МКИТ - 7 mr en evm · 2019. 12. 10. · Решение Комплексные числа и...

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина «Элементы высшей математики» входит в математический и общий

естественнонаучный цикл основной профессиональной образовательной программы и является

частью программной подготовки специалистов среднего звена в соответствии с ФГОС СПО по

специальности 09.02.07 «Информационные системы и программирование».Основное назначение дисциплины ЕН.01 «Элементы высшей математики» в средних

профессиональных образовательных организациях состоит в формировании у студентов общих

компетенций. Содержание дисциплины предусматривает повторение и систематизацию знаний, полученных в средней общеобразовательной школе, формирование общих компетенций.

Практическое занятие – это форма организации учебного процесса, предполагающая

выполнение обучающимися заданий самостоятельно и под руководством преподавателя. Дидактическая цель практических работ – формирование у обучающихся профессиональных и

практических умений, необходимых для изучения последующих учебных дисциплин, а также

подготовка к применению этих умений в профессиональной деятельности.Практические занятия предполагают работу по формированию умений: выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений; решать задачи, используя уравнения прямых и кривых второго порядка на плоскости; применять методы дифференциального и интегрального исчисления решать дифференциальные уравнения пользоваться понятиями теории комплексных чисел.В результате выполнения практических заданий обучающийся должен продемонстрировать

знания: основ математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии; основ дифференциального и интегрального исчисления; основ теории комплексных чисел.

Раздел 1. Теории комплексных чисел и пределов. Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной действительной переменной и нескольких действительных

переменных.Тема 1.1. Основы теории комплексных чисел.Практическая работа № 1. Решение задач с комплексными числами.Цель работы: научиться выполнять действия над комплексными числами.Для выполнения работы необходимо знать понятие комплексного числа, основные формулы

и правила действий над комплексными числами; необходимо уметь применять формулы и

выполнять действия над комплексными числами.Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.Краткая теория и методические рекомендации

3

Комплексным числом называется число вида z = a + bi, где a, b – вещественные числа, которые называют действительной и мнимой частью комплексного числа соответственно и

обозначают a = Re(z), b = Im(z). i называется мнимой единицей. i2 = –1. В частности, любое

вещественное число можно считать комплексным: a = a + 0i, где a – вещественное. Если же a = 0

и b ≠ 0, то число принято называть чисто мнимым.Операции над комплексными числами.Рассмотрим два комплексных числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i.

Сумма комплексных чисел – комплексное число .

Разность .

Произведение .

Отношение

.

Рассмотрим z = a + bi.

Сопряженным к z называется комплексное числоz1 = a1 + b1i.

Модулем z называется вещественно число

.

Алгебраическая форма записиРассмотрим комплексное число z = a + bi, такая форма записи комплексного числа

называется алгебраической.

Тригонометрическая формаИз рисунка видно, что число z = a + bi можно записать иначе. Очевидно, что a = rcos(φ), b =

= rsin(φ), r = |z|, следовательно, z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (–π; π) называется аргументом

комплексного числа. Такое представление комплексного числа называется тригонометрической

формой. Тригонометрическая форма записи порой очень удобна. Например, ее удобно

использовать для возведения комплексного числа в целую степень, а именно, если z = rcos(φ) ++ rsin(φ)i, то zn = rncos(nφ) + rnsin(nφ)i, эта формула называется формулой Муавра.

Показательная форма4

Рассмотрим z = rcos(φ) + rsin(φ)i – комплексное число в тригонометрической форме, запишем

в другом виде z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = reiφ, последнее равенство следует из формулы Эйлера, таким образом мы получили новую форму записи комплексного числа: z = reiφ, которая

называется показательной. Такая форма записи так же очень удобна для возведения комплексного

числа в степень: zn = rneinφ, здесь n не обязательно целое, а может быть произвольным

вещественным числом. Такая форма записи довольно часто используется для решения задач.Основная теорема высшей алгебрыПредставим, что у нас есть квадратное уравнение x2 + x + 1 = 0. Очевидно, что дискриминант

этого уравнения отрицателен и вещественных корней оно не имеет, но оказывается, что это

уравнение имеет два различных комплексных корня. Так вот, основная теорема высшей алгебры

утверждает, что любой многочлен степени n имеет хотя бы один комплексный корень. Из этого

следует, что любой многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней с учетом их

кратности. Эта теорема является очень важным результатом в математике и широко применяется. Простым следствием из этой теоремы является такой результат: существует ровно n различных

корней степени n из единицы.

Задача 1. Найдите комплексные корни уравнения , если:а) ; б) ; в) .

Решение

а) .

Так как

,

то это уравнение можно записать в виде или .

Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем , откуда ,

;

б) .

Учитывая, что , преобразуем это уравнение:

,

,

,

,

откуда

, ;

в) .

Преобразуем

,

,

,

откуда

5

,

.

Ответ: а) ;

б) ;

в) .

Задача 2. Найдите x и y, для которых .

РешениеПолучим и решим систему двух уравнений:

Ответ: .

Задача 3. Решите уравнение относительно действительных

переменных x и y.

РешениеЛевую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число.

Приведя его к виду , получаем уравнение равносильное данному

.

Так как два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и

мнимые части, приходим к системе:

Ответ:

.

Задача 4. При каких действительных значениях x и y комплексные числа

и

будут противоположными?

6

РешениеКомплексные числа

и

будут противоположными, если выполняются условия:

Задания для самостоятельного решения1. Вычислите (i64 + i17 + i13 + i82)(i72 – i34).

2. Вычислите значения х и у из выражения (3i – 1)x + (2 – 3i)y = 2 – 3i.

3. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел (3 + 5i) + (7 – 2i).

4. Произведите умножение комплексных чисел (2 + 3i)(5 – 7i).

5. Выполните действия: (3 + 5i)2, (3 + 2i)(3 – 2i).

6. Выполнить деление:

7. Решите уравнения:x2 – 4x + 13 = 0;

x2 + 3x + 4 = 0;

2,5x2 + x + 1 = 0;

4x2 – 20x + 26 = 0.

8. Запишите в тригонометрической форме комплексные числа z = 5, z = 6i.

Контрольные вопросы1. Что такое комплексное число?

2. Что такое мнимая единица?

3. Что такое действительная часть числа?4. Что такое мнимая часть числа?5. Как сравнить два комплексных числа?6. Какие числа называются сопряженными?7. Как представить комплексное число графически?8. Что такое модуль числа?9. Что такое аргумент числа?

10. Сколько может быть модулей и аргументов у комплексного числа?11. Как найти аргумент числа?

12. Как найти сумму комплексных чисел?

7

13. Как найти разность комплексных чисел?14. Как найти произведение комплексных чисел?15. Как найти частное комплексных чисел?


переменных.Тема 1.2. Теория пределов.Практическая работа № 2. Решение основных типов пределов. Цель работы: научиться вычислять пределы, раскрывать неопределенности, используя

свойства, неопределенности и два замечательных предела.Для выполнения работы необходимо знать понятия числовой последовательности, предела

функции, свойства пределов, замечательные пределы, раскрытие неопределенностей, односторонние пределы, классификация точек разрыва.

Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.Краткая теория и методические рекомендацииПредел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий

член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом

случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое

определение.

Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий

член неограниченно приближается к a при возрастании n. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что|un| Mдля всех n. Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

Основные теоремы о пределах(1)

(1*),

то из условий(1) и (1*)

(2)

lim (xm) = (lim x)m; (3)

(4)

8

lim , если limy 0; (5)

lim (loga x) = loga (lim x). (6)

Запомните, что

lim = 1, при х 0 (первый замечательный предел);

lim n = e, при n – число е; е 2,71828 – основание натуральных логарифмов;

(логарифм числа х по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается ln x).

; ( второй замечательный предел).

При х → ; или при → 0.

Пример 1. Найти lim (x4 – 3x2 + 16x + 1) при х –1.

Решение. lim (x4 – 3x2 + 16x + 1) = (lim x4 – lim 3x2 + 16x + 1) = [(lim x)4 – 3(lim x)2 +16lim x +1] =

=(–1)4 – 3(–1)2 + 16(–1) + 1 = –17.

Ответ: – 17.

Примечание. Для нахождения предела целого или дробного рационального алгебраического

выражения, если предел знаменателя не равен нулю, надо переменную x заменить ее пределом и

произвести указанные в выражении действия. Например,

.

Пример 2. Найти .

Решение. Применить теорему о пределе дроби (частного) нельзя, т.к. при х0 lim (5х3 – 3х2) = 0.

До перехода к пределу следует упростить данную дробь

.

Предел знаменателя

– 3 0.

Применяя теперь теорему о пределе дроби (частного), получим

.

Ответ. –2/3.


Решение

.

Ответ. 0.


9

Решение. Числитель и знаменатель дроби превращаются в бесконечность, а их отношение не

имеет смысла. Поэтому преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель дроби на

наивысшую степень аргумента, т.е. на х3:

.

Ответ. 1/2.


Решение. Применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя равен нулю.Перепишем данное выражение так:

.

Применяя формулу , получим .

Ответ. 4.


Решение. Применить теорему о пределе частного нельзя, т.к. при х = 5 числитель и

знаменатель обращаются в нуль. Перепишем данную дробь в виде

.

Переходя к пределу, получим

Ответ. .

Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей вида .

10

Задания для самостоятельного решенияВычислить следующие пределы:

Контрольные вопросы1. Понятия числовой последовательности и ее предела. 2. Понятие предела функции в точке. 3. Понятие непрерывности функции. 4. Теорема о пределе суммы. 5. Теорема о пределе произведения.

11

6. Теорема о пределе частного. 7. Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. 8. Непрерывность суммы, произведения и частного. 9. Непрерывность сложной функции. 10. Первый замечательный предел.11. Второй замечательный предел.12. Виды неопределенностей и способы их раскрытия.


переменных.Тема 1.3. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной.Практическая работа № 3. Решение дифференциальных уравнений.Цель работы: используя схему исследования функции, научиться строить графики функций.Для выполнения работы необходимо знать общую схему исследования функций.Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.

Краткая теория и методические рекомендацииОбщая схема исследования функции и построение её графика1. Найдите область определения функции. 2. Исследуйте функцию на четность или нечетность.3. Найдите промежутки знакопостоянства.4. Найдите промежутки монотонности функции, её экстремумы.5. Найдите промежутки выпуклости графика функции, её точки перегиба.6. Найдите точки пересечения графика функции с осями координат.7. Постройте график функции, используя полученные результаты исследования.

Построить график функции ехху

1. D(y) = R.

2. Функция не является четной и нечетной.3. у = 0 при х = 0. Два промежутка знакопостоянства )0;( и );0( для 0)0;( ух ; для

0);0( ух .

4. Найдем производную данной функции

)1()( xxxxy eeeeexxxxx .

0у при х = –1. Эта точка делит область определения функции на два промежутка )1;(

);1( .

12

Исследуемая функция на промежутке )1;( убывает, а на промежутке );1( возрастает.

Точка х = –1 – точка минимума ey

1)1(

min

.

5. Найдем вторую производную данной функции

)2()1()1()1()( xxxxy eeeeexxxxx .

0y при х = –2.

х = –2 – точка перегиба, е

еyпер 2

2 22)2(

.

6. По полученным данным строим график.

Задания для самостоятельной работыИсследуйте средствами дифференциального исчисления функцию y = f(x) и построите ее

график.

1. y = 4

22 х

; 2. y = (x –1)2 · (x + 2); 3. y = x3 + 10x2 +32x + 32.

Контрольные вопросы1. Возрастание и убывание функции. 2. Экстремумы функции.

13

3. Исследование функции с помощью первой производной. 4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.5. Выпуклость и вогнутость графика функции. 6. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. 7. Общая схема исследования функции и построение графиков функций.


переменных.Тема 1.4. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной.Практическая работа №4. Интегральное исчисление.Цель работы: на конкретных примерах научиться находить неопределенный интеграл

различными способами.Для выполнения работы необходимо знать основные способы и методы интегрирования.Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.

Краткая теория и методические рекомендацииТаблица интегралов

1.

)1(,1

1

nCn

dxx

xn

n

2. Cxdx

3. Cxx

dxln

4. xdxxdx cossin

5. xdxxdx sincos

6. Ctgxx

dx

cos2

7. Cctgxx

dx

sin2

8. Cxtgxdx cosln

9. Cxctgxdx sinln

10. Cdx eexx

11. Ca

dx aa

xx

ln

12. Carctgxdx

x

2

1

13. Carctgxa

dx

xa

1

22

14. Cxa

xa

a

dx

xa

ln

2

122

15. Cxdx

x

arcsin

12

16. Ca

xdx

xa

arcsin

22

Методы интегрирования1. Непосредственное интегрирование.Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции,

которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.

Пример 1. Вычислите dxxxx )sin3( 3.

Решение. Для вычисления интеграла сначала воспользуемся 2 и 3 свойствами

неопределенного интеграла, а затем применим 1 и 4 табличные интегралы:

14

Cxxdxxdxdxdxxx xxхx cos11

313

sin3)sin3(1113

33

.cos2

3

4

2

4

Сxхх

Пример 2. Вычислите dxx

x x 2

23.

Решение. Для вычисления интеграла сначала каждый член числителя почленно разделим на

знаменатель, затем воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла и применим 1 и 3

табличные интегралы

2

12ln323

2323 2

22

cxxxdxdxx

dxdx

xdx

x

xdx

xdx

x

xx

xx

2. Метод замены переменной (метод подстановки).Он является одним из наиболее эффективных и распространенных приемов интегрирования,

позволяющих во многих случаях упростить вычисление интеграла. Суть этого метода состоит в

том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому

интегралу, который легко вычисляется непосредственным интегрированием.

Пример 3. Вычислите dxx )43(3

.

Решение. Введем новую переменную t = 3x – 4, тогда dxdxxdxtdt 3)43( , откуда

3

dtdx . Подставим новую переменную в интеграл (вместо выражения 3х – 4 подставим t, вместо

dx подставим 3

dt)

.12

4

33)43( 3 C

tdttdxx

Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену

(вместо t подставим выражение 3х – 4), получим окончательный ответ

.12

)43( 4)43( 3 Сх

dxx

Задания для самостоятельной работыНайдите неопределенные интегралы. Результаты проверьте дифференцированием.

1.2

2 3

2 3

xdx

x

.

2.2

1 3

3 5

xdx

x

.

3.2

2

5 3

xdx

x

.

4.2

5 2

7 3

xdx

x

.

5.2

2sin 3

cos

xdx

x

.

6. 5(3 2 )x xe e dx .

15

7.2

5 3cos

sin

xdx

x

.

8.2

4

(2 )

1

x xdx

x

.

9.2

2

3

3

x x

x

e edx

e

.

10.2

sin 2 sin

1 cos

x xdx

x

.

Контрольные вопросы1. Первообразная функции и неопределенный интеграл. 2. Свойства неопределенного интеграла. 3. Таблица основных интегралов. 4. Основные методы интегрирования (замена переменных, интегрирование по частям).


переменных.Тема 1.5. Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных

переменных.Практическая работа № 5. Частные производные функции нескольких переменных. Цель работы: на конкретных примерах научиться находить частные производные функции

многих переменных.Для выполнения работы необходимо знать основные способы и приемы дифференцирования.Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.Краткая теория и методические рекомендацииЧастной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных

называется производная, взятая по этой переменной при условии, что все остальные переменные

остаются постоянными. Для функции двух переменных z = f(x, y) частной производной по

переменной x называется производная этой функции по x при постоянном y. Обозначается частная

производная по x следующим образом:

.

Аналогично частной производной функции z = f(x, y) по аргументу y называется производная

этой функции по y при постоянном x. Обозначения:

.

Частными производными второго порядка функции z = f(x, y) называются частные

производные от ее частных производных первого порядка. Если первая производная была взята, например, по аргументу x, то вторые производные обозначаются символами

16

.

z xy

z yx .

Пример. Найти частные производные z = y4 – 2xy2 + x2 + 2y + y2.

Решение. = – 2y2 + 2x, = 4y3 – 4xy +2 +2y, yz xy 4, yz yx 4

, z xy

z yx .

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите частные производные первого и второго порядка

yxyxz2

sin ; yxxyz32cos ; xyyxz 2sin2 .

2. Найдите значения частных производных в точке (1;1):

yyxxz223 32 ; xyxyz 223

32 ; xyyxz33 .

3. Найдите область определения функции

yxz 2; )ln( yxz ; yxyxz .

Контрольные вопросы1. Функции нескольких переменных. 2. Частные производные. 3. Полный дифференциал. 4. Частные производные и полный дифференциал. 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков.


переменных.Тема 1.6. Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменныхПрактическая работа № 6. Интегральное исчисление, решения интегралов. Цель работы: на конкретных примерах научиться вычислять двойные интегралы, вычислять

площадь плоских фигур с помощью двойного интеграла.Для выполнения работы необходимо знать понятие двойного интеграла, область

интегрирования, геометрический смысл двойного интеграла.Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.Краткая теория и методические рекомендацииДвойные интегралы – это обобщение понятия определённого интеграла для функции двух

переменных, заданной как z = f(x, y).

Записывается двойной интеграл так:

17

.

Здесь D – плоская фигура, ограниченная линиями, выражения которых (равенства) даны в

задании вычисления двойного интеграла. Слева и справа – равенствами, в которых слева

переменная x, а сверху и снизу – равенствами, в которых слева переменная y. Это место и далее –

одно из важнейших для понимания техники вычисления двойного интеграла.Вычислить двойной интеграл – значит найти число, равное площади фигуры D.

Для вычисления двойного интеграла нужно, таким образом, рассортировать линии, огранивающие фигуру D, которая имеет строгое название – область интегрирования.

Рассортировать на левые и правые и на верхние и нижние. Это потребуется при сведении

двойного интеграла к повторному интегралу – методе вычисления двойного интеграла.Случай прямоугольной области

Случай криволинейной области

А это уже решение определённых интегралов, в которых заданы верхний и нижний пределы

интегрирования. Выражения, задающие линии, которые ограничивают фигуру D, будут пределами

интегрирования для обычных определённых интегралов, к которым мы уже подходим.Сведение двойного интеграла к повторному

18

Случай прямоугольной областиПусть дана функция двух переменных f(x, y) и ограничения для D: D = {(x; y) | a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d},

означающие, что фигуру D слева и справа ограничивают прямые x = a и x = b, а снизу и сверху –

прямые y = c и y = d. Здесь a, b, c, d – числа.Пусть для такой функции существует двойной интеграл

.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который

имеет вид

.

Здесь пределы интегрирования a, b, c, d – числа, о которых только что упоминалось.Сначала нужно вычислять внутренний (правый) определённый интеграл, затем – внешний

(левый) определённый интеграл.Можно и поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид

.

Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала – внутренний (правый) интеграл, затем – внешний (левый).

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая игрек константой. Получаем

.

19

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего

(правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.Пример 2. Вычислить двойной интеграл

,

где

.


.

На чертеже строим область интегрирования.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем


(правого):

20

Результат и будет решением данного двойного интеграла.Случай криволинейной или треугольной областиПусть снова дана функция двух переменных f(x, y), а ограничения для D уже несколько

другого вида:

.

Эта запись означает, что фигуру D слева и справа ограничивают, как и в случае

прямолинейной области – прямые x = a и x = b, но снизу и сверху – кривые, которые заданы

уравнениями и . Иными словами, и – функции.

Пусть для такой функции также существует двойной интеграл

.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который

имеет вид

.

Здесь пределы интегрирования a и b – числа, а и – функции. В случае

треугольной области одна из функций или – это уравнение прямой линии. Такой

случай будет разобран в примере 3.

Как и в случае прямолинейной области, сначала нужно вычислять правый определённый

интеграл, затем – левый определённый интеграл.Точно так же можно поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид

.

Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала – внутренний (правый) интеграл, затем – внешний (левый).

Пример 3. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

21


.

На чертеже строим область интегрирования и видим, что она треугольная.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем


(правого). Сначала представляем этот интеграл в виде суммы интегралов

.

Вычисляем первое слагаемое

Вычисляем второе слагаемое

Вычисляем третье слагаемое

Получаем сумму, которая и будет решением данного двойного интеграла

.

22

Задания для самостоятельной работы

1. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена прямыми

.

2. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена прямыми

.

3. Вычислить двойной интеграл , где .

4. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями. Сделать чертеж:А) (х2 + у2)2 = 4ху;В) x 2 + y 2 = 2y , y ≥ x, x ≥ 0.

Контрольные вопросы1. Двойные интегралы и их свойства.2. Повторные интегралы.3. Вычисление двойного интеграла методом сведения его к повторному. 4. Приложение двойных интегралов

Раздел 2. Теория рядов. Матрицы и определители. Векторы. Аналитическая геометрия

на плоскости.Тема 2.1. Теория рядов.Практическая работа № 7. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Цель работы: познакомиться с признаком Лейбница, на конкретных примерах научиться

применять данный признак для исследования ряда на сходимость.Для выполнения работы необходимо знать признак Лейбница, понятия абсолютной и

условной сходимости рядов.Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.Краткая теория и методические рекомендацииРассмотрим знакочередующийся ряд

...1...11

3211

1

nn

nn

nvvvvv , (1)

где nvn 0 . Ряд (1) сходится, если nvv nn 01 и 0lim n

nv . Ряд вида (1), удовлетворяющий

указанным условиям, называется рядом лейбницевского типа или лейбницевским рядом. Остаток

лейбницевского ряда имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине:

1 nn vr .

23

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

1

1

1ln

11

n

n

n .

Решение. По признаку Лейбница данный ряд сходится, так как 2ln

1

1ln

1

nn и

01ln

1lim

nn . Но ряд из абсолютных величин

1 1ln

1

n n расходится по первой теореме

сравнения, ибо 1

1

1ln

1

nn , а ряд 1

1

1

nn является расходящимся, что нетрудно показать

путём сравнения его с гармоническим рядом. Итак, данный ряд сходится.Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если каждый следующий член ряда по

модулю меньше, чем предыдущий: . Для ряда выполнена

строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно

А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий

.

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если каждый следующий член ряда

по модулю не больше предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом

Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена

ряда одинаковы по модулю. То есть каждый следующий член ряда по модулю не больше

предыдущего: .

Пример 2

Исследовать ряд на сходимость .

Решение. В общий член ряда входит множитель , и это наталкивает на естественную

мысль проверить выполнение условий признака Лейбница.1. Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают

подробно и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».

2. Убывают ли члены ряда по модулю? Здесь нужно решить предел .

– члены ряда не убывают по модулю, и из этого автоматически

следует его расходимость – по той причине, что предела не существует *, то

есть, не выполнен необходимый признак сходимости ряда.Вывод: ряд расходится.

24

Пример 3. Исследовать ряд на сходимость .

Решение. Используем признак Лейбница.

1.

Ряд является знакочередующимся.

2. – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по

модулю меньше, чем предыдущий: ( ) – поскольку большим знаменателям

соответствуют меньшие дроби. Таким образом, убывание монотонно.Вывод: ряд сходится.

Сходящийся ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд ; в

противном случае ряд сходится условно.

Поэтому в типовом задании, как правило, нужно провести второй этап решения. Составим

ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:

– расходится (гармонический ряд) – тут даже без исследования обошлось.

Таким образом, наш ряд сходится условно.

Пример 4. Исследовать ряд на сходимость .

Решение. Используем признак Лейбница:

1)

Данный ряд является знакочередующимся;

2) – члены ряда убывают по модулю.

Для любого номера n справедливо неравенство: , а

большим знаменателям соответствуют меньшие дроби:

,

то есть, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: , а это

означает, что убывание монотонно.Вывод: ряд сходится.Теперь выясним, как именно. Для этого составим и исследуем соответствующий ряд из

модулей

.

25

Анализируя начинку, приходим к выводу, что здесь нужно использовать предельный признак

сравнения. Скобки в знаменателе удобнее раскрыть

.

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак

сравнения

.

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд сходится вместе с рядом

.

Таким образом, ряд

сходится абсолютно.

Задания для самостоятельного решения1. Исследовать ряд на сходимость

.

2. Исследовать ряд на сходимость

.


.


.


.

Контрольные вопросы1. Знакочередующийся ряд.2. Монотонно убывающий ряд.3. Признак Лейбница. 4. Условно сходящийся ряд.5. Абсолютно сходящийся ряд.

26


на плоскости.Тема 2.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения.Практическая работа № 8. Решения дифференциальных уравнений 2-го порядка. Цель работы: на конкретных примерах научиться решать дифференциальные уравнения

второго порядка.Для выполнения работы необходимо знать понятие дифференциального уравнения второго

порядка и способы нахождения общего и частного решений дифференциального уравнения

второго порядка.Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.Краткая теория и методические рекомендацииВ теории и практике различают два линейных дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами – однородное уравнение и неоднородное уравнение.Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:

,

где и – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:,

где и – константы, а – функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае

функция может быть числом, отличным от нуля.Рассмотрим алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка:

.

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение

.

По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно:

– вместо второй производной записываем ;

– вместо первой производной записываем просто «лямбду»;– вместо функции ничего не записываем.

– это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.Существуют три варианта развития событий. Они доказаны в курсе математического анализа,

и на практике мы будем использовать готовые формулы.1. Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня

Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных

корня , (т.е. если дискриминант ), то общее решение однородного уравнения выглядит так:

, где – константы.

27

В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например, , тогда общее решение .

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:;

;

, .

Получены два различных действительных корня, запишем ответ, руководствуясь формулой

.

Ответ. Общее решение .

Не будет ошибкой, если записать общее решение наоборот: , но хорошим

стилем считается располагать коэффициенты по возрастанию, сначала –2, потом 1.

Придавая константам различные значения, можно получить бесконечно много частных

решений.Решить дифференциальное уравнение – это значит найти множество решений, которое

удовлетворяет данному уравнению. Такое множество решений, напоминаю, называется общим

интегралом или общим решением дифференциального уравнения.Таким образом, в рассмотренном примере найденное общее решение должно

удовлетворять исходному уравнению . Точно так же, как и у диффуров 1-го

порядка, в большинстве случаев легко выполнить проверку.Берем наш ответ и находим производную

.

Находим вторую производную..

Подставляем , и в левую часть

уравнения :

.

Получена правая часть исходного уравнения (ноль), значит, общее решение

найдено правильно (оно, как проверено, удовлетворяет уравнению ).

2. Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корняЕсли характеристическое уравнение имеет два кратных (совпавших)

действительных корня (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения

принимает вид, где – константы.

Вместо в формуле можно было нарисовать , корни всё равно одинаковы.

28

Если оба корня равны нулю , то общее решение опять же упрощается:

. Кстати, является общим решением того самого

примитивного уравнения , о котором я упоминал в начале урока. Почему? Составим

характеристическое уравнение: – действительно, данное уравнение как раз и имеет

совпавшие нулевые корни .

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение.

Здесь можно вычислить дискриминант, получить ноль и найти кратные корни. Но можно

невозбранно применить известную школьную формулу сокращенного умножения:

(конечно, формулу нужно увидеть, это приходит с опытом решения)Получены два кратных действительных корня .

Ответ: общее решение .

3. Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни.Если характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни

, (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения

принимает вид

, где – константы.Примечание: Сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко следующим

образом: .

Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни: , то общее

решение упрощается.

Пример 3

Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:;

;

– получены сопряженные комплексные корни.

Ответ: общее решение .

Частное решение однородного ДУ второго порядка, удовлетворяющее заданным

начальным условиям.Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце задачи добавляется один пункт.Пример 4

29

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным

условиям , .

.

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:

, .

Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение:.

Теперь нужно найти частное решение, соответствующее заданным начальным условиям. Наша задача состоит в том, чтобы найти такие значения констант , чтобы выполнялись

оба условия.

Алгоритм нахождения частного решения следующий:

Сначала используем начальное условие :

.

Согласно начальному условию, получаем первое уравнение или просто

.

Далее берём наше общее решение и находим производную

.

Используем второе начальное условие

.

Согласно второму начальному условию, получаем второе уравнение

или просто .

Составим и решим систему из двух найденных уравнений:

.

В составленной системе удобно разделить второе уравнение на 2 и почленно сложить

уравнения:

.

Всё, что осталось сделать – подставить найденные значения констант в общее

решение

.

Ответ: частное решение .

Проверка осуществляется по следующей схеме:Сначала проверим, выполняется ли начальное условие :

– начальное условие выполнено.

30

Находим первую производную от ответа.

– второе начальное условие тоже выполнено.

Находим вторую производную:.

Подставим и в левую часть исходного дифференциального уравнения

:

, что и требовалось проверить.

Таким образом, частное решение найдено верно.Задания для самостоятельной работы1. Решите дифференциальное уравнение второго порядка:

0127 ууу ;

054 ууу ;

0103 ууу ;

032 ууу ;

0158 ууу ;

0124 ууу .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения, выполнить проверку.

3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

4. Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка.

5. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным

условиям: y 4y 4y e2x, y(0) 1, y(0) 1.

y 4y12y 8sin 2 x; y(0) 1, y(0) 1.

y 6y 7y x2 x; y (0) 1, y(0) 1.

y 4y e2x; y(0) 1, y(0) 2.

Контрольные вопросы1. Однородное и неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка.2. Формулы решения дифференциального уравнения в зависимости от вида корней

характеристического уравнения.3. Общее и частное решение дифференциального уравнения.


на плоскости. Тема 2.3. Матрицы и определители.Практическая работа № 9. Умножение матриц и умножение матрицы на число.

31

Цель работы: на конкретных примерах научиться выполнять умножение матрицы на число и

умножение матриц.Для выполнения работы необходимо знать основные правила умножения матриц и

умножения матрицы на число.Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.Краткая теория и методические рекомендацииОпределениеПроизведением матрицы на ненулевое число называется матрица того же

порядка, полученная из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:.

Итак, в результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего

элемента исходной матрицы на заданное число.Мы получим одинаковый результат, умножая число на матрицу, или матрицу на число, то

есть .

Из определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за

знак матрицы.Данная операция, вместе с операцией сложения матриц, относится к линейным операциям над

матрицами.Пример

Задание. Чему равна матрица , если матрица ?

Решение

.

Ответ. .

Свойства умножения матрицы на число.

.

.

.

.

ОпределениеПроизведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что

элемент матрицы , стоящий в -й строке и -м столбце, т.е. элемент , равен сумме

произведений элементов -й строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца

матрицы .

Замечание

32

Умножать матрицы можно тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы

равно количеству строк второй матрицы.Пример

Задание. Вычислить и , если .

Решение. Так как , а , то произведение возможно и результатом операции

умножения будет матрица , а это матрица вида .

Вычислим элементы матрицы :

;

;

;

;

;

.

Итак, .

Выполним произведения в более компактном виде:

.

Найдем теперь произведение . Так как количество столбцов матрицы

(первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы (второй сомножитель), то

данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Ответ. .

В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов

матрицы не совпадает с количеством строк матрицы .

Свойства произведения матриц

Ассоциативность .

Ассоциативность по умножению .

Дистрибутивность , .

Умножение на единичную матрицу .

В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. .

.

33

Задания для самостоятельной работы1. Найти матрицу 3A для матрицы

2. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если

, .


, .


, .

5. Даны матрицы и . Вычислить 4A + 2B.

Контрольные вопросы1. Матрицы и их виды. 2. Операции над матрицами. 3. Умножение матрицы на число.4. Произведение матриц.


на плоскости.Тема 2.3. Матрицы и определители.Практическая работа № 10. Сложение и вычитание матриц. Цель работы: на конкретных примерах научиться выполнять сложение и вычитание матриц.Для выполнения работы необходимо знать основные правила сложения и вычитания матриц.Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.Краткая теория и методические рекомендацииСложение и вычитание матриц, допускаются только для матриц одинакового размера.Сумма матриц

34

ОпределениеСуммой матриц и одного размера называется матрица такого же размера,

получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов:.

ЗамечаниеСкладывать можно только матрицы одинакового размера.ПримерНайти , если

.

Решение

.

Ответ

.

Свойства сложения и вычитания матрицАссоциативность .

, где – нулевая матрица соответствующего размера..

Коммутативность .

Разность матрицРазность двух матриц одинакового размера можно определить через операцию сложения

матриц и через умножение матрицы на число.Вычитание матриц вводится следующим образом: , то есть к матрице

прибавляется матрица , умноженная на (–1).

ОпределениеРазностью матриц и одного и того же размера называется матрица такого же

размера, получаемая из исходных путем прибавления к матрице матрицы , умноженной на(–1).

На практике же от элементов матрицы попросту отнимают соответствующие элементы

матрицы при условии, что заданные матрицы одного размера.ЗамечаниеВычитать можно только матрицы одинакового размера.Пример

Найти матрицу , если .

Решение

35

.

Ответ

.

Задания для самостоятельного решения1. Найти сумму и разность матриц

и .

2. Выполнить сложение матриц

и .


и .


и .

5. Выполнить сложение матриц:

6. Выполните действия над матрицами:

Контрольные вопросы1. Матрицы и их виды. 2. Сумма матриц. 3. Свойства суммы матриц.4. Разность матриц.

36


на плоскости.Тема 2.4. Системы линейных уравнений.Практическая работа № 11. Решение задач по линейной алгебре, решения произвольной

системы линейных уравнений. Цель работы: на конкретных примерах научиться решать системы уравнения методом

Гаусса.Для выполнения работы необходимо знать основные правила сложения и вычитания матриц.Ход работы1. Изучить основные сведения.2. Выполнить задания.3. Ответить на контрольные вопросы.Краткая теория и методические рекомендацииСистемой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида

(1)

Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел

,

при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если

она решений не имеет.Если совместная система имеет только одно решение, то она называется определенной, и

неопределенной, если она имеет более чем одно решение.Например, система уравнений

совместная и определенная, так как имеет единственное решение ; система

несовместная, а система

совместная и неопределенная, так как имеет более одного решения ( , где –

любое число).Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют

одно и то же множество решений. В частности, две несовместные системы считаются

эквивалентными.

37

Основной матрицей СЛАУ (1) называется матрица А размера , элементами которой

являются коэффициенты при неизвестных данной системы, то есть

.

Матрицей неизвестных СЛАУ (1) называется матрица-столбец Х, элементами которой

являются неизвестные системы (1):

.

Матрицей свободных членов СЛАУ (1) называется матрица-столбец В, элементами которой

являются свободные члены данной СЛАУ:

.

С учетом введенных понятий СЛАУ (1) можно записать в матричном виде или

.

Одним из наиболее эффективных и универсальных методов решений СЛАУ является метод

Гаусса.

Процесс решения системы линейных алгебраических уравнений по методу Гаусса состоит из двух этапов.

Первый этап (прямой ход метода) – система приводится к треугольному виду.Второй этап (обратный ход) – неизвестные определяются последовательно, начиная с

последнего неизвестного и кончая первым.

Пример. Решите систему:

.342

,253

,1342

zyx

zyx

zух

РешениеВыпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду

3 4 2 1

2 5 1 3

1 3 4 2

~

2 5 1 3

1 3 4 2

3 4 2 1

~

7- 7- 5 0

5- 5- 0 0

3 4 2 1

~

1 1 0 0

7- 7- 5 0

3 4 2 1

.

38

.1

,775

,342

z

zy

zух

.1

,0177775

,114023423

z

zy

zух

Ответ: (–1, 0, 1).

Пример. Найдите общее решение системы уравнений

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

Ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке прибавим

первую, умноженную на , к четвертой строке прибавим первую, умноженную на :

Вторую строку, умноженную на , прибавим к третьей:

В третьей строке все элементы равны нулю, а элемент . Значит, система

несовместна.Ответ. Система несовместна. Задания для самостоятельной работы1. Решить систему методом Гаусса

2. Решить систему методом Гаусса

3.Исследовать совместность системы уравнений

39

4. Определить совместность системы уравнений

5. Решить систему методом Гаусса

6,

3 4 6 29,

2 9,

2 3 14.

x y z

x y z

x y z

x y z

Контрольные вопросы1. Что понимается под системой линейных алгебраических уравнений?2. Запишите в общем виде СЛАУ. Каков смысл величин, входящих в уравнения системы?3. Дайте определение решения системы, определения совместной, несовместной системы.4. При каких условиях СЛАУ имеет единственное решение?5. К какой СЛАУ применим метод обратной матрицы?8. Сформулируйте алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений.9. Какая система линейных алгебраических уравнений называется однородной?10. При каких условиях система однородных уравнений имеет ненулевое решение?


на плоскости.Тема 2.5. Векторы и действия с ними.Практическая работа № 12. Вычисление скалярного, смешанного, векторного

произведения векторов. Цель работы: повторить понятие вектора, действия с векторами.Для выполнения работы необходимо знать основные правила нахождения скалярного,

смешанного и векторного произведения векторов.Ход работыИзучение теоретического материала, составляя кластеры. Написание реферата на тему

«Вычисление скалярного, смешанного, векторного произведения векторов»:– для овладения знаниями: работа над учебным материалом (с учебником, с материалами,

полученными по сети Интернет); изучение теоретического материала;– для формирования умений и владений: изучение теоретического материала, составляя

кластеры; – для закрепления и систематизации знаний: работа с учебником (обработка темы).В работе должны быть раскрыты следующие вопросы:1. Определение вектора.2. Формулы для длины вектора, угла между двумя векторами.

40

3. Формула расстояния между точками в декартовой прямоугольной системе координат.4. Геометрическая интерпретация скалярного произведения векторов. 5. Определение векторного произведения двух векторов, его свойства.6. Определение смешанного произведения трех векторов.7. Геометрический и механический смысл векторного произведения.8. Геометрический смысл смешанного произведения.9. Физические приложения скалярного и векторного произведения.Вторая часть.Задания для самостоятельной работы1. Найти скалярное произведение векторов = {1; 2} и = {4; 8}.

2. Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины | | = 3, | | = 6, а угол между

векторами равен 60˚.3. Найти скалярное произведение векторов ē = + 3 и ō = 5 – 3 , если их длины | | = 3,

| | = 2, а угол между векторами и равен 60˚.4. Найти скалярное произведение векторов = {1; 2; -5} и = {4; 8; 1}.

5. Найти скалярное произведение векторов = {1; 2; -5; 2} и = {4; 8; 1; –2}.

6. Даны точки А(1; –1; 2), В(5; –6; 2), С(1; 3; –1). Найти площадь треугольника АВС.

7. Даны точки и векторы

8. Задание:

1) для векторов , , найти:a) их координаты;

b) угол между векторами и ;

с) площадь параллелограмма, построенного на векторах и не используя значение угла

между ними;d) объем тетраэдра, построенного на трех векторах;2) найти x при котором векторы и параллельны. Контрольные вопросы1. Определение вектора.2. Формулы для длины вектора, угла между двумя векторами. 3. Формула расстояния между точками в декартовой прямоугольной системе координат.4. Геометрическая интерпретация скалярного произведения векторов. 5. Определение векторного произведения двух векторов, его свойства.6. Определение смешанного произведения трех векторов.7. Геометрический и механический смысл векторного произведения.8. Геометрический смысл смешанного произведения.9. Физические приложения скалярного и векторного произведения.


на плоскости.Тема 2.5. Аналитическая геометрия на плоскости.Практическая работа № 13. Решение задач по аналитической геометрии.

41

Цели работы1. Познакомиться с формами заданиями прямой на плоскости.2. На конкретных примерах научиться составлять различные уравнения прямой.3. Познакомиться с уравнениями кривых второго порядка.4. Научиться строить кривые второго порядка

Для выполнения работы необходимо знать формы задания прямой на плоскости, уравнения

кривых второго порядка.Краткая теория и методические рекомендации1. Аx + Вy + С = 0 – общее уравнение прямой:а) a = 0, b ≠ 0. Уравнение определяет прямую, параллельную оси абсцисс и пересекающую ось

ординат в точке с координатой ;

б ) b = 0, a ≠ 0. Уравнение определяет прямую, параллельную оси ординат и пересекающую

ось абсцисс в точке с координатой ;

в) c = 0. Уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат.

2. – уравнение прямой, проходящей через 2 точки (х1, у1); (х2, у2).

3. – параметрические уравнения прямой.

4. вуу

ахх 00

– уравнение прямой, проходящей через точку А(х0, у0) и направляющий

вектор ),( ваа .

5. 1ву

ах

– уравнение прямой в отрезках.

6. А(x-х0) + В(y-у0) = 0 – уравнение прямой, проходящей через точку А(х0, у0) и нормальный

вектор ),( ВАа .

Определение. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых

удовлетворяют уравнению второго порядка .

Определение. Окружностью

называется геометрическое место

точек плоскости, равноудаленных от

фиксированной точки, называемой

центром окружности

Пример 1. Нарисуйте кривую

.

Решение. Выделив полные квадраты, получим

Итак, центр окружности – , радиус равен 2

42

Определение. Эллипсом называется

геометрическое место точек

плоскости, для каждой из которых

сумма расстояний до двух данных

точек той же плоскости, называемых

фокусами эллипса, есть величина

постоянная

.

Определение. Точки пересечения

эллипса с его осями симметрии

называются вершинами эллипса, центр симметрии – центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется

большой осью эллипса, половина его

длины – большой полуосью эллипса. Отрезок между вершинами на оси

симметрии, не содержащей фокусов, называется малой осью эллипса, половина его длины – малой

полуосью. Величина

называется эксцентриситетом эллипса

Пример 2. Постройте кривую .

Найдите фокусы и эксцентриситет.Решение. Разделим обе части уравнения на 36.

Получаем уравнение

, .

, .

Фокусы – , , эксцентриситет –

Определение. Гиперболой называется



абсолютная величина разности

расстояний до двух фиксированных

точек той же плоскости, называемых

фокусами гиперболы, есть величина

постоянная

Пример 3. Постройте гиперболу 4422 ух , найдите

ее фокусы и эксцентриситет.Решение. Разделим обе части уравнения на 4.

, .

Проводим асимптоты ху 2 и строим гиперболу.

43

, – асимптоты

гиперболы.Определение. Точки пересечения

гиперболы, заданной каноническим

уравнением, с осью называются

вершинами гиперболы, отрезок между

ними называется действительной осью

гиперболы. Отрезок оси ординат между точками (0, –в) и (0, в) называется мнимой осью. Числа и

называются соответственно

действительной и мнимой полуосями

гиперболы. Начало координат называется ее центром. Величина

ас

называется эксцентриситетом

.

Тогда фокусы – , ,

Определение. Параболой называется



расстояние до фиксированной точки

этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной

прямой, лежащей в той же плоскости

и называемой директрисой параболы

Директриса имеет уравнение

Пример 4. Постройте параболу ху 32 . Найдите ее

фокус и директрису.Решение. Уравнение является каноническим

уравнением параболы, 2р = 3, р = 1,5. Для построения

найдем несколько точек параболы. Возьмем точки

, , .

Фокус F лежит на оси Ох на расстоянии 2

рот

вершины, то есть имеет координаты (0,75; 0).

Директриса имеет уравнение 2

рх , то есть х = –0,75

Задания для самостоятельной работы1. Известно, что заданная прямая параллельна оси ординат и проходит через точку (2; –11).

Необходимо записать общее уравнение заданной прямой.2. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

44

3. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, –1) и проходящей через точку

А(1, 2).

4. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.5. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить

уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см2.

6. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка, найти все ее

параметры, построить кривую: 9x2 − 4y2 − 90x − 8y + 185 = 0.

7. Общее уравнение кривой второго порядка привести к каноническому. Найти координаты

центра, координаты вершин и фокусов. Написать уравнения асимптот и директрис. Построить

линии на графики, отметить точки: 9x2 + 25y2 − 18x − 100y − 116 = 0.

8. Выяснить вид кривой по общему уравнению, найти её параметры и положение в системе

координат. Сделать рисунок 3x2 − 6y2 − 12x − 108y – 492 = 0.

Контрольные вопросы1. Способы задания прямой на плоскости.2. Виды уравнения прямой на плоскости.3. Кривые второго порядка.4. Уравнение окружности.5. Уравнение эллипса.6. Уравнение гиперболы.

ЛИТЕРАТУРА

Печатные издания:

1. Григорьев, В.П. Элементы высшей математики: учебник. - 2-е изд. / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский, Т.Н. Сабурова. - М.: Академия, 2018. - 400 с. ISBN 978-5-4468-6587-1

Дополнительные источники

1. Высшая математика : учебник и практикум для среднего профессионального образования /

М. Б. Хрипунова [и др.] ; под общей редакцией М. Б. Хрипуновой, И. И. Цыганок. — Москва :

Издательство Юрайт, 2019. — 472 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-

01497-6. — Режим доступа : www.biblio-online.ru/book/vysshaya-matematika-437476

2. Баврин, И. И. Математика для технических колледжей и техникумов : учебник и практикум

для среднего профессионального образования / И. И. Баврин. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва :

Издательство Юрайт, 2019. — 397 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-

08026-1. — Режим доступа : www.biblio-online.ru/book/matematika-dlya-tehnicheskih-kolledzhey-i-

tehnikumov-434618

45

МКИТ - 7 mr en evm · 2019. 12. 10. · Решение Комплексные числа и...

Documents