Περιεχόμενα - publicmedia.public.gr/books-pdf/9789604617821-1269067.pdf ·...

Περιεχόμενα

Εισαγωγή στη φυσική των στοιχειωδών σωματιδίων ..........................................................................................9

Πρόλογος δεύτερης έκδοσης..............................................................................................................................11

Πρόλογος πρώτης έκδοσης................................................................................................................................15

1 Βασικές γνώσεις ...................................................................................................................................19

1.1 Μάζα, ενέργεια, ορμή ..................................................................................................................20

1.2 Ο νόμος της κίνησης ενός σωματιδίου ........................................................................................23

1.3 Η μάζα ενός συστήματος σωματιδίων, κινηματικές αναλλοίωτες...............................................24

1.4 Συστήματα αλληλεπιδρώντων σωματιδίων .................................................................................27

1.5 Φυσικές μονάδες..........................................................................................................................29

1.6 Συγκρούσεις και διασπάσεις ........................................................................................................31

1.7 Πειράματα σκέδασης ...................................................................................................................36

1.8 Αδρόνια, λεπτόνια και κουάρκ ....................................................................................................41

1.9 Οι θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις .................................................................................................43

1.10 Διέλευση ακτινοβολίας μέσα από ύλη.........................................................................................44

1.11 Πηγές σωματιδίων υψηλής ενέργειας ..........................................................................................49

1.12 Ανιχνευτές σωματιδίων................................................................................................................56

Προβλήματα...........................................................................................................................................73

Περίληψη ...............................................................................................................................................78

Πρόσθετη βιβλιογραφία .........................................................................................................................79

2 Νουκλεόνια, λεπτόνια και μεσόνια......................................................................................................81

2.1 Το μιόνιο και το πιόνιο ............................................................................................................... 82

2.2 Παράδοξα μεσόνια και υπερόνια ................................................................................................ 84

2.3 Οι κβαντικοί αριθμοί του φορτισμένου πιονίου ......................................................................... 87

2.4 Φορτισμένα λεπτόνια και νετρίνα............................................................................................... 90

2.5 Η εξίσωση Dirac ......................................................................................................................... 95

2.6 Το ποζιτρόνιο.............................................................................................................................. 97

2.7 Το αντιπρωτόνιο ......................................................................................................................... 98

Προβλήματα........................................................................................................................................ 102

Περίληψη ............................................................................................................................................ 103

Πρόσθετη βιβλιογραφία ...................................................................................................................... 104

3 Συμμετρίες ..........................................................................................................................................105

3.1 Συμμετρίες ................................................................................................................................ 106

3.2 Ομοτιμία ................................................................................................................................... 108

3.3 Συζυγία σωματιδίου-αντισωματιδίου........................................................................................ 111

3.4 Αντιστροφή χρόνου και CPT .................................................................................................... 114

3.5 Η ομοτιμία των πιονίων ............................................................................................................ 114

6 Περιεχόμενα

3.6 Διάσπαση του φορτισμένου πιονίου ......................................................................................... 117

3.7 Γεύσεις των κουάρκ και βαρυονικός αριθμός .......................................................................... 120

3.8 Γεύσεις λεπτονίου και λεπτονικός αριθμός .............................................................................. 122

3.9 Ισοσπίν ...................................................................................................................................... 123

3.10 Το άθροισμα δύο ισοσπίν – το γινόμενο δύο αναπαραστάσεων............................................... 125

3.11 Ομοτιμία G................................................................................................................................ 127

Προβλήματα........................................................................................................................................ 128

Περίληψη ............................................................................................................................................ 132


4 Αδρόνια ...............................................................................................................................................133

4.1 Συντονισμοί............................................................................................................................... 134

4.2 Τα βαρυόνια 3 / 2+

.................................................................................................................... 138

4.3 Το διάγραμμα Dalitz ................................................................................................................. 143

4.4 Ανάλυση σπιν, ομοτιμίας και ισοσπίν του συστήματος τριών πιονίων .................................... 145

4.5 Ψευδοβαθμωτά και διανυσματικά μεσόνια .............................................................................. 149

4.6 Το πρότυπο των κουάρκ ........................................................................................................... 153

4.7 Μεσόνια .................................................................................................................................... 155

4.8 Βαρυόνια................................................................................................................................... 158

4.9 Γοητεία...................................................................................................................................... 162

4.10 Η τρίτη οικογένεια .................................................................................................................... 170

4.11 Τα στοιχεία του Καθιερωμένου Προτύπου............................................................................... 175

Προβλήματα........................................................................................................................................ 178

Περίληψη ............................................................................................................................................ 181


5 Κβαντική ηλεκτροδυναμική..............................................................................................................183

5.1 Διατήρηση του φορτίου και συμμετρία βαθμίδας .................................................................... 184

5.2 Το πείραμα των Lamb και Retherford ...................................................................................... 186

5.3 Κβαντική θεωρία πεδίου........................................................................................................... 190

5.4 Η αλληλεπίδραση ως ανταλλαγή κβάντων ............................................................................... 192

5.5 Διαγράμματα Feynman και κβαντική ηλεκτροδυναμική.......................................................... 195

5.6 Αναλυτικότητα και η ανάγκη για αντισωματίδια ..................................................................... 198

5.7 Εξαΰλωση ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου σε ένα ζεύγος μιονίων ................................................... 200

5.8 Η εξέλιξη του α ......................................................................................................................... 203

Προβλήματα........................................................................................................................................ 208

Περίληψη ............................................................................................................................................ 210


6 Χρωμοδυναμική .................................................................................................................................211

6.1 Παραγωγή αδρονίων σε επιταχυντές συγκρούσεων ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου ....................... 212

6.2 Δομή των νουκλεονίων............................................................................................................. 217

6.3 Τα φορτία χρώματος ................................................................................................................. 225

6.4 Δέσμιες καταστάσεις χρώματος................................................................................................ 228

6.5 Η εξέλιξη της σταθεράς αS ........................................................................................................ 232

Περιεχόμενα 7

6.6 Οι μάζες των κουάρκ ................................................................................................................ 236

6.7 Η προέλευση της μάζας των αδρονίων ..................................................................................... 239

6.8 Το κβαντικό κενό...................................................................................................................... 241

Προβλήματα........................................................................................................................................ 243

Περίληψη ............................................................................................................................................ 246


7 Ασθενείς αλληλεπιδράσεις.................................................................................................................247

7.1 Κατάταξη των ασθενών αλληλεπιδράσεων .............................................................................. 248

7.2 Λεπτονικές διεργασίες χαμηλής ενέργειας και η σταθερά Fermi ............................................. 249

7.3 Παραβίαση της ομοτιμίας ......................................................................................................... 254

7.4 Ελικότητα και χειρομορφία ...................................................................................................... 257

7.5 Μέτρηση της ελικότητας των λεπτονίων.................................................................................. 261

7.6 Παραβίαση της συζυγίας σωματιδίου-αντισωματιδίου ............................................................ 267

7.7 Μείξη Cabibbo.......................................................................................................................... 268

7.8 Ο μηχανισμός Glashow, Iliopoulos και Maiani ........................................................................ 271

7.9 Ο πίνακας μείξης των κουάρκ................................................................................................... 273

7.10 Ασθενή ουδέτερα ρεύματα........................................................................................................ 281

7.11 Η χειρόμορφη συμμετρία στην κβαντική χρωμοδυναμική και η μάζα του πιονίου ................. 282

Προβλήματα........................................................................................................................................ 285

Περίληψη ............................................................................................................................................ 287


8 Οι ταλαντώσεις των ουδέτερων μεσονίων και η παραβίαση της συμμετρίας CP ............................289

8.1 Ταλαντώσεις γεύσης, μείξη και παραβίαση της CP ................................................................. 290

8.2 Οι καταστάσεις του συστήματος των ουδέτερων K.................................................................. 291

8.3 Ταλαντώσεις παραδοξότητας.................................................................................................... 293

8.4 Αναγέννηση .............................................................................................................................. 296

8.5 Παραβίαση της CP.................................................................................................................... 297

8.6 Ταλάντωση και παραβίαση της CP στη συμβολή της με τη μείξη στο σύστημα

του ουδέτερου B........................................................................................................................ 301

8.7 Παραβίαση της CP στις διασπάσεις των μεσονίων.................................................................. 309

Προβλήματα........................................................................................................................................ 313

Περίληψη ............................................................................................................................................ 314


9 Το Καθιερωμένο Πρότυπο.................................................................................................................315

9.1 Η ηλεκτρασθενής αλληλεπίδραση ............................................................................................ 316

9.2 Δομή των ασθενών ουδέτερων ρευμάτων................................................................................. 318

9.3 Ηλεκτρασθενής ενοποίηση ....................................................................................................... 320

9.4 Προσδιορισμός της γωνίας ασθενούς μείξης............................................................................ 323

9.5 Τα ενδιάμεσα διανυσματικά μποζόνια...................................................................................... 329

9.6 Το πείραμα UA1 ....................................................................................................................... 332

9.7 Η ανακάλυψη των W και Z ....................................................................................................... 337

9.8 Η εξέλιξη του sin2θW ................................................................................................................. 342

8 Περιεχόμενα

9.9 Έλεγχοι ακρίβειας στον επιταχυντή LEP.................................................................................. 344

9.10 Η αλληλεπίδραση μεταξύ ενδιάμεσων μποζονίων ................................................................... 349

9.11 Μετρήσεις ακριβείας της μάζας του W και του κουάρκ κορυφή στο Tevatron........................ 350

9.12 Η αυθόρμητη παραβίαση της τοπικής συμμετρίας βαθμίδας ................................................... 356

9.13 Η αναζήτηση του σωματιδίου Higgs στον LEP και στο Tevatron ........................................... 362

9.14 LHC, ATLAS και CMS ............................................................................................................ 364

9.15 Ανακάλυψη του μποζονίου H ................................................................................................... 371

Προβλήματα........................................................................................................................................ 380

Περίληψη ............................................................................................................................................ 384


10 Νετρίνα................................................................................................................................................387

10.1 Μείξη των νετρίνων.................................................................................................................. 388

10.2 Ταλάντωση των νετρίνων ......................................................................................................... 391

10.3 Μετατροπή της γεύσης στην ύλη.............................................................................................. 403

10.4 Τα πειράματα ............................................................................................................................ 408

10.5 Όρια για τη μάζα των νετρίνων ................................................................................................ 413

10.6 Νετρίνα Majorana ..................................................................................................................... 418

Προβλήματα........................................................................................................................................ 425

Περίληψη ............................................................................................................................................ 429


11 Επίλογος ..............................................................................................................................................431

Παράρτημα 1 Ελληνικό αλφάβητο .......................................................................................................437

Παράρτημα 2 Θεμελιώδεις σταθερές .................................................................................................. 439

Παράρτημα 3 Ιδιότητες στοιχειωδών σωματιδίων ...............................................................................441

Παράρτημα 4 Συντελεστές Clebsch-Gordan ....................................................................................... 447

Παράρτημα 5 Σφαιρικές αρμονικές και συναρτήσεις d ........................................................................449

Παράρτημα 6 Πειραματικές και θεωρητικές ανακαλύψεις στη φυσική των σωματιδίων .....................451

Λύσεις .................................................................................................................................................. 455

Βιβλιογραφία ........................................................................................................................................479

Ευχαριστίες .......................................................................................................................................... 489

Ευρετήριο..............................................................................................................................................491

Εισαγωγή στη φυσική των στοιχειωδών σωματιδίων

Η δεύτερη έκδοση αυτού του επιτυχημένου διδακτικού συγγράμματος έχει ενημερωθεί πλήρως, ώστε να πε-

ριλαμβάνει την ανακάλυψη του μποζονίου Higgs και άλλες πρόσφατες εξελίξεις, παρέχοντας για πρώτη φο-

ρά στους προπτυχιακούς σπουδαστές πλήρη κάλυψη των βασικών στοιχείων του Καθιερωμένου Προτύπου

της φυσικής των σωματιδίων.

Στο βιβλίο, δίνουμε μεγαλύτερη έμφαση στη φυσική και λιγότερο στη μαθηματική πληρότητα, έτσι ώ-

στε η ύλη να είναι προσβάσιμη και σε σπουδαστές που δεν διαθέτουν γνώσεις στοιχειωδών σωματιδίων. Ε-

πιπλέον, επισημαίνουμε τα σημαντικά πειράματα και τη θεωρία που συνδέεται με αυτά, βοηθώντας έτσι

τους σπουδαστές να εκτιμήσουν τον τρόπο με τον οποίο αναπτύχθηκαν οι σημαντικές ιδέες.

Το κεφάλαιο που διαπραγματεύεται τη φυσική των νετρίνων έχει αναθεωρηθεί πλήρως, ενώ στο τελευ-

ταίο κεφάλαιο συνοψίζουμε τα όρια του Καθιερωμένου Προτύπου και εισαγάγουμε τους σπουδαστές σε ό,τι

βρίσκεται πέρα από αυτό. Περισσότερα από 250 προβλήματα, συμπεριλαμβανομένων και 60 νέων στην πα-

ρούσα έκδοση, ενθαρρύνουν τους σπουδαστές να εφαρμόσουν οι ίδιοι τη θεωρία. Το βιβλίο περιλαμβάνει

συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα προβλήματα, ενώ οι πλήρεις λύσεις (στα αγγλικά) είναι διαθέσιμες για

τους διδάσκοντες στην ιστοσελίδα www.cambridge.org/9781107050402.

O

http://www.cambridge.org/9781107050402

Πρόλογος δεύτερης έκδοσης

Η δεύτερη έκδοση του βιβλίου, μολονότι διατηρεί τον ίδιο στόχο και τις ίδιες αρχές οργάνωσης με την πρώ-

τη έκδοση, είναι πλήρως αναθεωρημένη (ακριβέστερος ορισμός της ομοτιμίας των σπινόρων, περαιτέρω α-

ποσαφήνιση των εννοιών της ελικότητας σε αντιδιαστολή με τη χειρομορφία, περιγραφή του μηχανισμού

GIM με επέκταση στην τάξη του βρόχου, την εξάρτηση βαθμίδας από το φορτίο χρώματος, κ.λπ.) και πλή-

ρως ενημερωμένη προκειμένου να ληφθεί υπόψη η πρόοδος που έχει συντελεσθεί στο πεδίο τα τελευταία έξι

χρόνια (σχετικά με τις διαφορές της μάζας και τους χρόνους ζωής των ουδέτερων μεσονίων, το όριο του

χρόνου ζωής –λόγω διάσπασης– του πρωτονίου, τις τιμές της μάζας των κουάρκ, και ειδικότερα αυτών με τη

μικρότερη μάζα, την παραβίαση της συμμετρίας CP στα φορτισμένα μεσόνια, κ.λπ.).

Ένα πολύ σημαντικό στοιχείο του Καθιερωμένου Προτύπου, η προέλευση όλων των μαζών, δεν είχε

αποδειχθεί πειραματικά όταν κυκλοφόρησε η πρώτη έκδοση του βιβλίου και, έτσι, δεν είχε συμπεριληφθεί

σε αυτήν. Ο μηχανισμός αυθόρμητης παραβίασης της συμμετρίας των Englert & Brout, Higgs και Guralnik,

Hagen & Kibble περιγράφεται πλέον στο εισαγωγικό επίπεδο του βιβλίου. Επιπλέον, περιγράφονται ο επιτα-

χυντής συγκρούσεων LHC του CERN, τα πειράματα ATLAS και CMS κατά τα οποία ανακαλύφθηκε το

μποζόνιο Higgs, και εξετάζονται οι διαθέσιμες μετρήσεις των χαρακτηριστικών του. Επίσης, περιλαμβάνο-

νται οι έλεγχοι ακριβείας του Καθιερωμένου Προτύπου, ενώ περιγράφεται και η έρευνα για το σωματίδιο

Higgs στο Fermilab.

Στον παραπάνω μηχανισμό δεν εμφανίζονται μποζόνια Goldstone χωρίς μάζα, επειδή αυτά απορροφώ-

νται στους μη φυσικούς βαθμούς ελευθερίας των πεδίων βαθμίδας. Προκειμένου να διευκολύνουμε την κα-

τανόηση αυτών των αρκετά δύσκολων εννοιών, στα εισαγωγικά κεφάλαια παρουσιάζουμε τα ακόλουθα τρία

στοιχεία:

(1) Στο Κεφάλαιο 3 έχει συμπεριληφθεί μια πληρέστερη ανάλυση των διαφόρων τύπων συμμετριών, καθώς

και των μηχανισμών παραβίασής τους.

(2) Η χειρόμορφη συμμετρία της συνάρτησης Lagrange των ισχυρών αλληλεπιδράσεων (QCD) παραβιάζε-

ται ρητά αλλά και αυθόρμητα. Κατά συνέπεια, αποτελεί ένα ενδιαφέρον παράδειγμα, το οποίο δεν είναι

ιδιαίτερα δύσκολο να αναλυθεί. Επιπλέον, η χειρόμορφη συμμετρία αυτή καθαυτή έχει πολύ σημαντική

φυσική σημασία. Η παραβίασή της εξηγεί γιατί το τετράγωνο της μάζας του πιονίου είναι κατά δύο τά-

ξεις μεγέθους μικρότερο από τον βαθμωτό, και όχι τον ψευδοβαθμωτό, σύντροφό του. Παρουσιάζουμε

αυτό το φαινόμενο στο Κεφάλαιο 7, αφού πρώτα εισαγάγουμε τα διανυσματικά και τα αξονικά διανυ-

σματικά ρεύματα. Επίσης, η αυθόρμητη παραβίαση της χειρόμορφης συμμετρίας μάς οδηγεί να εξετά-

σουμε θέματα του κενού της QCD, τα οποία παρουσιάζονται ποιοτικά, μαζί με τις σχέσεις μεταξύ των

μαζών των ελαφρών κουάρκ που προκύπτουν από αναπτύγματα χειρόμορφων διαταραχών.

(3) Υπενθυμίζουμε, από τα βασικά μαθήματα ηλεκτρομαγνητισμού, τo αναλλοίωτο βαθμίδας της κλασικής

ηλεκτροδυναμικής, τον αντίστοιχο μη φυσικό βαθμό ελευθερίας του δυναμικού και τις διαδικασίες κα-

θορισμού βαθμίδας (επιλογές βαθμίδας στη μαγνητοστατική και στην ηλεκτροδυναμική). Αυτό θα μας

βοηθήσει στην κατανόηση των ανάλογων διαδικασιών στις κβαντικές θεωρίες πεδίου.

Στη νέα έκδοση, το Κεφάλαιο 10 είναι αποκλειστικά αφιερωμένο στη φυσική των νετρίνων. Συμπεριλάβαμε

όλα τα νέα στοιχεία που έχουν προκύψει από την εποχή της πρώτης έκδοσης: (1) τη μέτρηση της γωνίας θ13,

τη γωνία μείξης για την οποία προηγουμένως υπήρχε μόνο ένα άνω όριο, (2) την πρώτη άμεση ένδειξη για

12 Πρόλογος δεύτερης έκδοσης

την εμφάνιση νετρίνων ηλεκτρονίων στο πείραμα T2K και την εμφάνιση νετρίνων ταυ στο πείραμα OPERA

στη δέσμη CNGS του CERN, μέσω της παρατήρησης νετρίνων ταυ και νετρίνων ηλεκτρονίων, αντίστοιχα.

Έχει αφιερωθεί μια νέα ενότητα στην εξέταση της φύσης των νετρίνων. Πράγματι, τα νετρίνα μπορεί να

είναι εντελώς ουδέτεροι σπίνορες, οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση Majorana και όχι την εξίσωση Dirac.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι τα νετρίνα περιγράφουν ήδη τη φυσική πέρα από το Καθιερωμένο Πρότυπο, μπο-

ρούμε να χειριστούμε χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία αυτό το σημαντικό θέμα, το οποίο δεν θίγεται σε κανένα

άλλο διδακτικό εγχειρίδιο αυτού του επιπέδου. Τα νετρίνα Majorana υποδηλώνουν παραβίαση του λεπτονι-

κού αριθμού, αλλά δείχνουμε ότι ο χαρακτήρας V–A της ασθενούς αλληλεπίδρασης φορτισμένου ρεύματος

αρκεί για να εξηγήσουμε τις πειραματικές παρατηρήσεις χωρίς να επικαλεστούμε τη διατήρηση του λεπτο-

νικού αριθμού. Στη συνέχεια, δείχνουμε ότι η διπλή διάσπαση βήτα χωρίς νετρίνα είναι η διαθέσιμη πειρα-

ματική οδός που μας επιτρέπει να ελέγξουμε κατά πόσον τα νετρίνα είναι εντελώς ουδέτερα.

Στην πρώτη έκδοση είχε συμπεριληφθεί το φαινόμενο της μεταβολής των σταθερών σύζευξης με την

ενέργεια. Στη νέα έκδοση περιλαμβάνουμε μια ενότητα για τη μεταβολή των μαζών των κουάρκ με την ε-

νέργεια, όπου εξετάζουμε ως παράδειγμα το κουάρκ πυθμένας. Αυτό το παράδειγμα το αναφέρουμε για δύο

λόγους: πρώτον επειδή έχει παρατηρηθεί πειραματικά στον επιταχυντή LEP και δεύτερον επειδή σχετίζεται

με τον λόγο διακλάδωσης του Higgs σε bb .

Το νέο Κεφάλαιο 11 περιλαμβάνει μια σύντομη αναφορά στους περιορισμούς του Καθιερωμένου Προ-

τύπου και στα στοιχεία που δεν καλύπτονται από αυτό. Αναφέρουμε και εξετάζουμε συνοπτικά: τη μάζα των

νετρίνων, τη σκοτεινή ύλη, τη σκοτεινή ενέργεια, το πρόβλημα της ενέργειας του κενού, τη μεγάλη ενοποί-

ηση, τη θεωρία SUSY, τη βαρύτητα, την απουσία αντιύλης από το Σύμπαν, την ισχυρή παραβίαση της συμ-

μετρίας CP και θεωρητικά προβλήματα «αισθητικής».

Προβλήματα

Οι αριθμοί είναι σημαντικοί στη φυσική. Βασικό χαρακτηριστικό κάθε φυσικού είναι η ικανότητα να υπολο-

γίζει μια θεωρητική πρόβλεψη για ένα παρατηρήσιμο μέγεθος ή κάποια πειραματική διακριτική ικανότητα.

Παρουσιάζουμε περισσότερα από 260 αριθμητικά παραδείγματα και προβλήματα, μεταξύ των οποίων και

60 νέα. Τα πιο απλά από αυτά περιλαμβάνονται στο κυρίως κείμενο υπό μορφή ερωτήσεων. Άλλα προβλή-

ματα, που καλύπτουν ένα μεγάλο εύρος δυσκολίας, παρατίθενται στο τέλος κάθε κεφαλαίου (εκτός από το

τελευταίο). Σε κάθε περίπτωση, ο σπουδαστής μπορεί να φτάσει στη λύση τους χωρίς να χρειαστεί να μελε-

τήσει περισσότερη θεωρητική ύλη. Δίνεται μεγαλύτερη έμφαση στη φυσική παρά στα μαθηματικά.

Οι φυσικές σταθερές και τα κύρια χαρακτηριστικά των σωματιδίων δεν περιλαμβάνονται στις εκφω-

νήσεις των προβλημάτων. Ο σπουδαστής θα πρέπει να αναζητήσει αυτά τα στοιχεία στους πίνακες που δί-

νονται στα παραρτήματα. Στο τέλος του βιβλίου, παραθέτουμε τις απαντήσεις για τα μισά περίπου προ-

βλήματα.

Παραρτήματα

Ένα παράρτημα περιέχει τις χρονολογίες των κυριότερων ανακαλύψεων στη φυσική των σωματιδίων, τόσο

τις θεωρητικές όσο και τις πειραματικές. Σκοπός του είναι να δώσει μια εποπτική εικόνα της ιστορίας του

πεδίου. Ωστόσο, επισημαίνουμε ότι η εκτίμηση της σπουδαιότητας των ανακαλύψεων είναι εν μέρει αυθαί-

ρετη και ότι η ιστορία αποτελεί πάντα ένα πολύπλοκο μη γραμμικό φαινόμενο. Οι ανακαλύψεις σπάνια ο-

φείλονται σε έναν μόνο επιστήμονα και ποτέ δεν συμβαίνουν από τη μία στιγμή στην άλλη.

Πρόλογος δεύτερης έκδοσης 13

Στα παραρτήματα περιλαμβάνονται επίσης πίνακες των συντελεστών Clebsch-Gordan, των σφαιρικών

αρμονικών και των συναρτήσεων στροφής στις απλούστερες περιπτώσεις. Άλλοι πίνακες δίνουν τις κύριες

ιδιότητες των μποζονίων βαθμίδας, των λεπτονίων, των κουάρκ και των βασικών σταθμών του φάσματος

των αδρονίων.

Η κύρια πηγή των δεδομένων στους πίνακες είναι το έντυπο Review of Particle Physics (Yao et al.

2006). Ο αναγνώστης μπορεί να βρει ιδιαίτερα χρήσιμο αυτό το έντυπο (δείτε τον ιστότοπο στη διεύθυνση

http://pdg.lbl.gov). Περιλαμβάνει όχι μόνο τα πλήρη δεδομένα για τα στοιχειώδη σωματίδια, αλλά και σύ-

ντομες επισκοπήσεις θεμάτων όπως το Καθιερωμένο Πρότυπο, την αναζήτηση υποθετικών σωματιδίων,

τους ανιχνευτές σωματιδίων, μεθόδους πιθανοτήτων και στατιστικής, κ.λπ. Ωστόσο, επισημαίνουμε ότι αυ-

τές οι «σύντομες επισκοπήσεις» αποτελούν απλώς συνόψεις για τους ειδικούς και ότι για τη βαθύτερη κατα-

νόηση ενός θέματος απαιτείται διαφορετική βιβλιογραφία.

Υλικό παραπομπών στο Διαδίκτυο

Στο Διαδίκτυο υπάρχουν αρκετοί ιστότοποι οι οποίοι περιέχουν χρήσιμο υλικό για περαιτέρω μελέτη και δε-

δομένα για στοιχειώδη σωματίδια. Οι διευθύνσεις ιστοτόπων που αναφέρουμε στο παρόν βιβλίο ίσχυαν όταν

τυπώθηκε το παρόν βιβλίο, αλλά ο εκδότης και ο συγγραφέας δεν μπορούν να βεβαιώσουν ότι οι αναφορές

παραμένουν ακόμα ενεργές, ακριβείς ή κατάλληλες.

http://pdg.lbl.gov

Πρόλογος πρώτης έκδοσης

Το παρόν βιβλίο φιλοδοξεί κυρίως να αποτελέσει μια εισαγωγή στην υποατομική φυσική για προπτυχια-

κούς σπουδαστές –όχι απαραίτητα για εκείνους που ειδικεύονται στο συγκεκριμένο πεδίο. Θεωρώ ότι ο

αναγνώστης έχει μελετήσει, σε εισαγωγικό επίπεδο, πυρηνική φυσική, ειδική θεωρία της σχετικότητας

και κβαντομηχανική, περιλαμβανόμενης της εξίσωσης Dirac. Επίσης, θεωρώ ότι έχει τις απαραίτητες

γνώσεις στροφορμής, κανόνων σύνθεσης και των βαθύτερων εννοιών της θεωρίας ομάδων. Δεν απαιτού-

νται γνώσεις στοιχειωδών σωματιδίων ή κβαντικών θεωριών πεδίου.

Το Καθιερωμένο Πρότυπο είναι μια θεωρία των βασικών συστατικών της ύλης και των βασικών αλ-

ληλεπιδράσεων (με την εξαίρεση της βαρύτητας). Η βαθιά κατανόηση των κβαντικών θεωριών πεδίου

«βαθμίδας», που αποτελούν τα δομικά συστατικά αυτού του προτύπου, απαιτεί ικανότητες που δεν χρει-

άζεται να έχει ο αναγνώστης. Όμως, πιστεύω ότι μπορούμε να μεταδώσουμε τα βασικά στοιχεία τη φυσι-

κής και την ομορφιά τους, έστω και σε ένα στοιχειώδες επίπεδο. «Στοιχειώδες» σημαίνει ότι απαιτείται

γνώση μόνο στοιχειωδών εννοιών (στη σχετικιστική κβαντομηχανική). Αυτό δεν σημαίνει ότι θα περιο-

ριστώ σε μια επιφανειακή μελέτη. Ειδικότερα, προσπάθησα να μην «κάνω εκπτώσεις» και απέφυγα να

κρύψω τις δυσκολίες, όπου υπήρχαν. Έχω συμπεριλάβει μόνο στοιχεία που έχουν αποδειχθεί πειραματι-

κά, με εξαίρεση το τελευταίο κεφάλαιο, όπου κάνω μια επισκόπηση της σημερινής κατάστασης στα πει-

ράματα αιχμής.

Το βιβλίο περιλαμβάνει όλη την ύλη που θα μπορούσε να καλύψει ένα τυπικό προπτυχιακό μάθημα.

Αυτή η απαίτηση υποχρεώνει τον συγγραφέα να κάνει σκληρές, και μερικές φορές δύσκολες, επιλογές.

Τα κεφάλαια ακολουθούν μια λογική σειρά. Στην περίπτωση όμως ενός μαθήματος μικρής διάρκειας,

μπορούμε να παραλείψουμε μερικές ενότητες ή ακόμη και κεφάλαια. Αυτό επιτυγχάνεται αν εξαιρεθούν

κάποια θέματα τα οποία επαναλαμβάνονται. Ειδικότερα, οι αναλύσεις της ταλάντωσης και των φαινομέ-

νων παραβίασης της συμμετρίας CP, οι οποίες παρουσιάζονται με έναν τρόπο αυξανόμενου επιπέδου δυ-

σκολίας πρώτα για τα μεσόνια K, έπειτα για τα μεσόνια B και, τέλος, για τα νετρίνα.

Στα περισσότερα διδακτικά βιβλία για τα στοιχειώδη σωματίδια δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στις θεω-

ρητικές πλευρές του πεδίου. Όμως, η φυσική είναι μια πειραματική επιστήμη και μόνο με ένα πείραμα

μπορούμε να αποφασίσουμε ποια από όλες τις δυνατές θεωρητικές προτάσεις έχει επιλέξει η φύση. Επι-

πλέον, συχνά η πρόοδος της κατανόησής μας οφείλεται στην ανακάλυψη αναπάντεχων φαινομένων.

Προσπάθησα πρώτα να επιλέξω παραδείγματα βασικών πειραμάτων και έπειτα να προχωρήσω στη θεω-

ρητική εικόνα.

Για να προσεγγίσω άμεσα το αντικείμενο του βιβλίου θα έπρεπε να αρχίσω από τα λεπτόνια, τα κου-

άρκ και τις αλληλεπιδράσεις τους και να εξηγήσω τις ιδιότητες των αδρονίων ως συνέπειές τους. Αν α-

κολουθούσα μια ιστορική προσέγγιση θα έπρεπε να παρουσιάσω, μεταξύ άλλων, και την εξέλιξη των ι-

δεών. Η πρώτη μέθοδος παρουσίασης είναι συντομότερη, αλλά υστερεί σε βάθος. Προσπάθησα να ακο-

λουθήσω μια μέση οδό.

Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζω τα απαραίτητα πειραματικά και θεωρητικά εργαλεία. Από την ε-

μπειρία μου, οι σπουδαστές έχουν επαρκή γνώση της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, αλλά χρειάζο-

νται πρακτική εξάσκηση στη χρήση των σχετικιστικών αναλλοίωτων και στους μετασχηματισμούς Lo-

rentz. Στο πρώτο κεφάλαιο περιλαμβάνω επίσης μια περίληψη των φυσικών και τεχνητών πηγών σωματι-

16 Πρόλογος πρώτης έκδοσης

δίων υψηλής ενέργειας και των ανιχνευτών. Αυτή η επισκόπηση κάθε άλλο παρά πλήρης μπορεί να θεω-

ρηθεί και περιορίζεται σε ό,τι απαιτείται για την κατανόηση των πειραμάτων που περιγράφονται στα ε-

πόμενα κεφάλαια.

Τα στοιχειώδη φερμιόνια εμπίπτουν σε δύο κατηγορίες: τα λεπτόνια, τα οποία εντοπίζονται ελεύθε-

ρα, και τα κουάρκ, που υπάρχουν μόνο στο εσωτερικό των αδρονίων. Τα αδρόνια δεν είναι στοιχειώδη

σωματίδια αλλά έχουν σύνθετη δομή, όπως περίπου οι πυρήνες. Τρία κεφάλαια είναι αφιερωμένα στα

αδρόνια βασικής στάθμης (στις εννεάδες της κατάστασης S των ψευδοβαθμωτών και διανυσματικών με-

σονίων και στις οκτάδες και δεκάδες των βαρυονίων), στις συμμετρίες τους και στη μέτρηση των κβα-

ντικών αριθμών τους (σε μερικά παραδείγματα). Η προσέγγιση είναι εν μέρει ιστορική.

Υπάρχει μια θεμελιώδης διαφορά μεταξύ αδρονίων από τη μία μεριά και ατόμων και πυρήνων από

την άλλη. Ενώ τα ηλεκτρόνια στα άτομα και τα νουκλεόνια στους πυρήνες κινούνται με μη σχετικιστικές

ταχύτητες, τα κουάρκ στα νουκλεόνια κινούνται σχεδόν με την ταχύτητα του φωτός. Στην πραγματικότη-

τα, η ενέργεια ηρεμίας τους είναι πολύ μικρότερη από τη συνολική ενέργειά τους. Η υποατομική φυσική

είναι ουσιαστικά σχετικιστική κβαντομηχανική.

Η μάζα ενός συστήματος μπορεί να μετρηθεί, εφόσον αυτό δεν υφίσταται εξωτερικές αλληλεπιδρά-

σεις. Επειδή τα κουάρκ δεν είναι ποτέ ελεύθερα, θα πρέπει να επεκτείνουμε την έννοια τα μάζας γι’ αυ-

τά. Αυτό μπορεί να γίνει με λογικά συνεπή τρόπο μόνο στο πλαίσιο της κβαντικής χρωμοδυναμικής

(Quantum ChromoDynamics, QCD).

Στις αρχές της δεκαετίας του 1960, η ανακάλυψη ολοένα και περισσότερων αδρονίων οδήγησε σε

μια συγκεχυμένη κατάσταση. Το 1964, η ανάπτυξη του προτύπου των κουάρκ έβαλε απροσδόκητα σε

τάξη τη φασματοσκοπία των αδρονίων. Στη συνέχεια, καταβλήθηκε προσπάθεια να αναπτυχθεί περαιτέ-

ρω το πρότυπο προκειμένου να ερμηνευθεί το φάσμα των μαζών των αδρονίων. Σε αυτό το πρόγραμμα

είχε γίνει η υπόθεση ότι το μεγαλύτερο ποσοστό της μάζας των αδρονίων οφείλεται στις μάζες των κου-

άρκ. Είχε θεωρηθεί ότι τα κουάρκ κινούνται αργά, με μη σχετικιστικές ταχύτητες, στο εσωτερικό των

αδρονίων. Αυτό το πρότυπο είχε ιστορική σημασία για την ανάπτυξη της σωστής περιγραφής της δυνα-

μικής στο εσωτερικό των αδρονίων, αλλά δεν είναι ικανοποιητικό. Έτσι, θα περιορίσουμε τη χρήση του

προτύπου των κουάρκ στην ταξινόμηση.

Το δεύτερο μέρος αυτού του βιβλίου είναι αφιερωμένο στις θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις και στο

Καθιερωμένο Πρότυπο. Η προσέγγιση είναι αρκετά πιο άμεση. Περιγράφω με αρκετές λεπτομέρειες τα

σημαντικότερα πειράματα που αποδεικνύουν τις κρίσιμες πτυχές της θεωρίας. Επιχειρώ να εξηγήσω, σε

στοιχειώδες επίπεδο, τη δομή χωρόχρονου και βαθμίδας των διαφόρων τύπων «φορτίου». Έχω συμπερι-

λάβει μια ανάλυση των παραγόντων χρώματος, παραθέτοντας παραδείγματα για τον ελκτικό ή τον απω-

στικό χαρακτήρα τους. Προσπαθώ να δώσω κάποια στοιχεία για την προέλευση της μάζας των αδρονίων

και για τη φύση του κενού. Στα κεφάλαια με θέμα την ασθενή αλληλεπίδραση εξετάζω τις χειρομορφίες

των φερμιονίων και τις ασθενείς συζεύξεις τους. Ο μηχανισμός Higgs, ο θεωρητικός μηχανισμός στον

οποίο οφείλονται οι μάζες των σωματιδίων, δεν έχει ακόμα ελεγχθεί πειραματικά. Αυτό θα γίνει στον νέο

επιταχυντή συγκρούσεων υψηλής ενέργειας LHC, ο οποίος θα αρχίσει να λειτουργεί στο CERN. Θα πα-

ραθέσω λίγα μόνο στοιχεία γι’ αυτή την πρόκληση στο μέτωπο της έρευνας.

Στο τελευταίο κεφάλαιο δίνω μια γεύση της φυσικής που έχει ανακαλυφθεί πέρα από το Καθιερωμέ-

νο Πρότυπο. Πράγματι, η μείξη των νετρίνων, οι μάζες, οι ταλαντώσεις και οι αλλαγές της γεύσης στην

ύλη αποτελούν ένα θαυμάσιο σύνολο φαινομένων που μπορεί να περιγραφεί ορθά σε στοιχειώδες επίπε-

δο, δηλαδή χρησιμοποιώντας μόνο τις βασικές έννοιες της κβαντομηχανικής. Ωστόσο, διακρίνουμε και

άλλα στοιχεία που δεν εμπίπτουν στη φυσική του Καθιερωμένου Προτύπου. Αυτά οφείλονται κυρίως

στην αυξανόμενη αλληλεπίδραση τόσο μεταξύ της φυσικής των σωματιδίων και της κοσμολογίας, όσο

Πρόλογος πρώτης έκδοσης 17

και μεταξύ της αστροφυσικής και της πυρηνικής φυσικής. Η ευνοϊκή αλληλεπίδραση αυτών των πεδίων

σίγουρα θα δώσει το έναυσμα για τη διεξαγωγή βασικής έρευνας τα προσεχή χρόνια. Περιορίζω την α-

ναφορά μου στο συγκεκριμένο θέμα σε μια σύντομη ματιά προκειμένου να δώσω απλώς μια γεύση αυτής

της πρωτοποριακής έρευνας.

1 Βασικές γνώσεις

Τα στοιχειώδη σωματίδια βρίσκονται στο βαθύτερο επίπεδο της δομής της ύλης. Οι φοιτητές έχουν εξοι-κειωθεί με τα ανώτερα επίπεδα, δηλαδή τα μόρια, τα άτομα και τους πυρήνες. Αυτές οι δομές είναι μικρές και η φυσική τους περιγράφεται κατάλληλα από τη μη σχετικιστική κβαντομηχανική, μέσω της εξίσωσης του Σρέντιγκερ (Schrödinger). Χρησιμοποιούμε τη μη σχετικιστική θεωρία επειδή οι ταχύτητες των ηλε-κτρονίων σε ένα μόριο ή ένα άτομο, καθώς και οι ταχύτητες των πρωτονίων και των νετρονίων σε έναν πυ-ρήνα, είναι πολύ μικρότερες από την ταχύτητα του φωτός.

Τα πρωτόνια και τα νετρόνια περιέχουν κουάρκ, τα οποία έχουν πολύ μικρές μάζες, που αντιστοιχούν σε ενέργειες ηρεμίας πολύ μικρότερες από την κινητική ενέργειά τους, και ταχύτητες που πλησιάζουν εκείνη του φωτός. Η δομή των νουκλεονίων, και γενικότερα των αδρονίων με τα οποία θα ασχοληθούμε, περιγρά-φεται από τη σχετικιστική κβαντομηχανική. Η εξίσωση που χρησιμοποιείται γι’ αυτόν τον σκοπό είναι η ε-ξίσωση του Dirac.

Η (ειδική) θεωρία της σχετικότητας είναι σημαντική στη σωματιδιακή φυσική και για έναν διαφορετικό λόγο: η μελέτη των στοιχειωδών σωματιδίων απαιτεί πειράματα με δέσμες που έχουν επιταχυνθεί σε πολύ υ-ψηλές ενέργειες. Δύο είναι οι λόγοι γι’ αυτό: (1) η δημιουργία σωματιδίων μέσω της δίδυμης γένεσης, για πα-ράδειγμα, ζευγών σωματιδίων-αντισωματιδίων απαιτεί αρκετά μεγάλη αρχική ενέργεια προκειμένου αυτή να μετατραπεί στη μάζα-ενέργεια του νέου σωματιδίου ή σωματιδίων και (2) η μελέτη της εσωτερικής δομής ενός σύνθετου σωματιδίου απαιτεί τη διερεύνησή του με την απαραίτητη διακριτική ικανότητα η οποία, όπως θα δούμε στη συνέχεια, αυξάνει με την ενέργεια του αισθητήρα (probe) που πραγματοποιεί τη διερεύνηση.

Σε αυτό το κεφάλαιο ο φοιτητής θα μάθει τις βασικές έννοιες που θα του είναι απαραίτητες για την πε-ραιτέρω μελέτη.

Θα ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τα βασικά σημεία της σχετικότητας και επεκτείνοντας τις υπάρχουσες γνώσεις των φοιτητών. Θα εξετάσουμε αναλυτικά τις θεμελιώδεις έννοιες της ενέργειας, της ορμής και της μάζας, τις μεταξύ τους σχέσεις και τους μετασχηματισμούς τους μεταξύ διαφορετικών συστημάτων αναφο-ράς –πιο συγκεκριμένα, θα μελετήσουμε διεξοδικά τα συστήματα αναφοράς εργαστηρίου και κέντρου μά-ζας. Σας συνιστούμε να προσπαθήσετε να λύσετε αρκετά προβλήματα, επιλέγοντας από αυτά που παραθέ-τουμε στο τέλος του κεφαλαίου μαζί με μια εισαγωγή στις μεθόδους επίλυσής τους. Είναι ο μόνος τρόπος για να κατανοήσετε πλήρως τη σχετικιστική κινηματική.

Στα πειράματα με στοιχειώδη σωματίδια μελετούμε τις συγκρούσεις και τις διασπάσεις τους. Στη συνέ-χεια αυτού του κεφαλαίου εισάγουμε τις βασικές έννοιες που εμφανίζονται στην περιγραφή των σχετικών πειραμάτων. Έπειτα παρουσιάζουμε τους διαφορετικούς τύπους σωματιδίων (αδρόνια, κουάρκ και λεπτόνια) και τις βασικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ τους. Εδώ και σε όσα ακολουθούν προχωρούμε, όπου είναι απαραί-τητο, με διαδοχικές προσεγγίσεις. Αυτός είναι, άλλωστε, και ο τρόπος με τον οποίο προοδεύει γενικά η πει-ραματική φυσική.

Τα βασικά στοιχεία ενός πειράματος συγκρούσεων είναι μια δέσμη σωματιδίων υψηλής ενέργειας, πρω-τονίων, αντιπρωτονίων, ηλεκτρονίων, νετρίνων, κ.λπ., και ο στόχος με τον οποίο αυτά συγκρούονται. Οι φοιτητές θα βρουν σε αυτό το κεφάλαιο μια βασική περιγραφή των πηγών τέτοιων σωματιδίων, που είναι εί-τε οι κοσμικές ακτίνες, οι οποίες υπάρχουν στη φύση και χρησιμοποιήθηκαν τα πρώτα χρόνια της έρευνας, είτε οι διάφοροι τύποι επιταχυντών. Στη συνέχεια ανιχνεύονται τα προϊόντα μιας σύγκρουσης ή μιας διά-σπασης, τα οποία είναι επίσης στοιχειώδη σωματίδια, και καταγράφονται οι ιδιότητές τους (ενέργεια, ορμή,


φορτίο) με κατάλληλους ανιχνευτές (detectors). Η πρόοδος της γνώσης μας είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την πειραματική «τέχνη» του σχεδιασμού και της εξέλιξης των ανιχνευτών. Οι ανιχνευτές είναι κατασκευα-σμένοι από ύλη –στερεά, υγρή ή αέρια. Έτσι, για να κατανοήσουμε πώς λειτουργούν οι ανιχνευτές, είναι απαραίτητη η καλή γνώση των αλληλεπιδράσεων των φορτισμένων και ουδέτερων σωματιδίων υψηλής ε-νέργειας με την ύλη, δηλαδή με τα άτομα και τα μόρια. Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζουμε τους κύριους τύπους ανιχνευτών και τις βασικές αρχές λειτουργίας τους. Σε επόμενα κεφάλαια περιγράφουμε τα συστή-ματα ανιχνευτών, όπως αυτά λειτουργούν σε σημαντικά πειράματα. Εδώ θα δούμε, ειδικότερα, πώς μετράμε την ενέργεια, την ορμή και τη μάζα ενός σωματιδίου στις διάφορες περιοχές ενεργειών και καταστάσεων στις οποίες αυτά απαντώνται.

1.1 Μάζα, ενέργεια, ορμή

Τα στοιχειώδη σωματίδια έχουν γενικά πολύ μεγάλες ταχύτητες, που πλησιάζουν την ταχύτητα του φωτός. Γι’ αυτόν τον λόγο παραθέτουμε συνοπτικά σε αυτήν και στις επόμενες τρεις ενότητες μερικές απλές ιδιότη-τες της σχετικιστικής κινηματικής και δυναμικής.

Ας θεωρήσουμε δύο συστήματα αναφοράς, τα S(t, x, y, z) και ( , , , )S t x y z′ ′ ′ ′ ′ , τα οποία βρίσκονται σε ευθύγραμμη ομαλή σχετική κίνηση. Επιλέγουμε τους άξονες όπως εμφανίζονται στο Σχήμα 1.1. Σε κάποια χρονική στιγμή, την οποία λαμβάνουμε ως t′ = t = 0, οι αρχές και οι άξονες των δύο συστημάτων αναφοράς συμπίπτουν. Το σύστημα S′ κινείται ως προς το S με ταχύτητα v, κατά τη διεύθυνση του άξονα x.

Εισάγουμε τα ακόλουθα δύο αδιάστατα μεγέθη, που σχετίζονται με την κίνηση στο S της αρχής του συ-στήματος S′

c

≡

vβ Εξ. (1.1)

και

2

1

1

γβ

=

−

Εξ. (1.2)

Το δεύτερο ονομάζεται παράγοντας Lorentz (Lorentz factor). Ένα γεγονός (event) χαρακτηρίζεται από το τε-τραδιάνυσμα των συντεταγμένων (ct, r). Οι συνιστώσες του τετραδιανύσματος στα δύο συστήματα αναφοράς (t, x, y, z) και ( , , , )t x y z′ ′ ′ ′ συνδέονται με τους μετασχηματισμούς Lorentz (Lorentz, 1904, Poincaré, 1905) μέσω των σχέσεων

( )

( )

x γ x βct

y y

z z

ct γ ct βx

′ = −

′ =

′ =

′ = −

Εξ. (1.3)

Ο Henri Poincaré ήταν ο πρώτος που αναγνώρισε, το 1905, ότι οι μετασχηματισμοί Lorentz, όταν συν-δυασθούν με τις στροφές των αξόνων, σχηματίζουν μια ομάδα, την οποία ονόμασε ορθόχρονη κανονική ο-

μάδα Lorentz (proper Lorentz group)1. Η ομάδα περιλαμβάνει την παράμετρο c, μια σταθερά με διαστάσεις ταχύτητας. Ένα σώμα που κινείται με ταχύτητα c σε ένα σύστημα αναφοράς, κινείται με την ίδια ταχύτητα

1

Σ.τ.Μ.: Ορθόχρονοι είναι οι μετασχηματισμοί Lorentz που διατηρούν τη φορά του χρόνου, ενώ κανονικοί εκείνοι που διατηρούν

τον προσανατολισμό.

1.1 Μάζα, ενέργεια, ορμή 21

x x'

y y'

r, t r', t'

O O'

VS S'

P

Σχ. 1.1 Δύο συστήματα αναφοράς σε ευθύγραμμη σχετική κίνηση.

σε κάθε άλλο σύστημα. Με άλλα λόγια, η c είναι αμετάβλητη στους μετασχηματισμούς Lorentz. Είναι η τα-χύτητα διάδοσης όλων των θεμελιωδών διαταραχών: του φωτός (διαταραχές ηλεκτρομαγνητικού πεδίου) και των βαρυτικών κυμάτων (διαταραχές βαρυτικού πεδίου) –Poincaré, 1905.

Οι ίδιες σχέσεις ισχύουν για κάθε τετραδιάνυσμα. Ιδιαίτερη σημασία έχει το διάνυσμα ενέργειας-ορμής (E / c, p) ενός ελεύθερου σωματιδίου2

x x

y y

z z

x

Ep γ p β

c

p p

p p

E Eγ βp

c c

′

′

′

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

=

′ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Εξ. (1.4)

Προσέξτε ότι ο ίδιος παράγοντας Lorentz γ εμφανίζεται τόσο στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς (Εξίσω-ση 1.3) όσο και στους μετασχηματισμούς των δυναμικών μεγεθών (Εξίσωση 1.4).

Οι μετασχηματισμοί που δίνουν τις συνιστώσες ενός τετραδιανύσματος στο σύστημα S ως συναρτήσεις των συνιστωσών στο σύστημα S′ , οι αντίστροφοι των (1.3) και (1.4), μπορούν να βρεθούν εύκολα αν αλλά-ξει το πρόσημο της ταχύτητας v.

Η νόρμα του τετραδιανύσματος ενέργειας-ορμής (που συχνά αναφέρεται και ως τετραδιάστατη ορμή, τε-

τραδιάνυσμα ορμής ή, απλά, τετραορμή), όπως και κάθε άλλου τετραδιανύσματος, είναι μια αναλλοίωτη, και ισούται με το τετράγωνο της μάζας του συστήματος πολλαπλασιασμένο με τον συντελεστή c4.

2 4 2 2 2m c E p c= − Εξ. (1.5)

Αυτή είναι μια θεμελιώδης σχέση: είναι ο ορισμός της μάζας. Επαναλαμβάνουμε ότι ισχύει μόνο για ένα ε-λεύθερο σώμα αλλά, από την άλλη μεριά, είναι εντελώς γενική τόσο για υλικά σημεία, όπως είναι τα στοι-χειώδη σωματίδια, όσο και για σύνθετα συστήματα, όπως είναι οι πυρήνες και τα άτομα, ακόμη και όταν υπάρχουν εσωτερικές δυνάμεις.

Η πιο γενική σχέση μεταξύ της ορμής p, της ενέργειας E και της ταχύτητας v είναι

2

E

c=p v Εξ. (1.6)

και ισχύει τόσο για σώματα με μηδενική όσο και για σώματα με μη μηδενική μάζα. Για σωματίδια με μηδενική μάζα, η Εξίσωση (1.5) μπορεί να γραφεί ως

pc E= Εξ. (1.7)

2

Σ.τ.Μ.: Ελεύθερο σωματίδιο ονομάζεται εκείνο το οποίο δεν έχει δυναμική ενέργεια, δηλαδή δεν αλληλεπιδρά με άλλα σωματίδια.


Η μάζα του φωτονίου είναι ακριβώς μηδέν. Τα νετρίνα έχουν μη μηδενική αλλά εξαιρετικά μικρή μάζα σε σύγκριση με τα υπόλοιπα σωματίδια. Στις κινηματικές σχέσεις που υπεισέρχονται νετρίνα μπορούμε συνή-θως να αγνοήσουμε τη μάζα τους.

Αν m ≠ 0, η ενέργεια μπορεί να γραφεί ως

2E mγc= Εξ. (1.8)

και η σχέση (1.6) παίρνει την ισοδύναμη μορφή

mγ=p v Εξ. (1.9)

Επισημαίνουμε το γεγονός ότι μπορούμε να βρούμε στη βιβλιογραφία –και δεν αναφερόμαστε μόνο στην εκλαϊκευμένη– έννοιες που εμφανίστηκαν όταν η ειδική θεωρία της σχετικότητας δεν είχε κατανοηθεί σε βάθος, οι οποίες είναι άχρηστες και παραπλανητικές. Μία από αυτές είναι η σχετικιστική μάζα, που είναι το γινόμενο mγ, δηλαδή μια ποσότητα που εξαρτάται από την ταχύτητα. Όμως η μάζα είναι μια αναλλοίωτη Lorentz και, άρα, ανεξάρτητη της ταχύτητας. Η σχετικιστική μάζα είναι απλά η ενέργεια διαιρεμένη με c2 και, επομένως, η τέταρτη συνιστώσα ενός τετραδιανύσματος. Αυτό, φυσικά, ισχύει εφόσον m ≠ 0, ενώ για m = 0 η σχετικιστική μάζα είναι άνευ νοήματος. Ένας άλλος συναφής όρος που θα πρέπει να αποφεύγεται είναι η μάζα ηρεμίας, δηλαδή η σχετικιστική μάζα σε ηρεμία (υ = 0), η οποία είναι απλά η μάζα.

Για να είμαστε ακριβείς, η έννοια της μάζας έχει νόημα μόνο στις στάσιμες καταστάσεις, δηλαδή στις ιδιοκαταστάσεις της χαμιλτονιανής ενός ελεύθερου σωματιδίου, όπως ακριβώς μόνο ένα μονοχρωματικό κύμα έχει σαφώς καθορισμένη συχνότητα. Ακόμη και το αμέσως πιο πολύπλοκο κύμα, το διχρωματικό κύ-μα, δεν έχει σαφώς καθορισμένη συχνότητα. Θα δούμε ότι υπάρχουν κβαντικά συστήματα δύο καταστάσε-ων, όπως τα σωματίδια K 0 και B 0, που προκύπτουν στη φύση σε καταστάσεις διάφορες των στάσιμων. Γι’ αυτές τις μη στάσιμες καταστάσεις δεν μπορούμε να μιλάμε για συγκεκριμένη μάζα και χρόνο ζωής. Όπως θα δούμε, τα νουκλεόνια (όπως αποκαλούνται συλλογικά τα πρωτόνια και τα νετρόνια) αποτελούνται από κουάρκ. Τα κουάρκ δεν είναι ποτέ ελεύθερα και, συνεπώς, ο ορισμός της μάζας ενός κουάρκ παρουσιά-ζει δυσκολίες, στις οποίες θα αναφερθούμε σε επόμενο κεφάλαιο.

Παράδειγμα 1.1 Θεωρούμε μια φωτεινή πηγή που εκπέμπει ένα φωτόνιο με ενέργεια E0 στο σύστημα αναφο-ράς της πηγής. Θεωρήστε ότι η κατεύθυνση του φωτονίου είναι επί του άξονα x. Πόση είναι η ενέργεια, E, του φωτονίου σε ένα σύστημα αναφοράς, στο οποίο η πηγή κινείται κατά την κατεύθυνση του άξονα x με ταχύτητα υ = βc; Συγκρίνετε το αποτέλεσμά σας με το φαινόμενο Doppler.

Ας ονομάσουμε S′ το σύστημα αναφοράς τη πηγής. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η ενέργεια και η ορμή ενός φωτονίου είναι μεγέθη ανάλογα, βρίσκουμε ότι

xp′ = p′ = E0 / c. Η αντίστροφη της Εξίσωσης (1.4) μας δίνει

( )0 01

x

E E Eγ βp γ β

c c c

⎛ ⎞′= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

και έχουμε

( )0

11

1

E βγ β

E β

+= + =

−

Από τη θεωρία του φαινομένου Doppler γνωρίζουμε ότι, αν μια πηγή εκπέμπει ένα φωτεινό κύμα με συχνό-τητα ν0, ένας παρατηρητής που βλέπει την πηγή να πλησιάζει με ταχύτητα υ = βc μετρά τη συχνότητά της ως ν, έτσι ώστε να ικανοποιείται η σχέση

0

1

1

v β

v β

+=

−

Δεν θα πρέπει να μας εκπλήσσει η «σύμπτωση», αφού από την κβαντομηχανική γνωρίζουμε ότι E = hν.

1.2 Ο νόμος της κίνησης ενός σωματιδίου 23

1.2 Ο νόμος της κίνησης ενός σωματιδίου

Ο «σχετικιστικός» νόμος της κίνησης ενός σωματιδίου προτάθηκε από τον Planck το 1906 (Planck, 1906). Όπως και στη νευτώνεια μηχανική, μια δύναμη F που εφαρμόζεται σε ένα σωματίδιο μάζας m ≠ 0 μεταβάλλει την ορμή του σωματιδίου. Ο νόμος του Νεύτωνα στη μορφή F = dp / dt (η μορφή που χρησιμο-ποιούσε ο ίδιος ο Νεύτωνας) ισχύει και για μεγάλες ταχύτητες, εφόσον η ορμή δίνεται από την Εξίσωση (1.9). Αντίθετα, η σχέση F = ma, που χρησιμοποιήθηκε από τον Αϊνστάιν το 1905, είναι λανθασμένη. Πράγ-ματι, μπορούμε να γράψουμε απευθείας

+d dγ

mγ mdt dt

= =

pF a v Εξ. (1.10)

Παραγωγίζοντας, παίρνουμε

( )

1 22

3 22 2

3

2 2

11

= = 1 2 =2

/

/

t

υd

cdγ υ υm m m a mγdt dt c c

−

−

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ − − − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

v v v a β β

Επομένως

( )3= mγ mγ+ ⋅F a a β β Εξ. (1.11)

Παρατηρούμε ότι η δύναμη είναι το άθροισμα δύο όρων, ενός που είναι παράλληλος με την επιτάχυνση και ενός που είναι παράλληλος με την ταχύτητα. Επομένως, δεν είναι δυνατόν να ορίσουμε ως «μάζα» τον λόγο της δύναμης προς την επιτάχυνση. Σε μεγάλες ταχύτητες, η μάζα δεν είναι ανάλογη με την αδράνεια ενός σώματος.

Για να λύσουμε ως προς την επιτάχυνση παίρνουμε το εσωτερικό (ή βαθμωτό) γινόμενο των δύο μελών της Εξίσωσης (1.11) με το β. Έτσι, παίρνουμε

( )3 2 2 2 3= 1mγ mγ β mγ γ β mγ⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅ = ⋅F β a β a β a β a β

Επομένως

3mγ

⋅

⋅ =

F βa β

και, με αντικατάσταση στην Εξίσωση (1.11),

( ) mγ− ⋅ =F F β β a

Η επιτάχυνση είναι το άθροισμα δύο όρων, ενός παράλληλου προς τη δύναμη και ενός παράλληλου προς την ταχύτητα.

Δύναμη και επιτάχυνση έχουν την ίδια διεύθυνση μόνο σε δύο περιπτώσεις: (1) όταν δύναμη και ταχύ-τητα είναι παράλληλες, δηλαδή, F = mγ3a και (2) όταν ταχύτητα και δύναμη είναι κάθετες, δηλαδή, F = mγa. Παρατηρήστε ότι οι συντελεστές αναλογίας είναι διαφορετικοί.

Για να έχουμε απλούστερες εκφράσεις, στην υποατομική φυσική χρησιμοποιούμε τις λεγόμενες φυσικές

μονάδες (Natural Units, NU). Θα ασχοληθούμε με αυτές αναλυτικά στην Ενότητα 1.5 και εδώ θα περιορι-στούμε σε έναν ορισμό: χωρίς να αλλάξουμε τη μονάδα χρόνου του συστήματος S.I., ορίζουμε τη μονάδα μήκους με τέτοιον τρόπο ώστε να έχουμε c = 1. Με άλλα λόγια, η μονάδα μήκους είναι η απόσταση που διανύει το φως στο κενό σε ένα δευτερόλεπτο, δηλαδή 299 792 458 m –πρόκειται για μια πολύ μεγάλη μο-νάδα. Με αυτή την επιλογή, η μάζα, η ενέργεια και η ορμή έχουν τις ίδιες φυσικές διαστάσεις. Στη συνέχεια, θα χρησιμοποιούμε συχνά ως μονάδα τους το ηλεκτρονιοβόλτ (eV) και τα πολλαπλάσιά του.


1.3 Η μάζα ενός συστήματος σωματιδίων, κινηματικές αναλλοίωτες

Η μάζα ενός συστήματος σωματιδίων συχνά ονομάζεται αναλλοίωτη μάζα (invariant mass), αλλά το επίθετο είναι περιττό, επειδή η μάζα είναι πάντα αναλλοίωτη.

Η σχέση που δίνει την αναλλοίωτη μάζα είναι απλή μόνο εάν τα σωματίδια του συστήματος δεν αλλη-λεπιδρούν μεταξύ τους. Σε αυτή την περίπτωση, για n σωματίδια με ενέργειες Ei και ορμές pi, η μάζα είναι

2 2

2 2

1 1

n n

i i

i i

m E P E

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑p Εξ. (1.12)

Επίσης, το τετράγωνο της μάζας, το οποίο θα συμβολίζουμε με s, είναι και αυτό αναλλοίωτο

2 2

2 2

1 1

n n

i i

i i

s E P E

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑p Εξ. (1.13)

Παρατηρήστε ότι το s είναι μη αρνητική ποσότητα

0s ≥ Εξ. (1.14)

Ας υπολογίσουμε τώρα την έκφραση του s στο σύστημα αναφοράς του κέντρου μάζας (Center of Mass frame, CM frame), το οποίο εξ ορισμού είναι το σύστημα αναφοράς όπου η συνολική ορμή του συστήματος μηδε-νίζεται. Παρατηρούμε αμέσως ότι

2

1

n

*

i

i

s E

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ Εξ. (1.15)

όπου *

iE είναι οι ενέργειες στο κέντρο μάζας CM. Με άλλα λόγια, η μάζα ενός συστήματος μη αλληλεπι-

δρώντων σωματιδίων είναι επίσης και η ενέργειά του στο σύστημα αναφοράς CM. Ας θεωρήσουμε τώρα ένα σύστημα που αποτελείται από δύο μη αλληλεπιδρώντα σωματίδια. Είναι το α-

πλούστερο σύστημα, αλλά συνάμα και πολύ σημαντικό. Στο Σχήμα 1.2 ορίζουμε τις κινηματικές μεταβλητές. Το μέγεθος s δίνεται από τη σχέση

( ) ( )2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2s E E m m E E= + − + = + + − ⋅p p p p Εξ. (1.16)

και, εκφρασμένο ως συνάρτηση της ταχύτητας, β = p / E

( )2 2

1 2 1 2 1 22 1s m m E E= + + − ⋅β β Εξ. (1.17)

Από αυτή τη σχέση γίνεται σαφές ότι η μάζα ενός συστήματος δεν ισούται με το άθροισμα των μαζών των μελών που το αποτελούν, ακόμη και αν αυτά δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους –κάτι που ισχύει γενικότερα. Επιπλέον, από την Εξίσωση (1.12) είναι σαφές πως η διατήρηση της ενέργειας και της ορμής υποδηλώνει ότι η μάζα είναι μια διατηρούμενη ποσότητα: σε μια πυρηνική αντίδραση, όπως η σύγκρουση ή η διάσπαση, η μάζα του αρχικού συστήματος ισούται πάντα με τη μάζα του τελικού. Για τον ίδιο λόγο, το άθροισμα των

p1, E1

p2 , E

2

m1

m2 θ

Σχ. 1.2 Σύστημα δύο μη αλληλεπιδρώντων σωματιδίων.

1.3 Η μάζα ενός συστήματος σωματιδίων, κινηματικές αναλλοίωτες 25

μαζών των σωμάτων του αρχικού συστήματος είναι γενικά διάφορο από το άθροισμα των μαζών των τελι-κών σωμάτων.

Παράδειγμα 1.2 Υπολογίζουμε τη σχέση που δίνει τη μάζα του συστήματος δύο φωτονίων της ίδιας ενέρ-γειας E, για την περίπτωση που κινούνται στην ίδια ή σε διαφορετικές διευθύνσεις.

Η ενέργεια ισούται με την ορμή ενός φωτονίου, επειδή η μάζα του είναι μηδενική, p = E. Η συνολική ενέργεια επομένως είναι Eσυν. = 2E.

Αν τα φωτόνια κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση, τότε η συνολική ορμή είναι pσυν. = 2E και επομένως η μάζα είναι m = 0.

Αν οι ταχύτητες των φωτονίων είναι αντίθετες, Eσυν. = 2E, pσυν. = 0 και, επομένως, m = 2E. Γενικά, αν θ είναι η γωνία μεταξύ των ταχυτήτων, ( )2 2 2 2

συν.2 2 cos 2 1 cosp p p θ E θ = + = + , οπότε

m2 = 2E 2 (1 – cos θ). Σημειώστε ότι το σύστημα δεν περιέχει καθόλου ύλη, παρά μόνο ενέργεια. Η μάζα δεν αποτελεί μέτρο

της ποσότητας της ύλης ενός σώματος, γεγονός που έρχεται σε αντίθεση με τη διαισθητική αντίληψη που έχουμε για αυτό το φυσικό μέγεθος.

Τώρα ας δούμε μία από τις βασικές διεργασίες της υποπυρηνικής φυσικής: τις συγκρούσεις. Στην αρχι-κή κατάσταση υπάρχουν δύο σωματίδια, τα a και b. Στην τελική κατάσταση μπορεί να υπάρχουν δύο σωμα-τίδια (όχι απαραίτητα τα a και b) ή περισσότερα. Ας τα ονομάσουμε c, d, e, … H διεργασία είναι η

a b c d e+ + + + Εξ. (1.18)

Αν η τελική κατάσταση περιέχει μόνο τα αρχικά σωματίδια, τότε η σύγκρουση χαρακτηρίζεται ως ελαστική

a b a b+ + Εξ. (1.19)

Σημειώνουμε ότι η διεγερμένη κατάσταση ενός σωματιδίου πρέπει να θεωρείται ως διαφορετικό σωματίδιο. Το χρονικό διάστημα κατά το οποίο τα σωματίδια αλληλεπιδρούν, ο χρόνος σύγκρουσης, είναι εξαιρε-

τικά σύντομο, οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την αλληλεπίδραση ως στιγμιαία. Επομένως, τα σωματίδια στην αρχική και στην τελική κατάσταση μπορούν να θεωρηθούν ως ελεύθερα.

Θα χρησιμοποιήσουμε δύο συστήματα αναφοράς, το CM, που ορίσαμε ήδη παραπάνω, και το σύστημα

αναφοράς του εργαστηρίου (Laboratory frame, L frame). Το τελευταίο είναι το σύστημα αναφοράς στο οποί-ο, πριν από τη σύγκρουση, ένα από τα σωματίδια (που ονομάζεται στόχος) είναι σε ηρεμία, ενώ το άλλο (που ονομάζεται δέσμη) κινείται προς τον στόχο. Έστω a το σωματίδιο-δέσμη, ma η μάζα του, pa η ορμή του και Ea η ενέργειά του. Επίσης, έστω b το σωματίδιο-στόχος και mb η μάζα του. Στο Σχήμα 1.3 φαίνεται το σύστημα αναφοράς στην αρχική κατάστασή του.

Στο σύστημα αναφοράς L, το s δίνεται από τη σχέση

( )2 2 2 2

2α b α α b b α

s E m p m m m E= + − = + + Εξ. (1.20)

Στην πράξη, η ενέργεια του βλήματος (δηλαδή του σωματιδίου b) είναι συχνά, αλλά όχι πάντα, πολύ μεγαλύτερη από τη μάζα τόσο του βλήματος όσο και του στόχου (δηλαδή του σωματιδίου a). Αν αυτό ισχύει και στην περίπτωση που μελετούμε, μπορούμε να προσεγγίσουμε την Εξίσωση (1.20) με τη σχέση

( )2 ,b a a a b

s m E E m m Εξ. (1.21)

Συχνά μας ενδιαφέρει να παραγάγουμε νέους τύπους σωματιδίων κατά τη σύγκρουση, οπότε μας ενδιαφέρει επίσης η διαθέσιμη ενέργεια για μια τέτοια διεργασία. Αυτή είναι προφανώς η συνολική ενέργεια του συ-στήματος CM η οποία, όπως φαίνεται από την Εξίσωση (1.21), αυξάνεται ανάλογα με την τετραγωνική ρίζα της ενέργειας του σωματιδίου-δέσμη.

Περιεχόμενα - publicmedia.public.gr/books-pdf/9789604617821-1269067.pdf ·...

Documents