Контрольная работа № 3 по линейной...
TRANSCRIPT
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 1
1. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1,−1, 1, 0), a2 = (4,−2, 0, 3), a1 = (5, 3,−2, 1).
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей
0 −1 0 0−1 0 0 00 0 0 −10 0 −1 0
.
3. Определить тип линии 4x2 − 4xy + y2 − 3x + 4y − 7 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
4. Привести квадратичную форму 3x21 + 8x1x2 − 3x2
2 + 4x23 − 4x3x4 + x2
4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 2
1. Определить тип линии 4x2 + 4xy + y2 + 16x+ 8y + 15 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 15 12 0
12 9 −120 −12 3
.
3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 2,−3, 0), a2 = (4, 7,−8, 1), a1 = (4, 5, 0,−5).
4. Привести квадратичную форму x21 + 2x1x2 − x2
2 − 2x23 − 4x3x4 − 2x2
4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 3
1. Доказать, что кривая с уравнением 4x2 + 6xy − 4y2 − 6x− 10y − 3 = 0является гиперболой и найти уравнения ее асимптот.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 2 −2 0
−2 1 −20 −2 0
.
3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (4, 2, 3, 1), a1 = (−4, 0, 5, 1).
4. Привести квадратичную форму 9x21 + 5x2
2 + 8x23 − 4x2x4 + 4x3x4 + 8x2
4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 4
1. Определить тип линии x2 − 5xy + 4y2 + x + 2y − 2 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 1 −2 0
−2 2 −20 −2 3
.
3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (2,−1, 0, 1), a2 = (4, 0, 1, 4), a1 = (−3, 6,−3, 0).
4. Привести квадратичную форму x21 − 2x1x2 + x2
2 + x23 + 2x1x3 − 2x1x4 +
2x2x3 − 4x2x4 − 2x24 к каноническому виду и найти соответствующую замену
переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 5
1. Определить тип линии 3x2 + 10xy + 3y2 − 2x − 14y − 13 = 0, написатьее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 3 2 0
2 4 −20 −2 5
.
3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 2,−1, 0), a2 = (2, 4, 1,−1), a3 = (4, 8,−1,−1).
4. Привести квадратичную форму x21 + 2x2
2 + x23 + 2x1x2 − 4x1x3 − 3x2x3 к
каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 6
1. Определить тип линии 4xy + 3y2 + 16x + 12y − 36 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 5 −2 −2
−2 6 0−2 0 4
.
3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (1,−1, 1, 3), a3 = (3, 1, 5, 3).
4. Привести квадратичную форму x21 + 4x2
2 + x23 + 4x1x2 − 2x1x3 + x2x3 к
каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 7
1. Определить тип линии 5x2 − 2xy+ 5y2 − 4x+ 20y+ 20 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей
19
−1 −4 8−4 −7 −48 −4 −1
.
3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (2, 0,−1, 3), a3 = (0,−2,−3, 1).
4. Привести квадратичную форму 2x21 + x2
2 + 3x23 + 4x1x2 − 6x2x3 к кано-
ническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 8
1. Определить тип линии 8x2 + 4xy+ 5y2 + 16x+ 4y− 28 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей −11 10 10
10 −11 1010 10 −11
.
3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 0, 2, 1), a2 = (1, 1, 3, 4), a3 = (−1,−3,−5,−10).
4. Привести квадратичную форму x21 + x2
2 + 4x23 − 2x1x2 + 4x1x3 − x2x3 к
каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 9
1. Определить тип линии 7x2 + 6xy − y2 + 28x + 12y + 28 = 0, написатьее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. разабольше расстояния между директрисами.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей
12
−1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −1
.
3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (−2, 0, 2, 8) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (2, 1, 3,−4), a2 = (5, 3, 5,−8).
4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма2x2
1 + 5x22 + 5x2
3 − 4x1x2 − tx1x3 − 8x2x3 положительно определена.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 10
1. Найти вид и расположение квадрики 12xy + 5y2 − 12x − 22y − 19 = 0.Сделать чертеж.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей −11 10 −2
10 −14 −8−2 −8 −20
.
3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (3, 1, 1,−2) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (1, 2, 0, 1), a2 = (4, 3, 1, 2).
4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма5x2
1 + 6x22 + 4x2
3 − 4x1x2 − tx1x3 положительно определена.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 11
1. Найти вид и расположение квадрики 4x2 − 4xy + y2 − 3x+ 4y − 7 = 0.Сделать чертеж.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей
19
1 4 44 1 44 4 1
.
3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (2, 1, 0, 1) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (1, 1,−1, 3), a2 = (−1,−1, 4,−6).
4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма7x2
1 + 5x22 + 3x2
3 − 8x1x2 + tx2x3 положительно определена.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 12
1. Найти вид и расположение квадрики 9x2− 4xy+6y2+16x− 8y− 2 = 0.Сделать чертеж.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 9 6 −6
6 12 0−6 0 6
.
3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (6, 2, 1, 1) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (0, 2, 1, 0), a2 = (1, 1,−2, 1).
4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма3x2
1 + 4x22 + 5x2
3 + 4x1x2 + tx2x3 положительно определена.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 13
1. Найти вид и расположение квадрики x2 − 4xy + 4y2 + 4x− 3y − 7 = 0.Сделать чертеж.
2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 5x2 +8y2 +5z2 − 4xy + 8xz + 4yz − 6x+ 6y + 6z + 10 = 0.
3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1,−1, 1, 0), a2 = (4,−2, 0, 3), a1 = (5, 3,−2, 1).
4. Привести квадратичную форму 3x21 + 8x1x2 − 3x2
2 + 4x23 − 4x3x4 + x2
4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 14
1. Доказать, что квадрика 2x2 − xy − y2 + 3y − 2 = 0 является парой пе-ресекающихся прямых и найти их уравнения в исходной системе координат.
2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 2xy+2xz+2yz + 2x+ 2y + 2z + 1 = 0.
3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 2,−3, 0), a2 = (4, 7,−8, 1), a1 = (4, 5, 0,−5).
4. Привести квадратичную форму x21 + 2x1x2 − x2
2 − 2x23 − 4x3x4 − 2x2
4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 15
1. Доказать, что квадрика 2x2 + 3xy − 2y2 − 5x + 5y − 3 = 0 являетсяпарой пересекающихся прямых и найти их уравнения в исходной системекоординат.
2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 3x2 +3y2 +3z2 + 2xy − 2xz − 2yz − 2x− 2y − 2z − 1 = 0.
3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (4, 2, 3, 1), a1 = (−4, 0, 5, 1).
4. Привести квадратичную форму 9x21 + 5x2
2 + 8x23 − 4x2x4 + 4x3x4 + 8x2
4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 16
1. Доказать, что квадрика 2x2−xy− 3y2− 2x+3y = 0 является парой пе-ресекающихся прямых и найти их уравнения в исходной системе координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей
0 −1 0 0−1 0 0 00 0 0 −10 0 −1 0
.
3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (2,−1, 0, 1), a2 = (4, 0, 1, 4), a1 = (−3, 6,−3, 0).
4. Привести квадратичную форму x21 − 2x1x2 + x2
2 + x23 + 2x1x3 − 2x1x4 +
2x2x3 − 4x2x4 − 2x24 к каноническому виду и найти соответствующую замену
переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 17
1. Определить тип линии 4x2 − 4xy + y2 − 3x + 4y − 7 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 15 12 0
12 9 −120 −12 3
.
3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 2,−1, 0), a2 = (2, 4, 1,−1), a3 = (4, 8,−1,−1).
4. Привести квадратичную форму x21 + 2x2
2 + x23 + 2x1x2 − 4x1x3 − 3x2x3 к
каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 18
1. Определить тип линии 4x2 + 4xy + y2 + 16x+ 8y + 15 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 2 −2 0
−2 1 −20 −2 0
.
3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (1,−1, 1, 3), a3 = (3, 1, 5, 3).
4. Привести квадратичную форму x21 + 4x2
2 + x23 + 4x1x2 − 2x1x3 + x2x3 к
каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 19
1. Доказать, что кривая с уравнением 4x2 + 6xy − 4y2 − 6x− 10y − 3 = 0является гиперболой и найти уравнения ее асимптот.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 1 −2 0
−2 2 −20 −2 3
.
3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (2, 0,−1, 3), a3 = (0,−2,−3, 1).
4. Привести квадратичную форму 2x21 + x2
2 + 3x23 + 4x1x2 − 6x2x3 к кано-
ническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 20
1. Определить тип линии x2 − 5xy + 4y2 + x + 2y − 2 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 3 2 0
2 4 −20 −2 5
.
3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 0, 2, 1), a2 = (1, 1, 3, 4), a3 = (−1,−3,−5,−10).
4. Привести квадратичную форму x21 + x2
2 + 4x23 − 2x1x2 + 4x1x3 − x2x3 к
каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 21
1. Определить тип линии 3x2 + 10xy + 3y2 − 2x − 14y − 13 = 0, написатьее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 5 −2 −2
−2 6 0−2 0 4
.
3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (−2, 0, 2, 8) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (2, 1, 3,−4), a2 = (5, 3, 5,−8).
4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма2x2
1 + 5x22 + 5x2
3 − 4x1x2 − tx1x3 − 8x2x3 положительно определена.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 22
1. Определить тип линии 4xy + 3y2 + 16x + 12y − 36 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей
19
−1 −4 8−4 −7 −48 −4 −1
.
3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (3, 1, 1,−2) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (1, 2, 0, 1), a2 = (4, 3, 1, 2).
4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма5x2
1 + 6x22 + 4x2
3 − 4x1x2 − tx1x3 положительно определена.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 23
1. Определить тип линии 5x2 − 2xy+ 5y2 − 4x+ 20y+ 20 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей −11 10 10
10 −11 1010 10 −11
.
3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (2, 1, 0, 1) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (1, 1,−1, 3), a2 = (−1,−1, 4,−6).
4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма7x2
1 + 5x22 + 3x2
3 − 8x1x2 + tx2x3 положительно определена.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 24
1. Определить тип линии 8x2 + 4xy+ 5y2 + 16x+ 4y− 28 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей
12
−1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −1
.
3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (6, 2, 1, 1) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (0, 2, 1, 0), a2 = (1, 1,−2, 1).
4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма3x2
1 + 4x22 + 5x2
3 + 4x1x2 + tx2x3 положительно определена.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 25
1. Определить тип линии 7x2 + 6xy − y2 + 28x + 12y + 28 = 0, написатьее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. разабольше расстояния между директрисами.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей −11 10 −2
10 −14 −8−2 −8 −20
.
3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1,−1, 1, 0), a2 = (4,−2, 0, 3), a1 = (5, 3,−2, 1).
4. Привести квадратичную форму 3x21 + 8x1x2 − 3x2
2 + 4x23 − 4x3x4 + x2
4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 26
1. Найти вид и расположение квадрики 12xy + 5y2 − 12x − 22y − 19 = 0.Сделать чертеж.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей
19
1 4 44 1 44 4 1
.
3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 2,−3, 0), a2 = (4, 7,−8, 1), a1 = (4, 5, 0,−5).
4. Привести квадратичную форму x21 + 2x1x2 − x2
2 − 2x23 − 4x3x4 − 2x2
4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 27
1. Найти вид и расположение квадрики 4x2 − 4xy + y2 − 3x+ 4y − 7 = 0.Сделать чертеж.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 9 6 −6
6 12 0−6 0 6
.
3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (4, 2, 3, 1), a1 = (−4, 0, 5, 1).
4. Привести квадратичную форму 9x21 + 5x2
2 + 8x23 − 4x2x4 + 4x3x4 + 8x2
4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 28
1. Найти вид и расположение квадрики 9x2− 4xy+6y2+16x− 8y− 2 = 0.Сделать чертеж.
2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 5x2 +8y2 +5z2 − 4xy + 8xz + 4yz − 6x+ 6y + 6z + 10 = 0.
3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (2,−1, 0, 1), a2 = (4, 0, 1, 4), a1 = (−3, 6,−3, 0).
4. Привести квадратичную форму x21 − 2x1x2 + x2
2 + x23 + 2x1x3 − 2x1x4 +
2x2x3 − 4x2x4 − 2x24 к каноническому виду и найти соответствующую замену
переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 29
1. Найти вид и расположение квадрики x2 − 4xy + 4y2 + 4x− 3y − 7 = 0.Сделать чертеж.
2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 2xy+2xz+2yz + 2x+ 2y + 2z + 1 = 0.
3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 2,−1, 0), a2 = (2, 4, 1,−1), a3 = (4, 8,−1,−1).
4. Привести квадратичную форму x21 + 2x2
2 + x23 + 2x1x2 − 4x1x3 − 3x2x3 к
каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 30
1. Доказать, что квадрика 2x2 − xy − y2 + 3y − 2 = 0 является парой пе-ресекающихся прямых и найти их уравнения в исходной системе координат.
2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 3x2 +3y2 +3z2 + 2xy − 2xz − 2yz − 2x− 2y − 2z − 1 = 0.
3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (1,−1, 1, 3), a3 = (3, 1, 5, 3).
4. Привести квадратичную форму x21 + 4x2
2 + x23 + 4x1x2 − 2x1x3 + x2x3 к
каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 31
1. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1,−1, 1, 0), a2 = (4,−2, 0, 3), a1 = (5, 3,−2, 1).
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей
0 −1 0 0−1 0 0 00 0 0 −10 0 −1 0
.
3. Определить тип линии 4x2 − 4xy + y2 − 3x + 4y − 7 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
4. Привести квадратичную форму 3x21 + 8x1x2 − 3x2
2 + 4x23 − 4x3x4 + x2
4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 32
1. Определить тип линии 4x2 + 4xy + y2 + 16x+ 8y + 15 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 15 12 0
12 9 −120 −12 3
.
3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 2,−3, 0), a2 = (4, 7,−8, 1), a1 = (4, 5, 0,−5).
4. Привести квадратичную форму x21 + 2x1x2 − x2
2 − 2x23 − 4x3x4 − 2x2
4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 33
1. Доказать, что кривая с уравнением 4x2 + 6xy − 4y2 − 6x− 10y − 3 = 0является гиперболой и найти уравнения ее асимптот.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 2 −2 0
−2 1 −20 −2 0
.
3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (4, 2, 3, 1), a1 = (−4, 0, 5, 1).
4. Привести квадратичную форму 9x21 + 5x2
2 + 8x23 − 4x2x4 + 4x3x4 + 8x2
4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 34
1. Определить тип линии x2 − 5xy + 4y2 + x + 2y − 2 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 1 −2 0
−2 2 −20 −2 3
.
3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (2,−1, 0, 1), a2 = (4, 0, 1, 4), a1 = (−3, 6,−3, 0).
4. Привести квадратичную форму x21 − 2x1x2 + x2
2 + x23 + 2x1x3 − 2x1x4 +
2x2x3 − 4x2x4 − 2x24 к каноническому виду и найти соответствующую замену
переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 35
1. Определить тип линии 3x2 + 10xy + 3y2 − 2x − 14y − 13 = 0, написатьее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 3 2 0
2 4 −20 −2 5
.
3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 2,−1, 0), a2 = (2, 4, 1,−1), a3 = (4, 8,−1,−1).
4. Привести квадратичную форму x21 + 2x2
2 + x23 + 2x1x2 − 4x1x3 − 3x2x3 к
каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 36
1. Определить тип линии 4xy + 3y2 + 16x + 12y − 36 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 5 −2 −2
−2 6 0−2 0 4
.
3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (1,−1, 1, 3), a3 = (3, 1, 5, 3).
4. Привести квадратичную форму x21 + 4x2
2 + x23 + 4x1x2 − 2x1x3 + x2x3 к
каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 37
1. Определить тип линии 5x2 − 2xy+ 5y2 − 4x+ 20y+ 20 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей
19
−1 −4 8−4 −7 −48 −4 −1
.
3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (2, 0,−1, 3), a3 = (0,−2,−3, 1).
4. Привести квадратичную форму 2x21 + x2
2 + 3x23 + 4x1x2 − 6x2x3 к кано-
ническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 38
1. Определить тип линии 8x2 + 4xy+ 5y2 + 16x+ 4y− 28 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей −11 10 10
10 −11 1010 10 −11
.
3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 0, 2, 1), a2 = (1, 1, 3, 4), a3 = (−1,−3,−5,−10).
4. Привести квадратичную форму x21 + x2
2 + 4x23 − 2x1x2 + 4x1x3 − x2x3 к
каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 39
1. Определить тип линии 7x2 + 6xy − y2 + 28x + 12y + 28 = 0, написатьее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. разабольше расстояния между директрисами.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей
12
−1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −1
.
3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (−2, 0, 2, 8) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (2, 1, 3,−4), a2 = (5, 3, 5,−8).
4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма2x2
1 + 5x22 + 5x2
3 − 4x1x2 − tx1x3 − 8x2x3 положительно определена.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 40
1. Найти вид и расположение квадрики 12xy + 5y2 − 12x − 22y − 19 = 0.Сделать чертеж.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей −11 10 −2
10 −14 −8−2 −8 −20
.
3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (3, 1, 1,−2) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (1, 2, 0, 1), a2 = (4, 3, 1, 2).
4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма5x2
1 + 6x22 + 4x2
3 − 4x1x2 − tx1x3 положительно определена.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 41
1. Найти вид и расположение квадрики 4x2 − 4xy + y2 − 3x+ 4y − 7 = 0.Сделать чертеж.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей
19
1 4 44 1 44 4 1
.
3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (2, 1, 0, 1) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (1, 1,−1, 3), a2 = (−1,−1, 4,−6).
4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма7x2
1 + 5x22 + 3x2
3 − 8x1x2 + tx2x3 положительно определена.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 42
1. Найти вид и расположение квадрики 9x2− 4xy+6y2+16x− 8y− 2 = 0.Сделать чертеж.
2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 9 6 −6
6 12 0−6 0 6
.
3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (6, 2, 1, 1) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (0, 2, 1, 0), a2 = (1, 1,−2, 1).
4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма3x2
1 + 4x22 + 5x2
3 + 4x1x2 + tx2x3 положительно определена.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 43
1. Найти вид и расположение квадрики x2 − 4xy + 4y2 + 4x− 3y − 7 = 0.Сделать чертеж.
2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 5x2 +8y2 +5z2 − 4xy + 8xz + 4yz − 6x+ 6y + 6z + 10 = 0.
3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1,−1, 1, 0), a2 = (4,−2, 0, 3), a1 = (5, 3,−2, 1).
4. Привести квадратичную форму 3x21 + 8x1x2 − 3x2
2 + 4x23 − 4x3x4 + x2
4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 44
1. Доказать, что квадрика 2x2 − xy − y2 + 3y − 2 = 0 является парой пе-ресекающихся прямых и найти их уравнения в исходной системе координат.
2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 2xy+2xz+2yz + 2x+ 2y + 2z + 1 = 0.
3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 2,−3, 0), a2 = (4, 7,−8, 1), a1 = (4, 5, 0,−5).
4. Привести квадратичную форму x21 + 2x1x2 − x2
2 − 2x23 − 4x3x4 − 2x2
4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.
Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение
Вариант № 45
1. Доказать, что квадрика 2x2 + 3xy − 2y2 − 5x + 5y − 3 = 0 являетсяпарой пересекающихся прямых и найти их уравнения в исходной системекоординат.
2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 3x2 +3y2 +3z2 + 2xy − 2xz − 2yz − 2x− 2y − 2z − 1 = 0.
3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (4, 2, 3, 1), a1 = (−4, 0, 5, 1).
4. Привести квадратичную форму 9x21 + 5x2
2 + 8x23 − 4x2x4 + 4x3x4 + 8x2
4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.