�������!�'������� ������%�������.������"�

�� ����������������� � ��������2���������"�����������#�������.�����������������"�����

�� !������������2���������1�'�"�����(�����#����.�����"��!�'�#��������������������"��.������%�!�'�"����� ������ ����������.�"������

�� !�������������0���������������������������1

����� ���.���������

� ����.��������

" ������"��������������"��� ��������.���������% ������"������������������#� � ����.������ # ������"���� ��� �������

+������������������� ������������������������ %����������������������� ���� ��� �� ���2���� ��� ����"#� ������� #� ���������������������%��

����������������������������� ���������������������������������������

������������������������������������������������

����������������������������������������������������

�����������������������������

� �

� �

��������

Page 90: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

����������������

�������� ���������������

�� �����������

���'�"������! �'������ ����(!

�'��

��� ��

�G�������� �� ����1�=A���C3��4<�;�>���C3=//���<�3��&=#C�;�>#B'�1�&?���C#<'3

� � �� � �

� �� �� ��

�����

����������������������� �������������4��;�=�� ��������4�

��������������� ��������#�������&=>#<���B#4<'�1�&A���=#<'�

+�������� �� ��� �������������������������� �������� ������������

����������������������

�����!��� ���� #��

� �� �

�����

��

$������%���� �� �������������%��3������������������-

!����������������������������� �� ��������������� �����������-

+� ������������������ ���������3��������������� �� ��4������5������������%4����5������������������������ ��������� �����& ���� ��� ����� ������� �������������������������� ����

+ �� ��1�"������!������ ����(������

�� ��

��� ���� �����������

+ �� ������� � ����������������#������������������������� ���� �������)��

.�������������������������������

������"�����!�

�� ��

3 � ��� �� � � ! ��

�� � �

��

� �� �� ������"��������������������

>�����=3��� �

3��

��

��

3��

��

�� 3 �&�����='�1�&��;�4'�

+������������� �%�����������%�������������� �������������-

� ��

�������

���������

��������

"������

43��>

�!���

����)���������)�

����� ����(

=3���43��>=3���<3��?

$������ 6��7 �!����� �� �����

� �!��

�� ���)�#����)�������)��

���� ��

Page 91: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������������������

�� ��������������1��>�� #��4����> #��������>��;�<���-��(������������������:�� �� �����������������

5���$������������������ �� ���1� �>�����=#� ���� �

��� ���

��

�� � ����������)��������

������������������������� �� ����� ��� ����� �����������

+ �� �#������

��

��

�����&�����='�1�&��;�4'#����������� �������������)����������������

��������#���� �����������

.�����������"�%�����������%���������5����������������������� �5�����������������������������

����

3�������� �� ���

3������������ 3���������

�����

3��������

��

3���������

���

��

��

���������

.���������"�%��������%������������������������ �

� � � � �

� � � � � � �

� �� � � �

+ �������� �������� ���������������(�� �� �������4����= �������4�

� ��

-��� �������� ��� �� �������

��������(�� �� ������

���������

������ ������>������� �� ������������

,����� ���������� %� �� ('������� ������ �������� �������-

���"��������� �� &�4'����4&�4'���=���A�;�A���=���?�

G����������������� �� ������4����=�� ��������4�����?�

� + ���������������������������������(�� �� �����

��

� �� �

�� �������>����� ����=�

� ������������������ �� �� �

���

,������������ ������������������ ���������������-

.���������� ������� ����������������� ���������-

8 ����������������������� ������������-

9������������������������������������������������7�����������

Page 92: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

� ����������������

���������������������������������

��� ��������

.���������������������������������-

����3����������������������������

����3�������������������������������������������������������� ����������#�������� !������ � ���$����� ��������� ���

���������� �� �� ���������� � �� �

� �

� ��� ��

�� ��

� � �

��

������

$�����������������"�%�������������������������

!������ ���� � ���$����� ������������������ �� ���������� � �� �

� ��� ��� ��

� � �

�� $���������� ������� ��������������������������

���

�3

� �� ��

� �� �� �� �

3�

� ���

��������������� ������� �������������������������������

.�������������%�����������%�������������� �� ����� ���������� ����������������-

���������� !���

�3

� � �

<����43 ���

��

��

3��� �

3 � �� � �

�� $�����������������"�%������������������������������������������������

"������ �3� � �

� �� �

3

� � ��

3 ��

���

�� !�������������������������������(� �� ��������>��;�<�� �������4�

�� + �������� ������ �������� ��� � �� �

����

�� �������A�

�� %������������������������ �� �� � �

���������������

��

,��$�������$���1���� ����>#������� �;�>����>�;�>���/��������������� ����>#�����

����������� �� �� �

����

����������������������$����:������������(�� �� �����/�0

1'�2#����������������������������������>�

��������

Page 93: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�������������������������������

������������ �������������������� ������ ����������������������������

���������

+�����������1:;<�0=��������<���0=�����&�������������1:� �%������������

/����&�������)1�������&����

2����� ����� ��� �� ����$�� � ���� ���

� ��

��

/����&�������'>������� ����&����

$�������"����������

.�&���������������1:;<�0=������1:�����&��������&����

*�����������1:;'�'�)�=�#������&�������� ������������7�����������1:������&��4�� ����5������ ����&����

������ ��

��� �������� ���� ������� ������& ��

2��������� ��� �� ��������� ����� ������ ��� �� �� � ������ ���������

+������������ ����� ���

� ������� ���������� ��

.�&� � ��� �� ����� ��� ����� ���3���������� �������� ����� ������ �������������� ���������������������������� ���������������

/����7��������7������"����������� �������! ���������

D� �����������������������������#�������"��� ��

.�������������������&������������������ �#��������-

,��������� � ���&����� ��� �������������������������,������������������� ��� #�����������������#�����

+������������ ����� ��� � �������#�������"�������������"����%��

/����&��������&������"����������� ������ ������ �! %�����#�����������

������� ��������������������

���� �����������������#������������������ ���� �#�������������������������&�������������#��������#�����

����������� �

D� ���������������� �� �"����� ��������'� � ��

Page 94: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

� ����������������

/����&�������� ����&������"������

�'�"�� ���%���� �%���� �!

������������ ������������ ��������

�'�����������;� ����� �!

�'��������"�� ���" �;�>�

/����&��������&������"�����������

+������������ ����� ��� � "����� ���������� �������� �"�������

��������&�����������������&����������� �����������#����&�����������#�������#������ ����������

��� ��������

/����&��������&������"�������

������������� ����������#� ����������������&������������ ����������#����&������������#�����

��

������

/����7��������7������"��������

�'� ���� �!�����'�"�����%� !�����'��� �����

� �������������� ��

�����������������

�� /����&��������&������"�������

�'��"�� ���$� ������� �!

�'�(�� �����%�� ����"��� �!

�'�#�������$������������

�� /����&��������&������"������

�'�"������������������!

�'� � ��������� �����!

�'���"����������"�������

��

��� ��� ������ ���������#���&������������������������-.����"����������&����������������&���-

!��������������������������#���&������?������"��������� �� ��������#���� �"��������������������������#���� �"����� �� ���

���������

/����&��������&���������������

+������������ ����� ���

���;�>��;�> �;�� ���&���;�� '�;�&>��;�> '����&��;� '�;�>&��;� '���&��;�>'�&��;� '��/����&��������&��������������� �

���;��������;��

������������� ���������

��������� ���� �

������ ��������� �

Page 95: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�������������������������������

"���������%�����"������$��������� -�����$�����������$�6�������������������������'���

0���������"���������������������%�����$�����"�������������������(��������������6�����������������������������

+������������ ����� ���

� %�����$�����"�������������"�������"�������

/����&��������7������"����������� $����� �! %�����" ���

D� ����������������������������� � ��� ��

+����������������� ����������#�� ���������� ����������0>����=:�������"����������&���������������������7���-

"����� �������"�� � ��"�� ������ �(�����4������"��"$�����" ��#��� ���� �� � �� � �� �(����� "�� ���������6����������������������������

+������������ ����� ���

� ������� � ����"$�����" �����"������� ������"����� ������ �

������������������������� � ��������&��������&�����@�������������&���������&���������&���,� �����&�������������������&���������������� ��

D� ��������������������%�����$���

� ��

���������� ������� ��� ���� �� �� �������������

���������

$��������������

�������������������������������������������������������� ������#�����#�#��������� ��

&����������������������

���� ����� �! �����"�������"��

����$������ ������(������������ �� %����� �

/����&�������� ����&������"����������

�"������"(���! ��������"� ��

Page 96: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

� ����������������

/����7�������� ����&�����������

�'�CA����>C�3����'�?<����4<�3����'�?4<����4?<�3

� ��������������������������������������

/����&�������� ����&������"���������

"����������� ���"��! ���� ������� �

����� ���$������������������������������3

��� ��������

/����&�������� ����&������������

��� �������� �� ����� �����#� ���������� ������������������&����

��

������

/����&�������� ����&�����������

�'��������3����'�%�����%$ �3����'��#�������" �

�����" ��! (�������"�!

�� /����&�������� ����&�����"���������

�'� �����"���3����'�(�������#�����3

�'� ����� �

�� /����&�������� ����&�����������

�'����� ����� ������!

�'�%���������������"���!

�'������#�����%$�

��

�����������"����(���

/����&�������� ����&����������� ��

��������� �������������"�����-��"�������������6������������������������������

0����;�<���0�����&���"����#��������� ����������������"���������+���� ���������"��������� �����'�"����� ������"�

+������������ ����� ���

� ���� ���������"��������� �������"����� �������"������;���������������(�

��������

��������������������

Page 97: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�������������������������������

+������������ ����� ���

� %������"� ���$ ����"������"���"����� ���� �����"����� ��!�� ��������������"�����

"�����������������%������"� ���$ ����������������$��%������"� ���$ ����"����� �����������������%�����"� ���$ ������� ���������������������

"����� �����"����� ��"����� ��

/����7�������� ����7������"�����������

�����%����%! %�����"������" ��

/����7��������7������������� ��

.����"��3������������� ��������������-

"�������������������"��6�����1������"������������������

+������������ ����� ���

� " �����"������%����� ������"��� ����"����"������ ����"�����������" �����"������%����� ����"���

/����&��������&������"����������� �����#�����$��! %�����%�����

��������� ������� ��� ������������� ������������ �� ������ �������

��

���������

0����������������������#��������������������"������������������������"�������

!�����������������#�(�������������� ����#� ��� ����� �������������

%������"� ���$ �����������

� ��

!����������� ���

-����������(������������������$�����#� ��� �

��������������������� ������������������ ����� !�� �����"���#��*������ ������"

2$��������������������"���������������������������%�����������$ �#�������������"��������� !���"�����"���"����� ����"�

��������������!���

Page 98: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

� ����������������

D� ����������������1���"�������"�� ����� � � ��

.���� "�� �����&� �� �����&������ �� �������� �������� ������� ����� ��#�� � �������� ������� ����

����� "�� ����"�� ����� ��#�������������#� ���&����� � ���� � ��� ��� �����7� �� ������ ���#�������

+������������ ����� ���

� �"�������"�� ����� ������%�����%� ��� �������"������"���"���� ��� ��������"���� ��

/����7��������7������"�����������%������"�����$�! �������"%����������

����� ���$��������������������

��� ��������

/����&��������&������"��������������������$����������� ��(�)����

�����������������������"�����������������"�������

" �����"������%! %�����%�������

��������

��

������

/����&��������&������������

�'������#����$!�����'�%�����"�� ���" �

�� 9���3������������������������� ������������� #��������� �

�'�%�����"���%���� "��� "�!

�'�"(����"���"(�����������

�� /����&�������� ����&�����"���������

�'�"������"������!����'�"� �����#� ����"�

�� $�����������*� ����������������� �����

�'�" ����� ���� ���� ������!

�'�% ����% ���������������

�� /����&��������&������������

�'�" ������������!�����'�%�����"������%$��

�� �������������"����� �������������� ��������

�'� #����"��� #����#����#�!

�'�%(����"���%(���"(���"(�

� /����&�������� ����&�����������

�'� ������"�� ����" �!

�'�"�������#������"�

$�������������*� ����������������� ����

�'����������� ���� ����$�������!

�'��#��������������%�������

�������������������������������

Page 99: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

���������������

������� ����������A�������������������������#�������4������������5���������������������������"��� ����

.���������������������%�������������� ��������-

-���� ���������������!�#��!����%� ��. .�������������������������-

.�����������������������������������%������-

������� � ���������� ��������� � ������� +� ������������ ���� �� ������������������� � ���������&��� ���� ����#�2����

B������������������ ������ ��������"�%����������������������������������������+� ��������� ���������

��

��

� � �� �� � � � � ������

��� 2 " � I 2 � ��������

> A 4 / < B A

��� ��� ������� ������ ���� ����� �� ��� �� ����� ����&������� *���� ������� � ��#�������� �� �� �� ���� ��� � �

5����������� ,��� 2�� 2���� D���

G������

A @ =4 �������<

������� ����� ��������������������������� � �� �3�����������" ���� ������� ��7��� ���������������������������C����������#��

B������������������ ����� ����������������&��������� � �����0�����������������"#��������-�������������@

@���������#���� � ����B�������#���� �����

+���������344��������������������������#�����������#������� ������������������� ���

��

@��������#�������"���������������� ������ �������������� ���������� �������5�������������� ��������%������������ ��

����������#��������� ��������������������� ���������%��������@��������������������(��������������������� ���� ���(���������������������(����������������������������#��

Page 100: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

� ����������������

@���������������#��������� ���������� ��� ������� ������ �� ���� ����#������"��� ��������� ��� ������� ��������� �%� �����%� #�����

��

���� �� ��� �������#� ����#������� ���� ��������

8 ����&�������&����� ��������������� �����0=����'=�#�����������):����<:�#���� ����� ��

!� ���� ����������� ���������� ���

.�#��������������&�������������-

.�#�� ����� ���� ���� � �����������-

4

A

C

B

=/

=4

2 " � I 2 � � ���

�����

$���� ������ �� ����#���� �������� ���������� ���� �� � �������� ���2������������ ����� �������D���� ����������3�������4E5�1���� ��������������� ��4/5�=���� ������������������4.5�

��

$������������� ������������

+����� ���� �� �� ����� �� ��� ���� �% ���� �������#������

62�������� � ������

F1

D1

-1

.����� ������������� ���$���

$��������� ����������������� ���������������#�������"��

$��������� ������������� ������ ���������� ������������������������������������������� ��������#�������� ��������� �����������

/��!������� ����#���� �����%�!�����!�������0��!����%!������� �#���#���������#�� ������� ��#�*���� ������������

+� ���������� ���������� �� �� ������������������������������������� �������������

��

�� ����������� �

� � � �� �� �� �� �� �� �� �� ��

������������

������ ��

�5�@��#��������������������������� �#���������5�F�����!�������� ������� ������#5�A������ ����������������������������������������� ����0�� ��

Page 101: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�����������������

@�������������������������������������������� ��

$�������������� �� �������������������#����

������

��������% ������ �������������� #������#������ ����������#������8 �����#�������"��5������ ������#����#������������ �#������ ��-�5� ��� ������� ���������� ������ ��������� �� ����� ���#� ���� � �#�������#����-

��

$������������#�����

����������#��������� ������������ ������

��� ��������

��������� ������� ���� ��� � �������#����������������������2����

���� ����� ������������������ �����0D::����':::�#�����������2� �+@G!.$����':':#������� ��� ���� ������������#������

������

+���������� �������#����������������������#����������������

������������������#������� ������� �������������#�����

����4���5������������������������������������������������

������������������������������������#�����

������ ������ ���������������#�������������� ��

������� � ��� ������� ��� ��������#����

H����

$���������� ������� ����

=@// =@4/ =@A/ =@C/ =@B/ 4/// 4/4/

=#C =#@ 4#> >#/ A#A C#4 ?#?

@�� ������� �� ����������������������������':��9 �����������':��������� �%�������������������

=< C =/ =@ < 4/ =? =4=@ 4/ =B =/ A => 4/ =B=B =< =B =4 =< 4/ < C

��

������� ����� �� ������� �� ������� ��

��������

���� �� ��� ���� ���� ������#������

*��� ������� �#�� �%�0=(':����������=�������������������������=���� �-

% ��� �������&�����

' #(�)� � ��* ���� ���#��

/���A <���@ =/���=A =<���4/

+� ����0������������������#����� �������� 01� ���%� �� ��������� 0'�����%�� =� �����%�� H� ����%� �� '�� �����������������

��

@���������� ���� �����

!� ���� ���� �� ����#���� ���� �������� ���������������#������&������� �

Page 102: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ����������������

��� � � ��������������� ���� �����

�� ��� ���������������� ����������������������

<��&���'��� &���'����4����

�� !����������������� ��������������������

������ � ���% �����"������ ��� ����

��%�����%� ���" ��

� $��������������

������"�� ���� ���� ��������� ��

� ��� ������������������ ����������������������

�������������������&����������"�

��� $��������������

#�� ������� ����"�� ���.���� ��

��� $��������������

���������������;�"����#��.������"�

��� /����&��������&������������

+��"��������'������������!

�������;�������<�

��� �

��� /����&��������&����������

�#����� �������

��� /����&��������&������������

�����#�� ���$ �

�� $������%���� �� �������������%��3����������������

�����������������������"�!��

���! ��� �� �

�� $����� �������#���������<3��4�3��>� 3���� ��

�� $�����������������������������4�� �����<�� �

�� ����������

+����� ����"� ��!�������'��

� ��

�� �� �� �

� � �

�� ����������

�'�C������1�������!��������'�� �

���

� � �

��

��� /����&��������7�������������'������;�#��3������'�4�� ��;�A�� ������

Page 103: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��������� � �����

������� ����������� �� ���������

�$%��&������'(&)&

=��J�����������(� =/A

4��2���6�������(� =/?

>���������������� ==/

���&�(&�&���($�(�(&*�������$��(&�

A����������������(� ==>

<�����(������������(� ==<

����&%(&�+(�$�&%��&

C��2����������(�(���"(������������ ==B

?��!��� �����������#����#��#������������=4=

B��-�������������������:������(�(�� =4A

�&��$��&(�������+�

@��2���(����������� =4C

=/��2��������2���(�����������

�������������(����#���������������������������(����(�� =4@

==��%������������������2���(���������������� =>=

�����&(��+(�$���$��(&��

=4��2��������$��� =>A

=>��2��$����������(������������������� =>B

=A��2��$������������(���� =A4

=<��2��$��������(�� =A<

=C����������� ���������� ������������=A@

=?�������������������#����#��#��������=<4

=B��,��������������������#��#�� �������=<<

�,&+�&�������&(�����$�

=@�$�������#�����&�������&��#�����

�����������������������������������������=<B

4/���������� ���#��� ���7��#� ����� ����7��#��� �� �������������������������������=C>

��-������-�)&+�

4=�������������(��� =C?

44�*�� � ������������6��������6����/��# �������������������������������=C@������2����������� ��)� =?4

Page 104: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� �����!��" ������������� �������� #���

/��#��������&������������ &�����#����������� � ��

.������ ��������� &���� �����&���-

.���� ���������������&����-

.���� ���������� ��� �� �������&���-������������

/��#������� &���������

������� ��������������������

��������� � ��

!����� �� ������ �#��� �����#�������"�� ���� ���#�������"�� ���&��� ����� ����� ����� ���&��� ���� �����#�������"���� �������#��-

���������� ����������������� �������#���

��

���������

��&�$��������������&����-���������#��#���#��� ��������������������

������&����������������������������������

@��� �����������4$��'�=��5����������������%�� �������4$��'�=��5��,� ������&�����������������

/��#������� &�����#������

8 ���� ������&���-

-��� �� �����������5������� �������������

.���� ���������� ������&���-

.��� � ��������#������ ���������&������������������&����

����������#� �����#� �����������������������!����3��������������

�����������������������������"����������

�5

6

������������������������&�#��'������������(���� �� ��������������

��

�@��� �������������� ��� �������#����

����������&�#��'1������������

+����� �%������&���������������������� ����������� �����#�������"����� ��������#�������

%�������������(��������������������������������(������E����K�������

��� ������� ��� � � � � � � � � � ��&�3�4���'�

��

��� �� ����:������� �����������&��3�4���'�

��

��

��

�6�

��

��

Page 105: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��������� � �����

,�� ��������������������&���-

�������������������(���������( ���!���������������������%�$�

! ��������������� � ����������������������7��������������������������� ���� ������ ����������� ��������

����"����������#�������"� �������#�������"����&���������������������� ��

D������� ���(��������� ��������������������������������#��������������������� �(��(�������

"� ���������&�3�"� ��'� ��������� ��� ���� ����������(��1��������,�7��0��������,�7#�����

�����������������,7����������#�������� ����� �

��

!�"�������

*����������� �������#���� �� ������ ���&���������������������&����� ������� ���� �%����������������������������������������������������������������

,7

"������������������,7���������������������������:�������� � ���������2����� �������0�#� ���(���� ��� �������

2����������� ����� �

-���������������������������������������#����������#����������&�����������'�

��

!�(������"�������������(������� ���������������2���������������

���

��

"�������� ��� �������00�� �55��������������-��"�$�� ���������������

������

*������������&�������������������&���������������������&������������ ���������#�������"���� �������#�����4��#�������"� ��5��������

����

���

�� ���� ��� ��� �� �� �

Page 106: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� �����!��" ������������� �������� #���

��������������� �������#������� �����&������ #������#�������"�� ����� #�����#�������"�����&�������

������������������ �������#����������������%����&��%��������4���� �����������������&����5���������2������

.������ ���������� �������#�����������#���������&����������5�I������&�����5��������#�5�9�"�������#�#5�J �� �������#��5�8 �������#�-

�������� ��������������� �� ��$�����������)�(���-��������������������������(���������)��)�(����������������������)���

�� "����������&�3��'��������������������(���������������������0��������� �#��������������������&���������� ������� �:������� �� ��������������������'�

��� ��������

������

��

������������������������)�������������� ������� ������� ��������� -�������������������������(������������(�����"���������

"����������&�3��'������������������������������"��"%8#��������$���%#8� ���� �:��"���� �� ������ ��������������-���������������(������

�� ��������������������5#����������&�3��'��������������<����#������

�� ����<L����#��������=<L#�����������4/L#��������

4<L� � ��������� ��2�� � �(������"����������� �(���1� ����#� ����#����#����5����5���

��

��

-������������������(������������������(��������������������(���&�3��� ���' ��

���������������������&�!�"���'����&�!�"� ���'���)����������

�� ����������� �

�� �������

����������������� ��%�$�

��������

�������� ���� �������� �&�3� "� ��'� �� ��&��3� �� ��'� �� �������� � ���������� �(���

������� �������������� ���"�����������������������#���������������������������������

������������*��������"��$ �%�$�

����

�����

��

��

� ��

�5

Page 107: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��������� � �����

��������������������)��������������������+ ���� ���� �������� �������������������(�

�������� ���������&�!�"� ��'� �� ���)�

��������� � � � � � � � �� + �������� �������������(���������������1�'�+�� ��� �� ������'�!������ ������'�9����������&�����

!������#������� ���� ��������&����������������#���������&�������������3�����#���

@��� ������&�������������� ���������6���,� �������� ��������������3���%�#�������������������6��

��

�������� �����

��������������� ������)�(����(���� �����

���������

! �������������������(����������"��������%���(���������������1��;��;����=B/3����;������=B/

3������;��

/��#������� &�����#���������� � ��

� ��

%�������������� � � #

�����������������

��������� ��2�

����

H��� ����� ��������� �� $��� ��)�(�������� ���������

����� ���$� ��������$� ���(�� �(�

+���������� &���������������&������� ���������������#��#������������ �#�������������������� �������,7������� �����&������&�����

, 7

,������� ������#������7����������������������������������������������������#��

����������������6������(����#�������� ���������� � � � ����������������������������!1

�'�������������������� ��� ��������!���������3�'����������������������$����������3�'������������������������������

� ����

�� ��

��

� ���� ���� �� � � � #� �� ����� ��� ����� ���������

��

��

���

��

,7

Page 108: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� �����!��" ������������� �������� #���

������ �(���� ��� ������ � ��������������$)�������������(��#

����������4��%����#�������

�������� �������� �&�!� "� � ��'� �� ���������� �(�� �� B/� &�(�����'�� -��"�$������������(�����A/�&�������)���'

��

�������������(�������(�����������������(����������������$�����������)�(�&�����������������������!������������������������:������ ����'����2���$�����(�����������������==/�

��

D� (�����������������������������������������������'�������$)�#�'�����$�������������6���(���(���������"������������������������������������

2��������������6������(����������������(#�������������

�����������������#����������#��������������(������"��������������(�

�� �� ����6����� �(��� ��������� ������)��(��������� �� � �

���������&����������������������'�

��

��

� �

"�������������(�����������

������� &�� ��� '#� ��������������I�������������������(���

2�����������

��

� ��

���

��

�'

/��#������� &��������������������� &��K

+���������� ������&����$������������3�����#���������&����������� #����������������� #��������������������� �� �����

������

�'

��

Page 109: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�������� � �����

+������������ ����� ������������� �����

���3�����#����������&����������������������� �����#��#���������������� �#����&��#������

/��#������� &�����#��������� ����������� �������3����#�������������2�������

!������3�����#������������ �#����&��#����������������2������������������ �%��������������#�������"#��� �����#��#��������

� �

�������������������������������������������������� ������ �����������2���������������������������

��,��������#����3���#��#���� #���#���#�������"#��� �����#�#�����'0:���.���������#����-

���

�����������!����������!������"�!�������"�!���������������"����"����"������!�����"����������

�� �

�' �������������!������������!��������"��������������"�!����������"�����!�"��������"����"!�����"!����������

� �

�'

����� ��� ����� ������&�� ��2 � �� �����������5����5-

"� �������� ��� �'� �(�� ��� ���������$)�)��� � ��������� ������������ ��������������

!�"�������

������&���������2�����3���#�#������� �����#�#���������� �#���&��#������

����������� �����������������������������

I� &�������&���������������#���&��#��������#���������� ���

��� ��������

�������� �����(� ��� � ���� "� ��� �� ���$�� �������6������(����-����������������������(���

� � �� �

��������

��� ���������� ��� ���������(������ ����������������(��&������)���������'�����������(����������������������������!�����������������(������#� �����"������1����� ��� ����6����� �(�� ������(��

����4��������5����3���%��#������.��������2�������#����-

��

Uvideo si tvr}ewe i treba da upamti¡

Page 110: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� �����!��" ������������� �������� #���

0� � � � � � � �� � � � � � � � ���������������

������������ � � � ��� � � � � � #����������

����6������(����������������������

����6�������(��������%�$�

��

�� *������� �������#����'����E����������3 �'� ��=<#���E��������E��������6������(���� �������(�����(����

��� ����������������!�������� �����������0���5#����$���������=4/������"������� ���K����� ���� ������� ��� ���������#����$����������==/�+ ���������(���������

���� B�������3�����#�������� �����

���������7��#������� ����

�'��� 3���'�

��3���'�

���

3��('����

!�����������-��� �������� ���� ����(�

��� ������� ��� ��� ����������������

�������� ��������� ��

��� ������� ��� ������������ �� �� ����(��1����� �� � ����������

���������

!�(���� $��� ������1 �

��

����������������9,������(������������������������������������9�

���������������������������� �(� �-��� ��)�(��� �������������� -��� �������� ��������(�

���������3����#������������� ������������� � ���4��������*F�5�����������#������ � ������#�� ������#����-

,����������3�����#�������������������������������#�����&��������������������#��

,�� ������� ������#������������#��-

�������

!������#������������������#���������#��

9��

� �

,

-������������(���1�'�><#��?<3 �'�><#��?/3 �'�><#��><

���� ����� ���� ����6���(� �(��� ��(������"�(���������(��(��

��

������

��������3�����#�������#�������"��� �������#����������������0)'��.��������������� ���-

��

-����������9,

2�������������������(��������#���������������������������������

��

��

�'���M�#�����'���N�#���'�����#('�����4#���'�����>�

��

��

��

��

Page 111: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

���������� � �����

+������"�9����� �������� ������������#��� ���#����������� �%��� ��������������� �����

��

������%��� �������� ���������������#���������&�� �������#��#���� �� ����2�����������"��� ��� �

@���� &������������ ��#� �����&����������������� �����*�������������������������$*��.���� �����������������������&������������������������#��������

� ��

������������� �%������������&���������������� ��#� ���-

9������������� ���K�/�������������������� ����������� ��9������ �����

6�#��������������"�05 �������������������������������/�����������������&������� �����9�� �����9,���$��'5 ��� ����9,����������#�������9������� ������ #���� ��9� �������&������������#�����������,�������������������&��������,�����9�������� �����)5 �������,9�� ��#� ����������������9�

9��2 ��� ������*�����������,���&��������� ������������������#�,������� ������ ��#� K

,

9�

� ���

�9�

��

$�������� �������� ������9������ �����������������9�����������7�������������'=::�#������

/��#������� &������� ����������� �������='��� �����&�3��'�������,34'����������������,3

>'���&�3� �� '3A'����������1�9���9�23<'�������,9����,9����������������(�����

9�

�,

+��������� ��#� ����������������������� ����,������� &�����#����������� � ��

.��#� ������ ���#�����,�9����,�9� %�$��� �

�� ���

+�������&��,9����,9����� ��#� ����������������� &��

.������������������� ����- .����������#�������#�������"�������-

������������ ���#�����������- .���� �%���������������#�������"����� �-

Page 112: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� �������� #���

�����������9������ �������������������������

.�� ������ ��#� �� �����&�������� �������������������&����

@��� ���������#����� ���#������� ���)�����%��� �����=����������"�9����� ����

9�������������&��������������@������������� �����6� �����������������������.�������� �����-

��

��� ��������

������

9����*���A������������ �%� ��������������

�� ��%������.�� ������������#����� ���#��� �������*F��� #����%��� �������� ��!������#��#������&�������

�� ��������������� �����6���������&���� ����+������"�9����� ������ ����������������� ������6������������4+�� ������������������� �������������������� ���&���'

��

��&���� ��#� ��%���&����� ��#� ��������������������� �����������&�������������

@��� �����&�!�����'��� �����6�� ���������%�����.�� ������ ��#� ����&�������������� ����6��*������������������� ����9����9�������������9��9�����9�9��

��

J �����#�������,9��9������� ������,����������������9��9������9�,9�3�

��������� �� ���#����9�,����9�,����������

@�����&������&�!��'����� � ����*��F�������������������������+�*���F��������� ��#� ��������������&�!��'�� ������� �����/��@�2���#�������,�@��������� &�

��

�������#� ������ ����� ����#������#����#� ���#��� �� ������� � ���� ���� �� �����&��� �������� ��%� ��� ���� ����� ������$������

��

� ��� ��� #�����

��&� ��#� ����������� ������� �����������������������������������!

��������

��� ���������� �� ���� �������� ��������������������������1������������ �����4<L#��������������><L�����������-� ���� �� ���� ������ ���(����� ���������3�����������������������������������2���(���������

��

������������������������������������������������������������-� ������������������������������������ ��������������!������� �$�������������������������������������

��

��

��

Page 113: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�����������������������$���� � ���

����� �������������

�����������������������������

���������

+ �����������������������������������������������������

%������������������������������ �������

����������� ���#�����7������������������7����-�.������ �����7����-

������������ �����#�����&��������������&����-

����"��������� &��������������#��������&��������������&�����4��� �-5��#���� ���� ��-

����"��������������������������� ����&���������������&����������� �������&����������

� �

�!����� ���#�������� �����#��������� ��#�������� ��#���� ����7�������������������&�����

6��#��#����������� ���� ����������&�������������������������!

L#�����#����������3�����#���������&�����

L#��� ����������������&�����

��

�����������#���� ����#� �����#�������#�������� �%�8��� #��������#������M�����������&�������������� #��

��

��

��

� �

� �

���

/��#������� &�����#� ����#�� �����#�������#���������� � ��

� ��

��

����

.��������������#������ � ������� �����#�������

/���������������������������������������;�������;���

Page 114: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� �������� #���

��������������3������������ ����#�� �����#���

$��� ��2 ��� ������������7����� ��������������������� �����#�� �����

6�&����������������&��������� �����#������������� #�����#����4������� ���5����'�@/#�@/#�C/#�=4/3 ��'�?/#�=>/#�==/#�</3�'�A<#�?<#�=><#�=/<

��������� �����#���������� �������� #�����#�����4������� ���5�����'�=<L#�>/L#�><L#�4/L3�'�A/L#�4/L#�=<L#�4<L3�'�A<L#�>/L#�<L#�4/L���������#��#��-

��

�������� �����#�����������#��������'���������#���������#����������3�'���������#�������"��#������� ��3�'��������(�#�������"��#������#��

��&�������������������&�����

��� ��������

������

��

����&����������������������� ���� ������ �����#���

��������������(��������������� ��������(�������������:��(����=B/#�������������;����=B/��-������ ����������((�������������:��(���#���;����

������������

*�������������� �����#���������������� ��%��#���������� ������ ������ ��� �����#��� ������

��

6�7�������&������������ �����#������������� ���� �����

$��� ��2 ��� ������������&������ ��������������������� �����#��� �����

�����&��������������������������������������$��������� ����� �����#�������,��

�����

+������� ������� �����#������������� ��%��#�������0>:��

��� ����,���������#����������� �����������������������

��

"�����������;���� �

��

;� �

����� � �

�� � �

�������

�� %����1����;����=B/�

2�����������;�����=B/�

��������

������������6������(����������(�����������������(����� ����������"�����

��� �

��

#������ �

��

��������;����>C/�

To ¡to si uvideo je jedno va`no svojstvo tetivnog ~etvorougla.

Page 115: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�����������������������$���� � ���

"���������(���������������������(��������(��������:����������&���������1

�� ��� '�

�������������� ���#�����&������������&����-�?���� ���� ��-

��������� �����#�����&������������&����-�@���� &������"��������������� �� �� �������&���� � �������&�����

@�� �� &�� ����"���� ��� ��������#�����������������������&������������&������+������ �������&���������������&������������&�����

� �+���������� &�������� �����#������� �� ������� ���&������ ������� ������ �����#�������������#�

�� �� � �������������

+ ������ ���� �����,��7��9� ��� �������(��������������(�����(������#�#������������������������,��7��9�

���������

�������������������#���������#�����������%������� ��� ���� ��� ����.��� �������� �� ���� ��� ������� ����.���������� ��

� 7

,9

� �

��

� �

� �

� � �� � ��

��

������

J �����#������� ���������������������&���������������������������!

.��#� �� �� ������ ������� �� ������� ���� ���#������ �������� �������#������*���������������������0����<��#����>�������A���#�����������������������������

��

@��� ������7������&!3�4#<���'����� ��

����������"�� ��@��� ��� ��#� ������� �������� �� *� �� F�� ���� � ��� � ��������,�� ������������������-�8 ��� ������� �� � �� �� �������� �# ���#��-

��

� �� @���� &������� ���������9��#� ���� �����#��������

,

7

��

Page 116: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� �������� #���

,��$��������$�$���1�&��;�� '�;�&�� �;��� '���&� �;�� '�;�&��;��� '�

+�������������������#������� �������� �������� �����#�������1

@���� 7������ � ��#� ���������#��� ��������������������� 7��

�'�������������������� �;������;��� 3

�'�� ������������������ �������

0����������(�������������(������#������ ���������������)�(��:��������:�������

���������#������ �� ;� �� �� �� ;� �� �

9�������������� �������#� ��#� ��#�� �����#����

�� �;�� ����� �;���

��

O�(���������������������������������#����1�����������������������,����������7�

����$������������������:������&�������� '���������� �$�������������

/��������������������������������������2������ ��%� ������ �����#���

+ �����������$���������$���������� #������ #��� ��� #����� �

@��������������%� ���������������%� �����������������

,�� ������������������-

6�7���������7������ ������������ �� ��2 �������#���� �� ��#� ��#�� �����#���

*�������������� �����#����������&�������� ��%� �������������������&������#�%���������� ��%� ������ ������� �����#��� ��#� ���

$��� ��2 ��� �����������&������ �������������������� �����#��� ��#� ���

� �" %

���

Page 117: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�����������������������$���� � ���

.����"��� ���� ������������ ���� �����#�����&�������������&����-��

��������������3������������ ��#� ��#�� �����#���

���������������������������2������������� ��%� ����� ��#� ��#� �����#���

��� ��������

$��������#�����������#� ���������������#�����.������ �������������������� �����7����� �����&����-

���� ������� � ����(� ���(����(

������(�����1� �� ���(���#������"���

� �� ��� �����!������� �

��

������

�� .�����������#������ ������ ��#� ���� �����#��-

�� �������� ��#� ���� �����#���������������&��� #���%� �����4�����������#��5��'� ����%����#�����(��3�'�������$���������������

�� ���(������ �������(������� ���

����"����#� �� ���(� �������� ���#� ����!������������������������������

�� ���������������)�������������(����(

����� �� ��� ������� ����� ��)�(�(

�����

��������

@��� �����5������� ���5��������5��� �����,� ��������������� �%����� ��������&�����

��

����"��I� ������������&�����������������#���������������� �������&����� ���������������&������������ ��%������ ���

Page 118: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� �������� #���

��2��� ��������(�������'�(��#��1��'�����?3���'�����B3���'�����=/3�('�����=<���

/��#������ ��#�������5������#�����������% ����

� ��#��� ����������� ��� ���#���� ������4=('5� ���#����� ��#������� ����� ��� 41('5 ���#�������(�#���������������('� ���#���� ������������ ���������� �����

��

�#��������

$������������� ��� �%��#���������5�� ��#�����5�� ��#�����5��(�#���

+������������ ����� ���

+������� ���#����������#�������0>:���A���� ���#���������5)���5�<����5���('��,�����#��������������������,������� ��� �%��#�������:(�#���������4���('5

/��#������� &�����#���������� � ��

� ��

@�� ������� ���#����� �� ������ ��#���������#������������������� #���#� ���-

@��������� ���#�������������� ��#���������#�������������������� #���#� ���-

/����������������� ���#�����"������� ��������(�#���������#������������������� #���#� ���-

����� �� ���������������������������������� ���������� ������

���������

.��������������#������������ ���#��-

.���������� ���������������#������������� �����#���)1:��

��"3��

Page 119: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� ������������ �����

.�������#�������� ��� ��������������������� ��#��-

,�� ������������ ��� ���#����� #������ "��������#�������� ������ �����;������=B/�#��;�����=B/�

$������������� ��� �%��#������ ��#���

+������������ ����� ���

,������� ��� �%��������%��#�������<���=B/�����@//���,������� ��� �%��#�������&<���4'���=B/����>���=B/����<A/���,���������%��#�������<���=B/����&<���4'���=B/����@//����<A/����>C/�������������������������� �������������

,���������%��#����������#���(�#�����>C/��

+������� �����

���������������"�������������������������������;�"�����������#��

� ��

.�������2������ ��������������#������'������� ����#� ���#��� �'������� �-

,������� ����� ���#�����&����������������������������������� �������������������!!

6��#��#����������� ����������������#���������������������������������

���������

$������������#� ���#����� ���������� �����1

;��������!����;������� !����;���� ���

$������������������#�� �����#�� ��������$����

$������������������#�����#�� ��������������

��������"�������3�������;���������

.����"���������� ��������������#���(�#��� ������-

��

5

���

���

�� �

������������� ��� ���#�����������#�����#����

"�������� �����������$)�:��(�����&B���4'���=B/���=/B/#��� �����

������$)���(��� ����� ��� �� ��� ����

� �

� �� ��=><�

<

� �

��

��

�� ��� �� ��� ����

� �

� ��

=

Page 120: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� �����!��" ������������� �������� #���

��������������������2����� ��� �����������#�����������#��(�#���

������������������������������������#��(�#���

.�����#����#��#����������� ��� �%�#�������������5�)1:����5�0>:�-

$�������� ��� ���#�����������#�����������������#�0'(�#���

.�����#����#��#����������� ��� �%�#���������������� ���������������������

��

.������ ��������������������#��#������� #������ ��� ���#��������'�=AA�#��'�=<C�

������

��

.�����#����#��#����������� ��� �%�#������������'�=B/�#���'�>C/�

��

$�������� ��� �����������#��������������#���5�� ��#�����5���� ��#���

��

$������������������#�� � ��#�������� #���� �����������" �=��

��

.�����#���������#����#��#���������#������'�>C�#��'�4A�#��'�C/�

��

.�������� �������������#�����#�������� #������������������

.����������������#��#����� �������"�"������������"%�"���

!������ �����������:� ���� ��� �#���� �����

�(����1���

��

.��������2�������������#������������#����#��#��-

.����"���������� ���������#����������#���(�#���

+�� ��� ���#�����������#��(�#��������������3��������

�#������

������������� ��� ���#������������#�����������#��5�H(�#�����5�0:(�#���

��

������������������ ��� �%�������%��#���������#��(�#���

����3�������������������#��#���

��� ����������������

,�� ����� ��������� � �(�#���� ��&��� �5������ �#��� �� ������ ��� ��� ��#�����5���������#���������� ��"������� ��� #����5��������#����� ���� �� �������� ��� #�

��

����� �� ��� ��

Page 121: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

���� ������������ �����

������������� ���� �����������������

����$���� ����� ������������ ������� ������������&��������

��������� ���#���������������������� ���&�����

� ��

$���������������2���� �������������������&������������� ��

� �

8 ����� ���������@��� �����#����� ���#��-

9���#���5�6����� &�������������

5 - �

6

8 ����� ����������6-���������5������ �����56��������%��6 .�������2������

�����������������������#��#������������� ���&����-

��

$�#����� �� �� ������� ��� ��� �� ���������#����� �� &�������� �� ��� ����D(�#���� ����� ��� �� ��� �� �� ���� ���������#�����-����������

!������� ������� �

������"���������%#�����������#�����������������#����!�� ����������������������� �����$�����"������>�������,��#��"�������������������������������������%���$

�������������� ����� ��

!������#�� ������������� ������$�� ��������������D ���#������ ��� ������������������������ �� �

� ��

��

5�

6

<

�-

���

��

������������4���������������-5��������������� ����� ����� ��

��

*���������&������������2 ������%� ���#������������"��������������������� ���#���������������2������������������ ��

� ����� ����� ����������� �

� �������������&���������������������������#��#��

�� �����

Page 122: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� �������� #���

$�������#���������#����#��#������7����� �����&�����

������

+��������������������#��#������&����� �����7�����

$������#����������� �������L�%����� ������������� �����������#����#��#���

@��� ����5���������� ���#�����5����������� �����#��������� ���������&��������������� ���

��

+��� �����&��������������������������5���������� ���#����������5����������� �����#���

��

� @���� &������ ���������� ����%������������% ���#��������������������#����#��#���

,����������&�����������������������������������#���(�#���

���

��

�� �

!��� ������������#����#��#�������������������������� #������ ��� ����$�������������&�������&��������� ����$�

�������"�������$�����

@���� &������ ����������� ��#����� #�������������7����������&�������� �����&����� ����&�����

� ��

/��#������� &�����#�����������% ��

$��������� �����������%�� ������������%� ���#����������������� ����� �%���#����������#���%��$��������2������

�����&��<��������<���������� ������ �,�� �-

!����

�� ����

�� ��� � �������

�� � ������������� �������������#�� ��#����� ������

��������� ����$��,������� �������&��������� ������$�� ������������ �����������#�� ��#���� �������������&���������������������������#��#���

�<�

<�

�<��

<�

5

<�

Page 123: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

���� ������������ �����

L#������� �����2�����(�#������

��'�������3�������������

�����������������(�3������ �����������������3

�� ��������������������������������3����

�� �����������������������������������������

.����#���������(���'�(���

@��� �������� �� ����� ���#����������5����������� ���#�����5����������� �����#��������������������������&��������������

��

-���������������������������(��������������=4'�(�����������"�����

��� �����$� �� ������$� ���"�)�� ��������������������������������(��(����

��� ��������

�����6���$�$������������������(�������� �� ���������� �(�� ������(��(����

.����"������� ���#������������������ �� ����#� ���#�������

�'�����<3�����'�����B3�����'�����@

$������� �������#�����������#��5� ���#�����5�� �����#�����5� ��#���#5�� ��#�����5�����#���

-��"�$����������(����������

$�������� ��� ������������ �������#�����������#��5�0'(�#������5�0=(�#������5�':(�#���

��

������

�������� ��������������(�#������������ �������#����'�A/3 ('�=//3

�'�B/3 �'�=4/

�'�@/3

��

.��������������(�#��������5��� �������#������A<�3��5��������#������>/�3�5���� ��� ���#������=AA�

��

@��� �������� �� ����� ���#���������������� ��#��� ������"���

��

��������

����7�������������������������#��#��� #����� �������#���������� #�������������#���

��

Page 124: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� �������� #���

��������������#��� ���%��������(��������������?���% �

!������� �$��������������������������?��������������������

�����������������&�!�� '�

2����������������������������������� �� � � � � �

!������� �$�������������������(�������������������������

����&���������� �� ����� ���#�����������#�� ��#����������� ���� ���#�����

.���������#���������� �� ����#� ���#�����������#������ ��#��-��

�� ������������� ���� �����������������

���������� 7��������� �� ���� ���#�����������#��(�#���.������ ���������� �������#����-

+����7�����������"� ��������������� ���#���

� ��

����������� �������#����

�����

.�������#��#�������������-

�������������������������7������������������(�#���������� �����-

� �

� �

�����

�� �

�����

�3

/��#������� ������ 7������ ������ ��� ���

.������ ���������#����

���������7����� � ������� �� ������������ ���������� ���#��� ���� � �����������������������������������

@��� ������7������&�!�"� ���'����� �������#���������������"���

������� �������������������#7����� ���������������������������������4��������������������� �� ���������������� ���#���������'5�

$��������� ��������� ��7����������� ���#���

.�� ���������������� �����#���� �������� ��� ������������%����������"������ �� ����#� ���#���

��

/��#������� ������ 7������ ���������� ���

+ �������������������(�����&�������

�'����(��������������������������(����(��

�&����% �'�

���

��� ���

� �

� �

������������

�������

��

Page 125: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

���� ������������ �����

@��� �������������� ��#��������������&����������������������� ��

@��� ������&������&�!�����'���� �������#����������%���

/��#������� ������ &������ ���������� ���

����� �������������&����� ������

�� �� �� ��� � � � � �

9������������������&��������������������� ����� ��#���

@��� �������������� ��#����� �������������"������

�+�

,+�

!

"

#

$

,+�

@��� �������� �� ����� ���#�������� ������������ ���#����������������������������"������#����������������(���

/��#�������� &����� ���������� ���

����� �������������#�� ������

� �� � ��� � � � ���"����

���������&�!�� '�

.�� ���������������� ��#��������#������&����������������

� @��� �����������������������&����������"� ����

�+� �

,+�

��

!

"

#

� $

%�����&'

$��������� ����������������������� ��#���

������ �����������������#��#��������������&�����

��� ��������

�����������4������� �� ����� ���#���5���������������� ���������� ��������

.�� ����������� �� ����� ���#�������������������� ��#����.��������#����� ���#��-

@��� ������������� ��#����������������#��������������

@��� ������������ ���#����'������������������3�5���������� ����������&�����'������ ���������������������

��������

�� @��� ������������ ���#����'����������������%���3�'��������������������"� ���

��������

������������ ��#�������&�������� ���������� ������� �����,� ������ �����#�����

�� @��� ������������� ��#�������&������������%����

��

Page 126: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� �������� #���

!����������� ������������������ �"��� ��������0����.���������������� ����������� �"-

$������������� �"�������������

������������@#���������������!�������$!�������������=C#������������%�!��������#!�������������4<#������������ �!�������" �

2����E����������� �������������������������������:������ �#�����

�������������@�;�=C���4<������������������

8 ������"����������������� ���� ��������� �%��� ���-

�������� �������

8 ���������� �����#������-�.�������2��������� ���������� �#������-

.�� ��������������� ���#����%��� ���������� ������

� ��

*��������������������������������+ �������1� �3��"�3����;�%�3� ������3� ��� �

@��� ������������ ���#����������� ������#������ ������

.��������� �������������&������� ������#��#��-�.������������#���� ���-

�� �������%���#��������"�9���� ��������������#���� ��

�� ���������#��� ���#������� ������������#

%������%��� ���������� ����

��

/��#������� &������������������������������2�������� ���� �������������#��#� ���#���

����������������

���

���������

����

Page 127: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��������� ������� ���

����%������������%�����

.�������#�������#��#� ���#���������� �%��� ������������������������ ���� �

����������%��� ����� �������#��#� ���#���������� #��� � ���������������#����

��

+������������ ����� ���

������1�������������������#��� ���������1������ ���� ���� ���#���������#����������� �#������� �������������������;���!�����

������ � ��� � �������������#�!�� �� ��� �� !�� ����� !����������

����1�

� +��� �������������������#���� ���#������� �����#�����%��� ��������&�3�������

���/����0���

*������� ������ ���� ��7���%��� ������ ���

��������;������������������ � ��� � ���

����#��� �����

��������

,�� ���#�������������������� ���������)�<���=����� ����G#��"����������������������#����,��#� �#������������������������

! �����������������������������#��� ���#����� ���������=�0'���0)������������ �������������������

���������������&������������������������������������� ���#���

+������������� ���#��� ��#����������#� ���#�����&����������������#�� ���#���������� ��������������"����������������

*������� ��%��� �������������� ����� ��&������#��� ��� ���

,��������#��� ���#������� ���������"���#������#������%��� ����������"����#�������3����������� �#������� �����

��

� �

� �

���������������������������� � �� �� ��#��������������������������������������� � �� �� ���

Page 128: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� �������� #���

@�2��������������������������� 7��

��

@�2�������������#��#� ���#������ ����

�'��� ��������"���3��'��� �=����"�=��

��

�'����� #���������! �'������"��������(!

�'�����" ���������! ('�����"�$�������"!

�'������������������%

@�2�������������#��#� ���#����%��� ���������� ���

�'������������3�����'����(�=������� �=��

��

@�2�������� �����#������ &��

��

6�#������� ����������#��# ���#�������������5��������5����������������������-��$��������#�����

� � �� �

��

��

�����������������1�'�?3��4A3��4<3 �'�B3��=/3��=<3

�'�B3��=<3�=?3 ('�=43��=<3��4/�

�������������������(��

��

������

@�2�� ������ �� ������� ������#��# ���#������� �����#�����%��� �����

��

�����&���� �#������ �����

��� ��������

���������������� �����������#��# ���#����������"�� ���%�

��������������#��� ���#���� �����������5�0'��01��'0���5�)��0�1��)�<-

@�2�� ������ �� ������� ������#��# ���#������� �����������%��� �������1�'�����4#@#������43�����'�����=#�����/#B�

+������"��� �#����� �������������������� ���#����� ���������D��0:��0<������#���

��

9�������������� ���� �#������ �����

*�������������������� ���#�����&�������������������;������ ������ ��� ���#���������#���

��������

Page 129: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�������� ������� ���

� �� ������������&��������#����������� ���� ���������

/��#������� &������� �����

��������������������(����2�2���(�����������1 ��������������������������"��!�������� ��� !��������� � !���� � �����%� �

�� + ������������������(�������������������������1�'�����#���3�����'�������"����

�� !������ ��������� � �������� �� ������� �������� �������� ������������������

.����� ���#��������� ��+����� �������������#��-

.������� ���������%��� ���������

2������������2���(�����������1��������������!

�������"���� �����#$!������� ��� !�������������

�� @�2������������&���������������������#��������� ��������������"��������"%����

� � �

��

� �

� �

� �

� �

��

���� �������� ������������������� ���������������� ����� ��������

��

,�� ����������#��#� ���#�����7��� �#������ �����

���������

�� @���� &������� �����������#������������ ��������������"����������

/������������"������� ����&��������#�����

� J ���� ������ ���������������"������#��#� ���#��� ����� ����������������������#�&��� �� %�����#�����������#���6�&����� �� ��� �� ���� �� ���#��#�� ������� 3�#������ �� ������#��������������������� ��

� � �

��

� �

2�����������(����� � �����

�����������

�����������

�����������

Page 130: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� �����!��" ������������� �������� #���

.������������������������&������������� ���� �����������������

$���������������������������

������������� �#������ ������������#�������������� �������� ������ ���#���

��� ��������

���������#��#� ���#������������

����������

���� ���

3������� ���

���� ����������

���� ���

3������� ���

����� + ����������#���������������������(����(��������������������������

,���������������������������������(�������������������� � �������������$��

�������������������&����$���������'���������1��

��

� � � 3�����

� � � �

8 ����� ���������&��������������� ,�� ���� ��� ���$�4����������5������������� &�� ��

+������"� ������M�������������������3�������������������������(���(�3��������������������������������

���������&��������� ����# ���#����� �����������=��

%��$�����������(�������������

��� ������� �� �1� �� �� � � �,��$� ��� � � ��$� � �� ������$�$�������������������������������������������������

!������������$�����(���$

��1������

�#�������

�#�����

��

��

� �� @���� &������� ���������� ���� ���#�������������� &�����#����������� � ��

8 ����� �������7����� ������

8 ����� �������&���������������#��� ���#�������

� ��

��

���������

"���������2���)���1��#��#������������������(���

���� &����%�������5�������� ����� ���#��-4�

�����������

�� �� �� ��

��������

����

����������� ��

�� ������� �

������� � ���" ���

Page 131: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��������� ������� ���

.������� �����#���������-

.���� ����������������-

/��#������� &������&����� ������3�#���

� �� /��#��������������� ���#�������� &������#����������� � ��

��������������#����� ���#�������� ������������������# ���#�������

� ��

� �� �

� �

� ���

�� �

����� �� ������� �������� ������������������

,������� ���#�����&�����������������-

� �

��

�� �

� �

���

� �� �

� +� ������ ����� ������ ���#��� �������� ���&����� � �� � �� �� ��%#� ���$����� #��������

�� $�������������������� ����#� ���#���� ���������'������#����'��������

� ��� ��� ����#������ �� ������ ����#������#�����#�������������&����

�'�����%��� �! �'"�������%�!�'�����"�����! ('�� ���"����" ��

�� $����� ������� ������ �� ��������&�������������� ���� ��������'����������3��'����������

�� �� �� �� ���� ������ ��� B���� � �������� �� �� �� ���� �� ���#�� � ������������%�����$����� ������ �"#� ������ �� ����� �� ��������������� ������ ��������� �� �%������ ��

.������� ����������� ���%��� ���������

�� �#������ ��������#�"�������������������������2������������������������������#� ���#���

2����"��$���1���

$����� ����#������ ������#������� � ������������'���"��=�!���$#�=�!�'�������!��#�����

��

������

�� $����������������#���������� �#����'���������#������"��3�'������� �=�3���������=��

�� +� ���&����� ���� �� ��� =�� �� �����������#������ �� �������� �� =� $����� #��������

�� !����� ������� ������ �� � ���������� �� ��� �� ���� ����#� �����#����$����� #��������

��������� � �

����������

�� �� �� ��

���

Page 132: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� �������� #���

!��������(��(����(���������� ������A#���������1��

�� ��2������������������(������ ��������������(�=�����=��������"�$�=��

� D� ��������"�$����"������������������#������� �����)�(�������(������������

���������������������� �����#� ���������������������������������

������1���������������#��������"% �

� �

� �

��

� �

�� $��������������������#� �������������������������#�������������"%����

�� /��#������� &��������������"�������� ��� �#������ �������������������#� ������

+���������� 7����������#����"����&��

��������

"�����������������"�!��"���������!�� � �

��

�� �

��

� � �

�� �������������������������#� ���#����������� ���������0<���������������������'<��

�� $���������������������#� ���#��������������0:�����������0)���

@��������� &�����������#� ���#�������������������������

!���������������1��

%�������������%%3�������� ��� ���=4#�����������"���

.������� ���%��� �������������#����������

!�������� �$����

+�������������������������������#��� ���#���

.������� ���������� ������ �#� ���#��-

/��#������� &�����#����������� � ��

���������

� �� �� ��

�������"���������"���#������"!!�

�����

�� �����

�������������

�� �� �� �� �

���

������!�����

�� ��

�� �� �� � ��� ����!���������!��'�������� ��� ����������������

�����

�� �� �� ��

���

�� �� �� ��

���

Page 133: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��������� ������� ���

$�����������������#� ���#�����"%������ #��������$���� ��������������������������

��

������

�� $�����������������#� ���#�����"������� #����������%������@�2������ ���#���

� @�2������������������#� �����������������#���#���������������" ���

�� ����#���������#�����������'�A4���</3��'�4A#C�����<C#B�.������������&��������� �����������-

�� ! ���������������"�$�=�#�����������#��������<�=���@�2�����#�����#������

��

�������������������������#� ������� ���������%�������#�������������"����

��

�������������������������#� �����������������#�#������������ ����

� B���� ������&���)�������� ����������L���� ������0�>������������������������� �#���� ������������-

���� ��� �������� � ;���%�!�;���%�������� "�������;��� "��� ��� +����������������� � �����������������������#������������"%�����$��������#�

����#���������

������������� �#������ �������������������������#� ���#�������������#� ������������������#�����������

��� ��������

����#���������#����������"�������#��������������� #��������

$��������������#� ���#������������%������������������@�2������������������

� ���������������������������#��������"%������������

+������������ ����� ���

� ������1�������"%������������

��������

����

�� �� �� ��

���

�� �� �� ��

��������

���

�� �� �� � ��

���

�� �� �� � �"����������"!!�������"����

Page 134: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� �������� #���

���� �� ������������������

@�������� ������&������ ���3�#����#������

@���� &������ ��*5�������#����������������� �.�

� ��

*��������������������������������G� ����#� ������ �"�� ��� ��&�� ������������,���3�#���*�������,�����"5�6�����������������,�#������������G��0'�

�����������������

.�����������������,���3�#��������������������� ,��3�#��� ��� ���� ����������G-

�5������������������#�������P����3�5�3�#������������������ ��������#�������������������������������������

,�,� ,� 5

� � �

���������G�����#������� �"�������&���� �����������������

$��������������������#����������������� ��.������������� �4���� ���������#� ����5���������������������������#���� �%-

.��������2������������������������#�������P����

$��������������,�3�#���������������,���,���,��3�#����������������������#�������,� ������������������,����������,����,����,��

.����������������������,����,�

.�������������������������������������,��������&����=-

.��������� �������� ���������&�"������������� ����������

,����,� ,��

.������ �� �� �� �"�� ���������,��� ����������,�

�'P

9

+�2 -

�'

��

��

��

5

Page 135: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������ #��������� ���

6�7�����������������5����������������#��������������� �������������� ����������������5��������������#���������������������������5����������3�#����������������������������� ����%�������#�������

8 �������������� � � � � � � ����#��#��������5��5� �� �5� ��� � % � � � � #���� ��-

$�������������#��#������� ���&���"����� ���

�� �������������#����#��#��������������� �����������

�� *������������#��#����������� ��������������������������

�� *��������#��#���� �����������������������#��#��������������������� ���� #������������������������������������� �%����#��#�����

�� ��������������� �� ���������0������������������������������������������������ ���� �����������������0����

���������������������������� ���������������=��#������#����������"��=+��#���@��#�������

.����������#������������ &������������������������������������#���� ��-��

�'

" � ��

%���� � ���

� � ��

�' �'

�� �=���#�=�

('

%�=�

"� �=�

�� �=�

�� �=�

�'

@���� &�������������#�������3�#��������5��������������������5(�����,���������������3�#������&����� ���>�����������������&�-

�' �'

Page 136: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� �������� #���

��� ������� ��� � ���� ������� �����(��� ���(��#� ��� �� ��#� �� ����� � ����)�:����������#������(����������6�(���1��'#��'#��'�

� ��

��

����

��

�� ����

��

�'�'�'

�����������3�#�����

-��������2���������$����9����9� �%�$�

.�������2��������������3�#�����5����5���5����5-�,�� �-

���3�#�����������������������������&��������������

���3�#���������#������� ������������������� ���������#�������"������3�#�����7����������������������

F�(�������'#��'����'�� � ��������A����������:����$����

$���������3�#������� &������������������������

���������������������������#��#���

��� ��������

���������������#��#���������%����������

�' �' �'

��������&������#��#����������������� �������� �%���#��3�#����������������

.�&������������ �����������

*��������3�#���������� �������������������������������3�#�����������������������-�$�����K

� �

� �.���� "�� �����&� ��������� ��� ��� � ����������#��������������-$�������� &�

��������

�����������

Page 137: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������ #��������� ���

���&�������������������#���� ���#�������� �%�� ������5���������� ���#�����5�������#�������#5��������,�� �������������3�#���������������-

��

������

�� .����� ������������������#�������$��������%� ���#����� � ���� ���������� ���#��#���� @��� ��� �%� �������

� E�#�������� &����������� ���������� ������

�� *������������#��#�������������������������������������� ������� ����-

�� *��� ���� ����� ����� ���#��� �����������������������������������������������������-

�� + ������������������ ������5� ������ 3�#��� �� ��������������5� 3�#��� ������%� ��������� �� ��������5������ ����� ���#����������������#5� ����� ����� ���#����� ���#�������"� �������� ��������� �������%�����������5�.����� ������#�������"� �����������#����������������%����������

� �� � �� ������ �����4����� &�5��5�����6��<�� ����� #���% �������� +��������������� �����#��-;�� �� ��������������� ������

�� *������� ������#������� ������ ����������� ��� ��� ����� ��� ������ ������������-

�� +� ������ ���� ��&�� �� ���� ����������������3�#����� @������4� ���#�"����5���������� ������������/� �������"�� ��� ����� ���������������� G� ����#� ������ �"�� ����&�

������

��������.�� �� ��,� �����������2$���������#�����#������$���5��,����5�

�����

!

� # �

�( �

$ )

"

Page 138: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� �������� #���

��&������������������7�����������������#�����������

� ��

.������ ������ �"�� �� ���������� ������������������#�������������������� ������� � ��� ���� �������-� .����������� �"�� ��� ������ ������#�����-.������ �� ��������� ������#����������7��������-

�����&�"�����������������������������H

A���� �������� �"���� ����"���������������"�������������������&�� ��� ���������� ���������� �"����������#�������������� �-

,����������������������#�������"����������������������������������������

.��������� �������������#�������������&������� ������ #��������� �� �� ��� �������� ����� ����� ��� ����% ������� � �� ��� ��� �����������#������

� �� � � �

� �

����� ��������� �����������������������

������2����������� �#�������#������������� ��� � ������������ ������ �"� �������� ��������������� ���

� �

� �

�������������������������#������������������� �=�����������#�=�����=��������������������� &��

��

��� �������������������������������������������� ���� ���&��'�.����� ���� �������������������� �� ������0����

��=��

�����

�����

�����

��������

�����������

����

���� ��=+��

@+�� ��@��

�����

�����

��������

�����������

F"��������������0���

��

,�)�������������������������1

������� ��� ��7����� � �� "� � �������#�������������"�#��

4������ &�5�������&�� ����#���������

�� ���(���#��� ���%����

-���������������=�� -������������������ -���=���������" ����

��������

Page 139: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

����� #��������� ���

�������������������������#�������������#�����&����������������������&��

�1� ������2�������1��� ���(� �������� ���%������

��

� �

� �

(� ���

%�����

0�� ����$���������������������� ��������#����

����������������"������ �� ������ �����

"��� ��� �� � �� ( � ���� �� � �� %�� ���� ��2�� ���$����,� ��� �����(����������

������������&,���( ���%������"" !�,�����"" �����#�� �� ����������������������� ��������������������������1�(� ���%���

*����������� ��(�� �������

6�&��������� ���������������������#��������������������������������������������������������������������&����������������������

F�7������� �

���������������#����������������������������7����������������

,��������

2����#��������������������(�������������#����,���������������������

,������$���3������������3��������������

��������������� ����������������� ���&��� #��� ������

,�����

F������,� ���� ��������� �� ���� ������� �� ������� ��� � ������� � ���� ���� ����������������

+� ������&����������������� ������&���������������������!������������������������#�������������#��

+ �����������$���������(��������������"�%�=�����������(�� �=���

+ ������������$�������������������������������%������

Page 140: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� �����!��" ������������� �������� #���

*������ ������������ �����

���������

,��������#�����������%��� ������ �� ��� ���� �#� �� ��&���������� 4�� �#����� ����5�

���������� ��������� � /������#����������������������"����������#�����������������

� ��

.�������������#�������� #�������"

/��#�����������#����������������� &��� ������ ������#����� ����� � �� ���%��� ������������ ����������� ������������ ���� ����

� �

��

.���������#����������#������#

.���������#�������������

� �

� �

� ���������� �����������"�������

���������������� �����&��� � ��� � ��� ��� ��� ���

��� ����"'� ���������6������,���������

+ �����������$����,�����������������(���������#�����

- ;

� �+������������ ���������� �����

9����������������������������������#����������"������(������(���-;#���2���(����������������1��������������3������"��3������

��

��"������,����������$���� ���$�$�

5�����$��1

����������������� ��������#�������������&��������������3�������

,����

���

�������������������������#��������������� ����#�������"���3��������������������������#�������"������������

��� ��������

������� ������ ���������#��������������� ������&���������������������������

������������

+����

��

���+���������+���

������+���"3������

�+����

��

Page 141: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������ #��������� ���

+ ��������������$���������(�������������1�'�"%�������#���! �'�(���=�!��%� �=�!

�'������!���

�����

��

������

���������� ����� ������ ��� ���������������������#����������������#�������"����

��

@�2�� ��������������#����#� ������� �� &�������������� ����

��

#

%" ��%#

+ ����������������������� ������5 ��������=�)�����5�����#�������#�%����

��

.����"�������� ����������������#������������5������������"��)��� �����������<�� ���5��������������������� ����'�� ���5������������"��<��� ������������� ��<��� ��#5������������"��)��� ����������� ���� �-

��

.����"�������� ���������������� ������ #���� ��������5����"��'��� ���5���� ��)��� ���5���"��0�=��� ��#5���"��=:N��5���� ��=:N�25���� ��1:N-

��

.���� "� � ������ �� ��������������#��������� ���������������&��'#����A������#����������"�����=�&��'#�������� ����������

,�� ������� ������ � "� � ���"� ����������������#��������������&�� ����������"�������0:N-

.�������� �� ����������"�� ������������ �� ��� ��� � #���� �����������"����'�'=��� �-

��

�������������#�������#����������#������ �� ����� ������� �� "%� �� ��������������#������

���

����(����������(�����������

% � �����+ �������1

�'����$���3

�'�������������

���

$�������#�������#���������0'����������������� #���%� �������������������������5�.������ ����%�������#�������� ���-����������� �%������������5�.������� �%���������"����������-

���

��&���� ������� ��<�"������������=�<���� +� ���� �� ��� ���� �������������0�'����������0�1�� �!������ ������������������ �����������������/������������ �����':N������������/����������������������������� ���-

���

�������������#�������#���������("�=����������1:������.���������������-$��������#������� �������=���.�������� #������������-

�������������#������� �������=����.������������#�����-

��������

Page 142: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� �������� #���

����� �����������������������

.��������� ��������������#�������&��� � ������ ����� �� ����(���#�����

��� �����������������#����4������ 7�5������ �������������������*F�

� ��

.�������2���������&��

��

�� ����

��

J �����#��� ������ ��� �� &�� ��������#����� �� ��&������ ������ ����������������������

8 ������&�������B�����4�� �%����&��5�����������#���������

/��#��������������6��������������������������

� �

� �

����

.��������2�������������������

.����������������#��������#�����

��'��� ����� �'������@/

�'��� ����� ���������$���

� �

� �

6�

,��$���������$���1

����� #�����������6�������������6&�(������������������������'�

���������6��&����������������'�

2���� ��� ������(�� �6��� �������(����

!������� �$�� �� ����� �

��� ��� �� ������ ��������������#���� ����� �������#�������6�� �,�� �-

��������������� �������� ������������������������#� ���#������ � ���#��������������

��������� ��������#�������������������������������������#�����������#

�������,����� ����� ����� �����

!�"�������

%���������(���������������� ���������������� ��������$��������� ����)�(�������(������"��������#�����

�,���������� � ��

� �

+

Page 143: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������ #��������� ���

����������������������������������#����������������������� ����� �#������ �����

F"�� �����������#��������#�������%������������������� ��� ���������%���#����� ������#�������� ��������������������������������#�����

��

����������������$��������������������,����� ���%�������������

��$����� #��� (�����������(�������(��������������#��� ����

� �������1��� #��� #��� ����� �;��� �

%�%�

� � �

� �

�@���� &�� ����� �������������� �,� ��� ���� ������� �����#���-;��� ��������� #�� ��������������������#��������������

� ��

+�� ����"� �� &��� �������� ��� ��2��3������� ������������ ����������������������� � #������#�������������

.��������������������&�������#�����������-

.���� ������ �����#������-;�

.���������������������� �����#���-;�#�����&����������"��������

.���������� ���"������������ �����#���-;������������������-

������������������������#������������������������������������������������#������� ��

,������������

*�������#������� ���������� � �����&������������������

��������������������������#������������������;�1�'���������������� ���������������

��

,��������!���,���#�"���%� !���,���"(�$����

! ����������#���������������������������#�����F���������� ����������������.������������������� ���������-

��

! �����������#�������������"� ���������������%�������������������������������

- ;

� �

���

��

�� ��

����!�����

Razgledaj crte` i odgovori na slede}i pitawa

Page 144: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� ������� #���

�������������������������������#�������������#�=���������% �����

,���

����#����% ������ �! ,������ �=��

�����������������������������#����4����������������5��������#�������"��3�������

��� ��������

��� �������� ���� � 3������� ������������ � �������� ��������� �������

������� ������ ���������������������� ����� � ��&����%� ���� ���� �����������

.������ �� ��������� ��������� �����������"�������������(����

.�������� ������������������������������������,���$#����

/���� �� ����#������� ����� $� =�� ������������,��� "(� =���� �.������ �� ���#�����#�����-

�������������������� ���������������������������� ��������" ����������������� ��� ���������%���

��

������

���������� ��������� ������ �����#������������������=�

��

���������� ��������� ��������� �� 0'�==�� �� )'�=� ���� �� ������ ����� �� �� ������� �� 0:����� ,� ��� ��2�� ���#�������

��

! ����������#��������#�������D�����0'��������������� #�������������������"����� #���%�������>���

��

��������������������������#������ ���������#������������������ ����#������������

��

���������� ��������� ������ ����� ��� �������>�<�=���� �����#������0=:��

��

J �����#�������� &��� �������#���������� � �� �� �� (����� �� ������������������

6�&���� ��������� �������#��������������������������������������������#����-

�������������#��������#��������%%��"����������#���������������� ��������������%��������������������������#�����

��

���

6� �� ������� �������#����� �� 0)���� ������ ��� ��� ����� �"�� ����������"��������� ������#������� � � ���� @�2�� ��������� ����(���#�����

���

��������

a) Kako da se podeli zadati romb na tri dela, od kojih mo`e da se sasta-vi pravougaonik, tako da mu osnova bude jedna od dijagonale romba?

b) Koriste¢i to, izvedi formulu koja iz ra ̀ ava povr{inu romba preko we-govih dijagonale.

Page 145: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������ #��������� ���

��� �����7���5��������������������#������������ ��������������#�������"������������������������4��������� &�5�

"������!!!

� � 5 �

� �

����7����������������,���4��������#���������'�������������������,� ��4�������#�������5������

�����

, ������,������,�������, ��! ��5�������������, ������,����!�� �� �����

����� �������������������

%������� ��� ������#� ��� ���� ������������������� ��� �������� ��

������� &�� ������� �� � �� �'� �������#�(������"������������

2������(������������ �������������������$������������������%����

� ��

-�������)�(�����$����#���������������������(������"��������

D� (�������������(�����6<-

-���������2��������6<����<-�

+ ���������)�(�����$������

�6 <

� -� �

� �

$���

%���

"����� ��������������!� ���� ��� ��2��������$������:����(���

.��������������������� �,�� �-�.������� ������ ��������������������#����-

��������������������������������������������(������"������������

��

� � �

� � �

+ ���

��� �� ����� �

Page 146: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� ������� #���

F������ ��� ��������)�����$��������������1��

����������� ������&��

�������������� ������ ���0������������������#�������������������� &��

� � �

� �

������ �� ��������������������������3������������#�� ����������������#����-

*�������� ������� ����"��������� �

.��������2����������������� ������������&%�$� '�

.������������������������#��������

, ������������.���������������������������������������������#���������

, ��������, ������

���������

%����1����$�����������,���, �����

�������#���������������������$�

+ �����������$�������(�������������������������(������"��������������$������

� �

� �

,�������������

���������$����#!���,����#����

-�� (�����6������ �� ���$��������� ��� � ��������� ��(������E�����������

��

������������

���������������������������� ��� ��������� ��������������

,�������������

����������

���������

��������$��������(���������������������� �������������(������"���������

����������������������(���������������������������

� � �

�*�������(������"�����������������

����$���6������ ��� ��������)���)�(������$����

+����

�������

Page 147: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������ #��������� ���

�������������������������#��#� ���#������� �����������=��������(�=��

2��$����������(�(����(������������������������������� ��������6�����1

,��������

� ��

D� ������ ��"�$� � ��"�� ��������� �� � ���� ��� �������

6������,���

�����

+�����������������������(����(��1�����������$����

����:��������������������#������ ����� ��

2��������2���(�����������1 ������

+ �����������$�������������(����(�����������������������

+ ������������$����,��������(����(��������������������������������������

��� �������������� ����� ���#�����&��

����������������������������(���#�����$�������������"�����-�������)�(������$��� �

2��$��������(����������������#������������������ ��������

��6�����

(������������ ������������#������������������

!����6��������� ���3������ ������&��������������(��������������9���'�

� �

� �

�� ����%3

� �� ��� �� ��� �� ��� ��� � � � � � � ��� �� � � �� � � ��� � 3�,�����������

��

� � �

�� �

��

� �

� �� ��� �� ��� �� ��� ��� � � � � � �C� C� C� �� � � �� � ��%�C�(�C� �C�"��

�����������

�� �� �� ��

�����������

�� �� �� ��

�����

�� ����

�� +���

����

� �

�� +���

� �

���

+��� � � �� � � �� � � � � � � �

� �� � � � �

Page 148: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� ������� #���

�������

������������������� ���#������� ���������������#�������"�����������

��� ��������

��� � ������$� 6������,� ��

�� ��#� �

���$�������(��3

2��$���������(����(������ #����#��������)�(��� ������� ��� �%� ���� -���� �����������������

"� ������ �����(���� � ���(��#� ����������� ����"���#���:������ �� ���������-����������$���

@�2����������� ���#�������������������#�������"�����������������

�'�����(���������������!

�'�����#�=����������"���!

�'��������%�����������

��

������

������������7�������� ������������� ���#���

.������"�������� ���������� ���#���������5������������"�� ����� ������������ �������� ���5������������ �������� ��������������� ��� ��� �-

��

.������������ ��"����"� ���������� ���#�����������������"��=:N������������� ��):N�

��

�������������������������#��# ���#������� ���������#�����

�'������ ��������$!

�'�����"�����������(�����A<�

��

������������������������������# ���#����������������������������%����

��

������������������������� ����# ���#����� ����������������

��

@�2����������� ���#����������� ��� ������

�'�����#����������������!�������������!

�'��������=�����������%�=�!��������� �=�!

�'�����(�����������������!���������"���

@�2���������������������#�������#��# ���#���� ���� �� ��&���� #��%��� ������

@�2�� ��������� ����������#� ���#���������������� ����������������������������������� �������������� ����������#���

��

���������

Page 149: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

����� #��������� ���

����� ���������������������������

J �����#������������ &��� ���������������������

����������������������������� ������

������������5��������������3��5�������������#

���� �������#�� �� ���#��� ��%����

@���� &������������� �����������������"������������������ ���

� ��

$����� #�������������

*�������� ������� �������������� �����4������������#������5������� ���#��(����������� ���������� ������������������3�����"��

,���, �����,������

����"��� ���

������� ��� �!�����,��� ������

��������� ��������������� �� ����������������������������&�����������

"��������� �� ����

���"��� �����

������ ���(�

����������$���� �

��

��<��-�����������

���2������������������������������ �

�� ��� ����������������������#���������������&������ #���������������&�������� ��3��������

��

��������$���������� ���������������� ������� ������)�(��:�����������������

/��#����� ���������������������������#����������������� ���#���

+������������������������� ��������������,��

��,��&��������������'

� � �

� �

� �"��� �

���

����� �

� � �

�� �

+������"��#�����������������������,�������������,�#����� ���������������������

+���

� ��

Page 150: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� �����!��" ������������� ������� #���

+������������� %�����������% ����������������"�

#��������������6������

�������������������� ����������������� ��������" ��� ��

J �����#������������� &����������#��� �������������� ������� ����������&�������������������������������

��

.������������ �����-

������������������������� ����#� ����������������������%����#��������������������%�����

��

���������������� ���������� ���

@��� ������������� ������������������� &�����������$����������#��������������������$���� �� ��"������ �� �� �� ����#�����%����#������������������������#���������2���(�������������

���������

I�����(������� ��� ������� ��� ������

&��1��� ����� '�

.����� �����2�����������-

.�������2����� #�������#����--���������2�����������������

0�� ������������� ���#���#����������$������'�����3��'�����

+ �������� ���$���� ,� ����������������&����������'#��

����(�������1� �� ���%���#� �� �

�����

� ��

+ �������� � ���� ���$����, ��#� �������$����, ����#���������#����������1�,��,� �����, ���

��2�� 6������ �� � ��������)�� �����$�������������� ���"��)�(��:����(�������������

��

� �

� �

� �� 6

� �

%� �

��

%�

+��+ �����+������

� ����

� ���

� �

� �

��4�����!�4�

���

� ���

����

Page 151: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������ #��������� ���

/��������������� ������#������� �������������� &������������� �

�����������3��� ���� ���

����3�

, �����, �������

�� �� �� �� ����������

�������

��������

,���, �������, �����, ������������;�

���������

���������

�#�����������

����������� ��������������������������� #���%�����#������� ��

�� ��� �����������������$��=�����������������#������� �=���.�����������#�����#�����-

���������������������� ��������� �����

��� ��������

������������������� ���������������������$�=�������� �=��������������

B������ �����������������$�����������������#��������"������.����������#�����#�����-

$����������#� ���������������%����� #���������������%"���������������������

��

������

�������������#� ��������� ������������������ �������#�� �� ������ ��������.�����������#���������-

�������������������������#�����������# ������������������$������� ���������������#����������������% �

��

�����������������������#����������#� ���������'����������(������(���#�����������3�'���)����������#���#����" ������������"%����

������������ ��&���� �� � ����� ������� ����� �� ������������� ���#� �������0'����

��

�����������������������#�������#��# ��������������� ����������(��������������%������ ����

��

����

� ��� 3�������� ��&� �������� ������������������#� �����#��� �� ����������������������#�����������������

����

��

��������

+��� � �

Page 152: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� �������� #���

���������� ��������� �� ����� � ����������#������"������������#���������������� ����� #���%��#������"%����

� ��������������������� ����������#��������� ������%���

���������� ��������� ������ ��������������������$��������������������0:�����������������3��������#�����>/��

��

@���� &������ � �����������#��� ���������������������

���

�'� ��� ������ �� &��� � ����� ��� � ��������������������� ���#������

�'� ������� 3������� ��� �������� ������� ���� "�� 3������� ����������� ���#��

����� ������ ��� ������������������

6��#��#���������#������ ���������������#����� �����������������������������

@�� ������� �� ���#��� ������ ��#��-

-����� ���)�(�����������

@�� �� &�� �� �� � ���������� ��#������5������ #���#��� ���$�����������������������#� #���#� ����

.������������ �%� ���#����������������������������� �� ����� ���#������ ��#���

-����� ���)�(������������ -�����������;�$����(����������������������%���

@�� �� &�� �� � � � � � ����������� ��#���

� ��

���������� #�������������/��������� �� ��������������������� ������"����

.������ ���� ������������ ��#���"�� ��� �������� �����( �� ����#� ���#��-

*�������� ����������� �����

+ �������� ���$���� ������������(�����

���&�� ����� �� ��#��� ����5� � #����� �� ���� $���������� &�(����"������� ���#����

� �

5 �

��

+ �������1�

� �

��

�5

� � �

� �

��

� �

� � �� ���

Page 153: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������ #��������� ���

2��$������,������(��������������

��"���� #�����

!����� ����� �� ���� ���#��� � ��#��� ���������������)���" � �����"��������� �� ��������� � �(�#��-

2�$���������������(����(�����������������������������������������������$����

�� ��

��������������(����(�������(����������������#����

+����������&������� �

�� �������������(�#����� ������-��;������� ������������ ��������� #���#��� ����������������������� �������������� &��

��

����������������,�����#����#����������"� #���#������;�

�(�#��������������@�������%� ���#�����

2��$��������(�����(�������

� ���

2��$��������(�����������

� ��

2$�������;#����������,��

��;��

�����������������#����#��#�������������������������� #���#������������ ���� ��

5������$��1

,������;��

���������������������������#�� ��#����� ��������)�=�=������� ����:�)�����

- ;

C�

C�

C�

� �

�+�������

� �����������+���"������

+������

� ��

� ��

� � ���#����

��Uo~i

Page 154: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� �������� #���

@�2�������������������#� ���#�����

�'����������#���3

�'������������3

�'������"%����

��

@�2�� ���������������#�� ��#�����������,���(#$���������� ������ �������

��

@�2�����������/���������#�� ��#���� ��������<���

��

"����������������#���.�#���#��

-�����������������(����������������������(���%�$� �"�������������������$����(������������������������������������)�(���������#������������2��$�����������������(����(�����1�

� �

� ��2��$������������(�$���������1�,���#���

� �

��%������%�����,���

�����%���� � ���

������#��� � ���"% � !�,���"%�����(�!�,���%�� "���� �

����������������������������#�(�#��� ��� ����"� ������ ���� ��������� ��

��� ��������

@������3��������������������������������������������#�����#���

.������ ����� �� �� ����� ��� ������� ����� !9$�� 4������������#��5��� �������������"�������� �����������#"���

���������������������������#��(�#���� ��������������� ������

�'������3����������3������"�������

�'�����%3������#���3�����������

�'����� 3������%���3������"�(%����

('������3�������#�#���3������"�=��

��

������

�������������� ��������������������#����#��#���

����

@�2�� ������� ��������#� � ��#����������,���#�� ���������� ���%������

��

�� ���������������������������#� ��#���������0<�=������� ����

��

��

%���

��������

+��"�����

� ���� ��������

�����

� ��� ����� ���������"����

��������+���

����� � �

Page 155: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������ #��������� ���

�������������������@�2�������������������#�� ��#����

�'�����������"���3

�'��������������������������#���!

�'��������" � ���3

('�����%�����

��

���������� ��#������������<:�����������<���@�2����� ���

��

@�2�� ��&���� ������ �� ��������#� ��#������������������������������ ����#� ���#������������)1���

����&������������������������ ���#���� ����� ��������� � ��#��� ����������������� ������������� ���#��

��������������� ��#���

������������ �� ������������������

,�� ���������� � �������� �����%�� �����#��#�������7��������� ����#�������"�3������

������#������

,��������

�������#����

,��������

9���#���

,����

� ��

���

���� � � � � � �� � �� � � � � � � ������

�� �

� � ��

.����� ������������ ���

,����

�,��� � �

� ��

��

��

�����

,����

� ���

�����������(�#��

C�

��� ��

+����

� � � ���+���

Page 156: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����!��" ������������� �������� #���

�������������������������� �3����������#���������������������� �������1=��������#��������DH���������������������/���

�'������������������3����'������3����'���������

��

.��"������#����������#������������ ���&�������� �����������������������������������������&������#������0�"����

��

� �

� �

#��

D� (������ � ���� ������ ���������#� ��� �� � �

�� ��������� ����"��������������������,��������������"� #���%����#������4�����������������������������'�

���������� ������������������� �#������ ����������

0������$�����������#���(����������1��,���#���!�������% � �!��,���"% � �����

�����������"�� ������������ ������3����� ���#���������� ���#���������%�����������6�&�������������-

��

*��� ������ ���������"�����#��������������� &�������������������� &����������������� ����������

,�� ���������������������������������-

����������������������������������3����� �����#������� ���������� &��

��

���������/�� �����#���������������������������,����,�

���� ���#�������������������

.�����3����������������������������� ���#�������� �������� -

� � �

$���

�"���

����� � ���

�%���

-�������������)�����6���������������

&�� ��� ������'� ��� ������� �� � �� �"�� �� �

����(������ ��������

� ��

������������������������� ����������������7��� ���������

+ ����������� �������(���������1����� ��� � ��� ����

�����

�"���� �

� �

��������������$1���,����"���� ����#�����������,���#�������!������=+�����������#����,���#�=+

/������� ������� ���������" ��3���������������������� ����#� ���#���

Page 157: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������ #��������� ���

����������$�����"������������(�!��,��� �� � �� � � ��� �"� !������

�����������%����� �����"��!

,��� ��� �� � ��� � � �����%��!��,���,����,���������#� ���

�������������������#�������?��������� ')� :::�@+�� .������ �� �� ������ ��%����� ���-

��

������

������� �� 3����� ������#������� � ����������%������������ ������������������� ��������� �� �� �� ��������� �������� ��D������@+�.��������������������� �����-

��

+������������#�����%������� �������"�(�� ���� ��� � �� ��� ������ ���������� �������� �����.������ ��� ���������������� �-

��

.������"������ ������������������3����������#����������������" �����������������������������%� �������@+

��

������ ����������������#������������������������"���������� ������������������!�� ��� #�������������������� ���������� ��� � ������� ��������������( �����

��

.�� ������ ������ �����#����� � ����� ��� ��� ������ ������ � ���� �� ��� ���������

��

.�������� �����"�����������������#������ �� ��� �������� ������#������ ������������&����-

$����� ����"�� ������ ���#��� ��� ������0)��><��>=�

@�2������������������������������� ��������� ������ &���@���� &�����&��� �� � ������� ������ �� ��������� ������������0�������������

��

+� �����������������������#����������&�����

���

�'�������������������$���������3�'�������������������$��������3�'�������������������$���������

,���5���������� ���#����������������������������������������������, �����, ���

%���'1��, �����, �����, �����, �����, �����,���

-+

-+

-. -. /0

�+ /0

/�

��

� �

C����C(��C#�

C����C� ��C%�

��05

Page 158: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� ��������" ������������� �������� #���

.��&������������ ��������������� ��4������������3���������� ��������������� �������������#�������5�

��

!��������������������� ��� &��������� ����������������� ������� ��#���

+������������� ���"����"����#�����

�������������� ����� ������

���������

@���� &������� ����������� �� ���������������������� ��#���� ��������� �

@���� &������ �����&�������� ����$��������������

� ��

��� �� �� ���#� ��� ������� �#���������&������� ��� ��&���� ���&���� ����������� ��� � ��&� ��� �� �#��$���������%������

8 ������&���������&����-��������&������������

��

@������3�������������������� ����������3�#���

������ ������������ ��������� #��������;�&����'

.��������3�#���

���

��

3���������������&������ ���� ��� � ���� �-

$������ �����$���������������� ������� �������� ������#����� ����$���������5����������5���������#��

��

/��������������������������������������&�������&���� ����������#��

�������������� ��

Page 159: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��%&�������� #���� ��

@���� &������� ������������������ ����������7���������� ��� ������ �����������#�

.������ ��4������5� ���������������������������������������;�.�"�#�#����;���������"��������� ������#�-

/��#������� &����������� �����

.����������� ������ ������������&����&;'���7�������

���&��������� ���&"�'�������� �������������"������������;�.�"�������"��������������������"�����)�5������2�� ���4�������5���������#������������ ������� ������ ��� ������������������������������

��"����

;

;���"�,�����������;�.�"�������������������)�)�0��)�0<��� ����� ����������������� ���� ��

6� �� ������������� �����#��������������������"#����������

,���������������#�����������������;�������� ���"������ ����������

9������������������������������&����������)�0<0=D����� ����������(�����������&��������1�7��8'

,�������������������#���&���;�.�"�����#��������;���"���

$�������#�������������������� #���#������ �������������

���������������

+����� ���������������� �������������������������%�

0������������������0�:����� �������������� ������

�� �

Uo~i i upamti!

Page 160: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ��������" ������������� �������� #���

������������������#�������5����������<������5������ ����0:������

�'�;���"�����������"���%��������������%!��;���" ��"��� �'�;���"����������������������������%!��;������%���

$�������#����#����" ��"�����.�������� #���������-��

+������������ ����� ���

;���"��������3����"���������!��������������!���������������

������%!��������%���

@���� &������������� ������&��������������������"������� �������#�����������#�������"������&�������������

� �

� ������&' �

,

������&'

� �

���

7������&'5 �����

.�����������&�����&������� ������&�������&��#������

���������� ��&�����&��%�������

.����"�����������������&����������7��#�����������&������������������������#�������"���� �������#������-

/��#������� &������ ���������� �

,��������������&���������������)1:�������%������(���&������������� ��������#����=��

��&����������&��#���������� ��������#�������=����)1:��� �

�� �������&������&����� ���

*������&�����������#�������#������ ���� #������&����"��� ������ ���"�������#������

����

��&�������&��#������������������3�������������

��

� ��

���

;�

;��

����������5���

& & &

����������5���

& & &

������

������(�����������

���

������

�������

����������

Uo~i i upamti!

Page 161: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

���%&�������� #���� ��

+����&���������������������"�����������������&�������&��#���������� �������#������'��������!����'���������% E

��

+������������ ����� ���

�'�2�����������������% 8������������$����������3�% 8����

���

� �� ��

�����( �������������( �!��

-�����$���6����������������������� ������$1

�'����������#����������������3������'������������(���#����������������

���

"�������������$�)�������������!��������������������������������=B/�#����1

����������

�� �������

��

����

�����������5�����������&����������� ��������#������%��������������&���������&���#�"������5��� �������#������������ ������#����������(�� ����

���

������������ ���� ������������

��� ��������

������������������#���� ����"� �������� ��������!

����������������������������&������&��#��������� �������#���������������������� ����#���

.��������������������������������� ����� �#����#�-

.������ �������������&����#������#���� ���������� #����#��������������������������������% ���

! ������������� ����%����������������&��������������������&�����.�������&���

��������

��

F����

F�����

F�F�

&

��

���������

����

�� ��

���

� ����������������������(���������3�����

������ ���

��

�� ����������������������(��������!� ����

Page 162: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� ��������" ������������� �������� #���

+ ��������������(�������������1

�+������!���'��� �=�!���'�%������

��

������

+ ������������������(����������1

�'����%���!���'�����%���!���'�������

��

@��� �������������� �����#������������ ������� ���������������������

��

���������������� ������������������ ��������� �����#��

��

����

;���

� ���%

��� " ��" �

������������&��������&����5��������������� ���� �����������!��5����������������� ���� ������������

��

.������ "� �� �� ����� ��� ���������������#����� ������ ���&�����%�=�

��

���������� ��&���� ��� ������ ����"�� #�� ��� ���&����5� ���� ��������,���#��(�����

.��#� ������ " ��"� ��� �� ������ ������� ������������� ����� �� �������� �#������� ��

$��������#����#����#"�������.���������������#������������������ ���������

��

������������&����������7��#����������&������������������������������ ��������#���

���

$������� �������#�������

�'����� ���������#�"����3�'���������������"�����

���

���������� ������� ���&���� ���� ��� ���

���

����� ��� ��������������� ���������,��'�=����� ���������"�=::�� ���������������������� � ������� ���

���

9 ���� ���� ���&���� �� ��������������� ���������� ��&���� �� #��#�������"#� ���&��#� ������ ���� ��������"� ���

���

���3�����#�������(���8���%�� ����&���������&���� �(������������������������&����

���

.��&���������������#�������� �������#������� ���������7���������������0'������� ����������&�������������������������&����

���

��"�����������"�����������������5�

������"���������"!����

�������3�������"3����

Page 163: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

���%&�������� #���� ��

$��#�������������7���������&�����

���������� ������� ������������ ������

���������

2���$���� � �������(� ��(�(��� ��

� ���������6������ �,�����;�#� (��� ��

����;�������������#���������������

�� ������#�������������

� ��

������"����������� ����������������������#��#����

.���������2��������43������5

��

.����� �3�������������-

�������������#��#����������� ���#�������� ��� �� 7��� ��� ��� �����������#��#������������������������������

����(���#�������,������

�����;��

������"�������� �������������� �����������������#�-

+�������������� �����

6�7���������#������������� ���#���-

�������������������#��#���������������������������� ���#�������������� &��

2����������(�(�������������(���������$�����,������;���� �

,����������������#��������������������#��#������������� �������4��������� &�5�$���������������;�#����� �����������������,�

*�������� �������������#���������#����#��#������#�����������"����� ����

$�������#��#������������������������������������#���*�� ������#��#�����������������&���������������������#������ ����������#����;���"��#���&��������������������

����������/����#����&��������������3��������

�����������

��� �� �

� ���� �������

4�

2�������� �� �������� �� ��������� ����$�� �� �����)�(1� �'� �����'��������� ���(��

�6������6

�������������

Page 164: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� ��������" ������������� �������� #���

@���������������������#�����������������������1

,�������!����,��������������������%���"��"#!���,���"��"#����

�������������������"� �������

��

� ������#��4����� &�5��#�������#�������������$*���������&������������������������������

+#������������� ��������������&��#������

@��� ������#���������������������� ����� ������&����������� ��������#������'�$��3����'�#��3����'������

��

.��&������������ ��������#�����������#����� ������������#���� #������������������������������������������#��

.��������������������#����������������&��#���������� ��������#�����'�@/�3����'�C/�

�����������������������#����&��#������

/������������"���������� ��������������&��#������������

/��#������� &������������������#����������)1:�������%���&��%��������������� �������#�������+�������"�

���������,�������#� ����#����&��#��������)1:�(� ����������������#��

������

*��� �� �� ������ �#��� � �� ���� ���7��� ����� ���� � � � �� �� �"�� ��������

���,�#��������,���,���������

���� �

����

�������

+����#����������������������������7��#��������� ��������#������������������3�������

����������������������&��#�������������������������%�����

���

������

,�����

>

4B#4C

4 =/���

/#< =��

����������������� �������#����� �

/�

+�����

��

� ��

�����

���� �

����

Page 165: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

���%&�������� #���� ��

��������������������������#�����&��#� ����� �� ���&��#�� ���

��� ��������

! ���������#������� ����"� �����.����������������������#����#�-

+����#��������������%������� ������&����������������&������������&��������#�"�����������������������������&��#�����

��

��� ���������&�������&��#�������������������

������

��������������������$��� ����(������

,���� ����

����"���#�"�����"� #!��,����"� #����

+ ������������$���������(������#��1

�'�����"���#���������%���3 �'���������#������������

@��� ������������ ���������#��� ���������������������"�������#���������%�����+ ���������� ����)�:��:����$����

��

��

� �

�����������������(��������������������������� ���������� �&��>�����(������������������������ ������!��.�����&�����������������'�

��������� ���7��#� �� ��� �� ������� �������� ����������#������

������������������������������������

���������� ��������� ���&��#� �� ���� ���� �������� ���#���� ��#� ��� �� � �����

������������ �������#�����������������&��#������������������#���������#�������"������������%���

��������

���

+����

��

� �����

� ��

����

� ����

������

������

� ������+���

� ���

+��� � �� �� ��� � ������+��� � �� �

� � ��� �

Page 166: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� ��������" ������������� �������� #���

����������������������#�����5��������������!�5������ ����$�����5����������%���

��

������

$���������������#����������"���$#���

��

.�������� ��"�����"� �������������#������ #�������������"��0:�� �-

��

������&���������������������1���������#��'���������� �������������������������������3�#���#������� ������&������-

��

.� �������#��#� ���#�����$�����0'������������������������������������#����#������ ���#���

��

�� �����������#��������������1�����>�����@�2������������#�������������������������5������� �%���%�����������5��������� �%���%����������

��

����������������������&��#�������������� �

�'�����#����������% �3�'�����%���������������3�'�����$����������% ����83('�����(������������������

.��7�������������������0:�������������������(�� ���� �������� �������#���

+����#�������������1�������� ����&������� �� �� ������� �#���� ��� H������������� ��&���� #���#� ����� � #�������������

��

.������������ ����������������#���#����������������&��#��������� ��������#��������

���

����������������������&��#��� �������3���������������������������&��������5������� ���� �����������%�������5������ ����#� ���#���� ��������"���3����5���������#� ��#����� ��������#����

���

@���� &������ ������������������#����������������%��� ��������������������� ���� ������ �� �������#�� �

���

$����� 3�#��� ���� �� ���� ��������O������ �������������$����#��������������#������������������� ��� ������������#��#� ���#��5�6�� ����&�� ��� ����� ���������������� �� ������ �������� ���#���

���

���&��� ������� �����������������������&�� ��� � � � � ������������� � � � � ��������

� �

! "

#

�������

�0

Page 167: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������������������

�������������������������� �� ������� �� ��� �� ������� D:� ������� �� �� �� ���"��� �����

G��������"���������� ���#������ ����������#������������#�������>C/�����������������@/���>C/��1�@/���A���+#������A������#�������#�������������������.������"��#�����#����� ������������������������-

���

������������ ���� ��������� ����������� ������ ���#�� �����"� ��� �������� ����������#������

���������

�#���

��� ��00�������������������������==���A����AA����AA�����#����������#��������������������������������������

$�������������#����� ��� ��� ����������#������

�����

������������������

1����!#���$�

2���!�����

������

//

*�)�#�

-�

1 ���* �

��

2�#��

/-

1 �����*��

0

����������)�

2�$���

�����

0�����

����

0������

"���

G��������

"(����������������(����

== ==���A

4C

>>

=4

B

@/

4C���A

>>���A

=4���A

B���A

@/���A

AA

=/A

=>4

AB

>4

>C/

%�)�#�

=/A

>4

1 �����*��

2�#��AB

3�)AA

1 ��* �

=>4

����������������� ������� ����������#������ ����

=���������������������������� ��������� ����������� ���

4������������)1:��4����#��#��5��������������������������

>����������� ������������&��������������������������������������#���� ������ ������� ��

Upamti postupak

Page 168: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� ��������" ������������� ���������� #���

������� �� ����� ��������� ��� ����� ��������#�2���������

��

������

��� ���� ���� �� � ���������#�����

=L���>#C

+���������� ������ ������� ���������������� ����� ����� ��

6��2�����':�#����������������������):�����$��':����'D�#�����������������������0=�����$��):����)D�#������������������������'D�����$��<:����<D��������������������������������0<�����! ���������=:�#��������������������0'�����

��

.���������������������������� ���� ��-���� �� ��� ���� � ���������#�����

%�(�2�����

%�(�2���)��� ����

%�(�2���)��� ��� ��:�

%�(�2���)�������������

2�� ��)�����6��

"���

2�����

<AL

>>L

=4L

=L

=//L

+��2�����������������"��� ���������#������ ������� �"�� �� ����� ���� ���� ��� �����%� �� ��� ������*�������� ����������#���������� ��������� ������� �����%��� ���������� ������������������������ �������������&�� ���� �����������#���� ������

������������������������� ����������0�>::�������%������3��������6������

��

+������� �������H':�� �#���$����#��������������� ����������� �#���C����������������������������������������� ������� ����������#������

��

$����������������������������%�� �#����������������������������� ��

.������ �� ���� �#��� � ���� ����� ��� ������ ��-

.��������������� ������������ ��-

��������������H':�� �#��,����� )1:�H':;:�=�� ������ � ���� ��#������ :�=�� �����#��� !� ��� ��� �C����� ���� �#���C/�#�����1:�:�=;0':����������������0':��C������

2�������������������������������(�����

5���� G��

+ ��2��<� ���C� 4A/

+ ��2��C� ���?� =B/

?CB

C=4

=B//

+ ��2�?� ���B�

+ ��2��B� ���@�

"���

$��#����)

B/

?/

3 � ����)�

45*��)�

C/6#��

A/

7� ��

Page 169: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�����������������

@�� � ������ ����#����� �� ��� ������ ������� ������ �#�������� �����#��������������������������A������� �����'<0=��������#������

��

.����������������#������������� �-

.�������������������� �-

.���������������#����������� �-

B���� ��� ������#�������������������� ������ �����#���� �� ������� �� ���� �� H':� ��� ������ �� ��#������ ���� ������� ����������#������

��

�������#��������#�� ����

.������ ������� ������������� ����-

�������������� ������������������������ ����#���� �������-

.������ � ��� ������ ��������� ��� #���� �� ������������������-

��� !:���

2 )���

% 8� ��� 9 )���

%�:��

;�:�

%:�����

=/<

4>/

���������������� �������� ��������� ���

*�� � �������������������������� ������������� ����� ��

��

�J�������������� ����� ���� ������������������������������������ �� &�$�������#���������'�)�<�)�=�0:�=�1�)�

���������

/2���� ���� �� ������� ��� ����� ������������ ��

'�)�)�)�<�=�=�1�0:�

2����� ��� ��� �����$"�� ��������� ������>��G���>������1� �����������

A���� <� �� ���� ��� ����� � ������� ����������������2� ��A����<��������������������� ��

� � � � � � ���

� � � � � � � �

�����#

��

��A#<<#����������A#<<�����������4�

���1�� �����������

*�� � ��������������������� ����� �� ����� �� ����� ���� ���������� ����� ���� ����������������� �����$��� ����� ����� ���������� ����

����� ������� ����� �� ���� ���� ��������������������� ����

������������� � ���������������

�'�B#�==#�=A#�B#�@3

�'�=B#�=A#�=B#�=A#�=B#�=?3

�'�@#�=4#�=/#�@#�@#�==#�=4#�==3

('�4=#�AC#�4@#�4?#�A4#�>A#�4<3

�'�@#�B#�@#�B#�@#�B�

Page 170: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ��������" ������������� ���������� #���

���� ��������������������������������������������������2������������������ #����������������!

��

$�����������������������������#������� ���0

������ �������� ��� ����� �����%� ������� ���� ���� �� ��� � ����� ������ ������� �����������

���� ��������������"� �������� ��������������� ���������������B����������� ������&��������������������������������������������������

��

$�������������������������#��������� ���0�

�� �����������������10�=H�==�1:���1'���

$�������� � ���������������������

A����1'���������'1'������ ������������������������� � ���������������������

+��� �������� �� ��� ���� ����������� ==� ��=�� ��� ������������������ � ��������������������

+����������� ���������%���� � ����%������������������@��� ������� ���"�������� ������� ����� ������� � ����������������������-

����$�1��

@�������=�����������������������H���������1�

@������=�������������������>������ � �������������H�

@������=����������������<������ � �������������1�

@������1�������������3������������������������������������� �����0:����� � ����������������0:�������"������ ���������'=�

��

�B���#����������A� ������������������������ ���� �����(�����������&�(��$����/����������2����������������&� ���� ����������"#��

���������

/����������2������"������ ������ ����������� ������ ������ �����������#�4��#5�

&��'$�������������%($�������������%

=?���&�@'���4C�

Page 171: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������������������

+�����������

�� ���������������'D�10�0H�>:�)'�

$��������#���������������5�0:H�0=�)1�D<�'H�0::�������5)�'1��(:�'<��(=�0=��0�0)��H�

@���"������� ���>: @���� ������� ���0H ���#;>:(0H;1)

� ������������� ������� �� �������������"��������

"����

G���

"�

?B

"�

B/

"�

C<

"

<C

"�

B?

"�

@A

"�

4@

"�

C>

"

<<

"��

<C

$��������#����2���������������"������������������������������������ ���������������

������ ��� ����#� ������� ������ ���#� ���2�� ������ ������%� ������� �� 0::� ������4����"�������������������2��%���� 5�

$���� �� � ������� ������������':�����L�%��������������&��������� �������"��

��

.������� �#�� ���������������� ���-

.�������������������� �#�� ����� ���-

+�H�������%�#������������������A�����������������#����M��#�������"�������)=�<=�<1�)H�==�)H�)'�

��

������

.������ �� ������� ����� ������ �������#����-

!����������������

.���������������-

.�����������#-

!��=� ���9��������������������11������������������� ����� ������� ����������H:����������1� ��.������ ����� � ������� ��� � �� �� ����9������������-

��

B����� �� ������ �� ����������������������1� ������� L�%������� � �� 4�� ��� � ��

��

�� ��� �� �� �� ����5���� ���� �����

��������

.���

=

=/

4

A

>

<

A

<

<

?

C

B

+���� =4 == < C =/ C

������������������� ��� ������ ���������#� ���������

$��������#������� ���������

.���� �� �������� �������-� $�������#�����

����������������������������������������������������������������������������������

Page 172: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� ��������" ������������� ���������� #���

���������������� ��������������������� ���������������� ���

�� ,��������#����3���#��#����� #���#��#�������"#��� �����#��#����������$��������������#�����

�� �� � �� �� ���#��� ���#��� ��� �������#� ���� ��� ���� ���������������#���� �������� ������������ .�� ������ �� ��� �������������� ����

�� "� �������� ������(��� ����� ��� ��������������� �������$������2���������

�� %�� ���(������ ������(������� ��

� ������ ���(���#��� ����"���#

�� ��� �������2����� �

�� .������ ������� ���� �����������#��#�������� #������ ��� ���#��������+���� �!������ ��!������%���

�� @��� ��� ��������� � ��#��� ���� ��������"� ����

� .���� �� �� �� �"��� �� � ���� ���� ���������#����#� ���#����� �#� �� �����(=����������" �=�

� $��������������������#� ���#�������������������=�������������������������"�=��

�� .�������������7���������������" ��� �� �� ����� ��� ������� � ����������#����#������������������1����)� ��-

��� ���������� ��������� ������ �� �����#�������1����

��� ! ����������#�����������������"���������������F���������� ����������%�����.������������������� ������

��� ���������� ��������� ������#��# ���#��� �� �� ��� '<� ��� �%��� �������):����

��� ���������� ��������� ����������# ���������������������������������������=���

��� ����������� ��#����� �����������������������������,����$ �"������.�������� #������� ��-

��� .������ �� �� "� � ����� �� ��������#� ��� ����� ����� ���� �������%���������� �����" �"���

��� +�������������������%���������������#� ��������" �� ����� ������������������������

��

Page 173: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

����������� ���� ����� ������ �� ����

������ �� ������������� �� ���

������%&� �����-&(��(&��&���+�����(&

=������������� �� =?A

4��-�������������� =?C

����%&������� 56�(�)&7�8

>��D������� =B=

A��2��������)��&6������' =B>

<��������� �����)��������������)� =B?

������)&7�

C��D� ��� =@/

?��2������� =@<

B��H�������������������2������������������� =@@

�������)&�(�%(����%&*&(�

@��2����������������������������4/4

=/��!�����������������

�������������� 4/C

==��2��������������� 4=/

�2����������� ��)� 4=>

�����

Page 174: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� ����� ��� �� ����� ������ ���������

������������������������ �����������#���� ���������2���������������������&�#��'�

G��� �����2���#������������������ �

+����� ���2������������� &�

���������������������� ������������������� �����

��������� �

��

�������2�����������������������#�������"�������� ������������

$��������� � �������&�#�4'���&<#� '�

���2���� ���� � #��3������� ����� �������������������#�������� �

@�������1"���2������1 ������� 2��$����������*�������� ����#����� �������������

�� ���������������1����2�������1�������2 ��

@����������2��������

"�3��� �������������

���� �����������������*����������*������������%����2���%�������� �������������������� ����� ������*�������#���

@���*;�1����2��$��������

!������*������������������� ��������� �

@���� &�� ������������� ��������2�����������&�#��'#�&�#��'���&��#��'�

����������� ��������2�������4<�=5-

�����#������������������� ���2���%�������-

�������������2������������������������ �������������-

��� ������������������������#������

G��� ����� ���#�������������*������ ���� �������

+����� ������� &��������������������� ��

,����������� ��������� ����������������&���������� ��#��3���

� ���� ���� ��������� #��3����� ��&� ��� � ��� ���� ��������� ��������������"��������

��

"

%

#�

� �

� �

Page 175: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

����������� ���� ����� ������ �� ����

�����������

����� �����

����� �����

����� �����

� �

��*��

���� ���� ���������6� *� <� �������6� �� 1��� "�� ��� %2� �� <� �� 1��� �2� ��� ���� ����

� G��� �&=#��'�����*��#��������#�������������������=�������������

� @�����������������������4����#������#�>��������������,���������1���"���2������1�#��#��2�

� ��*�����1&=#��'#�&=#��'#�&=#��'#�&4#��'#�&4#��'#�&4#��'#�&>#��'#�&>#��'#�&>#��'2

�������� ������ (��6�3 �������� ���������

+��������� ������������ ���#������������*����������������� ��&=#��'#�&4#��'���&>#��'�

��

@��������� ������*����������

@���������� ���������������*����� ��������������

+������������ ����� ���

� � �

����� �����

����� �����

����� �����

��*���

��� ����#��3������������� ������������� ���������� ��������'����1���"23�'�,���1�#��#��2�

+����?��3����������� ������������������������ �

��

�� ������� �������������-�*�;���1&=#��'#�&4#��'#�&>#��'2 �@������ �������������-���;�

��

� ""

���"� ��

� "

"��"�

����� "����

������

"����

� �����

��*��

� " �

��

Page 176: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� ����� ��� �� ����� ������ ���������

@����������������� ������������������� ���������A�������������������#����������

9�����$���������&�������:���� ����*������'�

������ �� ����� ����������

��&� $G� �� ��������� ��&�� �

�����=�

.��������������������&���� �� ����������������

@��� ���?��3�����#����2���#�����40�=5��4��'5���4<�<5�

��

������

@�������*�����1&�#�='#�&�#�='#�&�#�='2 @��������� ��������*�����

��

��� ������������� ������������ �����������������������1��������2�������1�#��#�����2

��

@������ ������ *� �� F� ������������ ���� ���� ���� ���#������������*���

��

?��3����������� ��������2��������

.���������2������������� ������ &�-

��� ��������

��� ����#��3������ ���������� ,��������,���1���� 2�

������ ��������� ��������������#��3������������� ���������

� 5 �

� � "���" ���

�� �

� � "���" ��� �

@������ ����F���!���� �%������������ ����

+����� �����*�����������������$�������������� ��('�� ���*4('5�

2��������� ����� ,&�=�

�'� �

,&>#�A'���������������

��<���

�<�-�

� % � �

� �

"

��������

Page 177: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

����������� ���� ����� ������ �� ����

� @���� &������������������������� ����#� ������� ����

�� @�� �� &�� �� �� � ��� ���������������� ������� �� �� �� � �� ��������%�������������7�����$����� �� ����� $�� +� ������ ��� ����� ��4 ���5������������5 ��� � ���� ����#� ���� �� ����������� ���$�$�������������������

.�������&���� ��� �� ����������������2�������-

�������������@�� �� �������� ������� $F� ��������������������������������%������ �������������$*�(�������������������

?�����B����-�.����"���� ��� �� #����� �-

B����������)����������'�����9������ ��������2����������4)�'5�

$������ ������������������������������������#���������2����������5��#����5�@������5������#5�������

������������������������� ����5�4'�05���5�4'�)5���5�4�<�H5��#5�4�)�=5�

$���������&���� �������������������� ��� �� ������� @��������2������������ ���� �����8 �����"������ �����������-

@������� ���������2�����������������������������������

%���� ;� ;�� �� #�

�� 3 � ��� =� ��

>���� 7��� > � 3�#�

���� 2� ?) ;� #�

�� � 1�# @���� A����

?8� ?�� 1�� 9� ��

�� B�� B�� ;��#�

! = 4 > A 0

=

4

>

A

<

C

?

� �� � �� ��� *� ��� )� ������� ����� ����� ��� ��� 4 ��� P)5�� ��� ��� '� ������� �� ���� �������������4 ���P'5�

Uvidi putawe

Page 178: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� ����� ��� �� ����� ������ ���������

.������ ����2���#������4('�)5����������������� ����!�

��2����� �������������P�����(��������� ����� �#�����������"��������� ����������#� ������������

@���������"����� � ��������� ������G�

.������� � ������������� ���������������$���� ����������2��������������������������������� ����������� �����#��

,�� �����,���������������� ��������� � ����������

,�� �����6�4����� &�5���&����������������P<��������� ��P)�%���������,&;A#�;>'���������,&A#�>'�

+����������������������������������������������� �%����������������������������

B������������ �������������� �����������% �(���������#���������������� �(���

��� ��������������������������� �� ������ ����������&���� ������������ ����� ������ 4�������� ��� ��� ��5��3��������� �����4� �5�9������������������������������������������4�����/������ �(�3����������� �� �������3����������3�����3�������������������� �������#�� ��5��!���"������&������������������������������$�� �

�������

/����������������� ����� ����������#������������ ���� ���������������������

.������� ����������������� �����������#���������������������������� &���$����������������

D���������=<@C���=C</

� ������

���)���

� �

� 6�&�����"�������������*4P)��P'5�����*4)�'5�

� �� � �����F������������"�����F4P0��P)5�����F40�)5�

� �� � �����!�'�����������#� ������������� �4 ���('5������ ���)������������� ���������������4 ���P)5�

� !���"���������!4('�P)5�����!4('�)5�

�������

� � �

�� �� ��

����������

���������

���������

��������

+���������

Page 179: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

���������� ���� ����� ������ �� ����

9���������������������������� ���$��������� ����� ������������ �������������

��� ���� ���� �� �������� ���� �����

��&�=#��4'#��&��#�4'#��&4#��='#��&4#<3�=#<'�

+������������ ����� ���

��

*������������� ��*������� ����� ��� �����*�������������������� ��

!������ ��������������� ������������#��������������������������� ��

#���#�"��

!������������������� ����#��������������� ���������������� ��������

9��������(�������������� ��:�

9������� (��������������:�

.������� ������ �������������:��������� ��:�

��� ���� �������������� ���������������������� ������ ��������!��������"� �������

$������������� � ���������������������� ������� �������*4('�=5����4<�H5������������5��(�����5� �(��

��

+��2������

� " ��� ����" ��

��

��

�"

����"

� �

!�������������������������� ��������������&;>#�;<'#��&�4#��='#��&;A#43��C�'#���

"���������� ����������������� �������� ����

�������

"����������� ������������#� �������������� ������ �����

"������������ ����������������� �����#� ����

"����������� ��������������� �������������� ���#� �����

����������

Page 180: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� ����� ��� �� ����� ������ ���������

$����� �������������� ���������������#�������� ���2����� ��������

��

������

$������������� � ������������ �������� ������64'�(05��������������5����������������������,���5������� �����������������,���5��������� ������ ��������������,��

��

@��� �����&�*F�����*4(0�)5��F4(<�('5���@��� ������������� �����������&�� #���%� �����������

�'���&�A#�/'#����&/#�='#����&�=#�>'3

�'���&�=#��>'#���&A#�/'#���&>#��A'�

��

&>#�4'3 &�=#��

�'3 &=#��='3

&��#�4'3 &�A#�='3 &/#��4'3

&�>#��='3 &�4#A3�/'�

@��� ��� ���#������������

�'�0�&�4#��='#�5

�&>#��4'#��

�&�=#�>'3

�'�0�&�>#�/'#�5�&/#��A'#���&>#�='3

��

$������������� � ��������������5����������� &��

��

+��������� ������������� ���� ����

,������������ � ����������� �

%������������������1

0& � #�='#�5&�>#� � '#��&�4#��>'�

� � � � ��� ����������

��

��

��

��

5

������������������3�������������#������������� ���� ��

��� ��������

8 ������������ ���������

8 ������������ � ����

������ ����� ��������������� ���������

.���� �����/4)�>5�������4=�05������&���(���

8 ������������ ��������-

+������������ ���&�� �����*4'�(<5-

@���������������� ��������&�� ����64:�(05-

��������

Page 181: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������������� ��������

,����� �/����&��������������� ������0��� ��������#�������� �

� ��

@����������/��� ��������

.������ ���� �� ���� ���� ��������������*������������ �-

��� ���� ������ �

�������� ��������

����&�� ���� ���� 4�������5� �2�������� ���� �� ���2����� �������������/��

�� �� �� ��������� �� 1���(��#� +����#��$2� �� F� ;� 1�� �� ����� 3������%������ �����#���� 2��62�� ��� ����������*��������� ������4�������5��������� �������� ����� ������������ �� ��#��3����� ������ �����������*�����

@������ ��� �������� ������ ����/� �����2���%�����������������7������������������������������������

+������������ ����� ���

��������������K�����������������/#� �������� ���*� *��� ����������� ���� �/� ������������ ����*�

�������

��������� ����������

.������� �������������� �������� ���������� ����������1����"�����%�� 2

���������

+��������������/����/�����������&��

/������*�����/������*���

/����1���"���"���������%���%�� �2

=4>A<

= 4 > A <

��*��%�

/�

0�����������������������/#� ����� ���� � ���������*���������/�����*���

���(��

+����

��$

���������6� ��:��������(���

��

/

�*���������!�

"���!�

#���$�

%�&��$�

'�

���

(&

�$�

)�

*

��7�����

Page 182: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����'��( �������� ��� ����������

=

A

?

=4

>

C

=A

4/

� / �

��� �������� ���������������*����������� ���������

@���������2������������������� ��#��3������ �

2�������(��6��� �����������������(���� ������*���

@���� &������ �������*�������������/��������*���

��������������������������/���� ��������"������2����� ����������� ���������� ������������������/���1��� ������� ���������>� 2�

��� ������������#��3��

B�����������������=����������� ��(6�����������(I� ���������A�������B������!�������� ����#��3�����������/��5�������������������5���������� ������

��

�������

.�������������/�������� ���#�������������*������������ �����)��*

����/�����*���

�0����2���������&�#� '���/#��������$�����/� 3������1�����������������/���� �

�!���������%����2���%�����������������������/�������������#��3����������/��

�����������#��� ��$�%��

D�������� /1� 7���� ��� ��)�� �� 4� �� ���8� ����� � �� ��������1���#���%��"�2������������������(��6��

��

=

4

>

A

<

= 4 > A <

����� �����

�����

������������ �������������� �#�����*������ ����������

��� ��������

������ ������� ������������#��3���#��3����������������� ���������

+����������1���"�����%2����� ����������/�����������'��"������������ �����������/�#��3�����#��3�������

��������

� ���/�� ���������� ����������� 0�

����/"�!� �"�0

Page 183: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������������� ��������

"���������1���"�����%�� 2�����������������/���1

� ��1��� ������� ������ ���#����2�

��

�'���� �������������/���(��6��

�'�����$��(��6����/����������

H��6���������������������/�����������1�"���#��""��"����"2������������1�(�"���"(�������(2#��1

��

������

�'�/1�7�M�83 �'�/1�7������� ��<���)�������8�

"� ����

�� �� 1��� ��� ��� ��� �2� ��(��6�� ��� ����� ���������� /�� ����$�(��6��� ���������/�������������������

��

"�����������1���"�����%��#������"2�����������������/���1

� ��1��� ������� ������� ���"�2�

��

�'�2������������������/����(��6��

�'� H��6��� � ��������� ���������� ������������������

2��������� � (��6�� �� ��������$���������������������1

� ���1��������������"��������� ������ �2������1������"���2�������1������ 2�

��

����������� ��� ���������������

D����������0���5�����������������������(���� ������*���������0���5�

D� (����������������/����/��

� D� (����K���� ���� ��������� ��K�� ���� ����� ���� ��� ������������� ���(� ����� �� ������������ ��� �������:� ���������� � ���((� �����

!�����������1���"�����%2����������������1"��%��#�������2������������������/.�Q�������4�������)�������R

��

"��� � ��������� $���� �� (��6�� �����������

$����������������������/������/����&���"�

� !�������� ����*����������������� �����

� !�������� ����*���������������������������� �������

0/� � 0

/� �

��*��

/

� �

4ACB

= 4 > A

%

�=/

�'���� �������������/�������� ���������

Page 184: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����'��( �������� ��� ����������

6�&������������������������� ����*���������������������������� �������

,�� ����������������&�������������� �

������

*������������� ���������*������������/����������������� ������������� �������������������������������4������� ���5����*����

.�������#��3��������������/���*����������������������������� -

*����������� ����*������������� ���������������� �������

.���������������/���/����/������������ -

!������������/������������ �

/�������������� ��������'����� ������������ �������

/�������������� ��������<�������� �����

�������� ����������*����������������������*������#���������� ���*������������������������ ���������������������

�!����*�������������������� ��������

�!������������������������� ����

�� ���������(��6��&���������'����������)���.�������(����������1���"�����%2������1#���"������"%�������"2�

.�����������������������������#��������� �-

S�������=���0�������������������������C������-������1��������=������ �� ��������������������C�����C����������=

�����������)�����2�$���� ����� �����&='���C��%��=�������������������� ��C�����������������)���

� � � � � �/� /� /�

3

�������������(���� ����

Page 185: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������������� ��������

������������ ������������ �

@�������������� ��'��)���<����*������������������� ����

"������3���� �%��3���������������.�����#���������.����1�������

����$�1��������#!���"�����"!����������!���%����"%

.������������������������)���<-

������

!������������ ������������ �������������� �#��������� ��������������� ���������� ��

0� � ���� ��� �������� �� ����� ����� � � ��� ����� �� ����� ���������)�� � #� ���������1����� ����� �������

�������:����2���%�������������������������������$����������������������)����

����� �������������)�������� ����������H��

%��������1��������������H���1��� ���������������� ������2�

�� H��6��������������������������)���1�7���� ���>�������)�������R#������������1������ ��(2���������������1���$��� ������"���"%2�

@������ ��������#��3�������

$����������������������������� ����

@�����������������������

��� ��������

������ ������������� �#��3�����#��3�������

������������ ���������������������������� ���������� ��

� �

Page 186: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����'��( �������� ��� ����������

� � ��

��������

��

������

$��������� ����������/��� ��#��3��������������� �

�'

� �

�'

�� �H��6�����������6���������.������ !������1

��

����3

����3

����������������6��������

�� 2��������)����.��������(����������1������ ��(��$2#����1"��%��#��������� ��"���""2������2������������1�7������� ��<���)������R#������������������ !�����������������������

�������!���� �����!����$�����!

�������!����������"

�� ����������������)����.���������(����������1������"�����%�� 23����1������"�� �����������"2#������������.�����"�#�� �������"��

!�����1�����!����������� �

����$����������������6���������

�� ������ ������(��,���������������������������������������$������?������������,� ������� ���� ����������������������������������������

$����� �� ������ �������� �������� �� ���#� �������� ��

� ? �

,

.������� &������� ���������� ���*�����-

���#��3������H����1��� ������"��� ��%���#�(���������2���������������������� ���������� ����

� ����� �

Page 187: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������������� ��������

��� ������������������������������

@�������������������������������������� �-

�������� ��.���������� ��#��3���

@������#��3�����H��������� ���

@��������� �H����� �����

��� ������������ �������� ���������

�4�=4=

A

=

� �

� �� ��������1���"�����%�� 2�������1#��(�����$����2

2��������)�� � � 1�0��� ��#� ����������������1�Q����� ��<���)���� R

����� ������������� ���� �������#������ �� ����� ���������������� ��

+������������ ����� ���

� "����� ��� ����� � ��� �� <� ��"�� ���(��������

� ����������K������������(������������1���&=#�C'#�&4#�?'#�&>#�B'#�&A#�@'#�&<#�=/'�

� ������

� � " � %

# ( � $ ��

�� �������� ������� �� �������������������������������������

������

� � � % � '��

� � � � �

'�� '���

� �

%��1����.��������� � ��=�������� !���=����#! �����.�"���"��� ���4����"��� !���4����(

�����������1��������!��%����$!�� ������

+����� ����� ��������������������������#��������������#��� �%������

�������� ���&��� ���� �� �������������������#������4 ������ �������5�� �%�������4 �����#�������"����� ���������5��9����������� ������ ������������������� ���������� ��

@�������5�#��3����5��������5���������� ��������� ��

��� �� ������������ ��1������#�#��������1���"�����%�� 2������1���"���� � ��"�2��Q����A��� ���� ���

���������������������3������������������������������������������� ��

$�������������� ���������� ��

+������������ ����� ���+��������������� �<��� ���"��������#��������

� ����� � � ����� �

Page 188: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����'��( �������� ��� ����������

��

� ��

�������� ���&��� ���� ��3���������������������2��������� ��������� ��$��������������������������� ���������� ��

2��������)����1�0������ �(��������1' ��'%��'������"��%�� 2������1'���'"��'���������"�����%�� 2���������6�����������������

����$�1�����'�(��6��H3����'���������������������

��

2��������)�� � 1� 0����� (��� ��� �� 1��� "�� ��� %�� 2� �����1������"�����%�� ��#2������������(��6��������������$����

!������������������������������3�����������

-�������������������������������������������1�'��������3����'��������3����'��%�����

+������������ ����� ���

$������ ��������� 7���������������� ��40��)5��4'��05��4)��:5��4<��=5���4=��'5�

G��� ������������ ��F������#��������� � ������%�����3���1��������� ��"2

�1�=����>#� � �&='���>3�1�4����=#� � �&4'���=3�1�>����/#� � �&>'���/3

�1�A����<#� ��&A'���<3�1�<����4#� ��&<'���4�

�������� ���&����������#��3�����

"��������������������������� ������� �4���

�� �2��������)���1�0����������1�������������������� 2���������� ������������������(��6�#�����������$����

2���������(��6��H��������������)�������������

�������������������������)��

- � � .+ �

-�

�.

/

��

��

� ������ � � � �

� ������� ����������������������� �������*�

�1�=����A���=#�������&='���A���=���A3���1�4����A���4#� ��&4'���A���4���B3�������1�<����A���<#�������&<'���A���<���4/�

+��� ����������������� ������#��� #��������� ��������&���

%�����������%��������������$���������&6�����'�����������$�����������)��

� ����� �

�������������� ��������������

���������������

����������

Uo~i

Page 189: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

������������ ��������

2��������)����1�0����#��(�����������1���"�����%2������1'"��'���������"���2���� ���������������1��������4�

!� ���� ������������� ��

@������#��3����� ���������,� ���� �������#��3������� �������������� ����������

��

������ ��

� 2��������)�� � 1� 0����� ��� ����� ���������"�)�����������������������������

$��������������������� ����

�� H��6�������������)������1

H���1��������������"�� ������(�2

!���������������������

%�����������������������������

�� 2��������)����1�0������(�����

����1' ��'"��'������"2���������#���� ��������

�������� ���

� � � �������$�

(��6����H�����������

2����������(��6����6�������&�' ����������������6������&�'������=#�(����������������������������6������� ������������� �� ��892����������������)����

���

��

��

+

/

-

��'

���

��

��

��

��

��

��

+

/

-�'

����

+ +

� .

� /+

� /.

�'

��� ��������

��� �������� ��� ����� ������ ��&� ��� � ����� ����� �������� �

��������

2�����������

&�'

� � 4 / /#< >

����������2����������� ����������������������� � �������������������������

��� ���� ����������������������� ��������

�������� ����������� �����&���� ��������������������������������������� ��������$����� �%������&�'�������������2����������� �������� ����� &��

��������������� � �����&���� ���������

"��������(��6���6������&�'�������=���1�H���1��� ��.��������� �������=2����������������(��6���#����������

��&

Page 190: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

� �����'��( �������� ��� ����������

+ �������1

�������

��������

��������� � ��

�������������������'>��H��� �������������� �4<5����#����������-

@�����������������������������������<'��������)��� ���"�������������

4?�1�>3���1�C3 @#C�1�=#4�

,������� ����������������&�����������������������2���� �%��������

I������1�74?�������>R#��7���������CR#���

������

0����������������������(��������� �/#������������������1�����������������������������

������������1����&�������'3�������� ���� �������#����������(���������� ������0������1��

���#������������� ������1������� �����

$���������� ���������

8 ���������� #��������� -��

+������������ ����� ���

�'�4<<�1�=?���=<����5�������=<��� �����������4<<����=<��������"���������=?�

�'�=?�1�4<<������

���5�������

���� �����������=?����

����������4<<�

��

F���� �����#����������=��$����������������������������������#�������>���

���������� �����=B1>���� �

�� ��

��!�������)�:����������������������:���

+������������ ����� ���

2������ ����=B1>�������������C��+����(���� ����������������C#�����

� � ��� � �

� � � �� � � � �

+��������������5�0><���')����5�01���<>�

���� ���������������������������

Page 191: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�����������

/���������������������������� ����������������������

2������������������������ ����1����'�A�1�4<������ ��

��

3������'�=#A�1�>#<�����/#4�1�/#<���

D� ����� >� 1� <� �� <� 1� >� ��� �� ������ ������������:��:��������

��������� �

-�������������������������/#A

!������ ��� ��� � �������� ��)�(��

������������������

@������������������������������,� ����� ����������� �%���������������� ��#������������ %����#��������

D����������� �������� � ���� <� ��� ���

��#�� �

�����

��

������

D� ��������1���������1����&����/#�����/'���� ���������2����������#�������� ������1��������2����� �������1��#����� �������1������2������ �������1���

"��$������������ ����1�'�<�1�B#�����'�=�1�A�

!���������� �������(�������:��� ������������������ �����

+������������ �����5��$��� ���������=�>���������>�=�

&<�1�B'���&B�1�<'���� �� �

� ���=�

!�"��������

2�� ��������(��� ��������1����������������� ��������1��������=#�����

&��1��'���&��1��'���=#��&����/#�����/'��

-��"�$��������������� ��������1�������� ��

� �#�����/#�����/����� ��������������� ���� ��

����"�����#����������������������������������������� ��#��

�5�������#����������� &������#������ ���

�����

8 �������������������#�����������������������#����

Page 192: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� �����'��( �������� ��� ����������

I� ������������������"�����#����� �������������<1��D�

8 ���������I� ��������#����������<1��D�

�5��� �����&������ �����#������� ��� �#��

8 ��������2��������������&���������������%���

��7���������<�����"�������&�������� ��� �

�� ����� ���#������"������%���

A����#�������� ��������������������#��������I� ����������#����������������������&��*F������������2����� �%�����&���

.������� �����������������)��D�"��-

.����� ����������#��� ��������������������� #����� F�#�� ������ �� ����� 7�� ������� ����� )� #�� ��� 0�D�

������

�����������������&������������� ���� ���������������������� ��������������

.���� �� �������������� ��� �������#�������������

�����������������������������������������������#�������"��������������������������������������� �������������������&���� ������������ ����������������#�����������

-����������������� ���#������������������� ���"��� ���

#������������

������#�������>��������������������"�����������

#��� .�"���������������"�������������������#���#�����

�������������"����.�#�������

��

"��� "��� "���

#���

���

Uporedi svoje odgovore sa slede}im

Page 193: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�����������

+���2��� ���&�����&������������������2��� �� �%���%�����%��������

F���� �������������&��������������������

+���2���������� �������������

&��������������������� ������%���������������������������#��������������������������������#���������������� ������������������

F���� �����������������������������

.�����������������������

�'�>�1�>=3����'�="����.�%���3�����'�#���.��3����('����B:�.� �G

���

,�� �����������#��)����������-������>��B:��=�G���&������ ����������-

F���� � ����������#���)� ��"���� �� �� ����������������,� ��������������������������

.��������>��B:���=�G���� ��������������� #�������������������� ������� �����������������

$���������� ��������

�'�("�.�%3�����'�%��D�.�#���D3�����'� ����.�"����3����('�"���.� �=��

���

��������� �

D� �����

����$��������<�

D� �������

�����������A�

$����� #��������� �

���

J������������������&��������'������ �����<������������������ �����#��������#�������

"������������������� �����

3#�����!�� ��.F���� ���� ����������������������0�=�

�� ���������0'�>�

Uo~i i upamti!

Uvi}a¡

Page 194: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� �����'��( �������� ��� ����������

5��������������� ��������1������������)�������)�(��������������������#���#����������������������������/#

&�����'�1�&�����'������$�����)�

�� ����

&�����'�1�&�����'�������&����/'���"��� ��� ����

9������������������������!

J�������������4��������%���������� ���5������������������������������

A#B�1�/#=43 �� ��D�.� ��D3��1�4#<3 % ����.�"� ����

!��"����������������������� �%���������� �����$����������� ������������������

�'���.����� 3�����'���.��"���"�3�����'�C�1� ���43����('�4<�1�����=4#<�

���

��������� �����5����5�

�'� �� �� �������� ������� ��� ������ ��� ���� ������� �� ������#� ��������>���<3�������=<�

�'� ����������3�� ���C143�� ���>�

��� ��������

������������ ������������ ������������������ ��������

��

������

�����&�������� ������������� ���������

.���������������������������������������� ���

�����������������������������

$���������� ��������'H�)1�

��������������������1�=���D:�H=���������

/�����)���0:�����������<�

,�� ��� ����.� �������������-

$�������������'����.�"�"�3����'���.������"�

��������1)�#�������������������D#������

.��������#���������� ������������-

.�������� �������� ������������-

�� ���������������������

�'�� �

�� �

�����"(����.�����

�'��

� � � �

����?C�1�<<

��������

Va`i i uop¡te

Page 195: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�����������

+�������������������5�����������5���������������������������%�����������#���

�� .���������������� ����������

�'�@C�1�4A3�����'�>#A�1�>�

�� .�������������������� �����������

+��%���.�"%3 �'����D�.����D3

�'� ����.� ���3 ('�����D�.������

�� $���������� ��������

�'��"%�.�%3 �'�%�(%�.��3

�'�$���B:�.���@3 ('�#����.�#�����

�'���=��.����3 2'������.����3

�'������.������

�� @������������ ��������������������0�

�'�%�.� 3�����'��

� ��

3�����'�"�(���.�"����

� ���������������� ���������

�'� �

�� �

�� 3 �'��

� ��

�� 3

�'���.�����������! ('�"�(�.��������

/�����'<�>���������������<=�0=���� ����7�����������4 ����5��������������� �

4A�1�B���A<�1�=<#������� �� ��

� �

������������������ � ��

@�2������� ��������>4�1�B���4/�1�<�

.���������2������� ������������-

@�������������������������� ����4 ����5������� ��2� ����

B��������������������������������������������

.��������������2�� ������&����������-

D� ��������1���������1����������������������������#���������1�������������1��������6��������

������������

I������1�7���������������������������������������8�

�#��#������������������� � ������� ���.����4�#�����1����#��� ��������#��� ���4������4�������������� ����.�#:��4����#���������������� ������:��4�����

��������������������� �� �

� ��

������

Page 196: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� �����'��( �������� ��� ����������

!�������������������������������������������������� ������������#�� ��������

F���� ��������������������� ���������� ���������

+������������=?�1�CB���4=�1�BA����� ������#��������������� #������� �������������������������������������������������

��

0���#��#��#�����/�������1�������1���������������#��������������������1�������1���������������

+���������� �

� !�����1������#������������1�����

� !�����1������#������������1�����

� D� ��������1���������1�������������#�������1�������1����������������

������������������������������������=<�1�@���@/�1�<A������������ ����

=<���<A3 =<���@/3 @���@/3 @���<A�

/���� � ������������������������������1�������1����������������H�����������

��.�������.�� ��.�������.����.�������.�� ��.�������.����.�������.�� ��.�������.����.�������.�� ��.�������.��

� ��

"����1���� ��� ��

� �������>���4/���<���=4�

!������������������������

� ���

�����$�

"��� ��$����7�����������)�8�

@������������������������A�1�<���4B�1�><������������������

����4?���>���B#���������������

������������������& �������������������������

8 ������"���-

���������

Va`i i uop{te

Neobavezno Uvidi

Page 197: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�����������

"��������1��� ��� ��

� �������A���><���<���4B���=A/#��������� ���������:�������

��������������������� ����������$)�:��������

"�������������1�������1������� ���������:������������������������� ����������$)�:���������

$������������������������ ������� ���������& �

���������������

�������������B������������������������������ ��

��1������3���1������#��������������3���������

2�� ��������:���������������������1����������&�����'�����������&�����'���&%�$� '

2�� ����������$)�:��������������������1��������������&�����'�������&�����'���&%�$� '%����������������������������������

!��������������� ������������������������1��

��1�=4���@�1�A3 =<�1�����>�1�<3� � �

� �� �

� � �

������������������������ ��������������������� ������������ �������������

$������ �� ��#�� ����������������������������������������

�'�4�1�>���<�1��3�����'�4�1�?�����1�??�

��

,��������>#�A#�@���=4���0'��� �����>���=4���A���@��!� ��������������������"���������� ��>#�A#�@���=4�

B������ ����>�1�A���@�1�=4�����>��� ���@�2����������

���������1���>�1�@���A�1�=43=4�1�A���@�1�>3���=4�1�@���A�1�>������

*����������� �����������#��#��������#������������������������������������������� �%����������������������������#������������� ���� ��� �����������������������������

��

Va`i i uop{te

Va`i i uop{te

Page 198: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� �����'��( �������� ��� ����������

A���� �������� ����� ��6������ �� �������� ����� ������ ������������ ��6����� ������ ������ ������ =�'�� ���� �� ����� �����%������ ���� '<�� ������� �� �����%�� �� ������

!� ���������������4��������#�"5�����������

�'�>3��=C3��C3��B3�������'�>3��/#A3��/#<3��4#A3�������'�43��>3��A3��<�

��� ��������

������������ �������������������������� ���������

��

������

������&��������������������� �������������

���������������� �#����������������

���&������������ �������������

������������������4�1��

����>�1�

��

!���������������������=�1�<�����1�A�

�����������)���� �� ��#�� ����������������������������=��0'���':-

����� �������������������������������������� ��� ��������

�'�/#4�1�>���=�1�=<3������'���1�������1� �

�� !� �������������������������=��3����� ��������������� ��

�� �� �������������

�'�=A�1�<C���4>�1�@43�����'�� �� � �� �

� �� �� �

/������� ����������������#�������

����������������� ������������������

�� "� ��������� � �� � � �

� �� � � �� ����

������1

�'�A�����3������'�A���B3������'�

�����B�

��������������������������

�� !�������������������1

�'���1�C>���B�1�4=3 �('�4�1�����<�1�>/3

�'�>/A�1�A<C�����1�?CB3 ��'�>#/>�1�����<#/<�1�C3

�'�4��1�>#?���B�1�?#A3������K'�>#A�1�=?���/#=��1�A�

�� !� �����������������������������������

�'�C���B���=C���>3������'� � � �

� �� � � � � �

� ��������&������ ������������������������

�'�>#�A#�@���=43 �'�>#�<#�B���=>3

�'�=#�<#�=?���B<3 ('�� � �� �

� � ����

���

� 2����������������������������?#<�������"�������((���������0����"������

����

�#���������������������

��

��������

Page 199: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

����������

� ��

����������������� �������� �������������������

+������"�������#���� ���������������������������������������

�'�=�1�>���>�1�@3 �'�<�1�4���=4#<�1�<�

���������������� �#������������������

�'�>�1�������1�4?3����'���1�A���>C�1�� ����������������������� �����

��� ���� �����5�

� 2�����������������������1���>�1�������1�4?3���>���4?��������3���������B=�

� + ������������������1������� � �#������ � �3������@#�������@�

� !��������$�)�������������1������@�

8 ������"������������������������������-

.��� ���� ���������� ������������� �� �������� �� ���� ���#��� ��� �������������������

������

*��������������������������� ��� �����������������&��1�������1��'#�� ����������������������������������������������4����������������������������� �����5������#��������

������������� � ���� �������(������������������ ��������

������������� � ���� �������(������������������ ��������

�� $�����#�� �������������������

A���=C3�����B3 A���@3 =���A@�

.�������� ������������#�� ��������������������<���01-

��� ������� � ��� #���������B�

� �� "������������������� ����1���

��1�<3����B�1�

���

�������>�1�4/�

+������������ ����� ���

���1�<���/#=<3 � B�1�

���

����4A�1�=C/���/#=<3 � >�1�4/����/#=<�

� ,����������� �� ��������������������

Page 200: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

� �����'��( �������� ��� ����������

+������&����������������������%�����"��������������������������������%� ��%���#�%���������������������� �������������#����������������&������������

���������#������1��������1��

������1��

������1��

�����#������

&��;���;���;��'�1�&���;����;����;���'����#������� � � �

� � � �

�� � � �

$����������������������������������� ����

6�&�����������������

��&�������&�

��

������&� ��

0�����������$����� ����#��������������1���#����1��

��������1��

�#����������#����������(�������

����$���������.��1��!��.��.�� ��������1���������1��

������1��

�#�������

�����

�����

���

!���"��������

�� @���������"��������&��������������

4�1�C���>�1�@���?�1�4=3���

�1�<���4=#4<�1�=//���

���1�A�

�� �� ���������&�������������������&��������&�

���� ��&��

E����������������������������������������%�������������������������#��������������#�%���������

+����������� ����#����������������"���������#�������������7������������8 ������"���-

+������������ ����� ���

� !��������������������L�%��������� ���)�=;:�1�

�� � �� ��

�� ��� � �� � � ���� �� ��

� � � � � � �

� F���� ��������#���������������������� ���������#�������������&�����������

������������������

�����

����������

���(�������

Va`i i uop{te

Va`i i uop{te

Page 201: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�����������

�� +������� ���#������� ��� ���#������#���������������

�'��4�1�>�1�A3������'��=�1�<�1�=4�

!��������(�����#�����

/���������� �������������� �

� ����$��� ������(�������(��1���;��;����=B/�����������&='

� ����$��������������������&����������:��� ����'����1�4����1�>����1�A�

� ���������������������(��� ������+ �� ���(�����#������� ���"����

� ��1�4����#������������4�3�������1�>����#�����������>�3�������1�A����#�����������A���

� %�������� �� �� ����#���������������������&='���� �����������

"���������%�������!����$�������!��������"�

� !��������(������#���������������&4���4/'3������A/3�����&>���4/'#�����C/3�����B/�

��� ��������

������������ ���������&��������������

������&���������������������� ��������&������������

-����� ��������������������B�1�������1�>4 �����C����(�������������������������=��>C 2����������� �����1>�1�@���<�1�=<���4B�1�BA���>�1�<�1�4B���@�1�=<�1�BA

�������������#�� ������������������������������������������

��������������������������>�1�4���=<�1�=/���=/<�1�?/

������������ ����������������=#<�G� � � ����)�)�#� ������ � ��������� �����&>�;�=<�;�=/<'�1�&4�;�=/�;�?/'�

��������

,�������� �� ������������3������ ������ 3�������� �� � � $�� �� ������ � 01� :::�� ':� :::� �� ):� :::�����%� ������� ,�� �������� �����3�������������� �����������)):�:::������� ��������������� ����� ������� ������� ��������� �����������������������������3����-

��

������

!���������� ���������1

���'���.����� ��.��!

�'��C�1�������1�4A�

�'���1�=<���=<�1���

�� F������� ��������� ����� �������"�������B#�=4#�=B�����=4�

�� !���������������#�����������$�

��;���;�����>@�������1���1�����>�1�A�1�C�

�� G���4�=C/�������������� �����>�������"�������������1

=�1�<�1�=43 =�1�=/�1�4<�

������������������������������������

Page 202: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� �����'��( �������� ��� ����������

�#�����

������������� ������������������������ ���� ���� � ���� �������4������������5�����&������2��#��� ��4����������� '�

�������������� ����2���������������������������� ������� ���������� ����#����������

�,����� ����������%����� ������������������"��� ������

���B:� = 4 > >#< < C C#< B =/ =/#< =4 =<

���� 4 A C =/ =4 =C >/

*������"������ ���� ���� � ���� ��"���� ������2������ �-

� ��

���� ������� ��������� �� ������� ����������

����$�������� ��������������������)���

.����"�������� �������;������ ������� #���� ������1

�5����"�����5����� �-��������� ����4=�1�?�

0�����������B#�������������

5��������� ��������1�������<�

0���������)��A���������"����������������

���� �� ��������������"��� �����

�� ��� = 4 4#< > A <

;���� A B =/ =4 =C 4/

����"������������������� �����������4�������������� ���5�� ������������ ��������������� ��

+�������� ������������� ��"����"� ������������� ����������"������� �4������������'����<��������'�=���=5�

�� B������ ��������������������"�����������"���� �����B:

.����������� ��������2����� ��������� ���� ��� � ����"��B:!�%��B:!� ���-

����������������������

Page 203: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

���������������� �������

8 ������"�������� � � � � ���������������� ���������� ��

F���� �� ��������� � �� �� ����������� ��� 0� ��� 0=�� ��#�������"����� ���� �� ������� ���������� ������"��� � ��� ����� ����� ���� �� ����� ���"���������� ����

,��$��������$�$����� �.�����"������� ���"��

.���� � � ��������� ��&����� �� ����� � ���� ���� �� � ���� �����������"���'��� ��4���)��B:����1��B:5�����)�� ��4���=��B:����0=��B:5-

��&���� �� �� � ���"��� �������� �������������"������� ���� �� �� � ��� ����� ��4���1�������0'���5����� ���� ��4���0:�������):���5�

.�7���������"� �4��������� 5������ �����������������#������������������������"� ��4�� �5������ �����#����������

9����������� ����2���������������������������� ���������������������� �������������� �������������

����

%���������������������� ���������������.����.��.�� ����������������������� �

������������(������"������������ ������#�������������������������������������

&����/'�

�� ��

������������������

A���������������� ���������� ��������������������� ������3��������4���3������5������� ���������

.��������� ���������������������$�����������

�� �

���"���������������������������

���� #�����6�������������������������

�� J��������D����������4/��������

-������������������� ��A#<��D������

-�����(������������������������� ��>>/�������

���������$�)����������������1

! �������������������������D#������ ��(������"��� ������������

Page 204: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� �����'��( �������� ��� ����������

!������ 7� ��������������� ��

+������"�� ������������������� �������� &���&����� ���������

.�������� �������������������:�=��(0�'��)��<����������� ��#�������"� ����� �� �@������ ������� ���2��� ���������������%� ������� �� ��� ���� �%� ��������� ����������+������������������������� %������ �������

*�����$�#� ����� ����� ��� ���������� ��������� � ����� �#� � �� �����/� �����������������������������

%�(����

���

#����$��������$�$�� ���"�����%��A#<��D����������������

���"����%� ���$�!���$�������� �

2$���

� �� �

#� �� �����������������������������

��� ������

� � �� � ������#� ��D

�������

�� ������������ ����������������������4#A����F������-���6�������������������������(����

+������������ ����� ���

�������$����&���'#� ����������6�����&�����������'����

�����

� ���

�����6�����������������������%�������(���������������� ������#���(�������"!�������������������==#4���6������

� �� F���������

�� � ����������������������������� ��2��������������� �

��������� �� ����������������#�������"������ ��������� �����

2������������������ �.�"�������������� ��������&�����?'������������������������

� �" �� � � " � %

�� ��� "

A>4=/

�=�4

�=

=

4

>

A>4=/

�=�4

�=

=

4

>

�� �������

Page 205: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

���������������� �������

?��3������������������������ ����������� �3��������� ����� �����������

�� @��� ���#��3���������������������� ���� �3��������� ���"��

��� ��������

�����������������������������������������������

������������3������������������������� ��

������� ���#��3��������������������� ��

�� ������������������������ ���������������� �3�������� ���A��!� ���� ������,� ������� ���#��3��������������������� �����

� � � ��� � � � � � �

� � � �� �� � � �� �

� �

��

������

.������������������������������-

�5� ������������� �������������� ��

��������

�� F������������ ���������������������������3����� ���������������� ������>�5�@������3������������������������� ���5���������#�������"������ ��������1�"������������"���2�

�� @������3�����������������5������� �� ���������5����&������������������5������ ����� ���#��� �������� �

,�� �����3������� ������ ��3����� �������������� ����������������� �� �3������������������������������ �

�� ��� ����#��3��������������������� ���'� �1�����=�1�43��'� ���>��

�5����������������������#�

�5���2����� ���������������������������#��� � ��#5���������������������� ��������������� ������

�5��������������������������

�� @���� &������ �#��3������������������������� ������������� �

!� ���� ������������� &��

$�������3����� �������������� ��

@������3����������������������������� �

A>4=/

�=�4

�=

=

4

������

Page 206: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� �����'��( �������� ��� ����������

+�������������������� ������"���� ��������� �������� ��� ���������� ���

�� *���'<��������������������������������������� ���#�����������������������01������������������������� ����������������'��� ���� �4 ���0'5����������<��� ��� �4 ���15����������'��� ������4 ���<>5��������-

+������������ ����� ���

'��� ���� ���������4 ���0'5��������������������'��� ������4 ���)'5�������<��� ���� �4 ���15����������������������������<��� ������4 ���1<5�������'��� ������4 ���<>5����������������������������'��� ���� �4 ���>5�������"�������1��4A���=C���=4���>4���C���CA���AB���B���>BA��������

0�������������������#���������������� #���������� ����������� �

��

&�����������'#��������� ��������������������������(������"��������������������� �������������

,���������������������&����������� ����������������

� ��

����� �������� �� ������� �����������

%������%��������

������#�������� �����������������������������>C����#�������

�������� ������������������������

������#��� ������6������� ����

0� �������� ��� ��� ���"�� <� ����� &��������1���A����4/'���"����������������������

������>C��+� ��������� ���&��� ��������������������#�����������������#���

�� &��' = 4 > A < C

�� &��' >C =B =4 @ ?#4 C

.������ ����&���� ����������� ������������"�����'�4������&���������1���=���43���4����A'3�'�>������&���������1���=����>3���4����C'

Page 207: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

���������������� �������

���"��� ������� ������������������� �����#�������"������� ����#������������ ������� ��

.�&������"��� ������� �����������������#���������������������� ������� �����#����������

9����������� ������������������������ ���������������� �

,��������� ����&���������� �����������������������������3����� ������&��N�/'#������ ����

.���������� �

������� ��� �� ���&���� �����'���2�����.��.�� ��������

�� ,�������������#�������"�%������ ��������� ���������������� �������� ����������������������� ����� ����������������

�' � > A < C

B C A#B A

�' � =/ 4/ >/ A/ C/

C/ ?/ A/ >/ 4/

� �� $��� ����������������� ��2���������������� ����� ��3�������

���

����

���������������� ��$������1��"�������#���%�������"����

�����������

���"�����%��#������"2�

����������2������������ �������� �������������� ����������

+������������ ����� ���

� �=4 �B �C �A �> �4 ��

��

�= =�

��

4 > A C B =4

����

��= �

���

�4 �> �A �C �B �=4 =4 B C A > 4�

��

�=

������

Iz primera uvidi

Page 208: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� �����'��( �������� ��� ����������

+����������#��3������� �������� &��

�� .��������� ������� �������� ����� ������� ���������������������� �������� ���������������������-

�� ��������6������������������������������

����

%������1�#���%�������"����������������

����"�����%��#2��������������������#�������"�%

���������

����������2���������&�#� '��� ��������� �������� �����������#������������ ����� ���

��������(��6���6�������

����

������ ������4�'�<::��:�::'=5��������� ��#��3���-

���� ����������� ��������#������������ ��������� ��� ����F����������� ���������#�������������������� ��� ��������� ���

2�����1�� ��������".�� ����!��� ��������"�.�� ������!���� ��������"����.�� ������������� �������".�� ���#!�� ���������".�� ���#�3���� ����������".�� ���#����

@#� ����������� ���������#���������#� ��������� �� ��

=

< </�'

4/

�>

�4 4�'

>

=

4 > A�'

A

@������3������������ ��������������� ������������������5���5���5�

Mo`e¡ da uvidi¡

Page 209: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��������������� �������

��� ��������

�������������������������������� ����������������

����������3��������������� ��������������� �

���� ����������� ���������������� �������������������� ������� ����4 �����������5�

���� ��������������������������� ���������� ��������������������������?���� ���������������

��

������

+ ������������������������������������������� ����������������5������������������������������������������������������5���2����� ������������ ������������5����� ���������� ������������������������� ����� ���������#5���������������� ������&��� #��� ������

������� ���#��3�������� �������������� ���������������

?

4

> A

=

< C

�������� (��6��� ������

��������������

���#� ����

��������)���������#�� �����"�����1�A#��>#��4#��=#�=#�4#�>#�A2�

��������

�� F���������� �������� �������������������3����� ���������������� �������A�$���������� ��� ���������1�C#��<#��A#��>#��4#��=#�=#�4#�>#�A#�<#�C2�

��� ����#��3���������� ��������������� �

�'����

���

3����'��

���3����'�

�� ��

��

�� !������� ������������� ��� ����

6��������

����

�'� !������ � ��������� ��������� � �(������"����������� �

����1�<#��A#��4#�4#�A#�<#�2�

�'�!��������������������(������"�� �

���������� ���1�4#��=#����#���#�=#�A2�

��

Page 210: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� �����'��( �������� ��� ����������

��#�����������������������"��������

+���������������������� ����������>�����������"�#����

>�����

?�����

"�#���

����

�+����#��������������� ��������� ��������������� ������"�������������������� ���������������#�#�������������������������� ��� �

�/��������� ������������������������������������������� ���������� �����(����������

��� ���� ��������������� �#����������������������������� #���

� ��

��������� ������������������ B������ ���������������"

��������������)�� ���������'01����6����� ������������������.�����

������"������������6�������������� � ��@��� ����#����������������#��6������������ � �

.�������2��������������������� � ��6�� ���� ��� �����-

.����������� ����"����"��� ��� ����������H�� �-

6������� ������� ����������,��'� ���� �#������ ��#���������������� �����������&��� ��������� �#�������� ����'�� ��

.�������2���������������������6�� ���#��� ������������� ���� ����& �������2��#� �-

+����

,�������� ����� ������������'01�);H'�� ���("��� ,��H�� ��"���"��H��H';=:<�� ���=:<���

���

0����������$���������������2��������#� ����� �� >� ����

����������$�������������#

�����4=C������

���#������� ��

��

���</A#� � �%���

F�������� �������������� ���������������������������*���������&���� ��&��#�� ��� ����������)�� ���H�� ����������'01�����#����� ��

����.�(���"�#�.���������(���"�#������� �%������� �%����

6��������/��������� ������������������������������

����Uo~i

Page 211: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

����������������� �������

�� ���� ���������������� ������������4�����#���������5�� ��������� ��������������(���������������������������������������� ������������������ ����������������

E������������������������������� ������������������������������������������������� ���������#���������������� ��������.�"�#���(�.���

�F���� ������� �#��������������������� ����� ���������"�#���(#���� �%���

������

�� ���� ����������������������������������������������������!

�� @�������������0'1� ��������������<=�������������� ��������.������ ����������������������������������� ��������������)=����-G������������������B�������A�����

7��

*�������� ��������������)=������������"���� ��0'1� ���������4�0'1�0:5�����;�0'1:� ����� 0'1:�)=;)1� �������� +������ "��� ��0'1P)1;01'�� ���01'� �������

,��

A���� ������ �� ����� ������� �� ����� ���������������� *��� �� �� ����� �������������������)=�������������� �������� ����<=�)=;�����0'1�� ����% ����"#!�������#"�������=C4����������

�� ,��1������.��������&���������'��� �����5�.����������� ������������'<�����-�5�,����������������������D��� ���-

=4C���������

����������

A<�����

><�������.��"#���% �.�� !�������#"����������

�����������

�����������

+�������������4���#����5���� ������� � ��*������������������ ������ ��������� ��4���<=����)=5��� ��"���� ���������� ������� �#��������-

$�#������A���� �������"�����"� �,����������������������������� ������������� �������4����� ��������5�������� ����������������

��

Preglednije

Page 212: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� �����'��( �������� ��� ����������

�� E�������,������%�������������������������"�1� ��� ����������������#���������0=����������=��������������������<� ��� �����,��������������"���� ���� ������#���������� ��� ����������� ���� ��� �-

.�����������1� ��� �����������������0:� ��� ���-

/��#��������� � �������� ����0:������0����������������1� ��� �����#�������������0:������'����������������41P<5� ��� ������������������������#�����-

��� ��������

��

������

������������������������������������� ��������������� �%����&������ ��&��������

+�� ���� �������������������������������� ����������������� ��

����� ���������������������������������������� �������

*���0'��D���3���� ��'�01:������� �������������������� ��')��D���3-

!� �������K

�� ���� �����

������������������������� �������������������

*��� 0H� �D� ��� ��� �� )� :1:������� ���� ������� �������� ��H0��D�� �#���-

�� B���������'<�����������#���������� ��� >� ������ ,�� ����������������� ������������������#�����������01��������-

��������

.����������� ��

��������������>C/�@������

������������" ����-���:��������������� �� ������ ��� ���(��� �� B� ����� ����������������

��

�� 9�����������������0<��������#������������� �����������,��������������H������������ �������������#��������������( ���

����-�4�!#�#��5�������� ���!#�����#��#������������

�� B������ ����������� ������''�=��������2�'=:������ ���.������"����� �������"���� ��������D:��-

�� B������ ���������� �����1:���H@������1������������� ��� ����� ��*����� ����,�����������������"����"���� �������� ��� ����*�������������"�����������>:���H@�

Pomo}

Page 213: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�������������������

��� F���������� ��� ��� �������������������������

,��=������0'������������������D<:�������

��� F������ �� �� � �� ����� ��������������� �� ��3����� ���������������� ������4/��� �� ������ ���� ��� � ���� ��� ����� � ����-

���

� " % # (

( �% "� �

$�������3����� ��������������� ��

8 �� ������� ���� ���� �� ��� ����� � ����-

� % %����

�"� #%

�5� ,�� ������� ����� ��� ):� ���������������� ������-

�5� .������ ������� ��� � �� ������������������������-

�������� ������������� �� ���������������� ���

�� ? � � 3 � �� � � � � �� � � � � � ������� ���������1�������2��.����� � � � � �

�� @��� ��������������������'��"���'"�'������������� ����������

�� �� ���������������1����������������2#�����1���"�����%�� 2�

�� +� �����9��� 1��� "�� ��� %�� �� #2� �� �� ���������/���1����������"������������%���%�� ��� ��%���#�� ���#��#�2���� ������������/����������� �������

�� ?��3��� �� �� ���������/�����������1���"���2��@����� ��#��3���

�� .������������/������/������������ 43�������5�*�����

� .���� ��� ���� ������ ���

0

��� ��-�.����� �-

��� �������� ���������������*���������� ���������

+� �������� ���� ���� ��� �����������/��������� �������*���

� @������ ������ ��� ���� � ����������� �

�� $����� ����� �� ������ �� ����� ������������'���.��� ���"� !������'�>�������A��

��� !� ���� ����������� ����� "� ��������� �����&���������������?���4A���C���4B�

��� ���������� ����� �� ������ �� ������� ��������������.�������.�#�

��

0

�� " � % #

��*��

%�

=4>A<�

� " � %

=4>A<�

%�

��*��

������������������������ �������� *����-

Page 214: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� %����� ���� �#������������

��������������

������ � ���<�*�����#�<�� ����������

�������

���� �� �������� ��� ������� � ��������

������� � ���<�*��� ��������C� #�� ���� ���D���

��������E� ��� �E��*����������������

��� ����

<���<�!"���� ;�E������

?����� ���� ��#�� �����*�<�8�<����/!���#�� �!� ���#���� ��� �6"� �6�� /������

��

��� �

�� ;���� ;����

���#������ �06������!����0!�!�

��

!

� �

�� �

���

8�

���

��

�����

������ �� ������

0 � �

+

*����

�� *����8�� �� ����E��*���E������E��8���E

��

��� �� �

����

������

����

�� �����+

�*�

+���

���

��

����

����������

�� ������������E���*������������

���� ���

�� � � ��

���

� �

��

8�

���������

������

����*�

��

�������

*�

�����

����

8�

���������

Page 215: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

���%����� ���� �#�����������

���

���

���� �� ����� ���������� ������

��� F�����)��� �E� � �E� � �<-�E� ��E� ���� ����E� � ���E

�� ��-<.��E

��E���������E���E��

��

� ��� �� �

E����������� �� �������������E

������ ������ ������ ���E��

�����

�����

�����

�����

�����

��E

�� �����������

�� �����������

��� /G���/+��E������

��������� E������

��������� �

���

���

*��

�� ��

� �

��

��

� �� ��

�� �

�� ���������?:� ��� �����)�� ������� �����

:���#�� ���7#�����������<�����������

�� *�+�� $��#�� � ���#� �� � ���#��� �����)���:���#�� ��������#��(�

�� ��������� ����� ��� # ���) � � �� � #���

���� �� ������������

� �� ��

�� �

7�:������ )��� �� ������� ���� �������

�������*������+��?:� ��� �����)�� ����

��:���#��

��������� ����

; 8�� H��?:� ��� �����)�� ������:���#��

����

�� ���

� (

��

�*�

����

����

���

��

��

������+��B#���������<��<�,<��<��<��<����

-+�

� ��� �� >������ ���) �.� ��

*� ��

��

� ��� >������ ���) �G�

��

1

1

��

���

� �

��������� ?:� �� � �����)�� � � �� :�� �#�� �

��� ���) �� ��������,,��������������E���

���

����*��+�

3 �������� ������ �������

���������7#��# ���)��������� ���� �����)��� �F

<���� ��� �������)��� �F�

7#������

����*��+��2 �����)�����

�:���#��

-F1���# ���)���

����

����

����*���+���2��#���

����� ���� �!���� �������3 ����1>� �� 8��� H�

�������������������������E���

� ��� �� �

�����

� ��� �� �

�����

� ��� �� �

E

������������������

(

-

�� �

�*� ��

Page 216: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� %����� ���� �#������������

�� ���.+�+++E �G+E +<+/.E -��,0��++E

�.+E +<++�G-� �� �E��/-E���0E����

�� ��������������������.E���������������������GE

���������������������-G�

��� ��E����E����E �E������� �� E

�.E -������� �� /,�E��/</�E �

��

E���

�E

/E��/� �� �E��

��

�E�/��,G� �� �E���� �� /+-��

��� ���E�������E������E��,������� ���� ��

��

� ��

E

�� ��

��

� ��

� ���

� �� �� �

��

E��

�� �� �� ��

E���

�� �� �� �

��

� �� �������E

*������E���������� �� ����

��E��*����� �� �������E

*�������E�������������E��8���-�������

��� ����<.E�*��,-E����/� �� �������/-����������/-E

*������������������E���������������������� �� ���&'�

��� ���% ��������0!�-����E��*��% �����0 ��

���� �� ,���0E ����.E /+���//�

���

� ���� ���

� � � �� �

<��������� �� 2����� ��������

���������*�� �� ���&'�

��� ? �)��������* ������ �� � <� ����

��

���� + - � � ��� �

�� �����������,E��*������/<,����,<,�E

�������/<,����/<�/����<�+E��8��-<�.���/<,����/<�/���-<��E

�� B������������ �* ������/���-E

B����������� �* ������-<�+<�/���-E

B����������� �* ���������

�<���-<���

�<��+<�/

���-E B����������� ����������* �����

�� 2������������*������8��

���� � ��� ���

��� ���.E��*���/��E������

��E��8��/

���

�� 7��� �* ��� �� �������: �:������*�����������

�� ?: �:������ ���!������ ������-E���

��

E�� ����

�� /.� �� :������.� �� 1�/�����/�����-E

1�-�����-����+E�1�������������E�1������������/��

�������

�������/�

+

��

��

�-/

+ �-/-

+ /- �-

@��������������������������/������������

� ?��������

���������1����������

�� �������E�������������� �� ��(�)�����

������

�E�8������ ��������������������

� ��� �� .���������)�E�����#�������

�� ����-.E�*���/-.E

����.E�8��/� �� ���-.���/+�E��*��,+.���/+��

�� ���-.���+</�E��*��-/+����+</�E �� ���+E��*��-�

�� ���.�E��*��+<-�E�������

�� �� �� �

� ���

��� ���

�� �����E�����/��E��*���������������E���-���-���-�E

������������������������������������

����E��*������/��� ���E��*������

������E

*��/�����E������

�E��8��

�� ��� ����/-E

���*��/� �����������������E��*������G��������G�

��� �������GE��*��.<�� ��� ��� � E� /-E

*����E� � E�/-E�������E����E�+<.E� � E��<-�,�E�/-E��8�� E

������������* �����

�� ��+<.����

Page 217: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

���%����� ���� �#�����������

�� $�������������� ������������.�����E�-�������

�� $ ������ ������� � ���

������ ��

��������

�� �������� � ������ �� ������8�

�������

�����<���-�������� "8������<���.������� �����������������������8�������� ��������������

�� ���-��E�*���-�����

�� 0���

�� �������������E

�� -���� �� �������

�*��-���������

�� �-������������E

�� ����������������������

�� �.�������0����E������.��������������

�� �� ���������-�������E

���.�������������0����

�.<���-<����������

���������������-��� �� -�� � �G��������-�������-�����

����8������<�����������- ����������������8

������+����

� ����������-�������.�������,�������

�� �����E �� ��/+�����E�����0<���������������

� ��������,���E

�� ��

%�������������E�����������������

%��,����$��

�� ��

� ���/+�����/+�����.��E�*��-.����-�����/-���

�� �������-��E�*��������-���� ��� ��/+�����������-�E

*��0����/0���

�� �������E��*����������������E��*��

�����������

*��������-�������

*������-�

��

�� ��������E�*����������

����-�������������������������������������������������

�G��E�������<-.���E������-,����������������������

� �/-����E �

�������������������-�������.�������������������-����������

��-������E����-��������������������������������-������

���/-���������-�������

��-������� �����E ��������

�� ���������.��E�*��,�����������-����-�

�� ������ ���G�����������-������E�*����,�����-���

�� �� �������-�����.������������-�����/��

�0�������-�����

����-����������-������ ����������������.�%��/�������/���

���-���������������E�*����-�����������.����

-����0���/E������������/+���//�

��

� �

�� ���

���,�

-���������

�� ���0������/-���E�*��/+��������������-����

��

�� ���-+����0���/-E�*���,�����-�����������

�� �� ���������/.�����/+�����/+��E�*��.�����-+�����-+��� ����

���������-����������E�*��-����������������������������

������E�*��//�����.�����/����

�� ���-������������E�*�-������������/�������/.���

�� ��/<-����-<.����/<�0������ ���������E�*�����������

��

�� ���.�/�E�*���--/�

-��������������G�����.������/.� ��

���<.�����/��.�*��������/�

������/

���������

���

-+�

�� ��������GE�*�������G�

�� ����.GGE�*��GG0�� ��

�� ����������

��0+G/E

��*��GGG�� ����������.��E�*���������������

���G�������������E��

*��������������-.����

��������E�*���-���������-�������� �

����+<+���������E

*��� �

�� �

����

���

� ��������0/E�*��������������/�

�� ��������0�����/�E�*��������-0������G���

�� ��-����/�����-.E�*��/-�����/�����������

��

�� �������������GE�*��G�����/-��������E����/����0���������

����������E�*���-���������� �� ���������E�*�������/�

���� ��-�����+���/�����/�0/E��

� �����0������+���-�����/���E�*����0/E���G-/��

*���,-������,+���-�����./0�E����/+.�����/++���.�����//+-.�

���G������+�������-.���

�� �

��

�� ������������������E��*��/��������

*��������-���������� � �������-E

������/E��*�����/� ��� �� �� ��E��

��� ,���� $�.��

���������������

A�)���������: �:��� �� .����-E���

��

� �

�� ��� �� ���-��������������E

���/<-���E��*����

�����

4� ���������������������������1�

Page 218: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� %����� ���� �#������������

��

� � ��

� � �E��� �:���!��� �)���������: �:��� �

� � �

�<��

� ����

����

�� ��

�� ����������������������E��*��,���������-��������E

��������-��������/��

*���.������.�������E������-������������/��

�� ������������-���.��E��*�������/�����������E

���������-�������/��

�� ��

����������.��������.��

I��� �)���������: �:��� ��-��������E��

�� �� �� /+� �� =�������-�

�� %�.�*�����+�

���.������E��*��-�����-��E��������������

�� �����������-������E

�����������������E��*���-���,���-���,��E

�� ���.����-������-��E

�� ��������.��������������.���������������������0����������-�E

*���������������-���������������-������.����������.��E�������������,�����������,����������/�������/������/��

�� ������������������������/++���-0���-�0++E*���,.���-.��,.���-.����/++���.+���.�+++E�����.+�+++�

*��,����������������E�����.������/������/��

�� �� ����������E��*���-����.���� �� �����0���.-����

/++����/+�+++E��*���-,�����������+�������++��� ���-��������E��*��-���������� �� ���1�����E��*��1���-���

�� ����.����/��E��*���-���,���� �� ����.����/�������+���

��/��++E��*����,���-,�����-+�����++� � ���-�.��������E

*��-��������� � ���1�����E��*��1���/�

� ��� ��

�� ��

��

�� ��

-�����

�����-��������

��

�G�����������������������������

���

�����-����/�

���

-���������������

��������������

��� �����������-�������E

��� �����.����������.�������

��� �����������

�����������E���

�E���+<.E��� ���!���

�<�<��<��� 7 ���<� � ��<� � 8�<

��������� =*� ���,���E� �:��#��������

���������E�*���

��������

���-��E��*��0�����

���������-��E

*������-���������/��

��� /-+��

���� !� ����� ��� ����������������� ��

�� �+�� �� �������/� �� ����������/�

�� ���������������������������

��� *�� �� ������00�� �� �1����.�E�����..�E

������+�� �� ���� ��� ��E�*��:��,�����+J� �� ����+�E

��� ���;�E��*���E�������� �� $ � ����� 8����

������������� �� ���;�E��*���E��������

*��--��+JE�����/.�E��8��/+��

��� ���������7�) ����# ���) ���������� ��E�H���� ��������#���������� ����

���#���E�:�����#�����-<�/������������ H�

�� ����� � ���# ���) ���������� ����(�

�� ��������������0������� �� ��������������

�� ���������������:���"

��� �� ������&'� �� ���� ��� �� ���;�E

*���� �� �� �������&'�� �� �������&'�

��� ���;��� 8��E��*������ 8��E

�� ���7����E��*�����#��

�� ���/���������E��*��/�-����/0�� �� ���;��� 8��E

������� 8���

*��������� 8����#E������� 8����� ���;��E�*��������� �� �����1'�

� �����1'� � @������� 8���

��� ���/.+�<��+�<��+�E��*��/.��<�-��<�-��E�����/�-�<

�� �������GE��*���E����������E��8���E�����������

�� ���F� �� 8��E� � *�� �������� 8��E� � ��� ��

/0�<�/0��

��� 8���

�� ��������E

*�������E����������0�

*��������.���������

���//������������

Page 219: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��%����� ���� �#�����������

�� ���;�E��*���E������E��8���� �� ����.E��*���.E�� �����&'E��*����1'�������G<0E��8��-</E�����+</��

�� �������'E��*������1'� �� ��� �� ���

���� 2����1'��*������&'� �� ������'E��*�������1'�

�� �������1'� �� �� � �&'� �� 2������� � �&'�

�� ����������������&'���*��������&'������

� ����&'�

�����

������

���*�������� � ������

�������

� �

��

� ���&'� � ��� ��E

�� �������������������&'�

���� ��� �� /-0� �� �������E��*�����+<G.�

�� ����1'� �� ���&'� �� ���&'� � ���&'�

� ����'�

���� $�����*����(�8 ������������������

��������������#������� ��8����)�� �� A�����

# �#�� ��8����#<�� ����8����#<� ��*����

�� 7E������<����� �� <�:�����#�/�

�� ;�<��� ���1#�������� ��� ��������� �8��<

����� �� �� ��<� ��� 8������ ���<� ��� � � 8���� � �� 7��� �E����� �� �

���� �������&'�E�*�������1'�E�������

���&'�E

�� ����&'� �� ����&'�� �� 2��������&'�E*��������1'�� �� �������*�*�����/-�����E�*��!��$�*�

������ ��E�����������H �E�8������*�*�������� ����� �������*�*�����������E�*��!��$�*�����G

� ��E������8������*�*�����-<-.����������!��$�*������� ��� ��E�K��!��$�*������<-.�� ���

� 0����<�0/�������/������/��������������/E��/��1#��� L� � �� /<� ����� ��� ���� ����*�*�� ��� :��������/E���-���#���������/<���� ������������

� ����E������#����M����/<���� ����!��$�*�����:�

���/����� � ��3� �� /<.�� ���

��� ���&'� ��� ������&'����*�����&'� ��� ��� 2 �

� ��� 8����#������� ������&'�����&'��0�����&'��E��&'�����&'��0�����&'��E���&'�����&'��0�����&'��E*������ ������ �����&'E�0�����&'���

��� $�*����������!�������!����?����

���������'�<���0���������'��4�������'����

��

0�

���� �������&'�� �� ����&'�� �� ����&'�E

����&'� �� ���&'�� �� ���&'�� �� ������1'��

� ������''�� � ;�E �� ���&'�

��� �� *����� �

��

�� 0 �0 ��� ����&'��

���� ������&'�E�*������&'�E����������

�� �������*�*����/<.�� ��E��*��!��$�*����/+�� ���

�� .N� �� �������E�*������ �� ����&'��

�� ���;�E��*������ �E��������� �E��8����E��������

� 3������� ���$)�(� ����� ��� ������� ��

�� ��!�4��0�4���!E�0���� �

�E

��&'

��&'

��&'

��&'

#��� �� ����

0�����!�

��������&'��

��������

�������

����������

*���E�����E�8�����

�#�������� �� � �&'�� � ������&'���*�����1'��

����� � �&'���������&'�� ��

��

� �� ����&'��

�� ����0��������0������<�#������������������

���# �#��<����������E�����

�� �� �� ��

�����E���

��

� �� �� �

� �

��

�� �� �� ��

����������

��� �

��

�G++E��������G++<�������&'�

���� ��&'� �� ���&'� �� ���&'� �� ���&'��

�� ���&'�� �� �������&'�E��*������&'�� � ���&'��

� ������ � ����&'��������&'�� �� ��� &'������

���� 4� � ��� 8������ � � 8� � ��� 8���� ��� �+�<#������ � ��������� 8� ��� ��������&����� :�

Page 220: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

�� %����� ���� �#����������

���� ���������&'�E�*�����&'�E����������&'�E

8��������&'�� �� ��&'� �� ���1'� �� ���� � �&'���

��������&'�� � ��������E�*���� � �&'����������&'��

�� ����A�:8������) ����1���������� �����&'<��

��������������� ������ �����&'��������������

���

�� �� �� ��

����

�� ������*������

� � �&'��2�#�<�0����

�)����

������� � ����� �

�� ������ � �&'�E�*���� � �&'�E

����� � �&'�E�8���� � �&'�� �� ���

� 0����� � �&'����������&'���������&'�

� �� ����1#��� ���� ���������� 8��<����� �

�� �������� � 8���<��������������������*���

����-��3�� ����0������ � 8����#���0����� ��

���

�� ��

����

� �� ������� ����0����� 8�����0����

��� ��

����

���� � �� ���

�0���=������0����

��0�

��� ����5'�� �� ������56� �� ���� �� ��������

�� ���'������'� �� $ ������� ����#��� ������

����8���������&'��:* ��:��������

� ;������� � 0�� �� �����'��

��� ������ �&'��*���� �&'��������� �&'��������&'�

��� ��������*������� ��� ������&'��*�������&'�

��� ����'7'89� ��� ����&'� ��� ���&'� ��� ��&'�

���� ����� �&'�E�*������� �&'����������&'�E

���� �&'�� �� ��&'� �� /++������ �� �� �&'��

�� )����� �&'��0�������� ���������&'�� �� ������&'E

*��������&'� � ������ �&'�E�*������ �&'�E

���������� �&'�E�8�����&'�� � ���� �� ���������&'<

��� ��3� ��� 2��� �&'�E�*�� �&'�E

��� 7#����� ����(�8 ����:����

(�

��� ���� �&'���������&'��*�� �1'������ �&'�

�� �����&'��*����&'�������&'�

�� ��&' � ���� � � ���

)�&' � ���� �� �����

�� ����� �&'���������&'��*��// � �&'��������&'�

�� ������1'� � ���������5'� ���������

� )������&'��0������&'�� �� �� �&'���������&'�

�� ��������<����������

�� �� ������&'�

0������&'��

���� �&'��������*���������0��������E�0���� ��*�������������E�0������*�����������E�0�

������# ���

���#���E�0�������� # 8��:���������� ���

2�����0����

����0

����

����0

����

�� �� � � �� ��

����

���

0����0

����0

����

�����

����0����0�

���0����

����

�� ���0E��*��/-E����G� � �������1'E���L��

� ����1'� �� ��� ��� ���&'�� ��� ��&'�

��� ����&'�� ��� ���&'� ��� ������&'�

��� /�+++������ ��� ����&'��

��� �� �����

�� �� � � �� ��

����

�����

�����0

��

��

�� �� � � �� �� �

�� �� � � �� ��

��

�������

���

� ��� �� �+����/-+��

�� $�������2�����

�� ��

Page 221: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

���%����� ���� �#�����������

���

���� "� ����� ����������� �������

� �

� �

�� ���*������+����*�+�

��

�� ���*������������������+�����*����+�

���

��

��

��

��

��������

�/�-���� � � � �

��

��

�� ������� �������� ��������� �������! ���-��" ������

��

=��� ��� ���� ���)��������������

� �

� �� � � � ��� � � <�

� �� � � �� <�

� � � �� �

=��� ��� ���� ����������������

� �� � ��� <�

� �� � � � <�

� �� � �� �

��

���/�-���� �

�� � � �

1����/� �

1����/�� �

��-<�/�

���

/���

�� �� �� � � � �

���/�.���

�� /���

��

���/� �

��/���

��

� /�� �

��/����

���/ �

�����*�

��

��������

�/�-���� � � � �

��

� �

��

0

� � �

�� �

� � �

� ��

� :�

Page 222: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� %����� ���� �#����������

��� �� /-/�---0�-

/,-/-,���,

1 *� /-/�---0�-

/,-/-,���,

1

�� %���* ������ ������� ����+�

�� -��*�� � ���* ������

������� ������ ������� ������+�

��

��

1

��� � ���* ������� ������

������� ������� �����+�

��� ���B������������������� ����# ����*�

B���������1����� ��������������#�

�� ;������1� ���������� $# �

� ����������� ����*�������+� �� �/�����E������ �.����/+E������� �G����/�E������� �����0E������

�����/-E������ �� �+����+E�� ���������� �.�������;���*�����������������+� �� ����������!��#������

��!��!%��1�%E��� ���������!��#������ � �����#��1�%��-� ���� ��� ��#���������� ��!����� ��#����������$��

�� ���;�������� *�-<� �/<� +<� /<� -<� �+<� �# ��� �������;���*+<�/<�-<��<��<�.+���*�����*��<��-<��/<�+</<�-+<�;���*�/<�+<�/+���������*+<�/<�-<��+<�;���*+<�.<�/+<�/.+��� �/�����E�� �������� =��������

�� 9����* �.E��-<.�<���-<��/�<���/E��+<.�<��+<�+�<��-<�/�+�

�� ���1���*��<���<��/<�/<��<��<�.+<�;���*�������������+�

�� =��.��8������ ,������ �� ���;���*��7�

�� �� *��������=�����<

��5'�����&'�����������&'�����&'� �� ���0/��*��/<�.0�

���-��8��/+�����+</��K��/�+++����+<+/� �� ���/���/<-.�

*��/��,<�.�����/������ � ���

��E���*��

���

E����+<++/E

8��G<�.� � �������GE���*��0���-,�

�� ��� $���H�� �������� � � +<-� �� /.<� �

� � �H������/E��*��$���H����������� �����<�� � � �H�������� �� ���.����/����G-���-�������

*���� � � �

� ��� � � �� ��

� �� �� �� �

� >���������� ��������

�� ���� �

�� �

���0�������-E�����*��0������������

�������

�������0���� � ��

� � �� ������ �� ���-���*��./-�����-�

8��/-������<���K��0�

1

�:�

*�

�� ��:��

�����E��K��:������/���������

� ���;�E���������G���/-E

*������/���.���/,���0.E�����E�8����E�� � � �� �

� � �� �

� ,<.��/�����

����E��������� �� .��-�������-�E

��

����/-� �� 0���/-���/-���/0� �� ���G<�����/-<�����/0�

�� /-+����++���/���+���-�/�+� �+����++��

��/�.++���-�/�+� �� 1�����*����0+�+++���� �E

�����*����/++�+++�������������*����/.+�+++����

�� ��������-+���������-+E��*������0+E����������/-���

3 ����� ��� )�������� �����������

��<������8�� �� ���������E

�����+����������������� ���

���-����G���*����

�����<��

Page 223: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

���%����� ���� �#�����������

���� ���1���� ������ 7� �++� ��#���� 8����!�����6�����9��!#����8����� ���!�%� ��6��7�++:��9��(7+9�������#�����#����*���������#�#��!��!#���!����������*��������#�����#�����;���"�����!��� ��� ��!#����*����#����,��� �#�����#���"�#�����*���,��� �#���!������������������0� ���#�%� ����26�<�����#������������%!����#���7��7: �7�����������#��� 7�++� �7:��� ����� ����!���������� ����������������������#�� ������

�� /������������,��� �9++�+++��#��������=�0!

�� ���)����E��*��)���-� E�����)������ ��������E*�� �� �� - E� � ��� �� �� ��� $��(� � �� � � :�� � ��

� ��� )���������� �� ��������

�E

� �- + - �

� �/ + / -

*��������E

� �/ + /

� �� + �

� �- + - �

� �/ + / -

��

���� 3 ����� ��� )����������������������*��

F* ������ ��� )��������� ��������������������>������ ���� 8�� ��� � � ��� � ���� ��� �* ����

�� ����������E

�� �� � �. �� �- - � .

� ��

��- �� � -

*�������

�� �- �/ �

�/ �

� �� �0 �/� /� 0 -

��

���� /-�,0+��� �� =��/-������ �� ������5'�

�� ��<����'89� �� /.������ �� /��++�<��

�����

�E

�����

��E

����������

*�� �- �/ + / - �

� �� �� + � � G

� ��

��

�/�-� � � �

�� ��

��

�/�-� �

����

� ��� )�������

� �� �. �� �� �- �/ / - � � . �

���

��

/��

- � �� �-�

�/�

��

$���������! �����������!����� !� ��!���%���"��� ��� ������ ���>�����#�������/������������!� ������%������%!� ������� ������++++7%�!�!��������#���#������ ��!�/����!�����#���9++�+++�������������������������������������� ?���������!���#������� ������%��������������#�� ���#�������

����������� ���#�����!�����"�#� ��� �/-�������������,�������/"��� �� ������!���������������� �����#�%������������ ���� ����#�� ���#�����!������

�� 4�!#�#�������������������<� ������!����#�� ���� �#�!�

4�!#�#�����,���/-� ������/��@����!���������%

Page 224: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� � �������������

� ��� �� 7������ ��� ��)������� ����<�����

� ������������� �������

��

��������

�/�-���� � � � �

��

�<�.��:�

%

��

�� %���* ������� ������� ������� ������� ������� �����+�

�� A��)����%�� � �<��������<���E������<�����

��� ���������

�@��#���"�7��@������"�7'?@��#��#����� ��� ��"7�

�2���"�����9����������"�9����� ��#��"�)9������ �"�9)��������"�9)�����"�99��!���#�"��9����"�9)2���"�� ���� ��#��"?�

�A��#��"��"�?� !���"� ��� ���"77�����"���"7)��������"� �� ������"�7������"� �!#�"7+�����,�$�"�7��������"�7?��!���#�"�77A�����"��"�7 ������������� ������")'����#�����"�+

����!#������������"�+'������������������"�+�����������"��+��������"�7 A�����#�*�"���+

�B����#���������� ��"7

��!�"�'� !���"'��� ���"?�!������"'

�!#�"�'�#�%�#�"77���#�� "�����,��"�79+� ���%����������"�7++�������#�"�7++��#!����#�"�7++

�C�����#"��

�D �#�#�#"�7D����"��+��������"�9?����������� ��#"9?"�+

��<���E������<��������<���E������<��������<����

� (� � �������������#��<����*�������8 �(�#��

�� �������/<-.E��*�

��� ,�������-0���-�� ��� ����--<.�

��� �����<.� -�<.�

���

� ���

���

��0++

� . /-+ ���

���

��� ���;��������E*�� �+� ����#��

�#�� ������������

�������

Page 225: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

���� �������������

��� ����"9 �� �#���"�7��������"� +���������" 7����"� 7��������������"�+

-�� ��#"7'?-�� ��#"�7� �����,��"�7� -�� ����$�"�)�-�����"�)���#���")���#������$�")�-��#�#�"�9 -��� ��#����#��"7'?� ����#���������!%���"7'?-��� ��#������"�7'?-��� ��#��,���"�7'9-���"�)'���� ��#�"�)'������"�)'-�!%"�79?�����"�79?�����,��"�7'7-�!E��������"�7�)�����,��"7�)-�!���!�"�7+)� !���"�79 -�!������#�"�79������,��"7�9

=� ����"7� =�%�!%��"�77������,��"7�9�������"�77 �#�%�#�"�779�#�#���"77�=� �"7� =���"����%������� ��#"�)����$�"?������"�'�� �#���"�������F�����#"���

���E�$�"�'���#� �� ������"��)�� !����$�"��?�������"��?�����"�9�������$�"��'��!���#�"�9��#���"�9

�G ��"�7 +G� ��#�"�7'?G��%��"��"7?)G��"�7'?��������"�7'?����� ��#�"7'?��� ��#�"7'?

�������%���"�7)������,��"7)�����0������"'�����"�� � ���$�"??���� ��#"������F�����#�"'+�����$�"�' ���,#������"�'+�� !����$�"'9�������� "'?�����%�$�" �" 9�������$�"'9��!���#�"'7��#���"'�������"� ��!�����"�)���#��!������"9��!���#��!������"9���!�����"�7�������"�������%����"7��#��!%�"7)�����#��#����"��7�����!%����"7�?�����,��"7� ���������$�"7?)���� ��#�"7?9���!����"7?9�%��F��"7?9

� ���"7?'��� ���"7?)��������"��7�������� ")�� ����#���"7')���������"��+���� ��#"�+� ���"�+������"�+��#���")���#������$�")�����������"7 9������������#��"7 '���� !���"�++������������#��"��++�������������#"�+�����F�����#"�+��F���!���������!"�+��F!�����"�+������������"���#��#��%����#������"7 ����� $�%����#������"7

<�����"7 +"7 ����� ��#"7 +��� ���"7 7�!����������!#�"7 7����!#�"�7 7������������#��"7 )<�%"7'+<������"�7?��%��F��"7?�//����"�+/���"��"7?)/!����������"��7)/!����� �%�0��"�7)/�� ��"����#��#����"�7� �%����#������"7 /#���"������ ��#"���������")+������"���������� "� ��#������$�")�

/#������$�"��

�>��������"������#��"���� �#���"���������"��>���F��������"�� �#���"'+>�����"7) �����,��"7) >��!%����%���#���"7�'�� �����"7�'-����#����#���"�7�������,��"7)9�������"77 >����"�

�H!�����"7?)���� ��#"7?���!�"7?9H�%!��"7����� ��������,��"7��

�4%��"7+)�����F���"7+'���#���"�7+)

�I�������F���!�"7)'

�J�#����#� ����������"7�

�K�#����!%���������"77 �#�%�#�"779�#�#���"77�

Page 226: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

��� � �������������

���� �� ���� ��������� ����� �

���� !� ���� ����� ������������� �

���� "� �� ������ ������� �� ���

���� �� �������� ��� ������� � �������� �

��

���

���

���� � ��� ��� �

�� �����������

Page 227: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

Рецензенти:Д-р Никита Шекутковски - претседник

Шабан Алија - члан Гордана Андонова - члан

Уредник издања:Јово Стефановски

Језички лектор:Сузана Стојковска

Компјутерска обрада и дизајн:Драган Шопкоски

Коректура:Аутори

Превод: Силвана Станковић

Издавач:Министарство образовања и науке Републике Македоније

Штампа:Графички центар дооел, Скопље

Решењем Министарства образовања и науке Републике Македоније бр.10-1621/1 од 19.06.2009 године, одобрава се употреба овог уџбеника

227

Page 228: odd_SRP_PRINT_… · Vektor. Operacije nad vektorima7 Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa

CIP - ������������ �� ������������������ � ������������� ���������� „��. ������� ��������“, ��� ��373.3.016:51(075.2)=163.3����������!, "���

#��������� � VII ���������: ��������$�� ������� ���������� / "��� ���-%�������, ���� &���������. - ��� ��: #����������� � ���������� � ����� �� '� ������ #���������, 209. - 239 ���.: ������. �� ����; 24 cm

ISBN 978-608-4575-05-41. &���������, ���� [�����]

COBBISS.MK-ID 79204362