МИНИСТЕРСТВО ОСВИТИ ТА НАУКИ УКРАИНИ … › 3402_2.pdf · При...
TRANSCRIPT
Материалы взяты с сайта WWW.HYDRAULICS.AT.UA
МИНИСТЕРСТВО ОСВИТИ ТА НАУКИ УКРАИНИ
Национальный транспортный университет
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению гидравлических расчетов при построении
кривых свободной поверхности открытого потока в трапецеидальном русле с помощью EXEL и MathCad
для студентов специальностей:
7.092105 – «Автомобильные дороги та аэродромы» 7.092106 – «Мости і транспортные туннели
(всех форм обучения)
КИЕВ 2009
Материалы взяты с сайта WWW.HYDRAULICS.AT.UA
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ Національний транспортний університет
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению гидравлических расчетов при построении кривых свободной поверхности открытого потока в трапецеидальном русле с помощью EXEL и
MathCad
для студентов специальностей:
7.092105 – «Автомобильные дороги та аэродромы» 7.092106 – «Мости и транспортные туннели»
(всех форм обучения)
Утверждено на заседании Учебно-методического совета НТУ протокол №______ от _____________ 2009 г.
КИЕВ 2009
Материалы взяты с сайта WWW.HYDRAULICS.AT.UA
УДК 532:004 ББК 30.123:32.81 М.Н.Цивин, Методические указания по выполнению гидравлических расче-тов при построении кривых свободной поверхности открытого потока в тра-пецеидальном русле с помощью EXEL и MathCad
В методических указаниях рассматриваются примеры гидравлического расчета кривых свободной поверхности в трапецеидальных руслах с помо-щью табличного процессора EXEL и пакета прикладных программ MathCad.
Работа предназначена для студентов специальностей: 7.092105 – «Ав-томобильные дороги та аэродромы»; 7.092106 – «Мости и транспортные тун-нели» (всех форм обучения) и может быть использовано инженерно-техническими работниками, занятыми проектированием систем дорожного водоотвода.
© Национальный транспортный университет (КАДИ), 2009 © Цивін М.Н., 2009.
Материалы взяты с сайта WWW.HYDRAULICS.AT.UA
ВСТУПЛЕНИЕ
Методические указания составлены в соответствии с рабочими учеб-ными планами и учебными программами курсов в «Механика жидкости и га-за», «Гидравлика, гидрология, гидрометрия” для студентов направления под-готовки 0921 «Строительство» очной и заочной форм обучения.
Выполнения контрольной (расчетной) работы определено рабочей про-граммой курса, а ее направленность и содержание – преподавателем, кото-рый ведет практические занятия и курсовое проектирование в зависимости от длительности учебного семестра.
При составлен Методических указаний учитывался многолетний опыт самостоятельной работы и студентов НТУ(КАДИ). Методические указания ориентированы на методический комплекс исследований, подготовленный и изданный кафедрой «Мости и туннели » НТУ (КАДИ).
При расчете водоотводящих каналов, быстротоков, водопропускных труб системы дорожного водоотвода возникают трудности, заключающиеся в том, что основное дифференциальное уравнение неравномерного плавно из-меняющегося движения, которое лежит в основе всех методик построения кривых свободной поверхности, не решаются прямым вычислением.
При решении задач, связанных с расчетом кривых свободной поверх-ности, используют приближенные решения данного дифференциального уравнения, основанные на тех или иных допущениях: Б.А.Бахметева, Н.Н.Павловского, И.И.Агроскина, А.Н.Рахманова, М.Н.Цивина и др. Исполь-зование приближенных решений предполагает использование большого чис-ла вспомогательных таблиц, содержащих численное значения интеграла Б.А.Бахметева, и приводит к выполнению большого объема вычислительных операций.
Широкое распространение персональных компьютеров и таких про-грамм как EXEL и MathCad, позволяет что существенно уменьшить объем вычислительных работ. Связанных с построением кривых свободной поверх-ности и практически отказаться от использования приближенных методов решения.
В настоящих методических указаниях рассматривается два способа расчёта кривых свободной поверхности в руслах в руслах трапецеидальной формы – с помощью табличного процессора EXCEL и пакета прикладных программ MathCad.
Методические указания предназначены для студентов, которые имеют начальные навыки работы с EXCEL и MathCad.
Материалы взяты с сайта WWW.HYDRAULICS.AT.UA
Цель контрольной (расчетной) работы
Целью расчетной работы является закрепление теоретических знаний и практических навыков, полученных студентами во время лекционного курсу, практических и лабораторных занятий, связанных с вопросами движения во-ды в призматических руслах.
Теоретические положения и основные расчетные зависимости
Расчет кривой свободной поверхности введется на основе решения следующего основного дифференциального уравнения неравномерного дви-жения
22
2 22
2 2
3 3
,
1 1
QQii
dh C RKQ B Q Bds
g g
ωα α
ω ω
−−= =
− − (1)
где Q – расход воды проходящей по призматическому водоводу; ω – пло-щадь поперечного сечения при глубине равной h; С - коэффициент Шези, оп-ределяемый по следующим зависимостям:
0 0
1 yC Rn
= (по Н.Н.Павловскому); (2)
1
60 0
1C R
n= (по Маннингу); (3)
R – гидравлический радиус, определяемый по соотношению
00
0
,Rωχ
= (4)
χ0 – смоченный периметр при глубине потока равном h0; K0 – расходная характеристика; B – ширина потока по верху.
Для русел трапецеидального поперечного сечения (частным случаем которых являются прямоугольные и треугольные русла) (Рис.1) площадь по-перечного сечения ω, величина смоченного периметра χ и ширина потока по верху B могут быть выражены следующими соотношениями
Рис. 1. Русло трапецеидального сечения
( ),h b mhω = + (5)
22 1 .b h mχ = + + (6) 2 .B b hm= + (7)
Материалы взяты с сайта WWW.HYDRAULICS.AT.UA
Учитывая, что правая часть уравнения является функцией от глубины h, после разделения переменных можно записать
( ) .ds f h dh=
Интегрируя это уравнение, имеем:
( )2
1
.h
h
s f h dh= ∫ (8)
Для того чтобы получить расчетное уравнение, связывающее h и s не-обходимо отыскать неопределенный интеграл:
( ) ( )0f h f h dh= ∫
В общем случае эта задача может быть решена только приближенно. Существует много различных приближенных способов отыскание приведен-ного неопределенного интеграла (Б.А.Бахметева, Н.Н.Павловского, И.И.Леви, А.Н.Рахманова, В.Т.Чоу, Р.Р.Чугаева, М.М.Скиба, М.Н.Цивина и др.,) которые были разработаны для ручного счета. В современных условиях широкой компьютеризации эти методы представляют чисто исторический интерес, т.к. использование табличного процессора EXCEL или пакета при-кладных программ типа MathCad, позволяет существенно упростить решение таких задач.
Материалы взяты с сайта WWW.HYDRAULICS.AT.UA
РАСЧЕТ КРИВЫХ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В КАНАЛАХ ТРАПЕЦЕИДАЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Решение задачи по расчету кривой свободной поверхности с
помощью EXEL
Для этого представим основное дифференциальное уравнение нерав-номерного движения в конечных разностях
,х
f
Эl
i i
δδ =
− (9)
где
2 2
11 .
2 2x x
х x x
U UЭ h h
g g
α αδ +
+
= + − +
(10)
Тогда для всего водотока длиной суммируя δ, можно записать
При i>0
1
.x n
х
x f
Эl
i i
δ=
=
=−∑ (11)
Для решения данной задачи подготовим рабочую книгу табличного процессора EXEL. Для этого в ячейки a1, …, a12; b14, …, k14 вводим сле-дующий пояснительный текст
Таблица 1.
Адрес ячейки Текстовая информация
a1 ← Исходные данные
a2 ← Расчетный расход
a3 ← Уклон дна
a4 ← Шероховатость
a5 ← Ширина канала по дну
a6 ← Заложение откоса
a7 ← Нормальная глубина
a9 ← Критическая глубина
a10 ← Начальная глубина
a11 ← Конечная глубина
a12 ← Параметр Q2/g
b14 ← H
c14 ← ω
d14 ← E
e14 ← x
f14 ← R
g14 ← C
h14 ← K
i14 ← if
j14 ← i-if
Материалы взяты с сайта WWW.HYDRAULICS.AT.UA
Адрес ячейки Текстовая информация k14 ← Li
В ячейки d2, …, d11 водим числовые значения в соответствии с усло-
вием задачи. В ячейки c15,…, i15 и ячейки j16, k16 вводим следующие расчетные за-
висимости
Таблица 2
Адрес ячейки Расчетные формулы
C15 ← =B15*($D$5+$D$6*B15) D15 ← =B15+$D$11*(0,5/C15^2) E15 ← =$D$5+2*B15*КОРЕНЬ(1+$D$6^2) F15 ← =C15/E15 G15 ← =1/$D$4*F15^(1/6) H15 ← =C15*G15*КОРЕНЬ(F15) I15 ← =($D$2/H15)^2 J16 ← =$D$3-0,5*(I15+I16) K16 ← =(D15-D16)/J16
Ячейки d7 и d8 могут быть не заполнены Дальнейший расчет посмотрим на примере: Расход Q = 22 м3/с; шири-
на трапецеидального русла по дну b = 10 м; заложение откосов m = 1,25; ко-эффициент шероховатости русла n = 0,02; продольный уклон дна канала – 0,001. Все расчёты выполняются в метрах.
Рабочий лист должен иметь следующий вид (Рис. 1) Дальнейшие действия следующие:
1. в ячейки b15… b20 вводим значения глубин на границах расчетного участка;
2. выделяем мышкой блок ячеек c15:i15; 3. «цепляем» мышкой черный прямоугольник в правом нижнем углу вы-
деленного блока и перемещаем указатель мышки до ячейки i20 (Рис.3); 4. отпустив левую кнопку мышки, получаем заполненный результатами
вычислений блок клеток c15:i20 (Рис. 4) 5. выделяем блок ячеек j16:k16; 6. копируем выделенный блок ячеек в блок ячеек j17:k20 и, отпустив ле-
вую кнопку мышки, получим следующую расчетную таблицу (Рис.5); 7. вставив в ячейку k22 функцию суммирования, получаем окончатель-
ный вид расчетной таблицы (Рис. 6) Из приведенных в таблице данных, что для условий примера длина
кривой свободной поверхности составит 1027,98 м.
Материалы взяты с сайта WWW.HYDRAULICS.AT.UA
Рис. 2
Рис. 3
Материалы взяты с сайта WWW.HYDRAULICS.AT.UA
Рис. 4
Рис. 5
Материалы взяты с сайта WWW.HYDRAULICS.AT.UA
Рис. 6
Пересчитав данные этого примера при шаге численного интегрирования 0.05 м., получаем, что длина кривой свободной поверхности составит 1039.87 м.
Материалы взяты с сайта WWW.HYDRAULICS.AT.UA
Решение задачи по расчету кривой свободной поверхности с помощью MathCad
При современном уровне развития вычислительной техники решение уравнения (1) не представляет большой проблемы.
Интегрирование в MathCad реализовано в виде вычислительного опе-ратора и устроено по принципу “как пишется, так и вводится». Чтобы вычис-лить определенный интеграл, следует напечатать его обычную математиче-скую формулу в документе. Делается это с помощью панели Calculus (Вы-числения) нажатием кнопки со значком интеграла или вводом с клавиатуры сочетания клавиш <Shift>+<7>. Появится символ интеграла с несколькими местозаполнителами (), в которые нужно ввести нижний и верхний интерва-лы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирова-ния
Рис. 7
Разработчиками MathCad запрограммированы четыре численных мето-да интегрирования:
Romberg (Ромберга) – для большинства функций, не содержащих осо-бенностей;
Adaptive (Адаптивный) – для функций, быстро меняющихся на интер-вале интегиривания;
Infinite Limit (Бесконечный предел) – для интегралов с бесконечными пределами;
Singular Endpoint Сингулярная граница) – для интегралов с сингуляр-ностью на конце (применяется модифицированный алгоритм Ромберга для функций, не определенных на одном или обоих концах интеграла.
Материалы взяты с сайта WWW.HYDRAULICS.AT.UA
При вычислении интеграла (8) рекомендуется выбирать адаптивный метод при установленном флажке Autoselect (Автоматический выбор).
Что бы самостоятельно выбрать алгоритм численного интегрирования, необходимо: − щелкнуть правой кнопкой мышки в любом месте на левой части вы-
числительного интеграла; − в появившемся контекстном меню выбрать нужный вычислительный
алгоритм (Рис. 8).
Рис. 8
Ниже приведен пример расчета кривой свободной поверхности мето-дом численного интегрирования.
Задача: Рассчитать длину кривой спада в бетонном лотке (n = 0.020) трапецеидального поперечного сечения при следующих данных: расход Q = 22 м3/сек; ширина русла по дну b =10 м; коэффициент заложения откосов m =1.25; уклон дна русла i = 0.001.
Начальную глубину принимаем равной hn=1,25 м., конечная глубина – hkon=1,75 м.
Ниже приведен листинг программы, позволяющий рассчитать длину кривой свободной поверхности, на котором приведены: − программа – функция Pk(h), вычисляющая численное значение выра-
жения 2
31
B
g
αω
−Q
;
− программа – функция K(h), вычисляющая численное значение расход-
ной характеристики C Rω , где коэффициент Шези С определяется по формуле Маннинга;
Материалы взяты с сайта WWW.HYDRAULICS.AT.UA
− программа – функция it(h), вычисляющая численное значение уклона
трения
( )2
2
C Rω
Q.
Длина кривой спада составляет 1047 м.
Расчет кривой свободной поверхности
Расчетный расход Q 22:=hn 1.25:=
Заложение откоса m1 1.25:=hkon 1.75:=Уклон дна i 0.001:=
Шероховатость n 0.020:= α 1.1:=Ширина канала по дну b 10:=Решение :
K h( ) h
ω h b m1 h⋅+( )⋅←
χ b 2 h⋅ 1 m12+⋅+←
Rω
χ←
C1
nR
1
6⋅←
a ω C⋅ R⋅←
:=Pk h( ) h
ω h b m1 h⋅+( )⋅←
B b 2 m1⋅ h⋅+←
a 1 1.1Q
2B⋅
9.81 ω3
⋅⋅−←
:=
it h( ) h
aQ
K h( )
2
←
:=
F h( )Pk h( )
i it h( )−:= L
hkon
hn
hF h( )⌠⌡
d:=
Длина кривой L 1.047− 103×=
Условие данной задачи взято из книги (Андреевская А.В. Кременцкий Н.Н., Панова М.В. Задачник по гидравлике. Изд.2-е,пераб. и доп. Учебное пособие для гидромелиоративных и гидротехнических факультетов и вузов. «Энергия», 1970. - 424 с.) Задача № 6-15.
В этой книге выполнено сравнение результатов расчета длины свобод-ной поверхности по способам Б.А.Бахметева, Н.Н.Павловского, И.И.Агроскина и по способу суммирования (метод Чарномского). В итоге были получены следующие результаты:
Метод Б.А.Бахметева – 1079 м; Метод Н.Н.Павловского – 1083 м; Метод И.И.Агроскина – 1092 м;
Материалы взяты с сайта WWW.HYDRAULICS.AT.UA
Метод суммирования (Чарномского – Херстеда) – 1256 м. Расчет длины свободной поверхности, выполненный с помощью EXEL при 5-ти расчетных участках, дал значение равное 1027,98 м, а при десяти расчетных участков – 1038.87 м. Выводы:
− применение вычислительной техники с соответствующим программ-ным обеспечением позволяет существенно упростить задачу расчета кривых свободной поверхности в призматических водоводах;
− при использовании электронных таблиц (типа EXEL) кривые свобод-ной поверхности следует рассчитывать, применяя метод суммирования (метод Чарномского – Херстеда)
− при использовании пакета прикладных программ MathСad расчет кри-вой свободной поверхности следует выполнять методом численного интегрирования основного дифференциального уравнения неравно-мерного плавно изменяющегося движения.