odvod taylorjeva formulapavesic/pouk/biokemija/matematika 1... · 2010. 1. 13. · matematika 1...
TRANSCRIPT
-
MATEMATIKA 1
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA
1
TAYLORJEVA FORMULA
Pomen vrednosti funkcije in odvodov:
0( ) pove skozi katero točko poteka graff x
0 0 0( ) ( , ( )) podaja odklon grafa od tangente pri točki f x x f x
0 0 0( ) ( , ( )) podaja naklon grafa pri točki f x x f x
Kaj pomenijo višji odvodi?
2 3
0 1 2 3( ) ...n
np x a a x a x a x a x
2 1
1 2 3
1
2 3
1
3
( ) 1
( ) 2 3 ...
( ) 2 2 3 ... 1
( ) 2 3 ... 2 1
( ) 2 3 ... 2 1
n
n
nn
n
n
n n
n
p x a a x a x n a x
p x a a x n n a x
p x a n n n a x
p x n n n a x
0
1
12 2
13 2 3
( )1!
0
0
0
0
0nn n
a p
a p
a p
a p
a p
( )2 30 0 0 00 ...
1 1 2 1 2 3 !
nnp p p pp x p x x x x
n
-
MATEMATIKA 1
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA
2
Funkciji f(x), ki je vsaj n-krat odvedljiva pri 0 lahko priredimo Taylorjev polinom
( )2 30 0 0 0( ) 0 ...
1! 2! 3! !
nn
n
f f f ff x T x f x x x x
n
Pričakujemo, da bo ostanek Rn(x)= f(x)Tn(x) velikostnega reda xn+1.
1 11 11
11
1
1
( ) 0,
0 1...
0 11
.
Če je je
vstavimo ...
za nek med 0 in
n nn n
nn nn
g x
g tg x g u gu x g t
x u n tn t
t x
( )
( 1) ( 1)11 2
1 1
1 2
(0) (0) (0) ... (0) 0,
...1 1 1 ... 1 1 !
.
Ker je dobimo
za nek med 0 in
n
n n n n
n nn nn nn
n n n
R R R R
R tR t R tR x f t
x n t n n t n n n
t x
( ) ( 1)2 3 1
( ) ( )
0 0 0 0( ) 0 ...
1! 2! 3! ! 1 ! ti približek ti ostanekn n
n nn n
T x n R x n
f f f f f tf x f x x x x x
n n
Taylorjeva formula
-
MATEMATIKA 1
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA
3
Eksponentna funkcija
( ) (0)
!
12
16
1
) ( )
2
(
4
1
( ) (0)
0 1
1 1
2 1
3 1
4 1
1
if
i
i i
x
x
x
x
x
i f x f
e
e
e
e
e
2 3 1
1 ...2 6 ! ( 1)!
n t nx x x x e xe x
n n
2
2
4 5 6
2
3
3 4
12 6 24 120 720
..
1
12 6 2
.
4
...
2
x x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
-
MATEMATIKA 1
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA
4
Sinus
( ) (0)
!
6
)
1
( ( )( ) (0)
0 sin 0
1 cos 1
0
1
2 sin 0
3 cos 1
4 sin 00
0
ii fi
ii f x f
x
x
x
x
x
3 5 2 1 2 2sinsin ... 1
6 120 2 1 ! (2 2)!
n nnx x x t x
x xn n
Kosinus
( )( ) ( ) (0)
!
12
124
( ) (0)
0 cos 1
1 sin 0
2 cos 1
3 sin 0
4 co
1
s 1
0
0
ii
i
i fi f x f
x
x
x
x
x
2 4 2 2 1sincos 1 ... 1
2 24 2 ! (2 1)!
n nnx x x t x
xn n
-
MATEMATIKA 1
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA
5
Pogosto lahko ‘uganemo’ Taylorjevo formulo dane funkcije:
2
0 1 2
2
0 1 2
( ) ... ,
(0)0,1,2,..., ( ) ... .
!
če lahko zapišemo
potem so za in
n n
n
in
i n n
f x a a x a x a x o x
fa i n T x a a x a x a x
i
1 12 2
( )
( )
1 11 ... 1 ...
1 1 1n
n
n nn n
T x
o x
x xx x x x x x
x x x
4
2 3 4 2 3 4 5
32
( )
1 3 9 27 3 9 271 ( ) ( )
2 1 2 2 4 8 2 4 8 16T x
x x xx x x o x x x x o x
x2 3
x
x
2
11
4 6 8 102 12
( )
1 ( )2 6 24 120
x
T x
x x x xe x o x
-
MATEMATIKA 1
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA
6
1
2 1
2
(0) (0) (0) ( )( ) 0 ... ( ), ( )
1! 2! ! ( 1)!
lim ( ) 0,
(0) (0)( ) 0 ...
1! 2!
nnn n
n n
nn
f f f f tf x f x x x R x R x x
n n
x R x x
f ff x f x x
Če v Taylorjevi formuli
kjer je
za nek velja potem za ta lahko pišemo
Taylorjeva vrsta
2 3
0 1 2 3 ...Denimo, da konvergira vrsta a a r a r a r
2 2
2 2
0 1 2 0 1 2
( , )
... ... 1 ...1
Potem za dobimo
x
r
x r r
x x x x Ma a x a x a a r a r M
r r r r
2 3
0 1 2 3
, ,...
Vrsta iz absolutnih vrednosti je omejena torej konvergira zato pa konvergira tudi vrsta a a x a x a x
Območje veljavnosti Taylorjeve vrste neke funkcije f(x) je vedno simetričen interval oblike (-R,R). Število R imenujemo konvergenčni polmer vrste za f(x).
-
MATEMATIKA 1
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA
7
1
2 3 4
lim lim 0,( 1)!
1 ....,2! 3! 4!
Pri eksponentni funkciji za vse velja zato jet n
nn n
x
e xx R x
n
x x xe x R
3 5 2 4
sin .... cos 1 ....,3! 5! 2! 4!
Podobno pri funkcijah sinus in kosinus za vse velja
in
x
x x x xx x x R
2 3
( 1,1),
11 ..., 1
1
Geometrijska vrsta konvergira le za zato je x
x x x Rx
Konvergenčni polmer konvergence vsote dveh vrst je enak manjšemu izmed polmerov konvergence sumandov. Podobno velja za razlike in produkte vrst.
23
2 3 2 3 4
32
1 3 9 27 3 9 27 21 ... ...,
2 3 2 1 2 2 4 8 2 4 8 16 3R
R
x x x xx x x x x x R
x x
-
MATEMATIKA 1
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA
8
Algebrajske funkcije
binomska vrsta
( ) (1 ) ,rf x x r
( 1) ... ( 1)
1 2 ...oznaka:
r r r r i
i i
2 3(1 ) 1 ..., 11 2 3
rr r r
x x x x R
( ) (0)(
!
1
( 1)
1 2
( 1)( 2
) ( )
1
)
1 2 3
1
1
( ) (0)
0 (1 ) 1
1 (1 )
2 ( 1)(1 )
1
( 1)
3 ( 1)( 2)(1 ) ( 1)( 2)
if
i
i i
r
r
r
r
r r
r rr r
i f x f
x
r x r
r r x r r
r r r x r r r
12
1 1 1 12 3 42 2 2 21 (1 ) 1 ...
1 2 3 4x x x x x x
12 1
1 2
1 12 2
( ) 1
1 2 8
31 12 2 2
( ) ( ) 1
1 2 3 16
3 51 12 2 2 2
( ) ( ) ( ) 5
1 2 3 4 128
12
2 4 61 1 12 2 4 62 2 2
2
1 3 5(1 ) 1 ( ) ( ) ... 1 ...
1 2 3 2 8 161
x x xx x x x
x
2 3 451 ...
2 8 16 128
x x x x
-
MATEMATIKA 1
ODVOD UPORABA TAYLORJEVE FORMULE
9
PRIBLIŽNE FORMULE
boljši približek:
2 3
2 3
1 ( 1)(2 1)1 1 ...
2 6
n x n n nx x xn n n
1 1nx
xn
21
2napaka
n x
n
3 3 5 5327 81
32 27 5 3 1 3 1 3.185...3 32 3.1748...)(dejansko
21
1 12
n x n xxn n
3( 1)(2 1)
6napaka
n n x
n
23 3 5 5 5327 81 81
32 27 5 3 1 3 1 3.1737...
-
MATEMATIKA 1
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA
10
sin x x3
6napaka
x
3 5 7
sin ...6 120 5040
x x xx x
Za katere x je napaka manjša od 0.001?
3
0.001 0.182 106
x
x
Za |x|≤10o je napaka približka sin x=x manjša od 0.001.
Tedaj je tudi relativna napaka (razmerje napaka/dejanska vrednost) manjša od 1%.
3
sin6
xx x
5
120napaka
x Za |x|≤36o je napaka približka manjša od 0.001.
Za |x|≤60o je relativna napaka manjša od 1%.
2
cos 12
xx
4
24napaka
x
2 4
cos 1 ...2 24
x xx
Za |x|≤20o je napaka približka manjša od 0.001.
Za |x|≤36o je relativna napaka manjša od 1%.
-
NUMERIČNO ODVAJANJE
Kako bi iz izmerjenih vrednosti funkcije (xi ,yi ) določili točke prevoja?
Koncentracijo c merimo v odvisnosti od temperature T. Prevojna točka ustreza temperaturi, pri kateri pride do reakcije.
Prevoji so točke, v katerih drugi odvod spremeni predznak, zato potrebujemo neko oceno za odvod.
MATEMATIKA 1
ODVOD NUMERIČNO ODVAJANJE
11
Če poznamo obliko funkcije, jo določimo s pomočjo metode najmanjših kvadratov in dobljeno funkcijo odvajamo analitično.
V splošnem poiščemo polinom, ki gre skozi nekaj zaporednih točk in ga potem odvajamo. Vrednosti odvoda lahko izračunamo neposredno iz podatkov.
odsekoma linearna odsekoma kvadratična
-
Formule se poenostavijo, če so točke na enakomernih razdaljah (npr. h).
za dve zaporedni točki za tri zaporedne točke za pet zaporednih točk
Numerično odvajanje je zelo občutljivo na napake v podatkih.
1 00
y yy
h2 0
12
y yy
h
0 1 3 42
8 8
12
y y y yy
h
MATEMATIKA 1
ODVOD NUMERIČNO ODVAJANJE
12
T y 1 0.145
1.5 0.150
2 0.160
2.5 0.175
3 0.190
3.5 0.210
4 0.232
4.5 0.276
5 0.342
5.5 0.502
6 1.217
6.5 2.405
7 2.990
7.5 3.400
8 3.664
8.5 3.856
9 3.990
9.5 4.110
10 4.200
10.5 4.270
11 4.330
0.015
0.015
0.030
0.035
0.042
0.066
0.110
0.226
0.875
1.903
1.773
0.995
0.674
0.456
0.326
0.244
0.210
0.160
0.130
1 1
2
i ii
y yy
h
0.015
0.020
0.012
0.031
0.068
0.160
0.765
1.677
0.898
-0.908
-1.099
-0.539
-0.348
-0.212
-0.116
-0.084
-0.080
1 1
2
i ii
y yy
h