АППРОКСИМАЦИЯ ТРУБОК БИФУРКАЦИЙ …196 xiii ВСЕРОССИЙСКОЕ...

196

XIII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ ВСПУ-2019

Москва 17-20 июня 2019 г.

УДК 519.677

АППРОКСИМАЦИЯ ТРУБОК ТРАЕКТОРИЙ, АТТРАКТОРОВ И ИХ БИФУРКАЦИЙ МЕТРИЧЕСКИМИ

ПОКРЫТИЯМИ ШЕННОНА

Г.К. Каменев ФИЦ «Информатика и управление» РАН Россия, 119333, Моcква, ул. Вавилова, 40

E-mail: [email protected]

Ключевые слова: метрические сети, динамические системы, коды, покрытия

Аннотация: Рассматривается задача кодирования и аппроксимации различных метриче-ски ограниченных множеств, возникающих при исследовании многомерных динамиче-ских систем: трубок траекторий, аттракторов и их бифуркаций. Кодирование и аппрок-симация осуществляются с помощью эпсилон-сетей А. Колмогорова и эпсилон-покрытий, соответственно. Предлагается использовать метод Глубоких Ям, обеспечи-вающий сходимость со скоростью порядка фрактальной (метрической) размерности объекта, что оптимально. В случае, когда динамическая система задана отображением типа «черный ящик», предлагается использовать стохастический вариант метода Глубо-ких Ям, позволяющий кодировать и аппроксимировать неявно заданные множества с помощью (эпсилон, дельта)-сетей и покрытий К. Шеннона с любой заданной точностью, полнотой и надежностью. Приведенная методика позволяет оценивать метрическую размерность кодируемых объектов, визуализировать, а также решать сложные задачи вычисления на них различных функционалов. Приведены примеры.

В задачах исследования динамических систем значительное место занимают во-просы изучения порождаемых динамической системой множеств в фазовом и расши-ренных фазовых пространствах [1-3]. В качестве примера можно указать на фазовые портреты, траектории в расширенном на время фазовом пространстве, их пучки и труб-ки, соответствующие множеству начальных значений фаз, стационарные, терминаль-ные множества и аттракторы, а также их бифуркации в расширенных на структурные параметры пространствах. В настоящей работе рассмотрен подход к построению и ис-следованию этих множеств на основе их кодирования -сетями (А. Колмогоров) и (, )-сетями (К. Шеннон) и аппроксимации их соответствующими покрытиями. Требова-ние конечности метрической сети подразумевает ограниченность кодируемого объекта.

Рассматриваемая методика и соответствующие алгоритмы были предложены в рамках задач исследования динамических экономических моделей [4, 5], а также апро-бированы в различных задачах теории операций, например, [6]. В настоящей работе представлена сводка результатов применения метода метрического кодирования для исследования динамических систем общего характера.

Подмножество некоторого множества в метрическом пространстве называется -сетью, если любая точка множества находится от нее на расстоянии не большем, чем . В евклидовом пространстве любое ограниченное множество для любого положитель-ного имеет -сеть, состоящую из конечного числа точек. -сеть позволяет прибли-

197



женно описать (метрически кодировать) множество с точностью . Совокупность ша-ров радиуса с центрами в точках в -сети покрывает все множество (т.е. множество принадлежит этой совокупности) и называется -покрытием. Асимптотический отрица-тельный порядок роста минимального числа точек -сети от определяется нижней и верхней метрическими (фрактальными, Минковского) размерностями объекта [7].

Рассмотрим случай, когда на аппроксимируемом множестве задана вероятностная мера. Его подмножество называется (, )-сетью, если вероятность нахождения точки на расстоянии от нее, превышающем , не больше . Совокупность шаров радиуса с центрами в точках (, )-сети называется (, )-покрытием. Полнота такого покрытия, т.е. доля или мера множества, покрываемого (, )-покрытием, составляет 1- [8].

Глубокой ямой [9] для заданного подмножества называется точка множества (если она существует), на которой достигается максимум расстояния до заданного подмно-жества. В [10] предложен метод Глубоких Ям, состоящий в последовательном (итера-ционном) пополнении текущей конечной метрической сети (метрического кода) точкой из окрестности ее глубокой ямы. В [10] показано, что метод Глубоких Ям позволяет строить последовательность -сетей с стремящимся к нулю, причем число точек по-строенной -сети, как и в оптимальном случае, определяется нижней и верхней метри-ческой размерностью кодируемого множества. Таким образом, указанный метод может быть использован для вычисления метрической размерности.

Метод Глубоких ям требует на каждой итерации нахождения точки из окрестности глубокой ямы конечного подмножества. Это – сложная многоэкстремальная задача оп-тимизации, решение которой возможно только в исключительных случаях [10]. Метод построения (, )-сетей и аппроксимации с помощью (, )-покрытий для стохастически заданных множеств предложен в [10]. В этих методах глубокая яма множества ищется с помощью случайной выборки из кодируемого множества заданного объема, получен-ной в соответствии с заданной вероятностной мерой. При этом получены статистиче-ские характеристики оценок надежности зависимости величины полноты покрытия от объема тестовой выборки и показано, что стохастический вариант метода Глубоких Ям позволяет строить покрытия с любой заданной точностью, полнотой и надежностью. В [11] предложен вариант метода Глубоких Ям для аппроксимации «темных множеств» – множеств, имеющих метрически значимые части пренебрежимо малой меры. Асимпто-тический отрицательный порядок роста мощности (, )-сети, порождаемой стохасти-ческими реализациями метода Глубоких Ям, от не превышает верхней метрической размерности кодируемого множества [10]. Таким образом, они могут быть использова-ны для оценки снизу метрической размерности.

Рассмотренная технология стохастической реализации метода Глубоких Ям при-менима и в случае неявного задания кодируемого объекта через отображение типа «черный ящик». В этом случае стохастическая мера (как правило, равномерная) задает-ся на ограниченном прообразе аппроксимируемого множества. Обычно мера, индуци-рованная на кодируемом объекте, оказывается в этом случае сильно неравномерной, однако фильтрация потока случайных точек с помощью выборочного отбора глубоких ям позволяет строить метрические сети оптимальной емкости, т.е. максимально равно-мерные на образе. В предположении измеримости окрестностей конечных множеств в пространстве образа могут быть использованы соответствующие оценки полноты и на-дежности полученных (, )-покрытий [10, 11].

Фрактальная размерность позволяет оценить устойчивость поведения решений ди-намической системы [12]. Технология метода Глубоких Ям основана на непосредст-венном расчете порядка в асимптотически оптимальной зависимости числа точек -сети от величины . На рис. 1 представлены зависимость логарифма мощности (, )-

198



покрытий (т.е. (, )-энтропии) от логарифма для различных фракталов, полученные с , близкой к 0, и надежностью, близкой к 1. Видно хорошее совпадение полученных оценок фрактальной размерности с известными значениями размерности Хаусдорфа (красный цвет).

Рис. 1. Экспериментальные зависимости (, 0)-энтропии для различных фракталов.

На рис. 2 представлено (0.016, 0.005)-покрытие надежности 0.99 конечного аналога границы оболочки Мандельброта (Mandelbulb) 9 степени: векторов свободного члена в верхней половине куба, орбита которых с 20 шага считается неограниченной.

Рис. 2. Граница оболочки Мандельброта: 3D покрытие и равномерная метрическая сеть.

Целью такой аппроксимации является не традиционная локальная визуализация, а кодирование всей границы минимально возможным числом точек. Изображение на ри-сунке соответствует 52258 точкам и шарам в метрике Чебышева (кубам).

199



На рис. 3 и рис. 4 рассматривается отображение Икеды (Ikeda map), зависящее от структурного параметра u. На рис. 3 рассмотрен случай u = 0.75.

Рис. 3. Трубка траекторий и аттрактор отображения Икеды при u = 0.75.

Рис. 4. Бифуркация аттрактора отображения Икеды и ее минимальное кольцо.

На изображениях левого столбца представлена трубка траекторий и ее часть, начи-ная с 6 шага, для стартового квадрата фаз от -10 до 10. По оси аппликат дан логарифм шага. Видно, что рассматриваемая трубка приблизительно за 100 шагов сжимается в

200



аттрактор, состоящий из двух компонент: устойчивой неподвижной точки и одномер-ной структуры сложной формы. Поскольку рассматриваемая технология построения (, )-покрытий не позволяет исследовать структуры с нулевой мерой прообраза, возника-ет проблема исследования неустойчивых стационарных структур. На изображениях среднего столбца вверху представлена карта функции «прыжка» – расстояния между точкой и ее Икеда-образом. Видно, что существует три стационарные области: две об-ласти вверху (A и B) принадлежат итоговому аттрактору, а нижняя область (C) соответ-ствует неустойчивому положению равновесия. Для нее трубка траекторий представлена на рисунке в центе внизу. Видно, что, начиная приблизительно с 60 шага все траекто-рии из окрестности этого неустойчивого положения равновесия размазываются по двум компонентам аттрактора. Разумеется, существование в этой области неустойчивой структуры равновесия нулевой меры Лебега остается за рамками рассматриваемого подхода. Третий столбец рисунка посвящен самому аттрактору (вверху), построенному с высокой точностью, и его расслоению по длине «прыжка». Могут быть рассчитаны и другие расслоения.

На рис. 4 представлена бифуркация аттрактора системы Икеды при варьировании параметра u от 0 до 1, см. также [13]. На последнем изображении рисунка приведено решение задачи о кольце минимальной толщины, содержащем фазовый портрет бифур-кации, легко получаемое на основе кода метрической сети.

Метод Глубоких Ям может быть применен в пространствах любой размерности, при условии, что фрактальная размерность аппроксимируемого множества такова, что обеспечивает приемлемую точность при разумной (порядка миллиона) мощности ми-нимальной -сети. В многомерном случае для визуализации могут быть использованы динамические, векторные и матричные наборы изображений двумерных и трехмерных проекций и сечений, а также интерактивные карты решений [14].

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (проект 18-01-00465a).

Список литературы

1. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Инвариантные компакты динамических систем. М.: МГТУ им. Н.Э. Бумана, 233 с.

2. Michael E. Henderson. Multiple parameter continuation: computing implicitly defined k-Manifolds // Int. J. Bifurcation Chaos. 2002. Vol. 12, No. 3. P. 451-476.

3. Michael Dellnitz, Stefan Klus, Adrian Ziessler. A Set-Oriented Numerical Approach for Dynamical Systems with Parameter Uncertainty // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 2017. Vol. 16, No. 1. P. 120-138.

4. Каменев Г.К., Кондратьев Д.Л. Об одном методе исследования незамкнутых нелинейных моделей // Математическое моделирование. 1992. № 3. С. 105-118.

5. Каменев Г.К. Оленев Н.Н. Исследование устойчивости идентификации и прогнозирования россий-ской экономики на модели Рамсея // Математическое моделирование. 2014. Т 26, № 9. С. 3-17.

6. Каменев Г.К., Саранча Д.А., Поляновский В.О. Исследование класса одномерных унимодальных отображений, полученного при моделировании популяции леммингов // Биофизика. 2018. Т. 63, № 4. C. 758-775.

7. Колмогоров А.Н., Тихомиров В.М. E-энтропия и E-емкость множеств в функциональных простран-ствах // Успехи матем. наук. 1959. Т. 14, № 2. C. 3-86.

8. Шеннон К. Математическая теория связи (1948), приложение 7. В кн. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М.: Изд. Иностранной Литературы, 1963.

9. Конвей Дж., Слоен Н. Упаковки шаров, решетки и группы. М.: Мир, 1990. Т. 1. 10. Каменев Г.К. Аппроксимация вполне ограниченных множеств методом Глубоких Ям // Ж. вычисл.

матем. и матем. физ. 2001. Т.41, № 11. С. 1751-1760. 11. Каменев Г.К. Метод построения оптимальных темных покрытий // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. //

Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018, Т. 58, № 7. С. 1089-1097. 12. Краснощеченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и син-

теза. М.: МГТУ им. Н.Э. Бумана, 2005. 521 с.

201



13. https://www.youtube.com/watch?v=RWvwPWfAFg0. 14. Lotov A.V., Bushenkov V.A., Kamenev G.K. Interactive Decision Maps. Approximation and Visualization

of Pareto Frontier. Appl. Optimization. V. 89. Boston / Dordrecht / New York / London: Kluwer Academic Publishers, 2004.

АППРОКСИМАЦИЯ ТРУБОК БИФУРКАЦИЙ …196 xiii ВСЕРОССИЙСКОЕ...

Documents