Kolegij “Strukture podataka”

Luka Rajčević, 38117

Algoritmi određivanja broja pi

• Općenito o broju pi• Kratka povijest broja pi• Algoritmi dobivanja broja pi:• Chudnovsky algoritam• Leibnizova formula• Gauss-Legendreov algoritam• BBP formula (Spigotov algoritam)• Liu Hui-ev algoritam

• Zaključak

Sadržaj

Pi ili π je matematička konstanta.

Njena približna vrijednost je 3.14159.

Poznat i kao “Arhimedova konstanta” te “Ludolfov broj”.

Bilježi se grčkim slovom π.

Općenito o broju pi

Postoje dvije općenite definicije broja pi:1. Pi je omjer između opsega kruga i njegova

promjera

π= O/2r

• 2. Pi je omjer površine kruga (A) i kvadrata radijusa.

π= A/r²

Definicije broja pi

Korišten je još u doba starih civilizacija (Kina, Egipat)

Veliko zanimanje za njega u vrijeme stare grčke (Anaksagora, Antifon, Hipija, Arhimed).

18. stoljeće, otkriće mehaničkog računala (Newton) potaknulo mnoge znanstvenike na proučavanje broja pi (Leibniz, Euler, Legendre, Lambert, LeClerc, LaPlace).

Kratka povijest broja pi

“Najplodnije doba” za broj pi je 20. stoljeće.

Pojava modernih računala koja su omogućila računanje na velik broj decimala s velikom točnošću (ENIAC – 2,037 znamenki).

Superračunala 21. stoljeća računaju broj pi na nevjerojatan broj decimala ( rekord iz kolovoza 2010. iznosi 5 bilijuna ).

Velik broj algoritama.

Najpoznatiji su:Chudnovsky algoritamLeibnizova formulaGauss-Legendreov algoritamBBP formula (Spigotov algoritam)Liu Hui-ev algoritam

Algoritmi dobivanja broja pi

Braća David i Gregory Volfovich (američki državljani).

Jako raširen algoritam. Koristi ga poznati matematički softver Mathematica.

Jako brza metoda za računanje.

Chudnovsky algoritam

Autor je Gottfried Wilhelm Leibniz .

Njegov algoritam se također temelji na sumi niza

Jako spora metoda računanja.

Leibnizova formula

Carl Friedrich Gauss i Adrien Marie Legendre (svaki individualno).

Jedan od najboljih algoritama za računanje broja pi.

Izrazito je brz, ali je prilično zahtjevan (što se tiče memorije).

Sa samo 25 iteracija moguće je dobiti 45 milijuna točnih znamenki.

Gauss Legendreov algoritam

Algoritam:-početne vrijednosti:

-ponavljanje postupka do željene točnosti:

-Aproksimacija broja pi:

-Prve tri iteracije algoritma:

Bailey – Borwein – Plouffeova formula koja koristi tzv. Spigotov algoritam.

Spigotov algoritam pronalazi n-tu znamenku broja pi bez potrebe da računa svaku od n-1 znamenke prije nje.

Najbrži način da se izračuna n-ta znamenka broja pi.

BBP formula (Spigotov algoritam)

Izumio ga kineski matematičar Liu Hui u trećem stoljeću.

Algoritam se temelji na geometriji i svojstvu limesa (!!!).

Uz pomoć 96-erokuta izračunao je vrijednost pi koju je izrazio kao broj između 3.141024 i 3.142708.

Liu Hui-ev algoritam

„Pomnožimo jednu stranu šesterokuta sa radijusom, te pomnožimo to sa 3 da dobijemo površinu 12-erokuta. Ako izrežemo šesterokut u 12-erokut, pomnožimo njegovu stranicu sa radijusom te ponovo pomnožimo njegovu stranicu sa 6, dobijemo površinu 24-erokuta. Što više režemo manji je gubitak u odnosu na površinu kruga. Tako da se sa svakim slijedećim rezom površina dobivenog poligona podudara i postaje jedno s krugom. Nema gubitka.“

Liu Hui

lim (n->∞) Površina n-terokuta -> površina kruga

prikaz ideje algoritma

Pi je jedan od najpoznatijih brojeva (konstanti) u svijetu. Vrlo važan u svijrtu matematike i fizike.

Kroz povijest je imao mnogo proučavatelja.

Za njegovo računanje su stvoreni mnogi algoritmi.

Zaključak

Gauss-Legendre Algorithm, dostupno 10.11.2010. na http://cage.ugent.be/~hvernaev/Gauss-L.html

Leibniz formula for pi, dostupno 10.11.2010. na http://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_formula_for_pi

Pi algorithms, dostupno 10.11.2010. na http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Pi_algorithms

Bailey, David H. (2006.) : The BBP Algorithm for Pi, dostupno 10.11. 2010. na http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/bbp-alg.pdf

Bailey–Borwein–Plouffe formula, dostupno 10.11,2010. na http://en.wikipedia.org/wiki/Bailey–Borwein–Plouffe_formula

The History of Pi, dostupno 10.11.2010. na http://library.thinkquest.org/C0110195/history/history.html

Literatura