Z A D A C I - Grupa A:

sa drugog parcijalnog ispita iz predmeta IN�ENJERSKA MATEMATIKA 1, ETFS, 08.01.2012.

Zad. 1. Primjenom Maclaurinovog razvoja izra�unajte ( )( ).tgctgsinlim0

xxx

×®

[ I. -¥ . II. 1. III. 0. IV. +¥ . ] (2,5 b.) Zad. 2. Definirajte pojmove lokalnog minimuma, stacionarne ta�ke i tangente na grafik realne funkcije jedne realne promjenljive, a zatim objasnite postupak odre!ivanja najmanje vrijednosti takve funkcije, pa primjenom

tog postupka odredite najmanju povr�inu trougla ABC �iji je vrh A ta�ka (-1,0), vrh B je ta�ka dodira

tangente krive zadane jedna�inom 1=xy , a vrh C je ta�ka presjeka te tangente s osom Ox.

[ I. 2 3 . II. 6 . III. 3 . IV. 2 3

3 . ] (1 b.+1 b.+1 b.)

Zad. 3. Definirajte pojmove sriktno primitivne funkcije, primitivne funkcije i neodre!enog integrala, a zatim

opi�ite metodu parcijalne integracije pa primjenom te metode na!ite integral ( ) .d6cos2 xxe xò

[ I. ( ) ( )[ ] .6sin66cos210

2

Cxxe x

+×- II. ( ) ( )[ ] .6sin66cos28

2

Cxxe x

+×-

III. ( ) ( )[ ] .6sin66cos210

2

Cxxe x

+×+ IV. ( ) ( )[ ] .6sin26cos610

2

Cxxe x

++× ]

(0,5 b.+ 1 b.+1 b.)

Zad. 4. Izra�unajte povr�inu obrtne povr�i koja nastaje obrtanjem parabole zadane jedna�inom xy 22 =

oko prave �ija je jedna�ina xy 2= . (2 b.)

[ I. ( )úúû

ù

êêë

é++

-21ln

3

827

5

p. II. ( )

úúû

ù

êêë

é++

-21ln

3

827

54

p.

III. ( )úúû

ù

êêë

é++

-21ln2

3

827

54

p. IV. ( )

úúû

ù

êêë

é++

-21ln

3

827

5

2p.]

Zad. 5. Realne funkcije 321 ,, fff jedne realne promjenljive zadane su formulama:

x

bxxf

--=

1)(

3

1 , )(2 xf = 3 23 )1( xbx ++ , (x) cosec(x) cos3

(x)ctg)1()(

2

3 ×-+

=x

xf ,

gdje je b ukupan broj bodova koji ste ostvarili na 2. redovnom parcijalnom ispitu iz IM1 koji ste polagali (prvi put) u toku

svog studija na Elektrotehni�kom fakultetu Univerziteta u Sarajevu (odr�anom 13.1.2011, 8.1.2010, 9.1.2009, 9.1.2008, ...).

a) Odredite (prirodne) domene zadanih funkcija 321 ,, fff , a zatim za svaku od tih funkcija odredite i

klasificirajte eventualne njene ta�ke prekida i singulariteta. (1 b. + 0,5 b.)

b) Izra�unajte (izvode) )(),(),( 321 xfxfxf ¢¢¢ i diskutujte njihovu egzistenciju, a zatim odredite eventualne

ta�ke lokalnog ekstrema zadanih funkcija 21, ff , kao i eventualne prelomne i povratne ta�ke njihovih grafika.

(1,5 b. + 1 b. + 0,5 b.)

c) Primjenom diferencijalnog ra�una ispitajte i ostala osnovna svojstva zadane funkcije 1f , pa

na osnovu dobijenih rezultata /uklju�uju"i i rezultate u a) i b)/, nacrtajte njen grafik. (2,5 b.)

d) Izra�unajte zapreminu obrtnog tijela koje nastaje obrtanjem oko x � ose lika (u xy- ravni) kojeg

ograni�avaju grafik zadane funkcije 1f , x � osa i prave p: x = 3 i q: x = 4. (1,5 b.)

e) Verificirajte da su pretpostavke Lagrangeovog teorema srednje vrijednosti zadovoljene za zadanu

funkciju 1f na segmentu [3, 4], a zatim opi�ite odgovaraju!u geometrijsku interpretaciju. (1 b. + 0,5 b)

IME I PREZIME STUDENTA : ...............................................................

Z A D A C I - Grupa B:

sa drugog parcijalnog ispita iz predmeta IN�ENJERSKA MATEMATIKA 1, ETFS, 08. 01.2012.

Zad. 1. Primjenom Maclaurinovog razvoja izra�unajte ( )( ).sinsinctglim0

xxx

×®

[ I. -¥ . II. 0. III. 1. IV. +¥ . ] (2,5 b.) Zad. 2. Definirajte pojam diferencijala realne funkcije jedne realne promjenljive i formuli�ite teoremu o pribli�nom odre ivanju vrijednosti funkcije primjenom diferencijala, a zatim primjenom diferencijala

odgovaraju!e realne funkcije jedne realne promjenljive izra�unajte pribli�no 1037,2

1037,22

2

+

-.

[ I. 0,872 . II. 0,782. III. 0,827. IV. 0,278. ] (0,5 b.+1 b. +1,5 b.) Zad. 3. Definirajte pojmove sriktno primitivne funkcije, primitivne funkcije i neodre"enog integrala, a zatim

opi�ite metodu parcijalne integracije pa primjenom te metode na"ite integral ( ) .d6sin2 xxe xò

[ I. ( ) ( )[ ] .6cos66sin210

2

Cxxe x

+×- II. ( ) ( )[ ] .6cos66sin28

2

Cxxe x

+×+

III. ( ) ( )[ ] .6cos26sin610

2

Cxxe x

+×-× IV. ( ) ( )[ ] .6cos66sin210

2

Cxxe x

+×+ ]

(0,5 b.+ 1 b.+1 b.)

Zad. 4. Izra�unajte povr�inu lika (u xy- ravni) kojeg ograni�avaju x � osa, y � osa, prava p: x =10 i grafik

funkcije j zadane formulom

22 2 1

0

2( ) (1 tg )x x t dt

p

jp

-= +ò .

[ I . 9ln . II. 10ln . III. .11ln IV. 12ln .] (1,5 b.+ 0,5 b)

Zad. 5. Realne funkcije 321 ,, fff jedne realne promjenljive zadane su formulama:

x

bxxf

--=

1)(

2

1 , )(2 xf = 3 23 )1( xbx +- , )( cos)(sin

)(sec1)(

2

2

3xx

xxxf

+

×-= ,

gdje je b ukupan broj bodova koji ste ostvarili na 2. redovnom parcijalnom ispitu iz IM1 koji ste polagali (prvi put) u toku

svog studija na Elektrotehni�kom fakultetu Univerziteta u Sarajevu (odr�anom 13.1.2011, 8.1.2010, 9.1.2009, 9.1.2008, ...).

a) Odredite (prirodne) domene zadanih funkcija 321 ,, fff , a zatim odredite i klasificirajte eventualne

njihove ta!ke prekida i singulariteta. (1 b. + 0,5 b.)

b) Izra!unajte (izvode) )(),(),( 321 xfxfxf ¢¢¢ i diskutujte njihovu egzistenciju, a zatim odredite eventualne

ta!ke lokalnog ekstrema zadanih funkcija 21, ff , kao i eventualne prelomne i povratne ta!ke njihovih grafika.

(1,5 b. + 1 b. + 0,5 b.)

c) Primjenom diferencijalnog ra!una ispitajte i ostala osnovna svojstva zadane funkcije 1f , pa

na osnovu dobijenih rezultata /uklju!uju"i i rezultate u a) i b)/, nacrtajte njen grafik. (2,5 b.)

d) Izra!unajte zapreminu obrtnog tijela koje nastaje obrtanjem oko x � ose lika (u xy � ravni) kojeg

ograni!avaju grafik zadane funkcije 1f , x � osa i prave p: x = 5 i q: x = 6. (1,5 b.)

e) Verificirajte da su pretpostavke Lagrangeovog teorema srednje vrijednosti zadovoljene za zadanu

funkciju 1f na segmentu [5, 6], a zatim na#ite sve vrijednosti od c iz intervala (5, 6) koje (u ovom slu!aju)

zadovoljavaju zaklju!ak tog teorema. (1 b. + 0,5 b)

IME I PREZIME STUDENTA : ...............................................................