МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ … · 2018. 8. 17. ·...
TRANSCRIPT
МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
На правах рукописи
ЗЫОНГ ДЕ ТАЙ
УДК 532.529
ОБТЕКАНИЕ ПЛАНЕРА ГРАЖДАНСКОГО САМОЛЕТА
В УСЛОВИЯХ НАЧАЛЬНОЙ СТАДИИ ОБЛЕДЕНЕНИЯ
01.02.05 — «Механика жидкости, газа и плазмы»
Диссертация на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Научный руководитель:
Доктор физико – математических наук, доцент
Волков Андрей Викторович
Жуковский — 2018
2
Оглавление
Используемые аббревиатуры и обозначения ............................................................... 4
Введение ........................................................................................................................... 6
Глава 1. Аналитический обзор источников литературы ..................................... 12
Глава 2. Постановка задачи обтекания самолета воздухом с водяной взвесью 22
2.1 Система уравнений водности движения водяной взвеси ..................... 22
2.2 Анализ свойств системы уравнений водности ...................................... 28
2.3 Гиперболизация системы уравнений водности ..................................... 29
2.4 Постановка задачи Коши для решения системы уравнений водности 34
2.4.1 Начальные условия ......................................................................... 36
2.4.2 Граничные условия ......................................................................... 37
2.5 Численный метод и основные соотношения .......................................... 41
2.5.1 Расчетная область и особенности ее представления ................... 42
2.5.2 Особенности реализации численного метода .............................. 45
2.5.3 Вычисление параметров на гранях ячеек ..................................... 47
2.5.4 Аппроксимация источниковых членов ........................................ 48
2.5.5 Вычисление градиентов методом BR2 ......................................... 51
2.5.6 Реализация численных граничных условий ................................. 53
2.5.7 Коэффициент захвата и метод его определения .......................... 54
2.6 Верификация предложенных методов .................................................... 54
2.6.1 Расчет обтекания цилиндра ........................................................... 54
2.6.2 Расчета обтекания профиля NACA-0012 ..................................... 58
2.6.3 Расчет обтекания полусферы ......................................................... 64
2.6.4 Расчет обтекания крыла NACA-64A008....................................... 68
Глава 3. Постановка и методы решения задачи обтекания самолета в условиях
начальной стадии обледенения ............................................................... 72
3.1 Термодинамика нарастания льда ............................................................ 72
3.1.1 Уравнение баланса массы .............................................................. 73
3
3.1.2 Уравнение баланса энергии ........................................................... 75
3.2 Расчет составляющих энергий и энтальпии в модели баланса ............ 77
3.2.1 Тепло, потерянное из-за конвекции .............................................. 77
3.2.2 Тепло, полученное вследствие трения ......................................... 78
3.2.3 Внутренняя энергия и энтальпия различных состояний воды .. 78
3.3 Расчет процесса нарастания льда ............................................................ 83
3.3.1 Двумерное приближение ............................................................. 84
3.3.2 Трехмерное приближение ............................................................ 85
3.4 Верификация используемого метода ...................................................... 87
Глава 4. Физические особенности обледенения гражданского самолета .......... 94
4.1 Критическая температура и критическая водность набегающего
потока в условиях начальной стадии обледенения ............................... 94
4.2 Обледенение крыла и мотогондолы при реальных условиях полета .. 99
Заключение .................................................................................................................. 127
Список источников литературы ................................................................................ 129
4
Используемые аббревиатуры и обозначения
МКО – метод конечного объёма;
РМГ – метод Галеркина с разрывными базисными функциями;
φ(x) – базисная функция;
Ω – контрольный объём
∂Ω, Σ – граница контрольного объёма
Γ – граница расчётной области;
n = (nx, ny, nz) – вектор нормали;
x = (x, y, z) – пространственная координата;
t – переменная времени;
qj(t) – вектор коэффициентов разложения решения;
K – максимальный порядок базисного полинома;
Kf – количество линейно независимых базисных функций;
Q – вектор примитивных переменных водности;
U – вектор консервативных переменных водности;
Qa – вектор примитивных переменных газа;
S – вектор источника водности;
H – энтальпия течения;
ρ – водность;
ρa – плотность газа;
u, v, w – компоненты вектора скорости капель воды;
ur = u - ua – вектор относительной скорости водности;
ua, va, wa – компоненты вектора скорости газа;
p – давление;
ev – насыщающее парциальное давление водяного пара
T – температура
d – диаметр капли воды
MVD – средний диаметр капель воды в поле водности
5
ρw – плотность воды
Ts – температура равновесия (температура баланса)
Tice – температура замерзания (Tice = 273.15 K)
μ – динамическая вязкость
f – коэффициент намерзания (доля замерзшей воды)
Контрольная точка – это точка, которая находится на передней кромке профиля.
Ее продольная координата равна x/c = 0 , где x, y – координаты профиля, c – длина
хорда профиля.
Нижние индексы
a – газ
∞ – параметр набегающего потока
d – капля (droplet)
va – испарившаяся вода
ice, so – твердая фаза воды или лёд (solid)
im – попадающие капли воды (impinging)
in – втекающий поток
out – вытекающий поток
6
Введение
Ключевые слова: водность, переохлаждение, термодинамика нарастания
льда, гиперболизация, подход Эйлера, подход Лагранжа, краевая задача
уравнений Навье-Стокса, уравнения водности, уравнения траекторий, метод
конечного объема, метод конечного элемента, метод РМГ, расчетная сетка,
коэффициент захвата, скорость нарастания льда, коэффициент намерзания,
температура равновесия, предел Лудлама.
Самолет, который летит на дозвуковых скоростях через облака на высоте
ниже 8000 метров, может подвергаться обледенению, которое влияет на
безопасность его полета. При этом ухудшаются аэродинамические
характеристики крыла, увеличивается вес самолета и возрастает расход топлива.
Наиболее опасными считаются режимы полета при небольших скоростях. При
прохождении самолета через зоны с большим содержанием переохлажденных
капель воды. Отмечается, что форма и плотность льда на поверхности воздушного
судна сильно зависят от условий окружающей среды. Влияют и другие условия,
например, ключевым оказывается параметр водности, отвечающий за количество
водяных капель в единице объема. Важными являются также размеры капель,
протяженность облаков и локальная температура замерзания. Количество льда на
поверхности в основном зависит от совокупного воздействия всех перечисленных
факторов. Многочисленные исследования по указанной тематике в приближении
очень тонкого льда (0.5 мм) проводились на протяжении 40 лет. Исследователи
того времени были неприятно удивлены тем фактом, что тонкий лед несмотря на
незначительную толщину, способен заметно уменьшать аэродинамическое
качество крыла. Это было подтверждено на практике при испытаниях самолетов
фирмы «Боинг». В настоящее время проблема защиты самолета от обледенения
по-прежнему является актуальной. Об этом свидетельствует, например,
катастрофа в 2018 году самолета Ан-148 в Раменском районе Московской
7
области. Над решением поставленной проблемы работают ученые во многих
странах мира. Используются значительные вычислительные и экспериментальные
ресурсы. Для защиты от обледенения применяются различные системы. Они
требуют подробной информации о параметрах полета, и зависят от множества
факторов. Но неизменным остается роль численных методов в решении
поставленной задачи. В настоящее время только из расчета можно получить,
например, границы захвата поверхностей крыла каплями взвешенной воды. Это и
послужило мотивацией для начала данной работы.
Актуальность темы исследования определяется высокими требованиями
к безопасности полетов самолетов гражданской авиации и необходимостью
ожидать разрешение на посадку в тяжелых метеорологических условиях. Это
находится в соответствии с актуальным прогнозом развития российской авиации
и теоретическим анализом «ACARE Vision 2020», где ставится задача совершения
всех взлетов и посадок по расписанию с регулярностью не реже 15 минут в 95%
случаев.
Степень разработанности темы обусловлена тем, что исследования при
полете в облаках ведутся более 40 лет. К настоящему времени, даны обобщения,
которые определяют ограничения на антиобледенительные системы и траектории
взлета и захода на посадку. Применение новых расчетных методов,
разработанных в последние двадцать лет, дает возможность уточнить эти
положения с учетом начала регулярных полетов самолётов нового поколения
всепогодности, например Аэробус-380, B-787.
Цель данной работы состоит в разработке физико-математических
моделей, создании компьютерных комплексов с использованием мощных
вычислительных систем и с их помощью изучении физических особенностей
нарастания льда на поверхностях самолета.
Решены следующие задачи:
− Исследованы физические особенности двухфазного течения
мелкодисперсной взвеси воды и воздуха в окрестности передних кромок
8
крыла и мотогондолы самолета, находящегося в режиме «ожидания»
посадки в условиях плохой погоды.
− Моделирована модель термодинамического баланса в процессе нарастания
льда на поверхности самолета, летящего в режиме «ожидания».
− Система уравнений водности приведена к гиперболическому типу с целью
преодоления неустойчивости численного решения в критических областях
расчётной области.
− Созданы программы расчета обледенения самолета с применением метода
конечного элемента Галеркина с разрывными функциями высокого порядка
точности.
Научная новизна работы заключается в том, что:
− показано, что в условиях полета по кругу в ожидании разрешения на
посадку с выключенной противо-обледенительной системой на крыле и на
мотогондоле возможно образование «роговидного льда» вследствие
растекания воды и последующего замерзания вниз по потоку;
− впервые предложен способ приведения системы уравнений водности к
гиперболическому виду путем добавления градиента давления к обеим
частям уравнения импульса, который обеспечивает получение физически
корректного решения во всех областях течения;
− впервые для решения задачи обледенения самолета в приближении
двухфазной среды применен численный метод конечного элемента
Галеркина с разрывными функциями высокого порядка точности;
Теоретическая значимость заключается в том, что обосновано применение
модели двухфазного течения при исследовании процесса образования льда на
поверхностях самолета в условиях полета в сложных метеоусловиях;
Практическая значимость работы заключается в том, что на основе
выполненных исследований будет усовершенствована карта размещения
элементов противо-обледенительной системы и усовершенствован алгоритм
включения или выключения обогревателей.
Методология и методы исследования базируются на обширном опыте
9
ведущих авиастроительных фирм, и основывается на проведении исследований с
помощью современных расчетных методов и привлечении теоретических и
экспериментальных результатов.
Достоверность результатов проверяется путём использования данных
эксперимента для валидации разработанных физических моделей, а также путем
корректного сравнения расчетных, теоретических и экспериментальных
результатов.
На защиту выносится:
− Результаты исследования физических свойств двухфазного течения при
обтекании элементов самолета;
− Результаты исследования физических особенностей нарастания льда на
поверхностях самолета;
− Метод гиперболизации системы уравнений водности, трансформирующих
ее к гиперболическому типу;
− Метод конечного элемента Галеркина с разрывными базисными функциями
повышенного порядка точности, приспособленный для решения уравнений
водности;
− Математическая модель расчета термодинамического баланса при
нарастании льда на поверхностях самолета.
Соответствие паспорту специальности. Содержание диссертации
полностью соответствует задачам, указанным в паспорте специальности 01.02.05
в следующих пунктах:
1. Течения многофазных сред;
2. Аэродинамика и теплообмен летательных аппаратов;
3. Тепломассоперенос в газах и жидкостях;
4. Численные методы исследования уравнений кинетических и континуальных
моделей однородных и многофазных сред.
Апробация работы. Результаты работы прошли апробацию и обсуждены
на трех-международных и четырех-отраслевых конференциях. Наиболее
интересные конференции:
10
1) «29 научно-технической конференции по аэродинамике», поселок им.
Володарского Московской области, 2018 г;
2) «50 Years of the Development of Grid-Characteristic Method», г.
Долгопрудный Московской области, 2018 г.
3) «19 Международная конференция по методам аэрофизических
исследований, ICMAR», г. Новосибирск, 2018 г;
4) «60-я всероссийская научная конференция МФТИ», г. Долгопрудный
Московской области, 2017 г.
Текст диссертации включает в себя 136 страниц формата А4, 87
иллюстраций, 6 таблиц и содержит аналитический обзор 86 источников.
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка источников.
Во введении описаны цель работы и ее актуальность, указаны решенные
задачи, выделена научная новизна и теоретическая значимость, подчеркнута
практическая значимость и достоверность результатов, обсуждены пункты
соответствия паспорту специальности, приведены списки конференции, на
которых доложены основные результаты работы и публикация по теме
диссертации.
В главе 1 дан аналитический обзор источников литературы. Проведен
анализ 48 источников по теме диссертации, определены направления
исследования, сформулированы актуальные задачи и намечены пути их решения.
В главе 2 дана постановка задачи обтекания самолета воздухом с водяной
взвесью, обсуждены физические особенности двухфазного течения. Выписаны
система уравнений водности, начальные и граничные условия. Предложен способ
гиперболизации системы параболических уравнений водности. Дано описание
численного метода для решения задачи в рамках метода Галеркина высокого
порядка точности (РМГ). Показана надежная сходимость решения в необходимом
диапазоне исследованных параметров. Проведено сопоставление расчетных и
экспериментальных данных.
В главе 3 изложены теоретические основы модели термодинамического
11
равновесия в задаче нарастания льда и приведены используемые алгоритмы. Дана
подробная интерпретация результатов вычисления тепловых потоков при
построении баланса энергии при теплообмене двухфазного течения на
поверхности летательных аппаратов. Выполнены и сопоставлены тестовые
расчеты с экспериментальными данными в двухмерных и трехмерных
постановках. Проведена подробная верификации вычислительных методологий.
В главе 4 приведены результаты расчетов обтекания элементов планера
самолета (модель DLR-F6) в различных ситуациях и изучены физические
особенности явлений нарастания льда, а также даны характеристики состояния
фаз воды на поверхности крыла и мотогондолы в начальной стадии обледенения.
В заключении приведены основные результаты, и выводы по работе,
намечены пути развития разработанного метода.
Основные результаты работы получены автором лично и опубликованы в
журналах списка ВАК (2 статьи), а также в журналах, которые не входят в список
ВАК (3 статьи).
Наиболее значимые статьи:
1) Волков А.В., Зыонг Д.Т. Применение метода Галеркина с разрывными
функциями к решению системы уравнений динамики водяной взвеси в
воздушном потоке // Ученые записки ЦАГИ. – 2017. – т. XLVIII. – 5. – с. 3-18.
2) Зыонг Де Тай Расчет методом конечного элемента высокой точности
невязкого обтекания модельного крыла в условиях образования тонкого льда //
Труды МАИ. – 2018. – 98.
Автор выражает благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. Волкову
Андрею Викторовичу, заведующему кафедры компьютерного моделирования
МФТИ д.т.н. Боснякову Сергею Михайловичу, а также преподавателям кафедры
д.ф.-м.н. Власенко В.В., к.ф.-м.н. Вороничу И.В. и к.ф.-м.н. Трошину А.И. за
постоянное внимание к работе и полезные советы при обсуждении результатов.
12
Глава 1. Аналитический обзор источников литературы
В настоящее время вопрос об обледенении конструкции гражданского
самолета является признанной серьезной проблемой в области авиации [3-7].
Обледенением называется образование льда на критических частях воздушного
судна. Условием появления льда в полете является наличие отрицательных
температур равновесия капель воды на обтекаемой поверхности самолета [8].
Действительно, атмосферный воздух содержит водяные взвеси в трёх фазах
(жидкой, парообразной и кристаллической). Поэтому самолет, летящий на
дозвуковой скорости сквозь облака, может быть подвержен обледенению, которое
снижает безопасность полета [9]. Переохлажденные капли воды, попадая на
носовую часть фюзеляжа, переднюю кромку крыла, обечайки двигателя, при
определенных условиях замерзают, что приводит к ухудшению аэродинамических
характеристик, увеличению веса, а также перерасходу топлива [10]. Например,
«появление льда толщиной в 13 мм на передних кромках крыльев приводит к
снижению скорости полета на 56 км/ч и значительному изменению скорости
сваливания в штопор» [8]. Это настолько серьезное ухудшение аэродинамических
характеристик, что вопрос об увеличении веса самолета даже не рассматривается
при подобных обстоятельствах, как серьезный фактор [11]. Остановлюсь на этом
вопросе подробнее. Проблема обледенения создает серьезную проблему для
безопасности полетов гражданских самолетов во всем мире. Согласно
статистическим данным организации «Британское управление гражданской
авиации» более 50% летных происшествий произошло из-за обледенения
элементов мотогондол двигателей, фюзеляжа или крыла [5, 11]. При этом 20%
случаев обусловлены образованием льда при взлёте. Обледенение
характеризуется интенсивностью отложения льда или скоростью нарастания льда
на поверхности тела. В зависимости от интенсивности различают три типа
обледенения [8, 12]:
13
• Слабое – когда скорость нарастания льда меньше 0.5 мм/мин. При этом
лёд на поверхности тела может быть удалён противообледенетельной системой.
По этой причине появление льда не приводит к серьёзной опасности [8, 12].
• Умеренное – когда скорость нарастания льда равна 0.5 – 1.0 мм/мин. С
такой скоростью типичная противообледенетельная система обеспечивает лишь
ограниченную защиту. В работах [8,12] написано: «Лед продолжает
накапливаться на поверхности, но интенсивность отложения льда еще
недостаточна для того, чтобы серьезно повлиять на безопасность полета, если
самолет не находится в этих условиях в течение длительного периода времени».
• Сильное – когда скорость нарастания льда больше 1.0 мм/мин.
Попадающие на поверхность капли воды быстро замерзают. При этом
противообледенительная система неспособна защитить воздушное судно.
Скорость нарастания льда настолько велика, что изменяется форма важных
элементов, таких, как крыло. Это вызывает заметную потерю скорости и высоты
полета самолета. Такой тип обледенения является критическим с точки зрения
безопасности полета [8, 12].
Важно отметить, что в зависимости от условий атмосферы (температуры
влажности воздуха, размер капель) и параметров полета (скорости и высоты) лед
на поверхности летательного аппарата образуется в разных формах. При этом в
литературе выделяются следующие виды формы обледенения [5, 8, 11]:
• Белый лед – образуется при полете в облаках, содержащих мелкие капли
воды, при температуре от минус 10 до минус 25 0С. Капли воды быстро замерзают
при ударе о поверхность, температура равновесия на поверхности при этом ниже
температуры замерзания Tice = 273.15 K. Наличие вкраплений воздуха между
каплями смерзшейся воды окрашивает его в белый цвет. Белый лёд имеет слабую
фактуру. Он слабо пристает к поверхности самолета и при вибрации в полете этот
лед легко удаляется и улетает с потоком газа. Однако при длительном полете в
подобных облаках (более 1 ч) белый лед накапливается и уплотняется, что
приводит к увеличению толщины льда до опасных размеров. При этом основная
опасность заключается в изменении АДХ крыла [5, 8, 11].
14
• Прозрачный лед – образуется по поверхности обтекаемого тела при полете
в облаках, содержащих крупные капли воды (диаметр больше 20 μм), при
температуре от 0 до минус 10 0С. В начале стадии обледенения поверхность тела
гладкая и почти не искажает форму несущих поверхностей. Но при длительном
нарастании льда обтекаемая поверхность становится бугристой, что приводит к
серьезной опасности из-за изменений аэродинамических характеристик крыла.
Следует подчеркнуть, что подобный лёд трудно поддается удалению [5, 8, 11].
• Матовый или смешанный лёд – это комбинация прозрачного и белого
льда. Он формируется в облаках, состоящих из снежинок и капель воды
различного размера при температуре от минус 5 до минус 15 0С. Крупные капли
воды растекаются на соседние области. Маленькие капли быстро замерзают. При
этом снежинки налипают на замерзающую водяную плёнку и вмерзают в нее. В
итоге формируется лёд матового цвета. Наличие такого льда значительно
ухудшает аэродинамические характеристики самолета. Это наиболее опасный вид
обледенения [5, 8, 11].
• Иней – образуется при температуре влажного воздуха около нуля. Обычно,
иней появляется в момент стоянки самолета на земле или во время посадки и
взлёта. Иней легко удаляется под воздействием воздушного потока и вибрации
самолёта. Однако опасностью является появление инея в области кабина лётчика,
которое затрудняет зрительное наблюдение и управление самолетом при
выполнении посадка или взлёта [5, 8, 11].
Из перечисленных выше видов обледенения наиболее часто встречается
матовый лед, когда полет проходит в переохлажденных облаках, где
присутствуют капли различных размеров [5, 8, 11].
Для защиты от обледенения используются различные
противообледенительные системы (ПОС) [13-14]. При производстве ПОС
требуются наличие детальной информации об уровнях затрачиваемой энергии
теплообмена на единицу площади защищаемой поверхности. Для этого
производится учет всех особенностей местной аэродинамики и интенсивности
происходящих при работе ПОС процессов. Кроме того, при различных режимах
15
полета реализуются различные режимы работы ПОС вследствие влияния
коэффициентов захвата поверхностей летательного аппарата на процессы
теплообмена в приборах. В настоящее время существуют несколько типов ПОС,
например механические, тепловые или комбинированные [8], [13-15].
Механические ПОС удаляют лёд с поверхности самолета при помощи
пульсирующих резиновых воздушных камер, установленных в местах
обледенения. Возможно применение вибрации обшивки под воздействием
электромагнитного поля. Тепловые ПОС основаны на принципе постоянного или
пульсирующего обогрева поверхности летательного аппарата. Комбинированные
устройства используют сочетание описанных выше принципов. Наиболее широко
применяются воздушно-тепловые и электротепловые ПОС [8], [13-15].
Над решением проблемы защиты самолетов ото льда работают ученые во
многих странах мира. В 1940-х и 1950-х годах были реализованы
экспериментальные и летные программы, которые заложили фундамент этой
сложной науки. Концепции того времени до сих пор широко используются на
практике. Тем не менее, в последнее время был достигнут значительный прогресс
в практических знаниях о процессах теплообмена. Он был обусловлен началом
компьютерной эры и связан с появлением мощных компьютеров серии Cray в
конце 1970-х годов [16]. Тем не менее, ранние работы Hardy (1946) [17], Messinger
(1953) [18] и Ludlam (1951) [19] сыграли свою роль при разработке
математических моделей, которые и были реализованы на компьютерах. Кроме
того, они представляют собой важную основу физического анализа процессов
обледенения самолета. Безусловно, ранние работы выполнялись в условиях
ограниченных вычислительных ресурсов и посвящались изучению упрошенных
физических моделей. В основном они были построены в двумерном
приближении. Характерным являлся поиск аналитических решений, которые
были особенно наглядными при работе с такими телами, как цилиндр или сфера
[20]. Позднее появились примеры исследования более типичных для авиации
геометрий, например, аэродинамический профиль и крыло [21].
16
Основной вклад в развитие науки об обледенении в авиации внесли
исследовательский центр NASA Lewis (NASA Lewis Research Center), а также
Королевское аэрокосмическое общество (Royal Aerospace Establishment – RAE)
Великобритании. В начале 1980-х годов французский научный институт (Office
National d’Etudes et de Researches Aerospatiales – ONERA) присоединился к этому
содружеству грандов аэродинамики и их сотрудничество оказалось очень
продуктивным. В последующее десятилетие произошло формирование
большинства программ, которые привели к созданию методов и теорий широко
используемых до настоящего времени. С начала 1990-х годов количество
институтов, занимающихся вопросами обледенения самолета, резко возросло.
Данной темой заинтересовались в Италии, Испании, Германии и Канаде. Именно
в этот период появился Канадский программный продукт FENSAP-ICE [22],
который сейчас лидирует среди средств анализа обледенения второго поколения
[16, 22]. В России также занимались указанной темой. Так, в 1957-ом году была
опубликована работа Мазина И.З. [23], которая стала значительным этапом
развития теории нарастания льда. В указанной работе рассмотрено влияние
микрофизических параметров облаков и режима полета на интенсивность
обледенения. Приведенные данные заинтересовали в первую очередь
метеорологов, синоптиков и работников авиации, занимающихся вопросами
борьбы с обледенением в процессе эксплуатации самолетов [23]. При этом
полезными оказались и ранние работы Мессингера (Messinger) [18], которые
легли в основу упрощенных моделей. Основной недостаток указанных моделей
состоит в том, что они не учитывают остающиеся при замерзании капли воды,
которые могут растекаться по поверхности самолета. Как следствие, модели
Мессингера и Мазина могли применяться только при очень низких температурах,
когда вся вода мгновенно замерзала. Тем не менее, определенная польза от них
была. Они использовались для оценки вероятности появления льда и
интенсивности роста отложений в критических частях поверхности самолета.
Разработка и создание противообледенительных систем является сложной
научной и инженерной задачей. Типичный подход к анализу проблемы
17
обледенения самолета начинается с разделения задачи на шаги. Первый шаг
заключается в определении степени влияния скорости потока на скорости капли
вблизи омываемой поверхности, скажем, крыло или фюзеляж. Этот шаг требует
подготовки исчерпывающей информации о значениях параметров сухого газа,
траекториях полета и концентрации капель. На втором шаге решается задача
термодинамики процесса образования льда. Определяется сколько тепла
необходимо отобрать у воды, чтобы она замерзла. При этом дается прогноз о
расположении «полюса» в котором падающие капли будут замерзать и
накапливаться. Как естественное продолжение указанной процедуры,
определяется форма льда при выполнении условия температурного равновесия и
критические точки на поверхности, где указанное равновесие достигается.
Следует отметить, что упомянутая выше расчетная температура отличается от
адиабатического аналога из-за процесса теплообмена с потоком «сухого» газа.
Оба шага физического анализа являются необходимым этапом при создании
элементов защиты поверхностей самолета от нарастания льда.
В конечном счете, авиаконструктор хочет знать, какое влияние ледяной
«панцирь» окажет на аэродинамическое качество самолета. В настоящее время
существует мнение, что современный самолет должен безопасно летать даже при
наличии льда. При этом говорят о компромиссе для некритических поверхностей,
когда в конструкцию закладывается возможное увеличение толщины льда на
указанных поверхностях. Инженер-конструктор оперирует методом «штрафных
функций» и вычисляет «цену», которую приходится платить за соблюдение
необходимого уровня безопасности. Кроме того, проектировщик демонстрирует
способность самолета к продолжительному безопасному полету в течение
определенного времени даже в том случае, когда ПОС отключилась [16]. Здесь
используются различные критерии, в том числе и критерий по форме льда,
который строго проверяется при сертификации воздушного судна.
В настоящее время рассматриваются различные подходы к
экспериментальному, численному и теоретическому исследованию физических
особенностей обледенения. При этом приоритет отдается летным испытаниям,
18
которые дают надежные, но чрезвычайно дорогие результаты. Численное
моделирование также имеет значительную цену, так как необходимо применять
суперкомпьютеры. Основное преимущество численных результатов – это
наглядность и удобство использования. Не смотря на это, основные данные
получаются в результате «трубного» эксперимента. Для его проведения
используют дорогостоящее оборудование, к примеру, охлаждаемые
высокоскоростные аэродинамические трубы. Особая сложность заключается в
имитации атмосферных осадков [11]. Первые эксперименты были проведены в
1950-х годах в NACA [24]. Тогда же был разработан трейсер-метод (dye-tracer
technique) с использованием красок для измерения локальных и полных
коэффициентов захвата капель воды. В 1985, 1997, 1999 годах были проведены
серии экспериментальных работ по изучению обледенения на моделях крыльев с
профилями MS(1)-0317, NACA65-015, NLF(1)-0414, а также крыла самолета
Боинг 737 с профилем NACA64A008 [24]. Экспериментальные данные были
сопоставлены с результатами численных исследований. Для разработки
компьютерных программ применили два подхода. Первый подход был
сформулирован в рамках теории Лагранжа. Капли рассматривались изолировано
друг от друга, и для каждой из них строилась траектория полета. Это дало
наглядный трехмерный результат. Стало ясно, куда направлен основной поток
воды. Но ничто не дается даром. Для получения результата потребовалось
применение достаточно мощных компьютеров. Тем не менее, были разработаны
такие программы, как LEWICE 2D [25], ONERA [26], TRAJICE-2D [27], CANICE
[28], 2DFOIL-ICE [29]. Другим является Эйлеровский подход. Он ближе всего к
методам, используемым для двухфазных потоков. Моделировалось движение
водной взвеси, которая испытывала силы тяжести, Архимеда и
аэродинамического сопротивления. Распределение массовой плотности капель
водяной взвеси в потоке определялось путем решения системы уравнений
водности, которые подробно описаны в главе 2 данной работы. Недостатком
такого подхода явилось то, что фактически приходится разрабатывать две
программы. Одна из них предназначается для «сухого» газа, а другая – для водной
19
взвеси. Это требует постановки двух типов граничных условий и задания двух
типов начальных полей. При этом расчет «сухих» полей проводится только один
раз. Это позволяет существенно экономить компьютерные ресурсы. Результаты
водного расчета дают детальную информацию о массовой плотности
распределения капель водяной взвеси вблизи поверхностей исследуемого тела и
широко применяются на практике. Описанный подход реализован в программных
продуктах ZEUS [30], FENSAP-ICE [22], DROP3D [31].
Интересно отметить, что программы [25-29] содержат аналитические
модели процесса замерзания капель воды, попадающих на поверхность тела.
Траектории полета капель рассчитываются по предварительно полученным
аэродинамическим полям. Во всех случаях решаются двумерные уравнения. С
другой стороны, в программе DROP3D применяется метод конечного элемента
SUPG [32], который позволяет детально описывать поля водности. Программа
FENSAP-ICE [22] содержит несколько модулей решения задачи обледенения,
включая модуль для расчета поля течения сухого газа. Представляет интерес
модуль DROP3D для решения задачи в рамках системы уравнения водности, а
также модуль ICE3D для термодинамической оценки процесса нарастания льда.
Главные отличия между указанными выше программами [25-29] заключается в
способе проведения вычислений. Так, в ряде случаев поле течения сухого газа
получается в приближении потенциального течения. При этом возникают
проблемы с точностью определения точки отрыва потока и, как следствие,
ошибкам при определении коэффициентов теплопередачи. Ситуация улучшается
в тех случаях, когда применяются уравнения Навье-Стокса. Но соображения
оперативности берут верх и «быстрые» программы применяются чаще, чем
«медленные», несмотря на потерю точности расчета. Важным является фактор
интегрирования результатов. Так, в программе FENSAP–ICE эффективность
обеспечивается расчетом коэффициента теплоотдачи интегрированием в
пограничном слое (Integral boundary layer method) [18, 20, 25-28]. По этому методу
коэффициент теплоотдачи в ламинарном и в турбулентном слоях определяются
по разным формулам. Эти формулы основаны на эмпирических данных и зависят
20
от точки ламинарно-турбулентного перехода. Значительное влияние оказывают
интегральные толщины пограничного слоя и коэффициенты шероховатости.
Поэтому для получения надежных результатов приходится применять мелкие
сетки, особенно в пограничном слое. Проблема усложняется в случае сложных
геометрией, например, компоновок самолета. В ряде случаев не удается указать
зону ламинарно-турбулентного перехода, а толщина пограничного слоя вообще
не поддается расчету. Частично указанные проблемы решены в программе ZEUS
[30], которая разработана для расчета поля течения сухого газа. Применяются
уравнения Навье-Стокса, осредненные по Рейнольдсу. В программе реализуется
блочный подход к построению расчетной сетки. Это позволяет выделять блоки, в
которых расположены пограничные слои и оценить их толщины [33-37]. На
основе этой программы создан специальный модуль, предназначенный для
расчета течения мелкодисперсной водяной взвеси. Программа дает надежные
результаты, согласуется с экспериментом, но работает только на грубых сетках
[38]. Это связано с тем, что уравнения водности являются параболическими и
дают ошибочное решение в застойных зонах. Искусственная вязкость
компенсирует указанный недостаток, но при измельчении сетки ее влияние
ослабевает, и эффекты неустойчивости берут верх над стабильностью.
Наряду с полной постановкой задачи об образовании ледяных наростов,
решение которой является чрезвычайно трудным и затратным, рассматриваются
упрощенные подходы, разработанные в рамках теории о начальной стадии
обледенения. При этом внимание фокусируется на некоторых критически важных
участках поверхности самолета, например, на местах установки датчиков,
измеряющих параметры полета. Они являются критически важными объектами
для безопасного полета. Ранее упоминался случай катастрофы самолета Ан-148,
который разбился из-за обледенения датчиков приема полного давления (трубок
Пито). И таких примеров можно провести десятки. Для предотвращения
указанных ситуаций необходимо проводить расчетный анализ термодинамики
нарастания льда. При этом следует учитывать состояние фаз капель воды в
критических зонах поверхности. Также играют роль такие параметры, как
21
скорость отложения льда, температура равновесия, доля замерзшей воды и.т.д.
Следует отметить, что с практической точки зрения наряду с полным
обледенением важен промежуточный этап. Необходим учет концентрации
водяных капель в поле течения около самолета в тех случаях, когда происходит
частичное замерзание. Учет состояния фазы воды на поверхности дает
однозначный ответ на поставленный вопрос. Цель данной работы заключается в
том, чтобы изучить физику процесса с учетом всех возможных фаз и применить
полученные знания на практике.
Для решения поставленной задачи пришлось разработать принципиально
новый математический аппарат, свободный от недостатков, вызываемых
параболической природой уравнений. Для этого проведена гиперболизация
системы уравнений водности. Пришлось также решить задачу кардинального
повышения точности расчета. Для этого использован метод Галеркина с
разрывными базисными функциями (РМГ) [39-42] повышенной точности. Кроме
того, применено оригинальное преобразование, позволившее перейти в
ортонормированный базис, с последующей экономией памяти компьютера и
времени расчета. Привлекательность указанного метода обусловлена также его
общностью, гибкостью и надежным теоретическим базисом [43-48]. Это
подтверждается как теоретически, так и сопоставлением результатов расчета с
экспериментальными данными [21], [24]. После получения поля водности и
распределения капель воды на поверхности, использована модель теплового и
массового баланса и на ее основе проведены расчеты термодинамики нарастания
льда. Это позволило провести анализ физических особенностей нарастания льда
(температура равновесия и скорость отложения льда) на поверхности самолета в
начальной стадии обледенения.
Проведённый анализ источников литературы показывает, что в настоящее
время исследование проблемы обледенения по-прежнему является актуальной и
перспективной задачей.
22
Глава 2. Постановка задачи обтекания самолета воздухом с водяной взвесью
Как сказано выше, для решения задачи обледенения поверхности, прежде
всего, требуется узнать количество капель воды и их скорость во влажном потоке.
Эта информация содержится в так называемом коэффициенте захвата.
Существуют два подхода к его вычислению – Эйлера и Лагранжа. Коэффициенты
захвата получаются путём интегрирования уравнений движения капель воды под
действием аэродинамических сил. В данной главе рассматриваются
математическая постановка задачи, система уравнений и численные методы ее
решения.
2.1 Система уравнений водности движения водяной взвеси
Рассмотрим основные уравнения, описывающие изменение массового
содержания капель водяной взвеси в воздушном потоке. Воспользуемся законами
сохранения массы и импульса с учётом следующих допущений [49]:
капли воды должны иметь сферическую форму с фиксированным
диаметром;
коагуляция и дробление капель воды не допускаются;
капли воды не оказывают влияния на поток воздуха;
процессы испарения, тепловой и массовый обмен между каплями и
окружающим газом отсутствуют;
в уравнениях движения капель воды учитываются только силы
сопротивления и тяжести.
Введем понятие плотности водяной взвеси, рассматривая ее как сплошную
среду. Под плотностью или массовым содержанием капель водяной взвеси (в
англоязычной литературе используется термин LWC – liquid water content) в точке
потока будем понимать предел отношения массы капель M к величине объема Ω,
в котором они находятся при стремлении объема к нулю
/lim0M . Скорость
23
движения водяной взвеси u(t, x, y, z) в некоторой точке будем полагать равной
среднемассовой скорости движения капель. Уравнение неразрывности для
рассматриваемой водяной взвеси получено из условия сохранения массы водяных
капель m в выделенном неподвижном объеме Ω:
dvm
Изменение массы водяных капель равно потоку их через границу области ∂Ω:
nVd
t
m
0
nVddvt
Используя формулу Гаусса-Остроградского, последнее выражение можно
переписать в виде:
0
dvdvt
u
Учитывая данное соотношение справедливо для любого объема Ω, получим
значение интеграла в виде:
0
u
t. (2.1)
На сферическую каплю водяной взвеси, движущуюся в потоке воздуха,
действуют сила аэродинамического сопротивления и сила тяжести (в такой
постановке пренебрегаем силой Архимеда). Силу аэродинамического
сопротивления определим с использованием эмпирического значения
коэффициента волнового сопротивления cD [50]:
DD2
1cArra uuF ,
где ur = u - ua – вектор скорости капли воды относительно подвижного
окружающего воздуха, который имеет плотность ρa и вектор скорости ua.
Площадь поперечного сечения сферической капли диаметром d равна величине
A = π(d/2)2. Далее, сделаем очевидное преобразование и получим:
24
rcd uF dDD Re8
,
где
ra d udRe – это число Рейнольдса, рассчитанное по параметрам
локального относительного потока. Обратим внимание на то, что плотность
потока ρa и динамическая вязкость μ определяются по параметрам «сухого» газа, а
скорость ur равна относительной скорости капли воды. Для расчета коэффициент
сопротивления cD воспользуемся одним из известных эмпирических
соотношений, например, формулу Habashi [22]:
1300Re для4.0
1300Re дляRe15.01Re
24
d
d0.687d
dDc
или формулой Hospers [51]:
1000Re для4.0
1000Re дляRe106.2Re0197.01Re
24
d
d1.38d
40.63d
dDc
или совсем простой формулой Приходько [11]:
25.0Re3.6Re
12.21 0.5-d
d
D c
и, наконец, вспомним, что существует подход Очкова [52]:
576Re для0.5
576Re4 дляRe
12
4Re дляRe
24
d
d
d
d
d
Dc
Сопоставление показывает, что все формулы дают близкие результаты.
Исключение составляет соотношения Hospers, которые приводят к
существенному отклонению кривой на графике (см. рисунок 2.1). Тем не менее,
оптимально использовать подход Habashi, который имеет наилучшее
экспериментальное обоснование и удовлетворяет предельному переходу к
формуле Стокса d
D0Re Re
24lim
d
c .
25
Рисунок 2.1 – Зависимость коэффициента сопротивления от числа Red
Наряду с силой сопротивления на каплю действует сила тяжести. Она
рассчитывается по простой формуле:
gF
3
G23
4
dw
После определения основных сил, выпишем уравнение импульса водяной
взвеси. Для произвольной выделенной массы воды, заключенной в объеме dΩ,
скорость изменения импульса равна сумме всех действующих на нее сил. Вода в
объеме состоит из N капель диаметром d. Напомним, что на все капли действуют
силы FD, FG. Легко подсчитать, что суммарная сила сопротивления оценивается
величиной F1 = N FD. Аналогично, для силы тяжести имеем F2 = N FG. В
результате имеем, что сумма силы в контрольном объеме равна: F = F1 + F2.
Кроме того, известно соотношение для расчета массы каждой капли, которое
записывается в виде
3
wкапля23
4
dm , где ρw = 1000 кг/м
3 – плотность воды. С
другой стороны, принимая во внимание определение водности ρ, получим для
26
контрольного объема dΩ соотношение ρ = N mкапля / dΩ, из которого следует, что
w
3
капля
23
4
d
d
m
dN . Находясь в рамках теории Эйлера к описанию движения
водной взвеси, мы рассматриваем капли воды в воздухе, как сплошную среду.
Поэтому для получения суммарных сил F1, F2 необходимо провести
интегрирование. В результате получим для силы сопротивления:
d
d
ccd
d
dr
w
r uuF2
dDdD
w
31
Re
4
3Re
8
23
4
Для силы тяжести запишем аналогичное соотношение:
d
d
d
dw ggF
3
w
3223
4
23
4
В результате получим, что:
d
d
cd
dt
dr guuF
2
dD
w
Re
4
3 (2.2)
Рассмотрим импульс водяной взвеси в направлении Ox в рассматриваемом
объеме Ω:
dvupx
Изменение x компоненты импульса водяных капель в объеме Ω равно:
xx Fduudv
tt
p
nu
где сила Fx получается из формулы (2.2) в направлении Ox
Используя формулу Гаусса-Остроградского, последнее выражение можно
переписать в виде:
xFdvudvt
u
u
Учитывая данное соотношение справедливо для любого объема Ω, получим
значение интеграла в виде:
27
auud
cu
t
u
2
dD
w
Re
4
3
u (2.3)
Аналогично для направлений Oy, Oz. Предполагаем, что направление Oz
перпендикулярно земле, поэтому надо учитывать силу тяжести. Наконец, полная
система уравнений импульса получается в виде:
guuuuu
ac
tf (2.4)
где 2
w
dDf
Re
4
3
d
cc
– это комбинированный коэффициент сопротивления капли
воды в потоке газа. Величина cf имеет физический смысл только в том случае,
если скорость капли отличается от скорости потока «сухого» газа.
С целью упрощения пренебрегаем силой тяжести, так как она невелика по
сравнению с сопротивлением. Это можно увидеть при проведении следующих
сопоставлений. Запишем отношение сил сопротивления и тяжести:
r
r c
dd
cd
ug
g
u
F
F dD
2
w
3
w
dD
2
1 Re1
4
3
23
4
Re8
(2.5)
Воспользуемся тем, что ρw = 1000 кг/м3, g = 9.81 м/с
2. Подставляя эти
значения в (2.5) получим:
65
G
D 1010~ F
F
В результате упрощений уравнение импульса (2.4) запишется в виде:
act
uuuuu
f
Если добавить уравнение сохранения массы, то система уравнений водности
представится в окончательном виде:
act
t
uuuuu
u
f
0
(2.6)
28
2.2 Анализ свойств системы уравнений водности
Система уравнений водности (2.6) не является гиперболической, у нее не
удается найти полной системы линейно независимых собственных векторов. Этот
факт широко обсуждался в литературе [53-54]. Предлагались различные пути
гиперболизации упомянутой системы. Например, в работе [53] предложено
добавить к обеим частям уравнения импульса некоторый член ρ2, не имеющий
физического смысла. В результате система уравнений водности, записанная в
трехмерном пространстве, преобразуется к виду:
z
wwcz
w
y
vw
x
uw
t
w
yvvc
z
wv
y
v
x
uv
t
v
xuuc
z
wu
y
vu
x
u
t
u
z
w
y
v
x
u
t
a
a
a
2
f
22
2
f
22
2
f
22
0
Предварительный анализ показывает, что величина ρ2 не удовлетворяет
условию сохранения физической размерности задачи, так как отличается от
размерности ρu2. Существует подход, когда величину ρ
2 интерпретируют, как Cρ
2,
где C = 1 м5/(кг с
2), но никто не знает, какой физический смысл имеет величина C.
Кроме того, возникает закономерный вопрос, а почему применяется именно ρ2, а
не какой-нибудь другой член, например ρ3. Существуют и другие подходы. В
статье [54] предлагается добавлять к левой и правой частям уравнений импульса
(2.6) члены вида ρgd, где g - гравитационная сила, d - диаметр капли воды. Это
приводит к очевидным трудностям. Так, при решении задачи обтекания тел
воздушным потоком с водяной взвесью всегда существуют зоны, куда капли
взвеси не попадают. Там должно выполняться физически понятное условие ρ=0.
Это немедленно приводит к обнулению добавленных членов и прекращению
работы гиперболизации. Кроме того, в решении, вследствие ошибок, появляются
зоны с условием ρ < 0. Это также приводит к проблемам с гиперболизацией
уравнений. В данной работе предлагается другой путь, который свободен от
указанных недостатков.
29
2.3 Гиперболизация системы уравнений водности
Как было отмечено в предыдущем разделе, гиперболизация системы
уравнений водности является принципиально важным этапом решения
поставленной задачи. По этой причине, в данной работе представлен подход,
разработанный в работах [55-56].
Анализ системы уравнений (2.6) показывает, что в ней отсутствует
критически важный член статического давления. Поэтому в данной работе
делается попытка устранить этот существенный недостаток. К обеим частям
уравнения импульса добавляется давление p, которое в случае течения водяной
взвеси в каждой точке пространства определяется в виде суммы:
da ppp
где pa и pd – соответственно парциальные давления газа и водяной взвеси.
Используя формулу Менделеева – Клапейрона получим:
TM
R
V
mp
M
RTmVp
a
aa
a
aa ; T
M
R
V
mp
M
RTmVp
d
dd
d
dd
где ma, md – масса газа и водяной взвеси в определенном контрольном объёме Ω;
Ma, Md – молярная масса газа и капель воды, Ma = 28.96442 г/моль,
1816212
OHd MM г/моль; T – температура окружающего воздуха.
Предполагается, что температура газа T и температура водяной взвеси равны, а R
– универсальная газовая постоянная, R = 8314 Дж/(моль К). В результате
получим:
TRTTm
p aaaa
a
09.28796.28
8314
TRTTm
p ddd
d
89.46118
8314
Напомним, что Ra = 287.09, а Rd = 461.89. Исходя из этого добавим pd = ρRdT
в левую и правую части системы уравнений (2.6). В результате,
модифицированная система уравнений будет иметь вид:
USFFFU
zyxt
zyx (2.7)
30
где
w
v
u
U ,
uw
uv
TRu
u
dx
2
F ,
vw
TRv
vu
v
d
y
2F ,
TRw
wv
wu
w
d
x
2
F ,
Tfff /,/,/,0 zpwwcypvvcxpuuc dadada S
Легко заметить, что в левой части системы (2.7) мы видим «классическую»
запись, характерную для уравнений Эйлера. Предположим, что предварительный
расчет обтекания исследуемого тела уже выполнен. Это может быть течение
невязкого газа, описываемое полной системой уравнений Эйлера или более
сложное вязкое течение, описываемое уравнениями Навье Стокса. В результате
предварительного расчета мы получаем температуру окружающего воздуха T и
поле исходных скоростей сухого газа, которое используется в источниковом
члене S и в потоке F = [Fx, Fy, Fz]T.
Для того, чтобы оценить итоги гиперболизации, проведем
характеристический анализ получившейся системы уравнений в одномерной
постановке:
0
xt
xFU
где:
4
3
2
1
u
u
u
u
w
v
u
U ,
142
132
12
122
2
22
/
/
/
uuu
uuu
uauu
u
uv
uv
au
u
x
F ;
Вводим некоторую величину, которую условно называем скоростью звука и
обозначаем, как TRa d . После несложных преобразований выпишем матрицу
Якоби A указанной системы, а также ее собственные числа и вектора:
uwwu
uvvu
uua
uuuuuuu
uuuuuuu
uuuuax
0
0
002
0010
/0//
0///
00/2/
001022
12142142
12132132
1221
22
2
U
FA
31
Решая уравнение A − λE = 0, легко получит 4 собственные числа λ1 = u – a;
λ2 = λ3 = u; λ4 = u + a и, соответственно, найти полную систему линейно
независимых собственных векторов:
w
v
au
1
1K ,
1
0
0
0
2K ,
0
1
0
0
3K ,
w
v
au
1
4K
Соответственно, приближенное решение задачи о распаде произвольного
разрыва запишется в виде:
22
LRRL UUA
FFF
xx
x
В последней формуле имеется матрица ||A|| = T||Λ||T-1
, где Λ -
диагональная матрица. У этой матрицы на диагонале стоят модули собственных
чисел - |λ1|, |λ2|, |λ3|, |λ4|. В свою очередь T - это матрица, столбцами которой
являются собственные векторы T = [K1, K2, K3, K4]. В дополнение отметим, что
FxL, FxR - потоки на левой и правой границах ячейки по направлению x, а UL, UR -
консервативные переменные на левой и правой границах ячейки в задаче Римана.
По постановке Roe параметры u, v, w появляющиеся в матрице ||A||, вычисляются
по осредненным величинам:
RL
RRLL
uuu ,
RL
RRLL
vvv ,
RL
RRLL
www (2.8)
Это очень удобно, так как решение записывается в конечном виде. Однако,
при решении реальных задач следует ожидать, что появляются зоны, куда капли
воды не попадают. Там должно выполняться физически понятное условие ρ=0, из
которого следует, что в формуле (2.8) появляется «деление на ноль», что
неприемлемо. Поэтому, при вычислении матрицы ||A|| можно использовать
простейший подход, который свободен от указанного недостатка. Он
записывается в виде [55-56]:
2
RL uuu
,
2
RL vvv
,
2
RL www
32
и позволяет замкнуть задачу.
На втором этапе для преодоления проблемы, которая связана с появлением
областей с отрицательной водностью в решении ρ < 0. Воспользуемся свойством
функции логарифма и введем новую переменную r = lg ρ, т.е. ρ = 10r.
Преимущества такой замены переменной:
• логарифм может меняться в численном решении от -∞ до +∞, но при этом
гарантированно ρ = 10r > 0. В следе за телом, куда не попадают капли воды,
физическая плотность ρ должна равняться нулю. Поэтому численное решение
должно давать r << 0, что будет означать ρ = 10r << 1.
• логарифм по основанию 10 удобен тем, что графики и поля lg ρ будут
легко читаться. Например, если lg ρ ~ 1, то ρ ~ 101 = 10; если lg ρ~ -1, то
ρ ~ 10-1
= 0.1. Таким образом, десятичный логарифм показывает порядок
величины. Воспользуемся указанным свойством и выполняем замену переменной:
dreddd rrr 1010ln10 10ln
Переходим к новой переменной r в уравнении неразрывности (2.1) и
проводим следующие преобразования:
0101010
0
i
ir
i
r
i
r
i
i
x
u
xu
tx
u
t
(2.7)
0101010ln1010ln
i
ir
i
ri
r
x
u
x
ru
t
r
i
i
i
ix
u
x
ru
t
r
10ln
1
i
i
i
i
x
ur
x
ur
t
r
10ln
1 (2.8)
Переходим к новой переменной r в уравнениях импульса системы (2.6)
(пока без модификации):
S
ji
i
juu
xt
u
S
ji
r
i
jr
uuxt
u10
10
S
i
jri
i
irj
i
r
ji
jrr
jx
uu
x
uu
xuu
t
u
tu 1010
1010
10
33
S
i
jri
jr
i
ir
i
r
i
r
jx
uu
t
u
x
u
xu
tu 1010
(2.7) уравнение см. 0
101010
i
ijjaj
i
jijr
i
j
i
j
x
uuuuc
x
uu
t
u
x
uu
t
u
f10 S (2.9)
Умножим уравнение (2.9) на r и проводим некоторые простые преобразования
i
ijjajji
i
j
x
uurruucuru
xt
ru
10ln
1f
Теперь вносим модификацию pd для получения гиперболического оператора:
j
d
i
ijjajijji
i
j
x
p
x
uurruucrauru
xt
ru
10ln
1f
2
Наконец, получаем модифицированную систему в виде:
)(USFFFU
zyxt
zyx (2.10)
где
22
22
22
,,,
rarw
rwv
rwu
rw
rvw
rarv
ruv
rv
ruw
ruv
raru
ru
rw
rv
ru
r
zyx FFFU , TRa d
z
pwCrrwwc
y
pvCrrvvc
x
puCrruuc
Cr
da
da
da
u
u
u
u
S
div
div
div
div
1f
1f
1f
1
, 10ln
11 C .
Видно, что одномерная модифицированная система уравнений 0
xt
xFU
совпадает с исходной с точностью до замены ρ→r, поэтому матрица Якоби
потоков U
FA
x имеет такой же вид, как и раньше; у нее те же собственные
числа и собственные векторы.
34
2.4 Постановка задачи Коши для решения системы уравнений водности
Для постановки задачи Коши необходимо задать начальные и
сформулировать граничные условия. При этом необходимо учесть, что
фактически решается двухфазная задача. При этом развитие фазы водяной
дисперсии не влияет на развитие фазы сухого воздуха. Но обратное влияние
существует. Поле скоростей «сухого» газа необходимо предварительно
рассчитать для вычисления компонентов вектора источников S в системе
уравнений водности. В данной работе поле сухого газа получается путем решения
системы уравнений Навье-Стокса, которая имеет следующий вид [35-36]:
0,
aa
aa
tGQF
QΓ (2.11)
Вектор примитивных переменных представлен, как Qa = [ρa, ua, va, wa]T;
Γa = ∂Ua/∂Qa – матрица Якоби преобразования от примитивных переменных Qa к
консервативным переменным Ua = [ρa, ρaua, ρava, ρawa, ρaEa]T. Вводится также
усеченный вектор примитивных переменных T' ,,, Twvu aaaa Q . Тогда
T' ,, zayaxaaa GGGQG , где:
T
,,,
x
T
x
w
x
v
x
u aaaxaG ,
T
,,,
y
T
y
w
y
v
y
u aaayaG ,
T
,,,
z
T
z
w
z
v
z
u aaazaG
Векторы потоков газа представлены в виде суммы конвективных и
диффузионных членов: diffconvaxaxax FFF ,
diffconvayayay FFF , diffconv
azazaz FFF . При
этом, векторы конвективных потоков газа вдоль осей x, y, z записаны в виде:
aaa
aaa
aaa
aaa
aa
ax
Hu
wu
vu
pu
u
2
convQF ,
aaa
aaa
aaa
aaa
aa
ay
Hv
wv
pv
uv
v
2convQF ,
aaa
aaa
aaa
aaa
aa
az
Hw
pw
vw
uw
w
2
convQF .
Векторы диффузионных потоков газа вдоль осей x, y, z:
35
x
zx
yx
xx
aaax
q
0
,diffGQF ,
y
zy
yy
xy
aaay
q
0
,diffGQF ,
z
zz
yz
xz
aaaz
q
0
,diffGQF .
где xazxayxaxxx wvuq , yazyayyaxyy wvuq ,
zazzayzaxzz wvuq
Замыкающие соотношения для системы уравнений Навье-Стокса являются
стандартными и выглядят, как:
• уравнение состояния pa = ρaRaT, где Ra = 287.065 Дж/(кг К) - газовая
постоянная для газа;
• полная энергия единицы массы газа:
12
222
TRwvuE aaaa
a , где γ = 1.4 для газа;
• полная энтальпия единицы массы газа:
12
222
TRwvuH aaaa
a
• динамический коэффициент молекулярной вязкости - формула Сазерленда
122
122273
2731072.1
5.1
5
T
T кг/(м с), где температура измеряется в градусах
Кельвина;
• компоненты тензора диффузионных потоков импульса, которые
представляют собой суммы вязких напряжений:
auaxa
axx ddiv
x
ua 3
22
3
22 GV
avaya
ayy ddiv
y
v
a 3
22
3
22 GV
awaza
azz ddiv
z
wa 3
22
3
22 GV
36
aa
vaxuayaa
yxxyx
v
y
uGG
aa waxuaz
aazxxz
x
w
z
uGG
aa wayvaz
aazyyz
y
w
z
vGG
где aaa wazvayuaxaa divd GGGV .
• компоненты вектора диффузионных потоков тепловой энергии:
Txa
apx
R
x
TC G
1PrPr
Tya
apy
R
y
TC G
1PrPr
Tza
apz
R
z
TC G
1PrPr
где Pr = 0.72 для газа.
2.4.1 Начальные условия
Формулировка граничных условий при решении системы уравнений Навье-
Стокса подробно описана в статьях [33-37]. Внешние границы расчетной области
считаются достаточно удаленным, а на твёрдых границах выполняется условие
прилипания потока [35-36]. Предполагается, что в начальное время расчетная
область заполнена газом с параметрами набегающего потока. Для получения
стационарного решения используется метод установления. Система уравнения
Навье-Стокса (2.11) решаются методом Галеркина с разрывными базисными
функциями [39-48]. В результате для произвольной ячейки получаем параметры
поля сухого газа Qa = [ρa, ua, va, wa, pa]T.
После того, как поле течения «сухого» газа получено, решается система
уравнений водности. Существуют три подхода к постановке начального условия в
задаче водности. В статьях [30, 38] предполагается, что в начальный момент
времени в расчетной области полностью отсутствуют капли воды, а на границе в
37
удаленной области постоянно существует «источник водной взвеси», который
распыляет капли, и со временем заполняет всю область течения. Это приводит к
стабильному решению задачи, но увеличивает время расчёта. С другой стороны, в
статьях [49, 51, 53] предполагается, что в начальное время в расчетной области
капли воды двигаются вместе с газом. Это означает, что начальные компоненты
скорости водяной взвеси равны скоростям окружающего газа и водность ρ равна
значению водности набегающего потока. С точки зрения физики процесса – это
ошибочная постановка, так как на капли воды не действует никакой силы и они
движутся вдоль линий тока. Это видно из соотношения FD=-cf(u-ua). В этом
случае процесс установления начинается вследствие рассогласования левой и
правой частей уравнения. В результате возникают начальные ошибки и капли
начинают двигаться с другой скоростью. Это приводит к появлению
сопротивления и началу процесса установления решения. Третий подход к
формулировке начального условия изложен в статьях [57], в которых
предполагается, что в начальный момент времени в окрестности твердой
поверхности капли воды отсутствуют. Это означает, что скорость водяной взвеси
и водности ρ равны нулю. Одновременно, в остальной области капли воды
двигаются со скоростью набегающего потока. В процессе установления капли
воды направляются в область «вакуума» вокруг твердого тела и постепенно
заполняют её.
В данной работе использован простой и понятный подход. Предполагается,
что в начальный момент времени в расчетной области капли воды двигаются со
скоростью набегающего потока и водность потока ρ равна водности набегающего
потока [55-56].
2.4.2 Граничные условия
Известно, что в расчетной области имеются три типа границ. Это твердая
поверхность, границы втекания и вытекания потока.
Обозначим входящую границу, как Γ-, а выходящую, соответственно Γ+. На
этих границах можно провести характеристический анализ. Кроме того,
38
обозначим Γ0 - как границу твёрдой поверхности (см. рисунок 2.2). Следует
отметить, что для анализа свойств системы уравнений на границах нам лучше
всего использовать оригинальную систему водности (2.6) без модификации,
которая проделывалась ранее. Проведем некоторые простые математические
преобразования (подробно написано в работах автора [55-56]) и получим систему
водности в виде:
GQSQFQ
,
t
где Q = [ρ, u, v, w]T – вектор первичных примитивных переменных водяной
взвеси, а T,, zyx GGGQG – набор векторов частных производных по
пространственным переменным:
T
,,,,
x
w
x
v
x
u
xx
G ,
T
,,,,
y
w
y
v
y
u
yy
G ,
T
,,,,
z
w
z
v
z
u
zz
G ;
F = [Fx, Fy, Fz]T – набор векторов потоков водности; Fx, Fy, и Fz – вектора потоков
вдоль осей x, y, z: Fx = [ρu, u2, uv, uw]
T, Fy = [ρv, vu, v
2, vw]
T, Fz = [ρw, wu, wv, w
2]
T;
u
u
uS
divwwwc
divvvvc
divuuuc
af
a
a
f
f
0
– вектор источниковых членов.
Рисунок 2.2 – Расчетная область
39
Рассмотрим уравнение 0
xt
xFQ и убедимся, что у него есть
трёхкратное собственное число λ1 = λ2 = λ3 = u, и в дополнение к этому, еще одно
собственное число λ4 = 2u. Указанным числам соответствуют четыре линейно
независимых собственных вектора.
Отсюда видно, что на внешней границе Γ у входящей линии тока
параметры водности равны параметрам набегающего потока (см. рисунок 2.3):
out , uuout
, vvout
, wwout
Рисунок 2.3 – Граничные условия на границе Γ-
Рассмотрим теперь граничные условия на границе Γ+. У выходящей линии
тока параметры на границе Γ+ равны параметрам в расчетной области,
прилегающей к границе (см. рисунок 2.4).
inout , inout uu , inout vv , inout ww
И, наконец, обсудим граничные условия на границе Γ0. На этой границе
имеется особая ситуация. Считается, что при движении капель к поверхности тела
они не отражаются, а проходят сквозь это тело (условие полной проницаемости).
Поэтому параметры водности на выходящей характеристике из границы Γ0
берутся из информации о состоянии поля течения в расчетной области,
прилегающей к этой границе (см. рисунок 2.5).
inout , inout uu , inout vv , inout ww
40
В случае движения капель по направлению от поверхности тела, для
входящей линии тока на границе Γ0 можно использовать следующие
соображения. Известно, что твёрдая поверхность (например, фюзеляж самолета,
крыла…) не является источником производства капель воды и поэтому не может
посылать дополнительные капли в поток. Это приводит к тому, что условие для
соответствующей характеристики обнуляются (см. рисунок 2.6).
0out , 0outu , 0outv , 0outw
Рисунок 2.4 – Граничные условия на границе Γ+
Рисунок 2.5 – Граничные условия на Γ0 при движении капель к поверхности тела
41
Рисунок 2.6 – Граничные условия на Γ0 при движении капель от поверхности тела
2.5 Численный метод и основные соотношения
Как упоминалось ранее, задача решается в предположениях теории
Лагранжа или Эйлера. При использовании теории Лагранжа каждая капля воды
движется в рассчитанном заранее поле течения сухого газа. Этим методом без
труда определяется весь путь ее движения и место попадания на поверхность. При
использовании теории Эйлера приходится решать двухфазные уравнения. Вода
движется в виде облака дисперсной жидкости, и цель расчета заключается в
определении ее плотности (см. уравнения 2.10).
Численные методы первого и второго порядка аппроксимации для решения
уравнений водности подробно описаны в работах [58-59]. В данной диссертации
делается новый шаг и разрабатывается метод повышенного порядка
аппроксимации в рамках подхода Эйлера. Все действия выполняются для
записанной выше системы уравнений водности и учитывают специфические
черты расчета двухфазных потоков. Распределение массовой плотности капель
воды в потоке рассчитывается методом решения системы уравнений (2.10),
которая легко преобразуется к векторному виду:
GQSQFQ
Γ ,
t
42
Вектор примитивных переменных имеет вид Q = [r, u, v, w]T. Γ = ∂U / ∂Q -
матрица Якоби трансформации от неконсервативных переменных Q к
консервативным U = [r, ru, rv, rw]T:
rw
rv
ru
00
00
00
0001
Q
UΓ .
Вводится G – векторов градиентов примитивных переменных
T,, zyx GGGQG , где
T
,,,
x
w
x
v
x
u
x
rxG ,
T
,,,
y
w
y
v
y
u
y
ryG ,
T
,,,
z
w
z
v
z
u
z
rzG
F = [Fx, Fy, Fz]T –вектора потоков водности; Fx, Fy, и Fz – вектора потоков
вдоль осей x, y и z:
ruw
ruv
pru
ru
dx
2
QF ,
rvw
prv
rvu
rv
d
x 2QF ,
d
x
prw
rwv
rwu
rw
2
QF
z
pdivwCrrwwc
y
pdivvCrrvvc
x
pdivuCrruuc
divCr
da
da
da
u
u
u
u
GQS
1f
1f
1f
1
, – вектор источников, 10ln
11 C
2.5.1 Расчетная область и особенности ее представления
Трехмерная область расчета D описывается областью Dh, которая является
объединением непересекающихся объемов Ωi: eN
i
ihD1
, где Ne - количество
элементов в расчетной области. В этой работе реализован вычислительный
43
подход, который включает в себя четыре типа элементарных объемов:
квадратичные и линейные тетраэдры; квадратичные и линейные шестигранники.
Изучим каждый из указанных объемов.
Линейный тетраэдр описывается координатами в 4-х вершинах. По этим
вершинам строится серендипово преобразование для указанного тетраэдра на
некоторый заранее определенный линейный аналог [0,1]×[0,1]×[0,1] (см. рисунок
2.7). Следует отметить, что происходит трансформация поверхностей и ребер.
Рисунок 2.7 – Преобразование стандартного тетраэдра в заданный линейный
Квадратичный тетраэдр представляется 10-ю точками (см. рисунок 2.8). В
добавок к 4-м вершинам, записываются координаты центров для 6-ти ребер.
Рисунок 2.8 – Преобразование тетраэдра в заданный квадратичный элемент
В первом из указанных случаев серендиповы преобразования имеют вид:
,,xx , ,,yy , ,,zz
44
Заметим, что функции x(ξ,η,ζ), y(ξ,η,ζ), z(ξ,η,ζ), записываются линейной
комбинацией базовых элементов: 1, ξ, η, ζ. Якобиан указанного преобразования
выглядит, как:
constV
zzzzzz
yyyyyy
xxxxxx
zzz
yyy
xxx
J
об
030201
030201
030201
6det
///
///
///
det
где Vоб – объем тетраэдра; (x0, y0, z0), (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) – координаты
четырех вершин тетраэдра. Качество построения якобиана исследуется
подстановкой всех вычисленных производных в выражение для J.
Во втором предложенном случае преобразование выполняется путем
перехода к квадратичному тетраэдру и описывается через 10-ть функций:
222111 F ;
122 F ; 123 F ; F4=ζ(2ζ-1);
145F ; 46 F ; 147F ;
148F ; 49 F ; 410 F
Это преобразование имеет квадратичную степень по отношению к базовым
членам ξ, η, ζ, а якобиан полученного преобразования имеет кубическую степень.
Преобразование рассмотренного треугольника [0,1]×[0,1] к грани линейного
аналога описывается полиномом 1-й степени. Другими словами, получается, что:
n
kjikji
J пл
020202
010101 2
///
///det S
zzyyxx
zzyyxx
zyx
zyx
где Sпл - площадь рассмотренного треугольника, n - нормальный вектор к грани,
(x0,y0,z0), (x1,y1,z1), (x2,y2,z2) - три вершины треугольника.
Преобразование рассматриваемого треугольника [0, 1] × [0, 1] к грани
квадратичного треугольника является полиномом 2 степени. Заметим, что
компоненты вектора J представляют из себя полиномы 2-й степени, см. таблицу
2.1.
Квадратичный и линейный шестигранники подробно описан в статьях [60-61].
45
Таблица 2.1 – Степени преобразований тетраэдра
Объект
Степень преобразования Степень якобиан
суммарная по одной
переменной суммарная
по одной
переменной
линейный тетраэдр 1 1 0 0
квадратичный тетраэдр 2 2 3 3
линейный треугольник 1 1 0 0
квадратичный треугольник 2 2 2 2
2.5.2 Особенности реализации численного метода
Методе конечных элементов имеет особенность, что в каждой ячейке сетки
решение восполняется линейной комбинацией внутри-ячеечных полиномов,
называемых базисными функциями φi(x):
fK
j
jj
1
xqQ
где T,,,wjvjujrjj qqqqq . Коэффициенты qj(t) являются неизвестными
функциями. Оговоренные выше полиномиальные базисные функции образуют
полный набор, другими словами, произвольный полином степени не
превосходящей K обязан записываться в виде линейной комбинации базисных
функций. Количество базисных функций должно равняться Kf. В трехмерном
приближении коэффициент Kf связан с наибольшей степенью базисного полинома
K выражением:
6
321
KKKK f . В виде базисных функций в
предлагаемой работе применяются
ортогональные функции [43].
Ортогональным называется
функции fK
ii 1 , если выполняются
условия ijji d , fKji ,1, ,
где δij - дельта Кронекера. При этом,
свойство единичности массовой
матрицы ijjiij d xxM
Рисунок 2.9 – Ячейка расчетной сетки
46
будет применено в дальнейших преобразованиях. Методология выполнения
ортогонализации ортогональных базисных функций подробно описана в статьях
[60-62]. Так, для нахождения временной зависимости коэффициентов qj каждое из
уравнений системы помножается на соответствующие базисные функции и
берется интеграл по объему ячейки Ω (см. рисунок 2.9):
dd
tii xGQSxQF
QΓ , ? fKi ,...,1 (2.12)
К полученному уравнению (2.12) применяется преобразование
FFF , а затем – соотношение Гаусса-Остроградского:
dd nAA , где Σ – площадь поверхности ячейки Ω, n – единичный
вектор внешней нормали к поверхности ячейки dΣ. В результате получается
соотношение:
dddd
tiiii xSxFxnFx
QΓ , fKi ,...,1
или
dddd
tiiini xSFxFx
QΓ , fKi ,...,1 (2.13)
где использованы обозначения:
Fn = F∙n=Fx nx+ Fy ny+ Fz nz
zyx
iz
iy
ixii
xF
xF
xFxFF
Уравнение (2.13) включает в себя объемные интегралы источников и
конвективных потоков, а также поверхностные интегралы на границах. Как и в
задачах аэродинамики в задаче водность важнейшими являются правила
вычисления переменных и потоков водности на границах и правила
аппроксимации источников. Эти методы изложены в пункте 2.5.3. Кроме того,
источники определяются через примитивные переменные Q и градиенты
примитивных переменных QG . Указанные градиенты рассчитываются
методом Bassi-Rebay 2 (BR2) [63-65], который подробно описан в пункте 2.5.4
данной работы.
47
Матрица Γ в стационарной задаче берется с известного временного слоя и
для простоты их параметры берутся в центе ячейки.
В конечном итоге, система уравнений водности для коэффициентов
разложения qj(t) получается из уравнения (2.13)
ddddt
diii
i SFnFMΓq
11
Напомним, что мы используемся ортогональные базисные функции, где
ijjiij xx M , поэтому матрица M становится единичной. В результате
получаем:
ddddt
diii
i SFnFΓq
1 (2.14)
2.5.3 Вычисление параметров на гранях ячеек
Отличительной особенностью метода конечного элемента РМГ является
применение отличающихся наборов базисных функций в разных ячейках сетки. В
этом подходе пространственное восполнение решения внутри ячейки обязательно
приводит к появлению разрывов на границах ячеек. Это заставляет прилагать
большие усилия для вычисления интегралов по всем поверхностям и объемам
сетки [61].
На грани текущей ячейки рассматривается два набора величин. первый из
этих наборов - QL - рассчитывается разложением примитивных переменных по
базисным функциям, расположенной слева от грани. Другой - QR - определяется
разложением примитивных переменных по базисным функциям в ячейке,
размещенной справа от грани. Одна ячейка – текущая, другая – соседняя [61].
Считается, что матрица и базисные функции выражения меняются при
переходе от одной Гауссовой точки к другой. Это заставляет вести расчет
раздельно. Для выбранной точки Гаусса xg внутри грани ячейки рассчитываются
значения:
fK
j
gjj
1
LLL xqQ и
fK
j
gjj
1
RRR xqQ . В дальнейшем применяется
48
алгоритм решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва. В результате,
консервативные величины записываются в виде:
2sign
2
LRRL UUA
UUU
n
В этой формуле
zz
y
y
xx
nsn
n nnnQ
F
Q
F
Q
F
Q
QFA
– матрица Якоби
потоков, 1signsign nnnn TΛTA , где Tn – матрица, со столбцами из правых
собственных векторов матрицы An, sign Λn - диагональная матрица с
диагональными величинами sign λi (λi - собственные числа матрицы An). Матрицы
An, Tn, и sign Λn вычисляются с применением алгоритмов из статей [55-56] по
формулам:
2
RL uuu
,
2
RL vvv
,
2
RL vvv
, zyxn nwnvnuV
Потоки рассчитываются по следующей формуле [66-67]:
22
nL
nR
nR
nL QUQU
AQFQF
QF
nnn
sn
В этой формуле
fK
j
gjj
1
Ln
LnL xqQ ,
fK
j
gjj
1
Ln
RnR xqQ
1
4
3
2
1
000
000
000
000
nnn
f
f
f
f
TTA
Функция f вычисляется по формуле
2
2
1f , где 2.0 .
2.5.4 Аппроксимация источниковых членов
Отметим, что вектор источниковых членов следует разделить на части
S(Q,G) = Sфиз(Q) + Sдоп(Q,G), которые будут приближаться различными
способами. Первая часть, Sфиз(Q) соответствует физическим источникам, а вторая
49
соответственно вычисляется при помощи добавочных членов, которые
появляются вследствие перехода к переменными r = lg ρ, с последующей
гиперболизацией задачи.
rwwc
rvvc
ruuc
a
a
a
f
f
f
физ
0
QS ,
zp
divwCr
yp
divvCr
xp
divuCr
divCr
d
d
d
u
u
u
u
GQS
1
1
1
1
доп , , 10ln
11 C
Наилучший способ расчета – это запись физических источниковых членов
при помощи неявных соотношений. Например, вблизи заданного временного слоя
n производится линеаризация задачи. При этом градиенты параметров, входящие
в источники, замораживаются. В результате получается:
n
n
nQQ
Q
SQSQS
физ
физфиз
Известно, что в случае линейной зависимости от Q, порождается экспонента
возмущений, которая меняется по времени. Она имеет вид exp(λi t), где λi –
собственные числа матрицы ∂Sфиз / ∂Q. Если переписать Sфиз(Q) в виде, то
получится:
nnn
nn
QQTΛTQQTΛTQS
QQTΛTQSQS
11физ
1физфиз
Тут Λ = diag(λi) – диагональная матрица, у которой на диагонали
расположены собственные числа λi матрицы (∂Sфиз / ∂Q)n, T = col(ei) – матрица, со
столбцами из собственных векторов матрицы ∂Sфиз/∂Q, 2
ΛΛΛ
–
положительная диагональная матрица, у которой на диагонали расположены
положительные собственные числа λi, а остальные собственные числа заменены
на нули, 2
ΛΛΛ
– диагональная матрица, у которой на диагонали
расположены отрицательные собственные числа λi, а оставшиеся собственные
50
числа заменены на нули. Сформируем матрицы 1 TΛTJS и 1 TΛTJS . В
этом случае источниковый член nSS QQJQ
физ будет порождать растущие
по экспоненте моды, а источниковый член nSS QQJQ
физ – убывающие по
экспоненте моды решения [61].
Для описания убывающих по экспоненте мод устойчивой является неявная
схема 1-физ
-физ
nQSS . Наоборот, для описания растущих по экспоненте мод
устойчивой становится явная схема nQSS
физфиз [61]. Отсюда следует, что при
наличии в схеме положительных и отрицательных собственных чисел устойчивой
будет комбинация:
fK
j
jjSn
Snnn
Sn
1
физ
физ1
физфиз
xqJQS
QJQSQQJQSQS
Для системы уравнения водности матрица ∂Sфиз / ∂Q имеет вид:
rcwwc
rcvvc
rcuuc
a
a
a
ff
ff
ffфиз
00
00
00
0000
Q
S
Собственные числа этой матрицы λ1=0, λ2=λ3=λ4=-cf r. Поэтому, когда
01
ff
fK
j
jrjcrc xq , то 0SJ , а в остальных случаях nS QSJ /физ .
Абсолютно устойчивая аппроксимация имеет очень простой вид:
0/
0
f
1
физфиз
fфиз
физrct
rc
fK
j
jj
nn
n
xqQSQS
QS
QS
(2.15)
Для простоты компоненты матрицы ∂Sфиз / ∂Q берутся в центре ячейки.
Поставляя (2.15) в (2.14) мы получаем:
ddd iiisi SFnFJΓq 1
51
2.5.5 Вычисление градиентов методом BR2
Методы вычисления градиентов BR2 описаны в работах [61], [63-65].
Рассмотрим уравнение с градиентами QG . Это уравнение умножается на
базисные функции, и результат интегрируется по ячейке:
dd ii xQxG , fKi ,...,1
Применяем преобразование QQQ , а вслед за тем формулы
Гаусса-Остроградского: dada n . В результате получается:
ddd iii nxQxQxG , fKi ,...,1 (2.16)
Внутри ячейки выражение Q(x) описывается формулой
fK
j
jj
1
xqxQ . Тем не
менее, на гранях эта формула неприменима вследствие разрывов базисных
функций. Поэтому значение Q в интегралах di nxQ должно приближаться
особым образом. Обозначим выбранную запись значком тильда Q~
. В результате
получим [61], [63-65]:
ddd iii nxQxQxG
~, fKi ,...,1
Отметим, что в уравнении Q~
приближение величин грани ячейки зависит от
величин параметров с обеих сторон, следовательно outinf QQQ ,~ . Здесь
fK
j
jjin
1
xqQ – значение параметров на грани, полученное по восполнению
решения внутри рассматриваемой ячейки, а
fK
joutjoutjout
1
xqQ – величины
параметров на этой грани, рассчитанные путем восполнения решения в соседней
ячейке. Поскольку для правильного описания распространения возмущений за
счет диффузии приближение должно быть симметричным, то в методе BR2
предлагается применять формулу из работ [61], [63-65], [74]:
outin QQQ 2
1~
52
Заметим, что интеграл di xQ вычисляется по внутренности ячейки, где
fK
j
jj
1
xqQ . Представим, что dd iii xQxQxQ .
Используя формулу Гаусса-Остроградского и подставляя в (2.16) получаем:
dddd iii
K
j
jjiin
f
nxQxGxxqnxQ ~
1
Откуда
dd iini
K
j
jj
f
nxQQxxqG ~
1
Обозначим
fK
j
jjs
1
xqGxR . Тогда
sssiinis dd nxQQxxR
~
В указанном уравнении outin QQQ 2
1~, где Qin – примитивные
переменные в Гауссовой точке sgx на грани s ячейки, а Qout – значения параметров
на той же точке sgx грани соседней ячейки. Допустим, что мы нашли решение
этого уравнения, которое является функцией Rs(x).
Общий случай можно рассматривать как совмещение случаев,
рассмотренных ранее. Тогда получается [61], [63-65]:
s
s
K
j
jj
f
xRxqxG1
Из представленного видно, что градиенты представляются в виде суммы
градиентов, посчитанных по формуле
fK
j
jj
1
xqQ , и поправок,
обусловленных разрывным поведением Q(x) на гранях ячейки [61], [63-65].
53
2.5.6 Реализация численных граничных условий
Рассматривается произвольная гауссова точка sgx на внешней границе. На
границе блока вектор первичных переменных обозначается, как Qout. Течения
водной взвеси с внешней стороны ячейки с номером s вычисляется по формулам
QxQ
Q
xQQxQ ss
u
uF s
gin
inn
innsgin
ins
bsgout 1
0 если
0 если
где zinyinxininn nwnvnuu – проекция скорости водяной взвеси в области,
прилегающей к границе внутри расчетной области, (nx,ny,nz)T – единичный
внешний вектор нормали к стенке в данной гауссовой точке. Отметим, что
единичный вектор нормали к границе, направленной наружу из расчетной
области, выглядит, как
0 если0
0 если1
inn
inn
u
us . Ранее отмечалось, что
fK
j
sgjjin
1
xqQ – это параметры течения взвеси в области, прилегающей к
границе блока изнутри расчетной области (qj и φj берутся из приграничной
ячейки).
При постановке граничного условия на твердой поверхности
предполагается, что вся водяная взвесь, попадающая на стенку, конденсируется
на ее поверхности и образует бесконечно тонкую пленку, не меняющую форму
обтекаемого тела. Если скорость взвеси в приграничной ячейке направлена от
поверхности, то на границе задаются нулевые значения массовой плотности и
скорости водяной взвеси. Рассмотрим произвольную гауссову точку sgx на
границе тела. Пусть Qin=[rin,uin,vin,win]T – параметры, вычисляемые по формуле
fK
j
sgjjin
1
xqQ . Тогда вектор первичных переменных на поверхности тела в
точке sgx определяется через следующую формулу:
0 если0
0 если
inn
inninsg
u
uQxQ
54
2.5.7 Коэффициент захвата и метод его определения
Осаждение капель взвеси на поверхность обтекаемого тела характеризуется
величиной коэффициента захвата, который определяется отношением массового
потока капель взвеси, попадающих на поверхность тела, к потоку капель в
невозмущенном поле течения:
u
un
Нахождение значения коэффициента захвата является важным этапом в
задаче расчета обледенения самолета, так как он используется для определения
условий формирования льда на поверхности.
2.6 Верификация предложенных методов
Верификация методологии является существенным шагом перед началом ее
практического применения. На этапе верификации решаются простые задачи,
которые имеют ясный физический смысл и уже исследовались другими авторами.
Сопоставления и подробный анализ позволяют оценить не только достоверность,
но и точность предлагаемых методологий.
2.6.1 Расчет обтекания цилиндра
В качестве первого шага
верификации рассмотрим результаты
расчёта обтекания плоского цилиндра.
Рассматривается поток с водяной
взвесью. Радиус цилиндра задан равным
0.0508 м, скорость набегающего потока
u∞ =80 м/с, температура воздуха t∞ =120C,
статическое давление p∞ = 89867 Па,
диаметр капель MVD = 16 мкм, плотность
водяной взвеси ρ∞ = 0.55 г/м3.
Расчеты проведены с применением
Рисунок 2.10 – Общий вид сеток с
разными размерами ячеек
55
вложенных сеток, размерности которых изменялись в пределе от 16×4 до 128×32,
путем увеличения числа точек по каждому из направлений (см. рисунок 2.10). Эти
сетки имеют только одну ячейку в z - направлении. Полученные результаты
показывают, что решения хорошо сходятся на сетках с различным шагом при
различных значениях параметра K = 1, 2, 3 базисного полинома (см. рисунок
2.11). Невязка стремится к машинному нулю. На графике 2.11 представлены
истории сходимости расчетов на сетках при K = 3. Невязкой называется величина
rms = (rmsr + rmsu + rmsv + rmsw) / 3, где
dddrms iii SFnFQ
decay
Рисунок 2.11 – История сходимости на сетках различной мелкости при K=3
На рисунке 2.12 показано поле водности и линии тока водности на сетке
128×32 при K = 2. Видно, что за цилиндром образуются область нулевой
водности, а перед цилиндром капельки воды попадают на цилиндр.
На рисунке 2.13 представлен график зависимости коэффициента захвата от
вертикальной координаты по результатам расчета на сетке 128×32 с
максимальной степенью базисного полинома K = 1 в сравнении с результатами
56
моделирования в рамках теории Лагранжа и экспериментальными данными [20,
22]. Видно, что в области торможения воздушного потока результаты расчета
полностью укладываются в диапазон разброса экспериментальных данных. В то
же время в донной области цилиндра наблюдаются существенные отличия: капли
воды в расчете отрываются от цилиндра раньше, чем в эксперименте. Это может
быть объяснено нестационарным характером обтекания цилиндра.
Рисунок 2.12 – Поле водности и линии тока
Рисунок 2.13 – Сопоставление расчетных и экспериментальных значений
коэффициента захвата капель водяной взвеси на полуцилиндре
57
Рисунок 2.14 – Влияние мелкости сетки на результаты расчета коэффициента
захвата капель водяной взвеси на цилиндре
Рисунок 2.15 – Влияние максимальной степени K базисного полинома на
результаты расчета коэффициента захвата капель водяной взвеси на цилиндре
58
На рисунке 2.14 показано влияние мелкости сетки на результаты расчёта
коэффициента захвата с использованием базисных полиномов с максимальной
степенью K. Видно, что чем подробнее сетка, тем лучше результаты расчета
согласуются с экспериментальными данными. Результаты, полученные на очень
грубой сетке 16×4, неприемлемы с точки зрения практического использования.
На рисунке 2.15 показано влияние максимальной степени базисного
полинома на результаты расчета коэффициента захвата. Поскольку при K ≥ 2
учитывается кривизна поверхности цилиндра, расчёт даже на грубой сетке 16×4
даёт результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными.
2.6.2 Расчета обтекания профиля NACA-0012
В качестве следующего
двухмерного теста выполнена
серия расчетов обтекания
профиля NACA-0012 на
последовательности вложенных
сеток, параметры которых
приведены в таблице 2.2. Эти
сетки имеют только одну ячейку
в направлении Oz. Наряду с
числом узлов приведен
параметр NDOF, называемый числом степеней свободы, который вычисляется
путем умножения числа узлов на количество базисных полиномов и числа
переменных в системе (для системы уравнений водности число переменных равно
4, а для системы уравнений Эйлера число переменных равно 5). Одна из
представленных сеток (3) показана на рисунке 2.16. При ее построении
специальное внимание уделено моделированию кривизны поверхности в
окрестности носика.
Начальное поле рассчитано в предположении обтекания профиля невязким
сухим газом. Расчеты проведены для скорости набегающего потока u∞ = 44.39 м/с,
Рисунок 2.16 – Профиль NACA-0012 и
расчетная сетка 3
59
аэродинамического статического давления p∞ = 90000 Па, температуры
набегающего воздуха T∞ = 265.5 K, длина хорда профиля 0.9144 м, диаметр капель
воды MVD = 20 μм, водность набегающего потока ρ∞ = 0.78 г/м3.
Таблица 2.2 – Характеристики расчетных сеток
NDOF
Сетка Количество узлов K = 1 K = 2 K = 3
1 256 5120 12800 25600
2 1024 20480 51200 102400
3 4096 81920 204800 409600
4 16384 327680 819200 1638400
5 65536 1310720 3276800 6553600
На рисунке 2.17 показана зависимость величины коэффициента
сопротивления профиля, от порядка точности выбранной схемы. Использованы
схемы первого, второго, третьего и четвертого порядка точности. Известно, что в
течении невязкого газа при отсутствии скачков уплотнения коэффициент
сопротивления профиля Cxa = 0. Наличие дисперсной водной смеси при
выбранных условиях не нарушает данного положения. Таким образом, отличие
расчетного коэффициента сопротивления от нуля косвенно характеризует
качество расчетной схемы. Сопоставления показывают, что схема четвертого
порядка точности (K = 3) обеспечивает наилучший результат Cxa = 8.4∙10-6
, что на
порядок лучше результата, полученного по схеме первого порядка точности
(K = 0). Порядок полученных ошибок близок к теоретическому значению K + 1.
Подробная информация изложена в таблице 2.3, где p - порядок точности
численной схемы [43]:
i
i
i
i
NDOF
NDOF
CxCx
CxCxp 1
*1
* lglg2 .
Таблица 2.3 – Порядки ошибок в задаче о невязком обтекании профиля
Сетка K = 0 K = 1 K = 2 K = 3
Cxa p Cxa p Cxa p Cxa p
1 0.5550 0.007 0.00286 0.00129
2 0.3143 0.8204 0.00301 1.216 0.00065 2.15 1.2∙10-4
3.43
3 0.18127 0.7940 0.00105 1.525 8.6∙10-5
2.91 8.4∙10-6
3.84
4 0.10714 0.7587 0.00031 1.7383 1.3∙10-5
2.75
5 0.06388 0.7460 8.3∙10-5
1.9251
60
Аналогичный эффект наблюдается при исследовании поля водности потока,
см. рисунок 2.18 (сетка 3). Видно, что капли водяной взвеси при попадании на
переднюю кромку профиля обтекают ее с отрывом от поверхности. Этот эффект
обусловлен наличием сил инерции. При этом, следует обратить внимание на
сильную концентрацию влаги в окрестности передней кромки.
Рисунок 2.17 – Зависимости величины коэффициента сопротивления от NDOF
Рисунок 2.18 – Поле водности вокруг профиля при угле атаки α = 0 и K = 2
61
Рисунок 2.19 – Сопоставление значений коэффициента захвата β
На рисунке 2.19 представлен график зависимости коэффициента захвата β
капель воды от положения контрольной точки на поверхности профиля (длина
дуги). Видно, что при K = 0 на сетке 3 коэффициент захвата имеет большое
отклонение относительно данных из эксперимента [3, 9]. Проведем сопоставление
результатов, полученных по МКЭ с результатами по методу конечного объема.
При K = 2 (РМГ) на сетке 3 (число ячеек 4096) и при использовании метода
второго порядка точности (МКО) на сетке 5 (число ячеек 65536) ошибка
достигает величины δ ≈ 0.32 % и результат хорошо согласуется с экспериментом.
В качестве проверки влияния размера пристенной ячейки на значение
коэффициента захвата проведем расчеты на сетке 5 при K = 1. Размер первой
ячейки будем менять от 5∙10-8
до 1∙10-2
м. На графике 2.20a показана зависимость
коэффициента захвата от размера пристенной ячейки. Видно, что когда высота
первой ячейки меньше 5∙10-4
м, то максимальная ошибки при вычислении
коэффициента захват не превышает 2∙10-3
% (см. график 2.20б). Это приводит к
62
выводу, что для задачи определения параметров водности потока можно строить
сетки существенно более грубые, чем для расчета с целью определения
аэродинамических коэффициентов.
Рисунок 2.20 – Зависимость коэффициента захвата от размера пристенной ячейки
63
Рисунок 2.21 – Зависимость коэффициента захвата от диаметров капель воды
Рисунок 2.22 – Поля водности при MVD = 10 μм и MVD = 100 μм
64
На рисунок 2.21 представлены зависимости коэффициента захвата и
площади зоны выпадения росы от диаметра капель воды. Видно, что
коэффициент захвата и зоны выпадения росы сильно зависят от размеров капель.
Это объясняется тем, что диаметр водяной взвеси влияет на значение числа
Рейнольдса и силу бокового сопротивления, что приводит к изменению
траекторий. Чем больше диаметр капель воды, тем больше инерция, а
следовательно, они меньше увлекаются внешним потоком. Кроме того, чем
больше диаметр капель воды, тем больше коэффициент захвата. Видно, что при
MVD = 100 μм коэффициент захвате β → 1. Это означает, что траектории капель
воды в бесконечности и вблизи от стенки не меняются (см рисунок 2.22б). При
диаметре 10 μм капли воды почти полностью улетают по линиям тока сухого газа.
Поэтому зона выпадения росы для капель маленьких размеров меньше
соответствующей зоны для капель больших размеров (см рисунок 2.22а).
2.6.3 Расчет обтекания полусферы
В качестве трёхмерного теста проведены расчеты обтекания полусферы с
радиусом 0.072 м. Скорость набегающего потока u∞ = 75 м/с, температура воздуха
T∞ = 280.15 K, статическое давление p∞ = 95840 Па, диаметр капель полагается
равным MVD = 18.6 мкм, плотность водяной взвеси ρ∞ = 0.55 г/м3.
Расчеты проведены на двух неструктурированных сетках. Первая сетка
представлена на рисунке 2.23а. Она содержит 1631 ячеек (тетраэдры).
Рисунок 2.23 – Образец сетки вокруг полусферы (а) и разбиение ячеек (б)
65
Вторая сетка получена путём уменьшения каждой границы треугольники
тетраэдра в два раза. Таким образом, получаются четыре новых треугольника из
каждого исходного элемента, см. рисунок 2.23б. Размеры сеток 1 и 2 равны 1631 и
13048 ячеек соответственно.
На рисунке 2.24 показано поле скорости водяной взвеси на сетке 2 при K = 2
(сечение Oz = 0 м). Видно, что картина поля скорости водяной взвеси немного
смещена по направлению набегающего потока воздуха. Это объясняется тем, что
на капельки воды действует сила сопротивления FD = -cf (u - ua). Величина cf
имеет физический смысл отношения скорости релаксации капель воды к скорости
переносящего их газа.
Рисунок 2.24 – Поле скорости потока сухого газа и водности
На рисунке 2.25 в виде
изолиний представлены значения
коэффициента захвата на
поверхности полусферы. Расчет
выполнен при K = 2 с применением
сетки 2. Видно, что максимум
функции находится на носовой
части. В донной области
коэффициент захвата стремится к
нулю.
На графике 2.26 представлено влияния сетки на точность расчета при
различных значениях параметра K = 1, 2, 3. Данные сопоставлены с результатами
Рисунок 2.25 – Коэффициент захвата на
сетке 2 при K = 2
66
из экспериментов [22]. Все результаты находятся в хорошем соответствии друг с
другом. Видно, что для сетки 1 при K = 3 и для сетки 2 при K = 1, 2 коэффициенты
захвата практически совпадают друг с другом. Кроме того, коэффициент захвата,
полученный по теории Лагранжа, имеет большое отклонение относительно
соответствующей величины, полученной по теории Эйлера.
Рисунок 2.26 – Влияния мелкости сетки и максимальной степени K базисного
полинома на результаты расчета коэффициента захвата.
Как известно, особенностью метода РМГ является наличие разрывов на
границах ячеек. Это происходит от того, что решение реконструируется через
базисные функции φi(x), которые непрерывны только в пределах ячеек. На
границах реконструкция
fK
j
jj
1
xqQ дает разрыв. Чтобы повысить точность
решения на поверхности полусферы сеточные треугольники дробятся и создают
подэлементы sNeeeE 21 . Общее количество подэлеметов Ns может быть
достаточно большим. Конкретные примеры приведены на рисунке 2.27.
67
На график 2.28 представлены поля коэффициентов захвата, полученные на
подробных сетках, включающих подэлементы при K = 2 на грубой сетке (сетка 1).
Видно, что качество картинок существенно повышается. Известно, что
параметры, видимые на картинке, являются осредненными величинами и поэтому
хорошо чувствуют размеры ячеек при различных методах осреднения.
Применение метода высокого порядка позволяет ухватить закон изменения
значений коэффициента захвата в пределах одной ячейки, что невозможно при
низких порядках аппроксимации.
Рисунок 2.27 – Разбиение треугольника в параметрическом пространстве
Рисунок 2.28 – Сопоставление коэффициентов захваты при разбиении
а) грубой сеткой; б) подробной сеткой
68
2.6.4 Расчет обтекания крыла NACA-64A008
В качестве следующего
трехмерного теста проведены расчеты
обтекания крыла NACA 64A008.
Геометрические данные крыла
представлены на рисунке 2.29. На
рисунке 2.30 показана расчетная
сетка. Эта сетка имеет 53856 ячеек и
сгущается к передней кромке.
Расчеты проведены со
следующими параметрами: скорость
набегающего потока u∞ = 78.68 м/с,
статическое давление p∞ = 95147.65 Па, температура воздуха T∞ = 279.26 K.
Диаметр капель воды MVD = 11.5 μм, водность ρ∞ = 0.04 г/м3.
На рисунке 2.31
показано поле водности на
поверхности крыла и в
плоскости его симметрии при
угле атака α = 00. Расчет
проведен по схеме высокого
порядка точности с K = 2.
Видно, что поле водности
симметрично вследствие
симметрии профиля NACA
64A008. Капли водяной взвеси находятся только на передней кромке, а в
остальной части поверхности крыла они отсутствуют.
На рисунке 2.32 представлен график зависимости коэффициента захвата на
поверхности крыла в сечении z = 0.61 м на угле атаки α = 00. Видно, что для
случая K = 1 максимальный коэффициент захвата в расчете и в эксперименте [24]
Рисунок 2.29 – Геометрические данные
крыла NACA 64A008
Рисунок 2.30 – Сетка на крыле и вокруг крыла
NACA 64A008
69
имеет существенные различия, а для случая K = 2 расхождение равно 4.0 % , что
приемлемо с точки зрения практического использования (см. таблицу 2.4).
Рисунок 2.31 – Поле водности на крыле и вокруг крыла NACA 64A008 (K = 2)
Таблица 2.4 – Расхождение расчетных и экспериментальных результатов
βmax Расхождение
В эксперименте 0.444
K = 1 0.495 10.49 %
K = 2 0.466 4.02 %
Таблица 2.5 – Точки отрыва водности и максимального коэффициента захвата
βmax Позиция
βmax, мм
Точка отрыва на верхней
поверхности, мм
Точка отрыва на нижней
поверхности, мм
Эксперимент 0.448 6.84 -9.39 +45.57
K = 1 0.393 2.58 -4.7 +64.85
K = 2 0.439 2.58 -4.7 +46.47
Таблице 2.6 – Расхождение расчетных и экспериментальных результатов
βmax Расхождение
Эксперимент 0.448
K = 1 0.393 12.28%
K = 2 0.439 2.01%
Зависимость коэффициента захвата для расчетного случая на угле атаки
α = 60 показана на рисунке 2.33. Влияние положения отрыва потока на поле
водности приведено в таблице 2.5, а расхождение коэффициентов захвата
70
представлено в таблице 2.6. Видно, что при K = 2 результаты хорошо согласуются
с экспериментальными данными.
Рисунок 2.32 – Коэффициент захвата на поверхности крыла в сечении z = 0.61 м
Рисунок 2.33 – Коэффициент захвата на поверхности крыла в сечении z = 0.61 м
71
В заключение можно отметить, что применение предложенного метода
гиперболизации системы уравнений водности позволяет исследовать физические
особенности течения двухфазной среды, в частности, исключить решения с
отрицательной водностью в области разрежения за телом. Численные решения
методом РМГ высокого порядка точности позволяют получить надежные
результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом на разреженных сетках во
всех областях.
72
Глава 3. Постановка и методы решения задачи обтекания самолета в
условиях начальной стадии обледенения
Известно, что для образования льда на поверхностях самолета нужны
отрицательные температуры равновесия. Это условие реализуется в тех случаях,
когда самолет летит сквозь облака при температуре окружающего воздуха ниже
нуля. С другой стороны известно, что одновременно с охлаждением происходит и
процесс нагрева. Действительно, если капли воды попадают на стенку, то они
останавливаются и освобождают кинетическую, а также тепловую энергии. Это
частично препятствует процессу образования льда и вызывает некоторое
увеличение температуры на поверхности. В свою очередь неравномерность
температуры стимулирует процессы конвективного переноса и сублимации. Если
конвекция и сублимация достаточно велики, то температура капель воды
существенно понижается и на поверхности образуется лед. В настоящей главе
рассмотрены описанные выше процессы и приведен физический анализ,
объясняющий нарастание или исчезновение льда.
3.1 Термодинамика нарастания льда
Моделирование нарастания льда в контрольном объёме Ω выполнено
согласно первому закону термодинамики. Предполагается, что все процессы в
пределах контрольного объема развиваются квазистационарным образом [68]. Это
означает, что переходные процессы не моделируются. Также, отсутствуют
процессы, связанные с неоднородностью пространственных распределений
параметров газа внутри контрольного объема, опирающегося на элемент
поверхности. Кроме того, не рассматриваются химические реакции.
Данная методика расчета основана на модели Мессигера (Messinger [18]).
Массовый и тепловой балансы составлены для расчета температуры равновесия
на поверхности тела и учитывают количество воды и интенсивность обледенения.
73
3.1.1 Уравнение баланса массы
В данной модели предполагается, что шероховатость поверхности является
однородной. Это приводит к тому, что та часть воды, которая не замерзает при
ударе капли о поверхность, растекается на соседние участки. При этом может
быть три типа состояния поверхности: сухая, влажная и жидкая.
Сухая поверхность получается, когда вся попадающая вода замерзает после
соприкосновения с телом и часть льда впоследствии сублимируется. В этом
случае температура равновесия Ts на поверхности ниже, чем температура
замерзания Tice = 273.15 K;
Если теплопоглощение и диссипация из-за конвективных явлений малы для
того, чтобы заморозить всю поступающую воду, то образуется влажная
поверхность. В этом случае, часть воды замерзает или сублимируется, а
оставшаяся часть растекается в соседние области, температура равновесия равна
температуре замерзания 273.15 K;
Если теплота нагревания большая и температура равновесия на поверхности
больше нуля, то вода в контрольном объеме не затвердевает, и мы имеем жидкую
фазу воды.
Рассмотрим контрольный объем (см. рисунок 3.1), расположенный на
поверхности обтекаемого тела. Уравнение неразрывности записывается в виде:
0,,,
avli
avli dt
mmmmnV (3.1)
где m - масса определенной фазы в контрольном объеме. Нижними индексами i, l,
v, a обозначаются: i - твердая фаза воды или лёд (ice); l - жидкая фаза воды
(liquid); v - вода в виде пара из-за процесса испарения или сублимации (vapor); a -
газ (air). Мы предполагаем, что процесс стационарен и поэтому временные
производные для массы газа, воды и пара равны нулю. Следовательно, первый
член уравнения (3.1) преобразуется к виду:
iceiavli m
t
m
t
mmmm
(3.2)
74
Рисунок 3.1 – Схема массового баланса в контрольном объеме
В формуле (3.1) поверхностный интеграл для газа равен нулю, так как
массовый поток газа, входящий в контрольном объеме, равен массовому потоку,
выходящему из него. Этот интеграл также равен нулю для твердой фазы до тех
пор, пока лёд не пересекает границы контрольного объема. Таким образом,
второй член уравнения (3.1) можно переписать в виде:
imvainoutvlavli
mmmmdd ,,,,
nVnV (3.3)
Подставляя (3.2) и (3.3) в уравнение разрывности (3.1), получаем:
iceoutvainim mmmmm (3.4)
где imm - массовой поток попадающих капель воды (impinging water), inm -
массовый поток втекающей воды из соседних областей, vam - массовой поток из-
за процесса испарения или сублимации льда, outm - массовый поток вытекающей
воды из одной области в другую, icem - массовый поток нарастающего льда.
Коэффициент намерзания (или доля замерзшей воды) f вычисляется следующим
образом:
inim
ice
mm
mf
(3.5)
75
В результате, массовый поток вытекающей воды outm вычисляется по
соотношению:
vainimout mmmfm 1 (3.6)
3.1.2 Уравнение баланса энергии
Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты, сообщаемое
термодинамической системе, равно сумме изменения её внутренней энергии и
работы, совершаемой системой против внешних сил [69], можно написать
уравнение баланса энергии:
WQdet
EEEE
avli
avli
,,,
nV (3.7)
где E - энергия в контрольном объеме, e - плотность энергии. Q и W - тепловой
поток и работа в контрольном объеме, соответственно.
В уравнении (3.7) поверхностный интеграл для твердой фазы воды равен
нулю до тех пор, пока слой льда не пересекает границы контрольного объема. В
рамках этой работы исследуется только процесс нарастания льда и не
учитывается противо-обледенительная система. Поэтому внешний тепловой
источник не вводится, и, следовательно, тепловой поток Q равен нулю. Работа
W , необходимая для перемещения массы, вещества вычисляется следующим
образом:
dp
tdpddp
td
tW V
xxxF (3.8)
где F - сила, p - давление вещества, dx - длина пути, V - скорость вещества, Σ -
поверхность контрольного объема.
Подставляя (3.8) в (3.7) в уравнение баланса энергии получаем искомое
соотношение в виде:
avlavl
avli dpdet
EEEE
,,,,
nVnV (3.9)
Используя известную формулу вычисления энтальпии ρh=ρe+p продолжаем
вычисления и получаем из (3.9):
76
0,,
avl
avli dht
EEEEnV (3.10)
Поскольку в данной работе решено пренебречь любыми химическими
реакциями и смешиванием сухого газа и воды, то общая система делится на две
подсистемы: одну для газа, а другую для воды. Процесс стационарен, поэтому
временные производные энергии газа, жидкой воды и пара равны нулю. В
результате получается:
11 WQdha
nV (3.11)
22,
WQdhdt
dE
vl
i nV (3.12)
Это изолированная замкнутая система и поэтому 21 QQ , а 21 WW . Так как
смешивание между двумя подсистемами отсутствует, то работы 021 WW . Для
термодинамического анализа учитывается наличие двух тепловых потоков:
одного fQ , вследствие нагрева воды из-за трения (вязкой процесс); другого cQ -
вследствие наличия конвекции и охлаждения воды. Баланс выглядит следующим
образом fc QQQ 1 . Подставляя (3.11) и (3.12) в (3.10), получаем:
cfvl
icevl
i QQQdhEQdht
E
1
,1
,
0 nVnV (3.13)
где iceE - внутренняя энергия твердой воды (лед) в контрольном объеме. Обратим
внимание, что vl
dh,
nV - это вариация энтальпии для всех состояний воды.
Результат можно переписать в виде:
iminoutvavl
HHHHdh ,
nV (3.14)
где imH - энтальпия попадающих капель воды (предполагается, что попал на
стенку, капля остается на ней), inH - энтальпия втекающей воды из соседних
областей, vaH - энтальпия испарившейся воды или сублимированного льда, outH -
энтальпия вытекающей воды из контрольной области в соседнюю область.
Подставляя (3.14) в (3.13), получаем:
77
cfiminoutvaice QQHHHHE (3.15)
Видно, что уравнение (3.15) выражает баланс энергии в контрольном
объеме. Полное изменение энтальпии конкретной фазы воды вызывается
кинетической энергией и теплообменом между газом и водой с учетом трения и
конвекции.
3.2 Расчет составляющих энергий и энтальпии в модели баланса
Видно, что из-за теплообмена между фазами газа и воды, температура
равновесия Ts на поверхности обтекаемого тела может отличаться от
адиабатической температуры Tad, получаемой при решении задачи в приближении
сухого газа. Состояние воды на поверхности тела зависит от Ts, полученной в
результате теплообмена. При этом Ts является главной переменной, которую
необходимо вычислить в задаче термодинамики нарастания льда.
3.2.1 Тепло, потерянное из-за конвекции
Для решения задачи записывается простая формула :
TTAhQ scc (3.16)
где A - площадь поверхности ячейки на стенке; T∞ - температура набегающего
потока; hc - коэффициент аэродинамической теплоотдачи, Вт/(м2 К). Величина
коэффициента теплоотдачи hc вычисляется путем использования результатов двух
расчетов: первый для сухого газа при граничном условии адиабатической стенки (
0
walln
T ); второй для сухого газа при граничном условии стенки с
фиксированной температурой Twall = const. В результате мы получаем тепловой
поток aq между стенкой и газом. Наконец, определяется коэффициент
теплоотдачи hc по формуле [68]:
wallad
ac
TT
qh
(3.17)
78
3.2.2 Тепло, полученное вследствие трения
Решение задачи осуществляется с применением соотношения:
a
cfc
VrAhQ
2
2
(3.18)
где ca = 1005 Дж/(кг К) - удельная теплоемкость газа; V∞ - скорость набегающего
потока; A - площадь поверхности ячейки на стенке; r - коэффициент
восстановления, который учитывает диссипацию энергии из-за внутреннего
трения. Этот коэффициент r может определить формулой [70]:
na
V
Vr Pr11
2
(3.19)
где Va - скорость газа в центре первой ячейки, прилегающей к стенке; n = 1/2 в
ламинарном режиме и n = 1/3 в турбулентном режиме; Pr- число Прандтля; hc -
вычисляется по формуле (3.17). Тепловой поток, получаемый в результате
теплообмена между газом и водной фазой через процессы трения (см. формулу
3.16) и конвекции (см. формулу 3.18), можно переписать в виде:
s
a
cs
a
ccfa TTc
VrAhTT
c
VrAhQQQ
22
22
(3.20)
В точке торможении на передней кромке скорость газа равна нулю (r = 1).
Из формулы (3.19) следует, что при r = 1 температура торможения равна
ac
VTT
2
2
*
. Для удобства считается, что в формуле (3.20) aQ - это тепловой
поток, обусловленный аэродинамическим нагреванием.
3.2.3 Внутренняя энергия и энтальпия состояний воды
Энтальпия и внутренняя энергия определены по состоянию воды,
полученному вследствие теплообмена. Как было сказано выше, существуют три
типа поверхности тела: сухая, влажная и жидкая. На рисунке 3.2 показаны
различные изменения потока водной массы и энтальпии для каждого типа.
Указанный анализ позволяет систематизировать различные случаи обледенения.
79
Рисунок 3.2 – Три типа состояния воды на поверхности обтекаемого тела
Внутренняя энергия iceE записывается следующим образом:
иповерхност жидкой для0
иповерхност влажной для
иповерхност сухой для
fice
ficesiice
ice Lm
LTTcm
E
где ci = 2100 Дж/(кг К) – удельная теплоемкость льда; Lf = 3.35∙105 Дж/кг –
удельная теплота затвердевания льда. Видно, что icesiice TTcm – это энергия,
которая выделяется при уменьшении температуры от значения Tice до Ts. При
этом, компонент fice Lm соответствует величине энергии, которая
освобождается при затвердевании воды или кристаллизации.
Кроме того, важно знать значение энтальпии, входящей в контрольный
объем. Рассмотрим два члена вариации: энтальпия imH , связанная с попаданием
80
капель воды на стенку, и, энтальпия inH , связанная с втеканием воды из соседней
области. В некоторых работах [68], [70-71] энтальпия imH вычисляется
следующим образом:
2
2VTTcmH icewimim
это значит, что капли воды сохраняют полную энергию, когда они двигаются из
бесконечности до стенки. Следует учесть, что капли воды могут потерять энергию
при движении в потоке воздуха. По этой причине используется предположение
локальности. Берётся информации о каплях только в момент их столкновения со
стенкой. При этом предполагается, что температура капель равна температуре
сухого газа и поэтому энтальпия imH вычисляется следующим образом:
2
2
scicewimim TTcmH
V
где Vs - скорость капель воды на стенке в пристенной ячейке, Tc - температура
газа в центре пристенной ячейки.
С другой стороны, энтальпия inH вычисляется без учета скорости:
inicewinin TTcmH
где cw = 4200 Дж/(кг К) – удельная теплоемкость воды, imm - массовый поток
капель воды, попадающих на поверхность. В контрольном объеме он вычисляется
следующим путем:
AVmim
где β - коэффициент захвата, полученный при решении системы уравнений
водности (см. главу 2); ρ∞, V∞ - водность и скорость набегающего потока, A
площадь поверхности контрольного объема.
В зависимости от типа поверхности (сухая, влажная или жидкая) вода
может оставить контрольный объем несколькими способами (например, путем
сублимации или испарения льда). Поэтому вариации энтальпии vaH и outH
рассчитываются по-разному для каждого случая.
81
В случае сухой поверхности вся вода затвердевает и сублимируется.
Поэтому отсутствует процесс вытекание воды в соседние области:
0outH
Для влажной поверхности температура равновесия на поверхности
оценивается величиной Ts = Tice = 273.15 K. Поэтому внутренняя энергия жидкой
фазы воды равна нулю. Вследствие этого в формулу энтальпии входит только
кинетическая энергия воды, которая растекается в соседние области. Но в этом
случае скорость растекания мала (на стенке порядок 100 ~ 10
-2 м/с) и поэтому член
с кинетической энергией тоже мал. Вследствие этого получается:
02
2
woutзамswoutout
VmTTcmH
где Vw - это скорость растекания воды на стенке (Vw ≈ 0 м/с).
Для жидкой поверхности температура равновесия на поверхности Ts > Tice и
поэтому вариации энтальпии outH получаются из внутренней энергии при
изменении температуры от Tice до Ts:
iceswoutw
outiceswoutout TTcmV
mTTcmH 2
2
В заключение рассматривается случай сублимации и испарения льда.
Вариация энтальпия вычисляется по разным формулам для разных случаев.
Для сухой поверхности существенным является процесс сублимации льда
(см. рисунок 3.2а). Поэтому энтальпия vaH , обусловленная указанной
сублимацией, определяется следующим образом:
fзамsisvava LTTcLmH
где Ls = 2.8∙106 Дж/кг – удельная теплота; vam - массовый поток
сублимированного воды. Видно, что сначала часть воды vam освобождает теплоту
fva Lm при затвердевании и также выделяет теплоту ci (Ts - Tice) при уменьшении
температуры от значения Tice до Ts. После этого рассматриваемая часть воды vam
поглощает теплоту sva Lm и образуется пар, который улетучивается.
82
В случае влажной поверхности также существует лед и происходит процесс
его сублимации, (см. рисунок 3.2б). Напомним, что для этого типа поверхности
температура равна Ts = Tice = 273.15 K. Соответственно, энтальпия vaH
вычисляется по формуле:
svava LmH
Теперь приступаем к случаю жидкой поверхности. Вода покидает
контрольный объем путем испарения (см. рисунок 3.2в). Энтальпия испарившейся
воды vaH определяется по формуле:
icesievava TTcLmH
Массовый поток испаряющейся массы вычисляется в виде [23, 70]:
p
eHeAh
cm
vrsv
c
a
va
,,628.0
где A - площадь поверхность контрольного объема; ca = 1005 Дж/(кг K) – удельная
теплоемкость газа; Hr – относительная влажность окружающего среда, %; ev,s, ev,∞
– насыщающее парциальное давление водяного пара на стенке и в бесконечности.
Насыщающее парциальное давление определяется по формуле [70]:
3726 ~105579.3
~108096.60039.03386 TTev (3.21)
где 15.2738.172~
TT .
Видно, что относительная влажность Hr воздуха влияет на вариации
энтальпии воды через массовый поток vam . Чтобы ограничить вариацию значений
Hr разумным образом использованы экспериментальные данные. Для капельных и
смешанных облаков принято базовое значение Hr, соответствующее
насыщенному состоянию водяного пара над поверхностью воды: Hr = 100 % для
всего диапазона температур. Для ледяных облаков можно принять, что пар
является насыщенным [75]. Уравнение (3.21) называется формулой Магнуса [71]
и используются на практике.
Запишем окончательно, что в результате термодинамического анализа
процесса нарастания льда на поверхности обтекаемого тела получается два
уравнения:
83
• уравнение (3.4): iceoutvainim mmmmm
• уравнение (3.15): cfinoutvaice QQHHHE
и три неизвестных переменных Ts (температура равновесия водяной взвеси на
поверхности), icem (массовый поток нарастающего льда),
outm (массовый поток
вытекающей воды). Значения этих переменных определяются типом поверхности:
• если сухая поверхность: то 0outm
• если влажная поверхность: то Ts = Tice = 273.15 K.
• если жидкая поверхность: то 0icem
Метод численного решения системы двух уравнений (3.4), (3.15) изложен
ниже.
3.3 Расчет процесса нарастания льда
Напомним, что из предыдущего анализа сделано заключение о том, что в
процессе обледенения на поверхности обтекаемого тела реализуются три
возможные фазы состояния воды. Это наглядно представлено на рисунке 3.3.
Рисунок 3.3 – Три фазы состояния воды
84
3.3.1 Двумерное приближение
Для численного решения задачи в двумерном приближении выполняются
следующие шаги. Прежде всего, находится точка торможения. Она имеет особое
значение, так как в ее окрестности выполняется условие 0inm (отсутствует
переток воды в соседние ячейки). Далее, рассматривается контрольный объем,
который прилегает к точке торможения. Вводятся условные обозначения ячейка
+0 и ячейка 0 (см. рисунок 3.4). В уравнении баланса энергии (3.15) полагаем
Ts = 273.15 K и рассчитываем долю замерзшей воды f. В зависимости от
результата f рассматриваются различные случаи:
• Если 0 < f < 1, предположение Ts = 273.15 K было верным. В контрольном
рассматриваемом объеме появляются и вода и лед.
• Если f < 0, предположение Ts = 273.15 K было неверным. В контрольном
рассматриваемом объеме была только вода. Поэтому пусть f = 0 и итерация
решения уравнения (3.15) должна повторяться, чтобы получить разумную
температуру Ts > 273.15 K.
• Если f > 1, предположение Ts = 273.15 K также было недопустимым. В
контрольном объеме только лёд. Пусть f = 1 и итерации решения уравнения (3.15)
следует повторять, чтобы получить разумную температуру Ts < 273.15 K. Этот
способ называется методом проб и ошибок (Trial and Error method).
Рисунок 3.4 – Схема решения в двухмерном случае
85
После вычисления коэффициента f и температуры равновесия Ts
рассчитывается массовый поток вытекающей воды в первой ячейке. Именно этот
поток втекает в следующую ячейку на верхней или нижней поверхности профиля.
Далее, подобный алгоритм применяется для каждой последующей ячейки
профили. В результате получается состояние термодинамического баланса для
всего профиля.
Точка торможения определяется разным способом. В литературе [75] эта
точка определена по максимуму статического давления. В данной работе
используется другой алгоритм. За точку торможения принимается точка с
максимальным коэффициентом захвата βmax. Это связано с тем, максимум
коэффициента захвата достигается при наличии втекания и отсутствии вытекания.
Это условие реализуется в случае 0inm . Естественно, что точка торможения
меняет свое положение с изменением угла атаки.
Следует обратить внимание, что при решении уравнения баланса энергии (3.15)
cfiminoutvaice QQHHHHE
для нахождения коэффициента f используется метод хорд [72]. Он достаточно
быстро сходится и обеспечивает высокую точность.
3.3.2 Трехмерное приближение
В трехмерном случае рассмотренный алгоритм в предыдущем разделе не
применим. Это связано с тем, что процесс поиска элемента поверхности, для
которого 0inm , в общем случае является некорректной процедурой. Это связано
с тем, что на линии торможения не обязательно выполняется условие 0inm .
Трехмерность приводит к тому, что перетекание может происходить не только
поперек, но и вдоль этой линии [68]. По указанной причине в данной работе
предлагается использовать итерационный алгоритм [73-74]:
• На первой итерации производится инициализация нулевых втекающих
массовых потоков во всех ячейках, то есть 0inm .
86
• На второй итерации применяется метод проб и ошибок и рассчитываются
значения Ts и f, а также вытекающие потоки outm во всех ячейках.
• На третьей итерации обновляются значения массовых потоков
• Шаги 2 и 3 повторяются вплоть до сходимости.
Опытным путем получено, что итерации следует останавливать в том
случае, если сумма всех невязок удовлетворяет условию rms < 10-10
. В результате
получается суммарный вытекающий поток k
k
outout mm , который можно
использовать для дальнейшего анализа. Следует отметить, что в трехмерном
случае у каждой гексаэдральной ячейки на поверхности можно указать 4 соседа
(см. рисунок 3.5) (или 3 соседа для треугольника). Очевидно, что расчет
проводится для всех граней.
Рисунок 3.5 – Схема расчета на поверхности тела в трехмерной задаче
Используется соотношение:
0,
0,max
max
1
outN
k
k
n
k
nk
out m
V
Vm
s
87
где Ns - количество боковых граней ячейки, kk
a
k
n LV nV - нормальная скорость
на грани k, Va - вектор скорости газа в ячейке на стенке, nk - нормаль грани, L
k -
длина ребра грани. Считается, что вытекание газа наружу является
положительным. Втекающие потоки из соседних ячеек вычисляются по формуле:
k
k
outk
in s
mm
соседсосед,
где ksсосед - площадь соседнего элемента поверхности со стороны k-й боковой
грани. Невязка в каждой ячейке вычисляется следующей образом:
old
in
new
in
old
in
new
inin
cellmm
mmrms
,max
,
old
out
new
out
old
out
new
outout
cellmm
mmrms
,max
in
Nccell
in
cell
in
cellin rmsrmsrmsrms _2_1_
max ,...,,max
out
Nccell
out
cell
out
cellout rmsrmsrmsrms _2_1_
max ,...,,max
где Nc - количество ячеек в расчетной сетке на поверхности.
Nc
rmsrms
rms
Nc
ic
in
ic
in
ic
in
1
, Nc
rmsrms
rms
Nc
ic
out
ic
out
ic
out
1
После получения массового потока нарастания льда icem можно определить
скорость его нарастания Vice [мм/мин]:
ice
iceice
mV
60000
где ρice = 916.7 кг/м3 – плотность льда.
3.4 Верификация используемого метода
В качестве двухмерного теста рассмотрим обтекание профиля NACA-0012.
Для которого имеется обширный набор экспериментальных данных [75]. Расчет
проведем на достаточно подробной сетке, которая содержит 96000 ячеек (см.
рисунок 3.6). Отметим, что проводится трехмерный расчет с одной ячейкой в
поперечном направлении. Высота пристенной ячейки равна 1∙10-6
м, длина хорды
профиля – 0.5334 м.
88
Рисунок 3.6 – Расчетная сетка вокруг профиля NACA-0012
Параметры потока выбраны в соответствие с [75]: скорость набегающего
потока u∞ = 58.10 м/с, статическое давление на бесконечности p∞ = 95610 Па, угол
атаки α = 40, водность набегающего потока ρ∞ = 1.3 г/м
3, диаметр капель
MVD = 20 μм, время обледенения τice = 480 с. На рисунке 3.7 показано
распределение коэффициента захвата вдоль профиля. Решение получено методом
РМГ второго порядка
точности (K = 1).
Для расчета
обледенения рассмотрены
три случаи, которые
отличаются температурой
набегающего потока:
высокая температура
t∞= -2.8 0C, средняя
температура t∞ = -6.7 0C и
низкая температура t∞ = -19.8 0C. На рисунках 3.8, 3.9, 3.10 представлены
толщины льда. Результаты сопоставлены с экспериментальными данными [81].
Видно, что на нижней поверхности и в носовой части профиля поведения льда
хорошо согласуется с данными из эксперимента. На верхней поверхности в
области ламинарно-турбулентного перехода пограничного слоя расчетные
результаты отклоняются от эксперимента. Это объясняется тем, что в этой зоне
Рисунок 3.7 – Коэффициент захвата на профиле
NACA-0012
89
реализуется отрывное течение, что приводит к сложности вычисления
коэффициента теплоотдачи для сухого газа. Ошибка в расчете указанного
коэффициента ведет к ошибке в задаче термодинамики нарастания льда. Кроме
того, следует напоминать, что в рамках этой работы рассматривается только
начальная стадия нарастания льда. В отрывных зонах имеет место эффект
обратного влияния льда на поток, что не учитывается в данном случае. Это
продемонстрировано на рисунке 3.10.
Рисунок 3.8 – Толщина льда на профиле NACA-0012 при t∞ = -2.8 0C
Рисунок 3.9 – Толщина льда на профиле NACA-0012 при t∞ = -6.7 0C
90
Рисунок 3.10 – Толщина льда на профиле NACA-0012 при t∞ = -19.8 0C
В качестве трехмерного
теста проведен расчет
обтекания крыла GLC-305 [73,
76]. На рисунке 3.11
представлены размеры крыла.
Для примера расчетные
результаты представлены в
сечениях A, B, C (cut A, cut B,
cut C). Сетка содержит 1.5
миллиона шестигранных ячеек.
Высота пристенной ячейки
равна 1∙10-6
м.
Расчеты проведены со
следующими параметрами:
скорость набегающего потока
u∞ = 89.97 м/с, статическое давление p∞ = 61282 Па, угол атаки α = 60, температура
набегающего потока t∞ = -11.28 0C, водность набегающего потока ρ∞ = 0.51 г/м
3,
Рисунок 3.11 – Геометрия крыла GLC-305
91
диаметр капель MVD = 14.5 μм, время обледенения τice = 300 с. На рисунке 3.12
показан коэффициент захвата на полной поверхности крыла. Поле водности
получено по схеме РМГ второго порядка точности (K = 1). На графике 3.13
представлены коэффициент захвата в сечениях A, B, C.
На рисунке 3.14 представлена область появления льда на крыле, а на
рисунках 3.15, 3.16, 3.17 показаны толщины льда в сечениях A, B, C крыла.
Видно, что в носовой части расчетные результаты хорошо согласуются с
экспериментами. Следует отметить, что для этого теста время обледенения
τice = 300 c. Это достаточно короткий период. Поэтому форма льда в сечениях
хорошо согласуется с данными из экспериментов.
Рисунок 3.12 – Коэффициент захвата на крыле
Рисунок 3.13 – Коэффициент захвата в сечениях A, B, C
92
Рисунок 3.14 – Область появления льда на крыле
Рисунок 3.15 – Толщина льда в сечении A
Рисунок 3.16 – Толщина льда в сечении B
93
Рисунок 3.17 – Толщина льда в сечении C
В заключение можно отметить, что применение модели теплообмена между
газом и водой при условии температурного равновесия позволяет исследовать и
получить физические особенности нарастания льда на поверхности обтекаемого
тела. Выполненные тестовые расчеты подтвердили работоспособность
методологии на безотрывных режимах обтекания. При этом точность расчета
понижается в тех случаях, когда появляется толстый лед в области ламинарно-
турбулентного перехода. В этом случае нужны глобальные итерации, которые
учтут физическое влияние льда на обтекание.
94
Глава 4. Физические особенности обледенения гражданского самолета
Одним из наиболее опасных режимов полета является режим ожидания
посадки. Часто это происходит в условиях плохой погоды, поэтому в этом режиме
самолет может длительное время находиться в зоне облачности, содержащей
переохлажденные капли воды. Поскольку полет в этих условиях может
продолжаться долго, могут образоваться наиболее опасные формы льда –
рогообразный и барьерный. В данной главе рассмотрены характеристики
обледенения масштабированной компоновки DLR-F6 при полете на высоте 6 км в
режиме ожидания посадки.
4.1 Критическая температура и критическая водность набегающего потока в
условиях начальной стадии обледенения
Известно, что в общем случае вода может находиться в трех фазах:
жидкость, пар и лед. При Ts > Tice существуют жидкость и пар, при Ts < Tice
существуют лед и пар, при Ts = Tice существуют одновременно жидкость, лед и
пар. Состояние поверхности самолета при данной скорости потока с точки зрения
условий обледенения зависит от температуры и водности потока.
При определенной температуре и скорости набегающего потока существует
критическое значение водности ρcrit, при котором возникают различные
предельные случаи. Если водность набегающего потока больше критической ρ∞ ≥
ρcrit, то на стенке существуют все три фазы, и наоборот, если ρ∞ < ρcrit, то на стенке
существуют только две фазы - лед и пар. Граница между этими состояниями
называется пределом Лудлама [19].
Кроме того, при изучении вопроса обледенения самолета используется так
называемая критическая температура Tcrit, которая характеризует максимальную
температуру набегающего потока, при которой температура равновесия Ts на
стенки будет равна нулю Ts = Tice, и следовательно, может происходить
нарастание льда на данном участке поверхности.
95
Анализ критических значений водности ρcrit и температуры Tcrit набегающего
потока для важных с точки зрения безопасности полета участков поверхности
самолета необходимо выполнять на этапах совершенствования и сертификации
самолета. Такой анализ позволяет понять условия обледенения поверхности
планера и мотогондолы двигателя.
Для иллюстрации выберем две характерных точки поверхности самолета –
точку на носу фюзеляжа и точку на передней кромке обечайки мотогондолы
двигателя (см. рисунок 4.1). В носовой части фюзеляжа обычно располагают
различные датчики, а нарастание льда на передней кромке обечайки мотогондолы
существенно влияет на безопасность работы двигателя.
Рисунок 4.1 – Исследуемые области
Для анализа используем модель термодинамики нарастания льда, которая
изложена выше. Рассмотрим два независимых случая, используя тепловой баланс
элемента поверхности площади A можно записать в виде
cfiminoutvaice QQHHHHE (4.1)
а) При Ts < Tice будем иметь:
ficesiiceice LTTcmE ,
ficesisvava LTTcLmH ,
0outH , 0inH ,
96
2
2
sadicewimim TTcmH
V ,
s
a
ccf TTc
VrAhQQ
2
2
.
Подставляя эти выражения в (4.1), получаем:
2 2
2 2
s
c ice va f im w ad va s c ice va i s
a
Vh A r t m m L m c t m L h A m m c t
c
V
где T = t + Tice.
При Ts < Tice вся попавшая на стенку жидкая вода замерзает и
сублимируется. Поэтому 0outm и vaiceim mmm . Кроме этого, 0inm . В
результате преобразований получим
i
c
im
c
svasadwf
c
im
a
s
cAh
m
Ah
LmtcL
Ah
mt
c
Vr
t
1
22
22 V
. (4.2)
Анализ показывает, что при ts → 0−:
022
22
Ah
LmtcL
Ah
mt
c
Vr
c
svasadwf
c
im
a
V,
22
2 2
22
2 2
va sva s c
ac a
im c
c s
f w ad f w ad
a
Vm L Vm L h A t rt r
ch A cm h A
L c t L c tc
V V
. (4.3)
Подставляя AVm critim в (4.3), получаем связь между ρcrit и t для
предела Лудлама:
2
22
2
sadwf
ac
svac
crit
tcL
c
Vrt
Ah
Lm
V
h
V
. (4.4)
б) При Ts > Tice будем иметь:
0iceE ,
97
iceswevava TTcLmH ,
iceswoutout TTcmH , 0inH ,
2
2
sadicewimim TTcmH
V ,
s
a
ccf TTc
VrAhQQ
2
2
.
Подставляя эти выражения в (4.1), получим:
2 2
2 2
s
c im w ad va e c out va w s
a
Vh A r t m c t m L h A m m c t
c
V,
где T = t + Tice.
При Ts > Tice вся попавшая на стенку жидкая вода растекается и испаряется.
Поэтому 0icem и vaoutim mmm .
После простых преобразований получаем:
2 2
2 2
1
im s va e
w ad
a c c
s
im
w
c
V m m Lr t c t
c h A h At
mc
h A
V
(4.5)
При ts → 0+:
2 2
02 2
im s va s
w ad
a c c
V m m Lr t c t
c h A h A
V (4.6)
Подставляя выражение для imm в (4.6), получаем выражение для tcrit:
2 2
2 2
va e s
crit w ad
c a c
m L V Vt r c t
h A c h
V (4.7)
Рассмотрим полет на высоте 6 км в режиме ожидания со скоростью
u∞ = 695 км/ч. После нахождения распределений газодинамических параметров
проводится расчет поля водности и определяется распределение коэффициента
захвата. Для масштабированной компоновки DLR-F6 на носке фюзеляжа
βnose = 0.45, на передней кромке мотогондолы двигателя βengine = 0.72. Отсюда
проводится расчет критической температуры и предела Лудлама по формулам
(4.7) и (4.4), соответственно. Результаты показаны на рисунках 4.2 и 4.3.
98
Рисунок 4.2 – Предел Лудлама для режима ожидания
Рисунок 4.3 – Скорость нарастания льда на носу фюзеляжа и мотогондоле
99
На рисунке 4.2 приведены зависимости tcrit и ρcrit от ρ и t в
рассматриваемых точках. Критическая температура на носу фюзеляжа выше, чем
критическая температура на мотогондоле, что приводит к тому, что образование
льда на носу фюзеляжа начинается раньше чем, на обечайке мотогондолы.
На рисунке 4.3 представлена зависимость скорости нарастания льда Vice от
t в рассматриваемых точках. Видно, что скорость нарастания льда на передней
кромке мотогондолы двигателя существенно выше, чем на носу фюзеляжа
(приблизительно в два раза).
4.2 Обледенение крыла и мотогондолы при реальных условиях полета
Для детального анализа проведены расчеты обтекания и условий
обледенения масштабированной (на типичный размах крыла 30 м) компоновки
DLR-F6 при полете на высоте 6 км в режиме ожидания посадки. Параметры
набегающего потока: u∞ = 695 км/ч (193.06 м/с), угол атаки α = 00, статическое
давление p∞ = 42641.83 Па, LWC = 0.4 г/м3, MVD = 36 мкм. Статическая
температура по МСА на данной высоте t∞ = -24 0C. Влияние температуры
набегающего потока t∞
изучается в следующих
вариантах: t∞ =0 0C, t∞ = -5
0C,
t∞ = -12 0C, t∞ = -15
0C,
t∞ = -20 0C, t∞ = -25
0C,
t∞ = -30 0C, t∞ = -33
0C и
t∞ = -35 0C.
Для расчета полумодели
самолета была построена
неструктурированная
гексоидная расчетная сетка
мощностью 5.5 млн. ячеек
(рисунок 4.4). Расчеты полей
течения воздуха проводились в рамках конечно-объемного метода 5-го порядка с
Рисунок 4.4 – Сетка для модели DLR-F6
100
использованием модели турбулентности SST, разрешение сеткой пограничного
слоя на уровне y+ = 1. Расчеты полей водности проводились на той же расчетной
сетке в рамках РМГ при K = 1.
На рисунке 4.5 показаны области появления льда на поверхности
полумодели самолета при t∞ = -12 0C. Видно, что лед образуется на носовой части
фюзеляжа, в области кабины, на передней кромке мотогондолы, на передней и
задней кромках крыла. Представлены цветные изображения, где белым цветом
изображены области, занятые льдом.
Рисунок 4.5 – Области появления льда на поверхности DLR-F6, α = 00 и t∞ = -12
0C
101
На рисунке 4.6 показаны поля скорости роста льда Vice на поверхности
мотогондолы при различных температурах набегающего потока t∞. При t∞ ≥ -5 0C
скорость роста льда Vice на передней кромке равна нулю. Термодинамика
поверхности мотогондолы такова, что перетекающая на внутреннюю поверхность
жидкая вода замерзает за зоной выпадения. При t∞ ≤ -15 0C скорость роста льда на
передней кромке Vice > 1 мм/мин, на внутренней поверхности Vice > 2 мм/мин.
Рисунок 4.6 – Поля скорости роста льда на поверхности мотогондолы, α = 00
Для лучшего понимания процесса образования льда на мотогондоле
двигателя рассмотрим сечение Y = -5.45 м, которое представлено на рисунке 4.7.
t∞= 0 0C t∞= -5
0C
t∞= -12 0C t∞= -15
0C
t∞= -20 0C t∞= -30
0C
102
Для оценки относительных
вкладов тепловых и массовых
потоков процессов в общий баланс
энергии и массы рассмотрим режим
t∞ = -12 0C. Распределения тепловых
и массовых потоков в сечении
Y = -5.45 м мотогондолы
представлены на графиках 4.8 и 4.9.
Аэродинамический тепловой поток
складывается из двух комопнент:
qa = qf - qc, где qf - тепловой поток
нагрева трением, qc - тепловой поток вследствие конвекции. Также qim -
кинетическая энергия попадающих на стенку капель воды, qin, qout - тепловые
потоки за счет втекающей и вытекающей жидкой воды, qva - тепловой поток из-за
процесса испарения или сублимации, qice - тепловой поток при кристализации и
охлаждении льда. Из рисунка 4.8 видно, что qa, qice и qva играют главные роли в
общем балансе энергии. кинетическая энергия qim капель воды в среднем
примерно в 10 раз меньше главных членов в уравнении энергии. Учитывается, что
qin и qout слабо влияют на квази-стационарный процессе.
На рисунке 4.9 показаны распределения массовых потоков, участвующие в
процессе обледенения: mim, min, mout, mva – капельный, за счет втекающей,
вытекающей, испарившейся (или сублимированной) воды, соответственно; mice -
массовый поток нарастающего льда.
При решении трёхмерных задач приходится учитывать тот фактор, что
термодинамика нарастания льда в точке торможения на поверхности заранее
неизвестна. Поэтому чтобы начать расчет, делается предположение о том, что
массовый поток за счет втекающей жидкости во всех ячейках равен нулю: min = 0.
В рамках этого предположения проводится расчет состояния всех
рассматриваемых элементов поверхности, в результате которого вычисляются
потоки mout. Для следующей итерации на основе полученных значений mout
Рисунок 4.7 – Сечение Y = -5.45 м
мотогондолы двигателя
103
рассчитываются min в соседних элементах, куда поступает жидкость. Далее
организуется цикл, который продолжается вплоть до сходимости задачи.
Рисунок 4.8 – Тепловые потоки в сечении Y = -5.45 м, t∞ = -12 0C, α = 0
0
Рисунок 4.9 – Массовые потоки в сечении Y = -5.45 м, t∞ = -12 0C, α = 0
0
104
На рисунке 4.9 видно, что в процессе решения задачи получен достоверный
результат. В точке торможения коэффициент захвата β максимален, массовый
поток капель воды mim имеет наибольшее значение. В точке торможения поток min
равен нулю, тогда как mout не равен нулю за счет неполного замерзания. При
отходе от точки торможения потоки min и mout нарастают, достигая максимумов,
затем спадают и стремятся к нулю за пределами зоны выпадения. В пределах
зоны выпадения поток mout больше по величине, на границе зоны выпадения и
далее эта роль переходит к min. Наибольшая область ненулевых потоков min и mout
в рассматриваемом случае находится на внешней поверхности мотогондолы.
История сходимости расчета в зависимости от номера итерации показана на
рисунке 4.10. Видно, что невязка решения стремится к машинному нулю.
Рисунок 4.10 – История сходимости расчета
На следующем этапе исследовано влияние температуры набегающего
потока t∞ на характеристики нарастания льда на поверхности мотогондолы. На
рисунке 4.11 показаны распределения скорости роста льда Vice в сечении Y=-5.45м
мотогондолы при различных значениях температуры t∞. Видно, что на внутренней
поверхности мотогондолы лед нарастает быстрее, чем на внешней поверхности.
Это приводит к появлению нароста льда, который представляет опасность для
двигателя. Такой нарост может оторваться и попасть в двигатель, повредив
105
лопатки компрессора, что должно быть предотвращено противообледенительной
системой [77].
При t∞ = -12 0C большая часть попавшей на стенку жидкой воды растекается
на внешней поверхности и замерзает за зоной выпадения, тогда как при t∞ ≤ -25 0C
капли замерзают в зоне выпадения. При t∞ ≥ -5 0C скорость роста льда на
внутренней поверхности мотогондолы меньше критического значения
(Vice < 1мм/мин), на внешней поверхности и на передней кромке мотогондолы
льда не образуется (Vice = 0 мм/мин). Чем ниже температура набегающего потока
t∞, тем больше скорость роста льда Vice, пока она не достигнет предельного
значения (Vice_предел = 4.05 мм/мин), определяемого условиями мгновенного
замерзания попавших на стенку капель воды.
Рисунок 4.11 – Скорость роста льда Vice в сечении Y = -5.45 м мотогондолы при
различных значениях t∞, α = 00
На рисунке 4.12 представлены распределения коэффициента намерзания в
сечении Y = -5.45 м мотогондолы при различных значениях температуры t∞. При
t∞ ≤ -25 0С все попадающие на стенку капли воды замерзают в зоне выпадения,
106
при t∞ ≤ -30 0С явление растекания капель имеется только вблизи пика выпадения
из-за высокой адиабатической температуры Tad.
При низких температурах t∞ в периферийной части зоны выпадения капли
замерзают сразу (f = 1), такое явление обусловлено низкой адиабатической
температурой Tad и малым капельным потоком массы mim.
Рисунок 4.12 – Коэффициент намерзания в сечении Y = -5.45 м мотогондолы при
различных значениях t∞, α = 00
На рисунке 4.13 представлены распределения температуры баланса Ts и
адиабатической температуры Tad стенки в сечении Y = -5.45 м мотогондолы при
различных значениях температуры t∞. При t∞ = 0 0С имеем: Tad Ts 0
0С,
поверхность покрыта незамерзшей водой. В небольшой области за зоной
выпадения на внутренней поверхности мотогондолы Ts = 0 0С, есть небольшая
фракция льда: f < 0.1, Vice < 0.5 мм/мин. При t∞ = -5 0С на внутренней поверхности
за зоной выпадения Ts = 0 0С, тоже есть небольшая фракция льда (здесь Tad < 0
0С),
Vice < 1 мм/мин. Передняя кромка и верхняя поверхность мотогондолы покрыты
незамерзшей водой, Ts > 0 0С.
107
При -25 < t∞ ≤ -12 0С все попадающие на поверхность капли замерзают,
растекаясь за зоной выпадения. Вне этой области отсутствует вода и Tad = Ts. На
передней кромке мотогондолы Ts = 0 0С за счет неполного замерзания.
Рисунок 4.13 – Температура баланса Ts и адиабатическая температура Tad в
сечении Y = -5.45 м мотогондолы при различных значениях t∞, α = 00
Для выяснения явления растекания воды рассмотрим массовый поток
вытекающей воды mout, который показан на рисунке 4.14. Видно, что при t∞ ≥ -5 0C
на поверхности мотогондолы вода не может полностью замерзнуть, поэтому в
исследуемом сечении mout не обращается в нуль. При t∞ ≤ -12 0C вся жидкость в
конечном счете замерзает, за зоной mout = 0 отсутствует жидкая вода.
На рисунке 4.15 показаны профили обледенения на основе начальной
скорости роста льда Vice при различных температурах набегающего потока t∞ и
при времени обледенения τice = 1 000 с. Видно, что при t∞ ≥ -20 0C на внутренней
108
поверхности мотогондолы появляется роговидный лед. При t∞ < -30 0C из-за
низкой адиабатической температуры Tad все капли замерзают в зоне выпадения,
профили льда при низких температурах мало отличаются. На начальной стадии
образуется лед с формой, промежуточной между профильной и роговидной.
Рисунок 4.14 – Массовый поток вытекающей воды mout в сечении Y = -5.45 м
мотогондолы при различных значениях t∞, α = 00
Рисунок 4.15 – Профили обледенения в сечении Y = -5.45 м мотогондолы при
различных значениях t∞, α = 00, время обледенения τice = 1 000 c
109
Более детальное развитие профилей обледенения в зависимости от времени
при различных температурах набегающего потока t∞ представлено на рисунке
4.16. Видно, что при времени обледенения τice ≤ 600 с во всех случаях лед слабо
меняет обводы обечайки мотогондолы но со временем для случаев t∞ ≥ -15 0C на
внутренней поверхности мотогондолы такой лед перейдет в рогообразную форму.
Рисунок 4.16 – Развитие профилей обледенения в сечении Y = -5.45 м
мотогондолы при различных значениях t∞, α = 00
110
Несколько другая ситуация обледенения наблюдается на большей части
крыла. В качестве примера исследуются характеристики обледенения в сечении
крыла Y = -7.5 м (рисунок 4.17).
Рисунок 4.17 – Сечение Y = -7.5 м крыла
На рисунке 4.18 показаны распределения скорости роста льда Vice в сечении
Y = -7.5 м крыла при различных значениях температуры t∞. Видно, что при
t∞ = 0 0С скорость нарастания льда Vice на крыле равна нулю (жидкая вода
растекается), при t∞ = -5 0С на нижней поверхности крыла лед также отсутствует,
но на верхней поверхности небольшая доля воды уже замерзает (Vice≤ 0.5 мм/мин).
На рисунке 4.19 показаны распределения коэффициента намерзания в
сечении Y = -7.5 м крыла при различных значениях температуры t∞. Видно, что
при низких температурах t∞ ≤ -25 0С все попадающие на стенку капли воды
замерзают в зоне выпадения, при t∞ ≤ -30 0С явление растекания капель имеется
только вблизи пика выпадения (точки торможения). В периферийной части зоны
выпадения капли замерзают сразу (f = 1), температура баланса здесь Ts < 0 0C.
На рисунке 4.20 показаны распределения температуры баланса Ts и
адиабатической температуры Tad стенки в сечении Y = -7.5 м крыла при различных
значениях температуры t∞. Видно, что при t∞ = 0 0С из-за отсутствия льда на
поверхности температура баланса Ts > 0 0С.
При t∞ < 0 0С на передней кромке Ts = 0
0С, но уже появляется небольшая
фракция льда (f > 0, см. рисунок 4.19).
111
Рисунок 4.18 – Скорость роста льда Vice в сечении Y = -7.5 м крыла при различных
значениях t∞, α = 00
Рисунок 4.19 – Коэффициент намерзания в сечении Y = -7.5 м крыла при
различных значениях t∞, α = 00
112
Следует обратить внимание на то, что в обоих случаях (на мотогондоле и на
крыле) в застойных зонах (в которые не попадают напрямую капли воды и в
области, где β ≈ 0) вода может появиться только за счет растекания из соседних
областей. При этом, кинетическая энергия qim и теплота аэродинамического
нагрева qa относительно малы, доминирующим является тепловой поток за счет
испарения qva (см. рисунок 4.8). Это приводит к тому, что капли вода быстро
охлаждаются и замерзают. Расчет показывает, что коэффициент намерзания в
зоне застоя велик (f ≥ 0.8) (см. рисунки 4.12 и 4.19).
Рисунок 4.20 – Температура баланса Ts и адиабатическая температура Tad в
сечении Y = -7.5 м крыла при различных значениях t∞, α = 00
На рисунке 4.21 представлен массовый поток вытекающей воды mout на
поверхности крыла при различных температурах набегающего потока t∞ и при
113
угле атаки α = 00. Видно, что при t∞ ≥ -5
0C на всей поверхности крыла вода не
замерзает полностью, поэтому массовый поток mout > 0.
Рисунок 4.21 – Массовый поток вытекающей воды mout в сечении Y = -7.5 м крыла
при различных значениях t∞, α = 00
Рисунок 4.22 – Профили обледенения в сечении Y = -7.5 м крыла при различных
значениях t∞, α = 00, время обледенения τice = 1 000 c
114
На рисунке 4.22 показаны профили обледенения в сечении Y = -7.5 м крыла
на основе начальной скорости роста льда Vice при различных температурах
набегающего потока t∞ и при времени обледенения τice = 1000 с. При-25≤t∞≤ -120C
скорость роста льда Vice на верхней поверхности выше, чем на нижней
поверхности, что приводит к отходу от профильной формы льда в сторону
образования роговидной формы. Неоднородность скорости роста льда Vice
выравнивается при температуре набегающего потока t∞ < -25 0C, что приводит к
образованию профильного льда.
Рисунок 4.23 – Развитие профилей обледенения в сечении Y = -7.5 м крыла при
различных значениях t∞, α = 00
115
Развитие профилей обледенения в сечении Y = -7.5 м крыла на начальной
стадии в зависимости от времени при различных температурах набегающего
потока t∞ представлено на рисунке 4.23. Видно, что при времени обледенения
τice ≤ 600 с во всех случаях лед слабо меняет обводы крыла.
При t∞ ≥ -15 0C высота ледяного нароста наибольшая на верхней
поверхности крыла, при времени обледенения τice ≥ 1 500 с образуется ледяной
уступ и формируется роговидный лед. Это представляет большую опасность в
полете, так как существенно ухудшает аэродинамические характеристики крыла
[78-81].
При низких температурах t∞ ≤ -25 0C вся вода замерзает в зоне выпадения,
на начальной стадии образуется профильный лед.
Следует обратить внимание на то, что на нижней поверхности вблизи
задней кромки крыла (рисунок 4.5) также появляется лед небольшой толщины. На
рисунке 4.24 показан пример развития профилей обледенения вблизи задней
кромки крыла при t∞ = -12 0C. Видно, что такой лед не оказывает существенного
влияния на аэродинамические характеристики самолета. При значительном
времени полета τice = 2 700 с (45 минут) его толщина в совокупности с охватом
большой области по размаху крыла может увеличить вес самолета на несколько
сотен килограмм [82-86].
Рисунок 4.24 – Развитие профилей обледенения в сечении Y = -7.5 м крылапри
t∞ = -12 0C, α = 0
0 при полете в режиме ожидания
116
На следующем этапе численных исследований рассмотрим, каким образом
поверхность самолета изменяется льдом при угле атаки α = 70.
На рисунке 4.25 показано распределение коэффициента захвата β на
поверхности самолета при угле атаки α = 70. Видно, что максимальный
коэффициент захвата расположен на передней кромке мотогондолы двигателя.
Кроме того, количество капель, попадающее на заднюю кромку крыла, довольно
заметно (коэффициент захвата β в этой области приблизительно β ≈ 0,1).
Рисунок 4.25 – Распределение коэффициента захвата β при угле атаки α = 70
На рисунках 4.26 показаны поля скорости роста льда на поверхности
мотогондолы двигателя при различных температурах набегающего потока t∞ и
117
при угле атаки α = 70, а на рисунке 4.27 показаны распределения скорости роста
льда Vice в сечении Y = -5.45 м мотогондолы при различных значениях
температуры t∞ и при α = 70. Видно, что в этом случае при t∞ = 0
0C скорость роста
льда на поверхности мотогондолы равна нулю, а при t∞ = -5 0C вода растекается за
зоны выпадения и там замерзает с маленькой скоростью (Vice < 0.6 мм/мин).
Вспоминаем, что для случая угла атаки α = 00 при t∞ ≥ -5
0C вода замерзает только
во внутренней поверхности мотогондолы (см. рисунки 4.6 и 4.11).
Рисунок 4.26 – Поля скорости роста льда на поверхности мотогондолы, α = 70
t∞= 0 0C t∞= -5
0C
t∞= -12 0C t∞= -15
0C
t∞= -20 0C t∞= -30
0C
118
Рисунок 4.27 – Скорость роста льда Vice в сечении Y = -5.45 м мотогондолы при
различных значениях t∞, α = 70
При уменьшении температуры набегающего потока t∞ перепад скорости
роста льда на внутренней и на внешней поверхности мотогондолы более замечен,
что даст рогообразную форму льда на внешней поверхности. При t∞ ≤ -25 0С вся
вода замерзает в зоне выпадения.
На рисунке 4.28 показаны распределения температуры баланса Ts и
адиабатической температуры Tad стенки в сечении Y = -5.45 м мотогондолы при
различных значениях температуры t∞ и при угле атаки α = 70. Видно, что при
t∞ ≥ -5 0С вода присутствует на всей обечайке мотогондолы, температура
равновесия Ts ниже адиабатической Tad. Эффект имеет простое объяснение. Он
обусловлен большими потерями теплоты при испарении и конвекции. В области
передней кромки мотогондолы температура равновесия Ts выше, чем в остальной
зоне, так как вода сильно подогревает кинетической энергией и вязкостью.
При t∞ ≤ -20 0С на внутренней поверхности в зоне застоя температура
равновесия ниже нуля. В этой области появляется только лед.
119
При -20 ≤ t∞ ≤ -12 0С на передней кромке обечайки мотогондолы
температура равновесия Ts в основном равна 273.15 K, на ней появляется двух
фазовые состояния воды: твердое и жидкое.
Рисунок 4.28 – Температура баланса Ts и адиабатическая температура Tad в
сечении Y = -5.45 м мотогондолы при различных значениях t∞, α = 70
На рисунке 4.29 показаны профили обледенения на основе начальной
скорости роста льда Vice при различных температурах набегающего потока t∞ при
угле атаки α = 70 и при времени обледенения τice = 1 000 с. На внешней
поверхности мотогондолы образуется роговидный лед. Чем больше температура
набегающего потока t∞, тем шире зона обледенения из-за растекания воды.
На рисунке 4.30 показано сравнение форм профилей обледенения в сечении
Y = -5.45 м мотогондолы для углов атаки α = 70 и α = 0
0 при τice = 1 000 c. Видно,
120
что для α = 00 ледяной нарост в форме рога образуется на внутренней
поверхности, а для α = 70 пик льда появляется на внешней поверхности. Это
подтверждается распределениями скорости роста льда, которые представлены на
рисунке 4.31.
Рисунок 4.29 – Профили обледенения в сечении Y = -5,45 м мотогондолы при
различных значениях t∞, α = 70, время обледенения τice = 1 000 c
Рисунок 4.30 – Профили обледенения в сечении Y = -5.45 м мотогондолы при
углах атаки α = 70 и α = 0
0, время обледенения τice = 1 000 c
121
Рисунок 4.31 – Скорость роста льда в сечении Y = -5.45 м мотогондолы при угле
атаки α = 70 и α = 0
0
На рисунке 4.31 показано различие распределений скорости роста льда Vice в
сечении Y = -5.45 м мотогондолы при углах атаки α = 70 и α = 0
0 и температурах
набегающего потока t∞ = -12 0C и t∞ = -20
0C. Видно, что пик скорости роста льда
при α = 00 находится на внутренней поверхности мотогондолы, а при α = 7
0 он
расположен на внешней поверхности. Кроме того, в обоих случаях при t∞ = -20 0C
скорость роста льда выше, чем при t∞ = -12 0C (приблизительно в 2 раза).
На рисунках 4.32 представлено развитие профилей обледенения в сечении
Y = -5.45 м мотогондолы в зависимости от времени при различных температурах
набегающего потока t∞ и при угле атаки α = 70. Видно, что при t∞ ≥ -15
0C и при
времени обледенения τice ≤ 600 с лед слабо меняет обводы обечайки мотогондолы
двигателя. Наоборот, при t∞ ≤ -20 0C и при времени обледенения τice ≥ 600 с
обводы обечайки мотогондолы заметно меняются за счет роговидного льда.
122
Рисунок 4.32 – Развитие профилей обледенения в сечении Y = -5.45 м
мотогондолы при различных значениях t∞, α = 70
На рисунке 4.33 показаны распределения скорости роста льда Vice в сечении
Y = -7.5 м крыла при различных значениях температуры t∞ и при угле атаки α = 70.
Видно, что скорость роста льда Vice на нижней поверхности мала относительно
скорости нарастания льда на верхней поверхности. При t∞ ≤ -20 0C вся вода
замерзает в зоне выпадения. Скорость роста льда довольно велика
(Vice = 2 мм/мин) даже при высокой температуре набегающего потока t∞ = 0 0C.
123
Рисунок 4.33 – Скорость роста льда Vice в сечении Y = -7.5 м крыла при различных
значениях t∞, α = 70
Рисунок 4.34 – Профили обледенения в сечении Y = -7.5 м крыла при различных
значениях t∞, α = 70, время обледенения τice = 1000 c
124
На рисунке 4.34 показаны профили обледенения в сечении Y = -7.5 м крыла
на основе начальной скорости роста льда Vice при различных температурах
набегающего потока t∞ и угле атаки α = 70 и при времени обледенения τice= 1 000 с.
Видно, что при таком времени обледенения во всех случаях заметный пик льда
появляется на верхней поверхности крыла.
Более детальное развитие профилей обледенения в сечении Y = -7.5 м крыла
в зависимости от времени при различных температурах набегающего потока t∞ и
при угле атаки α = 70 представлено на рисунках 4.35. Видно, что очень четко
проявляется роговидный лед, в особенности при t∞ ≥ -20 0C.
Рисунок 4.35 – Развитие профилей обледенения в сечении Y = -7.5 м крыла при
различных значениях t∞, α = 70
125
Рисунок 4.36 – Форма льда в сечении Y = -7.5 м крыла при времени обледенения
τice = 1 000 c при угле атаки α = 70 и α = 0
0
Рисунок 4.37 – Скорость роста льда Vice в сечении Y = -7.5 м крыла при углах
атаки α = 70 и α = 0
0
126
На рисунке 4.36 показано сравнение форм профилей обледенения в сечении
Y = -7.5 м крыла для углов атаки α = 70 и α = 0
0 при τice = 1 000 c. Видно, что в
обоих случаях ледяной нарост образуется на верхней поверхности крыла, при
этом толщина пика льда в случае α = 70 несколько выше, чем в случае α = 0
0.
На рисунке 4.37 показано пример различия распределений скорости роста
льда Vice в сечении Y = -7.5 м крыла при углах атаки α = 70 и α = 0
0 и температурах
набегающего потока t∞ = -12 0C и t∞ = -20
0C. Видно, что в обоих случаях пик
скорости роста льда находится на верхней поверхности крыла. Неоднородность
скорости роста льда на поверхности усиливается с ростом угла атаки, что
приводит к образованию роговидного льда. В обоих случаях при t∞ = -20 0C
скорость роста льда выше, чем при t∞ = -12 0C (приблизительно в 2 раза).
В настоящей главе представлен анализ результатов расчетов обтекания
масштабированной компоновки DLR-F6 при полете на высоте 6 км в режиме
ожидания посадки при различных температурах набегающего потока и углах
атаки α = 00 и α = 7
0. Проанализированы возможности появления льда на
критических частях поверхности самолета и оценены интенсивности его
отложения. Результаты демонстрируют развитие нарастания льда на поверхности
самолета на начальном этапе.
127
Заключение
В диссертации предложена физико-математическая модель и создан метод
моделирования образования льда на поверхности самолета при полете с малой
скоростью (u∞ < 200 м/с) при низкой температуре (t∞ ≤ 0 0C) и высокой влажности,
примером может служить полет в режиме «Ожидания» посадки.
На основе разработанного метода создан комплекс компьютерных
программ, состоящих из трех кодов: ICESIM-NSDG (решение краевой зачади для
уравнений Навье-Стокса и Эйлера методом РМГ высокого порядка точности в
приближении сухого воздуха); ICESIM-DROPDG (решение уравнений водности
методом РМГ в приближении капель одного вида); ICESIM-TERMO
(термодинамика замкнутого объема с учетом процесса конвекции, трения
вязкости, сублимации, испарения, кристаллизации). В результате работы можно
сделать следующие выводы:
1. Предложен метод гиперболизации системы уравнений водности, который
позволяет получить надежное и физически обоснованное решение задачи при
сгущении расчетных сеток во всех областях.
2. Впервые для решения уравнений водности применён метод РМГ высокого
порядка точности, позволяющий использовать существенно более грубые сетки.
Так, характерный размер минимальной ячейки может быть равным 5∙10-4
м.
3. Предложенная методология надежно верифицирована. Выполнена
валидация в двухмерных и трёхмерных случаев. Определена область
применимости метода, в частности, она ограничена в области безотрывного
обтекания.
4. Проведены исследования физических особенностей обледенения
гражданского самолета (масштабированной компоновки DLR-F6). Показано, что в
режиме «Ожидания» при разных температурах атмосфера возможно образование
льда со скоростью, которая превышает критические значения. Получено решение
с образованием роговидного льда на мотогондоле двигателя и крыле.
128
5. Показано, что скорость нарастания льда на мотогондоле выше, чем
соответствующая скорость на фюзеляже. В то время образование льда в
окрестности носовой части фюзеляжа начинается раньше чем, на мотогондоле.
Это необходимо учитывать при размещении датчиков обледенения.
6. Показано, что при обледенении летательного аппарата тепловой поток
вследствие кристаллизации имеет тот же порядок, что и тепловой поток
вследствие аэродинамического нагрева, испарения (или сублимации). Эти потоки
играют ведущую роль в тепловом балансе.
Дальнейшее развитие предложенной темы может быть связано с решением
задачи о взаимном влиянии потока сухого газа и водной взвеси друг на друга с
одновременным расчетом процесса обледенения самолета во времени.
129
Список источников литературы
1. Технологическая платформа «Авиационная мобильность и авиационные
технологии». [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
http://www.iacenter.ru/publication-files/138/118.pdf
2. Аналитический обзор «ACAREVision 2020». [Электронный ресурс]. –
Режим доступа:
http://www.acare4europe.org/sites/acare4europe.org/files/document/volume1.pdf
3. Guy F., Jean L. L., Arlene B. Prediction of Ice Shapes on NACA0012 2D Airfoil
// Anti-Icing Materials International Laboratory. –2003. – 01-2154.– p. 7.
4. Стасенко А.Л., Толстых В.А., Широбоков Д.А. К моделированию
оледенения самолета: динамика капель и поверхность смачивания // Матем.
Моделирование. – 2001. – 13:6. – с 81-86.
5. Ice accretion simulation // AGARD-AR-344. – 1997. – p. 280.
6. МещеряковаТ.П. Проектирование систем защиты самолетов и вертолетов //
– М.: Машиностроение, 1977. – c 232.
7. Aircraft icing handbook // Civil Aviation Authority. – 2000. – p. 97.
8. Летная эксплуатация воздушных судов. [Электронный ресурс]. – Режим
доступа: https://studfiles.net/preview/3315999/
9. Приходько А.А., Алексеенко С.В. Компьютерное моделирование процессов
нарастания льда на поверхности профиля NACA 0012 //Современная наука
– Исследования, идеи, результаты, технологии. – 2013. – 1(12). – с. 7.
10. Приходько А.А. Компьютерные технологии в аэрогидродинамике и
тепломассообмене. – Киев: Наукова думка, 2003. – с. 380.
11. Алексеенко С.В., Приходько А.А. Чиссленное моделирование обледенения
цилиндра и профиля. Обзор моделей и результаты расчетов // Ученые
записки ЦАГИ. – 2013. – том XLIV. – 6. – с. 25-57.
12. https://ru.wikipedia.org/wiki/Обледенение
13. http://superjet.wikidot.com/wiki:ice
130
14. Трунов О.К. Безопасность взлета в условиях обледенения (Сведения,
правила, рекомендации для летного и наземного персонала гражданской
авиации). – М: Авиационный сертификационный центр, 1995. – с. 71.
15. https://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/124508/Противообледенительное
16. Gent R.W., Dart N.P., Cansdale J.T. Aircraft icing // The Royal Society. – 2000.
– V. 358. – 1776. – p. 39.
17. Hardy J.K. Protection of aircraft against ice // The Aeronautical Journal. – 1947.
– V. 51. – 435. – p. 371-305.
18. Messinger B.L. Equilibrium temperature on an unheated icing surface as a
function of airspeed // Journal of Aeronautical Sciences. – 1953. – V. 20. – 1.
– p. 29-42.
19. Ludlam F.H. The heat economy of a rimed cylinder // Quartely J. of the Royal
Meteorological Society. – 1951. – V. 77. – 1. – p. 663-666.
20. Gary R., Berkowitz B. Users Manual for the NASA Lewis Ice Accretion
Prediction Code (LEWICE) // NASA Contractor Report 185129, 1990.
21. Bidwell C., Mohler S. Collection Efficiency and Ice Accretion Calculations for a
Sphere, a Swept MS(1)-317 Wing, a Swept NACA-0012 Wing Tip, an
Axisymmetric Inlet, and a Boeing 737-300 Inlet // AIAA Paper. – 1995. – V. 95.
– 0755.
22. Bourgault Y., Boutanios Z., Habashi W.G. Three-dimensional Eulerian Approach
to Droplet Impingement Simulation Using FENSAP – ICE, Part 1: Model,
Algorithm, and Validation // Journal of Aircraft. – 2000. – V. 37. – No 1. – p. 95 -
103.
23. Мазин И.П. Физические основы обледенения самолетов. –М:, 1957. – с 121.
24. Giao T. V., Hsiung W. Y., Colin S. B., Marlin D. B., Timothy J. B. Experimental
Investigation of Water Droplet Impingement on Airfoils, Finite Wings, and an S-
Duct Engine Inlet // NASA/TM. – 2002. – 211700. – p. 430.
25. Wright W.B. Users manual for the Improved NASA Lewis Ice Accretion Code
LEWICE 1.6 // National Aeronautical and Space Administration (NASA),
Contraactor Report. – 1995. – p. 97.
131
26. Guffond D., Cassaing J., Brunet S. Overview of icing research at ONERA //
AIAA 23rd Aerospace Sciences Meting, Reno, NV, USA. – 1985. – p. 8.
27. Guilherme S., Otavio S., Euryale Z. Numerical Simulation of Airfoil Thermal
Anti-Ice Operation. Part 1: Methematical Modeling // Journal of Aircraft. – 2007.
– V. 44. – No. 2. – p. 627-633.
28. Ion P., Farooq S. Ice Accretion Simulation Code CANICE // International
Aerospace Symposium, Bucharest, Romania. – Oct. 2011. – p. 7.
29. Hospers M.J., Hoeijmakers H.W. Eulerian Method for Ice Accretion on Multiple-
Element Airfoil Sections // 48th AIAA Aerospace Sciences Meeting Including the
New Horizons Forum and Aerospace Exposition. – Florida , Jan. 2010. – p. 13.
30. Михайлов С.В. Программа, реализующая зонный подход, для расчета
нестационарного обтекания вязким потоком турбулентного газа ложных
аэродинамических форм, включая крыло с механизацией (ZEUS) //
Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ. – Окт.
2012. – 2013610172.
31. Honsek R. Development of a Three-Dimensional Eulerian Model of Droplet –
Wall Interaction Mechanisms // Department of Mechanical Engineering McGill
University Montreal. – June 2005. – p. 110.
32. Hughes T., Mallet M. A New Finite Element Formulation for Computational
Fluid Dynamics: III The Generalized Streamline Operator for Multidimensional
Advectuve - Diffusive Systems // Computer Method in Applied Mechanics and
Engineering. – 1986. –V. 58.
33. Босняков С.М., Акинфиев В.О., Власенко В.В., Глазков С.А., Горбушин
А.Р., Кажан Е.В., Курсаков И.А., Лысенков А.В., Матяш С.В., Михайлов
С.В. Использование методов вычислительной аэродинамики в
экспериментальных работах ЦАГИ // Математическое моделирование. –
2011. – Том 23. – 11. – С.65-98.
34. Bosniakov S. Experience in integrating CFD to the technology of testing models
in wind tunnels // Progress in Aerospace Sciences.– 1998. – 34. – p 391-422.
132
35. Власенко В.В. О математическом подходе и принципах построения
численных методологий для пакета прикладных программ EWT-ЦАГИ //
Труды ЦАГИ. – 2007. – 2671. – с. 20-85.
36. Власенко В.В., Кажан Е.В., Матяш Е.С., Михайлов С.В., Трошин А.И.
Численная реализация неявной схемы и различных моделей турбулентности
в расчетном модуле ZEUS // Труды ЦАГИ. – 2015. – 2735.
37. Кажан Е. В. Комбинированный метод численного решения стационарных
уравнений Рейнольдса и его применение к моделированию работы
воздухозаборника вспомогательной силовой установки в компоновке с
фюзеляжем летательного аппарата: Диссертация на соискание ученой
степени кандидата технических наук. – М: ЦАГИ, 2016. – с. 171.
38. Нгуен Н.Ш. Численное моделирование поля водности при обтекании
элементов летательного аппарата: Магистерская диссертация. – М.: МФТИ,
ФАЛТ, 2015. – с. 49.
39. Волков А.В. Применение многосеточного подхода к решению 3D уравнений
Навье–Стокса на гексаэдральных сетках методом Галеркина с разрывными
базисными функциями // Журнал выч. Мат. и мат. физики. – 2010. – Т. 50. –
. 3. – с. 517-531.
40. Hirsch Ch., Wolkov A., Leonard B. Discontinuous Galerkin Method on
Unstructured Hexahedral Grids // 47th AIAA Paper. – Jan. 2009. – No 177. – p.
16.
41. Wolkov A.V. Application of the Multigrid Approach for Solving 3D Navier-
Stokes Equations on Hexahedral Grids Using the Discontinuous Galerkin Method
// Computational Mathematics and Mathematical Physics. – 2010. – V. 50. – No
3. – p. 495-508.
42. Волков А.В. Методы решения сеточных уравнений конечно - элементной
аппроксимации пространственных течений // Ученые записки ЦАГИ. –
2010. – Том XLI. – 3.
43. Волков А.В. Разработка методов численного решения простанственных
задач обтекания тел вязким газом на основе схем высокого порядка
133
точности: Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-
математических наук. – М: ЦАГИ, 2009. – с. 183.
44. Волков А.В. Особенности применения метода Галеркина к решению
пространственных уравнений Навье-Стокса на неструктурированных
гексаэдральных сетках // Ученые записки ЦАГИ. – 2009. – Том XL. – 6.
45. Волков А.В., Ляпунов С.В. Применение конечно-элементного етода
Галеркина с разрывными базисными функциями к решению уравнений
Рейнольдса на неструктурированных адаптивных сетках // Ученые записки
ЦАГИ. – 2007. – Том XXXVIII. – 3-4. – с. 10.
46. Vlasenko V.V., Wolkov A.V., Hirch C. Computationally effective Discontinuous
Galerkin Scheme for Linearized Euler Equations // West-East High Speed flow
field Conference. – Moscow, Russia, Nov. 2007.
47. Волков А. В., Ляпунов С. В. Монотонизация метода конечного элемента в
задачах газовой динамики // Ученые записки ЦАГИ. – 2009. – Т. 40. – . 4.
– c.15-28.
48. Волков А.В., Ляпунов С.В. Исследование эффективности использования
численных схем высокого порядка точности для решения уравнений Навье–
Стокса и Рейнольдса на неструктурированных адаптивных сетках // Журнал
вычислительной математики и математической физики. – 2006. – Т. 46. – .
10. – c. 1894-1907.
49. Cao Y., Zhang Q. Sheridan J., Numerical simulation of rime ice accretions on an
aerofoil using an Eulerian method // The aeronautical journal. – 2008. – p. 243.
50. Сивухин Д. В. Общий курс физики, Механика, Том 1 // Москва, МФТИ,
2005
51. Hospers J. M. Eulerian method for super-cooled large-droplet ice-accretion on
aircraft wings, 2013.
52. http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/VVV/drop.pdf
53. Jung S.K., Myong R.S., Cho T.H. Development of Eulerian Droplets
Impingement Model Using HLLC Riemann Solver and POD-Based Reduced
134
Order Method // 41st AIAA Fluid Dynamics Conference and Exhibit. – 2011. –
No. 3907.
54. SungKi Jung, A computational Modeling for Semi-Coupled Multiphase Flow in
Atmospheric Icing Conditions // Journal of Aerospace Technology and
Management (Online). – 2015. – V. 7. – p. 351-364.
55. Волков А.В., Зыонг Д.Т. Применение метода Галеркина с разрывными
функциями к решению системы уравнений динамики водяной взвеси в
воздушномпотоке // Ученые записки ЦАГИ. – 2017. – Том XLVIII. – 5.
56. Зыонг Де Тай, Расчет методом конечного элемента высокой точности
невязкого обтекания модельного крыла в условиях образования тонкого
льда // Труды МАИ. – 2018. – 98.
57. Bourgault Y., Habashi W.G., Dompierre J., Baruzzi G. A finite element method
study of Eulerian droplets impingement models // Int. J. Numer. Meth. Fluids. –
1999. – No 28. – p. 429-449.
58. Зыонг Д.Т., Фам Т.В. Определение зон безопасной работы персонала
регионального аэропорта в окрестности самолета с работающим двигателем
// Техника Воздушного Флота. – 2011. – Том LXXXV. – 3 (704)
59. Зыонг Д.Т., Фам Т.В. Численное моделирование струй в задачах защиты
двигателя самолета и персонала от попадания камней в условиях
регионального аэропорта // Труды Цаги. – 2013. – Сборник статей. – 2710
60. Подаруев В.Ю. Опыт создания программного кода на основе метода
Галеркина с разрывными базисными функциями высокого порядка точности
// Труды МАИ. – 2017. – 95.
61. Подаруев В.Ю. Метод высокого порядка точности для расчета на
суперкомпьютере характеристик турбулентных струй, истекающих из сопл
гражданских самолетов: Диссертация на соискание ученой степени
кандидата технических наук. – М: ЦАГИ, 2017. – с. 173.
62. Tesini P. An h-Multigrid Approach for High-Order Discontinous Galerkin
Methods // Dottorato in Tecnologie per l’Energia e l’Ambiente, 2008. – p. 139.
135
63. Bassi F., Rebay S. High–Order Accurate Discontinuous Finite Element Solution
of the 2D Euler Equations // J. Comput. Phys. – 1997. – V. 138. – p. 251–285.
64. Власенко В.В., Волков А.В., Трошин А.И. Выбор метода аппроксимации
вязких членов в методе Галёркина с разрывными базисными функциями //
Ученые записки ЦАГИ. – 2013. – Том XLIV. – 3. – с. 18-38.
65. Shu C. W. High-order finite difference and finite volume WENO schemes and
discontinuous Galerkin methods for CFD // International Journal of
Computational Fluid Dynamics. – 2003. – V. 17. – No. 2. – p. 107-118.
66. Eleuterio F. Toro Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics //
Springer. DOI 10.1007/978-3-540-49834-6
67. Roe P.L. Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors and Difference
Schemes // Journal of Computational Physics. – 1981. – V. 43. – p. 357-372.
68. Буй В.К. Расчет тепло-массообмена на поверхности цилиндра в дозвуковом
капельном потоке вязкого газа: Магистерская диссертация. – M.: МФТИ,
ФАЛТ, 2016. – с. 49.
69. https://ru.wikipedia.org/wiki/Первое_начало_термодинамики
70. Tran P., Brahimi M.T., Paraschivoiu I. Ice Accretion on Aircraft Wings with
Themodynamic Effects // 32nd Aerospace Sciences Meeting & Exhibit. – 1994. –
No 0605. – p. 10.
71. Mazin I.P., Korolev A.V., Heymsfiedl A., Isaac G.A., Cober S.G.
Thermodynamics of Icing Cylinder for Measurements of Liquids Water Content
in Supercooled Clouds // Journal of Atmospheric and Oceanic Technology. –
2001. – V. 18. – p. 543-558.
72. https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_хорды
73. Yihua Cao, Junsen Huang, Jun Yin, Numerical simulation of three-dimensional
ice accretion on an aircraft wing // Elsevier- Int. J. of Heat and Mass Transfer. –
2016. – V. 92. – p. 34-54.
74. Zhu C., Fu B., Sun Z.. 3D Ice Accretion Simulation for Complex Configuration
Basing on Improved Messinger Model // Int. J. of Modern Physics: Conference
Series, 2012. – V. 19. – p. 341-350.
136
75. William B. W., Gent P.W., Didier G. DRA/NASA/ONERA Collaboration on
Icing Research // NASA CR 202 34 9. – 1997.
76. Michael P., Hsiung-Wei Y., See-Cheuk W. Aerodynamic Performance of a Swept
Wing with Ice Accretions // AIAA Paper. – 2003. – No 0731. – p. 49.
77. Draft Decision of the executive director of the European Aviation Safety Agency
// Notice of Proposed amendment (NPA) No 2011-03. – 2011.
78. Павленко О.В. Численное исследование особенностей обтекания модели
крыла с имитаторами льда // Ученые записки ЦАГИ. – 2016. – Том XLVII. –
1. – с. 62–68.
79. Павленко О.В. Параметрические исследования влияния обледенения на
аэродинамические характеристики профиля крыла // Ученые записки
ЦАГИ. – 2009. – Том XXXX. – 2.
80. Павленко О.В. Численное исследование влияния роговидных ледяных
наростов на аэродинамические характеристики пассажирского самолета //
Техника Воздушного Флота. – 2011. – Том LXXXV. – 1(702).
81. Lee S., Bragg M.B. Effects of Simulated-Spanwise Ice Shapes on Airfoils:
Experimental Investigation // AIAA Paper. – 1999. – No 0092.
82. Lee S., Kim H.S., Bragg M.B. Investigation of Factors that Influence Iced-Airfoil
Aerodynamics // AIAA Paper. – 2000. – No0099.
83. Kim H.S., Bragg M.B. Effect of Leading-Edge Ice Accretion Geometry on Airfoil
Aerodynamics // AIAA Paper 99-3150. – Jan. 2001.
84. Sam L., Michael B. B. Investigation of Factors Affecting Iced-Airfoil
Aerodynamics // Journal of Aircraft. – May-June 2003. – V. 40. – No. 3.
85. Andy P.B., Michael B.B. Flowfield Measurements About an Airfoil with
Leading-Edge Ice Shapes // Journal of Aircraft. – 2006. – V. 43. – No. 4.
86. David C. P. Developing Critical Ice Shapes for Use in Aircraft Development and
Certification //45th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno,
Nevada, 8 - 11 January 2007.